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Matemática Ensino Médio, 2º Ano
Matriz Inversa
Matemática, 2º AnoMatriz Inversa
Noções iniciais
• No conjunto dos números reais, para todo a ≠ 0, existe um número b, denominado inverso de a, satisfazendo a condição:
a.b = b.a =1
• É bastante comum indicarmos o inverso de a por ou a -1.
Exemplo:
a
1
155
1
5
15
Matemática, 2º AnoMatriz Inversa
Definição
• Uma matriz A, quadrada de ordem n, diz-se invertível se, e somente se, existir uma matriz B, quadrada de ordem n, tal que:
Em que In é a matriz identidade de ordem n e B é denominada inversa de A e
indicada por A-1 .
nIABBA
Matemática, 2º AnoMatriz Inversa
Exemplo 1:
• Verifique que a matriz é a inversa da matriz .
411
13B
311
14A
10
01
411
13
311
14BA
10
01
311
14
411
13AB
Como A · B = B · A = I2 , a matriz B é a inversa de A, isto é, B = A-1.
Matemática, 2º AnoMatriz Inversa
• Para verificar se uma matriz quadrada é ou não invertível e, em caso afirmativo, determinar sua inversa, apresentaremos, a seguir, um processo baseado na definição de matriz inversa e na resolução de sistemas lineares.
• Quando uma matriz é invertível, dizemos que ela é uma matriz não singular, caso contrário, será uma matriz singular.
Observações:
Matemática, 2º AnoMatriz Inversa
Exemplo 2:
• Vamos encontrar, se existir, a inversa de .
Devemos verificar se existe , tal que A . A-1 = In.
45
23A
dc
baA 1
Logo:
10
01
4545
2323
10
01
45
23
dbca
dbca
dc
ba
Matemática, 2º AnoMatriz Inversa
Exemplo 2 (continuação):
Do conceito de igualdade, seguem os sistemas:
045
123
045
123
db
db
ca
ca, cuja solução é a = 2 e c = -5/2
, cuja solução é b = -1 e c = 3/2
Então,
2
3
2
512
1A
É fácil ver que A-1 . A = In também está satisfeita.
Matemática, 2º AnoMatriz Inversa
Exemplo 3:
• Vamos encontrar, se existir, a inversa de .
12
24A
Fazendo A.A-1 = In , temos:
10
01
22
2424
10
01.
12
24
dbca
dbca
dc
ba
Logo:
12
024
02
124
db
dbe
ca
ca
Matemática, 2º AnoMatriz Inversa
Exemplo 4:
Com o primeiro sistema não admitindo solução, já seria possível concluir que não existe a inversa de A (O segundo sistema também não admitiu solução). .
12
024
02
124
db
db
ca
ca
.(-2) .(-2)
224
024
024
124
db
db
ca
ca
Resolvendo os sistemas pelo método da adição, temos:
10 20 (Impossível) (Impossível)
Matemática, 2º AnoMatriz Inversa
• O processo apresentado nos exemplos anteriores, apesar do grande nível de complexidade, pode ser usado para o cálculo de inversas de matrizes quadradas de ordem n, com n ≥ 2.
• Estudar métodos para solução de sistemas lineares será bastante eficaz para o cálculo de matrizes inversas de ordem n, com n ≥ 3.
Observações:
Matemática, 2º AnoMatriz Inversa
Exercícios
01. Obter a matriz inversa da matriz .
11
12A
Resolução:
Sendo , temos:
cc
baA 1
10
0122
10
01.
11
12
dbca
dbca
dc
ba
0
12
0
12
db
db
ca
ca, cuja solução é a = 1 e c = -1
, cuja solução é b = -1 e c = 2
21
111A
Matemática, 2º AnoMatriz Inversa
Exercícios
02. Verifique se é a inversa de .
31
52
21
53
Resposta: SIM
03. Determine, se existir, a inversa da matriz .
01
21
Resposta:
2
1
2
110
Matemática, 2º AnoMatriz Inversa
Exercícios
04. Verifique se a inversa de é a matriz .
Resposta: SIM
301
020
001
3
10
3
1
02
10
001
05. A inversa de é a matriz . Determine x e y.
x
y
2
3
Resposta: x = 7 e y = 1
15
4
x
xx
Matemática, 2º AnoMatriz Inversa
Propriedades
• Sendo A e B matrizes quadradas de ordem n e invertíveis, temos as seguintes propriedades:
• Dada A, se existir A-1, então ela é única;
• (A-1)-1 = A;
• (A . B)-1 = B-1 . A-1;
• (A-1)t = (At)-1.
Matemática, 2º AnoMatriz Inversa
Propriedades• Se uma matriz A é invertível, então esta inversa é única.
• Demonstração:
De fato, vamos supor que A seja invertível de ordem n, que B e C
sejam suas inversas e ainda que B ≠ C. Dessa forma, AB = BA = In e
AC = CA = In. Tomando a primeira equação e multiplicando
ambos os lados da equação, à esquerda, por C, temos C (AB) = CIn,
ou seja, (CA)B= CIn, como CA = In. Logo: B = C.
Matemática, 2º AnoMatriz Inversa
Propriedades• Se uma matriz A é invertível, então a inversa A-1 é invertível e
(A-1)-1 = A .
• Demonstração:
Sabemos que uma matriz B é inversa de A se, e somente se,
A.B=B.A = In.
Como A-1 é a inversa e A, então AA-1 = A-1A =In.
Pela demonstração anterior, temos que a inversa é única, então B = A é
a inversa e A-1 , ou seja, (A-1)-1= A.
Matemática, 2º AnoMatriz Inversa
Exemplo 5:• Vamos encontrar a inversa de . .
Fazendo A . A-1 = In:
45
23A
10
01
4545
2323
10
01
45
23
dbca
dbca
dc
ba
Então
2
3
2
512
1A
Calculando (A-1)-1
10
01
2
3
2
5
2
3
2
522
10
01
2
3
2
512
wyzx
wyzx
wz
yx
AA
45
2311
Matemática, 2º AnoMatriz Inversa
Propriedades• Se A e B são invertíveis, então AB também é e (AB)-1 = B-1A-1.
• Demonstração:
Para verificarmos esta propriedade, devemos mostrar que
(AB)B-1A-1=In e B-1A-1(AB) = In .
(AB)B-1A-1=A(BB-1)A-1 =AInA-1 =AA-1 = In .
A segunda identidade é inteiramente análoga.
Matemática, 2º AnoMatriz Inversa
Exemplo 6:• Encontrando as inversas e o produto de e .
45
23A
Calculando (AB)-1 e B-1A-1 , podemos confirmar a igualdade:
2
3
2
512
1A
11
12B
21
111B
914
58AB
87
52
91AB
87
52
911AB
Matemática, 2º AnoMatriz Inversa
Propriedades• Se A é invertível, então At também é e (At)-1 = (A-1)t.
• Demonstração:
Com efeito, fazendo uso da propriedade anterior, temos:
n
tn
ttt
ntn
ttt
IIAAAA
IIAAAA
11
11
Matemática, 2º AnoMatriz Inversa
Exemplo 6:• Vamos verificar a propriedade (At)-1 = (A-1)t para a matriz
12
13A
Calculando At e A-1 , teremos respectivamente:
11
23tA
32
111A
Fazendo uso dos recursos expostos anteriormente, temos:
tt AA 11
31
21
Matemática, 2º AnoMatriz Inversa
Aplicação prática:
1. As senhas numéricas de quatro dígitos dos clientes de um determinado
banco são representadas como uma matriz S2 x 2, em que os dois primeiros
são a 1ª linha e os dois últimos, a 2ª linha. O banco usa uma matriz invertível
denominada matriz chave, para
manter o sigilo das senhas de seus clientes. E, por questões de segurança, o
banco gera uma nova matriz T = S.X , denominada matriz transmitida.
a) Como ‘recuperar’ a senha de um cliente, se só conhecemos a matriz chave
e a matriz transmitida?
b) Sabendo que a matriz transmitida de um determinado cliente é ,
qual sua senha?
24
13X
1836
1226T
Resposta:
a) (SX)X-1=S(XX-1)= SI2 =S b) 2509
Matemática, 2º AnoMatriz Inversa
Exercícios de fixação
01. Encontre a inversa de cada matriz dada, se possível:
cos
cos)
222
22
2)
3
2
6
55
3
4
3
)
sen
senCc
Bb
Aa
Resp: é singular
Resp:
Resp: cosɵ senɵ-senɵ cosɵ
1/5 √2 1/5 √2
-2/5 √2 1/10 √2
Matemática, 2º AnoMatriz Inversa
Exercício de Fixação
02. Dadas as matrizes ,calcule: .14
02
11
32
BeA
a) (AB)-1 b) (AB)t c) AA-1 – I d) (2B)-1
1/2 3/2
-3 -8Resp: a) b) c) 0 d)
-16 6
-3 1
1/4 0
-1 1/2
Matemática, 2º AnoMatriz Inversa
03. São dadas as matrizes A e B, quadradas de ordem n e invertíveis. A solução da equação (BAX)t = B, em que (BAX)t é a transposta da matriz (BAX), é a matriz X tal que:
Exercício de Fixação
tBABX 1
tBBAX 1
1 ABBX t
1 BABX t
a)
b)
c)
d)
Resposta: B
10
11A
11
10B
01
12X
Exercícios de fixação
04. Se e , determine a matriz X2x2 tal que
(A-1.X)-1 = B.
Resposta: