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Leccion 6. Inversa de una matriz
Cuerpo Academico de Algebra Lineal
Universidad Autonoma de Yucatan
Merida, Yucatan, Mexico
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
Indice
1 Matriz inversa
2 Propiedades
3 Rango de una matriz
4 Ejercicios
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
En esta seccion se obtendra un algoritmo para determinar lainversa de una matriz invertible y se analizaran algunaspropiedades basicas de las matrices invertibles.
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
Matriz invertibleSi A es una matriz cuadrada de orden n y si se puede encontraruna matriz B del mismo tamano tal que
AB = BA = In,
entonces se dice que A es invertible y B se denomina una matrizinversa de A.
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
Ejemplo
La matriz B =
[3 51 2
]es una inversa de A =
[2 −5−1 3
]ya que
AB =
[2 −5−1 3
] [3 51 2
]=
[1 00 1
]= I2
y
BA =
[3 51 2
] [2 −5−1 3
]=
[1 00 1
]= I2
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
Ejemplo
La matriz B =
−40 16 913 −5 −35 −2 −1
es una inversa de
A =
1 2 32 5 31 0 8
por que
AB =
1 2 32 5 31 0 8
−40 16 913 −5 −35 −2 −1
=
1 0 00 1 00 0 1
= I3
y
BA =
−40 16 913 −5 −35 −2 −1
1 2 32 5 31 0 8
=
1 0 00 1 00 0 1
= I3
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
Observacion1 Existen muchas matrices cuadradas que no son invertibles.
Una matriz cuadrada que no es invertible se denominasingular.
2 Una matriz invertible se denomina no singular.
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
TeoremaSi una matriz A es invertible, entonces su inversa es unica.
Como una consecuencia de este importante resultado, ahora esposible hablar de “la” inversa de una matriz invertible.
ObservacionSi A es invertible, entonces su inversa se denota por el sımboloA−1. Ası,
AA−1 = A−1A = In
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
Se desarrollara un metodo para determinar inversas de matricesinvertibles de cualquier tamano; sin embargo, el siguiente teoremaestablece condiciones bajo las cuales una matriz de 2× 2 esinvertible y proporciona una formula sencilla para encontrar lainversa.
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TeoremaLa matriz
A =
[a bc d
]es invertible si ad− bc 6= 0, en cuyo caso la inversa esta definidapor la formula
A−1 =1
ad− bc
[d −b−c a
]
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Ejemplo
Calcula las inversas de las siguientes matrices.
1 A =
[3 15 2
]2 B =
[2 00 3
] 3 C =
[2 −34 4
]4 D =
[1 i−i 3
]
Solucion.Las cuatro matrices son invertibles, ası que:
1 A−1 =
[2 −1−5 3
]2 B−1 =
[ 12 00 1
3
] 3 C−1 =
[ 15
320
− 15
110
]4 D−1 =
[ 32 − i
2i2
12
]
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Ejemplo
Calcula las inversas de las siguientes matrices.
1 A =
[3 15 2
]2 B =
[2 00 3
] 3 C =
[2 −34 4
]4 D =
[1 i−i 3
]Solucion.Las cuatro matrices son invertibles, ası que:
1 A−1 =
[2 −1−5 3
]2 B−1 =
[ 12 00 1
3
] 3 C−1 =
[ 15
320
− 15
110
]4 D−1 =
[ 32 − i
2i2
12
]
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Ahora, se aplicara el algoritmo de eliminacion de Gauss-Jordanpara determinar la inversa de una matriz invertible.
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Sea A una matriz cuadrada de orden n, el siguiente procedimientoproporciona un metodo para encontrar A−1.
Paso 1. La matriz identidad se adjunta a la derecha de A,con lo que se obtiene una matriz de la forma
[A | I] .
Paso 2. Se aplican operaciones elementales en los renglones aesta matriz hasta que la matriz A se reduce a lamatriz identidad I.
Paso 3. El lado derecho se convierte en A−1, de modo que lamatriz final es de la forma
[I | A−1]
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Ejemplo
Encontrar la inversa de
A =
1 2 32 5 31 0 8
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
Primero se escribe A seguido de I en la forma de matriz aumentada
[A | I] =
1 2 3 | 1 0 02 5 3 | 0 1 01 0 8 | 0 0 1
Para reducir a la forma escalonada reducida se aplica el algoritmo deGauss-Jordan1 2 3 | 1 0 0
2 5 3 | 0 1 01 0 8 | 0 0 1
∼R2 → R2 − 2R1R3 → R3 − R1
1 2 3 | 1 0 00 1 −3 | −2 1 00 −2 5 | −1 0 1
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
1 2 3 | 1 0 00 1 −3 | −2 1 00 −2 5 | −1 0 1
∼R3 → R3 + 2R2
1 2 3 | 1 0 00 1 −3 | −2 1 00 0 −1 | −5 2 1
∼R3 → (−1)R3
1 2 3 | 1 0 00 1 −3 | −2 1 00 0 1 | 5 −2 −1
La ultima matriz esta en forma escalonada. Ahora, se determinara suforma escalonada reducida.
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
1 2 3 | 1 0 00 1 −3 | −2 1 00 −2 5 | −1 0 1
∼R3 → R3 + 2R2
1 2 3 | 1 0 00 1 −3 | −2 1 00 0 −1 | −5 2 1
∼
R3 → (−1)R3
1 2 3 | 1 0 00 1 −3 | −2 1 00 0 1 | 5 −2 −1
La ultima matriz esta en forma escalonada. Ahora, se determinara suforma escalonada reducida.
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
1 2 3 | 1 0 00 1 −3 | −2 1 00 0 1 | 5 −2 −1
R1 → R1 − 3R3R2 → R2 + 3R3
∼
1 2 0 | −14 6 30 1 0 | 13 −5 −30 0 1 | 5 −2 −1
R1 → R1 − 2R2∼
1 0 0 | −40 16 90 1 0 | 13 −5 −30 0 1 | 5 −2 −1
= [I|A−1]
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
1 2 3 | 1 0 00 1 −3 | −2 1 00 0 1 | 5 −2 −1
R1 → R1 − 3R3R2 → R2 + 3R3
∼
1 2 0 | −14 6 30 1 0 | 13 −5 −30 0 1 | 5 −2 −1
R1 → R1 − 2R2∼
1 0 0 | −40 16 90 1 0 | 13 −5 −30 0 1 | 5 −2 −1
= [I|A−1]
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Solucion.Por lo tanto,
A−1 =
−40 16 913 −5 −35 −2 −1
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
Para verificar que la matriz encontrada en realidad es la inversa deA unicamente se tiene que calcular el producto A−1A
A−1A =
−40 16 913 −5 −35 −2 −1
1 2 32 5 31 0 8
=
1 0 00 1 00 0 1
= I
por lo que la matriz encontrada es la inversa.
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
ObservacionSi una matriz A de n× n no es invertible, entonces A no se puedereducir a la matriz identidad In por medio de operacioneselementales en los renglones. Es decir, la forma escalonadareducida de A contiene por lo menos un renglon de ceros.
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
Ejemplo
Sea
A =
1 −3 42 −5 70 −1 1
encuentra A−1, si existe.
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
Se realizara el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior:1 −3 4 | 1 0 02 −5 7 | 0 1 00 −1 1 | 0 0 1
R2 → R2 − 2R1∼
1 −3 4 | 1 0 00 1 −1 | −2 1 00 −1 1 | 0 0 1
∼
R3 → R3 + R2
1 −3 4 | 1 0 00 1 −1 | −2 1 00 0 0 | −2 1 1
Dado que en el lado izquierdo se ha obtenido un renglon de ceros, lamatriz A no puede reducirse a la matriz identidad I3. Por lo tanto, seconcluye que A es no invertible.
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
TeoremaUna matriz A de n× n es invertible si y solo si la forma escalonadareducida de A es la matriz identidad de n× n.
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
Teorema1 Una matriz triangular es invertible si y solo si todos sus
elementos diagonales son diferentes de cero.
2 La inversa de una matriz triangular inferior invertible estriangular inferior, y la inversa de una matriz triangularsuperior invertible es triangular superior.
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
TeoremaSea
D =
d1 0 · · · 00 d2 · · · 0...
.... . .
...0 0 · · · dn
una matriz diagonal de orden n. D es invertible si y solo si todoslos elementos en su diagonal principal son diferentes de cero y, eneste caso, su inversa es
D−1 =
1/d1 0 · · · 0
0 1/d2 · · · 0...
.... . .
...0 0 · · · 1/dn
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
Ejemplo
(I) La matriz diagonal A =
1 0 00 −3 00 0 2
es invertible y su
inversa es A−1 =
1 0 00 − 1
3 00 0 1
2
(II) La matriz diagonal A =
4 0 0 00 0 0 00 0 −1 00 0 0 2
no es invertible ya
que un elemento en su diagonal principal es cero.
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Indice
1 Matriz inversa
2 Propiedades
3 Rango de una matriz
4 Ejercicios
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
TeoremaSi A y B son matrices invertibles del mismo tamano, entonces
1 AB es invertible.
2 (AB)−1 = B−1A−1.
ObservacionUn producto de cualquier numero de matrices invertibles esinvertible, y la inversa del producto es el producto de las inversasen orden invertido.
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
Ejemplo
Considerar las matrices A =
[1 21 3
], B =
[3 22 2
], AB =
[7 69 8
]Entonces
A−1 =
[3 −2−1 1
]B−1 =
[1 −1−1 3
2
], (AB)−1 =
[4 −3− 9
272
]Tambien
B−1A−1 =
[1 −1−1 3
2
] [3 −2−1 1
]=
[4 −3− 9
272
]Por consiguiente, (AB)−1 = B−1A−1.
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
Definicion
Si A es una matriz cuadrada y p es un entero positivo, entonces laspotencias enteras no negativas de A se definen como
A0 = I, Ap = AA · · ·A︸ ︷︷ ︸p factores
Ademas, si A es invertible, entonces las potencias enterasnegativas de A se definen como
A−p =(
A−1)p
= A−1A−1 · · ·A−1︸ ︷︷ ︸p factores
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
TeoremaSi A es una matriz invertible, entonces
1 A−1 es invertible y(A−1)−1
= A.
2 An es invertible y (An)−1 =(A−1)n
para n = 0, 1, 2, . . .3 Para cualquier escalar α 6= 0, la matriz αA es invertible y
(αA)−1 =1α
A−1.
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
Ejemplo
Sea A =
[2 04 1
]. Calcula A−3.
Solucion.
A−3 =
18 0
− 72 1
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
Ejemplo
Sea A =
[2 04 1
]. Calcula A−3.
Solucion.
A−3 =
18 0
− 72 1
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
Indice
1 Matriz inversa
2 Propiedades
3 Rango de una matriz
4 Ejercicios
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
Definicion
Si una matriz A de m× n tiene una forma escalonada E, se defineel rango de A, denotado por rango(A), como el numero de pivotesde E.
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
Ejemplo
Encuentra el rango de la matriz
A =
1 −2 0 12 1 5 −30 1 3 5
Solucion.La forma escalonada por renglones de A es
B =
1 −2 0 10 1 1 −10 0 1 3
Como B tiene tres pivotes, entonces el rango de A es 3, es decirrango(A) = 3.
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
Ejemplo
Encuentra el rango de la matriz
A =
1 −2 0 12 1 5 −30 1 3 5
Solucion.La forma escalonada por renglones de A es
B =
1 −2 0 10 1 1 −10 0 1 3
Como B tiene tres pivotes, entonces el rango de A es 3, es decirrango(A) = 3.
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
TeoremaSea A una matriz cuadrada de orden n. La matriz A es invertible siy solo si rango(A) = n.
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Indice
1 Matriz inversa
2 Propiedades
3 Rango de una matriz
4 Ejercicios
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
Ejercicios VI.1
Encuentra la inversa de la matriz dada si la matriz es invertible, ycomprueba la respuesta.
(I) A =
[2 13 2
](II) B =
[6 −4−3 2
]
(III) C =
1 1 10 1 10 0 1
(IV) D =
1 6 42 4 −1−1 2 5
(V) E =
3 2 10 2 20 0 −1
(VI) F =
2 −1 4−1 0 519 −7 3
(VII) G =
1 −3 0 −23 −12 −2 −6−2 10 2 5−1 6 1 3
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Matriz inversa Propiedades Rango de una matriz Ejercicios
Ejercicios VI.2
Encuentra el rango de las siguientes matrices.
1 A =
1 42 21 −4
.
2 B =
2 1 −3 11 1 −1 23 1 −2 3
.
3 C =
1 −1 35 −4 −47 −6 2
.
4 D =
2 0 −14 0 −20 0 0
.
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