matematica décimo

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512.8F543ns2 Grupo Fnix

Matemtica 10; Un Enfoque con base en laResolucin de Problemas-4. Ed.- San Jos, C.R.: Grupo Fnix., 2013. 150p.

ISBN: 9768-14-754-01. Matemticas Estudio y Enseanza.2. Matemticas Problemas, ejercicios, etc.

Copyright 2013

Grupo FnixProhibida la reproduccin total o parcial de esta obra,

por cualquier medio, sin autorizacin escrita del Grupo Fnix.

Pedidos al 2494-8133; 8301-8947 8855-1678

Correo electrnico: [email protected]

Diseo y armado

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Diseo de portada

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INTRODUCCINPrimero, es conveniente hacer una breve aclaracin sobre nuestro nombre y smbolo (Ave Fnix Tribal),

se tiene como referente histrico-ideolgico el mito del Ave Fnix que aliment varias doctrinas y concepcionesreligiosas de supervivencia en el Plus Ultra, pues el Fnix muere para renacer con toda su gloria. Se trataba deun ave fabulosa que se consuma por accin del fuego cada 500 aos, para luego resurgir de sus cenizas. Esdecir, el GRUPO FNIX representa un nuevo comienzo, un resurgimiento, levantarse de las cenizas, espor esta razn que es nuestro emblema.

Segundo, el presente texto pretende ser un material de apoyo en el proceso de enseanza yaprendizaje de la matemtica, exponiendo de forma pragmtica y didctica todos los Conocimientos,Habilidades Especficas e Indicaciones Puntuales expuesta y vigentes en el Programa de Estudio enMatemticas (Transicin 2013), con base en los Programas de Estudio en Matemtica aprobados por elConsejo Superior de Educacin el 21 de mayo de 2012, considerando como referente metodolgico el enfoquecon base en la resolucin de problemas, propuesto en los Nuevos Programas de Estudio.

Despus de muchos aos de trabajo, un grupo de profesionales en la Enseanza de la Matemtica nospropusimos elaborar una propuesta pragmtica y didctica basada en la resolucin de problemas que propicieel desarrollo de competencias matemticas en el estudiante, y hemos querido tomar siempre en cuenta a losdocentes en servicio, es as que, agradecemos en las siguientes pginas las sugerencias, los aportes, loscomentarios y hasta las inquietudes presentadas por los profesores de matemtica de todo el pas, quienes deuna u otra forma han permitido que tengamos un mejor libro de texto cada ao.

Un problema que consideramos sustantivo, consiste en que algunos docentes guiados por otros textos,desconocen de forma fidedigna el Programa de Estudio con todos sus elementos que lo conforman, llmeseestos, Conocimientos, Habilidades Especficas e Indicaciones Puntuales, provocando que se trabaje en el aulacontenidos que no estn en las directrices curriculares del MEP, o en su defecto, alcanzando niveles deprofundizacin de temas que no se consideran importantes para las habilidades generales previstas para eleducando en cada ao de su respectivo ciclo. Es por este motivo, que hemos insertado textualmente dichoselementos (en algunos casos planteamos inclusive los mismos problemas que citan en las IndicacionesPuntuales, nunca con el afn de atribuirnos tales derechos de autor, por el contrario, respetamos y citamos quetales problemas pertenecen a los Programas de Estudio en Matemticas del Ministerio de Educacin de CostaRica), de modo que sean el verdadero referente para las actividades de mediacin que el docente proponga.

Tercero, esta nueva edicin 2013 contempla una situacin problema al inicio de cada tema, permitiendoal docente y al estudiante incursionar en la nueva temtica partiendo de un reto de la vida cotidiana, intentandoaprehender del estudiante los conocimientos previos y fomentar para la vida el principio filosfico queconsideramos eje transversal de la educacin en general los problemas son para resolverlos

Sin embargo, teniendo en cuenta la diversidad de capacidades que presentan los estudiantes en lasaulas, el deseo de los docentes por preparar a sus estudiantes con bases slidas en los principales contenidosde esta disciplina, hemos mejorado esta versin 2013 con una sugerencia de trabajo extraclase y ejercicios deprofundizacin para cada trabajo cotidiano propuesto.

El material est constituido por niveles de conocimiento, en el cual la teora, los ejemplos y los trabajoscotidianos mantienen una dificultad partiendo de lo ms elemental a lo ms complejo, adems toda la obra sedesarrolla en fichas didcticas para una mejor comprensin de los educandos.

Cuarto y ltimo, en una investigacin previa realizada por el Grupo Fnix con un grupo focal dedocentes de una Regin Educativa, nos dicta que en la mayora de los casos los estudiantes buscan primero lasrespuestas antes de resolver los ejercicios y problemas, incluso, algunos cuestionan y dudan de la capacidaddel docente cuando las respuestas de este ltimo no coinciden con las ofrecidas por el libro, a pesar que enmuchos casos son errores de los diagramadores a la hora de transcribir las respuestas en los formatos digitalesantes de ser impresos; por tanto, no se adjuntan las respuestas. Sin embargo, junto a nuestros librosofrecemos a cada docente un dispositivo de almacenamiento masivo con las respuesta en electrnico para quelas utilice segn considere mejor con sus estudiantes, e incluimos una serie de materiales de apoyo para eldocente de matemtica, que busca simplificar al menos un poco tanto trabajo que tiene sobre sus hombroscada docente en su ejemplar labor como formador de nuestros jvenes estudiantes que participan en suslecciones.

El estudio de la matemtica debe ser el comienzo del conocimiento depurado (Los autores, 2009)

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RECONOCIMIENTOS

Sr. Adolfo Mndez CorralesProfesor de MatemticaC.T.P. Santa Elena

Sra. Ana Cristina Herrera V.Profesora de MatemticaI.E.G.B. Andrs Bello

Sr. Benjamn RodrguezProfesor de MatemticaLiceo del Pacfico

Sra. Cindy Marn S.Profesora de MatemticaVirtual Marco Tulio Salazar

Sra. Adriana MarnProfesora de MatemticaI.E.G.B. Amrica Central

Sra. Ana Grace AriasProfesora de MatemticaLiceo Rural de CabecerasTilarn

Sr. Bernal LunaProfesor de MatemticaLiceo Salvador Umaa

Sra. Cindy Ovando G.Profesora de MatemticaI.P.E.C. Sindea Arabela Jimnezde Bolio

Sr. Alberto Rodrguez JirnProfesor de MatemticaParrita

Sra. Ana Grace CarranzaProfesora de MatemticaLiceo Purral de Cabeceras

Sr. Bryan Aguilar lvarezProfesor de MatemticaJorgue Bolio de la LuchaSabalito

Sr. Cristhian CaldernProfesor de MatemticaLiceo Julio Fonseca Gutirrez

Sr. Alex Canales BenavidesProfesor de MatemticaSindea 28 Millas

Sra. Ana Isabel Noguera E.Profesora de MatemticaLiceo Santa Cruz

Sr. Carlos Cordero CorderoProfesor de MatemticaC.T.P. Mansin de Nicoya

Sr. Cristian Barrientos Q.Profesor de MatemticaLiceo de Chomes

Sr. Alexander LpezProfesor de MatemticaItskatzu Educacin Integral

Sra. Ana Margarita Angulo C.Profesora de MatemticaC.T.P. 27 de Abril

Sr. Carlos Edo Gmez GarcaProfesor de MatemticaSindea Jcara

Sr. Cristian CaldernProfesor de MatemticaLiceo Julio Fonseca Gutirrez

Sr. Alexander Solano G.Profesor de MatemticaLiceo Unesco

Sra. Andrea AriasProfesora de MatemticaC.T.P. de Heredia

Sr. Carlos Gnzalez A.Profesor de MatemticaLiceo de Cervantes

Sr. Cristian Chvez Z.Profesor de MatemticaLiceo Alejandro Aguilar Machado

Sra. Alexandra Mata DelgadoProfesora de MatemticaC.T.P. General de PrezZeledn

Sra. Andrea Jimnez JimnezProfesora de MatemticaLiceo Sta. Ana

Sr. Carlos MoraProfesor de MatemticaColegio de los ngeles

Sr. Cristian Peralta CruzProfesor de MatemticaLiceo El Carmen de Nandayure

Sr. Alexis Torres OrtegaProfesor de MatemticaLiceo San Diego Tres Ros

Sra. Andrea MadrigalProfesora de MatemticaLiceo Len Cortez Castro

Sr. Carlos RetanaProfesor de MatemticaGreen Valley

Sr. Cristian Rojas CarrilloProfesor de MatemticasLiceo Experimental Bilinge Losngeles.

Sr. Alfonso Mora FallasProfesor de MatemticaJohn F. Kennedy High School

Sra. Andrea VenegasProfesora de MatemticaDeportivo Santo Domingo

Sra. Carmen Liley MonteroProfesora de MatemticaLiceo Experimental BilingeGrecia, Alajuela

Sra. Cristina Snchez LariosProfesora de MatemticaRincn Grande de Pavas

Sr. Alfonso RojasProfesor de MatemticaColegio Sta. Gertrudis

Sra. Andreina Vsquez RojasProfesora de MatemticaC.T.P. Bolvar

Sra. Carmen Quesada V.Profesora de MatemticaLiceo Escaz

Sr. Daniel CspedesProfesor de MatemticaLiceo Coronado

Sr. Allan Chanto ToleivaProfesor de MatemticaLiceo Nocturno San PedroPrez Zeledn

Sr. Andrs CubilloProfesor de MatemticaSan Enrique de Osso

Sra. Carmen RodrguezProfesora de MatemticaSan Paul College

Sr. Daniel LenProfesor de MatemticaC.T.P. Platanales

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Sr. Allan MairenaProfesor de MatemticaLiceo San Jos

Sr. Ariel GmezProfesor de MatemticaColegio Talamanca

Sra. Carolina FloresProfesora de MatemticaSaint Benedicto

Sr. Danny Gaitn RodrguezProfesor de MatemticaLiceo Francisco Amigutti

Sr. lvaro Barbosa SalasProfesor de MatemticaLiceo Pacto del Jocote

Sra. Beatriz MonteroProfesora de MatemticaEsc. Internacionales Cristianas

Sra. Cecilia Prez SalasProfesora de MatemticaLiceo Poasito

Sr. David Alexis Alfaro AlfaroProfesor de MatemticaLiceo Sta. Gertrudis Norte

Sr. David Alfaro VquezProfesor de MatemticaLiceo Nocturno NuevasOportunidades

Sr. Eliecer Madrigal DelgadoProfesor de MatemticaBilinge Naciones Unidas

Sr. Francisco Quesada S.Profesor de MatemticaInst. Pedaggico Caminante

Sra. Hannia Leiva FallasProfesora de MatemticaLiceo Sina Diurno

Sr. David SolanoProfesor de MatemticaEnrique Malavassi Vargas

Sr. Emanuel Alvarado R.Profesor de MatemticaColegio Telesecundaria MaraDrake

Sra. Gabriela BonillaProfesora de MatemticaInstituto CentroamericanoAdventista

Sr. Harold CamposProfesor de MatemticaCentro Educativo CatlicoSan Jos

Sra. Denia RodrguezProfesora de MatemticaBilinge del Caribe

Sr. Erick Araya UrtadoProfesor de MatemticaLiceo las Delicias

Sra. Gabriela ZigaProfesora de MatemticaLiceo Experimental Moravia

Hctor Castro CastilloProfesor de MatemticaColegio Marco Tulio Salazar

Sra. Denia Salas NuesProfesora de MatemticaColegio Patriarca San Jos

Sr. Erick Gmez U.Profesor de MatemticaC.T.P. Ambientalista Isaas Ret.Arias

Sr. Gerardo Arroyo BrenesProfesor de MatemticaLiceo Ambientalista

Sra. Heilyn Vargas C.Profesora de MatemticaC.T.P Platanales

Sr. Diego Gmez ChavarraProfesor de MatemticaLiceo Costa Rica

Sra. Erika Urea FallasProfesora de MatemticaC.T.P. Prez Zeledn San Isidro

Sr. Gerardo RamrezProfesor de MatemticaLiceo regional de Flores

Sr. Henrry VillarrealProfesor de MatemticaColegio Los Delfines

Sra. Dilsia Navarro DurnProfesora de MatemticaI.E.G.B. Limn

Sr. Ernesto Villareal BarrantesProfesor de MatemticaC.T.P. Cartagena

Sr. Gerardo Rodrguez BarriosProfesor de MatemticaLiceo Turrcares

Sra. Mariela SolanoProfesora de MatemticaColegio Los Delfines

Sra. Doriana Quirs AriasProfesora de MatemticaLiceo Coronado

Sra. Estefannie BarbosaProfesora de MatemticaColegio Nocturno Hernn LpezHernndez

Sr. Gilberto MonteroProfesor de MatemticaLiceo Samuel Senz Flores

Sr. Helbert Jimnez ChinchillaProfesor de MatemticaLiceo Costa Rica

Sr. Edgar CamposProfesor de MatemticaLiceo Diurno de Ciudad Coln

Sra. Estrella Len HernndezProfesora de MatemticaLiceo Santa Cruz

Sra. Gloria BadillaProfesora de MatemticaColegio Pacto del Jocote

Sr. Hubert MongeProfesor de MatemticaLiceo Nocturno MonseorRubn Odio

Sr. Eduardo Robles UreaProfesor de MatemticaSindea Upala

Sra. Ethilma Jimnez R.Profesora de MatemticaInstituto Guanacaste

Sra. Gloria BadillaProfesora de MatemticaLiceo Sabanilla

Sra. Ileana Cascante V.Profesora de MatemticaLiceo Nocturno Juan Santamara

Sr. Eduardo RodrguezProfesor de MatemticaLiceo Edgar Cervantes Villalta

Sra. Eva Arevalo PorrasProfesora de MatemticaI.P.E.C. de Barva de Heredia

Sra. Grettel Guitirrez RuizProfesora de MatemticaLiceo Utilio Ulate Blanco

Sra. Ileana Lescano R.Profesora de MatemticaC.T.P Talamanca Bribri Limn

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Sr. Edwin Alfaro ArceProfesor de MatemticaLiceo Sto. Domingo

Sra. Evelin Urbina GuzmnProfesora de MatemticaLiceo San Carlos

Sra. Grettel LenProfesora de MatemticaColegio Nacional Virtual

Sra. Isabel VsquezProfesora de MatemticaColegio Francis J. Orlich

Sr. Eitel Vega RodrguezProfesor de MatemticaRedentorista San Alfonso

Sr. Francisco CortezProfesor de MatemticaLiceo de Sta. Ana

Sra. Guisella TrejosProfesora de MatemticaColegio Vicente Laghner

Sr. Ivn Parra VenegasProfesor de MatemticaLiceo Platanillo Bar de Quepos

Sr. Elicer MadrigalProfesor de MatemticaAbelardo Bonilla

Sr. Francisco CortezProfesor de MatemticaU.P. Jos Rafael Araya

Sra. Hannia CecilianoProfesora de MatemticaLiceo de Cot Cartago

Sr. Javier Calvo CorderoProfesor de MatemticaLiceo Julio Fonseca

Sr. Jeffrey lvarez PrezProfesor de MatemticaColegio Nuevo Mundo

Sr. Jose Luis MassProfesor de MatemticaLiceo Jos Fidel Tristn

Sr. Kenneth MoreraProfesor de MatemticaEscuela Repblica de Nicaragua

Sr. Luis ngel RosProfesor de MatemticaC.T.P Valle de la Estrella

Sr. Jeremy Chacn CspedesProfesor de MatemticaColegio Talamanca Cahuita

Sr. Jose Rolando Cascante R.Profesor de MatemticaColegio Cindea Lomas deCocor

Sra. Kerlyn EsquivelProfesora de MatemticaColegio Puente de Piedra

Sr. Luis CastilloProfesor de MatemticaLiceo de Santa Ana

Sra. Jssica GmezProfesora de MatemticaColegio San Vicente

Sr. Juan Carlos GProfesor de MatemticaLiceo de Orosi

Sra. Laura Arroyo RojasProfesora de MatemticaLiceo Santo Domingo

Sr. Luis Diego ArayaProfesor de MatemticaCorporacin EducativaSagrado Corazn de Jess

Sra. Jssica Villalobos RojasProfesora de MatemticaTelesecundaria el Llano

Sr. Juan Carlos QuesadaProfesor de MatemticaLiceo Mauro Fernndez

Sra. Laura QuesadaProfesora de MatemticaColegio Claretiano

Sr. Luis Diego Salazar V.Profesor de MatemticaColegio Nuevas OportunidadesGrecia

Sr. Jess GutirrezProfesor de MatemticaLiceo de Nicoya

Sr. Juan Morgan MorenoProfesor de MatemticaColegio HumansticoCostarricense

Sra. Ligia Jimnez GmezProfesora de MatemticaC.T.P Nicoya

Sr. Luis Martnez GonzlezProfesor de MatemticaCindea Alberto Manuel Brenes

Sr. Jess HidalgoProfesor de MatemticaColegio Snta Josefina

Sr. Juan Pablo Rodrguez A.Profesor de MatemticaC.T.P. Ulloa

Sra. Lilliana VillalobosProfesora de MatemticaLiceo de San Carlos

Sr. Luis Rodrguez JhonsonProfesor de MatemticaC.T.P Nandayure Guanacaste

Sr. Jonathan GranadosProfesor de MatemticaLiceo Nocturno Prez Zeledn

Sra. Karen Camacho EspinozaProfesora de MatemticaCentro Educativo Pasos deJuventud

Sra. Lineth Quesada M.Profesora de MatemticaLiceo de Tucurrique

Sr. Luis Ruiz TorresProfesor de MatemticaC.T.P Carrillo

Sr. Jonathan RodrguezProfesor de MatemticaLiceo Jorge Volio

Sra. Karen Vindas MonestelProfesora de MatemticaColegio Cristiano Reformado

Sra. Lisbeth Allen DaileyProfesora de MatemticaCindea de Heredia Limn

Sr. Luis Salazar CastroProfesor de MatemticaLiceo Alfaro Ruiz

Sr. Jonny Fernndez S.Profesor de MatemticaLiceo Dulce Nombre

Sra. Karina BrenesProfesora de MatemticaColegio Agropecuario deSan Carlos

Sra. Lissette FallasProfesora de MatemticaLiceo de Curridabat

Sr. Maikel CarbajalProfesor de MatemticaColegio Santa Marta

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Sr. Jorge BrenesProfesor de MatemticaLiceo Braulio Carrillo

Sra. Karla Guevara VillegasProfesora de MatemticaLiceo de Colorado de Abangares

Sra. Lissette UlateProfesora de MatemticaLiceo Pacto del Jocote

Sr. Mainor Abarca CorderoProfesor de MatemticaLiceo de Curridabat

Sr. Jos ngel AmpieProfesor de MatemticaCristian Gnesis School

Sra. Karla Venegas ValverdeProfesora de MatemticaLiceo Experimental BilingeAugusto Briseo

Sra. Lorena Masis TorresProfesora de MatemticaLiceo Francisca Carrasco

Sr. Manrique Barrientos Q.Profesor de MatemticaLiceo de Miramar de Puntarenas

Sr. Jos ngel AmpieProfesor de MatemticaLiceo Nuevo de Hatillo

Sra. Katherine SandProfesora de MatemticaLiceo de Mata de Pltano

Sra. Lorena Rojas DonatoProfesora de MatemticaLiceo de Coronado

Sr. Manuel ArtaviaProfesor de MatemticaLiceo Tcnico de Purral

Sr. Jos Carlos CalvoProfesor de MatemticaLiceo Nocturno MonseorRubn Odio

Sr. Kenneth lvarezProfesor de MatemticaLiceo de Moravia

Sra. Lucia Mata VindasProfesora de MatemticaLiceo Hernn Zamora Elizondo

Sr. Manuel QuirsProfesor de MatemticaInstituto Educativo San Gerardo

Sr. Manuel VillegasProfesor de MatemticaLiceo de San Roque

Sra. Mara RojasProfesora de MatemticaLiceo Braulio Carrillo

Sr. Marvin MuozProfesor de MatemticaLiceo La Gucima

Sr. Norberto Oviedo UProfesor de MatemticaLiceo de Heredia

Sra. Marcela Arce SotoProfesora de MatemticaLiceo San Nicols

Sra. Maricela AlfaroProfesora de MatemticaLiceo de San Roque

Sra. Maureen Castro MesnProfesora de MatemticaColegio Laboratorio San Jos

Sra. Olga Segura AlfaroProfesora de MatemticaU.P. Jos Mara Zeledn

Sr. Marcial CorderoProfesor de MatemticaLiceo San Gabriel

Sra. Mariela JimnezProfesora de MatemticaLiceo de San Carlos

Sra. Maureen Mora BadillaProfesora de MatemticaLiceo Rincn Grande de Pavas

Sra. Olga Vargas CortezProfesora de MatemticaCentro Educativo Mi Patria

Sr. Marco GuevaraProfesor de MatemticaColegio Santa Ins

Sra Maril BallesterosProfesora de MatemticaColegio Valle del Sol

Sra. Maureen RojasProfesora de MatemticaLiceo de Santa Ana

Sra. Olga Vargas CortezProfesora de MatemticaColegio Rodrigo Hernndez

Sr. Marco SolsProfesor de MatemticaColegio Cientfico y Artstico delPacfico

Sr. Mario CartachoProfesor de MatemticaColegio Adventista Paso Canoas

Sr. Mauricio Muoz JimnezProfesor de MatemticaLiceo Brasilia de Upala

Sr. Omar Quesada GonzlezProfesor de MatemticaLiceo de Pos

Sr. Marcos Angulo CisnerosProfesor de MatemticaC.T.P. 27 de abril

Sra. Marisol Benel AlamaProfesora de MatemticaLiceo La Aurora

Sr. Mauricio Pearanda FallasProfesor de MatemticaLiceo San Gabriel

Sr. Oscar Cruz MontanoProfesor de MatemticaLiceo de Pavas

Sr. Marcos ChacnProfesor de MatemticaLiceo Bolvar de Grecia

Sra. Marisol Ramos FloresProfesora de MatemticaInstituto de Alajuel

Sra. Mayela Abarca CorderoProfesora de MatemticaLiceo de Curridabat

Sr. Oscar Marn GonzlezProfesor de MatemticaC.T.P. Carrisal de Alajuela

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Sra. Margel Valverde S.Profesora de MatemticaLiceo de Sabanilla

Sra. Marisol Ramos FloresProfesora de MatemticaLiceo del Carmen

Sr. Michael Chvez MadrigalProfesor de MatemticaC.T.P Cartagena Guanacaste

Sr. Oscar Mario CastilloProfesor de MatemticaC.T.P. Liberia

Sra. Margot Castro R.Profesora de MatemticaInstituto Educativo San Gerardo

Sra. Marjorie Navarro NezProfesora de MatemticaColegio de Turrialba

Sr. Miguel ngel SnchezProfesor de MatemticaColegio La Aurora

Sr. Oscar Reyes PeascoProfesor de MatemticaI.P.E.C.

Sra. Mara AmeliaProfesora de MatemticaI.P.F La Pradera

Sra. Marta MataProfesora de MatemticaColegio Mara Auxiliadora

Sra. Mirta BritoProfesora de MatemticaColegio Educativo Royal

Sr. Pablo Leandro JimnezProfesor de MatemticaColegio Nocturno de Siquirres

Sra. Mara Hernndez H.Profesora de MatemticaLiceo del Este

Sra. Martha E Ulate QuesadaProfesora de MatemticaLiceo San Marcos de Tarraz

Sra. Mnica BlancoProfesora de MatemticaColegio Ilpal

Sr. Pablo Leandro JimnezProfesor de MatemticaColegio San Judes

Sra. Mara Mayela Gonzlez G.Profesora de MatemticaLiceo Rural Coope-Silencio

Sr. Martn Martnez ChvezProfesor de MatemticaC.T.P. Tronadora

Sra. Nasly Giraldo G.Profesora de MatemticaLiceo de San Jos

Sr. Pedro MoreraProfesor de MatemticaLiceo de Atenas

Sra. Mara OviedoProfesora de MatemticaColegio Castella

Sr. Martn Martnez ChvezProfesor de MatemticaColegio Nocturno de Tilarn

Sr. Nestor CerdasProfesor de MatemticaColegio Ambientalista El Roble

Sr. Rafael Arce LpezProfesor de MatemticaC.T.P. Puntarenas

Sr. Randall VillalobosProfesor de MatemticaColegio Ambientalista El Roble

Sra. Ruth Bent CastroProfesora de MatemticaLiceo de Curridabat

Sra. Tania CrdobaProfesora de MatemticaColegio San Rafael

Sr. William GuillnProfesor de MatemticaColegio Virtual

Sr. Ral Badilla RamrezProfesor de MatemticaLiceo San Miguel

Sr. Samuel Arevalo VsquezProfesor de MatemticaC.T.P. Acosta

Sra. Tatiana Quesada C.Profesora de MatemticaLiceo de Tarraz

Sr. Willy TorresProfesor de MatemticaLiceo Sina Prez ZelednDiurno

Sra. Rebeca Monge MoraProfesora de MatemticaC.T.P. Acosta

Sra. Sandra Rodrguez HerreraProfesora de MatemticaC.T.P. Sabanilla

Sra. Thais Sandi MenaProfesora de MatemticaLiceo San Rafael Arriba

Sra. Xenia ParkerProfesora de MatemticaLiceo Centro EducativoAdventista de C.R.

Sr. Ricardo Chvez SnchezProfesor de MatemticaC.T.P. Corralillo

Sr. Santiago Bustos C.Profesor de MatemticaC.T.P. Cartagena Guanacaste

Sr. Vctor RetanaProfesor de MatemticaLiceo del Sur

Sra. Xinia AcuaProfesora de MatemticaLiceo Purral

Sr. Ricardo VenegasProfesor de MatemticaLiceo de Curridabat

Sr. Santiago Zamora CastilloProfesor de MatemticaC.T.P. Valle la Estrella

Sra. Victoria MatarritaProfesora de MatemticaColegio Virtual Alajuela

Sra. Xinia EspinosaProfesora de MatemticaLiceo San Francisco de Ass

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Sr. Ricardo ZigaProfesor de MatemticaInstituto de Educacin Integral

Sra. Seidy Parajeles GranadosProfesora de MatemticaC.T.P. Tronadora TilarnGuanacaste

Sra. Vivian Lizano ArroyoProfesora de MatemticaLiceo Luis Noble Segreda

Sra. Xinia RomnProfesora de MatemticaColegio Campestre

Sr. Roberto Rojas BadillaProfesor de MatemticaColegio Madre del Divino Pastor

Sr. Sergio Morales RosalesProfesor de MatemticaColegio Tcnico RegionalSanta Cruz

Sra. Viviana Guevara EsquivelProfesora de MatemticaC.T.P. Nicoya

Sra. Yajaira Rodrguez VillegasProfesora de MatemticaLiceo Rural de Manzanillo

Sr. Rodolfo Bustos MarchenaProfesor de MatemticaLiceo Maurilio Alvarado

Sra. Shirley Gonzlez A.Profesora de MatemticaC.T.P. Quepos

Sra. Viviana Guevara EsquivelProfesora de MatemticaLiceo de Nicoya

Sra. Yamileth ZumbadoProfesora de MatemticaLiceo de Heredia

Sr. Romn Ruiz C.Profesor de MatemticaLiceo Experimental BilingeSanta Cruz

Sra. Silvia FonsecaProfesora de MatemticaSaint Gabriel High School

Sra. Viviana SolsProfesora de MatemticaSaint Gregory School

Sra. Yanin Gutirrez SolsProfesora de MatemticaColegio Mara Inmaculada deSan Carlos

Sr. Ronald Ros RodrguezProfesor de MatemticaC.T.P. Cardinal de Carrillo

Sra. Silvia PaniaguaProfesora de MatemticaFormacin Integral Montecarlo

Sra. Wendy Herrera MoralesProfesora de MatemticaINA. Orotina

Sra. Yasmn Orozco SanchoProfesora de MatemticaC.T.P. La Mansin

Sra. Rosibell Castro RodrguezProfesora de MatemticaC.T.P. Liceo de Coronado

Sra. Sonia MirandaProfesora de MatemticaColegio San Lorenzo

Sra. Wendy TijerinoProfesora de MatemticaC.T.P. Ulloa

Sra. Yeini Barrantes NProfesora de MatemticaLiceo Manuel Benavides

Sra. Rosibell VallejosProfesora de MatemticaLiceo Mauro Fernndez

Sra. Susan JimnezProfesora de MatemticaC.T.P. Mercedes Norte

Sr. Werner JurezProfesor de MatemticaLiceo Anastasio

Sra. Yelba GutirrezProfesora de MatemticaLiceo Teodoro Picado

Sr. Roy Lauren SanabriaProfesor de MatemticaC.T.P. Humberto Melloni

Sra. Susan MoralesProfesora de MatemticaColegio Marista Alajuela

Sr. Wilbert VargasProfesor de MatemticaSamuel Senz Flores

Sra. Yendri Salas ValverdeProfesora de MatemticaLiceo Regional de Flores

Sra. Yendri SandovalProfesora de MatemticaLiceo San Diego

Sra. Yendri SotoProfesora de MatemticaUnidad Pedaggica San Diego

Sra. Yessenia RodrguezProfesora de MatemticaLiceo el Ambientalista El Roble

Sr. Yoahan Gmez GarroProfesor de MatemticaC.T.P. Jcara

Sra. Yolanda Elizondo G.Profesora de MatemticaUnidad PedaggicaCaldern Guardia

Sra. Yorleni GmezProfesora de MatemticaLiceo Sucre

Sra. Yuri Lobo HernndezProfesora de MatemticaColegio La Aurora

Sra. Yuri QuintanillaProfesora de MatemticaColegio Adventista Limn

Sra. Zeidy ChvezProfesora de MatemticaLiceo Castro Madriz

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NDICE

UNIDAD I: RELACIONES Y LGEBRA1. Ecuaciones cuadrticas con una incgnita. 13

2. Problemas que involucran, en su solucin, ecuaciones cuadrticas con una

incgnita.22

3. Factorizacin de polinomios en forma completa, mediante la combinacin de

mtodos.

30

4. Concepto de relacin. 48

5. Concepto de variable dependiente y de variable independiente en las

relaciones.

49

6. Relaciones que corresponden a funciones. 52

7. Relaciones que corresponden a funciones, cuyo criterio est modelado por

expresiones algebraicas sencillas.

59

8. Dominio, codominio, mbito, imagen y preimagen de funciones. 62

9. Dominio mximo de funciones 73

10.Representacin grfica de una funcin. 79

11.Rgimen de variacin de una funcin. 84

12.Magnitudes directamente proporcionales. 87

13.Concepto de funcin lineal. 88

14.Concepto de pendiente y de interseccin de funciones lineales. 90

15.Problemas relacionados con la ecuacin de la recta. 96

16.Ecuacin de una recta paralela o perpendicular a otra recta dada. 100

17.Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos variables. 105

18.Problemas con sistemas de ecuaciones de primer grado con dos variables. 110

19.Funcin cuadrtica. 113

20.Concepto de la funcin inversa. 124

21.Funcin exponencial. 133

22.Ecuaciones exponenciales. 136

23.Funcin logartmica. 138

24.Ecuaciones logartmicas. 141

25.Ecuaciones logartmicas y exponenciales aplicando las propiedades de los

logaritmos.

143

26.Ecuaciones exponenciales de la forma P x Q xa b 146

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UNIDAD IRELACIONES YLGEBRA

Conocimientos Habilidades especficasEcuaciones Ecuaciones de segundo grado con

una incgnita Races Discriminante Conjunto solucin

Expresiones algebraicas Polinomios Factorizacin

Funciones Cantidades constantes Cantidades variables Dependencia Independencia Elementos para el anlisis de una

funcin Dominio mbito Codominio Imagen Preimagen

Funcin lineal Representacin algebraica Representacin tabular Representacin grfica La recta Pendiente Interseccin Creciente Decreciente Sistema de ecuaciones

lineales

1. Analizar el nmero de races de una ecuacin de segundo grado con una incgnita a partirdel discriminante.

2. Resolver ecuaciones de segundo grado de la forma 2ax c , utilizando el mtodo deldespeje.

3. Resolver ecuaciones de segundo grado de la forma 2 0ax bx , utilizando factorizacin yel mtodo del despeje.

4. Resolver ecuaciones de segundo grado de la forma 2 0ax bx c , utilizando la frmulageneral.

5. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado con una incgnita.6. Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con una incgnita.7. Factorizar trinomios de segundo grado con una variable mediante los siguientes mtodos:

inspeccin, frmula notable, frmula general.8. Factorizar en forma completa polinomios de tres o cuatro trminos con una o dos variables

mediante los siguientes mtodos: Factor comn y frmula notable, grupos y factor comn,grupos y diferencia de cuadrados.

9. Distinguir entre cantidades constantes y variables.10. Identificar y aplicar relaciones entre dos cantidades variables en una expresin matemtica.11. Identificar si una relacin dada en forma tabular, simblica o grfica corresponde a una

funcin.12. Evaluar el valor de una funcin dada en forma grfica o algebraica, en distintos puntos de su

dominio13. Interpretar hechos y fenmenos mediante relaciones que corresponden a funciones.14. Identificar el dominio, codominio, mbito, imgenes y preimgenes de una funcin a partir de

su representacin grfica.15. Determinar el dominio mximo de funciones con criterio dado por expresiones algebraicas

sencillas tales como: expresiones polinomiales de una variable; expresiones racionales condenominador de la forma ,ax b ,a b reales; expresiones radicales de ndice par consubradical de la forma ,ax b ,a b reales.

16. Identificar situaciones del entorno que pueden ser expresadas algebraicamente en la formay ax b .

17. Representar en forma tabular, algebraica y grfica una funcin lineal (incluidas la identidad yla constante).

18. Determinar la pendiente y las intersecciones con los ejes de coordenadas de una funcinlineal dada en forma grfica o algebraica.

19. Analizar la monotona de una funcin lineal dada en forma tabular, grfica o algebraica.20. Determinar la ecuacin de una recta a partir de su pendiente y un punto que pertenece a la

recta.

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12 RELACIONES Y LGEBRA

GRUPO FNIX

Conocimientos Habilidades especficas Funcin cuadrtica Representacin algebraica Representacin tabular Representacin grfica La parbola: Concavidad,

simetra, vrtice Interseccin Creciente Decreciente

La funcin inversa Inyectividad Sobreyectividad Grfica de la funcin inversa Inversa de una funcin lineal Inversa de una funcin

cuadrtica La funcin exponencial y la

ecuacin exponencial La funcin logartmica y la

ecuacin logartmica

21. Determinar la ecuacin de una recta a partir de dos puntos que pertenecen a la recta.22. Determinar la ecuacin de una recta paralela a otra recta dada.23. Determinar la ecuacin de una recta perpendicular a otra recta dada.24. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante funciones lineales.25. Identificar situaciones que se modelan por un sistema de ecuaciones lineales con dos

variables.26. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante un sistema de

ecuaciones lineales con dos variables.27. Identificar situaciones del entorno que pueden ser modeladas por una funcin cuadrtica.

28. Representar grficamente una funcin con criterio 2y ax bx c .29. Determinar el dominio, mbito, concavidad, simetras, vrtice y las intersecciones con los

ejes de coordenadas de una funcin cuadrtica dada en forma grfica o algebraica.30. Analizar la monotona de una funcin cuadrtica dada en forma tabular, grfica o algebraica.31. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante funciones

cuadrticas.32. Identificar situaciones del entorno que involucran funciones inversas.33. Identificar las condiciones para que una funcin tenga inversa.34. Relacionar la grfica de una funcin con la grfica de su inversa, considerando el concepto

de eje de simetra.35. Determinar intervalos en los cuales una funcin representada grficamente tiene inversa.36. Determinar el criterio de las funciones inversas correspondientes a funciones con criterio de

la forma:

, 0,f x mx b m 2 , 0g x ax c a h x x b c , , ,a b c m reales.37. Identificar situaciones del entorno que involucran funciones exponenciales.38. Caracterizar la funcin exponencial de acuerdo a su criterio, dominio, mbito.39. Representar en forma tabular, algebraica y grfica una funcin exponencial.40. Analizar la monotona de una funcin exponencial dada en forma tabular, grfica o

algebraica.41. Determinar el conjunto solucin de una ecuacin exponencial que se reduce a la forma

, ,P x Q xb b P x Q x polinomios de grado menor que 3.42. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante una funcin

exponencial.43. Identificar situaciones del entorno que involucran funciones logartmicas.44. Caracterizar la funcin logartmica de acuerdo a su criterio, dominio, mbito.45. Representar en forma tabular, algebraica y grfica una funcin logartmica.46. Analizar la monotona de una funcin logartmica dada en forma tabular, grfica o algebraica.47. Aplicar las propiedades de la funcin logartmica.48. Determinar el conjunto solucin de una ecuacin logartmica que se reduce a la forma

loga logaf x g x .49. Determinar el conjunto solucin de una ecuacin exponencial que se reduce a la forma

P x Q xa b , ,P x Q x polinomios de grado menor que 3.

50. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante una funcinlogartmica.

Versi

n El

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ica

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nix

RELACIONES Y LGEBRA 13

GRUPO FNIX

ECUACIONES CUADRTICAS CON UNA INCGNITA

Una ecuacin cuadrtica o de segundo grado en una variable con coeficientes reales es unaecuacin que puede escribirse como 2 0ax bx c donde a, b, c son constantesreales, con 0a .

I Caso: 2ax c

Las ecuaciones que se pueden expresar de la forma 2ax c con a, c constantes reales,se resuelven simplemente despejando la variable x y luego, calculando la raz cuadradaen ambos lados de la igualdad.

Ejemplo 1Resolver la ecuacin 28 512x

Ejemplo 2Resolver la ecuacin 26 246 0x

2

2

2

8 512

5128

64

64 8

: 8,8

x

x

x

x

S

2

2

2

2

6 246 0

6 246

2466

41

41

: 41, 41

x

x

x

x

x

S

Ejemplo 3Resolver la ecuacin 2 5 4 5x x x

Ejemplo 4Resolver la ecuacin 3 2 3 2 0x x

2

2

0

2

5 4 5

5 5 4

4

4

: 2,2

x x x

x x x

x

x

S

29 4

2

2

2

3 2 3 2 0

9 4 0

9 4

49

4 29 3

2 2: ,

3 3

x

x x

x

x

x

x

S

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rial G

rupo F

nix


GRUPO FNIX

Trabajo cotidiano # 11. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadrticas

a) 22 8x

b) 23 27x

c) 24 64x

d) 25 125x

e) 26 216x

f) 22 8x

g) 23 27x

h) 24 64x

i) 25 125x

j) 26 216x

k) 2 49x

l) 2 64x

m) 2 81x

n) 2 100x

o) 2 121x

p) 22 8 0x

q) 23 27 0x

r) 24 64 0x

s) 25 125 0x

t) 26 216 0x

u) 2 64 0x

v) 2 81 0x

w) 2 100 0x

x) 2 121 0x

y) 22 10 8 10x x x

z) 23 7 27 7x x x

aa) 24 13 64 13x x x

bb) 25 42 125 42x x x

cc) 26 101 216 101x x x

dd) 2 3 9 40 3x x x

ee) 2 5 4 60 5x x x

ff) 2 3 10 91 3x x x

gg) 2 15 115x x x

hh) 2 11 14 135 11x x x

ii) 2 2 0x x jj) 2 3 2 3 0x x kk) 3 4 3 4 0x x ll) 5 6 5 6 0x x mm) 7 10 7 10 0x x nn) 2 2 5 5x x x x oo) 2 3 2 3 13 13x x x x pp) 3 4 3 4 11 11x x x x qq) 5 6 5 6 12 12x x x x rr) 7 10 7 10 2x x x

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rupo F

nix


GRUPO FNIX


II Caso: 2 0ax bx c Las ecuaciones que se pueden expresar de la forma 2 0ax bx c con a, b, c

constantes reales, se pueden resolver por Frmula General.

Procedimiento:

1. Se identifica el valor de a, b, c en el polinomio y se calcula el discriminante ( )

2 4b ac

2. Se realiza el estudio del discriminante:

Valor del Interpretacin

0 La ecuacin tiene dos soluciones

0 La ecuacin tiene una soluciones

0 La ecuacin NO tiene soluciones reales

3. Se calculan las soluciones con la Frmula General:

Frmula general para ecuacionescuadrticas

2b

xa

Forma alternativa

1 2b

xa

2 2

bx

a

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rupo F

nix


GRUPO FNIX


II Caso: 2 0ax bx c

Ejemplo 1Resolver la ecuacin 22 5 3 0x x

Ejemplo 2Resolver la ecuacin 2 16 63m m

1. Se calcula el discriminante ( )

2

2

4

5 4 2 3 49

b ac

2. El discriminante es positivo ( 0 ),

entonces la ecuacin tiene dos soluciones

3. Se calculan las soluciones:

Primera solucin Segunda solucin

1

1

25 7 3

2 2

bx

a

x

2

2

25 7 1

2 2 2

bx

a

x

1: 3,

2S


2

2

4

16 4 1 63 4

b ac





1

1

216 2 9

2 1

bm

a

m

2

2

216 2 7

2 1

bm

a

m

: 9,7S

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nix


GRUPO FNIX


II Caso: 2 0ax bx c

Ejemplo 3Resolver la ecuacin 3 2 11 2x x x

Ejemplo 4

Resolver la ecuacin 2 32 42

x xx

1. Ordenamos la ecuacin de la forma

2

2

2

3 2 11 2

3 6 11 23 6 11 2 0

3 17 2 0

x x x

x x x

x x x

x x


23 , 17 , 2

17 4 3 2

265

a b c

3. El discriminante es positivo ( 0 ),entonces la ecuacin tiene dos soluciones



1

1

1

217 265

2 317 265

6

bx

a

x

x

2

2

2

217 265

2 317 265

6

bx

a

x

x

17 265 17 265: ,

6 6S


2

2

2

2 2

2 2

2

3421 28 3

22

4 8 3

4 8 34 8 3 0

5 3 8 0

x xx

x xx

x x x

x x x

x x x

x x


25 , 3 , 8

3 4 5 8

169

a b c





1

1

1

23 132 5

10 110

bx

a

x

x

2

2

2

23 132 516 8

10 5

bx

a

x

x

8: 1 ,

5S

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rupo F

nix


GRUPO FNIX

Trabajo cotidiano # 2

1. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadrticas

a) 22 3 1 0x x

b) 23 2 1 0x x

c) 22 5 2 0x x

d) 24 3 1 0x x

e) 22 7 3 0x x

f) 25 4 1 0x x

g) 22 9 4 0x x

h) 26 7 1 0x x

i) 22 11 5 0x x

j) 27 8 1 0x x

k) 22 1 0x x

l) 24 4 1 0x x

m) 22 3 2 0x x

n) 29 6 1 0x x

o) 22 5 3 0x x

p) 216 8 1 0x x

q) 22 7 4 0x x

r) 225 10 1 0x x

s) 22 9 5 0x x

t) 236 12 1 0x x

u) 2 3 2x x

v) 2 4 3x x

w) 2 5 4x x

x) 2 6 5x x

y) 2 7 6x x

z) 2 2x x

aa) 2 2 3x x

bb) 2 3 4x x

cc) 2 4 5x x

dd) 2 5 6x x

ee) 23 2 1x x

ff) 24 3 1x x

gg) 25 4 1x x

hh) 26 7 1x x

ii) 27 8 1x x

jj) 24 4 1x x

kk) 29 6 1x x

ll) 216 8 1x x

mm) 225 10 1x x

nn) 236 12 1x x oo) 3 2 3 3x x pp) 4 2 1x x

qq) 5 3 2 5x x rr) 6 2 5 12x x ss) 7 4 3 7x x tt) 8 2 7 24x x uu) 8 11 6 5x x x vv) 3 12 9 10 12x x x ww) 4 4 7 10 4x x x xx) 3 9 9 4 8x x x yy) 7 10 10 9 1x x x zz) 15 11 44 16 1x x x

aaa) 2 7 32

4x x

x

bbb) 2 7 314 28

2x x

x

ccc) 2 43 5

3x x

x

ddd) 2 54 6

4x x

x

eee) 2 3 15 2

5x x

x

fff) 2 3 11

2x x

x

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GRUPO FNIX


III Caso: 2 0ax bx

Las ecuaciones que se pueden expresar de la forma 2 0ax bx con a, b constantesreales, se pueden resolver por Frmula General. Es importante sealar que este es un caso

particular del II Caso porque 0c .

Ejemplo 1

Resolver la ecuacin 2 23 2 2 12x x x x

Ejemplo 2

Resolver la ecuacin 2 21 2 1 0x x 1. Ordenamos la ecuacin de la forma

2 2

2 2

2

3 2 2 123 2 2 12 0

5 10 0

x x x x

x x x x

x x


25 , 10, 0

10 4 5 0

100

a b c

3. El discriminante es positivo ( 0 ),entonces la ecuacin tiene dos soluciones



1

1

1

210 102 5

0 010

bx

a

x

x

2

2

2

210 102 5

20 210

bx

a

x

x

: 0, 2S


2 2

2 2

2 2

2

1 2 1 0

2 1 4 4 1 0

2 1 4 4 1 0

3 6 0

x x

x x x x

x x x x

x x


23 , 6, 0

6 4 3 0

36

a b c





1

1

1

26 6

2 312 2

6

bx

a

x

x

2

2

2

26 6

2 30 06

bx

a

x

x

: 2,0S

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n El

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ica

Edito

rial G

rupo F

nix


GRUPO FNIX


1. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadrticas

a) 2 23 3 4x x x x

b) 2 22 4 3x x x x

c) 24 4 6x x

d) 23 6 1 1 2x x x

e) 22 5 3 3x x x

f) 22 10 8 8 11x x x

g) 23 6 27 27 7x x x

h) 2 24 13 64 13x x x x

i) 2 25 42 125 42x x x x

j) 2 26 111 216 101x x x x

k) 2 2 223 9 40 31x x x x x

l) 2 2 22 4 60 5x x x x x

m) 2 2 213 10 91 3x x x x x

n) 2 2 215 115x x x x x

o) 2 2 211 14 135 11x x x x x

p) 2 5 6 6x x

q) 2 4x x

r) 23 0x x

s) 26 0x x

t) 23 3 3 0x x

u) 25 2 2 2 3 4x x x x x

v) 2 22 2 1 3 1x x x

w) 24 4 4x x x

x) 7 2 4 1 2 8x x x x

y) 2 5 6 1 3 1 2 5x x x x

z) 4 1 2 3 5 2 3 2 7x x x x x

aa) 6 3 1 32

xx x

bb)21 2 1

2 3 6x x

cc)2 2

33 2

x x x xx

dd)2 1 3 52 4 4

x x

ee)2 1 11 13 3

xx

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rial G

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GRUPO FNIX

Ejercicios de profundizacin1. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadrticas

a) 21 (2 ) ( 1)x x x b) 2 1 3 3x x

c) 22 0x x

d) 23 2 2 2x x x

e)1 1 22 xx x

f)3 164

2 2x

x x

g) 21 2

1 1x x

h) 2 22 3 1

4x x x

i) 13 5 32 2x

x x

j) 4 3 6x x

k) 3 2 3 2 3x x x

l) 1 1 5x x

m) 21 2 3x x

n) 2 1 2x x

o) 2 26 5x a ax

p) 1 2 2 2 1x x

q)

8 26 142 3 2 3

x x

x x x x

r) 1 2 5x x

s) 2 2 3 2x x x x x x

t) 2 2 2 5 3x x x

u) 52 1 23

xx x x

x

v) 3 23 2 4 0x x x

w) 2 5 4x x

x) 232 333 2 1

x

x x x

y) 7 2 2 4 22

x k kx

z) 25 4 14 3

2 3 2 3 4 9x

x x x

aa) 4 24 13 9 0x x

bb) 21 2 1x x

cc)2

5 3 24 2 8x x x

dd)2

22 7 16 2

6 2 3x x x

x x x x

ee) 4 24 5 0x x

ff)2 13 33 4 4 0x x

gg)10 51 12 7 5

2 2x x

hh) 4 22 23 3 2 3 3 3x x x x

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GRUPO FNIX

RESOLUCIN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRTICAS

En la solucin de problemas es importante considerar el mtodo que plante George Polya

(Matemtico Hngaro), sugiriendo cuatro pasos:

1. Entender el problema.

2. Configurar un plan de solucin.

3. Ejecutar el plan de solucin.

4. Mirar hacia atrs (la respuesta satisface lo establecido en el problema?)

Ejemplo 1

Celeste desea calcular la medida del ancho de un rectngulo que tiene las siguientes

caractersticas: La medida de la diagonal excede en 1 al largo y en 8 al ancho.

Plan de solucin:

Suponiendo un caso particular Caso general

Ejecucin del plan de solucin:

2 2 22 2 2

2

1 2

1 8

2 1 16 6418 65 0

13 5

x x x

x x x x x

x x

x x

Respuesta: Celeste calcul que la medidadel ancho del rectngulo mide 5, porque al

sustituir los valores en 8x se obtiene unnmero positivo, siendo ste la medida del

ancho.

100

99

92 8x

1x

x

Versi

n El

ectrn

ica

Edito

rial G

rupo F

nix


GRUPO FNIX

RESOLUCIN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRTICAS

En la solucin de problemas es importante considerar el mtodo que plante George Polya

(Matemtico Hngaro), sugiriendo cuatro pasos:

1. Entender el problema.

2. Configurar un plan de solucin.

3. Ejecutar el plan de solucin.

4. Mirar hacia atrs (la respuesta satisface lo establecido en el problema?)

Ejemplo 2

Gustavo Adolfo desea calcular el permetro de un cuadrado que tiene las siguientes

caractersticas: Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 6, entonces el

rea del cuadrado que se forma es cuatro veces el rea del cuadrado original.

Plan de solucin:

Cuadrado original Cuadrado aumentado

Ejecucin del plan de solucin:

2 22 2

2

1 2

6 412 36 4

3 12 36 06 2

x x

x x x

x x

x x

Respuesta: Gustavo Adolfo calcul que elpermetro del cuadrado original mide 24.

xx

x

x

6x

6x

6x6x

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GRUPO FNIX

Trabajo cotidiano # 41. Resuelva los siguientes problemas utilizando ecuaciones cuadrticas

a) La medida de la diagonal de un rectngulo excede en 1 al largo y en 2 al ancho. Cul es

la medida del ancho del rectngulo?

b) La medida de la diagonal de un rectngulo excede en 5 al largo y en 10 al ancho. Cul

es la medida del largo del rectngulo?

c) La medida del ancho de un rectngulo es 7cm menor que el largo y 14cm menor que la

diagonal. Cul es la medida de la diagonal del rectngulo?

d) La medida del ancho de un rectngulo es 8cm menor que el largo y 16cm menor que la

diagonal. Cul es la medida de la diagonal del rectngulo?

e) La medida del largo de un rectngulo es 9cm menor que la diagonal y 9cm mayor que el

ancho. Cul es la medida del largo del rectngulo?

f) La medida del largo de un rectngulo es 10cm menor que la diagonal y 10cm mayor que

el ancho. Cul es la medida del ancho del rectngulo?

g) Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 2, entonces el rea del

cuadrado que se forma es cuatro veces el rea del cuadrado original. Cul es el

permetro del cuadrado original?

h) Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 3, entonces el rea del

cuadrado que se forma es cuatro veces el rea del cuadrado original. Cul es el

permetro del cuadrado original?

i) Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 8, entonces el rea del

cuadrado que se forma es nueve veces el rea del cuadrado original. Cul es el rea

del cuadrado original?

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GRUPO FNIX

j) Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 15, entonces el rea del

cuadrado que se forma es diecisis veces el rea del cuadrado original. Cul es el rea

del cuadrado aumentado?

k) Si el rea de un terreno rectangular mide 672m2 y el largo excede al ancho en 4m,

entonces determine la longitud del largo del rectngulo.

l) Si en un rectngulo, el permetro mide 34cm y el rea es de 72cm2, entonces determine

las dimensiones del rectngulo.

m) El rea de un rectngulo es 24. Si el largo es igual a 2 aumentado en el doble del ancho,

entonces determine la longitud del largo del rectngulo.

n) Si aumentamos el lado de un cuadrado en 9cm y disminuimos el otro lado tambin en

9cm, obtenemos con estas nuevas dimensiones un rectngulo de rea 144 cm2.

Determine los lados del rectngulo.

o) Si una sala de sesiones tiene 12m ancho y 14m de largo, y quieren alfombrarla, excepto

un borde de ancho uniforme, entonces determine las dimensiones que deber tener la

alfombra si su rea es de 80m2

p) Si la suma de dos nmeros es 36 y su producto 323, entonces determine cules son esos

nmeros.

q) La suma de dos nmeros es 42 y su producto es 432. Determine los dos nmeros.

r) La suma de dos nmeros es 16, la diferencia de sus cuadrados es 32. Hallar los

nmeros.

s) Considere dos nmeros pares consecutivos, tal que el cuadrado del mayor sumado al

menor equivale a 810. Determine cules son los nmeros.

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GRUPO FNIX

Ejercicios de profundizacina) Los tres lados de un tringulo rectngulo son proporcionales a los nmeros 3, 4 y 5. Halla

la longitud de cada lado sabiendo que el rea del tringulo es 24 2m .

b) Un jardn rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho est rodeado por un camino de

arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su rea es 540 2m .

c) Calcula las dimensiones de un rectngulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es

semejante a otro rectngulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

d) Halla un nmero entero sabiendo que la suma con su inverso es265

.

e) Dos cadas de agua, A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por s solo

en tres horas menos que B. Cuntas horas tarda a cada uno separadamente?

f) Los lados de un tringulo rectngulo tienen por medidas en centmetros tres nmeros

pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.

g) Una pieza rectangular es 4 cm ms larga que ancha. Con ella se construye una caja de

840 cm3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes.

Halla las dimensiones de la caja.

h) Un cao tarda dos horas ms que otro en llenar un depsito y abriendo los dos juntos se

llena en 1 hora y 20 minutos. Cunto tiempo tardar en llenarlo cada uno por separado?

i) La suma de las reas de dos crculos es 276 y la diferencia entre las medidas de susrespectivos radios es 8. Cul es la medida del radio del crculo menor?

j) Un trozo de alambre de 100 2cm de largo, se corta en dos y cada pedazo se dobla paraque tome la forma de un cuadrado. Si la suma de las reas formadas es 397 2cm ,

encuentre la longitud de cada pedazo de alambre.

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n El

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GRUPO FNIX

k) Un hombre desea usar 6 3m de concreto para construir el piso de un patio rectangular. Si

la longitud del patio debe ser el doble de ancho y el grosor del piso debe ser de 8cm ,encuentre las dimensiones del patio.

l) Se quiere construir un barril de petrleo cilndrico y cerrado con una altura de 4 metros,

de manera que el rea superficial total sea de 210 m . Determine el dimetro del barril.

m) Cuando el precio de una marca popular de aparatos de videos es de $300 (dlares) por

unidad, una tienda vende 15 unidades a la semana. Cada vez que el precio se reduce en

$10, sin embargo, las ventas aumentan en 2 unidades a la semana. Qu precio de venta

debe ponerse para obtener ingresos mensuales de $7000(dlares)?

n) Dos muchachos con radio-transmisores salen del mismo lugar a las 9:00 a.m, uno de

ellos camina hacia el sur a 4km/h y el otro camina hacia el oeste a 3km/h. Cunto

tiempo pueden comunicarse si cada radio tiene un alcance de 2km?

Trabajo extraclase # 1

1. Considere las siguientes ecuaciones

I. 2 4 0x II. 2 2 1 0x x Cules de ellas no tienen soluciones reales?

A) AmbasB) Ninguna

C) Solo la ID) Solo la II

2. El conjunto solucin de 5 2 1 9x x x x esA) 6B) 5,5

C) 5, 5D) 1 6,1 6

3. El conjunto solucin de 222 2 20 2x x x esA) 8 , 2

B) 6 , 4

C) 6 , 4

D)82 ,

3

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GRUPO FNIX

4. Una solucin de 21 43 2 5

4x

x x

es

A)32

B)76

C)1 2 2

2

D)1 73

12

5. El conjunto de la solucin de 222 3 1x x x es

A)1 5 1 5

,

2 2

B)3 5 3 5

,

2 2

C)3 21 3 21

,

6 6

D)5 13 5 13

,

6 6

6. El conjunto solucin de 223 9 3x x x esA) 3

B)32

C)3

, 32

D)3

, 32

7. Una solucin de 4 2 1x x es

A)14

B)3

2

C)31

2

D)51

2

8. Considere el siguiente enunciado: La diferencia de los cuadrados de dos nmerosnaturales consecutivos es 17. Hallar los nmeros. Si x representa el mayor de losnmeros, una ecuacin que permite resolver el problema anterior es

A) 2 2 1 17x x B) 2 2 1 17x x

C) 22 1 17x x D) 22 1 17x x

9. Si el rea de un terreno rectangular mide 896m2 y el largo excede al ancho en 4m,entonces cul es la longitud en metros del largo del rectngulo?

A) 28B) 30

C) 32D) 34

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GRUPO FNIX

10.El producto de dos nmeros positivos es 2. Si el nmero mayor excede en1710

al menor,

entonces cul es el nmero mayor?

A) 52

B)45

C)25

D)3

1011.El rea de un rectngulo es 15. Si el largo es igual a 4 aumentado en el triple del ancho,

entonces cul es la longitud del largo del rectngulo?

A) 13

B)78

C)35

D) 912.La suma de dos nmeros es 23 y su producto 102. Cules son esos nmeros?

A) 17 y 6 B) 7 y 30

C) 11 y 12D) 6 y 17

13.Si el rea de un rombo es 6,4 y la longitud de una diagonal es un quinto del cudruplo dela longitud de la otra diagonal, entonces cul es la medida de la diagonal de mayorlongitud?

A)165

B)169

C) 4

D) 2

14.El producto de dos nmeros negativos es 90. El nmero mayor excede en siete a untercio del nmero menor. Cul es el nmero menor?

A) 3B) 9

C) 30D) 10

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GRUPO FNIX

FACTORIZACIN DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE

I Mtodo: Frmula General

La frmula general adems es til para la factorizacin de un polinomio de la forma

2ax bx c con a, b, c constantes reales y 0c

Procedimiento:

1. Se identifica el valor de a, b, c en el polinomio y se calcula el discriminante ( )

2 4b ac

2. Se realiza el estudio del discriminante:

Valor del Interpretacin

0 El polinomio es factorizable como el producto

de dos factores distintos

0 El polinomio es factorizable como el producto

de dos factores iguales

0 El polinomio NO es factorizable

3. Se calculan los valores de x con la Frmula General:

Frmula general

2b

xa

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Ejemplo 1Factorice el polinomio 24 12 9x x

Ejemplo 2Factorice el polinomio 25 2x x


2

2

4

12 4 4 9 0

b ac

2. El discriminante es cero ( 0 ),

entonces el polinomio es factorizable

como el producto de dos factores iguales.

3. Se calculan los valores de x :

Primer factor Segundo factor

1

1

212 0 3

2 4 2

bx

a

x

12 3x

2

2

212 0 3

2 4 2

bx

a

x

22 3x

2

22

/ : 4 12 9 2 3 2 3

4 12 9 2 3

R x x x x

x x x

1. Ordenamos el polinomio de la forma

22 5x x


2

2

4

1 4 2 5 39

b ac

3. El discriminante es negativo ( 0 ),

entonces el polinomio NO es factorizable.

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GRUPO FNIX



Ejemplo 3

Factorice el polinomio 22 5 3x x

Ejemplo 4

Factorice el polinomio 216 63y y


2

2

2 , 5, 3

4

5 4 2 3

49

a b c

b ac

2. El discriminante es positivo ( 0 ),entonces el polinomio es factorizable

como el producto de dos factores distintos

3. Se calculan los valores de x :


1

1

1

1

25 7

2 2124

3

bx

a

x

x

x

1 3x

2

2

2

2

25 7

2 22

41

2

bx

a

x

x

x

22 1x

2/ : 2 5 3 3 2 1R x x x x

1. Ordenamos el polinomio de la forma2 16 63y y


2

2

1 , 16, 63

4

16 4 1 63

4

a b c

b ac

3. El discriminante es positivo ( 0 ),entonces el polinomio es factorizable

como el producto de dos factores distintos

4. Se calculan los valores de y :


1

1

1

1

216 2

2 1182

9

bya

y

y

y

1 9y

2

2

2

2

216 2

2 1142

7

bya

y

y

y

1 7y

2/ : 16 63 9 7R y y y y

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GRUPO FNIX


1. Factorice los siguientes trinomios de segundo grado utilizando la Frmula General.

a) 22 3 1x x

b) 23 2 1x x

c) 22 5 2x x

d) 24 3 1x x

e) 22 7 3x x

f) 25 4 1x x

g) 22 9 4x x

h) 26 7 1x x

i) 22 11 5x x

j) 27 8 1x x

k) 22 1x x

l) 24 4 1x x

m) 22 3 2x x

n) 29 6 1x x

o) 22 5 3x x

p) 216 8 1x x

q) 22 7 4x x

r) 225 10 1x x

s) 22 9 5x x

t) 236 12 1x x

u) 23 2x x

v) 24 3x x

w) 25 4x x

x) 26 5x x

y) 27 6x x

z) 2 2x x

aa) 22 3x x

bb) 23 4x x

cc) 24 5x x

dd) 25 6x x

ee) 23 18y y

ff) 22 15y y

gg) 22 1y y

hh) 2 7 60a a

ii) 210 3 11a a

jj) 29 25 30a a

kk) 240 100 4m m

ll) 29 4 12m m

mm) 2 169 26m m

nn) 224 144m m

oo) 210 15 20n n

pp) 213 90m m

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GRUPO FNIX


II Mtodo: Inspeccin

Se utiliza para polinomios de la forma 2ax bx c , con , ,a b c y 0a . Lafactorizacin de dicho polinomio debe ser de la forma 2ax bx c Ax B Cx D ,donde , ,A B C son nmeros enteros con , ,A C a B D c y A D B C b .

Caso generalEjemplo 1


1. Se buscan los factores para 2ax y c

2. Se expresa la factorizacin 2ax bx c Ax B Cx D

1. Se buscan los factores para 2 3y

2. Se expresa la factorizacin 22 5 3 3 2 1x x x x



1. Se buscan los factores para6 10y

2. Se expresa la factorizacin 26 23 10 3 10 2 1x x x x

1. Se buscan los factores para 4 9y

2. Se expresa la factorizacin de

224 12 9 2 3 2 3 2 3x x x x x

3x

2 1x

22 5 3x x

1 2 3 5x x x

3 10x

2 1x

26 23 10x x

3 1 2 10 23x x x

2 3x

2 3x

24 12 9x x

2 3 2 3 12x x x

C x D

A D B C b

2ax bx c Ax B

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GRUPO FNIX


1. Factorice los siguientes trinomios de segundo grado utilizando Inspeccin.

a) 22 3 1x x

b) 23 2 1x x

c) 22 5 2x x

d) 24 3 1x x

e) 22 7 3x x

f) 25 4 1x x

g) 22 9 4x x

h) 26 7 1x x

i) 22 11 5x x

j) 27 8 1x x

k) 22 1x x

l) 24 4 1x x

m) 22 3 2x x

n) 29 6 1x x

o) 22 5 3x x

p) 216 8 1x x

q) 22 7 4x x

r) 225 10 1x x

s) 22 9 5x x

t) 236 12 1x x

u) 23 2x x

v) 24 3x x

w) 25 4x x

x) 26 5x x

y) 27 6x x

z) 2 2x x

aa) 22 3x x

bb) 23 4x x

cc) 24 5x x

dd) 25 6x x

ee) 23 18y y

ff) 22 15y y

gg) 22 1y y

hh) 2 7 60a a

ii) 210 3 11a a

jj) 29 25 30a a

kk) 240 100 4m m

ll) 29 4 12m m

mm) 2 169 26m m

nn) 224 144m m

oo) 24 2 6x x

pp) 26 3 9x x

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III Mtodo: Frmula Notable

Se utiliza para polinomios de la forma 2ax bx c , con , ,a b c y 0a .1. Se calcula 2ax y c

2. Se determina si 22 ax c bx

3. En caso de ser cierto el procedimiento # 2 se expresa 22 2ax bx c ax c Ejemplo 1

Factorice el polinomio 225 70 49x x Ejemplo 2

Factorice el polinomio 220 100y y 1. Se calcula

225 5x x y 49 72. Se determina si

2 5 7 70x x 3. El procedimiento # 2 es cierto, entonces

2225 70 49 5 7x x x

1. Se calcula2y y y 100 10

2. Se determina si

2 10 20y y 3. El procedimiento # 2 es cierto, entonces

22 220 100 20 100 10y y y y y

Trabajo cotidiano # 71. Factorice los siguientes trinomios de segundo grado utilizando Frmulas Notables.

a) 2 2 1x x b) 24 4 1x x c) 29 6 1x x d) 216 8 1x x e) 225 10 1x x f) 2 4 4x x g) 24 12 9x x h) 29 24 16x x i) 216 40 25x x j) 225 60 36x x k) 2 6 9x x l) 24 20 25x x m) 29 42 49x x n) 225 40 16x x o) 2 2 1x x

p) 24 4 1x x q) 29 6 1x x r) 216 8 1x x s) 225 10 1x x t) 2 4 4x x u) 24 12 9x x v) 29 24 16x x w) 216 40 25x x x) 225 60 36x x y) 2 6 9x x z) 24 20 25x x aa) 29 42 49x x bb) 236 60 25x x cc) 225 40 16x x dd) 236 60 25x x

ee) 249 28 4b b ff) 2 1 2w w gg) 225 9 30x x hh) 216 4 16x x

ii)2

14a

a

jj)2

14b b

kk)2

2 99n

n

ll)2 21

9 3b b

mm)24 1

9 3 16x x

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IV Mtodo: Teorema del factor

Un polinomio f x tiene un factor x d si y slo si 0f d . En nuestro caso, unpolinomio de la forma 2ax bx c , con , ,a b c y 0a , tiene un factor x d si yslo si 0f d .Procedimiento:

1. Se determinan los divisores de c

1 2 3: , , ,... nDivisores d d d d2. Se determina uno de los divisores que cumpla que 0f d .3. Se realiza la divisin sinttica entre 2ax bx c y x d para determinar el

cociente, es decir el segundo factor del polinomio.

Ejemplo 1


Procedimiento:

1. Se determinan los divisores de 3

: 1, 3Divisores 2. Se determina uno de los divisores que cumpla que 0f d .

23 2 3 5 3 3 0f 3. Se realiza la divisin sinttica entre 22 5 3x x y 3x para determinar el cociente,

es decir el segundo factor del polinomio.

Cociente: 2 1x

4. La factorizacin del polinomio 22 5 3 3 2 1x x x x

2 5 3 3

261

3

0

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Trabajo cotidiano # 81. Factorice los siguientes trinomios de segundo grado utilizando el teorema del factor.

a) 22 3 1x x

b) 23 2 1x x

c) 22 5 2x x

d) 24 3 1x x

e) 22 7 3x x

f) 25 4 1x x

g) 22 9 4x x

h) 26 7 1x x

i) 22 11 5x x

j) 27 8 1x x

k) 22 1x x

l) 24 4 1x x

m) 22 3 2x x

n) 29 6 1x x

o) 22 5 3x x

p) 22 7 4x x

q) 22 9 5x x

r) 23 2x x

s) 24 3x x

t) 25 4x x

u) 26 5x x

v) 27 6x x

w) 2 2x x

x) 22 3x x

y) 23 4x x

z) 24 5x x

aa) 25 6x x bb) 23 18y y

cc) 22 15y y

dd) 22 1y y

ee) 2 7 60a a ff) 2 169 26m m gg) 224 144m m


IV Mtodo: Teorema del factor


1. Se determinan los divisores de 4 : 1, 2, 4Divisores

2. Se determina uno de los divisores que cumpla que 0f d . 22 2 4 2 4 0f

3. Se realiza la divisin sinttica entre 2 4 4x x y 2x para determinar el cociente,es decir el segundo factor del polinomio.

Cociente: 2x 4. La factorizacin del polinomio 22 4 4 2 2 2x x x x x

1 4 4 2

122

4

0

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FACTORIZACIN COMPLETA DE POLINOMIOS DE TRES Y CUATRO TRMINOS CONUNA O DOS VARIABLES

Factor Comn y Frmula Notable

Ejemplo 1Factorice de forma completa el polinomio

228 28 7x y xy y


3 2 2 2 28 40 507 7 7

x y x y xy

1. Se determina el factor comn delpolinomio

2

2

28 28 77 4 4 1

x y xy y

y x x

2. Se factoriza el trinomio de segundo grado

2

2

7 4 4 1

7 2 1

y x x

y x

1. Se determina el factor comn delpolinomio

2 22 4 20 257 xy x x 2. Se factoriza el trinomio de segundo grado

2 2

22

2 4 20 2572 2 57

xy x x

xy x

Ejemplo 3Factorice de forma completa el polinomio 3 2 2 1x x x x

1. Se determina el factor comn del polinomio

3 2

2 2

2 1

2 1

x x x x

x x x x

2. Se factoriza el trinomio de segundo grado:

2 2

22

2 1

1

x x x x

x x x

3. Se factoriza la expresin que est dentro del parntesis cuadrado utilizando diferencia decuadrados:

22 1

1 1

x x x

x x x x x

4. Se simplifican los factores

1 1

1 12 1 1

2 1

x x x x x

x x x x x

x x

x x

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GRUPO FNIX

Trabajo cotidiano # 91. Factorice de forma completa los siguientes polinomios.

a) 3 218 12 2x y x y xy

b) 4 3 248 24 3x y x y x y

c) 3 3 2 3 34 16 16x y x y xy

d) 4 2 3 2 2 245 120 80x y x y x y

e) 3 4 5 4 4 4150 54 180x y x y x y

f) 250 80 323 3 3

x y xy y

g) 3 264 64 165 5 5

x y x y xy

h) 2 2 2 3 284 147 1211 11 11

x y xy x y

i) 2 3 4 3 3 336 16 487 7 7

x y x y x y

j) 3 4 4 4 5 4125 120 45

3 3 3x y x y x y

k) 3 2 10 25x x x x

l) 3 2 4 4x x x x

m) 4 2 2 6 9x x x x

n) 5 3 24 4 1x x x x

o) 6 4 29 12 4x x x x

p) 5 2 72 9 24 16 8x x x x

q) 6 2 816 9 30 25 36x x x x

r) 7 2 9125 16 40 25 80x x x x

s) 2 38 1825 20 43 3x x x x

t) 3 2 54 925 30 95 80x x x x

u) 3 2 22xy xy x xy y

v) 4 2 2 24 4xy xy x xy y

w) 5 3 2 26 9xy xy x xy y

x) 2 3 2 2 24 4x y x y x xy y

y) 3 3 3 2 29 12 4x y x y x xy y

z) 3 4 3 2 2 29 24 16x y x y x xy y

aa) 2 2 216 40 25xy xy x xy y

bb) 4 2 4 4 2 225 20 4x y x y x xy y

cc) 4 2 225 30 9xy xy x xy y

dd) 3 5 2 29 30 25x y xy x xy y

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Grupos y Factor Comn


23 8 6 4x y xy x


23 4 6 2xy x y x

1. Se agrupan los trminos de dos en dos

tomando como criterio que cada

agrupacin tenga factor comn

2

2

3 8 6 43 6 8 4x y xy x

x xy y x

2. Se determina el factor comn de cada

agrupacin

23 6 8 4

3 2 4 2

x xy y x

x x y y x

3. Se determina el factor comn entre los

dos grupos

3 2 4 23 2 4 2

2 3 4

x x y y x

x x y x y

x y x

1. Se agrupan los trminos de dos en dos

tomando como criterio que cada

agrupacin tenga factor comn

2

2

3 4 6 23 6 4 2xy x y x

xy y x x

2. Se determina el factor comn de cada

agrupacin

23 6 4 2

3 2 2 2

xy y x x

y x x x

3. Se determina el factor comn entre los

dos grupos

3 2 2 23 2 2 2

2 3 22 2 3

y x x x

y x x x

x y x

x x y

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GRUPO FNIX


1. Factorice de forma completa los siguientes polinomios.

a) 2 31x x x

b) 21 2 2x x x

c) 3 24 1 4x x x

d) 3 23 2 12 8x x x

e) 2 33 9 3x xy y y

f) 24 6 3 2x y xy x

g) 1 3 2 6x y xy

h) 24 3 6 2x xy y x

i) 2 28 4 5 10y x x y xy

j) n ym m yn

k) 2a a ax x

l) 3 1 3ab b a

m) 2yz z y y

n) 2 21by y b

o) 2 2 3 31ab a b a b

p) 4 43 2 3 2mx m x

q) 2 33 9 3a ab b b

r) 2 29 1 6n a an

s) 26 8 4 3mn n m m

t) 2 39 3 3ax x a x

u) 2 2 2 23 4 3 4x a x a

v) 2 22 6 3bx b x

w) 21 9 14 6x mx m

x) 2 22 2x z x z

y) 2 22 6 3b b a a

z) 4 3 4 3w m nw mn

aa) 2 2 2 33 12 4n mn nm m n

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n El

ectrn

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nix


GRUPO FNIX


Grupos y Diferencia de Cuadrados


2 210 16 25x x y


3 2x x y xy

1. Se agrupan los trminos tres a uno,

2 2

2 2

10 16 2510 25 16

x x y

x x y

2. Se factoriza el trinomio por Frmula

Notable

2 25 16x y

3. Se factoriza por diferencia de cuadrados

5 4 5 4x y x y

4. Se simplifican los factores

5 4 5 4x y x y

1. Se agrupan los trminos de dos en dos,

3 2

3 2

x x y xy

x xy x y

2. Se factoriza uno de los binomios por

factor comn

2 2x x y x y

3. Se factoriza uno de los binomios por

diferencia de cuadrados

x x y x y x y

4. Se factoriza toda la expresin por factor

comn y se simplifica

2

1

1

x y x x y

x y x xy

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GRUPO FNIX

Trabajo cotidiano # 111. Factorice de forma completa los siguientes polinomios.

a) 2 2 22ab a b c

b) 2 26 9n n c

c) 2 2 22ac a c b

d) 2 2 22xz x z y

e) 2 22 1ax a x

f) 2 24 4 1x y xy

g) 2 2 22a ab b x

h) 2 22 1a a b

i) 2 22 1a a c

j) 2 225 1 2a m a

k) 225 10 9n n

l) 2 2 29 6a b c bc

m) 2 2 29 4 4x m am a

n) 2 224 9 1 16xy x y

o) 2 29 1 16 24x a ax

p) 2 2 29 4 6y x ay a

q) 2 2 4 2x y x x xy

r) 3 22 3 3 2x x y xy

s) 4 2 2 25 5xy x x y x

t) 4 2 24 1 4x x x

u) 3 212 4 27 9x x x

v) 3 28 12 18 27x x x

w) 2 336 4 9 16x x x

x) 2 390 8 40 18x x x

y) 2 318 4 8 9x x y x y

z) 2 236 4 9a ab b

aa) 2 216 36 4 9a ab b

bb) 2 24 1 4a b ab

cc) 3 2 2 3x x y xy y

dd) 4 3 2y y y y

ee) 4 3 22 3 2 3y y y y

ff) 3 3xy y x y y

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Ejercicios de profundizacin1. Factorice de forma completa los siguientes polinomios.

a) 6 38x x

b) 2 35 32 2

x x x

c) 3 23 2 6y y y

d) 2 22 2

2

7 8 9x xb b

e) 2

2

3 16 1 xxa a

f) 2 2 3 4 3 2

12 18x x x

g) 2 24 9 10 15a b b a b

h) 2 2 24 12 4 9m ab a b

i)

2 2

2

15 122 2

m mp mp pm m

j)

22 3 2 2

21 1

b a ba b a ba a

k) 23 28 10 3q q p q q p q

l) 23 215 4 2 3 4 2 3y y x y y x y

m) 2 2 2 2q p q q p q p p q p p q

n) 4 2 3b ba a

o) 3 2 410 am m

p) 3 2 1z zs s

q) 22 3n nx x

r) 1 2 1 1a ax x

s) 2 2j x jm m

t) 45 a b a b nz z

u) 2 4 31 5 1mx x

v) 1 3 12 2a am m

w) 3 1 3 2x xa b a b

x) 2 1 22 2my y

y) 2 1 1 2 1 2 1 2m m mx x x

z) 2 3 2 3 2n nx y x y

aa) 2 2 415 2 5 2 mx x

bb) 1

24 8

n nb a b a ba a

cc) 2 1 3 2 1 1

4 8

x xk k

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Trabajo extraclase # 21. Al factorizar 3 2 1a a a un factor es

A) 1aB) 2 1a

C) 2 1a D) 22 1a

2. Un factor del polinomio 249 2 3x corresponde aA) 5 3xB) 5 3x

C) 25 xD) 2 1 2 5x x

3. Al factorizar 2 26x ax a uno de los factores esA) 3x aB) 2x a

C) 6x aD) 2x a

4. Al factorizar 26 2x x uno de los factores esA) 2 2x B) 3 2x

C) 2 2x D) 3 2x

5. La factorizacin de 2 3

164x

es

A) 1 5 112

x x

B) 1 5 112

x x

C) 1 5 114

x x

D) 1 5 114

x x

6. Un factor de 2 1 2x y y esA) 1x B) 2 y

C) 1x y D) 1x y

7. Un factor de 24 1 1x x y esA) 1xB) 1y

C) 2 1x y D) 2 1x y

8. Un factor de 2 26 3 6 3y x x y esA) x yB) x y

C) 2x y D) 2x y

9. Al factorizar 2 2 4 4a b b uno de los factores esA) 1 bB) a b

C) 2a b D) 2a b

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10.La expresin 2 22 1x y x factorizada corresponde aA) 1 1y x y x B) 1 1y x y x

C) 1 1y x y x D) 1 1y x y x

11.En la factorizacin completa de 21

2 2

xx uno de los factores es

A) 2 1x

B) 2 1x

C)12

x

D)12

x

12.En la factorizacin completa de 3 2 28 4 8 4x x y x xy uno de los factores esA) x yB) 1x

C) 2x yD) 2 1x

13.En la factorizacin completa de 6 38x x uno de los factores esA) 2x B) 32x

C) 2 4 4x x D) 2 2 4x x

14.En la factorizacin completa de 316 4x x uno de los factores esA) 2 1x B) 22 1x

C) 24 2 1x x D) 24 2 1x x

15.Una factorizacin de 4 2 2 44 12 9x x y y esA) 4 44 6x yB) 22 22 3x y

C) 22 22 3x yD) 2 2 2 22 3 2 3x y x y

16.Uno de los factores de 2 2 3 4 3 2x x x esA) 4x B) 2x

C) 3 2xD) 2 4x

17.Uno de los factores de 2 2 2k p k p esA) 2 pB) 22 p

C) 2 2k pD) 2k p

18.En la factorizacin completa de 2 24 4y x x uno de los factores esA) 4x B) 2y

C) 2y x D) 2y x

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CONCEPTO DE RELACIN

El concepto de relacin implica la idea de correspondencia entre los elementos de dosconjuntos.

Ejemplo 1 Ejemplo 2Analicemos mediante un diagrama elsiguiente caso donde existe una relacinentre estudiantes y su edad.

Analicemos el siguiente caso donde existeuna relacin entre estudiantes y el nmerode miembros de su familia.

Ejemplo 3Analicemos el siguiente caso donde la relacin o correspondencia es comprar.Cuatro estudiantes, Carlos, Mara, Jos y Laura, ingresan a la librera, que entre otrascosas ofrece: lpices, lapiceros, plumas, cuadernos, reglas, borradores, hojas blancas,flder, clips, grapas, etc. Luego de observar lo que la librera les ofreca: Carlos compr lapiceros, un cuaderno y un borrador; Mara compr dos borradores y una regla; Jos compr un lpiz; Laura no compr.

Podemos decir que los estudiantes forman un conjunto A y los tiles que ofrece la librera unconjunto B para representarlo de la siguiente forma:

En este caso Laura fue a la librera pero no compr nada, por lo tanto en una relacinpueden sobrar elementos en ambos conjuntos.

Mary

Rosy

Celeste

Gustavo

5

3

4

6

RA B

Mary

Rosy

Celeste

Gustavo

13

17

15

14

RA B

16

Carlos

Mara

Jos

Laura

lpizplumascuadernosreglasborradoreshojasflderlapiceros

A B

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VARIABLE DEPENDIENTE Y VARIABLE INDEPENDIENTE

Variables Variable independiente Variable dependienteEs todo aquello que puedeasumir diferentes valores.

Es aquella propiedad de unfenmeno a la que se le va aevaluar su capacidad parainfluir, incidir o afectar a otrasvariables.

Es la caracterstica queaparece o cambia cuando seaplica, suprime o modifica lavariable independiente.

Ejemplo 1Podemos decir que los estudiantes son la variable independiente (conjunto A) y los tilesque ofrece la librera son la variable dependiente (conjunto B):

Ejemplo 2Si se paga a 350 colones la hora. El salario de un trabajador depende de las horas quetrabaje. El salario ser igual a 350 por el nmero de horas trabajadas.Si S : salario y h : horas trabajadas entonces

Esto significa que el valor de la variable S depende del valor del variable h . Es decir,entre ms horas trabaje mayor es su salario.

Ejemplo 3Un ciclista viaja a una velocidad constante durante cierto tiempo, recorre una distancia igualal producto de la velocidad por el tiempo transcurrido, es decir, d v t Esto significa que si el cuerpo viaja a 5 /m s se puede determinar cul es la distanciarecorrida con solo saber el tiempo trascurrido.La distancia depende de la duracin (tiempo) del recorrido.Si d : distancia y t : tiempo de recorrido, entonces

Carlos

Mara

Jos

Laura

lpizplumascuadernosreglasborradoreshojasflderlapiceros

A B

350S harv iable independientevar iab le dependiente

5d tarv iable independientevar iab le dependiente

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VARIABLE DEPENDIENTE Y VARIABLE INDEPENDIENTE

Ejemplos de variables

Variables independientes Variables dependientes

Nmero de fotocopias Precio total de las fotocopias

Tiempo Distancia

Velocidad Distancia

Medida del radio Longitud de la circunferencia

Medida del radio rea de la circunferencia

Medida del ancho de un rectngulo Permetro del rectngulo

Medida del largo de un rectngulo Permetro del rectngulo

Velocidad inicial de un objeto lanzado haciaarriba Altura

Tiempo Altura

Trabajo cotidiano # 11. A continuacin se presentan relaciones de variables que son comunes en nuestra vida.

Determine cul es variable dependiente y cual es independiente.

a) El salario de un constructor depende de la cantidad de horas trabajadas por semana.b) La produccin de azcar en un ingenio es proporcional a la cantidad de caa que se

produce.c) El salario de un pen en una finca depende de la cantidad de horas trabajadas por

semana.d) La cantidad de diputados por partido poltico es proporcional a la cantidad de votos que

obtenga en una eleccin.e) Que un equipo de ftbol quede campen depende de la cantidad de juegos que gane en

todo el torneo.f) La cantidad de vacunas contra la gripe AH1N1 es proporcional a la cantidad de personas

en riesgo.g) Que un estudiante apruebe el curso lectivo depende del promedio de sus notas en los

tres trimestres.h) La pobreza de un pas depende de la cantidad de impuestos que se cobran se destinen

para brindar nuevas oportunidades a los ciudadanos.i) La capacidad de procesar informacin de una computadora depende de la velocidad de

su procesador.j) La capacidad de una computadora para almacenar informacin depende de la capacidad

de almacenamiento de su disco duro.

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CONTENIDOS DE PROFUNDIZACINDESPEJE DE VARIABLE

Consiste en resolver una ecuacin para una determinada variable, pero en trminos de las

otras variables. De una frmula original se puede derivar al menos otra ms.

Ejemplo 1 Ejemplo 2La frmula del movimiento lineal casi siempre

se escribe

Supongamos que un determinado problema

nos plantea como variable dependiente la

velocidad v, entonces simplemente

despejamos

dv

t

El rea de un tringulo es igual al producto

de la base por la altura dividido por 2.

2bhA

Si la variable dependiente fuese h, quedara

la frmula as:

Si la variable dependiente fuera b, quedara

la frmula as

2Abh

Trabajo cotidiano # 21. De las frmulas que se presentan a continuacin obtenga nuevas frmulas despejando

las variables indicadas.

a) despejarf i iV V

a Vt

b) despejarf iV V at t

c) despejarf i fV V

g Vt

d) 2 22 despejarf i igh V V V

e)2 despejarhtb hg

f)22 despejarhtv gg

g) 3 despejar

2n n

D n

h) despejar2

DdA d

222

2

bhA

A bhA h

bAh

b

arv iableindependiente

arv iabledependiente

d v t

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CONCEPTO DE FUNCIN

En el primer objetivo de esta unidad hemos analizado el concepto de relacin o

correspondencia entre dos conjuntos, en los cuales basta con que exista una conexin o un

criterio que los relacione. Para entender mejor el concepto de funcin analicemos los

siguientes ejemplos.

Ejemplo 1

Tres estudiantes, Carlos, Mara y Jos, ingresan a la librera, que entre otras cosas ofrece:

lpices, lapiceros, plumas, cuadernos, reglas, borradores, hojas blancas, flder, clips,

grapas, etc. Luego de observar lo que la librera les ofreca:

Carlos compr un borrador; Mara compr dos borradores; Jos compr un lpiz.

Podemos decir que los estudiantes forman un conjunto A y los tiles que ofrece la librera un

conjunto B para representarlo de la siguiente forma:

Cules son las diferencias entre este ejemplo y el que se plante en el objetivo estudiado

anteriormente en la pgina 68?

Carlos

Maria

Jos

Lpiz

Plumas

Cuadernos

Reglas

Borradores

Hojas

A B

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CONCEPTO DE FUNCIN

Ejemplo 2

Analicemos el siguiente caso donde existe una relacin entre estudiantes y su edad.

En este caso encontramos que cada uno de los elementos del Conjunto A se relaciona con

un nico elemento del Conjunto B. Es decir, cada estudiante se relaciona con un niconmero que representa su edad.

Mediante un diagrama podemos representar la informacin.

Podemos observar lo siguiente:

1) Todos los elementos del Conjunto A se relacionaron con algn elemento del Conjunto B,

o sea, no sobraron elementos en el Conjunto A (Conjunto de Salida).

2) Contrario al Conjunto A, notamos que existen elementos del Conjunto B que no fueron

seleccionados por elementos del Conjunto A. Es decir, sobraron elementos en el

Conjunto B (Conjunto de llegada).

MaryRosy

PedroJuan

13

1715

14

R

A B

16

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CONCEPTO DE FUNCIN

Ejemplo 3

Analicemos el siguiente caso donde existe una relacin entre es

matematica décimo

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