matemática básica(ing.)1 sesión 10.2 vectores en el plano

Matemática Básica(Ing.) 1

Sesión 10.2

Vectores en el Plano


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Talleres: Ver horarios en el panel (aula C -12).

Práctica calificada N°3Hora: sábado 24 de 9:00 a 11:00


Habilidades

1. Define y representa vectores en dos dimensiones.

2. Calcula la magnitud de un vector.

3. Efectúa operaciones con vectores.

4. Define y representa vectores unitarios.

5. Determina los componentes de un vector utilizando su ángulo de dirección.


Habilidades

6. Define el producto punto de vectores y deduce sus propiedades.

7. Calcula el ángulo entre dos vectores.

8. Define en interpreta la ortogonalidad entre dos vectores.

9. Determina la proyección de un vector sobre otro.

10. Descompone un vector en componentes perpendiculares.

11. Aplica los vectores a situaciones reales.


Consideraciones previas

http://www.acienciasgalilei.com/videos/vectores.htm




Introducción

¿ Cómo podemos determinar la fuerza F con la cual se desliza el niño por el plano inclinado, si el peso combinado del niño y del trineo es de 140 kilos fuerza?

¿Qué fuerza T debe realizar una persona si desea jalar el trineo para que este no se deslice ?

F

W

N

300

T


Es cualquier magnitud matemática o física que se pueda representar solamente por un número real.

Ejemplos: longitud, área, volumen, temperatura, etc.

Magnitud Escalar

Magnitud Vectorial

Conceptos previos: Magnitudes

Son aquellas entidades en las que además del número que las determina, se requiere conocer la dirección.

Ejemplos: desplazamiento, fuerza, aceleración, etc.

El ente matemático que representa a estas magnitudes se llama vector.


Definición de Vectores bidimensionales

Un vector bidimensional v es un par ordenado denúmeros reales, expresados en forma decomponentes como a; b. Los números a y b sonlas componentes del vector v.

La representación estándar del vector a; b es la flecha del origen al punto (a; b). La magnitud de ves la longitud de la flecha y la dirección de v es ladirección en la que apunta la flecha.

El vector 0 = 0; 0, llamado vector cero tienelongitud cero y no tiene dirección.


Un vector bidimensional v es un par ordenado de números reales .

v = se llama vector deposición, cuyo punto iniciales el origen (0; 0).

Magnitud de v: se denota por o .v v

Dirección de v: es el ángulo que forma la flecha con el semieje positivo de las abscisas.

ba;

ba;

Vectores bidimensionales

Gráficamente:

(a; b)

y

x

vect

or v

componente a(0; 0)

com

pon

en

te b


Regla terminal menos el inicial (TMI)

Si una flecha tiene punto inicial (x1; y1) y

punto terminal (x2; y2), representa al vector

x2-x1; y2-y1.

y

x

vect

or v

(0; 0) x1 x2

y1

y2

P

QPunto inicial P(x1; y1)

Punto final Q(x2; y2)

v = Q – P

v = x2-x1; y2-y1


Magnitud de un vector

Si el vector v se representa mediante la flecha de (x1; y1) a (x2; y2), se tiene: 1212 ; yyxx V

212

212 )()( yyxx v

22 ba vSi v = a; b , entonces:

y

x

|v|

(0; 0)

P(x1; y1)

Q(x2; y2)

a

b


Ejercicios

Sean P = (-2, 2), Q = (3, 4), R = (-2, 5) y S = (2, -8)

Determine las formas en componentes y la magnitud del vector, cuando:

a) RS

b) PS

c) (√2)PR

d) PS – 3PQ


Vectores unitarios

Un vector u con longitud es un vector unitario

1u

Vector unitario en la dirección de v:

vvv

vu

1

|u|=

1

v

siempre y cuando v no sea el vector cero.


Vectores unitarios canónicos

Los dos vectores unitarios i = 1; 0 y j = 0; 1son los vectores unitarios estándares o canónicos.

Cualquier vector v puede escribirse como unaexpresión en términos de los vectores unitariosestándar.

v = a; b

= a; 0 + 0; b

= a1; 0 + b0; 1

= ai + bj


Ángulo de dirección

Si v tiene un ángulo de dirección, lascomponentes de v puede calcularse utilizando lasiguiente fórmula:

sen;cos vvv

sen;cosvv

u

v

y

xcosv

senvEl vector unitario en la dirección de v es


Ejercicios

Determine un vector unitario en la dirección delvector dado:

a) v = 1; -1

b) w = 5i + 5j

Determine la forma de los componentes del vector v:

x

y

14

55°

c) d)

x

y33

136°


Producto punto de vectores

El producto punto o producto interno oproducto escalar de

u = u1; u2 y v = v1; v2 es:

u . v = u1v1 + u2v2

Propiedades:

Sean u, v y w vectores, y sea c un escalar.

1. u.v = v.u2. u.u = |u²|3. 0.u = 0

4. u.(v + w) = u.v + u.w (u + v).w = u.w + v.w5. (cu).v = u.(cv) = c(u.v)


Ángulo entre vectores

ºº 1800

y

0 rad

u

v

u vcos

u v

1 u v

cosu v

Si es el ángulo entre los vectores no nulos u y v, entonces:


Vectores ortogonales

Los vectores u y v sonortogonales sí y sólo si:

90

u

v u.v = 0

Resolver ejercicios 2, 4, 6 y 8 de la página 519 y14, 16, 18, 22 y 24 de la página 520.


Proyección de un vector sobre otro

vv

vuuv

2Proy

Si u y v son vectores no nulos, la proyección deu sobre v es:

S

v

u

P

Q

R

Los vectores u = PQ,v = PS y el vectorproyección de u sobrev, PR = proyvu.


Ejercicios

Determine la proyección de u sobre v.Luego escriba u como una suma de dos vectores ortogonales, uno de los cuales sea proyvu.

1. u = 3; -7, v = -2; -6

2. u = -2; 8, v = 9; -3


Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.

Ejercicios de la sección

6.1 y 6.2

Sobre la tarea,

está publicada en el AV Moodle.

Importante

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