tema 1: vectores -...
TRANSCRIPT
Semana 1: Tema 1: Vectores
1.1 Vectores y adición de vectores
1.2 Componentes de vectores
1.3 Vectores unitarios
1.4 Multiplicación de vectores
Vectores
Los vectores son cantidades que tienen
tanto magnitud como dirección y
sentido y que siguen ciertas reglas de
combinación.
Ejemplos: fuerza, velocidad,
aceleración, campo eléctrico, campo
magnético, etc.
Representación gráfica de
un vector
Componentes rectangulares
En tres dimensiones
SUMA DE VECTORES
(GRÁFICAMENTE)
SUMA(RESTA) DE VECTORES
(GRÁFICAMENTE)
Propiedades de la Suma de Vectores
)asociativa(ley f )e d( )f e (d b)
a)commutativ(ley ab ba a)
Vectores unitarios
Todo vector que tenga magnitud igual a
la unidad de medida se define como
vector unitario.
Ejemplo:
En general todo vector es
un vector unitario
un
n
Ejemplo 1.1:
¿Cuáles son las componentes de un
vector a en el plano xy si su dirección es
de 252° antihorario del eje x positivo y su
magnitud es de 7.34 unidades?
Respuesta :
:gráfica
siguiente lahacer podemospiden que loentender Para
.ay ahallar debemos , a es vector nuestro si decir, es
res,rectangula scomponente las pidiendo esta problema El
:Solución
Unidades7.34 Magnitud , 252
:Datos
yx
98.6y 27.2
:obteniendo
)252(34.7y )252cos(34.7
: valoresdosustituyen
)(y )cos(
: tenemosgráfica la departir A
00
yx
yx
yx
aa
senaa
asenaaa
ji
aa
asena
yx
yx
98.627.2a :Respuesta
98.6y 27.2
:obteniendo
)18cos(34.7y )18(34.7
decir es salen, no cálculo losen pues scomponente
las de signos los presente tener debemos caso esteen ,18 de
ángulo elcon trabajar podemos también queObserven
00
Ejemplo 1.2:
La componente “x” de cierto vector es de
-25 unidades y la componente “y” es de
43 unidades. ¿Cuál es la magnitud del
vector y el ángulo entre su dirección?
Respuesta:
83.59)25
43(tan)(tan
74.494325
:quesaber Debemos
:Solución
y piden nos , 43y 25 que
tenemosb : como vector nuestro osconsideram Si
:Datos
11
2222
x
y
yx
yx
b
b
bbb
b bb
:problema del gráficación representa una Hagamos
0
000
120.17y 49.74b :Respuesta
17.12083.59180180
:tenemos
positivo x eje el desde es respuesta nuestra Como
Ejemplo 1.3
Una pieza pesada de maquinaria es
elevada y deslizada a lo largo de 13 m en
un plano inclinado orientado a 22° de la
horizontal, como se muestra. (a)¿A qué
altura de su posición original es
levantada? (b)¿A qué distancia se movió
horizontalmente?
Respuesta
m. 12 b)y 5m a) :Respuesta
586.4)22(13
: tenemoscaso esteen y opuesto
cateto elcon relacionar puede se sube que lo es Como
12)22cos(13
:que lopor dado ángulo al adyacente cateto elcon
relacionar puede se pieza la avanza que lo es Como
:Solución
? b)y ? a) ;22 ;13
:Datos
msenL
L
mL
L
LLmL
y
y
x
x
xy
Ejemplo 1.4:
Una partícula viaja 20 km hacia el norte y
después 35 km en dirección 60° al oeste
del norte. Encuentre la magnitud y
dirección del desplazamiento resultante.
Respuesta:
Norte del Oeste al 60 ;35 ;90 ;20
:Datos
kmbkma
bac
entodesplazamiun dedirección y magnitudpiden Nos
.15090
ánguloun de hablando estaríamos x,las de positivo
eje el desde b de ángulo el tomamossi quedecir es
kmjic
bacbac
senbb
aa
yyyxxx
yx
yx
02.485.37305.3730
5.37y 30
:decir es
5.17)150(35y -30)150cos(35
20y 0
:Solución
22
:que de hecho el empleamos
entodesplazami vector deldirección lahallar Para
129 48km; :Respuesta
128.6651.34-180 :obtenemos positivo
x eje al Respecto ;34.5130
5.37tan)(tan 11
x
y
c
c
Ejemplo 1.5:
Dos vectores están dados por
y .
Halle:
(a) , (b) ,
( c) un vector tal que .
kjia 34
kjib 4
ba
ba
c
0cba
Respuesta:
.k3j4i5k41
j13i14k4jikj3i4ba b)
.k5j2i3k41
j13i14k4jikj3i4ba a)
:Solución
0cba :que talcHallar c)y
?ba b) ;?ba a) ;k4jiby kj3i4a
:Datos
k3j4i5
bac0cba c)
Ejemplo 1.6:
Hallar el vector unitario que se
encuentra en la dirección del vector
.
u
kjin 33
Respuesta:
:pide se que loilustrar a ayuda gráfica idea La
:Solución
kj3i3n dedirección laen cuentraen se ;?u
:Datos
kjikji
n
nu
n
nn
n
23.069.069.036.4
33
:manera siguiente la de
procedemos , dedirección laen unitarioun vector hallar Para
unitario.
un vector es no luego ,136.4133
: de magnitud la Hallemos
222
Ángulos directores
Ejemplo 1.7:
Hallar los ángulos directores del vector
.
kjin 33
Respuesta:
74.76)36.4
1(cos
y 52.46)36.4
3(cos :teAnálogamen
52.46)36.4
3(cos :decir es
)(cos)cos()cos( Como
:Solución
kj3i3n vector del y ;Hallar :Datos
1
1
1
1
n
n
n
nnn xx
x
Multiplicación de vectores
Un vector por un escalar
Producto punto o producto escalar
Producto cruz o producto vectorial
Un vector por un escalar
El producto de una escalar por
un vector , escrito , se
define que es un nuevo vector cuya
magnitud es
. El nuevo vector tiene el
mismo sentido que si es
positivo y el sentido opuesta si es
negativo.
c
a c
a
c a
ac
a cc
Producto punto o producto
escalar
Se define como:
zzyyxx babababa
)cos(
abba
Ejemplo 1.8:
Use las ecuaciones anteriores para
calcular el ángulo entre los dos vectores
.
kjibkjia 32y 333
Respuesta:
26.2245.19
18cos
74.32.5
331323cos
312333
.k3ji2 k3j3i3
cosba
cos )cos(ba
: despejando ),cos(ba :que Conocemos
:Solución
.k3ji2by k3j3i3a
vectoreslos entre ocomprendid ?,Hallar :Datos
11
22222
11
abab
ab
Producto cruz o vectorial
Se define como:
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
bac
)sen(abbac
Ejemplo 1.9:
Tres vectores suman cero, como se
ilustra. Calcule
(a) ,
(b) , y
( c ) .
ba
ca
cb
Respuesta:
k12
030
004
kji
ba luego j3by i4a
: tenemos,a de inicio elen origen el Suponiendo : víaOtra
k12k)90(ba
: xyplano elen están que Suponiendo a)
:Solución
cb c)y ca b) ;ba a)hallar ,0cba :Datos
absen
:decir es origen, mismo del saliendo
vectoreslosponer econvenient es caso este para ,? b)
ca
k12k)13.143(54k)13.143(ca :Luego
143.1336.87-180-180 luego
,180 además ,87.36)4
3(tan que Observa 1
senacsen
:decir es origen, mismo del saliendo
vectoreslosponer econvenient es caso este para ,? c)
cb
k99.11
k)87.126(53k)87.126(cb
:luego
;87.12687.3690 caso esteEn
senbcsen
Ejemplo 1.10:
Se tienen dos vectores en el plano, cuya
suma es el vector c=(3, -5), y de tal forma
que uno de los vectores sumando tiene
una magnitud de 3 y su ángulo director es
de 1.3 rad. Determine el ángulo, en rad,
que hace el vector resultante con el
segundo de los vectores.
Respuesta:
ji
jsenijaseniaa
a
ba zz
89.28.0
)3.1(3)3.1cos(3)()cos(
:decir es ,avector
del resrectángula scoordenada lashallar podemos ,y aCon
:Solución
.by c
hace que radianesen ,Hallar rad. 1.3 ,3 sea ,cba
que tal,0 donde ,by a vectoresdos los Sea :Datos
rad. 26.0)
83.519.8
05.46(cos)(cos
:obtenemos despejando ),cos(
:decir es escalar, producto el
emplear debemos vectoresdos entre ángulo elhallar Para
89.7y 2.2 :luego
,89.72.2)89.28.0(53decir es
,5389.28.0 que tenemos, Como
1-1-
bc
cb
bccb
bb
jijijib
jibjicba
yx
Ejemplo 1.11:
El producto vectorial de dos vectores es
c=(-4, 2, 0) ,de tal forma que uno de los
factores es a =(0,0,-1), determina al
segundo de los factores si su magnitud es
igual a 5.
Respuesta:
?y 4 ,2 : que concluye se aquí de
24)(100ba
:Solución
5.b si
,bhallar ,cba que tal,by a vectoreslosSean :Datos
zyx
xyyx
zyx
bbb
jijbibibjb
bbb
kji
542by 542b
:problema elpor dadas
scondicione las satisfacen que vectoresdosExisten
:Respuesta
5 :decir es b5
b2025b1645 5b Como
21
2
z
2
z
2
z
kjikji
bz
Ejemplo 1.12: Cap3 Servey N°4.
Dos puntos en el plano tienen coordenadas polares (2.50m;30.0°)
y (3.80m;120.0°). Determine a) las coordenadas cartesianas de
estos puntos y b) la distancia entre ellos.
Ejemplo 1.13: Cap3 Servey N°10.
Un avión vuela desde su campamento base hasta el lago A, a una
distancia de 280 km en una dirección de 20.0° al norte del este.
Después de dejar caer provisiones vuela hacia el lago B, ubicado
a 190 km y 30.0° al oeste del norte desde el lago A. Determine
gráficamente la distancia y la dirección desde el lago B al
campamento base.
Ejemplo 1.14: Cap3 Servey N°14.
Un perro que busca un hueso camina 3.5 m hacia el sur, después
8.2 m en un ángulo de 30.0° al norte del este y finalmente 15.0 m
al oeste. Encuentre el vector desplazamiento resultante del perro
utilizando técnica gráficas.
Ejemplo 1.15: Cap3 Servey N°30.
El vector A tiene componentes y de -8.70 cm y 15.0 cm,
respectivamente; el vector B tiene componentes x y y de 13.2
cm y -6.6 cm, respectivamente. Si A - B + 3C=0, ¿Cuáles son
las componentes de C?
x y
Ejemplo 1.16: Cap3 Servey N°36.
Un mariscal de campo toma el balón desde la linea de golpeo,
corre hacia a tras 10 yardas y después recorre 15 yardas en
paralelo a la misma línea de golpeo. En este punto lanza un
pase recto de 50 yardas dentro del campo, perpendicular a la
línea de golpeo. ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento
resultante del balón de futbol?
Ejemplo 1.17: Cap3 Servey N°40.
Usted se encuentra de pie sobre el piso en el origen de un
sistema coordenado. Un aeroplano vuela sobre usted con
velocidad constante paralela al eje x y a una altura constante de
. En t = 0 el aeroplano está directamente encima
de usted, por lo que el vector desde usted al aeroplano está
dado por . En t = 30.0 s, el vector de
posición que parte de usted al aeroplano es de
Determine la magnitud y orientación del vector posición del
aeroplano en t = 45 s.
m 1060.7 3
jP )m 1060.7( 30
jiP )m 1060.7(m) 1004.8( 3330
Vectores
El profesor orientará la tarea y cuando
deberás hacer el examen
correspondiente a esta Tarea.
Fin del Tema 1