matemática - apostila Álgebra - funções

8/14/2019 Matemática - Apostila Álgebra - Funções

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-apostila-algebra-funcoes 1/15

Funções 1

Funções

O que é uma função?

O próprio nome já diz. Função é uma relação entre duas grandezas na qual uma depende (estáem função) da outra. Por exemplo, a quantidade de água que sai de uma torneira vai depender do tempo que ela permanecer aberta. Portanto a quantidade de água está em função do tempo.Uma função pode ser representada através de uma fórmula. Ainda no mesmo exemplo, se datorneira vaza 20mL de água em um segundo, teremos a fórmula t Q ⋅= 20 (onde Q é aquantidade de água em mL e t o tempo de vazão em segundos) regendo a vazão de água. Bastasubstituirmos o tempo que a torneira permaneceu aberta em t e descobriremos a quantidade deágua que saiu.Outra forma de representar uma função é através de gráfico. Veja para o nosso exemplo datorneira:

Vazão de uma torneira Q=20.t

0

20

40

60

80

100

120

140

0 1 2 3 4 5 6

Tempo t em segundos

Q u a n t i d a d e d e á g u a Q

e m

m L

Pelo gráfico rapidamente vemos que para 2 segundos vazou 40mL de água, para 3 segundos60mL, e assim por diante.

Domínio e Imagem

Os valores que nós variamos para encontrarmos seus correspondentes em uma função sãochamados de conjunto domínio (no nosso exemplo, o tempo). Do mesmo modo, os valores queencontramos são chamados conjunto imagem (no nosso exemplo, a quantidade de água). Paracada domínio da função há somente um valor imagem. Em Matemática geralmenterepresentamos o conjunto domínio pela letra x e o conjunto imagem por f(x) (nota-se que f(x) érepresentado pela variável dependente, y=f(x)), representando-os através da fórmula e no planocartesiano:

x y

x x f

=

= ou)(



Funções 2

As dimensões dos conjuntos domínio e imagem dependem da função que está sendo analisada.Por exemplo:

• 32)( += x x f (f: R →R – domínio real e imagem real);

• 2

1)(

−

−=

x x f (f: R – {2}→R – {1} – domínio real menos o número 2 e imagem real

menos o número 1).Para criar um gráfico de uma função basta construir uma tabela com os valores do domínio (x) eseus respectivos valores imagens (y). Com esses valores estabelece-se pares ordenados (x,y) – o primeiro valor é sempre do domínio – e marcá-los no plano cartesiano.Ex.:

x f(x)=x+3Par

ordenadoGráfico no plano cartesiano

-4 -1 (-4,-1)-3 0 (-3,0)-2 1 (-2,1)-1 2 (-1,2)

0 3 (0,3)1 4 (1,4)2 5 (2,5)3 6 (3,6)

4 7 (4,7) -2

-1

0

1

2

34

5

6

7

8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Função do primeiro grau (função afim)

É toda função que pode ser reduzida à forma:bax x f +=)(

onde a e b são números reais e a≠

0. O número a é chamado coeficiente de x e b é chamadotermo independente.Gráficos

O gráfico gerado por uma função do primeiro grau é sempre uma reta. Para construí-lo bastadeterminarmos dois pares ordenados e traçar uma reta cruzando os pontos determinados.

1)( += x x f O coeficiente de x também é chamado coeficiente angular da reta e o termo independente échamado coeficiente linear da reta, que é a ordenada onde a reta corta o eixo das ordenadas.

Zero ou Raiz da equação

Chama-se zero ou raiz da equação o valor de x na função bax x f +=)( quando f(x)=0. Paradeterminarmos basta substituirmos f(x) (ou y) por zero e resolvermos a equação. Para a funçãode primeiro grau encontramos uma equação de primeiro grau, como era de se esperar. A raiz dafunção é o ponto onde o gráfico corta o eixo das abscissas.Crescimento, decrescimento e sinal de uma função do primeiro grau

Seja a função bax x f y +== )( :



Funções 3

• Se ao aumentarmos o valor de x e seus correspondentes valores de y tambémaumentarem teremos uma função crescente. Neste caso, 0>a .

• Se ao aumentarmos o valor de x e seus correspondentes valores de Y diminuíremteremos uma função decrescente. Neste caso, 0<a .

Com isso podemos determinar os sinais da função, ou seja, os valores de x onde y > 0, y < 0 e y

= 0.Para determinarmos y = 0 temos:

a

b x

−=

−=

+=

+=

bax

bax

bax y

0

Note que isso independe do valor de a.Agora,

se 0>a se 0<a

a

b x

−>

> 0 y

a

b- x <

> 0 y

a

b x

−<

< 0 y

a

b x

−>

<+−

<

0

0

bax

y

Se a é maior que zero, os valores de yaumentam conforme aumenta x (função

crescente)

Se a é menor que zero, os valores de ydiminuem conforme aumenta x (função

decrescente).Atenção! Estude! Caso você deixou de compreender alguma coisa vista até agora, releia e

pesquise em livros. Os próximos assuntos dependem dos conceitos já abordados. Inequações

O estudo dos sinais da função são de enorme utilidade na resolução de inequações. Acompanheos exemplos:

1º:{ }6|R S

6122122932392

−<∈=

−<⇒−<⇒>−⇒+>−⇒>−−

x x

x x x x x

2º:

4

33471041074:II

277272

742742:I

10742

<⇒<⇒−<⇒<+

−≥⇒−≥⇒≤−

≤−⇒+≤

<+≤

x x x x

x x x

x x x x

x x

<≤−∈=4

3

2

7|R S x x

3º: Para resolução de inequações compostas por multiplicação e/ou divisão de expressões comincógnita nos dois fatores e/ou numerador e denominador:

• Isole todos os termos no primeiro membro:



Funções 4

05

3350

5

)5(6306

5

36

5

3≥

−

+−⇒≥

−

−−+⇒≥−

−

+⇒≥

−

+ x x x

x

x x

• Divide a inequação em duas funções que componham a multiplicação ou divisão eestude o sinal delas:

3351 +−= x y 52 −= x y

5

33raiz

e)decrescent(função05

=−=

<−=

a

b

a

5raiz

crescente)(função01

=−=

>=

a

b

a

5

330

5

330

>⇒<

<⇒>

x y

x y

50

50

<⇒<

>⇒>

x y

x y

• Efetue a multiplicação ou divisão através do estudo dos sinais e satisfaça a condição dainequação (pede valores maiores ou iguais a zero ou menores ou iguais a zero?):

≤<∈=5

335|R S x x

Função do segundo grau (função quadrática) É toda função que pode ser reduzida à forma:

cbxax x f ++= 2)(

onde a, b e c são reais e a ≠ 0.Gráficos

A função de segundo grau gera um gráfico em forma de parábola, de acordo com o valor de a:

Raízes

Da mesma forma que na função afim, para encontrarmos as raízes de uma função quadráticafazemos f(x) = 0. Depois basta resolver a equação de segundo grau resultante através da fórmulade Bháskara:

a

acbb x

2

42 −±−=

Obs: a parte acb 42 −=∆ é chamado discriminante da função, a apresenta algumas propriedades:

• Se 0>∆ a função possui duas raízes reais e distintas;



Funções 5

• Se 0=∆ a função possui uma raiz real (chamada de raiz dupla, pois na realidade sãoduas raízes iguais);

• Se 0<∆ a função não possui raízes reais.Construção da parábola

Para construir a parábola primeiramente deve-se determinar o par ordenado que localizam o

ponto V do vértice da parábola (veja a figura na seção Gráficos) através das fórmulas:

∆−−

aa

b

4,

2V

(lembre-se que o primeiro valor corresponde à coordenada x e o segundo à coordenada y!)Depois determine as raízes (ou a raiz para funções 0=∆ ) e mais dois pontos, substituindo y

por qualquer valor conveniente e encontrando suas coordenadas x. Trace uma parábola passando pelos pontos encontrados (assim como na figura da seção Gráficos). Se 0<∆ nãohaverá raízes, portanto basta substituir y por um valor qualquer que seja conveniente, encontrar suas coordenadas x e depois traçar o gráfico da mesma forma.

Sinal

O estudo dos sinais de uma função de segundo grau se faz de forma semelhante à função

afim.Veja:

0>∆

21

21

0

)ou(0y

0quando

x x x y

x x x x

a

<<⇔<

><⇔>

>

)ou(0y

0

0quando

21

21

x x x x

x x x y

a

><⇔<

<<⇔>

<

0=∆

0quetalexistenão

0y

0quando

1

<

≠∀⇔>

>

y x

x x

a

0quetalexistenão

0y

0quando

1

>

≠∀⇔<

<

y x

x x

a

0<∆



Funções 6

0quetalexistenão

0y

0quando

<

∀⇔>

>

y x

x

a

0quetalexistenão

0y

0quando

>

∀⇔<

<

y x

x

a

Inequações

Assim como na função afim, o estudo dos sinais auxilia na resolução de inequações do segundograu:

1º

2

101,

2

101

42

160)4(

2

:raizes

reais)raízes

(duas0160)9(44)4(4

cima) parade(concavida04

944

0944

953

)1(953

21

22

2

2

22

2

−=

+=

⋅

±−−=

∆±−=

>=−⋅⋅−−=−=∆

>=

−−=

≥−−

−≥−+

−≥−+

x x

a

b x

acb

a

x x y

x x

x x x x

x x x x

+

≥−

≤∈=2

101ou

2

101|R S x x x



Funções 7

2º: 41 2 ≤< x

1ou101:raízes

reais)raízes(duas041)1(40

baixo) parade(concavida01

1

011:I

212

2

2

22

−==⇒=+−

>=⋅−⋅−=∆

<−=

+−=

<−⇒<

x x x

a

x y

x x

2ou204:raízes

reais)raízes

(duas016)4(140

cima) parade(concavida04

4

044:II

212

2

2

22

−==⇒=−

>=−⋅⋅−=∆

>=

−=

≤−⇒≤

x x x

a

x y

x x

{ }21ou12|R S ≤<−<≤−∈= x x x

3º: 0)96()82( 22 ≥+−⋅−− x x x x

4e2:raizes

36

01

8221

−−

=∆

>=

−−=

a

x x y

3:raiz

0

01

9622

=∆

>=

+−=

a

x x y

{ }4ou2|R S ≥−≤∈= x x x



Funções 8

Função Modular

Função definida por mais de uma expressão

Há determinados problemas da vida cotidiana em que utilizamos um tipo de função definida por mais de uma expressão matemática. Como exemplo podemos citar o modo como é cobrado oimposto de renda. Caso uma pessoa ganhe abaixo de uma certa quantia, por exemplo R$5.000,00, ela estará isenta da cobrança. Caso ela ganhe acima dessa quantia, uma expressãomatemática definirá o valor a ser pago, por exemplo valor do imposto igual a 0,1 vezes aquantia a ser ganha mais R$ 50,00. Matematicamente ficaria assim:

>+

≤=

5.000,00R$se50,00,R$0,01

5.000,00R$se,0)(I

x x

x x

A Matemática é uma ciência que só se aprende exercendo o raciocínio. Portanto, estude e principalmente exercite a matéria, pois do contrário é praticamente impossível aprende-la.Comece a exercitar seu raciocínio agora! Como ficaria o gráfico de uma função definida por mais de uma expressão?

Módulo de um número

Chama-se módulo ou valor absoluto o valor definido pela distância de um número até a origemno eixo real. Assim sendo, defini-se matematicamente:

0se,

ou

0se,

<−=

≥=

x x x

x x x

Portanto,

R 0 ∈∀≥ x x

Exemplos:

( )

<⇒<−−−

≥⇒≥−−=−=

−−=−=−−==

101se,1

101se,11

3

2

3

2

3

2 9)9(9- 55

x x x

x x x x

Função Modular

É a função caracterizada por:

x x f =)(

o que resulta, pela definição de módulo, em:

<−

≥=

0se,

0se,)(

x x

x x x f

Assim sendo, a função modular possui como conjunto imagem valores reais não negativos.Portanto, devemos analisar uma função modular de acordo com suas duas possibilidades, ouseja, quando a função é maior ou igual a zero e quando a função é menor que zero.

Para construir o gráfico de uma função modular basta construir os gráficos referentes às duasexpressões definidas pela função e eliminar as partes negativas. Por exemplo:

<+−=−−

≥−=⇒−=

2se,2)2(

2se,2)(2)(

x x x

x x x f x x f



Funções 9

Equações Modulares

Analisando as funções modulares poderemos notar uma coisa:

+∈∀

−==⇒=

R

ou

k

k xk xk x

Com isso solucionamos as equações modulares, como no exemplo:

325 +=− x x

Da definição de módulo, temos que 025 ≥− x . Portanto, 303 −≥⇒≥+ x x

( )

−=⇒−=⇒−−=+⇒+−=+

=⇒=⇒+=+

⇒+=−

6

556325325

ou4

114325

325

x x x x x x

x x x x

x x

Como as duas raízes encontradas satisfazem a condição de serem maiores ou iguais à –3,

−=

4

1,

6

5S

Inequações Modulares

Derivado do conceito de módulo, temos essa propriedade:

+∈∀

<<−⇒<

>−<⇒>

R

ou

k

k xk k x

k xk xk x

Assim como nas equações, é com essa propriedade que resolvemos inequações modulares:1º

{ }7ou3|R S

752

ou

352

52

>−<∈=

>⇒>−

−<⇒−<−

⇒>−

x x x

x x

x x

x

2º

{

{ }95|R S

9594994994

<<−∈=

<<−⇒<<+−⇒<−<−⇒<−

x x

x x x x

3º (Retirado de IEZZI, Gelson. Matemática, Volume Único p. 85)



Funções 10

<+−

≥−

=−

+≥−

2

1 se,12

2

1 se,12

12

112

x x

x x x

x x

Nota-se que há duas possibilidades a serem analisadas de tal forma a garantir a verdade dainequação:

• Se2

1≥ x , a inequação assume a forma 2112 ≥⇒+≤− x x x . Aqui se nota que x

deve ser maior ou igual a2

1e também maior ou igual 2. Efetuando a interseção desses

dois conjuntos, vem que:{ }2|R S1 ≥∈= x x

• Se2

1< x , a inequação assume a forma 01512 ≤⇒+≤+− x x x . Assim, 2< x e

3

1−≥ x . Intercedendo os dois conjuntos:

{ }0|R S1 ≤∈= x x A solução vem da união dos conjuntos soluções encontrados nos dois casos:

{ }2ou0|R SSS 21 ≥≤∈=∪= x x x Pesquise e estude. Faça exercícios. Apenas com empenho se aprende Matemática!

Função exponencial

Potência

Chama-se potência ao produto de um número por ele mesmo, independente do número de vezes

que esse produto ocorra. Matematicamente, seja a um número real e n um número natural:(n vezes)... aaaaaa n ⋅⋅⋅⋅⋅=

Assim, tem-se:

( ) 10100101010 1255555 234 ==⋅==⋅⋅=⋅⋅⋅= aaaaa

Convencionou-se:• Qualquer número não nulo elevado a 1 é igual a ele mesmo:

3

1

3

1

3

1 128128

1

1111 ==

== aa

• Qualquer número não nulo elevado a 0 é igual a 1:

113 146 1000

====a Expoentes não naturais

• Se o expoente for negativo, o número é o inverso da potência caso fosse positiva:

n

n

aa

1=−

Ex:

641

641

64

11

4

1

1

4

1

25

1

5

15

3

3

2

2 =⋅==

=

==

−

−



Funções 11

• Se o expoente for racional, o denominador se torna o índice de um radical e onumerador a potência do radicando:

q pq

p

aa = Ex:

33 23

2

2 12

1

933 555 ==== Lembre-se que:

* N ∈=⇔= nabba nn Ex:

( ) 273327 162216 3344 −=−⇔−=−=⇔= Propriedades

1. nmnm aaa +=⋅

2. 0 ≠= − aaa

a nm

n

m

3. ( ) nnn

baba ⋅=⋅

4. 0 ≠=

b

b

a

b

an

nn

5. ( ) nmnm aa ⋅= Devido às potências de expoente fracionário, temos as seguintes propriedades:

1. pn pmn m aa⋅ ⋅=

2. nnn baba ⋅=⋅

3. n

n

n

b

a

b

a=

4. ( ) n mmn aa =

5. nmm n aa ⋅= Função exponencial

É toda função que a incógnita se encontra como expoente de um termo.

1e0

)(

≠>∀

=

aa

a x f x

Gráficos

Construiremos os gráficos das funções x x f 2)( = e x

x g

=

2

1)( . As outras funções

exponenciais possuirão gráficos semelhantes.

x x x f 2)( = x

x g

=

2

1)(

-24

1 4

-12

1 2

0 1 1



Funções 13

( )

−<∈=

−<⇒<−⇒>⇒>⇒>

−−

2

1|

2

11233333

3

1 2212

x R xS

x x x x x

Função Logarítmica Definição

O conceito de logaritmo surgiu para solucionar o maior problema das funções exponenciais:resolver equações que não sejam possíveis reduzir as potências a bases iguais. Mais adianteveremos isso. Por enquanto, veja a definição:

• Chama-se logaritmo de b na base a, sendo a e b reais e positivos e a ≠ 1, o número talque seja o índice ( x) de uma potência de base a que tenha como resultado o número b.Ou seja,

ba xb xa =⇔=log

• a é a base do logaritmo, b o logaritmando e x o logaritmo.Por exemplo:

( ) 1010210log 12553125log 9329log 210

35

23 =⇒==⇒==⇒=

Dessa forma, temos as seguintes conseqüências do logaritmo:

1. 101log 0 =⇒= aa

2. aaaa =⇒= 11log

3. .termos para basenacolocar devesequeexpoenteoéloglog babba aba ⇒=

4. cbcb aa =⇒= loglog

Há dois logaritmos especiais, usados principalmente na área da Engenharia:• Sistema de logaritmos decimais: são os logaritmos cuja base é 10. Neste caso pode-se

omitir a base na escrita:

bb 10loglog = • Sistema de logaritmos neperianos: são os logaritmos cuja base é e, um número

irracional próximo de 2,71828... (como o π!). Neste caso pode-se substituir o símbolo

elog por n :

xn xe log =

Propriedades operativas dos logaritmos

1. ( ) nd cbnd cb aaaaa logloglogloglog ++++=⋅⋅⋅⋅ ……

2. cbc

baaa logloglog −=

3. br b ar a loglog ⋅= Essas propriedades são extremamente importantes para a determinação de logaritmos, exemplo:

( ) 301,22301,0100log2log1002log200log

?200logvalequanto301,02logqueSabendo

≅+≅+=⋅=

≅

Mudança de base

Pode-se mudar a base de um logaritmo através da fórmula:

a

bb

c

ca log

loglog =

Exemplo:



Funções 14

322,2301,0

301,01

2log

2log10log

2log

2

10log

2log

5log5log

?5logvalequanto301,02logquese-Sabendo

2

2

≅−

=−

=

==

≅

Nota: nos livros em que uso como bibliografia neste ponto há o tópico funções inversíveis, quenão estará nesta apostila. Aconselho que estude-o por livros.Função logarítmica

São funções que tem a incógnita definida em um logaritmo:( )

10

log

≠<

=

a

x x f a

Essas funções são amplamente utilizadas na Engenharia e na Economia.Os gráficos das funções logarítmicas são construídos de forma análoga ao das outras funções.São similares a esse:

• Como 0log > xa , o conjunto domínio será sempre real, positivo e não nulo.

• Se 0log1 =⇒= x x a . Portanto o gráfico cortará a abscissa no ponto (1,0).

• O gráfico de ( ) x x f alog é simétrico e inverso ao gráfico ( ) xa x f =' .

Propriedades:

1. Se 1>a a função é crescente:2121 loglog x x x x aa <⇔<

2. Se 10 << a a função é decrescente:

2121 loglog x x x x aa >⇔<

3. Se 1>a os números entre 0 e 1 tem valores negativos e os maiores que 1 tem valorespositivos:

0logloglog1

0log1loglog10

>⇒>⇒>

<⇒<⇒<<

aaa

aaa

x x

x x x

4. Se 10 << a os números entre 0 e 1 tem valores positivos e os maiores que 1 temvalores negativos:

0logloglog1

0log1loglog10

<⇒<⇒>

>⇒>⇒<<

aaa

aaa

x x

x x x

Equações exponenciais

Com todo o estudo já realizado sobre funções, agora podemos resolver equações do tipo 2 x = 5.Se raciocinarmos, veremos que 2² = 4 e 2³ = 8. Portanto 2 < x < 3, o que não resolve nosso

problema. Para resolve-la utilizamos a definição de logaritmo:

ba xb xa =⇔=log

Veja:

x x =⇒= 5log52 2



Funções 15

Consultando uma tabela de logaritmos descobrimos o valor de 5log 2 e encontramos o valor de x. Equações logarítmicas

Resolvem-se as equações logarítmicas de diversos modos, dependendo da equação. Na maioriados casos usam-se as propriedades ou a definição de logaritmo:

1. { }3S

positivo)

ser devedologaritmano pois positivas,são

expressõesasambasseverificar se-(deve0432330423362423)4(log)23(log 33

=

>+=−⋅⇒>+=−=⇒=⇒+=−⇒+=−

x x x x x x x x

2. { }1000S

1000103log 3

=

=⇒=⇒= x x x

3.

( )

=

=⇒−=⇒−=⇒=

=⇒=⇒=⇒=−===−−

==⋅−

27,3

13

11log1log

273log3log1ou3 032

)log(fazendo3log2log

33

33

2

332

3

S

x x y y x

x x y y x y y y y

y x x x

Utilize as propriedades para desenvolver a equação de modo a chegar em um desses trêsmétodos.

Inequações exponenciais

A resolução das inequações exponenciais que não podem ser reduzidas a mesma base utiliza os

logaritmos, assim como nas equações exponenciais. Resolva-as através dessas expressões:

)10(selogloglogloglog




<<>⇔>⇔>⇔<

><⇔<⇔<⇔<

<<<⇔<⇔<⇔>

>>⇔>⇔>⇔>

ab xba xbaba

ab xba xbaba

ab xba xbaba

ab xba xbaba

aaaa x

a x

aaaa x

a x

aaaa x

a x

aaaa x

a x

Inequações logarítmicas

Há dois casos a considerar:• A inequação pode ser reduzida a logaritmos de mesma base

( ) ( ) ( )

)10(se0)()()(log)(log

)1(se0)(loglog

<<>>⇒>

><<⇒<

a x g x f x g x f

a x g x f x g x f

aa

axa

• A inequação é reduzida a um logaritmo e um número realr

aaa a x f r x f log)(log)(log >⇒>

Assim como nas equações, utilize as propriedades dos logaritmos para resolver as inequaçõeslogarítmicas (logaritmo de produto, de quociente, mudança de base etc).

Neste ponto há o tópico Logaritmos decimais. Aos que prestarão exame na área de exatas,estude-os.Bibliografia IEZZI, Gelson. Matemática: 1ª série, 2º grau. São Paulo. Atual, 1981.IEZZI, Gelson e DOLCE, Oswaldo e DEGENSZAJN, David Mauro e PÉRIGO, Roberto.

Matemática: volume único. São Paulo. Atual, 1997.

matemática - apostila Álgebra - funções

Documents