guia mangá Álgebra linear - s3.novatec.com.br · uma visão geral de álgebra linear ... nem...

Guia Mangá

ÁLGebra Linear

Shin Takahashi, iroha inoue e

Trend-Pro Co., Ltd.

novatec

The Manga Guide to Linear Algebra is a translation of the Japanese original, Manga de wakaru senkeidaisuu, published by Ohmsha, Ltd. of Tokyo, Japan, © 2008 by Shin Takahashi and TRENDPRO Co., Ltd. The English edition is co-published by No Starch Press, Inc. and Ohmsha, Ltd. Portuguese-language rights arranged with Ohmsha, Ltd. and No Starch Press, Inc. for Guia Mangá Álgebra Linear ISBN 978-85-7522-293-5, published by Novatec Editora Ltda.Edição original em japonês Manga de wakaru senkeidaisuu, publicado pela Ohmsha, Ltd., de Tóquio, Japão, © 2008 por Shin Takahashi e TRENDPRO Co., Ltd. Edição em inglês The Manga Guide to Linear Algebra, copublicação da No Starch Press, Inc. e Ohmsha, Ltd. Direitos para a edição em português acordados com a Ohmsha, Ltd. e No Starch Press, Inc. para Guia Mangá Álgebra Linear ISBN 978-85-7522-293-5, publicado pela Novatec Editora Ltda.

Copyright © 2012 da Novatec Editora Ltda.

Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei 9.610, de 19/02/1998. É proibida a reprodução desta obra, mesmo parcial, por qualquer processo, sem prévia autorização, por escrito, do autor e da editora.

Editor: Rubens PratesIlustração: Iroha InoueTradução: Rafael ZanolliRevisão gramatical: Patrizia ZagniEditoração eletrônica: Carolina Kuwabata

ISBN: 978-85-7522-293-5

Histórico de impressões:Dezembro/2012 Primeira edição

Novatec Editora Ltda.Rua Luís Antônio dos Santos 11002460-000 – São Paulo, SP – BrasilTel.: +55 11 2959-6529Fax: +55 11 2950-8869E-mail: [email protected]: www.novatec.com.brTwitter: twitter.com/novateceditoraFacebook: facebook.com/novatecLinkedIn: linkedin.com/in/novatec

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Takahashi, Shin Guia mangá álgebra linear / Shin Takahashi, Iroha Inoue, Trend-pro Co ; [tradução Rafael Zanolli]. -- São Paulo : Novatec Editora, 2012. -- (The manga guide)

Título original: The manga guide to linear algebra. ISBN 978-85-7522-293-5

1. Álgebra linear - Histórias em quadrinhos 2. Histórias em quadrinhos I. Inoue, Iroha. II. Trend-pro Co.. III. Título. IV. Série.

12-07743 CDD-512.5

Índices para catálogo sistemático:

1. Álgebra linear : Matemática : Histórias em quadrinhos 512.5

OG20121126

Sumário

Prefácio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

Prólogo Que comece o treinamento! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 O que é álgebra linear? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Uma visão geral de álgebra linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Noções fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Sistemas numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Implicação e equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Implicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Teoria dos conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Símbolos de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Domínio e intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Funções sobrejetoras e injetoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Funções inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Transformações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Combinações e permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Nem todas as “regras para ordenamento” são funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3 Introdução às matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

O que é uma matriz? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Cálculos com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Multiplicação escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Multiplicação de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Matrizes especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Matrizes zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

viii Sumário

Matrizes transpostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Matrizes simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Matrizes triangulares superiores e inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Matrizes diagonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Matrizes identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4 Mais matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Matrizes inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Cálculo de matrizes inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Cálculo de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Cálculo de matrizes inversas utilizando cofatores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Mij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Cij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Cálculo de matrizes inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Uso de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Resolução de sistemas lineares com a regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5 Introdução aos vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

O que são vetores? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Cálculos com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Interpretações geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6 Mais vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Independência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Subespaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Base e dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7 Transformações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

O que é uma transformação linear? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Por que estudamos transformações lineares? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Transformações especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Dimensionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Projeção 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Sumário ix

Algumas dicas preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Núcleo, imagem e o teorema da dimensão para transformações lineares . . . . 189Posto matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Cálculo do posto de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196A relação entre transformações lineares e matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

8 Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

O que são autovalores e autovetores? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Cálculo de autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Cálculo da potência p de uma matriz n×n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Multiplicidade e diagonalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Uma matriz diagonalizável com um autovalor de multiplicidade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Uma matriz não diagonalizável com um autovalor real de multiplicidade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Epílogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Recursos online . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

Os apêndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243Atualizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

Índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

PrólogoQue comece o treinamento!

UniversidadeHanamichi

Não há nada a temer...

Muitobem!

É agora ou nunca!

Iááááá!

* Clube d

e C

aratê

Hanam

ichi.

*

Ei!

Que comece o treinamento! 3

com licen—

O que temos aqui?

o qu—

TUM-TUM

TUM-TUM

ESTRONDO

Bump

4 Prólogo

Eu...Eu sou um calouro...

Meu nome é Reiji Yurino.

Você por acaso seria Tetsuo Ichinose, o

capitão do clube de Caratê?

Isso mesmo.

quero fazer parte do clube de Caratê!

Não tenho nenhuma experiência, mas acho

que–

Você está falando sério?

Meus alunos acabariam com

você.

Uau... o Martelo da Hanamichi em

pessoa!

Não posso desistir agora!

h-hum...?

REVERÊNCIA

PUXÃO


Por favor! Eu –

Eu quero ficar mais forte!

...

Hum?

hum...

já não vi seu rosto em algum

lugar? Ahá!

CHACOALHA

CHACOALHA

6 Prólogo

Você não é aquele cara?

Aquele do livro de matemática da minha

irmã?

Ah, você já viu meu livro?

Então é você!

S-sim.

posso não ser o cara mais

forte...

Entendo...

O qu–?

Talvez possa pensar em

deixar você fazer parte do

clube...

Mas sempre fui muito bom com

números.

Por alunos – para alunos

Matemática para todosAutor: Reiji Yurino

humm


Sério?!

... sob uma condição!

Você tem que ensinar

matemática para minha irmãzinha.

Sério?!

Você tem que ensinar matemática para minha irmãzinha.

Então, se eu der aulas para sua irmã, você

me deixará fazer parte do

clube?

Ela reclamou ontem

mesmo que estava tendo problemas na

aula de álgebra linear...

8 Prólogo

Isso seria aceitável para

você?

Se você tentar dar uma cantada nela...

Mesmo uma só vez...

É claro!

Acho que devo lhe dar um conselho

de amigo...

Eu... nem pensaria nisso!

Não vamos pegar leve

com você, viu?

Estou dentro!É claro!

Vamos começar imediatamente!

Nesse caso...Venha

comigo.

Crack

Snap

3Introdução às matrizes

64 capítulo 3 Introdução às matrizes

Ei!Ei!

Utilizem suas

costas!

Não confie apenas em suas

mãos.

Use sua cintura!

pensei que ele ia desistir logo de cara...

Acho que estava errado.

Yurino!

Ossu!

heheh

Introdução às matrizes 65

Você deve estar realmente cansado

depois de todo esse exercício!

Nossa! Mas... nunca seria capaz de

comer algo tão bonito!

Hehe, não seja bobo!

não sei o que dizer... obrigado!

Demais!

Bom demais!

Obrigada!

Não se preocupe com isso!

Misa, de verdade...obrigado!

Ta -da !

ALEGRIA

NHAM

NHAM

NHAM NHAM


O que é uma matriz?

Ah...Eu me sinto bem melhor agora.

Você está pronta para começar?

Claro, por que

não!

Nós vamos falar sobre

matrizes hoje.

gostaria muito de ir com calma

nesse caso, já que elas aparecem na maioria dos assuntos em

álgebra.

não acho que você terá nenhum problema com o básico desta vez

também.

Mas falarei brevemente sobre matrizes inversas

perto do fim e elas podem ser um pouco complicadas.

Ok!

Uma matriz é uma série de números organizada em m

linhas e n colunas, e colocada entre parênteses desta

forma.

Noções fundamentais

Matrizes Vetor

Diagrama do curso

Básic

oPre

ipal

Linha 1

Linha 2

Linha M

Coluna 1

Coluna 2

Coluna n

Esses são os chamados subscritos.

Transformações lineares

Autovalores e autovetores

O que é uma matriz? 67

Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma "matriz m por n".

Ah!

Os itens dentro de uma matriz são chamados

de seus elementos.

destaquei os elementos (2, 1) destas três matrizes para você! Entendi.

Uma matriz que tem um mesmo número de linhas e colunas é chamada de matriz

quadrada.

Hã-hã...

Matriz 2×3 Matriz 4×1 Matriz m ×n

ElementoLinha 1

Linha 1 Linha 1

Linha 2

Linha 2

Linha 3

Linha 4

Linha 2

Linha m

col 1

col 2

col 3

col 1

col 1

col 2

col n

Os elementos marcados em cinza nessa matriz são parte do que é

chamado de sua diagonal principal.

Matriz quadrada com duas linhas

Matriz quadrada com n linhas


Hum... matrizes não são tão empolgantes

como elas parecem no cinema.

É. São só números, nenhum Keanu...*

Empolgantes ou não, matrizes são muito

úteis!

Por quê?

Bem, essas são algumas das vantagens.

Então as pessoas as utilizam por

que elas são práticas, é?

Sim.

hUm...

• Elas são ótimas para escrever sistemas lineares de modo mais compacto.

• Como permitem sistemas mais compactos, também ajudam a tornar textos matemáticos mais compactos.

• E ajudam professores a escrever mais rápido na lousa durante as aulas.

* N.T.: Aqui, os personagens se referem ao filme Matrix (1999), protagonizado por Keanu Reeves. A palavra "matrix", em inglês, é traduzida como "matriz", em português.

O que é uma matriz? 69

Em vez de escrever este sistema linear

desta forma...

Poderíamos escrevê-lo assim, utilizando matrizes.

Realmente parece bem

mais simples!

Exatamente!

Então isto... Se torna isto?

Nada mal!

escrevendo sistemas de equações como matrizes

se escreve

x1

x2

xn

b1

b2

bm

a11

a21

am1

a12

a22

am2

a1n

a2n

amn

=

se escreve

x1

x2

xn

a11

a21

am1

a12

a22

am2

a1n

a2n

amn

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

•

•

RABISCA

RABISCA


Cálculos com matrizes

Agora, vamos dar uma olhada

em alguns cálculos.

Os quatro operadores relevantes são:

• adição

• subtração

• multiplicação escalar

• multiplicação de matrizes

Note que a adição e asubtração funcionam

apenas com matrizes que têm as mesmas dimensões.

1

3

5

2

4

6

6

4

2

5

3

1

1 + 6

3 + 4

5 + 2

2 + 5

4 + 3

6 + 1

1

3

5

2

4

6

6

4

2

5

3

1

+

Exemplos

1 + 6

3 + 4

5 + 2

2 + 5

4 + 3

6 + 1

1

3

5

2

4

6

6

4

2

5

3

1

7

7

7

7

7

7

+ = =

(10, 10) + (−3, −6) = (10 + (−3), 10 + (−6)) = (7, 4)

10

10

7

4

−3

−6

10 + (−3)

10 + (−6)+ = =

•

•

•

Vamos somar a matriz 3×2

A esta matriz 3×2

Ou seja,

Os elementos seriamsomados elemento aelemento desta forma:

Adição

Exemplos

Cálculos com matrizes 71

Subtração

1

3

5

2

4

6

6

4

2

5

3

1

1 − 6

3 − 4

5 − 2

2 − 5

4 − 3

6 − 1

1

3

5

2

4

6

6

4

2

5

3

1

−

Exemplos

1 − 6

3 − 4

5 − 2

2 − 5

4 − 3

6 − 1

1

3

5

2

4

6

6

4

2

5

3

1

−5

−1

3

−3

1

5

− = =

(10, 10) − (−3, −6) = (10 − (−3), 10 − (−6)) = (13, 16)

10

10

13

16

−3

−6

10 − (−3)

10 − (−6)− = =

•

•

•

Vamos subtrair a matriz 3×2

Desta matriz 3×2

Ou seja:

De modo semelhante, oselementos seriam subtraídoselemento a elementodesta forma:

Subtração

Exemplos


Multiplicação escalar

10 · 1

10 · 3

10 · 5

10 · 2

10 · 4

10 · 6

Exemplos

10

30

50

20

40

60

= =•

•

•

1

3

5

2

4

6

1

3

5

2

4

6

10

1

3

5

2

4

6

10

10 · 1

10 · 3

10 · 5

10 · 2

10 · 4

10 · 6

2 (3, 1) = (2 · 3, 2 · 1) = (6, 2)

23

1

6

2

2 · 3

2 · 1= =

Vamos multiplicar a matriz 3×2

Por 10. Ou seja,

Os elementos seriam, cadaum, multiplicados por 10desta forma:

Exemplos

Multiplicação escalar

Cálculos com matrizes 73

Multiplicação de matrizes

Exemplo

1x1 + 2x2

3x1 + 4x2

5x1 + 6x2

1y1 + 2y2

3y1 + 4y2

5y1 + 6y2

=

1

3

5

2

4

6

x1

x2

y1

y2

•

O produto

Pode ser derivado separando-se temporariamente as

duas colunas e , que formam os dois produtos

e, depois, reunindo-se as colunas resultantes:

1

3

5

2

4

6

x1

x2

y1

y2

=

1x1 + 2x2

3x1 + 4x2

5x1 + 6x2

1y1 + 2y2

3y1 + 4y2

5y1 + 6y2

x1

x2

y1

y2

1

3

5

2

4

6

x1

x2

=

1x1 + 2x2

3x1 + 4x2

5x1 + 6x2

1

3

5

2

4

6

y1

y2

=

1y1 + 2y2

3y1 + 4y2

5y1 + 6y2

e

1x1 + 2x2

3x1 + 4x2

5x1 + 6x2

1y1 + 2y2

3y1 + 4y2

5y1 + 6y2

Tem mais!

Exemplo

Multiplicação de matrizes

8Autovalores e autovetores

z

x

y

vezes 4pa

ra trá

s

vezes 4

206 Capítulo 8 Autovalores e autovetores

E Jumonji, da Universidade

Nanhou!

Yurino, da Universidade Hanamichi!

Prontos!

Ele parece durão.

Vou ter que dar tudo

que tenho.

Comecem!

ENCARA

Gah...

Ungh...

Eu tenho que vencer

isso!

Tenho que mostrar para eles como

posso ser forte!

Já chega!

Seyaaaa

PAFF

SP AF

ARREPIO

P U FF

iááááá

Pow


Universidade Nanhou!

Muito... obrigado... Droga...

Boa luta.

Autovalores e autovetores 209

Sinto muito sobre a luta...

É...

Meu irmão disse que você lutou bem, no entanto.

Sério?

Não se preocupe com

isso.

Você se sairá melhor da

próxima vez.

Eu sei disso!

Desculpe-me! Você está

totalmente certa!

Ficar chateado não ajudará em

nada.


De qualquer modo... hoje é

nossa última aula.

pensei em trabalharmos com

autovalores e autovetores.

Ok. Estou pronta para qualquer coisa!

Estudar autovalores e autovetores vem a calhar quando trabalhamos com

Física e Estatística, por exemplo.

Eles também tornam problemas deste tipo

muito mais fáceis.

Encontrar a potência p de

uma matriz n×n.

É um tópico bastante abstrato, mas vou tentar ser o mais

concreto possível.

Eu agradeço!

Noções fundamentais

Matrizes Vetores

Transformações lineares


Básic

oPrep

O que são autovalores e autovetores? 211

O que são autovalores e autovetores?

O que você me diz de começarmos com alguns problemas? Claro!

Hum...

Dessa forma?

Passou perto!

Hum, assim?

Exatamente!

Então... a resposta pode ser expressa

utilizando-se múltiplos dos dois vetores

originais?

Ok, primeiro problema:Encontre a imagem de

utilizando atransformação

linear determinadapela matriz 2×2

3

1

1

2c1 + c2

82

−31

(onde c1 e c2 são

números reais.)


Desta forma.

Oh...

I�o mesmo!A�im, você poderia

dizer que a transformaçãolinear igual à matriz

8

2

−3

1

... transforma todos ospontos no plano x1x2...

Dessa forma?

Correto!

Então essa solução também pode ser

expressa com múltiplos...

Hum

Vamos avançar para outro problema...

Encontre a imagem de utilizando

(onde c1 , c2 e c3 são números reais.)

c1 + c2 + c3

1

0

0

0

1

0

0

0

1

4

0

0

0

2

0

0

0

−1

a transformação lineardeterminada pela matriz 3×3

O que são autovalores e autovetores? 213


4

0

0

0

2

0

0

0

−1

... transforma todosos pontos no espaço

x1 x2 x3 ...

Logo vocêpoderia dizer que a

transformação linearigual à matriz

Desta forma.

Entendi!

4

0

0

0

2

0

0

0

−1

... transforma todosos pontos no espaço

x1 x2 x3 ...

Logo vocêpoderia dizer que a

transformação linearigual à matriz

Vezes 4Ol

hand

o

para

trá

s

Vezes 2

considerando aqueles

exemplos.


a11

a21

an1

a12

a22

an2

a1n

a2n

ann

x1

x2

xn x1

x2

xn

x1

x2

xn

Se a imagem de um vetor por meio da transformação linear determinada pela matriz

é igual a λ , λ é chamado de um autovalor da matriz

e é chamado de um autovetor correspondente ao autovalor λ.

O vetor zero não pode nunca ser um autovetor.

Rn Rn

x1

x2

xn

λ

x1

x2

xn

Então os dois exemplos poderiam

ser resumidos desta forma?

Exatamente!Em geral, você nunca pode encontrar mais do que n

autovalores e autovetores diferentes para qualquer

matriz n×n.Ah...

ores e autove

tores

Vamos dar uma olhada na

definição...

Matriz

Autovalor

Autovetor

4

0

0

0

2

0

0

0

−1

8

2

−3

1

λ = 7, 2 λ = 4, 2, −1

O vetorco�espondente

a λ = 7

3

1


a λ = 2

1

2


a λ = 4

100


a λ = 2

010


a λ = 1

001

E aí, esperando

há muito tempo?

Reij—

ÁÁÁI!

Essa voz!

Ah, não seja assim!

Parem com isso! Deixem-me

ir!

Nós só queremos conhecê-la

melhor.

Misa!

Parece que cheguei um

pouco cedo...

tenho que fazer

alguma coisa...

mas... E se acontecer tudo de novo?

E rápido!

Aqueles idiotas...

Em meu primeiro encontro com Yuki, minha

namorada no ensino fundamental...

Ei, me soltem!

já tenho um encontro.

Nós só queremos bater

um papo...

Yuki!

TREMENDO

!

Aqueles idiotas...

tenho que fazer

alguma coisa!

Você... pare com isso!

Hã... quem é você?

Ugh?

Hora de ir!

Me solta!

Vocês aí!

CHUTE

Crash

Fala sério! Um

chute? Que fracote...

Haha

Parem. Não conseguem ver

que ela não quer ir com

vocês?

Caramba, quem é agora? ah, não!

V-você é...

O lendário líder do clube de

caratê Hanamichi.

“O martelo Hanamichi!”

Em carne e osso.

Mexer com esse cara é suicídio!

Vamos dar o fora daqui!

O-obrigada!

Não se preocupe com

isso... Mas acho que seu

namorado precisa de cuidados médicos...

Ungh...

Martelo Hanamichi?

GEMIDO...

Epílogo 235

Escute... eu estou feliz de você ter tentado me defender,

mas...

Isso simplesmente

não foi suficiente.

eu...... não acho que posso mais sair

com você.

...

Isso simplesmente

não foi suficiente.

Não desta vez!

Vou mostrar para eles–

Estou muito mais forte

agora–

Vem cá, docinho...

Socorro!

Desta vez vai ser diferente!

SOLTEM-nA!

Yank

O qu–?

Venha, vamos embora.

Reiji!

Ei! Pode parar aí mesmo.

Quem você pensa que

é?

Fiquem longe dela, todos

vocês!

Haha, olha só! Ele pensa que é um

herói!

Vamos pegá-lo!

POF

!

SPLAF

Corre!

Tenha cuidado, Reiji!

Uff!

Seu pequeno...

Parem com isso!

Por favor!

Me solta!

Teimoso, hein?

Já chega!

TUMP

AGARRA

SPAF

Atacando minha irmãzinha, é?

Tetsuo!

Sensei?

não gosto de violência

excessiva... mas, ao atacarem Misa,

vocês não me deram escolha...

É o Ichinose!

O Martelo Hanamichi!

Manhê!

Corre!

Ele apagou!

Crack

Epílogo 239

Reiji?

Reiji, acorde!

Reiji!

Você está bem!

Opa!

Yurino... Misa me

contou o que aconteceu.

Obrigado!

Hum... Sem problema.

Mas não mereço seu

agradecimento...

240 Epílogo

não pude ajudar Misa... não pude

ajudar nem a mim mesmo...

não mudei nada! Continuo sendo um

fracote!

Bem, você pode não ser ainda um

faixa preta...

Mas certamente não é nenhum

fracote.

Colocar a segurança de Misa antes de

sua própria mostra grande coragem.

Você deveria estar

orgulhoso!

Reiji!

Ele está certo.

não sei o que dizer... Obrigada!

Misa...

Mas–Esse tipo de coragem é

admirável, ainda que a luta em si tenha

sido desnecessária.

Epílogo 241

Obrigada por tudo!

Ah...

Mas o qu–?

pensei ter sido bastante claro sobre as regras...

Hã?! Eu, ah...

Hehe...Bem, acho que tudo bem... a Misa não é mais uma criança.

Obrigado, sensei...

A propósito, será que você poderia me fazer outro

favor?

C-claro!

242 Epílogo

Matemática, quer dizer.

também gostaria que você me ensinasse.

Quê?

Ele bem que poderia usar a ajuda, estando

em seu sexto ano e tudo o mais.

Se ele não se formar logo...

Então, o que me

diz?

Isso também

significaria muito para

mim.

Claro! Com

certeza!

Ótimo! Vamos

começar com contas

de mais e de menos,

então!

Hum... contas de mais e de menos?

Parece que vocês vão precisar de

mais almoços!

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