MATEMTICA APLICADA

1. Conjuntos

2. lgebra

3. Sistema de Ecuaciones4. Matrices

Correspondencia Biunvoca:

Correspondencia entre dos

conjuntos A y B, tal que a

todo elemento de A se le

asocia uno de B, y a todo

elemento de B se le asigna

uno de A.

Diagramas de Venn Euler:

Diagramas consistentes en

lneas curvas cerradas que

se utilizan para representar

conjuntos matemticos.

Simplificacin de nmeros irracionales:

1. Se multiplica el nmero a simplificar por la cantidad de ceros igual al

nmero de dgitos que no se repiten2. Se multiplica el nmero a simplificar por el nmero de ceros que sea igual a la

cantidad de dgitos que se repiten para obtener la cantidad 1.

1. Se vuelve a multiplicar el nmero a simplificar por el nmero de ceros

igual a la cantidad de dgitos de la serie que se repite + 1 para obtener la

cantidad 2.2. Se resta la cantidad 1 a la cantidad 2.3. Se despeja x

0.27272727... .1289999...

x = 0.27272727... x = .1289999...

100 x = 27.27272727... 1000 x = 128.99999...

. 10000 x = 1289.9999...

100 x = 27.27272727... 10000 x = 1289.9999...

- x = 0.27272727... 1000 x = 128.9999..

99 x = 27 9000 x = 1161

x = 27 / 99 x = 1161 / 9 00

1. Intervalos

La recta numrica es un campo ordenado

de nmeros reales que siempre siguen un

mismo orden.

El crculo blanco representa que el valor sobre el cual se encuentra ste

mismo en la recta no es incluido en el intervalo. Esto mismo se puede

representar con un parntesis (

) o con los smbolos < >.Por otra parte, cuando se quiere expresar que el valor si se incluye, se

representa mediante un crculo negro, corchetes [] o los smbolos y

1. Multiplicacin de polinomios y monomios.

Los monomios son trminos simples. Los polinomios son dos o ms trminos separados

por signos de suma o resta.

Monomio por monomio: 4x 2 * 6xy = 24x3 yMonomio por polinomio: 3z 2 * (2xy + 6xz) = 6xyz 2 + 18xz 3Polinomio por polinomio: (x + y) * (x y) = x 2 y 2

Binomio al cuadrado:(x + y)2 = x 2 + 2xy + y 2

Binomios Conjugados:

(x + y) * (x y) = x 2 y 2

Binomios con trmino comn

(x a) * (x b) = x 2 + x(a b) + ((a)(b))

Binomio al cubo(a + b)3 = a3 + 3a 2 b + 3ab2 + b3Suma de cubos(x + y)(x 2 xy + y 2 ) = x3 + y 3

Diferencia de Cubos

(x y)(x 2 xy + y 2 ) = x3 y 3

Divisin Sinttica

2. Despejar x del denominador

3. Acomodar los coeficientes de x

en orden de mayor a menor de

acuerdo con el valor del

exponente.

4. Bajar el primero de los coeficientes

5. Realizar las operaciones

6. El resultado ser igual a los coeficientes

restantes

7. Acomodar los coeficientes con sus

variables cuyos exponentes sern

una unidad menor que en la

ecuacin original

7. Factorizacin

Por trmino comnx3 + x 2 + x = x(x 2 + x + 1)am bm + an bn = a(m + n) b(m + n) = (a b)(m + n)

Diferencia de cuadrados:

9x 6 4 y8 = (3x3 + 2 y 4 )(3x3 2 y 4 )

Diferencia de Cubos

(a3 + b3 ) = (a + b)(a 2 ab + b 2 )(a 3 b3 ) = (a b)(a 2 + ab + b 2)

Factorizacin de trinomios ax 2 + bx + c

1) Encontrar los factores de a

2) Encontrar los factores de c

3) Multiplicar el factor 1a por el factor 1c, y el 2a por el 2c.

4) Los valores que nos dieron anteriormente sumarlos o restarlos

con el fin que nos de el valor de b. Si esto sucede, los nmeros

anteriores sern los factores que acomodaremos de la siguiente

manera:(1ax + 2c)(2ax + 1c)

Trinomio cuadrado no perfecto1) Se busca cual sera el segundo trmino de dicho trinomio para que ste

fuera perfecto.

2) A dicho trmino, se le resta el segundo trmino de la ecuacin original.

3) El resultado obtenido se suma a la ecuacin original, y adems se resta

el mismo, pero sin agrupar los trminos semejantes

4) Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto

5) Se saca raz cuadrada al resultado obtenido.

LGEBRA

Rama de las matemticas en la que se usan letras para representar relacionesaritmticas. Al igual que en la aritmtica, las operaciones fundamentales dellgebra son adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin y clculo de races. Laaritmtica, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemticas,como el teorema de Pitgoras, que dice que en un tringulo rectngulo el rea delcuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las reas de los cuadrados delado los catetos. La aritmtica slo da casos particulares de esta relacin (porejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52). El lgebra, por el contrario, puede daruna generalizacin que cumple las condiciones del teorema: a + b = c. Unnmero multiplicado por s mismo se

denomina cuadrado, y se representa con el superndice 2. Por ejemplo, la notacin2 de 3 3 es 32; de la misma manera, a a es igual que a.

1. Prioridad de las operaciones

Primero se hacen las multiplicaciones, despus las divisiones, seguidas delas sumas y las restas. Los smbolos de agrupacin indican el orden en quese han de realizar las operaciones: se hacen primero todas las operacionesdentro de un mismo grupo, comenzando por el ms interno. Por ejemplo:

En este contexto, el grado es el mayor exponente de las variables en unpolinomio. Por ejemplo, si el mayor exponente de la variable es 3, comoen ax3 + bx2 + cx, el polinomio es de tercer grado. Del mismo modo, laexpresin xn + xn-1 + xn-2 es de n-simo grado.

1. Propiedades de la adicin

A1. La suma de dos nmeros reales a y b cualesquiera es otro nmero real que

se escribe a + b. Los nmeros reales son uniformes para las operaciones de

adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin; esto quiere decir que al realizar

una de estas operaciones con nmeros reales el resultado es otro nmero real.

A2. Cualquiera que sea la forma en que se agrupan los trminos de la adicin,

el resultado de la suma es siempre el mismo: (a + b) + c = a + (b + c). Es la

llamada propiedad asociativa de la adicin.

A3. Dado un nmero real a cualquiera, existe el nmero real cero (0)

conocido como elemento neutro de la adicin, tal que a + 0 = 0 + a = a.

A4. Dado un nmero real a cualquiera, existe otro nmero real (-a), llamado

elemento simtrico de a (o elemento recproco de la suma), tal que a + (-a) = 0.

Propiedades de la multiplicacin

Para la multiplicacin se cumplen propiedades similares a las de la

adicin. Sin embargo, hay que prestar especial atencin a los

elementos neutro y recproco,

M3. Dado un nmero real a cualquiera, existe el nmero real uno (1)

llamado elemento neutro de la multiplicacin, tal que a(1) = 1(a) = a.

M4. Dado un nmero real a distinto de cero, existe otro nmero (a-1 o

1/a), llamado elemento inverso (o elemento recproco de la

multiplicacin), para el que a(a-1) = (a-1)a = 1.

M5. Cualquiera que sea el orden en que se realiza la multiplicacin, el

producto es siempre el mismo: ab = ba. Es la llamada propiedad

conmutativa de la multiplicacin.

Propiedad distributiva

Otra propiedad importante del conjunto de los nmeros reales

relaciona la adicin y la multiplicacin de la forma siguiente:

D1. a(b + c) = ab + ac D2. (b + c) a =

ba + ca

Un conjunto de elementos con una relacin de igualdad, en el que

se definen dos operaciones (como la adicin y la multiplicacin)

que cumplan las propiedades de la adicin, A1 a A5, las

propiedades de la multiplicacin, M1 a M5, y la propiedad

distributiva, D1 y D2, constituye un cuerpo conmutativo.

Factorizacin de polinomios

Mximo comn divisor

La expresin 9x + 18x, el nmero 9 es un factor de ambos trminos, lo mismo que x2.Tras su factorizacin se obtiene 9x(x + 2), y 9x es el mximo comn divisor de todos lostrminos del polinomio original (en este caso un binomio). De la misma manera, en eltrinomio 6a2x + 9abx + 15cx, el nmero 3 es el mayor submltiplo comn a 6, 9 y 15, y xes el mayor factor de la variable comn a los tres trminos. Por tanto, el mximo comndivisor del trinomio es 3x.

Mnimo comn mltiplo

Para poder combinar dos o ms fracciones, los denominadores deben ser iguales; la formams directa de obtener un denominador comn es multiplicar todos los denominadoresentre s. Por ejemplo:

Resolucin de ecuacionesLa estrategia bsica es despejar la incgnita en un lado de la igualdad y la solucinser el otro lado. Por ejemplo, para resolver la siguiente ecuacin lineal con unaincgnita. Ej.

x -4x = -3 ; x -4x + 3 = 0Por tanto, a = 1, b = -4 y c = 3. Estos valores se sustituyen en la frmulacuadrtica:

MATRICES

Una matriz de orden m.n es un conjunto de nmeros reales

dispuestos en filas y columnas de la siguiente forma:

Cada elemento de la matriz lleva dos subndices: El primero indica la fila y el segundo la columna en que se encuentra ubicado.

lgebra de Matrices:

Producto de matrices: Para poder multiplicar dos matrices A y B el numero decolumnas de A tiene que coincidir con el numero de filas de B. La matriz productoresultante (AB) tiene como elemento ij el producto escalar de la fila i de la matriz Apor la columna j de la matriz B. La matriz resultante tiene el numero de filas de A y elnumero de columnas de B.

Ej.Realice (A+2B)C

A partir de una matriz A (cuadrada o no), podemos formar otra

matriz llamada matriz traspuesta que se denota At y se obtiene

cambiando filas por columnas en la matriz A, es decir, la fila i de A

es ahora la columna i de At. Si la matriz A tiene orden m.n, At tiene

orden n.m. Una matriz es simtrica si coincide con su traspuesta

(A=At) y es antisimtrica si coincide con su traspuesta cambiada

de signo (A=-At).

Dada una matriz cuadrada A, diremos que tiene inversa si existe una

matriz cuadrada del mismo orden (A la que denotamos A-1) tal que

el producto AA-1=I. La matriz inversa, si existe, es nica. No todas

las matrices tienen inversa; las matrices con inversa se llaman

invertibles o regulares. Una matriz no invertible es aquella cuyo

determinante es igual a cero.

Calculo de la matriz inversa: El mtodo mas sencillo de usar es mediante elmtodo de Gauss.

Determinantes

Notacin matemtica formada por una tabla cuadrada de nmeros, u otros

elementos; el valor de la expresin se calcula mediante su desarrollo siguiendo

ciertas reglas. Un determinante de orden n-simo es una tabla cuadrada con n

filas y n columnas.

Si la matriz A es de orden 3 el determinante se calcula usando la Regla de Sarrus:

Ejemplo:Halle el determinante de la matriz A

Este mtodo de clculo del valor de un determinante puede ser bastante laborioso,

por lo que se utilizan ciertas propiedades de los determinantes para reducir la

cantidad de clculos necesarios. Entre estas propiedades, tenemos las siguientes:

Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces |AB|=|A|.|B|.

Para una matriz cuadrada A: |A|=|At|.

Si una matriz tiene dos filas o columnas iguales o proporcionales, su determinante

=0.

Si una matriz tiene una fila o columna nula, el determinante vale cero.

Si en una matriz cambiamos el orden de dos filas o columnas el determinante de

la nueva matriz vale lo mismo que el de la matriz inicial pero con el signo invertido.

|aA|=an|A|. Siendo a un numero real cualquiera y n el orden de la matriz.

Un determinante es igual a cero si todos los elementos de una fila (o columna) son

idnticos, o proporcionales, a los elementos de otra fila (o columna).

Si todos los elementos de una fila (o columna) se multiplican por un factor dado, el

determinante queda multiplicado por dicho factor.

El valor de un determinante no se altera si se aade a cada elemento de una fila

(o columna) el elemento correspondiente de otra fila (o columna) multiplicado porun factor constante

Mtodo de Eliminacin de Gauss

Para solucionar por este mtodo, debemos transformar las ecuaciones lineales en

una matriz escalonada, es decir, igualando la diagonal principal a 1 y lo que se

encuentre debajo de esta a cero, para plantear unas ecuaciones mas sencillas

para reemplazar.

Este proceso es aplicable a todos los sistemas de ecuaciones lineales que existen,no hay un valor mximo de ecuaciones que se puedan trabajar.

Mtodo de Eliminacin de Gauss-Jordan

Este mtodo es parecido al de Gauss, solo que al igualar la diagonal principal a

1,

el resto de las variables deben quedar igualadas a 0, as obtenemos los

resultados

directamente.

Este proceso es aplicable a todos los sistemas de ecuaciones lineales que

existen,

no hay un valor mximo de ecuaciones que se puedan trabajar.

Ejemplo: Desarrollar el siguiente sistema de ecuaciones:

Ley de Kramer

La ley de Kramer es til para resolver sistemas de ecuaciones 3x3, dice: El valorde cada incgnita es una fraccin cuyo denominador es la determinante formada

por los coeficientes de las incgnitas (determinante del sistema) y cuyo

numerador

es la determinante que se obtiene sustituyendo en la determinante del sistema la

columna de los coeficientes de la incgnita que se halla por la columna de lostrminos independientes de las ecuaciones dadas.

Sistema de Ecuaciones consistentes e inconcistentes

Un sistema de ecuaciones lineales sin solucin, se denomina sistema de

ecuaciones inconsistente. Un sistema de ecuaciones lineales con nica

solucin,

se denomina sistema de ecuaciones consistente con nica solucin y un

sistema

de ecuaciones lineales con infinitas soluciones, se denomina sistema deecuaciones consistente con infinitas soluciones.

Sistema de ecuaciones inconsistente.

Desarrollar el siguiente sistema de ecuaciones:

Desarrollar el siguiente sistema de ecuaciones: