Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 1 INTRODUCCION Laestadsticaesunadelasherramientasmasampliamenteutilizadasenlainvestigacin cientfica. Su aplicacineninstitucionesgubernamentalesyeducativas, enlosnegociosyen la industria, en la banca y en otros quehaceres diarios hace de la estadstica una herramienta indispensable. Sin embargo el termino Estadstica tiene varios significados para diferentes personas; para la gente comn y corriente la estadstica solamente significa nmeros.En el periodo de la maana se puede encontrar la estadstica mas reciente sobre los delitos de la ciudad:deasesinatos,derobosdeautomviles,deasaltosydemsdelitosquehayansido denunciados en determinado periodo de tiempo; de los nacimientos y muertes que han ocurrido, oenlarelacinconeldeporte,elnumerodepartidosganadosyperdidosporequipos integrantes de la liga de ese deporte. Para otras personas es un mtodo para obtener, presentar y escribir grandes cantidades de datos, y para otras es un mtodo para tomar decisiones en situaciones difciles. El objetivo es aclarar los significados de la Estadstica, definir sus conceptos bsicos utilizados con frecuencia y analizar los usos y abusos de los mtodos estadsticos. Aunquelossignificadosseandiferentes,todosellosformanpartedelconceptototalde Estadstica. La palabra Estadstica tiene su sentido mas amplio para aquellas personas cuyo trabajo requiere deunconocimientodelosaspectosmastcnicos.Paraestaspersonas,laestadsticatiene relacinconaquellosconceptosytcnicasqueseutilizanenlarecopilacin,organizacin, resumen, anlisis, interpretacin y comunicacin de informacin numrica. TambinlaEstadsticaprovienedelapalabra estado,porquelafuncin tradicionaldelos gobiernoscentralesesyhasidollevarlacuentadelacantidaddehabitantes,nacimientos, defunciones,empleoydesempleo,cantidaddeempresas,costodevidaymuchasotras caractersticas de nuestra sociedad. Estosconceptosytcnicasjueganunpapelimportanteenlasactividadesquerealizanlos profesionales de todas las ciencias. Hoyenda,muchasactividadesestnrelacionadasconlaestadsticaymuchasocupaciones implican el uso del mtodo estadstico. PROPOSITO Laestadsticaesunaramadelasmatemticasaplicadasquesurgiporlanecesidadconcreta queelhombretienequeconocerlaresolucindeproblemasrelacionadosconlarecoleccin, procesamiento,anlisiseinterpretacindedatosnumricoscuyoconocimientolepermitir tomar decisiones acertadas. Paraelconocimientodelarealidadconcretaquealhombreleinteresa,consideratresetapas fundamentales que son: -Planear la bsqueda y la obtencin de la informacin. -Sistematizar yorganizar la informacinde tal formaque se puedadescribiryanalizar con facilidad. -Efectuarinferenciassobrelarealidadapartirdelainformacinobtenida,haciendo estimaciones verificando hiptesis. Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 2 Lainterpretacindelainformacinpermiteobtenerconclusionesqueenriquecennuestro conocimiento de la realidad y nuestra capacidad para transformarla. Elpropsitoesdeproporcionarlosconocimientosparallevaralaprcticalasetapasquete permitirn la resolucin de cualquier problema estadstica. APLICACIONES DE LA ESTADISTICA La estadstica da a da gana terreno en su aplicacin en toda actividad humana por simple que esta sea. LaestadsticaseaplicaenlosprogramasdeGobierno,Ingeniera,Agronoma.Economa, Medicina, Biologa, Psicologa, Pedagoga, Sociologa, Fsica, etc; no hay alguna ciencia que no la use o profesin que no lo aplique. Algunos ejemplos del uso de la estadstica son: 1)Enlasagenciasgubernamentales,tantofederalescomoestatalesutilizanlaestadstica para realizar planes y programas para el futuro. 2)En el campo de la ingeniera se aplica en muchas actividades tales como: a)La planeacin de la produccin. b)El control de la calidad. c)Las ventas. d)El almacn, etc. 3)EnlaSociologaseaplicaparacompararelcomportamientodegrupos socioeconmicos y culturales y en el estudio de su comportamiento. 4)Enelcampoeconmicosuusoesfundamentalparainformareldesarrolloeconmico deunaempresaodeunpasquedaaconocerlosndiceseconmicosrelativosala produccin, a lamanodeobra, ndicesde preciosalconsumidor, lasfluctuacionesdel mercado burstil, las tasa de inters, el ndice de inflacin, el costo de vida, etc. 5)EnelcampodemogrficolaEstadsticaseaplicaenlosregistrosdeloshechosdela vida diaria, tales como:-Nacimientos. -Defunciones. -Matrimonios. -Divorcios. -Adopciones. -Etctera. Enmateriadepoblacinlosdatosaportanunabuenaayudaparafijarlapolticade estmulos al control de la natalidad, dirigir la inmigracin o emigracin, establecer los planesdeluchacontralasenfermedadesepidmicasoplagasqueazotanloscampos, etctera. 6)En el campo educativo la Estadstica contribuye al conocimiento de las condiciones fisiolgicas, psicolgicas y sociales de los alumnos y de los profesores. Al perfecciona- miento de los mtodos de enseanza y de evaluacin. 7)Industria. La mayor parte de los industriales la utilizan para el control de calidad. 8)Agricultura.Seempleaenactividadescomoexperimentossobrelareproduccinde plantasyanimalesentreotrascosas.TambinseusalaEstadsticaparadeterminar los efectos de clases de semillas, insecticidas y fertilizantes en el campo. Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 3 9)Biologa. Se emplean mtodos estadsticos para estudiar las reacciones de las plantas ylosanimalesantediferentesperodosambientalesyparainvestigarlaherencia.Las leyes de Mendel sobre la herencia en donde los factores hereditarios se atribuyen a uni- dadesllamadasgenesyalestudiosistemticodeloscruzamientosentreindividuos portadores de genes diferentes, lo que ha permitido precisar de qu manera los genes se separanoserenenenlasgeneracionessucesivas.Laverificacindelashiptesis formuladas por Mendel y sus continuadores necesit el empleo de la Estadstica, la cual en este caso ha lanzado las primeras luces sobre el mecanismo de la herencia. 10) Medicina. Los resultados que se obtienen sobre efectividad de frmacos se analizan por mediodemtodosestadsticos.Losmdicosinvestigadoresseayudandelanlisis estadstico para evaluar la efectividad de tratamientos aplicados. La Estadstica tambin seaplicaenelestablecimientoyevaluacindelosprocedimientosdemedidao clasificacin de individuos con el propsito de establecer la especificidad y sensibilidad a las enfermedades. 11) Salud. Los tcnicos de la salud la utilizan para planear la localizacin y el tamao de los hospitales y de otras dependencias de salud. Tambin se aplica en la investigacin sobre lascaractersticasdeloshabitantesdeunalocalidad,sobreeldiagnsticoylaposible fuente de un caso de enfermedad transmisible; sobre la proporcin de personas enferma s en un momento determinado, de ciertos padecimientos de una localidad, sobre la pro- porcin de enfermos de influenza en dos grupos, uno vacunado contra el padecimiento y el otro no. Tambin se aplica en cualquier otro tipo de investigacin similar a ste. 12) Psicologa.Lospsiclogossevalendelosconceptosytcnicasdelaestadsticapara medir y comparar la conducta, las actitudes, la inteligencia y las aptitudes del hombre. 13) Negocios. Los hombres de negocios pueden predecir los volmenes de venta, medir las reacciones de los consumidores ante los nuevos productos, etctera. 14) En la Fsica se utiliza la Estadstica para obtener datos y probar hiptesis. Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 4 1. Definicin.- La Estadstica es el estudio cientfico relativo al conjunto de mtodosencamina- dos a la obtencin, representacin y anlisis de observaciones numricas, con el fin de descri- bir la coleccin de datos obtenidos, as como inferir generalizaciones acerca de las caracters- ticasde todaslasobservacionesy tomar lasdecisionesmsacertadasenel campo de suapli cacin. 1.1 Clasificacin: La Estadstica como disciplina o rea de estudio comprende tcnicas descrip- tivascomoinferenciales.Incluyelaobservacinytratamientodedatosnumricosyel empleo de los datos estadsticos con fines inferenciales. Para su estudio se clasifica de la siguiente forma: a)EstadsticaDescriptiva:Esunapartedelaestadsticaqueseencargadeorganizar, describir, ordenar, resumir y presentar datos de manera informativa.

b)EstadsticaInferencial:Esunatcnicamediantelacualseobtienengeneralizacioneso setomandecisionesenbaseaunainformacinparcialocompletaobtenidamediante tcnicas descriptivas. Estambinlaquenosproporcionalateoranecesariaparainferiro estimarlasleyesde una poblacin partiendo de los resultados o conclusiones del anlisis de una muestra. Estasdospartesdelaestadsticanosonmutuamenteexcluyentes,yaqueparautilizarlos mtodosdelainferenciaestadstica,serequiereconocerlosmtodosdelaestadstica descriptiva. 1.2 Poblacin y Muestra a)PoblacinEstadsticaoUniverso:Esunconjuntodeelementos(personas,entidadesu objetos),delcualsequieresaberalgoquenosinteresaparatomarunadeterminacin; que contiene una o mas caractersticas observables de naturaleza cualitativa o cuantitativa que se pueden medir a ellos. A cada elemento de la poblacin se denomina unidad elemental o unidad estadstica. El nmero de datos de una poblacin se simboliza con la letra (N). Ejercicio 1:Los empleados de una empresa en un da laborable, constituyen una poblacin en la que cada empleado (unidad estadstica), tiene muchas caractersticas a ser observadas, como porejemplo:sexo,estadocivil,lugardeprocedencia,gradodeinstruccin,etc. (caractersticas cualitativas), o numero de hijos, ingresos mensuales, etc. (caractersticas cuantitativas). Elresultadodemedirunacaractersticaobservabledeunaunidadelemental.Se denomina dato estadstico o valor observado o simplemente observacin. Tenemosque poblacin finita si tiene un nmero finito de elementos. En caso contrario la poblacin infinita. Pero en la prctica, una poblacin finita con un nmero grande de elementos se considere poblacin infinita. Parmetro: Es una medida descriptiva que resuma una caracterstica de la poblacin como: la media () o la varianza (2), se calcula a partir de los datos observados de toda la poblacin. Ejercicio 2: Mencione tres ejemplos de poblacin - Poblacin de ventas anuales de los supermercados de Lima Metropolitana. - Poblacin de todoslos posibles resultados cara y sello que se obtienen al arrojar una moneda un nmero indefinido de veces. - Poblacindepuntajesderendimientoenlasolucindeejerciciosmatemticosde todos los alumnos de la carrera de Ingeniera Industrial tercer ciclo. Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 5 b) Muestra: Es un subconjunto de la poblacin que se estudia para determinar el parmetro que describe la caracterstica deseada de la misma. Todas las muestras son subconjuntos de la poblacin pero no todas son representativas. Las muestras representativas se seleccionan aleatoriamente. Muestra aleatoriaesaquellaqueseobtienedetalmaneraquecadaposibleobservacin disponible en la poblacin, tiene la misma probabilidad de ser seleccionada. El nmero de datosque constituye una muestra se llama tamao de la muestra y se sim- boliza con la letra (n). Ejercicio 3: Cite un ejemplo de muestra -Si se desea estimar el gasto promedio anual de los estudiantes del C.B., se extraera una muestraformadaporciertonmerodeestudiantes,sedeterminaraelgastoanual correspondiente a cada uno de ellos y despus se obtendra el promedio. Se utiliza una muestra debido a que simplemente no se tiene el tiempo ni los recursos para establecer el contacto con todos los estudiantes del C.B., aun cuando es posible hacerlo. Estadsticooestadgrafo: Es unamedidadescriptivaque resuma unacaracterstica dela muestra,como: la media ( x ) o la varianza (s2) calculada a partir de los datos observados de una muestra aleatoria. Ejercicio 4:En un campo de experimentacin agrcola se ha desarrollado una variedad de jitomate. Se desea determinar el peso promedio de los jitomates de cada planta. Determinar el parmetro y el estadgrafo. Solucin: El parmetro de la poblacin es: El peso promedio de todos los jitomates producidos por cada planta en una cosecha determinada. El estadstico o estadgrafo es el peso promedio de todos los jitomates producidos por planta, en una muestra aleatoria de plantas cultivadas de la cosecha. ( x ). 2. Variables: Se clasifican de la forma siguiente a)VariableCualitativa.-Esaquellaquerepresentaunacualidadyaseaenunapoblacino muestra, no lleva clasificacin numrica. Porejemplo,lavariableestadocivilpuede adoptarlasmodalidades:soltero,casado, divorciado, viudo, etc. La cual puede ser: Variablecualitativanominalovariablecategrica,cuandosedefinencategoras. Teniendoencuenta elnmerodeobservacionesparacadacategoracomoporejemplola variable color de ojos con las posibles modalidades (castao, azul, negro etc.). Variablecualitativaordinal,escuandoseordenaloscasosentrminosdegradopor ejemplola variableclasesocialconlasposiblesmodalidades(bajo, media, alto);otra variable estudio con las posibles modalidades (1er grado, 2do grado,etc.) b)VariablesCuantitativa.-Sonvariablesqueseobtienencomoresultadosdemedicioneso conteos,(sonvariablesnumricas).Sonvariablescuantitativaselpesodepersonas, temperatura,elcoeficienteintelectualdepersonas,lapresinsangunea,elnmerode estudiantesdelprimersemestre,elnmerodeaccidentequeseproducenenunperiodo dado de una regin geogrfica.

Las variables cuantitativas se clasifican en: Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 6 VariablesCuantitativasDiscretas,cuandotomanvaloresnumricosaisladosoenteros positivosy nopuedentomarningnvalorentredosconsecutivosfijadosporejemploel nmero demonedas que unapersonallevaensubolsillo;elnmerodeadmisionesen un hospital durante un da determinado. VariablesCuantitativasContinuas,sonaquellasquepuedentomarinfinitosvaloresentre dosnmeros, por muy prximos que los fijemos por ejemplo la estatura de los estudiantes delacarreradeingenieraindustrial;niveldecolesteroldeciertospacientesdehospital general, la edad etc. Ejercicio 5:Un empresario desea saber entre las marcas de carro (Ford, Nissan, Chrysler),cul es el de preferencia de los habitantes de una ciudad de la Repblica; para ello se encuesta a 20 personas habindose obtenido los siguientes resultados: F, N, C, F, C, C, N, C, F, N, N, N, F, C, N, F, N, C, F, N. Que tipo variable es? y Qu marca es la de mayor preferencia?Solucin: Es una variable cualitativa nominal, porque a los habitantes encuestados los agrupa en tres categoras sin tener un orden que esta dado por la marca de carro. De los 20 encuestados la mayora prefiere carros de marca Nissan. Ejercicio 6:Enunaencuestaacercadelapreferenciasdeunamarcadebebidagaseosasporsus colores: Negro(N), Blanco (B), Rojo(R), 20 consumidores dieron las siguientes respuestas:B,N,N,B,R,,N,N,B,B,N,B,N,N,R,B,N,B,R,B,N Qu tipo de variable es y porque?; Qu color de bebida es ms favorecido? Ejercicios de Aplicacin I 1.Del siguiente problema identifica y escribe en la lnea cul es la poblacin, la muestra, el pa- rmetro y el estadgrafo. De todos los estados de la Repblica Mexicana se desea saber el ingreso bruto sobre recauda- cin de impuestos sobre la renta y el promedio de ingresos de diez de los estados tomados al azar. La poblacin es _________________________________________________________ La muestra es __________________________________________________________ El parmetro es _________________________________________________________ El estadgrafo o estadstico es _____________________________________________ 2.Alinvestigarelnivelsocioeconmicoenlosvalores:Bajo(B),medio(M),alto(A),20 familias dieron los siguientes respuestas: M,B,B,M,A,B,B,M,M,B,M,B,B,A,M,B,M,B,M,A,M,B Que tipo variable es?: _________________________________ Qu nivel socioeconmico mas frecuente se presenta?_______________________________ Explica con tus propias palabras, cul es el objetivo de la investigacin?. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3.LacompaaMarketconbaseenChicagopidiunamuestrade1960consumidoresque probaronunplatodepescadocongeladoelaboradoporlaempresaMatndelos 1960 consumidores consultados 1176 dijeron que compraran el platillo si se pusiera ala venta. Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 7 a)QueinformaralacompaaMarketdeMatn,respectoalaaceptacindelplato de pescado congelado si se pusiera a la venta? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ b) Este es un tipo de estadstica descriptiva o inferencial y porque. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 4.Clasifiquelasvariablesdetalladamente:Profesin,Nacionalidad,gradodeinstruccin, nmerodehijos,nmerodecelular,direccin,aodenacimiento,edad,estadocivil, ingreso mensual familiar promedio, nmero de DNI 5.Elmdicodeunaguarderadeseasaberelcrecimientoquetuvocadanioasucuidado, durantelosprimeros6mesesdelao,paraelloseobtuvieronlossiguientesresultadosen centmetros: 8, 8, 7, 5, 4, 3, 4, 7, 5, 9, 3, 4, 7, 6, 5, 7, 3, 5, 4, 5, 3, 9, 7, 6, 8, 4, 6, 9, 7, 8, 3, 4, 9, 5 Escribe la variable que se investiga: ______________________________________ Es una muestra o poblacin: _____________________________________________ Qu tipo de variable es? _______________________________________________ 6.El maestro del grupo 502 del plantel 2 Cien Metros, evalu el grado de aprovechamiento en el curso de estadstica, bajo la siguiente escala: Excelente, Bien, Regular, Mal; habiendo obtenido los siguientes resultados: R, B, M, R, E, M, B, R, R, M, B, E, B, R, B, B, R, B, B, R, B, M, E, R, R, B, B, E, B, R, R, R, B, B, R, B, R, R, B, E, M, R, B, R Responda las siguientes preguntas: Cul es la variable que se est evaluando? ___________________________ Cuntos alumnos obtuvieron E? ____________________________________ Cuntos alumnos obtuvieron B? ____________________________________ Cuntos alumnos obtuvieron R? ____________________________________ Cuntos alumnos obtuvieron M? ____________________________________ Cuntos elementos tiene la muestra? ________________________________ En cuntas categoras se agrupan los elementos? ______________________ Qu tipo de variable es la que se est evaluando? ______________________ 7.Las edades de los jvenes que escuchan las casi 60 estaciones de radio, con canciones romnticas en la ciudad de Tacna son: 20192721181615231713141520212223141619202120 23191614171527242130293218172329232419131417 2932312120303424211918. Qu tipo de variable es?_____________________________________________________ Cul la edad mxima y edad mnima?__________________________________________ Es una muestra o poblacin: __________________________________________________ 8.Enuna encuesta a 180 propietariosde residenciasde lujo, 80 eran de la Molina, 60 eran de san Isidro, 30 eran de Mira flores y 10 de Pueblo Libre. Qu tipo de variable es? 9.UninformedelarevistaFuturoreveloquelosjaponensesprontocontrolaranun35% de las ventasde autosen EstadosUnidos, comparado con el 28% de los finalesde los aos 90esta apenasaun8%porencimadeloocurridoen1980.Estainformacincontiene estadstica descriptiva, inferencial o ambas? Explique Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 8 3. Descripcin de Datos.- La primera tarea de la Estadstica descriptiva son ordenar, clasificar y resumir los datos obtenidos en la investigacin de campo, para ello se concentran en tablas de Frecuencias.Ordenados losdatos se facilita su representacin en diagramas y grficas de diferentes tipos. Ademspermitesealardondelosvalorestiendenaconcentrarseeindicalosvalores menores y mayores. 3.1 DistribucindeFrecuenciasoTablasdeFrecuencia.- Losdatosagrupadosentablas,nos permitenverconfacilidadelnmerodeobservacionesigualesocomprendidosenun intervalo, a este nmero de repeticiones iguales de la variable se llama frecuencia 3.2FrecuenciaSimpleoAbsoluta.-Eslaobservacindeunacaractersticaparticulardeuna poblacin o muestra dada y se denota por (fi). Por ejemplo hay tres clases de carros entonces habr tres frecuencias. Otros valores relacionados con la frecuencia son: -FrecuenciaAcumulada(Fi),comosunombrelodiceeslaquevaacumulandolas frecuencias simples

o absolutas (fi).

i i if f F + =1 -FrecuenciaRelativa,sedenotaporhiyvienehacerelcocientedelafrecuencia simple y el tamao de la muestra.

nfhii = -Frecuencia Relativa Acumulada: Se representa por Hi y se determina por: i i ih h H + =1 Las frecuencias relativas y relativas acumuladas, siempre se expresa en porcentajes. Y la suma de las frecuencias relativas (hi) es siempre la unidad. Para el caso de una muestra de tamao 29 Procedimiento: 1) Nmero de intervalos (k): Usamos la frmula de Sturges n k log 3 . 3 1+ =2) Rango del intervalo: min maxv v rango =3) Amplitud o ancho del intervalo (c): krangoc =4) Marca de clase (mi): Es la semisuma del lmite inferior y lmite superior Ejercicio 8 Seanlossiguientespuntajesdeloscoeficientesdeinteligenciade40estudiantes universitarios9310811290108 9911010212496105 115108104 104 103120 110108107 107 93109125106 110 124110 130 97 115 130 95 136122 92102 98140 103 Se tiene la tabla de distribucin de Frecuencias Complete Intervalos de clase Marcas de clase fi Fi hi 9098 98106 106114 114122 122130 130138 138146 7 9 13 3 4 3 1 0.175 0.225 0.325 0.075 0.1 0.075 0.025 Total40 a. Cul es la variable de estudio y que tipo es? Es muestra o poblacin; tamao? b. Que representa los intervalos de clase y las frecuencias absolutas? c. Cmo interpretara la frecuencia acumulada F5 y h5? Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 10 Ejercicios de Aplicacin II 1.Determine el cuadro de frecuencias cardiacasde un grupo de 50 fumadores 8079697769807680 7576797178778074 7073786870916672 8988918381687986 8382817873798480 90767980687279 758566 a) Cul es la variable de estudio y que tipos es? b) Es una poblacin o muesta? c) Cul es el peso mximo y peso mnimo? d) Interpretar f3, h6 y F4 2.Construir la tabla o cuadro de distribucin de frecuencias de una muestra que representa el peso de 53 personas en kilogramos 45 50 5062 6052 6480 63 6564 4767 61 72 70 7349 5460 65 64 61 7952 6240 81 69 60 6070 4387 4359 46 5754 7760 5368 58 8054 6461 59 60 90 5175 a) Cul es el peso mximo y peso mnimo? b) Cul seria la interpretacin de la frecuencia absoluta f3y frecuencia acumulada F5? 3.Los ingresos quincenales en dlares de 45 personas son 638936495664593578 425370576242686226 647252516260716155 596067576761675181 536476447356626360 Construir una distribucin de frecuenciasa)Cul es el valor mximo y mnimo? b)Cuntos intervalos de clase sugerira? c)Interpretar la f2 , h5, ,H2

4.La inversin anual, en miles de dlares, de una muestra de 40 pequeas empresa fueron: 3117 2720 28 10 34254 1539 1830 41 26 124618 3619 2937 33 27 272426 2528 3328222331 2935 2423 31 21 Construir una distribucin de frecuencias y determinar el porcentaje de empresas con una inversin entre 14 mil y 20 mil dlares. 5.Las notas del examen parcial de matemtica I dieron la siguiente distribucin de frecuenciasa) Completar la distribucin de frecuencias. b) Que porcentaje de notas se encuentran en el complemento del intervalo [6,12>? Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 11 N de das ausentes Marcas de clase hi Hi 6 15 13.5 0.15 0.10 0.45 0.70 Total 6.Lostiemposdevidatil(endas)deuntipodebatera,setabuloenunadistribucinde frecuenciasde5intervalosdeigualamplitudconfrecuenciasrelativaacumuladas:0.10, 0.25,0.55,0.80,1.00.Determinarladistribucindefrecuenciasabsolutassilatercera frecuencia absoluta acumulada es 11, si la segunda marca de clase es 6, y si el lmite inferior del cuarto intervalo es 12. R.vmin=0;c=4 7.Lospuntajesde una pruebade aptitud se tabularonen unadistribucindefrecuenciasde 6 intervalosdeigualamplitud.Sisetienen:marcasdeclase:m2=40,m4=80,frecuencias: h1=h6, h3=h5, h4=0.25, h2=h4- h1 y h3=h1+0.10 y F6=60, Construir la tabla de distribucin de frecuencias. R.vmin=10;c=20 8.El consumo mensual de agua de 150 hogares, se tabularon en una distribucin de frecuencias simtrica de 6intervalos, siendolasfrecuencias: f2=25, F3=75, F5=130. Siellmiteinferior del sexto inrvalo igual a 60, y el 70% de los consumos son mayores de 49,99m3. Completar la distribucin de frecuenciasR.vmin=35;c=5 9.LaoficinadeEstadsticaLaboralhahechounamuestrade30comunidadesentodoel pas sobre los precios de productos bsicos, en cada comunidad al principio y al final del mes de agosto, con el fin de encontrar aproximadamente cuanto ha variado el ndice de precios al Consumidor(IPC)duranteese mes.Loscambiosporcentualesenlospreciosparalas 30 comunidades son: 0.70.4 -0.3 0.2-0.1 0.1 0.3 0.7 0.0 -0.4 0.10.50.2 0.3 1.0-0.3 0.0 0.2 0.50.1 -0.5-0.3 0.1 0.50.4 0.0 0.2 0.3 0.5 0.4

a) Organice los datos en un arreglo ascendente. b) Utilizando las cuatro clases de igual tamao, construya una distribucin de frecuencias: -0.5 a-0.2;-0.1 a0.2;0.3 a 0.6;y0.7 a 1.0. c) Cuntas comunidades tienen precios que no cambian o que aumenten menos de 1.0%? d) Son estos datos continuos o discretos.

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4. Diagrama de Tallo (o tronco) y Hojas Esunatcnicaqueseusaparaorganizardatossinperderlaidentidaddecadadatoobservado, como si ocurre en una distribucin de frecuencias por intervalos. El diagrama de tallo y hojas se construye partiendo cada Dato numrico en dos. El tallo que consiste del digito o los dgitos iniciales y las hojas que consisten de los dgitosrestantes del dato. Usualmente se eligen entre 5 y 20 tallos. Los tallos ordenados son ubicados en forma vertical. Las hojas ordenadas de cada tallo son ubicadas horizontalmente.

Ejercicio 1 Sean los siguientes ingresos quincenales de 45 trabajadores 638936495664593578 53 73 60 435370576243686226 64 56 647252516260716155 76 62 596067576761675181 44 63 a) Desarrolle un diagrama de tallo y hojas b) Halle el porcentaje de ingresos quincenales inferiores a $52 c) Cul es el valor de en medio o centra? d) Cuntos valores estn entre 50 y 65? Solucin: a)Utilicemoselprimerdigitodecadadatocomotalloyelsegundocomohoja.Parael nmero 63 por ejemplo, el tallo es 6 y la hoja es 3. Como el dato mnimo es 26 y el dato mximoes89, entonceslostallosempiezanen2 y terminanen 8. Despusdeorganizar todos los datos, el diagrama de tallo y hoja resulta: TalloHojas 2 6 4 5 6 7 8 6 56 3349 112335667799 000112222334447778 012368 19 b) El porcentaje de ingreso quincenales inferiores a $52 es (9/45) = 0.2o 20% c)El valor de en medio o central es: $61 d) Hay 26 valores entre 50 y 65 Ejercicio 2 Los siguientes datos representan el periodo de duracin en meses de 32 baterasDURA doble A: 3.34.0 6.0 4.26.0 5.4 4.56.7 1.57.0 6.5 7.45.2 5.7 6.24.75.05.2 6.8 3.82.4 3.6 2.85.65.56.2 5.3 6.55.5 6.0 7.15.9 a)Desarrolle un diagrama de tallo y hojas b) Cul es el valor de en medio? c)Cuntas bateras duranentre 2.9 y 5.8 meses? Solucin: Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 13 a)Utilicemosdgitoenterodecadadatocomotalloyeldigitodecimalcomohoja.Parael nmero 5.2. por ejemplo, el tallo es 5 y la hoja es 2. Como el dato mnimo es 1.5 el dato mximoes7.4,entonceslostallosempiezanen1yterminaen7.Despusdeorganizar todos los datos, el diagrama de tallo y hojas resulta: TalloHojas 1 2 3 4 5 6 7 5 48 368 0257 0223455679 000225578 014 b) El valor de medio es: 5.5 meses c) Hay 16 bateras que duraron entre 2.9 y 5.8 meses. Ejercicio 3 Elsiguienteeseldiagramadetalloyhojasdelosvalores(unenteroydosdecimales)de una variable continua. El tronco consiste de un entero y un decimal: TalloHojas 1 2 3 4 5 6 7 5 48 368 0257 0223455679 000225578 014 a) Cuntos datos se observaron? Indique el mnimo y el mximo. b) Cul es el valor del centro? Solucin: .. .. .. .. .. ..

Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 14 5.RepresentacinGraficadelosdatosdelaMuestra.-Losgrficosdanunaideamuchomas sinttica queloscuadrosestadsticos,unasvecessufinalidadessimplementetratarde mostrar a otras personas la evolucin de dicho fenmeno, pues mientras que la interpretacin deuncuadroestadsticorequiere deciertosconocimientos,cualquierapuede comprender fcilmente que una lnea ascendente indica un aumento del fenmeno estudiado. Al igual que los cuadros estadsticos, en los grficos se considera:1)El titulo. 2)El grafico propiamente dicho 3)Las notas explicativas. 5.1 Representacin Grafica de Variables Cuantitativas.- Las ms usadas son: 1) Histograma. 2) Polgono de Frecuencias. 3) Polgono de Frecuencias Acumuladas u Ojivas 1)Histograma.-Esunarepresentacingraficadeladistribucindefrecuencias agrupadas en intervalos de clase, mediante una serie de rectngulos continuos que tienen: a)Susbasessobreunejehorizontal(ejedelasX)concentrosenlasmarcasdeclasey longitud igual al tamao de los intervalos de clase. b) Las alturas proporcionales a la frecuencia (absoluta o relativa) tomados sobre el eje de las Y.

Nota: Para la determinacin de la escala vertical se usara criterio comn dependiendo de los datos. Generalmente puede ser de 5 en 5 o de 10 en 10

2)PolgonodeFrecuencias.-Sonlneasrectasquesetrazanentrelasinterseccionesdel punto medio del intervalo de clase y la frecuencia. a)Silavariableesdiscreta,elpolgonodefrecuenciasseobtieneuniendolos extremos superiores de las barras en el diagrama de barras. b) Si la variable es continua o esta agrupada en intervalos de clase, el polgono de frecuencia se obtieneuniendolospuntosmediosdelasbasessuperioresdecadarectnguloenel histograma. 3)PolgonodeFrecuenciasAcumuladasyOjivas.-Estarepresentacinesvalida para variables estadsticas agrupadas en intervalos de clase o categoras. En el eje de las abscisas (X), representamos los intervalos de clase, en el extremo superior decadaintervaloselevantaunaverticalconalturaigualalafrecuencia (absolutao relativa) acumulada,luegoseunenlosextremossuperioresdelaslneasverticalescon segmentos rectilneos. As obtendremos la Ojiva del polgono de frecuencias acumuladas. Alcanzando su mxima altura en el ltimo intervalo.

Histograma y Polgono de Frecuencias de Coeficientes de Inteligencia

Coeficientes de inteligencia (k) Coeficientes de inteligencia (mi) Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 15 Polgono de Frecuencias Acumuladas u Ojivas de Coeficientes de Inteligencia

Coeficientes de Inteligencia (k) Ejercicios de Aplicacin III 1. a) Escriba los nmeros 17, 45, 38, 27,6,48,11, 57, 34 y 22 en una lista ordenada. b) Determine el rango de estos nmeros. 2.Silasmarcasdeclaseenunadistribucindefrecuenciasdepesosdeestudiantesson128, 137, 146, 155, 164, 173 y 182 libras (lb.) Encuentre (a) El tamao del intervalo de clase y los lmites de clase. 3.Lascalificacionesfinalesenmatemticasde80estudiantesuniversitariossereportanenla muestra siguiente: 68847582 68 9062 88 7693 73798873 60 9371 59 8575 61657587 74 6295 78 6372 66788275 94 7769 74 6860 96788961 75 9560 79 8371 79626797 78 8576 65 7175 65807357 88 7862 76 537486677381 72 6376 75 8577 A partir de esta tabla, encuentre: a)La calificacin ms alta y ms baja. b)Determine el cuadro de distribucin de frecuencias (ki, mi, fi, Fi). c)El numero de estudiantes con calificaciones de 75 o ms. d)Interprete la frecuencia f4, F6. 4.Enunacompaa,elsueldomnimoymximode200empleadosesde$150y$300 respectivamente. Tales sueldos se tabulan en una distribucin de frecuencias de 5 intervalos de igual amplitud. Si se sabe que 20 empleados ganan al menos $150,pero menos de $180; 60gananmenosde$210;110ganan menosde$240;180gananmenosde$270yel10% restante de empleados gana a lo ms $300. Construir la distribucin de frecuencias y graficar su polgono de frecuencias. Rp.vmin =150;c=30

5.Semuestralospesosde40estudianteshombresdeunauniversidad,conprecisindeuna libra.Construyaunadistribucindefrecuenciasyrepresenteatravsdeunpolgonode frecuencias. Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 16 138164150132 144 125149 157 146158140147 136 148152 144 168126138176 163 119154 165 146173142147 135 153140 135 161145135142 150 156145 128 Adems interprete F2 y f5. 6. El Midland Nacional Bank seleccion una muestra de 40 cuentas de chequesde estudiantes, enseguida se presentan los saldos (en dlares)a fin de mes: 40474 234 149 279215123 55 43 321 87 234 68 489 57185 141 758 72863703 125 350 440 37 252 27 521 302127 968 712 503489327 608 358 425 303 203

a)Coloquelosdatosenunadistribucindefrecuenciasusando$100comotamaode intervalo de clase y $0 como el punto de partida. b) Trace un polgono de frecuencias acumuladas. c) Elbancoconsideracomoclientepreferidoaunestudianteconunsaldofinalde$400o ms en su cuenta. Estime el porcentaje de clientes preferidos 7.LasimportacionesanualesdeungruposelectodeProveedoresElectrnicossemuestraen la siguiente distribucin de frecuenciasa) Complete y muestre las importaciones en forma de un histograma. b) Represente las importaciones mediante un polgono de frecuencias ImportacionesMarcas de clase N de proveedores Fi 25 58 8 11 1114 1417 6 13 20 10 1 Total50 8. Dada la siguiente distribucin de frecuencias, completar N de das ausentes Marcas de clase N de empleados Fi hi hi (%) 36 9 15 5 8 2 17 40 50 Total a)Elabore un histograma e interprete. b)Elabore un polgono de frecuencias acumuladas e interprete. c)Interprete la tasa de ausentismo de los empleados observado de los grficos. 9. La tabla muestra un a distribucin de frecuencias de los salarios semanalesde 65 empleados de la empresa P&R. De acuerdo con esta tabla determine: a)Complete el cuadro de distribucin de frecuencias. b)El porcentaje de empleados que ganan menos de $280 a la semana. c)El porcentaje de empleados que reciben por semana ms de $260, pero menos de $300. Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 17 d)Represente los salarios semanales de los 65 empleados a travs de una Ojiva. SalariosmiN de empleados Fi 250260 260270 270280 280290 290300 300310 310320 8 10 16 14 10 5 2 Total65

5.2RepresentacinGraficadeVariablesCualitativas.-Losmsusadossonlos grficos de barras y tambin los grficos circulares: 1)GrficoCircular:Paraestotrabajaremosconunejemplo.EnunexamendeEstadstica aprobaron 40 alumnos, desaprobaron 8 alumnos y no se presentaron 6 alumnos. CategorasfiS.C (grados) Aprobados40267 Desaprobados853 No se presentaron640 Total54360

Clculo de los sectores circulares Aprobados 267 67 . 2665440 36040360 54 ) (~ = = xxxtotal Desaprobados 53 33 . 53548 360~ = =x No se presentaron40546 360= =x 2)Grficodebarras.-Paraestotrabajaremosconunejemplo.Setienecomovariable cualitativanominalelestadocivildeungrupode personasadultas,seestablecieronlas siguientes categoras Estado Civilfi hi (%) Casados2550 Solteros1326 Divorciados24 Viudos48 No declaran612 267 53 40 Examen de Estadstica Aprobados Desaprobados NSP Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 18 Total50100 - Grfico de barras para frecuencias absolutas: Enlaescalahorizontalsetomaraladistanciade2cmparacadacategora.Luegola base=2x5=10cm. Enla escala vertical, criterio comnde acuerdo a los datos que se tiene. - Grfico de barras para frecuencias relativas En la escala horizontal se tomara la distancia de 2cm para cada categora.Enla escala vertical, criterio comnde acuerdo a los datos que se tiene. Observe que son porcentajes Categoras Para el alumno representar el grafico de barras de las frecuencias relativas Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 19 Ejercicios de Aplicacin IV 1.Latabladadamuestraelnumerodepacientesenmiles,dadosdealtadehospitales,conel diagnosticodevirusdeinmunodeficienciahumana (VIH),desde2000hasta 2004,Grafique estos datos a travs de barras. Ao 20002001200220032004 Altas de pac. con VIH 146 165194225234 2. Representar en grficos de barras los siguientes cuadros a) Inflacin en los cuatro primeros meses Frecuencia porcentual (%) Enero10 Febrero26 Marzo24 Abril40 Total100 b)Ganancia en millones de soles de una empresa en los cuatro trimestres del ao anterior Frecuencia Absoluta Primero50 Segundo70 Tercero60 Cuarto100 Total280 3. Se muestra el rea de los cinco grandeslagos bajo jurisdiccin de EstadosUnidos. Grafique los datos a travs de un diagrama de barra y circular. Grandes Lagosrea (en millas cuadradas) Michigan22342 Superior20557 Huron8800 Erie5033 Ontario3446 total60178 4. Representar en diagramas circulares los siguientes cuadros y completarlos a) Programas de TV. PreferidosFrecuencia porcentual (%)S.C(grados) Policiales50 Cmicos15 Telenovelas25 Sin preferencias10 Total100 b)Alumnos Matriculados por facultades Frecuencia Absoluta S.C (grados) Contabilidad8000 Educacin6000 Psicologa5000 Derecho3000 Total22000 Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 20 6.MedidasdeTendenciaCentral.-Sonvaloresqueresumenaunconjuntodedatosquenos trata de indicar el centro de los datos. Tambin sirve como base para medir y evaluar valores anormalmentealtosyanormalmentebajos.Enestadsticatieneimportanciamedirla tendencia central,denominados tambinpromedios,talescomo:Media,Moda,Mediana, media geomtrica, media armnica. 6.1Mediana.-La mediana esun valor quedivide a un conjuntodeobservacionesordenadasen formaascendenteodescendenteendosgruposdeigualnmerodeobservaciones.La notacin que vamos emplear Me. Tenemos2 casos: - Para datos no agrupados: a)Cuandolavariableenestudioesdiscretayn(nmerodeelementosdeladistribucin) es impar, la mediana serel valor ordenado del centro.

Ejemplo: 3, 8, 56, 14, 24, 31, 2, 7, 52; n=9 Primero ordenamos en forma ascendente 2, 3, 7, 8, 14, 24, 31, 52, 56luego14 =eM

b)Sila variableescuantitativadiscreta ynespar, la medianaesla semisumadelosdostrminos centrales.

Ejemplo: 39, 56, 87, 22, 15, 90, 43, 33; n=8. Hallar la mediana

Ordenando en forma ascendente 15, 22, 33, 39, 43, 56, 87, 90luego

41243 39=+=eM - Para datos Agrupados: Cuando la variable en estudio es cuantitativa continua cfF nli Miie) 2 / (1 + = : li Limite inferior de la clase que contiene a la mediana. :1 iF Frecuencia acumulada del intervalo anterior a la clase que contiene la mediana. : n Nmero de datos : cAmplitud o longitud de intervalo que contiene a la mediana

Ejercicio 1 Complete y halle el sueldo mediano correspondiente a 80 trabajadores de la tabla de frecuencias einterprete.

Sueldosmi fi Fi 90120 120150 150180 180210 210240 240270 270300 11 13 20 17 15 3 1

Total80 . Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 21 Nota:(Clculo de Mediana para frecuencias relativas) Si en lugar de las frecuencias absolutas se utilizan las frecuencias relativas (o porcentajes), entonces, haciendo hi=fi/n, Hi-1=Fi-1/n chHli Miie) 2 / 1 (1 + = Ventajas de la mediana: Como estadgrafo de posicin, la mediana es ms recomendable que la media aritmtica, cuando:

a)La mediana, solodepende de datosordenados y no del valor de los datos. Por lo tanto no es sesgado por algn valor grande o pequeo. b)Existanvaloresextremosexcepcionalmentegrandesomuypequeos,puestoquela mediana no esta afectada por los valores extremos como sucede con la media. c)Setrabajacontablasdefrecuenciasconintervalosendondenoseindicaelextremo inferiordelprimerintervaloonoseindicaelextremosuperiordelltimointervalo,o ambos casos. Esto no niega que exista la mediana, ella existe y siempre se puede calcular. d)Si se tiene datos cualitativos, se ordena de acuerdo a rangos, clasificaciones o categoras. Ejercicio 2 Enelsiguientecuadrodefrecuenciassepresentaunconjuntodeestudiantesclasificados por su rendimiento en cinco categoras Cul ser la mediana? CATEGORIAS fihi Fi Psimo-8 Malo 8 - 10 Regular 11 - 13 Bueno 14 - 16 Excelente 17 y + 4 7 12 10 7 0.100 0.175 0.300 0.250 0.175

Total401.000

6.2 Moda.- Es el valor que masveces se repite en una poblacin o muestra; se denota poroM . Tenemos dos casos: - Primer Caso:1) Determine la moda del siguiente conjunto de datos: 2,2,3,4,5,5,6,7,7,7,9,9,12 Mo =7 porque se repite 3 veces. Esta distribucin se llama unimodal por que solo posee una moda. 2) Determine la moda del siguiente conjunto de datos: 15, 19, 20, 35, 47, 59, 65 No tiene moda porque ninguno de ellos esta repetido. 3) La siguiente distribucin es bimodal, es decir tiene dos modas: 8,9,9,13,13,13,18,20,24,24,24,33,59,78,78

24 13 = =o oM y M Nota: Cuando tiene ms de dos modas se llama multimodal. Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 22 - Segundo Caso: Para datos agrupados; la moda esta dado por la formula: c li Mo2 11A + A A+ = 1 1f fM = A (1f Frecuenciadelaclaseinmediataanterioralaclasemodaly

Mf frecuencia de la clase modal). 2 2f fM = A (2f Frecuenciadelaclaseinmediataposterioralaclasemodaly

Mf frecuencia de la clase modal). Ejercicio 3 Determineelsueldomodaldelos80trabajadoresdadosenelcuadrodedistribucinde frecuencias del ejercicio 1 e interprete 6.3MediaAritmtica.-Denominada simplementemedia, esla suma de losvaloresobservados de la variable, dividido por el nmero de observaciones. 6.3.1 Media para datos no tabulados:

1)MediadeunaPoblacin.-LamediadeNvaloresx1,x2,x3,..,xN,delavariable cuantitativa X, observados en una muestra es el nmero: NxNii ==1 : Media de una poblacin :ix Todo los valores de la poblacin.: NNmero de elementos de una poblacin Ejercicio 4 Hay dos 12 fabricantes de automviles en EE.UU. a continuacin se presentamos el numero de patentes otorgados por el gobierno de EE.UU. a partir del aos pasado.

NCompaaN de patentes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 General Motors Nissan D. Benz Toyota Honda Ford Mozde Chysla Porsele Misuvichi Volvo BMW 511 385 275 257 249 234 210 97 50 36 23 13 Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 23 a)Es una muestra o poblacin:b)Cual es su media aritmtica e interprete? Nota: Toda caracterstica Medible de una poblacin se denomina parmetro. 2)MediadeunaMuestra.-Lamediadenvaloresx1,x2,x3,..,xn,delavariablecuantitativa X, observados en una muestra es el nmero: nxxnii ==1 : x Media de una muestra :ix Todo los valores : nNumero de elementos de una muestra Ejercicio 5Cierta Empresa se especializa en Tratos a largo plazo de pases extranjeros, interesa saber la tasadeintersdeestosacuerdosfinancieros, en una muestra aleatoria de 6 bonos presenta lo siguiente: NArticuloTasa de inters 1 2 3 4 5 6 Bono de Australia Bono de Blgica Bono de Canad Bono de Francia Bono de Italia Bono de Espaa 9.5% 7.25% 6.50% 4.75% 12.00% 8.30% Cual es la media de la tasa de inters de la muestra e interprete? .. 6.3.2 Media para datosde tamao menor 30 (29) 3)MediaParaDatosdeVariableCuantitativa.-Sinvaloresdeunavariableestadstica discretaXse clasificanenkvaloresdistintosx1,x2,x3,,xk,confrecuenciasabsolutas respectivas f1, f2, f3,, fk, entonces, su media es el nmero: nx fxkii i ==1. Ejercicio 6Completar el cuadro y calcular la media aritmtica dela distribucin delnumerodehijos por familia Valores X xi Frecuencias fi Productos fi.xi 0 1 2 3 4 1 4 7 6 2 Tot1al20 Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 24 a)Es una muestra o poblacin:b)Cual es su media aritmtica e interprete? . 4)MediaParaDatosAgrupados.-Tambinpuedeconsiderarsecomounamediaaritmtica ponderada. Sinvaloresde alguna variableestadstica cuantitativa x estn tabuladosen unadistribucin defrecuenciasdekintervalos,donde: m1,m2,m3,,mk,sonlasmarcasdeclase,yf1,f2, f3,, fk, son las frecuencias absolutas o simples respectivas, entonces, su media es el nmero: nm fxkii i ==1 : x Media:im Marcas de clase :if Frecuencias simples o absolutas: nNmero de datos. Ejercicio 7 Completeelcuadrodedistribucindefrecuenciasdelosingresosquincenalesde45 personas y determine la media aritmtica e interprete. Ingresos Quincenales mi N de personas fi.mi 2634 3442 4250 5058 5866 6674 7482 8290 1 2 4 10 16 8 3 1 Total45

Nota:Lamediaaritmticadedatostabulados,secalculatambin,utilizandolasfrecuencias relativas. En el caso de datos agrupados por intervalos, se tiene: ==kii im h x1 Ejercicio 8 Si 5, 8, 6 y 2 ocurren con frecuencias 3, 2, 4 y 1, en ese orden su media es:

7 , 51057= = x

O tambin puede ser 7 , 510571 4 2 3) 1 )( 2 ( ) 4 )( 6 ( ) 2 )( 8 ( ) 3 )( 5 (= =+ + ++ + += x xi5862Total fi 324110 fixi151624257 Ejercicio 9Sielexamenfinaldeluncursocuentatresvecesmasqueunaevaluacinparcialyun estudiantes obtiene una calificacin de 85 en el examen final, 70 y 90 en los dos parciales, la Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 25 calificacin media es 8354153 1 185 ) 3 ( 90 ) 1 ( 70 ) 1 (= =+ ++ += x La calificacin media o promedio es de 83 puntos. Propiedades de la Media -Al evaluar la media se incluyen todos los valores. -Para un conjunto de observaciones la media es nica. -La media es una medida til para comparar dos o ms poblaciones. -Lamediaaritmticanopuedecalcularseenlasdistribucionesquetieneintervalosde clases de extremos abiertos (menor que o mayor que). Otras Propiedades Importantes: 1.La media aritmtica de una constante es igual a la misma constante.| | k k x = ) ( 2.Lamediadelproductodeunaconstanteporunavariable,esigualalproductodela constante por la media de la variable.| | x k kx x = ) ( 3.La media de la suma de dos o mas variables, es igual al la suma de las medias de cada una de dichas variables. | | ) ( ) ( ) ( y x x x y x x + = + 4.Lamediadeunavariablemasunaconstante,esigualalamediadelavariablemsla constante.| | k x x k x x + = + ) ( ) ( 5.Si una muestra de tamao n con mediax , se divide en dos o tres submuestras de tamaos n1, n2 y n3; con sus medias respectivas3 21, x y x x . Donde n= n1+ n2+ n3 Entonces nx n x n x nx332211+ += Ejercicio 10 a) Enunaempresalaedadpromediodelas17trabajadorasmujeresesde31.2aosyla edad promedio de los 23 trabajadoreshombreses de 38 aos cual es la edad promedio del total de trabajadores? b)EnunexamendeEstadsticaparticiparontresgruposA,ByCconuntotalde180 alumnos;habiendoObtenidonotapromediogeneralde72puntos.Lospuntajes promediosdelosgruposAyBfueron75y62,yestabanconstituidospor80y60 alumnos respectivamente. Cul es la nota promedio del grupo C? Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 26 6.4 Uso de los promedios 1.delospromediosdefinidos,lamediaaritmticaseusaconmsfrecuenciaporsumejor tratamiento algebraico. Pero no siempre es un buen promedio. 2. Si la distribucin de las frecuencias es simtrica (o casi simtrica), lamedia, o la mediana o la moda es el promedio representativo, pues, en este caso, los tres promedios son iguales o casi iguales). 3. Si la distribucin tiene una marcada asimetra, entonces, la mediana es la medida promedio ms representativa. Ejercicios de Aplicacin V 1. Si un alumno en el semestre anterior ha obtenido 11 en el curso A de 5 crditos, 13en el curso Bde4 crditos, y 16enelcurso C de 3crditos, entonces,supromedio(ponderado por los crditos) es.R. 12.92 2. Si en este mes el aumento de los alimentos fue del 5%, de vivienda el 10% y de educacin 8% entonces a) Cuando el aumento promedio en los tres rubros para una persona que gasta el 40% de su sueldo en alimentos, el 35% en vivienda y el 25% en estudios esta dado por:R. 0.075b)CuandoelaumentopromedioenlostresrubrosparaunapersonaquegastaS/.1200en alimentos, S/.600 en vivienda y S/.1000 en estudios esta dado por:R. 0.0714 3. Los sueldos del mes de enero de 200 empleados de una empresa tiene una media de $230. a) Siel 60% de los empleados son hombres (el resto sonmujeres) y tienen un sueldo medio de $250, Cunto es el sueldo medio de las mujeres en enero?R. 200 b)Sienelmesdejulio,seproponeunaumentodel30%acadasueldodeeneromsuna bonificacin de $30 Cunto dinero adicional necesitara la empresa para pagar los sueldos de julio? R. $19800. 4.Paracalcularelsuministrodeaguaqueunaciudadrequieremensualmente,seescogen15 familias de la ciudad, resultando los siguientes consumos en metros cbicos: 11.2 21.516.419.714.6 16.932.2 18.2 13.1 23.818.315.518.8 22.714.0Sienlaciudadhay5000familias,Cuntosmetroscbicosdeaguaserequieren mensualmente si el consumo promedio por familia permaneces igual? R. media=18.46, consumo estimado=92300 5.Enestemeslospreciosdeventadeunamuestrade60antigedadesvendidasenErie Pennsylvania, elmespasado, fueron organizadosenla siguiente distribucin de frecuencia. Estime el precio de venta medio, mediano y modal; (interprete cada medida) Precio de venta [70,80[[80, 90[[90, 100[[100, 110[ [110, 120[ Frecuencia3 7 18 20 12 6. Una muestra de familias que estn suscritas a la compaa telefnica United Bell, registro los siguientes nmeros de llamadas recibidas la semana pasada. Determine la media y la mediana de la llamadas recibidas 5243303830 4212 46 39 37 34 46 32 18 415 Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 27 7.Lospuntajesdeunapruebadeaptitudsetabularonenunadistribucindefrecuenciasde6 intervalosdeigualamplitud.Setienealgunasmarcasdeclase:m2=40,m4=80,frecuencias relativash1=h6,h3=h5, h4=0.25, h2=h4-h1 yh3=h1+0.10yF6=60.Construirlatablade distribucin de frecuenciasy determineel puntaje medio y mediano de la prueba de aptitude interprete 8.Elsueldo promediode 200 empleadosde una empresa es$400. Se proponedosalternativas de aumento a) $ 75 a cada uno. b) 15% de su sueldo mas 10 dlares a cada uno. Silaempresadisponealosmsde$94000parapagar sueldos,Culeslaalternativamas conveniente? R. a) 95000; b) 9400, alternativa b) 9. Al tabular las calificaciones de un examen se obtuvieron las siguientes notas: 07, 08, 09, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 y las frecuencias del numero de alumnos respectivas:1, 1,1, 1, 1, 6, 8, 16, 18, 20, 2. a)Cunto es la media, mediana y moda de las notas?, Qu valor escogera como promedio? b)Cunto es la nota mnima para estar en el quinto superior? R. a) 14.2 5; 15; 16b) 16 10.Aunamuestraseaplicuntestparamedirautoestimaylospuntajessetabularonenuna distribucinde frecuenciasde 5 intervalosdeigual amplitud, siendo la puntuacinmnima 25,laterceramarcadeclase62.5.Silasfrecuenciasenporcentajesdelprimeroaltercero son: 5, 15, 25, y si el 90% de las puntuaciones son menores que 85. a)Calcule el promedio,mediana. b)Si se considera normal una autoestima comprendida entre 55 y 84 puntos, Qu porcentaje de la muestra no tiene un autoestima normal? Rp. a) Me=71.67 11. La compaa Petroperu maneja un pequea refinera en Ica que vende gasolina al por mayor, a minoristas independientes, Las ventas de la semana pasada fueron las siguientes:

Galones de GasolinaN de operaciones Fi 010 1020 2030 3040 4050 5060 6070 7080 10 20 30 25 15 10 5 5 Total120

a) Determine la media de los galones vendido en cada operacin. b) La moda se encuentra por debajo o por arriba de los 25, 000 galones 12.Lossiguientessonlosnmerosdevideocmaras Temban producidasdurante 50 turnosde ochohoras seleccionadasalazar.Determinelamediadelnmerodevideocmaras elaboradas durante un turno de ocho horas e interprete 348371360369 376 397 368361374410374 377335356 322344399362 384 365 380349358343432 376347385 399400359329 370 398 352396366392375 379389390 386341351354 395 338 390333 13.Completelossiguientescuadrosdedistribucinhallelamedia,medianaymodae interprete. Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 28 a) Cuadro de frecuencias de los pesos en kilogramos de 50 personas. Pesos Kg miN personas Fi 7379 7985 8591 9197 97103 103109 109115 2 6 8 11 13 8 2 Total50 c)Cuadro de frecuencias de coeficientes de inteligencia de 40 nios. Puntajesmi N nios Fi 8896 96104 104112 112120 120128 128136 136144 5 8 15 3 5 2 2

Total40

c)Cuadro de frecuencias de alturas en centmetros de 40 estudiantes universitarios. Alturas m mi N estudiantes Fi 117 126 126 135 135 144 144 153 153 162 162 171 171 180 2 3 10 13 6 4 2 total40 Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 29 7. Medidas de Posicin.- 7.1Cuartiles:Sonmedidasdeposicinquedividenencuatropartesigualesalconjuntode valoresordenadosde una distribucin de frecuencias. Estasmedidasson:el primer cuartil 1Q , el segundo cuartil2Qy el tercer cuartil 3Q El segundo cuartil 2Q coincide con la mediana eM , luego 2Q Me =

Las formulas para calcular los Cuartiles se derivan de la formula de la mediana y los pasos son los mismos: cfF nli Qii) 4 / (11+ =cfF nli Qii) 4 / 3 (13+ = 7.2Deciles:Sonmedidadeposicinquedividenen10puntosigualesalconjuntodelos valoresordenadosdeunadistribucindefrecuencias.Estasmedidassonelprimerdecil

1D , el segundo decil 2Dy as sucesivamente hasta el noveno decil 9D . 1Ddistribuye al lado izquierdo el 10% de los datos y al otro lado el 90%, es decir ocupa la posicin n/10. El segundo decil clasifica a los datos colocando al lado izquierdo el 20% del nmero de datos y al otro lado el 80 %, sea, ocupa la posicin 2n/10. Ver figura La formula para los Dciles es cfF rnli Diir) 10 / ) ((1 + = 7.3Percentiles:Sonmedidasdeposicinqueindicanellugarquecorrespondeaunpuntaje dentro de una escala ordenada de cien elementos. Su formula: cfF rnli Piir) 100 / (1 + =-:rP Indica el percentil buscado. -r,elrangodelpercentil,esdecir,lasituacindentrodelaescalaordenadasdecien elementos. - rn/100, el valor de este trmino indica el intervalo donde se halla el percentil.- n, nmero de elementos de la distribucin de frecuencias. Ejercicio 9Hallar del siguiente cuadro de distribucin de frecuencias a) 1Q y 3Q b) 2D y 9D c) 10P y 90PGua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 30 Intervalosfi Fi 8896 96104 104112 112120 120128 128136 136144 5 8 15 3 5 2 2

total40 Solucin: a) 1Q y 3Q b) 3D y 8D c) 10P y 90P Ejercicios Aplicacin VI 1. Enunapruebadeaptitudmentallamenorymayorpuntuacinfueron50y199 respectivamente.Lospuntajes(sindecimales)setabularonenunadistribucinde frecuenciassimtricade5intervalosdeigualamplituddondeel20%deloscasosson menores que 95 y el 705 de los caso son menores que 140. a) Hallar el intervalo centrado en la mediana donde se encuentra el 50% de los puntajes. b) En el cuartil 2, el punto medio del cuartil 1 y 3?R. a) Me=Q2=125 [102.5, 147.5 [b) si

2. Del siguiente cuadro de distribucin de frecuencias de puntajes obtenidos de un grupo de 120 alumnos despus de haber rendido una pruebamatemticas a) Determinar el25% inferior (1Q ) y el 25% superior (3Q )b)Quepuntajesseencuentraneneldcimosuperioryquepuntajesdebentenerlosquese encuentran en el20% inferior. Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 31 c) Calcular el 10Py el 90P Intervalosfi Fi 4045 4550 5055 5560 6065 6570 7075 7580 8085 8590 3 6 13 26 30 12 15 8 5 2 Total120 3.Elconsumomensualdeagua(enmetroscbicos)deunamuestrade225viviendas,se tabularon en una distribucin de frecuencias simtrica de cinco intervalosde igual longitud. Sielconsumomnimoesde 35m3,elconsumomediode45m3,ysi1/3delamuestra consume al menos 43 m3 pero menos de 47m3. a) Qu porcentaje de la muestra consume al menos 47 m3? b)Cuntosmetroscbicoscomomnimoconsumenel60%delasviviendasconmayor consumo?R. a) 75 de 225b) P40=43.8 4. Se tiene la distribucin de las edades de 80 alumnos de la escuela de ingeniera Industrial de alguna universidad de Lima edadesN alumnos hiHiFi 1518 1821 2124 2427 2730 5 0.5875 0.0375 0.925 Total80 a) Complete la tabla. b) Interpretar f2, F3 y H4

c) Estime la edad que es excedido por el 75% de los estudiantes. d) Halle la edad que supera a las edades de 75% de estudiantes. 5. Determinar el 4to decil y el 72avo percentil de la siguiente distribucin de frecuencias.

Intervalos de clase fi Fi 4050 5060 6070 7080 8090 90100 8 20 30 40 10 2 Total110 Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 32 8. Medidas de Dispersin.- Hemosestudiado,que losdatostienden a concentrarseo agruparse alrededor delosvalores medios y a esta caracterstica hemos denominado medidas de tendencia central. Ahoravamosaexaminarelefectocontrario.Consideremosquelosdatostiendena extenderse alejndosedelosvaloresmedios,loquellamamosgradodedispersino variabilidaddedatos.Sehace necesario medirelgradodeseparacinodispersindelos datoscon respecto a unvalor central. Las principalesmediadasdedispersin son: El rango, desviacinmedia,elrangointercuartil,varianzadesviacinestndarycoeficientede variacin. 8.1 Para datos no agrupados: 1.ElRango.-Amplituddevariacin,extensinorecorridodelosdatossedesignaporla letraI;indicalaextensindelosvaloresquepuedetomarlavariablecuyasmedidas constituyen los datos. Se calcula por la formula: I= valor mximo valor mnimo 2. Desviacin Media.- Es la media de las desviaciones. La formula para calcularla es: = =niix xnDM11

3. Varianza.- Es una medida que cuantifica el grado de dispersin o de variacin de los valores de una variables cuantitativa con respecto a la media aritmtica. Si los valores tienden a concentrarse alrededor de su media, la varianza es pequea. Si los valores tienden distribuirse lejos de la media, la varianza es grande. -Varianza Poblacional( )Nxnii21 2==o ianza var2= o poblacion la de datos de total nmero N = poblacin la de datos x = poblacion la de aritmetica media = -Desviacin Estndar Poblacional:Debido a la dificultad deinterpretar la varianzapor sus unidades cuadrticas, la raz cuadrtica de la varianza poblacional se denomina Desviacin estndar. ( )Nxnii21==o

-Varianza Muestral( )nx xsnii21 2== ( )121 2= =nx xsnii ianza s var2= . muestra la de nes observacio de total nmero n = muestra la de valor x = muestra la de aritmetica media x = Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 33 - Desviacin EstndarMuestral ( )nx xsnii21== ( )121= =nx xsnii

8.2 Para Datos Agrupados: 1.AmplituddeVariacin.-Parahallarlaamplituddevariacinserestaellmiteinferiorde la clase ms pequea, del lmite superior de la clase mayor. 2. Desviacin media.-Como la media es nm fxkii i ==1 entonces= =kii ix m fnDM11 3. Varianza y Desviacin Estndar.- 2122xnm fskii i = =

212xnm fskii i = = 1 12122= =nx nnm fskii i

1 1212= =nx nnm fskii i Investigacin para el alumno(puntosextras) Cmo se llega a la 1era formula devarianza?Partiendo de aqunx m fskii i21 2) (== Nota: La desviacin Estndar tambin llamada desviacintpica. Si02= s ,entendemosquelosxicoincidenconlamediax ,esdecirquetodoslas observaciones estnconcentradasenunmismopunto,porloqueladispersines mnima. (Nula). La varianza se calcula tambin con frecuenciasrelativas(o porcentuales). Enefecto, si se hace n f hi i =en la varianza de datos agrupados, se tiene

212 2x m h skii i ==, donde ==kii im h x1 4.CoeficientedeVariacin(C.V.).-Esunamedidadedispersinrelativa(libredeunidades de medida), que se define como la desviacin estndar dividido por la media aritmtica

xsV C = . El coeficiente de variacin se utiliza para comparar la variabilidad de dos o ms de series de datos que tengas medias iguales o diferentes o que tengan unidades de medidas iguales odiferentes (por decir, una serie en kilogramos y otra serie en metros).

5.ElRangoSemiintercuartilar.-Elrangosemiintercuartilarodesviacincuartilardeun conjunto de datos se denota por Q y se define como: Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 34

21 3Q QQ= Donde 3 1Q y Q sonelprimerytercercuatildelosdatos.Algunasvecesseusaelrango intercuartilar 1 3Q Q , aunqueelrangosemiintercuartilar esmscomncomomedidade dispersin. Ejercicios de Aplicacin VII 1. Calcule el I, la media aritmtica y desviacin media(DM). a)Eldepartamentodeestadsticadelauniversidadofrece8cursosdeestadsticabsica, teniendo la cantidad de estudiantes inscritos en tales cursos, 34, 46, 52, 29, 41, 38, 36 y 28 b)5representantesdeserviciosalclientedeciertaempresaquetrabajanelltimoviernes vendieron respectivamente: 5, 8, 4, 10, 3 video grabadoras.

c) La siguiente lista indica el nmero de minutos necesarios para la instalacin de puertas en una muestra de 10 puertas 28, 32, 24, 46, 44, 40, 54, 38, 32, 42. d) Una muestra de 8 compaas sobre la industria areaespacial fue examinada con relacin asusrendimientossobrelainversinelAopasado,losresultadossonen porcentajes: 10.6, 12.6, 14.8, 18.2, 12, 14.8, 12.2, 15.6 2. Un fabricante produce dos tiposde dispositivos para televisores, A y B, los cuales tiene una duracinmediade1495horasparaAy1875horasparaB,condesviacionesestndar280 horasparaay310horasparaB.Culdispositivoposeepresentamenorvariabilidado dispersin? 3. Complete el siguiente cuadro de distribucin de frecuencias: kfi Mifi*mimi2 fi*mi2 3035 3540 4045 4550 5055 5560 6065 6570 3 7 11 22 40 24 9 4 Total120 Halle la media, la varianza y desviacin estndar 4. Las edades de 5 pacientes de pabelln de quemados en el hospital son 38, 26, 13, 41, 22 aos Cul es la varianza y desviacin poblacional? 5. La oficina de Filadelfia de cierta empresa contrato 5 postulantes a contabilidad este ao sus sueldos mensuales al comienzo fueron: 2536, 2173, 2448, 2121, 2629 Calculelamediapoblacional,varianzapoblacional,desviacinestndarpoblacional.Sisu oficinaenMiamicontrata6postulantesdecontabilidaddondesusueldomensualpromedio fue 2550 dlares y la desviacin estndar 250 dlares. (Compare) 6. El nmero de pacientes atendidos en la sala de emergencia de un hospital para una muestra de 5 das del ao pasado fueron: 103, 97, 101, 106, 103 hallar la desviacin media Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 35 7.Enunexamenfinaldeestadstica, la calificacinmedia de ungrupode 150estudiantesfue 78yladesviacinestndarfue8.Sinembargo,lacalificacinfinalmediadelgebradel grupofue73yladesviacinestndarfue7.6.Enquemateriahubomayorvariabilidado dispersin? 8.LadistribucindemedidasdeSATparaungrupodeestudiantesdepreparatoriatieneuna medida de primer cuartil igual a 825 y de tercer cuartil igual a 1125. Indique el coeficiente de variacincuartilar paraladistribucindelaspuntuacionesdelSATdeestegrupode estudiantes. 9.Dadaladistribucindefrecuenciasde150personasegnsuedad,calculesudesviacin estndar Edad | | 30 , 20| | 40 , 30 | | 50 , 40 | | 60 , 50| | 70 , 60 N de personas1522484025 10.Enunexamendehistorialas4secciones:A,B,C,Ddelsegundosemestredealguna universidadobtuvieronlospuntajesmedios46.7-41.3-34.8y29.2consusrespectivas desviacionesestndares: 8.7-10.3 -9.1 y 12.3 Cualesson sucoeficientesde variacino dispersionesrelativasyenque ordensedebencolocarsegnlahomogeneidaddesu rendimiento? Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 36 9.Asimetra y Curtosis.- 9.1 Asimetra.- Es la deformacin horizontal de las curvas de frecuencias.-Cuando la curva esta inclinada o alargada hacia la derecha, se denomina asimetra a la derechaoasimetrapositiva.Observamosquelamediaaritmticaquedahaciaellado mas largo (el derecho) y que o eM M x > >-Cuandolacurvaestaalargadaoinclinadaaladoizquierdo,sellamaasimetra ala izquierdaoasimetranegativa.Notamosquelamediaestadelladomaslargo (el izquierdo) y que o eM M x < < -Cuandolacurvaestaigualmenteinclinadaalosdosladosporesosellamacurva simetra. Es importante observar que la media, mediana y moda coinciden en un mismo punto del eje horizontal en este caso o eM M x = = x M Me o o eM M x o eM M x = = 9.2 Coeficientede Asimetra.- Es la deformacin horizontal de una distribucin de frecuencias. Se presenta los siguientes coeficicentes de Asimetria (sA ):

1)Primer coeficiente de asimetra de Pearson sM xA osM xAesos) ( 3 == Si0 =sA , la distribucin es simtrica. Si0 sA , la distribucin es sesgada hacia el lado derecho. Esrazonablepensarquetienesentidoobtenerestecoeficienteendistribuciones unimodales. 2) Segundo coeficiente de asimetra de Pearson

1 31 32Q QM Q QAes += Este coeficiente se utiliza cuando no se puede calcular la media y la desviacin estndar. Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 37 Si0 =sA , la distribucin es simtrica. Si0 sA , la distribucin es sesgada hacia el lado derecho. 9.3Curtosis.-Eselgradodedeformacinverticaloapuntamiento;sontres:Leptocrtica, Mesocrtica y Platicrtica. Luego el coeficiente de curtosis) (k esta dado por:

) ( 210 901 3P PQ Qk=

Si263 . 0 = k , la distribucin es Mesocrtica. Si263 . 0 > k , la distribucin es Leptocrtica. Si263 . 0 < k , la distribucin es Platicrtica o Platocrtica. LeptocrticaMesocrtica Platicrtica Ejercicios de Aplicacin VIII 1. Determine el coeficiente de Asimetra por los dos procesos de pearson para la distribucin Intervalos | | 60 , 50| | 70 , 60 | | 80 , 70 | | 90 , 80| | 100 , 90 fi 1520302015 2. Calcule el sesgo para las tasas de alquiler mensual de 200 departamentos que estn dadosen la siguiente tabla Tasas de alquiler| | 180 , 150 | | 210 , 180 | | 240 , 210 | | 270 , 240 | | 300 , 270| | 330 , 300 N de Dptos3 8 10 13 3340 | | 360 , 330 | | 390 , 360 | | 420 , 390 | | 450 , 420 35301612 3. Se han medido las pulsaciones de un equipo de atletas despus de una carrera obteniendo los siguientes datos: Pulsaciones| | 75 , 70| | 80 , 75| | 85 , 80| | 90 , 85| | 95 , 90 | | 100 , 95total N de atletas33 7 10 12 843 a) Hallar el primer coeficiente de Pearson. b) Que tipo de apuntamiento corresponde a la distribucin dada. 4. En una prueba de Probabilidad y estadstica aplicada a 20 alumnos se obtuvo la siguiente distribucin de puntos. Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 38 Puntos | | 45 , 35| | 55 , 45| | 65 , 55| | 75 , 65| | 85 , 75 | | 95 , 85total N de alumnos 13 83 3 220 a) Calcular la desviacin media respecto al promedio. b) Determinar la desviacin estndar. c) Determinar le primer coeficiente de Pearson. d) Calcular el coeficiente de Curtosis. 5.Eldepartamentodepersonaldeciertoministeriohizounestudiodesalariosde 120 funcionarios del sector administrativo, obteniendo los siguientes resultados: Salarioshi

02 24 46 68 0.25 0.40 0.20 0.15 a) Calcular la media, varianza y desviacin estndar. b) calcule le primer cuartil y la mediana. c) Si hay un aumento del 100% de sus salarios para los 120 funcionarios.Habr alteracin en la media y en la Varianza? 6. Un Encargado de compras ha obtenido muestras de focos de luz de dos proveedores. En su propio laboratorio, ha probado ambas muestras con respecto a su duracin de su vida til, con los siguientes resultados: Duracin de la vida til, en horasMuestras Empresa AEmpresa B | | 900 , 70010 3 | | 1100 , 9001642 | | 1300 , 11002612 | | 1500 , 1300 83 Total6060 a) Los focos de que empresa tiene el mayor promedio en la duracin de la vida til?b) Los focos de cual de las empresas tiene mayor uniformidad? 7. Una distribucin de frecuencias sobre notas de 50 estudiantesde Algebra Lineal presenta las frecuenciasrelativash3yh5 borrosas.Sisesabequelamediafuede7.9Determinarla varianza y desviacin tpica. Adems hallar el coeficiente de curtosis Notas de estudiantes Numero de estudiantes Frecuencias relativas 0.52.5 2.54.5 4.56.5 6.58.5 8.510.5 10.512.5 12.514.5 0.02 0.10 0.16 0.10 0.02 Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 39 8. Se tiene la siguiente informacin sobre una distribucin de frecuencias de 50 elementos de un material sometido a prueba de rotura (en kgr/cm2). Los intervalos tiene la mismaamplitud 20 kfi Fimifi*mi 120 10 17 4 18 23 50 300 400 350 410 Total

a)Completar el cuadro de distribucin de frecuencias. b)Hallar la media, desviacin media, desviacin tpica y el primer coeficiente de asimetra 9. En una encuesta se obtuvo la siguiente informacin Puntajefihi 2040 4050 5060 6080 8096 30 Total90 Adems se sabe que9 / 1 ,1 2 4 2 5 1= = = h h y h h h h , Halle la media y varianza. R. 57; 261.57 Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 40 Nmeros ndices 1. Introduccin Unodelosmtodosestadsticosqueseutilizanconmayorfrecuenciaeneconoma, administracindeempresas,demografasdeempresas,demografayotroscamposdela estadstica aplicada, es el nmero de ndices. Bsicamente un numero ndice, esel cociente de cualquier medicin de una variable ( o mas variables) con respecto a una de sus mediciones que se toma como base. Elobjetivodelosnmerosndicesescuantificarvariacionesdelasmedicionesdeuna variable a travs del tiempo. En este sentido el nmero ndice es el cociente de la medicin de la variable en un periodo determinado con respecto a un periodo base. Las mediciones pueden estar relacionadas con cantidad, precio o valor.Losnmerosndicesseclasificanenndicessimplesoelementalesendicescompuestoso agregados. 2. ndices Simples.- 2.1Definicin.- Sea txla medicinde una variable X registrada en un periodo determinado t (ao, mes o da) y 0x (x00) la medicin de la variable para el periodo base t0. Se denomina ndicesimpledeXparaelperiodotconrespectoalperiodobase ot ,alnmeroque denotaremos por ot tI/ o ) (/X Iot totIy se define por:

oxxX Itt t0/) (0=

% 100 ) (0/0xxxX Itt t= El porcentaje de variacin entre valores x0 y xt se calcula por:

)% 100 100 ( % 00 . 1 var %0/0 =||.|

\| = x Ixxiaciont tt Si el porcentaje de variacin es positivo, se dice que ha habido un incremento, si es negativo se dice que ha habido una baja.

Ejercicio 1: Enelcuadrosiguientesedanlospromediosdelossalarios,endlares,delos trabajadoresde unaempresa de 1975 a 1983. Calcular loscorrespondientesnmeros ndices para cada uno de los nueve aos utilizando como ao base: a) 1975b) 1978 c)1983 Solucin: a) La primera columna de ndicesdel cuadro se obtuvo dividiendo cada salario de la cifra anual entre 310, que es el salario del ao base 1975 (1975=100)

107 % 100310330) (75 / 76= = X I Aos Salarios ndices 1975=1001978=1001983=100 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 310 330 370 380 430 450 480 540 570 100 107 119 123 139 145 155 174 184 82 87 97 100 113 118 126 142 150 54 58 65 67 75 79 84 95 100 Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 41 Lainterpretacindelnmerondiceescomosigue.Elndice183.9,porejemplo significa que en 1983 habido un aumento respecto a 1975 de (184-100) %=84%.Por otra parte si la cifra resultante es negativa se dice que habido una baja. Ahora verifique la segunda y tercera columna de ndices y haga 2 interpretacionesde c/u respectivamente. b)... ..... ... . .. ... c)... ..... .... . .. ..

2.2ndices Simples de Precios, Cantidades y Valores 2.2.1ndicesSimpledePrecios.-Si 0 1p y p sonlosvaloresdevariableprecioP,enlos periodosrespectivos 0t y t ,entonceselndicesimpledepreciosenelperiodotcon respecto al periodo base 0t , es el nmero: oppP Itt t0/) (0= % 100 ) (0/0xppP Itt t=

2.2.2ndicesSimpledeCantidades.-Si 0 1q y q sonlosvaloresdelavariablecantidadQ, en los periodos respectivos 0t y t , entonces el ndice simple de cantidades en el periodo t con respecto al periodo base 0t , es el nmero: oqqQ Itt t0/) (0=

% 100 ) (0/0xqqQ Itt t= 2.2.3 ndices Simple de Valores.- El valor V, de cierto artculo en un periodo determinado es igual a su precio multiplicado por la cantidad vendida (o producida). El ndice de valor simple en un periodo determinado t con respecto al periodo base 0t , se define por:) ( ) ( ) (0 0 0/ /9 9/Q I P Iq pq pV It t t tt tt t = =

Donde0 0 1q p y q pt son los valores respectivos en el periodo t y en el periodo base. Ejercicio 2: En el cuadro siguiente se dan los precios promedios en dlares y las cantidades de consumo promediosenkilogramosdeunartculodesde1980a1982.Tomandocomobaseelao 1980, calcular los ndices de precios, de cantidades y de valores para 1981 y 1982. Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 42 Solucin: ndices de precios:

% 133 33 . 11520) (808180 / 81ppP I = = =ndices de cantidades:

% 114 14 . 15 . 64 . 7) (808180 / 81qqQ I = = = ndices de valores:

% 152 52 . 15 . 6 154 . 7 20) (80 8081 8180 / 81oq pq pV I == = Ahoracomprueba los ndices respectivos dado en el cuadro para el ao 1982 ........ ........ ........ .... ... .... .... ... .... .... .... AoPrecio $ Cantidad kg ndice Precios ndice Cantidad ndice Valor 1980 1981 1982 15 20 25 6.5 7.4 7.8 100 133 100 114 100 152 3ndices Compuestos o Agregados 3.1Definicin.-Unnmerondicecompuestosedefinecomounacombinacindenmeros ndices simples cada uno de ellos referidos a una misma base. Losndicescompuestosseclasificanencompuestosnoponderadosycompuestos ponderados.

3.2ndicesCompuestosnoPonderados.-Unodelosmtodosdeclculodendices compuestosno ponderadoso simples, esel mtodo de la media agregada simple conocida tambin como ndice agregado simple. El ndice agregado simple esel cociente de la suma de las medidas de doso mas variables en el periodo t entre la suma de las medidas de esas variables en el periodo base 0t . -El ndice agregado simple de precios de varios artculos en un periodo t con respecto al periodo base 0t se define por: =0/) (0ppP Itt t -El ndice agregado simple de cantidades de varios artculos en un periodo t con respecto al periodo base 0t se define por: Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 43 =0/) (0qqQ Itt t Nota El ndice compuesto no ponderado de valor se define por: =0 0/) (0q pq pV It tt t Ejercicio 3: Enelsiguientecuadrosedaunacanastadeartculosbsicosquecompruebaque comprende 4 temsA, B, C y D, los preciosen dlares y las cantidades consumidas en kilogramos durante los aos 1990 y 1995. Tomando el ao 1990 como base. Calcular los ndices compuestos no ponderados de precios y cantidades de 1995. Precio promedioCantidad consumondices tem1990 (p0) 1995 (p1) 1990 (q0) 1995 (q1) PreciosCantidad A B C D 0.50 0.80 1.00 3.00 0.80 0.90 1.50 4.50 5.5 4.0 1.5 2.4 6.2 5.0 2.0 3.0 5.307.7013.416.2 Solucin: Tomandoelao1990comobase,elndiceagregadosimpledepreciospara1995 resulta: 45 . 13 . 57 . 70 . 3 0 . 1 8 . 0 5 . 05 . 4 5 . 1 9 . 0 8 . 0) (01990 / 1995= =+ + ++ + += =ppP It Enconsecuencia,de1990a1995hubounaumentodel45%enelpreciodeesa canasta de artculos. Tomando el ao 1990 como base, el ndice agregado simple de cantidades para 1995 resulta: 21 . 14 . 132 . 164 . 2 5 . 1 0 . 4 5 . 50 . 3 0 . 2 0 . 5 2 . 6) (01990 / 1995= =+ + ++ + += =qqQ It Enconsecuencia,de1990a1995hubounaumentodel21%deartculosdeesa canasta.

Precio promedioCantidad consumondices tem1990 (p0) 1995 (p1) 1990 (q0) 1995 (q1) PreciosCantidad A B C D 0.50 0.80 1.00 3.00 0.80 0.90 1.50 4.50 5.5 4.0 1.5 2.4 6.2 5.0 2.0 3.0 1.60 1.13 1.50 1.50 1.13 1.25 1.33 1.25 5.307.7013.416.25.734.96 Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 44 Otraformadedefinirelndicecompuestonoponderadoeselmtododelamedia aritmtica simple: Indices de NumeroIndices El ndice de precios de 1995 con base en 1990, usando el cuadro es43 . 14725 . 5) (1990 / 1995= = P I El ndice de cantidades de 1995 con base en 1990, usando el cuadro es24 . 14960 . 4) (1990 / 1995= = Q I Los ndices compuestos no ponderados asignan igual importancia a cada precio o cantidad componente, esto nos permite que un bien con un precio o valor alto, domine el ndice, por otra parte no es muy utilizado. 3.3ndicesCompuestosPonderados.-Lasponderacionesusadasparandicescompuestosde precios son las cantidades de los bienes o tems. Las ponderaciones para el ndices de cantidadesagregadas son los precios de los bienes de ao base. 3.3.1 ndices de Laspeyres - El ndicede precios de Laspeyresen un periodo t con respecto a un periodo base t0, es lamediaaritmticaponderadadelosndicessimplesdepreciospt/p0queusacomo ponderacin a los valores del ao basep0q0, esto es, = =0 000 000 0/) (0q pq pq pppq pP ILttt t - El ndice de cantidades de Laspeyresen un periodo t con respecto a un periodo base t0, eslamediaaritmticaponderadadelosndicessimplesdecantidadesqt/q0queusa como ponderacin a los valores del ao basep0q0, esto es, = =0 000 000 0/) (0q pq pq pqqq pQ ILttt t 3.3.2 ndices de Paasche - El ndice de precios de Paasche en un periodo t con respecto a un periodo base t0, es la mediaaritmticaponderadadelosndicessimplesdepreciospt/p0queusacomo ponderacin a los valores del ao basep0qt, esto es, = =tt ttttt tq pq pq pppq pP IP0 000/) (0 - El ndice de cantidades de Paasche en un periodo t con respecto a un periodo base t0, es la media aritmtica ponderada delosndicessimplesde cantidadesqt/q0que usa como ponderacin a los valores del ao baseptq0, esto es, Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 45 = =0 000/) (0q pq pq pqqq pQ IPtt ttttt t Nota Importante

) ( ) ( ) (0 0 0/0 0 0 0 00/ /V Iq pq pq pq pq pq pQ IP P ILt tt ttt t tt t t t= = = 3.3.3 ndices de Fisher: Es la media geomtrica de los ndices de Laspeyres y Paasche. -El ndice ideal de precios de Fischer en el periodo t es: ) ( ) ( ) (0 0 0/ / /P IP P IL P IFt t t t t t = -El ndice ideal de cantidades de Fischer en el periodo t es: ) ( ) ( ) (0 0 0/ / /Q IP Q IL Q IFt t t t t t = Ejercicio 4: EnlasiguienteTablacontienelasunidades,preciospromediosyconsumosper capita de 3 artculos bsicos en una ciudad en los periodos de 2000 y 2005. Calcular los ndices compuestos: a) De preciosb) De cantidades PorlosmtodosdeLaspeyres,PaascheyFisherdelperiodo2005,tomandoelao 2000 como base. tem Unidades Precio promedioCantidad consumo 2000(p0)2005 (p1) 2000(q0)2005(q1) A B C Litro Piezadocena $10 15 20 $15 20 25 40 80 20 60 100 40 Solucin: a) Construyendo la tabla para los clculos -ElndicedepreciosdeLaspeyresenelperiodo2005tomandocomoao base 2000 % 135 35 . 120002700400 1200 400500 1600 600) (0 002000 / 2005q pq pP It= =+ ++ += = -ElndicedepreciosdePaasheenelperiodo2005tomandocomoaobase 2000 % 134 34 . 129003900800 1500 6001000 2000 900) (02000 / 2005q pq pP Itt t= =+ ++ += = Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 46 -Elndicede preciosde Fischerenel periodo 2005 tomando como ao base 2000ndices compuestos ponderados % 134 34 . 1 34 . 1 35 . 1 ) ( ) ( ) (2000 / 2005 2000 / 2005 2000 / 2005 P IP P IL P IF = = =De estos resultados, se concluye que en el ao 2005 hubo un incremento en el precio de esacanastade35%segnelmtododeLaspeyres,34%segnlosmtodosde Paache y de Fisher. b) Ahora determine los ndices de cantidades y la conclusin tem Precio por Cantidades p0q0p1q0p0qtptq1 A B C 400 1200 400 600 1600 500 600 1500 800 900 2000 1000 2000270029003900 4. Cambio del Periodo Base.- Es frecuente cambiar la base de un nmero ndice en un periodo dado a un periodo mas reciente para reemplazar los ndices que se encuentran obsoletos con el fin de que las comparaciones actuales resulten mas significativas. Para cambiar el ndice a tI/ de base antigua a, al ndice n tI/de base nueva n se utiliza la siguiente regla: ,///a na tn tIII = o expresado en %,.100/// a ta nn tIII = Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 47 Ejercicio 5: Enla siguiente Tabla se dan los ndicesA tomando a 1990 como ao base: Obtener los ndices. a)B tomando como base nueva al ao 2000. b)C tomando como base nueva al ao 1995. Aondice A 1990 1995 2000 100 300 450 Solucin: a) El ndice B1 de 1990 en base 2000 es:22 . 22 100450100 1001990 / 19901990 / 20002000 / 1990= = = III El ndice B2 de 1995 en base 2000 es: 67 . 66 300450100 1001990 / 19951990 / 20002000 / 1995= = = III El ndice B2 de 2000 en base 2000 es: 100 450450100 1001990 / 20001990 / 20002000 / 2000= = = III Tabla de Cambio de Base b) Ahora determine los ndices de Cen base 2000 y complete la tabla Aondice Andice B 1990 1995 2000 100 300 400 B1=22.22 B2=66.67 B3=100.0 Aondice Andice C 1990 1995 2000 100 300 400 Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 48

5. Uso de los Nmeros ndices Los nmeros ndices se usan con frecuencia para cuantificar las diferencias de los valores de unaoms variablesalolargodeltiempo.Lasentidadesestatalesoprivadasconfeccionan nmeros ndices para diversos fenmenos econmicos. UnodelosusosmsimportantesdelosnmerosndicesesladenominadaDeflacinde Preciose Ingresos.Estatcnicaeselprocesodeajustarprecioseingresosyexpresarlos en trminos del valor de la moneda de un periodo base. Para la deflacin estadstica se usa como deflactor el ndice simple de precios al consumidor IPC, indicadordelcostodevida.Estendicesimple,comoyaessabido,seobtiene dividiendo el precio pt en un periodo t, entre el precio p0 en un periodo base t0. Esto es,

1000 =ppIPCt Elvalor (precioo salario)deflacionado o valorrealenel periodo t con respecto al periodo base t0, se obtiene dividiendo el valor nominal del periodo t entre el IPC de ese periodo, esto es, 100min =IPCal No Valordo Deflaciona Valor

Sielvaloresel precio, se tendrel precio real o deflacionadoy sielvaloreselingresoo salario, se tendr el salario real o deflacionado. Ejercicio 6: El salario de una persona fue de 4000 unidadesmonetarias en 2000 y de 8000 unidades e2001,entonceshubounincrementonominalde$4000.Pero,sielndicedeprecioal consumidor fue de 1.2 en 2001 con respecto a 2000 entonces su salario real es de dolaresIPCal No Valorreal Salario 67 . 66662 . 18000 min= = = Y ha tenido un incremento real de solo 2666.67 dlares Ejercicios de Aplicacin IX 1.Dadolospromediosanualesdelospreciosal por menor(porkilogramos)de un articulode consumo diario de 2000 a 2005 Aos200020012002200320042005 Precios4.85.45.76.66.35.2 Calcular los ndices de precios tomando como base el ao: a) 2000,b) 2002. 2. Dadas las siguientes producciones de un bien en kg. Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 49 Aos20012002200320042005200620072008 Produccin4036419490104107106 a)Calcular los ndices de produccin usando como base el ao 2001. b)Cambiar la base a 2004: 3. Si en 2001 el precio de un bien fue de 12% ms que en 2000, 25% ms que en 2002 y 10% menos que en 1999, calcule los ndices de precios de estos cuatro aos con base en 1999. R. 100, 80.65, 90 y 72 4. Si en 2002 la produccin de un bien fue de 15% menos que el ao anterior, 30% mas que en 2003 y 40% menos que en 2000, calcule los ndices de cantidades de consumo de dicho bien de 2000 a 2003 con base en 2002. R. 167, 117.65, 100 y 76.92

5. Los ndices de produccin de un bien 1999 a 2003 fueron respectivamente 1.00, 1.15, 1.20, 1.24, y 1.30. Si en 2002 se produjeron 2.79 toneladas de dicho bien, calcular la produccin de los dems aos. R. 2.25, 2.5875, 2.7, 2.79 y 2.925 6.Enenerode2000unafabricagastoensalariosde50obreros,lasumade$6000yen diciembre del mismo ao con 75 obreros gasto $9900. Tomando como base el mes de enero, calcular a) El ndice de empleados para diciembre (cantidad). b) El ndice de gastos de salarios (valor). c) El ndice de costo por obrero o ndice per capita (de precio).R. a) 1.50,b) 1.65, c) 1.65/1.50=1.10 7. Si el ndice de cantidad del ao 2000 con base 1990 en de 110 y con base de 1995 es de 130, calcular el ndice de cantidad de 1995 con base de 1990.R. 0.8462 o 84.62% 8. En 2004 el precio deventa de un bien se ha fijado en 20% mas con respecto al ao anterior. Sisequierequeelvalortotaldelaventaseincrementeen80%duranteelao2004con respectoalao anterior,Enqueporcentajedebeincrementarselacantidaddebienesa vender? R. 1.5, Incremento en 50% 9.En2003elvalordelaproduccindeunbiendisminuyen20%conrespectoalde2002, mientrasqueelprecioaumentoen30%,Cuntoesleporcentajedevariacindela produccin?R. I (Q)=0.6154, disminuy en 38.46% 10. Unafabricabajolaproduccindeunbienen15%de2003conrespectoa2002,pero aumento el precio del mismo en 25% en el mismo lapso, calcular el porcentaje de variacin del valor total de las ventas de dicho bien, en 2003 con respecto a 2002.R. aumento en 6.25% 11. Si en el ao 2000 el ingreso de una persona ha tenido un incremento del 110% con respecto al ao 1995 queera de $10000 y si por otra parte el ndicedel costo devida se triplica en ese lapso: a) Cunto es el ingreso real de esa persona en 2000? b) Cunto debera ser su ingreso nominal de manera que mantenga su poder adquisitivo de 1995? R. a) 7000b) 30000 12. En la tabla que sigue se dan los precios en soles al por mayor y la produccin en kilogramos de tres artculos bsicos A, B y C de los aos de 1995 a 1997 en una determinada regin. a) Calcular el ndice de precios i) media, ii) mediana para 1997 con base en 1995. b)Calcularelndicecompuestodepreciosde1997conbase1995,porelmtododei) Laspeyres, ii) Paasche, iii) Fisher. c) Calcular el ndice compuesto de de cantidad de 1997 con base 1995, por el mtodo de i) Laspeyres, ii) Paasche, iii) Fisher. Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 50 R. ai) 1.77 177% aii) 1.72 172% b) 1.5603, 1.5596, 1.5599 c) 1.2609, 1.26028, 1.2605 13. En 2000 el precio de un artculo, expresado en dlares de 2005, fue de $0.60. Si el ndice de precios creci en un 20% en ese lapso, Cul esel precio nominal de ese artculo en 2000? R. $0.72 14.Algerentedeunaempresaselehapresentadoundilema.Haestadopensandoenla posibilidad de bajar el precio del producto que comercializan, ya que parece que el precio al menudeoesdemasiadoaltoenestosltimosdas.Sinembargo,sabequeelcostodelos materiales est incrementndose con rapidez; y no ser viable la reduccin de precios. Usted lerecomiendaobtener unndicede preciosponderado, con la finalidadde compararlo con los precios de la competencia. Para ello, usted recopila la informacin siguiente: Producto 20062009 PrecioCantidadPrecioCantidad A53066005 B1200413006 C850109008 D70057505 E960810007 F1000511507 G89069805 H7401280012 ArtculosPrecio promedioCantidad consumo 199519961997199519961997 A B C 2.4 32 12 2.8 44 18 3.6 55 25 3400 60 30 4000 66 33 4300 75 37 Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 51 Probabilidad.- 1.ExperimentooFenmenoAleatorio.-Esaquelexperimentocuyoresultadonosepuede predecir con exactitud, porque presenta varias posibilidades. 2.FenmenoAleatorioDeterminista.-Estodofenmenocuyoresultadosepuedepredecir con exactitud. Lo contrario seria fenmeno aleatorio no determinista.

3.EspacioMuestral.-Eselconjuntodetodoslosresultadosposiblesdeunexperimento aleatoriodado. GeneralmenteselerepresentaconlaletramaysculaSo O.Cada posible resultado del experimento, se le llama un punto muestral o muestra. ElconceptodeEspacioMuestralseequiparaaldelconjuntouniversaldelateorade conjuntos. Ejercicio 1: Cual de los siguientes enunciados representa un fenmeno aleatorio a) El tiempo que demora un automvil para desplazarse de un lugar a otro de la ciudad. b) El monto de la venta de un da en una tienda, no se puede predecir con exactitud. c) El numero total de goles que se hacen los dos equipos en un partido de ftbol. d) La hora en que despierta una persona. e) El numero de accidentes en una carretera durante un mes. f) El resultado de lanzar al aire una moneda que no est cargada (normal). g) El resultado que se obtiene al lanzar un dado normal. Solucin: a)Es un fenmeno aleatorio, porque puede demorarse, poco o mucho, segn la intensidad del transito, las seales de los semforos y otros factores accidentales que no se pueden prevenir. b)Esunfenmenoaleatorio,porquecomopuedevendersemuchoopocoonada,tiene varias posibilidades. c).

d).

e).

f).

g). Ejercicio 2: Fenmenos aleatorios deterministas. a)Enciendo un fsforo y observo la combustin. Esunfenmenodeterministaporqueforzosamentetienequeapagarsedespusdeun corto tiempo. b)Deciertaalturasedejacaerunapiedrasinquehayaobstculoalgunoentreellayel suelo. Es experimento determinista porque la piedra caer al suelo por la ley de la gravedad y Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 52 se puede predecir que distancia recorrer en un tiempo dado. c) La hora en que despierta una persona utilizando un reloj despertador.Es un fenmeno determinista porque:. .... Nota: Losmodelosquemencionaremos a continuacin son experimentos aleatoriosque es necesario recordarporquevanaserutilizadosaldesarrollarlateorade probabilidades. Modelo 1 Allanzarundadoobservamoselnmeroqueapareceenlacarasuperior.Porlo tanto el espacio muestral consiste en los seis nmeros posibles { } 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 = O Modelo 2 Ellanzardosdadosalavez.Elespaciomuestralestaformadoporlas36 parejas posibles que se puedenformar combinandolas6 posibilidadesdel primerdado con las 6 posibilidades del segundo. )`= O).. 6 , 6 ( ); 5 , 6 ( ); 4 , 6 ( ); 3 , 6 ( ); 2 , 6 ( ); 1 , 6 (); 6 , 5 ( ); 5 , 5 ( ); 4 , 5 ( ); 3 , 5 ( ); 2 , 5 ( ); 1 , 5 () 6 , 4 ( ); 5 , 4 ( ); 4 , 4 ( ); 3 , 4 ( ); 2 , 4 ( ); 1 , 4 () 6 , 3 ( ); 5 , 3 ( ); 4 , 3 ( ), 3 , 3 ( ); 2 , 3 ( ); 1 , 3 (); 6 , 2 ( ); 5 , 2 ( ); 4 , 2 ( ); 3 , 2 ( ); 2 , 2 ( ); 1 , 2 (); 6 , 1 ( ); 5 , 1 ( ); 4 , 1 ( ); 3 , 1 ( ); 2 , 1 ( ); 1 , 1 ( n()=62=36 En la pareja (1,2) indica que el 1er dado la cara superior sali a y en el segundo dado la cara superior sali 2. Modelo 3 Allanzaruna moneda legal yobservemosla figura que apareceenla cara superior. Los resultados posibles son dos: cara o sello, que representamoscon las letras c y s, entonces el espacio muestral consiste en los dos resultados posibles { } 2 2 ) ( ; ,1= = O = O n s c Modelo 4 Lancemosdosmonedaslegales.Los resultadosposiblesson4; elespaciomuestral tendr 4elementos, { } 4 2 ) ( ; , , ,2= = O = O n ss sc cs cc Modelo 6 De una baraja de 52 cartas bien mezcladas, saquemos una carta, el espacio muestral tendr 52 elementos: Gua de Estadstica y Probabilidades Prof.Sharmila Cano Villafuerte 53 13 espadas 13 corazones 13 trboles 13 diamantes u otros Total 52cartas

elementos n 52 ) ( = O La teora de probabilidades estudia los eventos o sucesos que se definen en la forma siguiente: 4. Eventos o Sucesos Definicin:Eventoosucesoessimplementeunsubconjuntoderesultadosposiblesdeun experimentoaleatorio, en otras palabras en un subconjunto d