estadistica aplicada mba

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTN DE AREQUIPA

FACULTAD DE ADMINISTRACION

UNIDAD DE POST GRADO

CURSO DE ESTADISTICA APLICADA A LA ADMINISTRACION (MBA)

Profesor : Dr. ARMIN BECERRA GUZMAN

2014

UNSA - ESTADISTICA APLICADA A LA ADMINISTRACION (MBA) DR. ARMIN BECERRA GUZMAN

2

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

52 42 45 54 47 45 51 45 40 46 54 53

MESES

VENTAS (Unid)

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12MESES

VENTAS (Unid)

PRACTICAS

ESTADISTICA DESCRIPTIVA PARA DATOS NO AGRUPADOS

APLICACIONES EXCEL

EJERCICIO 1

La Empresa Arequipa Aluminios SAC se dedica a la fabricacin de Mdulos para

oficina. En los ltimos meses, la gerencia ha observado la preferencia de sus

consumidores hacia un modelo en particular: El Modelo Ramses. Las ventas no

obedecen a situaciones estacionarias por lo que solicita un anlisis estadstico

con los siguientes datos:

a) Ordenar las ventas de menos a mas.

b) Encontrar y explicar la Media Aritmtica

c) Encontrar y explicar la Mediana


3

d) Encontrar y explicar la Moda

e) Encontrar y explicar el Rango Medio

f) Encontrar y explicar el Cuartil 3

g) Encontrar y explicar la Desviacin Estandar

h) Encontrar y explicar el Coeficiente de Variacin


4

Nmero de minutos que ocupan sus asientos 100 clientes en una cafetera

29 67 34 39 23 66 24 37 45 58

51 37 45 26 41 55 27 96 22 43

73 48 63 37 19 31 38 68 22 35

31 58 35 82 28 35 44 40 41 34

15 31 34 56 45 27 54 46 62 29

51 31 56 43 39 35 23 28 45 48

47 41 34 47 30 54 49 34 53 61

82 45 26 35 67 73 30 16 52 35

46 40 41 56 37 51 33 92 70 63

72 35 62 28 38 61 33 49 59 36

g) Grafique con un polgono de frecuencias e indique que forma de distribucin

tienen los datos

h) Verifique todos sus resultados con el comando Estadstica/EXCEL

ESTADISTICA DESCRIPTIVA PARA DATOS AGRUPADOS

APLICACIONES EXCEL

APLICACIONES SPSS

EJERCICIO 2

Una cafetera desea prestar un mejor servicio a sus clientes por el tiempo de

permanencia en el establecimiento. Ha realizado una muestra de 100 clientes al

azar y ha medido el tiempo de permanencia en minutos, obteniendo los siguientes

datos:


5

Frecuencia Frecuencia

Acumulada

TABLA DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

Tiempo de Ocupacin

(minutos)

Tabulacin

a) Encontrar el Rango de Intervalo si se desea 9 intrvalos. Luego tabule para

encontrar la frecuencia simple y la frecuencia acumulada.

b) Encontrar las marcar de clase y preparar sumatorias para frmulas

c) Calcular la Media Aritmtica

INTERVALO

(X - X)2f

TABLA DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS Y MARCAS DE CLASE

(minutos) Clase (X) ( f )

Tiempo de Ocupacin Marca de Frecuencia X.f


6

d) Calcular la Mediana

e) Indique en qu intervalo se encuentra la moda

f) Encontrar la Desviciacin Estandar

g) Grafique un Polgono de Frecuencias de las Marcas de Clase en EXCEL

h) Grafique un Histograma en Excel

i) Ingrese informacin al SPSS

j) Encontrar los estadgrafos usados hasta el momento en el SPSS

h) Encontrar el Diagrama de Tallo y Hoja en el SPSS

i) Normalizar los datos en el SPSS

h) Graficar el Normal Q-Q Plot of Minutos en el SPSS

i) Graficar el Detrended Normal Q-Q Plot ol Minutos en el SPSS

h) Graficar la Caja y Bigotes y explique en el SPSS


7

EJERCICIO 3

Se ha aplicado la siguiente encuesta a una muestra de 50 clientes de un Snack en la Ciudad de Arequipa

Marque con una X la respuesta correcta

EDAD SEXO

Adolescente (Entre 12 y 16 aos) Masculino

Joven (Entre 16 y 24 aos) Femenino

Adulto (Entre 24 y 50 aos)

Adulto mayor (Entre 50 y 70 aos) DONDE VIVE

Anciano (Mayor a 70 aos)

Ciudad de Arequipa

FRECUENCIA DE VISITAS AL MES Otra Ciudad

Primera vez Extranjero

Entre 2 y 5 veces

Entre 6 y 10 veces CON QUIEN VIENE AL SNACK REGULARMENTE

Entre 11 y 20 veces

Mas de 20 veces Solo

Con su pareja

QUE ES LO QUE MAS LE AGRADA DEL SNACK Con sus hijos

Con amigos

Su ubicacin Con padres

La preparacin de los sandwich

La atencin de su personal HORARIO QUE CONCURRE REGULARMENTE

La diversidad de gaseosas y refrescos

Su limpieza Maana

La gente que concurre al local Tarde

Noche

CONSUMO DEL DIA EN S/.

MUCHAS GRACIAS

ENCUESTA

CODIFICACION DE LA ENCUESTA

X1 = Edad (0:Adolescente; 1: Joven; 2: Adulto; 3: Adulto Mayor; 4: Anciano)

X2 = Sexo (0:Femenino; 1:Masculino)

X3 = Lugar donde vive (0:Ciudad de Arequipa; 1: Otra Ciudad; 2: Extranjero)

X4 = Frecuencia de visitas al mes (0: Primera vez; 1: De 2 a 5 veces; 2: de 6 a 10 veces;

3: de 11 a 20 veces; 4: mas de 20 veces

X5 = Acompaantes regulares (0: Solo; 1:Con Pareja; 2: Con Hijos; 3: Con amigos; 4: Con padres)

X6 = Horario que concurre regularmente (0: Maana; 1:Tarde; 2: Noche)

X7 = Que es lo que mas le agrada (0: Ubicacin; 1: Preparacin; 2:Atencin;

3: Diversidad de Gaseosas; 4: Limpieza; 5: Gente que concurre)

X8 = Consumo del da (Nuevos soles)

ESTADISTICA DESCRIPTIVA PARA DATOS AGRUPADOS

APLICACIONES SPSS

EJERCICIO 3


8

BASE DE DATOS

n X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 0 0 0 2 3 2 5 12,00

2 3 1 0 3 2 1 1 18,50

3 2 1 2 2 1 1 2 25,00

4 2 1 0 2 3 1 1 18,00

5 3 1 0 2 2 2 1 26,00

6 1 0 0 2 1 2 5 15,50

7 1 1 1 1 3 2 2 16,00

8 2 1 0 2 1 0 2 24,50

9 1 0 0 3 1 1 1 14,00

10 1 0 2 0 1 2 0 18,80

11 0 1 0 2 3 2 1 5,00

12 1 0 0 4 1 2 1 20,00

13 1 1 0 2 1 2 5 14,00

14 1 1 0 3 3 2 4 15,00

15 0 1 0 3 3 1 2 8,30

16 2 1 0 1 2 2 2 21,00

17 4 1 0 1 2 0 1 12,50

18 3 1 0 2 2 2 1 28,50

19 2 0 1 1 1 2 4 30,00

20 1 0 0 2 1 2 1 13,00

21 2 1 2 1 3 2 1 24,00

22 1 0 0 2 1 1 1 14,20

23 1 1 0 2 1 1 1 12,00

24 2 0 0 2 2 1 1 23,00

25 2 1 2 3 2 0 5 19,00

26 1 1 0 3 1 1 1 8,20

27 1 1 2 1 3 0 2 8,00

28 1 1 0 4 1 1 2 14,00

29 1 1 0 3 1 1 1 13,00

30 2 0 0 2 1 2 3 8,00

31 1 1 0 3 1 2 2 12,00

32 3 1 1 0 2 1 3 18,20

33 1 0 0 0 1 1 1 14,00

34 4 0 0 0 2 2 5 12,00

35 2 1 0 1 2 1 1 24,00

36 2 1 0 2 3 1 1 17,00

37 2 1 0 2 2 1 0 21,00

38 2 1 0 2 2 2 2 20,20

39 2 1 0 3 1 2 2 19,00

40 1 0 0 2 1 1 1 14,00

41 1 0 0 3 3 0 1 13,00

42 1 1 0 3 3 1 1 12,00

43 1 1 0 3 1 2 1 10,50

44 2 1 0 2 2 2 1 24,50

45 2 0 1 0 1 0 1 21,20

46 2 1 0 4 1 2 3 27,00

47 3 0 0 1 2 2 1 32,50

48 3 1 0 0 1 2 4 30,00

49 2 1 0 0 1 2 1 24,00

50 2 1 0 2 3 1 1 18,50


9

3.1. Elaborar una tabla de frecuencias por:

a) Edades (Explique resultados)

b) Sexo (Explique resultados)

c) Horario que concurren regularmente (Explique resultados)

3.2. Podemos afirmar que los clientes frecuentan el establecimiento con mayor

frecuencia entre 2 y 5 veces al mes?

3.3. Podemos afirmar que el Snack es un establecimiento turstico?.

3.5. Grafique con un Histograma la distribucin del nivel de consumo de los

clientes del establecimiento.

3.6. Grafique con el diagrama del pastel ( Pie charts) la participacin por lo que

mas le agrada al cliente

3.7. Encontrar los estadsticos descriptivos bsicos para el consumo diario de los

clientes, explique con el Grfico de Tallo y Hoja (Stem and Leaf Plot)

3.8. Elabore tablas de contingencias (estadsticas cruzadas) en la que se indique:

a) Clientes por edades segn sexo

b) Clientes por edades segn preferencias

c) Clientes por sexo segn lugar de procedencia

c) Clientes por sexo segn acompaantes regulares

3.9. Expresar los resultados de la pregunta anterior en trminos porcentuales

3.10. Elaborar tablas de contingencia (estadsticas cruzadas mltiples) en la que

se indique:

a) Clientes por edades segn sexo y lugar de procedencia

b) Clientes por edades segn preferencias y acompaantes regulares


10

TAMAO TOTAL

BUENOS MALOS

5cc 43 5 48

3cc 21 3 24

TOTAL 64 8 72

ESTADO DEL FILTRO

c) Clientes por sexo segn lugar de procedencia y frecuencia que visitan el

establecimiento mensualmente.

c) Clientes por sexo segn acompaantes regulares y horario que recurren

regularmente.

EJERCICIO 4

PROBABILIDADES

Para Eventos Proposicin Operacin de Probabilidades

Mutuamente Excluyentes P(A o B) = P(AUB) P(A)+P(B)

Independientes P(A y B) = P(AB) P(A).P(B)

Mutuamente no Excluyentes P(A o B) = P(AUB) P(A)+P(B) P(A).P(B)

Dependientes P(A y B) = P(AB) P(A).P(B/A) P(B).P(A/B)

Condicionales P(A / B) = P(A dado B) P(AB) / P (A)

Tenemos la siguiente tabla de contingencia de repuestos que se encuentran en

un almacn (filtros de gasolina) buenos y malos de dos tamaos (5cc y 3cc)

sacados de una caja que contiene cuatro docenas del primero y dos docenas del

segundo.

1. Cul es la probabilidad de que un repuesto extrado al azar sea bueno?

2. Cul es la probabilidad de que un repuesto extrado al azar sea de 3cc bueno

o malo?

3. Cul es la probabilidad de que un repuesto extrado al azar sea bueno o sea

de 5cc?


11

4. Cul es la probabilidad de que 2 repuestos extrados al azar sin reemplazo

sean buenos?

5. Cul es la probabilidad de que un repuesto extrado al azar sea malo dado

que es de 3cc?

6. Cul es la probabilidad de que 3 repuestos extrados al azar sin reemplazo

sean buenos?

7. Cul es la probabilidad de que 3 repuestos extrados al azar con reemplazo

sean malos?

DIAGRAMA DEL ARBOL

8. La UNSA produce panetones para navidad y deduce que el 60% de la masa

puesta en el horno no levanta y segn el control de calidad el 95% de

produccin de clase A (normal) y el 30% de la produccin de clase B (no

normal) se venden. Deber seguir la produccin en estas condiciones? . Si

deducimos todos los costos, se tiene en promedio una ganancia de S/. 2,00 por

panetn vendido y se pierde S/. 0,50 por panetn no vendido.


12

MESES CANTIDAD

VENDIDA

Enero 54

Febrero 58

Marzo 46

Abril 54

Mayo 51

Junio 54

Julio 50

Agosto 59

Septiembre 46

Octubre 46

Noviembre 58

Diciembre 54

VALOR ESPERADO

9. Se tiene las probabilidades de ocurrencia de la economa y los rendimientos

proyectados de una Empresa Determinar el rendimiento esperado para el 2006

Escenario Optimista

Estado de la economia Prob. de Ocurrencia Rend. Proyectado Rend. Ponderado

Auge 40% 20%

Normal 50% 14%

Recesion 10% -8%

R (e)

Escenario Pesimista

Estado de la economia Prob. de Ocurrencia Rend. Proyectado Rend. Ponderado

Auge 10% 20%

Normal 40% 14%

Recesion 50% -8%

R(e)

10. Una empresa que vende llantas radiales modelo XS/15 obtuvo las siguientes

ventas mensuales durante el 2004, determine las probabilidades de venta y el

valor esperado de venta para cualquier mes del ao.


13

EJERCICIO 5

DISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS DISCRETAS

A. DISTRIBUCION BINOMIAL

11. La probabilidad de que un cliente escogido aleatoriamente haga una compra

es del 25%. Si un vendedor visita a 8 presuntos clientes.

a) La probabilidad que haga exactamente 6 ventas ser

b) La probabilidad que haga mas de 5 ventas ser

B. DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

12. De 6 empleados, 3 han estado en la empresa cinco o ms aos. Si se

escogen aleatoriamente 4 empleados del grupo de 6. Cul es la probabilidad

de que tengan una antigedad de cinco o mas aos?


14

C. DISTRIBUCION DE POISSON

13. La FCCAA recibe en promedio 10 llamadas por hora. Cul es la probabilidad

que reciba exactamente 6 llamadas?

14. La inasistencia promedio de alumnos al curso de Estadstica Aplicada a los

negocios es de 8 alumnos. Cul es la probabilidad que hoy tengamos 4

inasistencias?

EJERCICIO 6

DISTRIBUCION PARA VARIABLES CONTINUAS

DISTRIBUCION NORMAL

15. La Municipalidad Provincial tiene conocimiento que el promedio de vida de un

automvil es de 10 aos con una desviacin estndar de 2 aos. Para una

ordenanza municipal por antigedad de los autos que circulan en el centro de

la ciudad desea saber:


15

a) Cul es la probabilidad que un automvil cualquiera dure mas de 12

aos?.

b) Cul es la probabilidad que un automvil cualquiera dure mas de 14

aos?.

c) Cul es la probabilidad que un automvil cualquiera dure entre 8 y 14

aos?

d) Cul es la probabilidad que un automvil cualquiera dure mas de 5

aos?

c) Cul es la probabilidad que un automvil cualquiera dure menos de 6

aos?


16

d) Se espera que el 20% de automviles actuales ms modernos circulen en

los siguientes aos. Determine la vida lmite de los autos que han de ser

autorizados por la ordenanza municipal.

e) La propuesta de la pregunta d) quieren mejorar, limitando la circulacin a

10% de autos en circulacin. Cul es la edad lmite del auto para

circular?

f) Encuentre el primer cuartil de edades de autos en circulacin que se

estima sean los que deben circular en la ciudad.

g) Encuentre el ltimo decil de edades de autos en circulacin que han de

ser retirados el prximo ao.


17

h) Encuentre el ltimo cuartil de edades de autos en circulacin que estn

obligados a tener certificado tcnico para circulacin.

i) Para los datos del Ejercicio 2 Cul es la probabilidad un cliente se quede

en el establecimiento entre 20 y 30 minutos?.

j) Para los datos del Ejercicio 2 Cul es la probabilidad un cliente se quede

mas de 30 minutos?


18

Nmero de minutos que ocupan sus asientos 100 clientes en una cafetera

29 67 34 39 23 66 24 37 45 58

51 37 45 26 41 55 27 96 22 43

73 48 63 37 19 31 38 68 22 35

31 58 35 82 28 35 44 40 41 34

15 31 34 56 45 27 54 46 62 29

51 31 56 43 39 35 23 28 45 48

47 41 34 47 30 54 49 34 53 61

82 45 26 35 67 73 30 16 52 35

46 40 41 56 37 51 33 92 70 63

72 35 62 28 38 61 33 49 59 36

MUESTRA MEDIA DESVIACION n

muestral ESTANDAR MUESTRAL

29 67 34 39 23 66 24 37 45 58

51 37 45 26 41 55 27 96 22 43

73 48 63 37 19 31 38 68 22 35

31 58 35 82 28 35 44 40 41 34

15 31 34 56 45 27 54 46 62 29

51 31 56 43 39 35 23 28 45 48

47 41 34 47 30 54 49 34 53 61

82 45 26 35 67 73 30 16 52 35

46 40 41 56 37 51 33 92 70 63

72 35 62 28 38 61 33 49 59 36

44,38 16,403 100,0

12,6570139

45,55 16,5671679

Muestra 1

Muestra 2

Muestra 3

Muestra 4

DATOS

43,25 18,4529986

43,10 17,1276938

50,10 16,5335385

POBLACION = 100

20

20

20

20

20Muestra 5

39,90

EJERCICIO 7

DISTRIBUCIONES MUESTRALES

16. Suponga que los 100 clientes que ocupan sus asientos en minutos en una

cafetera se toma como una poblacin N.

De la poblacin anterior obtenemos 5 muestras de la siguiente manera:


19

a) Calcular el error estndar de la media :

b) Calcule el intervalo alrededor de la media poblacional que incluya el 95% de

las medias muestrales:

c) Si N = 100 la media poblacional es de 44,38 minutos y la desviacin estndar

de 16,403. El da de ayer se toma una muestra de 30 personas con una

media de 42,16 minutos. Establezca una estimacin de intervalo de confianza

para determinar si es correcta la muestra con un nivel de confianza del 95%.

d) Para el caso anterior establezca el intervalo de confianza para un nivel de

confianza del 99%.


20

17. Suponga que no se conoce la Desviacin Estndar de una poblacin, se

extrae una muestra de 20 datos cuya media es de 43,25 y su desviacin

estndar de 18,45, determine el intervalo de confianza para un nivel de

confianza del 95%.

18. De una muestra de 1000 pobladores jvenes, el 20% indica irn la FIA el

presente ao, para un nivel de confianza del 90% , establezca el intervalo de

confianza que estime la proporcin verdadera de la poblacin.

19. Para la pregunta anterior, estime la proporcin de la poblacin que ira a la

FIA con un nivel de confianza del 95%. Compare resultados.

TAMAO DE MUESTRA

20. Se desea saber el tamao de muestra para encuestar a los clientes de una

compaa por las preferencias de nuestros productos. La muestra piloto de 20

clientes indica que 15 clientes se encuentran satisfechos con los beneficios

del producto y 5 no se encuentran satisfechos. Para un nivel de confianza del


21

95% determine el nmero de clientes que se deben encuestar para conocer la

preferencia de todos nuestros clientes.

21. Para el caso anterior. Cul sera el tamao de muestra si el nmero total de

clientes es de 800 personas.

MUESTRA ESTRATIFICADA

22. El Ministerio de Trabajo desea realizar un estudio para conocer, entre otros

objetivos, el nmero medio de personas que trabaja por hogar. Los datos

oficiales ltimos reportan que un estrato socioeconmico A existe 1500

familias; en el etrato B, 3650; y en el estrato C, 8150 familias. Al aplicar un

estudio piloto, se encontr las siguientes desviaciones correspondientes: 1,5 ,

2 y 2,6 personas que trabajan. La Desviacin estndar de la muestra piloto

sin estratificar es de 2,3 personas.

a) Identifique el marco muestral pertinente.


22

b) Determine el tamao de la muestra total al nivel de significacin de 0,05.

c) Determinar la composicin muestral de los estratos en proporcin al

tamao de los estratos del universo.

Estrato % Poblacin Muestra n

Nivel Socioec A 11,28 1500

Nivel Socioec B 27,44 3650

Nivel Socioec C 61,28 8150

13300


23

d) Determinar la composicin no proporcional de los estratos de la muestra.

Estrato % Desv Est % x Desv Est Muestra n

Nivel Socioec A 11,28 1,50 0,1692

Nivel Socioec B 27,44 2,00 0,5488

Nivel Socioec C 61,28 2,60 1,5933

13300 2,3113

EJERCICIO 8

PRUEBA DE HIPOTESIS

23. Una empresa recibe distintos pedidos en el da, llega un camin cargado y

nos indican que el cargamento contiene cajas de vino embotellado. Cada caja

contiene 24 botellas con 800gr promedio con una desviacin estandar de 1,5.

La empresa aceptar el cargamento si la prueba de hiptesis indican su

aceptacin, para lo cual la empresa realiza una muestra de 24 botellas.

a) Plantear la Hiptesis nula y la Hiptesis Alterna


24

b) La muestra de 24 unidades tienen una media de 796 mg. Aplicar la

Prueba e indicar si debe recibirse el cargamento con un nivel del

significacin del 5%, ya que la empresa exige ciertos niveles estndar

para la venta.

24. Para el caso de la pregunta anterior indique que pasara si la muestra de 24

unidades tienen una media de 799,5 mg. Aplicar la Prueba e indicar si debe

recibirse el cargamento con un nivel del significacin del 5%.


25

25. Para el caso de la pregunta 23 indique que pasara no se conoce la

desviacin estndar poblacional y la muestra de 24 unidades tienen una

media de 796 mg. Y una desviacin muestral de 1,8 mg. Aplicar la Prueba e

indicar si debe recibirse el cargamento con un nivel de confianza del 95%.

26. Suponga que el cargamento llega con las siguientes especificaciones:

Contiene cajas de vino embotellado. Cada caja contiene 24 botellas: Cada

botellas tiene mas de 800 gr con una desviacin estandar de 1.4grs. La

empresa aceptar el cargamento si la prueba de hiptesis indican su

aceptacin. La empresa realiza una muestra de 24 botellas.



26

b) La muestra de 24 unidades tienen una media de 799,8 mg. Aplicar la

Prueba e indicar si debe recibirse el cargamento con un nivel del

confianza del 95%.

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA PROPORCIONES

27.Suponga que el cargamento llega con las siguientes especificaciones:

Contiene cajas de vino embotellado. Cada caja contiene 24 botellas: Las

botellas contienen 800gr. De un total de 100 botellas, 92 botellas tienen

exactamente esta cantidad. La empresa aceptar el cargamento si la prueba

de hiptesis indican su aceptacin.



27

b) De la muestra de 24 unidades , 22 unidades tienen 800gr. exactamente.

Aplicar la Prueba e indicar si debe recibirse el cargamento con un nivel

del confianza del 95%.

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS MUESTRAS (DIFERENCIA DE MEDIAS)

28. Nos indican que llegan dos camiones de carga que contienen cajas de vino

embotellado. Cada caja contiene 24 botellas con 800gr promedio con una

desviacin estandar de 1,5. La empresa aceptar los cargamentos si la

prueba de hiptesis indican su aceptacin.La empresa realiza 1 muestra de

24 botellas por cada carga


b) La primera muestra de 24 botellas arroja una media 799,8 mg, mientras

que la segunda muestra de 24 unidades arroja una media de 801,5, Indicar

si estos cargamentos tienen en promedio 800mg. con un nivel del

confianza del 95%. Indique si se debe aceptar los cargamentos o se deben

rechazar.


28

29. Para el caso anterior, suponga que no se conoce la desviacin estndar

poblacional pero las desviaciones muestrales son 1,30g y 1,45g

respectivamente. Indique si se debe aceptar o rechazar los cargamentos.


29

PRUEBA FISHER (F) PARA DESVIACIONES ESTANDAR DE DOS MUESTRAS

30. Se dispone conocer la variabilidad de un cargamento con el segundo

cargamento de vino y se obtiene las desviaciones muestrales de 1,30 g y 1,45

g respectivamente.


b) Las muestras son de 24 botellas para cada carga. Indique si es

conveniente recibir la carga si las desviaciones poblacionales son iguales

con un nivel de confianza del 95%.

estadistica aplicada mba

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