MATEMTICAS

ndicePg.

PROBABILIDADES..

POLIEDRO

TRIGONOMETRA

SISTEMA DE ECUACIONES.

SUSECIONES.

LOGARITMOS .

DESIGUALDADES

GEOMETRA ANLITICA..

BIBLIOGRAFA

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PROBABILIDADESLos juegos de azar son juegos en los cuales las posibilidades de ganar o perder no dependen de la habilidad del jugador sino exclusivamente del azar. De ah que la mayora de ellos sean tambin juegos de apuestas cuyos premios estn determinados por la probabilidad estadstica de acertar la combinacin elegida. Mientras menores sean las probabilidades de obtener la combinacin correcta, mayor es el premio.La pregunta por el origen de estos juegos, en cualquier aspecto, es parte de la duda humana que alimenta la existencia. Por eso, sin dudas, muchos se deben haber preguntado por el origen de algunos juegos de azar que existen desde hace miles de aos y que hoy predominan en Internet.

Primero se puede hablar del domino, un juego cuyo origen se remonta al ao 2450 antes de Cristo. En el Museo de Bagdad (Irak) se conservan piezas de hueso que, segn los arquelogos, datan de esa fecha, aunque otros estudios hablan de un origen vinculado a los juegos de azar en la China antigua. Lo cierto es que llego a Europa durante el siglo XVIII, momento en que se tallaban las piezas con una cara de bano y otra de marfil. El nombre del juego se debe a la similitud de las fichas con los domins, unas tnicas blancas con capucha negra que se utilizaban como disfraz.

Sin lugar a dudas, entre los juegos de azar ms populares se ubican las cartas, cuyo origen se remontan a la Francia de Carlos VI, en 1392, segn el investigador jesuita Menestrier. Aunque hay otros estudios que hablan de juegos de cartas con smbolos mgicos y de batallas en la misma antigedad, tanto en la India como o si se usaron primero en la China y Egipto.

En el origen de los juegos de azar, tal vez uno de los ms milenarios y con absoluta vigencia hoy en da es el Go, que segn se estima se origin en China 1000 aos antes de Cristo y fue creado por el emperador Yao para educar a sus hijos y acostumbrarlos al habito de la reflexin.

Por ultimo podemos hablar de la Lotera, quizs el de ms reciente origen de todos los juegos de azar ms populares que existen hoy. Se habla de un origen genoves durante el siglo XVI, atribuyndose su invencin a Benedetto Gentile, quien transformo en juego la forma legal de renovacin de los miembros del Concejo Municipal de Gnova.AZAR Y DESCONOCIMIENTOPero ms all de los juegos, el azar est relacionado con el desconocimiento. Un ejemplo nos puede ayudar; piense en un proceso industrial que produce grandes cantidades de un artculo determinado. No todos los artculos producidos son idnticos, cada artculo puede calificarse como "bueno'' o "defectuoso''. Si de toda la produccin se escoge un artculo "a ciegas'', ese artculo puede resultar bueno o defectuoso. Esta es una situacin azarosa (o aleatoria) y la parte esencial de este azar es que no sabemos si el artculo seleccionado es defectuoso. Claro que con experiencia en el proceso es posible cuantificar de una manera numrica qu tan probable es que el artculo sea defectuoso o no.

AZAR E INCERTIDUMBREHay otro concepto asociado al azar y es el de incertidumbre. Ejemplo. Respecto a una inversin, podemos estar contemplando invertir una cantidad de dinero. El retorno sobre la inversin puede ser fijo, como en el caso de una cuenta en un banco con inters fijo; pero pensemos en una empresa. El negocio puede resultar desde un gran xito hasta un fracaso, es decir, la ganancia no es fija, sino que depende del xito a obtener. Si no podemos evaluar qu tan factible es cada monto posible de la ganancia, tenemos una situacin de incertidumbre. Por el contrario, si podemos tener una idea de qu tan probables son los diferentes resultados y entonces tendremos una situacin de riesgo. Esta ltima es la que llamamos aleatoria o azarosa.

ESPACIO MUESTRAL Y PROBABILIDAD

En las situaciones o experimentos aleatorios tenemos dos elementos esenciales:Una lista de posibilidades a futuro: Espacio muestral.

Una cuantificacin de la incertidumbre sobre esa lista de posibilidades: asignacin de probabilidades.

Cualquier problema o situacin en la probabilidad, parte de esos dos elementos: Espacio Muestral y Probabilidades.

ESPACIO MUESTRAL

El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento o situacin aleatoria.Si en una caja hay 10 mandarinas y 2 estn echadas a perder (al menos en este momento), al extraer tres mandarinas y ver cuntas son buenas podemos obtener 1, 2 o 3 buenas (0 buenas es imposible). De modo que en este ejemplo el espacio muestral es: {1; 2; 3}.Si un juego consiste en tirar con una pistola de balines todas las botellas que hagan falta hasta obtener tres botellas seguidas o hasta que sean 15 botellas. Si nos fijamos para el nmero de botellas tiradas requeridas, el espacio muestral es S = {3; 4; 5,. . .; 15}. Pero si nos fijramos en el nmero de disparos que resultan, entonces el espacio muestral es S = {0; 1; 2;...; 15}.Es claro que para determinar el espacio muestral en un experimento aleatorio es necesario entender perfectamente: Qu se va a hacer. Qu se va a observar o contar.

Otros ejemplos

1) Si el experimento se basa en la eleccin de un dgito, entonces el espacio muestral es:U = { 0 ;1 ;2 ;3 , 4 ;5 ;6 ;7 ;8 ; 9 }

2) Lanzamiento de monedas:

a) Si el experimento se basa en el lanzamiento de una moneda, el espacio muestral tiene dos elementos, cara (c) y sol (s):U = {c; s}b) Dos monedas, el espacio muestral tiene 4 elementos:U = { ( c ;c ) , ( c; s ) , ( s ; c ) , ( s; s ) }c) Tres monedas, tiene 8 elementos:U = {( c ; c ; c ), ( c ; c ;s ) ,( c ;s ; c ), ( c ;s ;s ) ,( s ; c ; c ) ,( s ;c ;s ) , (s ; s ;c ) , (s ;s ; s ) }d) n monedas, tiene 2n elementos.Otro ejemplo:

1. Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas.E = {(b;b;b); (b;b;n); (b;n;b); (n;b;b); (b;n;n); (n;b;n); (n;n;b); (n;n;n)}2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.B = {(b; b; b); (n; n; n)}3. El suceso A = {Extraer al menos una bola blanca}.B= {(b;b;b); (b;b;n); (b;n;b); (n;b;b); (b;n;n); (n;b;n); (n;n;b)}4. El suceso A = {Extraer una sola bola negra}.A = {(b;b;n); (b;n;b); (n;b;b)}

EVENTOS O SUCESOS

Cuando se tiene un espacio muestral llamamos, evento o suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral. Decimos que un suceso se realiza, cuando el resultado del experimento aleatorio es uno de los sucesos posibles.Por ejemplo al tirar un dado un suceso sera que saliera par, otro, obtener mltiplo de 3, y otro, sacar 5.Las dos definiciones anteriores son muy abstractas. Veamos un par de ejemplos.1. Sean U el espacio muestral formado por los 10 dgitos, A y B eventos tales que:A ocurre si y slo si el dgito es par.

B ocurre si y slo si el dgito es mltiplo de 3.

Entonces:A = {0; 2; 4; 6; 8}B = {0; 3; 6; 9} Basndonos en el concepto de evento, podemos concluir que tanto el conjunto U como el conjunto vaco son tambin sucesos, U es el suceso o evento cierto o seguro y es el suceso imposible.

Otro ejemplo ms: Comprar llantas para un carroPuede ser que estas tengan un defecto de fabricacin dentro del perodo de garanta total y que la casa que las distribuye deba reponerlas. Tambin puede pasar que el defecto se manifieste en el perodo de garanta parcial y que la casa bonifique slo un porcentaje o que el defecto se manifieste despus de vencido el perodo de garanta en cuyo caso el distribuidor no paga nada. Tambin puede pasar que las llantas no tengan defecto de fabricacin aparente y que no haya garanta que reclamar. Como se puede considerar que las llantas vendidas se escogieron al azar de entre toda la produccin, tenemos un experimento aleatorio.El espacio muestral en este experimento es: S = {T, P1, P2, P3, N, OK}. Con la siguiente notacinT: Pago total, P1: Pago del 50%, P2: Pago del 30%, P3: Pago del 10%, N: Nada de pago, S: Llantas sin defecto.El suceso S slo se realiza cuando las llantas no tienen defecto.En este ltimo ejemplo se tiene un suceso simple porque consta de un solo punto del espacio muestral. Ser compuesto cuando tenga varios puntos del espacio muestral. Se llama suceso imposible al que no puede ocurrir; ste evento corresponde al conjunto vaco. Otro suceso extremo es el espacio muestral mismo que, puesto que siempre ocurre, se llama suceso o evento seguro.Experimento: Se lanza una moneda cuatro veces y se cuenta el nmero total de caras obtenidas.El espacio muestral es U= {0; 1; 2; 3; 4}Ejemplos de sucesos o eventos:A:sali la cantidad de caras un nmero par de veces en el experimento

A: = {2; 4}B: salieron a lo sumo dos caras en el experimento

B= {0; 1; 2}C: salieron por lo menos dos caras en el experimento

C= {2; 3; 4}

Probabilidades

1. Escribe en el espacio en blanco, es muy probable que., es poco probable que, es igualmente probable que., segn corresponda.A.Se formen huracanes en el mes de marzo.

B.Se formen huracanes en el mes de octubre.

C.

Se formen huracanes en los meses de septiembre y octubre.

D.Es seguro que hoy llover?

E.Es seguro que hoy no llover?

La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento.Ejemplo: Tiramos un dado al aire y queremos saber cul es la probabilidad de que salga un 2, o que salga un nmero par, o que salga un nmero menor que 4.El experimento tiene que ser aleatorio, es decir, que pueden presentarse diversos resultados, dentro de un conjunto posible de soluciones, y esto aun realizando el experimento en las mismas condiciones. Por lo tanto, a priori no se conoce cul de los resultados se va a presentar:Ejemplo: Lanzamos una moneda al aire: el resultado puede ser cara o sol, pero no sabemos de antemano cul de ellos va a salir.En la Lotera de Navidad, el "Gordo" puede ser cualquier nmero entre el 1 y el 59 999, pero no sabemos exactamente cul ser el premiado.

Hay experimentos que no son aleatorios y por lo tanto no se les puede aplicar las reglas de la probabilidad.Ejemplo: En lugar de tirar la moneda al aire, directamente seleccionamos la cara. Aqu no podemos hablar de probabilidades, sino que ha sido un resultado determinado por uno mismo.Antes de calcular las probabilidades de un experimento aleatorio hay que definir una serie de conceptos:Suceso elemental: Hace referencia a cada una de las posibles soluciones que se pueden presentar.Ejemplo: Al lanzar una moneda al aire, los sucesos elementales son la cara y el sol. Al lanzar un dado, los sucesos elementales son el 1, el 2,.., hasta el 6.Suceso compuesto: Es un subconjunto de sucesos elementales.Ejemplo: lanzamos un dado y queremos que salga un nmero par. El suceso "nmero par" es un suceso compuesto, integrado por 3 sucesos elementales: el 2, el 4 y el 6.Si jugamos a la ruleta y queremos que salga "menor o igual que 18". Este es un suceso compuesto formado por 18 sucesos elementales (todos los nmeros que van del 1 al 18).

Medicin Matemtica o Clsica. Si en un experimento aleatorio todos los resultados son equiprobables (iguales probabilidades), es decir, la ocurren longitud de la circunferencia de uno es igualmente posible que la ocurren longitud de la circunferencia de cualquiera de los dems, entonces, la probabilidad de un evento A es la razn:

P(A) = Nmero de casos favorables para A/nmero total de casos posibles.

A partir de esta definicin las probabilidades de los posibles resultados del experimento se pueden determinar a priori, es decir, sin realizar el experimento.

Se deduce de la definicin lo siguiente:

0 P(A) 1 La medicin probabilstica es un nmero real entre 0 y 1, inclusive, 0% P(A) 100% en porcentaje.

P () = 0 y P (E) = 1

Su Medicin Experimental o Estadstica.La frecuencia longitud de la circunferencia relativa del resultado A de un experimento es la razn.

FR = nmero de veces que ocurre A/nmero de veces que se realiza el experimento.

Si el experimento se repite un nmero grande de veces, el valor de FR se aproximar a la medicin probabilstica P del evento A. Por ejemplo, si lanzo 100 veces una moneda, el nmero de veces que obtengo cara es cercano a 50, o sea FR es cercano a 50%.Los fenmenos o experimentos son de dos tipos.DETERMINISTA: Un experimento es determinista si al repetirlo en las mismas condiciones se obtiene siempre el mismo resultado. ALEATORIOS: Un experimento es aleatorio si al repetirlo bajo las mismas condiciones, no se puede predecir el resultado.En un fenmeno o experimento determinstico sabes exactamente de antemano cual es el resultado, an sin haber efectuado el hecho.

En un fenmeno o experimento aleatorio no se puede predecir con certeza el resultado. En dicho caso diremos que interviene el azar.

Escribe en el espacio en blanco una D si el experimento es determinstico o una A si es experimento aleatorio.

1. Jugar la raspadita para ver si gano.

2. Introducir papel al fuego para ver si se quema.

3. Pronosticar quin ganar las elecciones para alcalde en tu municipio.

4. Lanzar una moneda al aire para ver si cae cara.

5. Combinar los colores rojo y amarillo.

6. Golpear un vidrio con un martillo para ver si se rompe.

7. Predecir un temblor.

En la kermesse del colegio, a cambio de una moneda se puede meter la mano en una tinaja sin mirar el interior y obtener un premio. El premio corresponde al que logre extraer una bola roja.

A. En cul de las tinajas ilustradas te gustara meter la mano? Por qu?

B. En qu tinaja tendras una mejor probabilidad de ganar?

En el juego La ruleta siempre se obtiene un premio. Al presionar el pedal, se inicia el mecanismo que hace girar la rueda, y al parar esta, te llevas el premio indicado por la flecha.A qu color se le habr asignado el premio mayor? Por qu razn?

EL JUEGO INJUSTODe los siguientes juegos entre dos personas hay uno que no es justo. Podras descubrirlo? Por qu no es justo?

SHAPE \* MERGEFORMAT

LANZANDO UN DADO

Sea el experimento lanzar un dado y leer el nmero de puntos en la cara superior

Actividades:

1. Se puede expresar con certeza cul ser el resultado de lanzar un dado?

2. Qu tipo de experimento es?3. Qu cantidad de puntos puede salir cada vez que se lance un dado?

4. Se pueden determinar todos los resultados posibles de este experimento?

A. Lanzar una moneda

B. Lanzar dos monedas

C. Lanzar tres monedas

D. Lanzar dos dados y sumar los puntos de la cara superior

E. Adivinar la ltima cifra del premio mayor de la lotera nacional __________

Escribe el espacio muestral de cada uno de los experimentos descritos en el punto anterior.

Espacio muestral: Se denomina al conjunto de todos los posibles sucesos elementales. Cada experimento aleatorio tiene definido su espacio muestral (es decir, un conjunto con todas las soluciones posibles).Ejemplo: Si tiramos una moneda al are una sola vez, el espacio muestral ser cara o sol.

Si el experimento consiste en lanzar una moneda al aire dos veces, entonces el espacio muestral estara formado por (cara-cara), (cara-sol), (sol-cara) y (sol-sol).

Entre los sucesos compuestos se pueden establecer distintas relaciones:

a. Un suceso puede estar contenido en otro: Las posibles soluciones del primer suceso tambin lo son del segundo, pero este segundo suceso tiene adems otras soluciones suyas propias.Ejemplo: Lanzamos un dado y analizamos dos sucesos:

a) que salga el nmero 6, y b) que salga un nmero par.

Vemos que el suceso a) est contenido en el suceso b)Siempre que se da el suceso a) se da el suceso b), pero no al contrario. Por ejemplo, si el resultado fuera el 2, se cumplira el suceso b), pero no en el a).b. Dos sucesos pueden ser iguales: Esto ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos se cumple obligatoriamente el otro y viceversa.Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos:

a) que salga nmero par, y b) que salga mltiplo de 2.

Vemos que las soluciones coinciden en ambos casos.c. Unin de dos o ms sucesos: La unin ser otro suceso formado por todos los elementos de los sucesos que se unen.Ejemplo: Lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos:

a) que salga nmero par y b) que el resultado sea mayor que 3.

El suceso unin estara formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6d. Interseccin de sucesos: Es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de dos o ms sucesos que se intersecan.Ejemplo: Lanzamos un dado al aire, y analizamos dos sucesos:

a) Que salga nmero parb) Que sea mayor que 4.

La interseccin de estos dos sucesos tiene un slo elemento, el nmero 6 (es el nico resultado comn a ambos sucesos: es mayor que 4 y es nmero par).e. Sucesos incompatibles: Son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo ya que no tienen elementos comunes (su interseccin es el conjunto vaco).Ejemplo: Lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos:

a) que salga un nmero menor que 3, y b) que salga el nmero 6.

Es evidente que ambos no se pueden dar al mismo tiempo.f. Sucesos complementarios: Son aquellos que si no se da uno, obligatoriamente se tiene que dar el otro.Ejemplo: Lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos:

a) que salga un nmero par, y b) que salga un nmero impar.

Vemos que si no se da el primero se tiene que dar el segundo (y viceversa). Probabilidad de SucesosAl definir los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar dos sucesos entre s, as como de las posibles relaciones que se pueden establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cmo se refleja esto en el clculo de probabilidades.a. Un suceso puede estar contenido en otro: Entonces, la probabilidad del primer suceso ser menor que la del suceso que lo contiene.Ejemplo: Lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el nmero 6, y b) que salga un nmero par. Dijimos que el suceso a) est contenido en el suceso b).P(A) = 1/6 = 0,166

P (B) = 3 / 6 = 0,50

Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del suceso contenido, suceso a), es menor que la probabilidad del suceso que lo contiene, suceso b).b. Dos sucesos pueden ser iguales: En este caso, las probabilidades de ambos sucesos son las mismas.Ejemplo: Lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par, y b) que salga mltiplo de 2. Las soluciones coinciden en ambos casos.P(A) = 3 / 6 = 0,50

P (B) = 3 / 6 = 0,50

c. Interseccin de sucesos: Es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de los dos o ms sucesos que se intersecan. La probabilidad ser igual a la probabilidad de los elementos comunes.Ejemplo: Lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par, y b) que sea mayor que 3. La interseccin de estos dos sucesos tiene dos elementos: el 4 y el 6.Su probabilidad ser por tanto:P(A B) = 2 / 6 = 0,33d. Unin de dos o ms sucesos: La probabilidad de la unin de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos sucesos que se unen, menos la probabilidad del suceso interseccinEjemplo: Lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par, y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unin estara formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6.P(A) = 3 / 6 = 0,50

P (B) = 3 / 6 = 0,50

P (A U B) = 2 / 6 = 0,33

Por lo tanto,

P (A U B) = (0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666

e. Sucesos incompatibles: la probabilidad de la unin de dos sucesos incompatibles ser igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos (ya que su interseccin es el conjunto vaco y por lo tanto no hay que restarle nada).Ejemplo: Lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un nmero menor que 3, y b) que salga el nmero 6.La probabilidad del suceso unin de estos dos sucesos ser igual a:P(A) = 2 / 6 = 0,333

P (B) = 1 / 6 = 0,166

Por lo tanto,

P(A u B) = 0,33 + 0,166 = 0,50

f. Sucesos Complementarios: la probabilidad de un suceso complementario a un suceso (A) es igual a 1 - P(A)Ejemplo: Lanzamos un dado al aire. El suceso (A) es que salga un nmero par, luego su complementario, suceso (B), es que salga un nmero impar.La probabilidad del suceso (A) es igual a:P(A) = 3 / 6 = 0,50

Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual a:

P (B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 = 0,50

Se puede comprobar aplicando la regla de "casos favorables / casos posibles":

P (B) = 3 / 6 = 0,50

g. Unin de sucesos complementarios: La probabilidad de la unin de dos sucesos complementarios es igual a 1.Ejemplo: Seguimos con el ejemplo anterior: a) que salga un nmero par, y b) que salga un nmero impar. La probabilidad del suceso unin de estos dos sucesos ser igual a:P(A) = 3 / 6 = 0,50

P (B) = 3 / 6 = 0,50

Por lo tanto,

P(A U B) = 0,50 + 0,50 = 1

PROBABILIDAD CONDICIONALConsideremos la siguiente situacin. Se tienen tres urnas similares; por fuera son idnticas. Se sabe que: En la urna 1 hay 3 bolas blancas y 19 azules,

En la urna 2 hay 20 bolas blancas y 2 azules,

En la urna 3 hay 11 bolas blancas y 11 azules. Se va a sacar una bola de una de las urnas. Puede ser azul o blanca. Cul es la probabilidad de que sea blanca? Hay cuatro posibles soluciones: 1. La probabilidad de una blanca es 3 / 22. Esto es porque si se escoge la urna 1, hay 3 de 22 bolas que son blancas. Esta respuesta nos deja pensando en que es muy arbitrario decir que la urna escogida es la 1. Si la urna escogida fuese la 1 esta sera la respuesta correcta. 2. De manera similar, podemos pensar que la urna escogida es la 2 y entonces la probabilidad de una bola blanca es 20 / 22. 3. Claro que, tambin, la urna escogida puede ser la 3 y entonces la probabilidad de blanca es 11 / 22. 4. Como no se sabe cul es la urna escogida y las tres urnas tienen el mismo nmero de bolas, la probabilidad se calcula como si fuese una gran urna con 66 bolas de las cuales 3 + 20 + 11 son blancas y, as, la probabilidad es 34 / 66 Cul es la respuesta correcta? o habr otra que sea la respuesta correcta? Una cosa es clara, si podemos suponer que la urna escogida es la 1, la respuesta correcta es la primera. Lo mismo se puede decir de la segunda y la tercera. La cuarta ms atrevida y quiz sea correcta. Por lo pronto vamos a darle un nombre a las tres primeras: les llamamos probabilidad condicional. A la primera la llamamos "probabilidad condicional de blanca dado que la urna es la 1".

A la segunda, la llamamos de manera similar condicional de blanca dado que la urna es la 2. A la tercera se le da un nombre anlogo Cul nombre?Ms adelante veremos lo que se llama frmula de la probabilidad total y entonces, veremos que la cuarta respuesta dara la ``probabilidad no condicional''. Por el momento ampliemos las ideas sobre probabilidad condicional con un poco de matemticas. Formalmente, definimos en clase la probabilidad condicional de la siguiente manera:

P(A | B) = P(A y B) / P (B)

El smbolo P(A | B) lo leemos como probabilidad de A dado B. Lo interpretamos como la probabilidad de que, sabiendo que ya sucedi B, adems suceda A. En el ejemplo de las urnas A sera el evento "la bola es blanca''; B sera la urna correspondiente. Como lo que est abajo en la fraccin es la probabilidad de lo dado, la frmula no es simtrica en A y B. Si los intercambiamos, da otro nmero. Esto se ve en el ejemplo ya que no es lo mismo que nos informen cual es el nmero de la urna escogida a que nos digan que la bola fue blanca y nos pregunten cul es la urna. Esta frmula no tiene sentido matemtico si P (B) = 0. En tal caso decimos que la probabilidad condicional no est definida. Claro que eso est bien porque no puede haber sucedido algo que es imposible. Esta frmula se usar cuando haya una manera fcil de calcular las probabilidades no condicionales y la condicional sea difcil. Eso no fue el caso con el color de la bola y las urnas. Para ejemplificar el tipo de situacin en que nos sirve la frmula descrita, considere este problema. Se tiran dos dados y se sabe que el primero no tiene el nmero 5. Cul es la probabilidad de que la suma de los dados sea 8? Para resolver, llamemos B al evento: "el primer dado no es 5''. A al evento: "la suma de los dados es 8''.Con los datos se ve que: P (B) = 30 / 36. Porque de las 36 parejas posibles, 6 tienen 5 en el primer dado. P(A y B) = 4 / 36. Porque slo se obtiene 8, con las parejas (2; 6), (3; 5), (4; 4) y (6; 2) [La pareja (5; 3) s suma ocho pero tiene un 5 en el primer dado] y, usando la frmula, P (A|B) = 4 / 30.Tambin hubiramos podido calcular sin la frmula, pero esa cuenta requiere ms ingenio. En este ejemplo es fcil calcular las probabilidades no condicionales. Hay muchos problemas, como en el de las urnas, en que lo contrario es lo cierto: es fcil calcular la condicional y la podemos usar para calcular la conjunta. Si despejamos P(A y B), tendremos una frmula para calcular la probabilidad conjunta cuando sea fcil calcular la condicional. En clase hacemos un ejemplo simple de clculo de probabilidad condicional con una tabla de dos clasificaciones cruzadas. En ese ejemplo se ven tres cosas: 1. La probabilidad condicional nos permite medir la informacin. En los ejemplos vimos cmo cambia la probabilidad de A, antes de conocer nada: P(A) y despus de conocer la ocurrencia de la circunferencia del evento B: P(A | B). 2. En un extremo est el cambio enorme que corresponde a que A y B sean excluyentes (ajenos). En este caso la probabilidad podra llegar incluso a ser cero. 3. En el otro extremo estn los eventos en los que sucede que P(A | B) = P(A). Esto quiere decir que la informacin de que B ocurri no cambia la probabilidad de A y decimos que A y B son independientes. Esta ltima caracterstica, la independen longitud de la circunferencia, juega un papel muy importante en la probabilidad y merece una atencin ms detallada. Por el momento debemos establecer una definicin: A y B son eventos independientes si y slo si P(A y B) = P(A) P (B)

En forma equivalente decimos:

A y B son eventos independientes si y slo si P(A | B) = P(A)

La equivalencia de la circunferencia se sigue de una sustitucin algebraica muy sencilla. La consecuencia de la circunferencia de que esta sea una definicin es que: para comprobar la independencia de la circunferencia de dos eventos es preciso hacer ver que P(A y B) = P(A) P (B).Es importante remarcar la diferencia de la circunferencia de concepto entre eventos independientes y eventos excluyentes o ajenos. En nuestro ejemplo se ve claramente que ambos conceptos son antitticos. El hecho de que dos eventos se excluyan casi implica que no son independientes. La excepcin se da en el caso degenerado de que alguno de ellos (o los dos), sea imposible. En el habla cotidiana, a veces, se confunden estos conceptos. Note que si A es imposible; P(A) = 0. Adems "A y B'' tambin es imposible y se tiene P(A y B) = P(A) P (B) ya que ambos lados de la igualdad valen cero. Pero ste es el nico caso en que dos eventos son ajenos e independientes a la vez; en trminos geomtricos la idea de independencia de la circunferencia se asemeja a la perpendicularidad y la de ``ajenos'' al paralelismo.

Dos sucesos son independientes entre s, si la ocurrencia de la circunferencia de uno de ellos no afecta para nada el que pueda producirse el otro: Ejemplo: el suceso estatura de los alumnos de una clase y el color del pelo son independientes: el que un alumno sea ms o menos alto no va a influir en el color de su cabello, ni viceversa.Para que dos sucesos sean independientes tienen que verificar al menos una de las siguientes condiciones: P (B/A) = P (B) es decir, que la probabilidad de que se d el suceso B, condicionada a que previamente se haya dado el suceso A, es exactamente igual a la probabilidad de B. Ejemplo: la probabilidad de que al tirar una moneda salga cara (suceso B), condicionada a que haga buen tiempo (suceso A), es igual a la propia probabilidad del suceso B.P (A/B) = P (A) es decir, que la probabilidad de que se d el suceso A, condicionada a que previamente se haya dado el suceso B, es exactamente igual a la probabilidad de A. Ejemplo: la probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A), condicionada a que al tirar una moneda salga cara (suceso B), es igual a la propia probabilidad del suceso A.P (A ^ B) = P (A) P (B) es decir, que la probabilidad de que se d el suceso conjunto A y B es exactamente igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B. Ejemplo: La probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A) y salga cara al tirar una moneda (suceso B), es igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso BSi el suceso A es independiente del suceso B, entonces el suceso B tambin es independiente del suceso A. Ejemplo 1:Analicemos dos sucesos:Suceso A: La probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4

Suceso B: La probabilidad de tener un accidente es del 0,1

Suceso interseccin: La probabilidad de que haga buen tiempo y tener un accidente es del 0,08Veamos si se cumple alguna de las condiciones sealadas:

P (B/A) = P (A ^ B) / P (A) = 0,08 / 0,4 = 0,2 (que no es igual a P (B))

P (A/B) = P (A ^ B) / P (B) = 0,08 / 0,6 = 0,133 (que no es igual a P (A))

P (A ^ B) = 0,08 (que no es igual a P (A) multiplicado por P (B))Por lo tanto, no se cumple ninguna de las tres condiciones sealadas por lo que estos dos sucesos no son independientes, sino que existe algn grado de dependencia de la circunferencia entre ellos.

Ejemplo 2:Analicemos dos sucesos:Suceso A: La probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4

Suceso B: La probabilidad de salir cara al lanzar una moneda es del 0,5

Suceso interseccin: La probabilidad de que haga buen tiempo y que salga cara es 0,2Veamos si se cumple alguna de las condiciones sealadas:

P (B/A) = P (A ^ B) / P (A) = 0,2 / 0,4 = 0,5 (igual que P (B))

P (A/B) = P (A ^ B) / P (B) = 0,2 / 0,6 = 0,4 (igual que P (A))

P (A ^ B) = 0,2 (igual a P (A) multiplicado por P (B))Por lo tanto, estos dos sucesos s son independientes.Ejercicio: Se lanzan dos dados, uno verde y uno rojo, y observa los nmeros orientados hacia arriba. Decida cuales de las siguientes pares de sucesos son independientes.

A: La suma es 5B: Ambos dados muestran el mismo nmero

A: La suma es parB: El dado rojo es par

A: La suma es 4B: Ambos dados muestran el mismo nmero

Combinaciones y Permutaciones

Qu diferencia hay?

Normalmente usamos la palabra "combinacin" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:"Mi ensalada de frutas es una combinacin de pia, papaya y banano": no importa en qu orden pusimos las frutas, podra ser "banano, papaya y pia" o "papaya, pia y banano", es la misma ensalada.La combinacin de la cerradura es 472": ahora s importa el orden. "724" no funcionara, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.

As que en matemticas usamos un lenguaje ms preciso:

Si el orden no importa, es una combinacin.

Si el orden s importa es una permutacin.

Con otras palabras: Una permutacin es una combinacin ordenada.Para ayudarte a recordar, piensa en "Permutacin... Posicin"PermutacionesHay dos tipos de permutaciones: Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podra ser "333".

Sin repeticin: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez. 1. Permutaciones con repeticin.Son las ms fciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:n . n ..... (r veces) = nr(Porque hay n posibilidades para la primera eleccin, Despus hay n posibilidades para la segunda eleccin, y as.)

Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 nmeros para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:

10. 10.... (3 veces) = 103 = 1 000 permutacionesAs que la frmula es simplemente: nr donde n es el nmero de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el orden importa)2. Permutaciones sin repeticinEn este caso, se reduce el nmero de opciones en cada paso.

As que tu primera eleccin tiene 16 posibilidades, y tu siguiente eleccin tiene 15 posibilidades, despus 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sera:16. 15. 14. 13... = 20 922 789 888 000Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, slo 3 de ellas, as que sera solamente:

16. 15. 14 = 3 360Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.Pero cmo lo escribimos matemticamente? Respuesta: usamos la " funcin factorial"

Nota: En general se est de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningn nmero d 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones.

As que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones seran:

16! = 20 922 789 888 000Pero si slo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar despus de 14. Cmo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!..16. 15 .14. 13. 12 ...= 16. 15. 14 = 3 360

13. 12 ...

O sea 16! / 13! = 16. 15. 14

La frmula se escribe: donde n es el nmero de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden importa).Ejemplos:Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sera:

16!=16!=20 922 789 888 000= 3360

(16-3)!13!6 227 020 800

De cuntas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?10!=10!=3 628 800= 90

(10-2)!8!40 320

(Que es lo mismo que: 10. 9 = 90)

NotacinEn lugar de escribir toda la frmula, la gente usa otras notaciones como:

CombinacionesTambin hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa): Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5, 5, 5, 10,10). Sin repeticin: como nmeros de lotera (2, 14, 15, 27, 30,33).1. Combinaciones con repeticin.En realidad son las ms difciles de explicar, as que las dejamos para luego.

2. Combinaciones sin repeticin.As funciona la lotera. Los nmeros se eligen de uno en uno, y si tienes los nmeros de la suerte (da igual el orden) entonces has ganado!La manera ms fcil de explicarlo es: Imaginemos que el orden s importa (permutaciones),

Despus lo cambiamos para que el orden no importe.

Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qu 3 bolas se eligieron, no el orden.Ya sabemos que 3 de 16 dan 3 360 permutaciones.Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:El orden importaEl orden no importa

1

1

2

2

3

32

3

1

3

1

23

2

3

1

2

11 2 3

As que las permutaciones son 6 veces ms posibilidades.

De hecho hay una manera fcil de saber de cuntas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:

3! = 3. 2. 1 = 6(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 maneras distintas, prueba t mismo!)

As que slo tenemos que ajustar nuestra frmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):

Esta frmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes parntesis, as:

donde n es el nmero de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden no importa) Y se la llama "coeficiente binomial".

NotacinAdems de los "grandes parntesis", la gente tambin usa estas notaciones:

Ejemplo:Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:16!=16!=20 922 789 888 000= 560

3!(16-3)!3!.13!6(6 227 020 800)

O lo puedes hacer as:16.15.14=3 360= 560

3.2.16

Es interesante darse cuenta de que la frmula es bonita y simtrica:

Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.16!=16!=16!= 560

3!(16-3)!13!(16-13)!3!.13!

Tringulo de PascalPuedes usar el tringulo de Pascal para calcular valores. Baja a la fila "n" (la de arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese valor es la respuesta. Aqu tienes un trozo de la fila 16:11461364

1151054551365

11612056018204368

Ahora retomemos las combinaciones con repeticin.Combinaciones con repeticin.

Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para elegir, y eliges r=3 de ellas.

El orden no importa, y s puedes repetir!Veamos una tcnica especial

Ahora puedes escribirlo como (la flecha es saltar, el crculo es tomar)

Entonces los tres ejemplos anteriores se pueden escribir as:{c; c; c} (3 de chocolate):

{b; l; v} (uno de banana, uno de limn y uno de vainilla):

{b ; v; v} (uno de banana, dos de vainilla):

Entonces ya no nos tenemos que preocupar por diferentes sabores, ahora tenemos un problema ms simple para resolver: "de cuntas maneras puedes ordenar flechas y crculos".Fjate en que siempre hay 3 crculos (3 paladas de helado) y 4 flechas (tenemos que movernos 4 veces para ir del contenedor 1 al 5). As que (en general) hay r + (n-1) posiciones, y queremos que r de ellas tengan crculos. Esto es como decir "tenemos r + (n-1) bolas de billar y queremos elegir r de ellas". Es decir, es como el problema de elegir bolas de billar, pero con nmeros un poco distintos. Lo podras escribir as:

Donde n es el nmero de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas. (Se puede repetir, el orden no importa)Es interesante pensar que podramos habernos fijado en flechas en vez de crculos, y entonces habramos dicho "tenemos r + (n-1) posiciones y queremos que (n-1) tengan flechas", y la respuesta sera la misma...

Qu pasa con nuestro ejemplo, cul es la respuesta?(5+3-1)!=7!=5040= 35

3!(5-1)!3!.4!6(24)

Ahora veamos otra manera de estudiar permutaciones y combinaciones.PERMUTACINEs todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posicin que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacin y una permutacin, plantearemos cierta situacin. Suponga que un saln de clase est constituido por 35 estudiantes. a) El docente desea que tres de los estudiantes lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los estudiantes cuando as sea necesario. El maestro desea que se nombre a los representantes del saln (Presidente, Secretario y Tesorero). Solucin: 1. Suponga que por unanimidad se ha elegido a Roberto, Arturo y a Rafael para limpiar el aula o entregar material, (aunque pudieron haberse seleccionado a Rafael, Roberto y a Enrique, o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente). Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personas? Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia, ya que lo nico que nos interesara es el contenido de cada grupo, dicho de otra forma, quines estn en el grupo? Por tanto, este ejemplo es una combinacin, quiere decir esto que las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo nico que nos interesa es el contenido de los mismos. 2. Suponga que se han nombrado como representantes del saln a Roberto como Presidente, a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios, los que se muestran a continuacin: CAMBIOS PRESIDENTE: RobertoArturo

Rafael

RobertoSECRETARIO:

Arturo

RobertoRobertoRafael

TESORERO:

Rafael

Rafael

Arturo

Arturo

Ahora tenemos cuatro arreglos, se trata de la misma representacin?

La respuesta sera no, ya que el cambio de funcin que se hace a los integrantes de la representacin original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente, importa el orden de los elementos en los arreglos? La respuesta definitivamente sera s, luego entonces las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones s importa, por lo tanto es este caso estamos tratando con permutaciones.

A continuacin obtendremos las frmulas de permutaciones y de combinaciones, pero antes hay que definir lo que es n! (n factorial), ya que est involucrado en las frmulas que se obtendrn y usarn para la resolucin de problemas.

n!= al producto desde la unidad hasta el valor que ostenta n.

n!= 1 .2 . 3 . 4 .. n

Ejemplo: 10!=1 . 2. 3. 410= 3 628 800

8!= 1. 2. 3 .4...8= 40 320

6!=1. 2. 3. 4 6= 720, etc., etc.

Obtencin de frmula de permutaciones.

Para hacer esto, partiremos de un ejemplo.

Cuntas maneras posibles se pueden distribuir los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones de nuestro instituto, si hay 14 participantes? Solucin: Haciendo uso del principio multiplicativo,

14.13.12.11 = 24 024 maneras de asignar los primeros tres lugares del concurso

Esta solucin se debe, a que al momento de asignar el primer lugar tenemos a 14 posibles candidatos, una vez asignado ese lugar nos quedan 13 posibles candidatos para el segundo lugar, luego tendramos 12 candidatos posibles para el tercer lugar y por ltimo tendramos 11 candidatos posibles para el cuarto lugar.

Luego si n es el total de participantes en el concurso y r es el nmero de participantes que van a ser premiados, y partiendo de la expresin anterior, entonces.

14.13.12.11= n .(n - 1) . (n - 2) . . . (n r + 1)

si la expresin anterior es multiplicada por (n r)! / (n r)!, entonces:= n . (n 1 ) . (n 2) . . (n r + 1) (n r)! / (n r)!

= n!/ (n r)! Por tanto, la frmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es: n!/ (n r)!Esta frmula nos permitir obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y solo se usen parte de los n objetos con que se cuenta, adems hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes.

Entonces, qu frmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen la n objetos con que se cuenta?

Si en la frmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces.

nPn= n!/ (n n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!

Como 0! = 1 de acuerdo a demostracin matemtica, entonces

nPn= n!

COMBINACIONESComo ya se mencion anteriormente, una combinacin, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posicin que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinacin nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos. La frmula para determinar el nmero de combinaciones es: nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos

Donde se observa que,

La expresin anterior nos explica como las combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos, esto se debe a que como en las combinaciones no importa el orden de los objetos, entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!, les estamos quitando el orden y por tanto transformndolas en combinaciones, de otra forma, tambin si deseamos calcular permutaciones y tenemos las combinaciones, simplemente con multiplicar estas por el r! obtendremos las permutaciones requeridas.

nPr = nCr r!

Y si deseamos r = n entonces;

nCn = n! / (n n)!n! = n! / 0!n! = 1

Qu nos indica lo anterior? Que cuando se desea formar grupos con la misma cantidad de elementos con que se cuenta solo es posible formar un grupo.

Ejemplos:1. Si se cuenta con 14 estudiantes que desean colaborar en una campaa pro limpieza del centro de enseanza cuantos grupos de limpieza podrn formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos. Si entre los 14 estudiantes hay 8 mujeres, cuantos de los grupos de limpieza tendrn a 3 mujeres? Cuntos de los grupos de limpieza contarn con 4 hombres por lo menos? Solucin: n = 14, r = 5 14C5 = 14! / (14 5 )!5! = 14! / 9!5! = 14.13 .12. 11.10 .9!/ 9!5! = 2 002 grupos

Entre los 2 002 grupos de limpieza hay grupos que contienen solo hombres, grupos que contienen solo mujeres y grupos mixtos, con hombres y mujeres.

n = 14 (8 mujeres y 6 hombres), r = 5

En este caso nos interesan aquellos grupos que contengan 3 mujeres y 2 hombres. (8C3)(6C2) = (8! / (8 3)!3!)(6! / (6 2)!2!)

= (8! / 5!3!)(6! / 4!2!)

= 8.7.6 .5 /2!

= 840 grupos con 3 mujeres y 2 hombres, puesto que

cada grupo debe constar de 5 personas

En este caso nos interesan grupos en donde haya 4 hombres o ms.

Los grupos de inters son = grupos con 4 hombres + grupos con 5 hombres. = (6C4) (8C1) + (6C5) ((8C0)= 15 .8 + 6 . 1 = 120 + 6 = 1262. Para contestar un examen un alumno debe contestar 9 de 12 preguntas, a. Cuntas maneras tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas?, b. Cuntas maneras tiene si forzosamente debe contestar las 2 primeras preguntas?, c. Cuntas maneras tiene si debe contestar una de las 3 primeras preguntas?, d. Cuntas maneras tiene si debe contestar como mximo una de las 3 primeras preguntas? Solucin: n = 12, r = 9

12C9 = 12! / (12 9)!9!

= 12! / 3!9! = 12. 11 . 10 / 3!

= 220 maneras de seleccionar las nueve preguntas o dicho de otra manera, el alumno puede seleccionar cualquiera de 220 grupos de 9 preguntas para contestar el examen.(2C2)(10C7)= 1.120 = 120 maneras de seleccionar las 9 preguntas entre las que estn las dos primeras preguntas.(3C1) (9C8)= 3 . 9 = 27 maneras de seleccionar la 9 preguntas entre las que est una de las tres primeras preguntas.En este caso debe seleccionar 0 o 1 de las tres primeras preguntas.(3C0)(9C9) + (3C1)(9C8)= (1 .1) + (3 . 9) = 1 + 27 = 28 maneras de seleccionar las preguntas a contestar.3. Una seora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene, a. Cuntas maneras tiene de invitarlos?, b. cuntas maneras tiene si entre ellos est una pareja de recin casados y no asisten el uno sin el otro, c. Cuntas maneras tiene de invitarlos si Rafael y Arturo no se llevan bien y no van juntos? Solucin:n = 11, r = 5

11C5 = 11! / (11 5 )!5! = 11! / 6!5!

= 11 10 9 8 7 6! / 6!5!

= 462 maneras de invitarlosEs decir que se pueden formar 462 grupos de cinco personas para ser invitadas a cenar. Esta seora tiene dos alternativas para hacer la invitacin, la primera es no invitar a la pareja y la segunda es invitar a la pareja. (2C0)(9C5)+ (2C2) (9C3)= (1 .126) + (1.84) = 210 maneras de invitarlos.En este caso separamos a la pareja de los dems invitados para que efectivamente se cumpla el que no asistan o que asistan a la cena.La seora tiene dos alternativas para hacer la invitacin, una de ellas es que no invitar a Rafael y a Arturo o que asista solo uno de ellos.(2C0) (9C5) + (2C1) (9C4) = (1 . 126) + (2 .126) = 126 + 252 = 378 maneras de hacer la invitacin

4. En un plano hay 10 puntos denominados A, B, C,., etc. etc., en una misma lnea no hay ms de dos puntos.

a. Cuntas lneas pueden ser trazadas a partir de los puntos? b. Cuntas de las lneas no pasan por los puntos A o B?

c. Cuntos tringulos pueden ser trazados a partir de los puntos? d. Cuntos de los tringulos contienen el punto A?

e. Cuntos de los tringulos tienen el lado AB?Solucin:

En la redaccin del problema se aclara que en una misma lnea no hay ms de dos puntos debido a que si lo anterior ocurriera no se podra dar contestacin a las preguntas que se hacen. Una lnea puede ser trazada a partir de cmo mnimo dos puntos por lo tanto,

10C2 = 10! / (10 2)!2! = 10! / 8!2! = 45 lneas que se pueden trazar

En este caso excluiremos los puntos A y B y a partir de los ocho puntos restantes se obtendrn las lneas.

(2C0)(8C2) = 1 . 28 = 28 lneas que no pasan por los puntos A o B

Un tringulo puede ser trazado a partir de tres puntos, luego;

10C3 = 10! / (10 3)!3! = 10! / 7!3! = 120 tringulos posibles de trazar.En este caso se separa el punto A de los dems, se selecciona y posteriormente tambin se seleccionan dos puntos ms. (1C1)(9C2) = 1.36 = 36 tringulos que contienen el punto A

Los puntos A y B forman parte de los tringulos a trazar por lo que;

(2C2)(8C1) = 1.8 = 8 tringulos que contienen el lado AB POLIEDROSlido limitado por superficies planas (polgono).

Sus partes se denominan: Caras: polgonos que limitan al poliedro,

Aristas: lados de las caras del poliedro,

Vrtices: puntos donde concurren varias aristas.

Clasificacin de los Poliedros.Los poliedros se clasifican bsicamente en: Poliedros regulares. Poliedros irregulares. Poliedro RegularPoliedro cuyas caras son polgonos regulares iguales y todas sus aristas son de igual longitud; en consecuencia, todos sus vrtices estn contenidos en una esfera. Los poliedros regulares son cinco y se denominan: Tetraedro regular: Poliedro regular definido por 4 tringulos equilteros iguales,

Hexaedro regular (cubo): Poliedro regular definido por 6 cuadrados iguales,

Octaedro regular: Poliedro regular definido por 8 tringulos equilteros iguales,

Dodecaedro regular: Poliedro regular definido por 12 pentgonos regulares iguales. Icosaedro regular: Poliedro regular definido por 20 tringulos equilteros iguales. Poliedros Regulares

POLIEDRO IRREGULARPoliedro definido por polgonos que no son todos iguales.

Clasificacin de los Poliedros Irregulares.Los poliedros irregulares se clasifican bsicamente en: Tetraedro, pentaedro, hexaedro, heptaedro, octaedro,

Pirmide

Prisma Denominacin de los poliedros irregulares, segn el nmero de sus caras

PIRMIDEPoliedro definido por un polgono base y cuyas caras laterales son tringulos que poseen un vrtice comn (V), denominado vrtice de la pirmide, que no est contenido en el plano base. La recta que pasa por el vrtice de la pirmide y el centro geomtrico de la base se denomina eje de la pirmide (e). Las pirmides se clasifican en: Pirmide recta: El eje es perpendicular al polgono base,

Pirmide oblicua: El eje no es perpendicular al polgono base,

Pirmide regular: La base es un polgono regular.a. Pirmide regular recta: La base es un polgono regular y el eje es perpendicular a la polgona base. b. Pirmide regular oblicua: La base es un polgono regular y el eje no es perpendicular al polgono base.

PIRMIDES

Elementos de la pirmideSon famosas las pirmides de Egipto.La cara que se apoya en el suelo es la base.

Sus caras laterales son tringulos que tienen un vrtice comn que es el vrtice de la pirmide.La altura de la pirmide es el segmento perpendicular a la base trazado desde el vrtice.Se llama apotema de una pirmide regular a la altura de uno cualquiera de los tringulos laterales. Observando esta figura contesta a estas cuestiones: 1. El segmento VD es...

2. El segmento VO es...

3. El segmento VH es...

4. El segmento CD es...

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Final del formulario

rea lateral y total de la Pirmide.

Esta pirmide cuadrada tiene de base un cuadrado de 18 m de lado. La apotema mide 30 metros y queremos saber el rea lateral y el rea total.

Tiene 3 tringulos de 18 m de base por 30 de altura. El rea de un tringulo es (base) (altura)/ 2.Es decir, 18(30) = 270 m2; como hay 4 tringulos, 2El rea lateral ser (270 m2) (4) = 1080 m2.

El rea lateral tambin se puede calcular as:

(Permetro de la base)(Apotema)/ 2. rea lateral = (permetro de la base) (apotema) = (72 m) (30) = 1 080 m2. 2 2El rea de la base es un cuadrado (18m)2 = 324 m2.

El rea total es la suma del rea lateral ms el rea de la base:

1080 + 324 = 1404 m2. Realiza estos problemas y escribe a la solucin correcta.1. Cul es el rea lateral de una pirmide triangular regular si el lado del tringulo mide 14 m y el apotema de la pirmide 17 m?

2. Halla el rea lateral en m2 de una pirmide pentagonal regular, siendo 2,61 m el lado de la base y el apotema de la pirmide 8,25 dm

3. Calcula el rea total en dm2 de la pirmide cuadrangular regular de 7,3 dm de lado de la base y 9,15 dm de apotema.

4. Cul es el rea lateral de una pirmide triangular regular en m2 si el lado del tringulo mide 20 m y la apotema 17,5 metros?

Volumen de la pirmideEn el dibujo vemos una pirmide P que tiene la misma base que el prisma P' y la misma altura, la pirmide abierta por la base y el prisma abierto por la base superior. Es necesario verter 3 veces la pirmide llena de arena para llenar el prisma. Luego el volumen de la pirmide es 3 veces menor que la del prisma.El volumen del prisma es rea de la base por altura.El volumen de la pirmide ser:

V= (rea de la base) (altura)3El volumen de una pirmide cualquiera es igual a un tercio del rea de la base por su altura.

Realiza estos problemas sobre el papel y contesta a la solucin correcta.1. Halla el volumen en m3 de la gran pirmide de Keops en Egipto, cuya base es un cuadrado de 230 m de lado, siendo su altura los 7/10 de dicho lado.

2. Halla el volumen en m3 de una pirmide regular, que tiene por base un cuadrado de 16,7 m de lado, siendo la altura 15 metros.

3. Cul es la altura de m de una pirmide cuyo volumen es 6,75 m3 y el rea de la base es 15 m2?

4. Cul es el rea de la base en cm2 de una pirmide de 10,92 cm3 y 7,2 cm altura?

EL CONOElementos del conoEn el dibujo vemos varios ejemplos de conos: el gorro de un payaso, el techo de una chimenea, un helado, un juguete y la punta de un lpiz. El cono tiene una base circular. La altura que es tambin el eje de simetra. Es el segmento perpendicular desde el vrtice a la base VO. El segmento VA es la generatriz y se llama as porque al girar engendra la superficie lateral del cono. Tambin se llama lado. Observando esta figura contesta a estas cuestiones.

1. El segmento OA es...

2. El segmento VA es...

3. El segmento VO es...

Principio del formulario

rea lateral y total del conoEl rea lateral del cono es el producto de la longitud de la circunferencia de la base por el lado o generatriz.rea lateral del cono = 2(rg El rea total es la suma del rea lateral ms el rea del crculo de la base. rea total del cono = rea lateral + rea de la base.

Resuelve estos problemas 1. Halla el rea lateral en cm2 de un cono cuyo lado o generatriz mide 4,75 cm y el radio de la base 5 cm.

2. Halla el rea total del cono anterior.

3. Un cono tiene de generatriz de doble longitud que el dimetro de la base, cuyo radio mide 25 cm. Cul es el rea lateral en cm2?

4. Halla el rea total del cono anterior.

Volumen del conoTe acuerdas de cul es el volumen de una pirmide? Dijimos que el volumen de la pirmide es igual a un tercio del rea de la base por su altura.

En el caso del cono, su volumen es igual al producto del rea del crculo de su base por la altura dividido por 3.

Volumen del cono = (rea de la base) (altura) 3Realice estos problemas y contesta a la solucin correcta: 1. El radio de la base de un cono es 12 cm y su altura es 15 cm. Halla el volumen en cm3.

2. La circunferencia de la base de un cono es 37,68 cm y la altura 5,25 cm. Halla el volumen en cm3.

3. La altura de un cono mide 14 m y el radio de la base 7 m. Halla el volumen en m3.

4. El radio de la base de un cono es 2 m y su altura 2,6 m cul es su volumen en m3?

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PRISMAPoliedro definido por dos polgonos iguales y paralelos (bases) y cuyas caras laterales, en consecuencia, son paralelogramos. La recta que une los centros geomtricos de las bases se denomina eje del prisma (e). Los prismas se clasifican en: Prisma recto: el eje es perpendicular a los polgonos base,

Prisma oblicuo: el eje no es perpendicular a los polgonos base,

Prisma regular: las bases son polgonos regulares, Prisma regular recto: las bases son polgonos regulares y el eje es perpendicular a los polgonos base. Prisma regular oblicuo: las bases son polgonos regulares y el eje no es perpendicular a los polgonos base. Paraleleppedo: prisma cuyas bases son paralelogramos. Pueden ser a su vez rectos u oblicuos.PRISMAS

rea y volumen del Prismarea del prismaEn este prisma hexagonal vemos que tiene 6 caras laterales que son rectngulos y 2 bases que son hexgonos.

El rea lateral de un prisma es la suma de las reas de sus caras laterales (los 6 rectngulos).Las 6 caras laterales forman un rectngulo cuya base es el permetro del hexgono de la base. Por tanto, el rea lateral del prisma es igual al producto del permetro de la base por la altura.

rea lateral = (Permetro de la base) (altura).El rea total es la suma del rea lateral ms el rea de las 2 bases. Resuelva los siguientes problemas:Principio del formulario

1. Las dimensiones de un prisma paraleleppedo rectngulo son 4 m y 3 m de base y 7 m de altura. Halla el rea lateral en m2

2. Halla el rea total del paraleleppedo anterior en m2

3. Halla el rea lateral en m2 de un prisma triangular que tiene de base un tringulo rectngulo cuyos catetos miden 3 m y 4 m y la hipotenusa 5 m. Su altura es 6 m.

4. Halla el rea total del prisma triangular anterior en m2

Volumen del prismaEl prisma rectangular del dibujo tiene 5 cm de largo, 4 cm de ancho y 3 cm de alto. En la primera capa de abajo hay 5(4) cm2. Como tiene 3 capas, el nmero de cm3 ser 20 x 3 = 60 cm3. El volumen del prisma rectangular es igual al producto de sus tres dimensiones. En general, el volumen de cualquier prisma es igual al producto del rea de la base por la altura.

Resuelve los siguientes problemas1. Halla el volumen de un prisma cuya altura mide 5 m y la base es un rombo cuyas diagonales miden 6 m y 8 m.

2. Calcula el volumen de un prisma pentagonal de 27 m2 de base y 72 m de altura.

3. Halla el volumen en m3 de un prisma triangular que tiene de base un tringulo rectngulo cuyos catetos miden 3 y 4 metros y la altura es de 6 m.

4. Halla el rea lateral en m2 de un prisma triangular de 2,24 m de alto y cuya base tiene 3,75 m de permetro.

Final del formulario

Ejercicios:1. Calcular el rea y el volumen de un ortoedro de dimensiones 3cm, 4cm y 12 cm respectivamente.2. Calcular cuntos litros de agua caben en un depsito de forma ortodrica de dimensiones 20m, 10m y 5m.3. Halla el rea lateral total y el volumen de un prisma hexagonal regular cuya arista lateral mide 4 cm y la arista de la base 2cm.4. Halla el rea total y el volumen de una pirmide cuadrangular regular cuyas aristas miden: 10dm las de la base y 13dm las laterales.5. Una fbrica de cristal produce vasos cilndricos de 6cm de dimetro y 9cm de altura.

a. Qu cantidad de cristal necesita para elaborar cada vaso.

b. Cuntos cl de agua caben en cada uno.6. Luis ha comprado un cono cuyas dimensiones son: 5cm de dimetro y 15cm de altura.

a. Qu cantidad de galleta se comer? b. Si est lleno el helado de fresa sin sobresalir nada del borde, qu cantidad de fresa comer?

7. Un depsito en forma ortodrica tiene una capacidad de 6 000l. Si mide 5m de largo y 4m de ancho, calcula su altura.8. Cul es el precio de un cajn de embalaje de 60cm de largo, 40cm de ancho y 50cm de alto si la madera cuesta C$360 el m2?9. Un prisma cuadrangular regular tiene 4m de arista de la base y 6m de altura. Calcula rea lateral total y volumen. 10. Un prisma hexagonal regular tiene 36m de permetro de la base y 3m de altura. Calcula su rea total. 11. Calcular el volumen de un ortoedro de 3cm, 4cm y 6cm de arista. 12. Deseamos empapelar las paredes de una habitacin de forma ortodrica de 6m de largo, 4m de ancho y 3m de alto. Calcular su costo sabiendo que cada m2 cuesta C$ 121.13. Un prisma triangular regular es tal que su altura es igual a la arista de la base. Sabiendo que su rea lateral 48m2, calcular el rea total. 14. Un cubo tiene 64m3 de volumen. Calcular su diagonal. 15. Un prisma cuadrangular regular tiene 80m2 de rea lateral, siendo su volumen el mismo valor. Calcular su rea total.16. Las aristas de un ortoedro son proporcionales a 1,2 y 3. Calcular su diagonal sabiendo que su volumen es 384m317. Determinar el rea lateral de un prisma hexagonal regular cuya altura, que es igual a la apotema de la base, mide 4cm. 18. Dos aristas de un ortoedro miden 4 y 6m. Calcular su rea total sabiendo que el valor de su diagonal es 10m. 19. El rea total de un ortoedro es 36m2.Calcular su volumen sabiendo que sus aristas son proporcionales a 1,2 y 4. 20. La diagonal de un cubo es 33m. Calcular su rea. 21. Una pirmide cuadrangular regular tiene 6m de la arista de la base y 5m de arista lateral. Calcula su rea total. 22. Calcular el volumen de una pirmide triangular regular de 8m de lado de la base y 3m de apotema lateral. 23. Calcular la apotema lateral de una pirmide hexagonal regular de 36m de permetro de la base y 180m2 de rea lateral.24. Calcular el volumen de una pirmide cuadrangular regular de 40m2 de rea lateral y 56m2 de rea total.

25. El rea total de una pirmide hexagonal regular es 180m2 y el permetro de su base 24m. Calcular su apotema lateral y su altura. 26. Determinar el rea lateral y total de una pirmide hexagonal regular de 46dm de rea lateral y 3m de apotema de la base.27. Un tringulo rectngulo de 3cm de base y 2cm de altura gira alrededor de esta. Calcular la superficie total del cono engendrado. 28. Calcula la superficie total y el volumen de una esfera de 5dm de radio. 29. Calcular la superficie total y volumen de una esfera que tiene un dimetro de 20dm.CILINDROSe llaman cuerpos de revolucin a los que se obtienen al girar una figura plana, alrededor de un eje.

Cilindro recto, es el cuerpo que se obtiene al girar una vuelta completa (360) un rectngulo sobre uno de sus lados.Desarrollo del cilindroElementos del cilindro

Eje : Es el lado fijo alrededor del cual gira el rectngulo.Bases

: Son los crculos que engendran los lados perpendiculares al eje.Altura

: Es la distancia entre las dos bases.

Generatriz: Es el lado opuesto al eje, y es el lado que engendra el cilindro.

La generatriz del cilindro es igual a la altura. h = g

Para calcular su rea lateral se emplea la siguiente frmula: rea lateral = ( Permetro de la base) (altura)

Para calcular su rea total se emplea la siguiente frmula:

rea total = rea lateral + 2 (rea de la base) ( Permetro de la base) (Altura)Volumen = (rea de la base) (Altura)Ejercicios del cilindro

1. Calcula la cantidad de hojalata que se necesitar para hacer 10 potes de forma cilndrica de 10 cm de dimetro y 20 cm de altura.2. Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide 125,66 cm. Calcular el rea total y volumen:3. En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. A qu altura llegar el agua cuando se derritan?4. Un recipiente cilndrico de 5 cm de radio y y 10 cm de altura se llena de agua. Si la masa del recipiente lleno es de 2 kg cul es la masa del recipiente vaco?5. El rea de base de un cilindro es de 12,56 m . Hallar la superficie lateral, la superficie total y el volumen; sabiendo que la altura es el triple del radio de la base.6. Cul es la altura de un cilindro recto, si el rea de base es 84 m y la altura mide la mitad del dimetro de base?7. Calcular el radio de base, la superficie total y el volumen de un cilindro; sabiendo que el rea de base es de 78,5 m y la altura mide 12 m.8. Hallar la superficie lateral de un cilindro de 12 m de altura, cuya base es un crculo de 3,5 m de radio.9. Cul es la superficie lateral de un cilindro de 15,5 m de altura y 8 m de dimetro de base?10. Calcular la superficie lateral de un cilindro de 2,5 m de altura cuya base es un crculo de 50,24 m de superficie.11. La superficie lateral de un cilindro es de 150,72 m . Cul es la altura, si el radio de la base es de 3 m?12. La superficie lateral de un cilindro de 25 m de altura, es de 314 m . Cul es el rea de cada base?13. Un cilindro de 18 m de altura, tiene 565,2 m de superficie lateral. Cul es la superficie total?14. La superficie total de un cilindro es 150,33 m y la superficie lateral es 102,45 m . Cul es el rea de cada base?15. La superficie total de un cilindro es 244,92 m , si el radio de la base es de 3 m. Cul es la altura?16. Una lata de jugo tiene la forma cilndrica con 8 cm de dimetro y 15 cm de altura. Cuntos litros de jugo contiene esa lata?17. El dimetro de un pozo cilndrico es de 1,8 m y el agua tiene 2,1 m de profundidad. Cuntos litros de agua hay entonces en el pozo?18. Cul es el volumen de un cilindro cuya Longitud de la circunferencia de base mide 8,792 m y la altura mide 1,5 m?19. Calcular la altura de un cilindro de 4 448,2068 m de volumen y 664,424 m de rea de base.20. Un pozo de forma cilndrica tiene un orificio de longitud 4 m y una profundidad de 8 m. Cuntos das dur su perforacin si se sabe que por da se extraen 10 m de tierra?21. Calcular la superficie lateral, la superficie total y el volumen de un cilindro cuya longitud de Longitud de la circunferencia mide 21,98 m y 6,5 m de altura.22. Calcular la superficie lateral, la superficie total, el volumen y la capacidad de un cilindro cuya base es una Longitud de la circunferencia de 31,4 m y de altura 10 m.23. Un tanque cilndrico de 4,5 m de largo, con radio de 2,4 m est lleno de agua. Cul es el volumen del agua contenida?24. Se han mandado pintar 500 tubos de agua corriente de 4 m de largo y 0,2 m de radio cada uno; a razn de 700 crdobas el m . Cunto cost pintar?25. Cul es el radio de la longitud de la circunferencia de la base de un cilindro de 10 m de altura, si su volumen es de 785 m ?26. Calcular la cantidad de gasolina, contenida en un tanque de 80 cm de dimetro y 150 cm de profundidad.27. En un cono recto el radio de base mide 6 m y la altura mide 8 m. Calcular la medida de la generatriz.28. Sea un cono de radio 18 m y 24 m de altura. Calcular la superficie lateral y la superficie total.29. La generatriz de un cono circular recto es 7,05 m; si la altura del cono es 7 m. Calcular el radio de la base.30. En un cono cuya generatriz es el doble del dimetro de la longitud de la circunferencia de base igual a 47,1 m. Cul es la superficie lateral?31. Calcular la superficie lateral de un cono de 2,5 m de radio y 10 m de generatriz.32. El rea de base de un cono circular recto es de 113,04 m ; sabiendo que la generatriz del cono mide 10 m. Calcular el volumen del cono.33. Calcular la superficie lateral de un cono de 9,5 m de altura cuya base tiene 15,7 m de Longitud de la circunferencia.34. Hallar la superficie lateral de un cono de 15 m de altura; sabiendo que su base es un crculo de 28,26 m de superficie.35. La superficie lateral de un cono es 37,68 m ; sabiendo que la generatriz es el triple del radio. Cul es la altura?36. La superficie lateral de un cono recto es 47,1 m y la superficie total es 75,36 m . Calcular la medida del radio del cono.37. Calcular la superficie total de un cono de 8 m de altura y 10 m de generatriz.38. 38. La superficie total de un cono es 828,96 m ; sabiendo que el radio de base es 8 m. Calcular la generatriz del cono.39. Cul es la superficie total de un cono, si el rea de base es 78,5 m y su altura es 2/3 del dimetro?40. La superficie total de un cono es de 671,175 m ; sabiendo que el rea de base es de 176,625 m . Cul es la altura?41. Calcular el volumen de un cono recto de 10 m de generatriz; siendo la altura igual al triple del radio de la base.42. Un tanque cnico tiene 20 m de profundidad y su tapa circular tiene 12 m de dimetro. Calcular el volumen y la capacidad del mismo.43. El volumen de un cono recto es 56,52 cm y la altura del cono es igual al dimetro de la base. Cunto mide la altura del cono?44. La generatriz de un cono recto es de 6,72 cm; sabiendo que la altura del cono es igual al doble del radio de base. Calcular el volumen del cono.45. La generatriz de un cono recto mide 10 cm y radio de base 4 cm. Calcular el volumen y la capacidad.46. Cul es la superficie lateral de un cono recto cuyo radio de base tiene 1,4 m y cuya altura es 21/4 de la Longitud de la circunferencia de base?47. Si la superficie lateral de un cono es 1,020 m y el radio de base es 5 m. Calcular la superficie total y el volumen del cono.48. La generatriz de un cono circular recto es 20 cm y la altura es 12 cm. Calcular la superficie lateral, la superficie total, el volumen y la capacidad.

LA ESFERALa esfera es el slido engendrado al girar una semicircunferencia alrededor de su dimetro.Podemos hallar el rea y el volumen de este cuerpo geomtrico, utilizando las siguientes formulas: REA = 4.( .r2VOLUMEN V = 4/3 ( r3Crculos y circunferencia mximo y mnimo en una esfera

Resuelva los problemas de esfera:1. El radio de una esfera es de 3 m. Calcular su volumen.2. El radio de una esfera es de 2,11 m. Calcular el volumen

3. Calcular el volumen de una esfera de 4,5 m de radio.

4. Expresar en dm el rea de una esfera de 0,5 m de dimetro.

5. Cul es el rea de una esfera en la cual la circunferencia de un crculo mximo es de 28,26 m?

6. Cul es el rea de una esfera en la cual el rea del crculo mximo es de 45,34 m ?7. Calcular el rea de una superficie esfrica; sabiendo que el rea del crculo mximo de la esfera es de 45,84 m .

8. Cuntos m de plomo se necesitan para revestir una cpula esfrica, cuya base abarca un rea de 78,5 m ?9. El rea de una superficie esfrica es de 113,04 m . Calcular el radio de la esfera.

10. El rea de una esfera es de 57,4 m . Cul es el rea de un crculo mximo?11. El rea de una esfera es de 706,5 m . Cul es la longitud de una circunferencia mxima?12. El rea de una superficie esfrica es de 706,5 m . Hallar el radio de la esfera y su volumen.

13. Determine el crculo mximo correspondiente a una esfera de 57,4 m de rea. Adems el volumen y la capacidad de la esfera.

14. El volumen de una esfera es de 523,33 m . Calcular el radio y su rea.

15. Cuntos litros contiene una semiesfera de 0,8 m de dimetro?16. La cpula semiesfrica de una iglesia tiene 12 m de dimetro. Cunto costar pintarla sabiendo que el m se cobra a razn de C$4.800?17. Una esfera est seccionada por un plano distante 12 m del centro de la esfera. El radio de la seccin obtenida es de 9 m. Calcular el volumen de la esfera.

18. Calcular el rea de una esfera y su volumen; sabiendo que el rea de un crculo menor cuyo plano dista 5 m del centro es de 452,16 m .

19. El rea de una esfera es de 113,04 m . Hallar el rea del crculo determinado al seccionar la esfera con un plano que dista 2 m del centro de la misma.

20. El rea de una esfera es de 706,5 m . Cul es el rea del Crculo menor que se obtiene al cortar la esfera con un plano que dista 4,5 m del centro?21. El dimetro de un depsito esfrico mide 12m. Cuntos bidones cilndricos de 1m de altura y 60cm de dimetro podrn llenarse con el lquido almacenado en el depsito?TRIGONOMETRA

La Trigonometra es la rama de las matemticas que estudia las relaciones entre los lados y los ngulos de los tringulos. La palabra trigonometra procede del griego trgonos, tringulo y metera, medida.Los babilonios y los egipcios (hace ms de 3 000 aos) fueron los primeros en utilizar los ngulos de un tringulo y las razones trigonomtricas para efectuar medidas en agricultura y para la construccin de pirmides. Tambin se desarroll a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronoma mediante la prediccin de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegacin y en el clculo del tiempo y los calendarios.

El estudio de la trigonometra pas despus a Grecia, donde debemos destacar al matemtico y astrnomo Griego Hiparco de Nicea (190 a.c.-120 a.c.), por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometra. Las tablas de cuerdas que construy fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonomtricas de la actualidad. Desde Grecia, la trigonometra pas a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronoma. Y desde Arabia se difundi por Europa, donde finalmente se separa de la Astronoma para convertirse en una rama independiente que la hace hoy parte de las matemticas.

Cmo midi Eratstenes el radio de la Tierra?En el siglo III a.c. el sabio griego Eratstenes calcul por primera vez, el radio de la Tierra. Partiendo de la idea de que la Tierra tiene forma esfrica y que el sol est tan alejado de ella que se puede considerar que los rayos solares llegan a la Tierra paralelos, Eratstenes, el da del solsticio de verano(21 de junio), a las doce de la maana, midi en Alejandra, con ayuda de un palo colocado sobre el suelo el ngulo de inclinacin del sol, que result ser 7,2; o lo que es lo mismo 360 / 50, es decir, 1 / 50 de 360 .Eratstenes saba que en la ciudad de Siena (actual Asun, a orillas del Nilo), los rayos del sol llegaban de forma perpendicular al suelo pues se poda observar el fondo de un pozo profundo. Entre Alejandra y Siena haba una distancia de 5 000 estadios (1 estadio = 160m) y ambas ciudades estaban en el mismo paralelo.Eratstenes pens que entonces la distancia entre las ciudades deba ser 1 / 50 de toda la circunferencia de la Tierra y por tanto la circunferencia completa deba medir:50 (5 000) = 250 000 estadios, o lo que es lo mismo 40 000 km.Despejando de la frmula de la longitud de la circunferencia: L = 2r, sac que el radio de la Tierra era 6366,19 km.Las actuales mediciones dan el valor de 6 378 Km, con lo que se trata de una extraordinaria exactitud teniendo en cuenta los escasos medios de que dispona Eratstenes.

Razones trigonomtricas en el tringulo rectngulo

En el tringulo rectngulo de la figura, de acuerdo al teorema de Pitgoras se cumple que:

Siendo a la longitud de la hipotenusa, b y c son las longitudes de los catetos.

Con respecto al ngulo ubicado en el vrtice B, el cateto b es opuesto y el cateto c es adyacente.

Si el ngulo ubicado estuviera ubicado en el vrtice A, el cateto b sera el adyacente, el cateto c es el opuesto.

Nombre de la funcinNotacinRazn

Seno de

Coseno de

Tangente de

EJERCICIO 1: Calcula las razones trigonomtricas del ngulo :Como ves, los tres lados del tringulo son conocidos, as que para calcular las razones trigonomtricas slo tenemos que aplicar las frmulas y sustituir. Para el ngulo el cateo opuesto es 9, el contiguo 12 y la hipotenusa 15.

EJERCICIO 2: Calcula las razones trigonomtricas del ngulo C del siguiente tringulo.Ahora en este ejercicio ya no tenemos los tres lados, falta uno de los catetos y para calcularlo vamos a utilizar el Teorema de Pitgoras.

Lo primero ponerle nombre a los lados. Vamos a llamarle con letras minsculas a los lados que estn enfrente del ngulo con la correspondiente letra mayscula;es decir a = 14 m, b = 8 m y c es el lado que queremos calcular.Aplicando el Teorema de Pitgoras tenemos:

a2 = b2 + c 2142= 82 + c2 196 = 64 + c2196 - 64 = c2

132 = c2

Luego c = 11, 49 m.

EJERCICIO 3: Determina los ngulos del ejercicio anterior.Obviamente ya sabemos que el ngulo A es el ngulo recto y por tanto A = 90. Para calcular los otros dos vamos a hacerlo con las razones trigonomtricas y con la ayuda de la calculadora.Si queremos calcular el ngulo C con los datos que parto, lo primero es identificar los lados que conozco respecto al ngulo C, que en este caso son cateto contiguo o adyacente e hipotenusa y pienso en qu razn trigonomtrica intervienen esos lados. La respuesta es el coseno, as que calculo cos CCos C = 8 / 14 = 0,57. Ahora con la calculadora sacamos cul es el ngulo, utilizando la funcin inversa de la tecla "cos", y el resultado es C = 55,25.Para calcular B puedo hacer lo mismo, pensar qu razn puedo calcular, o como ya tengo dos ngulos, sacarlo de que la suma de los ngulos de cualquier tringulo es 180 (A + B + C = 180). Por cualquier camino el resultado es B = 34,75.

EJERCICIO 4: De un tringulo rectngulo se sabe que uno de sus ngulos agudos es 40 y que el cateto opuesto a ste mide 10m. Calcula el ngulo y los lados que faltan.Lo primero es hacer un dibujo que nos aclare la situacin y ponerle nombre a los lados y ngulos.Esta sera nuestra situacin. Para empezar los ms fcil es sacar el ngulo que falta, y aplicando que la suma de los tres es 180, el ngulo B vale 50.

Vamos a calcular ahora por ejemplo el lado "b". Si me fijo en el ngulo C, el lado que s es el cateto opuesto y el que pretendo calcular es el contiguo. Como la razn trigonomtrica en la que intervienen estos es la tangente, voy a calcularla con la calculadora y despejar a partir de ah:

Por tanto ya tenemos el lado "b". Para calcular el lado "a" podramos aplicar Pitgoras o sacarlo por alguna razn. Vamos a seguir este camino que ser ms corto.Por ejemplo voy a fijarme en el lado "c" y el ngulo "C", aunque ya podra utilizar cualquiera de los datos que tengo. Para el ngulo "C" s cateto opuesto y quiero hipotenusa; as que habr que utilizar el seno:

EJERCICIO 5: Calcula la altura de la torre si nuestro personaje est a 7 m de la base de la torre, el ngulo con el que est observando la cspide es de 60 y sostiene el artilugio a una altura de 1,5 m.Para comenzar, vamos a hacer un dibujo que aclare un poco la situacin poniendo los datos que conocemos.Si nos fijamos en el tringulo, el lado c mide 7 m y una vez que tengamos calculado el lado b, para calcular la altura de la torre slo tendremos que sumarle los 1,5 m. As pues, vamos a calcular el lado b.Para el ngulo 60, el lado que conozco es el cateto contiguo y el que quiero calcular es el cateto opuesto, as pues plante la tangente de 60.

Por tanto la altura de la torre es 12,11 m + 1,5 m = 13, 61 mEJERCICIO 6: El seno de cierto ngulo del segundo cuadrante vale 0,45. Calcula el coseno y la tangente.Para resolver este ejercicio tenemos que recurrir a las relaciones trigonomtricas. De la primera sacaremos el valor del coseno y una vez que lo tengamos sacaremos la tangente:Sacamos el valor del coseno despejndolo de la frmula: sen2 + cos2 = 1.

Como nuestro ngulo est en el segundo cuadrante y en ese cuadrante el coseno es negativo, tenemos que quedarnos con el signo -, por tanto cos = - 0,893.

Para calcular el valor de la tangente, aplicamos la segunda frmula:

EJERCICIO 7: Sabiendo que cos 42 = 0,74. Calcula: sen 222, tg 138, cos 48, sen 318 ysen 132. sen 222

El ngulo 222 pertenece al tercer cuadrante. Vamos a ver con que ngulo del primero se relaciona: = 222 - 180 = 42.

Por tanto y teniendo en cuenta que el seno en el tercer cuadrante es negativo,sen222=-sen 42 = - 0,669 (Para calcular el sen 42 seguimos el mismo procedimiento que en el ejercicio 6).tg 138

138 est en el segundo cuadrante y se relaciona del primero con = 180 - 138 = 42, que vuelve a ser el ngulo que conocemos.Como la tangente es negativa en el segundo cuadrante, tan 138= - tan 42= -0,9 (tan 42 lo calculamos igual que en el ejercicio 6).cos 48

48 es del primer cuadrante, pero cumple que es el complementario del ngulo que conozco 42.

Entonces cos 48 = sen 42 = 0,669.

sen 318

318 est en el cuarto cuadrante y se relaciona con 360 - 318 = 42.Entonces sen 318 = - sen 42 = - 0,669

sen132

132 es del segundo y se relaciona con 180 - 132 = 48 que es el complementario de 42.Entonces y como el seno es positivo en el segundo cuadrante, sen 132 = sen 48 = cos 42 = 0,74.Proponer a las y los estudiantes responder las siguientes situaciones.1. El seno de un ngulo es la razn entre:

a) El cateto adyacente y la hipotenusa. b) El cateto adyacente y el cateto opuesto.c) El cateto opuesto y la hipotenusa.d) El cateto opuesto y el cateto adyacente.e) Sin Respuesta

2. La tangente de un ngulo del primer cuadrante es:a) Positiva y creciente.b) Positiva y decreciente.c) Negativa y creciente. d) Negativa y decreciente. e) Sin Respuesta

3. De un tringulo rectngulo sabemos que uno de los ngulos agudos es 30 y su cateto opuesto mide 10 metros.a) La hipotenusa mide 18 metros.b) El otro ngulo es 70.c) El otro cateto mide 20 metros.d) Ninguna de las anteriores.e) Sin Respuesta.4. Si el seno de un ngulo del segundo cuadrante es 0,43, el coseno de dicho ngulo vale: a) 0,57b) 0,903c) 0,903d) - 0,57e) Sin respuesta

5. A cierta hora del da los rayos solares forman un ngulo de 60 con el suelo. Qu sombra dar un rbol de 7 m de altura?

a. 8,08 m

b. 4,04 m. c. 12,12 m.d. 14 me. Sin Respuesta6. El ngulo 214 se relaciona en el primer cuadrante con el ngulo:a) 34b) 34c) 56

d) Ninguno de los anteriores.e) Sin Respuesta 7. La tangente de un ngulo es:a) La razn entre el cateto contiguo y el cateto opuesto.

b) Siempre menor que 1.c) La inversa del seno.d) La razn entre el seno y el coseno de dicho ngulo.e) Sin Respuesta 8. De un tringulo rectngulo sabemos que sus catetos miden 6 m y 10 m respectivamente. Entonces:a) Los ngulos son 20 y 70.b) La hipotenusa mide 8 m.c) La hipotenusa mide 11,66 m.d) Ambos ngulos agudos son 45.e) Sin Respuesta9. En el tercer cuadrante:a) Seno y tangente son negativos.b) Seno y coseno son negativos.c) Coseno y tangente son negativos.d) Todas las razones trigonomtricas son negativas.e) Sin Respuesta 10. Si nos alejamos 10 metros del pie de una palmera, vemos sus ramas ms altas con un ngulo de 52. Entonces la altura de la palmera es:a) 12,8 m.

b) 7,81 mc) 10 m.

d) 9,27 m.

e) Sin RespuestaIdentidades Trigonomtricas

Los siguientes ejercicios corresponden a la verificacin de identidades, los mismos estn propuestos tratando de respetar el grado de dificultad. El mtodo de resolucin se basa en todos los casos en la aplicacin de las seis identidades fundamentales, a saber:

La operatoria para el desarrollo de la verificacin tiene tres variantes, en general cada docente recomienda una o ms de las tres formas que pas a detallar:a) Partiendo del primer miembro se llega al segundo por aplicacin de operatoria y reemplazo de identidades.b) Partiendo del segundo miembro se llega al primero por aplicacin de operatoria y reemplazo de identidades.

c) Se opera con los dos miembros por aplicacin de la operatoria y el reemplazo de identidades hasta llegar a una igualdad evidente.En esta clase de ejercicios nunca se realiza pasaje de trminos de un miembro a otro de la igualdad, en consecuencia, los trminos siempre permanecen en el miembro en que se originaron Adems tenemos en algunos casos que aplicar otras identidades como las siguientes:

Identidades de la suma y la resta.sen (x y)= sen x cos y cos x sen y

cos(x y) = cos x cosy sen x sen ytan(x y = (tan x tan y)

(1 tan x tan y)

Sea Hagamos , con lo que obtendremos que:o sea

De forma anloga podemos determinar que:

Para determinar las funciones trigonomtricas del ngulo mitad, hagamos

Sabemos que:

Reemplazando obtenemos

Despejando tendremos que:

Consideremos ahora que:

Entonces

Despejando tendremos

Por ltimo, trabajaremos con la identidad

Reemplazando obtenemos

o sea

Ejemplos:

1. Si , calculemos

2. Si , calculemos

Por tantoComprobar las identidades trigonomtricas: 1.

2.

Ejercicios: Comprobar que las expresiones dadas sean identidades trigonomtricas

Ecuacin Trigonomtrica

Una ecuacin trigonomtrica es aquella ecuacin en la que aparecen una o ms funciones trigonomtricas. En las ecuaciones trigonomtricas la incgnita es el ngulo comn de las funciones trigonomtricas. No puede especificarse un mtodo general que permita resolver cualquier ecuacin trigonomtrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran nmero de stas consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonomtricas, todas las funciones que aparecen all en una sola funcin (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuacin en trminos de una sola funcin trigonomtrica, se aplican los pasos usuales en la solucin de ecuaciones algebraicas para despejar la funcin; por ltimo, se resuelve la parte trigonomtrica, es decir, conociendo el valor de la funcin trigonomtrica de un ngulo hay que pasar a determinar cul es ese ngulo. Nota: en las soluciones pueden aparecer valores extraos (debido a la manipulacin de las ecuaciones al tratar de reducirlas), por ejemplo: nos puede resultar un cosx = 2, el que debemos descartar, obviamente, pues el codominio del coseno se limita a [-1, 1]. Tambin, debemos verificar todas las respuestas obtenidas y aceptar slo aquellas que satisfacen la ecuacin original.Como las funciones trigonomtricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes, hay que tener presente que siempre habr por lo menos dos ngulos distintos en la solucin de una ecuacin trigonomtrica de la forma trix = a (donde tri: es una de las seis funciones trigonomtricas y a: nmero cualquiera en el codominio de la funcin). Adems, debido a que cuando el lado terminal de un ngulo realiza un giro completo se genera otro ngulo equivalente, es necesario aadir a las soluciones obtenidas un mltiplo de 360, esto es, k360, y k es un entero.

Ejemplo ilustrativo1:

.Ejemplo ilustrativo2:

Ejemplo ilustrativo3:

Ejercicios propuestosEncuentre todas las soluciones (races) de las siguientes ecuaciones:

Ley de los SenosLa ley de los Senos es una relacin de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ngulos de un tringulo cualquiera, y que es til para resolver ciertos tipos de problemas de tringulos. La ley de senos nos dice que la razn entre la longitud de cada lado y el seno del ngulo opuesto a l en todo tringulo es constante. Si observamos la figura 1, la ley de senos se escribir como sigue:

La ley de cosenos se puede considerar como una extensin del teorema de Pitgoras aplicable a todos los tringulos. Ella enuncia as: el cuadrado de un lado de un tringulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ngulo que forman. Si aplicamos este teorema al tringulo de la figura 1 obtenemos tres ecuaciones:

Resolver un tringulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ngulos internos. Para resolver tringulos que nos son rectngulos se utiliza la ley de cosenos y/o la ley de senos. Todo depender de los valores conocidos.

Ejemplo:

Supongamos que en el tringulo de la figura 1.

Encontrar la longitud del tercer lado.

Solucin: Para calcular el valor del tercer lado, podemos emplear la ley de cosenos:

EJERCICIOS1. ngulos de un tringulo. En un tringulo se conocen dos de sus ngulos. Determina el valor del tercero:

a. A = 36 0' 12'' ; B = 48 36' 54''.

b. A = 43 29' 39'' ; B = 49 30' 21''.

c. A = 108 45' 37'' ; B = 94 37' 12''.

d. A = /3 rad; B = 3/8 rad.

2. ngulos de un tringulo rectngulo. En un tringulo rectngulo se conoce uno de sus ngulos agudos. Determina el valor del otro ngulo agudo:

a. B = 37 45' 45''.

b. B = 49 12' 37''.

c. B = 5/3 de ngulo recto.

d. B = /3 rad.

3. Teoremas del cateto y de Pitgoras.

a. Calcula la hipotenusa de un tringulo rectngulo, sabiendo que sus catetos miden 156 cm y 65 cm.

b. Halla las longitudes de las proyecciones sobre la hipotenusa de los catetos del tringulo del ejercicio anterior.

c. Halla la altura relativa a la hipotenusa del tringulo del ejercicio anterior.

d. En un tringulo rectngulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 64 m y 225 m respectivamente. Halla la longitud de los tres lados del tringulo.

e. Halla la altura de un trapecio issceles, sabiendo que sus bases miden 6 m y 16 m y los lados oblicuos 13 m cada uno de ellos.

f. En un tringulo rectngulo se conoce un cateto, ( ), y la proyeccin del otro cateto sobre la hipotenusa, ( ). Halla la hipotenusa y el otro cateto.

g. Determinar el radio del crculo inscrito en un tringulo issceles de base 32 cm y altura 30 cm.

4. Razones trigonomtricas en un tringulo rectngulo. En los siguientes ejercicios los lados de un tringulo rectngulo se representan con las letras a, b y c, siendo siempre a la hipotenusa. Los lados del tringulo se representan con las letras A, B y C, siendo siempre A, el ngulo recto, B el ngulo opuesto de b y C el ngulo opuesto a c. Usando exclusivamente la definicin de las razones trigonomtricas involucradas en cada caso, calcula el lado que se pide:

a. a