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Unidad Educativa Particular Sultana del Oriente”

MACAS-MORONA SANTIAGO- ECUADOR

MODULO DE MATEMATICA 3rO BACHILLERATO

[2]

Contenido

FUNCIONES .............................................................................................................................................................4

1.- FUNCIONES .......................................................................................................................................................4

2.- OPERACIONES CON FUNCIONES ...............................................................................................................5

2.1 SUMA DE FUNCIONES ...............................................................................................................................5

2.2 RESTA DE FUNCIONES .............................................................................................................................5

2.3 PRODUCTO DE FUNCIONES ...................................................................................................................6

2.4 COCIENTE DE FUNCIONES ......................................................................................................................6

2.5 FUNCIÓN COMPUESTA .............................................................................................................................7

2.6 FUNCION INVERSA .....................................................................................................................................8

LIMITES .................................................................................................................................................................. 10

3.- NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE .................................................................................................................. 10

3.1 IDEA DE LÍMITE DE UNA FUNCION EN UN PUNTO ......................................................................... 10

3.2 CRITERIOS DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN NÚMERO .......................................... 11

3.3 PROPIEDADES DE LOS LIMITES ......................................................................................................... 11

3.4 TEOREMA DE SUSUTITUCION ............................................................................................................. 11

3.5 LÍMITES INDETERMINADOS .................................................................................................................. 12

3.6 LIMITES AL INFINITO ............................................................................................................................... 14

3.7 TASA DE VARIACION Y CRECIMIENTO .............................................................................................. 16

3.7.1 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO ............................................................................................ 16

3.7.2 TASA DE VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN .................................................................................... 16

3.7.3 TASA DE VARIACION INSTANTANEA .......................................................................................... 17

4. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO ........................................................................................ 18

4.1 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA ..................................................................... 19

4.1.1 PENDIENTE DE UNA RECTA .......................................................................................................... 19

4.1.2 PENDIENTE DE UNA CURVA EN UN PUNTO p(a, f(a)) .......................................................... 20

4.2 ECUACIONES DE LA RECTA TANGENTE Y DE LA RECTA NORMAL ......................................... 22

4.3 DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES Y OPERACIONES. ............................................... 24

Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes. .............................................................................. 24

[3]

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS .......................................................................... 28

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS ............................................. 28

4.4 REGLA DE LA CADENA ........................................................................................................................... 29

4.4 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR ................................................................................................... 30

4.5 APLICACIONES DE LA DERIVADA ....................................................................................................... 31

4.5.1 LA PRIMERA DERIVADA Y LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN ..................................................... 31

4.5.2 MAXIMOS Y MINIMOS.-........................................................................................................................ 32

4.5.3 LA SEGUNDA DERIVADA Y LA CONCAVIDAD............................................................................... 33

4.5.4 BOSQUEJO DE CURVAS ..................................................................................................................... 34

5. SECCIONES CONICAS .................................................................................................................................. 35

5.1 LA CIRCUNFERENCIA ................................................................................................................................. 36

5.1 .1 ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CIRCUNFERENCIA ..................................................................... 36

5.1.2 ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA ......................................................................... 37

5.2 LA ELIPSE................................................................................................................................................... 39

5.2.1 ELEMENTOS DE LA ELIPSE: .............................................................................................................. 39

5.3 LA PARABOLA ........................................................................................................................................... 41

5.4 LA HIPERBOLA .......................................................................................................................................... 43

6.- ESTADISTICA ....................................................................................................................................................... 47

6.1 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINÚAS ............................................................................................................ 47

6.2 PARAMETROS ESTADISTICOS ......................................................................................................................... 48

6.2.1 TIPOS DE PARÁMETROS ESTADÍSTICOS ...................................................................................................... 48

6.2.1.1 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN ........................................................................................................... 48

6.2.1.2 MEDIDAS DE POSICIÓN ........................................................................................................................ 49

6.2.1.3 MEDIDAS DE DISPERSIÓN .................................................................................................................... 49

6.3 MEDIDAS DE CENTRALIZACION ..................................................................................................................... 49

6.3.1 MEDIA ARITMETICA .................................................................................................................................... 49

6.3.2 LA MEDIANA ............................................................................................................................................... 51

6.3.2.1 CÁLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS ....................................................................... 51

6.3.3 MODA ......................................................................................................................................................... 54

6.3.3.1 Calculo de la moda con datos agrupados ................................................................................................ 54

6.4 MEDIDAS DE DISPERSION .............................................................................................................................. 56

6.4.1 VARIANZA ............................................................................................................................................... 56

6.4.2 DESVIACION ESTANDAR .......................................................................................................................... 56

[4]

FUNCIONES

1.- FUNCIONES

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado

dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada

elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los

que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

Las funciones se simbolizan por letras tales como f, g, h, i, j, entre otras. Así, para

notar la función f definida de X (conjunto de salida) en Y (conjunto de llegada), se

escribe: f: X → Y y se lee “efe” de X en Y.

[5]

2.- OPERACIONES CON FUNCIONES

2.1 SUMA DE FUNCIONES

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se

llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x - 4.

Ejemplo.- Definir la función f + g

La función f + g se define como

(f + g) (x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2x - 4 = 5x - 3.

2.2 RESTA DE FUNCIONES

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos

funciones reales de variable real f y g, como la función.

Ejemplo.- Dadas las funciones f (x) = x2 - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x).

[6]

2.3 PRODUCTO DE FUNCIONES

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se

llama función producto de f y g a la función definida por

Ejemplo.-

2.4 COCIENTE DE FUNCIONES

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se

llama función cociente de f y g a la función definida por

Ejemplo.- Dadas las funciones f(x) = -x - 1, y g(x) = 2x + 3, definir f/g.

El dominio de las operaciones con funciones se muestra en la siguiente tabla.

ACTIVIDADES

[7]

2.5 FUNCIÓN COMPUESTA

Ejemplo.-

ACTIVIDADES

[8]

2.6 FUNCION INVERSA

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

La notación f−1 se refiere a la inversa de la función f y no al exponente −1 usado para números reales. Únicamente se usa como

notación de la función inversa.

Propiedades.-

La inversa de una función cuando existe, es única. La inversa de una función cualquiera no

siempre existe, pero la inversa de una función biyectiva siempre existe. Las gráficas de f y f−1

son simétricas respecto a la función identidad y = x.

Método para Hallar la Inversa de una Función

Aunque existen varios métodos para hallar la inversa, los siguientes pasos ayudan a obtener la

inversa de la función f (x).

Procedimiento

1.Se sustituye f (x) por y es la función dada

2.Se intercambian x por y para obtener x = f (y)

[9]

3.Se despeja la variable 4.En la solución se escribe f−1(x) en vez de y

EJEMPLO.- Determina la inversa de la siguiente función. f(x)= 4x + 5

Sustituyendo f(x) por y y = 4 x + 5

Se intercambian x por y x = 4 y + 5

Despejando y x - 5 = 4y, x - 5/ 4 = y

f-1(x)= x - 5/ 4 Finalmente se obtiene la inversa de f(x)

EJEMPLO

ACTIVIDADES

[10]

LIMITES

3.- NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE

El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático aplicado a

las funciones. ... Intuitivamente, el hecho de que una función f alcance un límite L en un punto

c significa que, tomando puntos suficientemente próximos a c, el valor de f puede ser tan

cercano a L como se desee.

3.1 IDEA DE LÍMITE DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

[11]

3.2 CRITERIOS DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN NÚMERO

3.3 PROPIEDADES DE LOS LIMITES

3.4 TEOREMA DE SUSUTITUCION

Sea f una función polinomial o una función racional, entonces lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) siempre que

𝑓(𝑥0) este definida y que el denominador no sea cero para el caso de una función racional

[12]

Ejemplo: Hallar el límite de la función

f(x)= cuando x tiende a 1.

Aplicando el teorema de sustitución se tiene:

ACTIVIDADES

Evalúe los siguientes límites.

3.5 LÍMITES INDETERMINADOS

En muchas ocasiones se presenta el cálculo de límites de cocientes, diferencias y productos de

funciones en los que al reemplazar la variable por el valor al cual tiende se generan

indeterminaciones del tipo:

El resultado de estos límites no puede anticiparse y el mismo puede ser cero, , , un

número finito diferente de cero, o bien puede no existir. Para resolverlos, se realizan

procedimientos algebraicos adecuados que permitan salvar la indeterminación.

[13]

EJEMPLO.- Hallar el límite de la siguiente expresión:

EJEMPLO.- Hallar el límite de la siguiente expresión:

EJEMPLO.- Hallar el límite de la siguiente expresión:

[14]

ACTIVIDADES.- calcular los límites sobre indeterminaciones

3.6 LIMITES AL INFINITO

EJEMPLO.- Calcular el límite de:

[15]

EJEMPLO.- Calcular el límite de:

EJEMPLO.- Calcular el límite de:

[16]

ACTIVIDADES.- Calcule los siguientes límites

3.7 TASA DE VARIACION Y CRECIMIENTO

3.7.1 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

Una característica de las funciones que se puede visualizar fácilmente en las gráficas

es la monotonía. Cuando al aumentar el valor de x aumenta el valor de y=f(x), la

gráfica "asciende" y se dice que la función es creciente. Si por el contrario al

aumentar x disminuye y, la gráfica "desciende", y la función decrece.

Una función es creciente en un intervalo, cuando dados dos puntos cualesquiera

del mismo

• Si x1<x2 entonces f(x1)<f(x2) Y será decreciente:

• Si x1<x2 entonces f(x1)>f(x2)

3.7.2 TASA DE VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN

La tasa de variación o incremento de una función es el aumento o disminución que

experimenta una función al pasar la variable independiente de un valor a otro.

TV[x1,x2]=f(x2)-f(x1)

De más utilidad resulta calcular la llamada tasa de variación media, que nos indica la

variación relativa de la función respecto a la variable independiente:

[17]

EJEMPLO

3.7.3 TASA DE VARIACION INSTANTANEA

La tasa de variación instantánea de una función f en x = a es el valor, en caso de que

exista, al que tiende la tasa de variación media en los intervalos [a, x] cuando x → a. Es

decir:

ACTIVIDADES.- Calcula la tasa de variación instantánea de las siguientes funciones en los

puntos indicados aplicando la formula

[18]

4. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

El estudio de funciones experimento una revolución con su sistematización en entornos cada

vez más pequeños. El concepto de derivada es parte fundamental de esta sistematización, y de

la rama de las Matemáticas llamada Cálculo diferencial.

La tasa de cambio instantánea de una función es un caso de lo que llamamos la derivada de

una función.

DEFINICIÓN Sea y = f(x) una función dada. La derivada de y con respecto a x, denotada por

dy/dx, se define por:

o bien con tal de que este

límite exista.

A la derivada también se le da el nombre de coeficiente diferencial y la operación de calcular

la derivada de una función se denomina diferenciación. Si la derivada de una función existe

en un punto particular, decimos que f es diferenciable en tal punto.

La derivada de y = f(x) con respecto a x también se denota por uno de los siguientes símbolos:

[19]

EJEMPLO.-

ACTIVIDADES.- Calcule las derivadas de las siguientes funciones con respecto a las variables

independientes según el caso. Siga el procedimiento del ejemplo anterior.

4.1 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

4.1.1 PENDIENTE DE UNA RECTA

Recordamos primero que la pendiente de una recta dada es el cociente:

[20]

Si hacemos b = a + h obtenemos la siguiente expresión:

4.1.2 PENDIENTE DE UNA CURVA EN UN PUNTO p(a, f(a))

La pendiente de una curva en un punto P(a, f(a)) se define como la pendiente de la recta

que más se acerca a la curva en dicho punto.

A esta recta se le llama tangente a la curva en P.

[21]

Geométricamente la derivada f '(a) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la

función en el punto P(a, f(a)).

EJEMPLOS

Encontrar la pendiente de la gráfica de función lineal f(x) = 3x - 5 en el punto (2, 1) .

La pendiente de la función en el punto P (2,1) es m = 3.

[22]

EJEMPLO

Calcula las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de la curva de la función f(x) = x2 -

1 en los puntos (2, 3) y (0, -1).

4.2 ECUACIONES DE LA RECTA TANGENTE Y DE LA RECTA NORMAL

La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto P(a, f(a)) es:

La ecuación de la recta normal a la gráfica de la función en el punto P(a, f(a)) es la recta

perpendicular a la recta tangente, siendo su ecuación:

[23]

EJEMPLO

Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva f(x) = x2 - 4 en el punto (1,

-3) .

La ecuación de la recta tangente es:

[24]

Y la ecuación de la recta normal:

4.3 DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES Y OPERACIONES.

Usando la definición anterior, los matemáticos han demostrado la validez de las siguientes

técnicas de derivación de funciones elementales, que se pueden apreciar en la tabla

Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes.

[25]

Ejemplos

y = 3x2 → y' = 3·2x = 6x

y = 2x5 → y' = 2·5x4 = 10x4

y = -4x3 → y' = (-4)·3x2 = - 12x4

ACTIVIDADES.- calcular las derivadas de

[26]

[27]

[28]

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS

EJEMPLO

y = 2·sen x → y' = 2·cos x

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

EJEMPLOS.- hallar las derivadas de las unciones siguientes, aplicando las reglas de derivación

y = 5·ex → y' = 5·ex

y = 3·ln x → y' = 3·(1/x) = 3/x

[29]

Ejemplo.- Hallar la derivada de:

Si la función pertenece a la forma

Entonces aplicando su derivada se t iene

ACTIVIDADES.- hallar las derivadas de :

4.4 REGLA DE LA CADENA

La regla de la cadena representa la que es probablemente la más útil de todas las herramientas

de diferenciación, como pronto se hará evidente. Es un recurso que se utiliza con frecuencia al

manejar el cálculo diferencial y el lector deberá dominar su aplicación tan pronto como sea

posible. Cuando la usamos al derivar una función complicada, es necesario reconocer que la

función dada se puede escribir como la composición de dos funciones más simples.

Al derivar una función compuesta, debemos derivar primero la capa exterior de la función, y

después multiplicar por la derivada de la parte interior. En estos términos verbales podemos

reformular la regla de la cadena en la siguiente forma:

[30]

EJEMPLO

ACTIVIDADES.- Aplicando la regla de la cadena hallar la derivada de:

4.4 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Sea f una función diferenciable, entonces se dice que f ' es la primera derivada de f; puede

suceder que esta nueva función sea a su vez derivable, en este caso a la derivada de la primera

derivada se le denomina segunda derivada de la función primitiva f. Del mismo modo, la

derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada de f, y así sucesivamente hasta

la enésima derivada.

EJEMPLO.- Calcular la derivada de orden superior.

[31]

4.5 APLICACIONES DE LA DERIVADA

Trazado de curvas. Mediante la derivada de una funcion, podemos determinar si la gráfica es

creciente o decreciente, además, podemos determinar los extremos relativos como son

máximos y mínimos, además los puntos de inflexión.

4.5.1 LA PRIMERA DERIVADA Y LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN

Se dice que una función y = f(x) es una función creciente sobre un intervalo de valores de x si

y crece al incrementarse la x. Esto es, si x1 y x2 son dos valores cualesquiera en el intervalo

dado con x2 > x1, entonces f(x2) > f(x1). Una función y = f(x) se dice que es una función

decreciente sobre un intervalo de su dominio si y decrece al incrementarse la x. Es decir, si

x2 > x1 son dos valores de x en el intervalo dado, entonces f(x2) < f(x1).

EJEMPLO Encuentre los valores de x en los cuales la función f(x) = x2 - 2x +1 crece o decrece.

A continuación se representa en la gráfica.

[32]

ACTIVIDADES.- Determine los valores de x en los cuales las funciones siguientes son: a)

crecientes; b) decrecientes.

4.5.2 MAXIMOS Y MINIMOS.-

Definición.- a) Se dice que una función f(x) tiene un máximo local en x = c si f(c) > f(x) para

toda x suficientemente cerca de c.

b) Se dice que una función f(x) tiene un mínimo local en x = c si f(c) < f(x) para toda x

suficientemente cerca de c.

c) El término extremo se utiliza para denotar a un máximo local o bien a un mínimo local.

Un valor máximo o mínimo (locales) de una función es la ordenada (coordenada y) del punto en

el que la gráfica tiene un máximo o mínimo local. Un valor mínimo local de una función puede

ser mayor que un valor máximo local.

Definición.- El valor x = c se denomina punto crítico para una función continua f si f(c) está

bien definida y si o f,(c) = 0 o f,(x) no existe en x = c.

EJEMPLO

[33]

ACTIVIDADES.- determine los puntos críticos de las siguientes funciones.

4.5.3 LA SEGUNDA DERIVADA Y LA CONCAVIDAD

DEFINICIÓN Un punto de inflexión de una curva es un punto en donde la curva cambia de

cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa. Si x = x1 es un punto de inflexión de

la gráfica de y = f(x), entonces, a un lado de x1 la gráfica es cóncava hacia arriba, esto es,

f,,(x)> 0; y del otro lado de x1, la gráfica es cóncava hacia abajo, es decir, f,,(x) < 0. Así que al

pasar de un lado al otro de x = x1, f,,(x) cambia de signo. En x = x1 mismo, es necesario que

f,,(x1)= 0 o que f,,(x1) no exista f,,(x1) podría tender a infinito cuando x →x1).

EJEMPLO.- encuentre los valores de x para los cuales la función es cóncava

hacia arriba o cóncava hacia abajo

[34]

Debemos determinar los puntos en donde y,, > 0 (cóncava hacia arriba) y y,, < 0 (cóncava hacia

abajo). Primero, haciendo

y,, = 0, obtenemos 2(x – 1)(x – 2) = 0 obteniendo x =1 y x = 2. Estos puntos dividen la recta

numérica en tres intervalos

(−∞, 1), (1, 2) y (2, ∞). En cada uno de estos intervalos y,, tiene signo constante, así que

elegimos un punto de prueba conveniente y calculamos el signo de y,, en ese punto.

Las propiedades básicas que necesitamos ya se han formulado y se resumen en la tabla

4.5.4 BOSQUEJO DE CURVAS

Los pasos necesarios en el bosquejo de la gráfica de una función polinomial se resumen en el

siguiente procedimiento.

[35]

ACTIVIDADES.- se desarrollara en clase ejemplos de las actividades propuestas.

Bosqueje las curvas, aplicando las propiedades de la primera y segunda derivada.

5. SECCIONES CONICAS

Una sección cónica es la intersección de un plano y un cono recto circular doble. Por el

cambio del ángulo y la ubicación de la intersección, podemos producir diferentes tipos de

cónicas. Hay cuatro tipos básicos: círculos, elipses, hipérbolas y parábolas. Ninguna de las

intersecciones pasara a través de los vértices del cono.

[36]

5.1 LA CIRCUNFERENCIA

Una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de

otro, llamado centro de la circunferencia.

No debemos nunca confundir el concepto de círculo con el concepto de circunferencia, que en

realidad una circunferencia es la curva que encierra a un círculo (la circunferencia es una curva,

el círculo una superficie).

5.1 .1 ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Sean ahora las coordenadas del centro de la circunferencia C(0;0) y el radio "r", podemos

utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de

"x".

X2 +Y2 =r2

Ejemplo:

[37]

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen y con radio r = 3

x ² + y ² = 3²

5.1.2 ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuación

ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuación de la

circunferencia, así:

Prueba:

[38]

Ejemplo:

Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2 ; 6) y radio r = 4

(x - 2)² + (y - 6)² = 4²

x² - 2(2x) + 2² + y² - 2(6y) + 6² = 4²

x² - 4x + 4 + y² - 12y + 36 = 16

x² + y² - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0

x² + y² - 4x - 12y + 24 = 0

D = -4 , E = -12 , F = +24

Observaciones:

Dada la ecuación de la circunferencia x² + y² + Dx + Ey + F = 0 se cumple que:

ACTIVIDADES.- Determina las coordenadas del centro y del radio de las

circunferencias y luego realiza la gráf ica

1

2

3

[39]

4 4x2 + 4y2 − 4x − 8y − 11 = 0

5.2 LA ELIPSE

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las

distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.

5.2.1 ELEMENTOS DE LA ELIPSE:

1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.

2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.

4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y

PF'.

6. Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.

7. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

8. Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

9. Eje menor: Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

11. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de

los ejes de simetría.

[40]

Eje mayor horizontal

Eje mayor vertical

EJEMPLO.- hallar los elementos de la ecuación de la elipse y graficar

a=5 b=3 c=4

Centro (0,0)

Focos (-4,0), (4,0)

Vértices del eje mayor (-5,0), (5,0)

Vértices del eje menor (0,3), (0,-3)

Excentricidad = c/a=4/5

LR=-2b/a =-6/5

[41]

ACTIVIDADES.- Representa gráf icamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes el ipses.

a)

b)

c)

d)

5.3 LA PARABOLA

La Parábola como lugar geométrico

Es el lugar de los puntos del plano que equidistan de una recta, llamada directriz, y de un punto exterior

a la misma, llamado foco.

En la parábola la distancia entre el vértice y el foco se llama distancia focal.

[42]

ACTIVIDADES.-

Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

1) Dada la parábola , calcular su vért ice, su foco y la recta

directriz.

2) Dada la parábola , calcular su vért ice, su foco y la recta

directriz.

3) Dada la parábola , calcular su vért ice, su foco y la recta

directriz. 4) Dada la parábola , calcular su vért ice, su foco y la

recta directriz. 5) Dada la parábola , calcular su vért ice, su foco y la

recta directriz. 6) Determina las ecuaciones de las parábolas que t ienen: 7) De directriz x = −3, de foco (3, 0).

a. De directriz y = 4, de vért ice (0, 0). b. De directriz y = −5, de foco (0, 5). c. De directriz x = 2, de foco (−2, 0). d. De foco (2, 0), de vértice (0, 0). e. De foco (3, 2), de vértice (5, 2). f . De foco (−2, 5), de vért ice (−2, 2). g. De foco (3, 4), de vértice (1, 4).

8) Calcular las coordenadas del vért ice y de los focos, y las ecuaciones de las directrices de las parábolas:

[43]

a)

b)

c)

5.4 LA HIPERBOLA

Curva simétrica respecto de dos ejes perpendiculares entre sí, compuesta de dos ramas abiertas,

dirigidas en sentidos opuestos, que se aproximan indefinidamente a dos asíntotas, de modo tal que

la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es siempre constante.

5.4.1Elementos de la hipérbola:

1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.

2. Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos.

3. Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'.

4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

5. Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.

Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que

tiene por centro uno de los vértices y de radio c.

6. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF

y PF'.

7. Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c.

8. Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a.

9. Eje menor: Es el segmento de longitud 2b.

10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

11. Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones:

12. Relación entre los semiejes:

[44]

Ejemplo 1.- Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F (4, 0), de vértice A (2,

0) y de centro C (0, 0).

Ejemplo2.- Hal lar las coordenadas de los vértices y de los focos, las

ecuaciones de las asíntotas y la excentricidad de la hipérbola 9x 2 − 16y2 =

144.

[45]

Ejemplo 3: Encuentre una ecuación de la hipérbola que tiene sus focos en (3, 0) y (–3, 0) y la diferencia de los radios focales igual a 4 si su centro está en el origen.

La distancia de cada foco al centro es 3, así c = 3.

La diferencia de los radios focales es 2 a . Así, 2 a = 4 y a = 2.

b 2 = c 2 – a 2 , así b 2 = 3 2 – 2 2 = 9 – 4 = 5

Ya que los focos están en el eje de las x , la ecuación es .

Ejemplo: Para el ejemplo anterior, encuentre las ecuaciones de sus asíntotas y grafique la hipérbola.

Las ecuaciones de las asíntotas son

Las intercepciones en x son (2, 0) y (–2, 0). No hay intercepciones en y .

[46]

La gráfica de una hipérbola puede ser traducida para que su centro esté en el punto ( h, k ). Esto significa que la gráfica ha sido traducida a h unidades en el eje horizontal y a k unidades en el eje vertical.

Eje mayor horizontal Eje mayor vertical

Los focos en ( h – c, k ) y ( h + c, k ) Los focos en ( h, k – c ) y ( h, k + c )

Ejemplo 4:Encuentre una ecuación de la hipérbola con focos en (–3, –2) y (–3, 8) y la diferencia de los radios focales de 8.

La diferencia de los radios focales, 2 a , es 8. Así, 2 a = 8 y a = 4.

El centro está a la mitad entre los focos en (–3, 3).

La distancia del centro a cada foco es 5 así c = 5.

b 2 = c 2 – a 2 = 5 2 – 4 2 = 25 – 16 = 9

Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola es

[47]

6.- ESTADISTICA

6.1 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINÚAS

Ordenamos los datos en forma creciente:

La amplitud total A = 120 –60=60

Número de clases: K = √30 = 5.48. Aprox. 6 clases

Extensión del intervalo: H = A/ K = 60/6 = 10

En este caso, entonces, la tabla de frecuencias tendrá aproximadamente 6

clases de amplitud 10 unidades en cada clase.

[48]

A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicación para poder realizar

otros cálculos estadísticos.

6.2 PARAMETROS ESTADISTICOS

Un parámetro estadístico es un número que se obtiene a partir de los datos de

una distribución estadíst ica.

Los parámetros estadíst icos sirven para sintetizar la información dada por una

tabla o por una gráf ica.

6.2.1 TIPOS DE PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

Hay tres tipos parámetros estadísticos :

6.2.1.1 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.

Las medidas de central ización son:

Media aritmética.-La media es el valor promedio de la distribución.

Mediana.-La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad superior de

la distribución y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales.

Moda-La moda es el valor que más se repite en una distribución.

[49]

6.2.1.2 MEDIDAS DE POSICIÓN

Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número

de individuos.

Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén

ordenados de menor a mayor.

Las medidas de posición son:

Cuart i les.- Los cuart i les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales.

Deciles.- Los deciles dividen la serie de datos en diez partes iguales.

Percentiles.- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales.

6.2.1.3 MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Las medidas de dispersión nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores

de la distribución.

Las medidas de dispersión son:

Rango o recorrido.- El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de

una distribución estadística.

Desviación media.- La desviación media es la media aritmética de los valores

absolutos de las desviaciones respecto a la media .

Varianza.- La varianza es la media aritmética del cuadrado de las

desviaciones respecto a la media.

Desviación típica.- La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

6.3 MEDIDAS DE CENTRALIZACION

6.3.1 MEDIA ARITMETICA La media aritmética es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes

de los intervalos. Se simboliza como �̅� y se encuentra sólo para variables cuantitativas. Se

encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el número total de datos.

La fórmula general para N elementos es:

EJEMPLO.- Hallar la media dl conjunto de datos:

[50]

�̅� =10+5+8+9+6+7+4+1

8=

99

8= 12.3

Para calcular la media aritmética en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado

por la fórmula

Donde fi son las veces que se repite el valor xi

El agrupamiento también puede hacerse por intervalos, calculando el valor medio de los

intervalos (marca de clase)

EJEMPLO.- calcular la media.

ACTIVIDADES.-

1.- Completar la tabla y calcular la media aritmética.

[51]

6.3.2 LA MEDIANA La mediana estadística es el número central de un grupo de números ordenados por tamaño.

Si la cantidad de términos es par, la mediana es el promedio de los dos números centrales:

Para averiguar la mediana de un grupo de números:

Ordena los números según su tamaño Si la cantidad de términos es impar, la mediana es el valor central. Si la cantidad de términos es par, suma los dos términos del medio y divide por 2.

EJEMPLOS

Hallar la mediana de las siguientes series de números:

a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8.

Ordenando 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 8, 9. Como el número de datos es impar, entonces la mediana es

Me = 5

b) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6. Ordenando 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 9. Como el número de datos es par, entonces la mediana es.

6.3.2.1 CÁLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.

[52]

Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre. N / 2

Luego calculamos según la siguiente fórmula:

Li-1 es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

N / 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano.

ti es la amplitud de los intervalos.

EJEMPLO

Ahora calculemos la mediana (Me) según las fórmulas explicadas más arriba:

Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana. Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre. N / 2.

En este caso N / 2 = 31 / 2 ⇒ 15,5

Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (15,5).

Veamos:

[53]

Recuerda:

Li-1 :es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana, en este caso el límite inferior es 20.

N / 2 :es la semisuma de las frecuencias absolutas, en este caso es 15,5.

Fi-1 :es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana, en este caso es 9.

fi : es la frecuencia absoluta del intervalo mediano, en este caso es 7

ti :es la amplitud de los intervalos. Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo, en este caso es:

30 - 20 = 10

[54]

6.3.3 MODA

Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta. En tablas de frecuencias con datos agrupados, hablaremos de intervalo modal.

La moda se representa por Mo.

EJEMPLO

La moda de la distribución:2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 es Mo = 4

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y

esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal , es

decir, t iene varias modas.

1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 Mo= 1, 5, 9

6.3.3.1 Calculo de la moda con datos agrupados

Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta).

fi Frecuencia absoluta del intervalo modal.

fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal.

fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior al modal.

ti Amplitud de los intervalos.

[55]

EJEMPLO

Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal:

Ahora podemos reemplazar los datos en la fórmula:

ACTIVIDADES

Los siguientes valores organizar en la tabla de distribución de frecuencias y calcular la media

aritmética, mediana y moda.

[56]

6.4 MEDIDAS DE DISPERSION

6.4.1 VARIANZA

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la

media de una distribución estadística.

La varianza se representa por .

6.4.2 DESVIACION ESTANDAR

La desviación típica es una medida del grado de dispersión de los datos con respecto al

valor promedio. Dicho de otra manera, la desviación estándar es simplemente el "promedio"

o variación esperada con respecto a la media aritmética.

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de

desviación.

La desviación típica se representa por σ.

EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviación típica de la siguiente serie de datos:

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los pesos de los empaques (en gramos), de uno de sus productos; por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos. Los productos tienen los siguientes pesos (490, 500, 510, 515 y 520) gramos respectivamente. Por lo que su media es:

[57]

EJEMPLO 3 .- Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:

ACTIVIDADES

Los siguientes valores organizar en la tabla de distribución de frecuencias y calcular la

desviación típica y varianza.

[58]

BIBLIOGRAFIA

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[59]