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ELEMENTOSREVISTA DlÉ MATEMÁTICA

PARA LA ENSEÑANZA MEDIA

Año 116 Julio - Agosto - Septiembre 1965 N? 13

El programa científico de la 0. E. A.por Andrés VA LEI RAS

/La matemática moderna en la investigación y la enseñanza.

por -Luis A. -SANTALÓ

La experiencia belga.por C. Verdaguer de BANFI

La matemática al día.por Lucienne FÉLIX

Teoría moderna y aplicaciones de las probabi­lidades.

por Joao MARTINS

La labor de la C. N. E. M.

Crónica - Bibliografía - Noticias - Correo

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ELEMENTOSREVISTA DE MATEMÁTICA PARA LA ENSEÑANZA MEDIA

Publicación trimestral

!Editores: José Banfi - Alfredo B. Besio

Consultor: José BabiniCorresponsales: Andrés Valeiras (Latinoamérica)

Enrique Bilbao (San Juan)Raúl Fernández Calvo (Entre Ríos) Nélida T. Melani (Córdoba)Delia R. de Olivcncia (Mendoza) José A. Petrocclli (La Plata)

ii

ARTEAR S.A.FABRICA DE TELAS SINTETICAS DE CALIDADi

Sede: Fernández Blanco 2045 BUENOS AIRES (Sucursal 31) ARGENTINA

ALVAREZ JONTE 1845 BUENOS AIRESSuscripción anual: Argentina, 300,— nufn.

Exterior, 2,50 dólares.!

Ejemplar suelto: 100,— m$n.En venta en Librería y Editorial Alsina, Perú 127, Buenos Aires.Para ‘colaboraciones, números atrasados, suscripciones y avisos, dirigirse- di­rectamente a los Editores.

TEXTOS DE MATEMATICAS

PARA LA ENSEÑANZA MEDIASerie escrita por Lidia E. Alcántara,

Raquel T. Lomazzi y Félix Mina ARITMETICA. Tomos I y II; l9 y 29 año Ciclo Básico.ARITMETICA Y ALGEBRA. Tomo III y IV; 3er. año Ciclo Básico y 49 Bachillerato y Magisterio.GEOMETRIA. Tomos I, II y III; l9, 29 y 3er. año Ciclo Básico.GEOMETRIA DEL ESPACIO. Tomo IV y V; 49 año Bachillerato y 59 Magisterio. ARITMETICA - ALGEBRA - GEOMETRIA. 49 año (cursos diurnos) y 59 (cursos nocturnos) Escuelas Nacionales de Comercio. TRIGONOMETRIA. 59 año Bachillerato.

ELEMENTOS DE COSMOGRAFIA. Enrique Loedel Palumbo y Salvador De Lúea: 59 año Bachillerato.

MATEMATICA FINANCIERA. María de las Mercedes Busico Lavalle: 59 año (cursos diurnos) y ó9 (cursos nocturnos) Escuelas Nacionales de Comercio.

CONTABILIDAD. Urbano D. Grande: 1er. año Escuelas Nacionales de Comercio y 39 Ciclo Básico.CONTABILIDAD. Urbano D. Grande: 29 año Escuelas Nacionales de Comercio en pre­paración).

En el próximo número:

Un ilustre: Pievre Fermat, 1601 -1665.Relaciones y funciones.Teoría moderna y aplicaciones de las probabilidades. La matemática moderna en la enseñanza primaria. Elementos de la teoría de conjuntos.La Conferencia de Atenas.

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¡! EDITORESESTRADA

Registro Propiedad Intelectual N? 827.169 Buenos AiresBolívar 466Tarifa Reducida Concesión N9 7267

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ELEMENTOSREVISTA DE MATEMÁTICA

PARA LA ENSEÑANZA MEDIA

, de apoyo y levantaré el mundo”. Así, enfática-

menor esfuerzo. |os sistemas IBM responden al mismoMiles de años o P ' datos mucho más rápidamente que principio. Calcula y P con mayor segur¡dad. Pero lejos de

mente hl¡man^b multiplican sus posibilidades y favorecen su

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HACE FALTA

UN HOMBREla

progreso.Siempre necesitarán

enseñen y aprendan adecisiones.

de hombres que los perfeccionen y dirijan, usarlos, que analicen sus resultados y

quelos utilicen en sus

IBM WORLD TRADE CORPORATION

hswHi1mAño II! Julio - Agosto - Septiembre 1965 N9 13(-___

Este número so publica con el apoyo del Consejo Nacional de Investigaciones Científiacs y Técnicas.

Programa Inter americano para

mejorar la enseñanza de las CienciasEl “Programa Interamericano para Mejorar la Enseñanza cíe las Ciencias” fue pro­

puesto al Programa de Coperación Técnica de la Organización de los Estados Americanos por el Departamento de Asuntos Científicos de la Unión Panamericana y aprobado por el Consejo Interamericano Económico y Social, en su reunión de noviembre de 1963, en San Pablo; comenzó sus actividades el l9 de julio de 1964 y se instaló en su sede, en la Facultad cíe Ingeniería y Agrimensura de la Universidad de la República Oriental del Uruguay, en Montevideo, en el mes de julio del corriente año. La duración, prevista ini­cialmente, de 5 años, expira en julio de 1969.

El estado de la educación científica en los países de América Latina requiere un esfuerzo enorme si se quiere ponerla a tono on las exigencias del momento actual; a pesar de lo que se está realizando para mejorarla desde hace unos años, con excepción de

pocas de las principales universidades, el nivel de la enseñanza de las ciencias y sus contenidos casi no han variado desde hace varias décadas; dos consecuencias inevitables han sido el atraso en el grado de preparación de sus egresados en relación con las necesi­dades actuales y la falta de personal suficientemente capacitado para llevar a cabo los planes de desarrollo en marcha o en preparación en la mayoría de los países latinoame­ricanos.

unas

te Si no se encara de inmediato la reestructuración de la enseñanza científica y los sistemas educativos para modernizarlos, con el objeto de que sirvan eficazmente a la promoción del material humano con la capacidad requerida para llevar a cabo esos planes, su fracaso será inevitable.

La reestructuración que se propone debe ser dinámica, de modo que pueda seguir el ritmo del progreso científico; para lograrlo habrá que preparar previamente a quienes han de tomar parte en ella, dando oportunidades a los actuales profesores de matemática y ciencias en las universidades y escuelas de profesorado secundario, y a los supervisores y profesores de ciencias de las escuelas secundarias, para que puedan seguir estudios avanzados de carácter intensivo, de modo que en un tiempo breve, sin interferir dema­siado con sus obligaciones normales, logren ponerse en contacto con los contenidos y la

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filosofía del conocimiento-científico actual y de su enseñanza, lecreen su ínteres y tras- mitán luego en mejores condiciones este panorama ampliado a sus alumnos.

Las tareas que desarrollará el Programa tienen por objeto facilitar estas posibili­dades de adiestramiento al mismo tiempo que sirvan de nexo de unión entre todos los que trabajan en este mismo campo de actividades; se referirán a los planes de la educa­ción secundaria y universitaria pues de ellos se espera obtener los dirigentes que inicien actividades similares en escala nacional; comprenderán cursos de adiestramiento y tra- bajos de investigación sobre nuevos programas de estudio y mateiiales de laboratorio y bibliográfico para la enseñanza complementados con servicios de información y asesora-

miCnt°Él objetivo del Programa Interamericano para Mejorar la Enseñanza de las Cien­cias puede enunciarse, en resumen, diciendo que es el de mejorai la enseñanza de las ciencias y la matemática en los Estados Miembros de la Organización de los Estados Americanos, para lograr disponer del personal cajDacitado necesario paia el éxito de susplanes de dcsarrolo. .Ampliando el enunciado anterior referido a las actividades del Programa, las fun­damentales y de ejecución inmediata serán:

1. Cursos de adiestramiento intensivo y avanzado para profesores universitarios en matemáticas, física, química y biología.Cursos de adiestramiento intensivo y avanzado para los profesores de escuelas de profesorado secundario y funcionarios técnicos responsables de la supervisión de la enseñanza de ciencias en las escuelas secundarias.Seminarios de adiestramiento e información para el mismo grupo anterior. Participación del Programa en cursos nacionales tendientes a cumplir los mismos objetivos.Investigación sobre nuevos programas de estudio para la enseñanza secundaria y las escuelas de profesorado.

6. Desarrollo y utilización de material de laboratorio de poco costo.7. Cursos de capacitación para técnicos de nivel medio que se encarguen de la pro­

ducción del material de laboratorio desarrollado en el programa.Servicio de consulta y asesoramiento para los Estados Miembros de la Organización de los Estados Americanos.

9. Servicio de información a través de un boletín.10. Servicio de publicación de monografías y traducción de obras científicas.

Para realizar tales tareas, el Programa dispondrá de especialistas con carácter per­manente, asistidos por profesores de nivel medio y contratará profesores especiales para

TEMAS DE NUESTRO TIEMPO

La Matemática

InvestigaciónModerna en lai rr ~ (*>la enseñanzay

LUIS A. SANTALÓ (Universidad de Buenos Aires)

Parecería, por tanto, que la diferencia entre la matemática clásica y la moder­na debe ser solamente cuestión de estilo, es decir, cuestión de forma o de nomen­clatura. Sin embargo, tampoco ello es cierto. Por encima de la apariencia ex­terior, desde luego la más visible y notoria para quienes tan sólo ven la superficie de las cosas, hay algunas ca­racterísticas profundas que hacen a la esencia misma de la matemática abren para ella nuevas y grandes pectivas. Tal vez, para una mejor prensión, convenga comparar el fenó­meno actual con lo ocurrido en épocas anteriores.

En el comienzo de la historia de la matemática, cuyo origen permanece to­davía oscuro, encontramos una colección de fórmulas y recetas que utilizaban los egipcios para resolver ciertos problemas: delimitar terrenos, repartir cosechas o cobrar impuestos. Ésta era la matemá­tica clásica de los griegos: una matemá­tica bien definida, bien concreta, aplica­ble a un campo de problemas bien determinado. De repente aparece en la escuela pitagórica el descubrimiento de los números irracionales y se produce una fuerte conmoción. Se pone de ma­nifiesto que el uso exclusivo de la intui­ción puede conducir a errores; por tanto hay que revisar los fundamentos y pa­sarlos por el tamiz del razonamiento. Para ello hay que sentar bien las bases y nace así la axiomática como la mejor manera de estar seguro de la solidez de los cimientos. La matemática extiende mucho su campo de acción, invadiendo los ateneos y escuelas filosóficas de la época. Nace la matemática moderna de

1. LA PRIMERA MATEMÁTICA MO­DERNA. Mucho se habla hoy día de la matemática moderna. Se publican con­tinuamente libros de matemática que añaden a su título específico el califi­cativo de "moderno"; basta hojear cual­quier catálogo de publicaciones de los últimos años para encontrar títulos los siguientes: "Cálculo infinitesimal demo", Fundamentos de análisis moder­no", "Tratado de geometría moderna", "Introducción a la matemática moderna", etc: Sin embargo, si se quiere dar definición de lo que se entiende por matemática moderna, la cuestión fácil.

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comomo-3.

4.y que

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5.una

no es

No es moderna toda la matemática que se produce actualmente. Hay trabajos de reconocida importancia que se mantie­nen dentro del más puro clasicismo. Así ocurre, por ejemplo, con la mayoría de los trabajos sobre la teoría de números. Bastará citar los trabajos del matemá­tico noruego Atle Selberg, entre ellos su famosa demostración del teorema fundamental de la teoría de los números primos, por la cual se le concedió la medalla Fields (la más alta distinción internacional dedicada exclusivamente a matemáticos), en el Congreso Internacio­nal de Matemáticos de Harvard, en 1950 3.

Tampoco el modernismo radica en los temas, pues si bien la matemática mo­derna empezó con el álgebra, después se extendió por todas las demás ramas de la disciplina.

(*) Conferencia pronunciada por el Autor en la Sociedad Científica Argentina, el día 23 d© ¡unió de 1965, con motivo de recibir el premio de dicha en­tidad correspondiente al quinquenio 1959-64. Véase ELEMENTOS, año II, p. 169 (N. de los E.)

S.

sus cursos.la dirección del PIMEC están a cargo del Departamento de Unión Panamericana, que cuenta con el asesoramiento de di-

E1 planeamiento y Asuntos Científicos de la

grupos científicos interamericanos.Los problemas derivados de mejorar la enseñanza de las ciencias en América La­

tina han atraído la atención de entidades de gran prestigio internacional, como la UNESCO , la Organización de Cooperación Económica Europea, la Fundación Nacional de Ciencias de los Estados Unidos, la Agencia para el Desarrollo Internacional, la Fun­dación Ford y la Fundación Rockefeller. Es propósito del Programa aprovechar la gran experiencia recogida por tales entidades y colaborar con ellas lo más estrechamente po­sible.

versos

Este es a grandes rasgos el marco en que se desenvolverán las actividades del Programa; otras iniciativas podrán incorporarse en el futuro; su éxito puede significar la posibilidad de un cambio importante en la enseñanza de las ciencias en los países latino­americanos.

ANDRES VALEIRAS Director del PIMEC

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iSin embargo, nada más lejos de la re­alidad. La comprensión de la necesidad de ciertas demostraciones de Euclides y del por qué de su imprescindible plicación es muy difícil, mucho más que la comprensión de los pasos sucesivos de una demostración sobre las cónicas, de Apolonio, o sobre los centros de gra­vedad, de Arquímedes. Los Elementos de Euclides debieron haberse tomado como

obra fundamental para el uso de

los griegos, que culmina con los Ele­mentos de Euclides (siglo III antes de C.).

Tenemos así dos características de la nueva matemática de aquella época: preocupación por una fundamentación rigurosa y extensión de la matemática a otros terrenos. Los beneficios de esa nue­va matemática se notan inmediatamente; el estilo de Euclides, la amplitud de sus puntos de vista, la generalidad de conceptos y la ventaja de disponer de

bases firmes en qué apoyarse, mo-

confundiendo la matemática con un juego de palabras, se originaron trabajos y comentarios que eran triviales en la ma­yoría de los casos y absurdos muchos de ellos. Recordemos la discusión

que tuvo para explicar el mundo físico la hizo polarizar en esa dirección y la matemática fue adquiriendo el sentido de que solamente podía aplicarse a fenó­menos previsibles con toda exactitud, como el momento de un eclipse o la trayectoria de un proyectil. Quedaban afuera las ciencias del hombre. Durante los siglos XVII y XVIII, la matemática progresa mucho en profundidad de re­sultados, pero su motor fundamental fue casi exclusivamente la física. La mecá­nica celeste era la más perfecta y la más admirada obra de los primeros genios matemáticos: Newton, Laplace y Poincaré fueron obteniendo resultados cada más profundos y precisos, cada vez con menos hipótesis. Pero precisamente por esta excesiva especialización, la mate­mática volvió a adquirir rigidez: volvió a moverse por cauces demasiado preci­sos e inamovibles. Se consideraba, y así se definió, como la ciencia "exacta" por antonomasia. Los fenómenos que no po­dían preverse hasta la quinta cifra deci­mal o hasta la centésima de segundo, se consideraban no susceptibles de un tra­tamiento matemático. Se estableció una diferencia neta entre los problemas ma­temáticos y los no matemáticos. Los pri­meros se fueron complicando mucho, hasta llegar a profundidades en que la misma complicación se traducía en os­curidad y hacía perder el interés. La matemática se volvió, nuevamente, clá­sica. Es nuestra matemática clásica de hoy. Se hizo sentir la necesidad de una explosión que abriera nuevos caminos, despejara nuevos horizontes y permitiese trabajar con métodos nuevos, para nue­vos problemas y hacia nuevos fines.

3. LA MATEMÁTICA MODERNA AC­TUAL. Varios hechos fueron confluyendo para esta tercera explosión de la mate­mática. En primer lugar, las geometrías no-euclidianas demostraron que la mate­mática no estaba obligada por nuestra intuición del espacio; cabía, en conse­cuencia, una mayor libertad en la cons­trucción de esquemas geométricos. En segundo lugar, la aparición de la teoría de conjuntos por obra de G. Cantor (1845-1918) puso de manifiesto que había mucho por aclarar en las bases mismas de toda la matemática. Había que em-

com-

quemenciona Tannery, de dos escolásticos alemanes del siglo XI -, Reginboldus, de Colonia y Rodolfus, de Lieja, sobre el significado de "ángulo interior", palabras que encuentran en Euclides, extendién­dose en consideraciones sin sentido al creer que la palabra "interior" se aplica a cualquier ángulo, sin darse cuenta de que para Euclides la cuestión no admite ninguna duda, pues se refiere a los án­gulos interiores de un triángulo o polí­gono.

susunamatemáticos ya formados, pero nunca

libro de texto elemental para em-unastivan o contribuyen grandemente a un

florecimiento matemático. Como ex­comopezar a aprender geometría. Para hablar de los fundamentos de una ciencia hay que conocer mucho de la ciencia misma.

Es muy probable que otra hubiere sido la evolución de la matemática medioe­val, si se hubieran tomado como libros iniciales obras al estilo de las de Apo­lonio o Arquímedes, admitiendo como evidentes las cosas ciertas que se pre­sentan como tales, sin preocuparse de­masiado de si los postulados de partida

los cinco de Euclides u otro número

granponentes del mismo bastará citar a Ar­químedes (-287, -212) y Apolonio (más c

-190). Es interesante observar que en Arquímedes la matemática amplía su campo de aplicaciones prácticas, pasan­do a la estática y a la ingeniería.

vezmenos

2 LA SEGUNDA MATEMÁTICA MO­DERNA. Llegamos al siglo XVII. La temática que, a pesar de todo, algo había progresado —bastante en aritmé­tica y álgebra (precisamente la parte menos fundamentada) y menos en geo­metría— había devenido una matemática de moldes bien definidos, aplicable tan sólo a problemas de características bien reconocidas: era una matemática clásica.

Con Descartes (1596-1650) y Fermat (1601-1665) nace la geometría analítica e inmediatamente después, con Newton (1642-1727) y Leibniz (1646-1716), el cálculo infinitesimal. Ello significa una vigorosa inyección de savia nueva; la matemática se expande, muchas cosas se ven bajo nuevos ángulos, cambian los problemas y los métodos: es la matemática moderna de los siglos XVII y XVIII. Con ella, cier­tos problemas clásicos (trisección del ángulo, duplicación del cubo) se aclaran definitivamente y al mismo tiempo la matemática extiende su campo de acción y se aplica con clamoroso éxito a la explicación de la naturaleza.

No todo se consiguió fácilmente. Como toda novedad, sobre todo el cálculo infi­nitesimal, tuvo sus enemigos (Berkeley) y motivó agrias polémicas. Tuvo también sus defensores equivocados, que con más vehemencia que capacidad lo aplicaban mal y lo desacreditaban más que sus enemigos declarados.

Sin embargo, la nueva matemática no tardó en imponerse. Nació la mecánica racional y sucesivamente todos los capí­tulos de la física matemática. El éxito

Ima-

Siguen después muchos siglos en que la matemática decae. No se incorpora savia nueva a sus bases, sus métodos no cambian y sus problemas y teoremas, si bien se van complicando y aumen­tando en número, poseen siempre unas mismas características. La matemática envejece: lo que fue la matemática mo­derna de los griegos, pasa a ser la matemática clásica del Renacimiento.

eranmayor, y dejando estas sutilezas y el estudio de los Elementos para matemá­ticos ya conocedores de su ciencia, los únicos, por otra parte, capaces de com­prender su profundo y extraordinario contenido.

Es importante llamar la atención sobre este ciclo, por las analogías que presenta con el momento actual y por el peligro que puede representar para el futuro. Con Euclides la matemática fija sus fun­damentos y muestra cómo se puede edi­ficar, lenta y cuidadosamente, a partir de los mismos. Gran parte de los teoremas de los Elementos son de enunciado casi evidente y sin embargo se demuestran cuidadosamente, con todo detalle, para probar cómo todos ellos son consecuen­cia de los postulados, nociones comunes y definiciones previamente establecidas. Es una obra, en apariencia, fácil y ele­mental. Las obras de Arquímedes y Apo­lonio, en cambio, conducen en la mayo­ría de sus teoremas a resultados nada evidentes y en ellos, por tanto, la fuerza del razonamiento aparece bien visible como instrumento para llegar al descu­brimiento de resultados insospechados. En una primera impresión superficial, las obras de Arquímedes y Apolonio son más "difíciles" que los Elementos de Euclides.

Sin embargo no ocurrió así. Por su aparente simplicidad, los Elementos fue­ron tomados como libro de texto de los primeros años de las escuelas donde se enseñaba matemática. Se obligaba a aprender las demostraciones de teoremas cuyo resultado nada nuevo decía al alumno. Fue clásico el famoso pons an- sinorum o "puente de los asnos" (teorema 5 del libro I de los Elementos, que dice: los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales), que al parecer era el primer escollo para la mayoría de los alumnos, escollo inútil, pues el teore­ma es evidente por la misma simetría de la figura, por lo cual poco podía interesar al alumno, incapaz de comprender la necesidad de tan complicada demos­tración.

La desproporción entre la simplicidad (aparente) de los enunciados y la dificul­tad (necesaria) de la demostración, de­sorientó a los espíritus no dotados de una gran sagacidad matemática y así,

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a una gran variedad de situaciones. Los clásicos números enteros se consideran

elementos de un "anillo" muy par-

más unificada que en cualquier época precedente.

e) Las máquinas de calcular. La mate­mática moderna calcula poco. En gene­ral, los matemáticos —contra la opinión de mucha gente— odian el cálculo y las fórmulas complicadas. Por eso, les gusta la matemática moderna que deja los cálculos de lado y evita las fórmulas. Sin embargo, los cálculos son necesarios. Pero en vez de cargar continuamente con ellos, la posición de la matemática moderna fue la de ayudar (a través de la lógica) a los ingenieros electrónicos a construir máquinas computadoras, para luego descansar en ellas, cediéndoles todos los cálculos de rutina, que las má­quinas hacen mejor y más rápidamente que los matemáticos. Los largos desarro­llos en serie, el cálculo de integrales de­finidas y la integración de ecuaciones diferenciales se van dejando a las má­quinas. También las fórmulas clásicas tienden a desaparecer, pues la mayor generalidad actual se adapta poco a la rigidez de las mismas, siendo necesario razonar directamente. Aparece, eso sí, otro tipo de simbolismo, todavía bastante simple, pero que amenaza complicarse tanto como el clásico: son las sucesiones exactas, los diagramas conmutativos, los productos de índole diversa.

4. LA MATEMÁTICA MODERNA EN LA INVESTIGACION. La matemática mo­derna ha abierto campos inmensos a la investigación. La generalización de la matemática conocida a los nuevos pun­tos de vista, o tan sólo su colocación en el nuevo orden de cosas, para mejor poner de manifiesto sus relaciones mu­tuas y centrar las dificultades, ha sido una labor más o menos difícil, pero siem­pre útil, para sistematizar y unificar los conocimientos matemáticos.

Por otra parte, la matemática moderna ha modificado incluso el estilo de la in­vestigación. En la matemática clásica, la investigación consiste en proponerse un problema y tratar de resolverlo con to­dos los medios disponibles. La matemá­tica moderna construye continuamente nuevassin pensar demasiado en problemas con­cretos y avanza en todas direcciones, a

sin otro fin que la satisfacción de

pezar de nuevo desde el principio para sentar el edificio sobre bases firmes. No sólo había que revisar la matemática, sino también la lógica, por cuyas reglas la matemática se regía. La explosión de los siglos XVII y XVIII había ampliado mucho los dominios de la matemática, pero había descuidado sus fundamentos. Por otra parte, los filósofos habían se­guido prácticamente con la lógica aris­totélica, que ya no era suficiente para los matemáticos, y éstos tuvieron que salirse de sus dominios específicos para hacerse cargo de la lógica e incorpo­rarla, como un capítulo más, a la ma­temática.

A fines del siglo XIX el momento era parecido al de los griegos al descubrir los irracionales. Había que rever la axio­mática de la geometría, pues la de Eu- clides ya no resultaba rigurosa ante las exigencias modernos y había que axio- matizar también el álgebra y el análisis para evitar paradojas que afloraban por todas partes. Se había trabajado mucho con número reales, pero no se habían definido de manera precisa; se estaba operando continuamente con funciones, pero el sentido exacto de esta palabra quedaba ambiguo e impreciso.

La axiomática de la geometría la hizo Hilbert en 1899. En el resto de la mate­mática la axiomatización empezó con el álgebra. Se vio que muchos conceptos dispersos se podían unificar y ordenar mediante la introducción de ciertas es­tructuras. Reuniendo cursos de los ma­temáticos alemanes E. Artin y E. Noether, en 1930 se publicó el Algebra Moderna de B. L. van der Waerden que fue, prác­ticamente, el punto de partida de toda la matemática moderna actual. Sus ideas, su lenguaje y su forma se extendieron rápidamente a todas las otras Tamas de la matemática. A ello contribuyó gran­demente la obra de N. Bourbaki, empe­zada en 1938 y que, durante varios años, ha sido la verdadera Biblia de la mate­mática moderna. Las características de esta nueva matemática pueden resumirse en los siguientes puntos:

a) Gran generalidad y abstracción. La matemática moderna se coloca siempre en un punto de vista muy general y abstracto, lo que permite su aplicación

generalizar resultados para ver qué pasa con ello y cómo se ve el resto de la matemática desde las nuevas avanza­das. Con ésto se obtienen a veces resul­tados sorprendentes. Vamos a dar un ejemplo que aclare lo que queremos decir.

Un problema clásico es el de la lla­mada hipótesis de Riemann. Para ciertos problemas de la teoría de números, Rie­mann introdujo la siguiente función (fun­ción "zeta"):

comoticular; los números racionales, reales o complejos son también casos particulares o ejemplos de la idea más general de "cuerpo". Los elementos geométricos se estudian en espacios de un número cual­quiera de dimensiones; cuando se habla de "punto", no se entiende más el tra­dicional punto geométrico, sino cualquier elemento de un espacio general.

b) Especial atención a los fundamentos. Precisamente por su gran generalidad, al faltarle puntos de apoyo concretos en qué apoyarse, la matemática moderna debe cuidar mucho que su fundamen- tación sea rigurosa. De aquí que a veces se confunde la matemática moderna con la matemática de los fundamentos. Sin embargo ella no es todo fundamentación, sino que ha construido ya un edificio importante que engloba prácticamente toda la matemática clásica.

c) Predominio del álgebra. Para tener unos fundamentos sólidos y también para unificar su contenido, la matemática mo­derna ha seguido el camino iniciado por el álgebra; puede decirse que toda ella se ha algebrizado. Se ha visto que las estructuras algebraicas (grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales), las estruc­turas de orden y las estructuras topoló- qicas son la base de toda la matemática. Incluso ramas que parecían muy apar­tadas del álgebra, como la geometría diferencial, han sido algebrizadas, lo que ha resultado muy útil, tanto para una mejor comprensión como para ayudar a su crecimiento.

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1 1 1g (s) =-----+ + ...i

1 s 2 s 3S

donde 1 a variable s es compleja, s = <r + i t. Se demuestra fácilmente que la ecuación g (s) = 0 tiene las raí­ces s — —2, —4, —6, ..., y también se sabe que tiene otras infinitas raíces complejas, todas ellas con la parte real en la banda 0 < o- < 1. Por otra parte, todas las raíces complejas que se cono­cen tienen o- = %. La hipótesis de Rie­mann consiste en afirmar que todas las raíces, no reales, de g (s) = 0 tienen la parte real igual a Se ha trabajado mucho para demostrar la veracidad o falsedad de esta hipótesis, sin que hasta el día de hoy se haya logrado tal de­mostración.

Matemáticos eminentes, trabajando al estilo clásico, han ido obteniendo resul­tados parciales muy notables. Por ejem­plo, Hardy probó que el número de ce­ros en la franja 0 < cr < 1 es infinito; Selberg ha demostrado que sobre la rec­ta (; -- hay también una infinidad de ceros, infinidad del mismo orden que la del total de ceros en la franja 0 < o- < 1. Otros matemáticos han ido calculando ceros, cada vez en mayor número, ob­teniendo siempre que su parte real es

Es decir, los métodos clásicos con­sisten en ir cercando el problema, obte­niendo cada vez resultados parciales que van acercando a la meta.

La matemática moderna cambia el método de ataque. En vez de la función g (s), considera otras funciones análogas perra ver qué pasa con ellas. E. Artin y F. K. Schmidt consideraron un cuerpo Qk de funciones algebraicas de una va-

d) Unificación de la matemática. Si la obra de Descartes permitió unificar la geometría clásica y el álgebra, la ma­temática moderna ha tendido puentes entre las ramas al parecer más alejadas de la matemática. La teoría de grupos continuos se vincula estrechamente con la geometría diferencial; la geometría proyectiva no es más que álgebra lineal; la topología y la teoría de funciones analíticas (de una o más variables) se complementan armoniosamente; la teoría de cuerpos finitos juega un papel esen­cial en la fundamentación de la geome­tría. Con todo ello, la matemática aparece

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armas, amplía sus posibilidades

veces

- 6 - - 7 -

iunificada todo lo esencial de la matemá­tica clásica y, además, embarcarse en busca de nuevos descubrimientos por ca­minos vírgenes, más atrayentes que los ya muy trillados y conocidos de la ma­temática tradicional.

Se planteó luego el problema de la introducción de la matemática moderna en el nivel secundario. Ello está presen­tando, en todo el mundo, mayores difi­cultades. Las razones son varias, princi­palmente la gran extensión del alumna­do y el profesorado, lo que diluye los esfuerzos, y la gran dificultad de infor­mación para los profesores, muchos de ellos situados en lugares alejados de to­do centro de enseñanza superior. Pero el esfuerzo se está haciendo y la necesidad del mismo está siendo comprendida cada

más. No queremos extendemos so-

riable con coeficientes en un cuerpo fini­to k de q elementos. Si p es un divisor primo de Í2k que es trivial en k y k (p) una extensión algebraica de k, tal que [k (p) : k] = d (p), se puede definir la función

trario, que insistir en que la matemática, clasica o moderna, sólo es importante cuando llega a resultados no evidentes.

La matemática moderna tiene mucho que hacer en la educación del hombre para el complicado y vertiginoso mundo actual, mundo que no es trivial y que necesita mucho más que definiciones y evidencias. Hay que enseñar a utilizar la matemática para atacar dificultades y no convertirla en adomo de fantasía pa­ra vestir insignificancias.

b) La matemática y el mundo. En la época actual, la posibilidad de difusión de noticias es mucho mayor que la ca­pacidad de comprensión de las mis­mas. Se hace mucha propaganda, bien justificada, de la importancia de la cien­cia. Junto con la propaganda se lanzan satélites artificiales, se fotografía la parte posterior de la Luna y el hombre flota

en el espacio a unos 30.000 km. por hora. Se dice, también con razón, que a estos éxitos contribuye de manera importante la matemática. Por ello, todo el mundo comprende la necesidad e importancia de esta ciencia: el número de alumnos de las facultades de ciencias aumenta todos los años en proporción insospecha­da; en todas las carreras se pide más matemática; la gente común desea saber qué es esta nueva matemática que con­tribuye a tales maravillas.

Todo esto seguramente habrá de re­dundar en bien de la humanidad, pues una fuerte educación matemática es útil para todo el mundo, simplemente porque educar la razón, que es la característica más típicamente humana, es contribuir a perfeccionar al hombre, que cuanto más perfecto será también más sabio y más bueno.G

Z (u) = n (l — udWh1

donde u es una variable compleja y el producto está extendido a todos los divisores primos distintos. Artin formuló la hipótesis (análoga a la de Riemann) dé que todos los ceros de Z (u) están sobre la circunferencia | u | = q *%. A. Weil, por métodos insospechados, en los que aplica los conceptos abstractos de sus fa­mosos "Fundamentos de la Geometría Algebraica", logró demostrar esta hipó­tesis de Artin-Riemann.4

Vemos así, en este ejemplo concreto de la hipótesis de Riemann, los dos méto­dos de ataque: el clásico, que trata de ir acercándose al resultado buscando nue­vos ceros de la función zeta, resultados asintóticos y acotaciones cada vez más precisas pero siempre teniendo en vista el problema mismo; el método moderno, en cambio, transforma el problema y lo engloba dentro de toda una familia de problemas análogos y se encuentra con que la solución de algunos de ellos aflo­ra como subproducto de una amplia teo­ría elaborada para otros fines, en el caso actual para fundamentar con todas las exigencias de la matemática moderna toda la geometría algebraica. En este ca­so de la hipótesis de Riemann, ni uno ni otro método han llegado al resultado fi­nal, pero ambos han ido localizando las dificultades y abriendo caminos que tal vez proseguidos, pueden llegar al mismo.

5. LA MATEMATICA MODERNA EN LA ENSEÑANZA. En el nivel superior, el triunfo de la matemática moderna fue rápido y total. Prácticamente no queda en el mundo ninguna institución donde se enseñe o cultive la matemática supe­rior, en que la matemática moderna no constituya el núcleo y la base de toda enseñanza o el temario de toda investi­gación. Sus ventajas son evidentes, pues­to que permite conservar de una manera

vezbre este punto que ya hemos tratado con detalle en otros lugares. 5 Nos limi­taremos a señalar dos cuestiones muy generales, a saber:

a) Precauciones a tomar. La historia de lo sucedido después de Euclides, obliga a reflexionar un poco para no caer en el mismo error. La matemática moderna, por la necesidad, que ya hemos indica­do, de poseer cimientos bien sólidos, tie­ne mucho de axiomática y mucho de definiciones nuevas. Su estudio es indis­pensable para los matemáticos profesio­nales, sobre todo cuando ya poseen cier­ta versación sobre su ciencia. En la edu-

la Escuela media: la Matemática, Ciencia e Investiga­ción, vol. 19, 1960, 245-252 (*); La Matemática mo- derna en la escuela primaria y en la secundaria, Revista la Educación, Washington (en prensa). (*) Apa­reció como apéndice en "Matemática Moderna, Ma­temática viva" de A. Revuz; Elementos, Bs. Aires, 1965 (N. de los E.).

6) Sin embargo, esta rápida crecida de la ma­temática fuera de la órbita de los especialistas, con­duce también a resultados pintorescos. Hay muchos problemas difíciles, todavía no resueltos, que por su fácil enunciado llaman la atención a personas po­co preparadas que a veces aplicando métodos infan­tiles que no pueden conducir a nada, y a veces entre­mezclando en disparatado galimatías, cuestiones de matemática superior que nada tienen que ver con el problema, creen o pretenden hacer creer que han encontrado la solución. Ya hemos mencionado en la nota (3), el problema de la hipótesis de Riemann Otro problema típico es el teorema de Fermat, se­gún el cual la ecuación xn rf- yn = zn no puede tenor soluciones enteras para n>3. No se conoce todavía la demostración de este teorema, que in­cluso puede no ser cierto. Sin embargo, los "solu­cionistas" del problema de Fermat constituyen una pesadilla, bien conocida y temible por su insisten­cia y pesadez, de los Centros de matemática, adonde acuden mirando de soslayo para evitar les sea ro­bado tan precioso secreto, como lo hacían en otros tiempos los trisectores del ángulo o los cuadradores del círculo. Naturalmente que cuando se. deCiden a darlas a publicidad, sus presuntas demostraciones no son admitidas en ninguna revista especializada en matemática. Tan sólo logran alguna vez sorpren­der la buena fe de periódicos destinados al gran pú­blico o de revistas .cuyo fin es la propaganda co- merCial los que, en su afán de llamar la atención, intercalan en sus páginas noticias sensacionalistas, ganando tal vez en. lectores, pero perdiendo en se­riedad. !

(1) El trabajo de Selberg es An elementary proof of the prime number thoorom, Annals of Mathematics (2), 50, 1949, 305-313, El teorema, ya conjeturado por Gauss, había sido demostrado por Hadamard y La Vallés - Poussin a fines del siglo pasado, pero con medios de la teoría de funciones analíticas. Se había llegado a sospechar (Hardy) que una demostración de carácter elemental (que solamente utilizara funciones trascendentes elementales, no podía existir. De aquí la sensación que causó la demostración de Selberg, que es elemental, aunque nada fácil. La medalla Fields es la más alta recompensa de carácter internacional de­dicada específicamente a matemáticos. Se confiere ca­da 4 años en ocasión de cada Congreso Internacional de Matemáticas. Ver Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1950, vol. 1, 127-134.

(2) P. Tannery y Abbé Clcrval, Une eorrespondence d'écolátres du XIo siécle. Notes et Extraits des manus- crits de la Biblíothéque National et d'autros Biblio- théques, t. XXXVI, 512; París, 1900.

(3) Una puesta al día del problema hasta 1952 puede verseallied functions, Bulletin of the American Máthemati- cal Society, 58, 1952, 287-305.

Como ocurre con todos los problemas clásicos de enunciado relativamente simple, la hipótesis de Rie-

ha llamado la atención, no solamente de los

cación general, en cambio, destinada al hombre común, o aun al principiante en el estudio de la matemática, hay que evitar dar la sensación de que la mate­mática es un conjunto de axiomas y de­finiciones que desembocan en una serie de teoremas triviales. en S. Chowla, The Riemann zeta and7

Esta parte externa, con su nomenclatu­ra especial y sus malabares juegos de palabras, se presta mucho a entusiasmar a los espíritus frívolos, propensos a la exageración ante toda novedad. Hay que cuidarse de los "nuevos ricos" de la temática moderna que, con el tiempo, convirtiendo a la matemática junto de palabras difíciles para enunciar vulgaridades, pueden llegar a ser, al borde del segundo milenio, lo que fue­ron los citados Reginboldus y Rudolfus al culminar el primero. Hay, por lo con-

mannmatemáticos, sino de la pléyade de pseudomatemá- ticos que siempre creen demostrarlo todo antes do dedicarse a estudiar seriamente, haciendo gran al­haraca de presuntos éxitos que sólo existen en su imaginación. Naturalmente que, por el carácter ob­jetivo de las demostraciones matemáticas, las misti­ficaciones sólo sirven para poner de manifieso cuán atrevida es la ignorancia en ciertas personas.

ma-!en un con-

(4) A. Weil, Sur les courbes algébriques et les variétés qui s'en déduisent, Actualités Scientifiques et Industrielles, N? 1041; Hermann, Paris, 1948, pp. 60-70.

(5) L. A. Santáló; La Enseñanza de jas Cjencias §n

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de la obra perfecta sino para contribuir al éxito de posteriores investigaciones.

Papy cree que las experiencias deben cumplirse en clases de 20 alumnos, Fré- derique se decide por 25; ambos coin­ciden en que no siempre pueden darse esas condiciones ideales y en que debe irabajarse con el número de alumnos habitual en las escuelas de cada país. De ser posible en toda una escuela, con lo que se evitarían las comparaciones estériles y las objeciones sin fundamen­to. De no serlo, debieran intervenir por lo menos todos los cursos de un mismo año de estudios, para que los profesores puedan, en reuniones periódicas, compa­rar los resultados, corregir las fallas, proponer cambios.

En el Centro actúa un cuerpo de in­vestigadores a cuya tarea se asigna mucha importancia. No está constituido formalmente, sino que se ha llegado a él por imperio de las circunstancias. Los hechos ocurrieron así. En 1957, los Papy decidieron introducir algunos temas de matemática moderna en sus cursos de la Escuela Normal de Berkendael, en Bru­selas. Al hacerlo, pudieron estudiar cui­dadosamente las reacciones estudiantiles y redactar apuntes provisorios. Al año siguiente, dictaron el curso completo de acuerdo con las ideas renovadoras y completaron las observaciones. Paralela­mente se constituyó en el Centro un grupo de colaboradores, que para el dictado de las clases en sus respectivas escuelas usaron los apuntes provisorios de los Papy, a los cuales hicieron todas las observaciones que estimaron perti­nentes. Todo este material fue minucio­samente analizado y corregido en el Centro y sirvió para redactar el tan di­fundido libro de Papy, "Mathématique Moderne I", ejemplo de capacidad edi­torial por la profusión de sus gráficos multicolores. Prontamente, el libro, tra­ducido a varios idiomas, se difundió por el mundo; hoy se aguarda su anunciada aparición en nuestro país.

El éxito fortificó enormemente al Cen­tro, que hoy está empeñado en dos tareas fundamentales: investigar los temas nue­vos para la escuela segundaria y adap­tar a los docentes para las necesidades actuales. Para esto último se vale de un

grupo de docentes, dirigidos por el pro­fesor Roger Holvoet, que dictan cursos en una veintena de las principales ciu­dades del país. Asisten más de 2000 docentes, una vez por semana, durante 40 semanas; tanto los profesores que dictan los cursos como los asistentes lo hacen en forma voluntaria. En Bélgica, todos los profesores dictan semanalmente un mínimo de 21 horas semanales y un máximo de 24; Papy solicitará que se reconozca esa actividad extraescolar dis­minuyendo las clases semanales de los asistentes a los cursos.

Hoy, el cuerpo de investigaciones del Centro es más o menos estable. Son unos diez; la mitad es belga y el resto ha sido destacado por distintos países; la profe­sora argentina Irma Dumrauf, de La Plata, forma parte del mismo desde 1964. Están distribuidos en comisiones que es­tudian los apuntes básicos para los fu­turos libros, hacen los gráficos, analizan los problemas pedagógicos, etc. Todo ello con el auspicio del Ministerio de Educación, que provee los fondos para el funcionamiento del Centro.

Papy asegura que los docentes jóve­nes participan gozosos de la experiencia y que también muchos viejos profesores trabajan con todo entusiasmo, "hastiados de la vacuidad de la enseñanza antigua. Les ocurre lo mismo que a mí; al principio no creía en la enseñanza de la matemá­tica moderna, pero cuando advertí sus enormes ventajas, ya no dudé y sin vaci­lación me dediqué a su difusión1'.

La reforma de los planes belgas de enseñanza de la matemática está hoy en su séptimo año y alcanza ya a los cursos superiores. Los profesores gozan de gran libertad para ensayar sus propias con­cepciones, pero se los controla para evaluar los resultados. En el Ateneo Provincial de Morlanwelz, su director Ser­váis, asiste a muchas de las clases e interviene con preguntas a los alumnos y sugerencias a los profesores, con quie­nes se reúne y discute las dificultades. De esos coloquios ha surgido la idea de una clase para alumnos rezagados con la cual, de tener éxito, se espera recu­perarlos para un desarrollo normal.

Daremos sucintamente los programas para los tres primeros años de la escuela

PANORAMALa experiencia belga

C. VESDAGUER DE BANFI (Buenos Aires)

especial la de la geometría que con ur­gencia debía ser expuesta con criterio moderno. Para desarrollar eficazmente la idea se realizaron las primeras Jornadas de Arlon, desde entonces anuales, cuya finalidad es trasmitir a los profesores belgas las conclusiones de la experien­cia en marcha y discutir exhaustivamen­te los resultados.

Como consecuencia de todo lo dicho se creó en 1961 el Centro Belga de Peda­gogía de la Matemática, presidido por el profesor Georges Papy y apoyado por la Sociedad Belga de Profesores de Ma­temática que encabeza el destacado matemático Willy Serváis.

Papy es el primer y principal propa­gandista de la tarea en que está empe­ñado. Su gran vitalidad le permite asistir a cuanta reunión de matemática moder­na se organiza en Europa y a ellas lleva su temperamento desbordante, casi exhu- berante, que se vuelca ardorosamente en el cumplimiento de su quehacer, de su misión, diría él. Lo apoya eficientemente su esposa, Fréderique, sin duda su prin­cipal colaboradora, que opuestamente, es mesurada y hasta parca en sus opi­niones, pero actúa con mucha seguridad y está dotada de gran capacidad de trabajo.

Fréderique y Papy —como gustan ser llamados— nos expusieron sus principa­les objetivos:

1. Desarrollar los conceptos de la ma­temática moderna en la escuela secun­daria.

2. Investigar qué métodos pedagógicos deben emplearse para que esos concep­tos sean no sólo comprendidos por los alumnos sino para que sientan la nece­sidad de asimilarlos.

3. Publicar en libros y revistas sus ideas sobre los nuevos conceptos y las nuevas corrientes, no con la pretensión

En el movimiento renovador de la en­señanza de la matemática, una de las experiencias más amplias, de resonancia mundial, es, sin duda, la que se está de­sarrollando en Bélgica. Diversas circuns­tancias la facilitan, entre ellas el decidido apoyo de las autoridades educativas y el tesón con que han puesto manos a la obra los profesores de matemática de todos los niveles. Agréguese la poca ex­tensión del país y su alto "status" eco­nómico, y se comprenderá por qué la experiencia ha podido ser realizada y controlada debidamente a lo largo y a lo ancho de todo el territorio.

Punto de partida fueron las recomenda­ciones de la CIEMEM (Comisión Interna­cional para el Estudio y Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática), la cuai, animada en esa época por Caleb Gat- tegno, "ha abierto los horizontes nuevos de la pedagogía de las situaciones". Pre­cisamente, luego de la reunión de 1958 en Saint Andrews, los profesores Lenger y Serváis redactaron nuevos programas de matemática para las escuelas norma­les, los que indican el principio de la reforma. Estos programas, adoptados rá­pidamente por el Ministerio de Educa­ción, introducen el estudio de conjuntos y relaciones, y prestan debida atención a los problemas pedagógicos. Justamente para resolverlos, en el curso escolar de 1959-1960, hicieron su aparición los grá­ficos multicolores; asimismo, algunos de los nuevos temas revelaron sus virtudes pedagógicas, en especial el de la nume­ración binaria. Estos éxitos iniciales fruc­tificaron en prometedores ensayos acerca de la enseñanza de los números reales y de la geometría métrica.

Surgió entonces una idea cuya fecun­didad fue creciendo día a día: encarar la enseñanza de acuerdo con la recons­trucción unitaria de la matemática, en

?

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18. EQUIPOLENCIA Y TRASLACIONES. Pares equipo- lentes. La equipolencia es una equivalencia. Proyección de los pares equipolentes: pequeño teorema de Tales. Punto medio de un segmento, teoremas del paralelogramo. Propiedades de las equipolencias, cruzamiento de equipa- lencias. Traslaciones o vectoros. Imágenes de partes del plano por una traslación. Imágenes de rectas, semirrec­tas, segmentos y pares de puntos, por una traslación.

16. SIMETRIAS CENTRA.LES. Imágenes de partes del plano por una simetría central. Centro (s) do simetría de una parte del plano. Compuesta do dos y de más simetrías centrales. Grupo de las simetrías centrales y de las traslaciones.

17. SIMETRIAS PARALELAS Y SIMETRIAS ORTOGO­NALES. Imágenes do partes del plano y especialmente de rectas. Propiedades que se conservan. Eje (s) de simetría de una parte del plano.

CUARTA CLASE (14 - 15 años)Al. La relación ''divide" en Z y en el conjunto de los números naturales. Divisores primos y primarios de un número. Partes estables y subgrupos de Z, -J-. Todos los subgrupos de Z,+ son cíclicos. M.C.D. y M.C.M. de una parte de Z. Relación de Bézout.

2. ECUACIONES DE LA RECTA. Ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y ecuación cartesiana.

3. FUNCIONES DE R EN R. FUNCIONES POLINÓ- MICAS. Ejemplos. Representación cartesiana. Adición y multiplicación. Anillo do las aplicaciones de R en R.

4. ÁLGEBRA DE LOS POLINOMIOS REALES DE UNA VARIABLE. Álgebra de los polinomios. División por (x-a). Resto. Factoreo en casos simples.

5. RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO REAL POSI­TIVO. Aproximaciones.

6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, CON UNA, DOS O TRES INCÓGNITAS. Resolución por el método de Gauss. Problemas.

7. SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS. Resolución de sis­temas simples. Problemas. Interpretación geométrica.B 8. GRUPO DE LOS DESPLAZAMIENTOS Y DE LAS ISOMETRÍAS DEL PLANO. Simetrías ortogonales. Tras­laciones, rotaciones directas e inversas, como compues­tos de simetrías ortogonales. Grupo conmutativo de las rotaciones de centro dado. Grupo de los desplaza­mientos. Grupo de las ¡sometrías.

9. DISTANCIA. Circunferencias. Círculos abiertos y cerrados.

10. ANGULOS (ORIENTADOS Y NO ORIENTADOS). Angulo (orietnado) de una rotación y de un par de semirrectas. Grupo de los ángulos (orientados). Angulo (no orietnado) de un par de semirrectas. Medida de los ángulos.

11. COSENO Y PRODUCTO ESCALAR. Coseno de un ángulo. Un ángulo no orientado está determinado por su coseno. Producto escalar y su ¡nvariancia para las isometrías. Teorema de Pitágoras. Fórmulas trigonomé­tricas elementales.

12. DESIGUALDAD TRIANGULAR. Desigualdad de Cau- chy-Schwarz, Desigualdad triangular. Convexidad del dis­co. Intersección de una recta y una circunferencia o un círculo. Cálculo aproximado en el plano.

13. CONGRUENCIAS Y CONGRUENCIAS DIRECTAS. Partes congruentes del plano. Partes directamente con­gruentes. Pares de puntos congruentes. Ternas de puntos congruentes.

14. GRUPO DE LAS SEMEJANZAS DEL PLANO Y SUB­GRUPOS DE LAS SEMEJANZAS DIRECTAS.

15. AREAS Y SU MEDIDA. Areas de partes elementa­les del plano. Cálculo de áreas con ayuda del cálculo vectorial y, la trigonometría.

Para redactar estos programas se ha tenido en cuenta la importancia del pa­saje de la escuela primaria a la secun­daria. Se entiende que el alumno se encuentra en una etapa en que predo­

mina la imaginación, el razonamiento abstracto adquiere vigor y la expresión verbal, que conserva toda su frescura, se adapta fácilmente a la expresión es­pontánea. Como el alumno se siente ávido de cosas nuevas, no es posible decepcionarlo dedicándole mucho tiempo a la revisión de temas ya considerados en la escuela primaria; si el docente secundario es hábil sólo repasará los puntos difíciles, aquéllos que inhiben a los alumnos y les impiden progresar.

La enseñanza secundaria debe reali­zarse sobre nuevas bases y si es for­zoso referirse a temas ya conocidos debe hacérselo desde un nuevo punto de vis­ta, que permita que los alumnos com­prendan intuitivamente las situaciones para que puedan llegar a sustituirlas por modelos abstractos que han de cons­tituirse en los soportes de un razona­miento efectivo.

En lo que se refiere al contenido, se piensa que el espacio euclidiano ha sido durante mucho tiempo la base de una exposición unificada, pero hoy ya no ocurre lo mismo: esa función puede ser ventajosamente desempeñada ahora por el "universo conjuntista" que —se ha probado— interesa vivamente a los alum­nos. Medio pedagógico fundamental son ios diagramas de Venn, que se pueden introducir con toda espontaneidad ya que son los mismos alumnos quienes los realizan. Estos diagramas permiten in­troducir naturalmente los conceptos de reunión, intersección y diferencia de con­juntos; se aconseja acostumbrar a los alumnos a emplear los símbolos corres­pondientes desde las primeras leccio­nes. Los mismos diagramas permitirán establecer las leyes de asociatividad, con- mutatividad, distributividad y el papel del conjunto vacío.

Las nociones fundamentales de mate­mática moderna que deben enseñarse en la escuela primaria son las de rela­ción, función, equivalencia y orden.

En cuanto a la geometría, su conoci­miento, a la vez lógico e intuitivo, sigue siendo fundamental en la matemática actual, y las nociones conjuntistas y rela- cionistas permitirán mayor profundidad en el estudio: "la intuición geométrica ayudará al razonamiento sin sustituirlo

secundaria; según la redacción aproba­da en 1963.

SEXTA CLASE (12-13 años)A 1. CONJUNTOS. Elementos. Representación median­te diagramas do Vcnn. Conjunto vacío. Conjunto de un solo elemento. Términos y objetos. Igualdad. Los sím­bolos —, £, Notación E “ -¡ x e Y variantes.

2. PARTES DE UN CONJUNTO. Subconjuntos. Inclu- sión: los símbolos C y O. Conjuntos do partes de ciertos conjuntos.

3. ÁLGEBRA DE CONJUNTOS. Intersección. Reunión. Diferencia. Conmutatividad y asociatividad de |J y Q. (Algunos contraejcmplos: no asociatividad de situa­ciones relativas do y de | |.)

4. PARTICION. Ejemplos de particiones de un con­junto. .Definición.B 5. RELACIONES Y GRAFICOS. Numerosos ejemplos de relaciones. Gráfico. Relaciones como conjuntos de pares. Relación entre el conjunto A y el conjunto B. Producto A X B. Recíproco de una relación. Imagen de un conjun­to por una relación. Propiedades relativas de X» f”J , |J.

6. PROPIEDADES DE CIERTAS RELACIONES. Refloxi- vidad, simetría, transitividad, antisimetría.

7. COMPOSICION DE RELACIONES. Asociatividad de la composición. Reciproco de una compuesta.

8. FUNCIONES. Funciones, aplicaciones, biyecciones, composición de funciones, transformaciones y permutacio­nes de un conjunto.

9. EQUIVALENCIA. Equivalencia y partición.10. ORDEN. Orden total. Los símbolos <C, !>,

C 11. ENTEROS NATURALES. Conjuntos equipolentes, cardinal de un conjunto (muy elementalmente). Conjuntos finitos e infinitos. Números naturales: cardinales de los conjuntos finitos. Problemas relativos a les cardinales de la reunión, intersección y producto de un par de conjun­tos . Búsqueda de la definición de la adición y multipli­cación de enteros racionales mediante las operaciones con conjuntos. Aclarar y justificar las propiedades elementa­les de la adición y multiplicación.

12. SISTEMAS DE NUMERACION. Numeraciones bi-

QUINTA CLASE (13-14 años)!

1. GRUPO DE LAS TRASLACIONES O VECTORES. Composición de traslaciones. Grupo conmutativo de las traslaciones del plano. Traducción en notaciones vecto­riales aditivas. Primeros elementos de cálculo vectorial.

2. EL GRUPO Nueva representación del grupode los traslaciones o del grupo de vectores. Subgrupos de ^o,-k Suma de partes de ^o,-K Suma de partes de Cálculo en Ecuaciones. Problemas.

3. EL GRUPO TOTALMENTE ORDENADO D0,4-,<. Toda recta D0 que contiene a O, es un subgrupo de

Estudio del grupo ordenado D0,+,<C. Suma de segmentos. Primera ¡dea de aproximación de una suma.

4. PRIMERA SÍNTESIS DE LA NOCION DE GRUPO. Puesta en evidencia de la noción de grupo a partir de los ejemplos ya encontrados. Nuevos ejemplos, especial­mente do grupo cíclico. Cálculo en un grupo cualquiera. Notaciones, aditiva y multiplicativa. Coeficientes y expo­nentes enteros racionales. Ecuaciones en un grupo.

5. NÚMEROS REALES. Graduación de la recta, Axlo- de Arquímedes. Subgraduaciones, binarias o decima­

les, limitadas e ilimitadas. Axioma de continuidad. Pri­mera aparición del concepto de número real.

6. TEOREMA DE TALES. Forma general. Razón de vec­tores paralelos.

7. HOMOTECIAS. Imágenes de partes del plano por una liomotecia. Razón de homotecia. Las homotecias de razón distinta de 0 conservan: la linealidad, la inciden­cia, el paralelismo, el centro, la razón de vectores para­lelos, el conjunto do segmentos. Composición de homo­tecias del mismo centro. Grupo conmutativo de las homotecias del mismo centro y razón distinta de 0.

8. ADICION DE REALES. Grupo aditivo ordenado de las reales. Ecuaciones, inecuaciones. Cálculo aproximado, Valor absoluto.

9. MULTIPLICACION DE REALES. Para las homotecias de razón entera racional y del mismo centro: la razón de la compuesta de dos homotecias es igual al producto de las razones. Definición de la multiplicación de núme­ros reales por generalización de la propiedad prece­dente. Asociatividad y conmutatividad de !a multiplica­ción de reales. El grupo Ro,. de los reales no nulos. Ecuaciones en Ro.

10. MULTIPLICACION DE VECTORES POR UN REAL.Asociatividad mixta. Doble distributividad. Combinación R/ Puesta en evidencia de la estructura decuerpo ordenado. Cálculo en ese cuerpo. Problemas.

12. FRACCIONES. Fracciones de términos reales. Re­glas y ejercicios. Cuerpo de los números racionales.

13. ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA EN EL CUERPO REAL. Ecuaciones con una incógnita. Problemas.

14. INECUACIONES, APROXIMACIONES, PRIMEROS ELEMENTOS DEL CALCULO DE ERRORES.

15. VECTORES EN EL PLANO. Cálculo vectorial. Ecua­ción vectorial do la recta. Bases y coordenadas. Pro­blemas.

nía

noria y decimal.13. ESTUDIO ELEMENTAL DE Z, Propiedades ele­

mentales de Zespecialmente los productos nota­bles. Ecuaciones en Z, ~r. Cálculo numérico y literal. D.14. GEOMETRIA. Plano, punto, recta. El plano, con­junto infinito de puntos, las rectas, partes propias del plano. Conjunto de rectas del plano. Propiedades de incidencia (diagramas de Venn). Paralelismo: el sím­bolo //. Dirección de una recta, partición del plano.

15. PARALELAS Y PERPENDICULARES. Rectas y direc­ciones perpendiculares, el símbolo J_. Relaciones en-

I

i™ ly/-16. RECTAS ORIENTADAS. Los dos órdenes totales

recíprocos de toda recta. Orientación de las rectas. Semirrectas, abiertas y cerradas. Segmentos abiertos y cerrados y semiabiertos. Definición de conjuntos con­vexos.

17. PROYECCIONES PARALELAS. Proyección paralela del plano sobre una recta. Imagen de una parte de plano por una proyección. Proyección paralela de una recta A sobre otra B. La proyección paralela de una recta orientada sobre otra recta es creciente o decreciente. Caso particular de la proyección de una recta orientada sobre una recta paralela orientada. Rectas paralelas orientadas del mismo sentido o de sentido opuesto.

.-'13 -- 12 -

I'l- ,

matematizar situacionesmáticamente a . ., , .derivadas de la misma organización del curso, pues, como lo ha hecho notar Dienes "es indispensable que el curso de matemática encuentre en sí mismo su propia motivación , que siempre debe

al alcance de los alumnos.,La libertad de experimentación que

existe en Bélgica puede observarse en La tradicional École De-

insidiosamente". Partiendo de nociones empíricas, ya poseídas por los alumnos, y de la observación de situaciones ade­cuadas, se podrá proceder a una juiciosa elección de los axiomas que permitan cumplir sin dificultades el programa for­mulado.

Se considera que la matemática es hoy indispensable en numerosos dominios, como medio de investigación y de cul­tura. El alumno secundario deberá ser capaz de usarla en sus estudios poste­riores y en su profesión, pero no ha de

conocimientos le resol

CUESTIONES DIDACTICAS—La Matemática al día

i

estarLUCIENNE FELIX (París, Francia)

otros ensayos, croly, que dirige madame Libois, sigue .L-pléando los centros de interés para.el dictado de sus cursos. El centro de in­terés del año 1963 fue Galileo, con mo­tivo del cuarto centenario de su falleci­miento. En tomo a su figura se programó la actividad matemática de ese año, con la supervisión del distinguido matemá­tico Paul Libois, quien ha expresado cla­ramente: "no soy partidario de la ma­temática moderna sino de la matemática actual". El programa elaborado con ese motivo contiene muchos temas clásicos, pero incluye otros modernos. En todo caso, la ordenación es totalmente distinta de la tradicional y tanto profesores como alumnos deben desplegar para desarro­llarlo gran actividad y no escasa ima­ginación.

El desarrollo prodigioso de las ciencias en nuestra época se manifiesta por reali­zaciones tan espectaculares que nadie puede ignorar sus progresos. En lo que concierne a la matemática, todos saben que las exigencias de las ciencias la utilizan le presentan sin problemas, y que ella está a la altura de su labor. Pero, para los no especia­listas, aun los enunciados de las cues­tiones por resolver son incomprensibles, y lo mismo ocurre, con mayor razón, con las meditaciones de los matemáticos que crean sin pensar demasiado en las apli­caciones posibles, al solo impulso de su imaginación y su curiosidad.

Por lo contrario, todos se sienten afec­tados por el anuncio de una decisión ambiciosa: gracias al nuevo aspecto de la matemática, revolucionar la enseñan­za dándole más unidad, claridad, sim­plicidad a las concepciones elementales, anular los compartimientos artificiales entre capítulos tradicionalmente separa­dos, cegar los fosos sucesivos entre los diversos ciclos de la enseñanza hasta el nivel superior.

Todo cambio exige un esfuerzo de adaptación que puede hacer juzgar co­mo sobrecarga lo que es realmente sim­plificación. Si un cierto trabajo es ne­cesario para comprender, es el tener conciencia de lo que muy a menudo está implícito. Pero el beneficio es in­menso, pues, en el cuadro propuesto, los

conocimientos antiguos o modernos se ubican por sí mismos.em

ÁLGEBRA DE BOOLEcreer que sus verán automáticamente los problemas que se les planteen. La dificultad primor­dial consiste en "matemaiizar" una si­tuación, en formular los problemas. Esto logrado, para hallar la solución se tra­tará en lo posible de encuadrarlos en una u otra de las grandes estructuras de la matemática. De acuerdo con las conclusio­nes de Saint Andrews "se preferirá, a los problemas estereotipados de solución úni­ca, los problemas abiertos que hagan pasar a los alumnos a un grado más alto de comprensión". Se eliminarán, pues, los problemas artificiales y se tra­tará que los alumnos se habitúen siste-

A mediados del siglo XIX, el matemá­tico inglés George Boole mostró1 que el pensamiento lógico sigue un álgebra que puede ser observada como lo es el álgebra numérica desde la época de Viéte. Esta álgebra, más trascendente aún que la de los cálculos numéricos, ha adquirido un desarrollo considerable2. Sólo sus primeros pasos nos interesan aquí; son tan fundamentales para un pensamiento científico, aún a su desper­tar, que son el objeto más o menos consciente de la enseñanza en el jardín de infantes.

El modelo elemental, que se impone ante todo, presenta un aspecto conjun- tista que traduce la lógica en extensión, paralelo al aspecto preposicional de la lógica en comprensión.

Una proposición tal como "Esta bolita es roja", que expresa una cualidad de- la bolita, tiene signiifcación para nos­otros si sabemos, en el conjunto E de las bolitas, reconocer aquéllas que son rojas y ponerlas eventualmente en una caja reservada al subconjunto R de las boli­tas rojas. Por eso mismo, definimos al subconjunto de las bolitas no rojas como subconjunto complementario de R.

Consideremos simultáneamente otra propiedad de las bolitas, elementos del conjunto E; por ejemplo, "ser de vidrio". Las bolitas que tienen esta propiedad forman el subconjunto V. Podemos inte­resarnos por las bolitas que son rojas y de vidrio; ellas constituyen el subcon­junto intersección de R y V. Otra elec­ción hace considerar las bolitas que son rojas o de vidrio, aceptando aquéllas que

que cesar nuevos

O O O

CRUCINUMERO CUADROS VACIOS: Id, 2d, 3b, 3e, 4o, 41, 5c. 6c.ROSARIO RUSSO (h.) (Santiago del Estero)

DIAGONALES: la, las seis primeras cifras de la raíz cuadrada de 2; lf, las seis primeras cifras de la expre-

1564 — 156fb dC ea sión decimal periódica de 349000

1 !HORIZONTALES: la, límites (eos x. 134 —sen x), para

x —► 0; le, derivada de 5 x2 -+■ 13 x para x = 2; 2a, valor numérico de x3 — x2 + 4x + 2 para x = 10; 2e, apotema del triángulo ea.uilátero inscripto en la cir­cunferencia x2 + y2 — 82';; 3a, logi 1; 3c, primer nú­mero primo de dos cifras; 3d, potencia 1/2 de 9; 4b, divisores dígitos d° 40 en orden decreciente; 5a, razón entre 8 y 1/2; 5d, coeficientes numéricos del cuadrado de un binomio; 6a, cateto mayor del triángulo rectángu­lo de hipotenusa 50 y cateto menor 30; 6d, exponente del producto a423 . arB= .a.

z3

(*) En ocasión de su redente visita a nuestro país (véase ELEMENTOS, oño III, p. 31) liemos logrado de la profesora FELIX su autorización para pu blicar este artículo suyo aparecido originalmente en francés en "Sévriennes d'hier et d'aujourd' hui" (Boletín de la Asociación de Alumnos y Ex - Alumnos de la Escuela Normal Superior de Sév- res, Francia) de septiembre de 1964, que publi­camos en la versión de la profesora Irma A. Estol de Besio. (N. de los E.)

*

5 VERTICALES: la, derivada del producto 95.In 10.log x para x = l/2; Id, lado del hexágono inscripto en la circunferencia x= + y2 = 1156; lf, límite (7X — lOx) para x -► 3; 4b, ordenada al origen de 2x — y/4 -f- 215 = 0; 5a, valor de x en log 100x = 28; 5f, lo mismo que 3c horizontal.

6

T- 15- 14 -

1

(a + b) X c = (“Xf + d»XJ)la figura 2, donde

Venn que permiten comparar (A[JB) f]C —figura 4— y (Af|B)con (Af|) [J (B(|) (B[JC) — figura 5—.[JC con (A(JC) f| Ayudándonos con algunos colores, se comprueba que cada una de las opera­ciones es distributiva con respecto a la otra. Así. las dos conjunciones y, o, son igualmente "fuertes", cada una puede "romper" el vínculo establecido por la otra.

i las posibilidades de transformaciones, es un elemento esencial del pensamiento científico. Si en el cálculo numérico se- aplica sobre todo el álgebra de Vieta, en el espacio se aplica sobre todo eí álgebra de Boole relativa a los subcon­juntos de puntos llamados figuras. Toda una parte de la geometría es así alge­brizada. Pero advirtamos bien que álge­bra no significa automatismo: si una conclusión algebraica es formalizada, ella permite una aplicación automática sobre un ejemplo, sobre un modelo; pero el descubrimiento de la. fórmula, la orga­nización de la teoría, la búsqueda dd casos particulares o de extensiones nue­vas, exigen intuición, imaginación, agu­deza.

tienen a la vez ambas cualidades (sen­tido del latín vel). Ellas constituyen el subconjunto unión de R y V. Se adver­tirá que la intersección está incluida en la unión de R y V, y que esta interseca ción puede ser vacía, aún si R y V. no lo son.

está justificada por

O O o í

Mt09O O O

Figura 2

a = 3, b = 5, c = 5; mientras que la expresión

(a X W + cse representa en la figura 3.

Citemos todavía algunas observacio­nes. En álgebra numérica, a + a = a, sólo es verdadero si a = 0; a X a = a sólo es verdadero si a = 1. En cambio, en el álgebra de Boole, las fórmulas Af|A = Ay A [JA = A son verdaderas cualquiera sea el subconjunto A de E.

He aquí, diréis, algunos amables ejer­cicios de observación que exigen aten­ción y cuidado a los niños de 10 a 12 años. Cierto; pero también la base de una ciencia que se desarrolla desde hace siglos. En un nivel más elevado, estas comprobaciones dejan el lugar a una exposición axiomática: algunas de estas fórmulas son elegidas como axiomas del álgebra que se desea edificar, y por simple lógica es posible deducir de ellas las consecuencias próximas o lejanas: por una parte, toda el álgebra numérica; por la otra, toda un álgebra del pensa­miento lógico. Se sabe cómo la adopción de las notaciones del álgebra numérica, donde las letras reemplazan a números cualesquiera y donde los signos indican las operaciones (conjuntamente con las reglas de la numeración decimal), ha revolucionado la enseñanza elemental poniendo a los niños en condiciones de plantearse y de resolver problemas re­servados otrora únicamente a los sabios. Encontramos un beneficio análogo al codificar el álgebra de Boole: reemplazar frases largas para pronunciar, difíciles de redactar y escribir sin faltas, por expresiones claras, fáciles de comprender y verificar, calcadas directamente sobre la idea por expresar.

Una formulación sin ambigüedad, des­provista de matices afecfivos, que sugiera

¿Cuáles son las subdivisiones que pue­den preverse en la caja de las bolitas (conjunto E de referencia, o referencial)? El dibujo de la figura 1 es el del es­quema lógico de Euler y, al mismo tiem­po, el del diagrama conjuntista de Venn. A las dos conjunciones o, y, que los lógicos denotan respectivamente con V (recordando vel) y A, están, pues aso­ciadas dos operaciones en el conjunto de los subconjuntos de E (o conjunto RÍE) de las partes de E). Ahora bien, esas dos operaciones propiedades que jan a las de la adición y la multiplica­ción de los números; sin embargo, las diferencias son demasiado importantes para que adoptemos los mismos signos 4- y X; la unión de R y V se indica por R[JV y la intersección por Rf|V (convención universalmente aceptada .ahora).

En el conjunto P(E) de las partes de E, sabemos, utilizando los paréntesis co­mo en el álgebra numérica, qué sentido atribuir a las expresiones de Boole, tales como (A|JB) (JC, (A[JB) f|C, etc., que recuerdan las expresiones algebraicas corrientes (a + b) 4* c, (a + b) X c> etc.

Lo mismo que la observación de algu- configuraciones simples hace apare­

cer las fórmulas fundamentales del álge­bra numérica, por lo menos para el conjunto de los enteros, el examen de los diagramas de Venn hace aparecer las fórmulas fundamentales del álgebra de Boole en el conjunto P(E). Demos por

ejemplo para precisar: lafórmula del álgebra numérica

O 9LAS ESTRUCTURAS

Se puede definir a la, matemática como el estudio de las estructuras. Precisemos un poco con ejemplos lo que se entiende por ello. Los conjuntos considerados no permanecen amorfos, como una reserva inutilizada. ¿Qué se hace con ellos?

La acción más importante es sin duda la de hacer actuar un principio de clasi­ficación que defina clases en cada una de las cuales los elementos son conside­rados como equivalentes desde el punto- de vista considerado. Denominemos a, b, c,... a los elementos del referencial E'.. Una relación de equivalencia está repre­sentada por un símbolo que se lee "equi* valente a" y se escribe: = o con un signo aproximado; tomemos codificar explícitamente las condiciones de empleo de tales signos. Estas condi­ciones son tres. Son evidentemente nece­sarias; un poco de reflexión muestra que su conjunto es suficiente.

1) a ^ a. Todo elemento es equiva­lente a sí mismo; no puede estar en dos clases diferentes.

2) a = b implica b sz? a. Si b está en la clase donde está a, también a está en la clase donde está b.

3) La conjunción de a P b,.y b = c

Figura 3

Los niños ven que las dos operaciones —adición y multiplicación— no tienen la misma "fuerza"; dicen: "la multiplicación es la "más fuerte" —ella puede romper a la adición para tomar los pedazos—; por lo contrario, en (aXb) + c, los nú­meros a y b están ligados por la multi­plicación, y la adición es demasiado dé­bil para separarlos". La expresión técnica que enuncia esto es la siguiente: "La multiplicación es distributiva con respec­to a la adición; la adición no es distri­butiva con respecto a la multiplicación."

Examinemos ahora los diagramas de

se aseme-

Es esencial

ti

fFigura 4

ñas

* i

lo menos un4- V.: • 0 v* •. ••Figura 5

— 51,7 —- 16 -

/

/esencial para la representación gráfica (orden lineal), pero hay de otros tipos, tal como la red de. los divisores de un número en el conjunto de los enteros (figura 6); en efecto, lo esencial de la teoría de la divisibilidad es expresado por la aserción: la relación "divide" es

relación de orden.Pero, por ejemplo, 4 X 1 = 4; es ne­

cesario pues aceptar que 4 se divide a sí mismo. Esto nos obliga a modificar los axiomas y a adopiar los del orden amplio, en los que se admite una equi­valencia:

1) a^a es verdadero para todo a;2) a^b y b^a son compatibles en el

caso a = b;3) transitividad.Este es un ejemplo de la manera en

modifica el sistema de axiomas

Pero sobre todo importa la lectura de los esquemas en lenguaje vulgar. Los ejercicios de composición y de traduc­ción tienen un carácter particular: la len­gua matemática es pobre, estricta, ob­jetiva, esquelética puede decirse; y la traducción literaria le agrega flexibili­dad, matices afectivos; muchos elementos psicológicos intervienen en la manera de describir la exploración que conduce a construir un esquema, en la de leer un esquema más o menos complejo de clusiones o de demostraciones.

Así las dificultades de la expresión verbal está disociadas de las de la cepción.

implica a == c. Si b está en la clase definida por a y si c está en la clase donde está b, también c está en la clase donde está a. Es la transitividad de la relación.

Esto es todo. Cada vez que, entre los elementos de un conjunto, una relación tiene esas tres propiedades, ella se dice relación de equivalencia, y define una partición de E en clases de equivalencia. Eso es evidente, se pensará. Pero eso es una razón, no para sobrentenderla, sino para subrayarla cada vez que se la en­cuentra, es decir, a cada paso: 2/3, 4/6, 6/9,... son fracciones equivalentes des­de el punto de vista de la medida y cada clase es un número racional; las rectas paralelas son equivalentes y cada clase es una dirección; hay dominios equiva­lentes en cuanto a su superficie; hay sistemas de ecuaciones equivalentes en lo que concierne a sus soluciones, etc.

También es importante la noción de relación de orden, que corresponde a un comparativo; empleamos aquí el vocablo "antes" y el signo <, o algún signo que lo recuerde. Los axiomas de una estruc­tura de orden son los siguientes:

1) a<a es falso para todo a;2) a<b es incompatible con b<a;3) transitividad: la conjunción de a<b

y b<c, implica a<c.Lo más interesante para nosotros es

quizás la posibilidad de representar una relación de ese tipo por flechas, sobren­tendiendo que las flechas corresponden a la transitividad; de ahí la posibilidad de esquemas. Pensamos inmediatamente en el orden natural de los números, de las fechas, de los puntos sobre una recta,

necesaria para la seguridad de la marcha.

CUANTIFICADORES

Muy a menudo nos ha sido necesario utilizar las expresiones "para todo ele­mento del conjunto", "cualquiera que sea el número", "cualquiera que sea el va­lor", "cualesquiera que sean los ele­mentos". Para aligerar la redacción, se sobrentiende a menudo esta noción esen­cial, lo que constituye un grave error pedagógico. Por lo contrario, la idea debe ser subrayada puesto que ella pre­cisa a qué elementos se aplica la aser­ción. El símbolo de ese cuantificador universal es Y (el calificativo está jus­tificado por el antiguo nombre "univer­so" del referencial). Así, en el conjunto de los números,

Y a, (a -P 1 )“ = a2 -p 2a -p 1; en el conjunto de los triángulos,

una

con­

cón-

OPERACIONES

Entre los elementos de un conjunto se definen las operaciones internas: con "2" y "3", la adición forma "5"; con dos si­metrías axiales del conjunto de las trans­formaciones puntuales, la composición proporciona una rotación; etc. Pero tam­bién las operaciones pueden hacer inter­venir elementos de dos conjuntos: vector multiplicado por un número da otro vector; por multiplicación escalar, dos vectores dan un número. La clasi­ficación de las operaciones según sus propiedades permite definir diversas es­tructuras algebraicas. Damos uno de los ejemplos esenciales: un conjunto tiene estructura de grupo para una operación interna (indicada, por ejemplo, con el signo -P) en las condiciones siguientes:

1) asociatividad: (a + b) + c = a -p (b -P c);

2) existencia de un elemento neutro 0: para todo x, x -p 0 = 0 -P x = x;

3) existencia de un opuesto x' de todo elemento x: x + x' = x' + x = 0.

El trabajo matemático es particular­mente fácil en el caso de una estructura de grupo; esto conduce a crear seres nuevos si es posible obtener, por una extensión tal, esta estructura (creación axiomática del cero, de los números ne­gativos, por ejemplo). La técnica de los cálculos es totalmente diferente si esa estructura no es realizada; por ejemplo, [J o f| en P(E). El reconocimiento de la estructura exigida por una situación es

que separa adaptarlo a la estructura que se desea construir.

Uno de los ejemplos más esenciales de una estructura de orden es la vinculación de las aserciones de una teoría por la re­lación de inferencia: la verdad de la pro­posición p implica la verdad de la pro­posición q, lo que se indica p -*• q (Los niños me han declarado: "Puesto que se puede pasar de p a q, es necesario po­ner verde en la flecha." Después, poner flechas verdes entre las afirmaciones; es el signo lo que se ha razonado). La po­sibilidad de representar por un dibujo en el espacio, un esquema, un gráfico, la construcción lógica de una teoría es ex­tremadamente importante: eso permite controlarla, incita a las recíprocas (¿Hay sentidos únicos?), pone en evidencia las reducciones (La transitividad permite reemplazar una parte del esquema por una flecha única). '

Y (A, B, C), AB = AC - B = C.Este símbolo es perfectamente acep­

tado por los alumnos de 11 ó 12 años, pero es necesario perfeccionar progresi­vamente su comprensión en el caso de conjuntos infinitos —un punto cualquiera de un segmento, un triángulo cualquiera, una función cualquiera.

En un nivel un poco superior, se im­pone introducir el cuantificador existen- cial: "existe por lo menos un elemento x tal que...", que se escribe 3 x.

un

ESTRUCTURAS TOPOLOGICAS

El álgebra presenta cierta rigidez: pa­ra asegurar la transitividad de una rela­ción de equivalencia, por ejemplo, hace falta una exactitud perfecta; a fuerza de reiterar errores de 1 mm., se obtendrán diferencias de 1 m., 1 km. Ahora bien, toda aplicación a modelos físicos, a mediciones experimentales, implica la aceptación de aproximación. Desde los primeros pasos, en la adquisición de los conocimientos, el niño debe tener con­ciencia de ello: los números utilizados son vecinos de las medidas pedidas, los puntos están en la vecindad de las po­siciones deseadas, las líneas son casi correctas... Todo esto es perfectamente válido si se establecen precisiones. Va-

{El esquema muestra también el grado

de complejidad de una situación o de una demostración, lo que es sumamente importante para el maestro que prevé la dificultad de comprensión o de descu­brimiento.

Desde el punto de vista pedagógico es necesario estudiar la dificultad de con­fección de esquemas: es exactamente la dificultad de una real comprensión. Tam­bién hace falta examinar cómo la liber­tad en la disposición del esquema se adopta al modo de pensar de los niños.

/ \t

— 18 - - 19 -í

/

/famoso elemento denominado Como se ve, no se puede evitar la topología sin restringir extremadamente las cues, tiones estudiadas.

Una construcción axiomática de la matemática, cuyo tipo es la monumental exposición de Bourbaki, estudia primero las estructuras sencillas "en culturas puras", después las estructuras cada vez más complejas. Los capítulos tradiciona­les son apartados a un lugar posterior, pues presentan un enredo enorme de estructuras; ocurre así, por ejemplo, con la noción de línea recta, tan rica en es­tructuras algebraicas y topológicas. Esta marcha de lo simple a lo compuesto no está adaptado, evidentemente, a la en­señanza elemental: la visita a una casa

desea habitar, no supone el es-

aquí la importancia de losmos a ver cuantificadores.

En física experimental, cuando se em­plean. números, los resultados son acep­tados con tal que la precisión sea sufi­ciente, pongamos inferior a 1/1000 de la unidad. El matemático exige un error inferior a e, cualquiera sea el número e elegido en el conjunto E de que se dis­pone. Si una función determina y cono­cido x, allí donde el físico pide: "Mida x con una precisión tal que el error sobre y no sobrepase 1/1000 de la unidad", el matemático exige la continuidad de la función. Si el valor a de x da el valor b de y, la condición se expresa con la frase: "Por pequeño que sea el número positivo e, existe un número positivo oc tal que asegurar que la diferencia entre el número x utilizado y el valor exacto a sea inferior a «, implica que la dife­rencia entre y deducido de x y b dedu­cido de a es inferior a e". Esto es, en lengua matemática:

ORIENTACIONTeoría moderna y aplicaciones

de las probabilidades (*)í

JOAO MARTINS (San Pablo, Brasil),

II. — TRATAMIENTO TEÓRICO 1 .Definición moderna de probabilidad.

Dado un espacio de eventos E, habilidad es una función P(A) de eventos que a cada evento A de E asocia número y que satisface los siguientes axiomas:AXIOMA I. 0 < P(A) < 1 AXIOMA II. P(A) = 1, para el evento

cierto E.AXIOMA III. P(A (J B) = P(A) + P(B), si

AB = 0 representando por 0 al evento imposible.

El primer axioma asegura que la pro­babilidad es un número racional com­prendido entre cero y uno; por eso pue­de parecer superfluo el segundo. Pero el axioma I no establece formalmente que el evento cierto tiene probabilidad 1.2. Teoremas importantes.

pro-

unque setudio previo de los cimientos y de las vigas; el estudio de la vaca, en cursos elementales, no se hace a partir de las células constitutivas de un ser vivo. Es claro que es necesario partir de las si­tuaciones proporcionadas por la expe­riencia y extraer de ellas las concepcio­nes abstractas. Las estructuras devendrán realidades vivientes para el niño si se destaca su aparición en todo momento utilizando siempre el mismo vocablo, después el mismo símbolo.

Dejar en la sombra, sin formularlo, al cuadro esencial del pensamiento lógico y matemático, sería enseñar una lengua dejando implícita la gramática, sería des­cribir las reacciones químicas sin obser­var que los diferentes ácidos tienen una función común. Dejar al alumno descu­brir por sí solo lo que ordena, organiza, justifica, unifica, los conocimientos y di­rige la exploración que se le fuerza a emprender, es verdaderamente contar demasiado con "la cabeza para la ma­temática".

!¡

V e > 0, a a > 0: | x a | < °c | y — b | < s AB' o AB= A

Ejemplo de verificación: Lanzamiento de un dado una única vez.

Más generalmente, se pueden hacer estudios topológicos si se han definido las vecindades en el conjunto estudiado: vecindad de un número, vecindad de una recta para el estudio de las tangen­tes a las curvas, vecindad de las curvas para el estudio de las áreas o las longi­tudes. El dominio de la topología es el de los conjuntos infinitos; las estructuras topológicas superponen a los estudios algebraicos un estudio de los cuantifi­cadores que puede ser extremadamente difícil. Es ella la que discute, por ejem­plo, las posibilidades de vínculos por caminos continuos entre las regiones de una superficie, estudios que justifican etimológicamente el término "topología", extendido ahora a cuestiones más am­plias. Es la topología la que ha obligado al matemático a crear entes para evitar considerar los valores aproximados a "nada". Por ejemplo, ha sido necesario agregar a los números racionales ele­mentos iracionales tales como \/2;- al conjunto de los números formados me­diante un número finito de radicales, ha sido necesario-agregar, por ejemplo»-el

Proba­bilidadPuntos .Evento

TEOREMA 1. —-La probabilidad del evento imposible es nula.

Demostración: El evento cierto E y el evento imposible 0 son mutuamente ex- cluyentes. Entonces, por el axioma III, se tiene:

2Cara 3A"Cara divisible por 3" Cara 6 6

Cara 1 Cara 3 Cara 5

3B"Cara impar")P(E 60) = P(E) + P(0)

0 = E, se deduce que P(E U 0) = P(E)-

Por lo tanto, P(0) = 0.TEOREMA 2. — Siendo A y B dos even­

tos del mismo espacio, P(AB') = P(A) — P(AB).

Demostración: Los eventos AB y AB' son mutuamente excluyentes, toda vez que B' es el complemento de B. Además, como muestra la figura 8, AB {] AB' = A.

Luego, P(AB (J AB') = A.Por el axioma III, P(A) = P(AB) + P(AB')

de donde finalmente:P(AB') = P(A) — P(AB)

y, como E

i AB1t "Cara impar,

divisible por 3"Cara 3

El trabajo de los sabios ha dado un aspecto nuevo a la matemática, que le asegura una unidad de método y de vocabulario en todos los niveles de la enseñanza y también en las diversas partes artificialmente separadas, más aún por una tradición pedagógica que por la verdadera evolución del pensamiento de los matemáticos creadores. Después de un período preparatorir* de iniciación

'Sigue en pág, 43)

6iAB'

1"Cara par, divisible por 3"

Cara 66

Debe ser: P(AB') = P(A) — P(AB).1 ___1

3 6En efecto: P(A) — P(AB) = —

1— = P(AB').6(*) Véase ELEMENTOS, Año II, págs. 160-4 (N. de los E.).

-‘-20 -- 21 -

v5TEOREMA 3. — Siendo P(A) la proba­

bilidad de un evento cualquiera y P(A') la de su complemento, P(A') = 1 — P(A).

Demostración: Como A [j A' = E y PÍE) = 1, resulta P(A (} A') = 1.

Pero A y A' son mutuamente exclu- yentes, pues A' es la negación de A. Entonces, por el axioma III, P(A (J A') = = P(A) 4- P(A').

Entonces, finalmente: P(A') = P(A (J A') — PÍA) = 1 — PÍA).

Ejemplo de verificación: Se sabe que en un lote de 100 lámparas de gas neón existen 5 que, por error, fueran prepa­radas con argón. Un técnico va a iniciar una prueba para separarlas. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera lámpara examinada sea de argón?

PÍA) = Probabilidad de que sea de

neón =

argón =TEOREMA 5. — Para tres eventos lesquiera A, B y C, de un mismo espacio, PÍA U B [J C) = PÍA) -1- P(B) 4- P(C) — — P(AB) — P(AC) — P(BC) + P(ABC).

Demostración: De acuerdo con el teo­rema 4, P([A U B] U C) = PÍA II B) + 4- PÍC) — P([A [J B] C) = PÍA) 4- PíB) 4- -h PÍC) — P(AB) — P([A U B] C).

Aplicando la propiedad distributiva de la intersección de eventos, [A M B1 c = AC y BC.

Por el teorema 4 nuevamente, P(AC II BC) = PÍAC) 4- PÍBC) — PítAC] [BC].

Como [AC] [BC] = ABC, reemplazan­do en la expresión inicial queda demos­trado el teorema.

Nota: Un teorema semejante, para la unión de un número finito cualquiera de eventos, puede ser demostrado por in­ducción.

TEOREMA 6. — Dados n eventos tuamente excluyentes, Ai, A2, ... An, la probabilidad de la unión de esos even­tos es la suma de sus probabilidades.

Demostración: Por el axioma III, P( M B) = PÍA) 4- PÍB).

Entonces: P(An [¡ A„-i [J A = P(A„ U [An-i U • • • IJ AU) = P(An) + PÍA,,-! U ÍAn_2 U . .. U Aii) = P(A„) fP(An.,) + P(An.2 U [An-3 U • • U AJ)

= PÍA j* 4-* PÍA,,-i) + PÍA, -*_.) + V.’. + PÍAi)

Problemas:Io Dos dados, que se suponen perfec­

tamente balanceados, son lanzados simul­táneamente. Sea A el evento "la suma de las caras es impar"' y B, "sale por lo menos una cara 1".

a) Describir los eventos AB, A [J B y AB\

b) Determinar sus probabilidades, su­poniendo que todos los puntos del espacio tengan la misma probabi­lidad.

Solución:a) Descripción de los eventos: AB: "la

suma de las caras es impar y por lo menos una de ellas es 1"; A |J B: “por lo menos sale una cara 1, si la suma ss par, o la suma es impar, si no apa­rece la cara 1, o la suma es impar y cale la cara 1"; AB': "la suma de las rarcs es impar, pero no aparece la cara 1 .

100 b) Determinación de las probabilida­des. En primer término, veamos el nú­mero de puntos de cada evento: AB), Combinando la cara 1 de cada dado con las tres caras pares del otro, se obtienen seis puntos. A (J B) El evento A tiene,, obviamente, 18 punios, los cuales son obtenidos combinando las tres caras im­pares de cada dado con las tres caras pares del otro. El evento B tiene 11 pun­tos. En realidad, combinando la cara 1 de cada dado con cada una del otro, se obtienen 12, pero en este procedimiento el punto (1,1) se computa dos veces. Ahora bien, como Puntos de (A [J B) = Puntos de A 4- Puntos de B — Puntos de AB, resulta que (A (J B) tiene 18 4- 11 — 6 = veintitrés puntos. AB') Este evento tiene, doce puntos, los cuales son obtenidos combinando las caras 3 y 5 de cada dado, con las caras pares del otro.

Estamos en condiciones de determinar, las probabilidades. En efecto, desde que todos los puntos del espacio tienen la misma probabilidad, 1/36, resulta: P(AB)> = 6/36; PÍA |J B) = 23/36; P(AB') = 12/36.

29 Entre los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, se elige al acaso uno de ellos y luego, inmedia­tamente, otro. Hallar la probabilidad de. que un dígito impar sea seleccionado:

a) la primera vez;b) la segunda vez;c) ambas veces.

Solución:a) El evento A, "dígito impar en la pri-,

mera elección'", tiene los tres puntos 1, 3, 5, mientras que el espacio de eventos tiene cinco. Así PÍA) = 3/5.

b) El evento B, "dígito impar en la segunda elección"; sus puntos pueden obtenerse del siguiente modo: con núme­ro impar ambas veces, hay 6 puntos, pro-, ducto de tres posibilidades primero, por dos después; con número par la primera vez e impar, la segunda, hay otros 6 pun­tos, producto de dos posibilidades inicia- primero, por dos posibilidades iniciales por tres finales. Luego hay 12 puntos para B. Como los puntos del espacio de eventos se obtienen combinando cada resultado inicial posible, con todas las posibilidades de la segunda elección, se tienen en total 5.4 = 20 puntos. Así, PÍB) = 12/20.

cua-Según el teorema, P(A') = 1 — PÍA) =

------, resultado coinci-95

100100dente.

TEOREMA 4. — La probabilidad de la unión de dos eventos A y B de un mismo espacio, es igual a la suma de la p-oba- bilidades de esos dos eventos, menos la probabilidad de su intersección, esto es: PÍA U B) = PÍA) + PÍB) — PÍAB).

Demostración: Del hecho de que A [J B = A [j A'B, donde A y A'B son eventos mutuamente excluyentes, conforme ilus­tran la figura 9, se tiene, por el axioma III, PÍA [J B) = PÍA U A'B) = PÍA) 4- PÍA'B).

Pero, por el teorema 2, P(A'B) = PÍB) — PÍAB).

Luego: PÍA [J B) = PÍA) 4- PÍB) — PÍAB).Ejemplo de verificación: Se lanzan si­

multáneamente un dado y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra "o cara de la moneda, o cara par del dado, o ambas"?

Indicando "cara de la moneda" por a y "cruz de la moneda" por b, los doce puntos del espacio de eventos pueden ser representados por:

l,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,al,b 2,b 3,b 4,b 5,b 6,bIndicando por A el evento "sale cara

de la moneda" y por B, "sale cara par del dado", se tiene:

Evento

9

95

100 mu-

P(A') = Probabilidad de que sea de

■ ■ U A,)n-2 •

fe) /

ePuntos Probabilidad

l,a 2,a 3,a 6i A 4,a 5,a 6,a£ 12

62,a 4,a 6,aB 2,b 4,b 6,b 12

2,a 4,a 6,a 3AB 1.a 2,a 3,a12

94,a 5,a 6,aA U B 2,b 4,b 6,b j2

Po: el teorema, P (A (J B) = PÍA) 4- PÍB) — PÍAB).

En efecto: — + — — 1 9

12 12 12 12

fe)— —, que

es PÍA [J B).- 22 - - 23 -

/ :

el evento B/Ai tiene 6 puntos en Ai, que a su vezEste resultado coincide con el antes ob­tenido.

Entonces, la probabilidad pedida será: HAiBVHAi) = 6/20 : 12/20 = 6/12.

2? ¿Cuál es la probabilidad de obtener bola blanca después de haber salido bola roja?

a) Los puntos del evento Bi, "bola roja la primera vez", son:

Representando por:A, el evento el primero es un niño",

P(A) = 1/2;B, el evento "el segundo es un niño",

P(B) = 1/2.Se deduce que representando AB el

evento "ambos son niños", que tiene apenas el punto bb, será: P(AB) = 1/4.

Además, A (J B, que repreesnta el evento "por lo menos un niño", tiene la probabilidadPÍAB/A U B) = P(A) -b P(B) — P(AB) ~

= 1/2 + 1/2 — 1/4 = 3/4Consecuentemente, la probabilidad de

que ambos sean varones, sabiendo uno de ellos lo es, será

c) El evento C, "número impar ambas veces". Saliendo un impar la primera vez, quedan dos posibilidades para la segunda; luego se tiene un total de 3.2 = 6 puntos para C en un espacio de 20 puntos, según se ha dicho. Así, P(C) = 6/20.

3. Probabilidad condicional.

Antes de definir probabilidad condi­cional, es interesante compenetrarse de su significado con algunos problemas.

Una urna contiene cinco bolas nume­radas de 1 a 5. La 1 y la 2 son rojas; las demás, blancas. Se extrae una bola al acaso y, sin reponerla, se retira una segunda, también al acaso. Se pregunta:

l9 ¿Cuál es la probabilidad de que, habiendo salido una bola blanca la primera vez, salga una bola roja la segunda?

Para obtener el espacio de eventos, consideremos el experimento de retirar dos bolas de una urna, sin reposición. El número de puntos de ocurrencia de diferentes resultados posibles— está dado por el de arreglos binarios de cinco objetos: Ar„2 = 5 (5 — 2 -f 1) = 20. Esos puntos del espacio de eventos aparecen como los 20 elementos de la matriz

I — 1,2 1,3 1,4 1,52,3 2,4 2,5

I 3,1 3,2 — 3,4 3,5! 4.1 4,2 4,3| 5,1 5,2 5,3 5,4 —

en la que no aparecen los puntos diago­nales por cuanto en el experimento des- cripto no hay repetición. De otro modo, los elementos de la matriz son los arreglos binarios, sin repetición, de las cinco cifras dadas.

a) Los puntos pertenecientes al evento Ai' "bola blanca en la primera extrac­ción", son: 3,1; 3,2; 3,4; 3,5; 4,1; 4,2; 4,3; 4,5; 5,1; 5,2; 5,3; 5,4. Por lo tanto, Ai tiene 12 puntos; luego, P(Ai) = 12/20.

Designando con B al evenio "bola roja una vez", es fácil ver que la intersección AiB tiene solamente los 6 puntos: 3,1; 3,2; 4,1; 4,2; 5,1; 5,2. Por tanto, P(AiB) = 6/20.

b) Entre los 12 puntos del evento Ai existen 6 puntos del evento B, los cuales describen el evento B/Ai, "bola roja la segunda vez, habiéndose extraído una bola blanca en la primera". Por lo tanto,

Pero, por definición:P(AC)/P(C) = P(A/C) y

P(BC)/P(C) = P(B/C)Además: [AC] fBC] = ABC = [AB]C,

y consiguientementeP([AC] (BC])/P(C) = P([AB]C)/P(C) =

= P(AB/C)con lo que por simple sustitución queda demostrada la proposición enunciada.

V) Probar que si A, B y C son tres eventos de un mismo espacio con P(B) > 0, P(C) > 0 y P(BC) > 0, entonces:

P(ABC) = PCA/BC) . P(B/C) . P(C)Demostración: De P(A/X) = P(AX)/P(X),

con X = BC, resulta P(ABC) = P(A/BC) . P(C). Pero, como P(BC) = P(B/C) . P(C), queda demostrada la relación propuesta.. 4. Independencia estadística.

Sean A y B dos eventos de un mismo espacio, con probabilidades diferentes de cero.

DEFINICION': Se dice que A es inde­pendiente de B si su probabilidad condi­cional con respecto a B es igual a su probabilidad no condicional o absoluta,, esto es, si P(A/B) = P(A).

De P(A/B) = P(AB)/P(B) y P(B/A =■ PÍBA/PÍA), como P(BA) = P(AB) se infiere que P(AB) =• P(A/B) . P(B) = P(B/A) . P(A)DI. Si A fuera independiente de B, o sea P(A/B) = P(A), resulta que P(AB) = P(A) . P(B).

Por otra parte, la simetría de 111 mues­tra que si A es independiente de B, en­tonces B es independiente de A. Luego:

DEFINICION: Se dice que dos eventos A y B de un mismo espacio y con pro­babilidades no nulas, son estadística-, mente independientes si

P(AB) = P(A) . P(B)

tiene 12. Así, P(B/Ai) = 6/12.

— 1,2 [ 1,3 1,4 1,52#i _ [ 2,3 2,4 2,5

queLuego: P(Bi) = 8/20.b) Los seis puntos interiores al rectán­

gulo punteado de la matriz precedente que representa el espacio de Bi, consti­tuyen la intersección de este evento con A, "bola blanca una vez". Por tanto: P(AB,) = 6/20.

De allí se desprende también que el evento A/Bi, "ocurrencia de bola blanca después de haber obtenido bola roja", tiene 6 puntos en el subespacio consti­tuido por el evento Bj, que, como se sabe, tiene 8 puntos. En consecuencia:

PÍA/BJ = 6/8Pero también: P(ABi)/P(Bi) = 6/20 :

8/20 = 6/8.Esto establecido, se establece la si­

guienteDEFINICION: Sean A y B dos eventos

de un mismo espacio E en el cual está definida una función de probabilidad P(.). La probabilidad condicional P(B/A) del evento B, referida al evento A, está definida por

P(AB)P(AB/A [J B) =P(A [J B)

= 1/4 : 3/4 = 1/3

Problemas teóricos:

I) Probar que P(A/C) = 1 si C C A. Demostración: Si P(A/C) está definida,

entonces P(C) 0. Luego P(A/C) = P(AC)/ P(C); pero como C es un subconjunto de A, todos los puntos de C lo son de AC y por lo tanto P(C) = P(AC).

Siendo así: P(A/C) = P(AC)/P(C) = P(C)/P(C) =1.

II) Probar que P(E/C) = 1, siendo E el evento cierto.

Demostración: Siendo E el evento cier­to, todos los puntos de C pertenecen al espacio de E, pues E ocurre, ocurra C o no. De aquí en adelante se sigue el razonamiento del problema anterior.

III) Probar que P(A/C) = 0, si PÍA) = 0. Demostración: Si P(C) = 0, se deduce

que C = 0 y por tanto PÍA/C) no está definida; pero de A = 0, pues PÍA) = 0, se infiere que AC = 0C = 0. Lueao PÍAC) = 0, pues AC es imposible. En consecuencia PÍA/C) = P(AC)/P(C) = 0.

IV) Probar que si A, B y C son eventos de un mismo espacio E y si PÍA U B/C) fuera definida, entoncesPÍA [J B./C) = PÍA/C) + PÍB/C) - PÍAB/C)

Demostración: Como (A [J B) C — = AC [J BC,

FÍA U B/C) = P([A [J B] OmO == PÍAC U BO/PÍC).

Luego: PÍA (J B/C) = P(AC)/P(C) + + PÍBO/PÍC) — PÍCAC] LBCD/PÍC).

!

2,1I

4,5

PÍAB)PÍB/A) = , para PÍA) > 0 ?PÍA)

Para PÍA) = 0, PÍB/A) no está definida.Problema: Luego del nacimiento do

gemelos, se sabe que uno de ellos es varón. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean varones?

Solución: Representando niña con a y niño con b, los casos posibles de naci­mientos de gemelos, teniendo en cuenta el orden, son: aa, ab, ba, bb. El espacio de eventos tiene, pues, 4 puntos. Admi­tiendo que ellos sean igualmente proba­bles, cada uno de ellos tendrá proba­bilidad 1/4.

Ejemplo: Considérense familias con 3 hijos. Teniendo en cuenta las posibilida­des para los dos sexos y el orden de nacimiento, si "a" representa niña y "b", niño, se tiene el siguiente espacio de eventos:

aab aba baa bba bab abb

Supóngase que los 8 puntos de este es­pacio tengan la misma probabilidad 1/8.

Son eventos de este espacio:A. "la. familia tiene hijos de ambqs

sexos".

aaabbb

—¿25—- 24 -

i

i

i

Evento A: "cara impar la primera vez". Los puntos de este evento se obtienen combinando las tres caras impares, po­sibles en la primera vez, con las seis posibilidades de la segunda. Por tanto, el evento A tiene 3 6 = 18 puntos.

Evento B: "cara impar la segunda vez". Por simples razones de simetría se concluye que el evento B tiene tantos puntos posibles como A; B tiene, pues, 18 puntos.

Evento C: "suma impar": Los puntos de este evento se obtienen combinando las tres caras impares posibles en la primera vez con las tres caras que pue­den aparecer en la segunda, y viceversa. Luego C tiene 3. 3 4- 3. 3 = 18 puntos.

Evento AB: "cara impar las dos ve­ces". Se obtienen los puntos de este evento combinando la tres posibilidades de la primera vez con las tres de la se­gunda. Así AB tiene 9 puntos.

Evento AC: "cara impar la primera vez y suma impar". Combinando las tres posibilidades de cara impar la primera vez con cara par en la segunda, se ob­tienen 9 puntos para AC.

Evento BC: "cara impar la segunda vez y suma impar". Este caso es simé­trico del anterior y tiene, por tanto, el mismo número de puntos. Es decir, BC tiene 9 puntos.

Evento C/A: "suma impar habiendo ocurrido cara impar la primera vez". Sus puntos coinciden con los de AC. Por tanto, C/A tiene 9 puntos. Pero esos 9 puntos deben ser considerados en rela­ción con el subespacio de 18 puntos que se obtiene combinando las tres impares posibles la primera vez, con las seis posibilidades de la segunda. De manera, C/A tiene 9 puntos en 18.

Evento C/B: "suma impar, aparecien­do cara impar la segunda vez". Sus puntos coinciden con los de BC, de modo que C/B tiene 9 puntos en 18.

Evento B/A: "cara impar la segunda vez, habiendo aparecido cara impar la primera". B/A tiene obviamiente los mis­mos puntos que BA. Por consiguiente, en el subespacio de 18 puntos, el evento B/A tiene 9. O sea, B/A tiene 9 puntos en 18.

De modo que:P(A) = P(B) = P(C) = 18/36

aab aba baa P(AB) = P(BC) = P(AC) = 9/36 P(C/A) = P(C/B) = P(B/A) = 9/18 Así:

Resérvase la definición de independen­cia estadística para los casos en que no hay ningún tipo de interferencia entre los eventos considerados. Por eso, en el caso de tres eventos, se da la siguiente DEFINICION: Se dice que tres eventos A, B y C, con probabilidades diferentes de cero, son estadísticamente indepen­dientes cuando son satisfechas simultá­neamente todas las siguientes relaciones: P(AB) = P(A) . P(B); P(AC) = P(A) . P(C); P(BC) = P(B) . P(C), P(ABC) = PÍA) . P(B) . P(C).

Análogamente se generaliza esta defi­nición para más de tres eventos, consi­derando todas sus intersecciones.

P(AC) = 6/8bba bab abb

B. "a lo sumo una criatura es niña", bbb bba bab abb P(B) = 4/8C. "por lo menos una de las criaturas

es niña".

P(AB) = PÍA) . P(B) = 1/4 P(BC) = PÍB) . P(C) = 1/4 P(AC) = PÍA) . PÍB) = 1/4

lo mismo que:aab aba baa PÍC/A) = PÍA) = 1/2

PÍC/B) = P(B) = 1/2 PÍB/A) = PÍA) = 1/2

Conclusión: De lo expuesto se conclu­ye que los eventos A, B y C, que se acaban de examinar, son dos a dos estadísticamente independientes. Entre tanto, los tres no lo son conjuntamente, toda vez que no es posible su ocurren­cia simultánea, esto es, "cara impar dos veces con suma impar".

PÍC) 7/8bbb baa bab abbAB. "dos criaturas son del mismo sexo

y a lo sumo una es niña".bba bab abb PÍAB) = 3/8

AC. "la familia tiene por lo menos una niña y como máximo dos".

aab aba baaP(AC) = 6/8

bba bab abb Se observa que: l9 PÍAB) = 3/8 y PÍA) . PÍB) = 6/8

4/8 = 3/8Por lo tanto, A y B son estadísticamen­

te independientes.2? PÍAC) = 6/8 y PÍA) . PÍC) = 6/8 .

7/8 = 21/32 £ 6/8 Por lo tanto, A y C no son estadística­

mente independientes.En efecto, antes de la ocurrencia de

A, C presenta 7 puntos en el espacio de eventos, de los cuales apenas 6 pueden ser considerados después de ocurrir A. Más explícitamente, el punto de cia aaa pertenece a AC pero no a C/A.

Habiendo ocurrido A, la probabilidad condicional de C es PÍC/A) = PÍAO/PÍA) = 6/8 : 6/8 = 1

Por lo tanto, PÍC/A) es un evento cier­to, lo que es obvio pues sabiendo que la familia tiene hijos de ambos sexos"

(ocurrencia de A) es cierto que "tiene por lo menos una niña" (ocurrencia de C).

En el caso de tres eventos, A, B y C, de un mismo espacio, puede acontecer que sean estadísticamente independientes dos a dos, pero que no lo sean los tres conjuntamente. El lanzamiento de un dado dos veces consecutivas proporcio­na un ejemplo ilustrativo de este hecho.

El espacio asociado a este experimento —o descrito por él— tiene 6 . 6 = 36 puntos de ocurrencia. Suponemos que todos los puntos del espacio tienen la misma probabilidad, 1/36, o que el dado es ideal, pues las dos hipótesis son equi­valentes.

(Continuará)

ooo

PROBLEMASocurren-

La compra de tarjetas de navidad. — Juan y Pedro, después de haber sido lle­vados por sus esposas al atestado comercio para que les ayudaran a elegir tarjetas de Navidad, estaban muy complacidos de haber finalizado sus compras y de poder llegarse hasta un café cercano. Mientras saboreaban el café, se dedicaron a comparar las tarjetas; completamente por casualidad, comprobaron que cada pareja había

prado veinte: Juan había comprado tres más que María y Elena había compra­do sólo cuatro.

Pareciera casi fuera de lugar, pero ¿cuál de las dos jóvenes estaba casada con

carascora

esa

Pedro?

Un cuento de gatos. — Los gatos del jardín de la esquina de mi casa comen cada uno 7 ratones; los gatos de la calle deben conformarse con dos. El número total de ratones es 24. ¿Cuántos gatos han participado del ágape?

- 26 - - 27 -

i

CPIM»mS ¥ EXPERIENCIASNos escriben desde Mendoza In medio stat virtur

A los señores editores de ELEMENTOS De mi mayor consideración:

El motivo, al dirigirme a ustedes, es el de responder a la constante preocupación mani­festada en lo que hace a la vida de ELEMEN­TOS y, sin la intención de contestar a concep­tos publicados, mostrar otros puntos de vista sobre el momento actual de la enseñanza de la Matemática y la colaboración de vuestra Revista.

que ha sido realmente defraudado? Pienso que no, y que la respuesta hay que buscarla fuera de la Revista, aunque parezca extraño.

En efecto, al querer imponer un cambio en cualquier orden, se inicia siempre una cam­paña de difusión, de la que conviene estudiar "a priori" su duración aproximada e intensi­dad, y posteriormente llega la parte ejecutiva, la puesta en acción.

En el caso de la reforma matemática esta­mos en el primer período, y en él, contribuye ampliamente ELEMENTOS; pero sucede que el profesor ha advertilo ya a través de eila, de conferencias ocasionales, de cursos de verano y de algún otro contacto, la magnitud del pro­blema. Ante él, unos esperan, que si le exigir, le brinden el camino racional para ini­ciar su preparación, y por tanto es relativo el interés en la lectura de ELEMENTOS, principal mente teniendo en cuenta que los temas mate­máticos, no son para leerlos, sino para inter­pretarlos,- otros en cambio desearían iniciarse, y la orientación la buscan directamente en "te­mas a enseñar". Son reacciones naturales, ine­vitables y obedecen a idiosincrasias distintas.

Es probable que ya estemos en la entrada del segundo período, pues salvo apartados lu­gares de la República, en casi todas partes, de una u otra forma, se ha hecho sentir el de la Matemática Moderna, al quienes han querido oír.

Ya hay resultados de la reforma; los hay en el orden secundario y también primario. Están disipadas, en general, las dudas sobre qué puede aprender un niño y un adolescente,- ya hay material y elemento humano como para analizar qué conviene hacer y cómo, y esto es a mi entender lo que hoy esperan profesores y maestros.

La nueva querella entre ''antiguos'" y "modernos" suscitada por la aparición en la enseñanza, de la mate­mática llamada "moderna", provoca como siempre muchas controversias, y este artículo tiene por objeto presentar un punto de vista intermedio sobre la cuestión, que por otra parte, creo, es el de muchos colegas. Los ataques contra la matemática nueva son bien conocidos; desde hace algún tiempo ellos han renovado su agu­deza, por lo menos con respecto a la enseñanza al nivel de las clases preparatorias. Ciertos colegas, que tienen a mano obras en las que se presenta la noción de espacio afín desde las clases de 2^, se sorprenderán al saber que precisamente sobre una cuestión tal (intro­ducción de la geometría utilizando por primera vez en forma explícita las nociones de especio afín y de espacio proyectivo) fueron más vivas las oposiciones al nuevo programa de las clases preparatorias y condu­jeron finalmente a la diferenciación entre un progra-

completo A' y otro simplificado A sin estas nociones. Todas las escuelas, salvo la Normal y la Politécnica, se plegaron al programa. A, declarando algunos explí­citamente no querer recibir más que un mínimo de candidatos con el programa A', pues ellos tendrían la mente "deformada". Opuestamente, numerosos colegas, como Glaeser*, en reciente artículo, ven a las nuevos tendencias aportar una verdadera revolución en la en­señanza matemática que permite esperar la desaparición de seres ¡ntelectualmente dotados, pero inaptos para la matemática.

las jóvenes generaciones matemáticas criticar el "bour- bakismo de papá".

Esto sentado, juzgo análogas la diferencia entre la presentación tradicional y más o menos "intuitiva" de la geometría y su presentación moderna descripta más arriba, y,.por ejemplo, la diferencia entre la presenta­ción "intuitiva" de la integral en el siglo XVIII y la presentación rigurosa que conocemos. Aunque se pueda discutir "la utilidad" de una presentación rigurosa de la integral, no vemos realmente cómo puede "deformar la mente" e impedir saber calcular "prácticamente" integrales. Para mí, ocurre exactamente lo mismo en lo que respecta a la geometría; no abusamos, por otra parte del vocablo "axiomática": un bourbakista de los más notorios me hacía observar con placer aue era la antigua presentación la más "axiomática", puesto que reposaba en un número mucho mayor de axiomas, aun­que a menudo imperfectamente formulados. La nueva geometría es "abstracta", se dirá; pero un solo axioma la vuelve "concreta". Obtengo una descripción satis­factoria de cierto número de propiedades del espacio físico en que vivo, suponiéndolo constituido por ele­mentos llamados punto y considerando al conjunto de tales puntos provistos de una estructura de espacio afín tridimensional orientado en el cuerpo de los reales, con

métrica propiamente euclidíana. Esto admitido, no tengo inconveniente en considerar "esquemas físicos" de algunos entes matemáticos que he estudiado precedente­mente, y el hecho de haber definido la orientación del espacio independientemente de todo recurso físico no me impide en absoluto decidir que tal o cual tornillo es "a la derecha" habiendo elegido previamente un modelo físico de triedro directo ideal.

Entiéndase bien, no he removido más quo un aspecto de las críticas de los "antiguos" para mostrar mi des­acuerdo. Para no extenderme desmedidamente, desde ahora voy a enfrentarme con los "ultramodernos". Co­menzaré por protestar vivamente contra la presentación de ciertas notaciones modernas, como "panacea contra los errores". Si uno se embrolla a menudo en las con­diciones necesarias y suficientes, lo es per falta de co­nocimientos, de memoria, de aptitud para razonar de­bidamente sobre un problema difícil, ..., y el hecho de suprimir los términos o de reemplazar "entonces" por la flecha de implicación no cambia nada. La falacia "para que la serie U„ converja es suficiente que Un tienda a cero" la he descubierto después muy a nudo en trabajos de alumnos flojos en su forma mo­derna.- Un-*Oí=; serie (Un) converge. Mi experiencia me hace calificar a estas nuevas notaciones como có­modas en algunos casos, del mismo modo que el signo

en lugar del vocablo "igual". Además, no hay que abusar de ellas; muchas propiedades "formaliza­das" se me aparecen como más claras cuando están enunciadas "a la manera antigua", con el mínimo de símbolos. No creo que el alumno que "tropieza" con el signo del trinomio, vea de pronto aclarado el hori­zonte porque "resolver x2 — 3x -f- 20 ^ O" se ha trans­formado en "determinar E = [x/xgR, x"-3x !"2gR+]".

Es éste un momento muy especial para el aprendizaje matemático: urge cambiar conte­nidos y metodología; lo primero cia inmediata del desbordante crecimiento de esta disciplina y lo segundo está íntimamente vinculado a los nuevos conceptos sobre la ducción del pensamiento, de la inteligencia en general, de la percepción, así como también al conocimiento cabal de las distintas instan­cias psíquicas, de cuya relación depende la armonía espiritual.

Es probable que el profesor viva con cierta inquietud la reforma que, a manera de expe­riencia, ya está iniciada,- es en todo caso lo angustia inevitable que acompaña a "lo nue­vo", tanto mayor, si esto nuevo va a significar, como se deja ver, la ejecución de un verdadero trabajo para lograrlo.

Los esfuerzos realizados en nuestro país has­ta el presente, por las instituciones oficiales y privadas, interpreto que sólo tienden a la difu­sión, y el objetivo es despertar inquietudes ante la realidad que de alguna manera muestran; inquietudes que por ahora, cada cual satisfará en la medida en que su espíritu se lo exija, ya que material existe.

El periodismo tiene la magnífica misión de "comunicarnos", y esa finalidad está amplia­mente cumplida por ELEMENTOS, hasta el pre­sente. Se ha cuidado el aspecto científico, tra­tando de mostrar temas de Matemática Mo­derna y comentarios psicopedagógicos, se ha mantenido una amplia información del movi­miento matemático mundial, y se ha puesto al servicio del lector la bibliografía moderna, de­positando así en sus manos las armas para iniciar el trabajo.

¿Por qué esa aparente indiferencia del pro­fesor hacia el único órgano informativo?; ¿es

!es consecuen-

con- van a ma

una

Personalmente, me opongo enérgicamente a estos dos puntos de vísta contrarios y estimo que esas dos opinio­nes divergentes tienen la misma fuente-, la excesiva im­portancia acordada a la evolución de la matemática que comprobamos en la actualidad. Es muy humano, en to­dos los dominios, pensar que "jamás se ha visto esto", decir que "esta vez es diferente". En realidad, ¿no se ha estado ya muchas veces en esta situación en el curso de la larga historia de la matemática? Pensemos en el trastorno introducido por la aparición del cálculo diferencial e integral; si evocamos las nuevas notacio­nes, comparemos las notaciones clásicas con la de los algebristas del Renacimiento; si evocamos "el más gran­de rigor", comparemos las series según Euler y según Cauchy,- si hablamos de teorías generales que engloban numerosos problemas tratados antes en formas parti­culares, miremos a Pascal, Fermat, ... calcular áreas y determinar tangentes, y comparemos con el análisis clásico, pensemos en los numerosos problemas geométricos resueltos "por la analítica" después de Descartes, "por la homografía" después de Poncelet y Chasles, y com-

los tan dispares métodos "elementales".la hora actual el

ecomenos para

me-

La taréa que ustedes realizan es realmente loable, y por lo tanto sólo queda por desearles que encuentren la repercusión indispensable que los estimule para continuar.

Haciendo votos

paremos conEntiéndase bien, no niego que en

rápido, las modificaciones importantes,- i de la aceleración del descubri-

todos los dominios de la ciencia.

para que logren el mejor de los éxitos, me complazco en saludarlos cor­dialmente.

progreso sea vemos allí un aspecto miento existente en Pero me rehúso a ver en ello una revolución, otra cosa

actual de la evolución continua de laver a

Josefina B. Cosentino Mendoza, 28 de agosto de 1965 que el aspecto

matemática. Y espero vivir bastante tiempo para

- 28— 29 -

!

subsistirán! Para lograr éxito en ella, si no seConfieso mi asombro por la puerilidad do ciertos ejem­plos, tales como el de la mola notación 2 + 3 . x citada por Glaeser para decir que la "cabeza para la mate­mática" resulta inútil si se la modifica. En la elabora­ción constante del formalismo matemático, malas nota­ciones pueden introducirse y subsistir algún tiempo,- no so ha esperado a Bourbaki para hacerlas desaparecer. Atribuirles el papel esencial on la incomprensión mate­mática me parece inadmisible. ¿Qué diría Glaeser si algunos, argumentando notaciones viciosas que emplean los cuantificadores, puestas en evidencia por Lacombc en artículo reciente dijeran que para comprender la matemática moderna hoce falta un "olfato especial?".

Vayamos a lo esencial, la cuestión do la inaptitud para la matemática de algunos alumnos inteligentes. Es una cuestión delicada y compleja, sobre la cual me he inclinado a menudo, habiendo enseñado en todos los niveles, y confieso haberme irritado por el optimismo irreflexivo de los que creen quo bosta cambiar méto­dos y programos. Que se pueden hacer progresos en esos dominios, nadie lo discute, creo yo. Pero los pro­blemas que se plantean en esta cuestión, están lejos de ser resueltos fácilmente, aún por un "moderno". Pienso, en particular en la enseñanza de la geometría al nivel del segundo ciclo,- los numerosos estudios de Choquet sobre la cuestión, muestran que hay allí un problema difícil. Por otra parte, hay temas como el ostudio del trinomio de segundo grado que no pueden cambiar más que en la presentación. ¿No habrá más necesidad de fórmulas trigonométricas y no habrá siempre alum­nos que no las sabrán y que seguirán embrollándose en su empleo? En fin, si ciertas nociones nuevas, tales como los básicas de la teoría de los conjuntes, son fácilmente asimiladas aún por alumnos jóvenes, no se podrá ir muy lejos en este dominio. La dificultad aparece rápido. Me levanto con energía contra la afirmación de que sería mucho más fácil comprender las demostraciones "modernas" o resolver los problemas planteados por el tema. Hay dificultades de todo orden, como antes, y mis alumnos de Matemáticas Especiales, lo comprueban cada día. Tengo, como muchos, un cierto gusto por la paradoja, pero no cuando se trata de cosas serios. Así, continuaré "mordicus" afirmando que, basándome en largos conversaciones con literatos, particularmente con profesores de filosofía, muchos no triunfan en matemá­tica porque carecen de cierto poder de abstracción. Contrariamente a lo que declara Glaeser, numerosos alumnos de 4$, por ejemplo (he enseñado cuatro años en esa dosel, fracasan en la resolución algebraica de problemas, y en particular en el planteo de la ecuación, que es la traducción abstrccta del problema concreto. "Lo que es esencial es la ecuación", pero todavía hace falta llegar a ella, ¿o no se dará más que ecuaciones para resolver? A un nivel más elevado, confieso haber sido completamente incapaz de hacer comprender a un colega de filosofía —interesado en la noción de nú­mero—, la definición correcto de Q a partir de Z como conjunto cociente. Si ella está ahora en al programa de Matemáticas Elementales, no pienso que pueda des­cender más y estimo que numerosos alumnos no son capaces de asimilarla, aquéllos justamente que no tienen su lugar en Matemáticas Elementales. Sin embargo, un alumno de la escuela primaria comprende muy bien, y en la inmensa mayoría de los casos ciertamente sin zozobra, qué son los de una torta o de un capital. Verdaderamente, para hacer "más fácil" la matemática volviéndola "más abstracta", ¿se quiere hablarle de conjunto cociente o prohibirlo 3¿? ,

¡Hay muchas otras causas de fracaso en matemática

queestá excepcionalmente dotado, hocen falta bueno; pro­fesores; la matemática es difícil de enseñar y, a m¡ criterio, seguirá siéndolo. Es necesario decir claramente que siempre ha habido, y habrá todavía por mucho tiempo, profesores, aún muy dedicados, aún de elevado nivel de conocimientos, que no saben hacer comprender bien y amar la matemática a sus alumnos. Pues, con seguridad, hay que amar la matemática para lograr éxito en ella, y los gustos no se mandan. Si ciertos aspectos de la matemática moderna son muy atrayentes, otros ¿no son más repelentes? Entro mis alumnos los opiniones están muy repartidas: uno se complace con el álgebra moderna, otro se regocija con un difícil ejer­cicio sobre series, un tercero —pero sí— es muy feliz al hacer "una bella demostración geométrica como antes".

CRONICANuestro PaísLucienne Félix en3.—¿En qué nivel de la enseñanza de-

la reforma? ¿Con que con-En la primera quincena de agosto estu- Buenos Aires la profesora francesa be comenzar

tenido“El niño, desde que nace, desde que to- conocimiento de los objetos, comien­

za a pensar científicamente; por eso, des­de entonces, se lo debe ayudar y, por tan­to, el trabajo esencial debe comenzar en el jardín de infantes. Desde entonces has­ta su egreso de la universidad se debe realizar una tarea coordinada”.

4. —¿Se han determinado las bases psi- copedagógicas de la reforma que se pre­coniza?

vo en _Lucienne Félix, conocida especialista en didáctica de la matemática moderna. Reali­zaba una gira por distintos países sudame­ricanos respondiendo a una invitación de su gobierno. Procedente de Chile, pronun­ció conferencias en Mendoza, San Luis y Córdoba, sobre temas de su especialidad, y luego en Buenos Aires y Rosario. Estas úl­timas disertaciones fueron organizadas por el Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas y auspiciadas por la Comisión Nacional para la Enseñanza de la Matemática, el Centro Internacional de Estudios Pedagógicos y el Consejo Cultu­ral y de Cooperación Técnica de la Emba­jada de Francia.,La profesora Félix puso término a su ac­tuación en nuestro país ofreciendo el 13 de agosto una conferencia de prensa en la sede del Consejo citado. En esa oportuni­dad, contestó así a las siguientes pregun­tas que le formulamos:

— ¿Qué debe entenderse por matemá­tica moderna?“Los grandes problemas de la matemá­tica estaban circunscritos a los sabios y, en general, no eran tratados ni por los aium-

ni por los profesores; estaban limita- exigua “élite”. Hoy, el lenguaje

vuelto más accesible y

ma

Para triunfar en matemática, si no se está excepcional­mente dotado, hace falta consagrarle tiempo y ¡cuántas actividades solicitan a nuestros jóvenes! Hace falta re­cordar numerosas propiedades; hace falta que los cono­cimientos necesarios acudan a la mente en el preciso instante deseado. Hace falta una atención sostenida para evitar los tan frecuentes errores de cálculo,- hace falta saber plegarse al formalismo riguroso sin ninguna fantasía. El alumno que a cada paso escriba horrores o bien como V (a2 + b2) = a + b puede ser un espíritu brillante y haber comprendido perfectamente que eso no es cierto, pero no ha prestado atención o 'o he olvidado. No puede triunfar en matemática. ¿Y qué decir de la intuición, de la "idea" de investigar en esa vía que va a revelarse fecunda más que en tal orra tan natural, facultad misteriosa que adquirirá cada vez más impor­tancia a medida que se e'eve el nivel de los estudios?

En conclusión, pienso que existe una variación con­tinua de las aptitudes para tener éxito en matemática; que esas aptitudes están lejos de estar vinculadas con las necesarias para triunfar en otros actividades intelec­tuales y que, para las aptitudes medias, el valor de los profesores, el esfuerzo, el tiempo consagrado a la mate­mática tienen mucho más importancia que los cambios de métodos y de programas. Por eso, finalmente, me parece no probada, y por lo mismo peligrosa, !a afir­mación de que el número de fracasos en matemática disminuirá de año en año. Es el gran tema de los artículos de "vulgarización de la matemática moderna" en los periódicos científicos. Es, por la crítica a menudo injusta de la "matemática de papá", ofrecer a los pa­dres y a los alumnos una explicación simplista de los fracasos, muy cómoda para el espíritu. Como cuencia, es el impulso de numerosos alumnos hacia estudios para los cuales no son aptos, una prima a la facilidad y a la falta de trabajo, y la preparación de amargas desilusiones. Y es, finalmente, hacer un flaco servicio, creo, a la nueva matemática querer imponerle esa tarea imposible, la de abrirse con provecho y sin esfuerzo notable a todas las inteligencias.

“Se ha estudiado al niño detenidamente tiene conciencia de ciertas normas

cuando no se las hayay sepedagógicas, aún . establecido rigurosamente. Pero la luz pro­viene de los grandes matemáticos; basta

los niños para advertir el éxi- obtener en ese sentido, muchos alumnos, infor-

trabaiar con to que se puede Tanto es así quemados de los nuevos contenidos, pregun­tan por qué no se los había enseñado an­tes, ya que ellos aprenden más rápido y fácilmente. Las dificultades tradicionales de la matemática provienen de los méto­dos arcaicos y hasta oscuros empleados en su enseñanza. Además, se dece evitar el uso de un material único; en cada situa­ción es preciso encontrar lo que más con­venga a los alumnos mediante una conti-

experimentación. Todo Idogmatismo . evitado. En mis clases hago todo

lo que puedo. Debo trasmitir un pensa­miento estructurado y si me hace falta no vacilo en recurrir a un lenguaje que no es estrictamente matemático. Me ayudo con objetos .esquemas, colores. Creo que no se enseña a enseñar, aunque también entien­do que el intercambio de experiencias y métodos puede dar resultados positivos”.

5. — ¿Qué grado de aceptación tiene la reforma de la enseñanza de la matemá­tica entre los profesores secundarios? ¿Y en la universidad? ¿Y entre las autorida­des educativas?

“No se encontrarán inconvenientes ni en el nivel inicial ni en la universidad; maestros y especialistas tienen formación adecuada para impartir la enseñanza de­bida. No ocurre otro tanto con los niveles intermedios; aquí las formaciones de los docentes son muy variadas y crean un obs­táculo serio; probablemente sea el único, pero es común a todos los países. En la universidad la transferencia a la matemá-

(Sigue en pág. 34)

1.

nosdos a una matemático se ha esclarece tanto a la asignatura como a su enseñanza, permitiendo distinguir lo prin­cipal de lo accesorio. -Se han acortado las distancias entre los alumnos y los temas que se les enseñan. Se sabe expresar ahora conceptos desconocidos en un pasado no muy distante. Antes el alumno debía tra­tar estructuras cuyo significado se le esca­paba; hoy no sólo las comprende, sino que logra explicarlas porque está en posesión de un lenguaje común que expresa las ideascon precisión y sencillez”.2.—¿Considera que la revolución actual de la matemática es más importante que la del siglo XVII?“No se puede hablar con propiedad de una revolución y, por otra parte, la com­paración no es posible; desde los griegos, el progreso de la matemática es continuo y constante, y tanto los descubrimientos del siglo XVII como los de nuestro tiempo,

muy importantes. La diferencia podría consistir en que en el siglo XVH el cono­cimiento estaba restringido a la “élite” citada, en tanto que en la época actual, las necesidades sociales han provocado una difusión urgente y enorme de la disciplina”.

nua debe ser

conse-

Jacques BOUTELOUP (Lycée Cornellle, Rouen)

.* El Prof. Bouteloup se refiere a la conferencia de G. Glae- scr, profesor do la Facultad de Ciencias de Rennes, Francia, sobre "La evolución reciente de la pedagogía de la ma­temática" publicada en Bulletin de la A.P.M. de abril-mayo 1964. Más adolante, se referirá también a unas notas de D. Lccombo, de la Facultad do Ciencias de Lille, Francia, sobre el simbolismo matemática, aparecidas en el mismo Bulletin, Nros. 239/40. Por su parte, la opinión de Boufeloup apareció en el N9 248, do abril del año en curso (N. de los E.)

sonj

31 -- 30 -

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rrientes, Nacional de B. Blanca, Normal N9 1 de Rosario. "En general -expresa- los pro­gramas proyectados no pueden completarse, originando un desplazamiento de temas de ler. año a 29 y de éste a 39. Salvo una lenti­tud en el cálculo, especialmente con raciona­les, no se observan dificultades de asimilación. Los alumnos trabajan bien, con entusiasmo y con una actitud positiva frente a una situación planteada. El desarrollo de los nuevos progra­mas va acompañado, sin excepción, de una adecuada conducción del aprendizaje, donde la participación creadora del alumno es pri­mordial. Los cuatro profesores que iniciaron la experiencia en 1963 gozan de una adscripción que les permite dedicarse exclusivamente a la atención de los cursos de ensayo. En general, los docentes seleccionados para esta tarea demuestran gran dedicación, entusiasmo y ca­pacidad, y tratan de superar dificultades como la falta de textos para los alumnos. Si los resultados obtenidos al presente pueden esti­marse en sí satisfactorios, la influencia de esta experiencia educativa sobre todo el profeso­rado de matemática es extraordinaria". 3) Se alude a la preparación deficiente de los alum-

que egresan de la escuela primaria y a la necesidad de no descuidar la formación de los maestros normales. 4) Se propone (Piaña) la prosecución de las reuniones semanales pa­ra estudio y discusión de los nuevos progra­mas, ya realizadas en el lapso 1963-65, que podrían contar con los auspicios de la C.N.E.M. Sólo se accede a estimar que "es útil prose­guir esas reuniones de seminario", sin llegar a auspiciarlas. 5) Se propone (Piaña) la prepa­ración de un "test" que abarque los concep­tos fundamentales de la primera etapa del ensayo —ciclo básico—, concebido no sólo para valorar los conocimientos adquiridos, sino tam­bién la capacidad de razonamiento y la apti­tud matemática de los alumnos de los cursos experimentales* en comparación con las de los que, en los mismos establecimientos, siguen con los programas vigentes. Se dispone encargar su confección a los mismos profesores del sayo, en colaboración con la Dra. Repetto. ó) Se toma nota de la realización de la próxima Conferencia Interamericana sobre Educación Matemática y del pedido de sus organizadores de indicación de su posible sede. 7) Se dis­pone encargar a la subcomisión de Profesora­do y Perfeccionamiento Docente la preparación de una encuesta entre los'catedráticos de ma­temática de los institutos del profesorado. 8)

Se propone la realización de una reunión de directores de las secciones de Matemática de dichos institutos. 9) Se informa sobre la pró­xima reunión de la U.M.A. en Carlos Paz (Cór­doba) entre el 10 y el 12 de octubre próximos, para tratar el tema "Matemática para ingenie­ros y físicos".

Reunión del 31 de agosto de 1965

Asisten: Babini, Vólker, Piaña, Repetto, San- taló, Varsavsky, Galán, Castagnino, Martínez de Murguía.

Asuntos tratados: 1) Ante una nota de la Subsecretaría de Educación que expresa el interés de la Secretaría de Marina por vincu­larse con la Comisión, se resuelve hacer saber al Sr. Subsecretario que la Comisión vería con agrado la concurrencia de un representante de dicha Secretaría a sus reuniones. 2) Al darse cuenta de algunos expedientes entrados, se ob­serva la falta de la providencia de pase fir­mada por el Sr. Director General de Enseñan­za, por lo que se devuelven para el cumpli­miento de esa formaildad. 3) Se toma conoci­miento de que los cursos de perfeccionamiento que, auspiciados por la Comisión, se dictarán en Rosario (Santa Fe), se llevarán a cabo, el de Geometría, a cargo de la Prof. Elena Dé­cima, a partir del 3 de septiembre, y el de Algebra, a cargo del Ing. Roger O. Mascó, desde el 4 del mismo mes. No se decide enviar representante a las inauguraciones. 4) Se toma conocimiento, sin entrar a considerarlos, de los programas elaborados por Santaló y Varsavs­ky (’), para ser aplicados en los cursos de 49 año, comercial y magisterio, con las divisiones que continúan el ensayo. 5) Se dispone enco­mendar a ¡o subcomisión de Programas la pre­paración de "una nómina de temas que po­drían incluirse en los programas vigentes, mien­tras se concluye el estudio de los programas definitivos". (2). Al aludirse a un anteproyecto de "programa por unidades' para el ciclo bá­sico, preparado por el Servicio Nacional de la Enseñanza Privada, se’resuelve girarlo a la subcomisión respectiva, sin entrar a considerar­lo. 6) Se toma conocimiento de la colaboración del Dr. Jorge P. Staricco para dictar un cur­sillo de Probabilidades y Estadística (3), "con vistas a su incorporación en la enseñanza se­cundaria", que se dictaría en el local de la Sociedad Científica Argentina. Se encomienda a Secretaría convenir los detalles de su organi­zación y remitir invitaciones a los profesores que están a cargo del ensayo de los nuevos programas.

IMFOltMACION —------—La labor de C. N. E. M.

Constitución de la Comisión Asuntos tratados: 11 Se aprueba el Regla­mento Interno. 2) Se integran las subcomisio­nes: Difusión (Scarfiello, Galán, Babini), Ensa­yos (Piaña, Santaló, Hernández), Interdiscipli- nas (Martínez de Murguía, Scarfiello, Hernán­dez, Castagnino), Programas (Varsavsky* San­taló, Repetto, Martínez de Murguía, Galán, Piaña, Vólker), Profesorado y Perfeccionamien­to Docente (Repetto, Castagnino, González Do­mínguez, Vólker), Publicaciones (González Do­mínguez, Varsavsky, Babini, Galán). 3) Se fa­culta a la Presidencia la elección de la sede de la Comisión. 4) Se propone la creación de la biblioteca de la Comisión. 5) Al tratar sobre los cursos de perfeccionamiento para profeso­res, se alude a la proliferación de institutos del profesorado faltos del debido control. 6) Como la Comisión se desentiende de la redacción de los programas para 4? año comercial

El 6 de julio de 19ó5, en el local de la Dirección General de Enseñanza Secundaria, Normal, Especial y Superior, el Ministro de Educación y Justicia de la Nación, Dr. ALCO- NADA ARAMBURÚ, con la presencia del Sub­secretario de Educación, Prof. DURAND. y del Director General de Enseñanza, Dr. MARTÍNEZ GRANADOS, puso en posesión de sus cargos a los doce miembros de la C.N.E.M., nueve de ellos —Dr. Luis A. SANTALÓ, Dr. Alberto GON­ZÁLEZ DOMÍNGUEZ, Ing. José BABINI, Dr. Os­car VARSAVSKY, Ing. Mario A. CASTAGNINO, Dra. Celina REPETTO, Prof. Roberto HERNÁN­DEZ, Prof. Hellmut R. VÓLKER y Prof. Afilio PIAÑA —designados por el art. 3? de la Re­solución Ministerial N9 1166/64— y los otros tres —Ing. Roque SCARFIELLO, Ing. Julián A. MARTÍNEZ DE MURGUIA y Prof. Elvira de la Quintana de GALÁN— como representantes de la Facultad de Ingeniería de Bs. Aires, el Con­sejo Nacional de Educación Técnica y el Ser­vicio Nacional de la Enseñanza Privada, se­gún el Art. 49 de la mencionada Resolución Ministerial.

En esa oportunidad, constituida la Comisión, se procedió a elegir sus autoridades: Presiden­te, J. Babini; Vicepresidente, H. R. Vólker; Se­cretario, A. Piaña; Prosecretario, R. Hernández.

Reunión del 20jde julio de 1965

Asisten: Babini, Vólker, Piaña, Hernández, Castagnino, Repetto, Santaló, Martínez de Mur­guía, Galán, González Domínguez.

nosy ma­

gisterio, necesarios para continuar el ensayo dispuesto por la Resolución Ministerial Número 2418/63, Santaló y Varsavasky se ofrecen pa­ra ocuparse personalmente de la tarea. 7) Se resuelve auspiciar la realización de dos para profesores en Rosario, organizados por el C.N.I.C. y T.* y dirigidos por el Ing. Cas­tagnino. 8) Se resuelve auspiciar conferencias a cargo de Lucienne Félix, invitada por el go­bierno francés a realizar una gira por Sud- américa.

cursos

Reunión del 3 de agosto de 1965

Asisten: Babini, Vólker, Piaña, González Do­mínguez, Repetto, Santaló, Galán, Castagnino, Martínez de Murguía.

Asuntos Tratados: 1) La Presidencia informa haber establecido como sede provisoria el lo­cal de la D.G.E.S.N.E.S., Azcuénaga 1234, Bs. Aires. 2) Piaña informa sobre la marcha actual del ensayo de los nuevos programas según R. M. 2418/63, que se está llevando a cabo en cur­sos de los establecimientos siguientes: Normal N94 de Capital, Normal de Bánfield, Nacional de Adrogué, Comercial de Témperley, Normal N9 10 de Capital* Instituto del Profesorado de Lenguas Vivas, Normal de Maestros de Co-

;

(*) En un número anterior (N9 9, pág. 84) anunciamos la creación de la Comisión Nacional para la Enseñanza de la Mate­mática, dispuesta por la Resolución Mi­nisterial N9 1166/64* hecho al que tam­bién nos referimos en nuestro editorial del mismo número (págs. 59/60); hoy complacemos en comenzar a informar so­bre la labor de dicha Comisión, que acaba de constituirse.

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nos

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(2) La demora en la aparición del presente- número de ELEMENTOS nos permite adelantar el despacho de la subcomisión de programas, aprobado en la reunión de la C.N.E.M. del 19 de octubre de 1965, que transcribimos más adelante.(•■*) El cursillo mencionado se desarrolla los viernes a partir del 24 de setiembre con el siguiente programa:

I. Naciones de Estadística Metodológica. El método estadítsico. Registros. Presenta­ción de observaciones. Histogramas. Pa­rámetros característicos de una distribución de frecuencias. Aplicaciones. Medidas de posiciones, dispersiones y asimetrías. Sig­nificado de cada palabra-, media aritfé- tica, cuartil, decil, etc.

II. Introducción al Cálculo de proba­bilidades. Definición clásica de Laplace. Problemas simples. Frecuencia relativa y probabilidad. Introducción al método axio­mático. Probabilidad condicionada. Teore­ma de Tchebicheff. Ejemplos en que puede utilizarse. Empleo de la teoría de los conjuntos.

III. Pruebas repetidas. Abundancia de problemas. Binomio de Newton. Valor más probable. Nociones sobre variables alea­torias. Esperanza matemática. Dispersión. Idea sobre distribución binomial. Aplica­ción estadística. Intervalo de ‘Confianza. Curva de Gauss. Tablas de valores. Por­centajes. Números y gráficos. Variables aleatorias discretas. Datos. Parámetros para estadística. Álgebra de Boole.

Instrucciones para el desarrollo de

los programas del Ciclo Básico

(') Estos programas son los siguientes*. Magisterio: 1. Números complejos. Definición por pares de números reales. Operaciones ele­mentales.

2. La función y —• ax2 4* bx + c, de coefi­cientes reales,* representación gráfica. La ecua­ción ax2 -r bx 4* c = 0. Interpretación grá­fica de las raíces; fórmulas para calcularlas. Relaciones entre raíces y coeficientes. Aplica­ciones .

3. Funciones elementales,- familiarizarse con sus propiedades aritméticas, gráficos y tablas. Logaritmos decimales. Cambios de base. Cálcu­lo logarítmico. Regla de cálculo y uso del papel logarítmico.

4. Geometría analítica de cónicas reducidas a sus ejes: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.

5. Sucesiones. Progresiones aritméticas y geo­métricas.

6. Aritmética comercial. Capitalizaciones y amortizaciones. Uso de tablas.Comercial. El mismo programa anterior, pero dando mayor extensión a las bolillas 3, 5 y 6. .Esta última comprenderá distintos tipos de amortizaciones y descuentos, con uso de má­quinas de calcular y de tablas para interés compuesto.

Nota: Además se propone que la parte de Probabilidades y Estadística, tanto en el Ma­gisterio como en el Comercial, pase íntegra­mente a 59 año, dándose con relativa ampli­tud, si bien con programas distintos: en el Co­mercial se referirá más a cuestiones comerciales

. y seguros, y en el Magisterio ,a la estadística de "test" y ensayos pedagógicos .

Como es de conocimiento de los señores profesores de la materia, el Ministerio de Educación y Justicia ha creado la COMISIÓN NACIONAL PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA.

Uno de sus objetivos es la actualización de los programas de esta asignatura en el ciclo secundario. Dada la complejidad del proble­ma, y hasta tanto se estudien las reformas de fondo, ha estimado conveniente la intro­ducción de algunos temas nuevos, con el propósito de estimular una participación de los docentes y familiarizarlos con el tratamiento de aspectos que se consideran fundamentales.

Al mismo tiempo, sin modificar los conteni­dos generales de los programas vigentes, se procura favorecer una actitud del profesor acorde con una moderna conducción del aprendizaje y con la mayor o menor impor­tancia que debe asignar a temas tradicionales.

Cabe señalar que las presentes instrucciones complementan las que figuran en "Planes y Programas" pág. 61 y 62, cuya vigencia se ratifica.

Observación general para todos los años: La geometría, la aritmética y el álgebra son aspectos de una sola disciplina, que es la matemática. En consecuencia, si bien se man­tendrá la separación establecida en los pro­gramas vigentes, se procurará señalar, siem­pre que se presente ocasión, las relaciones mutuas entre estos aspectos. Al estudiar geometría se darán ejercicios en que se uti­lice la aritmética o el álgebra y, recíproca­mente. estas partes se ¡lustrarán lo más posi­ble con ejemplos geométricos. De esta se mantendrán siempre activos los conceptos fundamentales que no deben olvidarse.

Indicaciones: Se trata de una introducción intuitiva. El uso de los símbolos y el lenguaje de conjuntos se aplicará durante el desarrollo de todo el programa, tanto en aritmética como en geometría, cada vez que la ocasión sea propicia, ya sea para definir nuevos con­ceptos como para destacar las propiedades de los conjuntos con los que se trabaja: nú­meros naturales, enteros, racionales, múltiplos o divisores, de puntos, rectas, segmentos, ángulos, triángulos, etc.

El tema a) es previo al desarrollo del pro­grama de primer año. Sin darle una extensión exagerada, se presentarán muchos ejemplos que tengan una interpretación clara para los alumnos tomados de la vida de relación. El uso de representaciones gráficas puede faci­litar el aprendizaje de los conceptos y el manejo de los símbolos. Las propiedades de las operaciones con conjuntos se irán esta­bleciendo a medida que se apliquen a las operaciones que se estudien con números na­turales, segmentos o ángulos.

Es importante que el profesor tenga pre­sente —aunque no sea motivo de estudio en este curso— las propiedades que confieren una estructura a los conjuntos de que se trata.

b) Numeración binaria.Indicaciones*. Este tema se incorporará a la

bolilla I, como ejemplo de sistema de numera­ción no decimal, de importancia creciente por sus aplicaciones en las modernas computado­ras. Por otra parte, el manejo de otro sistema ayuda a la comprensión de las propiedades del que manejan habitualmente. Suele interesar a los alumnos por su novedad y muchos profeso­res ya lo han incorporado a sus clases.

El estudio y manejo de las tablas para las operaciones de adición y multiplicación pue­de dar origen a observaciones interesantes.

(Viene de la pág. 31)tica moderna se ha realizado en casi to­das partes; los profesores universitarios exigen una buena preparación actualiza­da de los estudiantes secundarios. En la escuela secundaria se introdujo la mate­mática moderna en las clases superiores, ‘descendiendo", y en las inferiores, "as­cendiendo", pero aún no se ha logrado la unión. Aquí los profesores no están sufi­cientemente preparados. Por eso, las auto­ridades educativas tienen que ayudarlos a completar su formación. Es, repito, un pro­blema común a todos los países".

6. — ¿Qué otras dificultades encuentra el proceso de renovación en su aplicación a la escuela secundaria?

"La dificultad no reside en los alumnos menores, porque a edad temprana se los puede despertar y encaminar; así lo en-

go haciendo en mis clases desde hace unos quince años. Con los de 13 años todo va bien, pero con alumnos mayores, de 18 años, la cuestión se vuelve más difícil, por­que ignoran lo que debieran conocer. No obstante se observan progresos: las clases pilotos se multiplican. Lo he observado en Rosario, donde se hacen cosas admirables en escuelas pobres. Una dificultad real es el temor de los profesores de suprimir los enunciados tradicionales, sin interés e in­útilmente pesados. Se está logrando domi­nar ese temor".

?•!—¿Qué aconsejaría a los encargados de promover la reforma en nuestro país?

‘Discutir, leer, ensayar. Confrontar observaciones con las de los demás y pe­dir ayuda. Que los jefes tengan coraje. No apresurar una reforma sin suficiente ela-

(Sigue en pág. 42)

manera

PRIMER AÑO

I) TEMAS NUEVOSa) Noción de conjunto y elemento; perte­

nencia e inclusión,* unión e intersección de conjuntos.

II) NORMAS PARA GEOMETRÍA

susSe destinarán dos de las cinco o seis horas

semanales. Apelar —en cuanto sea posible— al descubrimiento intuitivo de las propiedades que se estudien, estimulando la participación(*) Aprobadas por la C.N.E.M. el 19 de octubre de 1965.

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del tiempo disponible y la preparación del so, cuáles propiedades serán introducidas por |a vía intuitiva y cuáles serán objeto de demostración lógica rigurosa; pero en todo los casos se orientará al alumno en el descubri­miento de la relación que se busca, mediante preguntas graduadas, verificaciones particulares o el empleo de material concreto. Se estima fundamental una adecuada ejerci- tación donde se apliquen e integren las pro­piedades estudiadas o donde se puedan des­cubrir otras mediante razonamientos sencillos. Por la economía de tiempo que supone, timulará la demostración oral de propiedades que los alumnos puedan hacer por sí mismos, pero se insiste en el uso apropiado del lengua­je y en el orden lógico de las cadenas deduc­tivas. Ya se ha señalado la utilidad del empleo de las nociones de conjuntos ya vistas, al es­tudiar las propiedades de los cuadriláteros y paralelogramos, en particular intersección e inclusión.

tante concepto de función como caso particular de relación entre conjuntos que aplica a ca­da elemento del dominio uno y sólo uno del contradominio. Ejemplos tomados de la vida co­tidiana, numéricos y geométricos (transforma­ciones): la función que hace corresponder a cada alumno de la clase su padre; a cada alumno el número de su cédula de identidad; a cada número natural el siguiente; a cada entero o racional su duplo; a cada carta el franqueo según su peso; a cada longitud del radio la longitud de la circunferencia corres­pondiente; etc. Se construirán gráficas de tem­peraturas, de cotizaciones y conversión de monedas, de población, de exportaciones, de producción, etc.

El concepto de ecuación surge al encarar el problema de determinar el elemento o punto del dominio cuando se conoce su imagen en el contradominio. Estas nociones se aplicarán al tratar con más detalle la bolila Vil.

lelogramos es muy útil utilizar la inclusión y la intersección de clases y los llamados diagramas de Venn.

Para introducir e concepto de relación se empelarán ejemplos extraídos del ámbito fa­miliar al alumno ("Tiene como padre a"...), además de Tos numéricos ("divide a", "menor o igual que"...) y geométricos (paralelismo, igualdad de área...). Se acompañará con el uso de gráficos y tablas.

Se insiste en que este capítulo es sólo una in­troducción muy elemental y no debe exagerar­se. su extensión (aproximadamente dos sema­nas). Importa capacitar al alumno en el uso apropiado de los conceptos nuevos en el aprendizaje posterior.

b) Decimales y potencias de diez (la llama­da notación científica).

Indicaciones: Este tema se incorporará al ca­pítulo de decimales. Se trata de habituar al alumno en la interpretación y manejo de ex­presiones del tipo de:

3,5 X 10*° ; 10-scm., etc.c) La función lineal (y = k.x) y la propor­

cionalidad directa.La función (x.y = k) y la proporcionalidad

inversa. Empleo de gráficos.Indicaciones: Este tema se incorpora al ca­

pítulo de magnitudes directas e inversamente proporcionales y será la base del estudio de los problemas de regla de tres. La noción de función deberá surgir naturalmente como co­rrespondencia entre elementos de dos conjun­tos. El tipo de problema de este capítulo se presta para iniciar a los alumnos en esta im­portante noción. El empleo de tablas y los correspondientes gráficos serán auxiliares po­derosos.

d) Transformaciones del plano en sí mismo: traslaciones, rotaciones y simetrías res­pecto de un punto o un eje (reflexiones).

Indicaciones: Se trata de una ampliación del capítulo II del programa vigente, que ya tiene simetría central y axial, pero foque más moderno. Puede utilizarse quema de su contenido el consignado en la pág. 15 de la Circular N9 14/64.

II) NORMAS ESPECIALES PARA GEOMETRÍA

Son las mismas ya señaladas para el pro­grama de 1er. año.

Se reitera que sólo se demostrarán los teo­remas más importantes.

Corresponde al profesor establecer, dentro

cur­ativa y creadora de los alumnos. Ello no su­pone eliminar la demostración de todos los teoremas y mucho menos descuidar el razo­namiento deductivo, pero se suprimirán las •demostraciones de propiedades evidentes para el alumno. La ejercitación será abundante, bien seleccionada, tal que integre los cono­cimientos adquiridos. Algunas cadenas deduc­tivas podrán hacerse oralmente, con gran economía de tiempo, cuidando siempre el uso apropiado del vocabulario y los términos de­finidos.

El uso de material concreto (varillas, ple­gados, etc.) con criterio dinámico y relacio- nal, resulta un valioso auxiliar didáctico que desnierta gran interés.

una

ya sea

se es-

III) NORMAS PARA ARITMÉTICA

Los ejercicios de aritmética deben ser sen­cillos y bien seleccionados. No hacer de la habilidad operatoria de cálculos complicados (especialmente con racionales) el objetivo de la enseñanza. Las reglas y recetas pueden crear hábitos, pero no ayudan al razonamien­to. En cambio, la presentación de problemas que configuren situaciones donde el alumno puerta desarrollar Sus facultades de observar, ción, análisis, búsqueda y razonamiento, con­tribuirá a uñ cambio de actitud también en los alumnos ál vérse estimulados a una per­manente actividad creadora. La recitación de teoremas aprendidos de memoria y la copia proliia de ejercicios hechos en clase por el profesor carecen en absoluto de interés.

Para el año lectivo 1966, teniendo en cuenta que los alumnos no han visto, por lo general, nociones sobre conjuntos, el profesor deberá extremar su habilidad para encarar, en la for­ma más sucinta posible, sobre la base de cla­ros ejemplos, los conceptos y manejos de los símbolos más indispensables. A fin de no ex­tender demasiado la duración de este capítulo el profesor podrá introducir naturalmente los conceptos nuevos sobre conjuntos al desarro­llar los temas del programa que por su natu­raleza lo permitan.

b) Conjuntos definidos por inecuaciones. Ine­cuaciones de primer grado con una y dos incógnitas. Sistemas de inecuaciones lineales con una y dos incógnitas. Repre­sentaciones gráficas.

Indicaciones: Este capítulo se incorpora a las bolillas Vil y VIII según se trate de inecuacio­nes o sistemas de inecuaciones respectivamente. Se trata de la determinación y representación gráfica del conjunto solución de expresiones del tipo:

x < — 2; 3x-2^5x + 8; 3x-7y>0;— y — 3 > 0

— 2y + 3 < 0 [y — 3 < 0

III) NORMAS ESPECIALES PARA ARITMÉTICA

Si bien la seguridad en los cálculos es ne­cesaria, no debe hacerse de la habilidad ope­ratoria el único objetivo, descuidando la reso­lución de problemas bien seleccionados que res­pondan a necesidades de la vida de relación. El programa de aritmética de 2? año se presta a una simplificación en su tratamiento si se tiene en cuenta esta norma: no perder el tiem­po en problemas que jamás se presentan, como muchos de regla de tres compuesta, mezcla, interés, descuento, (vencimiento común y me­dio).SEGUNDO AÑO

Familiarizar al alumno en el manejo de ta­blas para el cálculo de intereses y descuentos a las tasas corrientes. De ser posible, —sobre todo en las Escuelas de Comercio— uso de las máquinas usuales de calcular.

1) TEMAS NUEVOS

al Revisión de las nociones sobre conjuntos vistas en 1er. año. Concepto de par or­denado. Relaciones entre conjuntos: equi­valencia y orden,- ejemplos.

Indicaciones: Se trata de una ampliación cí­clica de los conocimientos adquiridos en el cur­so anterior, salvo para el año lectivo 1966, en el que se limitará al contenido señalado para ler. año.

No se pide incorporar esta bolilla al comien­zo del programa para abandonarla después, sino para aprovechar sus conceptos, sus símbo­los y su lenguaje en el desarrollo posterior ca­da vez que la naturaleza del tema lo permita. Por ejemplo, al estudiar cuadriláteros y para-

con- con un en­

como es-

TERCER AÑO

£2x — 5y < 0I) TEMAS NUEVOS

|x -f 5y — 1 >0 Este tema se presta para aplicar los con­

ceptos de intervalos abiertos y cerrados, de conjunto solución y de intersección de conjun­tos (rectas y semiplanos) para el caso de sis­temas de ecuaciones e inecuaciones.

El capítulo que se incorpora tiene especial importancia por sus aplicaciones en modernas

a) Revisión del concepto de relación. No­ción de función. Funciones dadas por tablas, por gráficos y por fórmulas. No­ción de funciones inversas y. de ecuación. Conjuntos definidos por ecuaciones.

Indicaciones: Se trata de una aplicación cí­clica de lo tratado en el curso anterior/ con vistas a un estudio más detallado del impor-

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Es importante señalar la propiedad distri­butiva del producto escalar (A + B).C A.CB)2 = A- + 2.A.B + B-, que equivale al teorema del coseno y al teorema de Pitágoras s¡ A y B son perpendiculares.

Aplicaciones:

a) Propiedades del paralelogramos y diagonales.

b) Base media de un triángulo.c) Baricentro de un triángulo.En cuanto a la ubicación de este capítulo

en el programa de Geometría se establece:Las nociones de trigonometría que figuran

como último tema del programa pasan a cons­tituir la bolilla III, luego de triángulos seme­jantes. Vectores pasará a ser el tema IV. si­guiéndole polígonos semejantes y los restantes capítulos del programa vigente. Se suprime el tema V (cuadrado del lado opuesto a un án­gulo de un triángulo) porque su contenido pasa a ser una aplicación del producto escalar de vectores. La construcción del segmento medio proporcional se agrega como ejercicio al tema IV, de manera que el número total de bolillas del programa se mantiene en 9.

La ubicación de trigonometría y vectores al comienzo del programa permite aprovechar sus aplicaciones en el desarrollo posterior (pro­yecciones de segmentos sobre un eje, relación pitagórica, cuadrado del lado opuesto ángulo de un triángulo, cálculo de apotemas de polígonos regulares, etc.). Por otra parte facilita la necesaria correlación con la asigna­tura Física (Elementos de F. y Q.).

II) NORMAS ESPECIALES PARA ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

Se establece como norma general emplear ejemplos sencillos en la ejercitación correspon­diente a operaciones con expresiones algebrai­cas y factoreo. Mayor énfasis en la resolución de problemas de primer grado con una y dos incógnitas mediante ecuaciones.

NOTA DE LOS EDITORES: Con fecha 16 de noviembre de 1965, por Resolución Ministerial N? 1772, el Ministro de Educación y Justicia de la Nación ha aprobado las modificaciones y las normas e instrucciones precedentes, disponiendo su aplicación a partir de 1966 en el Ciclo Básico Común y el Primer Ciclo de las Escuelas Nacio­nales de Comercio.

teorías de economía matemática como la pro­gramación lineal. Para más detalles, dentro de la bibliografía citada en circulares anterio­res, puede consutarse: "Introducción a las Ma­temáticas Finitas'" de Kemeny, Snell y Thomp­son. Cap. 6.

bl Vectores en el plano. Equivalencia de vectores. Producto de un vector por un escalar. Adición y sustracción de vecto­res. Descomposición de un vector según dos direcciones. Producto escalar de vec­tores. Propiedad distributiva del producto escalar. Algunas aplicaciones de los vec­tores a la geometría plana.

Indicaciones: Se trata de una introducción intuitiva. Los vectores son segmentos orienta­dos y los primeros ejemplos provienen de la física (fuerza, velocidades) y de la geometría (traslaciones).

Dos vectores son equivalentes si tienen igual módulo, dirección y sentido (relación de equi­valencia).

A los números reales se los llama escalares.El producto a A de un escalar a por un

vector A es otro vector cuyo módulo es el producto del módulo de A por el escalar a,- la dirección es la misma de A y el sentido también el mismo de A, si el escalar a es po­sitivo, y el opuesto si el escalar a es negativo.

El producto de A per —1 es el vector— A que se llama opuesto de A.

La adición A -f-B se define por la diagonal del paralelogramo construido sobre A y B o, lo que es lo mismo, como resultado de llevar B a continuación de A. Aplicar esta definición al caso de la suma de traslaciones.

La diferencia A — B es igual a la suma de A más — B. Definir la suma y diferencia de varios vectores.

Fijados en el plano dos vectores I, J de dis­tinta dirección, todo vector A puede descom­ponerse en la forma A = a, I + a2 J, que sue­le llamarse la descomposición de A respecto de la base I, J. Los escalares ai, a? se llaman las componentes del vector A en la base I, J.

El producto escalar a.b. eos <x, siendo a el módulo de A, b el módulo de B y a el ángulo formado por los dos vectores, medido entre 0 y 180 grados: A . B = a.b.

Dos vectores son perpendiculares si ducto escalar es nulo.

B.C.. Consecuencia de ella es (A -|-

sus

Ally J. WASHINGTON, Basic Technical Mathe- matics with Calculus. ADDISON-WESLEY; Reading, 1964.

ginal inglés — "The growth of basic mathe- matical and scientific concepts in children" (El desarrollo de los conceptos científicos y matemáticos básicos en los niños)— es de 1961; la edición española, de 1962. Estas fechas, empero, dan una idea de su actualidad; las referencias bibliográficas que acompañan o cada capítulo lo corroboran.

Su autor es catedrático de Psicología de la Educación en la Universidad de Leeds (Ingla­terra). Es él mismo quien nos aclara que "éste no es un libro acerca de los métodos de en­señanza como tales", sino que "pretende esti­mular a investigadores y docentes a reflexionar sobre las actividades a que se entregan en su enseñanza". Sigue las huellas de la escuela de Ginebra, de Piaget e Inhelder —su prolo­guista—, a cuya "clarividencia sobre las eta­pas de evolución del pensamiento infantil" rin­de "cálido tributo", apoyándose en los resul­tados de "unos siete mil experimentos" reali­zados bajo su dirección.

El primer capítulo está dedicado a analizar el proceso de la "formación del concepto" en general primero, y con referencia a la mate­mática, después,- cita especialmente la opinión de Dienes en este terreno. Enseguida se trata el problema de los fundamentos lógicos de la matemática, "antes de poder discutir los dife­rentes procedimientos didácticos de la asigna­tura" Justamente, los dos capítulos siguientes, 3? y 49, se dedican a los métodos de ense­ñanza de los conceptos numéricos. Entre otros, se describen, con tal motivo, los materiales de Cuisenaire-Gattegno y de Dienes y se exponen las opiniones de Piaget relacionadas con la cuestión.

Luego se tratan sucesivamente los conceptos de materia (Cap. V), peso (Cap. VI) y tiempo- (Cap. Vil), que no son estrictamente matemá­ticos, lo que hace discutible el nombre asig­nado a la obra en su versión española, tam­bién en este aspecto.

Este texto está destinado principalmente a estudiantes y graduados de disciplinas técni­cas. Su propósito ha sido desarrollar los as­pectos prácticos de la matemática más nece­sarios para el campo al cual va dirigido. Por tanto, este libro, atiende fundamentalmente al desarrollo de la aptitud para encarar y re­solver problemas evitando las demostraciones rigurosas. El texto es completo en cuanto a los temas tratados y cubre bien las necesidades de consulta que se presentan con mayor fre­cuencia desde el álgebra elemental y la tri­gonometría hasta el cálculo diferencial e inte­gral, incluyendo capítulos sobre serie de fun­ciones y series de Fourier, y ecuaciones dife­renciales elementales. Asimismo presenta un breve capítulo de introducción a la estadística, un apéndice sobre cálculo aproximado, otro sobre la regla de cálculo y las tablas habi­tuales.

La obra desarrolla numerosos ejercicios y problemas y presenta otros similares sin re­solver, figurando al finalizar la misma los resultados de los problemas impares. La yoría de los problemas de aplicación se rela­cionan con los estudios de electricidad. La pre­sentación de la obra es excelente y contiene

obra ade-

a un

ma-

?

numerosos gráficos. En suma, una cuada para aquellos estudiantes que, luego de sus clases teóricas deben recurrir a varios textos para desarrollar las aplicaciones de los temas requeridos. Aquí hallarán reunidos la mayoría de esos temas y podrán aclarar dudas con cierta facilidad, pues el tratamiento es elemental y didáctico.

sus

:

Juan A. Foncubertaeos oc. su pro- IC LOVELL, Didáctica de las Matemáticas. Sus

bases psicológicas. Ediciones Morata; Ma­drid, 1962.

No es una obra recién aparecida: el ori-■

l

- 39 -- 38 -

mero posible de lectores, sin temer exponer largamente lo que pueda parecer evidente a| matemático experto, evitando así ahuyentar al neófito.

El concepto de espacio y los conceptos mé­tricos asociados —longitud, área y volumen—, constituyen los objetivos de los capítulos 8, y 10. Es notoria y persistente la influencia del pensamiento de Piageí y su escuela en todos ellos.

El autor ha adelantado en el prefacio las razones de la inclusión del penúltimo capítulo, dedicado al estudio somero del sistema numé­rico: su eficacia como ejemplo del proceso de generalización en matemática y la necesidad del conocimiento del tema por parte de todo aquél que se dedique a su enseñanza. Esto vuelve a recordarnos que la obra comentada está dirigida a la erseñanza primaria, sobre todo.

Los comentarios finales son de valor didác­tico; las conclusiones con que se cierran me­recen meditarse: "El pensamiento lógico es el utensilio más poderoso de que el hombre dis­pone para enfrentarse con el mundo físico. Desgraciadamente los hombres poseen en muy diversos grados la capacidad para ese tipo de pensamiento y muchos de ellos parecen poseerla en un grado muy bajo. Sin embargo, hasta que las operaciones mentales no se de­sarrollan y coordinan, como resultado de la actividad y la experiencia, el individuo no puede comprender el medio que le rodea ni hacerse cargo de la realidad circundante. No podemos, por tanto, "enseñar" a los niños el número, la longitud o el tiempo como verdades aisladas de su contexto vital. Finalmente, cuando el pensamiento lógico tiene portancia para el hombre, no es conveniente sobrestimar su capacidad de aplicación a las situaciones reales".

Michel QUEYSANDE: Algébre (M. G. P. etSpéciales A). LIBRAIRIE ARMAND COLIN; París, 1964.

Este libro corresponde a la sección mate­mática de la colección U, que la conocida editorial francesa dedica a los estudiantes d los primeros años de la enseñanza científica superior, pero que igualmente puede propor­cionar instrumentos de trabajo cómodos a cien­tíficos y técnicos en general, y sobre todo puede ser útil a los profesores secundarios que quieran mantenerse al día en la evolución de la disciplina que enseñan. La referida sección está dirigida por André Revuz y se orienta hacia una exposición accesible al mayor nú-

valores y vectores propios de un endomorfismo y la reducción de sus matrices (cap. XIV) y a las formas bilineales simétricas y las hermi- tianas (cap. XV). Seleccionados ejemplos y ejer­cicios acompañan a cada parágrafo ticular y a cada capítulo en general.

El autor se ha preocupado especialmente por buscar un equilibrio entre las exigencias didác­ticas de un "curso" y las normas de sistema­tización de un "libro"; pero recuerda que "la comprensión total de una obra matemática exige frecuentes retornos a temas expuestos antes". Nosotros recordaríamos a Revuz: "Se recomienda leer con el lápiz en la do se quiere profundizar el conocimiento de una obra.- para una obra matemática regla absoluta; no respetarla es perder el tiem­po". Aquí estamos frente a una obra que exige inexorablemente ese esfuerzo, sobre todo porque se trata de temas con Tos que podemos no estar suficientemente familiariza­dos si nuestra formación no es muy reciente.

Si al valioso, extenso y ordenado contenido del libro agregamos su cuidada presentación, no podemos retacear nuestro elogio por el esfuerzo editorial y su acertada dirección, ni dejar de recomendar su lectura, especialmente a quienes les preocupa el perfeccionamiento docente, tanto propio como ajeno.

partir la enseñanza de la matemática falla en la mayoría de los casos porque existe una diferencia fundamental entre la adquisición de una técnica y la comprensión de las ¡deas fun­damentales, y como, en general, se presta más atención al primer aspecto que al segundo, sólo se logra una apariencia de conocimiento, nun­ca el conocimiento cabal". Al referirse al as­pecto didáctico sostiene que "la técnica más ampliamente difundida en la enseñanza de la matemática —y nosotros diríamos que en la enseñanza en general— es la lección en el aula en la que el maestro actúa como fuente de información autoritaria en la que el "cómo se hace" es trasmitido a los alumnos por el pro­ceso conocido como enseñanza". Pero esta trasmisión no funciona bien porque hace caso omiso de la auténtica comprensión y todo el sistema, por consiguiente, resulta ser un vehícu­lo inadecuado.

En lo que se refiere al aspecto psicológico propiamente dicho, Dinnes señala que apenas ahora estamos comenzando a comprender la mecánica del pensamiento abstracto e indica los principales temas en que está progresando la investigación: diferencias individuales en la formación de ¡deas abstractas y variaciones en el mismo individuo a medida que va creciendo; detalles del mecanismo del proceso de abs­tracción; el problema de la motivación. Estos temas son minuciosamente analizados a lo lar­go del libro que comentamos y su consulta se hace imperiosa por su moderna información y la ingeniosa investigación de soluciones.

Esta segunda edición se completa con un apéndice sobre "escalares, vectores y matrices". Por nuestra parte hacemos lo propio con este comentario reproduciendo textualmente al au­tor: "Al abandonar el aprendizaje matemático formal se cometerán errores y pasarán algunos años antes de descubrir cuál es la "mejor mez­cla matemática", si es que hay alguna. Cierta rigidez puede derivar rápidamente de cual­quier clase de aparato, cuando uno se vuelve adicto a él. Debemos preguntarnos cuáles son los efectos de largo alcance, tanto como sus ventajas inmediatas. También importa no per­der de vista la unidad del pensamiento mate­mático. Cuando se planea un conjunto de ex­periencias matemáticas, una cualquiera puede tener repercusión en el aprendizaje de concep­tos en ramas diferentes de la disciplina y sus efectos no ser observados hasta mucho tiempo, acaso años, después de la experiencia". El lector dirá si es oportuna esta mención.

I

Su autor, egresado de la famosa Escuela Normal Superior y veterano profesor de temáticas especiales en liceos de su país, ejer­ce la docencia en la Facultad de Ciencias de París. En colaboración con A. Delachet, pu­blicó hace una década el tomito "L'Algébre Moderne" de la colección: "Que sais-je?" de PUF. Para la redacción de la obra que co­mentamos, confiesa haber consultado particu­larmente obras y cursos recientes de Chevalley, Choquet, Dixmer, Dubreil, Godement, Linchne- rowicz, Pisot y Zamansky, sin olvidar el deradá libro de Van der Waarden básica para todos los estudios desde la fecha de

en par-ma-

mano cuan-

pon- —"obra

matemáticos su aparición", según Santaló

en el apéndice de "Matemática moderna, ma­temática viva"— que Quesaynne estima "sigue siendo el tratado de álgebra más pese a su reducido tamaño".

Esta formidable nómina de las fuentes no excluye —bourbakista al fin, también él— al tratado fundamental de N. Bourbaki que "na­turalmente, no es accesible directamente a los estudiantes", pero del que debe decir que "en veinte años de enseñanza, cuando he encon­trado dificultades en la elección de una noción aceptable, o de una definición, o de un tér­mino, ha sido siempre en él donde hallé !a respuesta". Consideramos conveniente dar es­tas informaciones bibliográficas para ubicar mejor al lector de este comentario en la ac­tualidad de la obra de Quesaynne y en lacorriente de pensamiento matemático que la fecunda.

es una

nos

completo,

Zoltan P. DIENES: Building up Mathematics. HUTCHINSON EDUCATIONAL LTD. London, 1964. (2nd. edition).

aun tanta im-

:.

Los problemas psicopedagógicos de la ma­temática han adquirido especial relevancia en nuestro tiempo. El especialista húngaro Zoltan P. Dienes, actualmente en la universidad de Adelaida (Australia) ha procurado esclarecer estas cuestiones en sus difundidos libros —a otro de los cuales ya nos hemos referido en ELE­MENTOS, año II. pág. 25—, además de gozar de merecido prestigio por su labor experimen­tal en los diversos centros en que actúa. Justa­mente, este libro es considerado como "la me­jor introducción" a sus puntos de vista y como de lectura obligada.

El autor comienza por esbozar panorámica- la situación actual, para luego desa­

rrollar una teoría del aprendizaje de la temática y ocuparse de la formación de los conceptos matemáticos, hasta llegar al de fun­ción. Afirma que "el sistema actual para ¡m-

Se trata de cuyo frondoso pa en can a

un volumen de 600 páginas -- y apretado contenido se agru-

15 capítulos. Los tres primeros se dedi- las nociones fundamentales —conjuntos,

aplicaciones, relaciones, números naturales, le­yes de composición— w aplicación inmediata. Elturas fundamentales —grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales— y de los números com­plejos, comprende los capítulos cuarto al sép­timo, inclusives. Ya en este último comienza el álgebra lineal que prosigue con matrices (cap. VIH)/ determinantes (cap. IX) y ecuaciones li­neales (cap. X). Por otro lado se estudian los polinomios (cap. XI), las fracciones racionales (cap. XII) y las ecuaciones algebraicas (cap. XIII). La ultima parte del libro se dedica a los

:

sin preocuparse por su estudio de las estruc-e

mentema-

- 40 - 41

:

SríH SSSHo en 000 docentes, & Quienes no se puede transformar en cinco o diez anos. En Es­candinava, con países más pequeños y de sistema cooperativo, se puede avanzar más ráoido En México se esta trabajando muy hien ñero no se puede decir que todo mar­che ’En Brasil, el grupo GEEM cubre prác­ticamente todas las grandes ciudades.

(Viene de la pág. 34)boración previa por parte de los docentes. Si esto falla, los resultados serán malos y se perderá lo bueno que podría haberse logrado”.

8: — ¿En qué países ha avanzado el mo­vimiento de reforma? ¿Qué perspectivas advierte para ei futuro?

“Perspectivas muy optimistas, sin creer que se podrá concluir la tarea en dos o

Noticias;1

i1 panameño, 1 salvadoreño y 3 venezolanos.

5. El mismo PIMEC ha organizado un nuevo curso para enero, febrero y marzo próximos, también en Montevideo. Constará de dos par­tes principales sobre Estructuras algebraicas y Algebra lineal, y tres cursillos sobre Algebra de Boole, Teoría de Galois y Aplicaciones de álgebra lineal.

6. Durante el presente año lectivo se están ensayando los nuevos programas en divisiones de 1?, 29 y 3er. años de las Escuelas Normal N9 10, de la Capital, Normal N9 1 de Rosario, Normal de Maestras de Corrientes y de Co­mercio de Temperley, así como en los Colegios Nacionales de Adrogué y de Bahía Blanca y en el Instituto Nacional del Profesorado de Lenguas Vivas de la Capital, todos estableci­mientos dependientes del Ministerio de Educa­ción y Justicia de la Nación.

7. Con la supervisión de la Dirección Ge­neral de Enseñanza Secundaria, Normal, Es­pecial y Superior se han organizado cursos de perfeccionamiento a cargo de los profesores: Eusebio Sastre, en Santo Tomé (Corrientes); Leopoldo Varela, en Lincoln (Buenos Aires), y Arrigo Ludati y Francisco Maldonado, en San Juan.

1. Profesores secundarios de matemática asistieron al cursillo sobre "Elementos de pro­gramación Fortram" que desarrolló en Men­doza, con el auspicio de la Universidad Tec­nológica Nacional, el Ing. E. Lauría.

2. El 23 de agosto disertó en Mendoza so­bre "La Matemática en el mundo de hoy", el Dr. Luis A. Santaló. Esta conferencia formó parte de las actividades llevadas a cabo en las provincias de Cuyo por los integrantes de la delegación enviada por la Academia Na­cional de Ciencias y la Universidad Nacional de Buenos Aires, con propósitos de divulgación

:::!O O O

HEMOS RECIBIDO:T. M. APOSTOL: Matemática Básica para Técnicos. (Vol. I, Introducción, con vectores y geometrío

analítica). REVERTÉ; Barcelona, 1965.B. LEIGHTON WEllMAN: Geometría Descriptiva: REVERTÉ; Barcelona, 1964.J. BLAQUIER - M. L. CAPPA de CAMPI: Elementos de Cálculo de Funciones con varias variables

y Geometría Analítica. CENTRO ESTUDIANTES DE INGENIERIA; Bs. Aires, 1963.E. R. GENTILE: Espacios vectoriales. C.E.D.Q,; Buenos Aires, 1965.G. E. OWEN: Fundamentáis of Scientific Mathematics. THE JOHNS HOPKINS PRESS; Balti­

more, 1961.P. ABELLANAS CEBOLLERO y colaboradores: Apuntes de 'Matemática Moderna. Dirección General

de Enseñanza Media; Madrid, 1963.G. SARTON: Historia de la ciencia. La ciencia antigua durante la edad do oro griega. Vol. I.

EUDEBA; Buenos Aires, 1965.F. CERNUSCHI - S. CODINA: Panorama de la astronomía moderna. Unión Panamericana;

Washington, 1965.A. DELACHET: La Géométrie Analytique. PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE; Paris, 1963.R. TATON: Le Calcul Mental. PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE; Paris, 1961. (3e. éd.).J. KLEIN - G. REEB: Formules commentées de mathématiques. (Programme M.P.C.). GAUTHIER-

VILLARS; Paris, 1964.Associafion des Professeurs de Mathématiques (APM): Bulletin, mars 1965. Bulletin, avrll 1965. F. BELLO - G. A. W. BOEHM - L. LESSING: La ciencia al día. Grandes científicos norteamerica­

nos. HOBBS-SUDAMERICANA; Buenos Aires; 1965.A. HUXLEY: Literatura

científica.3. En Córdoba, en la Escuela Normal "A.

Carbó", se está dictando un cursillo para pro­fesores de matemática de ese establecimiento, en el que se comenta el programa proyectado

29 año por la Subcomisión Argentina de

í

para la CIEM.

4. Para el curso dedicado a profesores uni­versitarios de matemática que, organizado por el PIMEC, ha comenzado a dictarse en sep­tiembre en Montevideo (Uruguay), fueron se­leccionados 7 profesores argentinos, 7 brasi­leños, 3 bolivianos, 4 colombianos, 1 costarri-

5 chilenos, 2 ecuatorianos, 2 guatemal­tecos, 2 mejicanos, 3 peruanos, 1 paraguayo,

i

y Ciencia. SUDAMERICANA; Buenos Aires, 1964.

cense,i

EL TRATADO DE ECHTERNACHSe ha denominado así a la aprobación, el 2 de junio pasado, por G. CHO-

QUET y J. D1EUDONNE, en Echternach (Luxemburgo), del texto de A. REVUZ aceptado en la reunión última de la CIEMEN en Ravena (Italia), en abril pasado, que reproducimos en el número precedente de ELEMENTOS. En esta oportunidad se celebraba en dicha ciudad luxemburguesa, con los auspicios del Ministerio de Educción Nacional de ese país, una reunión de la CIEM, actualmente presida por A. LICHNEROWICZ. A esta reunión concurrieron, además de los citados, otros destacados matemáticos europeos, como: H. Behnke, H. G. Steiner, A. Kirsch, G. Pickert y A. Engel, de Alemania; W. Serváis, G. Papy y A. Debhaut, de Bélgica; L.N.H. Bunt, de Holanda; P. Foehr y A. Gló- den, de Luxemburgo; A. Delessert y J. de Siebenthal, de Suiza; C. Bréard y C.Pisot, de Francia. El tema de la reunión de Echternach fue: “Las repercusiones de la investigación matemática en la enseñanza”.

Antes se decía: "No hay más ciencia la del número". Ahora se podría

en su(Viene de la pág. 20)

quedecir que todo pensamiento lógico, aspecto moderno, utiliza la matemática, reconocidas, se impone organizar el es­tudio según esas estructuras consideradas por sí mismas y por sus aplicaciones.

Pero sería muy insuficiente concluir pensando sólo en la matemática: la vi­sión conjuntista y el álgebra de Boole, la concepción de las relaciones de equivalencia y de orden, los gráficos y esquemas, las nociones de operación, vecindad y continuidad, son las bases

bien dirigido, cuando los conocimientos particulares son suficientes para propor­cionar modelos a las estructuras bien de todo estudio científico; la matemática se anexa dominios cada vez más exten­didos que invaden todas las ciencias y las artes. En particular, el álgebra de Boole y la topología son esenciales cada

que se quiera sacar partido de un número de informaciones —proba-

sociales, lingüística,

!t

vezI gran bilidad, cienciasetc.—.

43 -- 42 -

:

Correo de ELEMENTOS iYA ESTAMOS

TRABAJANDO

PARA SU

FUTURO

Editores

José Banfi — Alfredo B. Besio

Buenos Aires (Argentina)Fernández Blanco 2045

nuestros esfuerzos por regularizar suEl tercer año de ELEMENTOS se inicia con el cambio que ya habrán advertido nuestros lec­tores: la Revista pasa a ser trimestral. Procu­ramos de esa manera disminuir los costos y mantener el precio de suscripción. Además, incrementamos proporcionalmente el número de páginas. Por eso, en cuanto se refiere a las suscripciones, mantendremos la misma fe­cha de vencimiento.

El deseo de no retardar más la aparición del número anterior, nos impidió comunicar a nuestros lectores la incorporación de un nuevo corresponsal, el Prof. Enrique EILBAO, de San Juan, cuya colaboración estimamos ha de ser muy valiosa. Asimismo, hoy nos complacemos en informar la designación del señor. Raúl FERNANDEZ CALVO como corresponsal viaje­ro en la provincia de Entre Ríos, quien ya nos ha dado prueba de su adhesión a ELEMENTOS.

porqueaparición son insuficientes. La razón funda­mental es que el siempre escaso número de suscriptores nos obliga a buscar otros recursos para mantenerla, con la consiguiente pérdida de tiempo.

Divulgación social de la matemática (Sr. José Ramón Viso, Buenos Aires). Hemos reci­bido muy complacidos su interesantísimo tra­bajo y esperamos poder ocuparnos próxima­mente de la cuestión planteada.

Aclaraciones sobre artículos de Piaget, Mer- klen y Papy (Sr. Eusebio Sastre, Paso de los Libres). En los tres casos hemos tenido

dedicados a esas carcas, que signifi­can una cuantiosa inversión anual de casi cien millones de dólares.Este intenso esfuerzo empresario y científico, mira al futuro de los niños

extendiendo los beneficios de todos

Cuando este niño sea hombre y po- automóvil, cuando utilice un

cualquier otra maquinaria su trabajo, el adelanto de la téc­

nica exigirá para entonces nuevos combustibles, lubricantes y productos químicos derivados del petróleo, que pueden ser totalmente desconocidos hoyAdelantándose a las necesidades del

mañana, la organización mundial de SHELL estudia y experimenta

miles de elementos y estar a tono

sea un tractor o para

cons-cantcmcntc con nuevos procesos, para con las exigencias del progreso. En 21 centros de investigación disemina­dos en varios países, unos 6.000 téc­nicos y hombres de ciencia de la organización SHELL

de hoy,la investigación de SHELL a los países en que actúan sus empre-. sas asociadas.

\

se encuentranque

comoajustarnos a los respectivos originales y, se comprende, no podemos hacer agregados de la naturaleza que Ud. sugiere. En el ar­tículo de Merklen, las expresiones simbólicas aludidas debieron aparecer dos renglones más arriba, precediendo a la aclaración correspon­diente.

Enseñanza del sistema métrico (Sra. Noemí E. de Delía, General Belgrano). Creemos in­terpretar su consulta remitiéndola al capítulo VIII de la Aritmética para 2? año del ciclo básico, que los editores de ELEMENTOS, en colaboración con Félix Mina, publicáramos en 1946, con el sello de Librería del Colegio. No excluimos la posibilidad de ocuparnos más pijamente del tema en su conjunto.

al servicio del país.do superaciónMedio siglo

__ DE: CENTRAL C1ECH VARSOV'A - POLONIA

REPRESENTANTES

ERRATA NOTABLE:En nuestro último número, póg. 143, en la

transcripción del editorial de "La Nación" de­be leerse "estudios universitarios" en lugar de "estudios secundarios", como apareció por error.

Atraso casi crónico de ELEMENTOS (Sra. Juana T. de Sosa, Corrientes,- Sr. Alfredo J. Cossi, Baradero). La Revista llega con atraso

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Al Prof. Florencio D. JAIME, la mención que hace de ELEMENTOS en su artículo "Una re­volución en la matemática y su impacto en la enseñanza', aparecido en Selecciones Peda­gógicas, año I N9 2.

A LA VOZ DEL INTERIOR, de Córdoba, su amable comentario del 7 de junio ppdo. sobre ELEMENTOS.

Al Boletín de Informaciones del PIMEC, su comentario bibliográfico sobre ELEMENTOS publicado en su número inicial.

Al Boletín de Informaciones del C.N.I.C. y T., su información sobre el subsidio acordado a ELEMENTOS, publicado en el N9 31, de julio corriente.

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