mate quinto
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LOS NÚMEROS NATURALES
Con sólo diez cifras podemos formar cualquier numero de nuestro sistema de
numeración. El conjunto de todos estos números se denomina «Números Naturales» y se representa con la letra N. N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14...}
La cantidad de números naturales es infinita, porque siempre es posible agregar un número más. No existe un número que sea el mayor de todos.
NUESTRO SISTEMA DE NUMERACIÓN
Un Sistema de numeración es un conjunto de normas que se emplean para escribir y expresar cualquier número. Nuestro Sistema de numeración tiene dos
características fundamentales: es decimal y posicional.
1. DECIMAL, porque utilizamos 10 cifras para construir todos los números. Por lo tanto 1 unidad de cualquier orden equivale a 10 unidades del orden inmediato inferior y a la inversa 10 unidades de cualquier orden constituyen 1 unidad del orden inmediato superior. Cuando en un número no hay algún orden de unidades se completa su lugar con la cifra cero. Por ejemplo: 1 centena equivale a 10 decenas y 10 centenas equivalen a 1 millar (Ver tabla 1).Se denomina base de un Sistema de Numeración al número de unidades de un orden inferior que forman una unidad del orden inmediatamente superior. Nuestro Sistema de Numeración es decimal, por tanto, de base diez. El Sistema decimal de numeración ha sido usado por la humanidad desde tiempos muy remotos porque para contar cosas el hombre siempre ha empleado los diez dedos de las manos.
Tabla 1. Sistema decimal
Unidades de primer ordenUnidades (U)
Unidades de segundo ordenDecenas (D)= 10 U
Unidades de tercer ordenCentenas (C)= 10 D
Unidades de cuarto ordenUnidades de millar (UM)= 10 C
Unidades de quinto ordenDecenas de millar (DM)= 10 UM
Unidades de sexto ordenCentenas de millar (CM)= 10 DM
Unidades de séptimo ordenUnidades de millón (UM1)= 10 CM
Unidades de octavo ordenDecenas de millón (DM1)= 10 UM1
Unidades de noveno ordenCentenas de millón (CM1)= 10 DM1
Unidades de décimo ordenUnidades de mil de millón (UMM)= 10 CM1
Unidades de undécimo ordenDecenas de mil de millón (DMM)= 10 UMM
Unidades de duodécimo ordenCentenas de mil de millón (CMM)= 10 DMM
Unidades de décimotercer ordenUnidades de billón= 10 CMM
Unidades de decimonoveno ordenUnidades de trillón= 1 millón de billones
Unidades de vigésimo quinto ordenUnidades de cuatrillón= 1 millón de
trillones
2. POSICIONAL, porque el valor que representa cada cifra depende de la posición
que ocupa dentro del número. Por ejemplo en el número 853.963 aparece dos veces la cifra «tres» y tiene distinto valor dependiendo de su posición dentro del número. Contando de derecha a izquierda el primer tres representa las unidades y equivale, por lo tanto, a tres unidades. En cambio el segundo tres representa las unidades de millar y equivale, por lo tanto, a tres mil unidades.
LEER NÚMEROS NATURALES
Para leer los números se realizarán las siguientes operaciones:
1º) El número se divide en grupos de seis cifras, empezando de derecha a izquierda. Entre el primer grupo de seis cifras y el segundo se intercala el subíndice 1, entre el segundo grupo de seis cifras y el tercero se intercala el subíndice 2, entre el tercer grupo de seis cifras y el cuarto se intercala el subíndice 3 y así sucesivamente.
2º) Cada grupo de seis cifras se divide, mediante un punto, en dos grupos de tres cifras.
3º) Se comienza a leer el número por la izquierda leyendo la palabra trillón al llegar al subíndice 3, la palabra billón al llegar al subíndice 2, la palabra millón al llegar al subíndice 1 y la palabra mil cada vez que llegamos a un punto.
Por ejemplo, para leer el número 32478965290765638946126 lo primero que haremos será dividirlo en grupos de 6 cifras contando de derecha a izquierda:
32478396529027656381946126 A continuación dividiremos cada grupo de 6 cifras, en dos grupos de 3 cifras cada uno, mediante un punto:
32.4783965.2902765.6381946.126
Ahora es fácil leer el número, sólo deberemos intercalar la palabra mil en todos los puntos y las palabras trillón en el subíndice 3, la palabra billón en el subíndice 2 y la palabra millón en el subíndice 1: «treinta y dos mil cuatrocientos setenta y ocho trillones, novecientos sesenta y cinco mil doscientos noventa billones, setecientos sesenta y cinco mil seiscientos treinta y ocho millones, novecientos cuarenta y seis mil ciento veintiséis».
Otros ejemplos:
467 = Cuatrocientos sesenta y siete.
5.916 = Cinco mil novecientos dieciséis.
305.982 = Trescientos cinco mil, novecientos ochenta y dos.
61456.872 = Seis millones, cuatrocientos cincuenta y seis mil, ochocientos setenta y dos.
Los números hasta el 30 inclusive se escriben con letras en una sola palabra y a partir del 31 en dos palabras. Por ejemplo: dieciséis, diecisiete, veintiuno, veintidós, veinticinco, veintinueve, treinta y uno, treinta y dos.
Propiedades de la suma
La suma tiene cuatro propiedades. Las propiedades son conmutativa, asosiativa, distributiva y elemento neutro.
Propiedad conmutativa: Cuando se suman dos números, el resultado es el mismo independientemente del orden de los sumandos. Por ejemplo 4+2 = 2+4
Propiedad asociativa: Cuando se suman tres o más números, el resultado es el mismo independientemente del orden en que se suman los sumandos. Por ejemplo (2+3) + 4= 2 + (3+4)
Elemento neutro: La suma de cualquier número y cero es igual al número original. Por ejemplo 5 + 0 = 5.
Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tércer número es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6+3) = 4*6 + 4*3
Los términos de la suma se llaman sumandos.
Propiedades de la suma:
a + b = b + a Esta propiedad se llama conmutativa.
Si tenemos que sumar varios numeros podemos hacerlo en cualquier orden (esto se llama propiedad asociativa).
Si tenemos que sumar a, b, c y d, podemos sumar primero a + b, despues c + d y despues sumar los dos resultados anteriores, o podemos sumar a + c, despues b + d y despues sumar los dos resultados anteriores o podemos sumar a + b y al resultado sumarle c y al resultado sumarle d. En fin podemos sumar los numeros en cualquier orden.
La suma tiene elemento neutro. El cero es el elemento neutro de la suma porque siempre se cumple que a + 0 = a.
La suma tiene elemento simétrico. El elemento simetrico de un número es otro que sumado al anterior da el elemento neutro. El elemento simetrico de a es -a, porque a + (-a) = 0
Resta o substración
Igual que la suma la resta es una operacion que se deriva de la operacion de contar.
Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaria el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabria que 6 - 2 = 4.
Los terminos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).
Propiedades de la resta:
La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)
Producto o multiplicación
Muchas veces tenemos que sumar un número consigo mismo varias veces. Por ejemplo, si tenemos que sumar 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5, sería más breve representarlo asi 5 * 7 (esto significaria sumar 5 condigo mismo 7 veces).
La multiplicación es una forma abreviada de hacer un tipo especial de sumas.
Los terminos de la multiplicación se llaman multiplicando (el numero que se suma) y multiplicador (el número de veces que se suma).
Propiedades de la multiplicación
a * b = b * a. Esta propiedad se llama propiedad conmutativa
Si tenemos que multiplicar varios numeros podemos hacerlo en cualquier orden (esto se llama propiedad asociativa). Si tenemos que multiplicar a, b, c y d, podemos multiplicar primero a . b,
despues c . d y despues multiplicar los dos resultados anteriores, o podemos multiplicar a . c, despues b . d y despues multiplicar los dos resultados anteriores o podemos multiplicar a . b y multiplicar el resultado por c y despues multiplicarlo por d. En fin podemos multiplicar los numeros en cualquier orden.
La multiplicación tiene elemento neutro. El uno es el elemento neutro de la multiplicación porque siempre se cumple que a .1 = a.
La multiplicación tiene elemento simétrico. El elemento simetrico de un número es otro que multiplicado por el anterior da el elemento neutro. El elemento simetrico de a es 1/a, porque a / a = 0
a(b + c) = a . c + a . d. Esta propiedad se llama distributiva respecto a la suma.
División
La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de personas.Los terminos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra). Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.
Propiedades de la division
La divisón no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.
Radicación
La radicacion es la operacion inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número b de veces nos da el numero a.
Por ejemplo: calcular qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196. Ese número es 14.
El número que esta dentro de la raiz se llama radicando, el grado de la raiz se llama índice del radical, el resultado se llama raiz.
Podemos considerar la radicación como un caso particular de la potenciación. En efecto, la raiz cuadrada de un numero (por ejemplo a) es igual que a1/2, del mismo modo la raiz cúbica de a es a1/3 y en general, la raiz enesima de un numero a es a1/n.
La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raices es convertir las raices a potencias y operar teneiendo en cuenta las propiedades dadas para la operacion de potenciación.
Raiz cuadrada
1- Para calcular la raiz cuadrada de un número se comienza separando el numero en grupos de dos cifras, empezando por la derecha
Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5'56'01'64
2- A continuacion se calcula un numero entero que elevado al cuadrado sea igual (o lo mas proximo al numero del primer grupo, empezando por la izquierda).
En nuestro ejemplo el primer numero es 5 y el numero entero que elevado al cuadrado se acerca mas a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raiz.
3- Despues se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del numero del primer grupo
En nuestro ejemplo 22 = 4 y restandolo del numero del primer grupo que es 5, sale 5 -4 = 1
4- A continuacion ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo
En nuestro ejemplo nos quedaria 156
5- Despues multiplicamos por 2 el numero que hemos calculado hasta el momento de la raiz.
En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4
6- A continuacion tenemos que buscar un numero que multiplicado por el numero que resulta de multiplicar por 10 el numero anterior y sumarle el numero quee stamos buscando se acerque lo mas posible al numero que tenemos como resto. Ese numero sera el siguiente numero de la raiz.
En nuestro ejemplo el numero seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el numero que se aproxima mas a 156 y la raiz seria 23...
7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el numero obtenido del que queriamos obtener realmente.
En nuetro ejemplo: 156 - 129 = 27
8- A continuacion repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo
En nuestro ejemplo: 2701
9- A continuación repetimos el paso 5
En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46
10- Despues repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo el numero seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el numero que se aproxima mas a 2701 y la raiz seria 235...
11- Despues repetimos el paso 7
En nuetro ejemplo: 2701 - 2325 = 376
12- A continuacion repetimos el paso 8
En nuestro ejemplo: 37664
13 A continuacion repetimos el paso 5
En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470
14- A continuacion repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo el numero seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el numero que se aproxima mas a 37664 y la raiz seria 2358
15- A continuacion repetimos el paso 7
En nuestro ejemplo: 37664 - 37664 = 0 En este caso la raiz es exacta pues el resto es cero.
Qué son los números primos
Definición de número: un número es cada uno de los entes abstractos que forman una serie ordenada y que indican la cantidad de elementos de un conjunto.
Definición de número primo: un número es primo cuando es entero positivo, distinto de 0 y 1 y que únicamente se puede dividir por sí mismo y por 1 para dar una solución exacta (por tanto, para todos los otros números por los que intentemos dividir el número primo no dará solución exacta)
Ejemplos:Divisores de 3= {1, 3} => es primo D(7)={1, 7} => es primo D(9)={1, 3, 9} => no es primo, es divisible por 3 además de 1 y 9 Notas:
El 1 se considera primo en muchos casos, aunque sólo tiene un divisor. Depende de las listas, de las definiciones, del libro o de la "cultura" se considera o no primo. P. Ej. Los antiguos griegos consideraban que los numeros empezaban en el 2. Para ellos el 1 no era un número, sólo la unidad. No sotros tampoco lo consideraremos primo.
El 2 también cumple las características de número primo; y es el único número primo que es par.
Números pares e impares
Los números pares se pueden dividir exactamente en grupos de dos. El número cuatro se puede dividir en dos grupos de dos.
Los números impares NO se pueden dividir exactamente en grupos de dos. El número cinco se puede en dos grupos de dos y un grupo de uno.
Los números pares siempre terminan con un dígito de 0,2,4,6 u 8. 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30 son números pares.
Los números impares siempre terminan con un dígito de 1,3,5,7, o 9. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31 son números impares.
1núme
ros impar
es
2núme
ros pares
3núme
ros impar
es
4núme
ros pares
5núme
ros impar
es
6núme
ros pares
7núme
ros impar
es
8núme
ros pares
9núme
ros impar
es
10núme
ros pares
11núme
ros impar
es
12núme
ros pares
1números impares
3números impares
5números impares
7números impares
9números impares
11números impares
2números pares
4números pares
6números pares
8números pares
10números pares
12números pares
El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero.
Ejemplo: Averiguar el m.c.m. de Sacar el M.C.D. de 20 y 10:
20: 20, 40, 60, 80...10: 10, 20, 30...
20 es el múltiplo menor que es común a ambos números.
Multiplos: los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5.....
Ejemplo: múltiplos del 7: 7x0=0; 7x1=7; 7x2=14; 7x3=21; 7x4=28; 7x5=35 ....
O sea son múltiplos del 7:, 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 48, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168...
Ejemplo: Calcular el m. c. m. de 4, 5 y 6.
Se hace la descomposición de factores (que ya la explicamos en el máximo común divisor). Lo hacemos de la siguiente forma:
4= 2x25= 56= 2x3
Se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y se multiplican: 2x2 x3 x5 = 60. El mcm de 4,5 y 6 es 60.
El máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números.
Para calcularlo. De los números que vayas a sacar el máximo común divisor, se ponen uno debajo del otro, se sacan todos los divisores de los dos números y el máximo que se repita es el máximo común divisor (M.C.D.)
Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10:
20: 1, 2, 4, 5, 10 y 2010: 1, 2, 5 y 10
Esto sirve para números pequeños. Pero para números grandes hay otra manera: la descomposición de factores.
Forma rápida de calcular el Máximo común Divisor (M.C.D.).
Ejemplo: Sacar el M. C. D. de 40 y 60:
1º Tienes que saber las reglas divisibilidad. Haces la descomposición de factores poniendo números primos. Por ejemplo para 40, en la tabla de abajo, se va descomponiendo en 2, 2, 2 y 5.
40
2 60
220 2 30 210 2 15 35 5 5 51 1
2º De los resultados, se cogen los números repetidos de menor exponente y se multiplican y ese es el M.C.D.
M.C.D. 40 = 2x2x2x5 MCD = 2x2x5= 20
M.C.D. 60 = 2x2x3x5
REGLA de TRES SIMPLE
Se llama razón al cociente entre dos números y se llama proporción a la igualdad de dos razones.
Los problemas en los que los elementos mantienen una relación proporcional directa o inversa se resuelven mediante la regla de tres simple.
FRACCIONES
Si dividimos un objeto o unidad en varias partes iguales, a cada una de ellas, o a un grupo de esas partes, se las denomina fracción. Las fracciones están formadas por dos números: el numerador y el denominador.
Fracciones propiasDefinición rápida: Una fracción propia tiene sunumerador (número de arriba) menor que su
denominador (número de abajo),
como 3/8 o 4/5
3/8
(Tres octavos)
Fracciones
Una fracción (como 3/8) tiene dos números:
Numerador
Denominador
Al número de arriba lo llamamos Numerador, es el número de partes que tenemos.Al número de abajo lo llamamos Denominador, es el número de partes en que hemos dividido el total.
Hay tres tipos de fracciones:
Fracciones propias: El numerador es menor que el denominador
Ejemplos: 1/3, 3/4, 2/7
Fracciones
impropias:
El numerador es mayor (o igual) que el denominador
Ejemplos: 4/3, 11/4, 7/7
Fracciones mixtas: Un número entero y una fracción propia juntos
Ejemplos: 1 1/3, 2 1/4, 16 2/5
Fracciones propias
Entonces, una fracción propia es sólo una fracción donde el numerador (el número de arriba) es más pequeño que el denominador (el número de abajo). Aquí tienes algunos ejemplos de fracciones propias:
1/2 1/4 3/8
(Una mitad) (Un cuarto) (Tres octavos)
Fracciones mixtas
Definición rápida: una fracción mixta esun número entero y una fracción combinados,
como 1 3/4.
1 3/4
(uno y tres cuartos)
Fracciones
Una fracción (como 3/4) tiene dos números:
Numerador
Denominador
Al número de arriba lo llamamos Numerador, es el número de partes que tenemos.Al número de abajo lo llamamos Denominador, es el número de partes en que hemos dividido el total.
Hay tres tipos de fracciones:
Fracciones propias: El numerador es menor que el denominador
Ejemplos: 1/3, 3/4, 2/7
Fracciones
impropias:
El numerador es mayor (o igual) que el denominador
Ejemplos: 4/3, 11/4, 7/7
Fracciones mixtas: Un número entero y una fracción propia juntos
Ejemplos: 1 1/3, 2 1/4, 16 2/5
Fracciones mixtas
Entonces, una fracción mixta es simplemente un númeo entero y una fracción combinadas en un número "mixto".
Fracciones mixtas = Fracciones impropias
Puedes usar una fracción impropia o una fracción mixta para escribir la misma cantidad. Por ejemplo 1 3/4 = 7/4, aquí se ve :
1 3/4 7/4
=
Cuándo se usan fracciones mixtas
En el uso cotidiano, la gente entiende mejor las fracciones mixtas. Es más fácil decir "me comí 2 1/4 salchichas" que "me comí 9/4 salchichas".
Pero en matemáticas las fracciones impropias son mejores que las fracciones mixtas. Las fracciones mixtas se confunden cuando las escribes en una fórmula:
Fracción mixta: ¿Cuánto es: 1 + 2 1/4 ?
¿Es: 1+2+1/4 = 3 1/4 ?
¿O es: 1 + 2 × 1/4 = 1 1/2 ?
Fracción impropia: ¿Cuánto es: 1 + 9/4 ?
Es: 4/4 + 9/4 = 13/4
Convertir fracciones impropias en fracciones mixtas
Para convertir una fracción impropia en mixta, sigue estos pasos:
Divide el numerador entre el denominador.
Escribe el cociente como un número entero.
Después escribe el resto encima del denominador.
Ejemplo: Convierte 11/4 en una fracción mixta.
Divide: 11 ÷ 4 = 2 con resto 3
Escribe el 2 y después escribe el resto (3) encima del denominador (4), así:
2
3
4
Convertir fracciones mixtas en fracciones impropias
Para convertir una fracción mixta en impropia, sigue estos pasos:
Multiplica la parte entera por el denominador.
Súmalo al numerador.
Después escribe el resultado encima del denominador.
Ejemplo: Convierte 3 2/5 en fracción impropia.
Multiplica la parte entera por el denominador: 3 × 5 = 15
Súmalo al numerador: 15 + 2 = 17
Después escribe el resultado encima del denominador, así:
17
5
Sumar fracciones
Hay tres simples pasos para sumar fracciones:
Paso 1: asegúrate de que los números de abajo (los denominadores) son iguales
Paso 2: suma los números de arriba (los numeradores). Pon la respuesta sobre el denominador del paso 1
Paso 3: simplifica la fracción (si hace falta)
Ejemplo 1:
1
+
1
4 4
Paso 1. Los números de abajo son los mismos. Ve directamente al paso 2.
Paso 2. Suma los números de arriba y pon la respuesta sobre el denominador:
1
+
1
=
1 +
1
=
2
4 4 4 4
Paso 3. Simplifica la fracción:
2
=
1
4 2
(Si no estás seguro de cómo se hace el último paso ve a la página de Fracciones equivalentes)
Ejemplo 2:
1
+
1
3 6
Paso 1: los números de abajo son diferentes. Así que necesitamos hacerlos iguales.
Podemos multiplicar arriba y abajo de 1/3 por 2 así:
1
=
2
3 6
y ahora los números de abajo (los denominadores) son iguales, nuestro problema queda así:
2
+
1
6 6
Paso 2: suma los números de arriba y ponlos sobre el mismo denominador:
2
+
1
=
2 +
1
=
3
6 6 6 6
Paso 3: simplifica la fracción:
3
=
1
6 2
Hacer los denominadores iguales
En el ejemplo anterior fue fácil hacer que los denominadores fueran iguales, pero puede ser más difícil... así que necesitarás usar el
Método del mínimo denominador común, o el
Método del denominador común
Los dos funcionan, ¡usa el que prefieras!
Restar fracciones
Hay tres simples pasos para restar fracciones
Paso 1: asegúrate de que los números de abajo (los denominadores) son iguales
Paso 2: resta los números de arriba (los numeradores). Pon la respuesta sobre el denominador del paso 1
Paso 3: simplifica la fracción
Ejemplo 1:
3
–
1
4 4
Paso 1. Los números de abajo son los mismos. Ve directamente al paso 2.
Step 2. Resta los números de arriba y pon la respuesta sobre el denominador:
3
–
1
=
3 – 1
=
2
4 4 4 4
Paso 3. Simplifica la fracción:
2
=
1
4 2
(Si no estás seguro de cómo se hace el último paso ve a la página de Fracciones equivalentes)
Ejemplo 2:
1
–
1
2 10
Paso 1. los números de abajo son diferentes. Tenemos que hacerlos iguales.
Podemos multiplicar arriba y abajo de ½ por 5 así:
1
=
5
2 10
y ahora los números de abajo (los denominadores) son iguales:
5
–
1
1
010
Paso 2. Resta los números de arriba y pon la respuesta sobre el denominador:
5
–
1
=
5 – 1
=
4
10 10 10 10
Paso 3. Simplifica la fracción:
4
=
2
1
05
Hacer los denominadores iguales
En el ejemplo anterior fue fácil hacer que los denominadores fueran iguales, pero puede ser más difícil... así que necesitarás usar el
Método del mínimo denominador común, o el
Método del denominador común
Los dos funcionan, ¡usa el que prefieras!
Multiplicar fracciones
Hay 3 simples pasos para multiplicar fracciones
1. Multiplica los números de arriba (los numeradores).
2. Multiplica los números de abajo (los denominadores).
3. Simplifica la fracción.
Ejemplo 1
1
×
2
2 5
Paso 1. Multiplica los números de arriba:
1 × 2 = 1 × = 2
2
2 5
Paso 2. Multiplica los números de abajo:
1
×
2
=
1 ×
2
=
2
2 52 ×
510
Paso 3. Simplifica la fracción:
2
=
1
1
05
(Si no estás seguro de cómo se hace el último paso ve a la página de Fracciones equivalentes)
Ejemplo 2
1 × 9
3 16
Paso 1. Multiplica los números de arriba:
1
×
9
=
1 ×
9
=
9
31
6
Paso 2. Multiplica los números de abajo:
1
×
9
=
1 × 9
=
9
3 1
6
3 × 1
648
Paso 3. Simplifica la fracción:
9
=
3
4
816
Fracciones mixtas
También puedes leer cómo Multiplicar fracciones mixtas
Dividir fracciones
Dale la vuelta a la segunda fracción y multiplica.
Hay 3 simples pasos para dividir fracciones:
Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fracción (por la que quieres dividir) (ahora es la recíproca).
Paso 2. Multiplica la primera fracción por la recíproca de
la segunda.
Paso 3. Simplifica la fracción (si hace falta)
Ejemplo 1
1
÷
1
2 4
Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fracción (la recíproca):
1 4
4 1
Paso 2. Multiplica la primera fracción por la recíproca de la segunda:
1
×
4
=
1 × 4
=
4
2 1 2 × 1 2
Paso 3. Simplifica la fracción:
4
= 2
2
(Si no estás seguro de cómo se hace el último paso ve a la página de Fracciones equivalentes)
Ejemplo 2
1 ÷ 1
8 4
Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fracción (la recíproca):
1 4
4 1
Paso 2. Multiplica la primera fracción por la recíproca de la segunda:
1
×
4
=
1 × 4
=
4
8 1 8 × 1 8
Paso 3. Simplifica la fracción:
4
=
1
8 2
Convertir Decimales a Fracciones
Para convertir un Decimal a una Fracción sigue estos pasos:
Paso 1: Escribe el decimal dividido por 1.
Paso 2: Multiplica los números de arriba y abajo por 10 una vez por cada número luego
de la coma. (Por ejemplo, si hay dos números luego del decimal, multiplícalos por 100, si
hay tres usa el 1000, etc.)
Paso 3: Simplifica (reduce) la fracción
Ejemplo 1: Expresar 0.75 como fracción
Paso 1: Escribe:
0.75
1
Paso 2: Multiplica el numero de abajo y el de arriba por 100 (porque hay 2 dígitos luego de la
coma):
× 100
0.75
=
75
1 100
× 100
(¿Ves como el número de arriba se convierte
en un entero?)
Paso 3: Simplifica la fracción:
÷ 25
75
=
3
100 4
÷ 25
Respuesta = 3/4
Nota: ¡75/100 se llama una fracción decimal y 3/4 es llamada una fracción común !
Ejemplo 2: Expresa 0.625 como una fracción
Paso 1: escribe:
0.625
1
Paso 2: multiplica el número de arriba y el de abajo por 1.000 (había 3 dígitos luego de la coma así que es 10×10×10=1.000)
625
1,000
Paso 3: simplifica la fracción (me llevó dos pasos aquí):
÷
25 ÷ 5
625 = 25 = 5
1.000 40 8
÷
25 ÷ 5
Respuesta = 5/8
Ejemplo 3: Expresa 0.333 como fracción
Paso 1: Escribe abajo:
0.333
1
Paso 2: Multiplica el número de arriba y el de abajo por 1000 (había tres dígitos luego de la coma así que es 10×10×10=1000)
333
1,000
Step 3: Simplifica la Fracción:
¡No se puede simplificar!
Respuesta = 333/1000
Pero una Nota Especial:
Si en realidad quieres expresar 0.333... (en otras palabras los 3 repitiéndose para siempre lo que
se llama 3 periódico) entonces necesitas seguir un argumento especial. En este caso escribimos:
0.333...
1
Y entonces MULTIPLICAMOS ambos lados por 3:
× 3
0.333...
=
0.999...
1 3
× 3
Y 0.999... = 1 (¿Es así? - ver la discusión sobre 9 Periódico si estás más interesado), así que:
Respuesta = 1/3
Convertir Fracciones a Decimales
El método más simple es usar una calculadora.
¡Nada más divide la parte de arriba de la fracción por la de abajo y lee la respuesta!
Ejemplo: ¿Cuánto es 5/8 como fracción?
... toma tu calculadora y pon "5 / 8 =", la respuesta debe ser 0.625
Para convertir una Fracción en Decimal manualmente, sigue estos pasos:
Paso 1: Encuentra un número que puedas multiplicar por la parte de abajo de la
fracción para hacer que sea 10, o 100, o 1000, o cualquier 1 seguido por varios
0s.
Paso 2: Multiplica también la parte de arriba por ese número.
Paso 3: Entonces escribe el número de arriba, poniendo la coma en el lugar
correcto (un espacio desde la derecha por cada cero en el número de abajo)
Ejemplo 1: Expresar 3/4 como Decimal
Paso 1: Podemos multiplicar 4 por 25 para que sea 100
Paso 2: Multiplica el número de arriba también por 25:
×25
3
=
75
4 100
×25
Paso 3: Escribe 75 con la coma a 2 espacios desde la derecha (porque 100 tiene 2 ceros);
Respuesta = 0.75
Ejemplo 2: Expresar 3/16 como Decimal
Paso 1: Tenemos que multiplicar 16 por 625 para que se vuelva 10,000
Paso 2: Multiplica el número de arriba también por 625:
×625
3
=
1,875
1
610,000
×625
Paso 3: Escribe 1875 con la coma 4 espacios desde la derecha (porque 10,000 tiene 4 ceros);
Respuesta = 0.1875
Ejemplo 2: Expresar 1/3 como decimal
Paso 1: No hay manera de multiplicar 3 para que se vuelva 10 o 100 o cualquier potencia de 10, pero podemos calcular un decimal aproximado eligiendo un múltiplo, como por ejemplo, 333
Paso 2: Multiplica el número de arriba también por 333:
×333
1
=
333
3 999
×333
Paso 3: Ahora, 999 está cerca de 1,000, así que escribiremos 333 con la coma a 3 espacios desde la derecha (porque 1,000 tiene 3 ceros):
Respuesta = 0.333 (¡¡preciso sólo hasta 3 decimales!!)
Convertir fracciones en porcentajes
Divide la parte de arriba de la fracción por la de abajo, multiplica por 100 y pon un "%" después.
El método más simple es usar una calculadora:
Pasos:
Divide el numerador de la fracción entre el denominador,
¡después multiplica el resultado por 100 y lee la respuesta!
Ejemplo: ¿Cuánto es 5/8 en porcentaje?
Saca la calculadora y escribe "5 / 8 =", la calculadora debería darte 0.625, ahora
multiplca por 100 y la respuesta es: 62.5% (acuérdate de poner el "%" para que todos
sepan que es "por 100")
¡Claro que puedes hacer la división en tu cabeza o en papel si no tienes una calculadora!
Otro método
Como el porcentaje quiere decir "por 100", puedes intentar poner la fracción en forma ?/100.
Sigue estos pasos:
Paso 1: calcula un número que puedas multiplicar por la parte de abajo de la fracción
para que salga 100.
Paso 2: multiplica arriba y abajo en la fracción por ese número.
Paso 3: después escribe sólo el número de arriba con un símbolo de "%".
Ejemplo 1: Expresa 3/4 en porcentaje
Paso 1: podemos multiplicar 4 por 25 para tener 100
Paso 2: multiplica arriba y abajo por 25:
×25
3 = 75
4 100
×25
Paso 3: escribe 75 con el signo de porcentaje:
Respuesta = 75%
Ejemplo 2: expresa 3/16 en porcentaje
Paso 1: tenemos que multiplicar 16 por 6.25 para llegar a 100
Paso 2: multiplica arriba y abajo por 6.25:
×6.25
3
=
18.75
1
6100
×6.25
Paso 3: escribe 18.75 con el signo de porcentaje:
Respuesta = 18.75%
TANTO POR CIENTO
Calcular el tanto por ciento, t %, de una cantidad A consiste en encontrar una cantidad B de forma que A y B estén en la misma proporción que 100 y t.
Así, si el t % de una cantidad A es otra cantidad B, se verifica:
Por tanto, sin tener más que dos de estos datos se puede averiguar el tercero.
Decir que el t % de cierto colectivo (cuya representación debe ser numérica) verifica algo, significa que de cada 100 individuos de ese colectivo, t cumplen dicha condición.
Así, por ejemplo, si se dice que «el 25 % de las personas que forman un Parlamento son de la oposición», se está diciendo que de cada 100 parlamentarios, 25 son de la oposición.
Si hay 100 parlamentarios, 25 son de la oposición
Si hay 300 parlamentarios, 75 son de la oposición
Ejercicio: cálculo de tantos por ciento
1. ¿Cuál es el 25 % de 480?
Resolución:
En este caso A = 480 y t = 25. Se debe calcular B.
El 25% de 480 es 120.
2. Calcular qué tanto por ciento de 320 es 80.
Resolución:
Obsérvese que en este caso A = 320, B = 80 y se ha de calcular t.
3. El 15 % de cierta cantidad es 54. Calcular esa cantidad.
Resolución:
t = 15 B = 54
4. En una clase de 30 alumnos, 8 practican la natación y 22 juegan al fútbol. Hallar el porcentaje de alumnos que practica cada deporte.
Resolución:
El 26,6 % de los alumnos practica la natación.
El 73,3 % de los alumnos juega al fútbol.
Numeración romana:
Es un sistema de numeración que usa letras mayúsculas a las que se ha asignado un valor numérico.
Este tipo de numeración debe utilizarse lo menos posible, sobre todo por las dificultades de lectura y escritura que presenta.
Se usa principalmente:
En los números de capítulos y tomos de una obra. En los actos y escenas de una obra de teatro. En los nombres de papas, reyes y emperadores. En la designación de congresos, olimpiadas, asambleas, certámenes...
Reglas:
La numeración romana utiliza siete letras mayúsculas a las que corresponden los siguientes valores:
Letras I V X L C D M
Valores 1 5 10 50 100 500 1.000
Ejemplos: XVI = 16; LXVI = 66
Si a la derecha de una cifra romana de escribe otra igual o menor, el valor de ésta se suma a la anterior.
Ejemplos: VI = 6; XXI = 21; LXVII = 67
La cifra "I" colocada delante de la "V" o la "X", les resta una unidad; la "X", precediendo a la "L" o a la "C", les resta diez unidades y la "C", delante de la "D" o la "M", les resta cien unidades.
Ejemplos: IV = 4; IX = 9; XL = 40; XC = 90; CD = 400; CM = 900
En ningún número se puede poner una misma letra más de tres veces seguidas. En la antigüedad se ve a veces la "I" o la "X" hasta cuatro veces seguidas.
Ejemplos: XIII = 13; XIV = 14; XXXIII = 33; XXXIV = 34
La "V", la "L" y la "D" no pueden duplicarse porque otras letras ("X", "C", "M") representan su valor duplicado.
Ejemplos: X = 10; C = 100; M = 1.000
Si entre dos cifras cualesquiera existe otra menor, ésta restará su valor a la siguiente.
Ejemplos: XIX = 19; LIV = 54; CXXIX = 129
El valor de los números romanos queda multiplicado por mil tantas veces como rayas horizontales se coloquen encima de los mismos.
Ejemplos: = 1.000.000
Algunos números romanos
1 = I 2 = II 3 = III 4 = IV 5 = V 6 = VI
7 = VII 8 = VIII 9 = IX 10 = X 11 = XI 12 = XII
13 = XIII 14 = XIV 15 = XV 16 = XVI 17 = XVII 18 = XVIII
19 = XIX 20 = XX 21 = XXI 29 = XXIX 30 = XXX 31 = XXXI
39 = XXXIX 40 = XL 50 = L 51 = LI 59 = LIX 60 = LX
61 = LXI 68 = LXVIII 69 = LXIX 70 = LXX 71 = LXXI74 = LXXIV
75 = LXXV 77 = LXXVII 78 = LXXVIII 79 = LXXIX 80 = LXXX 81 =
LXXXI
88 = LXXXVIII 89 = LXXXIX 90 = XC 91 = XCI 99 = XCIX 100 = C
101 = CI 109 = CIX 114 = CXIV149 = CXLIX
399 = CCCXCIX 400 = CD
444 = CDXLIV445 = CDXLV
449 = CDXLIX 450 = CDL899 = DCCCXCIX
900 = CM
989 = CMLXXXIX
990 = CMXC999 = CMXCIX
1.000 = M 1.010 = MX 1.050 = ML
Número ordinal
En matemáticas, un número ordinal es un número que denota la posición de un elemento perteneciente a una sucesión ordenada. Por ejemplo, en la sucesión a b c d, el elemento a es el primero, b el segundo, c el tercero, etc.
Los números ordinales pueden generalizarse para las sucesiones infinitas, introducidas por Georg Cantor en 1897
Denominación de los números ordinales [editar]Paradigma de los números ordinales españoles
1.° primero, ra (primer, apócope delante de un nombre masculino singular) 2.° segundo, da 3.° tercero, ra (tercer, apócope delante de un nombre masculino singular) 4.° cuarto, ta 5.° quinto, ta 6.° sexto, ta 7.° séptimo, ma 8.° octavo, va 9.° noveno, na (a veces nono, como en nonagésimo nono 99.°) 10.° décimo, ma 11.° undécimo, ma (otras formas son onceno, na o decimoprimero, ra, si bien esta última no está
recogida en el Diccionario de la Real Academia (aunque sí en el Diccionario Panhispánico de Dudas))
12.° duodécimo, ma (otras formas son doceno, na o decimosegundo, da, si bien esta última no está recogida en el Diccionario de la Real Academia (aunque sí en el Diccionario Panhispánico de Dudas))
13.° decimotercero, ra (decimotercio, cia) 14.° decimocuarto, ta 15.° decimoquinto, ta 16.° decimosexto, ta 17.° decimoséptimo, ma 18.° decimoctavo, va 19.° decimonoveno, na
De los múltiplos de diez:
20.° vigésimo, ma 30.° trigésimo, ma 40.º cuadragésimo, ma 50.° quincuagésimo, ma 60.° sexagésimo, ma 70.° septuagésimo, ma 80.° octogésimo, ma 90.° nonagésimo, ma
De los múltiplos de cien:
100.° centésimo, ma 200.° ducentésimo, ma 300.° tricentésimo, ma 400.° cuadringentésimo, ma 500.° quingentésimo, ma 600.° sexagentésimo, ma 700.° septingentésimo, ma 800.° octingentésimo, ma 900.º noningentésimo, ma 1000.º milésimo, ma 1.000.000.º millonésimo, ma
En castellano, algunas veces, la descripción de los números ordinales puede confundirse con la denominación de las fracciones (partitivos). Por ejemplo: del cuarto al décimo.
4.° = cuarto (ordinal) o 1/4 = un cuarto (partitivo)
5.° = quinto o 1/5 = un quinto o 1/6 = un sexto ...
10.° = décimo o 1/10 = un décimo.
Sin embargo, son diferentes:
11.° = undécimo[1] o 1/11 = un onceavo o 1/20 = un veinteavo ...
21.° = vigésimo primero
NM1: APROXIMACIONES Y NUMEROS REALES
Una empresa de productos en conserva debe etiquetar 30.000 tarros para un nuevo producto que lanzará al mercado. Las etiquetas deben quedar a 0,2 cm de las bases del tarro y cubrir de la manera más exacta posible la superficie que muestra la figura. Sí el radio de la base del tarro mide 4 cm y el alto del tarro es 12 cm, ¿qué dimensiones deben tener las etiquetas?
Como la etiqueta debe quedar a 0,2 cm de las bases del tarro, el ancho debe ser: 12 cm – 2 cm – 0,2 cm = 12 cm – 0,4 cm = 11,6 cm
Para saber el largo de las etiquetas, debemos calcular el perímetro de una de las bases:
P = 2 · · 4 cm = 8 cm
Pero como el número es igual a 3,14159265... y es un número infinito no periódico, se llama número IRRACIONAL, y aproximaremos su valor a 3,142.
Entonces P = 8 cm = 8 · 3,142 cm = 25,136 cm. Entonces, el largo de la etiqueta será aproximadamente 25,136 cm.
En esta y en situaciones que requieren diferentes cálculos y donde debemos utilizar números decimales o números irracionales, se hace necesario aproximar.
En el cálculo anterior utilizamos una manera de aproximar muy común que se llama redondeo.
Cuando redondeamos un número a una determinada cifra, observamos la cifra que está a su
derecha:
Si esta es mayor a 5 le sumamos 1 a la cifra anterior, es decir, a la que está a su izquierda. (1)
Si esta es menor que 5, la cifra anterior no se altera. (2)
Si esta es igual a 5, entonces nos fijamos en la cifra anterior, si esta es número par, se deja la misma cifra, y si es número impar, se deja en la cifra par siguiente. (3)
En cada caso, consideramos iguales a cero todas las cifras que están a la derecha de la redondeada.
Ejemplos:
Al redondear 72,36 en décimos, nos queda 72,4 (porque al 3 le sigue 6 que es mayor que cinco,
por (1))
Al redondear 7,462 en centésimas, nos queda 7,46 (porque al 6 le sigue 2 que es menor que 5, por
(2))
Al redondear 7,465 en centésimas, nos queda 7,46 (porque al 6 le sigue un 5 y el 6 es par, por (3))
Al redondear 7,475 en centésimas, nos queda 7,48 (porque al 7 le sigue un 5 y el 7 es impar, por
(3))
Al redondear 72,8 a unidades, queda 73.
Al redondear 116.500.000 a millones, quedaría 116.000.000
Al redondear 117.500.000 a millones, quedaría 118.000.000
Otra manera de aproximar es el truncamiento. Cuando truncamos un número en una cifra determinada, consideramos iguales a cero a todas las cifras que le siguen hacia la derecha.
Ejemplos:
Al aproximar 7,475 en décimas, nos queda 7,4.
Al aproximar 7,447 en décimas, nos queda 7,4.
Redondeado
Truncado
3,475 3,48 3,47
3,45 3,4 3,4
Cuando hacemos una aproximación numérica por redondeo o truncamiento, siempre existirá un error, porque los cálculos no son exactos. Por esto la aproximación por redondeo minimiza el error con la regla (3), en acumulaciones de operaciones.
ACTIVIDADES
1. Redondea a los centésimos los siguientes números:
a) 2,71828... b) 1 ,67 c) 0,342 d) 7,53 e) 12,455 f) 3,14159...
Si en vez de redondear hubieses truncado los números anteriores, al hacer un cálculo con ellos, ¿con cuál forma de aproximación cometerías un error menor? Explica.
2. Calcula el perímetro y el área de un círculo de radio 5 cm. Aproxima el valor de a 3,14.
3. Usa tu calculadora y anota el valor de las siguientes raíces redondeando al milésimo.
a ) √2 b ) √3 c ) √5 d ) √6 e ) √10 f ) √20
4. Encuentra 2 números reales entre los siguientes números:
a) √2 y √3 b) √2,5 y √3 c) √2,9 y √3 d) 0,0999 y 1
e) -0,035 y -0,04 f) -1 y -1,1 g) 0 y 1,005 h) 2,6 y 2 ,6
5. Compara los siguientes números poniendo el signo < o > entre ellos:
a) 1,23 _____ 1,223 c) √6 _____ 2,45
b) √5 _____ 2,235 d) √3 - √2 ______ 0,317837
6. Una aproximación de √3 es 1,732051 (error menor que una millonésima). ¿Qué error máximo puedes cometer al multiplicar este número por 1.000?
7. Averigua el valor del número e y aproxímalo a la milésima. ¿qué significa este número e?
8. Calcula el área del cuadrado cuya diagonal mide 2√3 cm.
Ayudate con este cuadro…
9. ¿Cuál es el volumen de un cubo cuya arista mide 3,253 cm? Expresa el resultado con tres decimales.
NÚMEROS REALES
En esta unidad hemos trabajado los números naturales, números enteros, números racionales y los números irracionales. Todos estos números forman distintos conjuntos numéricos y la unión de estos constituye el conjunto de los números reales y se denomina por IR.
Observa el siguiente diagrama:
En Matemática, cuando trabajamos con estos conjuntos utilizamos símbolos como los siguientes:
El número 10 es un número natural, decimos que 10 pertenece al conjunto IN y lo escribimos: 10 IN.
El número 0 no es un número natural, decimos que 0 no pertenece al conjunto IN y se escribe: 0 IN.
En el diagrama podemos notar que todo número natural es también un número entero, por lo tanto, todos los elementos o números del conjunto IN pertenecen al conjunto Z.
Entonces, decimos que el conjunto IN está contenido en el conjunto Z (también podemos decir que el conjunto IN es subconjunto del conjunto Z) y lo escribimos así: IN Z.
Ningún número entero es un número irracional, decimos que el conjunto Z no está contenido en el conjunto II y lo escribimos así: Z II.
ACTIVIDADES:
1. Completa con el símbolo o , según corresponda.
IR
II
IN
Z
√2
3.01001…
0 ,31
310
5
0
-8
-3
12 -
12
0 ,3 3
12
−0,8 3
a) 3 ___ IN c) -3 ___ II e) √5 ___ IR g) 0 ,2 ___ Z
b) 3 ___ Q d) 0,2 ___ IR f) √5___ Q h) 0 ,2 ___ II
2. Completa con el símbolo o , según corresponda:
a) II ___ IR c) IN ___ Q e) Q ___ II g) Z ___ IR
b) IN ___ II d) IN ___ IR f) Z ___ II h) Q ___ Z
3. Completa con o :
5. ¿Cuáles de los conjuntos numéricos, que tu conoces, son densos?
6. Investiga qué otros conjuntos numéricos existen.
COMPLEMENTARIOS
IN Z Q II IR
(3,24 – 2,38) : 0,43
0,125 -
18
100 · 2.24 : 5
-1 : 100
-√9
√5−√3
1) Calcula el área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 5 cm. Expresa el resultado con tres decimales.
2) El diagrama que sigue muestra una forma de ubicar los números 3, 4, 7 y 8 de manera que se suman de dos en dos dando un resultado. ¿Cómo se podrán ordenar inicialmente los números dados para que la suma final sea la máxima?
3) El Teléfono del profesor: Un profesor convino con sus alumnos, que le llamasen por teléfono para concertar la fecha de los exámenes. Cuando éstos quisieron llamarle, se encontraron con que habían perdido la anotación del número de teléfono. Sin embargo, por detalles fragmentarios que pudo aportar cada uno de los alumnos, consiguieron fácilmente reconstruir el número perdido. He aquí los datos que pudieron aportarse:
1. Que el número de teléfono era de seis cifras.2. Que todas eran distintas.3. Que las tres primeras cifras formaban un número cuadrado.4. Que las tres últimas cifras formaban un número cúbico.5. Que las dos cifras centrales formaban un número primo.6. Que el número del teléfono era divisible por tres.
¿Puedes deducir por tu cuenta el número del teléfono del profesor?
Analiza qué sucedería si no se tuviera el sexto dato. Inventa un ejercicio similar.
Relación "Mayor que" y "Menor que" entre fracciones
Para indicar la relación "mayor que" y "menor que" entre números, sabes que se utilizan los símbolos > y <.
311
12
11
8
4
7
23
23
46
Veamos el siguiente ejemplo:
6 > 4 se lee: seis es mayor que cuatro
5 < 9 se lee: cinco es menor que nueve
Sumar decimales
Como sumar decimales que tienen distintas cantidades de lugares decimales
Escribe un número debajo del otro, de tal manera que los puntos decimales del primer y del último número queden alineados.
Suma cada columna comenzando por la de la derecha.
Ejemplo: Suma 3.2756 + 11.48
3.275611.48 14.7556
Sistema Métrico Decimal
Medidas y magnitudes
Una magnitud es cua lqu ier prop iedad que se puede medir
numéricamente .
Medir es comparar una magnitud con ot ra que l lamamos unidad .
La medida es e l número de veces que la magnitud cont iene a la
un idad.
S i queremos medi r la long i tud de un pas i l lo en pr imer lugar debemos
e leg i r la un idad, en este caso la más aprop iada ser ía e l metro .
El sistema métrico decimal
En e l pasado cada pa ís y en a lgunos casos cada reg ión seguían
un idades de medidas d i ferentes , esta d ivers idad d i f i cu l tó las re lac iones
comerc ia les entre los pueb los . Para acabar con esas d i f i cu l tades en 1792
la Academia de C ienc ias de Par ís propuso e l Sistema Métrico Decimal .
P rogres ivamente fue adoptado por todos los pa íses , a excepc ión de
los de hab la ing lesa , que se r igen por e l S is tema Ing lés o S is tema Imper ia l
Br i tán ico .
En España su empleo es o f ic ia l desde 1849, aunque sobre todo en e l
ámbi to agrar io ha coex is t ido con las medidas t rad ic iona les .
E l Sistema Métrico Decimal es un s is tema de un idades en e l cua l los
múltiplos y submúlt iplos de una unidad de medida es tán re lac ionadas
entre s í por múltiplos o submúlt iplos de 10 .
E l Sistema Métrico Decimal lo ut i l i zamos en la medida de las s igu ientes
magnitudes :
Long i tud.
Masa.
Capac idad.
Super f ic ie .
Vo lumen.
Las un idades de t iempo no son de l Sistema Métrico Decimal ,
yaque están re lac ionadas entre s í por múl t ip los o submúl t ip los de 60.
E l t iempo es una magni tud de l S is tema Sexages imal .
La geometría es una rama de la matemática que se ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, paralelas, perpendiculares curvas, superficies, etc
PUNTOS y RECTAS
Para unir dos puntos, podemos utilizar muchos tipos diferentes de líneas. De todas ellas, la más corta será la línea recta. Una recta está formada por infinitos puntos y no tiene principio ni fin.
Si marcamos un punto en una recta, quedará dividida en dos partes llamadas semirrectas. El punto marcado se denomina origen de la semirrecta
Si en una recta marcamos dos puntos, quedará dividida en tres partes: dos semirrectas y un segmento. Los puntos se denominan extremos del segmento.
RECTAS Y ANGULOS
Dos rectas que no se cruzan en ningún punto del plano reciben el nombre de rectas paralelas. Si se cortan, serán rectas secantes.
Cuando las rectas se cortan, forman 4 regiones llamadas ángulos. Cada ángulo está limitado por dos lados y un vértice. Si las rectas se cortan formando cuatro ángulos iguales, se dice que son rectas perpendiculares.
POLIGONOS
Al dibujar varios segmentos consecutivos obtendremos una línea poligonal. Un polígono es la región interior de una línea poligonal cerrada y no cruzada. Sus elementos son: los lados, los vértices y las diagonales. A la línea que lo rodea se la llama contorno del polígono. Las figuras pueden dividirse en dos grandes grupos: cóncavas y convexas.
TRIANGULOS
Un triángulo es un polígono que tiene tres lados y tres ángulos. De acuerdo a la longitud de sus lados y al tipo de ángulos que tiene los podemos clasificar en:
CUADRILATEROS
Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados y cuatro ángulos. Los lados de un cuadrilátero pueden ser: consecutivos u opuestos. De acuerdo a la igualdad o al paralelismo de sus lados, podemos clasificarlos en:
PERIMETROS
Para conocer el perímetro de un polígono cualquiera debemos medir y sumar las longitudes de sus lados. Algunas figuras, debido a que tienen lados iguales, tienen fórmulas fáciles y rápidas con las que podemos calcular su perímetro.
ANGULOS
Cuando dos rectas se cortan, forman 4 regiones llamadas ángulos. Cada ángulo está limitado por dos lados y un vértice.
MEDIDAS de ANGULOS
La unidad de medida de los ángulos se llama grado, y resulta de dividir un ángulo recto en 90 partes iguales, por lo tanto, un ángulo recto mide 90º. El sistema de medición de los ángulos se llama sexagesimal y está formado por las siguientes medidas menores al grado:
MEDIDAS de SUPERFICIE
Para medir una superficie, lo que hacemos es ver cuantas veces entra en ella una unidad de medida. La unidad principal de superficie se llama metro cuadrado, y corresponde a un cuadrado de un metro de lado. Para medir superficies mayores y menores que el metro cuadrado, se utilizan sus múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 100 en 100.
CIRCUNFERENCIA y CIRCULO
Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya distancia a otro punto llamado centro es siempre la misma. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie llamada círculo.
Si medimos con un hilo la longitud de la circunferencia, veremos que es igual a 3,14 su diametro. A este número decimal se lo define con la letra griega “pi”:
CALCULO de SUPERFICIES
Los polígonos son equivalentes cuando tienen la misma superficie, aunque tengan distinta forma. Esta propiedad es de suma utilidad para calcular la superficie de diferentes polígonos.
SUPERFICIES DE CUERPOS
Para calcular la superficie de los poliedros regulares, se calcula la superficie de una cara y se multiplica el resultado por la cantidad de caras que tiene el cuerpo.
Para calcular la superficie de los poliedros irregulares y cuerpos rodantes, se calcula la superficie lateral del cuerpo y a ella se suma la superficie de las bases.
CUERPOS
Los cuerpos geométricos se clasifican de acuerdo a la forma de sus caras: - Cuerpos poliedros: son aquellos que tienen todas sus caras planas. Estos, a su vez, pueden dividirse en poliedros regulares y poliedros irregulares. - Cuerpos rodantes: son aquellos que tienen por lo menos una cara curva.
CALCULO DE VOLUMENES
PERIMETROS
Para conocer el perímetro de un polígono cualquiera debemos medir y sumar las longitudes de sus lados. Algunas figuras, debido a que tienen lados iguales, tienen fórmulas fáciles y rápidas con las que podemos calcular su perímetro.
Área
Área es la extensión o superficie comprendida dentro de una figura (de dos dimensiones), expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de sus triángulos.
Área de figuras planas [editar]
Área de un triángulo [editar]
El área de un triángulo se calcula mediante la siguiente fórmula:[3]
donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (se puede considerar cualquier lado como base)
Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, y la fórmula quedaría de la siguiente forma:
donde a y b son los catetos.
Si lo que conocemos es la longitud de sus lados aplicamos la fórmula de Herón.
donde a, b , c son los valores de las longitudes de sus lados s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.
Si el triángulo es equilátero, de lado a, su área está dada por
Áreas.
Área de un cuadrilátero [editar]
El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º; el área sería la multiplicación de dos de sus lados contiguos a y b:[3]
El rombo, cuyos 4 lados son iguales, tiene su área dada por el semiproducto de sus dos diagonales:
El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados, es a la vez un rectángulo y un rombo, por lo que su área puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la fórmula:[3]
Los paralelogramos en general tienen su área dada por el producto uno de sus lados y su altura respectiva:[3]
El trapecio (que tiene dos lados paralelos entre sí y dos lados no paralelos) cuya área viene dada por la media aritmética de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):[3]
El trapezoide o cuadrilátero totalmente irregular que tiene sus cuatro ángulos diferentes y lados de longitudes desiguales. En este caso el área se puede obtener mediante triangulación siendo:
Siendo:
el ángulo comprendido entre los lados y .
el ángulo comprendido entre los lados y .
Área del círculo y la elipse [editar]
El área de un círculo, o la delimitada por una circunferencia, se calcula mediante la siguiente expresión matemática:[4]
El área delimitada entre la gráfica de dos curvas puede calcularse mediante la diferencia entre las integrales de ambas funciones.
El área delimitada por una elipse es similar y se obtiene como producto del semieje mayor por el semieje menor multiplicados por π:[5]
Área delimitada entre dos funciones [editar]
Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:
El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: y
en el intervalo .
Ejemplo
Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función f(x) = 4 − x2 en el intervalo [ − 2;2], se utiliza la ecuación anterior, en este caso: g(x) = 0 entonces evaluando la integral, se obtiene:
Por lo que se concluye que el área delimitada es .
El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral, similar.
Área de superficies curvas [editar]
El área de una superficie curva es más complejo y en general supone realizar algún tipo de idealización o límite para medirlo.
Cuando la superficie es desarrollable, como sucede con el área lateral de un cilindro o de un cono el área de la superficie puede calcularse a partir del área desarrollada que siempre es una figura plana. Una condición matemática necesaria para que una superificie sea desarrollable es que su curvatura gaussiana sea nula.
Cuando la superficie no es desarrollable, el cálculo de la superificie o la fórmula analítica para encontrar dicho valor es más trabajoso. Un ejemplo de superficie no desarrollable es la esfera ya que su curvatura gaussiana coincide con el inverso de su radio al cuadrado, y por tanto no es cero. Sin embargo la esfera es una superficie de revolución.
Superficie de revolución [editar]
Una superficie de revolución generada por una tramo de la curva y=2+cos x rotada alrededor del eje x.
Cuando una superficie curva puede ser generada haciendo girar un curva plana o generatriz alrededor de un eje directriz, la superficie resultante se llama superficie de revolución y su área puede ser calculada fácilmente a partir de la longitud de la curva generatriz que al girar conforma la superficie. Si y=f(x) es la ecuación que define un tramo de curva, al girar esta curva alrededor del eje X se genera una superficie de revolución cuya área lateral vale:
Cálculo general de áreas [editar]
Mediante la geometría diferencial de superficies o más generalmente la geometría riemanniana puede calcularse el área de cualquier superficie curva finita. Si la superficie viene dada por la función explícita z = f(x, y) entonces, dada una región Ω contenida en una superficie su área resultar ser:
De manera un poco más general si conocemos la ecuación paramétrica de la superficie en función de dos coordenadas cualesquiera u y v entonces el área anterior puede escribirse como:
Donde E, F y G son las componentes del tensor métrico o primera forma fundamental de la superificie en las coordenadas paramétricas u y v.
Circunferencia
En matemática, una circunferencia (del latín circunferentia) es una curva plana cerrada cuyos puntos son equidistantes de un punto interior fijo llamado centro[1]. Cabe aquí hacer la distinción entre
circunferencia y círculo: la primera es solo el contorno externo y el segundo incluye también toda el área interior.
Es la curva de máxima simetría bidimensional y sus aplicaciones son tan numerosas (saltan a la vista) que sería ocioso (poco productivo) hacer un recuento de ellas.
En geometría analítica, la ecuación --en coordenadas cartesianas-- de una circunferencia centrada en el punto (h, k) y de radio r, es:
Desarrollando la ecuación, se tiene:
siendo ; y
La longitud de una circunferencia es:
donde r = radio y π (el número pi) es el cociente entre el diámetro y la longitud de la circunferencia.
La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad
Circunferencia, en otros idiomas (como en inglés [7]) y en matemática universal se utiliza para designar la longitud de la frontera de un disco (matemática) de radio finito.
Ecuaciones de la circunferencia
Ecuación en coordenadas cartesianas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio c consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica a
La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a 1 es llamada circunferencia unidad (o circunferencia unitaria).
Si en vez del centro y el radio son dados dos puntos (x1,y1),(x2,y2) extremos de un diámetro, la circunferencia queda descrita por la ecuación
Ecuación en coordenadas polares
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como (r,θ)
Cuando el centro no está en el origen sino en el punto (s,α) y el radio es c, la ecuación se convierte en
Ecuación en coordenadas paramétricas
También es posible describir una circunferencia usando parametrizaciones. La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como
y con funciones racionales como
Elementos de la circunferencia
Secantes, cuerdas y tangentes.
Existen varias rectas y puntos especiales en la circunferencia. Un segmento que une dos puntos de la circunferencia se llama cuerda. A las cuerdas de longitud máxima (aquellas que pasan por el centro) se les llama diámetros. Se conoce como radio del círculo a cualquier segmento que une el centro con la circunferencia, así como a la longitud de los mismos.
Una línea que atraviesa la circunferencia, cortándolo en dos puntos, se llama secante, mientras que una línea que toca a la circunferencia en un sólo punto se denomina tangente. El punto de contacto de la tangente con la circunferencia se llama punto de tangencia. El radio que une el centro con el punto de tangencia es perpendicular a la tangente.
Área del círculo delimitado por una circunferencia
El área del círculo delimitado por la circunferencia es:
Esta última fórmula se debe a que, sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al
producto del apotema y el perímetro del polígono dividido entre 2, es decir: . Y aproximando la circunferencia como el límite de polígonos regulares, entonces el apotema coincide con el radio de la circunferencia, y el perímetro con la longitud, por tanto:
Otras propiedades El teorema de Tales dice que si los tres vértices de un triángulo están sobre una circunferencia dada con uno de sus lados siendo el diámetro de la circunferencia, entonces el ángulo opuesto a éste lado es un ángulo recto.
Dados tres puntos cualesquiera que no pertenezcan a una misma recta, existe una única circunferencia que contiene a estos tres puntos (esta circunferencia se refiere como circunscrita al triángulo definido por estos puntos). Dados tres puntos (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3), la ecuación de la circunferencia está dada de forma simple por la determinante matricial:
Una circunferencia es una sección cónica, con excentricidad cero.
simetría Arreglo equilibrado de partes de una figura en lados opuestos de un punto, línea, o plano. Los tipos más comunes incluyen la simetría con respecto a un punto, simetría con respecto a una línea y simetría rotacional.
Simetría en geometría
ARCO
En geometría, arco es cualquier curva continua que une dos puntos.[1] También, se denomina arco a un segmento de circunferencia; un arco de circunferencia queda definido por tres puntos, o dos puntos extremos y el radio, o por su cuerda.
Grupo de simetría de la esfera.
Cuando hablamos de objetos físicos o elementos geométricos el concepto de simetría está asociado a transformaciones geométricas tales como las rotaciones, las reflexiones o las traslaciones. Así se dice que un objeto presenta:
Simetría esférica si existe simetría bajo cualquier rotación posible, matemáticamente equivale a que el grupo de simetría de un objeto físico o entidad matemática sea SO(3).
Simetría cilíndrica o axial, si existe un eje tal que los giros alrededor de él no conducen a cambios de posición en el espacio, matemáticamente está asociado a un grupo de isometría SO(2).
Simetría reflectiva,se define por la existencia de un único plano, matemáticamente está asociado al grupo SO(1) o su representación equivalente .
Si tratamos además de regiones geométricas infinitas, no acotadas, además puede existir simetría traslacional
Elementos de la circunferencia y del círculo
Circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un mismo punto llamado centro de la circunferencia. El punto centro no pertenece a la circunferencia. La circunferencia se nombra con la letra del centro y un radio.
Círculo es la figura plana formada por una circunferencia más toda su región o área interior
Ejemplos prácticos de una circunferencia: Aro, anillo, hula-hula, borde de vaso, la orilla de un plato, etc.
Perímetro de la circunferencia: 2 · r · d
Elementos de la circunferencia
Rectas en la circunferencia
Radio: Es un segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella.
El radio se nombra con la letra “r” o bien con sus puntos extremos.
La medida del radio es constante.
Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas tienen distintas medidas.
Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
El diámetro es la cuerda de mayor medida.
El diámetro se nombra con la letra “d”.
El diámetro siempre es el doble del radio: d = 2r r = d/2 .
Tangente: es la recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia.
Secante: es la recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia.
Arco: es una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.
Ángulos en una circunferencia
Ángulo del centro: Es el ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios de ella.
Figura Características Medida
Vértice en el centro de la circunferencia
Lados que contienen radios de ella
m (< AOB) = m (arco
AB)
Ejemplo:
(Debe leerse: arco SR es igual a un tercio de la circunferencia. Calcular
el ángulo X))
Por definición del Teorema del ángulo del centro la medida del arco SR es igual a la medida del ángulo del centro (x). Como la circunferencia en el sistema sexagesimal tiene 360º significa que el arco SR mide 1/3 de 360º, esto es dividir 360 en 3 partes y tomar 1 sola.
360º : 3 = 120º < SOR = 120º
Ángulo Inscrito: Es el ángulo cuyo vértice está sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas de ella. Para todo ángulo inscrito, existe un ángulo del centro que subtiende el mismo arco. El ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco.
Figura Características Medida
< ABC inscrito que subtiende arco AC
< AOC del centro que subtiende arco AC
Vértice en la circunferencia.
Los lados son cuerdas de ella.
< ABC subtiende arco AC.
El centro de la circunferencia está en el interior del ángulo.
m ( <ABC) = ½ m
(<AOC)
(Debe leerse: medida
del ángulo (ABC) es igual a la mitad del ángulo (AOC)
Ejemplo:
Si ángulo y es igual a 54 grados
Entonces ¿cuánto mide el ángulo x ?
El ángulo “y” es un ángulo del centro; el ángulo “x” es un ángulo inscrito que subtiende un arco común con el ángulo del centro
(AB), por lo tanto, se debe aplicar el Teorema del ángulo inscrito.
Por Teorema: x = 1/2 y x = 1/2 · 54 = 54/2 = 27º
Caso Especial:
Si un ángulo inscrito subtiende una semicircunferencia, entonces es recto.
α = 180º β = 90º
CIRCULO O REGION CIRCULAR: Es todo el espacio interior encerrado por una circunferencia..
REPRESENTACIONES MATERIALES DEL CIRCULO: Disco, plato, fondo de vaso, tapa de tarro, CD, etc
AREA DEL CIRCULO: · r2
Elementos del círculo
Segmento circular: es cada una de las partes en que se divide un círculo cuando se traza una
cuerda (A - B). Si la cuerda es un diámetro, cada parte será un semicírculo.
Sector circular: es la parte del círculo limitada por dos radios y un arco.
Corona circular: es la porción del plano comprendida entre dos circunferencias
concéntricas.
Circunferencia
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. Sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.
La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad.[1] [2] [3] [4] [5]
Es una curva bidimensional con infinitos ejes de simetría y sus aplicaciones son muy numerosas.
Elementos de la circunferencia
Secantes, cuerdas y tangentes.
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia; radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia; diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por
el centro; cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima
son los diámetros; recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos; recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto; punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia; arco, segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia; semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un
Medidas de masa (peso)
1. El gramo. Un litro de agua pesa 1 kilogramo o 1000 gramos. La unidad de medida de la masa
(peso) es el gramo y se escribe g.
2. Múltiplos del gramo. Son éstos: 1 decagramo es igual a 10 gramos: 1 dag = 10 g.
1 hectogramo es igual a 100 gramos: 1 hg = 100 g. 1 kilogramo es igual a 1000 gramos: 1 kg = 1000 g. 1 miriagramo es igual a 10000 gramos: 1 mag = 10000 g. 1 quintal métrico es igual a 100 kilogramos; 1 q = 100 kg.
1 tonelada es igual a 1000 kilogramos; 1 t = 1000 kg. Contesta a estas preguntas en gramos:
3 hg =7 kg =
6 dag =
3.- Submúltiplos del gramo. Son éstos: 1 decigramo es igual a 0,1 gramo: 1 dg = 0,1 g. 1 gramo tiene 10 decigramos.
1 centigramo es igual a 0,01 gramo: 1 cg = 0,01 g. El gramo tiene 100 centigramos. 1 miligramo es igual a 0,001 gramo: 1 mg = 0,001 g. El gramo tiene 1.000
miligramos. Contesta en gramos:
5 cg =7 mg =3 dg=
4. Cambio de unidad. Cada unidad de masa (peso) es 10 veces mayor que la inmediata inferior y 10
veces menor que la inmediata superior.
Para pasar de hg a dag multiplicaremos por 10 o correremos la coma un lugar a la derecha.
Ejemplos: 7 hg = 70 dag; 237,25 g = 2372,5 dg = 23725 cg. Para pasar de g a dag dividiremos por 10 o correremos la coma decimal un lugar a
la izquierda.
Ejemplos: 60 g = 6 dag; 1468 g = 146,8 dag = 14,68 hg = 1.468 kg. Contesta en gramos:
9 dag =7,3 kg =265 mg =
5. Conversión de complejo a incomplejo. Para convertir un complejo en incomplejo de orden inferior, se escriben de
izquierda a derecha, y unas a continuación de otras, las cifras que representan las unidades de los diversos órdenes, comenzando por las de mayor orden. Si faltare
algún orden se coloca un cero en el lugar correspondiente. Ejemplo: 4 kg, 6 dag y 7 g puede escribirse: 4.067 g. Contesta en gramos:
17 hg, 3 g y 7 cg4 kg, 2 dag y 4 mg =9 mag, 3 g y 2 cg =
6. Conversión de incomplejo ( 74 g ) a complejo ( 7 dag y 4 g ). Para convertir un incomplejo de capacidad en complejo, basta tener en cuenta que
la cifra de las unidades es del mismo orden que el incomplejo, la de las decenas del orden inmediatamente superior, etc. Si hubiera cifras cero, se salta el orden que le corresponda.
Ejemplo: 10203,045 g = 1 mg, 2 hg, 3 g, 4 cg y 5 mg. Contesta en número incomplejo:
3,07 g =403 g =80,7 g =
Conversión entre unidades de tiempoHay: Unidades de tiempo En ésta unidad de tiempo
60 Segundos en un minuto
60 Minutos en una hora
24 Horas en un día
7 Días en una semana
Aproximadamente 30 Días en un mes
365 Días en un año normal
366 Días en un año bisiesto
12 Meses en un año
52 Semanas en un año
10 Años en una decada
20 Años en una veintena
100 Años en un siglo
1000 Años en un milenio
Sistemas de tiempo
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El tiempo es una magnitud física creada para medir el intervalo en el que suceden una serie ordenada de acontecimientos. El sistema de tiempo comúnmente utilizado es el calendario gregoriano y se emplea en ambos sistemas, el Sistema Internacional y el Sistema Anglosajón de Unidades.
Sistema Internacional de unidades [editar]
El Segundo [editar]
El segundo es la unidad de tiempo en el Sistema Internacional de Unidades, el Sistema Cegesimal de Unidades y el Sistema Técnico de Unidades. Un minuto equivale a 60 segundos y una hora equivale a 3600 segundos. Hasta 1967 se definía como la 86.400 ava parte de la duración que tuvo el día solar medio entre los años 1750 y 1890 y, a partir de esa fecha, su medición se hace tomando como base el tiempo atómico.
Según la definición del Sistema Internacional de Unidades, un segundo es igual a 9.192.631.770 períodos de radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del isótopo 133 del átomo de cesio (133Cs), medidos a 0 K. Esto tiene por consecuencia que se produzcan desfases entre el segundo como unidad de tiempo astronómico y el segundo medido a partir del tiempo atómico, más estable que la rotación de la Tierra, lo que obliga a ajustes destinados a mantener concordancia entre el tiempo atómico y el tiempo solar medio.
Unidades menores de un segundo [editar]
El decisegundo es la unidad de tiempo que equivale a la décima de un segundo. Se abrevia ds.
1 ds = 0,1 s = 1x10-1 s
Los cronómetros comunes miden los decisegundos.
El centisegundo es la unidad de tiempo que equivale a una centésima de segundo. Se abrevia cs. (1x10-2 s).
Los cronómetros comunes pueden medir los centisegundos transcurridos.
El milisegundo es la unidad de tiempo que corresponde a la milésima fracción de un segundo (0,001s o 1x10-3).
Su simbología, al igual que otras milésimas partes de distintas magnitudes como pudieran ser la masa o la longitud, viene especificada mediante una "m" minúscula antepuesta a la magnitud fundamental, que en el caso del segundo es una letra "s", resultando:
1 ms = 0.001 segundo = 1 milisegundo
El microsegundo es la unidad de tiempo que equivale a la millonésima parte de un segundo. Un microsegundo = 0.000001 s o 10-6 s
El nanosegundo es la unidad de tiempo que equivale a la mil millonésima parte de un segundo, 10-9. Este tiempo tan corto no se usa en la vida diaria, pero es de interés en ciertas áreas de la física, la química y en la electrónica. Así, un nanosegundo es la duración de un ciclo de reloj de un procesador de 1 GHz, y es también el tiempo que tarda la luz en recorrer aproximadamente 30 cm.
El picosegundo es la unidad de tiempo que equivale a la billonésima parte de un segundo, y se abrevia ps. 1 ps = 1x10-12 s
El femtosegundo es la unidad de tiempo que equivale a la mil billonésima parte de un segundo. Esta fracción de tiempo fue la más pequeña medida hasta el 2004. Se abrevia fs. 1 fs = 1x10-15 s
El attosegundo (de atto) es una unidad de tiempo equivalente a la trillonésima parte de un segundo y se abrevia as. 1 as = 10-18 s
Agrupación de días [editar]
Octavario Es la agrupación de ocho días. También es un espacio de ocho días durante la cual la Iglesia celebra una fiesta solemne o hace conmemoración del objeto de ella.
Novenario es la agrupación de nueve días. En algunas culturas y religiones se utiliza este término para los nueve rezos o rosarios que se hacen posterior a la muerte de una persona.
También es el tiempo durante el que se leen sermones para rendir culto a un santo.
Decena es la agrupación de diez días.
Quincena es un período de tiempo etimológicamente igual a 15 días.
Sin embargo, la definición puede variar: Una revista quincenal se edita cada dos semanas (14 días). Normalmente, se considera que un mes se divide en dos quincenas. La primera quincena dura desde el día 1 hasta el 15, y la segunda dura desde el día 16 hasta el último día del mes. Esto significa que habrá quincenas de entre 13 y 16 días.
Agrupación de meses [editar]
Bimestre es la agrupación de 2 meses. Trimestre es la agrupación de 3 meses. Cuatrimestre es la agrupación de 4 meses. Pentamestre es la agrupación de 5 meses. Semestre es la agrupación de 6 meses.
Agrupación de años [editar]
Bienio es un periodo de tiempo equivalente a 2 años. Trienio es un periodo de tiempo equivalente a 3 años. Cuatrienio es un periodo de tiempo equivalente a 4 años. Lustro o quinquenio es un periodo de tiempo equivalente a 5 años.
Etimológicamente proviene del latín lustrum que quiere decir limpio, puro (la palabra española "lustre" proviene de este vocablo), y se refiere a la ceremonia de la Lustración (purificación) que se celebraba cada 5 años y era la más importante de la Roma primitiva. En ella se celebraban una serie de ritos y una comida. Todos los pater familiae (los patricios) estaban obligados a asistir y el que no lo hiciera perdía sus derechos ciudadanos hasta la próxima lustración. Un castigo muy importante, puesto que se perdía hasta el derecho a pleitear.
Sexenio es un periodo de tiempo equivalente a 6 años. Septenio es un periodo de tiempo equivalente a 7 años. Década es un periodo de tiempo equivalente a 10 años