Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Marija Culjak

Starogrcka matematika

Diplomski rad

Osijek, 2013.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Marija Culjak

Starogrcka matematika

Diplomski rad

Mentor: Doc. dr. sc. Ivan MaticKomentor: Dr. sc. Ljerka Jukic Matic

Osijek, 2013.

Sadrzaj

1. Uvod 1

2. Mjerenje vremena 2

2.1. Suncani sat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2. Vodeni sat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3. Starogrcka matematika 3

3.1. Nastava matematike u staroj Grckoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.2. Grcki brojevi sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4. Starogrcki matematicari 7

4.1. Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.2. Pitagora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.3. Euklid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.4. Arhimed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5. Problemi starogrcke matematike 26

5.1. Duplikacija kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.2. Kvadratura kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.3. Trisekcija kuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1

1. Uvod

Razvoj same matematike seze u daleku proslost, jos u doba starih Egipcana.

Kako su ljudi sve vise napredovali tako se javila potreba za uvodenjem brojeva, obav-

ljanjem proracuna u trgovini, mjerenjem zemljista itd. Starogrcka matematika bila je

prekretnica u razvoju. Prelazi se na apstraktna razmisljanja i nacela prema kojima

matematicke zakonitosti ne treba prihvatiti dok prethodno ne budu dokazana. Prika-

zati starogrcku matematiku, ne zeleci ju ispuniti pukim nabrajanjem imena i rezultata,

mora se proizvoljno odabrati relativno uzi krug ideja, osoba i ostvarenja, sto je i cilj

ovog rada. U drugom poglavlju upoznajemo nacin na koji su stari Grci mjerili vrijeme.

O matematici starih Grka i grckom brojevnom sustavu govorimo u trecem poglavlju.

U cetvrtom poglavlju upoznajemo najpoznatije starogrcke matematicare, njihova dos-

tignuca i djela. O glasovitim problemima starogrcke matematike bit ce rijeci u petom

poglavlju.

2

2. Mjerenje vremena

2.1. Suncani sat

U staroj Grckoj Zemlja se smatrala sredistem svemira. Ta nebeska sfera koja je

sadrzavala sve zvijezde, rotirala se od istoka prema zapadu, noseci ne samo zvijezde,

nego i Sunce i planete. Dakle, Sunce je kruzilo oko Zemlje i to je uzrokovalo dan i noc.

Zemlja se nije rotirala. Sunce nije kruzilo po pravilnoj kruznici kao zvijezde, nego je

ostavljalo trag elipse. Ta se elipsa susrece sa 12 zvijezda zodijaka u vremenu jedne go-

dine (danasnji mjeseci). Suncu treba jedna (sunceva) godina da napravi elipsu. Sunce

putuje svaki dan drugim putem po nebu zbog njegova dvostruka puta (po nebeskoj

sferi i po elipsi). Tijekom ljeta sunce je vislje i vidljivo je duze vrijeme. Stari Grci su

dan uvijek dijelili na dvanaest jednakih sati i stoga su ljetni sati bili duzi. U zimskim

mjesecima sunce je bilo vidljivo kraci vremenski period te su zimski sati bili kraci.

U antickom svijetu vrijeme se najprije mjerilo prema prirodnim dogadajima kao sto su

izlazak sunca, zalazak sunca i vrijeme obroka.

Grci su na temelju kretnje sunca izumili sat koji stvara sjene. Taj sat se sastojao od

baze sa okomitim stapom na jednom kraju. Zbog mijenjanja kuta sjene tijekom dana,

okomitom stapu dodana je precka koja je prosirivala sjenu kako bi ona uvijek padala

na sat. Sat se rotirao jednom dnevno (u podne) da bi mogao oznaciti vrijeme ujutro i

poslije podne.

Izvori govore da je trebalo dva sata nakon izlaska sunca da bi sunce napravilo sjenu na

satu. Sjena je nastajala dva sata prije zalaska sunca.

2.2. Vodeni sat

Vodeni sat se vjerojatno razvio kao odgovor na nedostatke suncevog sata, tj.

zbog nemogucnosti rada suncevog sata kada nije bilo sunca. Prvi i najjednostavniji

vodeni satovi bili su mali bokali (duboke posude). U sredini bokala nalazio se mali

otvor kroz koji je tekla voda. Prazna posuda stavila se u spremnik vode te je tonula

kako je voda prodirala u posudu kroz mali otvor. Dezurna osoba najavljivala je kada je

interval vremena prosao te je praznila posudu i ponovno ju stavljala u vodu. Ovakva

vrsta sata se u anticko doba koristila za mjerenje govora na sudovima, najvise u Ateni.

Vodeni sat je osiguravao da govori ne budu predugi.

Vodeni sat, koji je mjerio samo odredeno vrijeme, kasnije je postao pravi sat tako da

se spremiste za vodu oznacavalo satima dana i noci. Do kraja svakog dana spremiste

vode je bilo prazno te se uvijek iznova moralo puniti vodom.

3

3. Starogrcka matematika

Poceci grcke matematike pojavljuju se u Joniji (danasnja Turska) i razvijaju sve

do juzne Italije. Oko 300. g. pr. Kr., kada centri kulture odmicu ka istoku, Aleksandrija

postaje glavno srediste matematickih znanosti.

Grcki matematicki tekstovi do nas su dosli preko mnogih prijepisa, a najpoznatiji pri-

mjer su Euklidovi Elementi. Zacudujuce je da su matematicki tekstovi Babilonaca

sacuvani u originalima jer su pisani na plocama od nepecene gline. Grci su, medutim,

poceli korisiti papirus 450. g. pr. Kr., dok je prije toga postojala samo tradicija usmene

predaje. Kako se biljezenje znanja i misli razvijalo, pojavile su se i drvene plocice za

pisanje i plocice od voska. One su se pak koristile za pisanje necega sto se nije planiralo

sacuvati.

Pretpostavlja se da je prva kopija Elemenata pisana na papirusu, dugackom 10 metara.

Role papirusa bile su osjetljive te su se lako unistavale ako su se cesto koristile. Jedini

nacin ocuvanja bilo je redovito prepisivanje na nove role papirusa. Za takvo nesto

trebalo je puno vremena pa su se prepisivali samo najvazniji tekstovi. Osim materijala

za zapisivanje, razvijao se i nacin pisanja. Sve rijeci na originalnom papirusu pisale

su se velikim pocetnim slovom bez razmaka kako bi se potrosilo sto manje materijala.

800. g. pr. Kr. razvio se rukopis u kojem su se rijeci pisale malim pocetnim slovom te

se stavljao razmak zbog cega je citanje postalo puno lakse.

Najstarija prezivjela kopija Elemenata pisana na nov nacin potjece iz 888. g. pr. Kr.

(1200 godina nakon sto su Elementi napisani).

Prve verzije Elemenata u Europi su se pojavile u srednjem vijeku i nisu bili prijevodi s

grckog na latinski, vec s grckog na arapski. U 12. stoljecu Elementi su prevedeni s arap-

skog na latinski. Krajem 19. stoljeca dokazano je da svi prezivjeli prijepisi Elemenata,

osim jednog, potjecu od prijevoda koji je napisao Theon iz Aleksandrije.

3.1. Nastava matematike u staroj Grckoj

Ucenje matematike unutar Grcke bilo je posebno. Ono sto se ucilo imalo je

drugaciju strukturu nego sto ima danas. Glavna razlika je u tome sto su Grci proucavali

aritmetiku i geometriju odvojeno, kao dva zasebna predmeta. Cak su unutar aritme-

tike postojale dvije forme. Jednu je ucio srednji stalez i zanatlije, a bazirala se na

racunanju. Druga forma, znanost o brojevima, bila je za visoki stalez koji je imao

novac za siru edukaciju. Visi stalez se poucavao kod kuce, a poucavali su ih roditelji ili

obrazovani robovi. Vecina ih je ucila osnove kao sto su slova, glazba, gimnastika i mali

dio aritmetike ili geometrije. Mnogi su odustali od daljnjeg skolovanja, a rijetki koji

su nastavljali, odlazili su u akademije koji su utemeljili Platon, Aristotel ili Pitagora.

Pitagora je utemeljio skolu 518. g. pr. Kr. u Krotonu. Upravo se ondje mnogo rasprav-

4

ljalo o brojevima i geometriji. U toj skoli nastalo je vjerovanje da se sve u svemiru moze

na neki nacin izraziti matematicki, te da je glazba zapravio dio matematicke znanosti.

Platonova akademija educirala je buduce politicare i drzavnike Atene. Platon predlaze

da ucenici trebaju proucavati matematiku prvih deset godina edukacije. Vjerovao je

da je to nacin da se uvjezba um jer bi se tada razumjele pojave koje se ne mogu fizicki

demonstrirati.

Aristotel je imao osirniji plan i program koji se vise bavio prirodnim znanostima. Nacin

poucavanja bio je isti kao u Pitagorinoj skoli. Grupa ucenika bi se okupila i postavljala

pitanja ucitelju. Nakon odgovora uslijedila bi diskusija.

3.2. Grcki brojevi sustav

Stari Grci imali su razlicite brojevne sustave za glavne i redne brojeve, a mnogi

grcki matematicari davali su vlastite prijedloge za brojeve, koji ipak nisu sire prihvaceni.

U prvom tisucljecu prije Krista Grci su koristili tzv. akrofonski sustav. Simboli za bro-

jeve bila su slova kojima su pocimali nazivi tih brojeva.

Simbol za broj 1 je jednostavan “I“. Sistem oznacavanja brojeva bazirao se na pricipu

dodavanja, slicno kao kod Rimljana. 8 je kod Rimljana VIII, a kod Grka ΓIII (Slika

1.).

Slika 1. 1 - 10 u grckim akrofonskim brojevima

Brojevi 5, 10, 100, 1000, 10000 (Slika 2.) bili su teski za pamtiti jer se grcka abeceda

promijenila nakon sto su uvedeni znakovi za brojeve. Medutim, znakovi se nisu promi-

jenili.

Slika 2. Akrofonski 5, 10, 100, 1000, 10000

Kada baza 10 sa sustavom dodavanja ne bi imala posredne simbole, za neke brojeve

bili bi potrebni mnogi znakovi. Za broj 5 postojao je poseban znak. Brojevni sustav

imao je posredne, dodatne simbole za 50, 500, 5000 i 50000 koji su bili verzije simbola

5

broja 5 (Slika 3.).

Slika 3. Kombinirane akrofonske brojke

Medutim, to nije jedini nacin na koji su komponirani brojevi. Postojale su brojne

varijacije koje su osmisljene u razlicitim otocnim drzavama.

Grcki brojevni sustav se zapravo nije sastojao od apstraktnih brojeva na nacin na koji

ih danas koristimo. Danas broj 2 oznacava bilo koja dva elementa, a brojka je aps-

traktno vlasnistvo. Anticki Grci imali su drugaciju ideju te su se koristili razlicitim

formama, ovisno o tome na sto se broj odnosi. Brojevi su se najcesce koristili za zbra-

janje novca. Osnovna jedinica novaca bila je drachma, veca jedinica bila je talent,

vrijedila je 6000 drachmi. Drachma se pak dijelila na manje dijelove - obole. 1 obol

vrijedio je 16

drachmi, a chalkos je vrijedio 18

obola. Drachma je bio naziv i za jedinicu

tezine.

Primjer 3.1 5678 drachmi.

Drugi grcki brojevni sustav je alfabetski, ponekad zvan nauceni sustav. Vrijednost je

dana slovima abecede. U klasicnoj grckoj abecedi postoje 24 slova koja su se koristila

i 3 starija slova koja su nestala iz upotrebe. Prvih 9 slova koristili su se i kao simboli

za 1, 2, 3, . . . , 9 (Slika 4.),

Slika 4. Alfabetski brojevi 1 - 9

sljedecih 9 slova bili su simboli za 10, 20, 30, . . . , 90 (Slika 5.), a

6

Slika 5. Alfabetski brojevi 10 - 90

ostalih 9 slova simbolizirala su brojeve 100, 200, 300, . . . , 900 (Slika 6.).

Slika 6. Alfabetski brojevi 100 - 900

Ponekad se iznad slova stavljala crta koja je oznacavala da se radi o brojevi. Ostali

brojevi su se formulirali po principu dodavanja.

Primjer 3.2 Alfabetski broj 269.

Sada je brojevni sustav potpuno odreden, ali bez modifikacija imao je mnogo mana

jer se nisu mogli izraziti brojevi veci od 999. Stvoreni su slozeni simboli kako bi se

svladao ovaj problem. Brojevi izmedu 1000 i 9000 su formirani dodavanjem indeksa ili

eksponenta ι simbolima za brojeve 1 - 9, a brojevi veci od 9999 su bazirani na mnostvu

koji je bio 10000 (myriad). Iznad simbola M pisan je mali broj koji je oznacavao da

je taj broj treba pomnoziti s 10000. Dakle, β iznad M predstavlja broj 20000. Ovim

brojevnim sustavom se moglo sluziti u vecini slucajeva normalnog zivota jer se veliki

brojevi nisu cesto pojavljivali. S druge strane, matematicari su imali potrebu prosiriti

brojevni sustav te su se pojavili mnogi prijedlozi. Ideja koju je Apollonius imao da bi

prosirio brojevni sustav bila je koristiti prednosti mnostva. α iznad M predstavljala je

10000, β iznad M predstavljala je M2.

7

4. Starogrcki matematicari

Najvaznija cinjenica o zivotima matematicara, ako cijenimo njihov rad, je vri-

jeme u kojemu su zivjeli. Neki matematicari su dodali datume svojim radovima i tako

ostavili trag vremenu u kojemu su zivjeli.

Matematicari su vjerojatno zivjeli i nakon sto su njihova djela napisana. Ipak moramo

biti oprezni kod koristenja takvih datuma jer postoji mogucnost da su dodavane neke

reference prilikom prepisivanja. Stoga se ostavlja raspon od 200 godina kada su mate-

maticari mogli zivjeti.

Posebno korisni slucajevi su kada su matematicari radili opservacije u astronomiji.

Takvi datumi su s velikom vjerojatnoscu upravo datumi koje su zapisivali matematicari.

Uz pomoc tih datuma strucnjaci su uspjeli otkriti kada su zivjeli i drugi matematicari.

Druga korisna informacija cesto je i posveta koju su matematicari napisali u svojim

radovima. Posvete su vecinom bile upucene meceni, zastitniku koji je podupirao njihov

rad. Stoga, ako je pokrovitelj bio poznat i ako se znalo kada je zivio, lako se moglo

saznati i vrijeme zivljenja matematicara.

Mnogi radovi su napisani kao pismo, te poslani prijatelju. Takvi spisi cesto imaju,

sadrze i razlog zasto je rad napisan. Npr. prva Apollonijeva knjiga Konik (Conics)

poslana je Eudemusu iz Pergamuma. Vec iz tog podatka moze se mnogo toga saznati

jer je Pergamum grcki grad 25km udaljen od Egejskog mora, danas poznat kao Izmir.

Koristeci povijesne informacije o tom gradu, iz pisma se iscitalo da je Apollonius zivio u

Aleksandriji, te da su u njegovo vrijeme matematicari posjecivali jedni druge i poticali

na rad.

4.1. Tales

Tales iz Mileta (oko 624. - 548. pr. Kr.) je prvi poznati grcki matematicar, filozof,

znanstvenik i inzenjer. Nazalost, nista nije ocuvano od njegovih pisanih djela, tako da

je tesko odrediti je li uopce ista pisao, a i ako je ta su djela izgubljena u Aristotelovo

doba. Ipak, mnogi grcki filozofi su ostavili trag o Talesu i njegovom radu. Izrekao je

mnoge tvrdnje koje je i dokazao. Tales je jedini filozof prije Sokrata koji je uvrsten

medu Sedam antickih mudraca. Tvrdio je kako nema razlike izmedu zivota i smrti.

Na pitanje zasto onda ne umre, odgovorio je: Zato sto nema nikakve razlike. Prica se

da ga je majka nagovarala da se ozeni. On joj je na to odgovorio da mu je prerano.

Kasnije je majka opet navaljivala da se ozeni, a on je rekao da mu je prekasno.

Tales je prauzrok svih dogadaja vidio u vodi, vjerovao je da je voda izvor svega. U

mladosti se bavio trgovinom. Predvidio je dobar urod maslina, zakupio sve masline i

tako se obogatio praveci ulje. Trgovao je i solju.

Platon spominje kako je jedne noci Tales pjesacio promatrajuci nebo. Ne gledajuci u

8

nebo i ne pazeci kamo staje, pao je u rupu. Neka mu je zena rekla: Kako ocekujes da

ces razumjeti sto se dogada gore na nebu, kad ne vidis ni sto ti je pod nogama?.

Smatrao je da Zemlja ima oblik diska koji pluta na vodi, tj. beskonacnom oceanu i

da su sve stvari oko nas sacinjene od vode. Tako je i tvrdio da su potresi posljedica

cinjenice sto se Zemlja nalazi na vodi. Pripisuje mu se tocno predvidanje pomrcine

Sunca, 28. svibnja 585. pr. Kr.

Ipak, nama su najvaznija njegova matematicka ostvarenja. Prvi je smatrao da mate-

maticke cinjenice treba i dokazati. Drugim rijecima, prvi je naglasio da nije dovoljno

samo opazati pojave, vec ih treba i dokazati. Tako je tijekom svojih putovanja u Egipat

usvojio njihova znanja iz geometrije.

Pripisuju mu se sljedeci rezultati iz geometrije:

• Vrsni kutovi su jednaki.

• Kutovi uz osnovicu jednakokracnog trokuta su jednaki.

• (Poucak o sukladnosti trokuta - KSK) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju

u jednoj stranici i dvama kutovima uz tu stranicu.

• Svaki dijametar raspolavlja krug.

• Talesov poucak o obodnom kutu nad promjerom kruznice: Obodni kut

nad promjerom kruznice je pravi kut.

Dokaz1:

Slika 7. Talesov poucak o obodnom kutu nad promjerom kruznice

1Nije izvorno Talesov

9

Znamo da je zbroj kutova u trokutu jednak zbroju dva prava kuta, tj. π. Prema

tome slijedi: 2β = π−δ i 2α = π−γ. Zbrojimo li te dvije jednadzbe i podijelimo

sa 2 dobivamo:

2β + 2α = π − δ + π − γβ + α = π − (δ + γ)/2

δ + γ = π ⇒ β + α =π

2

2

Izmedu ostalog, Tales je nasao metodu kako izracunati udaljenost brodova na obali.

Pretpostavlja se da je to ucinio na sljedeci nacin:

Slika 8. Udaljenost brodova na obali

Neka je A polozaj promatraca na obali i B polozaj usidrenog broda na morskoj pucini

(Slika 8.). Krecuci se od tockeA po pravcu okomitom na pravacAB, Tales je, dosavsi do

izvjesne tocke D, nastavio se kretati u istom smjeru do tocke C, takve da je AD = DC.

Zatim se kretao u pravcu okomitom na pravac AC prateci kada ce njegov polozaj B

biti na pravcu DB. Iz podudarnosti trokuta DBA i DEC, Tales je zakljucio da je

AB = CE. Mjerenjem duzine CE odreduje se istovremeno udaljenost od tocke B do

tocke A.

Visina egipatske (Keopsove) piramide

Tales je izracunao visinu piramide iskoristivsi trenutak kad je duljina njegove sjene bila

jednaka njegovoj visini, jer tada je i duljina sjene piramide jednaka visini piramide.

Zakljucio je da koliko je puta njegova visina veca (manja) od njegove sjene, toliko je

puta i visina piramide veca (manja) od duljine njezine sjene.

10

Iz tog zanimljivog dogadaja proizasao je jedan od najvaznijih poucaka u geometriji -

Talesov poucak o proporcionalnosti:

Neka paralelni pravci a i b sijeku krakove kuta ∠pV p′ u tockama A i A′, te B i B′.

Onda je

|V A| : |AB| = |V A′| : |A′B′|

i

|V A| : |V B| = |V A′| : |V B′|.

Krace kazemo: paralelni pravci na krakovima kuta odsijecaju proporcionalne duzine.

Slika 9. Talesov poucak o proporcionalnosti

4.2. Pitagora

Pitagora je roden oko 570. g. pr. Kr. na otoku Samosu u Egejskom moru (danas

taj otok pripada Turskoj). Vrlo je rano iskazivao zelju za znanjem koje je, izmedu

ostalog, stjecao od ucenih ljudi na brojnim putovanjima s ocem - bogatim trgovcem.

Osobit utjecaj na Pitagoru imala su tri filozofa: Ferekid, njegov ucitelj, te Tales i nje-

gov ucenik Anaksimandar, koji su ga upoznali s matematickim idejama. Pitagora je

sreo Talesa u Miletu kad mu je bilo 18 godina. Tales ga je zainteresirao za matematiku

i astronomiju te mu savjetovao da putuje u Egipat da bi vise naucio. Oko 535. g.

pr. Kr. Pitagora odlazi u Egipat, gdje sudjeluje u mnogim filozofskim raspravama sa

svecenicima i filozofima. Nakon ritualne svecanosti postaje hramski svecenik u Dios-

polisu. Mnogi obicaji iz Egipta vide se kasnije u njegovoj zajednici, vegetarijanstvu,

odbijanju graha kao hrane, . . . Nakon 10 godina Pitagorinog boravka u Egiptu, 525.

g. pr. Kr., Perzija je napala i okupirala Egipat. Pitagora pada u zarobljenistvo te ga

odvode u Babilon, gdje je mnogo naucio o babilonskoj religiji i kulturi. Oko 520. g.

11

pr. Kr. vraca se na Samos gdje osniva skolu pod imenom Polukrug. Medutim, zbog

metoda, nacina razmisljanja i strogosti koji su bili slicni onima koje je naucio u Egiptu,

stanovnici Samosa, nauceni na drugaciji nacin razmisljanja, iskazali su nezadovoljstvo

Pitagorinim poucavanjem. Zbog toga je bio prisiljen napustiti mjesto. Odlazi u juznu

Italiju, u grad Kroton (danas Crotona) i osniva filozofsko - religioznu skolu poznatu

kao pitagorejska skola, koja je imala mnogo sljedbenika. Drustvo se sastojalo iz dva

kruga: unutarnji krug cinili su ucitelji i matematicari mathematikoi, a vanjski krug

su bili akuzmatici akousmatikaoi. Clanovi unutarnjeg kruga, medu kojima je bio i

sam Pitagora, morali su biti vegetarijanci, bez osobnog vlasnistva i zivjeti u zajednici.

Clanove vanjskog kruga cinili su ljudi koji su zivjeli u svojim kucama, smjeli imati

privatno vlasnistvo, nisu morali biti vegetarijanci, a u skolu su dolazili preko dana. U

zajednici je bilo i zena, cak su nekoliko pitagorejki kasnije postale poznati filozofi.

Pitagorejce su zanimale osnove matematike, kao npr. pojam broja, trokuta i drugih

matematickih likova, te apstraktna ideja dokaza. Prije svega, pitagorejci zamjenjuju

brojeve uredenim grupama tocaka te razvijaju disciplinu figurativnih brojeva. Tako

u korijenu svega lezi Monada, broj jedan. Monada je u dosluhu sa principom totalne

indukcije, on nije broj vec princip. Monada odreduje jedinstvo, identicnost, jednakost,

slogu. Dva ili Dijada nije dvostruko vise od jedan, vec dvostruko manje. Radi se o

iskonskom grijehu, o prelamanju jedne vrijednosti na dva dijela: na dobro i zlo. Di-

jada je nosilac principa suprostavljanja, nejednakosti i diskriminacije. Ona uzorkuje

radanje, pa ce biti oznacena kao zenski broj, sto i dokazuje svojom djeljivoscu na jed-

nake polovice. Opcenito, parni brojevi bit ce nositelji zenskog nacela. Prvi neparni

i muski broj (jedinica je vise princip nego broj) je broj tri ili Trijada. On je osnova

trokuta i sve njegove simbolike. Postojao je i najbolji od svih brojeva, savrseni, sveti

broj, broj deset ili Dekada. U stvaranju Dekade sudjeluju prva cetiri prirodna broja, tj.

njihov zbroj (1+2+3+4 = 10). Deset je najveci broj, svi ostali dobiju se interakcijom

(zbrajanje, mnozenje, kvadriranje itd.) prvih deset brojeva. Inace, brojevi se dijele

na ciste ili bozanske, naucne i na konkretne brojeve. Pitagorejci su vjerovali da je sve

broj, da se sve moze shvatiti preko (prirodnih) brojeva i njihovih omjera (razlomaka).

Svaki je pitagorejski broj imao osobnost, tj. vjerovali su u numerologiju. Vjerovali su

da se sve oko nas i cijeli svemir moze objasniti brojevima. Do tog zakljucka dosli su

nakon mnogo opazanja u glazbi, matematici i astronomiji. Tako je poznato Pitagorino

opazanje da zice glazbala proizvode tonove u harmoniji kada su koeficijenti duljina tih

zica cijeli brojevi. Pitagora je bio vrstan glazbenik, svirao je liru i koristio je glazbu

kao sredstvo lijecenja bolesnika (muzikoterapija).

Pitagorejska dostignuca bila su osobitno vazna i u podrucju geometrije i astronomije.

U astronomiji su poucavali da je Zemlja sfera u sredistu svemira. Prepoznali su nagib

mjeseceve orbite prema Zemljinom ekvatoru te da je vecernjaca isto sto i jutarnja zvi-

12

jezda (Venera).

Vecina njihovih rezultata skupljena je u Euklidovim Elementima.

Poznatije tvrdnje koje su dokazali Pitagora i pitagorejci:

• Otkrice iracionalnih brojeva. Konkretno, pokazali su da√

2 nije racionalan, tj.

da dijagonala kvadrata nije sumjerljiva stranici kvadrata.

• Zbroj kutova u trokutu jednak je zbroju dva prava kuta.

• Kvadrat nad hipotenuzom jednak je zbroju kvadrata nad ostale dvije stranice u

pravokutnom trokutu (Pitagorin poucak).

• Pet pravilnih geometrijskih tijela (Platonova tijela):

- tetraedar (4 pravilna trokuta i po 3 brida kroz svaki vrh)

- kocka (6 kvadrata i po 3 brida kroz svaki vrh)

- oktaedar (8 pravilnih trokuta i po 4 brida kroz svaki vrh)

- ikozaedar (20 pravilnih trokuta i po 5 bridova kroz svaki vrh)

- dodekaedar (12 pravilnih peterokuta i po 3 brida kroz svaki vrh)

Smatra se da je sam Pitagora znao konstruirati prva tri pravilna tijela, ali ne i

posljednja dva.

Pitagorejci su stovali i zakon uzajamnog pomaganja i kult prijateljstva (oblik privrzenosti

i njeznog prijateljstva, u kojem je zrtvovanje zivota za prijatelja sasvim prirodan

dogadaj). Pitagora i njegovi sljedbenici bili su dobro poznati po vegetarijanstvu. Pi-

tagorejski obred zahtijevao je potpunu cistocu tijela i odjece, upotrebu mirisa, sva-

kodnevno ispitivanje savjesti i pricest na kojoj se uzimalo samo bijelo meso zrtvenih

zivotinja (bijelih pijetlova, kozlica i prasadi). Obrok u kojem su preskakali meso

najcesce je bio poslijepodne.

Oko 508. g. pr. Kr. napadnuta je pitagorejska skola. Vjeruje se da je tada Pitagora

pobjegao u Metapont i tamo se ubio. Neki cak tvrde da se Pitagora kasnije vratio u

Kroton te da je skola jos dugo opstala. Iza 500. g. pr. Kr. skola se sve manje bavila

znanoscu, a sve vise politikom i zato se uskoro rascjepkala na grupice. 460. g. pr. Kr.

skola je nasilno zatvorena, a mnogi pitagorejci pobijeni.

Pitagorejska aritmetika

Pitagorejci su proucavali razna svojstva prirodnih brojeva: svojstva parnih i neparnih

brojeva, figurativne brojeve, savrsene i prijateljske brojeve. Po njima su brojevi aps-

traktni pojmovi, a objekti realizacija broja. Proucavali su i odnos izmedu aritmeticke,

geometrijske i harmonijske sredine dva broja.

13

Posebnu paznju posvecivali su figurativnim brojevima. To su prirodni brojevi koje

mozemo prikazati slaganjem kamencica (tockica, kvadratica) u geometrijske likove.

Jednom tockicom prikazan je broj 1, a slaganjem tockica u odredene oblike dobivaju

se ostali prirodni brojevi.

Trokutni brojevi su gradeni dodavanjem uzastopnih redova tockica. To su brojevi

oblika

1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2.

Primjer 4.1 Trokutni brojevi 1, 3, 6, 10, 15.

1 = 1

3 = 1 + 2

6 = 1 + 2 + 3

10 = 1 + 2 + 3 + 4

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

Kvadratni brojevi su predstavljeni tockicama u obliku kvadrata.

To su brojevi oblika

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2.

Pitagorejci su pokazivali da su kvadratni brojevi jednaki zbrojevima uzastopnih nepar-

nih brojeva.

Primjer 4.2 Kvadratni brojevi 1, 4, 9, 16, 25.

1 = 1 = 12

1 + 3 = 4 = 22

1 + 3 + 5 = 9 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52

14

Peterokutne, sesterokutne i ostale n-terokutne brojeve dobivamo pravilno slazuci tockice

u odgovarajuci oblik (Slika 10.).

Slika 10. Peterokutni i sesterokutni brojevi

Savrseni brojevi su prirodni brojevi koji su jednaki zbroju svih svojih pravih djeli-

telja. Takvi su:

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Euklid je otkrio jos dva savrsena broja: 496 i 8128.

Mnogi grcki matematicari i filozofi bavili su se savrsenim brojevima, ali ih nisu uspjeli

pronaci.

Prijateljski brojevi su parni prirodni brojevi od kojih je svaki jednak sumi pravih

djelitelja drugog. Npr. 220 i 284 (Djelitelji broja 220 su: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55

i 100. Njihov zbroj je 284. Djelitelji broja 284 su: 1, 2, 4, 71 i 142, a njihov zbroj je

220.).

Pitagorejci su proucavali i pitagorejske trojke. Poznavali su ih jos stari Babilonci,

no nacin njihova pronalazenja nije im bio poznat.

Pitagorejske su trojke trojke prirodnih brojeva (x, y, z) koje zadovoljavaju jednadzbu

x2 + y2 = z2. (1)

Jednadzba (1) naziva se Pitagorina jednadzba, pri cemu x, y zovemo katete, a z hipo-

tenuza Pitagorinog trokuta.

15

Teorem 4.1 Pitagorinih trojki ima beskonacno mnogo.

Dokaz :

Buduci da se za svaki prirodni broj k od Pitagorine trojke (x, y, z) moze dobiti Pitago-

rina trojka (kx, ky, kz), ocito je da svaka Pitagorina trojka generira beskonacno mnogo

Pitagorinih trojki. Npr. (3, 4, 5) −→ (3k, 4k, 5k). 2

Ako su prirodni brojevi x, y, z iz Pitagorine trojke (x, y, z) relativno prosti, onda takvu

Pitagorinu trojku nazivamo primitivnom Pitagorinom trojkom. Tako su Pitagorine

trojke (3, 4, 5) i (20, 21, 29) primitivne, a (12, 16, 20) i (40, 42, 58) izvedene, jer su do-

bivene od primitivnih mnozenjem sa 4, odnosno 2.

Teorem 4.2 Ako su x, y, z relativno prosti prirodni brojevi takvi da je

x2 + y2 = z2

x = 2mn

y = m2 − n2

z = m2 + n2

za neke m,n ∈ N, onda je tocno jedan od m i n paran, a drugi neparan. Jedine

pitagorejske trojke (x, y, z) s x, y, z relativno prostima su gornjeg oblika.

Dokaz :

Pretpostavimo da su m i n parni. Tada su i x, y, z takoder parni, sto je nemoguce jer

su relativno prosti.

Prepostavimo suprotno, tj. da su m i n neparni. Tada lijeva strana jednakosti x2+y2 =

z2 pri dijeljenju s 4 daje ostatak 2, a desna 0, sto je nemoguce. 2

Pitagorin teorem

Naravno, danas mi pamtimo Pitagoru po poznatom Pitagorinom poucku (teoremu).

Iako je taj poucak nazvan po Pitagori, bio je poznat Babiloncima oko 1500 godina ra-

nije. Naime, Pitagora nije prvi otkrio taj poucak, vec ga je prvi dokazao zbog cega se

on bas i naziva Pitagorin poucak. Postoji nekoliko stotina razlicitih dokaza Pitagorinog

teorema, a jedan od njih je:

Teorem 4.3 Zbroj kvadrata nad katetama pravokutnog trokuta jednak je kvadratu nad

hipotenuzom.

Dokaz (J. A. Garfield2):

U vrh A na stranici AB pravokutnog trokuta ABC nanesimo duzinu AD, tako da

2Americki predsjednik u 19. stoljecu

16

duzine AD i AB zatvaraju pravi kut, |AD| = |AB|. Preko tocke A produzimo stranicu

CA. Iz tocke D spustimo okomicu na pravac CA i oznacimo noziste okomice s E.

Trokuti ABC i DAE su sukladni. Oba trokuta su suklada i imaju jednake hipotenuze

pa vrijedi:

∠EDA = ∠CAB = α.

Cetverokut DBCE je trapez koji se sastoji od tri pravokutna trokuta.

Slika 11. Pitagorin poucak

Povrsina trapeza je:

P =a+ b

2· v =

a+ b

2· (a+ b).

Povrsinu trapeza mozemo dobiti i na drugi nacin. Zbroju povrsina dvaju sukladnih

pravokutnih trokuta ABC i AED dodamo povrsinu polovice kvadrata stranice c.

Dakle, imamo:

P (DBCE) = 2P (ABC) + P (ADB)

(a+ b)a+ b

2= 2 · a · b

2+c2

2(a+ b)2 = 2ab+ c2

a2 + b2 = c2.

2

Obrat Pitagorinog teorema: Ako za duljine stranica trokuta ABC vrijedi a2 + b2 =

c2, taj je trokut pravokutan s pravim kutom naspram stranice c.

Dokaz :

Pretpostavimo da za stranice trokuta ABC vrijedi a2 + b2 = c2.

Konstruirajmo pravokutan trokut A′B′C ′ s katetama a′ i b′ tako da je a′ = a i b′ = b.

17

Slika 12. Obrat Pitagorinog poucka

Za taj trokut vrijedi Pitagorin poucak.

Tada imamo:

c′ =√

(a′)2 + (b′)2 =√a2 + b2 = c.

Trokuti ABC i A′B′C ′ su sukladni jer se podudaraju u sve tri stranice. Ako su suk-

ladni, onda su im i odgovarajuci kutovi jednaki.

Zakljucujemo, kut pri vrhu C trokuta ABC je pravi. 2

4.3. Euklid

Euklid (330. - 275. pr. Kr.) je zivio za vrijeme vladavine Ptolomeja Sotera u

Aleksandriji, kulturnom i znanstvenom sredistu tadasnjeg svijeta. Smatra se da je

matematicko obrazovanje dobio u Ateni kod Platonovih ucenika. Bio je osnivac tzv.

Aleksandrijske matematicke skole Museion u kojoj je razvio svoju nastavnu i znans-

tvenu djelatnost. Napisao je vise knjiga iz glazbe, optike, astronomije i matematike.

Najznacajnije Euklidovo djelo su Elementi. Od povijesnog su i kulturnog znacenja,

ne samo za matematiku, vec i za cjelokupno ljudsko znanje. Osim Elemenata, do

danasnjih su dana prezivjela jos dva Euklidova djela: Data i O dijeljenju. Postoje i

djela koja se opravdano smatraju Euklidovim, no koja su tijekom stoljeca unistena.

To su: Konike, Porizmi, Pseudarija, O plohama, Phaenomena te Optika i katoptrika.

Euklid u svojim djelima nikada nije pisao predgovore, te nam tako nije ostavio podatke

o svojoj osobnosti i misljenjima, za razliku od mnogih grckih filozofa. Za Elemente se

kaze da su nakon Biblije najprevodenija knjiga u ljudskoj povijesti. Objavljeni su oko

300. g. pr. Kr. , a na hrvatskom jeziku prvi puta su se pojavili 1999. godine u izdanju

izdavaca Kruzak iz Zagreba. Dozivjeli su 1700 izdanja. Sve do 18., a dijelom i 19.

stoljeca bili su osnovni udzbenik iz geometrije.

Elementi se sastoje od 13 knjiga:

• knjige 1 - 6 bave se planimetrijom,

18

• knjige 7 - 9 geometrijskom teorijom cijelih brojeva,

• knjiga 10 teorijom iracionalnih brojeva,

• knjige 11 - 13 stereometrijom.

U kasnijem razdoblju tim su knjigama pridodane jos dvije knjige drugih autora.

Djelo pocinje definicijama. U prvoj knjizi ih ima 23. Prve 3 su:

1. Tocka je ono sto nema dijelova.

2. Duzina je duljina bez sirine.

3. Krajevi duzine su tocke.

U prvoj knjizi je 5 postulata. Prva tri pripisuju se Euklidovim prethodnicima dok se

druga dva pripisuju Euklidu. Navedimo ih:

1. Dvije tocke odreduju duzinu.

2. Duzina se moze produziti u svakom smjeru.

3. Kruznica je zadana sredistem i radijusom.

4. Svi pravi kutovi su jednaki.

5. Postulat o paralelama: Ako pravac sijece dva pravca tako da je zbroj unutar-

njih kutova s iste strane manji od dva prava kuta, onda se ta dva pravca (ako se

dovoljno produze) sijeku, tj. nisu paralelni.

Od posebnog je znacaja posljednji, peti postulat. Neovisnost o prva cetiri postu-

lata, peti postulat dovodi do nastanka neeuklidske geometrije u devetnaestom stoljecu.

Pomocu njega dokazuju se mnogi teoremi elementarne geometrije, medu kojima su

i tvrdnje njemu ekvivalentne. Od poznatijih su Playfairova (kroz svaku tocku izvan

pravca postoji jedinstvena paralela s tim pravcem), Wallisova (slicni trokuti ne moraju

biti sukladni) te Legendreova tvrdnja (postoji trokut cija je suma unutrasnjih kutova

dva prava kuta).

U prvoj knjizi nalazi se i pet aksioma:

1. Jednakost je tranzitivna relacija.

2. Ako je a = b i c = d, onda je a+ c = b+ d.

3. Ako je a = b i c = d, onda je a− c = b− d.

19

4. Ono sto se podudara je jednako.

5. Cjelina je veca od dijela.

U prvoj knjizi nalazi se i 48 propozicija elemenentarne geometrije. Neke od njih su:

1: Konstrukcija pravilnog trokuta zadane stranice.

32: Vanjski kut u trokutu je suma nasuprotnih unutrasnjih kuteva. Suma unutrasnjih

kutova trokuta je dva prava kuta.

47: Pitagorin teorem.

U drugoj knjizi nalazi se 14 propozicija geometrijske algebre. Od bitnijih propozicija

je:

4: Geometrijski dokaz formule (x+ y)2 = x2 + 2xy + y2.

Treca knjiga obraduje 37 propozicija o planimetriji kruznice i kruga, kao npr.

1: Odredivanje sredista dane kruznice.

31: Talesov teorem.

U cetvrtoj knjizi je 16 propozicija konstrukcije pravilnih poligona, kao npr.

15: Konstrukcija pravilnog sesterokuta.

Peta knjiga obraduje Eudoksovu teoriju omjera i razmjera. Sastoji se od 25 propozi-

cija, kao npr.

2: Distributivnost mnozenja prema zbrajanju.

3: Asocijativnost mnozenja za prirodne brojeve.

5: Komutativnost mnozenja.

Tu su i definicije jednakosti omjera, dvostruki i trostruki omjer.

20

5: Ako su a, b, c, d istovrsne geometrijske velicine, onda je a : b = c : d ako za sve

prirodne brojeve m,n vrijedi

– ako je ma < nb, onda je mc < nd,

– ako je ma = nb, onda je mc = nd,

– ako je ma > nb, onda je mc > nd.

9: Ako je dan omjer a : b, njegov dvostruki omjer je a : c takav da je a : b = b : c.

10: Ako je dan omjer a : b, njegov trostruki omjer je a : d takav da je a : b = b : c =

c : d.

Sesta knjiga se sastoji od 33 propozicije o primjeni opce teorije omjera i razmjera na

planimetriju. Osim teorema o slicnosti trokuta tu je i propozicija:

9: Kako podijeliti danu duzinu na odreden broj jednakih dijelova.

10: Kako podijeliti duzinu u zadanom omjeru.

Sedma knjiga se bavi teorijom brojeva kroz 39 propozicija. Jedna od propozicija je

npr.

34: Odredivanje najmanjeg zajednickog visekratnika.

Osma knjiga kroz 27 propozicija govori o djeljivosti i omjerima, dok deveta knjiga

sadrzi 36 propozicija o parnim, neparnim i savrsenim brojevima.

U desetoj knjizi je 117 propozicija o klasifikaciji kvadratnih iracionalnosti. Posebno

treba istaknuti sljedecu propoziciju:

1: Eudoksova lema (metoda ekshaustije): Ako od neke velicine oduzmemo vise od

njene polovine, od ostatka vise od njegove polovine itd., onda ce, ako se postupak

ponovi dovoljan broj puta, ostatak biti manji od bilo koje velicine.

U jedanestoj knjizi medu 39 propozicija o opcoj stereometriji isticemo:

3: Presjek dvije ravnine je pravac.

6: Pravci okomiti na istu ravninu su paralelni.

Dvanaesta knjiga se bavi primjenom metode ekshaustije na stereometriju u 18 pro-

pozicija.

2: Povrsine krugova su proporcionalne kvadratima njihovih promjera.

U trinaestoj, zadnjoj knjizi nalazi se 18 propozicija o teoriji pravilnih poliedara.

21

4.4. Arhimed

Arhimed je roden 287. g. pr. Kr. u Sirakuzi, tadasnjem grckom nezavisnom

gradu - drzavi. Legenda kaze da je poginuo od maca rimskog vojnika u Sirakuzi, 212.

g. pr. Kr. Naime, rjesavajuci matematicke probleme u pijesku, Arhimed se oglusio o

naredbu vojnika da se preda te mu rekao: Ne dirajte moje krugove!. Njegov je grob

pronasao Ciceron, i to zahvaljujuci crtezu kugle i valjka na njegovom nadgrobnom spo-

meniku. Arhimed se smatra najznacajnijim primijenjenim matematicarem i fizicarem

prije Newtona. Bio je sin astronoma i matematicara Fidije koji ga je naucio svemu

sto je i sam znao. Arhimed je brzo usvojio oceva znanja te odlazi u Aleksandriju gdje

je upoznao matematicara Eratostena. Kao genijalni fizicar otkrio je mnoge zakone:

zakon poluge (legendarni je njegov uzvik: Dajte mi oslonac i dovoljno dugacku polugu,

pa cu pomaknuti Zemlju), zakon uzgona tzv. Arhimedov zakon, odredio teziste tijela,

unaprijedio statiku. Mozda je jedan od najpoznatijih problema na kojima je radio za-

kon uzgona. Naime, sirakuski kralj je dao izraditi novu krunu, ali je posumnjao da ga

je zlatar prevario stavivsi nesto srebra u krunu. Stoga je kralj pred Arhimeda postavio

zadatak. Trebao je odrediti je li kruna izradena od cistog zlata, ali da pri tome ne osteti

krunu. Arhimed je na rjesenje problema naisao dok se kupao u kadi. Primijetio je da

se voda podigla i to za onoliko kolika je bila tezina njegova tijela. Uzbuden svojim ot-

kricem, gol je potrcao obavijestiti kralja o rjesenju problema, vicuci pri tome Heureka!

Heureka! (Nasao sam!). Naime, kada je Arhimed stavio na jednu stranu vage krunu, a

s druge grumen zlata iste mase, vaga je bila u ravnotezi. Medutim, prevagnuo je krak

s grumenom zlata kada je vagu uronio u vodu i tako dosao do zakljucka da je obujam

grumena zlata manji od obujma krune, odnosno, citava kruna nije bila izradena od

cistog zlata. Vrativsi se u Sirakuzu, Arhimed se poceo baviti astronomijom. No uskoro

pomaze obrani grada u ratu protiv Rimljana, gradeci nove strojeve i oruzja. Tako se

dosjetio da bi se u zidinama mogle napraviti rupe kroz koje bi vojnici nesmetano mogli

gadati neprijatelja. Izgradio je i napravu pomocu koje se na neprijatelje moglo proliti

vrelo ulje. Arhimed je radio i na sfernim zrcalima pomocu kojih su Grci, koristeci

sunceve zrake, palili rimske brodove.

Arhimed je pisao o nizu tema. Od vaznijih djela su mu Kvadratura parabole, O kugli i

valjku, O konoidima i sferoidima, O mjerenju kruga, O spiralama, O ravnotezi ravnih

likova...

Ipak, najveci su njegovi doprinosi matematici. Najvecu slavu stekao je svojim ras-

pravama o zaobljenim geometrijskim likovima. Tako je povrsinu tih likova izracunao

slozenom metodom bliskom danasenjem infinitezimalnom racunu. Upisivanjem pravil-

nih mnogokuta od 6, 12, 24, 38 i 96 stranica u jedinicnu kruznicu i njihovim opisivanjem

oko kruznice dobio je dotad najbolju aproksimaciju broja π:

22

31

7< π < 3

10

71.

Promotrimo slucaj sesterokuta upisanog, odnosno opisanog jedinicnoj kruznici:

Slika 13.

• Promotrimo li upisani sesterokut, primjecujemo da je karakteristicni trokut jed-

nakostranican, i da mu stranica iznosi r (Slika 13., lijevo). Primjenom Pitagori-

nog poucka dobivamo da je visina trokuta v = r√3

2, dok je povrsina jednaka r2

√3

4.

Odatle dobivamo da je povrsina upisanog sesterokuta jednaka 3√3

2r2 = 2.598r2.

• Kod opisanog sesterokuta karakteristicni trokut je jednakostranican visine r (Slika

13., desno). Primjenom Pitagorinog poucka dobivamo da je duljina njegove

stranice jednaka a = 2r√3. Iz toga slijedi da je povrsina opisanog sesterokuta

6√3r2 = 3.464r2.

Iz ovog proracuna ocito je da je 2.598 < π < 3.464. Racunanjem aritmeticke sredine

tih dviju ocjena dobivamo nepreciznu aproksimaciju broja π ≈ 3.03109.

Ovom metodom zapravno dobivamo interval koji sadrzi broj π, te kojemu je donja

ograda povrsina kruznici upisanog mnogokuta, a gornja ograda povrsina kruznici opi-

sanog mnogokuta. Aritmeticka sredina donje i gornje ograde intervala je aproksimacija

broja π. Arhimed je uocio da se moze dobiti tocnija aproksimacija broja π ako je broj

stranica mnogokuta veci jer je tada dobiveni interval manji.

Primjenom te metode na tijela Arhimed je dosao do zakljucka da se obujmi valjka,

kugle i stosca jednakih polumjera i visina odnose kao 3 : 2 : 1 (Slika 14.).

23

Slika 14. Odnosi volumena valjka, kugle i stosca

Arhimed je u djelu O spiralama opisao spiralu koja je danas poznata kao Arhimedova

spirala (Slika 15.). Opisuje ju materijalna tocka koja se giba konstantnom brzinom v

po zraci koja rotira konstantnom kutnom brzinom ω oko polazista O. Kut φ jednoliko

raste

φ = ωt, (2)

kao i radijalna udaljenost od ishodista

r = vt.

Eliminiramo li vrijeme iz jednadzbe (2) t = φ/ω i definiramo li oznaku a = v/ω

dobivamo jednadzbu Arhimedove spirale

r = aφ.

Slika 15. Arhimedova spirala

24

Arhimed je svaki rezultat strogo logicki provjerio i dokazao. U dokazivanju je koristio

i Arhimedov aksiom.

Arhimedov aksiom: Za svaka dva realna broja a > 0 i b > 0 postoji n ∈ N takav da

je na > b.

Skup realnih brojeva opisujemo aksiomima koji daju osnovna svojstva toga skupa.

Pridodamo li tim aksiomima Arhimedov aksiom, kazemo da je R uredeno arhimedsko

polje.

Starogrcki matematicar Papo iz Aleksandrije (druga polovica 3. st. pr. Kr.) u djelu

Zbornik radova opisao je 13 tijela koja se zovu polupravilni ili Arhimedovi poliedri.

Vise matematicara, medu kojima je i hrvatski matematicar Stanko Bilinski, sredinom

20. stoljeca pronasli su 14. Arhimedov poliedar.

Ovisno o konstruktivnoj metodi koja je koristena pri konstrukciji Arhimedovih tijela

imamo dvije grupacije (Slika 16.):

1. Tijela omedena s dvije vrste mnogokuta:

• poliedri s jednakostranicnim trokutima i kvadratima su kubooktaedar, rom-

bokubooktaedar, te zaobljena kocka,

• poliedri s jednakostranicnim trokutima i pravilnim peterokutima su ikozo-

dodekaedar i zaobljeni dodekaedar,

• poliedar s jednakostranicnim trokutima i pravilnim sesterokutima je okr-

njeni tetraedar,

• poliedar s jednakostranicnim trokutima i pravilnim osmerokutima je okr-

njena kocka,

• poliedar s jednakostranicnim trokutima i pravilnim deseterokutima je okr-

njeni dodekaedar,

• poliedar s kvadratima i pravilnim sesterokutima je okrnjeni oktaedar,

• poliedar s pravilnim peterokutima i sesterokutima je okrnjeni ikozaedar.

2. Tijela omedena s tri vrste mnogokuta:

• poliedar s jednakostranicnim trokutima, kvadratima i pravilnim peteroku-

tima je romboikozododekaedar,

• poliedar s kvadratima, pravilnim sesterokutima i osmerokutima je veliki

rombokubooktaedar,

• poliedar s kvadratima, pravilnim sesterokutima i deseterokutima je veliki

romboikozododekaedar.

25

Slika 16. Arhimedova tijela

26

5. Problemi starogrcke matematike

Geometrijske konstrukcije starih Grka predstavljale su znacajan dio matematike.

Tako je Platonova akademija postavila pravilo da se sve geometrijske konstrukcije mo-

raju izvesti iskljucivo ravnalom i sestarom, pri cemu se ravnalo koristi iskljucivo za

spajanje dviju tocaka, a sestar iskljucivo za crtanje kruznica, kojima su unaprijed za-

dani srediste i radijus. Navedeni pristup geometrijskim konstrukcijama doveo je do

niza matematickih problema, medu kojima su najpoznatija tri:

1. duplikacija kocke,

2. kvadratura kruga,

3. trisekcija kuta.

Pokusaji rjesavanja tih problema doveli su do niza novih otkrica i velikog razvoja

tadasnje matematike.

5.1. Duplikacija kocke

Duplikacija kocke, poznata kao Delijski problem, je problem konstruiranja kocke

ciji je volumen dvostruko veci od volumena zadane kocke. O ovom problemu govore

dva izvora. Po Teonu iz Smirne, oko 430. g. pr. Kr. Atenom je harala kuga, te su

stoga Atenjani potrazili savjet prorocistva na Delosu. Tamo su dobili odgovor da ce

pobijediti kugu ako uspiju izraditi oltar dvostruko veci od tadasnjeg kockastog oblika.

Drugi izvor, zapisan od strane Eutociusa, u komentaru Arhimedova djela O kugli i

valjku, govori da je kralj Minos htio udvostruciti grob pjesnika Glaukusa, koji je bio

kockastog oblika.

Hipokrat s Hiosa je postigao prvi bitan napredak pokusavajuci rijesiti problem dupli-

kacije kocke. Pokazao je da je duplikacija kocke, duljine stranice a, moguca ukloliko se

mogu konstruirati srednje geometrijske proporcionale izmedu a i 2a. Poznato je da su

srednje geometrijske proporcionale izmedu duzina a i b duzine x i y takve da je

a : x = x : y = y : b. (3)

Posto je u nasem slucaju b = 2a, iz jednakosti (3) lako dobivamo da je x = a 3√

2,

tj. duljina stranice trazene kocke, dvostruko vece po volumenu od zadane. Nakon

Hipokrata, glavna vodilja pri rjesavanju problema duplikacije kocke bilo je odredivanje

srednjih geometrijskih proporcionala izmedu a i 2a.

Arhita iz Tarenta je srednje geometrijske proporcionale izmedu a i 2a odredio pomocu

presjeka valjka, stosca i torusa. Zapisao je da su one jednake√x2 + y2 i

√x2 + y2 + z2.

27

Menehmo je rjesenje za nalazenje srednjih geometrijskih proporcionala, opisano jezikom

danasnje analiticke geometrije, dao ovako: ako vrijedi (3) onda je

x2 = ay, y2 = bx, xy = ab. (4)

Prve dvije jednakosti predstavljaju jednadzbu parabola, dok zadnja jednadzba pred-

stavlja jednadzbu hiperbole. Promotrimo li specijalan slucaj kada je a = 1 i b = 2, niz

jednakosti (4) postaje

x2 = y, y2 = 2x, xy = 2, (5)

sto je vidljivo i na Slici 17.

Slika 17. Menehmovo ”rjesenje” duplikacije kocke

Presjek krivulja (5) je tocka s x - koordinatom 3√

2, a to je ujedno i rjesenje problema.

5.2. Kvadratura kruga

Kvadratura kruga je problem konstruiranja kvadrata koji ima povrsinu jednaku

povrsini danog kruga. Prvi poznati matematicar koji se bavio problemom kvadrature

kruga bio je Anaksagora iz Klazomene. Nakon njega problem promatra Antifont koji

za rjesenje predlaze upisivanje pravilnih poligona u krug, pocevsi od kvadrata, preko

osmerokuta redom uz udvostrucavanje broja stranica. Uocio je da se takvim postupkom

sve vise priblizava stvarnoj povrsini kruga, no nije mogao doci do konacnog rjesenja.

Hipokrat s Hiosa bavio se kvadraturom likova u obliku polumjeseca, poznatih kao

lunule3, iliti Hiporatovi mjeseci (Slika 18.).

3Figura omedena s dva kruzna luka

28

Slika 18. Lunula (Hipokratov mjesec)

Hipokrat je pokazao da je povrsina zadanog trokuta jednaka dvostrukoj povrsini lunule.

Koristeci isti nacin ipak nije uspio rijesiti problem kvadrature kruga. Oko 420. g. pr. Kr.

Hipija iz Elide je otkrio krivulju kvadratrisu koja je posluzila pri rjesavanju problema

kvadrature kruga. Kvadratrisu nije moguce konstruirati ravnalom i sestarom tako da

i ovo rjesenje ne zadovoljava uvjet konstrukcije.

Arhimed je primjenjujuci zakljucak da je povrsina kruga jednaka povrsini pravokutnog

trokuta cije su katete jednake polumjeru i opsegu kruga, promatrao problem kvadrature

kruga. Naime, najprije je konstruirao jedinicni krug sa sredistem u tocki O (Slika 19.).

Slika 19. Arhimedovo ”rjesenje” kvadrature kruga

Nakon toga je u krugu konstruirao spiralu, koja kad izvrsi jedan puni okret sijece dani

krug u tocki P . Zatim je konstruirao normalu u tocki O na pravac OP , a presjek s

kruznicom oznacio s N . Pretpostavimo li da je u tocki P povucena tangenta na spiralu,

a sjeciste sa spomenutom normalom oznacimo s T , slijedi da je |OT | = π. Drugim

rijecima, Arhimed je najprije prislonio ravnalo na spiralu, dok diraliste nije bila tocka

29

P . Nakon toga je sjeciste tangente s normalom oznacio s T , a poloviste duzine NT

oznacio sa S. Kako bi dobio√π, opisao je krug k(S, |ST |), jer je |OT | · |ON | = |OB|2.

Dobivenom stranicom konstruirao je kvadrat jednake povrsine kao i krug. Medutim,

navedenim postupkom Arhimed nije dao rjesenje problema kvadrature kruga, jer, kao

sto znamo, spiralu nije moguce konstruirati iskljucivo ravnalom i sestarom.

5.3. Trisekcija kuta

Trisekacija kuta je problem konstruktivnog nalazenja trecine zadanog kuta. Raz-

likuje se od prethodna dva problema jer je rjesiv u specijalnim slucajevim (npr. kutovi

od 27◦, 45◦, 90◦). Isto tako, problem je rjesiv konstrukcijom ravnalom i sestarom za

odredene kutove, kao sto je kut od 3π7

. Buduci da se svaki tupi kut moze zapisati kao

suma pravih kutova i jednog siljastog, problem trisekcije kuta se svodi na problem tri-

sekcije siljastog kuta. Hipokrat je dao mehanicko rjesnje problema trisekcije kuta, koje

nije izvedivo kao konstrukcija ravnalom i sestarom. Rjesenje funkcionira na sljedeci

nacin: Neka je zadan kut CAB i neka je iz vrha C povucena okomica na pravac AB,

koji sijece AB u D. Konstruiramo li pravac okomit na AB, kroz tocku A, dobivamo

pravokutnik ADCF (Slika 20.).

Slika 20. Hipokratovo ”rjesenje” trisekcije kuta

Stranica FC se produlji do tocke E, tako da sjeciste H od AE i CD bude takvo da je

|HE| = 2|AC|. Tada je kut EAB jednak trecini kuta CAB.

Zadatak 5.1 Neka je G poloviste duzine HE (Slika 20.). Dokazite da je tada kut

EAB trecina kuta CAB.

Rjesenje:

Kako je

|HE| = 2|AC| (6)

i G poloviste duzine duzine HE, tada je |HG| = |GE|. Trokut HCE je pravokutan pa

slijedi da je G srediste kruznice opisane tom trokutu. Stoga je |HG| = |GE| = |CG|,

30

odnosno

|HE| = 2|HG| = 2|GE| = 2|CG|. (7)

Iz (6) i (7) slijedi da je |AC| = |CG| i ∠CGA = ∠EAC, ∠ECG = ∠EAB. Sada iz

∠EGC = 180◦ − ∠CGA = 180◦ − 2∠ECG, slijedi da je 2∠ECG = ∠CGA.

Jedan od najpoznatijih mehanickih konstrukcija bila je Arhimedova. Uz pomoc ravnala

i sestara, pri cemu je na ravnalu dozvoljeno ucrtavanje duzina, sto prelazi izvan okvira

dozvoljenih konstrukcija, problemu je pristupio na sljedeci nacin:

Uzmimo S kao vrh siljastog kuta φ (Slika 21.). Konstruirajmo kruznicu radijusa r koja

presjeca krakove kuta φ u tockama A i B. Na ravnalo nanesemo duljinu polumjera r,

te je oznacimo s PQ i postavimo kroz tocku B, tako da su te tocke P,Q i B kolinearne.

Tocka P se nalazi na kruznici, a Q na pravcu SA. Tako dobivamo kut AQB = ϕ koji

je jednak trecini danog kuta φ.

Slika 21. Arhimedovo ”rjesenje” trisekcije kuta

Dokaz :

Kako je PS = PQ = r, trokut 4PQS je jednakokracan pa je stoga i kut ∠PSQ

velicine ϕ. Iz svojstava vanjskih kutova, kut ∠SPB je jednak 2ϕ. Kako je trokut

4SPB takoder jednakokracan, ∠SBP = ∠SPB = 2ϕ. Konacno, kako je vanjski kut

φ u vrhu S trokuta 4SBQ jednak zbroju nesusjedna unutarnja kuta ∠SQB i ∠SBQ,

slijedi da je φ = ϕ+ 2ϕ ili

ϕ =1

3φ.

2

S trigonometrijskog aspekta, kut mozemo konstruirati ako mozemo konstruirati njegov

kosinus (Slika 22.).

31

Slika 22. Trisekacija kuta s trigonometrijskog aspekta

Kako je cos 3α = 4 cos3 α − 3 cosα, uz oznake cos 3α = a i cosα = x, uocavamo da se

problem trisekcije kuta svodi na rjesavanje kubne jednadzbe

4x3 − 3x− a = 0. (8)

Koristeci sljedeci teorem mozemo odrediti racionalna rjesenja prethodne jednadzbe.

Teorem 5.1 Neka su a0, a1, ..., an ∈ Z. Ako je racionalan broj pq

korijen jednadzbe

anxn + an−1x

n−1 + ...+ a1x+ a0 = 0, an 6= 0

s cjelobrojnim koeficijentima, a p i q relativno prosti, onda je p djelitelj slobodnog clana

a0, a q djelitelj vodeceg clana an.

Ako jednadzba nema racionalnih rjesenja, sljedeci korolar povlaci da se rjesenja ne

mogu konstruirati ravnalom i sestarom.

Korolar 5.1 Ukoliko realan broj koji se moze izraziti pomocu cetiri osnovne racunske

operacije i kvadratnog korijena zadovoljava kubnu jednadzbu s racionalnim koeficijen-

tima, onda ta jednadzba ima bar jedno racionalno rjesenje.

Primjer 5.1 Neka je 3α = 60◦ i x = 2 cosα. Iz jednadzbe (8) slijedi

x3 − 3x− 1 = 0.

Prema Teoremu 5.1, jedina moguca racionalna rjesenja su ±1. Uvrstavanjem se lako

provjeri da rjesenja ne zadovoljavaju danu jednadzbu, tj. da nema racionalnih rjesenja.

Dakle, rjesenja se ne mogu konstruirati ravnalom i sestarom.

32

Literatura

[1] D. Burton, The History of Mathematics: An Introduction, McGraw - Hill, 2007.

[2] F. M. Bruckler, Povijest matematike 1, Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku,

Odjel za matematiku, Osijek, 2007.

[3] B. Dakic, Figurativni brojevi, Mis, 31 (2005), 22–23

[4] D. Jankov, I. Papic, Tri klasicna problema, Osjecki matematicki list, 12 (2012),

11–19

[5] E. R. M. Kragic, Kako je Arhimed racunao povrsinu odsjecka parabole, Mis, 50

(2009), 207–208

[6] I. Gusic, Tales (Milet, Mala Azija, oko 625. - oko 548. prije Krista), Matka, 9

(1994), 21–23

[7] M. Pavlekovic, Kako je Garfield dokazao Pitagorin poucak, Matka, 3 (2005), 9–11

[8] M. Zivkovic, Arhimedova tijela, Matka, 36 (2001), 232–235

[9] T. Soucie, Arhimed, Matka, 49 (2004), 30–31

[10] http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Indexes/Greeks.html

[11] http://e.math.hr/math e article/br21/srebacic

33

Sazetak

Poceci grcke matematike pojavljuju se u Joniji (danasnja Turska) i razvijaju sve dojuzne Italije. Oko 300. g. pr. Kr. Aleksandrija postaje glavno srediste matematickihznanosti. Grcki matematicki tekstovi do nas su dosli preko mnogih prijepisa, a naj-poznatiji primjer su Euklidovi Elementi. Ucenje matematike unutar Grcke bilo jeposebno. Ono sto se ucilo imalo je drugaciju strukturu nego sto ima danas. Glavnarazlika je u tome sto su Grci proucavali aritmetiku i geometriju odvojeno, kao dvazasebna predmeta. Koristili su akrofonski i alfabetski brojevni sustav. Medu poznati-jim grckim matematicarima isticu se Tales, Pitagora, Euklid i Arhimed. Tri glasovitaproblema starogrcke matematike su duplikacija kocke, kvadratura kruga i trisekcijakuta. Pokusaji rjesavanja tih problema doveli su do niza novih otkrica i velikog ra-zvoja tadasnje matematike.

34

Summary

The beginnings of Greek mathematics appeared in Ionia (today’s Turkey) and develo-ping to Southern Italy. About 300 BC. Alexandria became a major center of mathe-matical Science. Texts of Greek mathematicians came to us through many rewrites,and the main examples are Euclid’s Elements. Mathematics in Greece was unique.Concepts learned there have had different structure than we have today. The main dif-ference is that the Greeks studied arithmetic and geometry separately, as two separatesubject. They used acrofonic and alphabetic numeral system. Thales, Pythagoras,Euclid and Archimedes stand out as best known Greek mathematicians. The mainthree problems of ancient Greek mathematics are doubling the cube, squaring the cir-cle and trisecting an angle. Attempts to solve these problems have led to a series ofnew discoveries and to the great development of the former mathematics.

35

Zivotopis

Rodena sam 8. studenog 1988. godine u Pozegi. Osnovnu skolu ”Mladost” Jaksiczavrsila sam 2003. godine. Iste godine upisala sam ”Gimnaziju” u Pozegi koju samzavrsila 2007. godine. Nakon zavrsetka srednje skole, upisala sam ”Preddiplomskisveucilisni studij matematike” na Odjelu za matematiku u Osijeku. Pri zavrsetku tro-godisnjeg preddiplomskog studija, nastavila sam studij programom ”Sveucilisni nas-tavnicki studij matematike i informatike” na istom Odjelu.