marenco ingenieríaeconómica notas de clase

5/14/2018 Marenco Ingenier aEcon mica Notas De Clase - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/marenco-ingenieriaeconomica-notas-de-clase 1/55

Notas de Clase _ Ingeniería EconómicaAutor: Carlos Dávila Marenco

----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 1 de 55

1. Conceptos básicos

1.1 Definición de ingeniería económica

“La ingeniería económica… hace referencia a la determinación de los factores ycriterios económicos utilizados cuando se considera una selección entre una omás alternativas. … es una colección de técnicas matemáticas que simplifican lascomparaciones económicas.”1

1.2 Valor del dinero en el tiempo

El dinero2 cambia de valor en el tiempo, por la influencia de ciertos factoreseconómicos, como lo son la inflación, las tasas de interés, la devaluación, entremuchos otros, llevándonos al concepto de equivalencia, es decir que cifras

diferentes de dinero en el tiempo se consideran equivalentes.

Hoy, un billete de COP$1,000, aunque la denominación será la misma, no tendráel mismo valor dentro de un año, pues está sometido a esa serie de factoreseconómicos que hacen que cambie de valor.

●--------------------------------------------------------------- ► Hoy Dentro de un año

- Inflación- Tasas de interés- Devaluación- Etcétera

1.2.1 La inflación

Se define la inflación como el aumento generalizado de los precios de los artículosque componen la canasta familiar, medida a través del IPC o Índice de Precios alConsumidor por el DANE.

1 Blank Leland T. y Tarquin Anthony J.: “Ingeniería Económica”. Editorial Mc Graw Hill. Cuartaedición. 1999.2 Según Malagón G. Jonathan: “Glosario económico de Colombia”. PORTAFOLIO, DIARIO DEECONOMÍA Y NEGOCIOS. Primera edición. 2006, “DINERO es el conjunto de activos quecumplen con las siguientes propiedades: reserva de valor, medio de pago y unidad de cuenta. Esdecir, todo aquello con lo cual se pueda comprar de los bienes y servicios, medir el valor queposeen y conservarlo durante un periodo de tiempo, es considerado dinero”.




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 2 de 55

El comportamiento gráfico porcentual de la inflación en Colombia entre enero ydiciembre de 2009 fue el siguiente:

Fuente: Banco de la República Colombia y autor

Fuente: Diario Portafolio 3 de julio de 2007

En febrero de 2009, el DANE presentó la nueva estructura de la canasta familiar,clasificada por los siguientes grupos de gasto:

-0,20

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

Inflación mensual Colombia año 2009




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 3 de 55

GrupoCanasta

Vieja Canasta nuevaAlimentos 29,51% 28,35%Vivienda 29,41% 30,24%Vestuario 7,31% 5,18%Salud 3,96% 2,45%Educación 4,81% 5,76%Cultura y esparcimiento 3,60% 3,11%Transporte y comunicaciones 13,49%Transporte 14,78%Comunicaciones 3,74%Gastos varios 7,89% 6,38%Total 99,98% 99,99%Fuente: PORTAFOLIO, Economía Hoy, 4 de febrero de 2009

“La canasta anterior, que databa de 1998, contenía 405 artículos, todos los cualesse conservaron en la nueva y, además, se le adicionaron 18, los cuales recogenlos cambios que en una década ha experimentado el consumo de los hogares ylos nuevos productos que hacen parte de la rutina diaria, para un total de 423productos en la nueva canasta”. (Fuente: PORTAFOLIO, Economía Hoy, 4 de febrero de2009.)

A manera de ejemplo, la BOLSA NACIONAL AGROPECUARIA, reportó un preciopromedio por tonelada de maíz blanco a nivel nacional de $1’187,356, cerrando elmes de mayo de 2009. Ese mismo producto, el 30 de junio del mismo año, cerrócon un precio de $860,134, por lo cual, tuvo una disminución en su precio del27.56%EM; entonces, podemos decir que $1’187,356 y $860,134 son cifrasequivalentes en el término de un mes, por efecto inflacionario.

1.2.2 Tasas de interés

Una definición general de las tasas de interés es: son aquellos porcentajes que sepagan “por el derecho al uso de un capital”. Muy famosas en el Sector FinancieroColombiano, son las tasas de interés de captación y la de colocación.

1.2.2.1 Tasa de interés de captación

La tasa de interés de captación es aquella que pagan los bancos a losahorradores por sus depósitos en dinero. Se establece semanalmente por elpromedio ponderado de las captaciones anticipadas en certificados de Depósitos aTérmino Fijo (DTF ) a tres meses. Su comportamiento gráfico entre enero 4 ydiciembre 27 de 2009, ha sido el siguiente:




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 4 de 55

Fuente: Banco de la República y autor

Ejemplo: Si se constituye un CDT a un año por $1’500,000 a la tasa DTF vigenteentre el 3 y el 9 de agosto de 2009 (5.06%EA), el valor que se recibirá alvencimiento será:

$1’500,000 x 1.0506 = $1’575,900

Por lo cual, podemos decir que $1’500,000 y $1’575,900 son cifras equivalentesen el término de un año, por efecto tasa de interés de captación.

1.2.2.2 Tasa de interés de colocación

La tasa de interés de colocación es aquella a la que prestan los bancos a susclientes. En Colombia se conoce como TASA DE USURA y es el límite máximoque un particular o una entidad financiera pueden cobrar por intereses sobre unpréstamo. Quien fija la tasa de usura no es la Superintendencia financiera comose suele creer, sino el mismo mercado financiero. Hay dos tasas de usura: paraCrédito de consumo y ordinario y para Microcréditos, cuyos comportamientosgráficos han sido los siguientes:

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

P o r c e n t a j e E A

Comportamiento tasa DTF Enero 4 a

Diciembre 27 de 2009




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 5 de 55

Fuente: PORTAFOLIO y autor

Ejemplo: Si se adquiere un préstamo a un año por $1’500,000 a la tasa de usurapara Crédito consumo y ordinario vigente entre el julio y septiembre de 2009(27.98%EA), el valor que se pagará al vencimiento será:

$1’500,000 x 1.2798 = $1’919,700

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

P o r c e n t a j e

E A

Periodo

Crédito consumo y ordinario

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

40,00%

D i c . 2

0 0 6

E n e - m a r / 0 7

A b r / 0 7 S e p / 0 8

O c t - D i c / 0 8

E n e - m a r / 0 9

A b r - J u n

J u l - S e p

O c t - d i c .

P o r c e n t a j e E A

Periodo

Para microcrédito




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 6 de 55

Por lo cual, podemos decir que $1’500,000 y $1’919,700 son cifras equivalentesen el término de un año, por efecto tasa de usura para Crédito consumo yordinario.

La diferencia entre las dos tasas es lo que se conoce como margen de

intermediación financiera , que para los dos ejemplos anteriores será: 27.98%EA -5.06%EA = 22.92%EA.

1.2.3 La devaluación

La devaluación es la pérdida de valor de una moneda frente a otra moneda. Locontrario, o sea la ganancia de valor de una moneda frente a otra, recibe elnombre de revaluación.

El comportamiento gráfico de la devaluación en Colombia en diciembre de 2009

fue el siguiente:

Fuente: Banco de la República y autor

A manera de ejemplo, si el 10 de julio de 2009 compramos USD$1,500 aCOP$2,105.36 cada dólar (TRM o Tasa representativa del mercado en esa fecha),desembolsamos para la compra $3’158,040. Si el 10 de agosto del mismo año aúntenemos los dólares y la TRM se cotiza ese día en COP$2,022.56 por dólar, elequivalente en pesos colombianos (COP) sería de $3’033,840 .

Este es un ejemplo de revaluación donde el tenedor de los dólares perdió en eltérmino de un mes, la suma de $124,200. Por otro lado y para el tema que nosatañe, $3’158,040 y $3’033,840, son cifras equivalentes en el término de un mespor efecto de revaluación.

1.940,001.960,00

1.980,00

2.000,00

2.020,00

2.040,00

2.060,00

0 1 / 1 2 / 2 0 0 9

0 3 / 1 2 / 2 0 0 9

0 5 / 1 2 / 2 0 0 9

0 7 / 1 2 / 2 0 0 9

0 9 / 1 2 / 2 0 0 9

1 1 / 1 2 / 2 0 0 9

1 3 / 1 2 / 2 0 0 9

1 5 / 1 2 / 2 0 0 9

1 7 / 1 2 / 2 0 0 9

1 9 / 1 2 / 2 0 0 9

2 1 / 1 2 / 2 0 0 9

2 3 / 1 2 / 2 0 0 9

2 5 / 1 2 / 2 0 0 9

2 7 / 1 2 / 2 0 0 9

2 9 / 1 2 / 2 0 0 9

3 1 / 1 2 / 2 0 0 9

Devaluación Colombia Diciembre de

2009 TRM $




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 7 de 55

1.3 Concepto de interés (I)

El interés lo podemos definir como “el reconocimiento monetario por el usufructo 3 de un bien”.

En el ejemplo anterior del préstamo de $1’500,000, el interés calculado es: I =$1’500,000 x 0.2798 = $419,700.

El interés debe compensar tres conceptos básicos financieros a saber: la inflación,el riesgo4 y un premio para el dueño del bien.

Continuando con el ejemplo del préstamo del $1’500,000, para el cual secalcularon unos intereses por $419,700, si a julio de 2009 se tiene una inflaciónanual del 3.28%EA, $49,200 es la compensación por la inflación ($1’500,000 x0.0328) y el resto, $370,500 ($1’500,000 x 0.247) se reparten para compensar el

riesgo y el premio.

1.3.1 Tasa de interés (i, ia, j, ja, d)

La tasa de interés es el porcentaje utilizado para calcular los intereses, como el27.98% que se utilizó para determinar los intereses por $419,700. Es muyimportante especificar la efectividad de las tasas de interés, pues mientras no sede ninguna especificación, se entiende que estas son efectivas anuales (EA). Eninterés simple, las tasas son nominales anuales.

Ejemplos de tasas de interés:

Efectivas vencidas (i)Efectivas anticipadas (ia) y

de descuento (d) Nominales vencidas (j) Nominales anticipadas (ja)

27.98% 21.86%EAA13.13%ES 11.60%ESA 26.26%NS 23.21%NSA6.36%ET 5.98%ETA 25.45%NT 23.92%NTA4.20%EB 4.03%EBA 25.18%NB 24.17%NBA2.08%EM 2.03%EMA 24.93%NM 24.42%NMA

Léase: ES, efectiva semestral; ETA, efectiva trimestral anticipada; NB, nominalbimensual; NMA, nominal mensual anticipada, y así con las restantes.

Las tasas efectivas vencidas (i), son los porcentajes utilizados para calcular losintereses vencidos.

3 Usufructo: (Del lat. usufructus). m. Derecho a disfrutar bienes ajenos con la obligación deconservarlos, salvo que la ley autorice otra cosa. (Diccionario de la real academia Española.)4 Riesgo: probabilidad de ocurrencia de hechos que no queremos que se nos presenten, como porejemplo, que no nos cancelen una deuda. (Autor.)




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 8 de 55

Las tasas efectivas anticipadas (ia), son los porcentajes utilizados para calcular losintereses anticipados.Las tasas de descuento (d), son los porcentajes utilizados para calcular losdescuentos (D) en las operaciones de descuento, tema que se verá más adelanteen este documento. Es de anotar que las tasas de descuento, son iguales a las

anticipadas.Las tasas nominales (j y ja) son referenciales anuales. Estas tasas indican laefectividad de los intereses, pero con ellas, estos no se pueden calcular. Por tanto,deberán convertirse a tasas efectivas equivalentes, con ese propósito, mediantelas fórmulas:

1.3.2 Tiempo (n)

Podemos definir el tiempo como la duración de un negocio, trátese de unainversión, un préstamo, etc.

Aunque un negocio puede tener una duración inferior o superior a un año, este esel tiempo máximo a tener en cuenta para hacer cálculos de ingeniería económica,por ejemplo en lo concerniente al cálculo de tasas de interés equivalentes, puesen un año se dan varios periodos, como se mencionan a continuación:

Un año.Dos semestres.

Cuatro trimestres.Seis bimestres.Doce meses.

Veinticuatro quincenas.Cuarentaiocho semanas.

Trescientos sesenta, trescientos sesentaicinco o trescientos sesentaiseis días.Periodos no exactos como 26.0714285714 periodos de catorce días en un año de 365 días. (365/14.)




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 9 de 55

En el ejemplo para calcular los intereses, el tiempo utilizado fue de un año pues laefectividad de la tasa fue efectiva anual. Este es un concepto muy importante parahacer operaciones de ingeniería económica: ““ddeebbee hhaabbeerr ccoonnccoorrddaanncciiaa eennttrree llaa eeffeeccttiivviiddaadd ddee llaa ttaassaa yy llooss ppeerriiooddooss””; si la tasa es efectiva mensual, debe

trabajarse con periodos mensuales; si la tasa es efectiva trimestral, debetrabajarse con periodos trimestrales, y así sucesivamente.

1.3.3 Capital inicial (P)

El capital inicial es el dinero base para calcular los intereses y otros conceptos.Aparte de capital inicial también se conoce con los nombres de valor presente,valor inicial, valor actual, principal, entre otras posibilidades.

1.3.4 Fórmula de interés simple

Fórmula que nos dice que el interés es una función directa del capital inicial, latasa de interés y del tiempo.

1.3.5 Clases de interés

Las clases de interés surgen del siguiente dilema: “¿realizo los cálculos de interés

teniendo en cuenta años de 360, 365 o 366 días? Y con relación a los meses,¿tengo en cuenta meses de 28, 29, 30 o 31 días?”

Este dilema se encuentra resuelto acertadamente por: Baca C. Guillermo:“Ingeniería Económica”. Fondo Educativo Panamericano, Editorial Educativa.Séptima edición. 2002, como se aprecia en el siguiente cuadro:




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 10 de 55

1.1 Con tiempo exacto

(Trabaja con días calendario.)

1. Ordinario (Se conoce con el nombre de interés bancario.)

(Todos los años tienen 360 días.) 1.2 Con tiempo aproximado

(Todos los meses tienen 30 días.)

(Se conoce con el nombre de interés comercial o base 360 días.)2.1 Con tiempo exacto

(Trabaja con días calendario.)

(Se conoce con el nombre de interés racional, real, exacto o verdadero.)

2. Exacto 2.2 Con tiempo exacto sin bisiesto

(Trabaja con años de 365 o 366 días.) (Trabaja con días calendario y ningún año es bisiesto.)

(Se conoce con el nombre de interés base 365 días.)

2.3 Con tiempo aproximado

(Todos los meses tienen 30 días.)

(No tiene nombre.)Fuente: Guillermo Baca C. y autor

Ejemplo: supongamos un préstamo por $2’750,000, desembolsado el 21 de enerode 2008 y por el cual se cobrará una tasa de interés del 33%. Calcular losintereses que se pagarán el día de su vencimiento, a saber, 14 de marzo de 2008.

Solución:

1. Interés ordinario

1.1 Con tiempo exacto:

I =PinI = $2’750,000 x 0.33 x (53/360) = $133,604.17

Para el cálculo de n existen, 0entre otros, dos métodos:




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 11 de 55

a) Tabla de días:

TABLA DE DÍAS

DÍA ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO JULIO AGOSTO SEPTIEMBRE OCTUBRE NOVIEMBRE DICIEMBRE

1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335

2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 3363 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337

4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338

5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339

6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340

7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341

8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342

9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343

10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344

11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345

12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346

13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347

14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348

15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349

16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350

17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351

18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352

19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353

20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354

21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355

22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356

23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357

24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358

25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 35926 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360

27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361

28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362

29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363

30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364

31 31 90 151 212 243 304 365

Nota: a partir del primero de marzo se adiciona un día para los años bisiestos

Marzo 14 es el día número 73 del año y enero 21 es el día 21 del año para unadiferencia de 52 días; pero como el año 2008 fue bisiesto, agregamos un día (29

de febrero), para un total de 53 días.




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 12 de 55

b) Cálculo con los días calendario de cada mes:

Mes DíasEnero +31Inicio -21

Febrero +29Marzo +14Total días =53

1.2 Con tiempo aproximado:

I = $2’750,000 x 0.33 x (53/360) = $133,604.17

Cálculo de los días:Mes Días

Enero +30Inicio -21Febrero +30Marzo +14Total días =53

2. Interés exacto:

2.1 Con tiempo exacto:

I = $2’750,000 x 0.33 x (53/366) = $131,413.93

2.2 Con tiempo exacto sin bisiesto:

I = $2’750,000 x 0.33 x (52/365) = $129,287.67

Cálculo de los días:Mes Días

Enero +31Inicio -21Febrero +28Marzo +14

Total días =522.3 Con tiempo aproximado:

I = $2’750,000 x 0.33 x (53/366) = $131,413.93




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 13 de 55

Resumen de los resultadosInterés ordinario

Con tiempo exacto $133,604.17Con tiempo aproximado $133,604.17

Interés exacto

Con tiempo exacto $131,413.93Con tiempo exacto sin bisiesto $129,287.67Con tiempo aproximado $131,413.93

Nota: aunque en el ejemplo algunas respuestas son iguales, no quiere decir quesiempre va a ser así. Para todo problema hay que hacer el cálculo de los días, conla tabla de días si la clase de interés trabaja con días calendario o teniendo encuenta los días que cada mes tiene para los dos (días calendario o todos losmeses tienen 30 días).

1.3.6 Gráfica de flujo de caja

La gráfica de flujo de caja es aquella que trata de establecer las entradas y salidasde dinero en el tiempo, como consecuencia de las transacciones económicasrealizadas por las partes involucradas. Es muy importante elaborarla, puesfacilitará la comprensión de los problemas de ingeniería económica, una vezrealizado el planteamiento de los mismos.

La línea horizontal representa el tiempo (n).Los ingresos están representados con flechas hacia arriba (↑).Los egresos están representados con flechas hacia abajo (↓).P, representa un valor presente.F, representa un valor futuroLa tasa de interés es la representada con i, ia, j, ja, d.G, es un gradiente aritmético o geométrico.A, es una anualidad.




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 14 de 55

1.3.7 Capital final (F) con interés simple

También denominado como monto, valor final, valor futuro, suma, acumulado,entre otros, está dado por la sumatoria del capital inicial y los intereses,obteniéndose las siguientes fórmulas:

o

Ejemplo:

Si se recibe un préstamo por $1’000,000 el 18 de diciembre de 2009 hasta el 18de marzo de 2010 a la tasa del 25.92% bancaria, el monto a desembolsar alvencimiento será:

De la fórmula de monto, se deducen las siguientes, también para interés simple:

1.3.8 Interés vencido e interés anticipado

1.3.8.1 Interés vencido (Iv)

Hablamos de interés vencido, cuando estos de cobran al final de cada periodo,

calculándolos con tasas efectivas vencidas. Si por ejemplo, se tiene un préstamopor $100,000 durante 4 meses a la tasa del 1.94%EM comercial, elcomportamiento gráfico del préstamo sería:




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 15 de 55

Pagando en los meses 1, 2, 3, y 4, $1,940 de intereses respectivamente ydevolviendo en el mes 4 los $100,000.

1.3.8.2 Interés anticipado (Ia)

Hablamos de interés anticipado, cuando estos de cobran al comienzo de cadaperiodo, calculándolos con tasas efectivas anticipadas. Para el ejemplo anterior, elcálculo de los intereses se hace con la tasa equivalente al 1.94%EM o 1.90%EMA,teniendo el siguiente comportamiento gráfico:

Pagando en los meses 0, 1, 2, y 3, $1,900 de intereses respectivamente ydevolviendo en el mes 4 los $100,000.

Nótese, en el ejemplo, que con interés vencido, el deudor recibe en el mes 0,$100,000; paga en los meses 1, 2, y 3, $1,940 respectivamente, y en el mes 4,paga $101,940. Mientras que con interés anticipado, el deudor recibe en el mes 0,




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 16 de 55

$98,100 ($100,000 - $1,900); paga en los meses 1, 2 y 3, $1,900 respectivamente,y en el mes 4, paga $100,000. Las dos situaciones son diferentes teniendo encuenta el concepto del valor del dinero en el tiempo y que las tasas de interésanticipadas son menores que las vencidas (ia<i).

Por lo anterior, se deduce que los intereses vencidos se calculan con tasas deinterés vencidas y los intereses anticipados, con tasas de interés anticipadas,equivalentes entre sí.

2. Teoría de descuentos

2.1 Descuento de documentos

“En el ámbito de la economía financiera, descuento es una operación que se lleva

a cabo en instituciones bancarias y otras personas interesadas en estos tipos denegocio, en las que éstas adquieren documentos como pagarés, letras de cambio,títulos valores en general, de cuyo valor futuro se descuenta el equivalente a losintereses que generaría el papel entre su fecha de descuento y la fecha devencimiento, cobrando una tasa de descuento (d), la cual es igual a la tasaanticipada (ia) correspondiente.”5

En el siguiente gráfico podrá apreciarse en qué consisten los descuentos:

En el puede verse, a manera de ejemplo, que si se constituye un documento P enel tiempo cero a una tasa de interés vencida i con vencimiento en el periodo n,este podrá venderse en el periodo n-5 a una tasa de descuento d. La persona quelo compre, liquidará el descuento D por el tiempo comprendido entre n-5 y n (n d),el cual restará del valor futuro del documento F y entregará al vendedor un valorlíquido de transacción VT.

5 Wiquipedia y autor.




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 17 de 55

En interés simple, la fórmula de descuento será:

D = Fdnd

El valor líquido de transacción será:

oVT = F(1 – dnd)

Y la tasa equivalente vencida (ir) correspondiente a la tasa de descuento secalculará con las siguientes fórmulas:

ir = d/(1-dnd)o

ir = [(F/VT) -1]/nd

Ejemplo:

Si se constituye un pagaré por $6’750,000 el 18 de diciembre de 2009 a seismeses y una tasa del 22% comercial y este se negocia con un banco el 18 demarzo de 2010 a una tasa de descuento del 25%, calcular:

a) Fecha de vencimiento del pagaré.b) Valor futuro del pagaré.c) El descuento.

d) El valor líquido de transacción.e) La tasa vencida equivalente a la tasa de descuento.

Solución:

a) Los seis meses comerciales se cumplen el 18 de junio de 2010, siendo esa lafecha de vencimiento del pagaré.

b) Aplicando la fórmula de monto con interés simple, el valor futuro del pagaréserá:

c) El descuento:

d) El valor líquido de transacción:




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 18 de 55

o

e) La tasa vencida equivalente a la tasa de descuento, será:

o

2.2 Descuentos en cadena

Los descuentos, como su nombre lo indica, registran los ddeessccuueennttooss ccoommeerrcciiaalleess queotorga un ente económico como una deducción sobre el precio de lista de sus productos,mercancías o servicios, en términos porcentuales, como una estrategia de ventas paraatraer y conservar clientes. Estos pueden ser por volumen, por pronto pago, por empaque,por temporada, por fidelidad y financiero, entre otros y están dirigidos a un cliente enespecial. Los descuentos hacen que los clientes disminuyan sus costos y que elvendedor rote más rápidamente los bienes vendidos.

2.2.1 Descuentos por volumen

Dirigido, como su nombre lo indica, a clientes que compran una mayor cantidad debienes que otros. Con este descuento, se incentiva al comprador a comprarcantidad, pues es directamente proporcional a esta (a mayor volumen, mayor es eldescuento).

Un ejemplo de este tipo de descuentos, podrá apreciarse en la siguiente tabla:

Valor factura $ Descuento %

Menos de 100,000 0Entre 100,001 y 200,000 5

Entre 200,001 y 300,000 10

Entre 300,001 y 400,000 15

Entre 400,001 y 500,000 20

Más de 500,000 25




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 19 de 55

2.2.2 Descuentos por pronto pago

Dirigido, como su nombre lo indica, a clientes que pagan relativamente másprontamente que otros. Estos descuentos van en proporción inversa al plazo

concedido para que el cliente pague sus facturas (a mayor plazo, menor es eldescuento).

Un ejemplo de este tipo de descuentos, podrá apreciarse en la siguiente tabla:

Plazo Descuento %

Contado 15

30 días 10

60 días 5

90 días 0

2.2.3 Descuento por empaque

Cuando un artículo sale empacado de fábrica, a los clientes que lo soliciten sinempacar, se le hará un descuento equivalente al costo del empaque.

2.2.4 Descuento por temporada

El fin de este descuento es incentivar las ventas de bienes estacionales que estánpasando por el ciclo de baja temporada o demanda, como por ejemplo adornosnavideños, abrigos de invierno, entre otros. Este tipo de descuento también esestratégico implementarlo en épocas de alta temporada para competir con bienessemejantes y/o sustitutos.




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 20 de 55

2.2.5 Descuento por fidelidad o antigüedad

Se otorga a los clientes más leales o que continuamente le compran a la empresao llevan años haciéndolo.

2.2.6 Descuento financiero

Es aquel que se otorga a clientes que cancelan sus facturas antes de la fecha devencimiento. Un ejemplo podría ser una factura que vence el día 30 del mes, perosi el cliente la paga por tarde el día 15 del mes, se le hace un descuento financierodel 2.5%.

Estos seis descuentos y otros más, podrían otorgarse a una misma factura, comopor ejemplo, tres de ellos a saber: 10% por volumen, 5% por empaque y 2% porantigüedad sobre una factura con un valor antes de calcular los descuentos de$100,000.

Alguien desconocedor del tema, los sumaría y haría un descuento de 17% sobrelos $100,000, equivalente a $17,000, recibiendo un valor después de descuentosde $83,000. Por el contrario, los descuentos en cadena se hacen aplicados al

0

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

InviernoPrimavera

VeranoOtoño

10.000

5.000

500

7.000

Abrigos de invierno Demanda Q

Bajatemporada




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 21 de 55

saldo que queda de la factura en la medida en que se van calculando, hastaagotarlos todos. El orden en que se apliquen los descuentos no alterará el valorfinal de la factura o valor a pagar después de descuentos. Veamos:

Valor inicial factura $ Tasa de descuento % Descuento $ Valor final factura $

100.000 10 10.000 90.00090.000 5 4.500 85.500

85.500 2 1.710 83.790

Total 16.210

Nótese que con los descuentos en cadena, estos sumaron $16,210 para un valorfinal de la factura después de descuentos de $83,790. En esta forma, el vendedorrecibirá $790 de más que si hubiese utilizado una sola base para calcular losdescuentos.

2.2.7 Fórmulas de descuentos en cadena

Donde:

D, es el descuento.A, es el valor inicial de la factura.

VFF, es el valor final de la factura.D, es la tasa de descuento.dp, es la tasa promedio de descuento.

3. Financiación de deudas con pagos parciales




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 22 de 55

Una deuda puede ser financiada con la modalidad de pagos parciales, segúnconvengan las partes. Cada vez que se haga un pago parcial, se liquidarán losintereses causados a la fecha en que este se haga y el excedente del mismo, seabonará a la deuda. Para las financiaciones de deudas, es muy importante laelaboración de la Tabla de amortización correspondiente, como se detalla a

continuación:

TABLA DE AMORTIZACIÓN

DÍAS FECHA OPERIODO

CAPITALINSOLUTO $

PAGOPARCIAL $ INTERESES $ AMORTIZACIÓN $

TOTALES

Veamos a continuación un ejemplo extractado del libro del profesor GuillermoBaca Currea:

Una mercancía vale de contado $430,000. Si el 17 de marzo de 2009 se paga unacuota inicial del 30% y el saldo se cancela con un interés racional del 32% y unplazo máximo de cuatro meses, elaborar la tabla de amortización, con lossiguientes pagos parciales acordados:

El 25 de abril de 2009, $130,000.El 18 de junio de 2009, $50,000.

El 7 de julio de 2009, $94,000.

Solución:

a) Por ser interés racional, el cálculo de los días de interés se hace según elcalendario, así:

17/03/2009 al 25/04/2009: 30 días. 25/04/2009 al 18/06/2009: 54 días. 18/06/2009 al 07/07/2009: 19 días. 07/07/2009 al 17/07/2009: 10 días.

b) Las fechas se trasladan a la tabla en orden cronológico.

c) El capital insoluto el 17/03/2009 se calcula así:

De ahí en adelante, el capital insoluto se calcula con la siguiente fórmula:




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 23 de 55

d) Los pagos parciales se trasladan a la tabla de amortización en el orden en quese pactaron.

e) Los intereses se calculan con la fórmula I = Pin. Para el 25/04/2009 el cálculosería:

Y así sucesivamente.

f) La amortización o los abonos a capital se calculan con la siguiente fórmula:

g) El último pago parcial se calcula con la siguiente fórmula:

La tabla de amortización quedaría así:


CAPITALINSOLUTO $

PAGOPARCIAL $

INTERESES $ AMORTIZACIÓN $

17/03/2009 301.000,00

39 25/04/2009 181.291,73 130.000,00 10.291,73 119.708,27

54 18/06/2009 139.874,52 50.000,00 8.582,80 41.417,20

19 07/07/2009 48.204,49 94.000,00 2.329,96 91.670,04

10 17/07/2009 0,00 48.627,10 422,61 48.204,49

TOTALES 322.627,10 21.627,10 301.000,00

Nótese que la suma del total de intereses pagados y del total de lasamortizaciones ($21,627.10 + $301,000) es igual al total de pagos parcialesefectuados ($322,627.10).

4. Interés compuesto

A nivel mundial, la gran mayoría de operaciones financieras se realizan con interéscompuesto con el objeto de tener en cuenta la reinversión de los intereses o enpalabras muy sencillas, cobrar intereses sobre intereses, teniendo en cuenta elconcepto del valor del dinero en el tiempo. Para entenderlo, vale la pena explicarla diferencia existente entre el interés simple y el interés compuesto.




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 24 de 55

4.1 Diferencia entre interés simple e interés compuesto

La diferencia fundamental entre los dos radica en que en el interés simple, estos

no se capitalizan para formar un nuevo monto sobre el cual cobrar nuevosintereses, sino que siempre se liquidan sobre el capital inicial (P), no teniendo encuenta el concepto del valor del dinero en el tiempo. Lo más razonable, en estecaso, sería pagar los intereses cada vez que se liquiden. Para una mayoraclaración, veamos el siguiente ejemplo:

Si recibimos un préstamo por $1’000,000 por cuatro meses a la tasa del 1.82%EMcomercial, la solución de este problema, sería la siguiente:

a) Solución correcta, pagando los intereses cada mes:

Con el siguiente comportamiento gráfico:

Explicación:

En el mes cero, recibimos $1’000,000.

En los meses uno, dos y tres, pagamos intereses por $18,200respectivamente.En el mes cuatro, pagamos los últimos intereses ($18,200) más el capital inicial($1’000,000) para un total de $1’018,200.

b) Interés simple, solución incorrecta, pagando los intereses en el mes cuatro:




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 25 de 55

Con el siguiente comportamiento gráfico:

En el mes cero, recibimos $1’000,000. En los meses uno, dos y tres, no pagamos intereses.En el mes cuatro, pagamos cuatro meses de intereses ($72,800) más el capitalinicial ($1’000,000) para un total de $1’072,800. En otras palabras, el cálculodel monto final a pagar, se hizo con la fórmula:

Nótese que tanto en la solución correcta como en la incorrecta, contablementepagamos $72,800 ($18,200 X 4) de intereses para cada caso, tanto pagando estos

cada mes o su total en el mes cuatro, con lo cual concluimos que dejar el pago deltotal de intereses para el mes cuatro, no tiene sentido. Más sin embargo, el interéssimple, bajo esta modalidad, existe y quien quiera utilizarlo, podrá hacerlo, pues alfin de cuentas, es su dinero.

c) Interés compuesto, solución correcta, pagando los intereses en el mes cuatro:

Los intereses para cada uno de los meses, se calcularían así:

Como puede observarse, en la medida en que avanzan los meses, el capital parael cálculo de los intereses en cada vez mayor, pues estos se capitalizaron paraconformar una nueva base para liquidarlos: en el mes uno es P = $1’000,000, enel mes dos es P1 = $1’018,200, y así sucesivamente, haciendo que los interesessean cada vez mayores por el aumento en la base. Nótese que si en interés




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 26 de 55

simple siempre para los cuatro meses se liquidaron intereses por $18,200, coninterés compuesto, estos fueron el aumento: I1 = $18,200, I2 = $18,531.24, y asísucesivamente, para un total de $74,811.66, $2,011.66 más que en interés simple,cifra que cubre el mayor riesgo incurrido por el dueño de millón de pesos, al norecibir mensualmente los intereses, sino hasta el mes cuatro.

El comportamiento gráfico, sería el siguiente:

En el mes cuatro, debemos saldar el préstamo, pagando el capital inicial P =$1’000,000 más los intereses I = $74,811.66, para un total F = $1’074,811.66.

F, calculado en esta forma, se conoce como valor futuro con interés compuesto yestá dado por la fórmula:

De esta fórmula se desprenden:




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 27 de 55

4.2 Equivalencia de tasas

Son tasas equivalentes, aquellas que aplicadas a un mismo valor inicial y teniendodiferente efectividad, producen el mismo valor final o monto, en el término de un

año.

4.2.1 Deducción de la fórmula de equivalencia de tasas efectivas vencidas

Si obtenemos un préstamo por $1’000,000 por un año a la tasa del 1.82%EM, elmonto a pagar al vencimiento sería:

¿Cuál es la tasa equivalente efectiva trimestral al 1.82%EM?

-1

Comprobación:

Por lo tanto:

1.82%EM ≡ 5.56%ET




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 28 de 55

4.2.1.1 Fórmula de equivalencia de tasas efectivas vencidas

-1Donde:

iD, es la tasa desconocida.ic, es la tasa conocida.mc, son los periodos que se dan en un año, correspondientes a la tasaconocida.mDC, son los periodos que se dan en un año, correspondientes a la tasadesconocida, los cuales conocemos.

4.2.2. Fórmulas de equivalencia de tasas vencidas y anticipadas

4.2.3 Gráfica de equivalencia de tasas

La gráfica de equivalencia de tasas que se muestra a continuación, está basadaen la expuesta por al profesor Guillermo Baca Currea, en su libro:




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 29 de 55

Nota: la frontera solo se cruza para cambiar de efectividad

Ejemplo:

Si tenemos una tasa del 21.88%NMA, hallar la tasa NTA equivalente.

Debemos ir del punto (5) al (8):

De (5) a (6):

De (6) a (2):

De (2) a (3):

-1 = 5.675704546%ET

De (3) a (7):




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 30 de 55

De (7) a (8):

4 = 21.4834793688%NTAo

21.48%NTA

4.3 Concepto de fecha focal

La fecha focal (ff) es el punto en el tiempo que se elige para calcular el valor de lasdiferentes operaciones (tanto ingresos como egresos). Dicho de otra manera, es lafecha que se escoge para la equivalencia de diferentes valores en el tiempo,independientemente si son ingresos o egresos.

El trasladando de las cantidades a la fecha focal, deberá hacerse con las fórmulasde valor presente o valor futuro, dependiendo si los valores, con respecto a la

fecha focal, son futuros o presentes.

Si por ejemplo, se quiere saber cuál es el valor en el mes seis del siguiente flujode caja, con una tasa de interés del 2%EM, procedemos a calcularlo, de lasiguiente manera:

La sumatoria de los ingresos (I) la calculamos así:

La sumatoria de los egresos (E) la calculamos así:




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 31 de 55

Por lo tanto, el valor del flujo en la fecha focal 6 (V ff6) vendrá dado por la diferenciaentre Ʃ I y ƩE:

En otras palabras, el flujo, en la fecha focal 6, equivale a $39,636.42, que por serun valor positivo, entonces es un ingreso.

4.4 Ecuaciones de valor

Una ecuación de valor puede definirse como aquella que establece que lasumatoria de los ingresos debe ser igual a la sumatoria de los egresos, ubicados

ambos en una fecha focal de la línea de tiempo.

Este concepto está dado por la siguiente ecuación:

4.4.1 Aplicación de las ecuaciones de valor a la refinanciación de deudas

La refinanciación de deudas permite un estiramiento del plazo de reembolso de

las deudas por sustitución de un préstamo a largo plazo a un empréstito de cortoplazo. En resumen, es crearse más deudas ya que los pagos de nuestroendeudamiento actual son demasiado difíciles de respetar (www.web-empresa.com.co/Finanza/Deudas/refinanciacion.htm).

Esto hace, que se estén cambiando una o varias obligaciones por otra u otrasobligaciones cuyo valor queremos conocer a través de la aplicación de lasecuaciones de valor. Es de entenderse que el valor futuro de las deudas que seestán refinanciando, se conoce y que la tasa de refinanciación (iR), por lo general,es mayor que las de deudas originales.

Veamos el siguiente ejemplo:

Una microempresa tiene dos deudas con un banco así:

Deudas $ Tasa Fecha de adquisición Vencimiento1. $1’000,000 30% 15/10/2009 15/04/20102. $2’000,000 31% 02/12/2009 02/06/2010

http://www.web-empresa.com.co/Finanza/Deudas/refinanciacion.htm









----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 32 de 55

El 15 de febrero de 2010 se presenta al banco para solicitar refinanciamiento porlas deudas, llegándose al siguiente acuerdo: la tasa de refinanciación es del33.75% y se harán tres pagos de igual valor cada uno, así:

Pagos refinanciados Fecha1. $x 15/03/20102. $x 02/08/20103. $x 30/11/2010

Solución:

a) Cálculo del valor futuro de las deudas:

b) Gráfica de refinanciación:

En la gráfica observamos que los valores futuros de las deudas se tomaron conflechas hacia arriba y los pagos refinanciados, con flechas hacia abajo, con el finde diferenciar unos de otros. La respuesta de los tres pagos refinanciados es

indiferente de la fecha focal seleccionada, que para nuestro ejemplo es ff02/08/2010.

c) Cálculo de los pagos refinanciados:




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 33 de 55

Contablemente, el valor futuro de las deudas originales sumaban $3’434,379.74($1’141,838.53 + $2’292,541.21) y los pagos refinanciados, $3’258,931.23($1’086,310.41 x 3) para una diferencia de $175,448.51 a favor del deudor, lo cualno siempre es así.

4.5 Valor presente neto

La sumatoria de los ingresos (Ʃ I) menos la sumatoria de los egresos (ƩE) enpesos de hoy o fecha focal cero (ff0), recibe el nombre de valor presente neto(VPN). La fórmula de VPN es:

Utilizando siempre la fórmula:

Si por ejemplo, se quiere saber cuál es el VPN del siguiente flujo de caja, con unatasa de interés del 2%EM, procedemos a calcularlo, de la siguiente manera:




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 34 de 55

4.5.1 Tasa interna de retorno

La tasa interna de retorno (TIR) es aquella tasa de interés “i” con la cual el VPN esigual a cero.

Si por ejemplo, se quiere saber cuál es la tasa interna de retorno del siguiente flujode caja, procedemos a calcularlo de la siguiente manera:

a) Planteamiento de la ecuación de VPN:

b) Método de ensayo error para calcular “i”:

i%EM VPN $10 161,904.1060420 -141,010.80246915 -4,423.4881448314 26,229.9279709




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 35 de 55

Con las dos primeras tasas, encontramos los siguientes valores para el VPN:un valor mayor que cero (10%EM ≡ $162) y un valor menor que cero (20%EM≡ $-141), lo que quiere decir que la tasa “i” está entre el 10%EM y el 20%EM.

Ahora con las otras dos tasas, las cuales son seguidas, encontramos lossiguientes valores para el VPN: un valor mayor que cero (14%EM ≡ $26) y un

valor menor que cero (15%EM ≡ $-4), lo que quiere decir que la tasa “i” estáentre el 14%EM y el 15%EM, más cerca del 15%EM porque $-4 está máscerca de cero que $26.

c) Interpolación:

En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a laconstrucción de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto depuntos, siendo el análisis o cálculo numérico el que se encarga de diseñar algoritmos,para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos máscomplejos aplicados a técnicas del mundo real. En matemáticas, ciencias de la computación

y disciplinas relacionadas, un algoritmo (del latín, dixit algorithmus y éste a su vez delmatemático persa Al Juarismi) es una lista bien definida, ordenada y finita de operacionesque permite hallar la solución a un problema. Dado un estado inicial y una entrada, a travésde pasos sucesivos y bien definidos se llega a un estado final, obteniendo una solución.(http://es.wikipedia.org/wiki/ .)

Definido que “i” está entre el 14%EM y el 15%EM, aplicamos la interpolaciónlineal, así:

i%EM VPN $a 14 26.229,9279709 A

X 0b 15 -4.423,48814483 B

X = TIR

Planteando la siguiente ecuación:

Despejando x, obtenemos:

Reemplazando los valores en la ecuación, tenemos:

http://es.wikipedia.org/wiki/







----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 36 de 55

Un valor de x mucho más exacto, es el que se calcula con Excel o una calculadorafinanciera como la HP19BII, que nos arroja el siguiente valor:

5. Anualidades

Una Anualidad es una sucesión de pagos, depósitos o retiros, generalmenteiguales, que se realizan en períodos regulares de tiempo, con interés compuesto.El nombre de anualidad no implica que las rentas tengan que ser anuales, sinoque se da a cualquier secuencia de pagos, iguales o diferentes, a intervalosregulares de tiempo, independientemente que tales pagos sean anuales,

semestrales, trimestrales o mensuales.

Cuando las cuotas que se entregan se destinan para formar un capital, reciben elnombre de Imposiciones o fondos; y si son entregadas para cancelar una, sellaman amortizaciones.

Las anualidades nos son familiares en la vida diaria, como: las rentas, sueldos,pagos de seguro social, pagos a plazos y de hipotecas, primas de seguros devida, pensiones, pagos para fondos de amortización, alquileres, jubilaciones yotros, aunque entre unas y otras existen distintas modalidades y muchasdiferencias.

(http://es.wikipedia.org/wiki/Anualidad.)

Ejemplo:

Una persona consigue un préstamo por $1’000,000, para ser cancelado con cuatrocuotas mensuales vencidas de igual valor en cuatro meses y una tasa de interésdel 1.82%EM. Averiguar el valor de la cuota.

http://es.wikipedia.org/wiki/Anualidad







----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 37 de 55

Tomando como fecha focal el mes cero, podemos hacer un planteamiento de laecuación de valor, así:

Reemplazando:

Despejando Av:

Nota: si se hubiese tomado como fecha focal el mes cuatro, se habría obtenido lamisma respuesta.

5.1 Elementos de una anualidad

Renta: es el pago, depósito o retiro, de igual valor, que se haceperiódicamente.




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 38 de 55

Periodo de renta: es el tiempo que transcurre entre dos pagos periódicosconsecutivos, como por ejemplo, cada mes, cada trimestre, etcétera.

Plazo (n): Es la duración de la anualidad. Tiempo que transcurre entre el inicioy el fin de la anualidad.

5.2 Propiedades de una anualidad




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 39 de 55

Toda anualidad, para ser considerada como tal, cumple con las siguientescondiciones:

1. Todas las rentas son de igual valor.2. Todas las rentas se hacen a iguales intervalos de tiempo.

3. A todas las rentas se les aplica la misma tasa de interés.4. El número de rentas es igual al número de periodos:

En las gráficas anteriores:

La No. 1 no es una anualidad por tener tres rentas versus dos periodos. La No. 2 tampoco es una anualidad, por tener tres rentas versus cuatro

periodos. La No. 3, es una anualidad por tener tres rentas versus tres periodos. Esta

recibe el nombre de anualidad vencida (Av ). La No. 4, también es una anualidad por tener tres rentas versus tres

periodos. Esta recibe el nombre de anualidad anticipada (Aa ).

5.3 Anualidad vencida (Av)

Una anualidad vencida es aquella que presenta la característica de comenzar conperiodo y terminar con renta. En otras palabras, las cuotas son vencidas o al finalde cada periodo. Un ejemplo de anualidad vencida es la financiación deautomóviles. Las anualidades vencidas se trabajan con tasas vencidas (i).




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 40 de 55

5.3.1 Valor presente de una anualidad vencida (PAv)

Aplicando ecuaciones de valor en fecha focal cero, tenemos:

Resolviendo el corchete del lado derecho de la ecuación, obtenemos:

5.3.2 Valor futuro de una anualidad vencida (FAv)

Aplicando ecuaciones de valor en fecha focal n, tenemos:




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 41 de 55


5.4 Anualidad anticipada (Aa)

Una anualidad anticipada es aquella que presenta la característica de comenzarcon renta y terminar con periodo. En otras palabras, las cuotas son anticipadas oal comienzo de cada periodo. Un ejemplo de anualidad anticipada son losarrendamientos. Las anualidades anticipadas se trabajan con tasas anticipadas(ia).




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 42 de 55

5.4.1 Valor presente de una anualidad anticipada (PAa)

Aplicando ecuaciones de valor en fecha focal cero, tenemos:


5.4.2 Valor futuro de una anualidad anticipada (PAa)




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 43 de 55

Aplicando ecuaciones de valor en fecha focal n, tenemos:


5.5 Amortización de deudas con cuotas fijas

La amortización de deudas con cuotas fijas consiste en solventar esta medianteuna serie de pagos periódicos iguales, pagando primero los intereses incurridos enel periodo y, después, haciendo abonos al capital o saldo de la deuda. Sucomportamiento se visualiza claramente en una tabla de amortización, como semuestra en el siguiente formato:



CAPITALINSOLUTO $

INTERESES $ CUOTA $ AMORTIZACIÓN $

TOTALES

Ejemplo:

Supóngase un préstamo por $1’000,000 a seis meses, el cual se cancelará con

cuotas iguales vencidas y un interés del 1.82%EM comercial.

Gráfica de flujo de caja:




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 44 de 55

Lo primero que debemos calcular es el valor de la cuota mediante la fórmula:

Haciendo los reemplazos en la ecuación, tenemos:

Av = $177,442.87

La tabla de amortización, sería la siguiente:


DÍAS MES CAPITALINSOLUTO $

INTERESES $ CUOTA $ AMORTIZACIÓN $

0 1.000.000,00

30 1 840.757,13 18.200,00 177.442,87 159.242,87

30 2 678.616,03 15.301,78 177.442,87 162.141,09

30 3 513.523,97 12.350,81 177.442,87 165.092,06

30 4 345.427,24 9.346,14 177.442,87 168.096,74

30 5 174.271,14 6.286,78 177.442,87 171.156,10

30 6 0,00 3.171,73 177.442,87 174.271,14

TOTALES 64.657,24 1.064.657,24 1.000.000,00

i = 1,82%

El capital insoluto se calcula: el capital insoluto del periodo inmediatamenteanterior menos la amortización.Los intereses se calculan con la fórmula:

Que para el mes uno sería:




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 45 de 55

Y para el mes seis:

La amortización se calcula: la cuota menos los intereses.La sumatoria de la cuota debe dar por resultado: monto del préstamo más el

total de intereses pagados.Y la sumatoria de la amortización debe dar por resultado el valor original delpréstamo.

En el siguiente gráfico de barras podemos observar lo siguiente:

El capital insoluto desciende, por los abonos que a él se hacen.

Los intereses, también descienden, porque el capital insoluto también lo hace.La cuota permanece fija, por ser una amortización de deuda con estacaracterística.La amortización asciende, porque al disminuir los intereses, el abono a capitalde la cuota, es cada vez mayor.

5.6 Capitalización con depósitos fijos

La palabra capitalizar, aunque tiene muchos significados, para el tema que nosocupa significa fijar un capital a determinado interés, al cual se le agregan losintereses devengados, mediante depósitos periódicos. Y al igual que en unaamortización, su comportamiento se visualiza claramente en una tabla decapitalización, como se muestra en el siguiente formato:

-200.000

0

200.000

400.000

600.000

800.000

1.000.000

1.200.000

1 2 3 4 5 6 7

$

Amortización con cuota fija

MES

CAPITAL INSOLUTO $

INTERESES $

CUOTA $

AMORTIZACIÓN $




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 46 de 55

TABLA DE CAPITALIZACIÓN


ACUMULADO $ INTERESES $ CUOTA $ INCREMENTO $

TOTALES

Ejemplo:

Supóngase que se quiere reunir un capital por la suma de $1’000,000 en seismeses, haciéndose depósitos mensuales iguales, por los cuales se reconoceráuna tasa de interés del 0.33%EM comercial sobre saldo.

Gráfica de flujo de caja:

Lo primero que debemos calcular es el valor de la cuota mediante la fórmula:

Haciendo los reemplazos en la ecuación, tenemos:

Av = $165,296.95

La tabla de capitalización, sería la siguiente:

TABLA DE CAPITALIZACIÓN




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 47 de 55

DÍAS MES ACUMULADO $INTERESES

$CUOTA $ INCREMENTO $

1 165.296,95 165.296,95 165.296,95

30 2 331.139,38 545,48 165.296,95 165.842,43

30 3 497.529,09 1.092,76 165.296,95 166.389,71

30 4 664.467,89 1.641,85 165.296,95 166.938,80

30 5 831.957,59 2.192,74 165.296,95 167.489,70

30 6 1.000.000,00 2.745,46 165.296,95 168.042,41TOTALES 8.218,29 991.781,71 1.000.000,00

i = 0,33%

El acumulado se calcula: el acumulado del periodo inmediatamente anteriormás los intereses más la cuota.Los intereses se calculan con la fórmula:

Que para el mes dos sería:

Y para el mes seis:

El incremento se calcula: el acumulado menos el acumulado del periodoinmediatamente anterior.

En el siguiente gráfico de barras podemos observar lo siguiente:

El acumulado asciende, por la cuota y el crecimiento de los intereses.Los intereses también ascienden, por el crecimiento del acumulado.El incremento igualmente asciende, también, por el crecimiento delacumulado.

0,00

200.000,00

400.000,00

600.000,00

800.000,00

1.000.000,00

1.200.000,00

1 2 3 4 5 6

Capitalización con cuota fija

MES

ACUMULADO $

INTERESES $

CUOTA $

INCREMENTO $




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 48 de 55

6. Gradientes

En matemáticas financieras gradientes son anualidades o serie de pagosperiódicos, en los cuales cada pago es igual al anterior más una cantidad; esta

cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior. Elmonto en que varía cada pago determina la clase de gradiente:

1. Si la cantidad es constante el gradiente es aritmético (por ejemplo cadapago aumenta o disminuye en $250 mensuales sin importar su monto).

2. Si la cantidad en que varía el pago es proporcional al pago inmediatamenteanterior el gradiente es geométrico (por ejemplo cada pago aumenta odisminuye en 3.8% mensual)

6.1. Gradiente aritmético

Un gradiente uniforme o aritmético, es una serie de flujo de efectivo que aumentao disminuye en forma uniforme (el flujo de efectivo cambia por la misma cantidadaritmética cada periodo de interés).

La cantidad del aumento o de la disminución es el gradiente.

Ejemplos 1 y 2

Si un fabricante de automóviles predice que el costo de mantener un robot

aumentará en $500 anuales hasta que este haya sido retirado, hay una seriegradiente y la cantidad del gradiente positivo es $500 anuales, como puedeobservarse en la figura 1.

G +

500

500 n-1

500n

500*2 = 1 000

500*3 = 1 500

0 1 2 3 n-1 n

Figura 1

Cantidad base $500




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 49 de 55

Si el mismo fabricante de automóviles espera que el ingreso disminuya en $3,000anualmente durante los próximos cinco años, el ingreso decreciente representa ungradiente negativo por la suma de $3,000 anuales, como puede observarse en lafigura 2.

Podemos ver que en el caso de un gradiente, el flujo de efectivo al final de cadaaño es diferente y que al final del periodo uno hay una cantidad base que en estecaso es el gradiente.

Ejemplo 3

Si una persona compra un automóvil, al cual se le reconocerá el mantenimientodurante el primer año, pagaría en ese periodo el costo de la gasolina ($900).Después del primer año, tendría que absorber los costos por reparaciones yreemplazos, que con la gasolina aumentarían cada año en $50 hasta que posea elautomóvil. Así, pagaría en el segundo año $950, en el tercero $1,000 y asísucesivamente hasta el año n, cuando el costo sería {$900 + $50(n-1)}, como seaprecia en el diagrama de flujo de efectivo siguiente:

G -

3 000

15 000

18 000

9 000

12 000

0 1 2 3 4 5

Figura 2

Cantidad base 3 000

6 000

Años

G + = 50

00

900 + 50 n-2

900 + 50 n-1

950

1 000

0 1 2 3 n-1 n

Cantidad base

Años

Aparece el gradiente

Figura 3$950 = $900 + $50

= *



=


----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 50 de 55

Si se ignora la cantidad base, se puede construir el diagrama de flujo de efectivogeneralizado de gradientes en forma uniformemente creciente:

Como puede apreciarse, un gradiente (G) es el cambio aritmético uniforme en lamagnitud de recibos o desembolsos de un periodo al siguiente.

Ejemplo 4

Si una persona espera obtener ingresos por $47,500 el próximo año a partir de laintroducción de un nuevo producto y proyecta que las ventas aumentaránuniformemente hasta llegar a un nivel de $100,000 en 8 años, determinar elgradiente y construya el diagrama de flujo de efectivo.

n-2 G

n-1 G

G

2G

0 1 2 3 n-1 n Años

Figura 4

ff

PA

i

F




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 51 de 55

De la figura 5 podemos extractar lo siguiente:

Cantidad base (CB) = $47,500Incremento (Icr) en ingresos en 8 años = In – CB

Icr = $100,000 - $47,500 = $52,500

o

Se tiene un gradiente aritmético de $7,500 anual.

Teniendo en cuenta la figura 4, puede encontrarse el valor presente (P) en el

punto 0 de un gradiente aritmético:

P = G/(1+i)2 + 2G/(1+i)3 + 3G/(1+i)4 + ··· + (n-2)G/(1+i)n-1 + (n-1)G/(1+i)n

Factorizando, nos queda:

P = G{1/(1+i)2 + 2/(1+i)3 + 3/(1+i)4 + ··· + (n-2)/(1+i)n-1 + (n-1)/(1+i)n

G + = 7 500

47 500

92 500

I8 = $100,000

55 000

62 500

0 1 2 3 7 8

Figura 5

Años




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 52 de 55

Resolviendo, nos queda que:

El valor anual (Anualidad) de un gradiente uniforme o aritmético, está dado por:

El valor futuro de un gradiente aritmético. Está dado por:

6.2 Gradientes geométricos

Son series geométricas o escalonadas aquellas cuyos flujos de efectivo cambianpor un porcentaje constante en periodos de pago consecutivos.

Ejemplo 5

Si creemos que nuestros ingresos aumentarán un 15% anualmente durante 5años con base en el año 0, el flujo de efectivo quedaría así:

1 150

1 749.01

1 520.88

1 000

1 322.50

0 1 2 3 4 5

Figura 6

2 011.36

$1,000(1+0.15)

$1,000(1+0.15)2

$1,000(1+0.15)3

$1,000(1+0.15)4

$1,000(1+0.15)5

Años




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 53 de 55

En la figura 6, podemos observar lo siguiente:

Año 1: $1,000 * 0.15 = $150 ; $1,000 + $150 = $1,000 * 1.15Año 2: $1,150 * 1.15 = $1,322.50

Año 3: $1,322.50 * 1.15 = $1,520.875Año 4: $1,520.875 * 1.15 = $1,749.00625Año 5: $1,749.00625 * 1.15 = $2,011.3571875

El flujo de un gradiente geométrico es:

En la figura 7:

D = Cantidad de dinero en el periodo 1E = Tasa de crecimiento geométrico en forma decimal.

El valor presente de una serie escalonada se calcula:

D D(1+E) D(1+E)2 D(1+E)n-2 D(1+E)n-1 P = --------- + ------------- + --------------- + ··· + ---------------- + ----------------

(1+i) (1+i)2 (1+i)3 (1+i)n-1 (1+i)n

Factorizando, quedaría:

1 (1+E) (1+E)2 (1+E)n-2 (1+E)n-1 P = D --------- + ------------- + --------------- + ··· + ---------------- + ----------------

(1+i) (1+i)2 (1+i)3 (1+i)n-1 (1+i)n

Resolviendo, quedaría:para E ≠ i

D 1+E n-2

D 1+E n-1

D 1+E

D 1+E 2

0 1 2 3 n-1 n

Figura 7

ff

P i

D

4

D 1+E 3




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 54 de 55

y para E = i

Para calcular el valor futuro, se multiplicará PG por (1 + i)n, quedando:

para E ≠ i

Y para E = i

Para volver el valor presente en una anualidad, se multiplica PG por i / [1-(1+i)-n],en ambos casos (E ≠ i y E = i).




----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------Página 55 de 55

BIBLIOGRAFÍA E INFOGRAFÍA CONSULTADA

1. Blank Leland T. y Tarquin Anthony J.: “Ingeniería Económica”. Editorial McGraw Hill. Cuarta edición. 1999.

2. Baca C. Guillermo: “Ingeniería Económica”. Fondo Educativo Panamericano,

Editorial Educativa. Séptima edición. 2002.3. Malagón G. Jonathan: “Glosario económico de Colombia”. PORTAFOLIO,

DIARIO DE ECONOMÍA Y NEGOCIOS. Primera edición. 2006.4. PORTAFOLIO, EL DIARIO DE ECONOMÍA Y NEGOCIOS. Casa Editorial EL

TIEMPO, Bogotá Colombia.5. www.banrep.com.co 6. Gerencie.com Colombia7. www.http//es.wikipedia.org/wiki/ 8. www.web-empresa.com.co/Finanza/Deudas/refinanciacion.htm 9. http://www.eumed.net/libros/2006b/cag3/2e.htm

http://www.banrep.com.co/


http://www.http/es.wikipedia.org/wiki/







marenco ingenieríaeconómica notas de clase

Documents