notas de clase cálculo diferencial

Cálculo Diferencial “con problemas de aplicación orientados hacia

la administración y la economía” http://www.calameo.com/read/0004911295f278eda2d02

http://www.calameo.com/read/0004911295f278eda2d02

Lic. Esp. José F. Barros Troncoso

2

CONTENIDO

Introducción…………………………………………………………………………………………………………………………… 4

Justificación………..…………………………………………………………………………………………………………………… 4

Objetivo General………..……………………………………………………………………………………………………………. 4

FUNCIÓN

Pareja Ordenada ………..…………………………………………………………………………………………………………. 5

Relación…… ……………………………………………………………………………………………………………………………… 5

Función……….……………………………………………………………………………………………………………………………. 7

Dominios y Rangos……..………………………………………………………………………………………………………. 6

Notación Funcional……….……………………………………………………… ………………………………………….. 7

Algebra de Funciones………..………………………………………………………………………………………………. 11

Gráfica de Funciones……..…………………………………………………………………………………………………… 14

Gráfica de funciones con tecnología………..………………………………………………………………. 16

Función Lineal……………………………………………………………….…………………………………………………………. 19

Ecuación de la recta ……………………………………………………………………………………………………………. 19

Modelación de la función lineal.…………………………………………………………………………………………. 22

Función Cuadrática………………………………………………………………………………………………………………….. 24

Modelación de la función cuadrática…..…………………………………………………………………………… 28

Funciones con tecnología……………………………………………………………………………………………………. 29

Función Exponencial……………………………………………………………………………………………………………….. 30

Función Logarítmica……………………………………………………………………………………………………………….. 34

Tipos de logaritmos…………………………………………………………………………………………………………….. 34

Modelación de las Funciones Exponenciales…………………………………………………… 37

Funciones con tecnología…………………………………………………………………………………….. 40

Función Polinómica de grado superior a dos …………………………………………………………………….. 41

Función Cociente..…………………………………………………………………………………………………………..……….. 41

Función por Parte o por Trozos………………………………………………………………………………………….. 42

LIMITE……………………………………………………………………………………………………………………………………… 47

Limites Laterales………………………………………………………………………………………………………………… 48

Propiedades de los límites………………………………………………………………………………………………… 48

Limites Indeterminados………………………………………………………………………………………………….… 49

Continuidad en un punto…………………………………………………………………………………………..………… 49

Limites de las funciones definidas por partes…..…………………………………………………………. 50

Limites Infinitos………………………………………………………………………………………………………………… 55

Limites con Tecnología…………………………………………………………………………………………………..… 60

LA DERIVADA ………………………………………………………………………………………………………………………… 61


3

Tasa de cambio promedio …………………………………………………………………………………..…………… 61

Tasa de cambio instantánea …………………………………………………………………………………………… 62

Pendiente de una recta …………………………………………………………………………………………..……… 62

Derivada ……………………………………………………………………………………………………………………………… 62

Fórmulas de la Derivada ……………………………………………………………………………………..……… 63

Regla de la Cadena ……………………………………………………………………………………………….……… 65

Regla de la Potencia …………………………………………………………………………………………….……… 66

Derivadas de Orden Superior …………………………………………………………………………..……… 68

Máximos y Mínimos Relativos

Prueba de la primera derivada………………………………………………………………………………. 69

Prueba de la segunda derivada……………………………………………………………………………… 70

Derivada de las Funciones Logarítmicas……………………………………………………………………. 75

Derivada de las Funciones Exponenciales ……………………………………………………………….. 77

Derivada Implícita…………….…………………………………………………………………………………….……. 79

Elasticidad en la Demanda……………………………………………………………………………….………….. 81

LA INTEGRAL………………….…………………………………………………………………………………………………….. 85

Antiderivada………………..………………………………………………………………………………………….…………. 85

Integral Indefinida…………………………………………………………………………..……………………………… 85

Reglas de Integración.………………………………………………………………………………………..………….. 86

Regla de la Potencia para la Integración..…………………………………………………………………… 88

Integrales que Involucran Funciones Exponenciales..………………………………………………. 90

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo……………………………………………………………….. 94

APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA ADMINISTRACIÓN Y EN LA

ECONOMÍA

Valor promedio …………………………………………………………………………………………………….. 97

Ingreso Total……………………………………………………………………………………………………………. 99

Valor Presente de un flujo continuo de ingreso …………………………………………. 100

Valor Futuro de un flujo continuo de ingreso……………………………………………….. 100

Superávit de Consumidor……………………………………………………………………………………. 102

Superávit del Productor…………………………………………………………………………………….. 104

Integración por Partes..……………………………………………………………………………………………… 106

BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………………………………………………….. 109


4

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo es una compilación de mis notas de clase, fruto de la

experiencia obtenida durante 21 años de servicio a la educación en diferentes

instituciones académicas en Maicao, Riohacha (Guajira) y en Santa Marta, en los

niveles de básica, media, técnica, tecnológica y profesional.

La propuesta busca darle sentido a la matemática en otros contextos, en particular

en la economía, que el estudiante le dé a la matemática una mirada distinta a la que

tradicionalmente le atribuye y que la reconozca como una herramienta fundamental

para el desarrollo del pensamiento lógico del ser humano y de la sociedad.

El documento no pretende plagiar la información contenida en libros especializados o

contenidos obtenidos en páginas web (todos referenciados), sino dar al estudiante

explicación más sencilla de los conceptos y fortalecer el desarrollo de problemas de

aplicación orientados hacia su perfil profesional.

El objetivo es el de exponer los conocimientos básicos del cálculo diferencial en

forma sencilla, lógica, crítica y analítica utilizando herramientas modernas que

faciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones, además el de

solucionar problemas que permitan el desarrollo de las competencias.


5

FUNCIÓN

En la práctica se presenta situaciones en donde el valor de una cantidad depende de la

otra. Ejemplo:

La relación establecida entre estas unidades se describe como función.

Pareja Ordenada Conjunto de números de la forma (a , b) con a, b ε R; donde a se denomina primera

componente y b segunda componente.

Relación Conjunto de parejas ordenadas o regla que determina la correlación entre los elementos

de la pareja ordenada. También se puede definir por medio de una tabla, una gráfica, una

ecuación o una desigualdad.

Ejercicios:

1. Escribir 5 parejas ordenadas cuyas componentes tengan cada relación:

a. Que la primera componente sea el doble de la segunda.

b. Que la segunda componente sea el triplo más uno de la primera.

c. Que la primera componente sea un número par y la segunda un impar no

consecutivo.

d. Que la primera componente sea un número posterior no consecutivo de la segunda.

2. Escriba una oración que describa la relación de cada conjunto de parejas ordenadas:

a. (1,3),(3,5),(5,7),(7,9)(9,11)

b. (1,-1)(-2,2)(3,-3)(-4,4),(5,-5)

c. (1,7),(2,5)(3,9),(4,13),(5,17)

d. (2,5),(3,10),(4,17),(5,26),(6,37)

3. Exprese cada relación de los encisos 1. y 2. por medio de una ecuación.

Oferta - Demanda

Impuesto - Valor de la Mercancía

Horas trabajadas – salario

Distancia – Tiempo

Dedicación – Rendimiento

Mantenimiento – Tiempo de vida


6

4. Obtenga 5 parejas ordenadas por cada situación particular

a. El valor de un libro se duplica cada 5 años, el libro fue evaluado hace 20 años en

$1200. La primera componente representa el número de años y la segunda el

precio.

b. De cierto producto se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan

4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece

en 500 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las

unidades demandadas.

c. No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200

dólares o más pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo por

debajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. La

primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas

d. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina

es de $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en

$44.5. La primera componente representa la cantidad y la segunda el costo.

e. El número de familias vinculadas al a un proyecto apícola en la sierra nevada de

Santa Marta inicio en el 2005 con 128 y por cada año que pasa el número de

familias se incrementa en 125. Si la primera componente representa el número

de años y la segunda el número de familias vinculadas al proyecto.

f. El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo de lujo en una función

del precio ésta dado por I = 300p – 2p2. Si la primera componente representa

el precio (p) y la segunda el ingreso (I).

g. El costo total de la producción de x litros de un determinado producto viene

dado por

. Si la primera componente representa la

cantidad de litros del producto y la segunda el costo total de la producción.


7

Función

Es una relación de parejas ordenadas el cual no hay dos parejas que tengan la misma

primera componente.

Si A y B son conjuntos una función f de A en B se denota

f: A B x y=f(x)

Indica que a cada elemento x de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos

y=f(x) de B. El conjunto A recibe el nombre de conjunto de partida o dominio y la variable

que la representa se conoce como variable independiente, el conjunto B se conoce como

conjunto de llegada, co-dominio, rango o recorrido y la variable que la representa se le

conoce como variable dependiente.

Dominios y Rangos Las funciones reales tienen como dominios y rangos los números reales. Si no se

especifican el dominio y el rango de una función, se supone que el dominio consiste en

todos los números reales (valores de x) que dan como resultado salidas reales (valores de

y), haciendo que el rango sea subconjunto de los números reales.

En las funciones de estudio, si el dominio no está especificado, incluirá todos los números

reales excepto:

Valores que tienen como resultado un denominador igual a cero.

Valores que dan como resultado una raíz par de un número negativo.

Ejercicio: Encuentre el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones:

Notación Funcional Para indicar que y es una función de x, la función se expresa con f y escribimos y=f(x). Esto se lee “y es función de x” o “y es igual a f de x”. Para valores específicos se x, f(x) representa los valores de la función (es decir la salida o valores de y), por lo tanto, si:


8

Ejercicio-1

1. Si f(x)= 3x + 1 entonces

a. f(2) = 3.2 +1= 6 + 1 = 7

b. f(-3) = 3(-3) + 1 = -9 + 1 = -8

2. Si g(x) = 2x2 – 4x + 2 entonces

a. g(1) = 2(1)2 – 4(1) + 2 = 2(1) – 4 + 2 = 2 – 4 + 2 = 0

b. g(-2) =2(-2)2 – 4(-2) + 2 = 2 (4) + 8 +2 = 2(4) +10 = 8 +10=18

c. g(a) =2(a)2- 4a + 2 = 2a2 – 4a + 2

d. g(a + b)= 2(a + b)2- 4(a + b) + 2

3. Determine f(x + h) si

a. f(x) = x entonces f(x + h) = x + h

b. f(x) = x + 1 entonces f(x + h) = (x + h) + 1

c. f(x) = x2 – x + 2 entonces f(x + h)= (x + h)2 – (x + h) + 2

d. f(x) =

entonces f(x + h) =

Nótese que donde esta x se escribe x + h

4. Encuentre

cuando h=0 si

a. f(x)= 2x

Remplazamos

b. f(x) = x2

Aplicando (a + b)2 = a2 + 2ab + b2


9

Simplificado

Factorizando

Simplificando

Como h= 0 remplazando

Ejercicios-2

1. Si R(x) = 8x - 10 encuentre R(0), R(2), R(-3), R(1.6) 2. Si H(x) = 9x2 – 2x encuentre H(3), H(1/6) 3. Si f(x) = 100x –x3 encuentre f(-1), f(-3/2) 4. Si C(x) = x3 – 4/x encuentre C(-1/2), C(-2)

Ejercicios-3 Encuentre

cuando h=0 si

1. f(x) = x + 1

2. f(x) = 3x + 2

3. f(x) = 3x2

4. f(x) = 2x3 Sugerencia utilice (a + b)3

Problemas de Aplicación 1. El costo total de fabricar un producto se determina por medio de

C(x)= 300x + 0.1x2+1200 dólares , donde x representa el número de unidades producidas. Determine el costo de

producir 10 y 100 unidades. ¿Qué encuentra?

Para determinar el costo de producir 10 unidades remplazamos x por 10 en la

ecuación de costos total C(x)

C(10) = 300 (10) + 0.1 (10)2 +1200 = 3000 + 10 + 1200 = 4 210


10

Producir 10 unidades tiene un costo de 4210 dólares.

Para 100 unidades x=100

C(100) = 300 (100) + 0.1 (100)2 +1200 = 32 200

Producir 100 unidades cuesta 32 200 dólares

Se encuentra que es más económico producir 100 unidades que 10. Porque el

producir 10 unidades producir una unidad costaría 421 dólares y si se producen

100 unidades el valor de la unidad sería 322 dólares

2. Un estudio de eficiencia realizado por una compañía mostró que el número de

Walkie-talkies ensamblados por un trabajador promedio a t horas de haber

iniciado su jornada a las 8:00 a.m. esta dado por

N(t) = -t3 + 6t2 + 15t (0 ≤ t ≤ 4)

¿Cuántas piezas se espera que ensamble un obrero promedio entre las 8:00 y las

9:00? y ¿entre las 9:00 y 10:00? ¿Qué encuentra?

3. Datos de la reserva federal de Estados Unidos muestran que el incremento anual

de capacidad de producción entre 1994 y 2000 está dado por

f(t) = 0.0094t3 – 0.4266t2 +2.7489t + 5.54 , donde f(t) es un porcentaje t y se mide en años, donde t = 0 corresponde a

1994. ¿Cuál es el incremento en la capacidad de producción en 1996, 2003 y

2004 ¿Qué encuentra?

4. Las ganancias anuales brutas de cierta compañía fueron miles

de dólares t años después de su formación en enero de 1993. ¿Cuáles fueron las

ganancias brutas obtenidas en los años 1997 y 2008?

5. La función demanda para la línea de laptops de una compañía electrónica es p=2400 – 6q, en donde p es el precio por unidad (en dólares) cuando los consumidores

demandan q unidades (semanales)

a. Obtenga p para q igual a 300, 400 y 500

b. ¿Qué significa cada expresión?

c. Compare e intérprete los resultados

6. Suponga que el costo (en dólares) de eliminar p por ciento de la contaminación de

las partículas de las chimeneas de una planta industrial se determina por medio de


11

p

ppC

100

7300)(

Encuentre los valores de eliminar el 45, 90, 99 y el 100 por ciento de la

contaminación y haga un análisis de los resultados

7. El costo (en dólares) de eliminar el x% de la polución del agua en cierto riachuelo

está dada por

C(x)=

( 0≤ x ≤ 100)

a. Hallar el costo de eliminar la mitad de la polución

b. Evaluar el costo de eliminar el total de la polución

8. Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de

niveles de contaminación se determina mediante

Determine el costo de obtener agua con el 90, 100 y 0 por ciento de niveles de

contaminación

Algebra de Funciones

Si f y g funciones se define:

a. Función suma: f(x) + g(x) = (f + g)(x) b. Función diferencia: f(x) - g(x) = (f - g)(x) c. Función producto: f(x) * g(x) = (f * g)(x) d. Función cociente: f(x) g(x) = (f g)(x) Función compuesta: f(x) g(x) = (f g)(x) = f [g(x)]

Ejercicio-1: Dados f(x) y g(x) encuentre: (f + g)(x), (g - f)(x), (g * g)(x), (f g)(x), (f g)(x)

1. f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1

f(x) + g(x) = (f + g)(x)= 2x + 3x + 1 = 5x + 1 f(x) - g(x) = (f - g)(x)= 2x – ( 3x + 1) =2x – 3x – 1 = -x – 1 f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (2x)*(3x + 1) = 6x2 + 2x


12

f(x) ÷ f (x) = (f ÷ g)(x) =

, si la expresión no es factorizable y/o simplificable

se deja indicada (f g)(x) = f[g(x)] = f(3x + 1) = 2(3x+1) = 6x + 2

Nótese que donde esta x en f(x) se remplaza por 3x + 1

2. f(x) = x2 y g(x) = x - 1

f(x) + g(x) = (f + g)(x)= x2 + x - 1 f(x) - g(x) = (f - g)(x)= x2 – ( x - 1) = x2 - x + 1 f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (x2) *(x – 1) = x3 – x2

f(x) ÷ f (x) = (f ÷ g)(x) =

,

(f g)(x) = f[g(x)] = f(x - 1) = (x - 1)2 = x2 + 2x - 1

Nótese que donde esta x en f(x) se remplaza por x - 1 3. f(x) = x + 5 y g(x) = x – 2 4. f(x) = x2 - 2 y g(x) = 2x + 4 5. f(x) = x3 – 5 y g(x)=2x3 – 1 6. f(x) = x2 + 5 y g(x) = - 2

7. f(x) =

y g(x) =

Problemas de Aplicación

1. Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compañía por la venta de x unidades de su

producto se obtiene mediante R(x) = 215x y el costo total C (en pesos) de producir

esas x unidades se obtiene por C(x) = 65x + 15000

a. Si la ganancia G es el ingreso menos el costo, encuentre la función ganancia de la

producción y la venta de x unidades.

Por definición G(x) = R(x) – C(x) remplazando

G(x) = 215x – (65x + 15 000) = 215x – 65x – 15 000

La función ganancia sería

b. Encuentre la ganancia si se producen y venden 1000, 100 y 10 unidades. ¿Qué

encuentra?

G(x) = 150x - 15000


13

Si se venden 1000 unidades G(1000) = 150(1 000) – 15 000 = 135 000

Si se venden 100 unidades G(100) = 150(100) – 15 000 = 0

Si se venden 10 unidades G(10) = 150(10) – 15 000 = - 13 500

Producir y vender: 1000 unidades deja una ganancia de $135 000; 100 unidades no

deja utilidad pero tampoco pérdida; 10 unidades deja una pérdida de $13 500

2. El ingreso total r que se recibe por la venta de q unidades, esta dado por la función g,

donde r= g(q) =40q. El número total de unidades de producción por día q, es una

función del número de empleados m, donde

Determine (g o f) ¿qué encuentra?

3. El gasto del consumidor (Gc) por artículo es el producto de su precio en el mercado p

(en dólares) y el número de unidades demandadas. Suponga que para cierto artículo,

las unidades demandadas están dadas por la función U(x)= 10 000 – 10p

a. Encontrar una expresión que determine el gasto del consumidor

Por dato Gc = p * U(x) = p * (10 000 – 10p)

La expresión del gasto del consumidor sería

b. Determinar el gasto del consumidor por artículo cuando el precio de mercado es de

20 y 30 dólares.

Para p= 20; Gc = 10 000(20) – 10(20)2 = 196 000

Para p = 30; Gc = 10 000(30) – 10(30)2 = 291 000

A un precio de 20 dólares el gasto de consumidor es de 196 000 dólares y a 30

dólares el gasto es de 291 000 dólares, por lo tanto a menor precio menor es el

gasto del consumidor

4. Los costos totales por la producción de cierto artículo en el instante t son f(t)

dólares. El número de productos fabricados en el instante t es g(t) ¿qué

representa f(t)/g(t)?

Gc = 10 000p – 10p2


14

5. El número de acciones que tiene una persona está dado por f(t). El precio de la

acción en el instante t es g(t) miles de pesos ¿qué representa la expresión

f(t)*g(t)

6. Un empresario es posee y opera dos restaurantes. El ingreso del primer

restaurante en el instante t es f(t) miles de pesos y el ingreso del segundo

restaurante en el instante t es g(t) miles de pesos ¿qué representa la función f(t)

+ g(t)

7. Los ingresos de una empresa están dados por f(x) dólares, donde x son los gastos

de publicidad por parte de la empresa en dólares. La cantidad invertida en

publicidad por la empresa en el instante t está dada por g(t) dólares ¿Qué

representa la función f g

8. El costo promedio por unidad de una compañía cuando se producen x unidades se

define como:

Suponga que el costo total de una compañía se obtiene

a. Encuentre una expresión que determine los costos promedios

b. Determine los costos promedios para una producción de 10 y 100 unidades. ¿Qué

encuentra

9. Suponga que la ganancia de la producción y la venta de x unidades producidas en un

día de un producto se determina por medio de P(x) = 180x - 0.01x2 -200. Además

el número de unidades producidas en el día t del mes es x = 1000 +10t. Encuentre

la ganancia obtenida el día 15 del mes.

a. La función compuesta (P o q)(t) que expresa la ganancia como un función del día

del mes es

b. El número de unidades producidas y la ganancia del día 15 del mes es

10. El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo de lujo en una función del

precio ésta dado por I = 300p – 2p2 y la función demanda es p= 150 – q/2.

a. Escriba una expresión del ingreso en función de las unidades demandadas.


15

b. Determine el ingreso si se demandan 100 y 200 unidades

c. Compare los resultados que encuentra

GRÁFICA DE FUNCIONES

Es posible ilustrar geométricamente las relaciones y funciones al trazar sus gráficas

en un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas (plano cartesiano)

El plano Cartesiano es un área que permite representar gráficamente relaciones y

funciones en dos dimensiones. Está formado por dos rectas perpendiculares

denominadas ejes que se cortan en un punto llamado origen, los ejes dividen el plano en

cuatro partes llamadas cuadrantes. La recta horizontal se denomina abscisa

(generalmente eje x) y la vertical la ordenada (generalmente eje y), del punto de

intersección hacia la derecha la abscisa es positiva y hacia la izquierda es negativa, del

punto de intersección hacia arriba la ordenada es positiva y hacia abajo es negativa.

Cada punto en el plano se forma con la intersección de una coordenada de la abscisa

con una de la ordenada y se representa con una pareja ordenada (a,b), donde la

primera componente representa la coordenada de la primera y la segunda la

coordenada de la segunda.

Ejercicio. Dibuje un plano cartesiano y ubique cada uno de los siguientes puntos: A(-

3,5), B(-1,-4), C(5,-1), D(4,3),E(0,-2),F(4,0)

Si f es una función con dominio A y co-dominio B, entonces a cada x A le

corresponde precisamente un número real f(x) B. Esto se puede expresar también

como parejas ordenadas de número reales. Se escriba a x de A como primera

componente y f(x) de B como segunda componente es decir (x, f(x)) o (x, y).


16

La gráfica de una función resulta cuando se trazan los puntos que representan el

conjunto de todos los pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuación de la función

dada

La gráfica de una función nos puede suministrar información de esta como por ejemplo:

su tipo, para que intervalos es creciente, decreciente constante, los puntos máximos,

mínimos, interceptan los ejes coordenados, indeterminados

Ejercicio Grafique cada función entre los valores indicados

1. f(x)=2x+1

2. f(x) = x2 + 1; para valore de x entre -3 y 3

3. f(x)=x3 – 6x2: de valores a x entre -4 y 4

4. f(x)=

5. f(x)=

6. f(x)=ln(2x+1)

Si x < 1

7. e. j(x)=

2x2 + 1 Si x ≥ 1

Grafica una Función con Tecnología Con Excel 2007

1. Entre a Excel

2. En la celda A1, Digite la variable independiente (x)

3. En las celdas B1 y C1 digite dos valores cualesquiera para el dominio. Entre más

valores digite podrá obtener un mejor gráfico.

4. En A2 digite la variable dependiente (y)

5. Despeje la ecuación en función de y y digítela B2 como fórmula Excel, debe tener

en cuenta que donde va x en la ecuación debe ir B1.

6. Cópiela para obtener el o los demás valores para el co-dominio.

7. Seleccione el rango

8. Del menú Insertar seleccione el tipo de gráfico Línea y escoja la opción línea.

9. Seleccione el gráfico, pulse el botón derecho del mouse y seleccione Seleccionar datos.

10. En la ventana Etiquetas del eje horizontal (Categorías), pulse el botón Editar, seleccione los datos de x, y pulse Aceptar.


17

11. En la ventana Entradas de leyenda (Series) escoja x y pulse el botón Quitar,

pulse Aceptar. 12. Para ubicar el gráfico en otra hoja pulse el botón Mover gráfico (Ubicación) y

escoja Hoja nueva. 13. Para modificar cualquier área (de gráfico, de línea de trazado o la de serie de

datos) seleccione el área a dar formato, pulse el botón derecho del mouse y escoja

la opción de formato.

Con Excel 2003 o anterior

Repite los procedimientos de 1 al 7 de la versión 2007

1. Del menú Insertar seleccione la opción Gráfico

2. Seleccione el tipo de gráfico Líneas y el subtipo Línea y pulse Siguiente

3. Abra la carpeta Serie, en la ventana Serie, pulse Quitar para eliminar la serie1,

que corresponde al dominio de la función, abra la ventana de Rótulos del eje de

categoría x y seleccione el dominio de la función, pulse el botón de aceptación y

pulse siguiente

4. Escriba los títulos correspondientes, abra la carpeta Leyenda y desactive la opción

Mostrar leyenda y pulse Siguiente

5. Active la opción En una hoja nueva y pulse Finalizar.

Con el Maletín del Estudiante de Microsoft Encarta

1. Entre al el Maletín del Estudiante de Microsoft Encarta

2. De la opciones de Área de Conocimiento seleccione Matemáticas

3. De Matemáticas seleccione Matemática Microsoft

4. De Matemática Microsoft escoja Calculadora Gráfica Científica

5. Seleccione la carpeta Gráfica

6. En la carpeta funciones verifique que las opciones 2D y Coordenadas

Cartesianas estén activadas.

7. Haga un clic en la ventana para digitar la ecuación (la ecuación debe estar

despejada en función de y o en función de x), en la ventana entrada de datos,

digite la ecuación despejada, pulse Intro y para finalizar pulse gráfica

8. Para una mejor visualización de la gráfica en la carpeta de Controles de

Gráfica seleccione el botón Mostrar u Ocultar Marca Exterior

9. Para imprimir la gráfica del menú Archivo seleccione la opción Imprimir y

Aceptar.


18

Con el Derive de la Calculadora Ti-92 Plus de la Texas Instruments

1. Pulse Ctrl + w (Y=)

2. Digite la ecuación despejada en función de y y pulse ENTER. 3. Pulse Ctrl + R ( GRAPH)

Con en el Winplot

El winplot es un software gratuito especializado en el grafico de funciones. Puede

descargar en la dirección http://winplot.softonic.com/descargar

Una vez instalado el programa para utilizarlo debe ejecutar el icono

correspondiente.

Para realizar un gráfico del menú Ventana seleccione 2-dim, abra el menú

Ecua y seleccione la opción Explícita; en la ventana f(x) digite la ecuación y

pulse Ok. Si necesita elevar la variable a una potencia utilice la tecla ^.

Para ver las cuadriculas abra el menú ver seleccione la opción cuadricula

active cuadrangular pulse aplicar y cerrar. Si no se desean ver las

coordenadas desactiva las opciones escala

Para grabar el archivo del menú Archivo seleccione la opción Guardar o

Guardar como. Para abrir selecciona la opción Abrir

Con las teclas Av Pág aleja el gráfico y Re Pág acerca la imagen. Debe estar

ubicado en el área de gráfico.

Para copiar un grafico del menú archivo selecciona la opción copiar lo lleva al

documento destino y pulsa pegar. Recomendación si va a pegar en Word

inserte el grafico en un cuadro de texto para un mejor manejo.

Para mostrar los valores extremos del menú Una seleccione la opción

Extremos, para ir visualizando los demás extremos pulse Siguiente Extremo

Para escribir una etiqueta del menú Btns selecciona la opción texto en la

gráfica pulsa el botón derecho del mouse, digita el texto o etiqueta y pulsa

ok, para cambiarla de posición la arrastra con un clic sostenido.

Modificar Coordenadas menú ver opción ver, cuadrícula – Ajuste

Para sombrear un área específica del menú Ecua seleccione la opción

Sombreado activa la opción encima, debajo o entre, si va a sombrear entre

dos funciones, digite el rango o intervalo a sombrear, seleccione el color y

pulse sombrear

http://winplot.softonic.com/descargar


19

TALLER DE GRÁFICOS

Responda cada pregunta respecto a la gráfica en cada situación particular

1. El propietario de una construcción de 36 millones de pesos, la deprecia. El valor y

(dado en millones de pesos) de la construcción después de x meses de uso es

y= 36 –0.15x.

a. ¿Cuál es el valor de de la propiedad a

los 60 meses de uso?

b. ¿Cuál es el valor de de la propiedad

los 10 años de uso?

c. ¿Cuántos años pasan para que la

propiedad se deprecie por completo?

Explique

2. La utilidad obtenida (en millones de pesos) por fabricar y vender x unidades de cierto

producto está dada por

P(x)=60x – x2

a. ¿Cuál es la máxima productividad

que se puede obtener?

b. ¿Para qué intervalo la función

creciente y para cuál es

decreciente? ¿qué decisión

tomaría al respecto?

c. ¿Cuál es la máxima cantidad de

unidades que puede producir?

Justifique su respuesta

x

y Valor(Millones de Pesos)

Meses

x

y

y = 60x-x^2

Utilidad

Unidades Producidas


20

3. Suponga que el ingreso por la venta de cierto producto está dado por

R(x) = 70x + 0.5x2 – 0.001x3

a. ¿Cuál es el ingreso si se

venden 100 unidades?

b. ¿Para qué intervalo la

función creciente y para

cuál es decreciente? De

una explicación

c. ¿Cuál es el máximo

ingreso que se puede

obtener?

d. ¿Cuál es la máxima

cantidad que se puede

vender? Explique

4. Un estudiante adquiere gran número de conocimientos durante el repaso para un

examen. En un tiempo de t semanas después del examen el porcentaje de esos

conocimientos que el estudiante es capaz de recordar está dado por

P t =180 20e0.5t

1 e0.5t

a. A la semana ¿qué

porcentaje de

conocimiento recuerda?

b. ¿En cuántos meses

recuerda el 40% del

conocimiento?

c. Escriba 2 comentarios de

la situación presentada

x

y

(x,y) = (614,0)

Cantidad Vendida

Ingreso

Cantidad Vendida

x

y

Semanas

Conocimientos Recoordados

Semanas


21

5. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares esta

dado por

P = 10 + 50 ln(3x + 1)

a. ¿cuál es el precio si se

ofertan 10 unidades?

b. ¿Cuántas unidades se

deben ofertar a un precio

de $260 dólares?

c. Escriba 2 comentarios de

la situación presentada

6. Las ventas y ( en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad x ( en

miles de dólares) según

(x)=200x

x 10

a. ¿cuál es el volumen de

ventas si se invierten 10

mil dólares en publicidad?

b. ¿Cuánto se debe invertir

en publicidad para

obtener 150 mil dólares

en venta?

c. Escriba 2 comentarios

de la situación

presentada

x

y

Unidades

Precio

x

y

Volumen de Ventas

Gastos de Publicidad (Miles de Dólares)


22

FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal es aquella que cambia a una tasa constante con respecto a su

variable independiente

La gráfica de una función lineal es una línea recta

Ecuación de la Recta Toda función de la forma y= mx +b, es una función lineal donde

, b es la ordenada en el origen (coordenada donde la recta corta al eje y ) y

, m se denomina la pendiente y es el ángulo de inclinación de la recta respecto al eje

la abscisa (x). La pendiente muestra el número de unidades que varia y por cada unidad que varía x, es decir si m=10, indica que por cada unidad que varia x y varia 10 unidades En economía se considera la pendiente como los costos fijos y la ordenada en el origen los costos variables, es decir la función lineal es: costos fijos x + costos variables

La pendiente de una recta que pasa por dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) está dada por:

m = y2 – y1 x2 – x1 Se pueden presentar las siguientes situaciones:

m > 0: La recta esta inclinada hacia la derecha.

m < 0: La recta esta inclinada hacia la izquierda

m = 0: La recta es paralela al eje de la abscisa. Si m es indeterminada la recta es paralela al eje de la ordenada. Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales y dos rectas son

perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1.

La ecuación de la recta que tiene como pendiente m y pasa por el punto (x1,y1) es:

y – y1 = m(x2 – x1) La ecuación de la general de la recta está dada por:

ax + by + c = 0


23

Ejercicios

1. Encuentre la pendiente (m) el intercepto (b) y las grafique cada una de las siguientes

funciones:

a. y = 2x + 1

b. y = -2x – 1

c. 3x + 4y = 12

d. 2x – 3y = 12

2. Encuentre la ecuación de la función que pasa por los puntos:

a. (2,1) y (3,-4)

b. (3,2) y (-4,2)

c. (3,4) y (3,-1)

3. Escriba la ecuación y trace la gráfica de cada función que:

a. Tiene como pendiente -2 en intercepto 3

b. Pasa por el punto (2,0) y tiene pendiente -2

c. Pasa por el punto (-1,3) y tiene pendiente -2.

d. Pasa por los puntos (3,2) y (-1,-6)

4. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna

de las anteriores:

a. 3x + 2y = 6 ; 2x – 3y = 6

b. 5x – 2y = 8 ; 10x – 4y = 8

5. Escriba la ecuación de la recta que:

a. Pasa por (-1,2) y es paralela a 3x + 2y = 1.

b. Pasa por (1,3) y es perpendicular a 3x + y = -1.

Problemas de Aplicación 7. La demanda de un producto tiene un comportamiento lineal, si se sabe que a un precio

de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en

el precio, la demanda crece en 500 unidades

a. Halle la pendiente ¿qué significa?

Como el precio depende de la demanda, las parejas ordenadas tendrían la forma

(precio, demanda),

, es decir, x representa el precio y las unidades demandadas, por datos

podemos considerar una primera pareja (5000, 4000) donde x1=5000 y y1=4000

y una segunda pareja (4000, 4500) donde x2=4000 y y2=4500


24

Como sabemos que la pendiente es:

Significa que por cada 1000 que se incremente el precio la demanda disminuye la

mitad.

b. Halle la ecuación de la demanda

Como se conoce la pendiente y un punto utilizamos la ecuación

, remplazando

c. Grafique la función

Ubicamos los puntos (5000, 4000) y (4000, 4500) y trazamos la recta que corte

los dos ejes coordenados

d. ¿Cuál es el valor de la ordenada en el origen y qué significa?

Por ecuación y gráfica la ordenada en el origen (b) es de 6500, es decir a $0 se

demandan 6500 unidades

x

y

Precio

Unidades Demandadas


25

e. ¿Qué precio máximo estaría dispuesto a pagar?

Por gráfica $13000, para precio superior a este las unidades demandas serían

negativas

Analíticamente tendríamos que hacer y=0 y remplazar en la ecuación, así:

, despejando

f. Para un precio de $ 4500, ¿cuál sería la demanda?

Aquí x=4500 remplazando en la ecuación

, a $4500 se demandarían 4250 unidades

g. Para una demanda de 5240 unidades, ¿cuál debe ser el precio unitario?

Aquí y=5240 remplazando

, despejando

, es decir, que para demandar 5240 el precio unitario tiene que ser de $2520

8. Una máquina se adquiere por $12 000 000 y se pronostica un depreciación lineal

total en 15 años hallar

a. La ecuación

b. El valor de la máquina en 7 años

9. No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200 dólares

o más pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo por debajo de

200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. Determina la ecuación


26

de la demanda, trace su gráfica, determine la demanda cuando el precio es de 150

dólares y a qué precio se demandarán 2000 unidades

10. Una impresora costo $100 000 y se deprecia en forma lineal durante 5 años, con

un valor de $30 000. ¿cuál es la expresión de la función de costo de la impresora?

¿Cuál es el valor de la impresora en su segundo año? ¿cuánto tiempo debe pasar

para que la impresora se deprecia por completo?

11. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina es

de $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. Halle

el costo de producción de 10 y 100 cortinas, compare los resultados ¿qué

encuentra?

12. Si no hay demanda para cierto artículo el precio unitario es 17 dólares y por cada

unidad que se incrementa la demanda el precio disminuye 0.5 dólares.

a. Escriba 5 parejas ordenadas que cumplan con la situación particular

b. Suponiendo que la función es lineal Halle la ecuación de la función

c. ¿cuál es el precio si se demandan 10 unidades?

d. ¿Cuál es la máxima cantidad de unidades que se puede demandar?

e. Grafique la función

f. Suponiendo que la ecuación oferta del mismo producto es p=5+0.3x, grafíquela

en el mismo plano a la anterior

g. El punto de intersección es el punto de equilibrio, identifíquelo y verifíquelo,

¿Qué significa?

h. ¿qué significa la pendiente en la ecuación oferta?

13. El propietario de una construcción de 36 millones de pesos, la deprecia. El valor y

(dado en millones de pesos) de la construcción después de x meses de uso

es y= 36 –0. 15x. a. ¿Cuál será el valor de la construcción transcurridos 60 meses?

b. ¿Cuánto tiempo pasa hasta que la construcción se deprecie por completo?

14. La relación entre las ganancias anuales promedio de hombres y mujeres con

distintos niveles de escolaridad se puede modelar por medio de la función F = 0.518M + 2.775, donde M y F representan las ganancias anuales promedio (en

miles de dólares) de hombres y mujeres respectivamente.


27

a. Considerando F como una función de M, ¿cuál es la pendiente de esta función?

Interprete la pendiente como tasa de cambio.

b. Cuando las ganancias anuales promedio de los hombres alcanzan $30 000, ¿qué

pronostica la ecuación para las ganancias anuales promedio de las mujeres?

15. El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en Internet

entre 1998 y 2000 se puede modelar con P(x)=26.5x - 194.5 por ciento, donde x es el número de años que han pasado desde 1990. Explique porque el modelo no es

válido hasta 1998. Encuentre P(7), P(8) y P(9) y piense en lo que significa.

16. Suponga que un fabricante de calculadoras tiene la función costo total

C(x) = 17x + 3 400 y la función ingreso total R(x) = 34x. a. ¿Cuál es la función de ganancia para las calculadoras?

b. Grafique la función ganancia

c. ¿Cuál es la ganancia de 300 unidades?

Modelación de Función Lineal

1. Los datos de la tabla muestran el número de familias vinculadas a un proyecto apícola

en la Sierra Nevada de Santa Marta desde 1999

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Nº de

familias

128 253 378 503 628 753 878 1003 1128

a. Escriba una ecuación lineal de la situación.

b. Grafique la función

c. ¿Determine el número de familias que se pronostica estarían vinculadas en el

2010?

d. ¿Determine en qué año aproximadamente se pronostica se tendrían 2000 familias

vinculadas al proyecto?

2. Debido al costo de la materia prima una fabrica se vio precisada en aumentar el

precio de sus artículo, lo que repercutió en las ventas, la siguiente tabla muestra la

variación de las ventas con respecto al precio

Costo 2250 2300 2350 2400 2450 2500 2550 2600 2650

Venta 400 376 352 328 304 280 256 232 208


28

a. Suponiendo que la demanda es lineal escriba una ecuación lineal de la situación.

b. Pronostique cuántos artículos venderá a un precio de $3000.

c. Pronostique a qué precio no venderá nada


29

TALLER

1. Encuentre la pendiente (m), el intercepto (b) y las gráficas de las siguientes funciones:

a. y =-3x + 2

b. y = 4x – 1

c. 10x + 5y =15

2. Encuentre la ecuación de la función que pasa por los puntos:

a. (5,-9) y (6,8)

b. (8,8) y (4,-4)

3. Escriba la ecuación y trace la gráfica de cada función que:

a. Tiene como pendiente -3 e intercepto -1

b. Tiene como pendiente 4 y pasa por el punto (-3,2)

c. Pasa por los puntos (-1,5) y (3,7)

d. Pasa por el punto P(2, -3) y es paralela a la recta de ecuación y = -x + 7.

4. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna

de las anteriores:

a. 6x – 4y = 12; 3x – 2y = 6

b. 16x + 4y = 4; y=

x + 7

5. El costo diario promedio, C, para un cuarto en un hospital de una ciudad se elevo de

$59.82 dólares por año en 1990 a $1128.50 en 1996. Suponiendo que la función es

lineal

a. Determine la ecuación del costo (c) respecto al número de años (t) desde 1990.

b. Calcule el costo promedio, aproximado, para el 2010

6. El precio promedio p de los televisores de plasma se puede expresar como una función

lineal del número de aparatos vendidos N (en miles). Además, conforme N aumentaba

en mil, p caía US$10.40 y cuando se vendían 6485 aparatos (en miles), el precio

promedio por aparato era de US$504.39. Escriba la ecuación de la recta

determinada por esta información.


30

FUNCIÓN CUADRÁTICA

La ecuación general de una función cuadrática tiene la forma

y = f(x) = ax2 + bx + c,

, donde a, b y c R y a 0. La gráfica de la función cuadrática tiene una forma distintiva

llamada parábola.

Si a > 0, la parábola abre hacia arriba y si a < 0, abre hacia abajo.

La línea vertical que pasa por el vértice de una parábola recibe el nombre de eje de

simetría porque una mitad de la gráfica es un reflejo de la otra mitad a través de esta

otra línea. La ecuación del eje de simetría es

a

bx

2

El valor óptimo (ya sea máximo o mínimo) de la función se alcanza en

a

bx

2 y es:

x

yy = -x^2+2x+1

a < 0

x=-b/2a

f(-b/2a)

V(-b/2a, f(-b/2a))

Máximo Relativo

Eje de Simetría

Valor óptimo

x

yy = x^2+2x-1

a > 0

x=-b/2a

Eje de Simetría

Valor óptimof(-b/2a)

V(-b/2a, f(-b/2a))

Mínimo Relativo


31

a

bf

2.

El vértice, es el punto donde la parábola da la vuelta, es el punto mínimo si a > 0 y un

punto máximo si a < 0. La función cuadrática tiene su vértice en

Los interceptos de x de la gráfica de una función y = f(x) son los valores de x para los

cuales f(x) = 0 llamados los ceros de la función. Los ceros de la función cuadrática son las

soluciones de la ecuación cuadrática que se obtienen

a

acbbx

2

42

Para la gráfica de la función, se puede presentar dos situaciones

1. Si la función tiene dos interceptos, se unen estos con el vértice

2. Para aquellos casos en que la función tenga un o ningún intercepto es necesario tabular

la información y se recomienda tomar mínimo tres valores a la izquierda y tres valores

a la derecha del eje de simetría.

Concavidad y Convexidad

Diremos que una función es CÓNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando

dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva.

a

bf

a

bV

2,

2

x

y

Concava


32

Análogamente, diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados

dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva.

Los puntos en los que la curvatura pasa de cóncava a convexa o viceversa se llaman

PUNTOS DE INFLEXIÓN.

Ejercicio-1.

Encuentre el eje de simetría, el valor óptimo (determine si hay un valor máximo o

mínimo), el vértice, los interceptos y dibuje cada función.

y=x2 + 4x + 4 y=x2 - 6x + 4 y=x2 – 4 y = 2x2 +18x

y=x - x2 y = -2x2 + 16 y = -x2 + 5x - 4

Ejercicio-3

Determine la ecuación cuadrática que pasa por los puntos (1,8), (3,20) y (-2,5)

La ecuación general de las funciones cuadráticas es de la forma

y = ax2+ bx + c (Ec1)

Como se conocen 3 coordenadas debemos hallar los coeficientes a, b y c. Remplazando

cada coordenada en la ecuación obtenemos un sistema de ecuaciones lineales de de 3x3,

que resolviendo hallaremos los valores de los coeficientes así:

Para (1,8); x = 1; y = 8, remplazando (Ec1) 8 = a(1)2 + b(1) + c

8 = a + b + c (Ec2)

x

y

Convexa


33

Para (3,20); x = 3; y = 20, remplazando (Ec1) 20 = a(3)2 + b(3) + c

20 = 9a + 3b + c (Ec3)

Para (-2,5); x = -2; y = 5, remplazando (Ec1) 5 = a(-2)2 + b(-2) + c

5 = 4a - 2b + c (Ec4)

Multiplicamos la (Ec2) por -1; -8 = -a – b – c (Ec5)

Sumamos la (Ec3) y la (Ec5); 20 = 9a + 3b + c -8 = - a – b – c 12 = 8a + 2b Factorizando: 6 = 4a + b (Ec6)

Sumamos la (Ec4) y la (Ec5); 5 = 4a - 2b + c -8 = - a – b – c -3 = 3a - 3b Factorizando: -1 = a – b (Ec7)

Sumando la (Ec6) y (Ec7): 6 = 4a + b

-1 = a – b

5 = 5a despejando

Remplazando en la (Ec6): 6 = 4(1) + b despejando y resolviendo

Remplazando en (Ec2): 8 = 1 + 2 + c despejando y resolviendo

Remplazando en (Ec1) la ecuación sería:

Ejercicios-3

Determine las ecuaciones cuadráticas que pasan por los puntos indicados:

(1,0) (-2,6) y (2,6) (1,-1) (-3,33) (2,-8) (0,-4) (3,5) y (-2,0)

a = 1

b = 2

c = 5

y = x2 + 2x + 5


34

Problemas de Aplicación de Función Cuadrática Resuelva cada uno de los siguientes problemas:

1. Una tienda venderá y unidades de un producto en particular cuando se gastan x

dólares en publicidad del producto, y

y = 50x – x2

a. Calcule el valor óptimo ¿Qué significa?

Inicialmente debemos hallar el eje de simetría x=-b

2a

Comparando con y= ax2 + bc + c; a=-1, b=50 y c=0

Remplazando:

x= b2a

= 50

2( 1)=

50 2

=25

Remplazando en la función original:

y = 50(25) – (25)2=1250 – 625= 625

Como a<0, ocurre un máximo, es decir que la venta máxima será de 625

unidades y se obtiene cuando se invierten 25 dólares en publicidad

b. Halle los interceptos ¿qué significa?

Remplazamos a, b y c en la ecuación general

x = b b2 4ac

2a =

50 502 4 1 (0)

2( 1) =

50 502

2= 50 50

2

, encontramos 2 raíces

x1 = 50 50

2 = 0 x2 =

50 50

2 =

100

2 = 50

Los interceptos ocurren en x=0 y x=50, por lo tanto la venta se obtiene

cuando se invierte entre 0 y 50 dólares en publicidad



35

2. Los ingresos totales obtenidos por la venta de x número de copias de una máquina

fotocopiadora son de

R(x) = -0.04x2 + 2000x

, pesos por semana

a. Determine el valor óptimo de la función ¿Qué significa?

b. Determine los interceptos ¿qué significan?


3. La utilidad obtenida (en millones de pesos) por fabricar y vender x unidades de

cierto producto está dada por

P(x)=60x – x2

a. Determine el valor óptimo de la función ¿Qué significa?

b. Grafique la función

4. La función de oferta para lámparas de escritorios Luminar está dada por

P= 0.125x2- 0.5x + 15 , donde x es la cantidad ofrecida en miles y P es el precio unitario en dólares.

Trace la gráfica de la función, determine el valor óptimo, es máximo o mínimo, ¿qué

significa?

5. La ganancia mensual estimada por la empresa Cannon al producir y vender x

unidades de cámaras modelo M1 es

P(x)= -0.04x2 + 240x – 10 000

x

y

(25,625)

Publicidad

Unidades


36

, dólares. Encuentre el valor óptimo de la situación, determine si es máximo o

mínimo y que significa.

6. La función ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto está

dada por g(x) = 180x + 0.01x2-200. ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia?

¿cuál es la máxima ganancia posible? Grafique la función.

7. En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de

producción diaria es ¿Qué cantidad de unidades maximiza el

costo de producción? ¿cuál es el máximo costo de producción posible? Grafique la

función.

8. Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente

unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de

producción. ¿A qué hora se maximiza la producción? ¿cuál es la máxima producción

posible? Grafique la función.

9. Se determine la ganancia diaria de la venta de un producto por medio de

1001.016 2 xxP dólares. ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿cuál

es la máxima ganancia posible?

10. La ganancia diaria de la venta de x unidades de un producto es 2004.080 2 xxP

¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿Cuál es la máxima ganancia

posible?

11. Si la ganancia de la venta de x unidades de un producto es P=90x-200-x2

determine:

a. El número de unidades que maximizará la ganancia (Eje de simetría)

b. El valor óptimo (¿máximo o mínimo?)


Modelación de Función Cuadrática

1. La siguiente tabla da los ingresos totales de una empresa de comunicaciones para

años seleccionados

a. Encuentre la ecuación

b. Use la función para encontrar el año en que el ingreso fue mínimo y encuentre el

ingreso mínimo.

Año 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

Ingresos (millones)

63.13 69.9 60.53 61.1 62.19 63.08 64.9 67.15


37

c. Compruebe los datos contra los datos de la tabla

d. Trace la gráfica

2. Los datos de la tabla dan los ingresos de las ventas así como los costos de un

empresa para varios años

a.Encuentre las ecuaciones:

De ingreso por venta con respecto al número de años

De costos y gastos con respecto al número de años

b. Use la función para:

Determinar el año en que ocurre el ingreso máximo y la ganancia máxima que se

pronostica

c.Trace la gráfica de la función Costos y Gastos

d. A lo largo de los años 2000 al 2010 ¿La función proyecta ganancias crecientes o

decrecientes?

Funciones con Tecnología

Utilice la hoja de cálculo Excel para representar, tabular y graficar cada una de las

siguientes funciones:

f(x)=x2+2x+1 f(x) = 2x2+1 f(x) = 3x2+ 2x

Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

Ingreso

x venta

2.6 2.7 2.9 3.3 3.9 4.5 4.8 5.1 4.9 4.7

Costos y

gastos

2.41 2.44 2.63 2.94 3.53 3.81 4.25 4.87 4.9 4.9


38

Taller

1. Encuentre el eje de simetría, el valor óptimo (determine si hay un valor máximo o

mínimo), el vértice, los interceptos y grafique cada función.

d. y = 2x2 + 3x – 1

e. y = 3 – x - 3x2

2. Determine la ecuación cuadrática que pasa por los puntos (-1,1), (0,-1), (1,3)

3. La función oferta para un producto está dada por la ecuación , donde

f(p) es la cantidad ofertada y p es el precio en dólares, determine.

a. El eje de simetría

b. El valor óptimo ¿qué significa?

c. Los interceptos ¿qué significa?

d. Grafique la función.

e. ¿Qué cantidad debe ser ofertada a un precio de $100?

4. Supóngase que una empresa ha descubierto que la cantidad demandada de uno de sus

productos depende del precio. La función que describe esta relación es ,

donde q es la cantidad demandad en miles de unidades y p indica el precio en dólares.

El ingreso total R logrado con la venta de q unidades se formula como el producto p por

q.

a. Escriba la expresión que representa el ingreso

b. El eje de simetría

c. El valor óptimo ¿qué significa?

d. Los interceptos ¿qué significa?

e. Grafique la función.

f. Determine el ingreso total correspondiente al precio de $10.


39

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO SUPERIOR A DOS

La función P(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 donde an es diferente de cero, se conoce

como una función polinómica de n-ésimo grado.

Los números an, an-1, ..., a1, a0 se llaman los coeficientes de la función.

En la Economía...

Un investigador suele expresar: el consumo en función del ingreso, también la oferta en

función del precio, o el costo total de una empresa en función de los cambios de

producción, entre otros muchos ejemplos donde se analiza cómo se comporta una variable

en respuesta a los cambios que se producen en otras variables.

Problemas

1. El costo en millones de pesos de la elaboración de x cajas de CD en cierta

productora de discos, esta dado por C(x)=1 500 + 3x + x3, Calcule C(100), ¿qué

significa?

2. El costo, en dólares, para producir x pares de jeans es

C(x)=920 + 2x – 0.02x2+0.00007x3

Calcule el costo de producir 1000 pares de jeans

3. Se estima que un trabajador de un taller que produce marcos puede pintar y marcos

en x horas después de comenzar a trabajar a las 8:00 a.m., se puede modelar con

la expresión

y = 3x + 8x2 - x3

a. Calcule la cantidad de marcos que puede pintar a las 9:00 a.m., a la 1 p.m. b. Compare los resultados que encuentra

4. Suponga que dado el ingreso (en miles de pesos) por la venta de cierto producto

está dado por

R(x) = 70x + 0.5x2 – 0.001x3

, donde x son las unidades vendidas.

a. Calcule el ingreso por la venta de 614, 615 unidades

b. Compare los resultados ¿qué encuentra?


40

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Si a es un número real talque a >0 y a ≠1, entonces la función f(x)= a x es una función

exponencial.

Consideremos la gráfica de la función y=2x, que modela el crecimiento de diversas

aplicaciones

Una función especial que se presenta con frecuencia en economía es , donde ℮ es un

número irracional fijo (aproximadamente 2.71828…).

Las funciones exponenciales de base e con frecuencia aparecen de manera natural, el

crecimiento del dinero que se capitaliza continuamente se obtiene mediante la fórmula

, donde P es el capital original, r la tasa de interés y t el tiempo en años.

El número e aparecerá como la base de la mayor parte de las funciones exponenciales que

puedan encontrarse.

Las funciones de la forma f(x)=a-x y f(x) = e-kx representan funciones de decaimiento

exponencial.


41

Ejercicios

Emplear la calculadora para hallar las potencias indicadas de e (aproximar la

respuesta en 3 decimales)

100.5 8-2.6 31/3 5-2/3 2 x 5-2/3

e2 e-2 e0.05 e-0.5 1 – e-0.5 + 1.2

Problemas de Aplicación 1. Interés compuesto capitalizado Si se invierten P dólares a una tasa de interés anual

r (expresada en decimal) y el interés se capitaliza k veces por año, el saldo B(t)

después de t años será

Supóngase que se invierten us$5 000 a una tasa de interés anual del 10%. Calcular el

saldo después de 10 años si el interés se capitaliza: Anualmente, Semestralmente y

diariamente (365 días) ¿Qué encuentra?

2. Interés capitalizado continuamente Si se invierten P dólares a una tasa de interés

anual r (expresada en decimal) y el interés se capitaliza continuamente, el saldo B(t)

después de t años será

Supóngase que se invierten us$5 000 a una tasa de interés anual del 10%. Calcular el

saldo después de 10 años si el interés se capitaliza continuamente

3. Supóngase que se invierten 5 millones de pesos a una tasa de interés anual del 7%.

Calcular el saldo (en millones) después de 10 años si el interés se capitaliza:

Anualmente, Semestralmente, diariamente y continuamente (365 días) ¿Qué

encuentra?

4. Si se prestan P dólares durante N meses, con capitalización mensual a una tasa de

interés anual r (expresada en decimal), el préstamo puede pagarse con cuota mensual

de

, donde i es el pago del interés por periodo.

Determinar la cuota mensual para comprar un automóvil nuevo que cuesta 35 millones

de pesos, si la cuota inicial es de 10 millones y el resto se financia a un periodo de 5

años a una tasa anual de 6% capitalizada mensualmente (nótese que i=

)


42

5. Para comprar una casa se hace un préstamo de 150 millones de pesos al 9% de interés

anual, capitalizado mensualmente durante 30 años ¿cuánto debe pagarse

mensualmente para amortizar la deuda?

6. Si se invierten $10.000 con una tasa de interés del 6% compuesto mensualmente,

entonces el valor futuro de la inversión después de x años esta dado por

. Encuentre el valor futuro de la inversión después de 5 años y de 30

años.

7. Un estudio estadistico acerca del funcionamiento de un artefacto, muestra que la

fracción de estos que funcionan después de t años de uso es aproximadamente

a. ¿Qué porcentaje de artefactos se espera funcionen después de 4 año?

b. ¿Cuántos años pasaran aproximadamente para funcionen la mitad de los

artefactos?

8. Una compañía ha visto que la demanda mensual de su nueva línea de computadoras

domesticas t meses después de introducirlas en el mercado está dada por

D(t)= 2 000 – 1 500e-0.05t (t > 0)

Grafique la función y responda

b. ¿cuál es la demanada después de un mes y un año?

c. ¿cuánto tiempo debe pasar para que se demanden 1 000 unidades.

9. El poder adquisitivo P de un ingreso fijo de $30 000 anuales (como pensión) después de

t años, con una inflación de 4% puede modelarse por medio de la fórmula

Encuentre el poder adquisitivo después de 5 años y 20 años

10. El número de fondos mutuos N, excluyendo los fondos del mercado monetario, para

los años seleccionados de 1978 a 2000, se pueden modelar por medio de

Donde t es el número de años que han pasado desde 1975.

a. Use el modelo para calcular el número de fondos mutuos en 1990

b. Use el modelo para calcular el año en que el número de fondos mutuos

llegará a 20 000.


43

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar,

simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos

podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y

raíces en cocientes.

Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número.

Donde a Є R, a > 0 a ≠ 1, a se denomina base del sistema de logaritmos.

que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o también : "el número b se llama

logaritmo del número x respecto de la base a " .

Un logaritmo no es otra cosa que un exponente.

Propiedades

Tipos de Logaritmos Logaritmos Comunes: También llamados decimales o vulgares son los que tienen por base

el número 10. Se escriben log10 x = log x

Logaritmos Naturales: También llamados Neperianos o hiperbólicos tienen por base el

número e. Se escriben loge x = ln x


44

Ejercicio-5 Escriba cada ecuación en forma exponencial

4 = log2 16

4 = log3 81

Ejercicio-6 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial

Ejercicio-7 Escriba cada ecuación en forma logarítmica

25 = 32

53 = 125

4-1 =

91/2 = 3

Ejercicio-8 Escriba cada expresión como la suma o diferencia de dos funciones

logarítmicas que no contienen exponentes

Ln (x + y)(4x + 5)

Ejercicio-9 Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:

2x – 1= 5 5(3x+2) – 1 = 14

Ejercicio-9 Use la calculadora para determinar

Problemas de Aplicación 1. La ecuación de la demanda de cierta mercancía es

X=5000 – 1000 ln(p + 40)

, donde se demandan x unidades cuando el precio unitario es de p dólares. Calcular la

cantidad de unidades demandadas cuando el precio unitario es 5 y 10 dólares

Si p=5,


45

x = 5000 - 1000 ln( 5 + 40)=5000 - 1000 ln(45)= 5000 - 1000(3.8)

x= 5000-3806.66=1193.33

Es decir a un precio de 5 dólares se demandarían aproximadamente 1193 unidades

Si p=10

x = 5000 - 1000 ln( 10 + 40)=5000 - 1000 ln(50)= 5000 - 1000(3.91)

x= 5000-3912.02=1087.97

Es decir a un precio de 10 dólares se demandarían aproximadamente 1088 unidades.

Por lo tanto al incrementarse el precio de 5 a 10 dólares las unidades demandadas

disminuyen de 1193 a 1088.

2. Una compañía encuentra que la cantidad de dólares y que deben gastar semanalmente

en publicidad para vender x unidades de un producto está dada por

a. Calcule el gasto publicitario que se necesita para vender 100, 200 y 300 unidades,

compare los resultados que encuentra.

b. Calcule el número de unidades que se deben vender para gastar 100 dólares

semanales en publicidad.

3. Digamos que la función demanda para un producto está dada por

a. ¿Cuál será el precio si se demandan 19 unidades?

b. ¿Cuántas unidades serán demandadas si el precio es de 29. 4?

4. Suponga que el costo total (en dólares) para un producto está dado por

C(x) = 1500 + 200 ln(2x +1)

, donde x es el número de unidades producidas

a.¿Cuál será el costo de producir 200 unidades?

b.¿Cuántas unidades se producirán con 3000 dólares?

5. El ingreso total en dólares por la venta de x unidades de un producto está dado por

R(x) =


46

Encuentre el ingreso cuando se venden 100 y 200 unidades e interprete el resultado


dado por P = 10 + 50 ln(3x + 1). a. Encuentre el precio de oferta cuando el número de unidades es 33.

b. ¿Cuántas unidades se ofrecen a un precio de 300 dólares

7. La función demanda de un producto está dada por p =

donde p es el precio

unitario en dólares cuando se demandan x unidades. Encuentre el precio con

respecto al número de unidades vendidas cuando se venden 40 y 90 unidades ¿qué

encuentra?

8. El decaimiento de las ventas para un producto se obtiene por medio de

, donde S es la venta semanal (en dólares) y x es el número de semanas que han

transcurrido desde que terminó la campaña publicitaria. Determinar 1. Las ventas dos meses después de culminar la campaña publicitaria. b. El número de semanas que deben pasar después de culminar la campaña publicitaría

para que las ventas caigan por debajo de los US$15 000.

9. Las Naciones Unidas han pronosticado la población mundial de 1995 a 2150. Usando

estas proyecciones se puede modelar la población mundial (en millones) con la

ecuación

Donde x es el número años transcurridos desde 1990.

a. Suponga que en 1990 la población mundial fue de 4 155 millones de habitantes. Use

este modelo para encontrar cuántos años pasaran antes de que se duplique la

población de 1990.

b. Según el modelo ¿cuál será la población en el 2008?

10.El valor V de un objeto a los t años de su adquisición se puede modelar con la

expresión

, 0 ≤ t ≤ 10

Determine el valor del objeto 5 años después de adquirido. Cuánto tiempo debe pasar

para que un objeto disminuya su valor en $10000


47

11. Se estima que el porcentaje de que falle una cierta marca de circuitos de

computadora después de t años de uso sea

P(t)=100(1 – e-0.1t) Grafique la función y responda lo siguiente

a. Aproximadamente que porcentaje de circuitos que fallaran en 3 años

b. ¿cuánto tiempo debe pasar para que fallen el 60% de los circuitos.

Modelación de las Funciones Exponenciales

1. El producto interno bruto (PIB) de cierto país (dado en millones de dólares) de us $

100 millones en 1980 a us$165 millones en 1990. Suponiendo que el PIB crece

exponencialmente ¿cuál será el PIB en el año 2000?

Como la aplicación crece de forma exponencial su forma es:

(Ec1)

, donde p=165, p0=100, t=10 y k es una constante de proporcionalidad, que debemos

hallar así

Remplazando

, aplicando logaritmo natural a ambos lados de la igualdad

, entonces k=0.05

Remplazando en la (Ec1) la ecuación general de la aplicación sería

Para hallar el PIB en el 2000 debemos tener en cuenta que t=20 remplazando

Lo que indica que para el 2000 el PIB será aproximadamente de us$272 millones

2. El número total de hamburguesas vendidas (en millones) por una cadena nacional de

comidas rápidas crece exponencialmente. Si se vendieron 4000 millones en 1986 y

12000 en 1991. ¿cuántas se venderán en el 2008?

3. Cierta compañía adquirió hace tres años cierta maquinaria en us$500 000. Su valor

actual de reventa es de us$320 000. Si el valor de la maquinaria disminuye en

forma exponencial. Encuentre la función que representa la situación y ¿cuál será el

valor de la maquinaria en cuatro años


48

4. Si la población de cierto municipio era de 100 000 habitantes en 1990 y 110

517 en el 2 000, y si se aplica la fórmula y=P0eht al crecimiento de la población,

calcule la población en el 2015.

TALLER

TEMA: Función Exponencial y Función Logarítmica

1. Calcule el valor de la potencia y exprese en forma logarítmica

Potencia Logarítmica Potencia Logarítmica

54

2. Escriba cada ecuación en forma exponencial

Logarítmica Exponencial Logarítmica Exponencial

log3 27=3

log3 243=5

=

3. Indique el valor de x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial

Expresión Valor de x Expresión Valor de x

4. Escriba cada expresión como la suma o diferencia de dos funciones logarítmicas que

no contienen exponentes

Expresión Equivalencia


49

5. Use la calculadora para determinar

Expresión Resultado Expresión Resultado

6. El decaimiento de las ventas para un producto se obtiene por medio de ,

donde S es la venta semanal (en dólares) y x es el número de semanas que han

transcurrido desde que terminó la campaña publicitaria. Determinar:

a. Las ventas dos meses después de culminar la campaña publicitaria. b. El número de semanas que deben pasar después de culminar la campaña publicitaría

para que las ventas caigan por debajo de los US$15 000.

Funciones con Tecnología

Utilice la hoja de cálculo Excel para representar, tabular y graficar cada una de las

siguientes funciones: f(x) = 2(x3)

f(x) = 3-2x

f(x)= e-x

f(x) =

50(1+e10x)

f(x)=

f(x)=14.1 ln(x)

f(x)=ln (x-3) f(x)=

f(x)=


50

FUNCIÓN COCIENTE

Dadas dos funciones f(x) y g(x) cualesquiera, el cociente de f(x) y g(x), denotado por

, es otra función definida donde y g no puede ser igual a 0 por que tendríamos una

indeterminación.

Problemas

1. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol

promedio depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue

rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula

Determine el número de libras de de durazno p de buena calidad si el árbol se

rosea con 1, 3 y 5 libras de insecticida.

2. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada

vez más poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy

en día. Si suponemos que dentro de “x” meses, el precio de cierto modelo será

dólares

Determine el precio de mercado de las calculadoras 6 meses y un año después de

haber salido al mercado. Compare los resultados ¿qué encuentra?

2. Suponga que el precio p (en dólares) de un producto se determina, mediante la

función

, donde x son las unidades demandadas.

a. Determine el precio cuando se demanda 300, 400 y 500 unidades

b. Compare los resultados que encuentra


51

FUNCIÓN POR PARTES O POR TROZOS

Algunas funciones por su estructura difiere su criterio para ciertos valores de la variable

independiente (variable “x”), esto hace que en muchos casos se necesite hacer un estudio

particular de las mismas. Por estas variaciones en su criterio se les define como

funciones por partes o a trozos.

Ejemplo. Dadas las funciones

Determine:

a. j(-1)

Inicialmente debemos ubicar el rango donde está el valor de la variable

independiente x, para el caso particular el valor está ubicado en el primer rango,

j(-1)= (-1 + 2)3 + 1 = (1)3 + 1 = 1 + 1 = 2

b. j(0)

El valor x=0 está ubicado en el segundo rango

j(0)=3 + 0= 3

c. j(-2)

El valor x=-2 está ubicado en el primer rango

j(-2)= (-2 + 2)3 + 1 = (0)3 + 1 = 0 + 1 = 1

Determine

4 – x2 Si x < 2, rango 1

2. f(x) = x – 2 Si x ≥ 2, rango 2

(x + 2)3 + 1 Si x ≤ -1, rango 1 1. j(x) = 3 + x Si x > -1, rango 2


52

a. f(3)

El valor x=3 está ubicado en el segundo rango

f(3)=3 – 2 = 1

b. f(1)

El valor x=1 está ubicado en el primer rango

f(1)= 4 – (1)2 = 4 – 1 = 3

x2 1 Si x ≤ 0

Si x < 2

3. j(x)= 4. j(x) =

Si x > 0 Si x ≥ 2

Determine j(-1), j(0) y j(2) Determine j(-1), j(0) y j(2)

Si x < 1

Si x < 2

e. j(x)= d. j(x) =

2x2 + 1 Si x ≥ 1 Si x ≥ 2

Determine j(-1), j(0) y j(2) Determine j(-1), j(0) y j(2)


1. Cierta compañía de encomienda liquida los envíos de acuerdo a

0.80x Si 0 < x ≤ 50 C(x)= 0.70x Si 50 < x ≤ 200 0.65x Si x > 200

, donde C(x) se da en dólares y x en kilogramos. Determine el costo de envio de 50 y

200 kilogramos

Si x=50, por datos está ubicado en el primer rango,

C(x)= 0.80x = 0.80 (50) = 40

El envio de 50 kilogramos tiene un costo de 40 dólares

Si x=200, por datos está ubicado en el segundo rango,

C(x)= 0.70x = 0.70 (200) = 140

El envio de 50 kilogramos tiene un costo de 140 dólares


53

A mayor carga mayor costo, pero proporcionalmente resulta más económico enviar

mayor carga.

2. La ecuación oferta para cierto producto es:

Determine el precio (en miles de pesos) cuando se venden:

a. 2000 unidades

Observe que las x=2000 unidades estarían ubicadas en el 1 rango,

, es decir que cuando se ofertan 2000 unidades el precio sería 3.3 mil de pesos

b. 7000 unidades

Para este caso x=5000, entonces remplazamos en el segundo rango, remplazando

, es decir que cuando se ofertan 5000 unidades el precio sería 4.4 mil de pesos

c. 14 000 unidades

Acá x=14 000, entonces remplazamos en el tercer rango, remplazando

, es decir que cuando se ofertan 14 000 unidades el precio sería 4.8 mil de pesos

3. Cierta compañía de envio de mercados líquida los envíos de acuerdo a

120x+1200 Si 0.01 ≤ x ≤ 20

200x+1700 Si 20 < x ≤ 30

C(x)=


54

250x+2200 Si 30 < x ≤ 50

280x+2700 Si 50 < x

, donde C(x) se da en dólares y x en gramos. Determine el costo de envio de 20,

45, 30 y 60 gramos

4. La cantidad de desechos sólidos descargados por la planta de tratamiento de aguas

negras esta dada por la función

130 si 0 ≤ t ≤ 1

-30t 160 si 1 < t ≤ 2

f(t)= 100 si 2 < t ≤ 4 -5t2 25t 80 si 4 < t ≤ 6

1.25t2 – 26.25t + 162.5 si 6< t ≤ 10

Donde f(t) se mide en toneladas/día y t se mide en años donde t=0 corresponde a

1989. ¿Qué cantidad de desechos sólidos fueron descargados por día en 1991, 1995 y

en el 2000?

Para hallar la cantidad de desechos sólidos que se descargan en un año específico se

cuenta el número de años que han pasado desde 1989 hasta dicho año.

Para 1991 hallamos el número de años que han pasado desde 1989,

1991-1989=2

, es decir t=2, estaría ubicada en el segundo rango, remplazando

f(2)=-30(2)+160=-60+160=100

, indica que en 1991 se descargaron 100 toneladas/día de desechos sólidos


1995-1989=6

, es decir t=6, estaría ubicada en el cuarto rango, remplazando

-5t2 +25t + 80

f(6)=-5(6)2 +25(6) +80=-5(36)+150+80=-180+230=50

, indica que en 1995 se descargaron 1400 toneladas/día de desechos sólidos


2000-1989=11

, es decir t=11, está fuera de rango, es decir no aplica para este problema


55

5. El cargo mensual en dólares por x kilovatio/hora de electricidad se obtiene por la

función

10 0.094x Si 0≤ x ≤ 100

C(x )= 19.4 + 0.075(x – 100) Si 100 < x ≤ 500

49.40 + 0.05(x-500) Si x < 500

Calcule el cargo mensual si se consumen:

a. 30 kilovatio/hora b. 150 kilovatio/hora c. 1200 kilovatio/hora

b. Los fondos presupuestales para los programas educativos (en miles de millones de

dólares) entre 1965 y el 2000 se modelaron con la función

1.965t – 5.65 cuando 5 t 20

P(t)=

0.095t2 – 2.925t + 54.15 cuando 20< t 40

Donde t es el número de años que han pasado desde 1960. Determine el presupuesto

para los programas de educación en 1980 y el 2007.

c. Los cargos mensuales (en dólares) de x kilowatts hora(Kwh) de electricidad usada por

un cliente comercial se determina por medio de la siguiente función:

7.52 + 0.1079x si 0x5

19.22 + 0.1079x si 5<x750

C(x) = 20.795 + 0.1058x si 750<x1500

131.345 + 0.0321x si x>1500

Encuentre los cargos mensuales para los siguientes consumos.

a. a. 800 Kwh b. 2750 Kwh c. 5 Kwh d. 6 Kwh

d. La edad promedio (en años) de la población de Estados Unidos de 1900 a 2000 está

dada aproximadamente por la función

1.3t 22.9 Si 0 ≤ t ≤ 3

f(t)= -0.7t2 7.2t 11.5 Si 3 < t ≤ 7

2.6t + 9.4 Si 7 < t ≤ 10

, donde t se mide en décadas y t=0 corresponde a 1900


56

¿Cuál era la edad promedio de la población de Estados Unidos al inicio de 1900? Al

principio de 1950? ¿Principio de 1900?

e. De acuerdo con un estudio, el gasto de los adultos mayores para el cuidado de la salud,

f(t) (como porcentaje de sus ingresos), en el año t, donde t=0 corresponde a 1977,

esta dado por

Si 0 ≤ t ≤ 7

f(t)= t + 7 Si 7 < t ≤ 10

Si 10 < t < 20

Determine el gasto de los adultos mayores para el cuidado de la salud en 1982 y 1992.

¿Hasta qué año es aplicable el modelo?


57

LIMITE

¿Qué se entiende por límite? De ordinario hablamos del precio límite, de la velocidad

límite, del límite de nuestra propia resistencia, los límites de la tecnología moderna o de

estirar un muelle hasta el límite. Todas esas frases sugieren que el límite es una especie

de cota que a veces puede no ser alcanzable y otras no sólo es alcanzable sino superable.

A través del límite se pueden visualizar los cambios en el rendimiento por pequeños

números de unidades, podemos obtener acerca de la tasa de cambio instantánea, se

convierte en el puente matemático de las tasas de cambio promedio a las tasas

instantáneas.

Se ha utilizado la notación f(c) para indicar el valor de una función f(x) en x=c. Si se

tiene que analizar un valor al que se aproxime f(x) conforme x se aproxime a c se usa la

idea de de limite (Técnicas de Aproximación)

x = -2 no está en el dominio de f(x), es decir f(-2) no existe, si tomamos valores próximos

a -2

x -3 -2.5 -2.2 -2.1 -2 -1.9 -1.8 -1.5 -1

f(x) -6 -5.5 -5.2 -5.1 -4.9 -4.8 -4.5 -4

Suponga que f(x) es una función definida en un intervalo abierto que contiene a c

excepto quizás a c, entonces:

Si f(x)= x2-x – 6 = (x – 3) (x + 2) = x + 3 x + 2 x + 2

Lim f(x) = L x c


58

Se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L”. El limite L existe si podemos

hacer que valores de f(x) estén tan cerca de L como lo deseemos, eligiendo valores de x

suficientemente cercanos a c. Si los valores de f(x) no se aproximan a solo valor finito L

cuando x tiende a c decimos que no existe el limite

Límites Laterales Limite por la derecha:

Significa que los valores de f(x) se aproximan al valor L cuando x c, aunque x > c.

Limite por la izquierda

Significa que los valores de f(x) se aproximan al valor M cuando x c, aunque x < c. Consideraciones Especiales

El límite de una función cuando x tiende a c es independiente del valor de la función en c,

cuando existe Lim f(x) = L cuando x c, el valor de la función en c puede ser: Igual al

límite, Indefinido o definido pero diferente al límite.

Se dice que el límite existe solo si L es un valor finito (número real)

Propiedades de los Límites Si k ε R,

Lim k = k x c-

,M ≠ 0

x c x c

Lim f(x) = L x c+

Lim f(x) = M x c-

Lim f(x) = L x c

Lim f(x) = M x c-

Lim [f(x) ± g(x)] = L + M x c

Lim [f(x) . g(x)] = L . M x c

Lim f(x) = L x c g(x) M

Lim x = c x c


59

Ejercicios-1 Utilice las propiedades de límite y métodos algebraicos para encontrar los límites

existentes

Limites Indeterminados

Si Lim f(x) = Lim g(x) =0 cuando x tiende a c, entonces la expresión racional que tiene la

forma

en x=c. Podemos factorizar x – c en f(x) y g(x), simplificar la fracción para

encontrar una función equivalente en la cual exista el límite.

Si Lim f(x) ≠ 0 y Lim g(x) =0 cuando x tiende a c, entonces

no existe. En este

caso, los valores de f(x) / g(x) son ilimitados cerca de x=c.

Ejercicio Calcule cada limite si existe

Continuidad en un punto La función f es continua en x = c si se satisfacen todas las condiciones siguientes

1. f(c): exista

2. Lim f(x) cuando x tienda a c exista

3. Lim f(x) = f(c), cuando x tienda a c exista

Si no satisface una de las tres condiciones decimos que la función es discontinua en c

Toda función polinómica es continua para todos los números reales.


60

Toda función racional es continua en todos los valores de x excepto en aquello cuyo

denominador es cero.

Ejercicio-1 Encuentre los valores de x donde las siguientes funciones son discontinuas

Ejercicio-2 Determine si cada función es continua o discontinua en el de x dada

x + 2, >0

4x - 7, x >2

Límite de las Funciones Definidas por Partes

El límite de una función por partes o por trozos f(x) existe, si el límite de f(x) cuando x

tiende a c por la izquierda es igual al límite f(x) cuando x tiende a c por la derecha. Es

decir:

Determine si los límites de cada función existen

(x + 2)3 1 Si x ≤ -1 4 – x2 Si x < 2

a. f(x) = b. g(x)=

1 - x Si x > -1 x – 2 Si x ≥ 2

Ejercicios

Lim f(x) = L x c+

Lim f(x) = M x c-

=


61

TALLER

1. Calcule el límite por tabulación de la función

, cuando x toma valores cercanos (por izquierda y derecha) al punto donde la

función se hace indeterminada

2. Calcule cada uno de los siguientes limites (si existen)

f(x)=

3. De la gráfica de la función f(x)=-x2+4x obtenga el límite cuando x toma valores

cercanos a:

a. Cero (0)

b. 2

c. 4

x

yy = -x^2+4x


62


1. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio

depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, de

acuerdo a la siguiente fórmula

a. Determine el límite de p cuando x tiende a 0 y a 3

b. ¿Qué significa cada expresión? ¿Qué encuentra?

2. El costo total de la producción de x litros de un determinado producto viene dado

por

a.Encuentre )

b.¿Cuál es el significado de cada expresión?

c.Compare los resultados e interprételos

3. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada



, dólares.

a.Encuentre )



4. Durante los primeros cuatro meses en su empleo; las ventas mensuales S (en miles

de dólares) de un vendedor nuevo dependen del número de horas x de capacitación

de la siguiente manera:


63

, x ≥ 4

a.Encuentre ,



5. Las ventas y ( en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad x ( en

miles de dólares) según

, x ≥ 10

a.Encuentre ,



6. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad

se describe por medio de

a.Encuentre ,





a.Encuentre ,





a.Encuentre ,




64

9. Suponga que el precio p (en dólares) de un producto se determina, mediante la

función

, donde x son las unidades demandadas.

a. Encuentre ,

b. ¿Cuál es el significado de cada expresión?

c. Compare los resultados e interprételos

10. El cargo mensual en dólares por x kilovatio/hora de electricidad se obtiene por la

función

10 0.094x Si 0≤ x ≤ 100

C(x )= 19.4 + 0.075(x – 100) Si 100 < x ≤ 500

49.40 + 0.05(x-500) Si x < 500

Encuentre el límite del cargo mensual cuando el consumo tiende a 100 y a 500

Kilovatio/hora

Limites Infinitos

Al evaluar la función f(x) = 1 / x, para valores de x muy grandes, f(x) nunca se vuelve

negativo, aunque ningún valor de x hace que 1 / x sea igual a cero, es fácil ver que 1 / x se

aproxima a cero a medida que x se hace más grande, lo anterior se denota

Propiedades Si c es cualquier constante entonces

Ejercicio-3 Evaluar cada límite

Lim 1 = 0 x ∞ x

Lim c = c y Lim c = c x +∞ x -∞

Lim c =0, donde p>0 x +∞ xp

Lim c =0, donde n>0 x -∞ xn


65


1. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol

promedio depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue

rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula

a. Determine el límite de p cuando x tiende a

b. ¿Qué significa la expresión?

c. Interprete el resultado

2. Se pronostica que la población de cierta ciudad pequeña t años a partir de ahora es

Determine la población a largo plazo

3. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevo

para ensamblar una unidad de un producto está dado por

, donde t es el número de días en el trabajo.

a. Encuentre

b. ¿Cuál es el significado de la expresión?

c. Interprete el resultado.

4. Suponga que la demanda de un producto se define mediante

Donde p es el precio y q es la cantidad solicitada

a. Encuentre

b. ¿Cuál es el significado de la expresión?

limx

3

x 1 lim

x

3

x 1 lim

x

x3 1

x3 4

limx

4x2 5

x2 4x lim

x

3x2 5x

6x 1 lim

x

5x3 8

4x2 5x


66

c. Interprete el resultado.

5. El número de estudiantes por computador en las escuelas públicas de Estados

Unidos se puede modelar con la función

, donde x es el número de años que han transcurrido desde el año escolar que

finalizo en 1981

a.Encuentre

b.¿Cuál es el significado de la expresión?

c.Interprete el resultado.

6. El volumen de ventas, y (en miles de dólares), se relaciona con los gastos de

publicidad x(en miles de dólares) según

a.Encuentre

b.¿Cuál es el significado de la expresión? c.Interprete el resultado.

7. El porcentaje p de impurezas que se puede eliminar de las aguas residuales de un

proceso de fabricación con un costo C dólares se obtiene mediantes

Encuentre

a.¿Cuál es el significado de la expresión?

b.Interprete el resultado. 8. Suponga que el costo C de eliminar el porcentaje p de impurezas de aguas

residuales de un proceso de fabricación se obtiene con

Encuentre

a.¿Cuál es el significado de la expresión?

b.Interprete el resultado. 9. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada




67

, dólares.

a.Encuentre )


c.Interprete el resultado

TALLER

TEMA: LÍMITES

1. Determine el límite de cada función tabulando los datos

a.

b.

2. La gráfica muestra la función y= x3 - 1, use la gráfica para calcular el límite de f(x) cuando x toma valores próximos a 1 y a 0

3. La gráfica muestra la función y=x2+2x , Use la gráfica para calcular el límite de

f(x) cuando x toma valores próximos a -2, -1 y 0


68

4. Calcule cada uno de los siguientes límites lim 1

3 2 2 3 4 lim

x 13

3x 1

9x2 1 lim

t 0

2 4 t

t lim

x 0

x 2 2

x

2x+1, Si x>3

10-x, Si x 3

, Si x<2

, si x


1. Suponga que las ventas diarias S (en dólares), t días después de terminar una

campaña publicitaría son

a.Encuentre

b.¿Qué significa cada expresión?


2. Suponga que el volumen de ventas semanales (en miles de unidades) para un

producto está dado por


69

, donde p es precio unitario en dólares a. Encuentre el límite de las ventas semanales cuando el precios toma valores

próximos a 10 y 11 dólares

b. Compare los resultados e interprételos

Limites con Tecnología

Use el Excel para tabular, graficar y calcular el valor de cada límite.

LA DERIVADA

La derivada de una función se puede utilizar para determinar la tasa de cambio de la

variable dependiente con respecto a la variable independiente. A través de la derivada se

puede obtener la ganancia, el costo y el ingreso marginal, dadas las respectivas funciones

de ganancia, costo total e ingreso total, además de otras tasas de cambio como de la

tasas de cambio de las poblaciones y de la velocidad. También se puede utilizar para

hallar la pendiente de una tangente a una curva en un punto sobre la curva. Además la

derivada es utilizada para minimizar el costo promedio, maximizar el ingreso total

maximizar la ganancia y determinar la elasticidad en la demanda.

La tasa de cambio promedio de una función y=f(x) de x=a a x=b está definida por:


70

Según la figura la tasa de cambio promedio es igual a la pendiente del segmento (a , f(a))y

(b , f(b))

Ejercicio-1 Suponga que el costo total en dólares de una compañía por producir x

unidades esta dado por C(x)= 0.01x2+25x+1500. Encuentre la tasa de cambio del costo

total para:

Las primeras 100 unidades producidas (x=0 a x= 100)

Las segundas 100 unidades producidas

Tasa de cambio instantánea Suponga que un objeto que se mueve en línea recta

tiene su posición y en un momento x dado por y=f(x). Entonces, la velocidad del objeto en

el momento x es:

,si este límite existe

Ejercicio-2. Suponga que se lanza directamente hacia arriba una pelota de modo que su

altura f(x) (en pies) se obtiene mediante la ecuación

f(x)=96+64x-16x2

Encuentre la velocidad promedio de x=1 a x=1+h

Pendiente de la Tangente A la gráfica y=f(x) en el punto A(x1,f(x1) es

Si ese límite existe. ES decir, m=f´(x), la derivada en x=x1.

Ejercicio-5 Encuentre la pendiente de y=f(x)=x2 en el punto (2,4)


71

DERIVADA Si f es una función definida por y=f(x), entonces la derivada de f(x) para

cualquier valor de x, denotada f`(x), es

Si este límite existe. Si f`(c) existe, decimos que f es diferenciable en c.

Si y= f(x) la derivada de y con respecto a x se denota y´ o

o

o Dxy o Dx[f(x)]

Ejercicio-3 Encuentre la derivada de cada función

f(x) = 2x f(x) = x2 f(x) = x3+1 f(x) = 3x2-2x+1

Ejercicio-4 La función ingreso total de un producto está dada por R=R(x), donde x es el

número de unidades vendidas. Entonces el ingreso marginal para x unidades es:

Suponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dado por

Donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se venden diariamente.

Encuentre la función que da el ingreso marginal para cualquier valor de x.

Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 20 000 barriles, es decir x=20. Remplazando

Como x=20


72

Si se incrementa la producción en 21 mil barriles el ingreso se incrementa en 60 mil

dólares

Fórmulas de la Derivada Si f, g y h son funciones definidas en x y k ЄR

Tipo Función Derivada Ejemplos

Constante f(x)=k f´(x)=0 Si f(x)=5, f´(x)=0

Si f(x)=-2, f´(x)=0

Múltiplo constante f(x)=kx f´(x)=k Si f(x)=3x, f´(x)=3

Si f(x)=-0.5x, f´(x)=-0.5x

Potencia f(x)=xn f´(x)=nxn-1 Si f(x)=x4, f´(x)=4x3

Si f(x)=x-3, f´(x)=-3x-4

Múltiplo y Potencia f(x)=kxn f´(x)=k.nxn-1 Si f(x)=5x4,f´(x)=20x3

Si f(x)=-6x5,f´(x)=-30x4

Suma f(x) = [g(x) ± h(x)] f´(x)=g´(x) ± h´(x) Si f(x)= x3+4x2-3x+2, f´(x)=3x2+8x-3

Si f x =x-3 x1 2, f x =-3x-4

1

2x-1 2

Multiplicación f(x) = [g(x).h(x)] f´(x)=g´(x) ± h´(x) f(x)=(x2+2)(3x-1)

f´(x)=2x(3x-1)+(x2+2)3 = 6x2-2x+3x2+6 = 9x2+2x+6

f(x)=x3/2(3x2-x-1)

f´(x)=3

2x1 2 3x2-x-1 x3 2(6x x-2)

9

2x5 2 -

3

2x-1 2 6x5 2 x-1 2

=21

2x5 2 -

1

2x-1 2

Cociente f x =

k

g(x)

f x =

1

x , f x =-

1

x2

f x =5

x3

Cociente f x =

g(x)

h(x) f x =

g x h x g x h (x)

h x 2

f(x)=

Ejercicio Derivar cada una de las siguientes funciones

f(x) = - 4 f(x) = 0.25 f(x)=21x f(x)=

x

f(x)=x5

f(x)= f(x)=4x3

f(x)=

f(x)=4x2 + 5x + 3 f(x)= 6 – x

-2 + x

1/2 f(x)= (x

3-1)(5x

2+6x) f(x)=(x

2+1)

2

f(x)=

f(x)=

f(x)= x

x-1 f(x)=

Problemas de aplicación 1. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es

C(x)=5000 + 10x + 0.05x2.

Halle el costo marginal (Es decir la razón de cambio de C con respecto a x, cuando

x=100.


C(x)=200 + 3x + 0.01x2+0.0002x3

a.Encuentre la función costo marginal.

b.Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica?

c.Calcule C(101) – C(100)

d.Compare los resultados de los encisos b y c. ¿Qué encuentra?

3. La función costo de un artículo es C(x)=84000 + 0.16x – 0.6x2 + 0.003x3

a. Encuentre la función costo marginal.

b. Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica?

c. Calcule C(101) – C(100)

d. Compare los resultados de los encisos b y c. ¿Qué encuentra?


C(x)=920 + 2x – 0.02x2+0.00007x3

a. Encuentre la función costo marginal.

b. Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica?

c. Calcule C(101) – C(100)

d. Compare los resultados de los encisos b y c. ¿Qué encuentra?


5. El volumen de ventas de un disco fonográfico particular está dado como una función

del tiempo t por la fórmula

S(t)=10 000 + 2 000t -200t2


75

, donde t se mide en semanas y S es el número de discos vendidos por semana

determine la tasa de cambio cuando

a. t=4 y ¿qué significa?

b. t=8 y ¿qué significa?

c. Compare los resultados ¿qué encuentra?

6. El costo en miles de pesos de la elaboración de x miles de CD en cierta productora

de discos, esta dado por C(x)=1 500 - 3x + x3,

a. Encuentre la tasa de cambio del costo con respecto a la cantidad.

b. Calcule C´(100), ¿qué significa?

7. Suponga que un mayorista espera que su ingreso mensual por la venta de televisores

pequeños sea

, donde x es el número de unidades vendidas. Encuentre su ingreso marginal e

interprételo cuando la cantidad vendida es 300, 500 y 600

f. Suponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dado

por la ecuación

R(x) = 100x – x2, x ≥ 0

, donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se venden diariamente.

Encuentre el ingreso marginal cuando se vende 20 000 barriles (es decir x=20)

g. Suponga que el fabricante de un producto sabe que dada la demanda de este

producto, su ingreso esta dado por

R(x) = 1 500x – 0.02x2, c0n ≤ x ≤1 000

, donde x es el número de unidades vendidas y R(x) está en dólares. Encuentre el

ingreso marginal en x=500, interprete el resultado.

h. La producción semanal de cierto producto es

Q(x)= 200x + 6x2

, donde x es el número d trabajadores en la línea de ensamble. En la actualidad hay

60 trabajadores en la línea. Encuentre Q`(x) y calcule el cambio en la producción

ocasionada por la suma de un trabajador, interprete el resultado


76

Regla de la Cadena

Si f y g son funciones diferenciables donde y=f(u) y u=g(x), entonces y es una función

diferenciable de x, y

, o su equivalente

Ejercicio-1. Derivar

f(x) = 2(x2 – 1)4 f(x) = (x2 – 9)2/3 f(x) =

Regla de la potencia

Si , donde u es diferenciable de x, entonces

Ejercicios. Derive cada una de las siguientes funciones


77


1. La producción diaria para cierta fabrica está dada por:

f x = 200 2x 1 , donde x es la inversión de capital dada en miles de dólares.

a. Calcular la tasa de cambio de la producción respecto a la inversión de capital

Derivamos:

f x =200 1

2 2x 1

12 2

f x =200 (2x 1) 1 2

b. Determinar la tasa de cambio de la producción si la inversión de capital se

incrementa en 1000 a 2000 dólares

Por datos x=1, remplazando

f x = 200 (2(1) 1) 1 2

= 200 (3) 1 2

= 200 0.57 115 c. Interprete el resultado.

Significa que cuando la inversión de capital se incrementa en 1000 a 2000

dólares la producción diaria se incrementará aproximadamente en 115 unidades

2. La demanda de computadores viene dada por la ecuación p= 3400-x2 , donde x es

el número de computadores y p es el precio de cada uno en miles de pesos

a. Determine la tasa de cambio del precio respecto a las unidades demandas

Derivamos dp

dx =

1

2 3400 x2

12 . 2x =

1

3400 x2 12

.( x)

dp

dx =

x

3400 x2

b. Calcule la tasa de cambio si x=9.

Remplazando en dp

dx =

9

3400 92

= 9

3400 81 =

9

3319 =

9

57.6 015

c. Interprete el resultado

Si la demandada de computadores se incrementa de 9 a 10 unidades el precio

disminuye aproximadamente en 0.15 mil pesos


78

3. La ecuación de demanda de cierto articulo es p=300 (x2 + 1)-1.

a. Determine la tasa de cambio del precio con respecto a las unidades demandadas.

b. Calcule la tasa de cambio cuando x=3. Interprete el resultado

4. La concentración de monóxido de carbono en el aire debido a las emisiones de los

automóviles dentro de t años está dada por

, partes por millón

Halle la tasa con que cambia el nivel de monóxido de carbono en el aire cuando t=5.

¿Qué significa?

5. El número de personas que ven una serie de televisión con varios años de salir al

aire se aproxima a la función

, N(x) (dado en millones) denota el número de espectadores semanales de la serie

en la semana x. Calcule N´(12), ¿qué significa?

6. La demanda de cierto producto ésta dada por la ecuación p= , en donde x unidades pueden venderse a un precio $p cada una. Determine la demanda marginal

a un nivel de precio de 40 dólares. Interprete el resultado.

7. La demanda de x cientos de unidades de un producto está dada por

, donde p es el precio unitario en dólares. Encuentre la tasa de cambio de la

demanda con respecto al precio cuando p=24

8. El importe en dólares del ingreso por la venta de un producto es

, donde x es el número de unidades vendidas. Encuentre el ingreso marginal cuando

se venden 100 unidades. Interprete el resultado.

9. Suponga que el volumen de venta semanal, y (en miles de unidades vendidas),

depende del precio unitario del producto de acuerdo con

, donde p se da en dólares. ¿Cuál es la tasa de cambio en el volumen de venta

cuando el precio es de $21? Interprete el resultado.

10.Las ganancias anuales brutas de cierta compañía fueron

miles de dólares t años después de su formación en enero de 1993. ¿A qué razón

aumentaron las ganancias brutas en 1997 y 2008?

11. En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de

producción diaria es . Con base en la experiencia se ha

determinado que aproximadamente unidades se producen durante


79

las primeras t horas de una jornada de producción. Calcular la razón a la cual

cambia el costo total de fabricación con respecto al tiempo 1 hora después de

iniciada la producción.

Derivadas de Orden Superior Como la derivada de una función es de por sí otra función, podemos calcular una derivada

de la derivada. La derivada de la 1ra derivada recibe el nombre de 2da derivada. También

podemos encontrar derivadas de 3er, 4to, 5to orden y superior

Ejercicio Encuentre la derivada indicada

1. y = 4x3 -16x, y´´

2. y = x5 – x1/2, y´´

3. y = x3 + x-1, y´´´

4. y = 3x4 + x1/3, y´´´

5. y = , y´´´´

Problemas de Aplicación 1. Suponga que dado el ingreso por la venta de cierto producto y la cantidad vendida

encuentre la tasa de cambio del ingreso marginal

a. R(x) = 100x – 0.01x2; x = 10

b. R(x) = 70x + 0.5x2 – 0.001x3; x = 100

c. R(x) = 15x + 30(4x +1)-1 – 3; x = 25


80

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS

Prueba de la primera derivada. Para encontrar los máximos y mínimos relativos de una función realice los siguientes

procedimientos:

Nº Procedimiento Ejemplo

1 Encuentre la primera derivada de la

función.

2 Iguale la derivada a 0 y despeje los

valores de x que satisfacen f`(x)=0. K. Estos se denominan valores críticos.

Los valores que hacen que f´(x) sea indefinida también son valores críticos.

Entonces si 6x=0, x=0

Si x – 4 = 0, x = 4

Los valores críticos son 0 y 4

3 Sustituya los valores críticos en la

función original para encontrar los

puntos críticos

Los puntos críticos son (0,6) y

(4,-58)

4 Evalúe f`(x) en algunos valores de x a la

izquierda y a la derecha de cada punto

crítico para construir un diagrama de

signos

Si f`(x) > 0 a la izquierda y f`(x) < 0 a

la derecha del valor crítico, el punto

crítico es un punto máximo relativo

Si f´(x) < 0 a la izquierda y f´(x) > 0 a

la derecha del valor crítico es un punto

mínimo relativo

f´(-1)=18 y f`(1)=-18

Hay un máximo

f´(3)=-18 y f`(5)=30

Hay un mínimo

Ejercicio. Determine los máximos y mínimos relativos de cada función, utilizando la

prueba de la primera derivada

y = x3 – 3x + 2 y = 3x – x3 y = x3 – 12x + 2

y = -x2 + 6x + 6 y = x4 – 8x2 + 3 y = x2/3 + 2

y= x3 – 3x - 4

y = 1 – 3x+ 3x2-x3


81

Prueba de la segunda derivada Para encontrar los máximos y mínimos relativos de una función realice los siguientes

procedimientos:

Nº Procedimiento Ejemplo

1 Encuentre la primera derivada de la

función.

2 Iguale la derivada a 0 y despeje los

valores de x que satisfacen f`(x)=0. K. Estos se denominan valores críticos.

Los valores que hacen que f´(x) sea indefinida también son valores críticos.

Entonces si 6x=0, x=0

Si x – 4 = 0, x = 4

Los valores críticos son 0 y 4

3 Sustituya los valores críticos en la

función original para encontrar los

puntos críticos

Los puntos críticos son (0,6) y

(4,-58)

4 Evalúe f´´(x) en cada valor crítico para

el cual f`(x)=0

Si f´´(x0) <0, un máximo relativo ocurre

en x0

Si f´´(x0) > 0, un mínimo relativo ocurre

en x0

Si f´´(x0) = 0 ó f´´(x0) es indefinida,

la prueba de la segunda derivada falla;

use la prueba de la primera derivada

f´´(x)=12(0)-24=-24

Ocurre un máximo relativo

f´´(x)=12x-24

f´´(-4)=12(4)-24=24

Ocurre un mínimo relativo

Ejercicio. Determine los máximos y mínimos relativos de cada función, utilizando la

prueba de la segunda derivada

y = 1 – 3x+ 3x2-x3


82

Ejercicios

5. Encuentre los valores críticos, los puntos críticos y determine los máximos o mínimos

relativos si existen.

a. f(x) = x2 – 4x

b. g(x) =-t2 + 6t + 6

c. h(x) =x3 – 3x2 + 4

d. i(x) =

x4 -3x2 + 4x - 8

e. j(x) =

6. Se estima que un trabajador de un taller que produce marcos puede pintar y marcos

en x horas después de comenzar a trabajar a las 8:00 a.m., se puede modelar con

la expresión

y = 3x + 8x2 - x3

a. Encuentre los valores críticos de esta una función

Hallamos la primera derivada de la función y´= 3 + 16x – 3x2

Igualamos la derivada a cero: 3 + 16x – 3x2 = 0

Utilizando la ecuación general -b b

2-4ac

2apara la solución de una ecuación

cuadrática ax2+bx +c =0, obtenemos dos soluciones x1=5.5 y x2=-0.1

b. ¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema?

El valor que tiene sentido para el problema es 5.51, por lo que x es el número de

horas trabajadas después de iniciar labores y este no puede ser negativo

c. Encuentre los puntos críticos

Remplazamos el valor crítico 5.5 en la función original

Y= 3(5.5) + 8(5.5)2 - (5.5)3 = 16.5 + 242- 166.3 = 92

El punto crítico esta en (5.5, 92)

d. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?

Hallamos la segunda derivada de la función y´´=16 – 6x, remplazamos el valor

crítico, y´´=16 – 6(5.5) = -17

Como y´´<0, ocurre un máximo relativo. Significa que la máxima producción de

se obtiene 5.5 horas después de haber iniciado labores, pintando 92 marcos

7. Grafique cada función utilizando el winplot y compare cada gráfica con los resultados

obtenidos en el punto anterior. ¿qué encuentra?


83

TALLER

1. Encuentre las derivadas de cada función. Simplifique y exprese el resultado usando

únicamente exponentes positivos

f(x) = 4

x4

f(x) = 5x3 + 4

x

f(x) = 3x2 4√x f(x) = (x2 – 2)(x –

4)

f(x) = 1 – x2 - 4x f(x) = 1 + x4 f(x) = 5 (3x4 – 6x2 + 2)3

2

2. Suponga que la función ingreso de ciertos productos está dada por:

, donde x esta en miles de unidades y R(x) en miles de dólares. Encuentre el ingreso

marginal R´(x) cuando se venden 20 000 unidades, es decir x = 20 ¿Qué significa?

3. Suponga que la función ingreso total para una mercancía es R(x) = 25x – 0.05x2

a. Encuentre R(50) y R(51) ¿qué representa cada expresión?

b. Encuentre la función ingreso marginal, es decir R´(x) c. Encuentre el ingreso marginal en x = 50

d. Compare los resultados ¿Qué encuentra? ¿Qué significa?

4. Encuentre los puntos críticos y determine si son máximos o mínimos relativos

1. f(x) = x3 – 3x - 4

2. f(x) = 1 – 3x+ 3x2-x3


84


8. En una empresa la utilidad en función de la publicidad está dada por

U(x)=130 + 80x – x2 miles de pesos

, donde x es la inversión en publicidad en miles de pesos

a.Encuentre los valores críticos de esta una función

b.Encuentre los puntos críticos

c.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?

9. El costo promedio, en dólares, de la producción de x discos compactos en cierta

compañía de discos está dado por

e. Encuentre los valores críticos de esta una función

f. ¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema?

g. Encuentre los puntos críticos

h. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?

10. El volumen de ventas de un disco fonográfico particular está dado como una función

del tiempo t por la fórmula

S(t)=10 000 + 2 000t -200t2

, donde t se mide en semanas y S es el número de discos vendidos por semana.





11. El costo promedio de fabricar cierto artículo es

, donde x es el número de artículos producidos






85

12. Una empresa vende todas las unidades que produce en 4 mil pesos cada una. El costo

total de la empresa C por producir x unidades esta dado en miles de pesos por

C =50 - 1.3x+0.001x2 a. Encuentre los valores críticos de esta una función




13. La función de costo para una empresa, está dada por

C(x)= 300x-10x2-





14. La función de costo de una fabricante es C(x)=1000 - 5x + 0.1x2, cuando se

producen x artículos por día.


b. Encuentre los puntos críticos

c. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?

15. Un estudio de tiempo mostró que, en promedio, la productividad de un trabajador

después de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de

Donde P es el número de unidades producidas por hora





16. El análisis de producción diaria de una empresa muestra que, en promedio, el número

de unidades por hora y producidas después de t horas de producción es





86


17. Suponga que el costo promedio, en dólares, para producir un embarque de cierto

producto es

Donde x es el número de máquinas usadas en el proceso de producción





Derivada de las Funciones Logarítmicas

La función logarítmica y la función exponencial tienen derivadas sencillas

Derivada de la función logarítmica

para x> 0

Regla de la cadena para las funciones logarítmicas

Ejercicios. Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones:

f(x) = 4 ln (x) f(x) =ln (8x) f(x) = ln (4x + 9) f(x) = ln (8x3-2x) –

2x

f(x) = ln (x) –

ln(x-1)

f(x)=

f(x)=ln(x-1)+ln(2x+1) f(x)=ln[(x-1)(2x+1)]

f(x)=

f(x)=

f(x)=ln[t3(t2-1)]

f(x)=

Ejercicios. Encuentre los máximos y mínimos relativos de cada función si existen

f(x) = x ln (x) f(x) = x2 ln (x) f(x) = x2 8ln(x) f(x) = ln (x) – x


18. La ecuación de la demanda de cierto articulo está dada por

, calcule la tasa de cambio de las unidades demandadas con respecto al precio

cuando p=2

19. Suponga que el costo total (en dólares) para un producto está dado por


87

C(x) = 1500 + 200 ln(2x +1) , donde x es el número de unidades producidas

a. Encuentre la función costo marginal (es decir C´(x))

b. Encuentre el costo marginal cuando se producen 200 unidades e interprete el

resultado

20. El número t de años que una inversión tarda en duplicarse es una función de la tasa

de interés r compuesta continuamente, de acuerdo con

t

a. Con que tasa

cambia el tiempo requerido respecto de r si r = 10%,

compuesto continuamente

b. Que sucede con la tasa de cambio si r se hace muy grande o muy pequeña

21. El ingreso total en dólares por la venta de x unidades de un producto está dado por

R(x) =

a. Encuentre la función ingreso marginal

b. Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 100 unidades e interprete el

resultado


dado por

P = 10 + 50 ln(3x + 1) Encuentre la razón de cambio del precio de oferta cuando el número de unidades

es 33.

23. La función demanda de un producto está dada por p =

, donde p es el precio

unitario en dólares cuando se demandan x unidades. Encuentre la razón de cambio

del precio con respecto al número de unidades vendidas cuando se venden 40 y 90

unidades ¿qué encuentra?

24. Un fabricante determina que se venderán x unidades de cierto artículo de lujo

cuando el precio sea p(x) = 112 – x ln(x3) cientos de dólares por unidad

a.Encuentre la función ingreso (x*p(x)) y de ingreso marginal (p´(x)).

b.¿Determine el ingreso marginal obtenido al producir la quinta unidad?

25. En un negocio se estima que cuando se emplean x miles de personas, su utilidad

será p(x) millones de dólares, donde

P(x) = 10 + ln

-12x2, para x > 0

¿Qué nivel de empleo maximiza la utilidad? ¿cuál es la utilidad máxima?


88

26. Entre los años 1976 y 1998, el porcentaje de madres que regresaron al trabajo un

año después de haber dado a luz se determina mediante w(x) = 1.11 + 165.94 ln (x)

donde x es el número de años después de 1970. Si este modelo es preciso después

de 1998¿con que razón cambiará el porcentaje en el 2009?

27. Encuentre la función ingreso marginal si la función de demanda es

Derivada de las Funciones Exponenciales

Derivada de : ex = ex

Regla de la cadena para : eh(x)=h’ (x) eh(x)

Ejercicios. Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones:

f(x) = 4 ex f(x) = e5x f(x) = 3e4x f(x) = 3e4x+1

f(x) = e^(x2+2x-1) f(x)=x2 ex f(x)=(x2+3x+5) e6x f(x)=(1 - 3ex)2

f(x)= e(-1/2)x f(x)= ex ln(x) f(x)=

f(x)= eln(x)

Ejercicios. Encuentre los máximos y mínimos relativos de cada función si existen

f(x) = x ex f(x) = x e2-x f(x) = x2 e-x f(x) = ex + e-x


1. La ecuación de la demanda para cierta clase de articulo está dada por:

x = 5 000e 0.04p

, donde se demanda x unidades cuando el precio es p.

a. Halle x´

Derivando

x = 5 000 e 0.04p 0.04

x = 200 e 0.04p

b. Calcule x´ cuando p=25

Remplazando

x = 200 e 0.04(25) e 1


89

c. ¿Qué significa? Si el precio se incrementa en 26 las unidades demandadas

disminuyen en 74.

2. Un estudiante adquiere gran número de conocimientos durante el repaso para un

examen. En un tiempo de t semanas después del examen el porcentaje de esos

conocimientos que el estudiante es capaz de recordar está dado por

a. Calcule P´(t)

b. Calcule P´(0) y P´(1). ¿Qué significan? Interprete los resultados

3. Una cadena de tienda femenina, determinó que t días después de concluir una

promoción de ventas, el volumen de ventas estaba dado por

,

, millones de pesos. Encuentre la razón de cambio del volumen de ventas respecto

al número de días si t=3. ¿Qué significa?

4. El precio de cierto articulo en dólares por unidad en el tiempo t (medido en

semanas) está dado por p=8+4e-2t+te-2t, determine la tasa de cambio del precio

respecto al tiempo si t=2. Interprete el resultado.

5. La depreciación de unos bienes industriales se deprecian a una razón tal que su

valor contable dentro de t años será V(t)=50 000e-0.4t dólares, ¿con qué rapidez

cambiará el valor contable de los bienes dentro de 3 años?

6. Según la Internet Society, las conexiones de Internet están proliferando a una

razón cada vez más creciente. El número de computadores huésped (en millones) se

estima en N(t)= 3.45e0.64t, en t años (t=0 corresponde al principio de 1994). ¿Con

qué rapidez aumento la cantidad de computadores huésped en 1996 y 1999?

7. En un estudio realizado en el 2000, el porcentaje proyectado de hogares que usa la

banca en línea es f(t)=1.5e0.78t , donde t se mide en años y t=0 corresponde al inicio

del 2000. Halle f´(t), calcule f(4) interprete el resultado.

8. Los viajes aéreos han aumentado drásticamente en los últimos 30 años. En un

estudio realizado en el 2000, una empresa aérea previó un incremento exponencial


90

aún mayor en los viajes aéreos hasta el 2010. La función f(t)=666e0.0413t

proporciona la cantidad de pasajeros (en millones) para el año t, donde t=0

corresponde al 2000. Determine f´(t) ¿qué significa? , calcule f´(5) y f´(9)

interprete los resultados

9. Si se invierten $p durante n años con una tasa de interés r (dado en decimales)

compuesto continuamente, el valor futuro después de n años esta dado por la

función

S= p℮0.1n

Calcule la tasa de crecimiento del valor futuro de una inversión de 2 millones de

pesos a 1 año.

10. Cierta máquina industrial se deprecia de manera que su valor después de t años es

Q(t) = 20 000 e-0.4t dólares.

¿A qué ritmo cambia el valor de la máquina con respecto al tiempo después de 5 y

10 años? ¿Qué encuentra?

11. La demanda de consumo de cierto artículo es D(p) = 3 000 e-0.01p unidades por mes

cuando el precio de mercado es p dólares por unidad. Encuentre la tasa de cambio

de la demanda con respecto para p=100 y p=200. ¿Qué encuentra?

Derivada Implícita

La diferenciación implícita es una técnica para derivar funciones que no están dadas en la

forma usual y = f(x).

Una ecuación de la forma F(x,y) = 0, expresa a y como función de x en forma implícita.

Se usa la palabra implícita puesto que ya y no está dada de manera explícita como función

de x. sin embargo se supone o queda implícito que la ecuación define a y por lo menos

como una función derivable en x.

Procedimiento para derivar implícitamente

Para una ecuación que supuestamente define a y de manera implícita como una función

derivable en x, la derivada

puede encontrarse:

1. Derivar cada termino de la ecuación respecto a x y y. Cuando se deriva respecto a y se

le agrega

.


91

2. Despeja

, y tenga en cuenta las restricciones.

Ejercicio. Encuentre

mediante diferenciación implícita e indique las restricciones si

existen.

1.

La ecuación se restringe en y=0

2.

La ecuación se restringe en y=0

3.

, la ecuación se restringe en x=0

4.

5.


92

6. 7. 8. 9. 10.

Problemas de Aplicación 1. La demanda de cierto producto está dada por la ecuación p2 + q2 = 2500, donde q

son las unidades que pueden venderse a una precio de $p cada una. Determine la

demanda marginal a un nivel de precio de 40 dólares. Interprete el resultado.

2. Suponga que la producción semanal de una compañía relaciona las horas de trabajo, x, y los dólares de inversión de capital, y, por medio de

Encuentre la razón de cambio de la inversión de capital con respecto a las horas

de trabajo, cuando las horas de trabajo son 512 y la inversión de capital es de

$64 000

3. Suponga que el volumen de ventas de un compañía y (en miles de dólares) se

relaciona con los gastos de publicidad x (en miles de dólares) de acuerdo con

xy – 20x + 10y = 0

Encuentre la razón de cambio del volumen de ventas respecto al gasto de

publicidad cuando x=10 ((miles de dólares)

4. Suponga que una compañía puede producir 12 000 unidades cuando el número de

horas de trabajo calificado y, y no calificado, x, satisfacen

384 = (x + 1)3/4 × (y + 2)1/3

Encuentre la tasa de cambio de las horas de trabajo calificado respecto de las

horas de trabajo no calificado cuando x=255 y y=214. Podemos usar esto para

hacer una aproximación del cambio de horas de trabajo calificado requerido para


93

mantener el mismo nivel de producción cuando se aumentan las horas de trabajo no

calificada en una hora

5. Suponga que la producción de 10 000 unidades de cierta cosecha agrícola se

relaciona con el número de horas de trabajo, x, y el número de acres de la cosecha

y , de acuerdo con

300x + 30 000y = 11xy – 0.0002x2 – 5y Encuentre la razón de cambio del número de horas respecto al número de acres

6. Si la función de demanda de q unidades de un producto a $p por unidad está dada

por

p(q + 1)2 = 200 000

Encuentre la razón de cambio de la cantidad respecto del precio cuando p=$80.

Interprete el resultado

7. Si la función de demanda de q unidades de un producto a $P por unidad está dada

por

p2(2q + 1) = 100 000 Encuentre la razón de cambio de la cantidad respecto del precio cuando p=$50. Interprete el resultado.

8. Los ahorros S de un país se definen implícitamente en términos de su ingreso

nacional I por medio de la ecuación

, donde S e I están dadas en miles de millones de dólares. Encuentre la propensión

marginal al consumo cuando I=16 y S=12

9. Un fabricante planea vender un nuevo producto al precio de US$150 por unidad y

estima que si gastan x miles de dólares en desarrollo e y miles de dólares en

promoción, los consumidores compraran aproximadamente (320y/y+2)+(160x/x+4)

unidades del producto. Si los costos de fabricación de este producto son US$50

por unidad, ¿cuánto debería gastar el fabricante en desarrollo y cuanto en

promoción para generar la mayor utilidad posible en la venta de este producto?


94

[nota: Utilidad=(Nº de unidades)(precio por unidad - costo por unidad) - cantidad

total gastada en desarrollo y promoción

10. Una lechería produce leche entera y leche descremada en cantidades x e y

galones, respectivamente. Suponga que el precio de la leche entera es p(x)=000-x,

y el de la leche descremada es q(y)=100-y. Suponga que C(x,y) = x² + xy + y² es la

función de costos conjuntos de los productos. ¿Cuáles deberían ser x e y para

maximizar las utilidades?

Elasticidad en la Demanda

El grado de respuesta de los consumidores a los cambios de los precios varis en gran

medida en diferentes productos

Costo del combustible – consumo

Precio de los medicamentos – enfermos

Si los cambios de los de los precios son considerables, decimos que la demanda es

elástica; cuando los cambios son leves en la demanda del producto, se dice que la

demanda es inelástica.

Los economistas miden la elasticidad de la demanda en un intervalo dividiendo el cambio

porcentual de la demanda por el cambio porcentual del precio. Definimos la elasticidad de

la demanda en un punto (qA , pA) como

η =

(qA, pA)

Los economistas clasifican las curvas de la demanda de acuerdo con la respuesta de la

demanda a los cambios de precios usando la elasticidad

Si η > 1, la demanda es elástica y el decremento porcentual en la demanda es mayor

que el porcentaje correspondiente al incremento porcentual en el precio.

Si η < 1, la demanda es inelástica el decremento porcentual en la demanda será

menor que el incremento porcentual correspondiente en el precio.

Si η = 1, la demanda tiene elástica unitaria el decremento porcentual de la

demanda es aproximadamente igual al incremento porcentual correspondiente en el

precio.


95

También podemos utilizar diferenciación implícita para encontrar dq/dp para evaluar la

elasticidad puntual en la demanda.

Ejercicio La ecuación de demanda para cierta mercancía es qp3=24 000 calcule, indique el tipo e

intérprete la elasticidad en la demanda cuando p=2

Sabemos que la elasticidad en la demanda se define η =

Conocemos p, debemos hallar q y

Para hallar q remplazamos el valor de p en la ecuación original, q 2 3=24 000

q=24 000

8=3000

Hallamos

derivando implícitamente la ecuación original

p3dq

dp 3qp2=0

dq

dp= 3qp2

p3

3q

p

Remplazando en la ecuación de la elasticidad

η =

Como η < 1, la demanda es inelástica por lo tanto el decremento porcentual en la demanda

será menor que el incremento porcentual correspondiente en el precio.


En cada uno de los siguientes problemas dada la ecuación de la demanda, encuentre la

elasticidad de la demanda, indique su tipo y explique cómo afectará un incremento de

precio el ingreso total:

1. p + 4q = 80 cuando el precio p = 40

2. 2p + 3q = 150 cuando el precio p=15

3. p2 + 2p + q = 49 cuando el precio p=6

4. pq=81 cuando el precio p=3

5. pq + p = 5000 cuando el precio p=450 y q=99

6. 2p2q = 10 000 + 9000p2 cuando el precio p=50 y q= 4502

7. (p + 1)(q + 1)1/2 = 1 000 cuando el precio p=39

8. p2(2q + 1) = 10 000 cuando el precio p=20

9. p = 100℮-0.1q cuando el precio p=36.79 y q=10

10. q= 250 – 30p + p2, cuando p=12

11. p=86-6q-3q2,cuando q=3


96

LA INTEGRAL

A través de la integración para encontrar funciones de costo total, dada la información

de costo marginal y costos fijos. También la podemos usar para encontrar las funciones

de ingreso marginal con el fin de optimizar la ganancia a partir de la información sobre el

costo marginal y el ingreso marginal y para encontrar funciones de consumo nacional con

base en información acerca de la propensión marginal al consumo.

Antiderivada La integral es la operación inversa de la derivada, cuando conocemos la derivada de un

función, el proceso de encontrar la función recibe el nombre de antidiferenciación. Por

ejemplo, si la derivada de una función es f´(x)=2x, la función original podría ser f(x)=x2,

pero también podría ser f(x)=x2 + 1 ó f(x)=x2 – 2 en general toda antiderivada de la

función f´(x) = 2x tiene la forma f(x)=x2+ c donde c es un constante

Sea G una antiderivada de una función f. Entonces toda antiderivada de f debe

tener la forma F(x) = G(x) + C donde C es una constante

Ejercicio. Demuestre que f´(x) es la antiderivada de f(x):

1. f´(x) = 4x si f(x) = 2x2 + 1 2. f´(x) = 3x2 si f(x) = x3 – 12

3. f´(x) =

si f(x) = x2 + 4x - 1

4. f´(x) = x si f(x) = (1 + x)

5. f´(x) = si f(x) =

6. f´(x) = x si f(x) =

Integral Indefinida

El símbolo ∫ - El símbolo es una S larga, se escogió debido a que una integral es el límite

de una suma- indica que la operación de integración debe realizarse sobre cierta función

f. Así

∫ f(x) dx = F(x) + C Indica que la integral indefinida de f es la familia de funciones dadas por F(x) + C, donde

F´(x) = f(x). La función f por integrar es el integrando y C es la constante de integración.

La expresión dx recuerda que la operación se efectúa respecto a x. Si la variable

independiente es t, se escribe ∫ f(t) dt.

Reglas de Integración

Regla Expresión Ejemplo

De una

Constante ∫ k dx = kx c ∫ 2 dx = 2x c

De la

Potencia ∫ xn dx =

n ≠ 1 ∫ x3dx =

De un

múltiplo

constante

∫k f(x) dx = k ∫ f(x) dx c es kte ∫ 2x2dx = 2∫ x2dx = 2 [

]

= 2x3

3 2c =

2x3

3 c

De la suma ∫ f(x) g(x) dx =∫f(x) dx ∫g(x) dx

∫(3x2 + 4x – 1)dx=

=∫3x2 dx ∫4x dx – ∫1 dx

=3x3

3 c

4x2

2 c-x c

=x3 + 2x2 – x + c

Ejercicios. Calcule las integrales y verifique sus respuestas derivando

Problemas de Aplicación 1. La función costo marginal de cierta empres a un nivel de producción x es:

C´(x)=5 - 2x + 3x2 dólares

Si el costo de fabricar 30 unidades es de 29 050 dólares. Determine el costo de

fabricar 60 unidades.

C x =5x-x2 x3 c Solución General


98

Como C(x)=29 050 cuando x=30,

Despejando

29 050 26250 = c ó c = 2800

Remplazando en la solución general

C x = 5x - x2 x3 2800 Solución Particular

Cuando se fabrican 60 unidades x=60, remplazando en la solución particular

El costo de fabricar 60 unidades será de 215 100 dólares

2. El ingreso marginal de la venta de x unidades de un producto es

R´(x)=12 – 0.0004x

Si el ingreso por la venta de las primeras 1000 unidades es de 12 400 dólares,

determine el ingreso total por la venta de 5000 unidades

3. El costo marginal de cierta empresa está dado por

C´(x)= 24- 0.03x +0.006x2

Si el costo de producir 200 unidades es de $22.700, encuentre

a. La función costo

b. El costo de producir 500 unidades

4. Un productor ha determinado que la función de ingreso marginal de uno de sus

productos es

, determine la elasticidad de la demanda para el producto cuando se demandan 5

unidades.

5. Si el ingreso marginal (en dólares por unidad) mensual por un producto es =-

0.4x + 30, encuentre la función ingreso total.

6. Si el ingreso marginal (en dólares por unidad) mensual por un producto es =-

0.3x + 450, ¿cuál es el ingreso total de la producción y venta de 50 unidades?


99

7. Una compañía a encontrado que la razón de cambio de su costo promedio por

producto es

, donde x es el número de unidades y el costo en dólares. El costo promedio de

producir 20 unidades es de $40.

a. Encuentre la función de costo promedio del producto

b. Encuentre el costo promedio de 100 unidades del producto

8. Los activos patrimoniales invertidos en fondos mutuos, A, en miles de millones de

dólares, han cambiado con una tasa que se determina mediante

, donde t es el número de años que han pasado desde 1990.

a. Si había $1 234.5 mil millones de activos patrimoniales invertidos en 1995,

encuentre la función que modela la cantidad total de activos patrimoniales

invertidos en fondos mutuos.

b. Encuentre los activos patrimoniales invertidos en el 2000

9. El gasto nacional dedicado al cuidado de la salud, H en miles de millones de dólares,

ha aumentado radicalmente desde 1960, cuando el total era de $26.7. La razón de

cambio del gasto se puede modelar con

, donde t=0 en 1960.

a. Encuentre la función que modela el gasto nacional para el cuidado de la salud

b. Utilice el modelo de la parte a, para pronosticar el gasto nacional dedicado al

cuidado de la salud para el 2010

10. La gerencia de una compañía ha determinado que la función de ingreso marginal

diario relacionada con la producción y venta de relojes de viaje está dada por

R´(x)=-0.009x +12, donde x denota el número de unidades producidas y vendidas y

R`(x) se mide en dólares por unidad. Determine la función de ingresos R(x)

asociada con la producción y venta de relojes


100

Regla de la Potencia para la Integración

Ejercicios. Calcule cada integral y compruebe los resultados derivando


1. El costo marginal ( en dólares) de una compañía que fabrica zapatos esta dado por

, en donde x es el número de pares de zapatos producidos.

c. Determine la función costo

d. Calcule el costo de fabricar 100 pares de zapatos

2. La función de ingreso marginal para cierto producto está dada por:

Encuentre la función de la demanda si q=100

3. Suponga que el ingreso marginal de un producto está dado por

, donde x es el número de unidades y el ingreso se da en dólares. Encuentre el

ingreso total.

4. El ingreso marginal de una calculadora nueva está dado por


101

, donde x representa cientos de calculadora y el ingreso esta dado en dólares.

Encuentre la función de ingreso total de estas calculadoras.

5. La producción total de varios trabajadores o máquinas se denomina productividad

física y es una función del número de máquinas y es una función del número de

máquinas o trabajadores. Si P=f(x) es la productividad física,

es la

productividad física marginal. Si la productividad física marginal de unos albañiles

es

, donde P es el número de ladrillos colocados por día y x es el número de albañiles,

encuentre la productividad física de 4 albañiles. Nota P=0 cuando x=0

6. La tasa de producción de una línea nueva de productos se determina por medio de

, donde x es el número de artículos, y t es el número de semanas que el producto ha

estado en producción.

a. Suponiendo que x=0 cuando t=0 encuentre la función que determina el número

total de artículos producidos como una función del tiempo.

b. ¿Cuántos artículos se produjeron en la quinta semana?

7. Puesto que un empleado nuevo debe aprender una tarea asignada, la producción se

incrementará con el tiempo. Suponga que para un empleado promedio, la tasa de

desempeño está dada por

, donde N es el número de unidades terminadas t horas después de comenzar una

nueva tarea. Si terminan 2 unidades en 3 horas, ¿cuántas unidades se terminaran

después de 8 horas?

8. El ingreso marginal de cierta empresa está dado por:

R x = x2

x3 3600


102

a.Encuentre la función ingreso

b.Halle el ingreso cuando se producen y venden 100 unidades

Integrales que Involucran Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Ejercicios Calcule las integrales


1. La tasa de cambio del valor de una casa cuya construcción costo $350.000 dólares

puede modelarse por medio de

, donde t es el tiempo en años desde que la casa fue construida y V es el valor (en

dólares) de la casa encuentre V(t)

2. Suponga que l ingreso marginal por la venta de x unidades de un producto es

¿Cuál es el ingreso en dólares por la venta de 100 unidades del producto?

3. Si el ingreso marginal esta dado por

Determine la ecuación de la demanda correspondiente


103

4. Si el costo marginal está dado por

, si producir 6 unidades cuesta 2734, determine la ecuación del costo total y el

costo total para producir 7 unidades. Suponga que los costos están en dólares

5. Se invierten $p durante n años, a una tasa de interés del 10% compuesto

continuamente, la tasa con que se incrementa el valor futuro es

a. ¿Qué función describe el valor futuro al cabo de n años?

b. ¿En cuántos años se duplicará el valor futuro?

6. Suponga que la razón de cambio del impuesto federal per cápita de los Estado

Unidos, T (en dólares), se puede modelar mediante

, donde t es el número de años transcurridos desde 1950.

a. Teniendo en cuenta que en 1975 el impuesto per cápita fue de $1 375.84,

encuentre la función que modela el impuesto federal per cápita en los Estados

Unidos.

b. Encuentre e intérprete T(60) y T´(60).

7. Una tienda encuentra que sus ventas disminuyen después de terminar una campaña

publicitaria, con sus ventas diarias en el periodo bajando con la tasa

, 0 ≤ t ≤ 100

, donde t es el número de días que han pasado desde que la campaña termino.

Suponga que S=7 389 unidades cuando t=0.

a. Encuentre la función que describe el número de ventas diarias t días después

de culminar la campaña

b. Encuentre el número total de ventas 10 días después de finalizar la campaña

8. Suponga que la razón de cambio del ingreso personal total, I en Estados Unidos (en

miles de millones de dólares se puede modelar mediante


104

, donde t es el número de años que han pasado desde 1960

a. Teniendo en cuenta que en 1960 el ingreso personal fue de $409.4 encuentre la

función que modela el ingreso personal total.

b. Encuentre e intérprete T(60) y T´(60).

9. Después que una persona ha estado trabajando por t horas con una máquina en

particular habrá producido x unidades, en donde la tasa de rendimiento (número de

unidades por hora) está dado por

dx

dt = 10 (1 e t 50)

Si t=0 entonces x=0, calcule el rendimiento en las primeras 50 horas

10. Una compañía encuentra que la tasa de cambio de los gastos de publicidad respecto

a las unidades vendidas semanalmente esta dado por

, dólares

Si cuando no hay inversión en publicidad se venden 100 unidades. Calcule los gastos

de publicidad si se quiere vender 200 unidades

11. La tasa de cambio de la demanda respecto al precio de cierto producto está dada

por

Si cuando el precio p=2 dólares se demandan 28 unidades, calcule la demanda si el

precio se incrementa en 4 dólares.

12. La tasa de cambio del precio (en miles de pesos) respecto a las unidades ofertadas

está dada por

Si cuando se venden 30 unidades el precio es de 235 mil pesos, calcule el precio si

se venden 40 unidades


105

TALLER

Tema: Integrales Indefinidas

1. Resuelva cada una de las siguientes integrales

a. =

b. =

c. = d.

=

e. = f.

g. =


2. La gerencia de una compañía ha determinado que la función ingreso marginal diario

relacionada con la producción y venta de sus relojes está dada por

R`(x)=-0.009x + 12 , donde x representa el número de unidades producidas y vendidas y R´(x) se mide

en dólares por unidad. Teniendo en cuenta que R(x)=0 si x=0 encuentre la función

de ingresos asociada a la producción y venta de los relojes.

3. Suponga que la esperanza de vida de una mujer al nacer está cambiando a razón de

, años por año. En este caso, t se mide en años y t=0 corresponde al inicio de 1900.

Halle una expresión para g(t) para la esperanza de vida (en años) de una mujer. Si

dicha esperanza de vida al inicio de 1900 era de 50.02 años. ¿Cuál es la esperanza

de vida de una mujer que nace en 1991?


106

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y si F es una antiderivada

de f, entonces:

Ejercicios Calcular las integrales definidas de las siguientes funciones

2

0

32 12 dxxx

4

2 45

4dx

x

1

1

23 652 dxxxx

7

1

2

2dx

x

x

3

01 dxxx

Problemas de Aplicación 1. El costo marginal de producir x unidades de cierto producto es

C´(x)= 74 + 1.1x – 0.002x2 + 0.00004x3 dólares por unidad

Encuentre el incremento en costo si el nivel de producción se eleva de 1200 a

1600 unidades

2. Una compañía puede reducir sus gastos laborales automatizando su planta. Sin

embargo la automatización requiere mantenimiento sustancial extra, el cual se

incrementa con el tiempo. El ahorro neto anual después de t años esta dado por

S´(t)= 120 – 4t – 0.5t2 (millones de pesos por año). Calcule el ahorro total sobre los primeros 8 años.

3. Una compañía está considerando la compra de una maquinaria nueva con un costo de

5000 dólares. Se estima que la máquina ahorrará dinero a la compañía a una tasa

de 160(5 + t) dólares anuales en un tiempo t después de su adquisición. ¿Se pagará

la máquina a si misma durante los próximos 5 años?


107

4. La función ingreso marginal de un fabricante es

Si r está en dólares, encuentre el incremento en el ingreso total del fabricante si

la producción se incrementa de 15 a 25 unidades

5. La tasa de depreciación de un edificio está dada por D´(t)= 3 000 (20 – t) dólares

por año, 0 ≤ t ≤ 20. Use la integral definida para encontrar:

a. La depreciación los primeros 10 años

b. La depreciación los primeros 20 años

c. La depreciación entre 10 y 20 años

6. Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos de

operación. Cuando la máquina tenga x años de uso la razón de ahorro sea de f(x)

pesos al año donde f´(x) = 1000 + 5000x. ¿Cuánto se ahorra en costos de

operación durante los primeros seis años?

7. La curva de demanda está dada por la ley d(x) = 50 - 0,06x2. Encuentre el

superávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte

unidades

8. Se conoce que la curva de la oferta para un producto es S(x) =

. Encuentre la

ganancia de los productores si la producción asciende a diez artículos

9. Una tienda se da cuenta de que sus ventas cambian a una tasa dada por:

S´(t) = -3t2 + 300t , donde t es el número de días después de terminada la campaña publicitaria 0 ≤ t

≤ 30.

b. Encuentre la venta total durante la primera semana después que se término la

campaña (t=0 a t=7) c. Encuentre la venta total durante la segunda semana después que se término la

campaña (t=7 a t=14)

10. La cantidad total que los consumidores están dispuestos a gastar para obtener q0 unidades de un artículo esta dado por

donde D(q) es la función de la

demanda. Supongamos que la función demanda de cierto artículo es D(q)=4(25-q2) dq. Hállese la cantidad de dinero (en miles de pesos) que los consumidores están

dispuesto a pagar para obtener 3 unidades del artículo. /264 mil pesos


108

APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA ADMINISTRACIÓN Y EN LA

ECONOMÍA

Valor promedio

El valor promedio de una función continua y=f(x) sobre un intervalo [a, b] es

Valor promedio =

Ejercicio.

1. El costo semanal C (en dólares) de producir x unidades de un producto está dada por:

C (x)= 5000+16x+0.1x2

El fabricante estima que la producción será entre 100 y 200 unidades. Halle el costo

promedio semanal

C (x)= 5000+16x+0.1x2

= 1

200-100 5000 16x 0.1x2 dx

200

100

=1

100 (5000x +8x² + 0.033x³)

= 1

100 5000 200 8 200 2 0.033 200 3 - (5000 100 8 100 2 0.03 100 3)

= 1

100 (1.584.000 – 613000) =

1

100(971000)

= 9710

Es el costo promedio semanal cuando la producción es entre 100 y 200 unidades será

de 9710 dólares

2. La función demanda para cierto articulo está dada por:

P= 500+

, donde P: precio y q: unidades demandadas. Encuentre el precio promedio si se

demanda en 50 y 100.


109

=1

100-50

+

) dq

=1

50 500q 100ln q 1

=

(50461.512- 25393.183) =

(25 068.329)

= 501.3666

El precio promedio cuando se demandan entre 50 y 100 unidades será de 501.36

Unidades Monetarias.

3. El ingreso total de una maquina de videos está dada por:

I=50e0.2t

Encuentre el ingreso promedio entre el intervalo de 0 y 4 horas.

=

dt =

dt

=

x

= 62.5e0.8-62.5e1

= (62.5 - 62.5)

= (139.096 – 62.5)

= 76.596

El ingreso promedio de la máquina de video en un intervalo de 0 y 4 horas será de

76.59 Unidades Monetarias

Problemas de Aplicación 1. Suponga que el costo en dólares de un producto está dado por C(x)= 400+x+0.3x2,

donde x es el número de unidades. Encuentre el costo promedio de producir de 10

a 20 unidades

2. El costo en miles de pesos, de producir x unidades de cierto artículo es


110

C(x)=x2 + 400x + 2 000

Encuentre el valor promedio de C(x) sobre el intervalo de 0 a 100. ¿Qué significa

el resultado?

3. El número de ventas diarias de un producto está dado por

, x días después de iniciarse una campaña publicitaria para este producto.

a. Encuentre las ventas diarias promedio durante los primeros 20 días de la

campaña, es decir x=0 a x=20. b. Si no se inicio una nueva campaña publicitaria, ¿cuál es el número promedio de

ventas por día durante los próximos 10 días? (de x=20 a x=30)

4. El valor futuro de 1 000 dólares, invertidos, en una cuenta de ahorros con una tasa

de interés compuesto continuamente de 10% es S=1000e0.1t, donde t está en años.

Calcule la cantidad promedio en la cuenta de ahorros durante los primeros 5 años.

Ingreso Total Sea f(t) una tasa de flujo de ingreso anual, entonces el ingreso total

para k años está dado por

Ingreso total =

Problemas de Aplicación 1. Una pequeña compañía petrolera considera el bombeo continuo de petróleo de un

pozo como un flujo de ingreso continuo con su tasa de flujo anual en el tiempo t

dada por f(t) = 600e-0.2t, en miles de dólares al año. Encuentre un estimado del

ingreso total por este pozo durante los próximos 10 años.

2. Encuentre el ingreso total durante los próximo 10 años de un flujo continuo de

ingreso que tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dado por f(t)=12 000

dólares por año

3. Encuentre el ingreso total durante los próximo 8 años de un flujo continuo de

ingreso que tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dado por f(t)=8 500

dólares por año

4. Una compañía acerera visualiza la producción de su colado continuo como flujo

continuo de ingreso con una tasa de flujo mensual en el tiempo t, dado por f(t) =


111

24 000e0.03t (dólares mensuales). Encuentre el ingreso total de este colado en el

primer año

5. Suponga que la franquicia de una empresa de servicio se da cuenta que el ingreso

generado por sus tiendas se puede modelar suponiendo que el ingreso es un flujo

continuo con una tasa de flujo mensual en el tiempo t dado por f(t) = 10 000e0.02t

(dólares mensuales). Encuentre el ingreso total de una tienda para los primeros

dos años.

6. Una pequeña destiladora considera la producción de su máquina embotelladora

como un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el tiempo t dado

por f(t)=80e-0.1t, en miles de pesos por año. Encuentre el ingreso de este flujo para

los siguientes 10 años.

Valor Presente de un flujo continuo de ingreso Si f(t) es la tasa del flujo

continuo de ingreso que gana una tasa de interés r, compuesta continuamente, entonces

el valor presente del flujo continuo de ingreso es

Valor-presente =

Donde t = 0 a t = k es el intervalo del tiempo

Valor Futuro de un flujo continuo de ingreso Si f(t) es la tasa del flujo continuo

durante k años, ganando una tasa de interés r, compuesta continuamente, entonces el

valor futuro del flujo continuo de ingreso es

Valor-futuro =

Problemas de Aplicación 1. Un flujo continuo de ingreso tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t, dada por

f(t) = 9 000e0.12t (miles de pesos al año). Si el dinero crece a una tasa de 6%

compuesto continuamente, para los próximos 10 años encuentre

a. El Ingreso total

Por definición el ingreso total esta dado por

, por datos f(t) = 9 000e0.12t y k = 10 remplazando


112

El ingreso total del flujo continuo será de 249009 mil pesos por año

b. El valor presente

c. El valor futuro

2. Un flujo continuo de ingreso tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dada por

f(t) = 12 000e0.04t (millones de pesos al año). Si el dinero crece a una tasa del 8%

compuesta encuentre para los próximos 8 años

a. El Ingreso total


, por datos f(t) = f(t) = 12 000e0.04t y k = 8 remplazando

El ingreso total del flujo continuo será de 113138 millones de pesos


113



, por datos f(t) = f(t) = 12 000e0.04t , k = 8 y r=0.08 remplazando

El valor presente del flujo continuo es de 82 155.3 millones de pesos

c. El valor futuro


, por datos

, r=0.08 y k=8, remplazando

El valor futuro del flujo continuo en 8 años a una tasa del 8% será de 155 806

millones de pesos

3. Suponga que una compañía planea vender un pozo y quiere usar su valor presente

durante los próximos 10 años para establecer su precio de venta. Si la compañía

determina que la tasa de flujo anual es f(t)=600e-0.2(t+5), en miles de dólares por

año y si el dinero crece con una tasa de 10% compuesto continuamente, encuentre

este valor presente


114

4. Si la tasa de flujo de ingreso de un activo es 1 000e0.02t, en millones de pesos por

año, y si el ingreso se invierte a una tasa de interés de 6% compuesto

continuamente, para los próximos 4 años, encuentre

a. El valor presente

b. El valor futuro

5. Suponga que un flujo de ingreso continuo tiene una tasa anual de flujo dada por

f(t) = 5 000e-0-01t y el dinero crece un 7% compuesto continuamente, para los

próximos 5 años calcule:

a. El Ingreso total


c. El valor futuro

6. Suponga que una compañía de impresión considera la producción de sus prensas

como un flujo continuo de ingreso. Si la tasa de flujo anual es el tiempo t está dada

por f(t) = 97.5e-0.2(t+3) en millones de pesos al año, si el dinero crece a una tasa de

6% compuesto continuamente, encuentre el valor presente y el valor futuro de las

prensas durante los siguientes 10 años.

7. Una pareja piensa abrir un negocio propio, van a comprar ya sea un almacén de ropa

para hombres o una tienda de video. El almacén de ropa para hombres tiene un

flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el tiempo t dada por

G(t)=30 000 (miles de pesos por año) y la tienda de video tiene un flujo continuo de

ingreso con una tasa anual proyectada en el tiempo t dada por G(t)=21 600e0.08

(miles de pesos por año) .

La inversión inicial es igual para ambos negocios y el dinero crece a una tasa de 10%

compuesto continuamente. Encuentre el valor presente y el valor futuro de cada

negocio durante los próximos 7 años, para saber cuál es la mejor compra.


115

Superávit de Consumidor

El precio de equilibrio es aquel en que la demanda de un producto es igual a la oferta.

Algunos consumidores están dispuestos a comprar x3 unidades si el precio fuera $p3. Los

consumidores que están dispuestos a pagar más de $p1 se benefician por el precio más

bajo. La ganancia total para todos aquellos dispuestos a pagar más de $p1 se conoce como

superávit del consumidor cuya fórmula está dada por

, donde f(x) es la demanda, p1 es el precio de equilibrio y x1 es la cantidad en equilibrio,

p1q1 representa el total que gastaron los consumidores y que los productores recibieron

como ingreso.

Ejercicio

1. La función demanda para x unidades de un producto es p = 100/(x+1) dólares. Si el

precio de equilibrio es $20, ¿cuál es el superávit del consumidor?

Por datos f(x)=100/(x+1) y p1=20, debemos hallar q1

Remplazando

Entonces el punto de equilibrio es (4, 20), el superávit del consumidor es


116

El superávit del consumidor es aproximadamente de 80 dólares

2. La función demanda de un producto es y su función de oferta es p = x

+ 1 donde p se da en dólares y x es el número de unidades. Encuentre el punto de

equilibrio y el superávit del consumidor.

3. La función de demanda para un producto es p = 34 – x2. Si el precio es de $9. ¿Cuál

es el superávit del consumidor?

4. La función de demanda para un producto es p = 100 –4x. Si el precio es de $40.

¿Cuál es el superávit del consumidor?

5. La función de demanda para un producto es p = 200/(x +2). Si la cantidad en

equilibrio es 8 unidades. ¿Cuál es el superávit del consumidor?

6. La función de demanda para un producto es p = 200/(x +2). Si la cantidad en

equilibrio es 8 unidades. ¿Cuál es el superávit del consumidor?

7. La función demanda de cierto producto es p = 81 – x2 y la función oferta es p =

x2 +4x + 11. Encuentre el punto de equilibrio y el superávit del consumidor.

8. La función demanda de cierto producto es p = 49 – x2 y la función oferta es p

= 4x + 4. Encuentre el punto de equilibrio y el superávit del consumidor.


117

Superávit del Productor Cuando se vende un producto al precio de equilibrio, algunos productores también se

benefician ya que ellos estaban dispuestos a

vender el producto a un precio más bajo.

El área entre la línea p=p1 y la curva de la

oferta x=0 y x=x1 da como resultado el

superávit del productor. Si la función de la oferta es p = g(x), el

superávit de productor esta dado por la

diferencia entre el área entre la gráfica p=g(x) y el eje de las x entre 0 a x1.

, p1x1 representa el ingreso total en el punto de equilibrio.


1. La función de la demanda para un producto es y la función oferta

es p = x +1. Encuentre el superávit del productor.

2. Suponga que para cierto producto, la función de demanda es p=200e-0.01x y la

función oferta es

a. Encuentre el punto de equilibrio

b. Encuentre el superávit del consumidor

c. Encuentre superávit del productor

3. Suponga que la función oferta para una mercancía es p = 4x2 + 2x + 2. Si el precio

de equilibrio es de $422. ¿Cuál es el superávit del productor?

4. Suponga que la función oferta para una mercancía es p=0.1x2+3x+20. Si el precio

de equilibrio es de $36. ¿Cuál es el superávit del productor?

5. Si la función de oferta para un producto es p = 10ex/3. ¿Cuál es el superávit del

productor cuando se venden 15 unidades?


118

6. Encuentre el superávit del productor para una mercancía si su función demanda

es p = 81 – x2 y su función oferta es p = x2 + 4x + 11.


es p = 49 – x2 y su función oferta es p = 4x +4.


es p = 12/(x + 1) y su función oferta es p = 1 + 0.2x


es p =110 – x2 y su función oferta es p =2 -6/5x +1/5x2.

10. Determine el superávit del consumidor y del productor en el caso de un producto

cuyas funciones de demanda y de oferta aparecen en seguida

d. D: p= 15 -2x

O: p=3 + x b. D: p=17 – 0.5x O: p= 5+0.3x


119

INTEGRACIÓN POR PARTES

La integración por partes es una técnica de integración donde se usa una fórmula que se

origina de la regla del producto para la derivada

La integración por parte es muy útil si la integral que se trata de calcular se puede

manejar como el producto de un función u y el diferencial dv, de una segunda función de

modo que se pueda encontrar las dos integrales y

Ejercicios. Integre

1. Hacemos u=x y dv=exdx entonces du=1dx y v=ex remplazando en la fórmula

2.

Hacemos u=ln(x) y dv=xdx entonces du=

y v=

remplazando en la fórmula

3.

Hacemos u=ln(x2) y dv=dx entonces du=

y v=x remplazando en la fórmula

4.

Hacemos u=x2 y dv=e2xdx entonces du=2xdx y v=

e2x remplazando en la fórmula


120

Para desarrollar la integral, integramos por parte, hacemos u=x y dv=e2xdx

entonces du=dx y v=

e2x remplazando

5.

Hacemos u=x2 entonces du=2xdx y dv=x dx entonces v=

remplazando


1. El ingreso marginal de una empresa por la producción de unidades de uno de sus

productos es

, dólares. Determine el ingreso total si se producen de 10 a 20 unidades

2. Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo juego se vende en el

mercado a una tasa de S´(x) = 4 000te-0.2t juegos por semana, en donde t es el

número de semanas desde el lanzamiento del juego. Exprese las ventas totales, S,

como una función de t. ¿Cuántos juegos se venderán durante las primeras 4

semanas?

3. Suponga que el valor del petróleo producido por una pieza de un equipo de

extracción se considera un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual (en

dólares por año) en el momento t, en años, dado por f(t)=300 000 – 2500t, y el

dinero crece 8% compuesto continuamente. Encuentre el valor presente de la pieza.


121

4. Si la función oferta para x unidades de una mercancía es p=30 + 50 ln(2x +1)2 pesos

¿cuál es el superávit del productor en x=30?

5. Si la función de costo marginal para x unidades de un producto es C´(x)=1 + 3ln(x+1) miles de pesos por unidad, y si el costo fijo es de $100 mil, encuentre la función

costo total.

6. Suponga que se puede considerar la producción de una máquina como flujo continuo

de ingreso con una tasa de flujo anual en el tiempo t, dada por f(t)=10 000 – 500t miles de pesos por año. Si el dinero crece a una tasa de 10% compuesto

continuamente encuentre el valor presente de la máquina para los próximos 5 años.

7. Suponga que la producción de una máquina que se utiliza para extraer carbón se

considera como un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el

momento t dada por f(t)=280 000 -14 000t miles de pesos por año. Si el dinero

crece a una tasa de 7% compuesto continuamente, encuentre el valor presente de

esta máquina los próximos 8 años.

8. Suponga que el ingreso de una empresa de acceso a Internet es un flujo continuo de

ingreso con una tasa anual dada por

f(t)=100te-0.1t

, en millones de pesos por año. Encuentre el ingreso total durante los próximos 10

años.

9. Suponga que la curva de Lorenz para la distribución de ingresos de cierto país esta

dada por

y = xe (x-1)

Encuentre el coeficiente de Gini para el ingreso

10. Una empresa tiene un costo marginal por unidad de su producto dado por

, donde x es el nivel de producción. Si los costos fijos ascienden a $2000,

determine la función costo


122

BIBLIOGRAFÍA

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Economía y Ciencias Sociales. Editorial Mc Graw Hill. Séptima Edición

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Edición

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Edición

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Cálculo con aplicaciones a las Ciencias Económicas y Administrativas. Ecoe

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notas de clase cálculo diferencial

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