con problemas de aplicacin orientados haciala administracin y la economahttp://www.calameo.com/read/0004911295f278eda2d02 Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 2 CONTENIDO Introduccin4 Justificacin.. 4 Objetivo General... 4 FUNCINPareja Ordenada ...5 Relacin 5 Funcin..7 Dominios y Rangos... 6 Notacin Funcional. .. 7 Algebra de Funciones...11 Grfica de Funciones.. 14 Grfica de funciones con tecnologa... 16 Funcin Lineal.. 19 Ecuacin de la recta .19 Modelacin de la funcin lineal..22 Funcin Cuadrtica..24 Modelacin de la funcin cuadrtica..28 Funciones con tecnologa.29 Funcin Exponencial..30 Funcin Logartmica..34 Tipos de logaritmos..34 Modelacin de las Funciones Exponenciales37 Funciones con tecnologa..40 Funcin Polinmica de grado superior a dos ..41 Funcin Cociente......41 Funcin por Parte o por Trozos..42 LIMITE47 Limites Laterales 48 Propiedades de los lmites 48 Limites Indeterminados. 49 Continuidad en un punto..49 Limites de las funciones definidas por partes...50 Limites Infinitos 55 Limites con Tecnologa..60 LA DERIVADA 61 Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 3 Tasa de cambio promedio ..61 Tasa de cambio instantnea 62 Pendiente de una recta ..62 Derivada 62 Frmulas de la Derivada .. 63 Regla de la Cadena . 65 Regla de la Potencia . 66 Derivadas de Orden Superior .. 68 Mximos y Mnimos Relativos Prueba de la primera derivada.69 Prueba de la segunda derivada70 Derivada de las Funciones Logartmicas.75 Derivada de las Funciones Exponenciales..77 Derivada Implcita...79 Elasticidad en la Demanda...81 LA INTEGRAL...85 Antiderivada....85 Integral Indefinida..85 Reglas de Integracin.....86 Regla de la Potencia para la Integracin..88 Integrales que Involucran Funciones Exponenciales...90 Segundo Teorema Fundamental del Clculo..94 APLICACIONES DEL CLCULO INTEGRAL EN LA ADMINISTRACIN Y EN LA ECONOMA Valor promedio ..97 Ingreso Total.99 Valor Presente de un flujo continuo de ingreso .100 Valor Futuro de un flujo continuo de ingreso..100 Supervit de Consumidor.102 Supervit del Productor..104 Integracin por Partes..106 BIBLIOGRAFA..109 Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 4 INTRODUCCIN Elpresentetrabajoesunacompilacindemisnotasdeclase,frutodela experienciaobtenidadurante21aosdeservicioalaeducacinendiferentes institucionesacadmicasenMaicao,Riohacha(Guajira)yenSantaMarta,enlos niveles de bsica, media, tcnica, tecnolgica y profesional.

La propuesta busca darle sentido a la matemtica en otros contextos,en particular en la economa, que el estudiante le d a la matemtica una mirada distinta a la que tradicionalmente le atribuye y que la reconozca como una herramienta fundamental para el desarrollo del pensamiento lgico del ser humano yde la sociedad. El documento no pretende plagiar la informacin contenida en libros especializados o contenidosobtenidosenpginasweb(todosreferenciados),sinodaralestudiante explicacin ms sencilla de los conceptos y fortalecer el desarrollo de problemas de aplicacin orientados hacia su perfil profesional. Elobjetivoeseldeexponerlosconocimientosbsicosdelclculodiferencialen formasencilla,lgica,crticayanalticautilizandoherramientasmodernasque faciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones, adems el de solucionar problemas que permitan el desarrollo de las competencias. Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 5 FUNCIN En la prctica se presenta situaciones en donde el valor de una cantidad depende de la otra. Ejemplo: La relacin establecida entre estas unidades se describe como funcin. Pareja Ordenada Conjuntodenmerosdelaforma(a,b)cona,bR;dondeasedenominaprimera componente y b segunda componente. Relacin Conjunto de parejas ordenadas o regla que determina la correlacin entre los elementos de la pareja ordenada. Tambin se puede definir por medio de una tabla, una grfica, una ecuacin o una desigualdad. Ejercicios: 1. Escribir 5 parejas ordenadas cuyas componentes tengan cada relacin: a.Que la primera componente sea el doble de la segunda. b.Que la segunda componente sea el triplo ms uno de la primera. c.Quelaprimeracomponenteseaunnmeroparylasegundaunimparno consecutivo. d.Que la primera componente sea un nmero posterior no consecutivo de la segunda. 2. Escriba una oracin que describa la relacin de cada conjunto de parejas ordenadas: a.(1,3),(3,5),(5,7),(7,9)(9,11) b.(1,-1)(-2,2)(3,-3)(-4,4),(5,-5) c.(1,7),(2,5)(3,9),(4,13),(5,17) d.(2,5),(3,10),(4,17),(5,26),(6,37) 3. Exprese cada relacin de los encisos 1. y 2. por medio de una ecuacin. Oferta - Demanda Impuesto - Valor de la Mercanca Horas trabajadas salario Distancia Tiempo Dedicacin Rendimiento Mantenimiento Tiempode vida Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 6 4.Obtenga 5 parejas ordenadas por cada situacin particular a.El valor de un libro se duplica cada 5 aos, el libro fue evaluado hace 20 aos en $1200.Laprimeracomponenterepresentaelnmerodeaosylasegundael precio. b.Deciertoproductosesabequeaunpreciode$5000launidadsedemandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas. c.Noexistedemandaparaciertoartculocuandoelpreciounitarioesde200 dlares o ms pero por cada 10 dlares que disminuye su precio por debajo por debajode200,lacantidaddemandadaseincrementaen200unidades.La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas d.Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de produccin de una cortina esde$1850yporcadacortinaqueseproduceelcostoseincrementaen $44.5. La primera componente representa la cantidad y la segunda el costo. e.El nmero de familias vinculadas al a un proyecto apcola en la sierra nevada de SantaMartainicioenel2005con128yporcadaaoquepasaelnmerode familias se incrementa en 125. Si la primera componente representa el nmero de aos y la segunda el nmero de familias vinculadas al proyecto. f.El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo de lujo en una funcin del precio sta dado porI = 300p 2p2. Si la primera componente representa el precio (p) y la segunda el ingreso (I). g. Elcostototaldelaproduccindexlitrosdeundeterminadoproductoviene dadopor

.Silaprimeracomponenterepresentala cantidad de litros del producto y la segunda el costo total de la produccin. Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 7 Funcin Esunarelacindeparejasordenadaselcualnohaydosparejasquetenganlamisma primeracomponente. Si A y B son conjuntos una funcin f de A en B se denota f: A Bxy=f(x) Indica que a cada elemento x de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos y=f(x) de B. El conjunto A recibe el nombre de conjunto de partida o dominio y la variable quelarepresentaseconocecomovariable independiente,elconjuntoBseconocecomo conjuntodellegada,co-dominio,rangoorecorridoylavariablequelarepresentasele conoce como variable dependiente. Dominios y Rangos Lasfuncionesrealestienencomodominiosyrangoslosnmerosreales.Sinose especificaneldominioyelrangodeunafuncin,sesuponequeeldominioconsisteen todos los nmeros reales (valores de x) que dan como resultado salidas reales (valores de y), haciendo que el rango sea subconjunto de los nmeros reales. En las funciones de estudio, si el dominio no est especificado, incluir todos los nmeros reales excepto: -Valores que tienen como resultado un denominador igual a cero. -Valores que dan como resultado una raz par de un nmero negativo. Ejercicio: Encuentre el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones:

Notacin FuncionalParaindicarqueyesunafuncindex,la funcinseexpresaconfyescribimosy=f(x). Esto se lee y es funcin de x o y es igual a f de x. Para valores especficos se x, f(x) representa los valores de la funcin (es decir la salida o valores de y), por lo tanto, si: Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 8 Ejercicio-1 1.Si f(x)= 3x + 1 entoncesa.f(2) = 3.2 +1= 6 + 1 = 7 b.f(-3) = 3(-3) + 1 = -9 + 1 = -8 2.Si g(x) = 2x2 4x + 2 entoncesa.g(1) = 2(1)2 4(1) + 2 = 2(1) 4 + 2 = 2 4 + 2 = 0b.g(-2) =2(-2)2 4(-2) + 2 = 2 (4) + 8 +2 = 2(4) +10 = 8 +10=18 c.g(a) =2(a)2- 4a + 2 = 2a2 4a + 2 d.g(a + b)= 2(a + b)2- 4(a + b) + 2 3.Determine f(x + h)si a.f(x) = x entonces f(x + h) = x + h b.f(x) = x + 1 entonces f(x + h) = (x + h) + 1 c.f(x) = x2 x + 2 entonces f(x + h)= (x + h)2 (x + h) + 2 d.f(x) =

entonces f(x + h) =

Ntese que donde esta x se escribe x + h 4.Encuentre

cuando h=0 si a. f(x)= 2x Remplazamos

b. f(x) = x2

Aplicando (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 9

Simplificado

Factorizando

Simplificando

Como h= 0 remplazando

Ejercicios-2 1.Si R(x) = 8x - 10 encuentreR(0),R(2), R(-3),R(1.6) 2.Si H(x) = 9x2 2x encuentreH(3), H(1/6)3.Si f(x) = 100x x3 encuentre f(-1), f(-3/2) 4.Si C(x) = x3 4/x encuentreC(-1/2), C(-2) Ejercicios-3 Encuentre

cuando h=0 si 1.f(x) = x + 1 2.f(x) = 3x + 2 3.f(x) = 3x2

4.f(x) = 2x3Sugerencia utilice (a + b)3

Problemas de Aplicacin 1.El costo total de fabricar un producto se determina por medio de C(x)= 300x + 0.1x2+1200dlares ,dondexrepresentaelnmerodeunidadesproducidas.Determineelcostode producir 10 y 100 unidades. Qu encuentra? Paradeterminarelcostodeproducir10unidadesremplazamosxpor10enla ecuacinde costos total C(x) C(10) = 300 (10) + 0.1 (10)2 +1200 =3000 + 10 + 1200 = 4 210 Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 10 Producir 10 unidades tiene un costo de 4210 dlares. Para 100 unidades x=100 C(100) = 300 (100) + 0.1 (100)2 +1200 =32 200 Producir 100 unidades cuesta 32 200 dlares Seencuentraqueesmseconmicoproducir100unidadesque10.Porqueel producir10unidadesproducirunaunidadcostara421dlaresysiseproducen 100 unidades el valor de la unidad sera 322 dlares 2.Unestudiodeeficienciarealizadoporunacompaamostrqueelnmerode Walkie-talkiesensambladosporuntrabajadorpromedioathorasdehaber iniciado su jornada a las 8:00 a.m. esta dado porN(t) = -t3 + 6t2 + 15t (0 t 4) Cuntaspiezasseesperaqueensambleunobreropromedioentrelas8:00ylas 9:00? y entre las 9:00 y 10:00? Qu encuentra? 3.DatosdelareservafederaldeEstadosUnidosmuestranqueelincrementoanual de capacidad de produccin entre 1994 y 2000 est dado por f(t) = 0.0094t3 0.4266t2 +2.7489t + 5.54,dondef(t)esunporcentajetysemideenaos,dondet=0correspondea 1994.Culeselincrementoenlacapacidaddeproduccinen1996,2003y 2004 Qu encuentra? 4.Las ganancias anuales brutas de cierta compaa fueron miles de dlares taos despus de su formacin en enero de 1993. Culesfueron las ganancias brutas obtenidas en los aos 1997 y 2008? 5.La funcin demanda para la lnea de laptops de una compaa electrnica es p=2400 6q,endondepeselprecioporunidad(endlares)cuandolosconsumidores demandan q unidades (semanales) a.Obtenga p para q igual a300, 400 y 500 b.Qu significa cada expresin? c.Compare e intrprete los resultados 6.Suponga que el costo (en dlares) deeliminarp por ciento de la contaminacin de las partculas de las chimeneas de una planta industrial se determina por medio de Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 11 ppp C=1007300) ( Encuentrelosvaloresdeeliminarel45,90,99yel100porcientodela contaminacin y haga un anlisis de los resultados 7.El costo (en dlares)de eliminar el x% de la polucin del agua en cierto riachuelo est dada por C(x)=

( 0x 100) a.Hallar el costo de eliminar la mitad de la polucin b.Evaluar el costo de eliminar el total de la polucin 8.Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminacin se determina mediante

Determine el costo de obtener agua con el 90, 100 y 0 por ciento de niveles de contaminacin Algebra de Funciones Si f y g funciones se define: a.Funcin suma: f(x) + g(x) = (f + g)(x) b.Funcin diferencia: f(x) - g(x) = (f - g)(x) c.Funcin producto:f(x) *g(x) = (f * g)(x) d.Funcin cociente:f(x) g(x) = (f g)(x) -Funcin compuesta: f(x) g(x) = (f g)(x) = f [g(x)] Ejercicio-1: Dadosf(x) yg(x) encuentre: (f + g)(x), (g - f)(x), (g * g)(x), (f g)(x), (f g)(x) 1.f(x) = 2x yg(x) = 3x + 1 -f(x) + g(x) =(f + g)(x)= 2x + 3x + 1 = 5x + 1 -f(x) -g(x) =(f -g)(x)= 2x ( 3x + 1) =2x 3x 1 = -x 1 -f(x) *g(x) =(f * g)(x)= (2x)*(3x + 1) = 6x2 + 2x Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 12 -f(x) f (x) = (f g)(x) =

, si la expresin noesfactorizable y/o simplificable se deja indicada-(f g)(x) = f[g(x)] = f(3x + 1) = 2(3x+1) = 6x + 2 Ntese que donde esta x en f(x) se remplaza por 3x + 1 2.f(x) = x2 yg(x) = x - 1 - f(x) + g(x) =(f + g)(x)= x2 + x - 1 -f(x) -g(x) =(f -g)(x)= x2 ( x -1) = x2 - x + 1 -f(x) *g(x) =(f * g)(x)= (x2) *(x 1) = x3 x2 -f(x) f (x) = (f g)(x) =

,-(f g)(x) = f[g(x)] = f(x - 1) = (x - 1)2 = x2+ 2x - 1 Ntese que donde esta x en f(x) se remplaza por x - 1 3.f(x) = x + 5 yg(x) = x 2 4. f(x) = x2 - 2 yg(x) = 2x + 45.f(x) = x3 5y g(x)=2x3 1 6.f(x) = x2 + 5 y g(x) =- 2 7. f(x) =

y g(x) =

Problemas de Aplicacin 1.Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compaa por la venta de x unidades de su productoseobtienemedianteR(x)=215x yelcostototalC(enpesos)deproducir esas x unidades se obtiene por C(x) = 65x + 15000a.SilagananciaGeselingresomenoselcosto,encuentrelafuncingananciadela produccin y la venta de x unidades. Por definicin G(x) = R(x) C(x) remplazando G(x) = 215x (65x + 15 000) = 215x 65x 15 000 La funcin ganancia sera b. Encuentrelagananciasiseproducenyvenden1000,100y10unidades.Qu encuentra? G(x) = 150x - 15000 Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 13 Si se venden 1000 unidades G(1000) = 150(1 000) 15 000 = 135 000 Si se venden 100 unidades G(100) = 150(100) 15 000 = 0 Si se venden 10 unidades G(10) = 150(10) 15 000 = - 13 500 Producir y vender: 1000 unidades deja una ganancia de $135 000; 100 unidades no deja utilidad pero tampoco prdida; 10 unidades deja una prdida de $13 500 2. El ingreso total r que se recibe por la venta de q unidades, esta dado por la funcin g, donder=g(q)=40q.Elnmerototaldeunidadesdeproduccinpordaq,esuna funcin del nmero de empleados m, donde

Determine (g o f) qu encuentra? 3. El gasto del consumidor (Gc) por artculo es el producto de su precio en el mercado p (endlares) y elnmerode unidadesdemandadas. Suponga que para cierto artculo, las unidades demandadas estn dadas por la funcin U(x)= 10 000 10p a.Encontrar una expresin que determine el gasto del consumidor Por datoGc = p * U(x) = p * (10 000 10p) La expresin del gasto del consumidor sera b. Determinar el gasto del consumidor por artculo cuando el precio de mercado es de 20 y 30 dlares. Para p= 20; Gc = 10 000(20) 10(20)2 = 196 000 Para p = 30;Gc = 10 000(30) 10(30)2 = 291 000 Aunpreciode20dlareselgastodeconsumidoresde196000dlaresya30 dlareselgastoesde291000dlares,porlotantoamenorpreciomenoresel gasto del consumidor 4.Loscostostotalesporlaproduccindeciertoartculoenelinstantetsonf(t) dlares.Elnmerodeproductosfabricadosenelinstantetesg(t)qu representa f(t)/g(t)? Gc = 10 000p 10p2 Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 14 5.Elnmerodeaccionesquetieneunapersonaestdadoporf(t).Elpreciodela accinenelinstantetesg(t)milesdepesosqurepresentalaexpresin f(t)*g(t) 6.Unempresarioesposeeyoperadosrestaurantes.Elingresodelprimer restauranteenelinstantetesf(t)milesdepesosyelingresodelsegundo restaurante en el instante t es g(t) miles de pesos qu representa la funcin f(t) + g(t) 7.Los ingresos de una empresa estn dados por f(x) dlares, donde x son los gastos depublicidadporpartedelaempresaendlares.Lacantidadinvertidaen publicidadporlaempresaenelinstantetestdadaporg(t)dlaresQu representa la funcin f g 8.El costo promedio por unidad de unacompaa cuando se producen x unidades se define como:

Suponga que el costo total de una compaa se obtiene

a.Encuentre una expresin que determine los costos promedios b. Determine los costos promedios para una produccin de 10 y 100 unidades. Qu encuentra 9.Suponga que la ganancia de la produccin y la venta de x unidades producidas en un da de un producto se determina por medio deP(x) = 180x - 0.01x2 -200. Adems el nmero de unidades producidas en el da t del mes es x = 1000 +10t. Encuentre la ganancia obtenida el da 15 del mes. a.La funcin compuesta (P o q)(t) que expresa la ganancia como un funcin del da del mes es b.El nmero de unidades producidas y la ganancia del da 15del mes es 10. El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo de lujo en una funcin del precio sta dado porI = 300p 2p2y la funcin demanda es p= 150 q/2. a.Escriba una expresin del ingreso en funcin de las unidades demandadas. Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 15 b.Determine el ingreso si se demandan 100 y 200 unidades c.Compare los resultados que encuentra GRFICA DE FUNCIONES Es posible ilustrar geomtricamente las relaciones y funciones al trazar sus grficas en un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas (plano cartesiano) ElplanoCartesianoesunreaquepermiterepresentargrficamenterelacionesy funcionesendosdimensiones.Estformadopordosrectasperpendiculares denominadas ejes que se cortan en un punto llamado origen, los ejes dividen el plano en cuatropartesllamadascuadrantes.Larectahorizontalsedenominaabscisa (generalmenteejex)ylaverticallaordenada(generalmenteejey),delpuntode interseccin hacia la derecha la abscisa es positiva y hacia la izquierda es negativa, del punto de interseccin hacia arriba la ordenada es positiva y hacia abajo es negativa. Cadapuntoenelplanoseformaconlainterseccindeunacoordenadadelaabscisa conunadelaordenadayserepresentaconunaparejaordenada(a,b),dondela primeracomponenterepresentalacoordenadadelaprimeraylasegundala coordenada de la segunda. Ejercicio.Dibujeunplanocartesianoyubiquecadaunodelossiguientespuntos:A(-3,5), B(-1,-4), C(5,-1), D(4,3),E(0,-2),F(4,0) SifesunafuncincondominioAyco-dominioB,entoncesacadaxAle correspondeprecisamenteunnmerorealf(x)B.Estosepuedeexpresartambin comoparejasordenadasdenmeroreales.SeescribaaxdeAcomoprimera componente y f(x) de B como segunda componente es decir (x, f(x)) o (x, y). Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 16 Lagrficadeunafuncinresultacuandosetrazanlospuntosquerepresentanel conjunto de todos los pares ordenados(x, y) quesatisfacen la ecuacin de la funcin dada La grfica de una funcin nos puede suministrar informacin de esta como por ejemplo: su tipo, para que intervalos es creciente, decreciente constante, los puntos mximos, mnimos, interceptan los ejes coordenados, indeterminados Ejercicio Grafique cada funcin entre los valores indicados 1.f(x)=2x+1 2.f(x) = x2 + 1; para valore de x entre -3 y 3 3.f(x)=x3 6x2: de valores a x entre -4 y 4 4.f(x)=

5.f(x)=

6.f(x)=ln(2x+1)

Si x < 1 7.e. j(x)= 2x2 + 1 Si x 1 Grafica una Funcin con Tecnologa Con Excel 2007 1.Entre a Excel 2.En la celda A1, Digite la variable independiente (x) 3.EnlasceldasB1yC1digitedosvalorescualesquieraparaeldominio.Entrems valores digite podr obtener un mejor grfico. 4.En A2 digite la variable dependiente (y) 5.Despeje la ecuacin en funcin de y y digtela B2 como frmula Excel, debe tener en cuenta que donde va x en la ecuacin debe ir B1. 6.Cpiela para obtener el o los dems valores para el co-dominio. 7.Seleccione el rango 8.Del menInsertar seleccione el tipo de grfico Lnea y escoja la opcin lnea. 9.Seleccioneelgrfico,pulseelbotnderechodelmouseyseleccioneSeleccionar datos. 10. EnlaventanaEtiquetasdelejehorizontal(Categoras),pulseelbotnEditar, seleccione los datos de x, y pulse Aceptar. Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 17 11. EnlaventanaEntradasdeleyenda(Series)escojaxypulseelbotnQuitar, pulse Aceptar. 12. ParaubicarelgrficoenotrahojapulseelbotnMovergrfico(Ubicacin)y escoja Hoja nueva.13. Paramodificarcualquierrea(degrfico,delneadetrazadooladeseriede datos) seleccione el rea a dar formato, pulse el botn derecho del mouse y escoja la opcin de formato. Con Excel 2003 o anterior Repite los procedimientos de 1 al 7 de la versin 2007 1.Del menInsertar seleccione la opcin Grfico 2.Seleccione el tipo de grfico Lneas y el subtipo Lnea y pulse Siguiente 3.AbralacarpetaSerie,enlaventanaSerie,pulseQuitarparaeliminarlaserie1, quecorrespondealdominiodelafuncin,abralaventanadeRtulos del eje de categora xyseleccioneeldominiodelafuncin,pulseelbotndeaceptaciny pulse siguiente4.Escriba los ttulos correspondientes, abra la carpeta Leyenda y desactive la opcin Mostrar leyenda y pulse Siguiente 5.Active la opcin En una hoja nueva y pulse Finalizar. Con el Maletn del Estudiante de Microsoft Encarta 1.Entre al el Maletn del Estudiante de Microsoft Encarta 2.De la opciones de rea de Conocimiento seleccione Matemticas 3.De Matemticas seleccione Matemtica Microsoft 4.De Matemtica Microsoft escoja Calculadora Grfica Cientfica 5.Seleccione la carpeta Grfica6.Enlacarpetafuncionesverifiquequelasopciones2DyCoordenadas Cartesianas estn activadas. 7.Hagaunclicenlaventanaparadigitarlaecuacin(laecuacindebeestar despejada en funcin dey o en funcin dex), en la ventana entrada de datos, digite la ecuacin despejada, pulse Intro y para finalizar pulse grfica 8.ParaunamejorvisualizacindelagrficaenlacarpetadeControlesde Grfica seleccione el botn Mostrar u Ocultar Marca Exterior 9.ParaimprimirlagrficadelmenArchivoseleccionelaopcinImprimiry Aceptar. Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 18 Con el Derive de la Calculadora Ti-92 Plus de laTexas Instruments 1.Pulse Ctrl + w (Y=) 2.Digite la ecuacin despejada en funcin de y y pulse ENTER. 3.Pulse Ctrl + R ( GRAPH)

Con en el Winplot El winplot es unsoftware gratuito especializado en el graficodefunciones. Puede descargar en la direccinhttp://winplot.softonic.com/descargar -Unavezinstaladoelprogramaparautilizarlodebeejecutarelicono correspondiente.-PararealizarungrficodelmenVentanaseleccione2-dim,abraelmen Ecua y seleccione la opcinExplcita; en la ventanaf(x) digite la ecuacin y pulse Ok. Si necesita elevar la variable a una potencia utilice la tecla ^.-Paraverlascuadriculasabraelmenverseleccionelaopcincuadricula activecuadrangularpulseaplicarycerrar.Sinosedeseanverlas coordenadas desactiva las opciones escala -ParagrabarelarchivodelmenArchivoseleccionelaopcinGuardaro Guardar como. Para abrir selecciona la opcin Abrir -Con las teclas Av Pg aleja el grfico y Re Pg acerca la imagen. Debe estar ubicado en el rea de grfico. -Para copiar un grafico del men archivo selecciona la opcin copiar lo lleva al documentodestinoypulsapegar.RecomendacinsivaapegarenWord inserte el grafico en un cuadro de texto para un mejor manejo. -ParamostrarlosvaloresextremosdelmenUnaseleccionelaopcin Extremos, para ir visualizando los dems extremos pulse Siguiente Extremo -Paraescribiruna etiqueta delmen Btns seleccionalaopcin textoenla grficapulsaelbotnderechodelmouse,digitaeltextooetiquetay pulsa ok, para cambiarla de posicin la arrastra con un clic sostenido. -Modificar Coordenadas men ver opcin ver, cuadrcula Ajuste -ParasombrearunreaespecficadelmenEcuaseleccionelaopcin Sombreado activalaopcinencima,debajooentre,sivaasombrearentre dosfunciones,digiteelrangoointervaloasombrear,seleccioneelcolory pulse sombrear Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 19 TALLER DE GRFICOS Responda cada pregunta respecto a la grfica en cada situacin particular1.Elpropietariodeunaconstruccinde36millonesdepesos,ladeprecia.Elvalory (dadoenmillonesdepesos)de laconstruccindespusdexmesesdeusoes y= 36 0.15x. a.Cul es el valor de de la propiedad alos 60 meses de uso? b.Culeselvalordedelapropiedad los 10 aos de uso? c.Cuntosaospasanparaquela propiedad se deprecie por completo? Explique 2. La utilidadobtenida (en millones de pesos) por fabricar y vender x unidades de cierto producto est dada por P(x)=60x x2 a.Cul es la mxima productividad que se puede obtener? b. Paraquintervalolafuncin crecienteyparacules decreciente?qudecisin tomara al respecto? c.Culeslamximacantidadde unidadesquepuedeproducir? Justifique su respuesta 30 60 90 120 150 180 210 240336912151821242730333639xy Valor(Millones de Pesos)Meses10 20 30 40 50 60 70300600900xyy = 60x-x^2UtilidadUnidades Producidas Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 20 3.Suponga que el ingreso por la venta de cierto producto est dado porR(x) = 70x + 0.5x2 0.001x3 a.Culeselingresosise venden 100 unidades? b. Paraquintervalola funcincrecienteypara culesdecreciente?De una explicacin c.Culeselmximo ingresoquesepuede obtener? d. Culeslamxima cantidadquesepuede vender? Explique 4.Unestudianteadquieregrannmerodeconocimientosduranteelrepasoparaun examen.Enuntiempodetsemanasdespusdelexamenelporcentajedeesos conocimientos que el estudiante es capaz de recordar est dado por Pt=18020e0.5t1e0.5t a.Alasemanaqu porcentajede conocimiento recuerda? b. Encuntosmeses recuerdael40%del conocimiento? c.Escriba2comentariosde la situacin presentada 100 100 200 300 400 500 600 70011000220003300044000xy(x,y) = (614,0)Cantidad VendidaIngresoCantidad Vendida1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 132010102030405060708090100110xySemanasConocimientos RecoordadosSemanas Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 21 5.Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dlares esta dado porP = 10 + 50 ln(3x + 1) a.culeselpreciosise ofertan 10 unidades? b. Cuntasunidadesse deben ofertar a un precio de $260 dlares? c.Escriba 2 comentarios de la situacin presentada 6.Las ventas y ( en miles de dlares) se relacionan con los gastos de publicidad x ( en miles de dlares) segn (x)=200xx10 a.culeselvolumende ventassiseinvierten10 mil dlares en publicidad? b. Cuntosedebeinvertir enpublicidadpara obtener150mildlares en venta? c. Escriba2comentarios delasituacin presentada 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1002020406080100120140160180200220240260280300xyUnidadesPrecio10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 20050100150200xyVolumen de VentasGastos de Publicidad (Miles de Dlares) Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 22 FUNCINLINEAL Unafuncinlinealesaquellaquecambiaaunatasaconstanteconrespectoasu variable independiente La grfica de una funcin lineal es una lnea recta Ecuacin de la Recta Toda funcin de la forma y= mx +b, es una funcin lineal donde , b es la ordenada en el origen (coordenada donde la recta corta al eje y ) y , m se denomina la pendiente y es el ngulo de inclinacin de la recta respecto al eje laabscisa(x).Lapendientemuestraelnmerodeunidadesquevariayporcada unidad que vara x, es decir si m=10, indica que por cada unidad que varia x y varia 10 unidades En economa se considera la pendiente como los costos fijos y la ordenada en el origen los costos variables, es decirla funcin lineal es: costos fijos x + costos variables La pendiente de una rectaque pasa por dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) est dada por: m =y2 y1x2 x1 Se pueden presentar las siguientes situaciones: -m > 0: La recta esta inclinada hacia la derecha. -m < 0: La recta esta inclinada hacia la izquierda -m = 0: La recta es paralela al eje de la abscisa. -Si m es indeterminada la recta es paralela al eje de la ordenada.Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales y dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1. La ecuacin de la recta que tiene como pendiente m y pasa por el punto (x1,y1) es: y y1 = m(x2 x1) La ecuacin de la general de la recta est dada por: ax + by + c = 0 Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 23 Ejercicios1.Encuentre la pendiente (m)el intercepto (b) y las grafique cada una de las siguientes funciones: a.y = 2x + 1 b. y = -2x 1 c.3x + 4y = 12 d. 2x 3y = 12 2. Encuentre la ecuacin de la funcin que pasa por los puntos: a.(2,1) y (3,-4) b. (3,2) y (-4,2) c.(3,4) y (3,-1) 3. Escriba la ecuacin y trace la grfica de cada funcin que: a.Tiene como pendiente -2 en intercepto 3 b. Pasa por el punto (2,0) y tiene pendiente -2 c.Pasa por el punto (-1,3) y tiene pendiente -2. d. Pasa por los puntos (3,2) y (-1,-6)

4.Determinesilossiguientesparesderectassonparalelas,perpendicularesoninguna de las anteriores: a.3x + 2y = 6 ; 2x 3y = 6 b.5x 2y = 8 ; 10x 4y = 8 5. Escriba la ecuacin de la recta que: a.Pasa por (-1,2) y es paralela a 3x + 2y = 1. b.Pasa por (1,3) y es perpendiculara 3x + y = -1. Problemas de Aplicacin7.La demanda de un producto tiene un comportamiento lineal, si se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades a.Halle la pendiente qu significa? Como el precio depende de la demanda, las parejas ordenadas tendran la forma (precio, demanda), ,esdecir,xrepresentaelprecioylasunidadesdemandadas,pordatos podemos considerar una primera pareja (5000, 4000) donde x1=5000 yy1=4000 y una segunda pareja (4000, 4500) donde x2=4000 y y2=4500 Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 24 Como sabemos que la pendiente es:

Significa que por cada 1000 que se incremente el precio la demanda disminuye la mitad. b.Halle la ecuacin de la demanda Como se conoce la pendiente y un punto utilizamos la ecuacin

, remplazando

c.Grafique la funcin Ubicamos los puntos (5000, 4000) y (4000, 4500) y trazamos la recta que corte los dos ejes coordenados d.Cul es el valor de la ordenada en el origen y qu significa? Por ecuacin y grfica la ordenada en el origen (b) es de 6500, es decir a $0 se demandan 6500 unidades1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 13000 14000 150005005001000150020002500300035004000450050005500600065007000xyPrecioUnidades Demandadas Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 25 e.Qu precio mximo estara dispuesto a pagar? Porgrfica$13000,parapreciosuperioraestelasunidadesdemandasseran negativas Analticamente tendramos que hacer y=0 y remplazar en la ecuacin, as:

, despejando

f.Para un precio de $ 4500, cul sera la demanda? Aqu x=4500 remplazando en la ecuacin

, a $4500 se demandaran 4250 unidades g.Para una demanda de 5240 unidades, cul debe ser el precio unitario? Aqu y=5240 remplazando

, despejando

, es decir, que para demandar 5240 el precio unitario tiene que ser de $2520

8.Una mquina se adquiere por$12 000 000yse pronostica undepreciacin lineal total en 15 aos hallar a.La ecuacin b.El valor de la mquina en 7 aos 9.No existe demanda para cierto artculo cuando el precio unitario es de 200 dlares o ms pero por cada 10 dlares que disminuye su precio por debajo por debajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. Determina la ecuacin Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 26 de la demanda, trace su grfica, determine la demanda cuando el precio es de 150 dlares y a qu precio se demandarn 2000 unidades 10. Una impresora costo $100 000 y se deprecia en forma lineal durante 5 aos, con un valor de $30 000. cul es la expresin de la funcin de costo de la impresora? Culeselvalordelaimpresoraensusegundoao?cuntotiempodebepasar para que la impresora se deprecia por completo? 11.Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de produccin de una cortina es de $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. Halle elcostodeproduccinde10y100cortinas,comparelosresultadosqu encuentra? 12. Si no hay demanda para cierto artculo el precio unitario es 17 dlares y por cada unidad que se incrementa la demanda el precio disminuye 0.5 dlares.a.Escriba 5 parejas ordenadas que cumplan con la situacin particular b.Suponiendo que la funcin es lineal Halle la ecuacin de la funcin c.cul es el precio si se demandan 10 unidades? d.Cul es la mxima cantidad de unidades que se puede demandar? e.Grafique la funcin f.Suponiendo que la ecuacin oferta del mismo producto es p=5+0.3x, grafquela en el mismo plano a la anterior g.Elpuntodeinterseccineselpuntodeequilibrio,identifqueloyverifquelo, Qu significa? h.qu significa la pendiente en la ecuacin oferta? 13. El propietario de una construccin de 36 millones de pesos, la deprecia. El valor y (dadoenmillonesdepesos)de laconstruccindespusdexmesesdeusoes y= 36 0. 15x. a.Cul ser el valor de la construccin transcurridos 60 meses? b. Cunto tiempo pasa hasta que la construccin se deprecie por completo? 14. Larelacinentrelasgananciasanualespromediodehombresymujerescon distintosnivelesdeescolaridadsepuedemodelarpormediodelafuncinF= 0.518M+2.775,dondeMyFrepresentanlasgananciasanualespromedio(en miles de dlares) de hombres y mujeres respectivamente. Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 27 a.ConsiderandoFcomounafuncindeM,culeslapendientedeestafuncin? Interprete la pendiente como tasa de cambio. b. Cuandolasgananciasanualespromediodeloshombresalcanzan$30000,qu pronostica la ecuacin para las ganancias anuales promedio de las mujeres? 15. ElporcentajedeempresasquereclutaronactivamenteempleadosenInternet entre 1998 y 2000 se puede modelar conP(x)=26.5x- 194.5 por ciento, donde x es el nmero de aos que han pasado desde 1990. Explique porque el modelo no es vlido hasta 1998. Encuentre P(7), P(8) y P(9) y piense en lo que significa. 16. Supongaqueunfabricantedecalculadorastienelafuncincostototal C(x) = 17x + 3 400 y la funcin ingreso total R(x) = 34x. a.Cul es la funcin de ganancia para las calculadoras? b. Grafique la funcin ganancia c.Cul es la ganancia de 300 unidades? Modelacin de Funcin Lineal 1.Los datos de la tabla muestran el nmero de familias vinculadas a un proyecto apcola en la Sierra Nevada de Santa Marta desde 1999 Ao199920002001200220032004200520062007 N de familias 12825337850362875387810031128 a.Escriba una ecuacin lineal de la situacin. b.Grafique la funcin c.Determine el nmero de familias que se pronostica estaran vinculadas en el 2010? d.Determine en qu ao aproximadamente se pronostica se tendran 2000 familias vinculadas al proyecto? 2.Debidoalcostodelamateriaprimaunafabricasevioprecisadaenaumentarel preciodesusartculo,loquerepercutienlasventas,lasiguientetablamuestra la variacin de las ventas con respecto al precio Costo225023002350240024502500255026002650 Venta400376352328304280256232208 Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 28 a.Suponiendo que la demanda es lineal escriba una ecuacin lineal de la situacin. b.Pronostique cuntos artculos vender a un precio de $3000. c.Pronostique a qu precio no vender nada Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 29 TALLER 1.Encuentre la pendiente (m), el intercepto (b) y las grficas de las siguientes funciones: a.y =-3x + 2 b. y = 4x 1 c.10x + 5y =15

2. Encuentre la ecuacin de la funcin que pasa por los puntos: a. (5,-9) y (6,8) b. (8,8) y (4,-4) 3.Escriba la ecuacin y trace la grfica de cada funcin que: a.Tiene como pendiente -3 e intercepto -1 b. Tiene como pendiente 4 y pasa por el punto (-3,2) c.Pasa por los puntos (-1,5) y (3,7) d. Pasa por el punto P(2, -3) y es paralela a la recta de ecuacin y = -x + 7. 4.Determinesilossiguientesparesderectassonparalelas,perpendicularesoninguna de las anteriores: a. 6x 4y = 12; 3x 2y = 6 b. 16x + 4y = 4;y=

x + 7 5.Elcostodiariopromedio,C,parauncuartoenunhospitaldeunaciudadseelevode $59.82dlaresporaoen1990a$1128.50en1996.Suponiendoquelafuncines lineal a.Determine la ecuacin del costo (c) respecto al nmero de aos (t)desde 1990. b. Calcule el costo promedio, aproximado,para el 2010 6. El precio promedio p de los televisores de plasma se puede expresar como una funcin linealdelnmerodeaparatosvendidosN(enmiles).Adems,conformeNaumentaba enmil,pcaaUS$10.40ycuandosevendan6485aparatos(enmiles),elprecio promedioporaparatoeradeUS$504.39.Escribalaecuacindelarecta determinada por esta informacin. Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 30 FUNCIN CUADRTICA La ecuacin general de una funcin cuadrtica tiene la forma y = f(x) = ax2 + bx + c, , donde a, by c eR y a= 0. La grfica de la funcin cuadrtica tiene una forma distintiva llamada parbola. Si a > 0, la parbola abre hacia arriba y si a < 0, abre hacia abajo. Lalneaverticalquepasaporelvrticedeunaparbolarecibeelnombredeejede simetraporque una mitad de la grfica es un reflejo de la otra mitad a travs de esta otra lnea. La ecuacin del eje de simetra es abx2=El valor ptimo (ya sea mximo o mnimo) de la funcin se alcanza en |.|

\| =abx2 y es: xy y = -x^2+2x+1a < 0x=-b/2af(-b/2a)V(-b/2a, f(-b/2a))Mximo RelativoEje de SimetraValor ptimoxy y = x^2+2x-1a > 0x=-b/2aEje de SimetraValor ptimof(-b/2a)V(-b/2a, f(-b/2a))Mnimo Relativo Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 31 |.|

\| abf2. Elvrtice,eselpuntodondelaparboladalavuelta,eselpunto mnimosia>0yun punto mximo si a < 0. La funcin cuadrtica tiene su vrtice en Los interceptos de x de la grfica de una funciny = f(x) son los valores dexpara los cuales f(x) = 0 llamados los ceros de la funcin. Los ceros de la funcin cuadrtica son las soluciones de la ecuacin cuadrtica que se obtienen aac b bx242 =Para la grfica de la funcin, se puede presentar dos situaciones1.Si la funcin tiene dos interceptos, se unen estos con el vrtice 2.Para aquellos casos en que la funcin tenga un o ningn intercepto es necesario tabular la informacin y se recomienda tomar mnimo tres valores a la izquierda y tres valores a la derecha del eje de simetra. Concavidad y Convexidad DiremosqueunafuncinesCNCAVAopresentasuconcavidadhaciaabajocuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva. ||.|

\||.|

\| =abfabV2,21 2 3211xyConcava Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 32 Anlogamente, diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva. Lospuntosenlosquelacurvaturapasadecncavaaconvexaoviceversasellaman PUNTOS DE INFLEXIN.Ejercicio-1. Encuentreelejedesimetra,elvalorptimo(determinesihayunvalormximoo mnimo), el vrtice, los interceptos y dibuje cada funcin. y=x2 + 4x + 4 y=x2 - 6x + 4 y=x2 4 y = 2x2 +18x y=x- x2y = -2x2 + 16y = -x2 + 5x - 4 Ejercicio-3 Determine la ecuacin cuadrtica que pasa por los puntos (1,8), (3,20) y (-2,5) La ecuacin general de las funciones cuadrticas es de la forma y = ax2+ bx + c (Ec1) Comoseconocen3coordenadasdebemoshallarloscoeficientesa,byc.Remplazando cada coordenada en la ecuacin obtenemos un sistema de ecuaciones lineales de de 3x3, que resolviendo hallaremos los valores de los coeficientes as: Para (1,8); x = 1; y = 8, remplazando (Ec1) 8 = a(1)2 + b(1) + c 8 = a + b + c (Ec2) 1 1 211234xyConvexa Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 33 Para (3,20); x = 3; y = 20, remplazando (Ec1) 20 = a(3)2 + b(3) + c 20 = 9a + 3b + c (Ec3) Para (-2,5); x = -2; y = 5, remplazando (Ec1) 5 = a(-2)2 + b(-2) + c 5 = 4a - 2b + c (Ec4) Multiplicamos la (Ec2) por -1; -8 = -a b c (Ec5) Sumamos la (Ec3) y la (Ec5); 20 = 9a + 3b + c -8 = - a b c 12 = 8a+ 2b Factorizando: 6 = 4a + b (Ec6) Sumamos la (Ec4) y la (Ec5); 5 = 4a - 2b + c -8 = - a b c -3 = 3a- 3b Factorizando: -1 = a b (Ec7) Sumando la (Ec6) y (Ec7): 6 = 4a + b -1 =a b 5 = 5adespejando Remplazando en la (Ec6): 6 = 4(1) + b despejando y resolviendo Remplazando en (Ec2): 8 = 1 + 2 + c despejando y resolviendo Remplazando en (Ec1) la ecuacin sera: Ejercicios-3 Determine las ecuaciones cuadrticas que pasan por los puntos indicados: (1,0)(-2,6) y (2,6)(1,-1) (-3,33) (2,-8)(0,-4) (3,5) y (-2,0) a = 1 b = 2 c = 5 y = x2 + 2x + 5 Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 34 Problemas de Aplicacin de Funcin Cuadrtica Resuelva cada uno de los siguientes problemas: 1.Unatiendavenderyunidadesdeunproductoenparticularcuandosegastanx dlares en publicidad del producto, y y = 50x x2 a.Calcule el valor ptimo Qu significa? Inicialmente debemos hallar el eje de simetra x=-b2a Comparando con y= ax2 + bc + c; a=-1, b=50 y c=0 Remplazando: x=b2a=502(1)=502=25 Remplazando en la funcin original: y = 50(25) (25)2=1250 625= 625 Comoa0ya1,entonceslafuncinf(x)=axesunafuncin exponencial. Consideremoslagrficadelafunciny=2x,quemodelaelcrecimientodediversas aplicaciones

Una funcin especial que se presenta con frecuencia en economa es

, donde es un nmero irracional fijo (aproximadamente 2.71828). Lasfuncionesexponencialesdebaseeconfrecuenciaaparecendemaneranatural,el crecimientodeldineroquesecapitalizacontinuamenteseobtienemediantelafrmula

, donde P es el capital original, r la tasa de inters y t el tiempo en aos. El nmero e aparecer como la base de la mayor parte de las funciones exponenciales que puedan encontrarse.

Las funciones de la forma f(x)=a-x yf(x) = e-kx representan funciones de decaimiento exponencial. Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 41 Ejercicios Emplearlacalculadoraparahallarlaspotenciasindicadasdee(aproximarla respuesta en 3 decimales) 100.5 8-2.6 31/35-2/32 x 5-2/3 e2e-2 e0.05e-0.51 e-0.5 + 1.2 Problemas de Aplicacin 1.Inters compuesto capitalizado Si se invierten P dlares a una tasa de inters anual r(expresadaendecimal)yelinterssecapitalizakvecesporao,elsaldoB(t) despus de t aos ser

Supngase que se invierten us$5 000 a una tasa de inters anual del 10%. Calcular el saldodespusde10aossielinterssecapitaliza: Anualmente,Semestralmentey diariamente(365 das)Qu encuentra? 2.Inters capitalizado continuamenteSiseinviertenPdlaresaunatasadeinters anual r (expresada en decimal) y el inters se capitaliza continuamente, el saldo B(t) despus de t aos ser

Supngase que se invierten us$5 000 a una tasa de inters anual del 10%. Calcular el saldo despus de 10 aos si el inters se capitaliza continuamente 3.Supngasequeseinvierten5millonesdepesosaunatasadeintersanualdel7%. Calcularelsaldo(enmillones)despusde10aossielinterssecapitaliza: Anualmente,Semestralmente,diariamenteycontinuamente(365das)Qu encuentra? 4.SiseprestanPdlaresduranteNmeses,concapitalizacinmensualaunatasade inters anual r (expresada en decimal), el prstamo puede pagarse con cuota mensual de

, donde i es el pago del inters por periodo. Determinar la cuota mensual para comprar un automvil nuevo que cuesta 35 millones de pesos, si la cuota inicial es de 10 millones y el resto se financia a un periodo de 5 aos a una tasa anual de 6% capitalizada mensualmente (ntese que i=

) Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 42 5.Para comprar una casa se hace un prstamo de 150 millones de pesos al 9% de inters anual,capitalizadomensualmentedurante30aoscuntodebepagarse mensualmente para amortizar la deuda? 6. Siseinvierten$10.000conunatasadeintersdel6%compuestomensualmente, entonceselvalorfuturodelainversindespusdexaosestadadopor

. Encuentre el valor futuro de la inversin despus de 5 aos y de 30 aos. 7.Unestudioestadisticoacercadelfuncionamientodeunartefacto,muestraquela fraccin de estos que funcionan despus de t aos de uso es aproximadamente

a. Qu porcentaje de artefactos se espera funcionen despus de 4 ao? b.Cuntosaospasaranaproximadamenteparafuncionenlamitaddelos artefactos? 8.Unacompaahavistoquelademandamensualdesunuevalneadecomputadoras domesticas t meses despus de introducirlas en el mercado est dada por D(t)= 2 000 1 500e-0.05t (t > 0) Grafique la funcin y responda b.cul es la demanada despus de un mes y un ao? c.cunto tiempo debe pasar para que se demanden 1 000 unidades. 9. El poder adquisitivo P de un ingreso fijo de $30 000 anuales (como pensin) despus de t aos, con una inflacin de 4% puede modelarse por medio de la frmula

Encuentre el poder adquisitivo despus de 5 aos y 20 aos 10.El nmero de fondos mutuos N, excluyendo los fondos del mercado monetario, para los aos seleccionados de 1978 a 2000, se pueden modelar por medio de

Donde t es el nmero de aos que han pasado desde 1975. a.Use el modelo para calcular el nmero de fondos mutuos en 1990 b. Useelmodeloparacalcularelaoenqueelnmerodefondosmutuos llegara 20 000. Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 43 FUNCIN LOGARTMICA Loslogaritmosfueronintroducidosenlasmatemticasconelpropsitodefacilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados clculos numricos. Utilizando logaritmos podemosconvertir:productosensumas,cocientesenrestas,potenciasenproductosy races en cocientes.Se llama logaritmo en base a del nmero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nmero. Donde a R, a > 0a 1, a se denomina base del sistema de logaritmos.que se lee : "el logaritmo en base a del nmero x es b" , o tambin : "el nmero b se llama logaritmo del nmero x respecto de la base a " . Un logaritmo no es otra cosa que un exponente. Propiedades

Tipos de Logaritmos Logaritmos Comunes: Tambin llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el nmero 10. Se escriben log10 x = log x LogaritmosNaturales:TambinllamadosNeperianosohiperblicostienenporbaseel nmero e. Se escriben loge x = ln x Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 44 Ejercicio-5 Escriba cada ecuacin en forma exponencial 4 = log2 16 4 = log3 81

Ejercicio-6 Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial

Ejercicio-7 Escriba cada ecuacin en forma logartmica 25 = 32 53 = 125 4-1 =

91/2 = 3 Ejercicio-8Escribacadaexpresincomolasumaodiferenciadedosfunciones logartmicas que no contienen exponentes

Ln (x + y)(4x + 5)

Ejercicio-9 Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones: 2x 1= 5

5(3x+2) 1 = 14 Ejercicio-9 Use la calculadora para determinar

Problemas de Aplicacin 1.La ecuacin de la demanda de cierta mercanca esX=5000 1000 ln(p + 40) , donde se demandan x unidades cuando el precio unitario es de pdlares. Calcular la cantidad de unidades demandadas cuando el precio unitario es 5 y 10 dlares Si p=5, Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 45 x = 5000 - 1000 ln( 5 + 40)=5000 - 1000 ln(45)= 5000 - 1000(3.8) x= 5000-3806.66=1193.33 Es decir a un precio de 5 dlares se demandaran aproximadamente 1193 unidades Si p=10 x = 5000 - 1000 ln( 10 + 40)=5000 - 1000 ln(50)= 5000 - 1000(3.91) x= 5000-3912.02=1087.97 Es decir a un precio de 10 dlares se demandaran aproximadamente 1088 unidades. Porlotantoalincrementarseelpreciode5a10dlareslasunidadesdemandadas disminuyen de 1193 a 1088. 2. Una compaa encuentra que la cantidad de dlaresy que deben gastar semanalmente en publicidad para vender x unidades de un producto est dada por

a.Calcule el gasto publicitarioque se necesita para vender 100,200 y 300 unidades, compare los resultados que encuentra.b. Calculeelnmerodeunidadesquesedebenvenderparagastar100dlares semanales en publicidad. 3. Digamos que la funcin demanda para un producto est dada por

a.Cul ser el precio si se demandan 19 unidades? b.Cuntas unidades sern demandadas si el precio es de 29. 4? 4. Suponga que el costo total (en dlares) para un producto est dado por C(x) = 1500 + 200 ln(2x +1) , donde x es el nmero de unidades producidas a.Cul ser el costo de producir 200 unidades? b.Cuntas unidades se producirn con 3000 dlares? 5.El ingreso total en dlares por la venta de x unidades de un producto est dado por R(x) = Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 46 Encuentre el ingreso cuando se venden 100 y 200 unidades e interprete el resultado 6.Supongaquelaofertadexunidadesdeunproductoaunpreciopdedlaresesta dado por P = 10 + 50 ln(3x + 1).a.Encuentre el precio de oferta cuando el nmero de unidades es 33. b. Cuntas unidades se ofrecen a un precio de 300 dlares 7.Lafuncindemandadeunproductoestdadaporp=

dondepeselprecio unitarioendlarescuandosedemandanxunidades.Encuentreelpreciocon respectoalnmerodeunidadesvendidascuandosevenden40y90unidadesqu encuentra? 8.El decaimiento de las ventas para un producto se obtiene por medio de

,dondeSeslaventasemanal(endlares)yxeselnmerodesemanasquehan transcurrido desde que termin la campaa publicitaria. Determinar1. Las ventas dos meses despus de culminar la campaa publicitaria. b. El nmero de semanas que deben pasar despus de culminar la campaa publicitara para que las ventas caiganpor debajo de los US$15 000. 9. LasNacionesUnidashanpronosticadolapoblacinmundialde1995a2150.Usando estasproyeccionessepuedemodelarlapoblacinmundial(enmillones)conla ecuacin

Donde x es el nmero aos transcurridos desde 1990. a.Suponga que en 1990 la poblacin mundial fue de 4 155 millones de habitantes. Use estemodeloparaencontrarcuntosaospasaranantesdequesedupliquela poblacin de 1990. b.Segn el modelo cul ser la poblacin en el 2008? 10.ElvalorVdeunobjetoalostaosdesuadquisicinsepuedemodelarconla expresin

, 0 t 10 Determine el valor del objeto 5 aos despus de adquirido.Cuntotiempodebepasar para que un objeto disminuya su valor en $10000 Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 47 11.Seestimaqueelporcentajedequefalleunaciertamarcadecircuitosde computadora despus de t aos de uso sea P(t)=100(1 e-0.1t) Grafique la funcin y responda lo siguiente a.Aproximadamente que porcentaje de circuitos que fallaran en 3 aos b. cunto tiempo debe pasar para que fallen el 60% de los circuitos. Modelacin de las Funciones Exponenciales 1.El producto interno bruto (PIB) de cierto pas (dado en millones de dlares) de us $ 100millonesen1980aus$165millonesen1990.SuponiendoqueelPIBcrece exponencialmente cul ser el PIB en el ao 2000? Como la aplicacin crece de forma exponencial su forma es:

(Ec1) ,dondep=165,p0=100,t=10ykesunaconstantedeproporcionalidad,quedebemos hallar as Remplazando

, aplicando logaritmo natural a ambos lados de la igualdad

, entonces k=0.05 Remplazando en la (Ec1) la ecuacin general de la aplicacin sera

Para hallar el PIB en el 2000 debemos tener en cuenta que t=20 remplazando

Lo que indica que para el 2000 el PIB ser aproximadamente de us$272 millones 2.El nmero total de hamburguesas vendidas (en millones) por una cadena nacional de comidas rpidas crece exponencialmente. Si se vendieron 4000 millones en 1986 y 12000 en 1991. cuntas se vendern en el 2008? 3.Cierta compaa adquiri hace tres aos cierta maquinaria en us$500 000. Su valor actualdereventaesdeus$320000.Sielvalordelamaquinariadisminuyeen forma exponencial. Encuentre la funcin que representa la situacin y cul ser el valor de la maquinaria en cuatro aos Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 48 4.Silapoblacindeciertomunicipio erade 100 000 habitantes en 1990 y 110 517enel2000,ysiseaplicalafrmulay=P0ehtalcrecimientodelapoblacin, calcule la poblacin en el 2015. TALLER TEMA: Funcin Exponencial y Funcin Logartmica 1.Calcule el valor de la potencia y exprese en forma logartmica PotenciaLogartmicaPotenciaLogartmica 54

2. Escriba cada ecuacin en forma exponencial LogartmicaExponencialLogartmicaExponencial log3 27=3 log3 243=5

= 3. Indique el valor dex escribiendo las ecuaciones en forma exponencial ExpresinValor de xExpresinValor de x

4.Escriba cada expresin como la suma o diferencia de dos funcioneslogartmicas que no contienen exponentes Expresin Equivalencia Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 49

5.Use la calculadora para determinar ExpresinResultadoExpresinResultado

6. El decaimiento de las ventas para un producto se obtiene por medio de

, dondeSeslaventasemanal(endlares)yxeselnmerodesemanasquehan transcurrido desde que termin la campaa publicitaria. Determinar: a.Las ventas dos meses despus de culminar la campaa publicitaria. b.El nmero de semanas que deben pasar despus de culminar la campaa publicitara para que las ventas caiganpor debajo de los US$15 000. Funciones con Tecnologa UtilicelahojadeclculoExcelpararepresentar,tabularygraficarcadaunadelas siguientes funciones:

f(x) = 2(x3) f(x) = 3-2x f(x)= e-x

f(x) = 50(1+e10x) f(x)=

f(x)=14.1 ln(x) f(x)=ln (x-3) f(x)=

f(x)=

Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 50 FUNCIN COCIENTE Dadasdosfuncionesf(x)yg(x)cualesquiera,elcocientedef(x)yg(x),denotadopor

,esotrafuncindefinidadondeygnopuedeseriguala0porquetendramosuna indeterminacin. Problemas 1.Elnmerodelibrasdeduraznopdebuenacalidadproducidosporunrbol promediodependedelnmerodelibrasdeinsecticidaxconelcualelrbolfue rociado, de acuerdo a la siguiente frmula Determine el nmero de libras de de durazno p de buena calidad si el rbol se roseacon 1, 3 y 5 libras de insecticida. 2.Como resultado de los avances tecnolgicos en la produccin de calculadoras cada vez ms poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en da. Si suponemos que dentro de x meses, el precio de cierto modelo ser

dlares Determine el preciode mercado de las calculadoras 6 meses y un ao despusde haber salido al mercado. Compare los resultados qu encuentra? 2. Supongaqueelpreciop(endlares)deunproductosedetermina,mediantela funcin , donde x son las unidades demandadas. a.Determine el precio cuando se demanda 300, 400 y 500 unidades b.Compare los resultados que encuentra Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 51 FUNCIN POR PARTES O PORTROZOS Algunas funciones por su estructura difiere su criterio para ciertos valores de la variable independiente (variable x), esto hace que en muchos casos se necesite hacer un estudio particulardelasmismas.Porestasvariacionesensucriterioselesdefinecomo funciones por partes o a trozos. Ejemplo. Dadas las funciones Determine: a.j(-1) Inicialmentedebemosubicarelrangodondeestelvalordelavariable independiente x, para el caso particular el valor est ubicado en el primer rango, j(-1)= (-1 + 2)3 + 1 = (1)3 + 1 = 1 + 1 = 2 b. j(0) El valor x=0 est ubicado en el segundo rango j(0)=3 + 0= 3 c.j(-2) El valor x=-2 est ubicado en el primer rango j(-2)= (-2 + 2)3 + 1 = (0)3 + 1 = 0 + 1 = 1 Determine 4 x2Si x < 2, rango 1 2.f(x) = x 2 Si x 2, rango 2 (x + 2)3 + 1Si x -1, rango 1 1.j(x) =3 + x Si x > -1, rango 2 Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 52 a. f(3) El valor x=3 est ubicado en el segundo rango f(3)=3 2 = 1 b.f(1) El valor x=1 est ubicado en el primer rango f(1)= 4 (1)2 = 4 1 = 3

x21 Si x 0

Si x < 2 3.j(x)= 4.j(x) =Si x > 0 Si x 2 Determine j(-1), j(0) y j(2) Determine j(-1), j(0) y j(2)

Si x < 1

Si x < 2 e. j(x)= d. j(x) = 2x2 + 1Si x 1Si x 2 Determine j(-1), j(0) y j(2) Determine j(-1), j(0) y j(2) Problemas de Aplicacin1.Cierta compaa de encomienda liquida los envos de acuerdo a0.80xSi 0 < x 50 C(x)=0.70xSi 50 < x 200 0.65xSi x > 200 , donde C(x) se da en dlares y x en kilogramos. Determine el costo de envio de 50 y 200 kilogramos Si x=50, por datos est ubicado en el primer rango, C(x)= 0.80x = 0.80 (50) = 40 El envio de 50 kilogramos tiene un costo de 40 dlares Si x=200, por datos est ubicado en el segundo rango, C(x)= 0.70x = 0.70 (200) = 140 El envio de 50 kilogramos tiene un costo de 140 dlares Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 53 Amayorcargamayorcosto,peroproporcionalmenteresultamseconmicoenviar mayor carga. 2.La ecuacin oferta para cierto producto es:

Determine el precio (enmiles de pesos) cuando se venden: a.2000 unidadesObserve que las x=2000 unidades estaran ubicadas en el 1 rango,

, es decir que cuando se ofertan 2000 unidades el precio sera 3.3mil de pesosb.7000 unidades Para este caso x=5000, entonces remplazamos en el segundo rango, remplazando

, es decir que cuando se ofertan 5000 unidades el precio sera 4.4mil de pesos c.14 000 unidades Ac x=14 000, entonces remplazamos en el tercerrango, remplazando

, es decir que cuando se ofertan 14 000 unidades el precio sera 4.8mil de pesos 3. Cierta compaa de envio de mercados lquida los envos de acuerdo a 120x+1200Si0.01 x 20 200x+1700Si 20 < x 30 C(x)= Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 54 250x+2200Si 30 < x 50 280x+2700Si 50 < x ,dondeC(x)sedaendlaresyxengramos.Determineelcostodeenviode20, 45, 30 y 60 gramos 4.La cantidadde desechos slidos descargados por la planta de tratamiento de aguas negras esta dada por la funcin 130si 0 t 1 -30t160si 1 < t 2 f(t)=100si 2 < t 4 -5t2 25t80 si 4 < t 6 1.25t2 26.25t + 162.5si 6< t 10 Dondef(t)semideentoneladas/daytsemideenaosdondet=0correspondea 1989. Qu cantidad de desechos slidosfueron descargados por da en 1991, 1995 y en el 2000? Parahallar lacantidaddedesechosslidosquesedescarganenunaoespecficose cuenta el nmero de aos que han pasado desde 1989 hasta dicho ao. Para 1991 hallamos el nmero de aos que han pasado desde 1989, 1991-1989=2 , es decir t=2, estara ubicada en el segundo rango, remplazando f(2)=-30(2)+160=-60+160=100 , indica que en 1991 se descargaron 100 toneladas/da de desechos slidos Para 1995 hallamos el nmero de aos que han pasado desde 1989, 1995-1989=6 , es decir t=6, estara ubicada en el cuarto rango, remplazando -5t2 +25t + 80 f(6)=-5(6)2 +25(6) +80=-5(36)+150+80=-180+230=50 , indica que en 1995 se descargaron 1400 toneladas/da de desechos slidos Para 2000 hallamos el nmero de aos que han pasado desde 1989, 2000-1989=11 , es decir t=11, est fuera de rango, es decir no aplica para este problema Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 55 5. Elcargomensualendlaresporxkilovatio/horadeelectricidadseobtieneporla funcin 100.094x Si 0 x 100 C(x )= 19.4 + 0.075(x 100)Si 100 < x 500 49.40 + 0.05(x-500) Si x < 500 Calcule el cargo mensual si se consumen: a.30 kilovatio/hora b. 150 kilovatio/horac. 1200 kilovatio/hora b. Losfondospresupuestalesparalosprogramaseducativos(enmilesdemillonesde dlares) entre 1965 y el 2000 se modelaron con la funcin 1.965t 5.65 cuando5 s t s 20 P(t)=0.095t2 2.925t + 54.15 cuando20< t s 40 Donde t es el nmero de aos que han pasado desde 1960. Determine el presupuesto para los programas de educacin en 1980 y el 2007. c.Los cargos mensuales (en dlares) de x kilowatts hora(Kwh) de electricidad usada por un cliente comercial se determina por medio de la siguiente funcin: 7.52 + 0.1079xsi 0sxs5 19.22 + 0.1079x si 5 c. Limite por la izquierda Significa que los valores de f(x) se aproximan al valor M cuando xc, aunque x < c. Consideraciones Especiales

El lmite de una funcin cuando x tiende a c es independiente del valor de la funcin en c, cuando existe Lim f(x) = L cuandox c, el valor de la funcin en c puede ser: Igual al lmite, Indefinido o definido pero diferente al lmite. Se dice que el lmite existe solo siL es un valor finito (nmero real) Propiedades de los Lmites Si k R, Lim k = k x c- ,M 0

xc x c

Lim f(x) = L x c+ Lim f(x) = M x c- Lim f(x) = L x c Lim f(x) = M x c- Lim [f(x) g(x)] = L + M x c Lim [f(x) . g(x)] = L . M x c Lim f(x) = Lx cg(x) M Lim x = c x c Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 59 Ejercicios-1 Utilicelaspropiedadesdelmiteymtodosalgebraicosparaencontrarloslmites existentes

Limites Indeterminados Si Lim f(x) = Lim g(x) =0 cuando x tiende a c, entonces la expresin racional que tiene la forma

enx=c.Podemosfactorizarxcenf(x)yg(x),simplificarlafraccinpara encontrar una funcin equivalente en la cual exista el lmite. SiLimf(x)0y Lim g(x)=0cuandox tiendeac,entonces

noexiste.Eneste caso, los valores de f(x) / g(x) son ilimitados cerca de x=c. Ejercicio Calcule cada limite si existe

Continuidad en un punto La funcin f es continua en x = c si se satisfacen todas las condiciones siguientes 1.f(c): exista 2.Lim f(x) cuando x tienda a c exista 3.Lim f(x) = f(c), cuando x tienda a c exista Si no satisface una de las tres condiciones decimos que la funcin es discontinua en c -Toda funcin polinmica es continua paratodos los nmeros reales. Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 60 -Toda funcin racional es continua en todos los valores de x excepto en aquello cuyo denominador es cero. Ejercicio-1 Encuentre los valores de x donde las siguientes funciones son discontinuas

Ejercicio-2 Determine si cada funcin es continua o discontinua en el de x dada

x+ 2, >0

4x - 7, x >2 Lmite de las Funciones Definidas por Partes El lmite de una funcin por partes o por trozos f(x) existe, si el lmite de f(x) cuando x tiende a cpor la izquierda es igual al lmite f(x) cuando x tiende a c por la derecha. Es decir: Determine si los lmites de cada funcin existen (x + 2)3 1 Si x -1 4 x2Si x < 2 a.f(x) =b. g(x)= 1 - xSi x > -1 x 2 Si x 2 Ejercicios

Lim f(x) = L x c+ Lim f(x) = M x c- = Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 61

TALLER 1.Calcule el lmite por tabulacin de la funcin

,cuandoxtomavalorescercanos(porizquierdayderecha)alpuntodondela funcin se hace indeterminada 2.Calcule cada uno de los siguientes limites (si existen)

f(x)=

3.De la grfica de la funcin f(x)=-x2+4xobtenga el lmite cuando x toma valores cercanos a: a.Cero (0) b.2 c.4 1 2 3 4 511234xy y = -x^2+4x Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 62 Problemas de Aplicacin 1.El nmero de libras de durazno p de buena calidad producidos por un rbol promedio depende del nmero de libras de insecticida x con el cual el rbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente frmula a.Determine el lmite de p cuando x tiende a 0 y a 3 b.Qu significa cada expresin? Qu encuentra? 2. Elcostototaldelaproduccindexlitros deundeterminadoproductovienedado por

a.Encuentre

)b.Cul es el significado de cada expresin? c.Compare los resultados e interprtelos 3. Comoresultadodelosavancestecnolgicosenlaproduccindecalculadorascada vez ms poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en da. Si suponemos que dentro de x meses, el precio de cierto modelo ser

, dlares. a.Encuentre

)b.Cul es el significado de cada expresin? c.Compare los resultados e interprtelos 4. Durantelosprimeroscuatromesesensuempleo;lasventas mensualesS(enmiles de dlares) de un vendedor nuevodependen del nmero de horas x de capacitacin de la siguiente manera: Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 63

, x 4 a.Encuentre

,

b.Cul es el significado de cada expresin? c.Compare los resultados e interprtelos 5. Las ventas y ( en miles de dlares) se relacionan con los gastos de publicidad x ( en miles de dlares) segn

, x 10 a.Encuentre

,

b.Cul es el significado de cada expresin? c.Compare los resultados e interprtelos 6. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de

a.Encuentre

,

b.Cul es el significado de cada expresin? c.Compare los resultados e interprtelos 7. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de

a.Encuentre

,

b.Cul es el significado de cada expresin? c.Compare los resultados e interprtelos 8. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de

a.Encuentre

,

b.Cul es el significado de cada expresin? c.Compare los resultados e interprtelos Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 64 9. Supongaqueelpreciop(endlares)deunproductosedetermina,mediantela funcin , donde x son las unidades demandadas. a.Encuentre

,

b. Cul es el significado de cada expresin? c.Compare los resultados e interprtelos 10. Elcargomensualendlaresporxkilovatio/horadeelectricidadseobtieneporla funcin 100.094x Si 0 x 100 C(x )= 19.4 + 0.075(x 100)Si 100 < x 500 49.40 + 0.05(x-500)Si x < 500 Encuentre el lmite del cargo mensual cuando el consumo tiende a 100 y a 500 Kilovatio/hora Limites Infinitos Alevaluarlafuncinf(x)=1/x,paravaloresdexmuygrandes,f(x)nuncasevuelve negativo, aunque ningn valor de x hace que 1 / x sea igual a cero, es fcil ver que 1 / x se aproxima a cero a medida que x se hace ms grande, lo anterior se denota

Propiedades Si c es cualquier constante entonces Ejercicio-3 Evaluar cada lmite Lim 1 = 0 xx Limc = c y Limc = c x+x- Limc =0, donde p>0x+xp Limc =0, donde n>0x-xn Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 65 Problemas de Aplicacin 1.Elnmerodelibrasdeduraznopdebuenacalidadproducidosporunrbol promediodependedelnmerodelibrasdeinsecticidaxconelcualelrbolfue rociado, de acuerdo a la siguiente frmula a.Determine el lmite de p cuando x tiende ab. Qu significa la expresin? c.Interprete el resultado 2.Se pronostica que la poblacin de cierta ciudad pequea t aos a partir de ahora es

Determine la poblacin a largo plazo 3.SupongaqueelnmeropromediodeminutosMquerequiereunempleadonuevo para ensamblar una unidad de un producto est dado por

, donde t es el nmero de das en el trabajo.a.Encuentre

b.Cul es el significado de la expresin? c.Interprete elresultado. 4.Suponga que la demanda de un producto se define mediante

Donde p es el precio y q es la cantidad solicitada a.Encuentre

b.Cul es el significado de la expresin? limx3x1limx3x1 limxx31x34 limx4x25x24xlimx3x25x6x1 limx5x384x25x Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 66 c.Interprete elresultado. 5.ElnmerodeestudiantesporcomputadorenlasescuelaspblicasdeEstados Unidos se puede modelar con la funcin ,dondexeselnmerodeaosquehantranscurridodesdeelaoescolarque finalizo en 1981 a.Encuentre

b.Cul es el significado de la expresin? c.Interprete elresultado. 6.Elvolumendeventas,y(enmilesdedlares),serelacionaconlosgastosde publicidad x(en miles de dlares) segn

a.Encuentre

b.Cul es el significado de la expresin? c.Interprete elresultado. 7.El porcentaje p de impurezas que se puede eliminar de las aguas residuales de un proceso de fabricacin con un costo C dlares se obtiene mediantes

Encuentre

a.Cul es el significado de la expresin? b.Interprete elresultado. 8.SupongaqueelcostoCdeeliminarelporcentajepdeimpurezasdeaguas residuales de un proceso de fabricacin se obtiene con

Encuentre

a.Cul es el significado de la expresin? b.Interprete elresultado. 9. Comoresultadodelosavancestecnolgicosenlaproduccindecalculadorascada vez ms poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en da. Si suponemos que dentro de x meses, el precio de cierto modelo ser

Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 67 , dlares. a.Encuentre

)b.Cul es el significado de cada expresin? c.Interprete el resultado TALLER TEMA: LMITES 1.Determineel lmite de cada funcin tabulando los datos a.

b.

2.La grfica muestra la funcin y= x3 - 1, use la grfica para calcular el lmite de f(x) cuando x toma valores prximos a 1 y a 0 3.Lagrficamuestralafunciny=x2+2x,Uselagrficaparacalcularellmitede f(x) cuando x toma valores prximos a -2, -1 y 0 Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 68 4.Calcule cada uno de los siguientes lmites lim1

3223 4 limx13

3x19x21 limt024ttlimx0x22x

2x+1, Si x>3

10-x, Si x3

, Si x 0 a la izquierda y f`(x) < 0 a laderechadelvalorcrtico,elpunto crtico es un punto mximo relativo Si f(x) < 0 a la izquierda yf(x) > 0 a la derecha del valor crtico es un punto mnimo relativo f(-1)=18 y f`(1)=-18 Hay un mximo f(3)=-18 y f`(5)=30 Hay un mnimo Ejercicio.Determinelosmximosymnimosrelativosdecadafuncin,utilizandola prueba de la primera derivada y = x3 3x + 2y = 3x x3 y = x3 12x + 2 y = -x2 + 6x + 6y = x4 8x2 + 3y = x2/3 + 2

y= x3 3x - 4 y = 1 3x+ 3x2-x3

Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 81 Prueba de la segunda derivada Paraencontrarlosmximosymnimosrelativosdeunafuncinrealicelossiguientes procedimientos: NProcedimientoEjemplo 1Encuentrelaprimeraderivadadela funcin.

2Igualeladerivadaa0ydespejelos valoresdexquesatisfacenf`(x)=0.K. Estossedenominanvalorescrticos. Losvaloresquehacenquef(x)sea indefinida tambin son valores crticos.

Entonces si 6x=0, x=0Six 4 = 0, x = 4 Los valores crticos son 0 y 4 3Sustituyalosvalorescrticosenla funcinoriginalparaencontrarlos puntos crticos Lospuntoscrticosson(0,6)y (4,-58) 4Evale f(x) en cada valor crtico para el cual f`(x)=0 Si f(x0) 0, un mnimo relativo ocurreen x0 Si f(x0) = 0 f(x0) es indefinida, lapruebadelasegundaderivadafalla; use la prueba de la primera derivada f(x)=12(0)-24=-24 Ocurre un mximo relativo f(x)=12x-24 f(-4)=12(4)-24=24 Ocurre un mnimo relativo Ejercicio.Determinelosmximosymnimosrelativosdecadafuncin,utilizandola prueba de la segunda derivada

y = 1 3x+ 3x2-x3 Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 82 Ejercicios 5.Encuentre los valores crticos, los puntos crticos y determine los mximos o mnimos relativos si existen. a.f(x) = x2 4x b. g(x) =-t2 + 6t + 6 c.h(x) =x3 3x2 + 4 d. i(x) =

x4 -3x2 + 4x- 8 e.j(x) =

6.Se estima que un trabajador de un taller que produce marcos puede pintar y marcos en x horas despus de comenzar a trabajar a las 8:00 a.m., se puede modelar con la expresin y = 3x + 8x2 - x3 a.Encuentre los valores crticos de esta una funcin Hallamos la primera derivada de la funcin y= 3 + 16x 3x2 Igualamos la derivada a cero: 3 + 16x 3x2 = 0Utilizandolaecuacingeneral -b

b2-4ac2aparalasolucindeunaecuacin cuadrtica ax2+bx +c =0, obtenemos dos soluciones x1=5.5 y x2=-0.1 b.Qu valores crticos tienen sentido en este problema? El valor que tiene sentido para el problema es 5.51, por lo que x es el nmero de horas trabajadas despus de iniciar labores y este no puede ser negativoc.Encuentre los puntos crticos Remplazamos el valor crtico 5.5 en la funcin original Y= 3(5.5) + 8(5.5)2 - (5.5)3 = 16.5 + 242- 166.3 = 92 El punto crtico esta en (5.5, 92) d.Determine los mximos o mnimos relativos si existen Qu significa? Hallamoslasegundaderivadadelafunciny=166x,remplazamoselvalor crtico, y=16 6(5.5) = -17Como y 0 -Regla de la cadena para las funciones logartmicas

Ejercicios. Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones: f(x) = 4 ln (x)f(x) =ln (8x)f(x) = ln (4x + 9)f(x) = ln (8x3-2x) 2x f(x)=ln(x) ln(x-1)f(x)=

f(x)=ln(x-1)+ln(2x+1)f(x)=ln[(x-1)(2x+1)] f(x)=

f(x)=

f(x)=ln[t3(t2-1)] f(x)=

Ejercicios. Encuentre los mximos y mnimos relativos de cada funcin si existen f(x) = x ln (x)f(x) = x2 ln (x)f(x) = x2 8ln(x)f(x) = ln (x) x Problemas de Aplicacin 18. La ecuacin de la demanda de cierto articulo est dada por

,calculelatasadecambiodelasunidadesdemandadasconrespectoalprecio cuando p=2 19. Suponga que el costo total (en dlares) para un producto est dado por Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 87 C(x) = 1500 + 200 ln(2x +1) , donde x es el nmero de unidades producidas a.Encuentre la funcin costo marginal (es decir C(x)) b.Encuentre el costo marginal cuando se producen 200 unidades e interprete el resultado 20. El nmero t de aos que una inversin tarda en duplicarse es una funcin de la tasade inters r compuesta continuamente, de acuerdo con t

a.Conquetasa

cambiaeltiemporequeridorespectodersir=10%, compuesto continuamente b. Que sucede con la tasa de cambio si r se hace muy grande o muy pequea 21. El ingreso total en dlares por la venta de x unidades de un producto est dado por R(x) = a.Encuentre la funcin ingreso marginal b.Encuentreelingresomarginalcuandosevenden100unidadeseinterpreteel resultado 22. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dlares esta dado porP = 10 + 50 ln(3x + 1) Encuentre la razn de cambio del precio de oferta cuando el nmero de unidades es 33. 23. La funcin demanda de un producto est dada por p =

, donde p es el precio unitario en dlares cuando se demandan x unidades. Encuentre la razn de cambio del precio con respecto al nmero de unidades vendidas cuando se venden 40 y 90 unidades qu encuentra? 24. Unfabricantedeterminaquesevendernxunidadesdeciertoartculodelujo cuando el precio sea p(x) = 112 x ln(x3) cientos de dlares por unidad a.Encuentre la funcin ingreso (x*p(x)) y de ingreso marginal (p(x)). b.Determine el ingreso marginal obtenido al producir la quinta unidad? 25. Enunnegocioseestimaquecuandoseempleanxmilesdepersonas,suutilidad ser p(x) millones de dlares, dondeP(x) = 10 + ln

-12x2, para x > 0 Qu nivel de empleo maximiza la utilidad? cul es la utilidad mxima? Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 88 26. Entre los aos 1976 y 1998, el porcentaje de madres que regresaron al trabajo un ao despus de haber dado a luz se determina mediante w(x) = 1.11 + 165.94 ln (x) donde x es el nmero de aos despus de 1970. Si este modelo es preciso despus de 1998con que razn cambiar el porcentaje en el 2009? 27. Encuentre la funcin ingreso marginal si la funcin de demanda es

Derivada de las Funciones Exponenciales -Derivada de

: ex = ex -Regla de la cadena para

: eh(x)=h (x) eh(x) Ejercicios. Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones: f(x) = 4 ex f(x) = e5xf(x) = 3e4xf(x) = 3e4x+1 f(x) = e^(x2+2x-1) f(x)=x2 exf(x)=(x2+3x+5) e6xf(x)=(1 - 3ex)2 f(x)= e(-1/2)x f(x)= ex ln(x)f(x)=

f(x)= eln(x) Ejercicios. Encuentre los mximos y mnimos relativos de cada funcin si existen f(x) = x exf(x) = x e2-xf(x) = x2 e-x f(x) = ex + e-x Problemas de Aplicacin 1.La ecuacin de la demanda para cierta clase de articulo est dada por: x = 5 000e0.04p , donde se demanda x unidades cuando el precio es p. a.Halle x Derivando x= 5 000 e0.04p 0.04 x= 200 e0.04p b. Calcule x cuando p=25 Remplazandox= 200 e0.04(25)e1

Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 89 c.Qusignifica?Sielprecioseincrementaen26lasunidadesdemandadas disminuyen en 74. 2.Unestudianteadquieregrannmerodeconocimientosduranteelrepasoparaun examen.Enuntiempodetsemanasdespusdelexamenelporcentajedeesos conocimientos que el estudiante es capaz de recordar est dado por

a.Calcule P(t) b.Calcule P(0) y P(1). Qu significan? Interprete los resultados 3.Unacadenadetiendafemenina,determinquetdasdespusdeconcluiruna promocin de ventas, el volumen de ventas estaba dado por

, , millones de pesos. Encuentre la razn de cambio del volumen de ventas respecto al nmero de das si t=3. Qu significa? 4.Elpreciodeciertoarticuloendlaresporunidadeneltiempot(medidoen semanas)estdadoporp=8+4e-2t+te-2t,determinelatasadecambiodelprecio respecto al tiempo si t=2. Interprete el resultado. 5.La depreciacin de unos bienes industriales se deprecian a una razn tal que su valor contable dentro de t aos ser V(t)=50 000e-0.4t dlares, con qu rapidez cambiar el valor contable de los bienes dentro de 3 aos? 6.Segn la Internet Society, las conexiones de Internet estn proliferando a una razn cada vez ms creciente. El nmero de computadores husped (en millones) se estima en N(t)= 3.45e0.64t, en t aos (t=0 corresponde al principio de 1994). Con qu rapidez aumento la cantidad de computadores husped en 1996 y 1999? 7.En un estudio realizado en el 2000, el porcentaje proyectado de hogares que usa la banca en lnea es f(t)=1.5e0.78t , donde t se mide en aos y t=0 corresponde al inicio del 2000. Halle f(t), calcule f(4) interprete el resultado. 8.Losviajesareoshanaumentadodrsticamenteenlosltimos30aos.Enun estudio realizado en el 2000, una empresa area previ un incremento exponencial Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 90 anmayorenlosviajesareoshastael2010.Lafuncinf(t)=666e0.0413t proporcionalacantidaddepasajeros(enmillones)paraelaot,dondet=0 correspondeal2000.Determinef(t)qusignifica?,calculef(5)yf(9) interprete los resultados 9.Siseinvierten$pdurantenaosconunatasadeintersr(dadoendecimales) compuestocontinuamente,elvalorfuturodespusdenaosestadadoporla funcin S= p0.1n Calcule la tasa de crecimiento del valor futuro de una inversin de 2 millones de pesos a 1 ao. 10. Cierta mquina industrial se deprecia de manera que su valor despus de t aos esQ(t) = 20 000 e-0.4t dlares. A qu ritmo cambia el valor de la mquina con respecto al tiempo despus de 5 y 10 aos? Qu encuentra? 11.La demanda de consumo de cierto artculo es D(p) = 3 000 e-0.01p unidades por mes cuando el precio de mercado es p dlares por unidad. Encuentre la tasa de cambio de la demanda con respecto para p=100 y p=200. Qu encuentra? Derivada Implcita La diferenciacin implcita es una tcnica para derivar funciones que no estn dadas en la forma usual y = f(x). Una ecuacin de laforma F(x,y) = 0, expresa a y como funcin dex en forma implcita. Se usa la palabra implcita puesto que ya y no est dada de manera explcita como funcin dex.sinembargosesuponeoquedaimplcitoquelaecuacindefineayporlomenos como una funcin derivable en x. Procedimiento para derivar implcitamente Paraunaecuacinquesupuestamentedefineaydemaneraimplcitacomounafuncin derivable enx, la derivada

puede encontrarse: 1.Derivar cada termino de la ecuacin respecto a x y y. Cuando se deriva respecto a y se le agrega

. Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 91 2. Despeja

, y tenga en cuenta las restricciones. Ejercicio.Encuentre

mediantediferenciacinimplcitaeindiquelasrestriccionessi existen. 1.

La ecuacin se restringe en y=0 2.

La ecuacin se restringe en y=0 3.

, la ecuacin se restringe en x=0 4.

5.

Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 92

6.

7.

8.

9.

10.

Problemas de Aplicacin 1.La demanda de cierto producto est dada por la ecuacinp2 + q2 = 2500, donde q son lasunidades que puedenvenderse a una precio de$p cada una. Determine la demanda marginal a un nivel de precio de 40 dlares. Interprete el resultado. 2.Suponga que la produccin semanal de una compaa relaciona las horas de trabajo, x,y los dlares de inversin de capital, y, por medio de

Encuentre la razn de cambio de la inversin de capital con respecto a lashoras detrabajo,cuandolashorasdetrabajoson512ylainversindecapitalesde$64 000 3.Supongaqueelvolumendeventasdeuncompaay(enmilesdedlares)se relaciona con los gastos de publicidad x (en miles de dlares) de acuerdo con xy 20x + 10y = 0 Encuentrelarazndecambiodelvolumendeventasrespectoalgastode publicidad cuando x=10 ((miles de dlares) 4.Supongaqueunacompaapuedeproducir12000unidadescuandoelnmerode horas de trabajo calificadoy, y no calificado, x, satisfacen 384 = (x + 1)3/4 (y + 2)1/3 Encuentrelatasadecambiodelashorasdetrabajocalificadorespectodelas horasdetrabajonocalificadocuandox=255yy=214.Podemosusarestoparahaceruna aproximacindelcambiodehorasdetrabajocalificadorequeridopara Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 93 mantener el mismo nivel de produccin cuando se aumentan las horas de trabajo no calificada en una hora 5.Supongaquelaproduccinde10000unidadesdeciertacosechaagrcolase relaciona con el nmero de horas de trabajo, x, y el nmero de acres de la cosecha y , de acuerdo con 300x + 30 000y = 11xy 0.0002x2 5y Encuentre la razn de cambio del nmero de horas respecto al nmero de acres 6.Si la funcin de demanda de q unidades de un producto a $p por unidad est dada por p(q + 1)2 = 200 000 Encuentrelarazndecambiodelacantidadrespectodelpreciocuandop=$80. Interprete el resultado 7.Si la funcin de demanda de q unidades de un producto a $Ppor unidad est dada porp2(2q + 1) = 100 000 Encuentrelarazndecambiodelacantidadrespectodelpreciocuandop=$50. Interprete el resultado. 8.LosahorrosSdeunpassedefinenimplcitamenteentrminosdesuingreso nacional I por medio de la ecuacin

, donde S e I estn dadas en miles de millones de dlares. Encuentre la propensin marginal al consumo cuando I=16 y S=12 9.Un fabricante planea vender un nuevo producto al precio de US$150 por unidad y estimaquesigastanxmilesdedlaresendesarrolloeymilesdedlaresen promocin,losconsumidorescompraranaproximadamente(320y/y+2)+(160x/x+4) unidadesdelproducto.SiloscostosdefabricacindeesteproductosonUS$50 porunidad,cuntodeberagastarelfabricanteendesarrolloycuantoen promocinparagenerarlamayorutilidadposibleenlaventadeesteproducto? Lic. Esp.Jos F. Barros Troncoso 94 [nota:Utilidad=(Ndeunidades)(precioporunidad-costoporunidad)-cantidad total gastada en desarrollo y promocin 10. Unalecheraproducelecheenteraylechedescremadaencantidadesxey galones, respectivamente. Suponga que el precio de la leche entera es p(x)=000-x, y el de la leche descremada es q(y)=100-y. Suponga que C(x,y) = x + xy + y es la funcindecostosconjuntosdelosproductos.Cules deberanserxeypara maximizar las utilidades? Elasticidad en la Demanda Elgradoderespuestadelosconsumidoresaloscambiosdelospreciosvarisengran medida en diferentes productos Costo del combustible consumo Precio de los medicamentos enfermos Siloscambiosdelosdelospreciossonconsiderables,decimosquelademandaes elstica;cuandoloscambiossonlevesenlademandadelproducto,sedicequela demanda es inelstica. Los economistas miden la elasticidad de la demanda en un intervalo dividiendo el cambio porcentual de la demanda por el cambio porcentual del precio. Definimos la elasticidad de la demanda en un punto (qA , pA) como =

(qA, pA) Loseconomistasclasificanlascurvasdelademandadeacuerdoconlarespuestadela demanda a los cambios de precios usando la elasticidad -Si > 1, la demanda es elstica y el decremento porcentual en la demanda es mayor que el porcentaje correspondiente al incremento porcentual en el precio. -Si