eMARCO METODOLÓGICO PARA LA ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD:

UNA EXPERIENCIA EN EL ÁREA DE MATEMÁTICAS

M. DOLORES DE PRADA VICENTE ()

RESUMEN. La gran diversidad de alumnos que transitan por las aulas de Educa-ción Secundaria Obligatoria hace necesaria la utilización de metodologias adaptadasa esta realidad. Esta investigación presenta una didáctica, para la enseñanza de lageometría, basada en la utilización de materiales diversificados. Cada uno de los ma-teriales se presenta con una guía para el profesor y una ficha de actividades que va lle-vando al alumno desde el reconocimiento de las figuras geométricas hasta el razona-miento, siguiendo los niveles de Van Hiele. La metodología se experimentó durantetres meses en seis institutos y tres centros concertados de un distrito de Madrid. Seutilizó un diseño de pretest-postest con grupo experimental y grupo de control. Laopinión de alumnos y profesores así como algunos de los resultados revelan la difi-cultad de las condiciones en que se desarrolla la actividad docente en esta etapa edu-cativa y el exiguo hábito de los alumnos para el trabajo con metodologfas acti-vas.También apuntan al mejor rendimiento de las alumnas en esta experienciaconcreta.

ABSTRACT. The great diversity of students that move in the Compulsory Sec-ondary Education classrooms makes it necessary to use methodologies adaptedto that reality. This research presents a didactics/methodology for teaching ge-ometry, based on the use of diversified materials. Each of these materials is pre-sented with a teacher' s guide and activities that takes the student from the recog-nition of geometric forms to reasoning following the levels of Van Hiele. Thismethodology was experimented for three months in 6 High schools and 3schools in one of Madrid districts. A design of pre-test- pos-test with an experi-mental group and a control group was used. Students and teacher' s opinion aswell as some of the results reveal the difficult conditions in which teaching activ-ity takes place at this educational level and the now unaccustomed students towork with active methodologies. They also show girls' better results in this expe-rience.

(*) Catedrática de Matemáticas e Inspectora de Educación.

Revista de Educación, núm. 330 (2003), pp. 419-447 419Fecha de entrada: 22-09-2001 Fecha de aceptación: 03-01-2002

La diversidad de alumnos en el aula exige,por parte del profesorado, iniciativa ycreatividad para presentar la materia deforma que sea comprensible por los alum-nos y que les motive a su aprendizaje.

Las matemáticas no son algo insonda-ble. Todas las personas pueden llegar acomprenderlas aunque cada uno las asi-mile según su nivel de competencia. Laposibilidad de aprender matemáticas se dapor hecho a toda persona que sea capaz decomunicarse. Desde este punto de vista, ladiversidad aparece como un reto para elprofesor y no como un obstáculo.

Esta investigación presenta una di-dáctica matemática basada en la utiliza-ción de materiales diversos para el estudiode la geometría, desde el lápiz y el papelhasta el ordenador y video, pasando pormateriales estructurados y juegos de librecreación. Los matemáticos y la historia dela matemática nos proporcionan impor-tantes testimonios sobre la importancia dela utilización de diversos materiales para elaprendizaje de esta asignatura.

• Puig Adam, maestro de la heurísti-ca en matemáticas, trabajaba consus alumnos con materiales queellos construían, al mismo tiempoque descubrían los conceptos ma-temáticos, él escribía:

Vivimos rodeados de modelos ma-temáticos sin darnos cuenta de ello.La técnica está, toda ella, impregna-da de contenido matemático. De lamatemática ha hecho uso el inge-niero al proyectar y el artífice alconstruir. Exprimir el jugo mate-mático de sus realizaciones es unade las más instructivas tareas que elprofesor puede realizar para cultivarentre sus alumnos el doble juego dela abstracción y la concreción mate-mática. Si interesante resulta realizarmodelos adecuados para ilustrar osugerir verdades matemáticas deter-minadas, no es menos interesante,

saber ver el contenido matemáticode las cosas que nos rodean y queconstituyen, a veces, modelos tanexcelentes como insospechados.

(Puig Adam, 1963)

• Los modelos matemáticos, los jue-gos y los materiales son un primerpaso para facilitar la abstracción.

El uso del material como juego quepermite identificar problemas se ponede manifiesto en ejemplos como losproblemas de nudos, los trabajos conrompecabezas y los problemas quesurgen con laberintos y grafos. La co-munidad del siglo xxi, en su globali-dad, debería saber manipular herra-mientas matemáticas de tiposdiversos, reconociendo su poder. Lapapiroflexia no sólo sirve a la geome-tria como elemento de diseño comple-mentario del uso de videos, mecano yotros manipulables, sino que debe ha-ber provocación del placer de comuni-car lo que se descubre, constatar lo quees difícil, provocar problemas para loscolegas o, incluso, provocar la pregun-ta qué he aprendido con esto?, enqué sentido valía la pena?(Joaquim Jiménez, 2000, pp. 47-52)

• La manipulación con las regletasde Gattegno, los bloques lógicos deDienes o los distintos recursos au-diovisuales y manipulativos handado paso a las películas didácticasy a los programas de ordenador.

• El programa Cabri de geometríainteractiva exige otro tipo de mani-pulación, ya no se tocan los objetospero los movimientos que el alum-no realiza para convertir unas figu-ras en otras están provocando otrotipo de estrategias y otra forma deelaboración de los conceptos.Estoy de acuerdo con Arriero yGarcía (2000) en que el hecho deser un programa de geometría di-námica favorece el desarrollo de los

420

conceptos matemáticos ya que per-mite visualizar, experimentar, con-sultar propiedades, simular, descu-brir regularidades, etc.

• El vídeo es otro recurso que sepuede utilizar en matemáticas yque, por su influjo motivador,puede centrar la atención de losalumnos más reacios a un aprendi-zaje con carga abstracta. Comodice Pérez Sanz (1995), citando aCampuzano Ruiz, «la utilizaciónde los medios audiovisuales en elámbito escolar ha de basarse en elhecho de que la escuela es un con-texto activo, de recepción y proce-samiento de información, y unmarco en el que se cultivan capaci-dades para er análisis y la interpre-tación».El análisis se facilita introduciendoescalones intermedios entre lo con-creto, lo abstracto y la interpreta-ción, facilitando el proceso de abs-tracción y comprobación. Además,como señala Pérez Sanz (1995), losmateriales audiovisuales actúan,directamente, sobre aspectos afec-tivos del alumno por el espectáculoestético y cognitivo, el impacto delas imágenes por su belleza, plasti-cidad y armonía, y la inducciónque ejercen sobre los comporta-mientos, actitudes y valores.

• La utilización del material nos llevaal origen de la geometría:

los orígenes de la geometría no hande buscarse en el dibujo sino, en lasprimitivas construcciones y en lasprimeras técnicas. Así, en vez deofrecer al niño una regla, una escua-dra y un compás, guiándole en ladescripción gráfica de ésta o aquellafigura, nosotros le damos un mate-rial para que trabaje: sencillas tirasde cartón, piezas del mecano quepuedan unirse entre sf, algún hiloelástico, etc. Entonces, es el chico elque, manipulando con este material

y procediendo por tanteos, descu-bre, de la misma manera que debióhaberlo hecho el hombre primitivo,las propiedades más significativas delos polígonos y, sólo en un segundotiempo, se le llevará a la representa-ción gráfica (sic).

(Emma Castelnuovo, 1963, p. 5)

Todo ello permite concluir que los ma-teriales son un recurso ineludible, en una so-ciedad tecnológica de la imagen, para hacerasequible a los alumnos la abstracción de losconceptos matemáticos. Cuando nos referi-mos a materiales para el apoyo al aprendiza-je, nos referimos tanto a aquellos con sopor-te papel, madera, plástico, cartulina, etc,como a los materiales estructurados, a losjuegos, videos y programas de ordenador.Entendiendo el material como un medio enel proceso de enseñanza aprendizaje y nocomo un fin en sí mismo. Lo que se persi-gue no es la manipulación, el juego o el dis-frute de los aspectos estéticos es, fundamen-talmente, llegar al concepto matemático, asu elaboración e interpretación, y a la posi-bilidad de aplicación en futuras ocasiones yen la vida. Trascender lo concreto, facilitarlo abstracto y, lograr la conceptualización yla resolución de problemas es la tarea que elprofesor debe marcarse cuando trabaja conmateriales matemáticos.

En este sentido, el material se presentacomo un instrumento de utilización regu-lar y viva, pero que, también, puede con-ducir al profesor a ciertos errores. Alsina(1988) considera que deben evitarse los si-guientes errores: la sofisticación o intoca-bilidad del material, la poca cantidad, lano adecuación de los conceptos presenta-dos por el material y el creer que éste yaasegura los conceptos. Joaquim Jiménez(2000) también alerta sobre los problemasque puede traer el uso de los materialescon frivolidad, ya que usar materiales tan-gibles en el siglo xxl debe implicar la con-sideración del material como activador dereflexión y potenciador de un lenguaje di-ferente al lenguaje escrito o simbólico.

421

Investigaciones sobre el análisis de ta-reas matemáticas, investigaciones sobrecómo los alumnos resuelven tareas escolaresvinculadas a un tópico concreto o cómo di-ferentes textos reflejan un determinado as-pecto de un contenido matemático, D. Ku-chemann (1987), permiten asumir que elconocimiento es producto tanto de la tareacomo de la situación en la que se da (carac-terísticas de la actividad generada, interac-ciones tarea-alumno, entre los propiosalumnos y entre profesor-alumno ).

Desde esta perspectiva, segúnM. Blanco y S. Llinares (1994), una de lasideas que se defiende en las investigacio-nes es que la traslación entre diferentes re-presentaciones contribuye a que los alum-nos adquieran una mayor comprensión delos conceptos matemáticos.

La investigación, objeto de este estu-dio, ha tenido en cuenta todos estos as-pectos en la selección, presentación y uti-lización de los materiales.

SELECCIÓN

Se ha procurado que los materiales fueranasequibles tanto por su construcción o ad-quisición, como por el uso que ha de hacer-se de ellos por parte del profesor y de losalumnos. Se ha considerado, también, supolivalencia y versatilidad, de manera queun mismo concepto se puede trabajar desdedistintos materiales y un material sirve paratrabajar diversos conceptos. Se ha tenido encuenta, y así se ha planteado al profesorado,las limitaciones del material para la intro-ducción de algunos tópicos geométricos.

UTILIZACIÓN

Se ha recalcado el valor instrumental delmaterial y la necesidad de desprenderse delo concreto en alguna de las fases del procesode enseñanza. Para ello, las fichas-guía quese han elaborado para ayuda del alumno y

del profesor van llevando, progresivamente,por los distintos niveles de Van Hiele, desdela visualización a la demostración. Se cons-tata que, en alguno de estos niveles, el alum-no va a sobrepasar ya superar el soporte ma-terial.

PLANTEAMIENTO E INTERÉSDE LA INVESTIGACIÓN

Se quiere buscar solución a los problemasde aprendizaje que, en el área de matemá-ticas, plantea la diversidad de alumnos enla Educación Secundaria Obligatoria. Elobjetivo es, por tanto, encontrar una di-dáctica específica que se adapte a las dife-rencias individuales de los alumnos y queproduzca un incremento en sus rendi-mientos en Geometría.

Las diferencias que se dan en esta etapade 12 a 16 arios, etapa básica y obligatoriadel sistema educativo y, por lo tanto, de es-colarización plena, son debidas a diferentesfactores. Las normas legales que rigen losaspectos organizativos y curriculares de loscentros contemplan hasta 32 tipologías di-ferentes, que se pueden resumir en diferen-cias de tipo conductual, socioeconómicoy/o cultural, psicosocial y las relacionadascon diferentes capacidades.

El interés de esta investigación radica enque se ha hecho sin alterar en nada, salvo enla didáctica especifica utilizada, las condi-ciones de aprendizaje de los centros: la pro-gramación, el número de horas de enseñan-za, el contenido del curso, el profesorado, laconstitución de los grupos. Es decir, se hanmantenido todos los condicionantes enque, normalmente, se desarrolla la acciónescolar. Tampoco se han seleccionado alum-nos en los grupos, se ha respetado la compo-sición heterogénea de éstos porque, precisa-mente, lo que se quiere probar es que, sincambiar los condicionantes de la enseñanzaen la situación actual de los centros, el usode una metodología específica puede hacervariar los resultados.

422

HIPÓTESIS

La hipótesis de trabajo es la siguiente:creemos que «con la utilización de estosmateriales adaptados a la diversidad de losalumnos, con una metodología activa y si-guiendo las fases de Van Hiele, los alum-nos obtendrán mejores rendimientos engeometría». Por tanto, lo que se quiereprobar al nivel de significación de 0,05 y,por tanto, con un nivel de confianza paraaceptar la hipótesis del 95% es que losalumnos que utilizan estos materiales ob-tendrán mejores rendimientos en geome-tría, medidos a través de una prueba, quelos que no los utilizan.

VARIABLES

VARIABLE INDEPENDIENTE PRINCIPAL

LA DIDÁCTICA ESPECIFICACENTRADA EN LOS MATERIALES

Una metodología basada en la elabora-ción y la aplicación de materiales curricu-lares. Los materiales son graduados y elaprendizaje es progresivo, avanzando porlos niveles de N, an Hiele desde el primerohasta el cuarto.

Estos niveles se refieren a la forma enla que el alumno estructura la geometríacoherente con la construcción del espacio,y permiten categorizar los distintos gradosde representación del espacio.

• El nivel 1 es global descriptivo,• el nivel 2, analítico experimental,• el nivel 3, abstracto relacional• el nivel 4, formal deductivo.

Normalmente, los alumnos de laEducación Secundaria Obligatoria semueven en los tres primeros niveles, aun-que los talentosos pueden llegar al cuartoSe trata, por tanto, de que, con el trabajocon los materiales, los alumnos avancen

desde el nivel primero hasta el último ni-vel, en todos los tópicos de geometría.

Los materiales son los mismos para to-dos los alumnos, independientemente delnivel en el que estén. Al final, lo que se va acomparar es, si respecto al pretest, hay, enel postest, diferencias significativas entre elgrupo experimental y el de control.

La duración de la experiencia es denueve a once semanas.

VARIABLES INDEPENDIENTESSECUNDARIAS

CONDICIONAMIENTOS SOCIOECONÓMICOSY CULTURALES

Se medirán por observación, mediante in-formes del tutor, y se codificarán con:

• Perteneciente a grupo desfavore-cido.

• No perteneciente a grupo desfavo-recido.

En el caso de los inmigrantes, nos inte-resa conocer el nivel de castellano porque re-percute, directamente, en el rendimiento.

Se codifica con:

• Nivel de idioma bajo.• Nivel normal.• Hispano-hablante.

Las investigaciones de Maryland StateEducation Department (1990) demues-tran que esta variable es un factor de ries-go para el fracaso escolar.

CONDICIONAMIENTOS CONDUCTUALES

Se mide mediante observación, por infor-me del Departamento de Orientación, deltutor y del profesor. Se codifica con:

• Sin problema.• Ligeros.• Rechazo medio.• Rechazo grave.

423

Las investigaciones de Payne y col(1991), y Weber (1989) demuestran quelos problemas de conducta y disciplinason un factor de riesgo para el fracaso es-colar. Roddy (1980), lo mismo con los hi-peractivos.

AUTOCONCEPTO ACADÉMICO

Se mide con el cuestionario de auto con-cepto que se ha pasado a todos los alum-nos, tanto los del grupo experimentalcomo los del grupo de control. Se codificade uno a diez.

CONDICIONAMIENTOS APTITUDINALESY ACTITUDINALES

Se mide con el cuestionario de autoeva-luación de aptitudes y actitudes que se hapasado a todos los alumnos, tanto los delgrupo experimental como los del grupode control. Se codifica de uno a diez.

PREDICCIÓN ÉXITO ESCOLAR

Se mide por observación, después de lajunta de evaluación, con informe del tutory de los profesores. Se codifica con:

• Sf.• No.• No predecible.

SEXO

Se codifica con:

• Mujer.• Varón.

VARIABLE DEPENDIENTE

RENDIMIENTO EN GEOMETRÍA, MEDIDOA TRAVÉS DE PRUEBAS DE CONOCIMIENTO

Se hace operativo con las siguientessub-variables:

• Reconocimiento de figuras y visua-lización.

• Análisis.• Relaciones entre propiedades de fi-

guras.• Deducción.

En el pretest y en el postest, hay pre-guntas relacionadas con cada una de lasvariables anteriores. La calificación es deuno a diez.

CARACTERÍSTICAS DEL DISEÑO

Se ha utilizado el diseño experimental dedos grupos con pretest-postest, con unasola variable independiente y con unacondición o tratamiento que, aplicado algrupo experimental, se contrasta con laausencia del mismo en un grupo control.Consideramos que la población de la quese va a extraer la muestra cumple las con-diciones para utilizar un contraste para-métrico. Es decir, independencia de lasobservaciones, normalidad de la distribu-ción, homogeneidad de las varianzas ymedición a escala. Para el análisis de va-rianza, utilizaremos el Anova de un solofactor

El paradigma de este diseño es:

GRUPO Variable independienteVariable dependiente

PRETEST POSTEST

ExperimentalControl

X1X2

TiT2

T3T4

424

El pretest consiste en una prueba ini-cial de conocimientos, con diez preguntasque abarcan los tópicos de geometría conlas variables en que se ha operativizado elrendimiento, que permitirá ipalar, lomás posible, los grupos en capacidades bá-sicas e intereses a fin de poder controlarvariables.

El postest, que será una prueba simi-lar a la anterior, permitirá identificar loslogros debidos al tratamiento.

LA MUESTRA

No es conveniente hacer una investila-ción acerca de un cierto método didácticosobre la población total ya que eso supon-dría someter a todos los estudiantes a unadidáctica que no se sabe si producirá efec-tos beneficiosos para la población, porello, parece más adecuado tomar unamuestra.

En nuestro caso, la población son losalumnos de la Educación SecundariaObligatoria de Madrid capital que estu-dian en centros públicos o privados de laszonas de Ciudad Lineal y Hortaleza.Como esta población es muy numerosa,hemos trabajado con una muestra repre-sentativa a fin de que los resultados obte-nidos puedan trasladarse a esta poblacióncon las condiciones que se expresen en elestudio. La muestra abarca diez centrosde secundaria (6 institutos y 4 centrosconcertados) lo que supone el 60% de losinstitutos y el 10% de los centros concer-tados.

El número de alumnos que formanesta población es de 9.360; de ellos,3.500, en centros públicos y 5.840, encentros concertados.

La muestra real consta de 980 alum-nos, lo que supone más del 10% de la po-blación.

Según Arkin y Colton, para la de-terminación de una muestra sacada deuna población, se ha de tener en cuenta el

margen de error con que se desea trabajar,es decir, el error natural de toda muestraque se pretende asumir. También, es nece-sario decidir a qué nivel de significación,es decir, con qué probabilidad de acepta-ción de la hipótesis se quiere trabajar. Eneste caso, con un nivel de significación del0,05 y un margen de error del 3%, el ta-maño de la muestra debería ser de 989, se-gún las tablas de dichos autores. Aunqueha de tenerse en cuenta el tamaño, lo esen-cial en la selección de una muestra no estanto el tamaño cuanto que las caracterís-ticas del universo de que se toma esténadecuadas y, proporcionalmente, repre-sentadas en ella.

Para la elección de la muestra, se haempezado seleccionando centros de la po-blación mediante un muestreo estratifica-do que se realiza siguiendo ciertos criterioso características que son representativas dela población y, además, responden a las ca-racterísticas de este estudio de investiga-ción.

Se han elegido seis, de entre los 11institutos que hay en la zona y 4 centrosconcertados, de entre los 29 que existen.El hecho de elegir menos centros concer-tados responde a la necesidad de tomar encuenta las variables que se van a controlaren el estudio, dado que estas variables —di-versidad en el status socioeconómico, ab-sentismo, presencia de minorías étnicas yemigrantes— tienen una mayor incidenciaen los centros públicos.

Decidido el tamaño de la muestra, seprocedió a su elaboración. Se tomó unamuestra mediante la estratificación múlti-ple, procurando conjugar una serie de cri-terios con el fin de que fuera lo más ade-cuada posible a nuestro estudio.

La población ha sido estratificada se-gún los siguientes cortes:

• Tipo de centro (público, privado).• Nivel sociocultural de la familia

(ubicación geográfica del centrodocente: norte, centro, sur).

425

• Tamaño del centro docente (gran-de, mediano, pequeño). Se consi-dera centro docente grande al quetiene más de 800 alumnos; media-no, entre 500 y 800, y pequeño, alque tiene menos de 500.

• Niveles y modalidades de enseñan-za: infantil, primaria, secundaria,formación profesional especifica.

• Grado de diversidad que presentan(presencia de inmigrantes, mino-rías étnicas, grupos desfavorecidos,absentistas, conductuales, etc).

En ocho de los centros seleccionados,se han elegido dos grupos experimentalesy dos grupos de control, en otro centro,sólo ha sido posible realizar la experienciacon un grupo experimental y uno de con-trol, y, en otro centro, se ha hecho concuatro grupos experimentales y cuatro decontrol.

Cada pareja de grupo experimen-tal-grupo de control se 1-ia elegido entre losque resultaban homogéneos, de acuerdocon los resultados de la exploración ini-cial.

En el transcurso de la experiencia, seha retirado uno de los centros por enfer-medad de uno de los profesores, por locual, la muestra final es de nueve centros y36 grupos (18 experimentales y 18 decontrol).

Los distintos cortes se presentan en lasiguiente tabla:

CONTROL DE LAS VARIABLES EXTRAÑAS

Hay algunas variables que afectan a lavalidez interna del diseño y otras, a la vali-dez externa, las variables extrañas se pue-den controlar introduciéndolas en el dise-ño como variables independientessecundarias. Se han introducido en estainvestigación las siguientes:

• Condicionamientos socioeconó-micos y culturales.

• Condicionamientos conductuales.

• Autoconcepto académico.

• Condicionamientos aptitudinalesy actitudinales.

• Predicción éxito escolar.

• Sexo.

VARIABLES SIN CONTROLAR

La variable más difícil de controlar es elprofesorado, ya que la parte de «arte» quetoda didáctica comporta no se puede so-meter a las condiciones de una experi-mentación. También, ha sucedido que,por las razones de composición de los gru-pos establecidos en los centros al principiode curso, en algunos casos, es el mismoprofesor el que imparte el grupo experi-mental y el de control.

TABLA I

UBICACIÓNGEOGRÁFICA

DIVERSIDAD' TAMAÑO NIVELES Y MODALIDADES

Norte Centro SurGitanos Inmigran Otros

Grande Mediano PequeñoPrimariay Secun-

daria

Secun-daria

Secun-dariay FP

Inte-

g ración

A B C D E F

4 3 4 3 7 4 6 4 6 3 5 2 4 4 2 2

(1) La media de gitanos en la ma es del 0,8%, la de inmigran es es del 11% y la de otros alumnos con necesidad de compensación educa-tiva es de 4,5%.Las categorías A, C, E. se reflertn a los centros que están por encima de la media y las categorías B, D. F, a los que están por debajo. Lafuente de los datos es la UPE de Madrid capital.

426

LA DIDÁCTICA ESPECIFICA

La didáctica específica se centra en la utili-zación de materiales diversificados paraatender a las diferencias de los alumnos enesta etapa. Para facilitar y armonizar lautilización de estos materiales, un grupode profesores que participaron en la expe-riencia elaboró una carpeta que contenta:la secuenciación de los contenidos, fichasguía, fichas de materiales, fichas de activi-dades y disquete con actividades para rea-lizar con ordenador.

A cada profesor que tomó parte en laexperiencia, se le dieron las siguientes ins-trucciones:

• Explicará el tema correspondientea un nivel intermedio.

• Para la localización de las fichas deactividades, se puede servir de lasplantillas de secuenciación y del ín-dice de fichas. Cuando haya fichasde actividades para ese tópico, pro-pondrá la realización de alguna deellas a los alumnos y supervisará suejecución, orientándoles en sus di-ficultades. Podrá elegir, entre las fi-chas, la que considere más adecua-da al nivel o conocimientos delgrupo.

• El profesor determinará si la fichala elabora el alumno individual-mente o en grupo, y presentará elmaterial que se va a utilizar. Paraello, se puede servir de la ficha demateriales y de algunas fichas desti-nadas al profesor. Por ejemplo, laprimera vez que el alumno trabajecon ple5ados, el profesor le explica-rá los diferentes tipos de plegado ycómo se realizan.

• Aunque no figuren problemas enlas fichas, es conveniente que elprofesor proponga problemas dellibro o de otros materiales en cadauno de los tópicos.

• No todos los alumnos llegarán arealizar todas las actividades de laficha, puesto que éstas se concibenpara diferentes niveles de conoci-miento y para diferentes estilos deaprendizaje. Lo importante es queel alumno se esfuerce en compren-der lo que se le pide y en realizar al-gunas actividades, aunque sólosean las del primer nivel. A algunosalumnos, el profesor puede exigir-les que pasen de los primeros nive-les y, según avance la experienciapodrá exigírselo a más alumnos.

• El profesor, después de cada clase,rellenará la ficha de profesor que vaen la carpeta y que entregará al fi-nal de la experiencia a la personaque realiza esta investigación. Larealización de ésta es muy impor-tante para poder analizar el procesode la experiencia y las dificultades oventajas que ha tenido.

• Dos o tres veces a lo largo de la ex-perimentación, el profesor pro-pondrá al alumno que cumplimen-te la ficha del alumno. Una vezcumplimentada, deberá guardarlapara entregársela a la persona querealiza esta investigación y le servi-rá al profesor para conocer cómovaloran la experiencia los alumnosy los problemas o dificultades queestán surgiendo. Sería convenienteque el alumno rellenara esta fichaal principio, en el medio y al final.

FICHAS DE MATERIALES

Se ha trabajado con los siguientes mate-riales:

• Papel para plegar.• Papel tramado o cuadriculado.• Geoplano.• Espejos y libros de espejos.

427

• Creator, plantillas o formas.• Instrumentos de dibujo.• Varillas o mecanos.• Puzzles.• Ordenador.• Video.• Otros materiales (cartulina, pali-

llos, etc.).• Juegos.

Para cada uno de los materiales hayuna ficha que indica: descripción del ma-terial, los objetivos, el ámbito de aplica-ción, la metodología y las fichas de activi-dades que se relacionan con este material.

Se pretende que el alumno, con laorientación del profesor, trabaje, sólo o engrupo, en la resolución de las fichas.

Cada una de ellas, tiene una secuenciade preguntas o actividades graduadas demenor a mayor dificultad, siguiendo losniveles de Van Hiele que van señalados enalgunas fichas con los siguientes símbolos:

• Visualización y reconocimiento devocabulario y formas A

• Reconocimiento y análisis de laspropiedades de las figuras O

• Relaciones entre las propiedades einicio de la deducción informal 0

• Deducción formal, construcciónde pruebas o demostraciones 4

Por ello, estas fichas pueden servirpara alumnos más intuitivos o más reflexi-vos, con más conocimientos o con menos,para alumnos avanzados y, debido a la ma-nipulación de materiales, también, paraalumnos desmotivados o con problemasde atención.

En anexos I y II, se reproducen unosejemplos de fichas.

INSTRUMENTOS

Se han utilizado los siguientes instru-mentos:

PARA LOS ALUMNOS

• Prueba de exploración inicial enmatemáticas.

• Prueba de conocimientos en Geo-metría (Pretest). Una prueba paracada curso.

• Prueba de conocimientos en Geo-metría (Postest). Una prueba paracada curso.

• Cuestionario sobre autoconceptogeneral.

• Cuestionario sobre competenciageneral.

• Cuestionario de evaluación de laexperiencia.

• Ficha acumulativa de datos relacio-nados con las variables indepen-dientes secundarias.

PARA LOS PROFESORES

• Cuestionario de opinión sobre me-didas para la atención a la diversi-dad.

• Cuestionario de evaluación de laexperiencia.

• Entrevista semiestructurada.

Todo ello, con vista a obtener infor-mación sobre la influencia que una ciertametodología ha tenido en los resultadosen geometría.

OBTENCIÓN Y TRATAMIENTODE LOS DATOS

Se aplicó el pretest en marzo a los 36 gru-pos seleccionados para la investigación yque, mediante la exploración inicial, sehabían detectado como homogéneos encuanto a conocimientos de matemáticas.Durante tres meses, se aplicó la didácticaespecífica a los grupos experimentales. Si-multáneamente, se recabó, del Departa-mento de Orientación, los datos relacio-nados con las variables de control antes

428

citadas. Posteriormente, se aplicó el pos-test a todos los grupos experimentales y decontrol.

Finalizada la aplicación, se procedió acodificar las variables y preguntas abiertasde los cuestionarios, así como su graba-ción en disco para el posterior análisis es-tadístico. Asimismo, se grabaron las califi-caciones parciales (a cada ítem) y totalesdel pretest y postest, para su posterior tra-tamiento estadístico.

ANÁLISIS ESTADÍSTICOS

• Estadísticos descriptivos (análisisde frecuencias, media y desviación

típica, rango y valores máximo ymínimo).

• Comparación de medias pretests ypostest con las variables de control.

• Análisis de varianza (aplicando loscontrastes de Tukey y Scheffe).

• Análisis de la fiabilidad de las prue-bas (obtención del coeficiente alfade Crombach).

• Análisis de correlaciones entre au-toconcepto y las pruebas (pretest,postest).

Se ha utilizado el paquete SPSS, versiónnueve.

TABLA II

Estadísticos. PRETEST-POS TEST

CursoN media Desviación

típicamínimo máximo

Válidos Perdidos

Pretest 1. 0 experimental 105 0 3,0167 1,6016 0,00 7,001.° control 101 2 3,2995 1,7518 0,00 7,502.° experimental 107 41 1,8785 1,4966 0,00 6,002.° control 139 4 1,8813 1,7042 0,00 8,003 •0 experimental 139 17 2,4838 1,5502 0,00 8,003 •0 control 136 10 2,3107 1,4176 0,00 6,004.° experimental 88 8 3,4858 2,1177 0,00 8,004.° control 61 9 2,3361 1,3896 0,00 5,75

Postest 1. 0 experimental 105 0 3,2833 1,9275 0,00 8,001. 0 control 103 0 3,5413 1,8705 0,00 8,502.° experimental 137 11 1,9635 1,3698 0,00 6,502.° control 142 1 1,8275 1,6126 0,00 7,003 • ° experimental 121 35 2,5269 2,2969 0,00 7,503.° control 126 20 1,8591 1,5689 0,00 7,004.° experimental 85 11 3,3029 2,4306 0,00 10,004.° control 36 34 1,6806 1,2401 0,00 5,00

429

las distintas variables de control, sólo sonsignificativas, a nivel de grupo, las corres-pondientes a la variable sexo.

La comparación de medias entrehombres y mujeres proporciona los si-guientes resultados:

COMPARACIÓN DE MEDIAS

Se compararon las medias del pretest y,del postest con todas las variables de con-trol. Dado el pequeño número en cadagrupo de individuos correspondientes a

TABLA III

Sexo Pretest Postest

Hombre Media 2,4902 2,3240N 460 453Desviación típica 1,7104 1,9035

Mujer Media 2,5859 2,6530N 416 402Desviación típica 1,7384 2,0008

Total Media 2,5357 2,4787N 876 855Desviación típica 1,7234 1,9556

Lo cual indica que las chicas obtienenmedias más altas que los chicos tanto en elpretest como en el postest. Además, al avan-zar el curso, las mujeres experimentan unpequeño incremento en su media, mientrasque los varones sufren un decrecimiento.

Hay que indicar que la escala en quese miden estas medias no es extrapolable

directamente a una escala decimal, puestoque la prueba se ha realizado teniendo encuenta la posible existencia de alumnossuperdotados y, por ello, las últimas pre-guntas no entrarían dentro de la media delos alumnos normales.

Si se comparan las medias, curso acurso, obtenemos los siguientes datos:

TABLA IV

Sexo Curso Pretest Media Postest Media

Hombre 1.° experimental 2,9815 2,95831.° control 3,0625 3,11162.° experimental 1,7719 1,83932.° control 1,8415 1,69583 •0 experimental 2,3971 2,24433.° control 2,3167 1,77544.° experimental 3,5694 3,25864.° control 2,3306 2,0526

Total 2,4902 2,3240

430

TABLA IV (continuación)

Sexo Curso Pretest Media Postest Media

Mujer 1. 0 experimental 3,0539 3,62751. 0 control 3,5944 4,05322.° experimental 2,0000 2,09332.° control 1,9386 2,01273.0 experimental 2,5341 2,68833 •0 control 2,3033 1,96054 • . experimental 3,3529 3,39814.. control 2,3417 1,2647

Total 2,5859 2,6530

De los 16 cursos, sólo en uno deellos la media de los varones supera a lade las mujeres. Por tanto, puede decirseque en esta investigación, al contrariode lo que ocurre en otras evaluacionesnacionales e internacionales, los resulta-dos de las mujeres son superiores a los delos varones. Estos resultados, que bene-fician a las mujeres y que son diferentesa los obtenidos en evaluaciones como el

TIMMS o el Diagnóstico General sobre elSistema Educativo Español, pueden serdebidos al carácter de la prueba, hechaen las condiciones normales de aprendi-zaje, elaborada y propuesta por profeso-res, de carácter abierto y relacionada conla programación oficial.

Estos resultados se pueden interpretara la luz de otros datos que se presentan enla siguiente tabla:

TABLA V

Estadísticos de competencia y autoconcepto

Sexo Autoconcepto Competencia

Media Hombre 6,9732 6,5634Mujer 6,8841 6,8618

Total 6,9303 6,7070

N Hombre 455 454Mujer 422 421

Total 877 875

Desviación típica Hombre 1,1412 1,3562Mujer 1,2439 1,4024

Total 1,1919 1,3859

431

Como se puede observar, los hombrestienen un autoconcepto ligeramente su-perior a las mujeres pero, en cuanto a lacompetencia general que es una autoeva-luación de aptitudes y actitudes, son lasmujeres las que se puntúan ligeramentemás alto que los varones.

ANÁLISIS DE VARIANZA

Se realizó un contraste de la diferencia demedias entre los grupos experimental y decontrol dentro de cada curso y dentro decada centro. La tabla VI proporciona laprueba de contraste de Tukey, de Anovaunifactorial al nivel de significación del95°/o.

Los resultados subrayados en negritaindican los grupos cuya diferencia ha sidosignificativa, tanto positiva como negati-va. En cuatro de ellos, la diferencia de me-dias es positiva y, por tanto, se confirma lahipótesis, y, en otro, la diferencia es nega-tiva y se confirma la hipótesis contraria.En los demás grupos, la variable experi-mental no permite confirmar la hipótesisde partida.

FIABILIDAD DE LAS PRUEBAS

La fiabilidad de la prueba es moderada-mente alta, siendo de 0,70 a 0,78 segúnlos cursos, de acuerdo con los valores delíndice de Crombach. Se adjunta en ane-xo III la prueba de uno de los cursos.

TABLA VI

CENTRO (I) CURSO U) CURSODiferencia deMedias (I-J)

Error Estandar SIG

Centro n." 1 2.° experimental 2.° control 1,1800 0,3707 0,0113 • . experimental 3." control —1,3611 0,4369 0,013

Centro n." 2 3." experimental 3." control 1,1563 0,5112 0,1151." experimental 1." control —7,0000E-02 0,5064 0,999

Centro n." 3 2.° experimental 2.° control 0,7036 0,3949 0,6333.° experimental 3.0 control 2,20057 0,3981 0,0001.0 experimental 1.0 control —0,3596 0,3981 0,9864 • 0 experimental 4." control 1,8495 0,4448 0,001

Centro n," 4 2." experimental 2.. control —9,4643E-02 0,5593 0,9981." experimental 1." control —0,5652 0,5634 0,748

Centro n." 5 2.° experimental 2." control —0,3906 0,3378 0,6551." experimental 1." control 4,080E-02 0,3519 0,999

Centro n." 6 3." experimental 3." control 3,535E-02 0,6965 0,999

Centro n." 7 3.° experimental 3.° control 0,5781 0,5861 0,7584." experimental 4.° control 4,2262 0,5604 0,000

Centro n." 8 2.° experimental 2.. control —0,5710 0,4384 0,5633.0 experimental 3." control 0,4111 0,4466 0,794

432

CORRELACIONES ENTRE AUTOCONCEPTOY COMPETENCIA GENERAL Y LAS PRUEBASPRETEST Y POSTEST

Tanto el pretest como el postest correla-cionan significativamente con el auto-concepto y la competencia, pero son másaltas las correlaciones entre competencia ylas pruebas, que entre el autoconcepto ylas pruebas.

OPINIONES DE LOS ALUMNOS

Se ha preguntado a los alumnos su opi-nión sobre la metodología utilizada enesta investigación.

Para poder codificar e interpretar losresultados, los profesores les pasaron unasfichas de evaluación de la experiencia,donde se les preguntaban las siguientes ca-racterísticas de la actividad que estabanrealizando:

• El interés que para ellos tenía la ac-tividad.

• La claridad de las ideas expuestas.• La adquisición de nuevos aprendi-

zajes.• El ritmo (rápido o lento) de la acti-

vidad.

Lo datos que comentamos a conti-nuación han sido extraídos de la lectura ycodificación de 927 fichas de evaluacióncumplimentadas por los alumnos.

Como puede observarse (en la ta-bla VII), el 65% de los alumnos de todoslos cursos considera interesante trabajarcon esta metodología, al 54% les ha pare-cido clara la exposición realizada en las fi-chas de trabajo, el 60% manifiesta que haaprendido algo nuevo y el 70% cree que esmuy lento el ritmo al trabajar de esta ma-nera.

En la tabla VIII, se puede observar laevolución de los alumnos según aumen-tan los años de escolarización:

Son los alumnos de 1. 0 los que mues-tran más interés por esta metodología, elinterés va disminuyendo según se avanzaen arios de escolarización; de manera que,en 4.° curso, menos de la mitad de losalumnos se sienten interesados.

La percepción de los alumnos sobre laclaridad en la redacción de las fichas va ensentido inverso al anterior, es decir, losalumnos de 1. 0 manifiestan más proble-mas para entender el lenguaje de las fichasque los alumnos de 4.°

En cuanto a la adquisición de nue-vos aprendizajes, también, los de primero

TABLA VII

Mucho o bastante Poco o muy poco

Interés Frecuencia 601 322Porcentaje 65,1 34,9

Redacción Frecuencia 490 408Porcentaje 54,6 45,4

Aprender algo nuevo Frecuencia 554 370Porcentaje 60,0 40,0

Frecuencia 650 274Ritmo de la ficha

Porcentaje 70,3 29,7

433

TABLA VIII

Mucho o bastante Poco o muy poco

Frecuencia % Frecuencia %

Interés 176 80,0 44 20,0

1.0 experimentalRedacciónAprender nuevo

117170

53,277,3

10350

46,822,7

Ritmo ficha 174 79,1 46 20,9

Interés 165 86,4 26 13,6

2.° experimentalRedacciónAprender nuevo

151125

78,665,1

4167

21,434,9

Ritmo ficha 153 79,7 39 20,3Curso

Interés 197 50,0 197 50,0

3 •0 experimentalRedacciónAprender nuevo

176196

45,249,7

213198

54,850,3

Ritmo ficha 236 59,9 158 40,1

Interés 34 48,6 36 51,4

4.° experimental RedacciónAprender nuevo

4240

61,857,1

2630

38,242,9

Ritmo ficha 59 84,3 11 15,7

manifiestan haber aprendido más cosasnuevas que los de los otros cursos.

Respecto a la velocidad de presenta-ción y de ejecución de las actividades, to-dos los alumnos en altos porcentajes con-sideran que es un método muy lento.

Se puede observar, en la tabla VIII,que el curso 3.° se comporta de una forma«sui generis» que no sigue la tendencia ge-neral. Presenta resultados de aceptaciónmás baja y de rechazo más alto que losotros cursos. «Tienen pereza mental y noestán acostumbrados a trabaja», indicauna profesora.

Las sugerencias que los alumnos hanmanifestado libremente, al preguntar sicambiarían algo de esta metodología, in-ciden en estas mismas ideas. A los alum-nos de 1. 0 , les cuesta leer comprensiva-mente el lenguaje matemático contenido

en las fichas guía, también, les cuesta es-cribir en lenguaje vehicular a tenor de lagrafía de las contestaciones. De manera si-milar se expresan los alumnos de 3.°, aun-que éstos insisten en otros aspectos como:el aburrimiento al tener que leer las fichasenteras, que no es divertido y que les su-pone esfuerzo. Por ello, se manifiestanabiertamente por la explicación del profe-sor y, en el caso de tener que hacer activi-dades, que éstas sean de colorear y de di-bujos.

Los alumnos de 4.° expresan, en sussugerencias abiertas, una preferencia porseguir el libro y las explicaciones del pro-fesor porque consideran este método muylento y más complicado.

De todo ello y de las contestacionesdel profesorado, parece deducirse que losalumnos de los últimos cursos prefieren la

434

explicación del profesor, posiblemente,por no estar acostumbrados a esta meto-dología, ya que les supone un esfuerzoadicional que no lo acusan al escuchar«pasivamente» las explicaciones. Todo ellocoincide con la opinión de muchos profe-sores sobre la apatía y el desinterés cre-ciente de los alumnos a medida que avan-zan los cursos de escolarización.

OPINIONES DE LOS PROFESORES

La opinión de los profesores sobre los ma-teriales, manifestada en las fichas de eva-luación de la experiencia, es positiva, engeneral. Ellos han elegido, entre más de100 fichas de trabajo para el alumno y unadiversidad grande de materiales, aquellasactividades que consideraron más idóneaspara los alumnos y para su clase, atendien-do a las posibilidades de material. Los masutilizados han sido el plegado, la cuadri-cula y la cartulina, aunque también se hanutilizado, en algunos casos, varillas, meca-nos, formas geométricas, ordenador y ví-deo.

Los profesores, mayoritariamente,aunque hay excepciones, manifiestan difi-cultad en la gestión de la clase cuando sedesarrolla una metodología activa y parti-cipativa, y las clases son muy heterogé-neas, aunque el número de alumnos poraula sea bastante aceptable. Asimismo,consideran que la metodología participa-tiva y activa exige mas tiempo que el asig-nado por el plan de estudios a las Mate-máticas.

Los profesores acusan la falta de tra-bajo y de esfuerzo de los alumnos, y lapoca colaboración de las familias en elmomento de exigirles este esfuerzo.

Salvo raras excepciones (clases de 4.0en las que los alumnos han optado por lasasignaturas troncales de Física y Química,Biología y Geología), la actitud pasiva ydesmotivada de algunos estudiantes, so-bre todo en los últimos cursos, hace difícil

utilizar materiales manipulativos y que to-dos los estudiantes consigan resultadosmás allá de los niveles de visualización yreconocimiento, con lo cual no se estáncumpliendo los objetivos de la matemáti-ca en la etapa de secundaria obligatoria.Tampoco consiguen superar estos nivelesla mayoría de los alumnos de los cursos decontrol que han seguido una metodologíamas tradicional de explicación por partedel profesor.

A pesar de estos inconvenientes y delos resultados de los alumnos, los profeso-res implicados consideran positiva la ex-periencia porque ha supuesto una mayorreflexión y contacto con la geometría, porel trabajo en equipo que se ha generadoentre los profesores y por la satisfacciónque ha supuesto para ellos mismos y paraalgunos alumnos.

Parece que sería conveniente, segúnlos profesores, que cuando se utiliza estametodología se arbitren simultáneamenteotro tipo de medidas como:

• Disminuir la heterogeneidad en elaula.

• Aumentar el número de horas delas materias instrumentales.

• Formar a los profesores en técnicasde gestión de clase.

• Iniciar en metodologías participa-tivas y de trabajo cooperativo a losalumnos desde edades más tempra-nas.

• Proponer, con regularidad, traba-jos y deberes para casa, y concien-ciar a las familias para que colabo-ren en la exigencia de realizartrabajos escolares en el hogar.

RESULTADOS

Del análisis de varianza se concluye que sólose confirma la hipótesis de partida en cuatrode los 17 grupos experimentales que han se-guido todas las fases de la experimentación.

435

Si se aísla la variable sexo, sólo se confirma lahipótesis en dos de los grupos experimenta-les, para los alumnos varones. Este resultadoes contradictorio con investigaciones ante-riores de la misma autora (Prada M. D. yotros, 1990 y 1994), en las cuales, en condi-ciones académicas similares, los alumnosrespondían satisfactoriamente a la utiliza-ción de metodologfas más activas.

Para los alumnos varones sólo se con-firma la hipótesis en dos de los grupos ex-perimentales.

De los análisis estadísticos realizados,resulta que las alumnas sacan en todos loscursos mejores notas que los alumnos,esto es una novedad respecto a otros estu-dios como los del INGE sobre el Diagnósti-co General del Sistema Educativo y los es-tudios internacionales para algunos países(PISA, Timms).

Considerando las otras variables se-cundarias como: el género, la presencia enlos grupos de alumnos de inmigración, destatus desfavorecido, de inadaptados y deabsentistas, y realizados los análisis de va-rianza con todos estos grupos, obtenemosque, solamente, el género aumenta el nú-mero de grupos estadísticamente signifi-cativos. Por otra parte, ni el número dealumnos por grupo ni la pertenencia acentro público o centro privado, ha pro-ducido diferencias significativas.

De las opiniones de los profesores, sedesprende que las medidas metodológicasno son consideradas como una medidaadecuada de tratamiento de la diversidad,dada la excesiva complejidad de las aulas.

Las opiniones de los alumnos (sobretodo, en el segundo ciclo) inciden en estamisma acepción. La mayoría de los alum-nos indica que trabajar con estos mate-riales diversificados es un método muylento y, aunque al principio despierte in-terés, a la larga les produce cansancio yaburrimiento. Prefieren la explicacióndel profesor.

Una variable que ha podido influir enlos resultados es el absentismo de los

alumnos. En algunos cursos (como 3. ° ex-perimental), es del 22% que, en algúngrupo de 3.., llega a ser del 50%. En 4. °curso control, es del 23% y, en algún gru-po, llega al 42%.

El hecho de producirse tanto absen-tismo, sobre todo al final del curso, aun-que incide sobre los alumnos más desa-ventajados, también, puede producir unefecto de desánimo en el grupo y en elprofesor que afecta fundamentalmente ala metodología y, al trabajo y al esfuerzodel alumnado.

CONCLUSIONES Y PROPUESTAS

Del análisis de los resultados de esta inves-tigación, se pueden obtener las siguientesconclusiones:

• En las condiciones en las que se harealizado esta investigación, no seconfirma la hipótesis de que «unadidáctica centrada en la utilizaciónde materiales diversificados produ-cirá mejores resultados en los cono-cimientos de los alumnos medidosa través de pruebas de rendimien-to», ya que, de los 17 grupos expe-rimentales que han concluido to-das las fases de la investigación,sólo en cuatro de ellos, las diferen-cias con el grupo de control sonsignificativas al nivel de 0,05%.Una hipótesis a probar en futurasinvestigaciones podría ser la decomprobar si la homogeneidad delgrupo es un factor Geterminantedel aprendizaje en matemáticas.

• Aislada la variable sexo, obtene-mos, en el caso de las mujeres,cuatro grupos experimentales condiferencias positivas respecto a susrespectivos grupos de control. Enel caso de los hombres, sólo hay dosgrupos experimentales que dan di-ferencias significativas. Ello parece

436

indicar que esta metodología haproducido mejores resultados enmujeres que en hombres. Las con-testaciones de los alumnos y la opi-nión de algunos profesores nos in-ducen a pensar que podría tener sucausa en características actitudina-les de constancia, perseverancia,paciencia y un mayor tesón, tradi-cionalmente, vinculadas más a laschicas que a los chicos en estas eda-des. Puesto que estas variables nohan sido tenidas en cuenta en estainvestigación, sería convenienterealizar otros estudios que matiza-ran estas opiniones.

• Las alumnas obtienen mejores re-sultados que los alumnos, tanto enel pretest como en el postest, y tantoen los grupos experimentales comoen los de control. Este resultado,que difiere de otras investigacionesrealizadas por organismos naciona-les e internacionales, sugiere la idea,antes esbozada, de que, en los cursosde la Educación Secundaria Obliga-toria, las mujeres poseen algunas ac-titudes que les hacen mejorar en elrendimiento por encima de los va-rones. También, posiblemente, in-fluye, como ya se ha dicho, el carác-ter de la prueba.

• En todos los cursos experimentales,las mujeres han aumentado la mediade conocimientos en el intervalo detiempo 'que media del pretest al pos-test, es decir, en el tiempo en el que,en estos grupos, se ha impartido ladidáctica ibasada en la utilización dediferentes materiales diversificados.Esta tendencia puede indicar que lasalumnas han aprovechado más estametodología que los alumnos. Y volve-mos a incidir en la idea de que puedenser características actitudinales lasque pueden haber influido, ya que lautilización de estos materiales exigemás reflexión, paciencia, constancia,

perseverancia y esfuerzo que unametodología de tipo tradicional.

• Se confirma un alto absentismo dealumnos al final de curso (en elmomento de realizar la prueba pos-test), llegando, en algunos grupos,al 50%. Estos alumnos que no rea-lizan la prueba pertenecen, en sumayoría, a los grupos consideradosde riesgo (inmigrantes, inadapta-dos, estatus bajo y absentismo), locual puede influir en el hecho deque la eliminación de estos eruposno produzca diferencias significati-vas en las diferencias de medias en-tre grupos experimentales y gruposde control. Se propone que se arbi-tren medidas eficaces de controldel absentismo escolar.

• Las medias del postest en los gru-pos considerados de riesgo en estainvestigación son más bajas en to-dos los cursos que las de los alum-nos que no pertenecen a ellos, aun-que esto no llega a producirdiferencias significativas.

• Las opiniones de los profesores, re-cogidas a través de un cuestionariode opinión cumplimentado por320 profesores y directivos, indicanque las medidas organizativas sonmás adecuadas para atender a la di-versidad en estas edades que las detipo metodológico o curricular. Lasentrevistas realizadas con profesoressubrayan esta idea y consideran Quela excesiva heterogeneidad y confli-citivad en el aula, unido al desinte-rés y apatía de los alumnos, les im-piden dar adecuadamente la clase,por lo cual, piensan que las innova-ciones metodológicas no darán re-sultado mientras se continúe en estasituación.

• Las opiniones de los profesores, re-cogidas a través del cuestionario deevaluación de la experiencia y delas entrevistas mantenidas con

437

ellos, que son positivas respecto aldiseño de la experiencia, a la elabo-ración y adecuación de las fichas detrabajo y a la selección de los mate-riales, son negativas en relacióncon los problemas que plantea lagestión de la clase al utilizar unametodología activa en unas clasestan heterogéneas, sobre todo, porel efecto que los alumnos desmoti-vados y conflictivos producen enlos demás. Los profesores conside-ran que debería exigirse la realiza-ción4zle deberes y trabajos en casa, yconcienciar a las familias para queayuden en esta exigencia.

• Las opiniones de los alumnos, re-cogidas a través del cuestionario deevaluación de la experiencia, con-firman este desinterés, apatía y fal-ta de esfuerzo, sobre todo, en el se-gundo ciclo. Así como en el primerciclo los alumnos manifiestan uninterés superior al 80%, en 4. 0 cur-so, este interés baja al 48%.

• En las preguntas abiertas, cumpli-mentadas apenas por un 10% delos alumnos, los de 3 • 0 manifiestanpreferir la exposición del profesorporque dicen «leer las fichas supo-ne esfuerzo», «es un método lento yconfuso», «no es divertido». Losalumnos de 4.° se decantan, tam-bién, por la explicación del profe-sor debido al esfuerzo que, dicenellos, les produce la lectura de lasfichas y por ser, éste, un métodolento.

BIBLIOGRAFÍA

GENERAL

AGUADO T. et al.: Diversidad cultural e igual-dad escolar. Madrid, MEC/C1DE (1998).

ALBERICIO, J. J.: Educar en la diversidad. Ma-drid, Bruño, 1991.

ALONSO, C.; GALLEGO J.; HONEY, P.: Los esti-los de aprendizaje. Bilbao, Mensajero,1999.

ÁLVAREZ, L.; SOLER, E.: La diversidad en lapráctica educativa. Modelos de orientación ytutoría. Madrid, CCS, 1996.

BLANCO GUIJARRO, M. R.: «La respuesta a ladiversidad y las intenciones educativas», enAula de Innovación Educativa, 10 (1993),pp. 43-46.

CIDE: La respuesta educativa a los alumnos gra-vemente afectados en su desarrollo. MadridServicio de Publicaciones del MEC, 1999.

— Catorce años de investigación sobre las desi-gualdades en educación en España, Madrid,Servicio de Publicaciones del MEC, 1998.

CONSEJO ESCOLAR DEL ESTADO: La Atencióna la Diversidad. La escuela intercultural.Madrid, Publicaciones del Consejo Esco-lar del estado, 2000.

FAES: El sistema educativo en la España de los2000, Papeles de la Fundación, Cuadernon.. 62. Madrid, 2001.

GARANTO ALOS, J.: «Concepto de la diversi-dad e implicaciones psicopedagógicas», enJornades sobre Orientació Psicopedagógica iAtenció a la Diversitat. Barcelona, Associa-ció Catalana d'Orientació Escolar i Profe-sional, 1994.

GARCÍA RAMOS, J. M.: Los estilos cognitivos ysu medida: Estudios sobre la dimensión de-pendencia-independencia de campo. Ma-drid, MEC/CIDE, 1989.

FERMOSO, P.: Educación intercultural: la Eu-ropa sin fronteras. Madrid, Narcea, 1992.

ILLAN ROMEU, N.; GARCÍA MARTÍNEZ, A.: Ladiversidad y la diferencia en la EducaciónSecundaria Obligatoria: Retos educativospara el siglo XJ. Archidona, Aljibe, 1997.

LAHOZ GARCÍA, J. M.: La diversidad en la edu-cación Secundaria: alternativas educativas.Madrid, Ediciones internacionales Uni-versitarias, 1999.

LLUCH, X.; SALINAS, J.: La diversidad culturalen ki Práctica Educativa, Materiales para laformación del profesorado en EducaciónIntercultural. Madrid: Publicaciones delMinisterio de Educación y Cultura, 1996.

438

MARTÍN, E.; MAURI, T. (coords.): La Aten-ción a la Diversidad en la Educación Secun-daria. Barcelona, Horsori, 1996.

PUIG DEL LIVOL, I.: Programación de aula yadecuación curricular, El tratamiento de ladiversidad. Barcelona, Graó, 1996.

REYNOLDS, D.; BOLLEN, R.; CREEMERS, B.;HOPKINS, D.; STOLL, L.; LAGERWEIJ, N.:Las escuelas eficaces. Claves para mejorar laenseñanza. Madrid, Aula )0(1 Santillana,1997.

TRENTACOSTA, J.: Multicultural and genderequity in the mathematics classroom. NCTM,1997 yearbook.

WANG, M.: Atención a la diversidad del alum-nado. Madrid, Narcea, 1995.

WANG; WALBERG, H.: «Classroom climate asmediator of educational inputs and out-puts», en FRASER, B. J.: The study of lear-ning environments, Assessment rechear. Sa-lem OR, 1989, pp. 47-58.

MATEMÁTICAS

ALLEN PAULOS, J El hombre anumérico. Bar-celona, Tusquets, 1990.

AGOSTINI, F.: Juegos de lógica y matemáticas.Madrid, Pirámide, 1990.

APERY, R.: Pensar la matemática. Barcelona,Tusquets, 1988.

ALSINA, C. et al.: Materiales para construir lageometría. Madrid, Síntesis, 1988.

- Simetria dinámica. Síntesis, Madrid,1989.

- Invitación a la didáctica de la geometria.Madrid, Síntesis, 1989.

BISHOP, A. J.: Mathematical Enculturation: ACultural Perspective on Mathematics. Edu-cación, Dordrecht, Kluver, 1988.

BOLT, B.: Actividades Matemáticas. Barcelo-na, Labor, 1982.

- Más actividades Matemáticas. Barcelona,Labor, 1988. ,

- Actividades Matemáticas. Barcelona, La-bor, 1982.

- Aún más actividades Matemáticas. Barcelo-na, Labor, 1989.

- Divertimentos matemáticos. Barcelona, La-bor, 1987.

BOLT, B. y HOBBS, D.: 101 proyectos matemá-ticos. Barcelona, Labor, 1991.

BOYER, C.: Historia de la matemática. Ma-drid, Alianza Editorial, 1986.

CALMO, M. L.: Un club matemático para ladiversidad. Madrid, Narcea, 1994.

- La resolución de problemas en un club mate-mático. Madrid, Narcea, 1990.

CASTELNUOVO, E.; BARRA, M.: La mathenza-tique dans la réalité. París, Cedic, 1980.

DAVIS, R.: Learning mathematics. London,Croom Helm, 1984.

DAVIS, P. J. y HERS, R.: El sueño de Descartes.Barcelona, Labor/MEC, 1989.

- Experiencia matemática. Barcelona, La-bor/MEC, 1988.

DEL OLMO, M. A.; MORENO, M. F.; GIL, F.:Superficie y volumen, ¿algo más que el traba-jo con fórmulas? Madrid, Síntesis, 1989.

FREUDENTHAL, H.: La matemática en la vidacotidiana. Madrid, Guadarrama, 1967.

GARCÍA BLANCO; LUNARES, S.: Algunos refe-rentes para analizar tareas matemáticas, enSUMA, n.° 18, 1994.

GARDNER, M.: Carnaval matemático. Ma-drid, Alianza Editorial, 1980.

- «AJA». Barcelona, Labor, 1981.- Nuevos pasatiempos matemáticos. Madrid,

Alianza Editorial, 1985.- Rosquillas anudadas. Barcelona, Labor,

1987.- Viajes por el tiempo. Barcelona, Labor,

1988.GHEVERGHESE, G.: La cresta de/pavo real. Las

matemáticas y sus raíces no europeas. Ma-drid, Pirámide, 1991.

GÓMEZ CHACÓN, I.: Los juegos de estrategiasen el curriculum de matemáticas. Madrid,Narcea, 1989.

GÓMEZ CHACON, I. M.: Procesos de aprendi-zaje en Matemáticas con poblaciones de fia-caso escolar en contextos de exclusión social.Las influencias afectivas en el conocimientode las matemáticas. Tesis doctoral, Univer-sidad Complutense de Madrid, 1997.

439

—Matemática Emocional. Madrid, Narcea,2000.

GRUPO AZARQUIEI : Ideas y actividades paraenseñar álgebra. Madrid, Síntesis, 1991.

GUZMAN, M.: Cuentos con cuentas. Barcelona,Labor, 1984.

—Aventuras matemáticas. Barcelona, Labor,1986.

—Mirar y ver. Madrid, Alhambra, 1976.GUTIÉRREZ, A. y JAIME, A.: «A model of test

to assess the Van Hiele levels», en PME,18. 1993 pp.

GuEDJ, D.: El teorema del loro. Barcelona,Anagrama, 2000.

KIRS'E, W.; DI EKM EYER, U.: Desarrolle su inte-ligencia. Bilbao, Mensajero, 1973.

KUCHEMANN, D.: «Learning teaching Ratio; Alook at some Current Textbooks», en Tea-ching and Learning Mathematics. School ofEducation, University of Exeter, 1987.

MACNAB, D. S.; CUM MINE, J. A.: La enseñan-za de las matemáticas de 11 a 16 Un enfo-que centrado en ki dificultad. Madrid, Vi-sor, 1992.

McLE01), D. B.; ADAMS, V. M.: Affects inMathematical Problem Solving. NuevaYork, Springer-Verlag, 1989.

MASON, J.; BURTON, L.: Pensar matemática-mente. Barcelona, mEc. \ Labor, 1988.

MOTTERSHEAD, L.: Sources of mathematicaldiscoveiy. Australia, Basil Blackwell, 1985.

GIT, E.: Supérese pensando. Hacia un pensa-miento lógico y eficaz. Bilbao, Mensajero,1974.

OitioN, A.: Didáctica de las matemáticas. Ma-drid, Morata/mEc, 1990.

Pimm, D.: El lenguaje matemático en el aula.Madrid, Morata \ mEc, 1990.

POLYA, G.: Cómo plantear y resolver problemas.México, Trillas, 1992.

PUIG, L.; CALDERÓN, J.: Investigación Didác-tica de las matemáticas. Madrid, MEC/CIDE,1996.

PRADA VICENTE, M. D. et al.: El comentariode textos matemáticos. Málaga, Ágora,1990.

PRADA, M. D.; MARTÍNEZ, I.: Cómo enseñar ellenguaje algebraico, las ecuaciones y los siste-mas. Málaga, Ágora, 1994.

PRADA, M. D.: Cómo enseñar las magnitudes,la medida y la proporcionalidad. Málaga,Ágora, 1990.

PUIG ADAM, P.: Didáctica Matemática Heu-rística. I. Madrid, Enseñanza Laboral,1956.

SECADA, W. G.; FENNEMA, E.; ADAJIAN, L.B.: Equidad y enseñanza de las matemáticas:nuevas tendencias. Madrid. MEC - Morata,1997.

SHASHA, D.: Las intrigantes aventuras del Doc-tor Ecco. Barcelona, Labor, 1989.

SOCIEDAD CANARIA DE PROFESORES DE MA-TEMÁTICAS: Las matemáticas del siglo XXI.Nivola, 2000.

SHULMAN, J.; MESA-BAINS, A.: Teaching di-verse students: Cases and commentaries. SanFrancisco, Far West Laboratory for Educa-tional Research and Development, 1990.

VERGNAUD: Recherches en didactiques des Ma-thimatiques. Madrid, Paidós, 1982.

WOOD, L. E.: Estrategias de pensamiento. Bar-celona, Labor, 1987.

440

ANEXO I'

Trazado del circuncentro doblando papel Igualdad de la distancia a los vértices

1. Recorta un triángulo acutángulo escaleno y traza sus mediatrices doblando papel(haz coincidir de dos en dos sus vértices). Comprueba que las tres se cortan en unpunto que notaremos con la letra F y que llamamos circuncentro.

2. Con un lápiz traza los segmentos AF, BF y CF.

3. Doblando en forma de valle por FM, FN y FP, y en forma de colina por AF, BFy FC obtendrás una estrella de tres punta que es posible cerrar juntando los tresbrazos, comprobando que los segmentos AF, BF y CF son iguales. Por ello, Fes el centro de una circunferencia que pasa por , la circunferencia cir-cunscrita al triángulo.

(1) Actividad realizada por Jesús García Gual, IES Conde de Orgaz.

441

(*) Para conseguir un plegado sin problemas de entre los triángulos FAB, FBC yFCA el de mayor ángulo en F debe ser el que se cierre abarcando a los otros dos.

4. La figura plegada nos muestra los ángulos M, N y P que son Por tanto, mi-ran al lado común bajo un ángulo de y, así, M, N y P, en esa figura plegada,están en una circunferencia de centro y radio El plegado nos ad-vierte también de la igualdad de ángulos tanto en F como en los vértices. Localizaesos ángulos iguales en el triángulo ABC.

ANEXO II

Actividades con el Tangrani

Actividad n.° 1: Construcción.—Se puede construir a partir del siguiente problema: divi-de el cuadrado en cinco triángulos, de tal forma que una vez recortados puedas cons-truir con ellos un triángulo, un rectángulo y un rombo equivalentes en área.

Sol:

(2) Actividad realizada por Antonio Pérez Sanz, IES Salvador Dalí.

442

(1 movimiento)

Actividad n.° 2: Construye el triángulo a partir del cuadrado.

Sol 2

(2 movimientos

Actividad n.° 3: Construye el rectángulo.

Sol:

Actividad n.° 4: Construye un rombo.

Sol 1: Sol 2:

443

A

Actividad n.° 5: Encuentra la relación entre la superficie del triángulo rectángulo isósce-les y la de los triángulos escalenos.

Sol: Área del triángulo rectángulo isósceles = 2 x Área de un triángulo escalen°.

Actividad n.° 6: Si el área del cuadrado total es la unidad, expresa, en forma de fraccio-nes, las áreas de cada una de las figuras.

Actividad 7: Si el lado del cuadrado mide la unidad, calcula las longitudes de los distin-tos lados de las piezas del Tangram.

Actividad 8: Calcula cuánto miden los ángulos de cada pieza.

ANEXO

PRUEBA FINAL DE GEOMETRÍA I.. ESO. GRUPONOMBRE Y APELLIDOS

1. Nombra todos los paralelogramos que conozcas e indica las características de unode ellos.

2. Escribe el nombre a los segmentos de la figura.

A

444

•

3. En los puntos A, B y C de la siguiente figura hay tres jugadores. Halla el puntodonde hay que colocar la pelota para que esté a la misma distancia de los tres.Cómo se llama ese punto?

4. Sabiendo que el área del cuadrado vale 16 cm 2 , calcula el área de cada color en lasiguiente figura, explica cómo lo haces:

5. El tangram es un rompecabezas chino de muchas posibilidades y está compuestopor 7 piezas que puedes ver en la figura adjunta.

a) Clasifica las piezas del tangram por su númerode lados y especifica el nombre de cada una.b) 1-je qué tipo son los triángulos que aparecen?

6. Traza la figura simétrica a la dada respecto a la recta y el punto indicados:

445

3 cm

7. María tiene un adorno de forma cilíndrica que quiere forrar de papel. El radiode la circunferencia de la base del adorno tiene 3 cm. Cuál de los siguientesdesarrollos corresponde al adorno? Justifica la respuesta (nota, consideraTC = 3 , 1 4) .

8. Tenemos dos triángulos rectángulos, si uno de ellos tiene los lados el doble que elotro. Ñué relación hay entre sus perímetros? Y entre sus áreas? Razona las res-puestas.

9. Especifica el valor de los ángulos interiores y centrales de los siguientes polígonosregulares. n(:?tié valor tendrían si el polígono regular fuese de «n» lados?

10. Sabemos que un poliedro tiene tantas caras como vértices un cubo y, también,tantos vértices como caras el cubo.a) li)e qué poliedro se trata?b) Citäntas aristas tiene?

446