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N

MANUAL"TÓPICOS DE NÚMEROS COMPLEJOS

PRGLOqO

Lü prssmis publicación trata ds problemas y ejercimos de

números complejos, no pretendo cubrir d vasto tema que

representa los números complejos, sino cierto acápites más

saltantes, los cuales son comunenie manejados por nuestros

estudiantes de primer cielo de Ingeniería y ciencias básicas,

ñsimismo, -esta publicación sirve de base para el estudio de las

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales de orden n; cuyos

soluciones se realizan en el plano complejo. Tal es así que he

tratado de trabajar básicamente con Ecuaciones Diferenciales de

EmL-n-QODDlNQTOhl.

Quisiera hacer patente mi gratitud a mi profesor el Doctor

Carlos Calderón Chamaehumbi, quién me asesoró constantemente

en ¡a elaboración de éste trabajo. Asimismo al C.P.il de la Facultad

de Ciencias de la UNASAM que hace posible ésta publicación.

Nelly Bustamante

El Autor

CONTENIDO

Operaciones con números complejos - forma cortesiaz

Conyugado y módulo de un número complejo

Forma polar de un número complejo

Argumento de un número complejo

A Exponencial de un número complejo - formula de MOIVRE

A Raíces de un número complejo

A Raíces racionales de un número complejo

A Conjuntos especiales de números complejo interpretación geométrico

01. Calcule los siguientes números complejos y exprésitos en la forma x+1 y donde; x,y eM

a) (2 - 3i) + (-1 + 6i)

Solución:

A = 2 - 3i B = -1 + 6i

Sea

A+B = 2 + i(6 - 3) = 1 - 3i

b) (4 + 2i) - (6 - 3i)4 - 6 + 2i + 3i = -2 + 5i

c) (6 - fii) (2 + 4/)

(ó - Jli) [l + 4í) = [6x2 + ^/2 (4)] + * [6(4) - 2^2 ]

= [l2 + A yjl\ + i [24 - 2 \¡l]

(ó - \¡2 i) (2 + 4i) = (l2 +4^ ) + í (24 - 2 \¡2)

Observación:

Usar: (a+bi) (c+di) = (ac - bd) + i(ad + be)

1 + id) 1 - i

1 + i = (1 + Q(1 + Q = 1 + 2¡ - 1 1 i

e) |4 - 5i| =

2 i = i1 - i2 1 + 1(i - 0(1 + o

[4 - 5i| = = yJT

f) Re (4 - 5i)

Re (4 - 5i) = 4

g) Img (6 + 2i) = 2

02. Expresar los siguientes números complejos en la forme r(cos0 + i senG)

con r > 0 ; 0< 9 < 271;

a) z, = 1 + ^3 i

Solución:

30 =Tg0 = ■—1

r = \¡i2 +3 = 2

1

A

z = r (cos 9 + i sen 9)

z = 2 (costc/3 + i sen tt/S)

b) z = (1 + i)2

Solución:

Si z = (1 + i) ; Tg9 = 1 ^ 9 = rc/4; elV

r = \¡2

■■■ Aplicando Moivre A

z" = rn [cos n 9 + i sen n9]

e

Tenemos que:

z 2 = (1 +/)2 = (\/2)2 f cos 2 — + ¡ sen 2 —| L 4 4 J

. f tu= 2 cos —L 2

TU+ ; sen2

1 + ic) z =1

Solución:

1 + iSabemos que z = i => z = i1 - i

9 = —de donde: 2

2

z = r (cos 0 + i sen0)

= l(cos + i sen 7t/2)

d) Z = (1+ 0(1-0

Solución

Aplicando (a + bi) (c + di) = (ac - bd) + i(ad + be)

Enz = (l +i)(l -0 = (1 + l) + i(-l + 1) = 2

r = 2 ; 0 = 0°z = 2 i

z = 2(cos 0° + i sen 0°)

03. Demostrar talque: z = 1 ± i satisface la ecuación z2 - 2z + 2 = 0

La ecuación z2 - 2z + 2 = 0

Solución:

Si z = 1 + i en z2 - 2z + 2 = 0

'(1 +i)2-2(1 +i) + 2 = 0

l2 + i2 + 2i-/-2i+;Z = 0

1-1=0

Para z = 1 - i en z2 - 2z + 2 = 0

(1- i)2 - 2(1 -i) + 2 = 0

l2 - 2i + i2 - 2 + 2i + 2 = 0

1 -2i- 1 - 2 + 2i + 2 = 0

satisfacer z2 - 2z + 2 = 0z = 1 ± i

Demostrar que l+r + r2 = 0es tal que r3 = 1 ; r * 104. Si r

Si r3 = 1 => r3 - 1 = 0

(r- l)(r2 + r + 1) = 0

r2 + r + 1 = 0 L.q.q.dLuego r ^ 0

O

05. Demuestre que:

a) z + z =2Rez

b) |R e z| < |z]

c) z - z = 2i Im z

d) |z| < |Rez | + j Im z |

Solución:

a) z+z =2Rez

z =Rez-iImzSea. z = R e z + i Imz

=» z+z =Rez+i Imz + R e z - Im z

L . q. q. d.z+z =2Rez

observación (también podemos concluir que: R e z = ----- )

b) ¡Rez| < |z¡

Solución:

Si z = R e z + i Imz

=» |z|2 = |R e z|2 + |Imz|2

|R e z| < |z||z|2 > |R e z|2 L.q.q.d.y

Otra forma:

Si z = x + i y

; y2 > 0 |z| > x2 = (R e z)2|z|2 = x2 + y2

=+ | z | > R p(z) L.q.q.d

c) z - z =2 ilm z

Solución:

z = R e z + i Imz - (R e z - i Imz)z

L.q.q.dz - z = 2 i Imz

4

d) |z| < |R e z| + |Imz|

Solución:

Siz’=Rez + iImz ; |z| < |Rez| + |iImz|

z<, |R e z| + ¡Imz|

06. Probar que: | |zj| - |z2l | á lzi + zi\

Solución:

Sea:

Z, =Z, +Z2-Z, |Z| | = |z, +z,-z,|

|Zl! á ¡Z, +Z,| + |z2| desigualdad triangular

=> |Z|| - |z2| ^ |z, + Z2| 0Semilarmente en:

|z2 | = |z2 + z, -z, => |z2| * |z2 + z, I + |z,|

|z2 I - |z,| < -|Z| + Z2|

=» |z,| - |z2| s - |z, + z2| ... @

De (“) y (g) obtenemos:

-|z, +z2 | ¿ (| z,|- |z21 ) ^ |z, +z,|

| |Z| | + |z2|| < |z, + z2| L.q.q.d

07. Demuestra que: |z, + z2|2 + |z, - z2 |2 = 2|z, |2 + 2|z2|2

Dorn:

Vz, eD ; z2 e D

Z21 2 = (Z1 + Z2) (Z1 + Z2)lz 1

= C2! + Z2) (Z! + Z2)

0+ z2zi + z z2 + z2z2= zi zi

5

IZ1 - Z2¡2 = (Z1 ~ Z2> (Z, - Z2>

= (z, - z2) (z, - z2)

-CD= z, z, - Z2 z, - z, Z2 Z2 Z2

Sumando « + p = 2zl z 2 Z 2 Z 2

= 2|z,| + 21 z21

|zi +Z2lJ+ |Zi -Z2l2 = 2|z,| + 21z,I L.q.q.d

08. Si n es un entero positivo cualquiera, dq:

r" (cos n0 + i sen n 0) = rn (cos 0 + i sen n 0)

Solución:

Si n es un entero positivo, probaremos que:

r" (cos n0 + i sen n 0) = [r (eos 0 + i sen 0)]n

Prop: usaremos I.m

a) n = 1; z = r (eos 0 + i sen 0) = r (eos 0 + i sen 0)

b) Supongamos que se cumple para n; entonces:

r" (eos n0 + i sen n 0) es V ... H.I

Luego: z"+l = z11. z

= rn (eos n0 + i sen n 0) r (eos 0 + i sen 0)

zn+i = rn+| [eos (n+l)0 + i sen (n+1) 0]

n+]Se cumple para z

Luego rn (eos n0 + i sen n 0) = [r (eos + i sen 0) ]"

09. Si |a| < 1 ¿Qué número complejo satisface la siguiente igualdad.

k ~ a\ <, i ?|1 - a z\

6

Solución:

Si z = x + i y a = a + b i a = a - b i

lz ~ <1 =» ¡z - a ¡2 < |1 - a z \ 2Sia z

Sustituyendo:

b i)2 < 1 - (a - b i) (x + i y) 2(x + i y) - (a +

\(x - a) + i (y - b) 2 < (1 - ax - by) (ay - bx) 2+

(x - a)2 + (y - b)2 < (1 - ax - by)2 + (ay - bx)2

x2 + y2 + a2 + b2 < {x2 y2){a2 + b2) + 1

(-2 ^)[l ~a2 -b2}±{l ~a2 ~ b2)

y2)[l - (a2 + b2)}<{\ - (a2 + b2))

+

[x2 4-

(*2 ^2)[l - l»|2] S (I l«l!)

Por hip. |a| < 1 =í- 1- |a|2 > 0 => x2 + y2 < 1

|z| < 1

◄ ►

11. Demostrar que:~ zz + c z + cz = 0

«G e R; Ceí, representa un círculo que pasa por el origen si “ * 0; y representa una línea recta que pasa por el origen si « = 0

7

Demostración:

®=» “Izj2 + c z + c z = 0“ZZ + CZ+CZ = 0

Sea z = x + i y c '= c, + i c2

Entonces: c z + cz = 2 Re (c z)

Luego c z = (c, + i c2) (x + iy) = (c,x - c2y) + i (c,y + c2x)

©2 Me c z = c,x - c2y ...

@© en

« ¡z|2 + 2 M e (cz) = “ (x2 + y2) + 2(c,x - c2y = 0)

Si « * 0

2 c2y2 c ,xiX2 J2 - = 0+x2 +2 . 2 X- + y¿

-2 c2 c1 2 U = 0Donde r = —2 \ ococ

4 c,2 4c22k 2 2= 0 c1 + c21 + r

<x2 oc2

es una circunferencia en el origen y de radio y

12. Encontrar las raíces cúbicas de la unidad

Solución

Si z = 1 haremos uso de:

i0 + 2 k ti0 + 2 A: Tt )( )=* Wk = r " + i sen seneos

nn

k = 1,2, ... n- 1

0 =0 °; r =1En z =1;

0° 0o = eos 0° + i sen 0o = lk = 0 ; w, = 1 eos ——• + i sen ----33

2 Tt 12 Tt , / Tt . Tt \= 1 ^ - eos— + i sen—j =k = 1 ; w2 = 1 + i sen -----eos3 3 3 3 2 2

I - v-Li4 Tt4 Tt 1 í - eos — - / sen —) =k = 2 ; w3 = 1 eos---- + i sen -----23 3 3 3 2

w, = 1

1w, = -2 2

I-£,w3 =2 2

>\ \-\l/2

\ 2 2

9

13. Encuentre las raíces cuadradas de i

Solución:

z = i =í> z= \fi

Ti rSiz = i=> z = 0 + ¡ 0 =2 1

it71

22 71 77k = 0 ; w, = 1i + i sen+ i sen = eoseos4 422

w,- )2 2

7777 + 277— + 27722k = 1 w, = 1 + i seneos

22

577577 + i sen ----4 J

eos4

7777 + i sen —- eos44

-v/222

w, =2 2

yi +, ¿i = (i + ow, =i 2 2 2

Ü - i A = - Jl (1 H- /)w2 = -22 2

14. Encuentre todas las raíces de los polinomios

a) z3 + 24

10

dW

Solución:

r = 2 Vsz3 = -24 6 = 1: ;

i0 + 2*71: 9 + Ikii

■■■ wk = rn + i seneosn n

+ i- ’vS[ 17:Si k = 0 + i senw eos3 2

- i®f[ 71+27: t: + 2tck = 1 + i seneosw2 3 3

]2 cos IX + i sen n

yj [ -i + o ] = -2 yj2

= 2yj[

= 2 yj [

= 2 \/3 j^cos (2n - —) + i sen (2k - —)J

= 2 yj [

t: + 4t: t: + 4t:k = 2 ; + i senW3 eos3 3

5 n 5 t:+ i seneos3 3

n n- i sen —eos3 3

■ 2^l21w32

Otra forma será:

+ 271 -) V 3 3 7r = 2 x yj e ; n =0,1,2

r = 2 x yjn = 0 ; e 3

r = 2 x yjí e = 2 x \f2 en = 1 3 i n

n + 4k 5n-(■

11 2 ; r = 2 x yj e = 2 x yj3 3

11

16. z4 = i 64

Solución:

371r = 64 ; 0= —2

3n----- + 2iZ m

1 ir4 er =

3 71371

n = 0 ; r, 764 e 2 Vi e S

3 7T/ -- * 271 \ 771

n = 1 ; r2 Veí = 2 \¡2 e 8

37X----- +471u_n ,

e 8n 2 ; r3 ^54 e = 2 Vi

3 7t----- + 6Jt .1571 .

I

= 2 Vin 3 ; r4 e Re

ico*) z - 1

Solución:

100 r = 1 ; 0 = 0°En z - 1

í 71 «r = e 50 n = O , 1,2 ... 99

r-( ) ; "Tin Tin = 0,99+ i sen -----eos5050

16. Sea “p” el polinomio dado por:

p(z) = aG z" + a, z"'1 + ... + an ; a0, a, ... a„ eIR

Df: p{z) = p{z)

12

Demostración

Si p(z) = a0 zn + a, z"'1 + ... + an ; ... an ctesa„, a, ,

— H -1= a z" + a + ... azio n

~n ~n-lz + a += a‘ ‘ an » ük ük

Z1o

p(z) = p{z)

p(z) = P (z)

16. Indicar gráficamente los siguientes números complejos z y que satisfacen las siguientes condiciones:

a) |z - 2| =2

Solución:

|z-2| =2 ; c(z0) = (2,0) c(z,0) = (2,0)i, r= 1

◄

b) |z + 2| <2

Solución:

c(z0) = (-2,0) ;

13

c) |R e Z¡ ¿ 3

Solución:

Si z = x + i y

-3 < x <3

-|3 - 3

d) | ImZ | > 1

Solución:

Si z = x + i y

ImZ = y ¡y|>i ^ y> 1 V y < -1=>

y < i •-1

zA y < -i

14

17. Calcule las raíces con sus correspondientes multiplicidades de los siguientes polinomio

a) z2 + z - 6 = 0

Solución:

z2 + z - 6 = (z+3) (z-2) = 0

z = -3 .... multiplicidad 1 z = 2 .... multiplicidad!

b) z2 + z + 1 = 0

z2 + z+ l=z2 + z+ — - — + 1 =ü 4 4

1 )2 + I = 01 4

=^ z +2

=> (z +' 2

1 U) 2= 0

2 '2 21 = 0iz + z +=»2

/ ... multiplicidad 11 +=> z ~i 2 2

1 - -— i ... multiplicidad 1^ Z2 = 2 2

c) z3-'3z2 + 4 = 0

z3 - 3z2 + 4 = (z - 2)2 (z+ 1) = 0

multiplicidad 2 multiplicidad 1

z = 2z = 1

•) z4 - 3 = 0

Solución:

r^rz4 - 3 = z4 -

15

4!-(7s)*] kMV?)1]

-{’-'fl){‘ * V3)(, -(V3<) (,

(Vi*)1

Vs ,■) = 0

z = \¡3 ... multiplicidad 1

z = -/3 ... multiplicidad 1

z = Vj « ... multiplicidad 1

z = - \¡3 i ... multiplicidad 1

17. Sea a = 2 + 3i; VxeR : f(x) = ax + (bx)2

b = 1 - i

a) Calcular a) (Kef) (x) ; b) 1m f(x)

Solución:

f(x) = x(2 + 3i) [(1 -i)x ]2

f(x) = 2x + (3x - 2x2)i

=4- Ke(x) = 2x

b) Im f(x) = 3x2 - 2x2

#

16

V

BIBLIOGRAFÍA

■) Introducción a las Ecuaciones Diferenciables Ordinarios : de: *

CoddingtonEARL . A.

•) Cálculo James Stewart

•) Algebra I Armando Rojo

•) Número Complejos y Ecuaciones Polinómicos : J: Aznarac

•) Variable Complejo Colección Shaum

•) Número Complejo Eduardo Espinoza

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17