números complejos - el campo c de los números complejos · Álgebra semestre2018-1...
TRANSCRIPT
ÁlgebraSemestre 2018-1
El Conjunto de Julia Llenopara la función holomorfa
f(z) = z2 + c
Animación por Ted Burke
Números ComplejosEl campo C de los números complejos
Araceli Guzmán
Guillermo GarroFacultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
La fórmula más notable en las matemáticas – R. Feymann
eiπ + 1 = 0
Señores:
Esto es seguramente cierto,es absolutamente paradójico.No lo podemos entender,y no sabemos qué significa.Pero lo hemos demostrado,y por consiguiente sabemos quedebe ser verdad.
Benjamin PierceLeonhard Euler
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
La variable compleja
La variable compleja es una rama central de lasmatemáticas teóricas y aplicadas, además deser un pilar fundamental de la física. Una formación matemática sólida incluye conocimien-tos de variable compleja, ya que ésta proporciona una visión unificada del álgebra, el análi-sis, la geometría y la topología. Más aún, temas estudiados al inicio de la licenciatura queinvolucran pruebas largas o complicadas, como los círculos coaxiales o algunos aspectos dela geometría analítica del plano, se comprenden de manera simple y clara bajo la luz de lavariable compleja. Asimismo, muchas integrales reales impropias y algunas trigonométri-cas, solamente pueden resolverse con la variable compleja. Hadamard llegó a decir que elcamino más corto entre dos verdades del dominio real pasaba por el dominio complejo
Antonio Lascurain, Curso básico de variable compleja.
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
El sistema de los números complejos C
El sistema de los números complejos, denotado por C, es el conjunto R2 junto con lasreglas usuales de la adición de vectores y la multiplicación escalar por un número real,a saber: Para todo (x1, y1) y (x2, y2) en R2,
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2);
y para todo a ∈ R y (x, y) ∈ R2,
a(x, y) = (ax, ay).
Y definimos también la multiplicación compleja: para todas (x1, y1) y (x2, y2) en R2,
(x1, y1)(x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2).
Observe que la multiplicación compleja, a diferencia del producto punto (o interior) queestudiamos en los cursos de Geometría analítica, produce un vector (o meor dicho, unnúmero complejo, de acuerdo a este contexto) a partir de otros dos.
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
La geometría de los números complejos
Geométricamente, los números complejos son sencillamente los puntos del plano R2.La suma de número complejos y el producto por un escalar son deifinidas exactamentecomo se definiene para el espacio lineal R2, así que la representación geométrica deéstas es típica.
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
La geometría de los números complejos
Geométricamente, los números complejos son sencillamente los puntos del plano R2.La suma de número complejos y el producto por un escalar son deifinidas exactamentecomo se definiene para el espacio lineal R2, así que la representación geométrica deéstas es típica.
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
La suma es asociativaSi (xj , yj) ∈ C, j = 1, 2, 3,
[(x1, y1) + (x2, y2)] + (x3, y3) = (x1 + x2, y1 + y2) + (x3, y3)
=((x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3
)=
((x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3
)=
(x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3)
)= (x1, y1) + (x2 + x3, y2 + y3)
= (x1, y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)]
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
La suma es conmutativaSi (xj , yj) ∈ C, j = 1, 2,
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
= (x2 + x1, y2 + y1)
= (x2, y2) + (x1, y1)
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
(0, 0) es el neutro aditivo
Si (x, y) ∈ C,(x, y) + (0, 0) = (x+ 0, y + 0) = (x, y).
Y por conmutatividad de la suma compleja,
(0, 0) + (x, y) = (x, y).
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
Existencia de inversos aditivosSi (x, y) ∈ C entonces (−x,−y) ∈ C es el inverso de (x, y):
(x, y) + (−x,−y) = (x− x, y − y) = (0, 0).
Observe:−(x, y) = (−x,−y).
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
El producto es asociativoSi (xj , yj) ∈ C, j = 1, 2, 3,
[(x1, y1)(x2, y2)](x3, y3) = (x1x2 − y1y2, y1x2 + y2x1)(x3, y3)
=((x1x2 − y1y2)x3 − (y1x2 + y2x1)y3, (y1x2 + y2x1)x3 + (x1x2 − y1y2)y3
)=
(x1(x2x3 − y2y3) − y1(y2x3 − x2y3), y1(x2y3 − y2y3) + x1(y2x3 + x2y3)
)= (x1, y1)(x2x3 − y2y3, y2x3 + x2y3)
= (x1, y1)[(x2, y2)(x3, y3)]
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
El producto es conmutativo
Si (xj , yj) ∈ C, j = 1, 2,
(x1, y1)(x2, y2) = (x1x2 − y1y2, y1x2 + x1y2)
= (x2x1 − y2y1, x2y1 + y2x1)
= (x2, y2)(x1, y1)
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
(1, 0) es el neutro para la multiplicación
Si (x, y) ∈ C,
(1, 0)(x, y) = (1x− 0y, 0x+ 1y) = (x, y).
Y por conmutatividad del producto complejo
(x, y)(1, 0) = (x, y).
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
Existencia de inversos para complejos no nulos
Sea (a, b) ∈ C tal que (a, b) ̸= (0, 0). Para encontrar el inverso multiplicativo de (a, b)necesitamos resolver la ecuación
(a, b)(x, y) = (1, 0), equivalentemente (ax− by, bx+ ay) = (1, 0).
Esto es, debemos resolver el sistema{ax− by = 1
bx+ ay = 0
Por la Regla de Cramer,
x =a
a2 + b2y y =
−b
a2 + b2.
El inverso de (a, b) ̸= (0, 0) es el complejo(a
a2 + b2,
−b
a2 + b2
).
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
Ley Distributiva para números complejosSean (xj , yj) ∈ C, j = 1, 2, 3.
(x1, y1)[(x2, y2) + (x3, y3)] = (x1, y1)(x2 + x3, y2 + y3)
=(x1(x2 + x3) − y1(y2 + y3), y1(x2 + x3) + x1(y2 + y3)
)=
((x1x2 − y1y2) + (x1x3 − y1y3), (y1x2 + x1y2) + (y1x3 + x1y3)
)= (x1x2 − y1y2, y1x2 + x1y2) + (x1x3 − y1y3, y1x3 + x1y3)
= (x1, y1)(x2, y2) + (x1, y1)(x3, y3).
Por conmutatividad del producto complejo,
[(x1, y1) + (x2, y2)](x3, y3) = (x3, y3)[(x1, y1) + (x2, y2)]
= (x3, y3)(x1, y1) + (x3, y3)(x2, y2)
= (x1, y1)(x3, y3) + (x2, y2)(x3, y3).
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
El campo complejo
Todo lo anterior prueba el siguiente
Teorema
El conjunto C con las operaciones antes definidas es un campo.
Ejemplos
Otros conjuntos que son campos con las operaciones usuales de suma y producto:
1. R.2. Q.3. {p+ q
√2 : p, q ∈ Q}.
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
La “unidad compleja”
Hay un número complejo particularmente especial, llamado a veces unidad compleja(o imaginaria), definido como
i = (0, 1).
Teorema
Para todo z = (x, y) ∈ C,
z = (x, 0) + i(y, 0).
Demostración.
Observe que
i(y, 0) = (0, 1)(y, 0) = (0y − 0 · 1, 1y + 0 · 0) = (0, y)
De donde,
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = (x, 0) + i(y, 0).
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
La “unidad compleja”
Hay un número complejo particularmente especial, llamado a veces unidad compleja(o imaginaria), definido como
i = (0, 1).
Teorema
i2 = (−1, 0)
Demostración.
Hacemos el cálculo directo,
i2 = i i = (0, 1)(0, 1) = (0 · 0− 1 · 1, 1 · 0 + 0 · 1) = (−1, 0).
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
La parte real y la parte imaginaria
Teorema
Paa cualesquiera reales x1, x2, y1, y2,
(x1, 0) + i(y1, 0) = (x2, 0) + i(y2, 0) si y sólo x1 = x2 y y1 = y2.
Demostración.
Si (x1, 0) + i(y1, 0) = (x2, 0) + i(y2, 0) entonces (x1, y1) = (x2, y2), de donde x1 =
x2 y y1 = y2. Si x1 = x2 y y1 = y2 es obvio que (x1, y1) = (x2, y2), esto es,(x1, 0) + i(y1, 0) = (x2, 0) + i(y2, 0).
Dado cualquier complejo z = (x, y), diremos que (x, 0) es la parte real y (y, 0) es laparte imaginaria. El teorema anterior dice entonces que todo número complejo estáúnicamente determinado por su parte real y su parte compleja. Usamos la notación
Re(z) = (x, 0) y Im(z) = (y, 0),
y escribimosz = Re+ Im(z)i.
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
La inmersión de R en C
Teorema
Sea φ : R → C dada por φ(x) = (x, 0), para toda x ∈ R. Entonces
1. φ es inyectiva.
2. Para todo x1 y x2 en R, φ(x1 + x2) = φ(x1) + φ(x2).
3. Para todo x1 y x2 en R, φ(x1x2) = φ(x1)φ(x2).
4. φ(0) = (0, 0).
5. φ(−x) = −φ(x), para toda x ∈ R.
6. φ(1) = (1, 0).
7. Si x ̸= 0, φ(x−1) = (φ(x))−1.
8. Si x ∈ R y z = (a, b) ∈ C, φ(x)z = (xa, xb) y φ(x) + z = (x+ a, b).
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
La notación compleja
En virtud del teorema anterior, podemos “identificar” el conjunto de los números realesR con su imagen
φ(R) = {(x, 0) ∈ C : x ∈ R}
(Geométricamente, se trata del eje real). Demaneraque vamos a considerar los númerosreales como números complejos
Así que para cada número real x, vamos a denotar con x mismo al número compleo(x, 0). En particular, 1 es el complejo (1, 0) y 0 es el neutro (0, 0).
Por lo tanto, todo número complejo z = (x, y) será descrito con la notación
z = x+ iy,
donde i2 = −1, como ya hemos probado.
De aquí en adelante vamos a considerar a los números complejos como el conjunto
C = {x+ iy : x, y ∈ R, i2 = −1}.
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
La notación compleja
Como un ejercicio vamos a comprobar que las operaciones complejas son consistentescon esta notación.
Para la suma compleja:
Para todo z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2,
z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2)
=((x1, 0) + i(y1, 0)
)+
((x2, 0) + i(y2, 0)
)= (x1, y1) + (x2, y2)
= (x1 + x2, y1 + y2)
= (x1 + x2, 0) + i(y1 + y2), 0)
=(x1 + x2
)+ i
(y1 + y2
)
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
La notación compleja
Como un ejercicio vamos a comprobar que las operaciones complejas son consistentescon esta notación.
En cuanto al producto:
Para todo z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2, vamos a calcular z1z2 de dos formas,
directamente:
z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2)
=((x1, 0) + i(y1, 0)
)((x2, 0) + i(y2, 0)
)= (x1, y1)(x2, y2)
= (x1x2 − y1y2, y1x2 + x1y2)
= (x1x2 − y1y2, 0) + i(y1x2 + x1y2, 0)
= x1x2 − y1y2 + i(y1x2 + x1y2).
usando las propiedades de campo:
z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2)
= x1x2 + ix1x2 + iy1x2 + i2y1y2
= x1x2 − y1y2 + i(x1x2 + y1x2)
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
La notación compleja
Dado un complejo z = x + iy, la parte real de z es x y la parte imaginaria de z es y.Esto es
Re(z) = x y Im(z) = y.
Teorema
Si z ∈ C, entonces
Re(−z) = −Re(z) y Im(−z) = −Im(z).
Teorema
Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 números complejos. Entonces
Re (z1 + z2) = Re(z1) + Re(z2) y Im(z1 + z2) = Im(z1) + Im(z2).
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
El álgebra de los números complejos
Si z = x+ iy ∈ C y z ̸= 0, entonces definimos (como es usual)
1
z= z−1.
Esto es, definimos 1z como el inverso múltiplicativo de z.
Teorema
Si z = x+ iy ∈ C y w = u+ iv ∈ C y z ̸= 0, entonces
w
z=
ux+ vy
a2 + b2+ i
xv − yu
a2 + b2.
Demostración.
Hacemos el cálculo directo
w
z= wz−1 = (u+ iv)
(x
x2 + y2− i
y
x2 + y2
)=
ux+ vy
x2 + y2+
xv − yu
x2 + y2.
Una fórmula para recordar
u+ iv
x+ iy=
ux+ vy
x2 + y2+ i
xv − yu
x2 + y2.
En particular
z−1 =1
x+ iy=
x
x2 + y2− i
y
x2 + y2.
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
El álgebra de los números complejos
Si z = x+ iy ∈ C y z ̸= 0, entonces definimos (como es usual)
1
z= z−1.
Esto es, definimos 1z como el inverso múltiplicativo de z.
Teorema
Si z = x+ iy ∈ C y w = u+ iv ∈ C y z ̸= 0, entonces
w
z=
ux+ vy
a2 + b2+ i
xv − yu
a2 + b2.
Demostración.
Hacemos el cálculo directo
w
z= wz−1 = (u+ iv)
(x
x2 + y2− i
y
x2 + y2
)=
ux+ vy
x2 + y2+
xv − yu
x2 + y2.
Una fórmula para recordar
u+ iv
x+ iy=
ux+ vy
x2 + y2+ i
xv − yu
x2 + y2.
En particular
z−1 =1
x+ iy=
x
x2 + y2− i
y
x2 + y2.
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
El álgebra de los números complejos
Podemos probar para los números complejos todos los resultados que son típicamenteválidos en R, salvo los relativos al orden. Veamos solo algunos
Teorema
Sean zj = xj + iyj ∈ C, j = 1, 2, 3. Entonces z1 = z2 si y sólo si z1 + z3 =
z2 + z3.
Teorema
Sean zj = xj + iyj ∈ C, j = 1, 2, 3 y z3 ̸= 0. Entonces z1 = z2 si y sólo siz1z3 = z2z3.
Teorema
Sean zj = xj + iyj ∈ C, j = 1, 2. Entonces z1z2 = 0 si y sólo si z1 = 0 ó z2 = 0.
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
El álgebra de los números complejos
Podemos probar para los números complejos todos los resultados que son típicamenteválidos en R, salvo los relativos al orden. Veamos solo algunos
Teorema
Sean zj = xj + iyj ∈ C, j = 1, 2, no nulos. Entonces (z1z2)−1 = z−11 z−1
2 . Enotras palabras
1
z1z2=
1
z1
1
z2.
Teorema
Sean zj = xj + iyj ∈ C, j = 1, 2, 3, 4, y z2 ̸= 0 ̸= z4. Entonces
z1z3z2z4
=z1z2
z3z4
.
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
El álgebra de los números complejos
Ejemplo
Divide 2− i entre 1 + i.
Solución.
Vamos a usar un truquito algebraico:
2− i
1 + i=
2− i
1 + i
1− i
1− i=
1− 3i
2=
1
2− i
3
2.
O bien, podemos usar directamente la fórmula encontrada antes
2− i
1 + i=
(2)(1) + (−1)(1)
12 + 12+
(1)(−1)− (1)(2)
12 + 12=
1
2− i
3
2.
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
El álgebra de los números complejos
Ejemplo
Demuestra que 1i = −i y que 1
1+i = 1−i2 .
Solución.
Por un lado1
i=
1
i
−i
−i=
−i
−i2=
−i
1= −i.
Y por otra parte,1
1 + i=
1
1 + i
1− i
1− i=
1− i
2.
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
El álgebra de los números complejos
Ejemplo
Encuentre la forma a+ ib del complejo 1i + 3
1+i .
Solución.
Un número complejo está únicamente determinado por sus partes real e imaginaria.Así que para resolver este ejercicio basta encontrar Re
(1i + 3
1+i
)y Im
(1i + 3
1+i
).
En esta caso,
Re(1
i+
3
1 + i
)= Re
(1
i
)+ Re
(3
1 + i
)= Re(−i) + Re
(3
2− i
3
2
)=
3
2.
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
El álgebra de los números complejos
Ejemplo
Encuentre la forma a+ ib del complejo 1i + 3
1+i .
Solución.
Un número complejo está únicamente determinado por sus partes real e imaginaria.Así que para resolver este ejercicio basta encontrar Re
(1i + 3
1+i
)y Im
(1i + 3
1+i
).
En esta caso,
Im(1
i+
3
1 + i
)= Im
(1
i
)+ Im
(3
1 + i
)= Im(−i) + Im
(3
2− i
3
2
)= −1− 3
2
= −5
2.
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
El álgebra de los números complejos
Ejemplo
Encuentre la forma a+ ib del complejo 1i + 3
1+i .
Solución.
Un número complejo está únicamente determinado por sus partes real e imaginaria.Así que para resolver este ejercicio basta encontrar Re
(1i + 3
1+i
)y Im
(1i + 3
1+i
).
De donde,1
i+
3
1 + i=
3
2− i
5
2.
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
El álgebra de los números complejos
Ejemplo
Encuentre la forma a+ ib del complejo 1i + 3
1+i .
Solución.
Un número complejo está únicamente determinado por sus partes real e imaginaria.Así que para resolver este ejercicio basta encontrar Re
(1i + 3
1+i
)y Im
(1i + 3
1+i
).
De donde,1
i+
3
1 + i=
3
2− i
5
2.
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
Raíces de ecuaciones cuadráticas
Teorema
Sea z ∈ C. Entonces existe un w ∈ C tal que w2 = z.
Demostración.
Sea z = a+ ib. Queremos encontrar un número complejo w = x+ iy tal que
(x+ iy)2 = w2 = z = a+ ib. (1)
Pero(x+ iy)2 = (x2 − y2) + i(2xy).
Por lo tanto, la ecuación (1) es válida si y sólo si
x2 − y2 = a y 2xy = b.
Observe que el signo de b determinará los signos de x y de y. Si b es positivo, entoncesx y y tienen el mismo signo, y si b es negativo entonces x y y tienen signos distintos. Sib = 0 entonces x o y serán igual a cero.Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
Raíces de ecuaciones cuadráticas
Teorema
Sea z ∈ C. Entonces existe un w ∈ C tal que w2 = z.
Demostración.
De las igualdadesx2 − y2 = a y 2xy = b,
se sigue
a2 = (x2 − y2)2
= x4 − 2x2y2 + y4
= x4 + 2x2y2 + y4 − 4x2y2
= (x2 + y2)2 − b2.
De donde
a2 + b2 = (x2 + y2)2, esto es, x2 + y2 =√
a2 + b2.Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
Raíces de ecuaciones cuadráticas
Teorema
Sea z ∈ C. Entonces existe un w ∈ C tal que w2 = z.
Demostración.
Tenemos así las igualdades
x2 − y2 = a y x2 + y2 =√
a2 + b2.
De las cuales obtenemos
x2 =a+
√a2 + b2
2y y2 =
−a+√a2 + b2
2.
Observe que ambas igualdades están perfectamente definidas. Más aún, si b = 0
observe que
x = 0 si a ≤ 0
y = 0 si a ≥ 0.
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
Raíces de ecuaciones cuadráticas
Teorema
Sea z ∈ C. Entonces existe un w ∈ C tal que w2 = z.
Demostración.
Definimos los números reales no negativos,
α =
√a+
√a2 + b2
2y β =
√−a+
√a2 + b2
2.
Por lo tanto, si b ≥ 0, elegimos
x = α y y = β, o bien x = −α y y = −β.
Y si b < 0, elegimos
x = α y y = −β, o bien x = −α y y = β.
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
Raíces de ecuaciones cuadráticas
Teorema
Sea z ∈ C. Entonces existe un w ∈ C tal que w2 = z.
Demostración.
Introducimos la función signo dada por
sign(b) =
{1 si b ≥ 0
−1 si b < 0.
Tenemos así, que la ecuación w2 = z tiene soluciones
w = ± (α+ i sign(b)β) .
Una fórmula para recordar
Sea z = a+ ib un número complejo. Entonces w2 = z si y sólo si
w = ±
√a+
√a2 + b2
2+ i signo(b)
√−a+
√a2 + b2
2
.
A veces usamos la notación
w =√a+ ib.
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
Raíces de ecuaciones cuadráticas
Teorema
Sea z ∈ C. Entonces existe un w ∈ C tal que w2 = z.
Demostración.
Introducimos la función signo dada por
sign(b) =
{1 si b ≥ 0
−1 si b < 0.
Tenemos así, que la ecuación w2 = z tiene soluciones
w = ± (α+ i sign(b)β) .
Una fórmula para recordar
Sea z = a+ ib un número complejo. Entonces w2 = z si y sólo si
w = ±
√a+
√a2 + b2
2+ i signo(b)
√−a+
√a2 + b2
2
.
A veces usamos la notación
w =√a+ ib.
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
Raíces de ecuaciones cuadráticas
Ejemplo
Resuelva la ecuación z2 + i = 0 en z ∈ C.
Solución.
Tenemos,z2 + i = 0 ⇔ z2 = −i.
Ocupamos la fórmula anterior, con a = 0 y b = −1, para obtener
z = ±(
1√2− i
1√2
).
Es decir, obtenemos las dos raíces
z1 =1√2− i
1√2
y z2 = − 1√2+ i
1√2
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
Raíces de ecuaciones cuadráticas
Ejemplo
Resuelva la ecuación (z + 1)2 = 3 + 4i en z ∈ C.
Solución.
Nuevamente, ocupando la fórmula con a = 3 y b = 4, obtenemos
z + 1 = ± (2 + i) ,
de donde obtenemos las soluciones
z1 = 1 + i y z2 = −3 + i.
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Números Complejos Álgebra
Unicidad de C y orden
Teorema
Si F es un campo tal que R ⊂ F, y tal que la ecuación
z2 = w, z, w ∈ F,
entonces C ⊂ F.
Teorema
No existe ninguna relación de orden en C compatible con las operaciones de C
Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM