números complejos
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2
Objetivos:Objetivos:
1.1. Definir el conjunto de los números complejos.Definir el conjunto de los números complejos.
2.2. Simplificar potencias de Simplificar potencias de i.i.
3.3. Difinir y usar las operaciones con números Difinir y usar las operaciones con números complejos.complejos.
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DefiniciónDefinición
Un número de la forma a + bi donde a y b son números reales, se conoce como un número complejonúmero complejo . La a se conoce como la parte real y la b se conoce como la parte imaginaria del número complejo.
se conoce como la raíz imaginaria.1i
1 i
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Definición
Al conjunto de números
1;,/ 2 iRbRabiaC
se le conoce como el conjunto de números complejos.
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Ejemplos de números complejos:
i35 )1
i47 )2
i61 )3
i5 )4
7 )5
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Calcule las siguientes raíces.Calcule las siguientes raíces.
4 1 ᅲ
11 i
1) 4
2) 25
3) 12
4) 11
i2
i5
2 3 i4 3 1ᅲ ᅲ
25 1 ᅲ
Raíces pares de números negativosRaíces pares de números negativos
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81 )5 ( ) ( )1 4 2 1
1 2 2 i
1 4 2 1 ᅲ ᅲ
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DefiniciónDefinición
Dos Dos números complejos son igualesnúmeros complejos son iguales si las partes reales si las partes reales son iguales y las partes imaginarias también son son iguales y las partes imaginarias también son iguales .iguales .
Si Si a + bi = c + di a + bi = c + di entonces entonces a = c a = c yy b = d. b = d.
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Ejemplo:Determine el valor de a y de b si
( ) ibia 5626
66 Si a 2 5y b
0a2
5b
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Potencias de i
, ,1, 1.i i
1 2 i3 2 1i i i i i ᅲ ᅲ
( ) ( )4 2 2 1 1 1i i i ᅲEste último resultado hace que las potencias de i solo tengan como resultados a:
1i
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Procedimiento para simplificar potencias de iara simplificar potencias de i 1. Divida el exponente por 4 y el resultado será i elevado al residuo de la división.2. Para simplificar use;
a.
b.
c.
d. ii 3
1i i10 i
2 1i
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Simplifica las potencias de iSimplifica las potencias de i
81) i 1
102) i 2 1i
5403) i 0 1i
0
20
20
12
14
135
4
5404
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13
134) i i
2275) i i
2856) i 1
i
11277) i i
( ) 1714285
i( )1127 4 281 3
3i
3i
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Definiciones de las Operaciones con Definiciones de las Operaciones con Números Complejos Números Complejos
( ) ( )1. : Suma a bi c di
( ) ( )idbca
( ) ( ) Ej 5em 1: 6plo 2 i i
( ) ( )5 6 1 2 i
i11© copywriter
15( ) ( )2. Resta : a bi c di
( ) ( )idbca
( ) ( ) 3Ejemplo 1: 2 6 3 i i
( ) ( )3 2 6 3i i
9 5i
( ) ( )a bi c di
La resta se cambia a la suma del opuesto del sustraendo.
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( ) ( )Ejemplo 2 : 8 18 5 50
( ) ( )8 3 2 5 5 2i i
( ) ( )8 3 2 5 5 2i i
3 8 2 i
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( ) ( )3. Multiplicación : .a bi c di
( ) ( )ac bd ad bc i Aclaración: La multiplicación se puede llevar a cabo como si fuera una multiplicación de polinomios.
( ) ( )a bi c di ac ad i ᅲ bc i ᅲ 2bd i ᅲ
( ) ( )1ac ad bc i bd
( ) ( )ac bd ad bc i © copywriter
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( ) ( )Ejemplo 1: 4 2 3 5 i i21062012 iii
12 14 10i
i1422
( )12 20 6 10 1i i
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( ) 2Ejemplo 2: 4 5 i
254016 i
i409
( ) ( )4 5 4 5i i 216 20 20 25i i i
( )16 40 25 1i
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20
( ) 3Ejemplo 3: 2 3 i
46 9i
( ) ( )22 3 2 3i i
( ) ( )2 4 12 9 2 3i i i
( )( ) ( ) 4 12 9 1 2 3i i
( ) ( ) 4 12 9 2 3i i ( ) ( ) 5 12 2 3i i
210 15 24 36i i i 10 15 24 36i i
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El conjugado de se define por .
Definición
z a bi z a bi a bi
Encuentra el conjugado de cada
Ejemplo
núm
s:
ero.
1. 2 4
2. 2 4
3. 64
4. 12 24
5. 13
i
i
i
i
i422 4i
64i
12 24i
13
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22
8 7Ejemplo 1:
1 3
i
i
1 38 7 •
1 3 1 3
i
i
i
i
2
2
91
217248
i
iii
La división se hace multiplicando por el conjugadodel denominador.
( )( )
4. División: a bi
c di
.
a bi c d i
c d i c d i
₩ ₩ │
│
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( )( )
8 17 21 1
1 9 1
i
8 17 21
1 9
i
10
1729 i
i10
17
10
29
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24
4 5Ejemplo 2:
3
i
i
4 5
3
3 •
3
i
i
i
i
2
2
9
1512
i
ii
9
1512
i
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25
9
1512
i9
15
9
12
i
3
5
3
4 i
i3
4
3
5
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Ejercicios:Lleva a cabo la operación indicada.
( ) ( )1) 5 7 2i i
( ) ( )2) 3 12 6 3i i
( ) ( )3) 12 23 16 13i i
( ) ( )4) 13 32 36 53i i
( ) ( )5) 3 2 6 3i i © copywriter
27
( ) ( )6) 5 7 2i i
( ) ( )7) 3 12 6 3i i
1 28)
6 3
i
i
3 29)
6 3
i
i
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28
( ) ( )1) 5 7 2i i 12 i
( ) ( )2) 3 12 6 3i i
( ) ( )3 12 6 3 i i 3 15 i
( ) ( )3) 12 23 16 13i i
( ) ( )12 23 16 13 i i 28 36 i© copywriter
29
( ) ( )4) 13 32 36 53i i 49 21 i
( ) ( )5) 3 2 6 3i i 218 9 12 6 i i i
( )18 21 6 1 i12 21 i
( ) ( )6) 5 7 2i i 235 10 7 2 i i i35 3 2 i
37 3 i
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30
( ) ( )7) 3 12 6 3i i 218 9 72 36 i i i
18 63 36 i54 63 i
1 28)
6 3
i
i
1 2 6 3
6 3 6 3
i i
i i
2
2
6 3 12 6
36 9
i i i
i6 9 6
36 9
i 12 9
45
i 4 3
15
i© copywriter
313 29)
6 3
i
i3 2 6 3
=6 3 6 3
gi i
i i
218 9 12 6 =
36 9
i i i
18 3 6 =
36 9
i
24 3 =
45
i 8 =
15
i
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