maldonado 2005

Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional

Departamento de Matemática Educativa

UN ANÁLISIS DIDÁCTICO DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Tesis que presenta:

Elika Sugey Maldonado Mejía

Para obtener el Grado de Maestra en Ciencias en la Especialidad de

Matemática Educativa

Dirección: Dra. Rosa María Farfán Márquez

México, D.F. Abril de 2005.

Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología, por la beca otorgada durante cuatro semestres, con la cual,

pude dedicarme de tiempo completo en mis estudios de maestría.

ÍNDICE INTRODUCCIÓN Capítulo Página

1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y OBJETIVO 1

- Planteamiento del problema 1

- Objetivo 6

2. MARCO TEÓRICO Y MÉTODO 7

- Marco teórico 7

- Método 10

3. ANÁLISIS DIDÁCTICO: FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA 12

- Presencia de la función trigonométrica en los programas de estudio del nivel NMS 14

- Presencia de la función trigonométrica en los libros de texto 24

4. ANÁLISIS DEL DISEÑO DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA 47

- Intenciones del diseño aplicado a estudiantes del NMS 47

- Análisis de las preguntas del cuestionario 48

- Resultados del diseño 52

5. COMENTARIOS FINALES 69

Bibliografía

i

Uno de los principales problemas que acontece nuestro sistema escolar, se refiere al

concepto de función, pues de ella se tienen diferentes concepciones y

representaciones, que por la enseñanza tradicional no se permite pasar de una

representación a otra, dando lugar a que el estudiante no se apropie de este

concepto. Diversas teorías se han ocupado en dar respuesta a esta problemática.

De las funciones trascendentes, como la función trigonométrica, encontramos sólo

trabajos que se refieren a la construcción o al entendimiento del comportamiento

de las gráficas de las funciones del tipo ( ) sen( )f x A Bx C D= − + , (Zúñiga, L. 1993,

Hornsby, J. 1990). Respecto a la apropiación de concepto de función

trigonométrica, encontramos en el medio escolar, que es presentada primero, en el

contexto del triángulo rectángulo, definiéndose como razones. Dado que el uso que

se tiene de éstas razones no se reduce sólo a los ángulos agudos, se considera al

sistema de ejes coordenados, teniendo ahora razones trigonométricas de ángulos

(medido en grados) de cualquier valor (negativos y positivos). A partir del círculo

unitario se da la conversión de ángulos medidos en grados a radianes y de esta

IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN

ii

manera tratar a las funciones trigonométricas como funciones reales de variable

real.

Dada la forma de tratar a la función trigonométrica, ¿qué percibe el estudiante de

este tratamiento? Nos interesamos en inferir la presencia de la función en el medio

escolar, planteándonos la siguiente pregunta

¿Cómo vive la noción de función trigonométrica en nuestro sistema escolar?

A partir de la mirada de la función en el medio escolar, inferimos sobre la

concepción que queda en el estudiante del concepto de función trigonométrica por

medio de un cuestionario.

Puesto que hacemos un análisis didáctico, la teoría de la Transposición didáctica

nos dará elementos necesarios para dar respuesta a nuestra pregunta,

permitiéndonos estudiar cómo se da la articulación del saber, su progresión lógica

y las estructuras conceptuales. Es decir, encontrar la significación y las intenciones

didácticas y concepciones que conlleva la incursión en la currícula del objeto de

enseñanza, de esta forma mostramos el modo de apropiación del significado y las

nociones a las que lleva la manera en cómo es presentado el objeto matemático, en

nuestro caso, la función trigonométrica.

Este trabajo contiene cinco capítulos, en el primero presentamos cómo se da el

planteamiento a nuestro problema de investigación y los objetivos a realizar. En el

siguiente presentamos la teoría que sustenta nuestro trabajo, la teoría de la

Transposición Didáctica, así como el método que llevamos a cabo para el análisis

didáctico.

iii

El capítulo 3 contiene el análisis didáctico de la función trigonométrica en

programas de estudio y libros de texto, que a partir de éste, realizamos un diseño

con el cual inferimos sobre las concepciones que quedan en los estudiantes del

concepto de función. Los resultados de este diseño los encontramos en el capítulo

cinco. Y los comentarios finales respecto a la vida escolar de la función

trigonométrica lo encontramos el último capítulo.

Planteamiento del problema y objetivo.

1

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Del estudio del sistema didáctico1, respecto al saber matemático, se ocupa nuestra

disciplina, la matemática educativa, que estudia los procesos de transmisión y

adquisición de los saberes en situación escolar. De manera que se propone

describir y explicar los fenómenos que se originan respecto a la relación entre

enseñanza y aprendizaje, afectando de manera positiva dicha relación.

Al respecto, podemos encontrar diversas investigaciones, como lo mencionan

(Cantoral, R. y Farfán, R. M. 2003), tratando sobre la evolución del estudio de los

fenómenos didácticos que se suceden cuando los saberes matemáticos constituidos

socialmente en ámbitos no escolares, se introducen al sistema de enseñanza y ello

obliga a una serie de modificaciones que afectan directamente tanto a su estructura

como a su funcionalidad; de manera que afectan también las relaciones que se

establecen entre estudiantes y profesor.

1 Siguiendo a Chevallard, el sistema didáctico es la relación entre profesor, estudiante y saber.

CCaappííttuulloo 11

PPPLLLAAANNNTTTEEEAAAMMMIIIEEENNNTTTOOO DDDEEELLL PPPRRROOOBBBLLLEEEMMMAAA YYY OOOBBBJJJEEETTTIIIVVVOOO


2

Uno de los principales problemas que tiene nuestro sistema escolar, se refiere al

concepto de función, pues, de ella se tienen diferentes concepciones y

representaciones, en donde la enseñanza tradicional no permite pasar de una

representación a otra, dando lugar a que el estudiante no se apropie de este

concepto. Encontramos también, que la noción de función es presentada en nuestro

sistema escolar actual como un procedimiento que se aplican a unos ciertos objetos

llamados números (Cantoral et al. 2000).

Existen diversos estudios que se han ocupado de esta problemática, por ejemplo

(Ferrarri 2001) presenta, desde algunas perspectivas teóricas, un estudio que se ha

hecho del concepto de función, en el que reporta varias de las aportaciones en

cuanto a la apropiación del concepto de función por parte del alumno, así como de

la problemática en torno a la enseñanza de este concepto.

Hablando de las funciones trascendentes, la exponencial, la logaritmo y la

trigonométrica, y de una en particular, como la función trigonométrica,

encontramos sólo trabajos que se refieren a la construcción o al entendimiento del

comportamiento de las gráficas de las funciones del tipo ( ) sen( )f x A Bx C D= − + ,

(Zúñiga, L. 1993), y (Hornsby, J. 1990) presenta un método para la construcción de

las gráficas de este tipo y así, promete el entendimiento de cómo afectan las

constantes A, B, C y D, a la gráfica.

En relación a cómo vive la función trigonométrica en el medio escolar,

encontramos diversas representaciones de ella. Es decir, es presentada primero, en

el contexto del triángulo rectángulo, definiéndose como razones; para ampliar el

dominio de los ángulos (ángulos medidos en grados, de cualquier valor: negativos

y positivos) se refiere al sistema de ejes coordenados, definiéndolas también como

razones. Con el círculo unitario se hace la conversión de ángulos medidos en grados


3

a radianes, para tratar, posteriormente, a las funciones trigonométricas como

funciones de variable real.

Esbozando el tratamiento escolar de las funciones trigonométricas

Usando el triángulo rectángulo se definen como razones de los lados (catetos e

hipotenusa), refiriéndolas sólo con ángulos agudos, es decir, si θ es el ángulo, θ

estará comprendido entre 0 y 90 grados,

Por ejemplo, a las razones seno, coseno y tangente de θ son definidas de la forma

siguiente,

opsenhip

θ = ,

adycoship

θ = y

optanady

θ =

Como el tratamiento de las razones trigonométricas por el triángulo rectángulo se

reduce a ángulos entre 0 y 90 grados, sin incluir a éstos, y el uso de ellas, en el

medio escolar, se extiende a ángulos (medidos en grados) de cualquier valor,

negativos y positivos, se considera el sistema de ejes coordenados. A partir del

punto coordenado (ordenada, abscisa) en el plano y la distancia al origen,

formando un triángulo rectángulo, como lo muestra la figura siguiente,

θ ady

hip op


4

Se definen a las razones seno, coseno y tangente de θ , siguiendo la definición por

el triángulo rectángulo, como

sen yr

θ = ,

cos xr

θ = y

tan yx

θ =

El signo que pueden tomar estas razones, depende del cuadrante en el que se

encuentre el punto coordenado, es decir, el lado terminal del ángulo.

Posteriormente se hace uso del círculo unitario, para mostrar los valores de las

razones de ángulos cuadrantales, como 0°, 90°, 180°, 270°, etc.

y

x(1,0)

(0,1)

(-1,0)

90°

270°

180°360°

0°

(0,-1)

P(x, y)

θ r

y

x


5

También, con el círculo trigonométrico, se da el paso de los ángulos medidos en

grados a radianes y de estos a reales, teniendo de esta manera, las funciones

trigonométricas como funciones reales de variable real,

Por ejemplo, t está medido en radianes, considerándolo así como real se tiene que

sen cos

t yt x==

Evolución de la función trigonométrica

Esquema de la evolución del concepto de función trigonométrica.

(1, 0)

cos t

(x, y)

t

cos t

Círculo trigonométrico

Variación

Función

Estático

Ejes coordenados

Triángulo rectángulo

Ángulo medido en grados Radianes Reales


6

OBJETIVO

Dada la forma de tratar a la función trigonométrica, el estudiante en la escuela

¿qué percibe de este tratamiento? De esta manera, nos interesamos en inferir la

presencia de la función en el medio escolar, por lo que, nos planteamos la siguiente

pregunta para este trabajo de investigación,

¿Cómo vive la noción de función trigonométrica en nuestro sistema escolar?

A partir de la mirada de la función en el sistema escolar, inferimos sobre la

concepción que queda en el estudiante del concepto de función trigonométrica por

medio de un cuestionario.

Por tanto, el interés estará en mirar la presencia de la función trigonométrica en los

programas curriculares y los libros de texto, para inferir sobre: cuáles son las

intenciones didácticas al llevarlo a nuestro sistema escolar y cuál es la

trascendencia de esta noción entre los estudiantes del nivel medio superior.

Marco teórico y método.

7

MARCO TEÓRICO

Puesto que hacemos un análisis didáctico de la función trigonométrica, la teoría de

la transposición didáctica nos proporcionará los elementos teóricos necesarios para

dar respuesta a la pregunta planteada en este trabajo.

Transposición didáctica

Los contenidos de saberes a enseñar (explícitamente: en los programas;

implícitamente: por la tradición evolutiva, de la interpretación de los programas),

en general preexisten al movimiento que los designa como tales. Sin embargo,

algunas veces son verdaderas creaciones didácticas, suscitadas por las

“necesidades de la enseñanza” (Chevallard, Y. 1991).

De tal manera que, un saber que ha sido designado como saber a enseñar, sufre a

partir de entonces un conjunto de trasformaciones adaptativas que van a hacerlo


MMMAAARRRCCCOOO TTTEEEÓÓÓRRRIIICCCOOO YYY MMMÉÉÉTTTOOODDDOOO


8

apto para ocupar un lugar entre los objetos de enseñanza. El trabajo que

transforma un objeto de saber a enseñar, en un objeto de enseñanza, es

denominado Transposición didáctica. Ésta, está conformada por el esquema

siguiente:

De esta manera el saber al trasponerlo al aula sufre algunos cambios en donde el

estudiante genera ciertas concepciones en cuanto al saber en juego.

Chevallard dice que un objeto de saber se trata como tal, cuando se presenta como

útil para la economía del sistema didáctico, el cual lo establece como:

Nociones matemáticas, que son considerados como objetos y herramientas de

estudio, poseen propiedades y tienen ocasiones de uso, es decir, son objetos de

enseñanza para un matemático (que están explícitamente en programas de

estudio). Por ejemplo, la función trigonométrica es tratada como objeto de estudio

y también como herramienta para el estudio de otros objetos matemáticos.

Nociones paramatemáticas, éstas son nociones-herramientas de la actividad

matemática las cuales son objeto de saber auxiliares que no son enseñados pero

son necesarios para la enseñanza de los objetos matemáticos. Por ejemplo la

conversión, en el tratamiento de las funciones trigonométricas, puesto que se

utiliza para pasar de los ángulos medidos en grados a radianes o viceversa.

Objeto de saber

Objeto a enseñar

Objeto de enseñanza


9

Nociones protomatemáticas, estas nociones son utilizadas implícitamente en la

solución de algún problema y no son reconocidos ni como objetos de estudio, ni

como herramientas para el estudio de otros objetos. Por ejemplo, la “medida” de

los ángulos, esta noción es tratada implícitamente, puesto que se trabaja o con

ángulos medidos en grados o medidos en radianes.

Los requisitos de la transposición didáctica se encuentran satisfechos a través del

proceso de preparación didáctica, es decir, de la puesta en textos del saber.

Teniendo entonces, en cuanto al saber:

La exigencia de explicitación, la textualización del saber conduce en primer lugar a

la delimitación de saberes parciales, la desincretización del saber. Es decir, la división

de la práctica teórica en campos de saber delimitados que dan lugar a prácticas de

aprendizaje especializadas.

La despersonalización del saber, en cada una de sus prácticas, la separación del saber

y de la persona, que es requisito para la publicidad del saber.

La programación de los aprendizajes y de los controles, según las secuencias

razonadas que permitan una adquisición progresiva de los conocimientos

expertos, es decir, la programabilidad de la adquisición del saber.

En cuanto a la transmisión:

La publicidad del saber, es la definición explícita, en comprensión y extensión, del

saber a transmitir.


10

Y por último, el control regulado de los aprendizajes según procedimientos de

verificación que autoricen la certificación de los conocimientos expertos, es decir, el

control social de los aprendizajes.

MÉTODO

Dado el carácter de la pregunta, planteada para este trabajo de investigación, nos

hemos propuesto hacer el análisis de materiales didácticos de la siguiente manera:

Programas de estudio, y los objetivos o propósitos del mismo.

Consideramos cómo se presenta la función trigonométrica y las intenciones

didácticas.

Libros de texto, utilizados para el estudio de la función trigonométrica.

Para la revisión de los libros de texto, dado el interés de la revisión, hacemos el

análisis siguiendo a (Ruiz, 1998):

Cómo presentan el concepto de función trigonométrica; si antes de presentarlos

plantea algún problema para dar la definición; y qué tipo de ejercicios y/o

problemas se presentan;

De qué manera define a las funciones trigonométricas y qué tipo de ejemplos se

proponen después de dar dicha definición.


11

El análisis didáctico nos permite estudiar cómo se da la articulación del saber, su

progresión lógica y las estructuras conceptuales. Es decir, encontrar la significación

y las intenciones didácticas y concepciones que conlleva la incursión en la currícula

del objeto de enseñanza, de esta forma mostramos el modo de apropiación del

significado y las nociones a las que lleva la manera en cómo es presentado el objeto

matemático, de modo que esto nos servirá para mostrar los efectos en la enseñanza

y aprendizaje de la noción de función trigonométrica.

Para dar tal resultado, contrastamos con estudiantes mediante un cuestionario,

producto del análisis realizado.

A continuación mostramos el esquema del método que llevamos a cabo para este

trabajo de tesis.

Esquema del método para la realización de este trabajo.

Libros de texto

Definición

Ejemplos

Concepto

Ejercicios

Vida escolar de la función trigonométrica

Programas de estudio

Objetivos o propósitos

Cuestionario

Grupo de estudiante de NMS

Capítulo 3: Análisis didáctico.

12

Para dar respuesta a la pregunta, ¿cómo vive la noción de función trigonométrica

en nuestro sistema escolar?, presentamos en este capítulo, el análisis de materiales

en los que es introducida la noción de función trigonométrica.

Puesto que la noción de función trigonométrica se incluye en la currícula del nivel

medio superior (NMS), hacemos la revisión de los materiales de este nivel, como

son: programas de estudio y libros de texto. Los libros que hemos considerado

para la revisión aparecen como parte de la referencia bibliográfica en los

programas de estudio, y desde nuestro punto de vista son los más utilizados por

los profesores de este nivel para presentar la función trigonométrica.

De esta manera, tratamos de inferir la presencia de la noción de función

trigonométrica en el sistema escolar; asimismo, de mostrar las intenciones

didácticas presentes en la incursión de la función trigonométrica.


AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS DDDIIIDDDÁÁÁCCCTTTIIICCCOOO::: FFFUUUNNNCCCIIIÓÓÓNNN TTTRRRIIIGGGOOONNNOOOMMMÉÉÉTTTRRRIIICCCAAA


13

En primer lugar, hacemos el análisis de los programas de estudio, de los cuales

mostramos la secuenciación del concepto de función trigonométrica, junto con las

intenciones didácticas al tratarlo como objeto de enseñanza. Posteriormente

presentaremos el análisis de libros de texto usados como herramienta didáctica.

La currícula de matemáticas que revisamos es de las escuelas:

Escuela Nacional Preparatoria, de la Universidad Nacional Autónoma de

México,

Escuela Preparatoria, de la Universidad Autónoma del Estado de México, y

Centro de Estudios Científicos y Tecnológicos, del Instituto Politécnico

Nacional.

ESCUELA PERIODO EN EL QUE SE PRESENTA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

CURSO EN QUE SE PRESENTA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Escuela Nacional Preparatoria (ENP) Segundo año (medio superior) MMMaaattteeemmmááátttiiicccaaasss VVV

Escuela Preparatoria (EP) Tercer semestre TTTrrriiigggooonnnooommmeeetttrrríííaaa

Centro de Estudios Científicos y Tecnológicos (CECyT) Segundo semestre GGGeeeooommmeeetttrrríííaaa yyy

TTTrrriiigggooonnnooommmeeetttrrríííaaa

Tabla 1. Ubicación de los programas de estudio.

Y los libros que analizamos son:

[1] Baldor, J. Geometría plana y del espacio y Trigonometría.

[2] Granvillle, Smith y Mikesh. Trigonometría plana y esférica.

[3] Guzmán Herrera A. Geometría y Trigonometría.

[4] Swokowsky-Cole. Álgebra y Trigonometría con geometría analítica.

[5] Zill, D. Álgebra y trigonometría.


14

PRESENCIA DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA EN LOS PROGRAMAS

DE ESTUDIO DEL NIVEL NMS

Para mostrar la presencia de la función trigonométrica, en la curricula de

matemáticas, hacemos el análisis de:

Programas de estudio, y los objetivos o propósitos del mismo.

En donde mostramos cómo se presenta la función trigonométrica y las intenciones

didácticas de este programa.

Antecedentes de la función trigonométrica en el sistema escolar

Las escuelas de medio superior están programadas para concluirlas en tres años

que se dividen en seis semestres; y en cada semestre se tiene un curso de

Matemáticas. De las escuelas que consideramos están dados por semestre; excepto

la Escuela Nacional Preparatoria (ENP), pues el plan de estudios es por año.

Un estudio que antecede a las funciones trigonométricas es la trigonometría

presentada en el tercer año de educación media (secundaria), del que la Secretaría

de Educación Pública1 (SEP) se encarga de la organización y programabilidad de

los saberes a enseñar en este nivel; este argumenta que, ... la trigonometría sigue

siendo importante por sus aplicaciones en la ciencia y la tecnología y presenta numerosas

situaciones interesantes que muestran las relaciones de la geometría con la aritmética y el

álgebra...(SEP). En este nivel el programa de matemáticas está constituido por áreas,

y justamente en el de geometría se presenta la trigonometría, en el que se propone que 1 Para estos datos, consultamos la página: http://www.sep.gob.mx/wb2/sep/sep_514_matematicas.


15

los alumnos conozcan y estudien las razones trigonométricas de un triángulo y las utilicen

en la solución de los problemas en los que esta disciplina es tan rica, como con el cálculo de

distancias inaccesibles a la medición directa (SEP). Es decir, se definen razones

trigonométricas (razones de los lados) de un triángulo rectángulo, únicamente para

utilizarlas como medios de solución.

La Escuela Nacional Preparatoria (ENP) atiende también la educación media

llamándole iniciación universitaria, y de la misma manera que la SEP, en el tercer

año se presenta el estudio de función trigonométrica2, dándole una orientación

para los estudiantes de ...incrementar su capacidad de raciocinio, reafirmar y enriquecer

sus habilidades operatorias, comunicativas y de descubrimiento... sobre la base de un

pensamiento ordenado que mejore su disposición e incremente su aptitud para resolver

problemas. Partiendo de ...elementos sencillos e incorporar progresivamente mayor

dificultad en los planteamientos y problemas que habrán de resolverse a través de todo el

curso (PE-ENP), para lograr los propósitos del programa. De esta manera se orienta

hacia un aprendizaje basado en la solución de problemas incorporando

gradualmente mayor dificultad.

La currícula de matemáticas en el NMS

Presentamos un esquema de los programas de la currícula de Matemáticas de las

escuelas que consideramos para este estudio.

2 Aunque en los programas se presentan como funciones trigonométricas, únicamente son tratadas como razones, de los lados de un triángulo, las cuales son utilizados para la solución de problemas planteados y presentación de algunos conceptos referidos a razones trigonométricas.


16

Escuela Nacional Preparatoria (ENP)

Escuela Preparatoria (EP)

Centro de Estudios Científicos y Tecnológicos (CECyT)

SEMESTRE 1 Álgebra I Álgebra

SEMESTRE 2 Matemáticas IV (Álgebra)

Álgebra II GGGeeeooommmeeetttrrríííaaa yyy TTTrrriiigggooonnnooommmeeetttrrríííaaa

SEMESTRE 3 TTTrrriiigggooonnnooommmeeetttrrríííaaa Geometría analítica

SEMESTRE 4 MMMaaattteeemmmááátttiiicccaaasss VVV (((GGGeeeooommmeeetttrrríííaaa)))

Geometría analítica Cálculo diferencial

SEMESTRE 5 Cálculo diferencial e integral Cálculo integral

SEMESTRE 6

Matemáticas VI (Cálculo diferencial e integral)

Estadística Probabilidad y Estadística

Tabla 1. Esquema de los programas de estudio.


17

La currícula es presentada por bloques, en los que la función trigonométrica se

encuentra en el bloque de geometría. De manera que, la currícula de matemáticas

sigue una secuencia en la presentación de su contenido, decimos entonces, que

sigue una programabilidad de los saberes a enseñar.

Las funciones trigonométricas después de presentarlas en los semestres

respectivos, se hace uso de ellas en el bloque de cálculo, no interesándose en el

entendimiento de este concepto, puesto que, sólo son utilizándolas como objetos, a

los cuales se aplican ciertos procedimientos (Cantoral y Farfán, 1998). Sólo en el

programa del CECyT, se pide hacer una revisión del círculo trigonométrico y del

comportamiento de las gráficas al variar parámetros.

Los programas son establecidos por unidades, por consiguiente, sólo presentamos

las que contienen criterios para el estudio de las funciones trigonométricas y con

base en ellos presentamos nuestro análisis.

Anotamos, en primer lugar, el estudio del contenido de los programas en el que

inferimos sobre la presencia de la noción de ft, posteriormente, daremos

seguimiento de los objetivos o propósitos a lograr en los programas; y de los

objetivos y propósitos al estudio de función trigonométrica.

Análisis de los programas de estudio y de objetivos o propósitos

Matemáticas V (ENP)

Unidad 2. Funciones trigonométricas - Razones trigonométricas. - Resolución de triángulos rectángulos.


18

- Funciones trigonométricas de dos ángulos. - Ley de los senos. - Ley de los cosenos. - Resolución de los triángulos oblicuángulos. - Razones trigonométricas para un ángulo en cualquier cuadrante. - Medida de un ángulo. - Círculo trigonométrico. - Funciones trigonométricas directas.

- dominio, rango, periodicidad, amplitud, desfasamiento y asíntotas de la gráfica. - Funciones trigonométricas inversas. - Ramas principales.

- dominio, rango y gráfica de las funciones trigonométricas inversas.

Se prioriza el tratamiento de procedimientos algorítmicos, pues, después de definir

a las razones trigonométricas, se presenta el uso de ellas en la resolución de

triángulos y de problemas de aplicación. Aparecen términos como: triángulo

rectángulo, plano coordenado, medida del ángulo (grados y radianes), círculo

trigonométrico (para el cálculo de ángulos cuadrantales). En esta unidad se

presentan las propiedades de las funciones trigonométricas (ft) y el trazo de éstas y

de las ft inversas.

Trigonometría (EP)

Unidad 1. Conceptos básicos. - Definición de ángulo. - Definición de triángulo. - Congruencia y semejanza de triángulos. Unidad 2. Razones trigonométricas. - Ángulo en posición normal y reducido. - Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal. - Signos de las razones trigonométricas. - Para un punto contenido en el lado terminal de un ángulo obtener las razones

trigonométricas. - Determinación de las razones trigonométricas conocida una de ellas. - Valores de las razones trigonométricas de 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° y

360°. - Valores de las razones trigonométricas de cualquier ángulo.


19

- Dado el valor de una razón trigonométrica, obtener el ángulo. Unidad 3. Triángulos. - Triángulo rectángulo. - Aplicaciones con triángulos rectángulos. - Triángulo oblicuángulo. - Aplicaciones con triángulos oblicuángulos. Unidad 4. Circunferencia y círculo. - Definición de circunferencia y círculo. - Elementos notables de la circunferencia y círculo. - Área y perímetro. - Relación entre las unidades de los sistemas sexagesimal y cíclico. - Sector circular. - Aplicaciones de longitud de arco y área de un sector circular. - Circunferencia unitaria. - Arco reducido. - Razones trigonométricas de un arco. - Valores de las razones trigonométricas de un arco en radianes o de un número

real. Unidad 5. Funciones trigonométricas. - Funciones trigonométricas reales de variable real. - Gráficas de las funciones trigonométricas. Unidad 6. Identidades trigonométricas. - Definición de identidad trigonométrica. - Las ocho identidades fundamentales. - Demostración de identidades trigonométricas. - Identidades trigonométricas de argumentos compuestos. - Verificación de identidades con argumentos compuestos. - Aplicaciones de las identidades trigonométricas de argumentos compuestos a valores

exactos. Unidad 7. Ecuaciones trigonométricas. - Ecuaciones trigonométricas.

Vemos que aparece el término de razones primero y luego del tratamiento del

ángulo medido en radianes (con el círculo unitario) se presentan las funciones

trigonométricas como funciones reales de variable real. Posteriormente se

presentan las gráficas de éstas.

Se regresa a razones trigonométricas para presentar las relaciones entre ellas. Estas

relaciones serán utilizadas para evitar procesos algebraicos engorrosos; y las

funciones serán tratadas bajo otro proceso en cursos posteriores.


20

Geometría y Trigonometría (CECyT)

- Circunferencia y círculo

- Ángulos y arcos. - Transformación de medidas angulares de grados a radianes y viceversa.

Unidad 3. Trigonometría. - Funciones trigonométricas.

- Definición. - Relación entre funciones trigonométricas. - Círculo trigonométrico. - Funciones trigonométricas inversas. - Gráficas de funciones trigonométricas (para seno, coseno y tangente).

- Resolución de triángulos. - Rectángulos. - Oblicuángulos.

- Ecuaciones trigonométricas.

Define primero, por medio del triángulo rectángulo, como razones, se presentan

las relaciones entre estas razones, y posterior al círculo trigonométrico se tienen a

las funciones como funciones reales presentando así las gráficas de éstas.

En general observamos que, en los programas, para el estudio de las funciones

trigonométricas, están presentes conceptos tales como: ángulo, triángulo

rectángulo, sistema de ejes coordenados, círculo trigonométrico. También vemos

que posterior a la definición como razones se hace uso de ellas en la resolución de

triángulos, y aparecen también las relaciones entre las razones, las cuales tendrán

uso como herramientas que facilitará procesos algebraicos en cursos posteriores.

La siguiente tabla resumimos la presencia de la función trigonométrica en los

programas de estudio, con esto queremos resaltar el tratamiento que se le da a esta

función.


21

ENP (UNAM) EP (UAEM) CECyT (IPN)

Razones trigonométricas. Definición de ángulo. Ángulos y arcos.

Medida de un ángulo. Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal. Funciones trigonométricas.

Círculo trigonométrico. Circunferencia unitaria. Círculo trigonométrico.

Funciones trigonométricas directas y gráficas.

Funciones trigonométricas reales de variable real. Funciones trigonométricas inversas.

Funciones trigonométricas inversas y gráficas.

Gráficas de las funciones trigonométricas. Gráficas de funciones trigonométricas

Esquema sobre la presencia de la función trigonométrica en el medio escolar.


22

Como vemos en la tabla, para llegar a tener a la función trigonométrica como

función real de variable real, se definen primero como razones3, que involucra a

ángulos medidos en grados; y con la conversión de estos ángulos medidos en

grados a radianes en el círculo unitario, se definen a estas funciones como

funciones reales, presentando así, las graficas de éstas.

Los programas entonces siguen cierto razonamiento para presentar el estudio de

estas funciones, manteniendo los mismos criterios, es decir, primero se hace el

tratamiento de ellas como razones, con las cuales se hace uso,

Intenciones para el estudio de FT

Observamos que los programas presentan propósitos u objetivos a cumplir al

término de este, es decir, presentan la programabilidad de los saberes a enseñar. Es

decir, lo que se espera en el aprendizaje de cada estudiante. Presentamos entonces

los propósitos u objetivos generales del programa; y los particulares, referidos a la

sección que presenta el estudio de función trigonométrica.

Intenciones generales

ENP

Iniciar a los alumnos en el conocimiento, la comprensión y las aplicaciones de la geometría analítica, de esta manera adquirirán la preparación necesaria para acceder a los cursos de Matemáticas del sexto año de bachillerato.

Reafirmar y profundizar los conocimientos de Geometría euclidiana y trigonometría adquiridos en cursos anteriores para plantear y resolver problemas de diversas disciplinas.

3 Esta definición se da con triángulo rectángulo y el sistema de ejes coordenados.


23

Fomentar en los alumnos la capacidad de razonamiento lógico, su espíritu crítico y el deseo de investigar para adquirir nuevos conocimientos, lo que resulta necesario para plantear y resolver numerosos problemas de aplicación, tanto en la misma Matemática como en otras disciplinas.

UAEM

Comprenderá la importancia de la Trigonometría y su aplicación en las diferentes ramas del conocimiento que la involucran.

Resolverá problemas cuyo modelo matemático implique soluciones trigonométricas.

IPN

Que el estudiante desarrolle sus habilidades de pensamiento, como son: razonamiento, análisis, reflexión, comunicación y valoración, a través de una actitud participativa, crítica y creativa, que permita relacionar los conocimientos de la aritmética, álgebra, geometría y trigonometría, para resolver problemas surgidos de situaciones cotidianas, sociales, de la naturaleza y la tecnología, con la finalidad de desarrollar las estructuras conceptuales necesarias para validar resultados mediante demostraciones formales.

Se espera del curso tener los conocimientos necesarios de conceptos relacionados a

las ft que serán usados en cursos posteriores o en otras áreas de la matemática; es

decir, el uso de estos conceptos será en resolución de problemas.

De manera que se introduce el estudio de ft, de manera secuenciada, es decir

llevando un ordenamiento en los saberes a enseñar, cumpliendo así, con la

programabilidad del saber.

Intenciones particulares al estudio de función trigonométrica

ENP

Que el alumno enriquezca los conceptos trigonométricos adquiridos anteriormente, manejándolos ahora como funciones, con sus respectivas gráficas.

Que aplique estos conceptos en la resolución de problemas que le sean significativos.


24

EP Comprenderá el concepto de función trigonométrica.

Graficará las funciones trigonométricas directas.

CECyT

El estudiante establecerá, con los fundamentos teóricos de las funciones trigonométricas, modelos geométricos que le permitan resolver problemas.

Se presentan los objetivos particulares al estudio de función trigonométrica, de tal

forma que sólo interesa que se conozcan, es decir, aprender cómo las definen. Se

pierde el interés de saberlas construir, aunque uno de los objetivos de la EP es que

se comprenda el concepto de ft, pero el tratamiento que se da a la ft no cumple con

este objetivo, de manera que, no interesa comprender el significado de ft. Así que,

de ellas sólo se hará uso como herramienta en la resolución de ejercicios

planteados en cursos posteriores.

PRESENCIA DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA EN LOS LIBROS DE

TEXTO

El análisis de los libros de texto lo hacemos siguiendo el planteamiento de (Ruiz,

1998):

cómo presentan el concepto de función trigonométrica; si antes de presentarlos

plantea algún problema para dar la definición; y qué tipo de ejercicios y/o

problemas se presentan;


25

de qué manera define a las funciones trigonométricas y qué tipo de ejemplos se

proponen después de dar dicha definición.

Con este análisis pretendemos inferir la presencia de función trigonométrica en los

libros de texto.

Análisis de los libros de texto

Libro [1]

Baldor (1992), no presenta ningún ejercicio o problema para introducir el concepto,

sólo hace el planteamiento del trazado de un ángulo y el valor que éste puede

tomar.

En el capítulo 22, llamado Trigonometría, en el tema 384 - Funciones trigonométricas

de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, define de la siguiente manera

“Consideremos un triángulo rectángulo ∆ ABC.

Las llamadas funciones o razones trigonométricas

de los ángulos agudos B y C son las siguientes:

Mostramos la definición para el ángulo B

SENO: Es la razón entre el cateto opuesto a la hipotenusa.

Notación. Seno del ángulo B se escribe senB.

a C b

B c A


26

bsenBa

=

COSENO: Es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

cosB ca

=

TANGENTE. Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

tanB bc

=

COTANGENTE: Es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.

cotB cb

=

SECANTE: Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.

secB ac

=

COSECANTE: Es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

cscB ab

= ”

Posteriormente, en el tema 385-Funciones y cofunciones trigonométricas de un ángulo

cualquiera, define considerando los lados terminales de ángulos en un plano

coordenado de la siguiente manera,

Tomemos un punto en el lado terminal y consideremos sus coordenadas y su

distancia al origen.

SENO: Es la razón entre la ordenada y la distancia al origen.

sen AEOA

α =

COSENO: Es la razón entre la abscisa y la distancia al origen.

cos OEOA

α =

TANGENTE: Es la razón entre la ordenada y la abscisa.


27

sen AEOE

α =

COTANGENTE. Es la razón entre la abscisa y la ordenada.

SECANTE. Es la razón entre la distancia y la abscisa.

COSECANTE. Es la razón entre la distancia y la ordenada.

Vemos pues, que son consideradas como razones entre la ordenada, la abscisa y la

distancia al origen de un punto en el lado terminal de un ángulo, formando así un

triángulo rectángulo, definiéndolas entonces como razones de segmentos.

El capítulo 23-Funciones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios,

etc. son definidas como razones entre segmentos, que son trazados en el círculo

trigonométrico, formando así, triángulos rectángulos. Por ejemplo para seno se

tiene que

.1

BD BD BDsen a BDrOB

= = = =

De modo que el seno del ángulo a es el segmento BD que corresponde con el valor

de la abscisa.

Posterior a cada definición presenta las relaciones entre las razones, por ejemplo la

reciprocidad entre ellas, identidades.

Después de la definición le siguen ejemplos, en los que se muestra el empleo de la

definición, es decir su uso, de esta manera se ejercita para el manejo de éstas,

siguiendo ciertos algoritmos. Los ejemplos son del tipo:


28

Ejemplo 1: Dado un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm,

calcular las funciones trigonométricas del ángulo agudo mayor.

Por medio del teorema de Pitágoras, calculamos la hipotenusa.

Ejemplo 2: a) Calcular las funciones trigonométricas del ángulo XOA α∠ =

(Fig. 1), sabiendo que A(3, 4).

b) Calcular las funciones trigonométricas de ángulo XOA β∠ = (Fig 2),

sabiendo que B(2, -3)

α

0x

y

d=5 4

A (3, 4) 4

2

1

3

1 2 3

1 2

-1

-2

-3

0 x

y'

B (2, -3)

d= 13

Figura 1 Figura 2

Los ejercicios propuestos al término de cada capítulo presentan las mismas

características. De esta manera el interés radica en que los estudiantes mecanicen el

uso de la definición, para su uso posterior, utilizándolas como fórmulas para la

resolución de los ejercicios. No aparece ningún problema de aplicación.

Baldor (1992) no presenta gráficas puesto que él sólo hace el tratamiento de

razones trigonométricas, de manera que los ángulos tratados son los medidos en

grados.


29

Libro [2]

El primer capítulo de libro de Granvillle, Smith y Mikesh (1982) se llama Las

Funciones trigonométricas, menciona que en la trigonometría se interesa en el

estudio de ciertas magnitudes llamadas funciones trigonométricas (razones

trigonométricas); también menciona que el objetivo del capítulo es definir a estas

funciones y hacer algunas aplicaciones elementales de ellas. Hace una presentación

el trazado y el valor de ángulos.

Presenta las definiciones y después de hacer relaciones entre ellas, muestra

ejemplos en los que se hace un reconocimiento de las definiciones, es decir, se hace

uso de las definiciones.

Los ejercicios los va planteando después de dar alguna definición.. La secuencia de

los ejercicios a resolver los presenta de forma que van adquiriendo mayor

complejidad en la resolución de estos.

Empieza definiendo las razones de un ángulo agudo por medio del triángulo

rectángulo, mencionando que las razones de los lados se llaman funciones

trigonométricas. La definición la presenta de la siguiente manera:

lado opuesto ;hipotenusa

asenAc

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

lado adyacentecos ;hipotenusa

bAc

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

lado opuestotg ;lado adyacente

aAb

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

hipotenusacsc ;lado opuesto

cAa

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

c

B

a

A b C


30

hipotenusasec ;lado adyacente

cAb

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

lado adyacentectg .lado opuesto

bAa

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

Para definir las razones de de cualquier ángulo medido en grados lo hace trazando

ángulos, positivos y negativos, en el plano coordenado presentando la siguiente

definición

ordenadasen ;

radioabscisa

cos ;radio

ordenadatg ;

abscisaabscisa

ctg ;ordenada

radiosec ;

abscisaradio

csc .ordenada

yXOB

rx

XOBry

XOBxx

XOBy

yXOB

rr

XOBy

= =

= =

= =

= =

= =

= =

El capítulo III-Líneas trigonométricas y gráficas, aquí se definen a partir de segmentos

trazados en el círculo trigonométrico, haciendo referencia al planteamiento

anterior, de manera que se tiene para seno

sen ;( 1)

QPAOP QPOP

= ==

Para graficar se encuentran valores mostrándolas en una tabla, mencionando que


31

Es más conveniente, cuando se busca una función trigonométrica de un

ángulo, usar la medida en grados del ángulo, y en cambio, al trazar una

gráfica es preferible usar su medida circular.

Presenta algunas relaciones de estas funciones, después da ejemplos tales como:

Ejercicio 1. Calcular las funciones trigonométricas del ángulo A en el

triángulo rectángulo cuyos catetos son a=3, b=4.

El valor que falta es el de la hipotenusa, lo calcula y siguiendo las fórmulas de la

definición encuentra los valores de las funciones.

Seguido de esto, muestra los signos posibles a cada cuadrante del plano

coordenado, calcula los valores de las razones de ángulos específicos. Dice también

que las razones tienen aplicación en la resolución de problemas en los que

teniendo el valor de una razón se pueden calcular los valores de las demás,

considerando las posiciones que puede tener el ángulo en el plano coordenado.

Para la representación gráfica de las funciones trigonométricas lo hace por medio

del círculo unitario, en el que traza las líneas trigonométricas, aplicando la

definición para cualquier ángulo medido en grados las vuelve a definir.

Geométricamente explica el cambio que tiene cada razón al variar su ángulo. Antes

de graficar, presenta la gráfica de una función algebraica mostrando una regla de 4

pasos a seguir. Sigue esta misma regla para graficar la función seno y hace una

discusión de la forma de la gráfica. Después de esto trata la periodicidad de las

funciones. Presenta las gráficas de las otras funciones a partir del círculo unitario.


32

Libro [3]

Guzmán, H (1991), para definir no presenta algún problema, presentando primero

las razones de ángulos agudos, presenta algunas relaciones de estas, antes de

definir las razones trigonométricas de cualquier valor menciona características de

los ángulos y traza un ángulo en el plano coordenado.

La definición la presenta primero para ángulos agudos por medio del triángulo

rectángulo y son definidas a partir de los lados de este, diciendo que son razones o

relaciones entre sus lados.

Para definir las razones de ángulos de cualquier valor lo hace por medio del plano

coordenado, que se considera la razón de la ordenada, la abscisa y la distancia al

origen de un punto trazado en el lado terminal del ángulo considerado.

ordenadasen

distanciaabscisa

cosdistanciaordenada

tanabscisaabscisa

cotordenadadistancia

secabscisa

distanciacsc

ordenada

ydxdyxxyyddy

θ

θ

θ

θ

θ

θ

= =

= =

= =

= =

= =

= =

Al término de cada definición presenta ejemplos de forma que se hace un

reconocimiento de la definición como fórmulas aplicándolo en la resolución de

éstos.

O x

d y

-

-

P(x,y)

θ


33

El círculo unitario es presentado para definir las funciones trigonométricas como

segmentos que son trazados en el círculo, en el que considera los triángulos

formados por estos segmentos.

Aplicando a los triángulos así formados, las definiciones de las funciones

trigonométricas tenemos que:

Es decir, la definición de las razones trigonométricas, por ejemplo para seno

sen1

AB AB AB ABrOA

θ = = = =

Con el círculo unitario presenta las variaciones que tiene cada función.

En el capítulo 10 Resolución de triángulos rectángulos presenta el uso de la definición

de las razones en la resolución de triángulos rectángulos, ofrece ejemplos y una

serie de ejercicios a resolver siguiendo los ejemplos que el autor muestra, estos son

presentados de forma que van adquiriendo mayor complejidad en su resolución.

En este mismo capítulo presenta las gráficas de las funciones utilizando el círculo

unitario para trazarlas. Al trazar senx hace una discusión alrededor de ésta,

1 un

idad

r = 1

θ

θ

AC

HE

FDBOX

YG


34

presentando características tales como su periodicidad y amplitud; y a partir de

esta gráfica construye la del coseno recordando una relación entre ambas. Las

gráficas de las otras funciones las dibuja considerando el círculo unitario.

Libro [4]

Swokowsky-Cole (2002) en el capítulo 6 Funciones trigonométricas de números reales,

presenta las funciones trigonométricas, dividiendo este capítulo en siete partes, el

primero de ellos es el de Ángulos donde se da una explicación del trazo, lectura y

valor del ángulo, los define y presenta la relación de un ángulo medido en grados a

radianes,

...si el arco AP (denotado por AP ) de la circunferencia subtiende a θ ...si la

longitud de AP es igual al radio r del círculo, entonces θ mide un radián,

conforme la siguiente definición.

Definición de

radián

Un radián es la medida del ángulo central de un

círculo subtendido por un arco igual en longitud al

radio del círculo.

Después de dar está definición y presentar esquemas con las que trata de explicar

la definición, expone la relación que hay entre grados y radianes

Relación entre

grados y radianes

(1) 180 π° = radianes

(2) 1180π

° = radián 0.0175≈ radián

(3) 1 radián 18057.2958

π°

= ≈ °⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


35

En general se ofrecen los conceptos a partir de un esquema, posteriormente

muestra ejemplos utilizándolos como aplicaciones. Los ejercicios se encuentran al

término de cada tema del capítulo, de forma gradual en cuanto a la complejidad en

la resolución de estos; presentando un gran número de ejercicios junto con

problemas de aplicación. Estos ejercicios inducen a mecanizar el uso de las

razones, no interesando el entendimiento de estos.

El tema de Funciones trigonométricas de ángulos, presenta las razones de ángulos

agudos, es decir, de ángulos comprendidos entre 0 y 90º, posteriormente de

ángulos medidos en grados de cualquier valor, definiéndolas en el plano

coordenado. Las funciones se presentan como las razones de los lados de un

triángulo rectángulo, y como razones de los lados comprendidos por el ángulo

trazado en el plano.

Para definir a las razones de ángulos agudos lo hace por medio del triángulo

rectángulo. Tomando a θ como un ángulo agudo del triángulos rectángulo, y a las

longitudes de los lados del triángulo lado opuesto (op), lado adyacente (ady) y la

hipotenusa (hip).

Definición de las funciones trigonométricas de un ángulo agudo de un

triángulo rectángulo

op ady opsen cos tan

hip hip adyhip hip ady

csc sec cotop ady op

θ θ θ

θ θ θ

= = =

= = =

θ ady

hip op


36

Presenta algunas relaciones entre estas razones, y unos ejemplos a manera de

reconocimiento de lo planteado, calculando valores de las funciones de algunos

ángulos específicos.

Uno de los ejemplos que presenta para mostrar el uso de estas razones es el

siguiente,

Ejemplo 1: Hallar valores de funciones trigonométricas de un ángulo agudo.

Si θ es un ángulo y 3cos

4θ = , halla los valores de las funciones

trigonométricas de θ .

Para resolver este ejemplo, hace referencia a la definición de razones, al triángulo

rectángulo y al teorema de Pitágoras para encontrar el valor del lado del triángulo

faltante.

Posteriormente, para definir a las razones trigonométricas de ángulos medido en

grados de cualquier valor, negativos y positivos, considera el sistema de ejes

coordenados, así como se aprecia en la siguiente figura:

θ

y

x

y

O x

r

Q(x,0)

P(x,y)


37

En éste, toma un punto coordenado del lado terminal del ángulo y la distancia de

este punto al origen.

Da una explicación similar para un ángulo trazado en cualquier cuadrante y define

las razones haciendo referencia a la definición a partir del triángulo rectángulo.

Definición de

las funciones

trigonométricas

de cualquier

ángulo

Sea θ un ángulo en posición estándar en un sistema de

coordenadas rectangulares, y sea ( , )P x y cualquier punto

fuera del origen O en el lado terminal de θ.

Si 2 2( , )d O P r x y= = + , entonces

sen cos tan (si 0)

csc (si 0) sec (si 0) cot (si 0)

y x yx

r r xr r x

y x yy x y

θ θ θ

θ θ θ

= = = ≠

= ≠ = ≠ = ≠

Da una breve explicación del dominio de estas razones, mostrándolos como en la

tabla siguiente

Función Dominio

seno, coseno

tangente, secante

cotangente, cosecante

todo ángulo θ

todo ángulo θ excepto 90 1802

n nπ

θ π= + = ° + ° ⋅

todo ángulo θ excepto 180n nθ π= = ° ⋅

Presenta ejemplos en los que se da un punto coordenado para trazar en el plano y

posteriormente aplicar las fórmulas de la definición.


38

EJEMPLO 7. Hallar valores de funciones

trigonométricas de un ángulo en posición

estándar.

Si θ es un ángulo en posición estándar en

un sistema de coordenadas rectangulares, y

si ( )15,8P − está en el lado terminal de θ , halla los valores de las seis

funciones trigonométricas de θ .

El tercer tema es Funciones trigonométricas de números reales. Señala que en temas del

cálculo y muchas aplicaciones, las funciones son dadas con números reales, de lo

que dice

El valor de una función trigonométrica de un

número real t es su valor en un ángulo de t

radianes en el supuesto de que ese valor existe.

Definición de las funciones

trigonométricas de números reales

De manera geométrica da la relación entre un ángulo en radianes a reales, usando

la circunferencia unitaria,

Sea t un número real tal que 0 2t π< < , y

denotemos con θ el ángulo (en posición

estándar) de t radianes... en donde ( , )P x y es

el punto de intersección de lado terminal de θ

y la circunferencia unitaria U, en donde s es la

longitud del arco circular de (1,0)A a ( , )P x y . Dada la fórmula s rθ= para

la longitud de un arco de circunferencia, con tθ = y 1r = , vemos que

1( )s r t tθ= = =

O

U

s = t

y

x

P x, y( )θ = t

A(1,0)

O

y

x

P -15, 8( )

θr


39

Por tanto, t se puede tomar como la medida en radianes del ángulo θ o como

la longitud del arco circular AP en U...

De esta manera dice que

... se puede asociar un punto único ( , )P x y en U con cada número real t.

Con esta explicación se considera entonces que el valor del ángulo en radianes será

considerado en números reales.

Definiendo ahora las funciones apoyándose en la circunferencia unitaria se tiene,

Definición de las funciones

trigonométricas en términos de una circunferencia

unitaria

Si t es un número real y ( , )P x y es el punto de la

circunferencia unitaria U que corresponde a t,

entonces

sen cos tan (si 0)

1 1csc (si 0) sec (si 0) cot (si 0)

yt y t x t xx

xt y t x t yy x y

= = = ≠

= ≠ = ≠ = ≠

Seguido de la definición se presentan ejemplos, en los que solo se maneja la

definición usando las fórmulas en la resolución del ejemplo

Uno de los ejemplos es como el que sigue


40

Ejemplo 1. Hallar valores de las funciones trigonométricas.

En la figura 4 se presenta un punto ( ),P x y en la circunferencia unitaria U

correspondiente a un número real t, para 3 / 2tπ π< < . Halla los valores de

las funciones trigonométricas en t.

El círculo unitario es usado también para graficar las funciones, en el que presenta

la variación del seno y coseno en cada cuadrante, definiendo función periódica.

Para graficar hace el cambio de t por x, teniendo por ejemplo,

sen y x=

Traza los valores mostrados en una tabla y obtiene la gráfica recordando cómo

varia el seno y como tiene periodo 2π, dice entonces que se repite tanto a la

izquierda como a la derecha. La gráfica del coseno es presentado de manera

similar.

Para trazar la gráfica de la tangente presenta un teorema sobre la paridad e

imparidad de las funciones.

Las gráficas de las otras funciones las obtiene a partir de las tres anteriores,

utilizando la reciprocidad entre ellas.

Se tiene entonces que el concepto de función trigonométrica sólo quede aprendida

como fórmulas, pues de ella sólo se hará uso para algunas aplicaciones o se usará

en la resolución de problemas, y en cursos posteriores se deben conocer estas

funciones, por ejemplo en cálculo diferencial e integral.


41

Libro [5]

Zill D, en el capítulo 6 presenta como primer tema aparece el trazado de ángulos,

así como la conversión de ángulos medidos en grados a radianes. En la sección 6.2

Funciones trigonométricas de ángulos agudos en triángulos rectángulos, muestra la

definición de acuerdo a las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo,

definiéndola como razones, como se aprecia en el cuadro siguiente,

Las seis funciones trigonométricas de un ángulo agudo θ en un triángulo

rectángulo se definen así:

op hipsen csc

hip opady hip

cos sechip adyop ady

tan cotady op

,

,

,

θ θ

θ θ

θ θ

= =

= =

= =

Posteriormente presenta algunas relaciones que hay entre las razones definidas,

dando antes un ejemplo en el que se plantea el empleo de la definición.

Presenta una serie de ejercicios al término de esta sección, prevaleciendo ejercicios

para ejercitar el manejo de la definición planteada. En la siguiente sección se

presentan aplicaciones de la trigonometría a triángulos rectángulos, presentando al

final de esta sección una serie de ejercicios de aplicación.

En la sección 6.4 Funciones trigonométricas de ángulos generales extiende el dominio

del ángulo, medido en grados, a cualquier valor, mencionando que muchas

aplicaciones de la trigonometría incluyen ángulos que no son agudos. Define

ahora, a partir de un ángulo marcado en el plano coordenado de la siguiente

manera,


42

Sea θ un ángulo en posición normal, y sea P(x, y) cualquier punto distinto

de (0, 0) en el lado terminal de θ . Si 22 yxr += es la distancia entre (0,

0) y (x, y), entonces las seis funciones trigonométricas de θ se definen como:

sen csc 0

cos sec 0

tan 0 cot 0

, ,

,

, ,

y ry

r yx r

xr xy x

x yx y

θ θ

θ θ

θ θ

= = ≠

= = ≠

= ≠ = ≠

A esta definición le siguen ejemplos en los que se hace referencia a la definición

dada, al termino de la sección da una serie de ejercicios. Dada las características de

éstos, se orienta a la algoritmia en el manejo de la definición. El resto del capítulo

trata sobre la resolución de triángulos, y al final de éste se da otra serie de ejercicios

como repaso de lo visto en el capítulo.

En el capítulo 7, Zill D. en la sección 7.1 Funciones circulares, menciona que dado

que en cálculo y otros cursos se considera a las funciones trigonométricas con

dominios a los números reales, es necesario definirlas a en números reales, como:

El valor de cada función trigonométrica para un número real t se define

como su valor en un ángulo de t radianes, si ese valor existe.

θ

y

x

r y

xO

P(x, y)


43

Es decir,

Sean (x, y) las coordenadas de P, como se indica en la figura.

Retoma la definición dada para ángulos de cualquier valor, teniendo ahora:

sen 1 , csc 1 , 0cos 1 , sec 1 , 0tan , 0 cot 0

t y r y y t r y y yt x r x x t r x x xt y x x t x y y

= = = = = ≠= = = = = ≠= ≠ = ≠

A partir de la explicación del rango del seno y del coseno expone las funciones,

mencionando que el dominio de estas funciones es el conjunto de los reales.

ttf sen )( = y ttg cos)( =

De manera que Zill D. escribe como funciones, posterior a la definición dada a

partir del círculo unitario.

Después, ofrece un ejemplo, continuando con algunas propiedades de las ft y al

término de esta sección presenta una serie de ejercicios y por la cantidad, se

sobreentiende que es para ejercitar sobre lo planteado en esta sección.

En la sección 7.2 Gráficas de las funciones trigonométricas menciona que para un

mejor entendimiento de las funciones trigonométricas es examinar sus gráficas,

t

y

x

= (cos t , sen t)

(1,0)

Pt (x, y)


44

mostrándolas (seno y coseno) a partir de la circunferencia unitaria. Para graficar la

función tangente, lo hace considerando el conciente de seno y coseno, tabulando y

marcando los puntos.

Resaltamos que Zill va retomando las relaciones y propiedades que muestra,

relacionándolas en los ejemplos presentados, después de las gráficas.

Posteriormente da una serie de ejercicios, asentando lo definido en la sección.

Hay una sección en la que muestra el comportamiento de las gráficas, junto con

ejemplos y ejercicios de aplicación.

Comentarios finales

En general los libros antes de empezar a hablar de las funciones, presentan las

características de un ángulo, para posteriormente definirlas como razones de los

lados de un triángulo rectángulo o de las magnitudes en el plano coordenado. Para

mostrar a las funciones trigonométricas como funciones reales de variable real, lo

hacen por medio de la circunferencia unitaria, por ésta también se trazan las

gráficas de las funciones, cabe mencionar que Baldor en ningún apartado del libro

las presenta, por tanto no menciona propiedades de las funciones, solo menciona

las variaciones de las razones.

En la siguiente tabla mostramos un resumen de cómo definen a las funciones

trigonométricas, en los libros analizados, en un triángulo rectángulo y en una

circunferencia unitaria.


45

LIBRO DE TEXTO TRIÁNGULO RECTÁNGULO CÍRCULO UNITARIO

Swokowski, E. y Cole, J. (2002). Álgebra y trigonometría con geometría analítica.

“Presentaremos las funciones trigonométricas como se originaron históricamente: como razones de los lados de un triángulo rectángulo”.

“Sea θ un ángulo en posición estándar en un sistema de coordenadas rectangulares, y sea P(x,y) cualquier punto fuera del origen O en el lado terminal de θ”. (x y y en el dominio de números reales)

Baldor, J. A. (1992). Geometría plana y del espacio y Trigonometría

“Consideremos el triángulo rectángulo ABC. Las llamadas funciones o razones trigonométricas de los ángulos agudos B y C son las siguientes...”. (y empieza a definirlas como la razón entre los lados del triángulo)

“Tracemos el círculo trigonométrico... Consideremos un ángulo cualquiera a, en el primer cuadrante y tracemos (segmentos, formando triángulos). Aplicando las definiciones ya dadas de las funciones trigonométricas, tenemos:...”(definidas por segmentos)

Granvillle, W., Smith, P. y Mikesh, J. (1982). Trigonometría plana y esférica.

“La Trigonometría comienza por enseñar la naturaleza exacta de esta dependencia, y para este objeto emplea las razones de los lados. Estas razones se llaman funciones trigonométricas”.

“Es conveniente emplear una representación geométrica de los valores de las funciones por medio de segmentos de recta dirigidos, llamados líneas trigonométricas...”.

Guzmán Herrera A. (1991) Geometría y Trigonometría.

Las funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo son las razones o relaciones entre sus lados

“...aplicando a los triángulos así formados, las definiciones de las funciones trigonométricas tenemos que:...las funciones trigonométricas son segmentos rectilíneos”.

Zill D. (1992) Algebra y Trigonometría

Como razones de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.

El valor de cada función trigonométrica para un número real t se define como su valor en un ángulo de t radianes, si ese valor existe.

Cómo definen los libros a partir del triángulo rectángulo y del círculo unitario.


46

Encontramos que se prevalece el dominio algorítmico de las razones por la

infinidad de ejercicios y problemas que se presentan después de definir a las

funciones trigonométricas (razones) o de presentar relaciones entre ellas.

En la presentación de las funciones trigonométricas en los materiales (libros y

programas) revisados, vemos que siguen un orden, es decir que se sigue una

programabilidad del saber. En ambos casos, no se explicita el paso que hay de la

relación de radianes a reales, de manera que ya definida a la función como función

real, se retoman a las razones para ejercicios de aplicación.

Capítulo 4. Análisis del diseño.

47

INTENCIONES DEL DISEÑO APLICADO A ESTUDIANTES DEL NMS

Realizamos un cuestionario con la intención de mostrar las concepciones que

quedan en los estudiantes, de la noción de función trigonométrica.

Con el cuestionario, no intentamos evaluar los resultados, sino, tratamos de inferir

sobre las concepciones, en cuanto a la noción de función trigonométrica que tienen

los estudiantes, considerando que, la concepción del “sujeto” nos refiere los

conocimientos que éste tiene sobre un objeto, que son originados como

consecuencia de los procesos de enseñanza-aprendizaje en el seno del sistema

didáctico. Esto es, el resultado de un intercambio permanente de los sujetos con las

situaciones de enseñanza o con su entorno (Ruiz L., 1998).

De esta manera correspondemos los resultados obtenidos con los del análisis de

programas curriculares y los libros de texto, analizados en el capítulo anterior.


AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS DDDEEELLL DDDIIISSSEEEÑÑÑOOO SSSOOOBBBRRREEE FFFUUUNNNCCCIIIÓÓÓNNN TTTRRRIIIGGGOOONNNOOOMMMÉÉÉTTTRRRIIICCCAAA


48

El propósito de este cuestionario es de inferir sobre la noción de función

trigonométrica en estudiantes del NMS.

Por tanto, esperamos tener como resultado el cómo el estudiante se enfrenta ante

una situación en la que está involucrada la función trigonométrica.

El diseño es realizado basándonos en el contenido de los programas de estudio, al

igual que el de los libros de texto analizados, el diseño contiene entonces, de

acuerdo a nuestro criterio1, lo elemental, en cuanto a la noción de función

trigonométrica, en un estudiante al término del curso.

Elegimos dos grupos de estudiantes (del NMS) para la aplicación del instrumento,

que los consideramos de acuerdo a las escuelas de los programas que analizamos,

éstas son: uno de la UNAM con 19 estudiantes en el último semestre y otro del IPN

con 38 estudiantes de tercer y cuarto semestre, ambos grupos habían tomado el

curso en el que se les presenta la función trigonométrica.

Con los resultados obtenidos en la aplicación del cuestionario, intentamos

completar nuestro estudio, el de mostrar la presencia de la noción de función

trigonométrica en el sistema escolar.

ANÁLISIS DE LAS PREGUNTAS DEL CUESTIONARIO

Si consideramos que las intenciones de los programas llevan al estudiante a

comprender el significado del concepto, se espera que resuelvan sin dificultad los

1 Según lo establecido en los programas de estudio y libros de texto.


49

ejercicios planteados. A continuación, presentamos el análisis del cuestionario

siguiendo este criterio.

El diseño realizado consta de cinco preguntas y en algunas se pide que

argumenten, con la intención de lograr la concepción del estudiante. De acuerdo al

criterio de las preguntas las dividimos en tres partes.

Primera parte: Planteamiento de razón trigonométrica.

1. a) Dado 3cot4

B = , ¿cuál es el seno, el coseno y la tangente del ángulo B?

b) ¿Cuál es el valor de sen 2π , cos

2π ? Argumente.

Se espera que el estudiante resuelva sin mucha dificultad, ya que los libros y los

programas de estudio del análisis del capítulo anterior, incitan el uso de la

definición, como fórmulas en la resolución de infinidad de ejercicios de este tipo,

prevaleciendo entonces la algoritmización como resultado en la solución de este

tipo de ejercicios. Entonces para el inciso (a), se hará el reconocimiento de la

definición de ft como razones entre los lados de un triángulo rectángulo.

Para el inciso (b), se esperaría que la respuesta y el argumento se dieran con base

en el círculo unitario. Ya que, por el análisis de libros y programas, cuando el

ángulo es expresado en radianes, se hace por medio del círculo unitario.

Pretendemos entonces que el argumento nos dé pauta a esto.


50

Segunda parte: Estableciendo la relación entre ángulos, en grados y en radianes.

2. Encuentra el valor de

a) cos2π=

b) cos90° =

c) sen6π=

d) sen30° =

¿Existe alguna relación entre las respuestas de a), b), c) y d)? Argumenta tu

respuesta.

Se espera que distingan la igualdad del ángulo dado en grados y en radianes,

argumentando las formas (medidas) en que se puede expresar un mismo ángulo,

es decir, la relación que existe entre el ángulo en grados y en radianes.

Al tratar a los ángulos en radianes en el círculo trigonométrico, se está dando la

relación con números reales, dado que, teniendo un ángulo medido en radianes

(como x), entonces se tiene a la función seno definida en reales, es decir, que a cada

x real le corresponde un número real (senx ). Por tanto, esperamos que el

argumento nos dé evidencia de la concepción del estudiante en cuanto a esta

relación.

Tercera parte: Comprensión de las propiedades de la función trigonométrica.

La tercera parte comprende tres preguntas, con la intención de reflexionar sobre las

propiedades de la función trigonométrica como: periodo, dominio, rango,

periodicidad, amplitud, desfasamiento y asíntotas de las gráficas. Esperando que la

programabilidad de la adquisición del saber sea el adecuado, entonces los estudiantes

no tendrán dificultad en la graficación de las funciones. Si el círculo unitario no se


51

viera sólo como una más de las representaciones de las ft, éste sería útil para

mostrar parte de las propiedades de las gráficas. Por tanto, las preguntas las

desarrollamos de la siguiente manera.

3. Para qué valor de x se satisface sen 5x = .

En esta pregunta, el estudiante debe responder especificando el rango de sen x, se

esperaría que respondiera que no existe un x que pueda satisfacer la igualdad.

Aunque, siguiendo el análisis de libros y programas, es evidente que el resultado

no se dará de esta forma, pues el interés está en el trabajo algorítmico del uso de ft.

Por tanto, cuando se presenta este tipo de ejercicios se incita a un proceso

algebraico y el uso de la calculadora, para así, dar el resultado.

4. Para qué valores de x, se satisface que senx = cos x . Argumenta tu respuesta

graficando senx y cos x .

Si los programas y los libros de texto atendieran a que el estudiante comprendiera

ft, entonces, éste contestaría señalando en las gráficas2 los valores de x que

cumplen con la igualdad. En este caso el estudiante debe saber las propiedades de

las gráficas. Al pedirles que argumenten con las gráficas, se espera entonces, que

por medio de éstas, el estudiante mostrará su concepción de ft.

5. Grafica tan x y explica sus propiedades.

Al igual que en la anterior, se espera que con esta pregunta se pueda inferir sobre

la concepción del estudiante en cuanto a la noción de función trigonométrica.

2 Gráficas dibujadas correctamente en el mismo plano.


52

Se espera entonces, para dar respuesta a cada pregunta, se haga uso del triángulo

rectángulo, y del círculo unitario, de la misma forma que los ángulos en grados y

en radianes, sin llegar a una relación en cada uno de estos elementos. Por tanto, no

se tratará de función trigonométrica pero no definida en reales.

RESULTADOS DEL DISEÑO

Mostramos los resultados en general, posteriormente reflexionamos sobre éstos. La

descripción de cada pregunta la presentamos a continuación:

Análisis de los resultados de los estudiantes de NMS de la UNAM

El grupo de la UNAM presentó, en su mayoría, dificultades en la solución de los

ejercicios planteados. Podría tenerse como motivo que esta noción matemática es

vista a inicios del tercer semestre y los estudiantes estaban por terminar el sexto

semestre. La idea que de función trigonométrica tenían fue demasiado imprecisa,

pues, también el uso de la herramienta tecnológica (calculadora) fue inconsistente,

dado que era indistinto para ellos el teclear el ángulo en grados o en radianes, por

tanto, el resultado fue otro.

El esquema siguiente ilustra lo anterior,


53

que en realidad lo que hace es evaluar ¾ en seno, coseno y tangente. Y para el

inciso (b)

Evalúa incorrectamente y el argumento se refiere por una parte al valor de π y por

otra, sobre el resultado al evaluar incorrectamente en la calculadora. Tenemos

entonces, que para el estudiante es indistinto tener el argumento en grados o

radianes.


54

Para los ejercicios restantes, mencionamos que en su mayoría no los resolvieron y

otros pocos trataron de resolverlos sin tener éxito.

Ahora, si retomamos el contenido de los programas vemos que aparecen todos los

conceptos que se presentan en el cuestionario, de modo que, si el programa es

abordado completamente, los estudiantes debieron de haber contestado

correctamente en su mayoría.

Unidad 2. Funciones trigonométricas - Razones trigonométricas. - Resolución de triángulos rectángulos. - Funciones trigonométricas de dos ángulos. - Ley de los senos. - Ley de los cosenos. - Resolución de los triángulos oblicuángulos. - Razones trigonométricas para un ángulo en cualquier cuadrante. - Medida de un ángulo. - Círculo trigonométrico. - Funciones trigonométricas directas.

- dominio, rango, periodicidad, amplitud, desfasamiento y asíntotas de la gráfica. - Funciones trigonométricas inversas. - Ramas principales.

- dominio, rango y gráfica de las funciones trigonométricas inversas.

Además de que el objetivo para esta unidad es:

Que el alumno enriquezca los conceptos trigonométricos adquiridos anteriormente, manejándolos ahora como funciones, con sus respectivas gráficas.

Que aplique estos conceptos en la resolución de problemas que le sean significativos.

Entonces, reconocemos que si los programas siguieran una programabilidad

adecuada, en cuanto al concepto de función trigonométrica, los estudiantes

contestarían correctamente el cuestionario.


55

Cabe mencionar, que al término del tiempo destinado para resolver el cuestionario

y haber visto rápidamente lo hecho por los estudiantes, se preguntó que cuál había

sido la dificultad; algunos comentaron que no recordaban cómo se resolvía (de ahí

que el uso de la calculadora no fue de mucha ayuda en la resolución), y otros más

que su profesor no había abordado este tema.

Por otro lado, de los libros3 que analizamos, por ejemplo en el de Baldor sólo se

trata de razones, con las cuáles únicamente se prevalece en el tratamiento

algorítmico. Es decir, la utilidad de este libro pretende en el conocimiento de las

relaciones entre las razones trigonométricas, sin razonar en la noción matemática.

Por tal motivo, en este análisis sólo nos enfocamos a los resultados obtenidos con el

grupo de estudiantes del NMS del IPN.

Análisis de los resultados del grupo de estudiantes de NMS del IPN

La mayoría de los estudiantes en las preguntas uno y dos resolvieron

correctamente. Para la pregunta tres no se contestó en su mayoría como se

esperaba de la misma manera que para las preguntas cuatro y cinco. A

continuación, hacemos la revisión de los resultados por pregunta.

3 Los libros son el de Baldor A. y el de Swokowky E. éstos son libros de trigonometría que aparecen en la bibliografía del programa


56

Pregunta 1.

Hemos mencionado que se haría el reconocimiento de la definición como razones,

de los lados de un triángulo rectángulo, de esta manera los estudiantes han

resuelto en su mayoría correctamente (inciso a), por ejemplo:

Para b) ¿Cuál es el valor de sen 2π , cos

2π ?, en general, el resultado fue correcto,

pero, el argumento que dieron se basó en la conversión que hicieron de radianes a

reales. Diciendo por ejemplo,


57

1.-Como el valor 2π está dado en radianes tendríamos que convertir a

grados y la fórmula para convertir es 180xπ

⋅ entonces deducimos que

180 180 902 2π

π⋅ = =

sen 90 1cos90 0

==

Sólo tres de los 38 estudiantes hicieron referencia al círculo unitario para

argumentar, por ejemplo, un estudiante hizo lo siguiente,

Aunque, de igual manera los tres estudiantes, hicieron la conversión de radianes a

grados para mostrar su resultado.

Pregunta 2


58

En general los estudiantes contestan correctamente, pero también hacen la

conversión de radianes a grados para dar el resultado. Ellos notan que se está

hablando del mismo ángulo, por ejemplo, argumentan de la siguiente manera:

Sí, porque son los mismos ángulos, lo diferente es que uno están dados en radianes y tenemos que convertir a grados. Con la fórmula 180π

y así multiplicas tus radianes con la fórmula.

Hasta aquí, podemos decir que se tiene la necesidad de hacer la conversión de

radianes a grados para resolver.

Pregunta 3

Todos en general evaluaron en la calculadora, derivando de éste su resultado. Los

resultados obtenidos difieren, por lo que las respuestas las dividimos en 3

secciones. Una tercera parte de los estudiantes el resultado lo dan con base en el

rango de seno, por ejemplo:

Otra tercera parte de estudiantes, al no obtener un valor al evaluar 5 en sen-1,

concluyen que x tiene infinitos valores. Y el resto de estudiantes muestran algún

otro resultado.

Pregunta 4


59

La mayoría de los estudiantes dan un solo valor, aunque al graficar muestren mas

valores,


60

Cabe resaltar que el valor o los valores son dados en grados y algunos al graficar lo

hacen también en grados. Algunos se apoyaron de una calculadora graficadora

para mostrar las gráficas, teniendo un poco de dificultad con el dominio de éstas al

copiarlas.

Algunos otros estudiantes sólo dan los valores de x, considerando el siguiente

esquema, suponemos que puede ser una forma de cómo el profesor muestra la

relación que existe entre seno y coseno.


61

El estudiante sólo percibe lo que “ve” sin reflexionar sobre las bondades de este

esquema; vemos también que se utilizan grados y no radianes.

En su mayoría los estudiantes no presentan las graficas correctas, por ejemplo


62

Puesto que al tratar las gráficas de seno y coseno tratamos con funciones de las

cuales se tiene un dominio y un rango para éstas, es así que hasta lo que hemos

mostrado de los resultados del cuestionario para los estudiantes no hay un

entendimiento en cuanto a la noción de función trigonométrica, ya que al tratar de

graficar dibujan el plano coordenado en grados y reales. De tal forma que, como

mostramos en el análisis de los libros, se prioriza en el tratamiento algorítmico en

la solución de triángulos, tratando sólo ángulos en grados.

Pregunta 5

En su totalidad el grupo de estudiantes no logró escribir algunas de las

propiedades de la función tangente, únicamente tres estudiantes de 38 lograron

graficar, pero con ayuda de la calculadora graficadora, sin dar algún argumento y

las gráficas que presentaron son como las siguientes:


63

Otros seis estudiantes más dibujaron la gráfica pero en su argumento aparecen

expresiones en grados, al igual que en la gráfica, por ejemplo:


64


65

Y dentro de estos seis estudiantes uno indica la asíntota, relacionándola con

infinito,

El resto de estudiantes, que fue la mayoría, o no contestaron, o intentaron graficar

tabulando, sin llegar a tener éxito, por ejemplo,


66

Resaltamos que, para graficar lo hacen tabulando (en grados). Esto puede ser a

causa de que los libros de texto que revisamos incitan en la algoritmización de las

razones trigonométricas, en donde se induce a calcular valores de ángulos

específicos de estas razones.

Comentarios finales

Retomando los resultados del cuestionario de ambos grupos y dado que son

diferentes, miremos cuáles son las intenciones de cada escuela para haber tenido

este resultado. Por ejemplo, los propósitos del programa del NMS de la UNAM, se

tiene que:

Reafirmar y profundizar los conocimientos de Geometría euclidiana y trigonometría adquiridos en cursos anteriores para plantear y resolver problemas de diversas disciplinas.


67

Fomentar en los alumnos la capacidad de razonamiento lógico, su espíritu crítico y el deseo de investigar para adquirir nuevos conocimientos, lo que resulta necesario para plantear y resolver numerosos problemas de aplicación, tanto en la misma Matemática como en otras disciplinas.

Y para el programa del IPN tenemos

Que el estudiante desarrolle sus habilidades de pensamiento, como son: razonamiento, análisis, reflexión, comunicación y valoración, a través de una actitud participativa, crítica y creativa, que permita relacionar los conocimientos de la aritmética, álgebra, geometría y trigonometría, para resolver problemas surgidos de situaciones cotidianas, sociales, de la naturaleza y la tecnología, con la finalidad de desarrollar las estructuras conceptuales necesarias para validar resultados mediante demostraciones formales.

Vemos que las intenciones son diferentes, en uno se intenta hacer algo con los

estudiantes, mostrándoles sus necesidades sobre el saber; mientras que en el otro,

se deja que el estudiante haga, que sea parte su aprendizaje. Deducimos entonces

de esto, la diferencia de resultados.

De los estudiantes en general, en las preguntas cuatro y cinco tuvieron dificultades

para resolver. La intención de estas preguntas era identificar el tratamiento que se

hacía de las funciones trigonométricas. Vemos entonces, que al tratar a las

funciones trigonométricas con funciones reales, se tienen serias dificultades para

tratarlas como tal, puesto que en el tratamiento escolar de las funciones como

funciones reales, cuando se pasa de radianes a reales, no se hace explícito.

Podemos entonces decir, que los estudiantes no logran profundizar el concepto de

función trigonométrica, puesto que no hacen diferencia, cuando se les presenta la

función como función real. Esto lo muestra claramente los resultados de la

pregunta 4 y 5 del cuestionario. Ellos tratan por igual a los grados con los reales.


68

Esto también es una consecuencia, como mostramos en el análisis del capítulo

anterior, el tratamiento que se le da a la función trigonométrica es sólo de tener

conocimiento de ella para después hacer uso de ella, ya sea como objeto o como

una herramienta en la presentación de cursos posteriores. Puesto que ésta sólo es

utilizada sin necesidad de ser comprendida.

Capítulo 4. Análisis del diseño

68

Dado que la función trigonométrica es una noción matemática, un objeto de

estudio que se encuentra en la currícula de matemáticas, y que, posteriormente es

utilizada como herramienta para el estudio de otros objetos matemáticos,

consideramos importante analizarla, desde un punto de vista didáctico.

Asumimos entonces, que la presencia de la función trigonométrica sigue una

programabilidad del saber a enseñar dado que se encuentra explícitamente en los

programas de estudio siguiendo una secuencia razonada1, por ejemplo, a la

función trigonométrica la antecede la noción de función y los conceptos de la

geometría euclidiana, que algunos de los conceptos de esta geometría son

necesarios para el estudio de la función trigonométrica.

En el análisis realizado de programas, en general, para el estudio de la función

trigonométrica, están involucrados los términos como ángulos, triángulo

1 Pero no por ello la más adecuada, como lo muestra los resultados del cuestionario aplicado a los estudiantes.


CCCOOOMMMEEENNNTTTAAARRRIIIOOOSSS FFFIIINNNAAALLLEEESSS


69

rectángulo, razones trigonométricas, círculo unitario, que después de éste, se hace

el estudio de las gráficas así como sus propiedades.

En los libros de texto consultados, encontramos la presencia también de los

conceptos mencionados, que, al definir las razones trigonométricas y de presentar

ejemplos en los que se hace uso de la definición, se muestran las relaciones entre

estas razones, las cuales son utilizadas la resolución de problemas o ecuaciones

algebraicas, que posteriormente tendrán uso como herramienta para facilitar

soluciones.

A partir de la relación de los radianes a los números reales, se definen a las

funciones trigonométricas como funciones reales de variable real. Esta relación no

se hace explicita en el medio escolar,

Esquema de la vida escolar de función trigonométrica

Así lo reflejan las concepciones de los estudiantes, y el análisis de programas y

libros de texto.

Círculo trigonométrico Función

Ejes coordenados

Triángulo rectángulo

Ángulo medido en grados Radianes Reales

Relación no explícita

Conversión


70

Por ejemplo, en los resultados del grupo de la UNAM, estudiantes que estaban por

terminar el NMS, tuvieron dificultad de resolver los ejercicios planteados. El

conocimiento que ellos tenían sobre las razones trigonométricas no fue suficiente

para contestar correctamente, puesto que un sólo estudiante logró contestar al

inciso (a), de la pregunta 1, (Fig. 1).

Figura 1.

Este mismo estudiante, para el inciso (b), responde también con un triángulo

rectángulo, como se aprecia en la figura siguiente


71

Señalamos que este estudiante no concibe a las funciones trigonométricas como

funciones reales, puesto que no distingue la expresión dada en radianes. De

manera tal, que no contesta el resto de los ejercicios.

De los resultados de los estudiantes del IPN, tenemos que ellos recientemente

habían cursado la materia en la que se presenta la función trigonométrica, que en

general contestaron correctamente a los dos primeros ejercicios, pero para los dos

últimos ejercicios, que se relaciona a la función trigonométrica en sí, no logran

contestar acertadamente.

Decimos entonces, que los estudiantes no conciben a la función trigonométrica

como tal, puesto que para ellos es indistinto el tratamiento que se da en cuanto a

razón trigonométrica (definidos a partir de ángulos medidos en grados) y a

función trigonométrica, dado que al graficar, ellos lo hacen sin considerar la

relación2 que se ha dado de radianes a reales, considerando a los grados de la

misma manera. Esto plantea un problema de interés para futuras investigaciones

en Matemática Educativa.

2 Esta relación no se hace explícita en el medio escolar, como lo mencionamos en el esquema anterior.

Bibliografía

Baldor, J. A. (1992). Geometría plana y del espacio y Trigonometría. México: Publicaciones Cultural. Cantoral, R. et al (2000). Desarrollo del pensamiento matemático. México: Trillas. Cantoral, R. y Farfán, R. M. (1998). Pensamiento y lenguaje variacional en la introducción al análisis. Epsilon, Revista de la S.A.E.M. “Thales” 42, 353-369. Cantoral, R. y Farfán, R. M. (2003). Matemática Educativa: Una visión de su evolución. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 6(1), 27-40. Chevallard, Y. (1991). La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado. Argentina: Aique. Ferrari, M. (2001). Una visión socioepistemológica. Estudio de la función logaritmo. Tesis de maestría no publicada. Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN, México. Hornsby, J. (1990). A method of graphing f(x) = A sen (Bx + C) + D. Mathematics Teacher 83(1), 51-53. Granvillle, Smith y Mikesh. (1982). Trigonometría plana y esférica. México: UTHEA. Guzmán, A. (1991). Geometría y Trigonometría. México: Publicaciones Cultural. Ruiz, L. (1998). La noción de función: Análisis epistemológico y didáctico. Tesis de doctorado publicada. Universidad de Jaén, Servicio de publicaciones e Intercambio Científico, Jaén España. Swokowsky-Cole (2002). Álgebra y Trigonometría con geometría analítica. México: International Thompson. Zill, D. (1992). Álgebra y trigonometría. México: Mc Graw Hill

Zúñiga, L. (1992). Competencia, cognición y currícula en precálculo en un ambiente gráfico: Un acercamiento cualitativoa las funciones trigonométricas en el marco de la ingeniería didáctica. Tesis de maestría no publicada. Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN, México. http://www.sep.gob.mx/wb2/sep/sep_514_matematicas

maldonado 2005

Documents