Ukuran Penyebaran Data

Disusun Oleh : Kelompok 4

Nama : Aisyah Turidho (06081281520073): Reno Sutriono (06081381520044): M. Rizky Tama Putra (06081381419045)

Mata Kuliah : Statistika DasarDosen : Prof. Dr. Ratu Ilma Indra Putri, M.Si

: Puji Astuti, S.Pd., M.Sc

Fakultas Keguruan dan Ilmu PendidikanProgram Studi Matematika

Universitas Sriwijaya Palembang2016

DAFTAR ISI

Daftar Isi.....................................................................................................................................i

Ukuran Penyebaran Data............................................................................................................1

A. Jangkauan Data (Range).................................................................................................1

B. Jangkuan Antar Kuartil dan Simpangan Kuartil.............................................................4

C. Simpangan Rata-Rata......................................................................................................6

D. Simpangan Baku (Standar Deviasi)................................................................................8

Daftar Pustaka..........................................................................................................................10

i

UKURAN PENYEBARAN DATA

Selain ukuran pemutusan dan letak data, juga terdapat ukuran penyebaran data. Ukuran ini

berguna untuk menunjukkan seberapa jauhnya suatu data menyebar dari rata-ratanya.

Misalnya kita hendak membandingkan tingkat produktivitas dua perusahaan Tempe.

Seumpama kita telah mendapatkan data bahwa kedua perusahaan tersebut memiliki rata-rata

produksi 300 Tempe sehari, namun kita tidak dapat menyimpulkan bahwa kedua perusahaan

tersebut memiliki tingkat produktivitas yang sama karena mungkin saja salah satu perusahaan

cenderung lebih homogen, dalam arti jumlah produksi tidak jauh dari kisaran rata-rata

sedangkan prusahaan lainnya cenderung heterogen, dalam arti jumlah produkis jauh dan

sangat beragam dari kisaran rata-rata. Untuk itu, diperlukan ukuran penyebaran data untuk

meneliti tingkat produktivitas kedua perusahaan Tempe tersebut. Ukuran penyebaran data

terdiri dari:

1. Jangkauan Data (Range)

2. Jangkauan Antar Kuartil

3. Simpangan Kuartil

4. Simpangan Rata-Rata

5. Simpangan Baku (Standar Deviasi)

A. Jangkauan Data (Range)Dengan menggunakan range maka dapat diketahui gambaran secara kasar tentang

variasi suatu distribusi data. Nilai range ini sangat kasar karena tidak

mempertimbangkan nilai-nilai yang lain selain nilai ekstrimnya. (Rohmad dan

Supriyanto, 2015:76). Jangkauan data merupakan selisih antara nilai maksimum dan

nilai minimun pada suatu data.

1

Untuk data tunggal

Contoh: Hitung jangkauan data dari data: 6, 7, 9, 8, 3, 5

R=Xmax−Xmin = 9 – 3 = 6

Jadi, jangkauan datanya adalah 6

Untuk data Kelompok

Untuk menghitung jangkauan data yang disajikan dalam daftar distribusi frekuensi

kelompok maka ada 2 cara:

1. menghitung nilai tengah tiap kelas dengan nilai terkecil dan terbesar. Jangkauan

datanya adalah selisih antara nilai tengah pada kelas dengan nilai terbesar dan

nilai tengah pada kelas dengan nilai terkecil.

2. Menghitung batas bawah kelas dengan nilai terendah dan batas atas dengan nilai

tertinggi kelas pada data tersebut. Jangkauan datanya adalah selisih antara batas

bawah kelas dengan nilai terendah dan batas atas dengan nilai tertinggi.

2

Xmin .... .... Xmax

R=Xmax−Xmin

R=xi ( max )−xi (min)

R=BA i( max )−BBi(min)

Keterangan:

i = kelas

BB = Batas Bawah

BA = Batas Atas

xi = nilai tengah suatu kelas

Contoh:

Daftar berat badan 100 mahasiswa

Berat Badan (kg) Banyak Mahasiswa (f)

60 – 62 5

63 – 65 18

66 – 68 42

69 – 71 27

72 – 74 8

Hitunglah jangkauan data dari data tersebut!

Cara I:

Kelas dengan nilai tertinggi : 72 – 74

x i (max )=72+74

2=73

Kelas dengan nilai terendah : 60 – 62

x i (min )=60+62

2=61

Jangkauan datanya:

R=xi ( max )−xi (min)=73−61=12

Cara II:

Kelas dengan nilai tertinggi : 72 – 74

BAi (max )=74,5

Kelas dengan nilai terendah : 60 – 62

BBi(min)=59,5

Jangkauan datanya :

R=BA i( max )−BBi(min)=74,5−59,5=12

3

B. Jangkuan Antar Kuartil dan Simpangan KuartilJangkauan antar kuartil merupakan selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah

sedangkan Simpangan kuartil adalah setengah dari jangkauan antar kuartil.

Simpangan kuartil merupakan transformasi dari jangkauan kuartil yang digunakan

untuk menjelaskan variabilitas karena semi kuartil lebih terfokus pada pertengahan

atau 50% dari distribusi, sehingga kondisi kurang dipengaruhi oleh skor yang ekstrim.

Keterangan:

QR = jangkauan antar kuartil

Qd = simpangan kuartil

Untuk data tunggal

Contoh: nilai ujian 10 mahasiswa : 6, 7, 8, 9, 6, 8, 6, 5, 4, 9. Tentukan jangkauan

kuartil dan simpangan kuartilnya.

4

x1 x2 x3 x4 x5 x6

Q1Q3

Q2

QR=Q3−Q1

Qd=12 (Q3−Q1 )

- Urutkan data tersebut: 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 9.

Q1=6 dan Q3=8

QR=Q3−Q1 = 8 −6=2

Qd=12 (Q3−Q1 ) = 1

2(8−6 ) = 1

Jadi, jangkauan kuartilnya adalah 2 dan simpangan kuartilnya adalah 1.

Untuk data kelompok

Contoh: Tentukan jangkauan kuartil dan simpangan kuartil dari data berikut!

Tabel nilai ujian 80 mahasiswa

Letak Q3=3(80+1)

4

= 60,75

Kelas kuartil 3: 81 – 90

b = 80,5

p = 10

fk = 48

fQ = 20

Q3=b+ p( 3 n4

−f k

f Q) = 80,5 + (10) ( 60−48

20 ) = 86,5

5

Nilai fi fk

31 – 40 1 1

41 – 50 2 3

51 – 60 5 8

61 – 70 15 23

71 – 80 25 48

81 – 90 20 68

91 – 100 12 80

Jumlah 80 -

Letak Q1=1(80+1)

4 = 20,25

Kelas kuartil 3: 61 – 70

b = 60,5

p = 10

fk = 8

fQ = 15

Q1=b+p ( 1 n4

−f k

f Q) = 60,5 + (10) ( 20−8

15 ) = 68,5

QR=Q3−Q 1 = 86,5 −68,5=18

Qd=12 (Q3−Q1 ) = 1

2(86,5−68,5 ) = 9

Jadi, Jangkauan kuartilnya adalah 18 dan simpangan kuartilnya adalah 9.

C. Simpangan Rata-RataSimpangan rata-rata adalah rata-rata hitung nilai absolut simpangan. Untuk menutup

kekurangan dari nilai range maka bisa dihitung nilai simpangan rata-rata. Simpangan

rata-rata memperhitungkan nilai-nilai lain selain nilai ekstrim distribusi data.

SR=∑|x i−x|

n atau SR=

∑( f |x i−x|)n

Untuk daftar distribusi frekuensi

Keterangan:

SR = simpangan rata-rata

x i=¿ nilai data ke-i

x = mean/rata-rata

n = banyak data

f = frekuensi data ke-i

6

Untuk data yang disajikan dalam bentuk daftar distribusi frekuensi kelompok maka x i

nya adalah nilai tengah dari kelas i.

Contoh: Tentukan simpangan rata-rata dari data berikut!

Daftar berat badan 100 mahasiswa

Berat Badan (kg) Banyak Mahasiswa (f)

60 – 62 5

63 – 65 18

66 – 68 42

69 – 71 27

72 – 74 8

- Cari nilai tengah dari data tersebut

Berat Badan

(kg)

f x i f i x i |x i−x| f|x i−x|

60 – 62 5 61 305 6,45 32,25

63 – 65 18 64 1152 3,45 62,1

66 – 68 42 67 2814 0,45 18,9

69 – 71 27 70 1890 2,55 68,85

72 – 74 8 73 584 5,55 44,4

Jumlah 100 6745 226,5

- Hitung rata-rata data tersebut.

x=∑ f i x i

∑ f i

=6745100

=67,45

- Dari tabel bantuan diatas maka dapat dihitung simpangan rata-ratanya.

7

SR=∑( f |x i−x|)

n=226,5

100=2,265

Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 2,265.

D. Simpangan Baku (Standar Deviasi)Simpangan baku ini paling banyak digunakan dalam ukuran penyebaran data. Dengan

menggunakan simpangan rata-rata hasil pengamatan penyebaran sudah

memperhitungkan seluruh nilai yang ada pada data. Namun, karena dalam

perhitungan menggunakan nilai absolut maka tidak diketahui arah penyebarannya.

Sehingga, perlu digunakan simpangan baku karena simpangan baku memuat nilai

pangkat 2 dari skor simpangan. Simpangan baku merupakan ukuran penyebaran yang

paling teliti.

SB=√∑ ¿¿¿¿

Atau untuk daftar distribusi frekuensi maka :

SB=√∑ f i¿¿¿¿

Untuk daftar distribusi frekuensi kelompok maka x i nya merupakan nilai tengah dari

kelas i.

Dalam simpangan baku dikenal istilah ragam/variasi. Sebenarnya yang merupakan

ukuran simpangan adalah simpangan baku. Namun, karena variasi merupakan ukuran

pangkat dua dari simpangan baku maka variasi pun dianggap sebagai ukuran

penyebaran data.

Variasi=SB2

8

Untuk mempermudah dalam menghitungkan simpangan baku, maka perlu disusun

suatu tabel yang mengandung simpangan setiap skor dengan rata-ratanya dan kuadrat

simpangan setiap skor dengan rata-rata.

Contoh: Tentukan simpangan baku dan variasi dari data berikut!

Daftar berat badan 100 mahasiswa

Berat Badan (kg) Banyak Mahasiswa (f)

60 – 62 5

63 – 65 18

66 – 68 42

69 – 71 27

72 – 74 8

- Cari nilai tengah dari data tersebut

Berat Badan

(kg)

f x i f i x i (x i−x) (x i−x )2 f i(xi−x)2

60 – 62 5 61 305 −¿6,45 41,6025 208,0125

63 – 65 18 64 1152 −¿3,45 11,9025 214,245

66 – 68 42 67 2814 −¿0,45 0,2025 8,505

69 – 71 27 70 1890 2,55 6,5025 175,5675

72 – 74 8 73 584 5,55 30,3025 242,42

Jumlah 100 6745 848,75

- Hitung rata-rata data tersebut.

x=∑ f i x i

∑ f i

=6745100

=67,45

- Dari tabel bantuan diatas maka dapat dihitung simpangan rata-ratanya.

9

SB=√∑ f i¿¿¿¿ = √ 848,75100−1

= 2,93

Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 2,93.

10

DAFTAR PUSTAKA

Irianto, A. (2004). Statistik: Konsep Dasar, Aplikasi dan Pengembangannya. Edisi 4. Jakarta: Prenada Media Group. Hlm. 42 - 43

Rohmad, & Supriyanto. (2015). Pengantar Statistika. Yogyakarta: Kalimedia. Hlm. 76 - 77 dan 79 - 80

Sudjana. (2002). Metoda Statistika. Edisi 6. Bandung: Tarsito. Hlm. 91 - 101

Supranto, J. (2008). Statistik: Teori dan Aplikasi. Jilid 1. Edisi 7. Jakarta: Erlangga. Hlm. 138 - 141

11