ukuran penyebaran data

UKURAN PENYEBARAN DATA

AdaptifHal.: 2 STATISTIK

Ukuran penyebaran data adalah suatu ukuran yang menyatakan seberapa besar nilai-nilai data berbeda

atau bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya atau seberapa besar penyimpangan nilai-nilai data dengan nilai pusatnya.

Jangkauan adalah selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum yang terdapat dalam data.Jangkauan dapat dihitung dengan rumus:

R = X maks – X minContoh : Tentukan range dari data : 10,6,8,2,4 Jawab : R = Xmaks – Xmin = 10 – 2 = 8

1. Jangkauan ( Range )




Simpangan rata-rata dari sekumpulan bilangan adalah:

nilai rata-rata hitung harga mutlak simpangan-simpangannya.

a. Data tunggal

SR =

Contoh :

Nilai ulangan matamatika dari 6 siswa adalah :7,5,6,3,8,7.

Tentukan simpangan rata-ratanya!

n

xx

2. Simpangan Rata-rata


Jawab: =

= 6 SR =

= = 1,33

x6

783657

6

86

676863666567



b. Data berbobot / data kelompok

SR =

x = data ke-i (data berbobot )

= titik tengah kelas interval ke-i (data kelompok )

f = frekuensi

f

xxf




Contoh :

Tentukan simpangan rata-rata dari data berikut :

Data Frekwensi x

3 – 5 2 4

6 – 8 4 7

9 – 11 8 10

12 - 14 6 13

Jumlah 20



Jawab :

Data Frekwensi x

3 – 5 2 4

6 – 8 4 7

9 – 11 8 10

12 - 14 6 13

Jumlah 20

F . x xx F xx

8

28

80

78

x

f

xf .

20

194

=

=

194

5,7

2,7

0,3

3,3

11,4

10,8

2,4

19,8

44,4

f

xxf

20

4,44

SR =

= = 2,22

= 9,7


3.Simpangan Baku / standar deviasi

Simpangan Baku (S) dari sekumpulan bilangan adalah akar dari jumlah deviasi kuadrat dari bilangan-bilangan tersebut dibagi dengan banyaknya bilangan atau akar dari rata-rata deviasi kuadrat.

n

xxi 2

UKURAN PENYEBARAN

a. Data Tunggal

S =

S = 22

n

x

n

x

atau


Contoh :

Tentukan simpangan baku dari data :

2,3,5,8,7.

Jawab :

=

= 5

x5

78532

x

2

3

5

8

7

xx - 3

- 2

0

3

2

2xx 9

4

0

9

4

26

n

xxi 2

S = 5

26

2,5

=

=



b. Data berbobot / berkelompok

S =

S =

f

xxf2

22

f

f.x

f

fx


atau



Contoh: Tentukan standar deviasi dari data berikut

Data Frekw x

3 – 5 2 4

6 – 8 4 7

9 – 11 8 10

12 - 14 6 13

Jumlah 20



Data Frek x

3 – 5 2 4

6 – 8 4 7

9 – 11 8 10

12 - 14 6 13

Jumlah 2022

f

f.x

f

fx

2

20

194

20

2042

Jawab :

S =

= 01,8

x2 f.x f.x2

16 8 32

49 28 196

100 80 800

169 78 1014

194 2042

=


4.Kuartil

Kuartil adalah nilai yang membagi kelompok data atas empat bagian yang sama setelah bilangan-bilangan itu diurutkan.

Dengan garis bilangan letak kuartil dapat ditunjukkan sebagai berikut:

Q1 Q2 Q3

UKURAN PENYEBARAN

Menentukan nilai Kuartil

a. Data tunggal

Letak Qi = data ke

dengan i = 1, 2, 3 dan n = banyaknya data

4

)1( ni




Contoh :

Hasil pendataan usia, dari 12 anak balita (dalam tahun) diketahui sebagai berikut : 4, 3, 4, 4, 2, 1, 1, 2,1, 3, 3, 4 , tentukan :

a. Kuartil bawah (Q1)

b. Kuartil tengah (Q2)

c. Kuartil atas (Q3)

Jawab : Data diurutkan : 1,1,1,2,2,3,3,3,4,4,4,4 a.Letak Q1 = data ke –

= data ke- 3 ¼

4

)112(1


Nilai Q1 = data ke-3 + ¼ (data ke4 – data ke3)

= 1 + ¼ (2 – 1) = 1¼

b. Letak Q2 = data ke

= data ke 6½

Nilai Q2 = data ke 6 + ½ (data ke7 – data ke6)

= 3 + ½ (3 – 3) = 3

4

)112(2



c. Letak Q3 = data ke

= data ke 9 ¾

Nilai Q3 = data ke 9 + ¾ (data ke10 - data ke 9)

= 4 + ¾ (4 – 4) = 4

4

)112(3




Jangkauan Semi Inter Kuartil /Simpangan Kuartil (Qd)

didefinisikan sebagai berikut:

Qd = ½ (Q3 – Q1)

b. Data Kelompok

Nilai Qi = b + p

dengan i = 1,2,3

b = tepi bawah kelas Qi p = panjang kelas F = jumlah frekuensi sebelum kelas Qi f = frekuensi kelas Qi n = jumlah data

f

F4i.n



Contoh :

Tentukan simpangan kuartil dari data :

Nilai f45-4950-5455-5960-6465-6970-74

36

101254

Jumlah 40

Jawab :

Untuk menentukan Q1 kita perlu = ¼ x 40 data

atau 10 data, jadi Q1 terletak pada kelas interval ke 3.

Dengan b = 54,5 ; p = 5; F = 9; f = 10 Nilai Q1 = 54,5 + 5

= 54,5 + 0,5 = 55

10

94

1.40


Untuk menetukan Q3 diperlukan = ¾ x 40 data atau 30 data,

jadi Q3 terletak pada kelas interval ke-4,

dengan b = 59,5; p = 5; F = 19 ; f = 12

Nilai Q3 = 59,5 + 5

= 59,5 + 5

= 59,5 + 4,58 = 64,08

12

19440.3

12

11

Jadi, jangkauan semi interkuartil atau simpangan kuartil dari data di atas adalah

Qd = ½ (Q3 –Q1)

= ½ (64,08 – 55) = 4,54



5. Persentil

Persentil dari sekumpulan bilangan adalah nilai yang membagi kelompok

bilangan tersebut atas 100 bagian yang sama banyaknya setelah bilangan

bilangan tersebut diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar.

a. Data tunggal / berbobot Letak Pi = data ke

dengan i = 1,2,…,99

Contoh :

Diketahui data : 9,3,8,4,5,6,8,7,5,7

Tentukan P20 dan P70

100

)1( ni



Jawab :

Data diurutkan : 3 ,4, 5, 5, 6, 7, 7 ,8, 8, 9

Letak P20 = data ke = data ke 2

Nilai P20 = data ke 2 + (data ke 3 – data ke2)

= 4 + (5 – 4)

= 4

100

)110(20

5

1

5

1

5

1

5

1



Letak P70 = data ke

= data ke 7

Nilai P70 = data ke 7 + (data ke 8 - data ke7)

= 7 + ( 8 – 7 )

= 7

100

)110(70

10

7

10

7

10

7

10

7



UKURAN PENYEBARAN

b. Data kelompok

Nilai Pi = b + p , dengan i = 1,2,..,99

f

Fin

100

Jangkauan Persentil = P90 – P10


Contoh :

Tentukan Jangkauan persentil dari data

berikut :

Nilai F

50 - 5960 - 6970 - 7980 - 8990 - 99

71015126

Jumlah 50



Jawab :

Untuk menentukan P10 diperlukan = x 50 data = 5 data,

artinya P10 terletak pada kelas interval pertama dengan

b = 49,5 ; p = 10 ; F =0 ; f = 7

Nilai P10 = 49,5 + 10

= 49,5 + 7,14 = 56,64

100

10

7

0100

50.10



Untuk menetukan P90 diperlukan = x 50 data = 45 data,

artinya P90 terletak pada kelas interval ke 5,

dengan b = 89,5; F = 44; f = 6.

Nilai P90 = 89,5 + 10

= 89,5 + 1,67 = 91,17

100

90

6

44100

50.90

Jangkauan Persentil = P90 – P10

= 91,17 – 56,64

= 34,53




Latihan:

1. Nilai tes matematika dari 5 orang siswa adalah sebagai berikut : 7,6,7,8,7 besarnya simpangan rata-rata dari data tesebut adalah….

x

Jawab :

= = 7 SR = =

= 0,4

5

78767

n

xx

5

2

x

76787

01010

Jml 2

xx


2. Standar deviasi (simpangan baku) dari

data 4,6,7,6,3,4 adalah…

Jawab :

=

= 5

x6

436764 x (x - ) ( x - )2

467634

-1121-2-1

114141

Jml 12

x x

S =

=

=

n

xx 2

)(

6

12

2



3. Hasil tes penerimaan pegawai baru suatu

perusahaan tercatat sebagai berikut :

Nilai Frekuensi

30-3940-4950-5960-6970-7980-8990-99

38

102018147

Jika perusahaan akan menerima 75%

dari pendaftar yang mengikuti tes

tersebut, berapakah nilai minimum

yang dapat diterima?




Jawab :

Q1 75%

Untuk menentukan Q1 diperlukan ¼ x 80 data = 20 data,

artinya Q1 terletak pada kelas interval ke 3,

dengan b = 49,5; p = 10; F = 11; f = 10;

10

114

80.1

Nilai Q1 = 49,5 + 10

= 49,5 + 10

= 58,5

10

9


4. Hasil ulangan program Teknologi Industri dari 50 siswa kelas III pada salah satu

SMK adalah sebagai berikut:

Tentukan nilai P40 dari data tersebut!

Nilai F

50-5960-6970-7980-8990-99

71015126




Jawab:

Untuk menentukan P40 diperlukan = x 50 data atau 20 data,

artinya P40 terletak pada kelas interval ketiga,

dengan b = 69,5 ; p = 10 ; F = 17 dan f = 15.

100

40

Nilai P40 = 69,5 + 10

= 69,5 + 10 = 72,5

15

17100

50.40

15

3



5. Hasil tes pelajaran Matematika 15 orang siswa adalah sebagai berikut :

30,45,50,55,50,60,60,65,85,70,75,55,60,35,30.

Jangkauan semi interkuartil (Qd) dari data di atas adalah…..

Jawab :

4

)115(1

Data diurutkan :

30,30,35,45,50,50,55,55,60, 60,60,65,70,75,85. Letak Q1 = data ke = data ke-4

Nilai Q1 = data ke-4 = 45

Letak Q3 = data ke = data ke-12

Nilai Q3 = data ke 12 = 654

)115(3


Jangkauan semi interkuartil (Qd) = ½ ( Q3 – Q1 )

= ½ ( 65 – 45 )

= 10



Koefisien variasi adalah perbandingan antara simpangan

standar dengan nilai rata-rata yang dinyatakan dengan persentase.

Koefisien variasi berguna untuk melihat sebaran data dari

rata-rata hitungnya.

x

S


Besarnya Koefisien Variasi dinyatakan dengan rumus,

KV = x 100%

KV = koefisien variasi

S = simpangan standar

= rata-ratax

6. Koefisien Variasi



Contoh 1:

Nilai rata-rata matematika Kelas III Mesin1 adalah 80 dengan simpangan

standar 4,5. Jika nilai rata-rata Kelas III Mesin 2 adalah 70

dengan simpangan standar 5,2.

Hitunglah koefisien variasi masing-masing.

x

SJawab : KV III Mesin 1 = x 100%

= x 100% = 5,6% KV III Mesin 2 = x 100% = 7,4%

80

5,4

70

2,5



Contoh 2 :

Standar deviasi sekelompok data adalah 1,5 sedang koefisien variasinya

adalah 12,5%. Mean kelompok data tersebut adalah….

x

Jawab : KV = x 100%

12,5% = x 100%

= = 12

x

S

x

5,1

%5,12

%150


7. Angka Baku

Angka Baku digunakan untuk mengetahui kedudukan suatu objek yang

sedang diselidiki dibandingkan terhadap nilai rata-rata kumpulan objek

tersebut.

s

xx Angka Baku (nilai standar) dapat dihitung dengan menggunakan rumus : Z = x = nilai data = nilai rata-rata s = standar deviasi

x




Contoh 1:

Seorang siswa mendapat nilai matematika 70 dengan rata-rata 60 dan

standar deviasi12, nilai Bahasa Inggris 80 dengan rata rata 75 dan

simpangan standarnya 15,manakah kedudukan nilai yang paling baik ?

12

6070

Jawab :

Zm = = 0,83

Zb = = 0,33

Jadi kedudukan nilai matematika lebih baik dari pada nilai Bahasa Inggris.

15

7580



Contoh 2 :

Rata-rata dan simpangan standar upah pesuruh kantor masing-masing adalah

Rp 65.000,00 dan Rp 1.500,00. Jika Pak Darmawan salah seorang pesuruh yang

upahnya Rp 67.250,00, nilai standar upah Pak Darmawan adalah….

1.500,00 Rp

65.000,00 Rp67.250,00 Rp Jawab : Z =

= 1,5


Ukuran Keruncingan / kurtosis

Untuk menghitung tingkat keruncingan suatu kurva (koefisien kurtosis) dapat

Digunakan rumus :

KK =

Kurtosis adalah derajat kelancipan suatu distribusi jika dibandingkan dengan

Distribusi normal

)(2 1090

13

PP

QQ



Keterangan :

Jika nilai KK > 3 kurva leptokurtis (puncaknya runcing sekali)

KK < 3 kurva platikurtis (puncaknya agak mendatar)

KK = 0 kurva mesokurtis (puncaknya tidak begitu runcing atau

distribusi normal)

Contoh :

Dari sekelompok data yang disusun dalam tabel distribusi frekuensi

diketahui nilai Q1 = 55,24 ; Q3 = 73,64 ; P10 = 44,5 ;P90 = 82,5.

Besarnya koefisien kurtosis kurva data tersebut adalah….



Jawab :

KK =

=

= 0,242 Karena KK < 3 maka kurva distribusi tersebut platikurtik.

)5,445,82(2

24,5564,73

)38(2

4,18


ukuran penyebaran data

Documents