BAB I PENDAHULUAN

Akar pangkat dua

Diukur waktu jatuhnya bola baja kecil jatuh dari berbagai ketinggian. Data

menunjukkan kesesuaian dengan waktu jatuh prediksi , Di mana h adalah

tinggi dan g adalah percepatan gravitasi.

Dalam matematika , akar kuadrat dari angka yang merupakan nilai y sehingga y = 2,

atau, dengan kata lain, sejumlah y yang persegi (hasil perkalian angka dengan

sendirinya, atau y × y) adalah. [1] Sebagai contoh, 4 adalah akar kuadrat dari 16,

karena 2 4 = 16.

Setiap non-negatif bilangan real memiliki akar non-negatif yang unik persegi, yang

disebut akar kuadrat utama, yang dilambangkan dengan , Di mana √ disebut tanda

radikal atau radix. Misalnya, akar kuadrat utama dari 9 adalah 3, dilambangkan

, Karena 3 2 = 3 × 3 = 9 dan 3 adalah non-negatif. Istilah yang memiliki akar

sedang dipertimbangkan dikenal sebagai radicand tersebut. Radicand adalah jumlah

atau ekspresi di bawah tanda radikal, dalam contoh 9.

Setiap angka positif memiliki dua akar kuadrat: , Yang positif, dan , Yang

negatif. Bersama-sama, kedua akar dilambangkan (Lihat singkat ± ). Meskipun

akar kuadrat utama dari suatu bilangan positif hanya satu dari dua akar kuadrat,

penunjukan "akar kuadrat" sering digunakan untuk merujuk pada akar kuadrat utama.

Untuk positif a, akar kuadrat utama juga dapat ditulis dalam eksponen notasi, sebagai

1/2. [2]

Akar kuadrat dari angka negatif dapat dibahas dalam kerangka bilangan kompleks .

Secara umum, akar kuadrat dapat dipertimbangkan dalam konteks di mana gagasan

"mengkuadratkan" dari beberapa obyek matematika didefinisikan (termasuk algebras

dari matriks , cincin endomorfisma , dll)

Akar kuadrat positif seluruh nomor yang tidak kuadrat sempurna selalu bilangan

irasional : nomor tidak dinyatakan sebagai rasio dari dua bilangan bulat (artinya

mereka tidak dapat ditulis persis seperti m / n, di mana m dan n adalah bilangan

bulat). Ini adalah teorema Euclid X, 9 hampir pasti karena Theaetetus dating kembali

ke sekitar tahun 380 SM. [3] Kasus tertentu diasumsikan tanggal kembali lebih

awal ke Pythagorean dan secara tradisional dikaitkan dengan Hippasus . Ini adalah

persis panjang diagonal dari sebuah persegi dengan panjang sisi 1.

BAB II

ISI

A.PENGERTIAN AKAR KUADRAT

Akar kuadrat

Di dalam matematika, akar kuadrat dari bilangan x sama dengan bilangan r

sedemikian sehingga r2 = x, atau, di dalam perkataan lain, bilangan r yang bila

dikuadratkan (hasil kali dengan bilangan itu sendiri) sama dengan x.

Setiap bilangan real tak-negatif, katakanlah x memiliki akar kuadrat tak-negatif yang

tunggal, disebut akar kuadrat utama, yang dilambangkan oleh akar ke-n sebagai

. Akar kuadrat dapat juga dituliskan dengan notasi eksponen, sebagai x1/2. Misalnya,

akar kuadrat utama dari 9 adalah 3, dituliskan dengan , karena 32 = 3 × 3 = 9

dan 3 tak-negatif. Bagaimanapun, akar kuadrat utama dari sebuah bilangan positif

hanya satu dari dua akar kuadratnya.

Setiap bilangan positif x memiliki dua akar kuadrat. Salah satunya adalah , yakni

yang bernilai positif, sementara yang lainnya adalah , yakni yang bernilai

negatif. Kedua-dua akar kuadrat itu dilambangkan dengan . Akar kuadrat dari

bilangan negatif dibahas di dalam kerangka kajian bilangan kompleks. Lebih umum

lagi, akar kuadrat dapat dipandang dari beraneka konteks di mana notasi

"penguadratan" beberapa objek matematika didefinisi (termasuk aljabar matriks,

gelanggang endomorfisma, dll).

Akar kuadrat dari bilangan bulat yang bukan merupakan kuadrat sempurna adalah

selalu bilangan irasional (disebut juga bilangan takrasional: bilangan yang tidak

dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua bilangan bulat. Misalnya, tidak dapat

dituliskan secara tepat oleh m/n, di mana n dan m adalah bilangan bulat. Meskipun

demikian, ia adalah nilai yang pasti dari panjang diagonal sebuah persegi yang

panjang sisinya sama dengan 1. Kejadian ini telah dikenal sejak zaman kuno, dengan

ditemukannya bahwa adalah irasional oleh Hippasus, murid dari Pythagoras.

(Lihat Akar kuadrat dari 2 untuk membuktikan ketakrasionalan bilangan ini dan

irasional kuadrat untuk membuktikan semua bilangan asli yang bukan kuadrat)

Radikan adalah bilangan atau penyajian matematika di bawah tanda akar. Di dalam

penyajian , ab + 2 adalah radikan.

B.ASAL USUL AKAR KUADRAT

Sifat

Grafik fungsi , menghasilkan setengah parabola dengan irisan kerucut

vertikal.

Fungsi akar kuadrat utama (biasanya hanya disebut sebagai "fungsi akar

kuadrat") adalah fungsi yang memetakan himpunan bilangan real taknegatif R+ ∪ {0}

kepada himpunan itu sendiri, dan, seperti semua fungsi, selalu memiliki nilai balikan

yang tunggal. Fungsi akar kuadrat juga memetakan bilangan rasional ke dalam

bilangan aljabar (adihimpunan bilangan rasional); adalah rasional jika dan hanya

jika x adalah bilangan rasional yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua

kuadrat sempurna. Di dalam istilah geometri, fungsi akar kuadrat memetakan luas

dari persegi kepada panjang sisinya.

Untuk setiap bilangan real x

    (lihat nilai mutlak)

Untuk setiap bilangan real taknegatif x dan y,

and

Fungsi akar kuadrat adalah kontinu untuk setiap bilangan taknegatif x dan

terdiferensialkan untuk setiap bilangan positif x. Turunannya diberikan oleh

Deret Taylor dari √1 + x di dekat x = 0 konvergen ke | x | < 1 dan diberikan

oleh

Komputasi

Sebagian besar mesin hitung memiliki tombol akar kuadrat. Lembar kerja komputer

dan perangkat lunak lainnya juga seringkali digunakan untuk menghitung akar

kuadrat. Program perangkat lunak komputer biasanya menerapkan rutin (perulangan)

yang baik untuk menghitung fungsi eksponensial dan logaritma natural atau

logaritma, dan kemudian menghitung akar kuadrat dari x menggunakan identitas

or

Identitas yang sama dieksploitasi ketika menghitung akar kuadrat dengan tabel

logaritma atau slide rule.

Metode iteratif penghitungan akar kuadrat yang paling biasa dilakukan oleh tangan

dikenal sebagai "Metode Babilonia" atau "Metode Heron" dinamai demikian untuk

menghargai filsuf Yunani Kuno Heron dari Iskandariyah yang pertama memaparkan

metode ini.[1] Metode ini melibatkan algoritma sederhana, yang menghasilkan suatu

bilangan yang semakin mendekati nilai akar kuadrat sebenarnya tiap kali perulangan

dilakukan. Untuk menentukan r, akar kuadrat dari bilangan real x:

1. Mulakan dengan nilai pemulai positif sembarang r (semakin dekat ke akar

kuadrat x, semakin baik).

2. Ganti r dengan rata-rata antara r dan x/r, yaitu: (Adalah cukup untuk

mengambil nilai hampiran dari rata-rata itu untuk memastikan konvergensi.)

3. Ulangi langkah ke-2 hingga r dan x/r cukup dekat dengan nilai yang

diharapkan.

Kompleksitas waktu untuk menghitung akar kuadrat dengan n angka ketelitian setara

dengan perkalian dua bilangan yang memiliki n-angka.

Perhitungan

Kebanyakan kalkulator saku memiliki kunci akar kuadrat. Komputer spreadsheet dan

lainnya software juga sering digunakan untuk menghitung akar kuadrat. Kalkulator

saku biasanya menerapkan rutinitas efisien untuk menghitung fungsi eksponensial

dan logaritma natural atau logaritma , dan menggunakannya untuk menghitung akar

kuadrat dari bilangan real positif yang menggunakan identitas

atau

Identitas yang sama dimanfaatkan ketika menghitung akar kuadrat dengan tabel

logaritma atau mistar .

Yang paling umum metode iteratif perhitungan akar kuadrat dengan tangan yang

dikenal sebagai " metode Babilonia "atau" metode Heron "setelah filsuf abad pertama

Yunani Heron dari Alexandria , yang pertama kali menggambarkannya. [4] Metode ini

menggunakan skema iteratif yang sama sebagai Newton-Raphson hasil bila

diterapkan pada fungsi , Menggunakan fakta bahwa kemiringannya

pada setiap titik adalah , Tapi mendahului dengan berabad-abad. [5]

Ini melibatkan algoritma sederhana, yang menghasilkan sejumlah lebih dekat dengan

akar kuadrat yang sebenarnya setiap kali diulang. Ide dasarnya adalah bahwa jika x

adalah melebih-lebihkan dengan akar kuadrat dari sejumlah non-negatif nyata maka

akan menjadi meremehkan dan sehingga rata-rata dari dua angka wajar dapat

diharapkan untuk memberikan pendekatan yang lebih baik (meskipun bukti formal

dari pernyataan yang tergantung pada ketimpangan sarana aritmatika dan geometris

yang menunjukkan rata-rata ini selalu melebih-lebihkan dari akar kuadrat , seperti

yang tercantum di bawah ini , sehingga menjamin konvergensi). Untuk mencari x:

1. Mulailah dengan nilai awal yang positif sewenang-wenang x (lebih dekat

dengan akar kuadrat dari, iterasi lebih sedikit akan dibutuhkan untuk

mencapai presisi yang diinginkan).

2. Ganti x oleh rata-rata antara x dan a / x, yaitu: , Mewakili metode

Newton-Raphson mengakibatkan

(Hal ini cukup untuk mengambil nilai perkiraan rata-rata untuk memastikan

konvergensi )

1. Ulangi langkah 2 sampai x dan a / x sedekat yang diinginkan.

Jika positif, konvergensi adalah "kuadratik," yang berarti bahwa dalam mendekati

batas, jumlah digit yang benar kira-kira dua kali lipat dalam setiap iterasi berikutnya.

Jika a = 0, konvergensi ini hanya linear.

Menggunakan identitas

perhitungan akar kuadrat dari angka positif dapat dikurangi dengan yang nomor

dalam jangkauan, [1 4). Ini menyederhanakan menemukan nilai awal untuk metode

iteratif yang dekat dengan akar kuadrat, yang merupakan polinomial atau piecewise-

linear pendekatan dapat digunakan.

The kompleksitas waktu untuk menghitung akar kuadrat dengan digit n presisi setara

dengan yang mengalikan dua n-digit angka.

Metode lain yang berguna untuk menghitung akar kuadrat adalah algoritma akar

Pergeseran n , diterapkan untuk .

Square akar dari sebuah bilangan imajiner

Alun-alun akar i dalam bidang kompleks

Akar kuadrat dari i diberikan oleh

Hasil ini dapat diperoleh secara aljabar dengan mencari b dan sedemikian rupa sehingga

atau ekuivalen

Ini memberikan dua persamaan simultan

dengan solusi

Pemilihan akar utama kemudian memberikan

Hasilnya juga dapat diperoleh dengan menggunakan rumus de Moivre ini dan pengaturan

yang memproduksi

C.CONTOH AKAR KUADRAT

1. Faktorkanlah !!

»

2. Faktorkanlah !!

3. Uraikanlah atas Faktor - faktor :

4.

5.

x ( x + 1 ) = x ( 2x - 3)

x2 + x = 2x2 - 3x

x2 - 4x = 0 

x ( x - 4 ) = 0

x = 0 atau x = 4

Pada contoh penyelesaian diatas dijelaskan bahwa x ditunkan terlebih dahulu,

sehingga membentuk x kuadrat atau x2 dan berpindah ruas. Catatan 2 sama dengan

kuadrat.

6.

( x2 + 2 ) ( x + 2 ) = ( x2 + 2 ) ( 2x - 1 )

( x + 2 ) = ( 2x - 1 )

x = 3

Pada kasus penyelesaian diatas digunakan cara eliminasi, yaitu menghilangkan faktor

yang sama seperti x2 + 2 pada ruas kiri dan x2 + 2 pada ruas kanan yang dihilangkan

karena bersifat positif. Sehingga hasil penurunanya adalah ( x + 2 ) = ( 2x - 1)

sehingga x bernilai 3.

7.    

Cara faktorisasi. Cara ini cukup menarik dan taktis.

Misal, berpakah akar dari 64?

Maka 64 = 2×32 = 2x2x16 = 4×16

Maka

akar 64 = akar 4 x akar 16

= 2 x 4

= 8 (Selesai).

8.

Misal, berapa akar dari 72?

Maka

72 = 9×8 = 9x4x2

Jadi akar 72 = 3x2x akar 2

= 6akar2 = 6√2.

9.

Tentukan himpunan penyelesaian atau akar-akar persamaan 9x2-16=0 jika x variabel

pada himpunan bilangan real.

Jawab :

9x2-16=0

(3x)2-42=0

(3x+4)(3x-4)=0

3x=-4 atau3x=4

x=-4/3 atau x=4/3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-4/3,4/3}

10.

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat 2x2-5x-3=0 jika x variabel pada

himpunan bilangan real.

Jawab :

Dua bilangan yang jumlahnya -5 dan hasil kalinya 2x(-3)=-6 adalah 1 dan -6

sehingga diperoleh 2x2-5x-3=0

(2x+1)(2x-6)=0

2x+1=0 atau 2x-6=0

x=-1/2 atau x=3

jadi, himpunan penyelesaian adalah {-1/2,3}.

BAB III

PENUTUP

Sebuah akar kuadrat dapat dibangun dengan kompas dan sejajar. Dalam karyanya

Elements , Euclid ( . fl 300 SM) memberikan pembangunan mean geometrik dari dua

kuantitas di dua tempat yang berbeda: Proposisi II.14 dan Proposisi VI.13 . Karena

rata-rata geometrik dari a dan b adalah , Seseorang dapat membangun hanya

dengan mengambil b = 1.

Konstruksi ini juga diberikan oleh Descartes dalam bukunya La Géométrie , lihat

gambar 2 pada halaman 2 . Namun, Descartes membuat klaim tidak ada orisinalitas

dan pendengarnya akan menjadi cukup akrab dengan Euclid.

Bukti kedua Euclid dalam Buku VI tergantung pada teori segitiga yang sama .

Biarkan AHB menjadi segmen garis panjang + b dengan AH = dan HB = b. Buatlah

lingkaran dengan diameter AB sebagai dan membiarkan C menjadi salah satu dari

dua persimpangan dari akord tegak lurus di H dengan lingkaran dan menandakan CH

panjang sebagai h. Kemudian, dengan menggunakan Thales 'teorema dan seperti

dalam bukti Pythagoras 'teorema oleh segitiga yang sama , segitiga AHC mirip

dengan segitiga CHB (karena memang keduanya ke segitiga ACB, meskipun kita

tidak perlu itu, tapi itu adalah inti dari bukti teorema Pythagoras ') sehingga AH: CH

adalah sebagai HC: HB yaitu dari mana kita menyimpulkan dengan silang-

perkalian yang dan akhirnya bahwa . Catatan lebih lanjut bahwa jika

Anda adalah untuk menandai titik tengah O segmen garis AB dan menarik jari-jari

OC panjang maka jelas OC> CH yaitu (Dengan kesetaraan

kapan dan hanya jika a = b), yang merupakan aritmatika-geometri kesenjangan rata-

rata untuk dua variabel dan, seperti disebutkan di atas , adalah dasar dari Yunani

Kuno pemahaman "metode Heron".

Metode lain konstruksi geometris menggunakan hak segitiga dan induksi : bisa,

tentu saja, akan dibangun, dan sekali telah dibangun, segitiga siku-siku dengan 1

dan untuk kaki yang memiliki sisi miring dari . The Spiral of Theodorus

dibangun menggunakan akar kuadrat berturut-turut dengan cara ini.