U.U.D.M. Project Report 2014:38

Examensarbete i matematik, 15 hpHandledare och examinator: Gunnar Berg Juni 2014

Gaussiska heltal

Maja Wallén

Department of MathematicsUppsala University

2

Innehållsförteckning

1 Inledning .................................................................................................................. 3

1.1 Bakgrund ............................................................................................................ 3

1.2 Syfte ................................................................................................................... 3

2 Gaussiska heltal....................................................................................................... 4

2.1 Normen ............................................................................................................... 5 2.1.1 Normen är multiplikativ ............................................................................. 5

2.2 Heltal och enheter ............................................................................................... 6

2.3 Delbarhet ............................................................................................................ 6

2.4 Divitionsalgoritmen ............................................................................................ 9

2.5 Euklides algoritm ............................................................................................. 10

2.6 Entydig faktorisering ........................................................................................ 12

2.7 Modulär aritmetik ............................................................................................. 13

2.8 Irreducibelt tal .................................................................................................. 14

2.8.1 Gaussiska primtal ..................................................................................... 14 2.8.2 Vilka vanliga primtal är även Gaussiska primtal? ................................... 15

2.8.3 Samband och konsekvenser i talteori ....................................................... 16

2.9 Olösta problem ................................................................................................. 19 2.9.1 Gauss cirkelproblem ................................................................................. 19 2.9.2 Gauss vallgravsproblem ........................................................................... 19

3 Konklusion ............................................................................................................. 21

4 Referenser .............................................................................................................. 22

3

1 Inledning

1.1 Bakgrund

År 1832 introducerade Carl Friedrich Gauss (1777-1855) teorin om Gaussiska

heltal. Gauss, ofta kallad matematikernas konung, hade nu infört benämningar för

komplexa tal och det komplexa talplanet som öppnande upp nya möjligheter i

matematiken. I dessa områden uppkom en ny typ av heltal som är uppkallades

efter Gauss som Gaussiska heltal. Gaussiska heltal är tal på formen a bi där a

och b är heltal. Frågan är varför Gauss hade börjat intressera sig för heltalen i det

komplexa talplanet. Svaret finner vi i den kvadratiska reciprocitetssatsen som han

lyckades bevisa år 1796. Kvadratiska reciprocitetssatsen kopplar samman

lösbarhet av två relaterade kvadratiska kongruenser. Gauss studerade även

reciprocitetsatser av högre grad som kubisk och bikvadratisk. Vid lagen om

bikvadratisk reciprocitetsats insåg Gauss att denna enklast kunde uttryckas med de

hela komplexa talen som vi idag kallar Gaussiska heltal.

1.2 Syfte

Syftet med studien att sammanställa egenskaper och räkneregler för Gaussiska

heltal. I första hand jämförs Gaussiska heltal med de vanliga heltalen med

avseende på algebraiska räkneregler. Avslutningsvis klargörs likheter mellan

Gaussiska primtal och vanliga primtal.

4

2 Gaussiska heltal

Gaussiska heltal är tal på formen a + bi, där a och b är vanliga heltal. Mängden av

de gaussiska heltalen betecknas med Z i . Gaussiska heltal gör det möjligt att

studera primtalen på ett nytt sätt. I Z i kan vi nu faktorisera några av våra gamla

primtal, låt oss studera talet 2 i Z i . Då kan vi skriva 2 (1 )(1 )i i och detta

visar att 2 som är ett vanligt primtal i Z, inte är det i Z i .

För två Gaussiska heltal z a bi och w c di definieras summan z + w

som ( )z w a c b d i och produkten z w som ( )z w ac bd ad bc i .

Additionen och multiplikationen mellan vanliga heltal och gaussiska heltal

fungerar på samma sätt, undantaget sker vid beräkningar mellan de gaussiska

heltalen då det gäller att 2 1i .

De gaussiska heltalen utgör i likhet med de hela talen, Z, en så kallad

kommutativ ring. Detta eftersom mängden Z i kan definieras med operationer

som innehåller addition och multiplikation som ges på samma sätt i det komplexa

talplanet. Vidare skall även ett antal lagar vara uppfyllda (se nedan).

1. a + b ∈ Z i

2. a ∙ b ∈ Z i

3. a + b = b + a

4. a ∙ b = b ∙ a

5. a + (b + c) = (a + b) + c

6. a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c

7. a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c

8. Heltalet 0 ∈ Z i uppfyller a + 0 = a

9. Heltalet 1 ∈ Z i uppfyller a ∙ 1 = 1

10. För varje gaussiskt heltal a finns ett gaussiskt heltal – a sådant att

a + (-a) = 0

5

2.1 Normen

Genom att bestämma normen för ett Gaussiskt heltal får vi ett mått på hur stort

talet är. Om vi antar att a bi där ,a b Z så betecknar vi normen för α med

N(α). Normen definieras 2 2( )( ) aN a a bi a bi b . Normen beräknas

nästan på samma sätt som vi beräknar absolutbeloppet av ett tal. Exempelvis har

2+3i normen 13 och 1+2i normen 5. Vi väljer att räkna med ( )N istället för

eftersom det handlar om heltal och absolutbeloppet av tal ger ofta kvadratrötter.

Normen av varje gaussiskt heltal är ett heltal på formen 2 2a b där ,a b Z .

Normen kan inte vara negativ utan är alltid ett positivt heltal eller noll. Dock är

det inte sant att varje positivt heltal är en norm. Alla positiva heltal är inte

summan av två kvadrater såsom 3, 7, 11, 15, 19 och 21. Det finns inget Gaussiskt

heltal som har normen lika med värdet av dessa tal.

2.1.1 Normen är multiplikativ

Att normen för Gaussiska heltalen är multiplikativ betyder att om talen Z i

och Z i så gäller det att ( ) ( ) ( )N N N . Vi bevisar detta genom att

sätta a bi och c di , sedan följer:

( )( ) ( )a bi c di ac bd (ad +bc)i

2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) (a )( ) ( ) ( ) ( ) ( )N N b c d ac ad bc bd

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

( ) ( ) ( )

( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )

( ) ( ) ( ) ( )

N ac bd ad bc

ac abcd bd ad abcd bc

ac ad bc bd

Normen uppfyller alltså ( ) ( ) ( )N N N

6

2.2 Heltal och enheter

Ett tal som har en multiplikativ invers är en enhet. Om vi kallar talet för x och

inversen för y, då måste 1x y . Har alla heltal en invers? Svaret är nej. De

vanliga heltalen har endast två enheter, 1 och -1.

Vilka enheter har de Gaussiska heltalen? De har samma enheter som heltalen,

men det finns även två enheter till. De gaussiska heltalen har enheterna 1, -1, i och

–i. Detta eftersom inversen till i är –i ty ( ) 1i i och inversen till –i är i eftersom

( ) 1i i .1 De gaussiska heltalen har fyra enheter.

Vi kan även bevisa att i Z i är det endast ±1 och ±i som är inverterbara och

därmed enheter bland de Gaussiska heltalen. Vi antar att Z i är inverterbar

och att inversen till α är β. Detta medför då att 1 och nu ska vi visa att

1, i . Vi vet att ( ) ( ) (1) 1N N N enligt heltalen i Z. Men både

( )N och ( )N är positiva heltal och då måste båda vara lika med 1. Vidare ger

2 2( ) a 1N b att antingen är 1a , b=0 eller a=0 och 1b så vi får fyra

fall ±1 och ±i.

2.3 Delbarhet

Delbarhet i Z i är densamma som i Z. Om vi låter β och α var heltal så är β

delare till α om för något Z i . Om α delar β skriver vi men

om α inte delar β så skriver vi .

Ett gaussiskt heltal a bi där ,a b Z är delbart med c där c Z om och

endast om c delar a och c delar b.

( ) ( ) ( )c a bi a bi c m ni där m, n är heltal och detta medför att

a c m och att b c m som i sin tur medför att c a och c b .

1 a + b = b + a, ab = ba (kommutativa lagen)

7

Vi kan använda delbarhet för att studera om delaren till tal tillhör de gaussiska

heltalen Z i . Detta gör vi genom att studera om delaren är ett heltal eller inte.

Om delaren inte är heltal tillhör den inte Z i . Låt oss studera några exempel med

Gaussiska heltal som har delare som tillhör och inte tillhör Z i .

Gäller (1 ) (2 3 )i i ?

2 3 (2 3 )(1 i) 5 1

1 (1 )(1 ) 2 2

i ia i

i i i

Eftersom 5

2 och

1

2 inte är heltal så tillhör inte a Z i .

Gäller (4 5 ) (14 3 )i i ?

14 3 (4 3 )(4 5 ) 71 58

4 5 (4 5 )(4 5 ) 41 41

i i ia i

i i i

Eftersom 71

41 och

58

41i inte är heltal så tillhör a inte Z i .

Gäller (3 2 ) (8 i)i ?

8 (8 )(3 2 )2

3 2 (3 2 )(3 2 )

i i ia i

i i i

Eftersom 2 och -1 är heltal så tillhör a Z i .

Gäller (1 ) (6 4 )i i ?

6 4 (6 4 )(1 )3 2

1 2

i i ia i

i

Eftersom 3 och 2 är heltal så tillhör a Z i .

8

Om α, β ϵ Z i och i Z(i) så kan vi bevisa att ( ) ( )N N i Z (se

nedan). Detta är mycket användbart då vi vill studera om ett gaussiskt heltal är

delare till ett annat gaussiskt heltal, genom att enkelt beräkna normen för båda

talen. Dock är det viktigt att uppmärksamma att omvändningen inte alltid

stämmer. Låt oss studera några exempel med Gaussiska heltal och normens

betydelse.

Från tidigare exempel vet vi att (3 2 ) (8 i)i så låt oss studera normen

(8 ) 65N i

(3 2 ) 13N i

13 delar 65 och detta medför att 3+2i delar 8+i

Är 3+7i delare till 10+3i?

(3 7 ) 58N i

(10 3 ) 109N i

58 delar inte 109 och detta medför att 3+7i inte delar 10+3i

Är 14+3i delare till 4+5i?

(14 3 ) 41N i

(4 5 ) 205N i

41 delar 205 men 14+3i delar inte 4+5i. Detta är ett exempel som visar att

omvändningen inte alltid stämmer.

Om där ( )Z i så medför detta om vi istället tar normen för

båda sidorna att ( ) ( ) N( )N N . Detta gör att ( ) ( )N N . Så vi ser att om

ett Gaussiskt heltal delar ett annat så måste ( )N dela ( )N .

Normen för ett gaussiskt heltal är ett jämnt tal om och endast om det är en

multipel av 1 + i. Detta bevisas på följande sätt. Vi vet att (1 ) 2N i vilket

9

medför att varje multipel av 1+i är ett jämnt tal. Omvänt antar vi nu att ( )N m ni

är ett jämnt tal alltså att 2 2 0m n (mod 2) dvs. att 2 2m n är delbart med 2.

Utifrån detta vet vi att m och n är jämna eller udda båda två så m n (mod 2)

dvs. att m n är delbart med 2.

Vi vill ha ( ) (1 )( )m ni i u vi , dvs. ( ) ( )m ni u v u v i och detta är

ekvivalent med m u v och n u v eller ( ) / 2u n m och ( ) / 2v n m .

Detta medför att u och v är heltal eftersom vi visste att m n är delbart med 2

och då måste även (1 ) ( )i m ni gälla. Omvändningen är bevisad.

2.4 Divitionsalgoritmen

Till varje heltal a och heltal b, då b>0 finns det ett unikt heltal q och ett unikt

heltal r så att a q b r där 0 r b . Man brukar kalla r för rest och q för

kvot.

Att vi lyckats överföra resultat från Z till Z i är delvis tack vare

divitionsalgoritmen. Det är viktigt att påpeka att när vi räknar med

divitionsalgoritmen i Z i kan vi få en lösning som är entydig eller inte entydig.

Vi har två tal , (i)Z med 0 , då finns det två andra tal , Z i

sådana att med ( ) N( )N . Knepet är att vi kan välja ρ så att

( ) ( ) / 2N N och då är γ kvoten och ρ resten. Låt oss studera ett exempel hur

vi räknar divitionsalgoritmen med Gaussiska heltal.

Låt 27 32i och 8 i , ( ) 65N

Målet är att skriva där ( ) 65N och vi söker kvot och rest.

27 23 (27 23 )(8 ) 193 211

8 (8 )(8 ) 65

i i i i

i i i

1932,696..

65

2113,246..

65

10

Vi vill nu välja närmaste heltal till 2,696 och -3,246 och då får vi 3 3i

(27 23 ) (8 )(3 3 )i i i

2i

65 ( )( ) 4

2 2

NN

(8 )(3 3 ) 2i i i

3 3i är en tänkbar kvot med resten -2i. Det är viktigt att påpeka att denna

lösning inte är entydig eftersom det finns andra kvoter och rester som uppfyller

villkoret vid divisionen.

2.5 Euklides algoritm

Euklides algoritm används för att bestämma största gemensamma delare till två

heltal. Största gemensamma delare av a och b kan vi förkortat skriva SDG(a,b).

Vi börjar med att definiera SGD innan vi studerar Euklides algoritm för gaussiska

heltal. Om vi låter n vara ett heltal och sedan betraktar mängden

( ) : 0,D n a Z a a n så är den här mängden delarmängden till n. Alla

positiva delare till n finns alltså i mängden D(n).

Euklides algoritm för gaussiska heltal följer ett mönster för att finna den

största gemensamma delaren. Om vi låter , Z i då α, β ≠ 0 och följer

nedanstående räkningar får vi tillslut fram en sista rest som är skild från noll och

detta är största gemensamma delaren. I den meningen att det är en gemensam

delare med maximala normen.

1 1 2 1N( ) N( )

1 2 2 1( ) N( )N

1 2 3 3 3 2( ) N( )N

11

Vi studerar ett exempel med Gaussiska heltal. Frågan är om 4 5i och 4 5i

är relativt prima i Z i och de är det om och endast om deras SGD är lika någon

av enheterna för Gaussiska heltalen.

4 5i

4 5i

4 5 9 40

4 5 41

i i

i

90,21

41

401

41

1 väljer vi genom att ta närmaste heltal och får då att 1 0 i i

1 1

14 5 (4 5 )i i i

1 1 (1 )i i

1

(4 5 )(1 ) 4 4 5 5 9

2 2 2

i i i i i

94

2

10

2

2 får vi precis som 1 genom att ta nästa heltal och får då att 2 4

1 1 2

24 5 (1 )( 4)i i

2 i (sista resten)

1

2

(1 ) (1 ) (1 )

1

i i i i

i i

3 1i

12

1 2 3 3

3(1 ) i( i 1)i

31 1i i

3 0

SGD i vilket medför att α, β är relativt prima i Z i .

2.6 Entydig faktorisering

Faktorisering i Z är då vi uttrycker ett tal som en produkt av flera faktorer.

Exempelvis kan talet 4 skrivas som 2 2 . Vi ska nu studera faktoriseringen av de

Gaussiska heltalen.

Genom entydig faktorisering kan vi studera hur Gaussiska heltal kan skrivas

som produkter av minimala faktorer. Detta medför att vi kan se vilka Gaussiska

heltal som kan och inte kan skrivas som produkter. Något som är värt att anmärka

är att vi alltid kan lägga till enheter i faktoriseringen av Gaussiska heltal eftersom

för varje z ∈ Z i så gäller 1z z och ( )z i i z .

Vi vet att ett Gaussiskt heltal z sägs vara ett primtal om vi bara kan skriva z

som en produkt av Gaussiska heltal eller använda enheterna i Z i och z som

faktorer. Om vi dessutom kan skriva z som en ändlig produkt av irreducibla

element i Z i har z en irreducibel faktorisering, en primtalsfaktorisering. Det

finns bevis att varje element i talringen Z i som är skiljt från 0 har en irreducibel

faktorisering. Dock är den irreducibla faktoriseringen inte entydig men det finns

minst en sådan av varje Gaussiskt heltal. Om vi låter p vara ett primtal i Z

kommer faktoriseringen i Z i att bestämmas av mod 4p

1. 22 (1 )(1 ) (1 )i i i i

2. Om p 1(mod4) så är p en produkt av två konjugater som inte

är enhets multiplar

3. Om 3(mod 4)p förblir p ett primtal i Z i

13

Vi kan studera talet 7+i för att visa hur de kan faktoriseras på olika sätt. En

trivial faktorisering av 7 i är (1 7 )i i och en icke trivial faktorisering av 7 i är

(1 2 )(1 3 )i i .

2.7 Modulär aritmetik

Moduloräkning är ett sätt att beräkna heltal på med hjälp av de vanliga

räknesätten. All moduloräkning utgår från att vi låter n ≥ 1 vara ett heltal. Sedan

definierar vi vad som menas när vi säger att a och b som båda är heltal är

kongruenta modulo n. Detta skriver vi a b (mod n) om ( )n a b .

Gaussiska heltal behandlas på samma sätt som de vanliga i Z genom

kongurensräkning som vi definierar genom delbarhet. Så för de gaussiska heltalen

α, β och γ skriver vi precis lika vi tidigare skrivit med heltal (mod ) då

( ) . Addition och multiplikation i kongruensen i Z i fungerar precis som

vanlig. Låt oss studera ett exempel med moduloräkning av Gaussiska heltal.

Beräkna 2(3 2 ) mod(4 )i i

2(3 2 ) 9 12 4 5 12i i i

5 12 (5 12 )(4 ) 32 43

4 17 17

i i i i

i

322

17

433

17

2 3i

5 12 (4 )(2 3 ) 2i i i i

14

2i

5 12 (4 )(2 3 ) 2i i i i

Vi kommer slutligen fram till att 2(3 2 ) 2 (mod(4 ))i i i

2.8 Irreducibelt tal

Ett irreducibelt tal är ett primtal. Ett heltal p i Z är ett primtal om p>1 och om de

enda positiva heltal som är delare till p är 1 och p. Ett primtal kan inte

faktoriseras, det kan inte skrivas som en produkt av andra tal förutom 1. Primtal

som 3, 7, 11 och 19 i Z känner vi redan till men vilka är de Gaussiska primtalen?

Vi ska nu studera primtalen i Z i med hjälp av tidigare resultat.

2.9 Gaussiska primtal

Om α är ett gaussiskt heltal med normen större än 1 sägs α vara ett

sammansatt tal om α har icke triviala faktorer. De triviala faktorerna är enheterna

till de gaussiska heltalen, ±1 och ±i. Om α endast innehåller triviala faktorer sägs

α vara ett primtal. Ett heltal som inte är sammansatt i Z i förblir då primtal även

i Z. Exempel på tal som inte är sammansatta är heltal som 3, 7, 11, och 19. Det

kan påpekas att tal som inte är sammansatta i Z kan bli sammansatta i Z i , ett

exempel är 2 som sönderfaller i (1 )(1 )i i .

Om Z i och dess norm ( )N är ett primtal så är α även ett primtal i

Z i . Detta kan vi bevisa genom att visa att om α är sammansatt i Z i så är

( )N sammansatt i Z. Vi antar att α är ett sammansatt tal, . Då blir

normen ( ) N( ) N( )N . Men ( )N och ( )N är båda större än 1 så ( )N

är sammansatt. Exempelvis om α= 4+5i så blir (4 5 ) 41N i och 41 är ett

primtal i Z vilket medför att 4 5i är ett primtal i Z i . Detta resulterar även i att

konjugatet 4-5i är ett primtal i Z i . Ett Gaussiskt heltal och dess konjugat är

15

Gaussiska primtal, detta gäller eftersom normen för talet och konjugatet är

detsamma.

Omvändningen gäller inte vilket vi kan se om α=3 så blir (3) 9N och 9 är

inte ett primtal i Z. Normen 9 medför att en icke-trivial faktor måste ha normen 3,

men det finns inte något Gaussiskt heltal med normen 3 eftersom 2 2 3a b

saknar heltalslösning. Ett tal kan alltså ha en sammansatt norm även om talet är ett

primtal.

2.9.1 Vilka vanliga primtal är även Gaussiska primtal?

Vi har nu introducerat de Gaussiska primtalen och studerat normens betydelse för

primtalen. Nu ska vi försöka att undersöka vilka vanliga primtal som även är

Gaussiska primtal. Till att börja med studerar vi konjugater och vad de har för

betydelse för primtalen.

Låt p N vara ett primtal. Då är p ett primtal i Z i om och endast om p

inte är en summa av två kvadrater. Detta kan vi bevisa, vi antar att p är summan

av två kvadrater, dvs. 2 2 ( )( )p a b a bi a bi Då p inte är en kvadrat måste

a≠0 och b≠0 eftersom varken a+bi eller a-bi är enheter. Detta medför att

( )( )a bi a bi är en icke trivial faktorisering av p och p är då inte ett primtal i

Z i .

Omvändningen till detta bevisas genom att använda normen för p. Vi antar att

p inte är ett primtal i Z i och får då att p är ett sammansatt tal, p där

, Z i . Ingen av dessa är enheter eller har normen 1 men då får vi att

2( ) ( ) (p)N N N p . Så 2( )N p men både ( )N och ( )N är lika med p

eftersom p är ett primtal i Z. Om vi sätter a bi ger ( )N p att

2 2p a b vilket skulle visas.

Vi antar att p N är ett primtal i Z och att p inte är ett primtal i Z i dvs.

p där α, β inte är enheter i Z i . Vi ska nu visa att .

2( ) ( )N N p

( ) ( )N N p

16

Primtal i Z

Reella primtal i Icke-reellt primtal i

2 2 ( )( )p a b a bi a bi

( )p a bi

Om p N är ett primtal i Z och 2 2p a b så är a bi och a bi

primtal i Z i vilket vi kan se av tidigare exempel.

Det vi har studerat nu visar att det finns ett samband mellan teorin för

Gaussiska primtal och det talteoretiska problemet om vilka heltal som kan skrivas

som en summa av två kvadrater. Detta är ett klassiskt problem inom talteorin som

går tillbaka till Fermat. Fermats sats säger att om vi låter p vara ett primtal så är

2 2p a b för något ,a b Z om och endast om 2p eller 1(mod 4)p . Detta

kommer från Lagranges hjälpsats om ett primtal 4 1p n kan divideras med

2 1m för något m Z .

Exempelvis är 5 inte ett primtal enligt Fermats sats eftersom 5 kan skrivas som

en summa av två kvadrater 2 25 2 1 eftersom 5 1(mod 4) .

2.9.2 Samband och konsekvenser i talteori

Vi har nu studerat Gaussiska primtal på flera olika sätt. Vi har sett att det finns

flera centrala sätt för att studera vilka vanliga primtal som även är Gaussiska

primtal. Genom flera beräkningar har vi kunnat konstatera att vissa av våra

vanliga primtal inte är Gaussiska primtal. Det finns olika former av Gaussiska

primtal som är reella eller icke-reella. Vi förtydligar detta med en bild som visar

hur primtalen fördelar sig:

Ett primtal p i Z på formen 4 1p n vet vi är summan av två kvadrater

2 2p a b enligt Fermats bevis. Utifrån detta kan vi då utesluta dessa från de

reella primtalen på den formen eftersom vi vet att ett reellt Gaussiskt primtal inte

kan vara summan av två kvadrater. Vi vet att ett primtal p i Z som är summan av

17

två kvadrater är inte ett Gaussiska primtal men dess faktorer är icke-reella

Gaussiska primtal.

För att tydliggöra detta och kvalificera dessa kan vi utgå från nedanstående

villkor för att bestämma vilka vanliga primtal som även är Gaussiska primtal:

(Dessa villkor gäller för alla Gaussiska primtal, både reella och icke-reella.)

Ett Gaussiskt heltal a + bi är ett Gaussiskt primtal om och endast om något av

dessa nedanstående två villkor är uppfyllda.

Antingen är a eller b lika med noll och den andra är ett primtal på

formen 4n + 3, där n är ett positivt heltal

Både a och b är skilda från noll där 2 2p a b är ett primtal som inte

är på formen 4n + 3

Moduloräkning kan även vara till hjälp för att studera om ett tal är sammansatt

och därmed inte ett primtal. Om ett primtal α uppfyller villkoret 3(mod 4)

förblir ett primtal i Z i då är inte α inte ett sammansatt tal och förblir då ett

primtal. Vilket gör att vi slutligen kommer fram till att alla Gaussiska primtal är

enhetsmultiplar av följande primtal

1 i

eller där ( )N p , där p är ett primtal i Z som även är

kongruent med 1(mod 4)

p, där p är ett primtal i Z som även är kongruent med 3 (mod4)

18

Målet var att studera vilka av de vanliga primtalen i Z som även är primtal i Z i . I tabellen

nedan visas primtal i Z mellan heltalen 1 och 50.

Primtal i

Z

Sammansatta

tal 4n+3 4n+1

Reella primtal

i Z i

Exempel på icke-reella

primtal i Z i

2 2 21 1 1 i

3 4 0 3 3

5 2 22 1 4 1 1 1 2i

7 4 1 3 7

11 4 2 3 11

13 2 23 2 4 3 1 3 2i

17 2 24 1 4 4 1 4 i

19 4 4 3 19

23 4 5 3 23

29 2 25 2 4 7 1 5 2i

31 4 7 3 31

37 2 26 1 4 9 1 6 i

41 2 25 4 4 10 1 5 4i

43 4 10 3 43

47 4 11 3 47

Vi kan tydligt se att det finns primtal i Z som inte består i Z i . Primtal i Z

som kan skrivas som summan av två kvadrater eller på formen 4n+1 motsvaras av

icke-reella tal i Z i . Primtalet 13 i Z motsvaras till exempel av primtalet 3 2i i

Z i . Primtal i Z av typen 4n+3 ger samma primtal i Z i multiplicerat med

någon av Gaussiska enheterna.

19

2.10 Olösta problem

Gauss lämnade en hel del olösta problem när de gäller Gaussiska heltal. De flesta

problemen är relaterade till fördelningen i planet för Gaussiska primtalen. Gauss

cirkelproblem och vallgravsproblem är två problem som är olösta än idag.

2.10.1 Gauss cirkelproblem

Gauss cirkel problem behandlar inte de gaussiska heltalen i sig utan tar istället

upp antalet gitterpunkter inuti en cirkel med en given radie centrerad i origo. Detta

är samma sak som att bestämma antalet gaussiska heltal med normen mindre än

eller lika med ett givet värde. Om vi har en cirkel i planet i origo och en radie som

är större än ett vill vi veta hur många punkter det finns inuti denna cirkel på

formen (m, n) där m och n är heltal. Cirkelns ekvation ges i kartesiska koordinater

på formen 2 2 2x y r och detta gör att frågan hur många par av heltal m och n

finns det sådan att 2 2 2m n r . Eftersom en kvadrat med sida ett i allmänhet

innehåller en gitterpunkt, och en cirkel med radie r har area 2r så antar man att

antalet ( )N r Gaussiska heltal på och inom denna cirkel har formen

2( ) ( )N r r E r men en ”felterm” ( )E r . Gauss visade att ( ) 2 2E r r och

man förmodar, men har ännu inte bevisat att ( )E r har storleksordningen 1/2Ar

.

2.10.2 Gauss vallgravsproblem

Att gå till oändligheten med hjälp av Gaussiska primtalen som språngbrädor och

vidta åtgärder med begränsad längd är ett olöst problem som många under lång tid

försökt att bevisa. Det är bevisat att det inte går att genomföra med hjälp av de

vanliga primtalen men kvarstår olöst med hjälp av Gaussiska primtalen eftersom

problemet blir alltför komplext.

Det klassiska resultatet att det finns godtyckligt stora luckor av primtal har ett

enkelt bevis att det finns följder av heltal av längd k, som inte innehåller några

20

primtal, visas av följden ( 1)! 2,( 1)! 3,...( 1)! ( 1)k k k k . Problemet blir

mycket svårare och med komplext på grund av att vi måste studera ännu en

dimension. En person som ofta upprepas i detta problem är Paul Erdös även om

Basil Gordon 1962 var den första att studera problemet. Erdös är en av de få som

skrivit om Gauss vallgravs problem som gissade att de existerar en promenad till

oändligheten.

21

3 Konklusion

Gaussiska heltal är en utvidgning av vanliga heltal i det komplexa talplanet. Vid

beräkningar med Gaussiska heltal används likande tillvägagångssätt som för

vanliga heltal. Gaussiska heltal kräver fyra enheter till skillnad från två enheter

som krävs vid vanliga heltal. Normen ger värdefull information om Gaussiska

heltal och är dessutom nödvändig vid många beräkningar. Gaussiska primtal

skiljer sig från vanliga primtal. Det visar sig att vissa vanliga primtal inte är

Gaussiska primtal eftersom de kan faktoriseras i komplexa faktorer. Gaussiska

heltal utvecklar och ger nya synsätt på talteorin för vanliga heltal. Ett problem är

dock att teorierna blir mer komplexa och svårare att hantera eftersom flera

dimensioner måste beaktas.

22

4 Referenser

Björk, Lars-Eric, Brolin, Hans, Eliasson, Lennart och Ljungström, Lars-Fredrik. 1980.

Matematik – Gymnasieskolans treåriga linje. Stockholm: Natur och Kultur

Conrad, Keith, The Gaussian integers

Engblom, Andreas och Sola, Alan. 2008. Talteori. Stockholm: KTHs Matematiska Cirkel,

Institutionen för matematik

Gethner, Ellen, Wagon, Stan och Wick Brian. 1998. A Stroll Through the Gaussian Primes.

Katz, Victor J. 2009. A History of Mathematics. 3rd

Edition.

Upper Saddle River, New Jersey: Pearson

Keijo, Hildén. Några valda ämnen I algebra och talteori.

Linköping: Linköpings universitet

Kiselman, Christer. Gaussiska primtal.

Uppsala:Institutionen Mittag-Leffler & Uppsala universitet

Nagell, Trygve. 1984. Lärobok i algebra. Almquist & Wiksells Akademiska Handböcker.

Uppsala: Hugo cebers förlag.

Rosen, Kenneth H. 2011. Elementary Number Theory

Monmouth University: Pearson

Thompson, Jan - under medverkan av Martinsson, Thomas. 1991. Matematiskt lexikon.

Stockholm: Wahlström & Widstrand

Thompson, Jan. 1996. Matematiken i historien. Uppl 1:15.

Lund: Studentlitteratur AB

Vretblad, Anders och Ekstig, Kerstin. 2006. Algebra och geometri. 2. Uppl.

Malmö: Gleerups Utbildning AB