lena alfredsson kajsa bråting patrik erixon hans heikne matematik … · 2019-12-10 · 8 1.1...

lena Alfredsson

kajsa bråting

patrik erixon

hans heikne

kurs 3c blå lärobok

natur & kultur

5000Matematik

Bla 3c.indb 1 2012-07-10 09.34

NATUR & KULTUR

Box 27 323, 102 54 StockholmKundtjänst: Tel 08-453 85 00, [email protected]: Tel 08-453 86 00, [email protected]

Order och distribution: Förlagssystem, Box 30 195, 104 25 StockholmTel 08-657 95 00, [email protected]

Projektledare: Irene BondeTextredaktör: Mats Karlsson/Devella HBBildredaktör: Erica HögsbornGrafisk form och omslag: Graffoto AB och Åsa LundbomLayout: Måns Björkman/Typ & Design och

Mats Karlsson/Devella HBSättning: Måns Björkman/Typ & Design och

Mats Karlsson/Devella HB

Kopieringsförbud!

Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering är förbjuden, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt avtal med Bonus Presskopia och den mycket begränsade rätten till kopiering för privat bruk. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

© 2012 Lena Alfredsson, Lars-Eric Björk, Hans Brolin, Kajsa Bråting, Patrik Erixon, Hans Heikne, Anna Palbom och Natur & Kultur, Stockholm

Tryckt i Lettland 2012Första utgåvans första tryckning

ISBN 978-91-27-42628-3

Bla 3c.indb 2 2012-07-10 09.34

förord 3

Välkommen till Matematik 5000Matematik 5000 är en läroboksserie för gymnasie- skolan och vuxenutbildningen. Den är inriktad på färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning och erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning.

Matematik 5000 ger eleverna goda förutsättning-ar att utveckla de förmågor och nå de kunskaps-mål som beskrivs i den nya ämnesplanen.

Denna bok, Kurs 3c Blå lärobok, riktar sig till elever som studerar på teknikprogrammet eller naturvetenskapsprogrammet.

Hur är boken upplagd?• Teoriavsnitten utgår ofta från konkreta exempel

som framställs och förklaras på ett sätt som ger eleverna möjlighet att förstå och upptäcka matematiken.

Teorin avslutas med flera lösta exempel som belyser det viktigaste. Därefter kommer övningsuppgifter i tre nivåer, a, b och c, i stigande svårighetsgrad.

• Aktiviteterna ger stora möjligheter att variera undervisningen. De finns i fyra olika kategorier: Upptäck, Undersök, Diskutera och Laborera. De flesta är avsedda för arbete i grupp. I varje kapitel finns dessutom en kort Inledande aktivi-tet som introducerar delar av kapitlets innehåll.

• I Teman finns teori och uppgifter anpassade till naturvetenskapsprogrammet och teknik-programmet och i Historik, med tillhörande uppgifter, sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.

• På många sidor blandas uppgifter av standard-karaktär med uppgifter som kräver matematisk problemlösning.

Varje kapitel avslutas med:• En Aktivitet som uppmuntrar till kommunika-

tion: Sant eller falskt?

• En kort Sammanfattning av kapitlet.

• Kan du det här? och Diagnos som tillsammans ger eleverna en god möjlighet till egen kunskaps- kontroll. I Kan du det här? kan eleverna i par eller smågrupper värdera sina kunskaper om matematiska begrepp och strategier och i Diagnos kan de enskilt testa sina grund- läggande kunskaper.

• Om en elev behöver repetera delar av kapitlet finns Repetitionsuppgifter i slutet av boken. Repetitionsuppgifterna är texten till de lösta uppgifterna i bokens teoriavsnitt.

• Två olika varianter av Blandade övningar av-slutar varje kapitel. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel. Blandade övningar består av tre delar: Utan räknare, Med räknare och Utredande uppgifter.

I Svarsdelen finns ledtrådar till många uppgifter.

Till läroboken finns en lärarhandledning med kommentarer, ytterligare aktiviteter och övnings-uppgifter samt en provbank.

Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elev-er till en variation av arbetssätt och arbetsformer och erbjuder många olika möjligheter för eleverna att utveckla sina matematiska förmågor.

Mer information om läromedlet och digitalt material finns på www.nok.se/matematik5000

Lycka till med matematiken! önskar Hans, Kajsa, Lena och Patrik

Bla 3c.indb 3 2012-07-10 09.34

4 innehåll

Innehåll1. Algebra och funktioner 6 Centralt innehåll 6 Inledande aktivitet: Vilka uttryck är lika? 7

1.1 Algebra och polynom 8 Polynom och räkneregler 8 Potenser 12 Kvadratrötter och absolutbelopp 14 Ekvationer 17 Polynom i faktorform 22 Aktivitet: Upptäck – Pascals triangel 24

1.2 Rationella uttryck 26 Vad menas med ett rationellt uttryck? 26 Förlängning och förkortning 28 Addition och subtraktion 33 Multiplikation och division 38

1.3 Funktioner 40 Inledning 40 Historik: Hur funktionsbegreppet utvecklats 42 Räta linjens ekvation 43 Andragradsfunktioner 46 Exponentialfunktioner och potensfunktioner 50 Aktivitet: Laborera – Pendeln 54

Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 55 Sammanfattning 1 56 Kan du det här? 1 58 Diagnos 1 59 Blandade övningar kapitel 1 60

2. Förändringshastigheter och derivator 64 Centralt innehåll 64 Inledande aktivitet: Hastighet och lutning 65

2.1 Ändringskvoter och begreppet derivata 66 Ändringskvoter 66 Begreppet derivata 71

2.2 Gränsvärde och derivatans definition 77 Gränsvärde 77 Derivatans definition 80

2.3 Deriveringsregler I 83 Derivatan av polynom 83 Tema: Hastighet och acceleration 90 Aktivitet: Laborera – Kvadratiska pappskivor 92 Derivatan av potensfunktioner 93 Historik – Tangenter och derivata 96 Aktivitet: Undersök – Det märkliga talet e 97

2.4 Deriveringsregler II 98 Derivatan av exponentialfunktionen y = e kx 98 Naturliga logaritmer 102 Derivatan av exponentialfunktionen y = a x 105 Tillämpningar och problemlösning 107

2.5 Grafisk och numerisk derivering 111 Olika differenskvoter 111 Grafritande räknare och derivators värde 114

Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 117 Sammanfattning 2 118 Kan du det här? 2 120 Diagnos 2 121 Blandade övningar kapitel 2 122 Blandade övningar kapitel 1–2 125

Bla 3c.indb 4 2012-07-10 09.34

innehåll 5

3. Kurvor, derivator och integraler 128 Centralt innehåll 128 Inledande aktivitet: Max och min 129

3.1 Vad säger förstaderivatan om grafen? 130 Inledning 130 Extrempunkter och extremvärden 131 Växande och avtagande 133 Förstaderivatan och grafen 136 Skissa grafer 140 Historik – Matematik till och från Sverige 143 Största och minsta värde 144

3.2 Derivator och tillämpningar 147 Polynomfunktioner 147 Potensfunktioner 154 Andraderivatan 157 Andraderivatan och grafen 158 Aktivitet: Laborera – Vem tillverkar största lådan? 161 Grafritande räknare 162 Tillämpningar och problemlösning 164 Aktivitet: Undersök – Funktioner och derivator 168 Kan alla funktioner deriveras? 170 Aktivitet: Undersök – Antiderivata 172

3.3 Från derivata till funktion 173 Primitiva funktioner 173 Primitiva funktioner med villkor 176

3.4 Integraler 178 Inledning 178 Aktiviet: Undersök – Finn arean 181 Integralberäkning med primitiv funktion 182 Tillämpningar och problemlösning 186


4. Trigonometri 204 Centralt innehåll 204 Inledande aktivitet: Trigonometri i rätvinkliga trianglar 205

4.1 Från rätvinkliga till godtyckliga trianglar 206 Trigonometri i rätvinkliga trianglar 206 Två speciella trianglar 209 Cirkelns ekvation 210 Godtyckliga trianglar 211 Aktivitet: Undersök - Enhetscirkeln 212

4.2 Triangelsatserna 216 Areasatsen 216 Sinussatsen 219 När ger sinussatsen två fall? 221 Cosinussatsen 226 Tillämpningar och problemlösning 231 Aktivitet: Laborera – Avståndsmätning 234 Historik – Trigonometri och geodesi 235


Repetitionsuppgifter 246

Svar, ledtrådar och lösningar 252

Register 286

Bla 3c.indb 5 2012-07-10 09.34

I kapitel 3 ska vi arbeta med area, omkrets och volym, skala och likformighet samt trigonometri.

ALGEBRA OCH FUNKTIONER1

Centralt innehåll

✱ hantering av algebraiska uttryck och ekvationer.

✱ generalisering av aritmetikens lagar och begreppet absolutbelopp.

✱ begreppen polynom och rationellt uttryck.

✱ kontinuerlig och diskret funktion.

✱ polynom-, potens- och exponential-funktioner.

Bla 3c.indb 6 2012-07-10 09.34

111

15343274

77711275

4789

4789

4758

49

8947

8947

5849

55

4823

9867

8567

2388

7674

4

VILKA UTTRYCK ÄR LIKA?Dela ett A4-papper så du får 16 papperlappar. På lapparna skriver du följande matematiska uttryck (ett uttryck per lapp).

Gruppera lapparna så att de uttryck som är lika hamnar i samma grupp.

Inledande aktivitet

1

x2 + 1

2

(2x – 1)2

3

(x – 1)2

4

(2x)2 – 12

5

1 – 2x + x2

6

x2 – x

7

4x2 – 1

8

(x + 1)(x – 1)

9

3 – 2(1 – x2) – x2

10

x + x + 1

11

–x(1 – x)

12

4x2 – 4x + 1

13

– (1 – x2 )

14

(2x + 1)(2x – 1)

15

x 2 – 1

16

(x + 1)2

Bla 3c.indb 7 2012-07-10 09.34

8 1.1 AlgebrA och polynom

1.1 Algebra och polynom

Polynom och räkneregler

Exempel I många situationer kan vi använda enkla polynom som matematiska

modeller. Bollens bana i figuren är en parabel och kan beskrivas av sambandet

y (x) = 2,15 + 2,1x – 0,41x2

Högerledet är ett polynom som består av tre termer, en konstantterm och två variabeltermer.

Kontrollera sambandet genom att sätta in de värden som visas i figuren!

polynom Ett polynom är en summa av termer av typen a ∙ x n, där x är en variabel, exponenten n ett naturligt tal och a en konstant som ofta kallas koefficient. Varje polynom kan skrivas

a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn = n

∑ akxk

k = 0

gradtal Den största exponenten i ett polynom i en variabel anger polynomets gradtal.

y(x) = 2,15 + 2,1x – 0,41x2 är ett exempel på ett andragradspolynom.

x2y2 + 2x3 +5xy är ett polynom i två variabler x och y. Polynomets gradtal är 4. Gradtalet ges av den term som har den största sammanlagda exponenten.

Polynom av första graden skrivs ofta p(x) = ax + b. Polynom av andra graden skrivs ofta p(x) = ax2 + bx + c.

Summan, differensen och produkten av två polynom är också ett polynom.

Bla 3c.indb 8 2012-07-10 09.34

1.1 AlgebrA och polynom 9

Vi repeterar några regler och lagar som kan användas vid räkning med polynom. I reglerna och lagarna nedan kan bokstäverna a, b , c och d representera ett tal, en variabel eller ett polynom med flera termer.

Parentesreglerna

(a + b) + (c – d ) = a + b + c – d (a + b) – (c + d ) = a + b – c – d (a + b) – (c – d ) = a + b – c + d

Distributiva lagen

a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d ) = ac + ad + bc + bd

Konjugatregeln

(a + b)(a – b) = a2 – b2

Kvadreringsreglerna

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

1101

1102

Har du en avancerad räknare som kan göra algebraiska förenklingar och lösa ekvationer? Använd den gärna för kontroll, men lös först uppgiften utan räknare.

Ge exempel på ett fjärdegradspolynom med tre termer.Den största exponenten ska vara 4. T ex p (x) = x4 + 5x2 – 4 eller p (x) = 2x4 – x3 + 10x

Förenkla x + (2x + 5)2 – 4(x + 3)(x – 3).

x + (2x + 5)2 – 4(x + 3)(x – 3) = Utveckla med kvadrerings- och konjugatregel.

= x + (4x2 + 20x + 25) – 4(x2 – 9) = multiplicera in i parentes.

= x + 4x2 + 20x + 25 – 4x2 + 36 = förenkla.

= 21x + 61

Bla 3c.indb 9 2012-07-10 09.34


1103 Enligt en modell växer en bakteriekultur enligt formeln N(x) = 2 500 + 350x + 25x2

där N(x) är antalet bakterier x minuter efter försökets början.

Beräkna och tolka N(5) – N(4).

N(4) = 2 500 + 350 ∙ 4 + 25 ∙ 42 = 4 300 efter 4 minuter fi nns det 4 300 bakterier.

N(5) = 2 500 + 350 ∙ 5 + 25 ∙ 52 = 4 875 efter 5 minuter fi nns det 4 875 bakterier.

N(5) – N(4) = 4 875 – 4 300 = 575 ≈ 580

Antalet bakterier ökar med cirka 580 under den femte minuten.

1104 Utveckla och förenkla

a) 4x + 2(2x – 3) c) (x + 3)(2x + 4)

b) 6a – 2(11 – 7a) d) (y – 4)(2 – y)

1105 Utveckla med konjugatregeln

a) ( x – 4)(x + 4) b) (7 – 2a)(7 + 2a)

1106 Utveckla med kvadreringsreglerna

a) (a + 5)2 c) (3x + 4)2

b) (x – 9)2 d) (5 – 6y)2

1107 Diagonalerna i figuren har samma summa som kolumnen i mitten.

Vad ska stå i A och B?

6(a – b + 1)a – b

2a – 4A B

3(b – a)

b – a

1108 Ge ett exempel på ett andragradspolynom med

a) tre termer

b) två termer.

1109 Om biljettpriset till en tennismatch är p kr uppskattar man att antalet åskådare N( p) kan beräknas med

N( p) = 3 000 – 20p

Beräkna N(140) och tolka resultatet i ord.

1110 Beräkna värdet för uttrycket

2(a – 2)2 – 2a (a – 3) om a = 4

a) före förenkling

b) efter förenkling.


a) 5x2 – 4(2x – 3)(x – 5)

b) 3(a – b)2 – 2(a – b)2

c) (x – 2)3

d) (x – 1)x + (x2 – 2x – 4)(x + 1)

1112 p( x) är ett tredjegradspolynom. Vilken grad får det polynom som bildas då p (x)

a) adderas med x2

b) multipliceras med x2 ?

Motivera dina svar.

Bla 3c.indb 10 2012-07-10 09.34


1113 Konstreproduktioner AB producerar högst 30 målningar per vecka. Om firman en vecka producerar x målningar, räknar man med följande kostnader och intäkter:

Kostnad i kr: K( x) = 5 000 + 80x + 10x2

Intäkt i kr: I ( x) = x(1 200 – 20x)

Om intäkterna är större än kostnaden gör företaget en vinst.

Ställ upp och förenkla ett uttryck för vinsten, V( x).

1114 Bollens höjd y m över golvet vid ett straffkast i basket kan beräknas med formeln

y(x) = 2,15 + 2,1x – 0,41x2

där x m avståndet från utkastet räknat längs golvet.

Beräkna och tolka y (2,5) – y (2,0).


a) 2x(x + y) – 2y(x – y)

b) 2 x + 12

2 – 2 x – 1

2

2

c) 2x(x + y)2 – 2y(x – y)2


a) (2a + 5)3

b) (a + b + 5)(a – b – 5)

1117 Kostnaden K kr att producera x tröjor är

K( x) = 800 + 15 x + 0,3 x 2

Vinsten vid försäljning av x tröjor är V( x) kr.

Ställ upp och förenkla ett uttryck för vinsten då tröjorna säljs för 90 kr/st.

1118 Elleholms Finmekaniska tillverkar detaljer till en fiskerulle. Firmans totala kostnad K kr för att producera x detaljer uppskattas till K(x) = 16 000 + 50x + 0,2x2.

Ställ upp ett uttryck för hur kostnaden ändras om produktionen höjs från x detaljer till (x + 1) detaljer.

1119 I en stugby finns 60 stugor att hyra. Ägaren har upptäckt att hon får alla stugor uthyrda om hon tar 3 000 kr för en vecka, och för varje hundralapp som hon ökar hyran med förlorar hon en hyresgäst.

Ställ upp ett uttryck för hur den totala intäkten beror av en höjning med x hundralappar och undersök vad den maximala intäkten är.

1120 p(a + 1) = a2 + 2a + 1. Bestäm p(x).

1121 Bestäm det andragradspolynom p(x) sådant att p(–1) = 0, p(0) = 5 och p(2) = –3.

Bla 3c.indb 11 2012-07-10 09.34


PotenserVi repeterar och utvidgar några lagar och definitioner för potenser.

Potenslagarna

Definitioner

1122

1123

För reella exponenter x och y med samma positiva bas a gäller

a x a y = a x + y a x

a y = a x – y (ax)y = axy

För positiva baser a och b med samma reella exponent x gäller

a x b x = (a b)x ax

bx = ab

x

a 0 = 1 a–x = 1ax a ≠ 0

Basen är positiv och exponenten är ett reellt tal.

Förenkla med potenslagarna

a) 2x43 · x

– 13 b) 165

85 c) (–3a–3)2

a–4

a) 2x43 · x

– 13 = 2x

43

+ – 13

= 2x

43

– 13 = 2x

33 = 2x1 = 2x

b) 165

85 = 168

5 = 25 = 32 eller 165

85 = (2 · 8)5

85 = 25 · 85

85 = 25 = 32

c) (–3a–3)2

a–4 = (–3)2 · a–3 · 2

a–4 = 9a –6

a –4 = 9a –6 – (–4) = 9a –6 + 4 = 9a –2 = 9a2

a) Utveckla (3x + 3–x )2

b) Bryt ut 2x ur 2 x + h – 2x, dvs skriv i faktorform.c) Lös ekvationen 2 x–1 = 4 7

a) (3x + 3–x )2 = (3x)2 + 2 · 3x · 3–x + (3–x )2 = = 32x + 2 · 30 + 3–2x = 32x + 2 + 3–2x

b) 2x + h – 2x = 2x · 2h – 2x = 2x (2h – 1)

c) 2 x–1 = 4 7 ⇒ 2 x–1 = (22)7 ⇒ x – 1 = 2 · 7 ⇒ x = 15

Bla 3c.indb 12 2012-07-10 09.34


1124 Skriv som en enda potens

a) x 7 ∙ x –2 d) a5

a–3

b) x6

x8 e) (b2)–4

c) (4x )3 f) b–3

b

1125 Vilka av förenklingarna är felaktiga?

Förklara vad som är fel.

a) 13 · 3 · 3 · 3

förenklas till 3 –4

b) 5 + 5 + 5 + 5 förenklas till 5 4

c) (3x)0 + 3x 0 förenklas till 4

d) (4a)3 förenklas till 12a3

e) 2 ∙ 23 förenklas till 43

1126 Förenkla

a) (2 ∙ x 4 )3 + 2 ∙ (x 4 )3

b) 2ab2

2

c) x12 · x

13

d) xm2

xm3

1127 Låt y = 2 20 och bestäm

a) hälften av y b) en fjärdedel av y.

1128 Förenkla

a) (2ab)3

2ab–3 c) ( 2x )–3

b) 4a3b–2(3a)2

3a–4b d) ( 1

x )–n

1129 Förenkla

a) 3 ∙ 10 –a ∙ 3 ∙ 10 –a

b) 3 ∙ 10 –a + 3 ∙ 10 –a

c) (3x + 3x)2

d) (3x + 3x + 3x)2

1130 Uttrycket 34

34 kan användas för att

motivera att a 0 = 1 och uttrycket 34

37

för att motivera a–n = 1an

Förklara hur.

1131 Förenkla

a) (5 x + 5–x )2

b) a x (a3x + 2a–x )

1132 Lös ekvationen

a) 25x – 2 = 2x

b) 25x – 2 = 4x

c) 32x = 127

d) 23x ∙ 2–5 = 2x

1133 Bryt ut och skriv i faktorform

a) x 2x a – 3x a

b) a3 + h – a3

c) a2 n + a n

1134 Förenkla

a) 33 + 2x + 32x

32 + x – 3x b) 23x + 4 – 1626x – 23x

1135 Bestäm talet x

a) 259 + 258 = x ∙ 258

b) 42 · 412

4 · 40 = 2x

c) 2 x + 58 · 2 x – 58 = 259

d) 97+ x

37 + x = 19

1136 Förenkla

a) 3a+1 · 32

33 c) 3n + 1 · 9 n

27 2n / 3

b) (x2m)3 · x –n

x2m + n d) 163n / 4 · 4n + 1

85n / 3

Bla 3c.indb 13 2012-07-10 09.34


Kvadratrötter och absolutbelopp

Vi repeterar och utvidgar några lagar och definitioner om kvadratrötter.

Definition

Lägg märke till följande:

1 Kvadratroten ur ett tal är enligt definitionen ett positivt tal.

√25 står alltså bara för det positiva talet 5.

2 Ekvationen x2 = 25 har däremot två lösningar.

De är x1 = √25 = 5 och x2 = – √25 = –5. Vi skriver detta x = ±5

3 – √25 är inte detsamma som √–25

– √25 = –5 , medan beräkningen √–25 inte kan göras med reella tal.

Sambandet a12 = √a ger tillsammans med potenslagarna

a x b x = (ab)x och ax

bx = ab

x följande lagar.

Lagar för kvadratrötter

1137

1138

Med kvadratroten ur a menas det positiva tal, vars kvadrat är a.

(√a )2 = √a · √a = a a ≥ 0

√a · √b = √ab a ≥ 0 b ≥ 0

√a√b

= √ab a ≥ 0 b > 0

Beräkna utan räknarea) √25 + √2 · √50 b) 9

12 + 4 –0,5

a) √25 + √2 · √50 = 5 + √2 · 50 = 5 + √100 = 5 + 10 = 15

b) 912 + 4–0,5 = √9 + 1

40,5 = 3 + 1√4

= 3 + 12

= 3,5

Visa att 1√2

= √22

1

√2 =

1 · √2

√2 · √2 = √2

2

Bla 3c.indb 14 2012-07-10 09.34


Exempel 1 Om x > 0 så gäller likheten √x2 = x. T ex √52 = √25 = 5.

Om x är ett negativt tal så gäller däremot likheten √x2 = –x

T ex √(–5)2 = √25 = 5 = –(–5)

absolutbelopp Detta kan uttryckas med hjälp av begreppet absolutbeloppet av x, som skrivs |x|.

Sammanfattning

Exempel 2 Absolutbeloppet av ett reellt tal kan definieras som talets avstånd till origo.

Absolutbeloppet av 5 skrivs |5|och är lika med 5.Absolutbeloppet av –5 skrivs |–5| och är också lika med 5.

| x – y| kan tolkas som avståndet mellan punkterna x och y.

1139

1140

√x 2 = |x | =

x om x ≥ 0–x om x < 0

| x| = |x − 0|

x 0 y

| x − y| = | y − x|

Beräknaa) |6| + |– 4| – |–7| b) √(–15)2

a) |6| + |– 4| – |–7| = 6 + 4 – 7 = 3

b) √(–15)2 = |–15| = 15

Lös ekvationen |x – 3| = 4.

Vi söker punkter med avståndet 4 till punkten 3.

Ekvationens lösning är x = –1 och x = 7.

0 1 2 3 4 5 6 7 8−1−2

44

Bla 3c.indb 15 2012-07-10 09.34


Arbeta utan räknare.

1141 Beräkna

a) √4 + √9 c) √2 · √8

b) √4 · √9 d) (√2)2 + √8 · √8

1142 Skriv som en potens med basen 10

a) √10 c) 10 √10

b) 1

√10 d ) 1

10 √10

1143 Beräkna

a) 1000,5 c) 100–0,5

b) √10 · √10 d ) √5 · √20

1144 Beräkna

a) |–5| + |–2| b) |–5| – |–2|

1145 Beräkna

a) √(–3)2 c) √4 · 108

b) √32 + 42 d) √9 · 10–2

1146 Bestäm den exakta lösningen till ekvationen

a) x2 = 10 c) x2 + 22 = 32

b) 2x2 = 10 d ) x2

2 = 52

1147 Om du vet att √7 ≈ 2,646 vad är då

a) √700 b) √70 000?

1148 Visa att

a) 2 √3 = √12 b) √324

= √2

1149 Förenkla så långt som möjligt

a) √3 · √3 · √3

√3 + √3 + √3

b) x √x + x √x

√x · √x

1150 Det finns två tal x för vilka gäller att

|x – 5| = 15

Vilka tal är det?


a) |x – 1| = 1 b) |x| = 2

1152 För vilka x gäller olikheten |x – 7| < 2 ?

1153 Beskriv intervallet 7 ≤ x ≤ 13 med hjälp av absolutbelopp.

1154 Skriv ett uttryck för triangelns tredje sida.

a)

b)


a) (√a + √b) (√a – √b)

b) (√x + h + √x ) (√x + h – √x )

c) (√a + √b)2 – (√a + b)2

1156 Bestäm exponenten x

a) √ab

√ab

= ab

x

b) √ab √b

a √ab

= ab

x

a

a

2aa

Bla 3c.indb 16 2012-07-10 09.34


Ekvationer Exempel Formeln s = v0t + at2

2

beskriver sambandet mellan sträcka, begynnelsehastighet, acceleration och tid.

◗◗ Vilken är accelerationen om hastigheten är 15 m/s, tiden 4,0 s och sträckan 100 m?

Svaret får vi med hjälp av förstagradsekvationen

100 = 15 · 4 + a · 42

2

◗◗ Vilken är tiden om hastigheten är 15 m/s, accelerationen 4,0 m/s2 och sträckan 100 m?

Svaret får vi med hjälp av andragradsekvationen

100 = 15t + 4t2

2

Vi repeterar några lösningsmetoder för ekvationer.

Lösningsformeln

Andragradsekvationen saknar reella rötter om ( p2 )2

– q < 0, dvs om vi får ett negativt tal under rottecknet.

1157

Ekvationen x2 + px + q = 0 har lösningarna

x = – p2

± √( p2 )2

– q

Lös ekvationen 3x2 + 9x – 12 = 0 utan räknare.

Vi dividerar först med 3 och använder sedan lösningsformeln.

3x2 + 9x – 12 = 0

x2 + 3x – 4 = 0

x = – 32

± √

32

2 + 4

x = – 32

± √ 94 + 164

x = – 32

± 52

x1 = 1 x2 = – 4

Bla 3c.indb 17 2012-07-10 09.35


1158

Om en produkt är noll, måste minst en faktor vara noll. Detta kan vi ibland använda för att lösa ekvationer. Förutsättningen är att ekvationen kan skrivas så att det ena ledet är noll och det andra ledet kan faktoriseras. Metoden kallas nollproduktmetoden.

1159

1160

Lös ekvationen 6(x – 1)2 = 30

Vi kan lösa ekvationen genom att utveckla kvadraten, skriva om ekvationen och använda lösningsformeln, men det finns en enklare metod. Vi dividerar först med 6 och drar sedan kvadratroten ur båda leden.

6(x – 1)2 = 30 (x – 1)2 = 5 x – 1 = ± √5 x = 1 ± √5

x1 = 1 + √5 eller x1 ≈ 3,236

x2 = 1 – √5 eller x2 ≈ –1,236

kvadratrotsmetoden

nollproduktmetoden

Lös ekvationen 5x(2x – 12)(3x + 15) = 0

5x(2x – 12)(3x + 15) = 0

1. 5x = 0 vilket ger x = 0 2. (2x – 12) = 0 vilket ger x = 6 3. (3x + 15) = 0 vilket ger x = – 5

x1 = 0 x2 = 6 x3 = – 5

Lös ekvationen x3 – 2x2 – 3x = 0

x3 – 2x2 – 3x = 0

Vi faktoriserar VL genom att bryta ut x. x(x2 – 2x – 3) = 0

1. x = 0 2. x2 – 2x – 3 = 0 och lösningsformeln ger

x = 1 ± √1 + 3 x = 1 ± 2

x1 = 0 x2 = 3 x3 = – 1

Bla 3c.indb 18 2012-07-10 09.35


Lös ekvationerna.

1161 a) 3x + 2 = 5x – 3

b) 3x2 = 15

c) x(x + 5) = 0

d) x2 – 4x + 3 = 0

1162 a) 3x(2x – 8) = 0

b) x2+ 10x= 0

c) (z – 4)2 = 64

d) x2+ 8x – 9 = 0

1163 a) 3x2 – 18 = x2

b) (z – 1)(z – 2) = (z – 3)(z – 4)

c) 8x2– 8x + 2= 0

1164 a) 2t2+ 40t + 34 = 0

b) 3x2 + 12x = 36

c) (x + 3)(x – 2) = 7

1165 a) 4(x + 7)2 = 36

b) 4x2 = 2x

c) (x +3)(x – 4)(2x + 1) = 0

1166 (Tal 1)2 – (Tal 2)2 = 14 Tal 1 är 2 större än Tal 2.

Vilka är talen?

1167 Lös ekvationerna och besvara frågorna från det inledande exemplet på förra uppslaget.

a) 100 = 15 · 4 + a · 42

2

b) 100 = 15t + 4t2

2 , t > 0

1168 Ge ett exempel på hur en andragrads-ekvation kan se ut om lösningarna är

a) x = 2 och x = –2

b) x = 0 och x = 8

c) x = 12

och x = 13

d) icke-reella.

1169 Den totala kostnaden K kronor för att producera x detaljer i en mekanisk verkstad kan beskrivas med

K(x) = 16 000 + 50x + 0,2x2

a) Beräkna kostnaden för att producera 450 detaljer.

b) Hur många detaljer kan produceras för 100 000 kr?


a) x3 – 4x = 0

b) x3 – 8x2 + 15x = 0

c) 4(3 – 3x)(8 – 2x2) = 0

1171 Ekvationen x2(4x + 5a) = 0 har lösningarna x = 0 och x = 2.

Vilket värde har a?

1172 En bakteriekultur tillväxer enligt formeln

N( x) = 2 500 + 350x + 25x2

där N( x) är antalet bakterier x minuter efter försökets början.

Hur lång tid tar det innan antalet bakterier har fördubblats?


a) x2 (x + 1) – 64(x + 1) = 0

b) (x3 – 3x2) – (2x – 6) = 0

1174 I ekvationen 4x2 – (2 – k)2 = 0 är k en konstant.

Lös ekvationen. Svara på så enkel form som möjligt.

Bla 3c.indb 19 2012-07-10 09.35


Nya typer av ekvationer kan vi ibland omforma och lösa med kända metoder. Ett sätt att omforma en ekvation är att ersätta ett uttryck med ett annat, enklare uttryck. Vi gör en substitution.

1175

1176

substitution

Lös ekvationen x4 – 8x2 – 9 = 0

Vi ersätter x2 med t. Då kan x4 ersättas med t2 och vi får andragradsekvationen t2 – 8t – 9 = 0

t = 4 ± √16 + 9 t = 4 ± 5 t1 = 9 och t2 = –1

Vi får x2 = 9 och x2 = –1

Ekvationen x2 = 9 har lösningen x = ±3 Ekvationen x2 = –1 saknar reell lösning (men de komplexa rötterna är x = ±i )

Svar: Ekvationen x 4 – 8x2 – 9 = 0 har den reella lösningen x = ±3

Lös ekvationena) (x2 – 2)2 – 16(x2 – 2) + 28 = 0 b) x + √ x = 12

a) Sätt x2 – 2 = t b) Sätt √ x = t Då blir x = t2. t2 – 16t + 28 = 0 t2 + t – 12 = 0

t = 8 ± √64 – 28 t = – 12

± √ 14

+ 12

t = 8 ± √36 t = – 12

± √ 14

+ 484

t = 8 ± 6 t = – 12

± 72

t1 = 14 t2 = 2 t1 = 3 t2 = – 4

x2 – 2 = 14 x2 – 2 = 2 √ x = 3 √ x = – 4

x2 = 16 x2 = 4 x = 9 Saknar lösning.

x = ± 4 x = ± 2

Svar: a) Lösningarna är –4, –2, 2 och 4. b) Lösningen är 9.

√x är positivt.

Bla 3c.indb 20 2012-07-10 09.35


rotekvation Ekvationer där den obekanta förekommer under ett rottecken kallas rotekvationer. Rotekvationer kan lösas med hjälp av kvadrering, vilket dock kan ge falska rötter.

1177 Lös ekvationen √ x – 3 = 5 – x

Vi kvadrerar båda leden, löser andragradsekvationen och prövar lösningen.

√ x – 3 = 5 – x

x – 3 = (5 – x)2

x – 3 = 25 – 10x + x2

x2 – 11x + 28 = 0

x = 5,5 ± √30,25 – 28

x = 5,5 ± 1,5

x1 = 4 x2 = 7

Prövning i den ursprungliga ekvationen:

x = 4: VL = √4 – 3 = 1 HL = 5 – 4 = 1 VL = HL

x = 7: VL = √7 – 3 = 2 HL = 5 – 7 = –2 VL ≠ HL Falsk rot!

En grafisk jämförelse mellan den ursprungliga och den kvadrerade ekvationen visar tydligt att antalet rötter är olika.

Svar: Ekvationen √ x – 3 = 5 – x har lösningen x = 4.

Lös ekvationerna.

1178 a) x4 – 2x2 – 8 = 0

b) x4 – 2x2 – 3 = 0

1179 a) (x + 4)2 – 16(x + 4) + 63 = 0

b) (x2 + 5)2 – 15(x2 + 5) + 54 = 0

1180 Du har ekvationen √ x + 2 = x

a) Kvadrera båda leden och skriv resultatet som en andragradsekvation.

b) Vilka rötter har ekvationen i a)?

c) Pröva rötterna i den ursprungliga ekvationen. Duger båda rötterna?

d) Vilken lösning har ekvationen

√x + 2 = x?

1181 Bestäm med två decimalers noggrannhet rötterna till följande ekvationer.

a) x4 – 14 x2 + 44 = 0

b) x4 – 6x2 – 1 = 0

1182 Lös ekvationen 13 √x = x + 36

a) genom kvadrering och prövning

b) genom att sätta √x = t

Lös ekvationerna

1183 a) x2(x + 1) – 64(x + 1) = 0

b) √3x – 2 + 2 – x = 0

1184 a) x – 5√x + 4 = 0

b) (x + 1) – 27√x + 1 + 170 = 0

c) (x2 + 2x – 3)2 + 2(x2 + 2x – 3) – 3 = 0

Bla 3c.indb 21 2012-07-10 09.35


Polynom i faktorform

Vi har tidigare använt två metoder för att faktorisera polynom.

1. Utbrytning av största möjliga faktor, t ex

4x2 + 12x = 4x ∙ x + 4x ∙ 3 = 4x(x + 3) 5(x + 2) – x(x + 2) = (x + 2)(5– x)

2. ”Omvänd” användning av konjugatregeln och kvadreringsreglerna, t ex

4x2 – 25 = (2x)2 – 52 = (2x + 5)(2x – 5) x2 – 6x + 9 = x2 – 2 ∙ 3x + 32 = (x – 3)2

Vi ska nu visa en tredje metod.

Ett nollställe till ett polynom p(x) är ett tal a sådant att p(a) = 0. Om vi har ett polynom i faktorform, t ex p(x) = (x + 2)(5 – x), så kan vi bestämma polynomets nollställen. Polynomet p(x) = (x + 2)(5 – x) har nollställena –2 och 5.

från nollställen Omvänt så kan vi faktorisera ett polynom om vi vet samtliga nollställen. till faktorform Vill vi faktorisera polynomet p(x) = x2 + 2x – 15 så börjar vi med att lösa

ekvationen x2 + 2x – 15 = 0 med lösningsformeln. Rötterna är –5 och 3.p(x) = x2 + 2x – 15 = (x – (–5))(x – 3) = (x + 5)(x – 3)

Om vi vill så kan vi kontrollera resultatet genom att multiplicera parenteserna.

Ett polynom som saknar nollställen kan inte faktoriseras.

1185

1186

nollställe

Ett andragradspolynom p (x) med nollställena a och b kan skrivas

p (x) = k (x – a)(x – b)

där k är en konstant.

Faktorisera 18x2 + 12x + 2

Vi bryter ut 2 och använder 1:a kvadreringsregeln ”omvänt”.18x2 + 12x + 2 = 2(9x2 + 6x + 1) = 2(3x + 1)2

Faktorisera (x + 1)2 – 4y2

Vi använder konjugatregeln ”omvänt”.(x + 1)2 – 4y2 = (x + 1)2 – (2y)2 = (x + 1 + 2y)(x + 1 – 2y)

Andragradspolynom

i faktorform

Bla 3c.indb 22 2012-07-10 09.35


1187 Faktorisera polynomet p( x) = – 4x2 + 24x – 32

Vi löser ekvationen p( x) = 0 genom att bryta ut – 4 och använda lösningsformeln. p( x) = – 4x2 + 24x – 32 = – 4(x2 – 6x + 8) x2 – 6x + 8 = 0 x = 3 ± √9 – 8 x1 = 4 x2 = 2

p( x) = – 4(x – 4)(x – 2)

1188 Bryt ut så mycket som möjligt.

a) 5x + 25x3 c) 24h + 4h2

b) 4h + 8h2 + 12 d) 6hx + 3h2x

1189 Faktorisera med konjugat- eller kvadreringsregel

a) x2 – 49 c) 81x2 – 16 y2

b) x2 – 6x + 9 d) 16x2 + 8x + 1

1190 Ange polynomets nollställen, dvs lös ekvationen p( x) = 0.

a) p( x) = (x + 3)(x – 10)

b) p( x) = 5x(x – 4)

1191 Du vet att polynomet f ( x) = x2 – 12x + 35 har nollställena 5 och 7.

Skriv f( x) i faktorform.

1192 Skriv i faktorform

a) p( x) = x2 – 10x + 16

b) g( x) = x2 – 5x + 6

1193 Faktorisera polynomen

a) h(x) = 4x2 – 24x + 32

b) p(z) = 6 + 3z – 3z2

c) p( x) = 2x2 – 18

1194 Tobbe och Carro ska skriva polynomet p( x) = 3x2 – 24x + 21 i faktorform.

Tobbe får p(x) = 3(x + 1)(x + 7) Carro får p( x) = (x – 1)(x – 7)

Båda har gjort fel.

Förklara vilka fel de gjort.

1195 Skriv två olika polynom som båda har nollställena –10 och 20.

1196 Skriv i faktorform

a) f (t) = 4t – 4t2 – 1

b) h(x) = 4x2 + 4x + 4

c) p(x) = –3x2 – 2x + 1

1197 Ett andragradspolynom p(x) har nollställena 1 och 4 och p(0) = –2.

Är det sant att p(0) = p(6)? Motivera ditt svar.

1198 Tredjegradspolynomet p( x) = x3 + ax2 + bx + c har nollställena –3, 1 och 5.

Bestäm a, b och c.

1199 Finn nollställena till polynomet p(x) = x2 – (a + b)x + ab och försök tolka resultatet.

Bla 3c.indb 23 2012-07-10 09.35


Aktivitet ✽ Upptäck

1 Skriv (x + y)2 som ett polynom.

2 Skriv (x + y)3 som ett polynom. Du kan använda sambandet (x + y)3 = (x + y)(x + y)2 = = (x + y)(x2 + 2 xy + y2).

3 Skriv (x + y)4 som ett polynom.

4 Studera resultatet i uppgift 1, 2 och 3. Jämför exponenten i (x + y)n med

a) antal termer i polynomet. Vad upptäcker du?

b) gradtalet för varje term i polynomet. Vad upptäcker du?

Pascals triangel

Ett polynom är en summa av termer där termernas exponenter är naturliga tal. x 2 y + 2 x 2 + x y är ett tredjegradspolynom i två variabler x och y. Gradtalet ges av den term som har den största sammanlagda exponenten.

Bla 3c.indb 24 2012-07-10 09.35


Tabellen nedan visar en del av Pascals triangel. Blaise Pascal (1623 – 1662) var en fransk matematiker, vetenskapsman och filosof som bland annat utvecklade talteorin.

Siffrorna i de färgade kvadraterna är koefficienterna till de olika variabeltermerna då vi utvecklar (a + b)n.

Den översta raden ger (a + b)0 = 1Den andra raden ger (a + b)1 = a + bDen tredje raden ger (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

1

2

1

1

1

1

a + b

a2 + ab + b2

a2b + ab2 + b3a3 +

5 a) Skriv av triangeln ovan och fyll i koefficienterna i den fjärde raden.

b) Utöka triangeln med en femte rad som visar utvecklingen av (a + b)4.

c) Förklara hur du kan finna koefficienterna i en rad med hjälp koefficienterna i raden ovanför.

6 a) Vilket gradtal får varje term då (a + b)5 utvecklas och skrivs som ett polynom?

b) Skriv nästa rad i Pascals triangel.

c) Utveckla (a + b)5

d ) Utveckla (a + b)6

7 a) Jämför den andra koefficienten i varje rad med exponenten i (a + b)n. Vad upptäcker du?

b) Utgå från det mönster som du har upptäckt. Vilka är de två första termerna i utvecklingen av (a + b)10?

8 Kan vi använda Pascals triangel för att utveckla (a – b)2, (a – b)3, ... ?

Vad blir det för skillnad?

Bla 3c.indb 25 2012-07-10 09.35

26 1.2 rAtionellA Uttryck26 1.2 rAtionellA Uttryck

1.2 Rationella uttryck

Vad menas med ett rationellt uttryck? rationellt tal En kvot av två heltal a

b där b ≠ 0 kallar vi ett rationellt tal.

Exempel på rationella tal är 57

och – 139

rationellt uttryck Ett rationellt uttryck definieras som en kvot av två polynom p(x)q(x)

Exempel på rationella uttryck är x + 5x

och x2 + 4x + 2x – 2

Ett rationellt uttryck är inte definierat då nämnaren är lika med noll.

1201 Kostnaden K (x) i tusental kr för ett företag att avlägsna

x % av förbränningsgasernas föroreningar kan uppskattas

vara K (x) = 50 x100 – x

a) Beräkna och tolka K (90).b) Ange definitionsmängden, dvs tillåtna värden på x.

a) K (90) = 50 · 90100 – 90

= 450

Det kostar 450 000 kr att ta bort 90 % av föroreningarna.

b) 0 ≤ x < 100, K (x) är inte definierad för x = 100.

Bla 3c.indb 26 2012-07-10 09.35

1.2 rAtionellA Uttryck 27

1202 För vilka x-värden är uttrycket inte definierat?

a) 5x – 12 x

b) 5x2 x + 4

c) 2xx2 + 1

d) x2 – 10x2 – 12 x + 35

a) När x = 0.

b) När 2x + 4 = 0 dvs då x = –2.

c) x2 + 1 kan inte bli noll. Uttrycket är definierat för alla värden på x.

d) x2 – 12x + 35 = 0

x = 6 ± √ 36 – 35

Uttrycket är inte definierat då x = 5 och x = 7.

1203 Du har uttrycket G(x) = x + 72x – 8

a) Beräkna G(5).

b) För vilket x-värde är nämnaren lika med noll?

1204 Du har uttrycket G(x) = x2 + 3x – 23x + 6

a) Beräkna G(2).

b) För vilket värde på x är uttrycket ej definierat?

c) Är det sant att G(–3) < G(2)? Motivera ditt svar.

1205 Då Lena försöker beräkna värdet av

uttrycket 2xyx + 2y

för x = 6 och y = –3

med sin räknare visas ”ERROR” i räknarens fönster. Förklara varför.

1206 För vilka variabelvärden är uttrycken inte definierade?

a) x – 62 x2 + 10 x

c) x – 62 x2 + 10x + 12

b) x – 62 x2 + 10

d) 2 x – 102 x 3 – 50 x

1207 Skriv ett rationellt uttryck som

a) inte är definierat för x = 7

b) antar värdet 0 för x = 7

c) inte är definierat för x = ± 3

d) är definierat för alla x.

1208 För en lastbil kan bränsleförbrukningen i liter/km beräknas med formeln

G(x) = 1250

2 500

x + x

där x är hastigheten i km/h.

a) Hur mycket kostar en färd på 100 mil, om bränslet kostar 16 kr/l och hastigheten är 100 km/h?

b) Hur långt kommer vi på samma mängd bränsle, om hastigheten är 50 km/h?

1209 Uttrycket f (x) = 2 x3 + A3x2 kan användas

för att beräkna ett närmevärde till √A, om x är ett lämpligt startvärde. Sätt A = 10.

a) Beräkna f (2). Hur nära √10 är det?

b) Beräkna f ( f (2)). Hur nära √10 är det?

3

3

3

Bla 3c.indb 27 2012-07-10 09.35

28 1.2 rAtionellA Uttryck

Förlängning och förkortning

förlängning Förlängning innebär att både täljare och nämnare i ett bråk eller ett rationellt uttryck multipliceras med samma tal eller uttryck.

12

= 5 · 15 · 2

= 510

förlängning med 5.

2x + 3

= x · 2x · (x + 3)

= 2xx 2 + 3x

förlängning med x.

förkortning Förkortning innebär att både täljare och nämnare i ett bråk eller ett rationellt uttryck divideras med en gemensam delare.

6 x8

= 6 x /28 /2

= 3 x4

förkortning med 2.

För att se gemensamma delare måste vi ibland faktorisera.

5 x3

5x2 – 10x = 5x · x2

5x (x – 2) = x2

x – 2 förkortning med 5x.

enklaste form Ett bråk eller ett rationellt uttryck som inte kan förkortas är skrivet i enklaste form.

1210

1211

Förläng med 3.

a) 2 x5

b) 6x c) x – 42 x

a) 2 x5

= 2 x · 3 5 · 3

= 6 x15

b) 6 x = 6 x1

= 6 x · 3 1 · 3

= 18 x3

c) x – 42 x

= 3 (x – 4)3 · 2 x

= 3 x – 126 x

Förläng så att nämnaren blir 24x.

a) 34

b) x + 36

a) 34

= 3 · 6 x 4 · 6 x

= 18 x24 x

b) x + 36

= 4 x (x + 3)4 x · 6

= 4 x2 + 12 x24 x

Bla 3c.indb 28 2012-07-10 09.35


1212

1213

1214

Skriv i enklaste form

a) 2 x14 x2 b) 3 x5 y2

15 x2 y7 c) 12 x – 303 x + 6

a) Vi faktoriserar och förkortar med 2 och med x.

2 x14 x2 = 2 · x

2 · 7 · x · x = 1

7x

b) Vi faktoriserar och förkortar med 3x2 och med y2.

3 x5 y2

15 x2 y7 = 3 x2 · x3 · y2

5 · 3 x2 · y2 · y5 = x3

5 y5

c) Vi faktoriserar och förkortar med 3.

12 x – 303 x + 6

= 3(4 x – 10)3(x + 2)

= 4 x – 10x + 2

Förenkla om möjligt följande uttryck

a) xx + x2 b) x2 – 3 x

2 x – 6 c) 2 x – 3y

6 x y

a) xx + x2 = x

x (1 + x) = 1

1 + x

b) x2 – 3 x2 x – 6

= x (x – 3)2(x – 3)

= x2

c) 2 x – 3y6 x y

täljaren kan inte faktoriseras.ingen förenkling är möjlig.

Förenkla dubbelbråket x

2 – y

5

x2

+ y5

genom att förlänga med 10.

x2

– y5

x2

+ y5

= 10 ( x

2 – y

5 ) 10 ( x

2 + y

5 ) = 5x – 2y

5x + 2y

Bla 3c.indb 29 2012-07-10 09.35


VARNING

Vi kan bara förkorta ett uttryck om täljaren och nämnaren innehåller gemensamma faktorer.x + 3y

x kan därför inte förkortas.

Du frestas väl inte att förkorta och stryka x -termerna?

1215 Förläng med 2.

a) 3 x7

c) x + 37

b) 4x

d) x – 3x

1216 Förläng så att nämnaren blir 15x.

a) 2x

c) x – 25 x

b) 23 x

d) 2 x + 13

1217 Skriv i enklaste form

a) 2832

c) 3 ab3

18 a3b

b) 10 x 3

15 x 2 d) 2 x + 2

2 x

1218 Skriv i enklaste form. Börja med att bryta ut.

a) 105 x + 15

c) 2 x5 x + x2

b) 2 x – 46 x + 8

d) x 2 + 4 xx 2 + 3 x

1219 Skriv i enklaste form.

a) 4 h + h2

h c) h

2 x h + h2

b) 3 h3 h + x

d) 2 h2 – 4 h3 h – 6

1220 Förklara varför 2 x + 2 yx + y

kan förkortas men

inte 2 x + yx + y

1221 Vad ska stå i parentesen?

a) (?)28 x y

= 35 x7y

b) 4 x + 210 x + 5

= (?)5

c) 3 a xa x 2 + a2x

= 3(?)

1222 Beräkna värdet för uttrycket6 y 2 – 8 y9 y – 12

om y = 9



1223 Förläng med 12 och förenkla

a) (4 + 1/3)(3 – 1/4)

b)

2 a3

– 2 b4

a3

+ b4

1224 Polynomet p(x) beskrivs av formeln p(x) = 6 x 2 – 48 x.

Vilket polynom är q(x) om det rationella

uttrycket p (x)q (x)

kan förenklas till

a) 2 b) 3x c) x – 82 x

?

Bla 3c.indb 30 2012-07-10 09.35


1225

Förenkla

a) x2 – 9x – 3

b) 2 x2 – 983 x + 21

c) x 2 – 12 x + 36x 2 – 36

a) Vi faktoriserar med konjugatregeln:

x 2 – 9x – 3

= (x + 3) (x – 3)

(x – 3) = x + 3

b) Utbrytning och faktorisering med konjugatregeln ger

2 x2 – 983 x + 21

= 2 (x2 – 49)3 (x + 7)

= 2 (x + 7) (x – 7)3 (x + 7)

= 2 (x – 7)3

c) Faktorisering med ena kvadreringsregeln samt konjugatregeln ger

x 2 – 12 x + 36x 2 – 36

= (x – 6)2

(x + 6) (x – 6) = x – 6

x + 6

1226 Förenkla

a) x2 – 25x + 5

b) x + 4x 2 – 16

c) 49 – x2

7 – x

1227 Förkorta så långt som möjligt.

a) a + 1a 2 – 1

c) 2a2 + 4aa 2 – 4

b) a 2 + 1a + 1

d) a – ba 2 – b 2

1228 Förkorta så långt som möjligt.

a) 6 + 2 x9 – x 2

c) x 2 + 2 x + 1x + 1

b) 5 x 2 – 5x – 1

d) x 2 – 8 x + 16x – 4

1229 Förenkla

a) 4 x 2 – 4 x8 x 2 – 16 x + 8

b) 2 a 2 – 18 b 2

a 2 – 6 a b + 9 b 2

1230 Beräkna utan räknare värdet för uttrycket 9 – x 2

3 – x om x = 2,999.

1231 Felicia förenklar: 7 (9 – z 2)21 + 7z

= 3 + z

och är osäker på om det blev rätt.

Pröva om HL = VL för z = 0 respektive z = 1.


a) (4 + h)2 – 4 2

h

b) 2(3 + h)2 – 2 · 3 2

h

1233 Förenkla genom att förlänga med x.

a) 4x

– x / x + 4

x + 4

b) 1 – xx –1 – 1

1234 Förenkla uttrycket (x + h)2 – x 2

h genom att

a) först använda kvadreringsregeln

b) först använda konjugatregeln omvänt.

Bla 3c.indb 31 2012-07-10 09.35


Exempel Hur kan vi förenkla uttrycken 3 + xx + 3

och 3 – xx – 3

?

3 + xx + 3

= x + 3x + 3

= 1

Uttrycken 3 + x och x + 3 är lika.

Däremot är 3 – x inte lika med x – 3.

3 – xx – 3

= – x + 3x – 3

= – 1(x – 3)x – 3

Vi bryter ut −1

= –1

Kom ihåg:

Bryt ut –1

1235

b – a = (–1) ∙ (a – b)

Förenkla

a) 15 – 5 aa – 3

b) a 2 – 46 – 3 a

a) 15 – 5 aa – 3

= 5(3 – a)a – 3

= –5(a – 3)a – 3

= –5

b) a 2 – 46 – 3 a

= (a + 2)(a – 2)3(2 – a)

= (a + 2)(a – 2)– 3(a – 2)

= a + 2– 3

= – a + 23

1236 Bryt ut –1 i täljaren.

a) 2 – x3

b) 3 – 2 x – x 2

4

Förenkla

1237 a) 8 – xx – 8

c) 9 – a2

a – 3

b) 2 x – 147 – x

d) 20 – 4 yy2 – 25

1238 a) (2 a – 1)2

1 – 2 a b)

10a – 5025 – a 2

1239 a) a 2 – 1a – a 2

b) 36 x 2 – 12 x + 11 – 36 x 2

1240 a) x + 11 + x

2 b)

b – aa – b

2

1241 a) 4 x 2 – 4 x + 15 x – 10 x 2

c) 2 x3 – 8x4x2 – 2 x3

b) (12 – 2 x)2

x2 – 12 x + 36 b) 1 – x2

(x – 1)2

1242 Bryt ut (– 2) ur parentesen och förenkla

a) (4 – 2 x)x – 2

c) (4 – 2 x)3

x – 2

b) (4 – 2 x)2

x – 2 d) (4 – 2 x)6

x – 2

Bla 3c.indb 32 2012-07-10 09.35


Addition och subtraktion

lika nämnare Bråk med lika (samma) nämnare kan adderas och subtraheras direkt.

49

+ 29

= 4 + 29

= 69

= 23

På samma sätt förenklas rationella uttryck med lika nämnare.

xx + 2

+ 4 xx + 2

= x + 4 xx + 2

= 5 xx + 2

olika nämnare Bråk med olika nämnare kan inte adderas eller subtraheras direkt. Först måste vi förlänga så att de får lika (samma) nämnare.

gemensam nämnare En gemensam nämnare är ett heltal eller ett polynom som är delbart med samtliga nämnare i två eller flera bråk eller rationella uttryck. Den minsta (positiva) gemensamma nämnaren betecknas MGN.

56

+ 34

=___ Vilken gemensam nämnare ska vi välja?

Vi ska välja ett tal som är delbart med både 6 och 4, t ex 12, 24 eller 36. Om vi väljer MGN, som här är 12, blir beräkningarna enklast:

56

+ 34

= 1012

+ 912

= 1912

1243

MGN

a) Beräkna 2 – 56

– 78

b) Förenkla x24

+ 136

– x30

a) MGN = 24 ger 2 – 56

– 78

= 2 · 24 1 · 24

– 5 · 4 6 · 4

– 7 · 3 8 · 3

= 4824

– 2024

– 2124

= 724

b) 24 = 2 · 2 · 2 · 3 36 = 2 · 2 · 3 · 3

MGN = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 360

ta med faktorer så att produkten blir delbar med 24, 36 och 30. 30 = 2 · 3 · 5

x24

+ 136

– x30

= x · 15 24 · 15

+ 1 · 10 36 · 10

– x · 12 30 · 12

= 15x360

+ 10360

– 12x360

=

= 15x – 12x + 10360

= 3x + 10360

Bla 3c.indb 33 2012-07-10 09.35


1244

1245

Förenkla 16

+ 23 x

MGN: 2 ∙ 3 ∙ x = 6 x

Vi förlänger till nämnaren 6 x:

16

+ 23 x

= 1 · x 6 · x

+ 2 · 22 · 3 x

= x6 x

+ 46 x

= x + 46 x

a) Lös ekvationen b) Förenkla uttrycket

2 x + 16

+ 2 x8

= 6 2 x + 16

+ 2 x8

a) MGN: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24 Multiplicera båda leden (samtliga termer) med MGN 24:

24 (2 x + 1)6

+ 24 · 2 x8

= 24 · 6

4(2x + 1) + 3 ∙ 2x = 144

8x + 4 + 6x = 144

14x + 4 = 144

14x = 140

x = 10

b) MGN: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24 Vi förlänger till nämnaren 24:

2 x + 16

+ 2 x8

= 4(2 x + 1)4 · 6

+ 3 · 2 x3 · 8

= 8 x + 424

+ 6 x24

=

= 8 x + 4 + 6 x24

= 14 x + 424

= 2 (7x + 2)2 · 12

= 7x + 212

I en ekvation med rationella uttryck kan vi multiplicera båda leden (samtliga termer) med MGN. Detta ger en enklare ekvation.

När vi förenklar ett rationellt uttryck förlänger vi (samtliga termer) till MGN. Detta ändrar inte uttryckets värde.

Sammanfattning

Bla 3c.indb 34 2012-07-10 09.35


1246 Beräkna/förenkla

a) 58

+ 18

c) x7

+ x3

b) 34

– 178

d) 2x15

+ x6

1247 Förenkla

a) 1a

+ 3a

c) 2x

+ 12x

b) 34

+ 14 x

d) 53 a

+ 12a

1248 Lös ekvationen. Börja med att multiplicera alla termer med MGN.

a) x2

– x5

= 6 c) y6

– y8

= 5

b) x3

+ x6

= 2 d) x3

– 2 = x4

1249 a) Lös ekvationen

3 x – 54

+ 9 – 2 x3

= 2

b) Förenkla uttrycket

3 x – 54

+ 9 – 2 x3

1250 Förenkla

a) 23 y

+ y + 1y

b) 3y 2

+ 14 y


a) x – 23

= x – 32

– 1

b) 3x

+ 15 x

= 1

c) 4x

+ 62

= x

1252 Pi och Bo förenklar uttrycket 1x

– x + 12 x

Pi: 2 · 12 · x

– x + 12 x

= 2 – x + 12 x

= 3 – x2 x

Bo: 2 x · 1x

– 2 x · (x + 1)2 x

= 2 – (x – 1)

Båda gör fel! Vilka fel gör de?

1253 Vid produktionen av x böcker är den genomsnittliga kostnaden G( x) kr

per bok, där G(x) = 9 000x

+ 40 + x30

Hur många böcker tillverkas, om den genomsnittliga kostnaden är 96 kr?

1254 Nora och My klipper en stor gräsmatta. Nora har motorgräsklippare och kan ensam klippa gräsmattan på 4,0 h. My har en vanlig handgräsklippare. Tillsammans kan de klippa hela gräsmattan på 3,0 h.

a) Hur stor del av hela arbetet utför Nora på 1,0 h?

b) Hur stor del av hela arbetet gör de tillsammans på 1,0 h?

c) Om My ensam klipper gräsmattan på x h, hur stor del av arbetet gör hon då på 1,0 h?

d) Ställ upp en ekvation där x kan bestämmas.

e) Hur lång tid tar det för My att ensam klippa gräsmattan?

Bla 3c.indb 35 2012-07-10 09.35


1255

1256

Förenkla

a) 2 – 4 – xx

b) 3x – 1

+ 21 – x

a) MGN = x ger

2 – 4 – xx

= 2 · x 1 · x

– 4 – xx

= 2 x – (4 – x)x

obs! parentes.

= 2 x – 4 + xx

= 3 x – 4x

Vi måste komma ihåg att sätta ut parenteser när vi går över till gemensamt bråkstreck och har uttryck med flera termer!

b) 3x – 1

+ 2 1 – x

= 3x– 1

+ 2(–1)(x – 1)

= 3x – 1

– 2x – 1

= 1x – 1

Lös ekvationen 2 x 2x + 1

+ 1 = 2x + 1

Definitionsvillkor: x ≠ –1 definitionsvillkoret innebär att x = –1 inte kan vara rot till ekvationen.

Multiplikation med MGN ger

(x + 1) · 2x2

x + 1 + (x + 1) · 1 = (x + 1) · 2

x + 1

2 x 2 + (x + 1) = 2

2 x 2 + x – 1 = 0

x2 + 12

x – 12

= 0

x = – 14

± √ 116

+ 12

x = – 14

± 34

x1 = 12

x2 = –1 x = –1 är en falsk rot, då den inte uppfyller definitionsvillkoret.

Svar: x = 12

Bla 3c.indb 36 2012-07-10 09.35


1257 a) Lös ekvationen 3 y – 5

4 –

9 – 2 y3

= 0

b) Förenkla uttrycket 3 y – 5

4 –

9 – 2 y3

Lös ekvationerna

1258 a) 6x

– 5 = x b) y – 3

y –

y + 24

= 0

1259 a) xx + 4

+ 1 = 16x + 4

b) t + 1t – 2

= 3t – 2

+ 5

c) 1 + 1y

= 6y 2

d) 2x – 2

– x2

= xx – 2

1260 Om man vet medicindosen för en vuxen, kan dosen för ett barn beräknas med

y = xx + 12

· d där d är vuxendosen,

y är barndosen och x är barnets ålder.

a) Hur många tabletter bör en fyraåring få, om en vuxen kan ta 6 tabletter?

b) Vuxendosen är 1 cl och en pojke rekommenderas att ta 0,5 cl (5 ml). Hur gammal bör pojken vara?


a) xx – 2

– 3x

= 1 b) 1x – x2 – 1

x = 0

1262 Förenkla uttrycket 1 + xx 2 – 4

– 5 – xx 2 – 4

1263 Lös ekvationen 3x + 2

= 2 – 6x

1264 Ekvationen 1t – 1

– at – 4

= 12

har en lösning t = 2.

Bestäm värdet på a och eventuella ytterligare lösningar.

1265 Skriv följande uttryck så enkelt som möjligt.

a) 2a – b

– 1b – a

c) 2x2 – 4

+ 12 x – x 2

b) a – 10a – 5

– a5 – a

d) 6 a + 6a2 – 9

+ 43 – a

1266 Johannes förenklar a3 + 1a + 1

– a2 till 1 – a.

Är förenklingen rätt?

Undersök numeriskt med din räknare eller visa algebraiskt.

om en vuxen kan ta 6 tabletter?

b) Vuxendosen är 1 cl och en pojke rekommenderas att ta 0,5 cl (5 ml). Hur gammal bör pojken vara?

Är förenklingen rätt?

Undersök numeriskt med din räknare eller visa algebraiskt.

Bla 3c.indb 37 2012-07-10 09.35


Multiplikation och division

Vi repeterar multiplikation och division av tal i bråkform.

Multiplikation av bråk

23

· 56

= 2 · 53 · 6

= 1 · 53 · 3

= 59

3 · 89

= 31

· 89

= 3 · 81 · 9

= 1 · 81 · 3

= 83

förkorta om det går innan du multiplicerar.

Division av bråk

2759

=

Vi får förlänga med vilket tal vi vill. Vi väljer det tal som ger nämnaren 1.

=

27

· 95

59

· 95

=

27

· 95

1 = 2

7 · 9

5 = 18

35

inverterat tal 95

kallas det inverterade talet till 59

täljare och nämnare byter plats.

Produkten av ett tal och dess inverterade tal är 1.

Att dividera med 59

ger samma resultat som att multiplicera med 95

Vi förenklar rationella uttryck på samma sätt.

1267 Förenkla

a) 2x

· x2

6 b) 4 · x + 3

x c) x + 1

x /x + 1x 2

d) a2 – 46 a2 / a + 2

12 a 2

a) 2x

· x2

6 = 2 · x2

x · 6 = x

3

b) 4 · x + 3x

= 4 (x + 3)x

obs! parentes.

= 4 x + 12x

c) x + 1x /x + 1

x 2 = x + 1

x · x2

x + 1 = (x + 1) · x2

x · (x + 1)

obs! parentes.

= x

d) a2 – 46 a3 / a + 2

12 a 2 = a

2 – 46 a3 · 12 a 2

a + 2 = (a + 2)(a – 2) · 12 a2

6 a3 · (a + 2) = 2 (a – 2)

a

Bla 3c.indb 38 2012-07-10 09.35


1268 Beräkna utan räknare

a) 23

· 59

c) 75

· 221

b) 6 · 118

d) 49

· 320


a) 34

/47

c) 163

/4

b) 4 /163

d) 56

/73

1270 Förenkla

a) 4 a5

· 12a

c) 3x · 512 x

b) 6 x7

· 143 x

d) 19 x

· 3 x 2

10

1271 Skriv på ett gemensamt bråkstreck och förenkla.

a) 2 a3 b

· 12a

c) a + 35 a

· 10a + 3

b) 5 · 2 x + 32 x

d) 5 x · 2 x – 32 x

1272 Vad är ”dubblan” (dubbelt så mycket) av

a) 57

b) a + b c) 23

· ab

d) x + 14

?

1273 Förenkla

a) x4

/x8

c) 9 /3x28

b) 4 a5

/ 2 a 2

15 d) 12

5 z /21

1274 Vad är tredjedelen av

a) 57

b) a + b c) 23

· ab

d) x + 14

?

1275 Förenkla

a) x y6

· x y3

c) x y6 /

x y3

b) a b3 c

· 2 ca b

d) a b3 c

/2 ca b

1276 Förenkla

a) x y / yx c) 1a b

/ abb)

yx

/ x y d) a / ab1277 Beräkna värdet för uttrycket

a – bb

· b2

a2 – b2 om a = 10 och b = 15



1278 Förenkla

a) x2 – xy

/ x2 – 1y2 c) x – y

x + 2 y / x2 – x y

x2 – 4 y2

b) (a – 2) · aa2 – 4

1279 Förenkla

a) a + 3b

/(a2 – 9)

b) (x 2 – 2 x + 1)/ x – 12

1280 Förenkla dubbelbråket

35a

– a15

1a

– 13genom att

a) först förlänga de enskilda bråken till MGN

b) först förenkla täljaren för sig och nämnaren för sig och sedan dividera.

Förenkla.

1281 a)

a3

+ b2

a3

– b2

b) 4 – 2

a

16 – 4a2

1282 a)

1z

– 1x

z – x b)

ax

– xa

x – a

1283 Låt f (x) = a x2 x + 3

och undersök om man

kan bestämma talet a så att f ( f (x)) = x.

Bla 3c.indb 39 2012-07-10 09.35

40 1.3 fUnktioner

1.3 Funktioner

Inledning

Vi repeterar och utvidgar funktionsbegreppet.

Funktionsregeln kan beskrivas med ord, med en formel, en värdetabell eller en graf.

y = f (x) Skrivsättet y = f(x) innebär att y är en funktion av x och f är funktionens namn.

Med f(2) menas det y-värde som funktionsregeln ger då x = 2.

kontinuerlig funktion Funktioner kan karaktäriseras på olika sätt. De funktioner vars graf kan ”ritas utan att lyfta pennan” kallas för kontinuerliga.

Med matematikens språk kan vi säga att en funktion är kontinuerlig i en punkt x om | f (x + h) – f (x)| kan göras godtyckligt litet genom att välja ett tillräckligt litet h. Om detta gäller för alla x i definitionsmängden är funktionen kontinuerlig.

Alla polynomfunktioner är kontinuerliga.

f är kontinuerlig för a ≤ x ≤ b g är diskontinuerlig för a ≤ x ≤ b

En annan karaktärisering av funktioner kan göras utifrån vilken definitionsmängd de har. De funktioner vars definitionsmängd är heltalen (eller delmängder av heltalen) kallar vi diskreta. I matematiken betyder ordet diskret ungefär detsamma som ”åtskild” eller ”särad”.

diskret funktion En diskret funktion kan aldrig vara kontinuerlig eftersom resonemangen med ”godtyckligt litet” respektive ”tillräckligt litet” inte fungerar.

En regel som till varje tillåtet x -värde ger exakt ett y -värde kallas en funktion.

De tillåtna x -värdena kallas funktionens definitionsmängd.

De y -värden vi då kan få kallas funktionens värdemängd.

Funktion

Definitionsmängd

Värdemängd

x

yy = f (x )

a bx

yy = g (x )

a b

Bla 3c.indb 40 2012-07-10 09.35

1.3 fUnktioner 41

Exempel En handlare säljer äpplen för 20 kr/kg.Funktionen y = 20x beskriver priset y kronor för äpplen som väger x kg.

Detta är en kontinuerlig funktion, definitionsmängden är de reella talen större än eller lika med 0.

En annan handlare säljer äpplen för 5 kr/st.Funktionen y = 5x beskriver priset y kronor för x st äpplen.Detta är en diskret funktion, definitionsmängden är de naturliga talen.

Priset som funktion av vikten. Priset som funktion av antalet.

x

kg

ykr

20

40

60

1 2 3

x

antal

ykr

5

10

15

1 2 3

1301 Låt f( x) = 6x – 5 och g(x) = x2 + 3x.

Bestäm

a) f (2) c) f (2) – g (2)

b) g (–3) d) g (b) – f (b)

1302 Låt f( x) = 3x – 2 och bestäm

a) f (a + 1) b) f (a + h)

1303 Låt g(x) = x2 – 3 och bestäm

a) g(a – 2) b) g(a + 2)

1304 Priset y kr för att hyra ett par skidor i x dagar beskrivs av funktionen y = 200 + 100 x.

Är funktionen diskret eller kontinuerlig? Motivera ditt svar.

1305 Bestäm definitions- och värdemängd för

a) y = 2x – 1 c) f( x) = √ x + 3

b) y = x2 d) f( x) = 2 x

1306 Funktionen f definieras av formeln

f( x) = 1x – 4

a) Rita funktionens graf.

b) Ange funktionens definitionsmängd.

c) Förklara varför funktionens värdemängd är alla reella tal y ≠ 0.

1307 Låt f( x) = x2 + 3x och förenkla

a) f (2 + h) – f (2)h

b) f (x + h) – f ( x )h

1308 En och samma funktion kan beskrivas med olika formler i olika delar av sin definitionsmängd.

Funktionen f är definierad på följande sätt:

f ( x) =

a) Bestäm f (–2) + f (2)

b) För vilket värde på a är funktionen kontinuerlig?

x 2 för x ≤ 12 x + a för x > 1

Bla 3c.indb 41 2012-07-10 09.35

42 1.3 fUnktioner

Vår önskan att med hjälp av matematiska model-ler beskriva och förstå omvärlden har med tabeller, diagram, formler, ekvationer och grafer lett fram till funk tionsbegreppet.

I mitten av 1700-talet gav Euler, en mycket produktiv matematiker från Schweiz, en samlad beskrivning av de enkla funktioner som ingår i dagens skolkurser. Euler införde beteckningen f (x) och gav 1734 följande definition:

”En funktion f( x) är ett algebraiskt uttryck med konstanter och variabler, definierat genom en ekvation eller en graf.”

Eulers definition skärptes under nästa århund-rade, och 1837 gav den tyske matematikern Dirichlet oss den definition som än idag används:

”Om två variabler x och y har ett sådant samband, att när vi ger x ett värde så ordnas till detta automatiskt genom någon regel ett bestämt värde på y, då säger vi att y är en funktion av x.”

Historik

Hur funktionsbegreppet utvecklats

Leonhard Euler(1707 – 1783)

Peter Dirichlet(1805 – 1859)

Dirichlets definition skiljer sig på två viktiga sätt från Eulers: Funktionsregeln behöver intevara given med ett algebraiskt uttryck, och varje värde på xska ge ett värde på y.

Den tyske matematikern Georg Cantor skapade på 1870-talet mängdläran som ett beskrivningssätt för all matematik. Cantors funktionsdefinition blir:

”Om X och Y är två givna mängder, och om till varje element x i X är ordnat ett bestämt element y i Y, så har vi en funktion från X till Y.”

Enligt denna definition behöver inte elementenx och y vara tal.

xy

X Y

BC_K1_3_hist

Georg Cantor(1845 – 1918)

1 En cirkel med radien 2 ges av ekvationen y2 + x2 = 22.

a) Beräkna alla värden på y om x = –2, –1, 0, 1, 2.

b) Skissa cirkeln i ett koordinatsystem.

c) Är detta en funktion enligt Eulers, Dirichlets och Cantors definition?

2 Elementen i Cantors definition behöver inte vara tal. Beskriver följande tabell en funktion?

a)

b)

x –2 0 2 4

y 2 –2 2 14

x blå röd grön blå

y röd grön blå blå

Bla 3c.indb 42 2012-07-10 09.35

1.3 fUnktioner 43

Räta linjens ekvationVi repeterar från kurs 2c.

Räta linjens ekvation kan skrivas y = kx + m där k anger lutningen och m anger var linjen skär y-axeln.

Linjen y = 2x – 7 skär y-axeln i punkten (0, –7).

Bestämning av k ur en graf

x

y

1

1

∆x = 2

∆y = 3

x

y

1

1

∆x = 1

∆y = –3

kyx

= = =∆∆

32

1 5,

kyx

= = =∆∆

− −31

3

k > 0, linjen stiger k < 0, linjen faller

En horisontell linje har k = 0 och en ekvation av typen y = 3.

En vertikal linje saknar k-värde och har en ekvation av typen x = 3.

Formeln för k

k = förändringen i y-ledförändringen i x-led

= ∆ y∆ x

= y2 – y1

x2 – x1

där x2 ≠ x1.

Parallella linjer och vinkelräta linjer

Två icke-vertikala linjer med riktnings koefficienter k1 och k2 är

◗◗ parallella om och endast om k1 = k2 (har samma k-värde)

◗◗ vinkelräta om och endast om k1 ∙ k2 = –1

Linjen y = x4

har k-värdet 14

och är parallell med linjen y = 0,25x + 3

och vinkelrät mot linjen y = 1 – 4x

k-form y = kx + menpunktsform y – y1 = k (x – x1)

allmän form ax + by + c = 0

Räta linjens ekvation

Bla 3c.indb 43 2012-07-10 09.35

44 1.3 fUnktioner

1309

1310

Linjen L går genom punkterna (–2, 1) och (4, –4).a) Beräkna k-värdet för linjen.b) Bestäm ekvationen för den linje M som går genom

punkten (–2, 3) och är parallell med linjen L.

a) (x1, y1) = (–2, 1) och (x2 , y2 ) = (4, –4)

k = y2 – y1

x2 – x1

k = – 4 – 14 – (–2)

= – 56

= – 56

b) Parallella linjer har samma k-värde.

Linje M har k = – 56

och går genom punkten (–2, 3).

Metod 1 Metod 2

Vi använder y = k x + m.

y = 3, x = – 2 och k = – 56

ger

3 = – 56

· (– 2 ) + m

3 = 53

+ m

m = 43

y =– 5 x6

+ 43

Vi använder y – y1 = k(x – x1).

y1 = 3, x1 = –2 och k = – 56

ger

y – 3 = – 56

(x – (–2))

y – 3 = – 5 x6

– 53

y = – 5 x6

–

53

+ 93

y = – 5 x6

+ 43

1

1

x

y

L

M

( 2, 3)

( 2, 1)

(4, 4)

∆x = 6

∆y = –5

Ge ett exempel på ekvationen för en rät linje som är vinkelrät mot linjen 6 x + 3 y – 12 = 0.

Vi omvandlar den allmänna formen 6x + 3y – 12 = 0 till k-form:

3y = – 6x + 12

y = – 2 x + 4

k1 ∙ k2 = –1 och k1 = –2 ger k2 = 0,5.

Den vinkelräta linjens ekvation kan t ex vara y = 0,5x + 7.

Bla 3c.indb 44 2012-07-10 09.35

1.3 fUnktioner 45

1311 Bestäm lutningen k för en linje genom (1, 3) och (–1, 2).

1312 Bestäm en ekvation för linjen genom (3, –2) och med

a) k = 4 b) k = –3

1313 Rita grafen till

a) y = 2 x – 3 b) 5 x + 3y – 9 = 0

1314 I en glesbygdskommun minskade invånarantalet linjärt under 1990-talet enligt y = 15 000 – 225 x

där y är antalet invånare x år efter 1990.

a) Ange och tolka funktionens m -värde.

b) Ange och tolka funktionens k -värde.

1315 Bestäm en ekvation för linjen genom (–3, 1) och (2, –9).

1316 Skriv på allmän form ekvationen för linjen genom punkterna (2, 8) och (5, 10).

1317 Mellan temperaturskalorna Fahrenheit (°F) och Celsius (°C) finns ett linjärt samband. Vi vet att 20 °C motsvarar 68 °F och 100 °C motsvarar 212 °F.

a) Ställ upp det linjära samband som visar hur y °F kan beräknas för x °C.

b) Beräkna med ditt samband hur många °F som motsvarar 0 °C.

1318 Ange en ekvation för den linje som går genom punkten (2, – 5) och är parallell med

a) y = – 5x + 3 b) 2y – 6x + 12 = 0

1319 Bestäm linjens ekvation.

1

1

x

ya) b)

1

1

x

y

c)d)

1320 Ett cylinderformat stearinljus har diametern 23 mm och längden 200 mm. Brinntiden är 8 timmar.

a) Hur långt är ljuset då det har brunnit i 5 timmar?

b) Hur lång tid har ljuset brunnit om det är 120 mm långt?

c) Ställ upp ett linjärt samband mellan ljusets längd f (t ) mm och den tid t timmar som ljuset har brunnit.

1321 Ange en ekvation för den linje som går genom punkten (1, –4) och är vinkelrät mot

a) y = x + 3 b) y = – 2 x + 4

1322 Vilka koordinater har punkten B, om lut ningen för linjen genom A och B är 5?

1

1

x

yy = x

(1, 1)A

B2

1323 Ställ upp och förenkla f (x + ∆ x) – f (x)

∆ xom f ( x ) = a x + b. Tolka ditt resultat.

1324 För en linjär funktion gäller att

f(a + 1) = a + 2.

Bestäm funktionen på formen y = k x + m.

Bla 3c.indb 45 2012-07-10 09.35

46 1.3 fUnktioner

AndragradsfunktionerVi repeterar från kurs 2c.

En andragradsfunktion definieras av en ekvation av typen y = 2 x 2 – 12x + 10 och f ( x ) = 8 x – x 2

Allmänt kan en andragradsfunktion skrivas

allmän andragradsfunktion f( x) = a x2 + b x + c

där a, b och c är konstanter och a ≠ 0.

Grafen till en andragradsfunktion parabel y = a x2 + b x + c kallas en parabel. symmetrilinje Den har en symmetrilinje som delar

kurvan i två delar, som är varandras spegelbilder.

Två punkter på kurvan med samma y-värde ligger därför på samma avstånd från symmetrilinjen, se figuren här intill.

Symmetrilinjen går genom parabelns vertex vertex (vändpunkt) som är en maximi-

eller minimipunkt på grafen.

Då ekvationen a x2 + b x + c = 0 skrivs om till x2 + p x + q = 0 är symmetrilinjens ekvation x = –

p2

minimipunkt Om a > 0 (t ex y = 3 x2 ) har kurvan en minimipunkt.

maximipunkt Om a < 0 (t ex y = –1,5 x 2 ) har kurvan en maximipunkt.

Där grafen skär x-axeln är y = 0 x-koordinaten i dessa skärningspunkter

nollställen kallas funktionens nollställen.

Nollställena är reella lösningar till ekvationen ax2 + bx + c = 0. Saknas reella lösningar skär grafen aldrig x-axeln. Där grafen skär y-axeln är x = 0. Grafen skär y-axeln i punkten (0, c).

En andragradsfunktion är ett exempel på en polynomfunktion.

polynomfunktion En polynomfunktion definieras som en funktion som anges av ett polynom. I kommande kapitel ska vi studera polynomfunktioner av tredje och fjärde graden.

x

y symmetrilinje

vertex

nollställen

Bla 3c.indb 46 2012-07-10 09.35

1.3 fUnktioner 47

1325 Undersök andragradsfunktionerna y = x2 – 6 x och y = –3 x2 – 6 x – 6.

a) Var skär grafen y- axeln?b) Har funktionen några nollställen?c) Bestäm grafens symmetrilinje.d) Ange koordinaterna för vertex.e) Ange funktionens största/minsta värde.f) Kontrollera dina resultat grafiskt.

y = x2 – 6 x

a) x = 0 ger y = 0. Grafen skär y-axeln i origo.

b) y = x2 – 6 x x2 – 6 x = 0 x( x – 6) = 0

Nollställena är x1 = 0 x2 = 6

c) Symmetrilinjen är x = 3 (mitt emellan 0 och 6)

d) x = 3 ger y = 32 – 6 ∙ 3 = –9 (3, – 9) är vertex

e) x2 – termen är positiv. Funktionen har ett minsta värde – 9 ( y-värdet i vertex).

f) 15

–10

–4 10

(3, –9)

y = –3 x2 – 6 x – 6

a) x = 0 ger y = –6. Grafen skär y-axeln i punkten (0, –6).

b) y = –3 x2 – 6 x – 6 –3 x2 – 6 x – 6 = 0 x2 + 2 x + 2 = 0 x = –1 ± √ 1 – 2

Nollställen saknas

c) Symmetrilinjen är x = –1 ( x = – p/2 om x2 + p x + q = 0)

d) x = –1 ger y = –3 ∙ (–1)2 – 6 ∙ (–1) – 6 = – 3 (–1, – 3) är vertex

e) x2 – termen är negativ. Funktionen har ett största värde – 3.

f) 0

–10

–3 1

(–1, –3)

Bla 3c.indb 47 2012-07-10 09.35

48 1.3 fUnktioner

1326 Figuren visar grafen till

en andragradsfunktion.Skriv funktionen ia) faktorformb) utvecklad form.

a) Nollställena –1 och 2 ger f (x) = k (x + 1) (x – 2)

Vi avläser f (0) = 4, vilket ger k (0 + 1) (0 – 2) = 4 k ∙ 1 ∙ ( –2 ) = 4 k = –2 f ( x ) = –2 (x + 1)(x – 2)

b) f ( x ) = – 2 ( x + 1)(x – 2) = – 2 (x 2 – 2 x + x – 2) = – 2 x 2 + 2 x + 4

21

x

y

4

1327 Funktionen y = 6 x – x 2

a) Har kurvan en maximi– eller minimipunkt?

b) Bestäm kurvans nollställen genom att lösa ekvationen 6x – x 2 = 0

c) Ange kurvans symmetrilinje.

d) Bestäm koordinaterna för kurvans vändpunkt.

e) I vilken punkt skär kurvan y-axeln?

f) Skissa först grafen för hand och kontrollera sedan med grafräknare.

1328 Ange funktionens nollställen

a) f ( x ) = ( x + 3 )( x – 10)

b) f ( x ) = 5 x ( x – 4)

1329 ”Om man har ekvationen för en andragrads-funktion så finns det en enkel metod att avgöra om grafen har en maximi- eller minimipunkt. Inga beräkningar behövs och grafen behöver ej ritas.”

Förklara denna metod.

1330 Bestäm kurvans eventuella nollställen samt max- eller minpunkt. Kontrollera grafiskt.

a) y = x 2 + 4 x + 3

b) y = 2 x 2 – 4 x – 10

c) y = – x 2 + 8 x + 9

d) y = – 2 x 2 – 6 x – 6

1331 En andragradsfunktion har ett nollställe x = 2 och symmetrilinjen x = –1.

Bestäm det andra nollstället.

1332 Beräkna var kurvan skär x-axeln och y-axeln. Kontrollera grafiskt.

a) f ( x ) = –3 x 2 – 3x + 6

b) f ( x ) = x 2 + 4

c) y = 10 x – x 2

d) y = ( x – 4)( x + 1)

1333 Ge ett exempel på en andragradsfunktion som har nollställena

a) –1 och 3

b) 0 och –10

21

x

y

4

nollställen –1 och 2

Bla 3c.indb 48 2012-07-10 09.35

1.3 fUnktioner 49

1334 Figuren visar grafen till andragrads-funktionen y = f( x).

1

1

x

y

a) Bestäm f (0).

b) Lös olikheten f( x) > 0.

c) f( x) = – ( x – a )( x – b )Bestäm a och b och skriv f( x) i utvecklad form.

d) Ge ett exempel på ekvationen för en rät linje som aldrig skär f( x).

1335 Hur ska vi välja a så att kurvan y = x 2 – 8 x – a inte skär x-axeln?

1336 En rät linje skär f( x) = x 2 – 4 där x = –1 och x = 3.

Ange den räta linjens ekvation.

1337 Funktionen y = (x – 2)2 + 4 är given.

a) För vilket värde på x har y sitt minsta värde?

b) Vad är funktionens minsta värde?

1338 Skriv två olika funktioner som båda har nollställena –10 och 20.

1339 En andragradsfunktion har en graf med nollställena x = 1 och x = 8.Grafen skär y-axeln där y = 4.

Skriv funktionen i faktorform.

1340 Stoppsträckan hos en bil kan beskrivas med funktionen s( v ) = a v 2 + b v där s är stoppsträckan i m vid hastigheten v m/s.

Bestäm konstanterna a och b om vi vet att s(100 ) = 90 och s(120 ) = 122,4.

1341 En fotboll sparkas rakt upp i luften. En modell för bollens höjd över marken s ( t ) meter efter t sekunder är

s ( t ) = 0,75 + 18 t – 4,9 t 2

a) Beräkna och tolka s(2,5).

b) Vilken är bollens högsta höjd?

1342 Skriv andragradsfunktionerna dels i faktorform och dels i utvecklad form.

a)

1

y

4

x

–2

b) y

–18

6

x

–2

1343 Ange andragradsfunktionen som har ett (av två) nollställen x = 1 och en minimipunkt (–1, –8).

1344 En andragradsfunktion y = ax 2 + b x + c har endast ett nollställe.

Ange ett samband mellan a, b och c.

Bla 3c.indb 49 2012-07-10 09.35

50 1.3 fUnktioner

Exponentialfunktioner och potensfunktionerVi repeterar från kurs 2c.

Funktioner av typen

y = 2 x 3 och f( x) = 500 ∙ x –0,5

är exempel på potensfunktioner.

I matematiska tillämpningar där det förekommer någon form av proportionalitet mellan två variabler kan en potensfunktion användas som modell.

potensekvation Ekvationen 100x 6 = 200 är ett exempel på en potensekvation.

Ekvationen kan skrivas x6 = 2

Den positiva roten är x = 216 ≈ 1,122

Funktioner av typen

y = 5 ∙ 1,5 x och f( x) = 20 000 ∙ 0,85 x

är exempel på exponentialfunktioner.

I många matematiska tillämpningar har vi en procentuell förändring som är konstant. Detta betyder att förändringsfaktorn är konstant och en exponentialfunktion kan användas som modell.

exponentialekvation Ekvationen 3 x = 5 är ett exempel på en exponentialekvation.

Logaritmering av båda leden ger x ∙ lg 3 = lg 5

Lösningen är x = lg 5lg 3

≈ 1,465

Potensfunktion f (x ) = C ∙ x a , där C och a är konstanter, kallas en potensfunktion.

Exponentialfunktion f ( x ) = C ∙a x , där C och a är konstanter ( a > 0, a ≠ 1), kallas en exponentialfunktion.

Bla 3c.indb 50 2012-07-10 09.35

1.3 fUnktioner 51

1345

1346

Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr under en femårsperiod. Beräkna den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen.

Antag att den årliga förändringsfaktorn är x.

Vi får ekvationen

2,4 ∙ x 5 = 3,2

x 5 = 3,22,4

x = 3,22,4

15 ≈ 1,0592

Värdet ökade med i genomsnitt 5,9 % per år.

Kevin arbetar med radioaktiva preparat på ett laboratorium. En radioaktiv isotop som han arbetar med avtar exponentiellt enligt funktionenf( t ) = 72,5 ∙ 0,867 t

där t är antal år efter 2010 och f ( t ) är mängden i mg.a) Tolka talen 72,5 och 0,867 i formeln.b) Beräkna och tolka f (10).c) När återstår 5,00 mg av den radioaktiva isotopen?

a) 72,5 betyder att mängden var 72,5 mg år 2010. Förändringsfaktorn 0,867 betyder att mängden minskar med 13,3 % per år.

b) f (10) = 72,5 ∙ 0,867 10≈ 17,4 År 2020 återstår 17,4 mg av den radioaktiva isotopen.

c) Vi löser ekvationen 72,5 ∙ 0,867 t = 5

0,867 t = 572,5

t · lg 0,867 = lg 5

72,5

t = lg

572,5

lg 0,867 ≈ 18,7

Ca 18,7 år efter 2010 återstår 5,00 mg.

Bla 3c.indb 51 2012-07-10 09.35

52 1.3 fUnktioner

1347 Beräkna f (5). Svara med tre gällande siffror.

a) f( x) = 400 ∙ x 1,5 b) f( x) = 400 ∙ 1,5 x

1348 Lös ekvationen. Svara med tre gällande siffror.

a) x3 = 8 c) 3x = 8 b) 2x5 = 24 d) 2 ∙ 5x = 24

1349 Vinsten i ett företag är 80 miljoner kr. Ställ upp en funktion som anger vinsten y kr efter x år om vinsten förväntas

a) öka med 5 % varje år

b) minska med 5 % varje år.

1350 En dag analyserade Mikael bakteriehalten i ett vattenprov. Antalet bakterier f( x) = 200 000 ∙ 1,04 x, där x är antalet timmar efter kl. 09.00.

a) Beräkna antalet bakterier kl 12.30.

b) När är antalet bakterier 500 000?

1351 Under en 20-årsperiod har Emmas årslön trefaldigats.

Beräkna den årliga procentuella ökningen om vi förutsätter att den varit lika stor varje år.

1352 Karl köpte aktier. När han tre år senare skulle sälja aktierna hade värdet halverats.

Vilken årlig procentuell minskning mot-svarade detta?

1353 Lufttrycket y millibar avtar med höjden x km över havet enligt funktionen y = 1 013 ∙ 0,887 x

a) Hur stort är lufttrycket vid havsnivån?

b) Med hur många procent minskar trycket då höjden ökar med 1 km?

c) Beräkna lufttrycket på höjden 8 800 m.

d) På vilken höjd är lufttrycket 500 millibar?

1354 A y = 2 √ x

B y = 3x 2

C y = x 2 + x

D y = 2 x

Vilken eller vilka av funktionerna ovan är en

a) andragradsfunktion

b) potensfunktion

c) exponentialfunktion?

1355 Figuren visar grafen till en exponential-funktion. Bestäm funktionen.

1356 Halten av en luftförorening y gram per m3 i ett rum avtar med tiden t timmar enligt funktionen y = 40 ∙ 0,92 t

Med hur många procent minskar halten per dygn?

1357 För en exponentiell modell y = f ( x ) = C a x gäller att f (0) = 2 och f (1) = 3. Bestäm f (2).

1358 I tiokamp för herrar beräknas poängen P( t )för löpning 1 500 m med potens funktionen

P( t ) = 0,037 68 (480 – t ) 1,85

där t är tiden i sekunder.

a) Vilken poäng ger tiden 4.10,0?

b) Vilken poäng ger tiden 4.20,0?

c) Vilken tid ger 1 000 poäng?

1

1

x

y

Bla 3c.indb 52 2012-07-10 09.35

1.3 fUnktioner 531.3 fUnktioner 53

1363 En patient får en injektion på 5,0 mg av ett läkemedel. Man vet att denna mängd avtar exponentiellt med tiden och att halva mängden återstår efter 24 h.

När återstår 1,5 mg?

1364 Då kärnkraftverket i Tjernobyl havererade i april 1986 spreds stora mängder radioaktivt material, bl a jod-131 med en halveringstid på 8,0 dygn och cesium-137 med en halveringstid på 30,2 år.

Hur länge dröjer det innan aktiviteten reducerats till 1 % av det ursprungliga värdet för

a) jod-131 b) cesium-137?

1365

x10

1

y

Potensfunktiony = C · x a

Bestäm C och a.


a) 2 x + 12 x – 1

= – 6 b) x lg x = x 3

100

1359 En dator kan sortera N namn på T µs, där T = 1,18 ∙ N 1,18.

Hur många namn sorteras på 1 min?

1360 Från år 1995 till 2005 minskade en koloni av måsar från 10 000 till 6 000.

Hur många måsar kan vi förvänta oss 2015, om minsk ningen i procent är densamma varje år?

1361

x

100

1

y

Exponentialfunktion

Figuren visar grafen till y = f ( x ).Beräkna f ( –2 ).

1362 Flora och fauna på isolerade öar har stort intresse inom ekologin. För både växter och djur har forskarna funnit att antalet arter y på öar med olika area x km2 kan beskrivas med potensfunktionen y = c ∙ x a där c och a är konstanter som beror av den aktuella organismen och ögruppen. För fågelarter inom Bismarcksarkipelagen har undersökningar visat att c = 18,9 och a = 0,18.

Hur stor måste en ö vara för att man rim ligen ska finna fler än 100 fågelarter?

Bla 3c.indb 53 2012-07-10 09.35

54 1.3 fUnktioner

Aktivitet ✽ Laborera

Pendeln

Materiel: En pendel (t ex vikt upphängd i 2 m långt snöre), stativ eller annan fästanordning, tid tagarur och tumstock eller måttband (2 m).

1 Svängningstiden (fram och tillbaka) för en pendel beror av pendelns längd.

Du ska variera och mäta längden på pendeln, mäta svängningstiden och redovisa resultatet i en tabell.

Tips:

•Mätlängdentillkulans/viktenstyngdpunkt.

•Låtpendelngöraganskasmåsvängningar.

•Mättidenför10svängningar.

2 Använd räknare/dator med ett kurv-anpassningsprogram och anpassa en potensfunktion av typen y = C ∙ a x till dina mätvärden.

Låt y vara svängningstiden i sekunder och x pendelns längd i meter.

3 Välj en pendellängd och beräkna sväng-ningstiden med hjälp av din funktion.

Kontrollera sedan experimentellt. Stämmer det?

4 Bygg en ”klocka”!

Hur lång är den pendel som har en sväng-ningstid på exakt en sekund?

Gör först en beräkning med hjälp av din funktion. Kontrollera sedan experimentellt. Stämmer det?

5 Det finns en teoretisk formel för en plan, ”matematisk” pendel.

Ta reda på denna formel och jämför med din potensfunktion. Kommentera likheter och skillnader.

Bla 3c.indb 54 2012-07-10 09.35

1 AlgebrA och linjärA modeller 55

Aktivitet ✽ DiskUtera

7 y = ( x – 3)( x + 2) är den enda andragrads-funktion som har nollställena 3 och – 2.

8 √ 98 kan skrivas 7 √ 2

9 Om f ( x ) = x – 1 och g ( x ) = x 2 så saknar ekvationen f ( x ) = g ( x ) reella lösningar.

10 Uttrycket 4 x 2 – 100x – 5

är skrivet i enklaste form.

11 Funktionen y = x √ x är ett exempel på en potensfunktion.

12 3 x 3 · 3 x 3 · 3 x 3 3 x 3 + 3 x 3 + 3 x 3 kan förenklas till 3 x 3.

Diskutera i par eller grupp. Arbeta utan räknare. Sant eller falskt? Motivera svaret!

1 4 x 2 – 4 kan skrivas som 4( x – 1)(x + 1)

2 Summan av två andragradspolynom kan vara ett fjärdegradspolynom.

3 x = 3 är en lösning till ekvationen

2x + 1

+ 1x – 1

= 1

4 Polynomet p( x ) = (2x – 5)( x + 7) har nollställena 5 och 7.

5 Uttrycket 3 x – 122 x – 10

är ej definierat då

x = 10.

6 Summan 2 –1 + 2 –1 är dubbelt så stor som produkten 2 –1 · 2 –1.

Sant eller falskt?

Bla 3c.indb 55 2012-07-10 09.35

56 1 AlgebrA och linjärA modeller

Sammanfattning 1

Algebra och polynom

Polynom och räknereglerEtt polynom är en summa av termer där variabeltermernas exponenter är naturliga tal.

Exempel:

2x3 – x2 + 10 är ett tredjegradspolynom med tre termer.

Konjugatregeln och kvadreringsreglerna:

(a + b)(a – b) = a2 – b 2

(a + b)2 = a2 + 2 a b + b 2

(a – b )2 = a2 – 2 a b + b 2

Potensera x a y = a x + y a

x

ay = a x – y (a x ) y = a x y

a x b x = (a b)x ax

b x =

ab

x

a 0 = 1 a –x = 1a x

a 1n = √ a

Exempel:

(2 x )3 · 2 x –1 = 23 · x 3 · 2 · x –1 = 16 x2

Kvadratrötter och absolutbelopp

(√ a )2 = √ a · √ a = a a ≥ 0

√ a · √ b = √ ab a ≥ 0 b ≥ 0

√ a

√ b = √a

b a ≥ 0 b > 0

Exempel:

√18 = √ 9 · √ 2 = 3 · √ 2

Absolutbeloppet av x, skrivs |x| och definieras som talets avstånd till origo.

|x| =

n

x om x ≥ 0 –x om x < 0

EkvationerEkvationen x 2 + p x + q = 0 har lösningarna

x = – p2

± √ p2

2 – q

Ekvationer som kan skrivas så att det ena ledet är faktoriserat och det andra ledet är noll kan lösas med nollproduktmetoden.

Exempel:

4x(3x – 15)(2x + 6) = 0

1 x = 0

2 (3 x – 15) = 0 vilket ger x = 5

3 (2 x + 6) = 0 vilket ger x = – 3

x1 = 0 x2 = 5 x3 = – 3

Ekvationer där den obekanta förekommer under ett rottecken kallas rotekvationer. Rotekvationer kan lösas med hjälp av kvadrering, vilket dock kan ge falska rötter som måste prövas i den ursprungliga ekvationen.

Polynom i faktorformEtt nollställe till ett polynom p ( x ) är ett tal a sådant att p ( a ) = 0.

Ett andragradspolynom p ( x ) med nollställena a och b skrivs i faktorform

p ( x ) = k ( x – a )( x – b )där k är en konstant.

Rationella uttryck

Vad menas med ett rationellt uttryck?Ett rationellt uttryck definieras som en kvot

av två polynom p(x)q(x)

Ett rationellt uttryck är inte definierat då nämnaren är lika med noll.


Bla 3c.indb 56 2012-07-10 09.35


Förlängning och förkortningEtt rationellt uttryck som inte kan förkortas är skrivet i enklaste form.

Exempel:5 a 2

15 a = 5 a · a

3 · 5 · a = a

3 enklaste form

2 x + 8x 2 – 16

= 2 ( x + 4)( x + 4)( x – 4)

= 2x – 4

Addition och subtraktionFörläng till MGN vid förenkling.

Exempel:1

2 a – 1

3 a = 3

6 a – 2

6 a = 3 – 2

6 a = 1

6 a

mgn = 6a

Multiplicera båda leden med MGN vid ekvationslösning.

Exempel:

Lös ekvationen3

2 a – 2

3 a = a

6 a · 32 a

– 6 a · 23 a

= 6 a · a

9 – 4 = 6 a 2

a 2 = 5/6

a = ± √ 5 / 6

Multiplikation och division

Exempel:

a + 12 a

/ a2 – 12

= a + 12 a

· 2a 2 – 1

=

= (a + 1) · 22 a (a + 1) (a – 1)

= 1a (a – 1)

Funktioner

InledningEn funktion är en regel som till varje tillåtet x-värde ger exakt ett y-värde.

Definitionsmängden är de tillåtna x-värdena.

Värdemängden är de erhållna y-värdena.

Alla polynomfunktioner är kontinuerliga. Grafen till en sådan funktion kan ritas ”utan att lyfta pennan.”

En funktion vars definitionsmängd är heltalen (eller en delmängd av heltalen) kan kallas en diskret funktion.


k-form y = kx + m

enpunktsform y – y1 = k( x – x1 )

allmän form a x + b y + c = 0

AndragradsfunktionerEn andragradsfunktion kan skrivas y = a x 2 + b x + c, där a ≠ 0

Grafen•har en maximipunkt om a < 0•har en minimipunkt om a > 0•skär y-axeln i (0, c)•är symmetrisk kring symmetrilinjen•har nollställen om ekvationen y = 0

har reella lösningar.

Potensfunktioner y = C ∙ x a (C och a är konstanter)

Exempel:

Potensekvationen

x 12 = 3, x > 0

har den positiva roten x = 3 1/12 ≈ 1,096

Exponentialfunktioner y = C ∙ a x (C och a är konstanter, a > 0, a ≠ 1)

Exempel:

Lösning av exponentialekvation.

8 · 3 x = 15

3 x = 15/8

lg 3 x = lg (15/8)

x · lg 3 = lg (15/8)

x = lg (15/8)

lg 3 ≈ 0,572


Bla 3c.indb 57 2012-07-10 09.36


Kan du det här? 1

MomentBegrepp som du ska kunna använda och beskriva

Du ska ha strategier för att kunna

Algebra och polynom

Polynom, term och gradtal

Potens, bas och exponent

Kvadratrot och absolutbelopp

Andragradsekvation

Lösningsformeln

Nollproduktmetoden

Nollställe, faktorform

•addera, subtrahera, multiplicera och faktorisera polynom

•använda potenslagarna med reella exponenter

•använda lagarna för kvadratrötter•lösa andragradsekvationer med olika

metoder•lösa ekvationer med hjälp av

faktorisering, kvadrering och substitution.

Rationella uttryck

Rationellt uttryck

Förlängning och förkortning

Enklaste form

MGN

Falsk rot

•beräkna värdet på ett rationellt uttryck och bestämma de variabelvärden för vilka uttrycket inte är definierat

•förlänga och förkorta rationella uttryck•addera, subtrahera, multiplicera och

dividera rationella uttryck•lösa ekvationer som innehåller

rationella uttryck.

Funktioner Funktion

Definitions- och värdemängd

Kontinuerlig funktion

Diskret funktion


Andragradsfunktion

Potensfunktion

Potensekvation

Exponentialfunktion

Exponentialekvation

•avgöra om en formel, graf och värdetabell beskriver en funktion

•avgöra om en funktion är kontinuerlig•använda k-form, enpunktsform och

allmän form för räta linjen•bestämma symmetrilinje, nollställen

och största/minsta värde för andragradsfunktioner

•lösa potens- och exponentialekvationer•använda linjära-, andragrads-, potens-

och exponentialfunktioner i olika tillämpningar.


Bla 3c.indb 58 2012-07-10 09.36


Diagnos 1

Algebra och polynom


a) (2a + 3b)(2a – 3b) – 2a(2a – 3b)

b) 3(x + h)2 – 3x2

2 Förenkla

a) a –2 · a –4 + ( 2 a –3)2

b) ( x – √ 3 ) (x + √ 3 )


a) 4 1 + 4 0,5 b) √ 25 + √ 2 · √ 18

4 Lös ekvationen

a) 3 x (2 x + 6)( x – 1) = 0

b) 9 x 3 – 6 x 2 + x = 0

5 Skriv polynomet i faktorform

a) p(x) = x 2 – 16 x + 60

b) p(x) = –10 x 2 + 50x – 60

Rationella uttryck

6 G( x ) = x + 1x ( x + 2)

a) Beräkna G (–3)

b) För vilket eller vilka värden på x är G (x) inte definierat?

7 Förenkla

a) 14 x – 72 x – 1

c) x2

+ x3

– x12

b) 2 x 2 – 18x + 3

d) x – 11 – x

+ 1 + yy + 1

8 Lös ekvationen

a) x2

– x8

= 24 c) x2

x – 1 + 2 = 1

x – 1

b) x – 12

+ x – 23

= 3 d) x 2

x + 4 – 16

x + 4 = 4

9 Förenkla

a) a b2

· 6 ba

c) 2a

/ 2 – 4 aa2

b) a b2

/ 6 ba

d) a 2 – 13

· 64 a + 4

Funktioner

10 Bestäm ekvationen för den linje som

a) har k = 4 och går genom punkten (1, 8)

b) går genom punkterna (2, 6) och (3, 4)

c) är parallell med y = 3 x + 7 och går genom (2, 4).

11 Rita andragradskurvan (parabeln)

y = 2 x 2 – 8 x – 24

a) Ange symmetrilinjens ekvation.

b) Har kurvan en maximi- eller minimipunkt?

c) Ange extrempunktens koordinater.

d) Var skär grafen x-axeln?

e) Var skär grafen y-axeln?

12 Lös ekvationen. Svara dels exakt, dels med ett närmevärde med tre decimaler.

a) 2 · x 5 = 12 b) 2 · 5 x = 12

13 Ge ett exempel på en potensfunktion och på en exponentialfunktion för vilken gäller att f( 1 ) = 3.

Om du behöver repetera kan du fortsätta med Repetitionsuppgifter på sidan 246.


Bla 3c.indb 59 2012-07-10 09.36


Blandade övningar kapitel 1

Del I Utan räknare


( 3 x + 2 )2 – (2 x – 3) 2

2 Bryt ut och förenkla 10 – 2 x5 – x

3 Uppgiften är att skriva om uttrycket 64 + x4

Wilma får 16 + x

Joel får 16 + x4

Förklara hur de gjort och vem som har rätt.

4 Beräkna 4 12 + 5

12 · 5

12

5 För vilka x-värden är x – 22 x 2 – 8 x

inte definierad?

6 Använd konjugatregeln och förenkla s + 4s 2 – 16

7 Utveckla eller förenkla

a) ( x + a ) 2 – ( x – a) 2 b) x (x + 2) 2 – x 3

8 Lös ekvationen exakt.

a) ( x – 1) ( x + 1) = 0 c) 2 x + 4 = 6x

b) 5 · 10 x = 10 d) 2 x 5 = 6

9 Förklara, med vardagligt språk, vad som menas med att en funktion är kontinuerlig.

10 Förenkla

a) 5x + 2

– 3 – xx + 2

b) 2x – 2

– 52 – x

11 För vilket värde på talet a har ekvationen x 2 – 10 x + a = 0 rötterna x = 3 och x = 7 ?

12 Förenkla (2 a –2 )3

2 a 2 + 2 a 2

13 Lös ekvationen 5 x 4 – 8 x – 3 x 4 + 6 x = 0

14 En rät linje skär grafen till andragrads-funktionen y = 4 x – x 2 – 3 där x = 1 och x = 4. Bestäm linjens ekvation.

15 Jossan uppskattar att kostnaderna för hennes bil varje år uppgår till 30 000 kr + 15 kr/mil. Anta att Jossan kör x mil under ett år.

a) Ställ upp ett uttryck som ger Jossans genomsnittliga bilkostnad per mil.

b) Jossan beräknar kostnaden till 40 kr/mil. Hur många mil kör hon då på ett år?

60 1 AlgebrA och linjärA modeller60 2 1 AlgebrA och linjärA modeller

Bla 3c.indb 60 2012-07-10 09.36


16 För en andragradsfunktion f( x) = a x 2 + b x gäller att f ( –1 ) = –2 och f (1) = 6.

Bestäm konstanterna a och b.

17 Lös ekvationen x 3– x (6 x – 5) = 0

18 a = √ 3 · √ 15

I vilket av följande intervall ligger talet a ?

A 3 ≤ a < 4 D 6 ≤ a < 7

B 4 ≤ a < 5 E 7 ≤ a < 8

C 5 ≤ a < 6

Motivera ditt svar.

19 a) Lös ekvationen 54 x

+ 1x

– x = 0

b) Förenkla 54 x

+ 1x

– x

20 Ge ett exempel på ett rationellt uttryck som inte är definierat för x = 1 och som har värdet 1 då x = –2.

21 Andragradsfunktionen f har den graf som visas i figuren.

a) Vilken lösning har ekvationen f( x) = 0?

b) Ekvationen f( x) = a har endast en lösning. Vilket tal är a ?

c) Är det sant att f(11) = 6 ∙ f(0)? Motivera ditt svar.

y

x

1 5

4

22 Beräkna uttryckets värde då x = 3 995

a) x 2 + 10x + 25

b) 2 x 3 – 50 x2 x 2 – 10 x

23 a) Lös ekvationen x + 1x

– xx + 1

= 32

b) Förenkla uttrycket x + 1x

– xx + 1

24 Låt f (x) = 5x2 och förenkla

a) f (2 + h ) – f (2)h

b) f ( x + h ) – f ( x )h

25 a) Lös ekvationen |x – 5| = 7

b) Lös ekvationen |x + 5| = 7

c) Skriv intervallet –5 < x < 7 med hjälp av absolutbelopp.

26 Beräkna 1x

+ 1y

om x + y = 4 och x y = 1

27 Lös ekvationen

a) 9 · 32x + 1 = 1

b) x 2/3 – 5 x 1/3 + 6 = 0

28 Figuren visar grafen till tredjegradsfunktionen

y = a x 3 + b x 2 + c x + d

Bestäm konstanterna a, b, c och d.

y

3 8

x

2

24

1 AlgebrA och linjärA modeller 611 AlgebrA och linjärA modeller 61

Bla 3c.indb 61 2012-07-10 09.36


Del II Med räknare

29 För det rationella uttrycket K ( x ) gäller att

K( x) = x 2

5 x + 30Beräkna K(18) – K (14).

30 Lös ekvationen. Avrunda svaret till tre gällande siffror.

a) 3 x + 2100

= 5

b) 3 x 2

100 = 5 x > 0

c) 2 x 3

100 = 5

d) 3 · 2 x

100 = 5

31 I ett avtal från 1997, det så kallade Kyoto-protokollet, förband sig industriländerna att minska sina koldioxidutsläpp med 5,2 % av 1990 års utsläppsmängd före 2012.

Vilken årlig procentuell minskning motsvarar 5,2 % från och med 1991 till och med 2011?

32 Med en lins kan ett föremål avbildas. Sambandet mellan föremålets avstånd a till linsen, bildens avstånd b till linsen och linsens brännvidd f kallas linsformeln:

1a

+ 1b

= 1f

a) Ett föremål placeras 600 mm framför en kameralins med brännvidden 50 mm. Beräkna bildavståndet.

b) Visa att det vänsta ledet i formeln kan

skrivas a + bab

33 Andragradspolynomet 6 x 2 + x – 1 kan i faktorform skrivas ( ax + b ) ( c x + d ). Bestäm heltalen a, b, c och d om a < c och b > d.

34 Figuren visar grafen till y = x 3 – x 2 – 4x + 4

a) Lös med hjälp av grafen ekvationen x 3 – x 2 – 4x + 4 = 0

y

x

5

1–2 2

b) Faktorisera polynomet x 3 – x 2 – 4 x + 4.

35 Svängningstiden T sekunder för små svängningar hos en plan matematisk pendel med längden l meter kan beräknas med formeln

T = 2 π √ lg

där g = 9,82

a) Beräkna svängningstiden för en pendel med längden 1,52 m.

b) Hur lång är en pendel med svängningstiden 0,75 s?

c) Lös ut l ur formeln.

62 1 AlgebrA och linjärA modeller62 1 AlgebrA och linjärA modeller

Bla 3c.indb 62 2012-07-10 09.36


36 Jessica löser ekvationen

√ x = x – 2

på följande sätt:

√ x = x – 2

(√ x )2 = ( x – 2)2

x = x2 – 4 x + 4

x2 – 5 x + 4 = 0

x = 52

± √254

– 164

x = 52

± 32

x 1 = 1 x 2 = 4

För att kontrollera sin lösning ritar Jessica graferna till y = √ x och y = x – 2 på följande sätt:

Jessica säger:

Jag förstår inte detta! Enligt graferna är x = 4 en lösning till ekvationen men x = 1 verkar inte vara en lösning. Har jag löst ekvationen fel?

Vilken lösning har ekvationen

√ x = x – 2 ?

Förklara för Jessica!

37 Låt f ( x ) = 1x

och förenkla f ( x + h ) – f ( x )h

y

x

2

2 4

Utredande uppgifter Den här typen av uppgifter brukar bedömas efter följande kriterier:

•vilkamatematiskakunskaperduharvisat

•hurvälduharförklaratdittarbeteochmotiveratdina slutsatser

•hurvälduharredovisatdittarbeteochgenomfört dina beräkningar.

38 Du ska undersöka differensen av två bråk.

• Beräknadifferenserna

23

– 12

45

– 34

910

– 89

• Beräknaytterligarenågradifferenseravtvåbråk som följer mönstret ovan.

• Vadupptäckerdu?

• Bevisadinupptäcktmedalgebra.

39 Du ska undersöka polynomen

a 3 – b 3 och (a – b ) (a 2 + a b + b2 ).

• Beräknavärdetavdetvåpolynomen då a = 5 och b = 5.

• Beräknavärdetavdetvåpolynomen då a = –5 och b = –5.

• Beräknavärdetavdetvåpolynomen då a = 7 och b = 3.

• Väljtvåolikanegativavärdenpåa och b och beräkna polynomens värde.

• Vadupptäckerdu?

• Bevisadinupptäckt.

• Lösekvationen (x – 2)(x2 + 2x + 4) = 19

1 AlgebrA och linjärA modeller 631 AlgebrA och linjärA modeller 63

Bla 3c.indb 63 2012-07-10 09.36

252 sVAr och lösningAr

1

1104 a) 8x – 6

b) 20a – 22

c) 2x2 + 10x + 12

d) –y2 + 6 y – 8

1105 a) x2 – 16

b) 49 – 4a2

1106 a) a2 + 10a + 25

b) x2 – 18x + 81

c) 9x2 + 24x + 16

d) 25 – 60y + 36y2

1107 A = 9a – 7b + 2

B = 7a – 5b + 2 Ledtråd: Summan i diagonalerna skall vara 5a – 3b + 2

1108 a) T ex p(x) = x2 – 5x + 1

b) T ex p(x) = 3x2 + x

1109 N(140) = 200. Om biljetterna kostar 140 kr kommer 200 personer att se matchen.

1110 a) Uttryckets värde är 0

b) Uttryckets värde är 0. Kommentar: Uttrycket kan förenklas till 8 – 2a. För alla variabelvärden är värdet på ett uttryck före och efter förenkling detsamma.

1111 a) –3x2 + 52 x – 60

b) a2 – 2ab + b2

c) x3 – 6x2 + 12x – 8 Ledtråd: (x – 2)3 = (x – 2)(x – 2)2 = (x – 2)(x – 4x + 4)

d) x3 – 7x – 4

1112 a) Grad 3 Motivering: Termen där exponenten är 3 ändras inte.

b) Grad 5 Motivering: Exponenten i termen med högst exponent ökar från 3 till 5.

1113 V (x) = –5 000 + 1 120x – 30x2

Ledtråd: V (x) = I(x) – K(x)

1114 y(2,5) – y(2,0) = 0,127 5 Då avståndet från utkastet, räknat längs golvet, ökar från 2,0 m till 2,5 m ökar bollens höjd över golvet med ca 13 cm.

1115 a) 2x2 + 2y2

b) 4x

c) 2x3 +2x2y + 6xy2 – 2y3

1116 a) 8a3 +60a2 + 150a +125

b) a2 – b2 – 10b – 25

1117 V(q) =75x – 0,3x2 – 800 Ledtråd:

Intäkten I(x) = 90x Förenkla I(x) – K(x)

1118 Kostnadsändring (0,4x + 50,2) kr

1119 Intäkten (60 – x)(3 000 + 100x) kr = = (180 000 + 3 000x – 100x2 ) kr

x = 15 ger maximal intäkt 202 500 kr. Ledtråd: Antal hyresgäster (60 – x) st

som var och en betalar (3 000 + 100x) kr. 0 ≤ x ≤ 60. Max hittar vi t ex grafiskt.

1120 p (x) = x2

1121 p(x) = 5 + 2x – 3x2

Ledtråd: p(x) = ax2 + bx + c Ställ upp och lös ett ekvationssystem.

1124 a) x 5 d) a 8

b) x –2 e) b –8

c) 43x f) b –4

1125 b) 5 + 5 + 5 + 5 = 4 ∙ 5

d) (4a)3 = 43a3 = 64a3

e) 2 ∙ 23 = 24

1126 a) 10x12 c) x56

b) 4 2

4a

b d) x

m6

1127 a) 219 Lösning: 22

20

= 219

b) 218 Lösning: 22

20

2 = 218

1128 a) 4a2b6 Ledtråd: Uttrycket kan skrivas

82

3 3

3a bab−

b) 12a9b–3

Ledtråd: Uttrycket kan skrivas

4 93

3 2 2

4a b a

a b

−

−

c) 3x

8

d) xn

1129 a) 9 ∙ 10–2a

b) 6 ∙ 10–a

c) 4 · 32x = 4 · 9x

Ledtråd: (3x + 3x)2 = (2 · 3 x)2

d) 9 x + 1

Kommentar: Uttrycket kan skrivas på många olika sätt t ex 9 x + 1, 9 · 9 x, och 32x + 2.

SVAR OCH LÖSNINGARSvaren står med svart text. Ledtrådar och lösningar med blå text.

Bla 3c.indb 252 2012-07-10 09.43

sVAr och lösningAr 253

1130 Vi vet att 33

4

4 = 1.

För att potenslagarna ska gälla måste 34 – 4 = 30 = 1.

Vi vet att 33

4

7 = 133 .

För att potenslagarna ska gälla

måste 34 – 7 = 3–3 = 133 .

1131 a) 52x + 2 + 5–2x

b) a4x + 2

1132 a) x = 0,5 Ledtråd: Exponenterna lika ger 5x – 2 = x

b) x = 2/3

c) x = –1,5 Ledtråd: 32x = 3–3

d) x = 2,5

1133 a) x a(x 2 – 3)

b) a 3 (a h – 1)

c) a n (a n + 1)

1134 a) 72

· 3x

Lösning:

3 33 3

3 2 2

2

+

+

+x x

x x− =

3 3 13 3 1

2 3

2

x

x

( )( )

+−

= 3 28

8

x ⋅ = 3 7

2

x ⋅

b) 1623x

Lösning:

2 162 2

3 4

6 3

x

x x

+ −−

= 2 22 2

3 4 4

6 3

x

x x

+ −−

= 2 2 12 2 1

4 3

3 3( )( )

x

x x−− = 2

2

4

3x=

= 16

23x

1135 a) x = 3

b) x = 3 Ledtråd: Skriv om VL till bas 2.

c) x = 29,5

d) x = –9 Ledtråd: Skriv om båda leden till bas 3.

1136 a) 3a c) 3n + 1

b) x 4m – 2n d) 4

1141 a) 5 c) 4

b) 6 d) 10

1142 a) 100,5 c) 101,5

b) 10–0,5 d) 10–1,5

1143 a) 10 c) 0,1

b) 10 d) 10

1144 a) 7 b) 3

1145 a) 3 c) 2 ∙ 104

b) 5 d) 3 ∙ 10–1 = 0,3

1146 a) x = ± 10

b) x = ± 5

c) x = ± 5

d) x = ± 50 = ±5 2

1147 a) 700 ≈ 26,46

b) 70 000 ≈ 264,6

1148 a) 2 ∙ 3 = 4 ∙ 3 =

= 4 · 3 = 12

b) 32

2321632

164= = =

eller

32 2

216 · 2

4 416 ·

424 ·

4= = = =

32 22

16 · 24 4

16 · 4

24 · 4

= = = =

1149 a) 1 b) 2 x

1150 x = 20 och x = –10

1151 a) x = 0 och x = 2

b) x = 2 och x = –2

1152 5 < x < 9

1153 |x – 10| ≤ 3

1154 a) a 2 b) a 3 Ledtråd: Använd Pythagoras sats och lös ut x.

1155 a) a – b b) h c) 2 ab

1156 a) x = 0,75 Ledtråd: VL kan skrivas

0,5( (a · a0,5b · b

0,5

b) x = 3/8

1161 a) x = 2,5

b) x = ± 5 c) x1 = 0 x2 = –5

d) x1 = 1 x2 = 3

1162 a) x1 = 0 x2 = 4

b) x1 = 0 x2 = –5

c) z1 = 12 z2 = –4

d) x1 = 1 x2 = –9

1163 a) x = ± 3

b) z = 2,5

c) x = 0,5

1164 a) t1 = –10 – 83 ,

t2 = –10 + 83

b) x1 = –6, x2 = 2

c) x1 = –0,5 – 534

,

x2 = –0,5 + 534

1165 a) x1 = –4 x2 = –10

b) x1 = 0 x2 = 0,5

c) x1 = –3 x2 = 4 x3 = –0,5

1166 x = 2,5 och 4,5

1167 a) a = 5,0 Accelerationen är 5 m/s2.

b) t = 4,3 Tiden är 4,3 s.

1168 a) x2 – 4 = 0 Ledtråd: Utveckla (x – 2)(x + 2) = 0

b) x2 – 8x = 0

c) 6x2 – 5x + 1 = 0 Ledtråd: Utveckla 6 (x – 1

2) (x – 13) = 0

d) x2 + 4 = 0

1169 a) 79 000 kr

b) 535 detaljer Ledtråd: Lös ekvationen K(x) = 0 där x är ett positivt tal.

Bla 3c.indb 253 2012-07-10 09.43


1170 a) x1 = 0, x2 = 2, x3 = –2

b) x1 = 0, x2 = 5, x3 = 3

c) x1 = 1, x2 = 2, x3 = –2

1171 a = – 85

1172 5,2 minuter

1173 a) x1 = –1, x2 = 8, x3 = –8 Ledtråd: Faktorisera VL,

bryt ut (x + 1).

b) x1 = 3 x2 = 2 ,

x3 = – 2

Ledtråd: Faktorisera VL,

bryt ut (x – 3).

1174 x1 = 0,5k – 1 x2 = – 0,5k + 1

1178 a) x1 = –2 x2 = 2

b) x1 = – 3 x2 = 3

1179 a) x1 = 3 x2 = 5

b) x1 = –1 x2 = 1 x3 = –2 x4 = 2

1180 a) x 2 – x – 2 = 0

b) x1 = 2 och x2 = –1

c) Nej. Motivering: 2 1 1− ≠ − x = –1 är en falsk rot.

d) x = 2

1181 a) x ≈ ± 3,04 x ≈ ± 2,18

b) x ≈ ± 2,48

1182 a) x1 = 16 x2 = 81 Båda OK vid prövning.

b) x1 = 16 x2 = 81 t1 = 4 och t2 = 9

1183 a) x1 = –1 x2 = 8 x3 = –8 Ledtråd: Faktorisera VL, bryt ut (x + 1).

b) x = 6 Ledtråd: x = 1 är en falsk rot.

1184 a) x1 = 1 x2 = 16

b) x1 = 288 x2 = 99

c) x1 = 0 x2 = –2 x3 = –1 + 5 x4 = –1 – 5

1188 a) 5x(1 + 5x2)

b) 4(h + 2h2 + 3)

c) 4h(6 + h)

d) 3hx(2 + h)

1189 a) (x + 7)(x – 7)

b) (x – 3)2

c) (9x + 4y)(9x – 4y)

d) (4x + 1)2

1190 a) x1 = –3 x2 = 10

b) x1 = 0 x2 = 4

1191 f(x) = (x – 5)(x – 7)

1192 a) p(x) = (x – 2)(x – 8)

b) g(x) = (x – 2)(x – 3)

1193 a) h(x) = 4(x – 4)(x – 2)

b) p(z) = –3(z + 1)(z – 2)

c) p(x) = 2(x – 3)(x + 3)

1194 p(x) = 3(x – 1)(x – 7) Tobbe har fel tecken i

parenteserna. Carro glömmer faktorn 3.

1195 T ex p(x) = (x + 10)(x – 20) q(x) = 2(x + 10)(x – 20)

1196 a) f(t) = –(2t – 1)2

b) h(x) = 4(x2 + x + 1)

c) p(x) = –(x + 1)(3x – 1)

1197 Nej. Motivering: p( x) = – 0,5(x – 1)(x – 4) p(6) = – 5

1198 a = –3 b = –13 c = 15

1199 Nollställen: a och b. Tolkning:

Nollställenas summa = = koefficienten för x men med omvänt tecken.

Nollställenas produkt = den konstanta termen.

(Förutsätter p (x) på formen p(x) = x2 + px + q.)

1203 a) 6 b) x = 4

1204 a) 23

b) x = –2

c) Nej. Motivering: G(–3) = G(2) = 2/3

1205 Uttrycket är inte definierat för x = 6 och y = -3. För dessa värden får nämnaren värdet 0.

1206 a) x = 0 och x = –5

b) Uttrycket är definierat för alla värden på x.

c) x = –2 och x = –3

d) x = 0 och x = ±5 Ledtråd: Nämnaren kan skrivas 2x(x2 – 25)

1207 a) T ex 27

xx −

b) T ex xx− 7

2

c) T ex 29x − 2

d) T ex 29x + 2

1208 a) 8 000 kr Ledtråd: Bränsleförbrukning: G(100) = 0,5 liter/km Bränslemängd: 500 liter

b) 125 mil Ledtråd: G(50) = 0,4 liter/km

1209 a) f (2) = 136

≈ 2,1666...

Differensen är

136

– 103 ≈ 0,012

b) f ( f (2)) = 32771521

≈ 2,154 50

Differensen är

2,154 50 – 103 ≈ 7 · 10 –5

1215 a) 6x 14

c) 2x + 6 14

b) 8 2x

d) 2x − 6 2x

1216 a) 30 15x

c) 3x − 6 15x

b) 10 15x

d) 10x + 5x 15x

2

Bla 3c.indb 254 2012-07-10 09.43


1217 a) 7 8

c) b 6a2

2

b) 2x 3

d) x + 1 x

1218 a) 23x +

c) 25 + x

b) xx

− 23 4+

d) xx

++

43

1219 a) 4 + h

b) Uttrycket kan inte förkortas.

c) 12x h+

d) 2h 3

1220 2 2 2x yx y

x yx y

++

= ++

( ) = 2

kan förkortas, då täljare och nämnare har faktorn x + y gemensam.

2x + y och x + y har ingen gemensam faktor.

1221 a) 140x2

b) 2

c) x + a

1222 a) 6

b) 6 Ledtråd: Förenklat uttryck

23y

1223 a) 5233

b) 8 64 3

a ba b

−+

1224 a) 3x2 – 24x

b) 2x – 16

c) 12x2

1226 a) x – 5

b) 14x −

c) 7 + x

1227 a) 11a −

b) Uttrycket kan inte förkortas.

c) 22

aa −

d) 1a b+

1228 a) 23 − x

c) x + 1

b) 5(x + 1) d) x – 4

1229 a) xx2 1( )−

b) 2 33

( )a ba b

+−

1230 5,999 Ledtråd: Uttrycket kan förenklas till 3 + x

1231 Nej. Motivering: z = 1 ger HL = 2 och VL = 4. Den korrekta för enklingen är 3 – z.

1232 a) 8 + h b) 12 + 2h

1233 a) 22

− xx+

b) x

1234 2x + h

1236 a) ( )( )− −1 23x

b) ( )( )− −1 2 34

2x x+

1237 a) –1 c) –(3 + a)

b) –2 d) – 45y +

1238 a) 1 – 2a b) – 105 + a

1239 a) – aa+1 b) 1 6

1 6− x

x+

1240 a) 1 b) 1

1241 a) 1 25− x

x c) – x + 2

x

b) 4 d) 1 + x1 − x

1242 a) –2 c) –8(x – 2)2

b) 4(x – 2) d) 64(x – 2)5

1246 a) 68

34

= c) 10x21

b) – 118

d) 3x10

1247 a) 4a

c) 52x

b) 3 14x

x+ d) 13

6a

1248 a) x = 20 c) y = 120

b) x = 4 d) x = 24

1249 a) x = 3 b) x + 2112

1250 a) 3 53y

y+ b) 12

4 2

+ yy

1251 a) x = 11 c) x = 4 och x = –1 b) x = 3,2

1252 Pi: behöver parentes för att inte få teckenfel, ska vara

... = 2 12

12

− −( )xx

xx

+ =

Bo: ändrar uttrycket när han bara multiplicerar täljaren

med 2x. Vid förlängning måste både täljare och nämnare multipliceras med samma faktor för att inte värdet ska ändras.

1253 x = 180 eller x = 1 500

1254 a) 14

d) 14

+ 1x

= 13

b) 13

e) 12 h

c) 1x

1257 a) y = 3 b) 17 5112y −

1258 a) x1 = 1 x2 = –6

b) Saknar lösning.

1259 a) x = 6

b) Saknar lösning.

c) y1 = 2 y2 = –3

d) x = –2 Ledtråd: x = 2 är falsk rot

1260 a) 1,5 tabletter

b) 12 år

1261 a) x = 6

b) Saknar lösning.

1262 2x + 2

1263 x1 = 4 x2 = –1,5

1264 a = –1 t2 = 7

1265 a) 3a b−

c) 12x x( )+

b) 2 d) 23a +

Bla 3c.indb 255 2012-07-10 09.43


1266 Ja, förenklingen är rätt. Numerisk motivering: De två uttrycken får samma värde för några olika värden på x. T ex då x = 15 får båda uttrycken värdet –14.

Algebraiskt motivering: a + 1

a + 1

32− a = = a + 1 − a (a + 1)

a + 1

3 2

a + 1a + 1

32− a = = a + 1 − a (a + 1)

a + 1

3 2

1 − aa + 1

2

= = = a + 1 − a − aa + 1

3 3 2

1 − a= = (1 − a)(1 + a)(1 + a)

1268 a) 1027

c) 215

b) 13

d) 115

1269 a) 2116

c) 43

b) 34

d) 514

1270 a) 25

c) 54

b) 4 d) x30

1271 a) 8b

c) 2a

b) 10 152x

x+ d) 10 15

2x −

1272 a) 107

c) 43

ab

b) 2(a + b) d) x +12

1273 a) 2 c) 84x

b) 6a

d) 435z

1274 a) 521

c) 29

ab

b) a b+3

d) x +112

1275 a) x y2 2

18 c) 1

2

b) 23

d) a bc

2 2

26

1276 a) x2 c) 12a

b) 12x

d) b

1277 a) 35

0 6= , b) 35

1278 a) xyx +1

c) x yx

− 2

b) aa + 2

1279 a) 13b a( )−

b) 2(x – 1)

1280 a) b) 35+ a

1281 a) (2 3a b)+(2 3a b)–

b) aa2 2 1( )+

1282 a) – 1x z

b) – a xax+

1283 Ja, a = – 3.

1301 a) f(2) = 7

b) g(–3) = 0

c) f(2) – g(2) = –3

d) g(b) – f(b) = b2 – 3b + 5

1302 a) 3a + 1 b) 3a + 3h – 2

1303 a) a2 – 4a + 1 b) a2 + 4a + 1

1304 Funktionen är diskret. Motivering: Man kan förmodligen bara hyra skidorna en hel dag eller en halv dag. Möjliga x-värden är då: ½, 1, 1½, 2, 2½ …

1305 a) Definitionsmängd: Alla reella x Värdemängd: Alla reella x

b) Definitionsmängd: Alla reella x Värdemängd: y ≥ 0

c) Definitionsmängd: x ≥ –3 Värdemängd: y ≥ 0

d) Definitionsmängd: Alla reella x Värdemängd: y > 0

1306 a)

2 64 8

2

x

2

y

2

b) Definitionsmängd: Alla reella x ≠ 4.

c) För stora värden på x (oavsett tecken) ligger y mycket nära 0 men det finns inget x-värde som ger y = 0 (exakt).

1307 a) h + 7 b) 2x + h + 3

1308 a) f(–2) + f(2) = 8 + a

b) a = –1 Motivering: Funktionsvärdena, då x = 1 och då x är ”lite, lite större än 1” ska ligga nära varandra.

1311 12

1312 a) f(x) = 4x – 14

b) f(x) = –3x + 7

1313 a)

42

2

4

x

2

y

4

2

b)

422

2

4

x

2

y

4

1314 a) m = 15 000. Antalet invånare 1990.

b) k = –225. Befolkningen minskar med 225 personer per år.

1315 y = –2x – 5

Bla 3c.indb 256 2012-07-10 09.43


1316 3y – 2x – 20 = 0 Ledtråd: k = 2/3 och m = 20/3

1317 a) y = 95x + 32 eller

y = 1,8x + 32

b) 32 °F

1318 a) y = –5x + 5

b) y = 3x – 11

1319 a) y = 3 – 0,5x

b) y = x

c) y = 23x + 2

d) y = 11 – 3x

1320 a) 75 mm

b) 3,2 h

c) f(t) = 200 – 25t

1321 a) y = –x – 3

b) y = x2

– 4,5

1322 B = (4, 16) Ledtråd: y = x2 ger t ex B:s koordinater (b, b2) (b > 1).

k = bb

2 11

−−

=

= ( )( )b bb

−−

1 11

+ = (b + 1)

b + 1 = 5 ger b = 4.

1323 Förenkling:

f x x f xx

( ) ( )+ ∆∆

− =

= a x x b ax bx

( ) ( )+ + − +∆∆

= a

Tolkning:

f x x f xx

( ) ( )+ ∆∆

− = ∆∆

yx

= k,

dvs linjen har lutningen a.

1324 T ex f (x) = x + 1

1327 a) maximipunkt

b) x = 0 och x = 6

c) x = 3

d) (3, 9)

e) (0, 0)

1328 a) x = –3 och x = 10

b) x = 0 och x = 4

1329 Om koefficienten i x2-termen är positiv så har grafen en minimipunkt. Om koefficienten är negativ så har grafen en maximipunkt.

1330 a) Nollställen: x = –3 och x = –1

Minimipunkt: (–2, –1)

b) Nollställen: x = 1 ± 6 Minimipunkt: (1, –12)

c) Nollställen: x = –1 och x = 9

Maximipunkt: (4, 25)

d) Nollställen saknas.

Maximipunkt: (– 32

, – 32

)

1331 x = –4

1332 a) Skär x-axeln där x = –2 och x = 1. Skär y-axeln där y = 6.

b) Skär ej x-axeln. Skär y-axeln där y = 4.

c) Skär x-axeln där x = 0 och x = 10. Skär y-axeln där y = 0.

d) Skär x-axeln där x = 4 och x = –1. Skär y-axeln där y = – 4.

1333 a) T ex y = x2 – 2x – 3 Ledtråd: Utveckla y = (x + 1)(x – 3)

b) T ex y = x2 + 10x

1334 a) f(0) = –3

b) 1 < x < 3

c) f(x) = 4x – x2 – 3

d) g(x) = x Motivering: Ekvationen f(x) = g(x) saknar reella lösningar.

1335 a < –16 Motivering: Ekvationen x2 – 8x – a = 0 saknar reella lösningar då a < –16.

1336 f (x) = 2x – 1

1337 a) x = 2 b) 4

1338 T ex f(x) = (x + 10)(x – 20) g(x) = 2(x + 10)(x – 20)

1339 y = 0,5(x – 1)(x – 8)

1340 s (v) = 0,006v2 + 0,3v

1341 a) s(2,5) = 15,125 Efter 2,5 sekunder är bollen 15 meter över marken.

b) 17 m (17,28…) Ledtråd: Maximipunkten ligger på symmetrilinjen, x ≈ 1,837.

1342 a) y = –0,5(x – 1) (x – 4) y = –0,5x 2 + 2,5x –2 Ledtråd: Nollställena 1 och 4 och punkten (0, –2)

b) y = 1,5(x + 2) (x – 6) y = 1,5x 2 – 6x – 18 Ledtråd: Nollställena –2 och 6 och punkten (0, –18)

1343 f (x) = 2(x – 1)(x + 3) = = 2x2 + 4x – 6

1344 b2 = 4ac Ledtråd: Lös ekvationen ax2 + bx + c = 0 med lösningsformeln. Då uttrycket under rottecknet är noll har funktionen endast ett nollställe.

1347 a) f(5) = 4 470

b) f(5) = 3 040

1348 a) x = 2 (exakt)

b) x = 1,64

c) x = 1,89

d) x = 1,54

1349 a) y = 80 ∙ 1,05x

b) y = 80 ∙ 0,95x

1350 a) Ca 230 000

b) Efter ca 23 h (23,36…)

Bla 3c.indb 257 2012-07-10 09.43


1351 5,6 % Ledtråd: Lös ekvationen x20 = 3 och tolka svaret som en förändringsfaktor.

1352 20,6 %

1353 a) 1 013 millibar

b) 11,3 %

c) 353 millibar (352,6...)

d) 5,9 km

1354 a) C b) A och B c) D

1355 y = 5 ∙ 0,8x

1356 86 % (0,864...)

1357 f(2) = 4,5

1358 a) 882 poäng

b) 812 poäng

c) 3 min 53,8 s

1359 3,39 ∙ 106

1360 3 600 måsar Lösning 1: 10 000 · x10 = 6 000

x = 1

0,6 10 ≈ 0,950 2... Efter 20 år: 10 000 · (

1

0,6 10 )20 = = 10 000 · 0,62 = 3 600

Lösning 2: På 10 år minskade antalet måsar med 40 %. Nästa tioårsperiod minskar de med ytterligare 40% . 0,4 ∙ 6 000 = 3 600

1361 f(–2) = 1 600 Ledtråd: Funktionen är f(x) = 400∙ 0,5x

1362 10 000 km2.

1363 Efter 42 h (41,68…) Ledtråd: Förändringsfaktorn är

1

0,5 24 ≈ 0,971 5...

1364 a) 53 dygn b) 201 år

1365 C = 20 och a = 1/3

1366 a) x = lg2/lg(5/7) ≈ –0,485 4

b) x1 = 10 x2 = 100 Ledtråd: Logaritmera båda leden och gör substitutionen lgx = a.

Diagnos 1

1 a) 6ab – 9b2 b) 6xh + 3h2

2 a) 5a–6 b) x2 – 3

3 a) 6 b) 11

4 a) x1 = –3 x2 = 0 x3 = 1

b) x1 = 0 x2 = 1/3

5 a) p(x) = (x – 6)(x – 10)

b) p(x) = –10(x – 2)(x – 3)

6 a) G(–3) = –2/3

b) x = 0 och x = –2

7 a) 7 c) 34x

b) 2(x – 3) d) 0

8 a) x = 64

b) x = 5

c) x = -3 Ledtråd: x = 1 är en falsk rot.

d) x = 8 Ledtråd: x = –4 är en falsk rot.

9 a) 3b2 c) a1 − 2a

b) a2

12 d) a − 1

2

10 a) y = 4x + 4 b) y = –2x + 10 c) y = 3x – 2

11

10 10

40

10

a) x = 2

b) Minimipunkt

c) (2, –32)

d) ( –2, 0) och (6, 0)

e) (0, –24)

12 a) x = 61/5 ≈ 1,431

b) x = lg6/lg5 ≈ 1,113

13 Potensfunktion: T ex f(x) = 3 ∙ x0,5

Exponentialfunktion T ex f(x) = 2 ∙ 1,5x

Blandade övningar kapitel 1

1 5x 2 + 24x – 5

2 2

3 Joel har dividerat både 64 och x med 4, vilket är rätt. Wilma dividerade bara 64.

4 7

5 x = 0 och x = 4

6 s − 41

7 a) 4ax

b) 4x 2 + 4x

8 a) x1 = 1 x2 = –1

b) x = lg 2

c) x1 = 1 x2 = –3

d) x = 31/5

9 Funktionens graf kan ritas utan att lyfta pennan.

10 a) 1 b) 72x −

11 a = 21

12 2a–8

13 x1 = 0 x2 = 1 Ledtråd: Förenkla ekvationen till 2x4 – 2x = 0 och bryt ut 2x.

14 y = –x + 1 Ledtråd: Skärningspunkterna är (1, 0) och (4, –3)

15 a) 30 000 + 15xx

b) Hon kör 1200 mil.

Bla 3c.indb 258 2012-07-10 09.43


16 a = 2 och b = 4 Ledtråd: Villkoren ger ekvationssystemet a – b = –2 a + b = 6

17 x1 = 0 x2 = 1 x3 = 5

18 a ligger i intervallet D. Motivering: a = 45 vilket är lite mindre än 7 eftersom 7 = 49 .

19 a) x = ±1,5

b) 9 − 4x4x

2

20 2x + 1x − 1

21 a) x = 1 och x = 5

b) a = –3,2 Ledtråd: f(x) = 0,8(x – 1)(x – 5) Värdet på a är detsamma som minimipunktens y-koordinat, vilket innebär att a = f(3).

c) Nej, det är inte sant. Motivering: f(x) = 0,8(x – 1)(x – 5) f(11) = 48 och 6 ∙ f(0) = 24

22 a) 16 000 000 Ledtråd: Uttrycket kan skrivas (x + 5)2.

b) 4 000 Ledtråd: Förenkla uttrycket så långt som möjligt.

23 a) x1 = –2/3 x2 = 1

b) 2x + 1x(x + 1)

24 a) 20 + 5h Ledtråd: f(2 + h) = 5 ∙ (x + h)2 = = 5x2 + 10xh + 5h2

b) 10x + 5h

25 a) x1 = –2 x2 = 12

b) x1 = –12 x2 = 2

c) |x – 1| < 6

26 1x

+ 1y

= 4

Ledtråd: Skriv om uttrycket som ett rationellt uttryck.

27 a) x = –1,5 Ledtråd: Skriv båda leden som ett uttryck med basen 3.

b) x1 = 8 x2 = 27 Ledtråd: Gör en substitution. Sätt x1/3 = a så får du en andragradsekvation med a som variabel.

28 a = 0,5 b = –4,5 c = 1 och d = 24

29 K(18) – K(14) = 0,74

30 a) x = 166 (exakt)

b) x = 12,9 Ledtråd:

x = 5003

c) x = 6,30

d) x = 7,38 Ledtråd: Skriv ekvationen 2x = 500/3 och logaritmera båda leden.

31 Ca 0,25 %

32 a) 54 mm (54,54…)

b) Lösning:

1a

+ 1b

= 1 · ba · b

+ 1 · ab · a

=

= bab

+ aab

= a + bab

33 a = 2, b = 1, c = 3 och d = –1 Ledtråd: Alla talen är heltal. a ∙ c = 6 och b ∙ d = –1. 34 a) x1 = –2 x2 = 1 x3 = 2

b) x 3 – x 2 – 4x + 4 = = (x + 2)(x – 1)(x – 2)

35 a) 2,47 sekunder

b) 14,0 cm

c) l = gT4π

2

2

36 Ekvationen har endast en lösning x = 4. Förklaring: Då denna ekvation kvadreras får vi en ny ekvation som har en annan lösning än den ursprungliga. Rötterna till denna nya ekvation måste prövas i den ursprungliga ekvationen. Prövningen visar att x = 1 är en falsk rot.

37 – 1x(x + h)

38• 23

– 12

= 16

45

– 34

= 120

910

– 89

= 190

•Tex

67

– 56

= 3642

– 3542

= 142

•Differensenärettbråkmed täljaren 1 och med en nämnare som är produkten av de två bråkens nämnare.

•Ledtråd till ett bevis: Differenserna följer mönstret

x + 1x + 2

– x x + 1

där x är ett positivt heltal. Visa att uttrycket kan förenklas

till 1 (x + 2)( x + 1)

39 •Värdetavbådapolynomenär0.

•Värdetavbådapolynomenär0.

•Värdetavbådapolynomenär 316.

•Omtexa = –2 och b = –11 så är värdet av båda polynomen 1 323.

•Polynomenverkarvaratvåolika sätt att skriva samma uttryck.

•Ledtråd till bevis: Visa att utrycket med de två parenteserna kan förenklas till det andra uttrycket.

• x = 3 Ledtråd: Enligt beviset kan VL skrivas x3 – 23 .

Bla 3c.indb 259 2012-07-10 09.43

KÄLLFÖRTECKNING TILL BILDERSiffrorna anger sida och bildens placering på sidan

Foton:Heikne, Hans 24, 49, 54, 92, 103, 105, 107, 126, 161, 179, 185, 206, 221, 234

IBL Bildbyrå AB, Stockholm Abad, Thomas 116 AGE fotostock 6-7 Ardea 109 Bachmann 163 Beeker, Henry 204-205 Buwon, Park 69:1 Brissaud, Eric 10 Broborn, Lennars 115 Brooker, Peter 191 Cary, Liane 236 Cavalli, Angello 112 Cheadle, Chris 71 Cumming, Ian 242 Datacraft 188 Didillon, Frédéric 35 Dinodia 17 Edwards, Lisa 171 Ewing, David 108 Eyevine/ Xinhua 89 Fine Arts Images 229 Forsberg, Jonas 132 Forsberg, Peter Erik 128-129 Fotosearch 55 Furrer 190 Gelevachuk, Bazil 45 Glowimages 41 Hasselberg, Daniel 225 Hamblin, Mark 69:2 Hermes 149 Janes, EA 73 Lilja, Theo 75 Malmö Museer 156 Mangil, Kim 70 McDonald, Dennis 26 McGouey, Robert 87 Meireis, Christophe 122 Nature PL 53 Quick, Peo 177 Rex Features 196

Rhösman, Björn 110 Ribeiro, Alf 62, 189 Ripoll, Eduardo 60 Scholey, Peter 37 Sience Photo Library 19, 95, 165, 235 Smith, Wendy 117 Strauss, Andreas 182 Usher, Regina 101 UPI 64-65 Varney, Jim 166 Weigel, Armin 201 Widman, Peter 82 Wijnands, Jochem 199 Zerla, Walter 11 Åke Lindaus samling 187

Illustrationer:Hesselstrand, Johan

Matematiska illustrationer:Karlsson, Mats

288 register

Bla 3c.indb 288 2012-07-10 09.44

lena alfredsson kajsa bråting patrik erixon hans heikne matematik … · 2019-12-10 · 8 1.1...

Documents