Välkomna till Reglerteknik Föreläsning 3

Sammanfattning av föreläsning 2PID-regleringBlockschemaräkningReglerdesign för svävande kula

Sammanfattning av förra föreläsningenVi modellerar system med differentialekvationer

…och använder för att definiera överföringsfunktionen G(s)

…som vi Laplacetransformerar

G(s) nämnare kallas polpolynom, polpolynomets rötter kallas för systemets poler (samma som rötter till kar. ekv), och täljarens rötter kallas nollställen

2

Sammanfattning av förra föreläsningen

Någon pol i högra halvplanet: ger ett instabilt system

Alla poler (strikt) i vänstra halvplanet: ger ett stabilt system

Långt bort från origo: ger ett snabbt system

Stor komplexdel (relativt realdel): ger ett svängigt system

Polen närmast origo dominerar (oftast) dynamiken (långsammast bestämmer)

Koppling mellan poler och stegsvar: Vi studerade polernas position i det komplexa talplanet och fann att:

3

PID-regulatorPID-regulator (Propertionell Integrerande Deriverande)

PID är den absolut vanligaste regulatorstrukturen i praktiken

Laplacetransformerad PID-regulator

Alternativ form

4

PID-regulatorP-regulator: Insignalen är proportionell mot reglerfelet

Fördelar: Vi kan minska statiska reglerfelet samt göra systemet snabbare genom att öka KP. Extremt enkel implementering

Nackdelar: Ett visst statiskt reglerfel återstår oftast, stora styrsignaler krävs när K ökas för att minska reglerfelet.

5

PID-regulator

FarthållarenP-reglerad

6

PID-regulator

FarthållarenP-reglerad

Ökad förstärkning

Helt orealistisk!

7

PID-regulatorPI-regulator: Lägg till term som ökar så länge reglerfel kvarstår

Fördelar: Vi kan få bort statiska reglerfelet (vid konstant referens)

Nackdelar: Kan ofta bli instabilt (litar på för gammal information) samt leda till ett oscillativt system

8

PID-regulator

FarthållarenPI-reglerad

Rätt hastighet uppnås

…men för oscillativt

9

PID-regulator

FarthållarenPI-reglerad

Lite mindre I-del

10

PID-regulator

FarthållarenPI-reglerad

än mindre…

11

PID-regulatorPID-regulator: Lägg till term som tar hänsyn till vad som troligtvis kommer att hända (derivatadelen predikterar)

Fördelar: Kan krävas för stabilitet samt kan reducera oscillationer.

Nackdelar: Deriverar en mätsignal som ofta är brusig (snabbt varierande mätfel som vi inte bör reagera på)

(Farthållaren redan tillräckligt bra, vi behöver ej D-del, systemet är för enkelt och införande av D-del ger inget)

12

BlockschemaräkningVi har evaluerat regulatorerna genom att studera det slutna systemetsbeteende i stegsvarsexperiment

Vi behöver smidiga metoder för att ta fram det slutna systemet, dvs överföringsfunktionen från referens R(s) till utsignal Y(s)

Det är nu vi verkligen får användning av våra Laplacetransformer

Vi börjar med lite räkneregler som lätt härleds ifrån de underliggande differentialekvationerna och transformerna

13

BlockschemaräkningSummationspunkt

Transformer adderas enkelt Y(s)=Z(s)+X(s)

Z(s) Y(s)Σ

X(s)

14

BlockschemaräkningSeriekoppling

Y(s)F(s)G(s)X(s)

Den interna signalen Z kan elimineras och överföringsfunktionen från X till Y ges av produkten av de två delsystemen F(s) och G(s)

Z(s)F(s)X(s) G(s) Y(s)

15

BlockschemaräkningParallellkoppling

G(s)

De interna signalerna Z och X kan elimineras och överföringsfunktionen från V till Y ges av summan av de två delsystemen F(s) och G(s)

Z(s)F(s)V(s) Y(s)Σ

X(s)

Y(s)F(s)+G(s)V(s)

16

Blockschemaräkning

U(s) Y(s)F(s)R(s)

-1

ΣE(s) G(s)

Återkoppling

Ställ upp samband över summoroch system:

Bryt ut sambandet vi söker

17

Blockschemaräkning

Slutna systemets överföringsfunktion(C från closed-loop)

Öppna slutna systemets överföringsfunktion, kallas kretsförstärkning(O från open-loop)

18

BlockschemaräkningExempel: Farthållaren med PI-reglering

Bildynamik

Regulator

Slutna systemet

Observationer: Systemet är stabilt om α+KP>0 och KI>0Polerna kan placeras godtyckligt via KP och KIDetta är anledningen till att en D-del ej behövs här

19

Statiska reglerfeletÅterkopplade systemets poler (som definierar stabilitet och respons) togs enkelt fram via blockschemaräkning.

Ett annat viktigt mått vi använt är hur stort reglerfel det återkopplade systemet får, och även detta fås ur lite blockschemaräkning

Överföringsfunktionen S(s) kallas känslighetsfunktionen

20

Statiska reglerfelet

Det statiska reglerfelet definierar så kallade felkoefficienter som betecknar reglerfel vid olika sorters referenssignaler

då r(t) enhetssteg

då r(t) enhetsramp

Statiska reglerfelet kan beräknas via slutvärdesteoremet (om gränsvärdet verkligen existerar)

21

Statiska reglerfelet

För att e0 skall kunna bli noll måste GO(0) vara oändlig! Detta är bara möjligt om GO innehåller minst 1 integrator (dvs pol i origo s=0)

Vi får

Notera att detta uppfylls om regulatorn F(s) har en I-del

Generellt:

22

Regulatordesign för svävande kulaStudera en kula hängandes i luften m.h.a en elektromagnet

y(t)

F(t)

y(t): Kulans positionF(t): Alstrad magnetkraftu(t): Spänning till elektromagnetm: Kulans massa

u(t)

Newton

Magnet

olinjärt…

23

Regulatordesign för svävande kulaOlinjära system hanterar vi i denna kursen genom linjära approximationer, så kallade linjäriseringar.

Vi går inte in på detaljerna här, utan tänker oss att en linjär modell är framtagen som fungerar bra för små rörelser kring en jämviktspunkt

Vi inför också notationen att y(t) och u(t) betyder avvikelse från jämviktspunkter i avstånd och spänning, och antar att alla konstanter blir 1.

Tänkt linjär approximation

24

Regulatordesign för svävande kulaP-regulator: Instabilt oavsett hur man väljer KP!

PI-regulator: Instabilt oavsett hur man väljer KP och KI! (varför…?)

PID-regulator: Poler går att placera godtyckligt!

PD-regulator: Poler går att placera godtyckligt!

25

SammanfattningSammanfattning av dagens föreläsning

Återkoppling av reglerfel, integrerat reglerfel och reglerfelets förändring kallas PID-reglering

PID-reglering är den absolut vanligaste reglerstrukturen i praktiken

P-delen styr (främst) hastigheten och ger en slags basregulator, I-delen används för att få bort statiskt reglerfel och D-del används för att reducera oscillationer samt kan krävas för stabilitet i avancerade fall

Blockscheman används för att enkelt räkna ut överföringsfunktioner mellan olika signaler i reglersystemet

Statiska fel kan beräknas via känslighetsfunktionen (men man bör alltid gå via slutvärdesteoremet för att förstå!)

26

Sammanfattning

PID: Propertionell-integrerande-deriverande återkoppling

Kretsförstärkning: Överföringsfunktion mellan referens och utsignal när återkoppling tas bort, G(s)F(s)

Känslighetsfunktion: Överföringsfunktion mellan referenssignal och reglerfelet

Felkoefficienter: Statiskt reglerfel när referenssignalen är ett enhetssteg, enhetsramp, enhetsparabel,…

Viktiga begrepp

27