magyar zsolt - valószínűségszámítási alapismeretek (2010, 17 oldal)

8/8/2019 Magyar Zsolt - Valsznsgszmtsi alapismeretek (2010, 17 oldal)

1/17

Valsznsgszmtsi alapismeretek

A vletlen esemny

A vletlen felfogsa alapveten ktfle lehet. Az n. determinisztikus vilgkpben a vletlen

egyszeren a tudsunk hinyt jelenti. Mivel nem tudunk minden adatot, ezrt nem tudjuk meghat-rozni, mi fog trtnni, de ha ismernnk minden informcit, akkor a vletlen megsznne. A msik

felfogs szerint a vletlen alapvet rsze a vilgnak, ezrt akkor sem tudnnk megmondani, hogy mi

trtnik, ha ismernnk minden adatot egy adott problmval kapcsolatban.

Hasonl a helyzet a valsznsggel. Nem tudjuk pontosan eldnteni, hogy egy adott helyzetben,

pl. kockval dobva a dobott rtkek bekvetkezsnek valsznsge csak a kocktl fgg-e, teht

n. objektv valsznsge van-e, vagy pedig valami ms tnyez is befolysolja ezt. Sokszor ebben

a problmban az elegend ok hinya dnt: nincs okunk azt felttelezni, hogy egy adott ksrletkimenetelei nem szimmetrikusak, teht objektv valsznsget tteleznk fel. Persze ms krds

az, hogy az objektv valsznsgrl hogy lehet eldnteni, hogy mekkora az rtke?

Prblkozhatunk modellalkotssal is. Laplace (1812) az n. klasszikus modellt alkalmazta: egy

esemny bekvetkezsnek valsznsge a kedvez esetek szma osztva az sszes esetek szm-

val. Eszerint az gynevezett elemi esemnyek (ami az sszes esetekbl egy darabot jelent) val-

sznsge meg kell egyezzen. De milyen jogon mondhatjuk, hogy az egyes elemi esemnyek val-

sznsge megegyezik? Ugyanoda jutottunk vissza, ahonnan elindultunk.

Kolgomorov (1933) tovbb lpett. Azt mondta: aximkat, teht nem bizonytand (s nem is

bizonythat) lltsokat kell fellltani a valsznsgrl, s ezek segtsgvel fel kell pteni a va-

lsznsg-fogalmat. [Tmren: Metriknak nevezzk azt a hozzrendelst, amelyben egy alaphal-

maz rszhalmazaihoz szmrtkeket rendelnk. A hozzrendelt rtkeket az adott rszhalmaz mr-

tkszmnak nevezzk. Egy metrika akkor valsznsg, ha az alaphalmazhoz rendelt rtke 1, nem

negatv s additv (diszjunkt rszhalmazok mrtknek sszege az unijukhoz rendelt mrtk).]

Ezzel azonban szintn nem jutottunk kzelebb ahhoz a problmhoz, hogy a kockval mekkora

valsznsggel dobunk hatost.

p://www.doksi.hu


2/17

Szeretnnk teht egy olyan llapotot elrni, amiben az a helyzet ll fenn, hogy br nem tudunk

mindent (ez tny), de a nemtudsunknak ne legyen nagy kockzata.

Kezdjk teht ellrl, ptsnk fel egy modellt, aztn prbljuk meg megvizsglni, hogy ez amodell mennyire j.

p://www.doksi.hu


3/17

Klasszikus valsznsgszmtsi modell

A valsznsgszmtsban hasznlni fogunk nhny fogalmat, ismerkedjnk meg ezekkel! K-

srletnek neveznk valamely folyamatot, melyben a vletlen dnti el, hogy mi fog trtnni. A ksr-letek ltalban megismtelhetek (mi itt ilyen ksrletekkel foglalkozunk), de kimenetelk nem fel-

ttlenl lesz ugyanaz, mint egy korbbi ksrletben. Egy ksrlet lehetsges kimeneteleibl kpezhe-

tnk halmazokat; ezeket nevezzk esemnyeknek. Pldul dobkockval egyszer dobva a kockado-

bs lehetsges kimenetelei 1, 2, 3, 4, 5, 6; esemny pldul, hogy pros szmot dobtunk, vagy, hogy

3-mal oszthat szmot dobtunk, de az is esemny, hogy pozitv szmot dobtunk. Lehetetlen ese-

mnyneknevezzk azokat az esemnyeket, melyekhez nem tartozik egyetlen kimenet sem (pl. do-

bkockval nem egsz szmot dobunk), biztos esemnyneknevezzk azokat az esemnyeket, me-

lyekhez az sszes lehetsges kimenetel hozztartozik (pl. dobkockval dobva egsz szmot do-

bunk).

A ler statisztikban szerepeltek az albbi fogalmak: relatv gyakorisg, mdusz, tlag, medin,

szrs. Prbljunk meg ezeknek valamifle megfelelt tallni.

A relatv gyakorisg azt jelenti, hogy egy adott adathalmazban egy adat hnyszor fordul el. Ha

a valsznsgrl az a kpnk van, hogy adott szm ksrletbl az esemny bekvetkezseinek

szma arnyos a bekvetkezsnek valsznsgvel, akkor a valsznsgre a relatv gyakorisg-

nak megfelel rtket kell adnunk. Tekintsnk egy adott ksrletsorozatot, amely annyi ksrletbl

ll, ahny lehetsges kimenetele van a ksrleteknek. Ttelezzk fel, hogy minden lehetsges kime-

netel pontosan egyszer kvetkezik be a ksrletsorozatban (ez persze meglehetsen hihetetlennek

tnik). Egy adott esemny pontosan annyiszor kvetkezett be, ahnyfle lehetsges kimenetel tarto-

zik hozz. Ha sok ilyen ksrletsorozatot vgznk el, akkor tapasztalataink (s modellnk) szerint

egy adott esemny tlagosan annyiszor kvetkezik be, ahnyfle lehetsges kimenetel tartozik hoz-

z. Ez vezet a Laplace-fle klasszikus modellhez:

maszeseteksszes

maszesetekjikbekvetkezAp =)(

Itt p a valsznsget,A pedig egy adott esemnyt jelent. Termszetesen gyelnnk kell arra,

hogy az sszes esetek szma olyan eseteket tartalmazzon, melyek bekvetkezse egyformn val-

szn, ezek az gynevezett elemi esemnyek. Annak eldntsre, hogy mely esemnyek vehetk

elemi esemnyeknek, megint csak a modellhez kell nylnunk: ha sok ksrletet vgezve lnyegben

egyforma szmban kvetkeznek be ezek az elemi esemnyek, akkor mondhatjuk, hogy ezek val-

sznsge megegyezik.

p://www.doksi.hu


4/17

A biztos esemny valsznsge 1, mivel itt minden eset j eset, a lehetetlen esemny valszn-

sge 0, mivel itt egyetlen j eset sincs. (De vigyzat! Az, hogy egy esemny valsznsge 1, nem

felttlenl jelenti azt, hogy a biztos esemnyrl van sz; ugyangy az, hogy egy esemny valszn-

sge 0, nem felttlenl jelenti azt, hogy a lehetetlen esemnyrl van sz. A klasszikusvalsznsgszmtsi modellben igen, amikor vges sok ksrletet hajtunk vgre, s az esetek sz-

ma vges sok. Azonban lehet vgtelen ksrletsorozatokat is vgrehajtani, illetve a geometriai mo-

dellben is lehet vgtelen sok eset problmval tallkozni; s itt mr a fenti megllaptsokat konk-

rt pldkkal is illusztrlni lehet.)

Felmerlt az a krds az elzekben, hogy a klasszikus modell alkalmazsakor milyen esem-

nyeket tekinthetnk elemi esemnyeknek. Ez a krds mr rgen felmerlt, s az gynevezett h-

rom kocka problmjaknt volt ismeretes. Ez a kvetkezkppen hangzott:

Ha hrom kockval dobunk, akkor ugyanannyiflekppen dobhatunk sszesen 9-et, mint 10-et:

A dobott szmok sszege 9 A dobott szmok sszege 10

1 + 2 + 6 1 + 3 + 5 1 + 3 + 6 1 + 4 + 5

1 + 4 + 4 2 + 2 + 5 2 + 2 + 6 2 + 4 + 4

2 + 3 + 4 3 + 3 + 3 2 + 3 + 5 3 + 3 + 4

Ha azonban elkezdnk doblni hrom kockval, akkor azt tapasztaljuk, hogy az sszeg gyakrab-

ban lesz 10, mint 9. Mi lehet ennek az oka? Amikor azt mondtuk, hogy ugyanannyiflekppen dob-

hatunk a hrom kockval 10-et s 9-et, akkor az elemi esemnyeknek tulajdonkppen azt tekintet-

tk, hogy a dobott szmokat nagysgrendi sorrendbe rakva hogyan kaphatjuk meg a 10-et illetve a

9-et, azaz elemi esemnyeknek az 1, 2, 6 szmokbl sszellthat rendezetlen hrmasokat vet-

tk. De van-e jogunk ehhez? Ha a sorba rendezst nem engedjk meg (teht az elemi esemnyeket a

rendezett szmhrmasok jelentik), akkor a 10-et mr nem ugyanannyiflekppen kaphatjuk meg,

mint a 9-et. A tblzatban szerepl szmhrmasokat tbbszr kell szmolni a sorba rendezseknek

megfelelen, gy a 10 esetn 27 lehetsgnk van, mg a 9 esetn csak 25. Hogyan lehet igazsgot

tenni? Mivel azt szeretnnk, hogy a gyakorlatban lejtszd vletlen esemnyeket tudjuk modellez-

ni, ezrt vgre kell hajtanunk a hrom kocka dobsnak ksrlett sokszor, s meg kell nzni, hogy

melyik modell rja le jobban a megfigyelt jelensget. A tapasztalat azt mutatja, hogy az a modell ll

kzelebb a valsghoz, amelyben nem tekintnk el a kockk dobsi sorrendjtl.

p://www.doksi.hu


5/17

Erre persze mondhatja valaki, hogy a hrom teljesen egyforma kinzet, azonos anyagbl k-

szlt, minden szempontbl egyforma kockt mi klnbzteti meg egymstl? Honnan tudhatjuk,

hogy melyik, melyik?

Vgezzk el a kvetkez gondolatksrletet: Vegynk hrom teljesen egyforma dobkockt, sfessk be ket pirosra, zldre, kkre. Adjuk ket oda egy normlis embernek, s dobltassuk fel a

kockkat. meg tudja klnbztetni a kockkat egymstl, hisz azok klnbz sznek. Sok k-

srlet vgrehajtsa utn kap valamifle relatv gyakorisgot a lehetsges rtkekre. Ezutn adjuk

oda a kockt egy sznvaknak, aki szmra a hrom kocka teljesen egyforma, hiszen nem ltja a sz-

nket. Ha dobl a kockkkal, akkor nyilvnvalan ugyanazt az eredmnyt kell, kapja az egyes

rtkek relatv gyakorisgra, hiszen a kockk nem tudjk, hogy most ppen egy sznvak dobl ve-

lk, teht nyilvnvalan ugyangy viselkednek, mint eddig. Vegyk le ezutn a sznezst a kockk-

rl, s adjuk vissza a normlis embernek. Az kezben a kockk ugyangy kell, viselkedjenek,

mint a sznvak ember kezben, hiszen a kockk arrl sem tudnak, hogy be vannak-e sznezve. Ebbl

a gondolatmenetbl viszont az kvetkezik, hogy a megklnbztet jellel elltott kockk ugyangy

viselkednek, mint a nem megklnbztethet kockk. Teht a sorrendet figyelembe kell vennnk a

dobott rtkeknl.

Hasonlan kivl terep az elemi esemnyek elfordulsnak vizsglatra az gynevezett kocka-

pker jtk. Ebben 5 kockval dobunk, s a klasszikus pkerszablyoknak megfelelen rtkeljk a

kapott szmtst (azaz a kirtkelsnl nem szmt a dobsi sorrend). A lehetsgek:

egy pr: 2 egyforma + 1 + 1 + 1 szm (pl. 3, 4, 5, 1, 3)

kt pr: 2 egyforma + 2 egyforma + 1 szm (pl. 3, 5, 4, 3, 5)

terc vagy drill: 3 egyforma + 1 + 1 szm (pl. 2, 3, 4, 2, 2)

sor: 5 egymst kvet szm, tetszleges sorrendben (pl. 2, 3, 1, 4, 5)

full: 3 egyforma + 2 egyforma szm (pl. 3, 2, 3, 3, 2)

pker: 4 egyforma + 1 szm (pl. 3, 4, 3, 3, 3)

royal pker: 5 egyforma szm

Krds, hogy mekkora valsznsge van az egyes lehetsgek bekvetkeztnek? A krds

megvlaszolsa szempontjbl nem rdektelen, hogy a dobott szmok sorrendjt is figyelembe

vesszk az egyes lehetsgekhez tartoz j esetek megszmolsnl, vagy pedig a dobsi sor-

rendtl eltekintve hatrozzuk meg az esetek szmt. A fggelkben rszletezett szmtsok szerint

p://www.doksi.hu


6/17

az egyes lehetsgekhez az albbi j eset-szmok tartoznak, attl fggen, hogy a sorrendet fi-

gyelembe vettk-e avagy sem:

Lehetsges eredmny Sorrend szmt Sorrend nem szmt

Egy pr 3600 60

Kt pr 1800 60

Terc 1200 60

Sor 240 2

Full 300 30

Pker 150 30

Royal pker 6 6

Lthat, hogy a tblzat kt oszlopa elg jelentsen eltr adatokat tartalmaz. Hogy lehet eldn-

teni teht, hogy a tblzat melyik oszlopt tekintsk rvnyesnek a gyakorlati problmkban?

Egy osztlynyi tanul (kb. 30 f) mindegyike dobjon 50-szer az 5 db kockval, s jegyezze fel a

kapott eredmnyeket a tblzatba. Utna sszestsk a tanulk a kapott eredmnyeket kimenetelen-

knt, s ha ezen szmok arnya az 1. oszlop arnyainak megfelel, akkor a sorrendet figyelembe kell

vennnk, ha a 2. oszlop arnyainak felel meg, akkor a sorrendet nem kell figyelembe vennnk.A tapasztalat azt mutatja mr ilyen viszonylag kevs dobs esetn is, hogy a szmok az 1. oszlop

arnyait mutatjk, teht a sorrendet figyelembe kell vennnk.

J-j, mondhatja mg mindig a ktelked, de mi van azokkal a problmkkal, ahol nyilvnval-

an nem kell megklnbztetnnk a sorrendet? Vegyk pldul a lotthzst! Ott mr tnyleg nem

kell foglalkozni a sorrendi problmkkal! Valban gy van ez? Jrjuk krbe ezt a krdst alaposab-

ban!

A kvetkez kijelentssel elg gyakran lehet tallkozni: A lott ts kihzsnak valsznsge

5

90

1, (az sszes esetek szma

5

90(eltekintve a hzsi sorrendtl, hiszen az nem szmt), s a j

esetek szma 1, feltve, hogy csak 1 szelvny tltttnk ki).

Ha a klasszikus modellt a hzsi sorrend figyelembevtelvel alkalmazzuk, akkor az sszes ese-

tek szma 8687888990 , a j esetek szma pedig 1, hiszen tovbbra is csak 1 lottt tltttnk

p://www.doksi.hu


7/17


8/17

Ennek segtsgvel ki tudjuk szmtani, hogy pl. n db ksrletbl hnyszor kvetkezik be egy

adott esemny. Az elzekben ismertetett urnbl hzzunkn-szer, visszatevssel (teht a kihzott

golyt mindig visszatesszk, azaz mindigK

Nesllyel hzunk fehret). Mi a valsznsge, hogyk-

szor hztunk fehr golyt? (Azaz mi a valsznsge, hogy az A esemny k-szor kvetkezett be?)

Hasznljuk a klasszikus modellt. Az sszes hzsok szma nN , a j esetek szma, amikor kdb

fehret s n-kdb fekett szerepeltetnk: knk KNKk

n

)( (*), gy a keresett valsznsg

knk

kn

kn

k

k

kn

kn

k

k

n

knk

ppk

n

N

K

N

K

k

n

N

KN

N

K

k

n

N

KNKk

n

bekvetkezikszorknyesemAp

=

=

=

=

=

)1(1

)()(

)(

(*) Megjegyzs:Elszr ki kell jellnnk a kdb fehr goly helyt, ezt

k

n-flekppen tehetjk

meg, majd kivlasztjuk a kfehret visszatevssel a Kgoly kzl, amelyeket a korbbiakban mon-

dottak miatt megklnbzethetnek vesznk, kK -flekppen, s az n k fekett az N K fekete

kzl knKN )( -flekppen.

II.3. Mveletek esemnyekkel; kapcsolat a valsznsgek kztt

Az esemnyekkel val mveletek kztt kt legfontosabbat klnbztetnk meg:

a) esemnyek szorzata: Az A esemny s B esemny szorzatn azon esemnyt rtjk, melyben A

s B esemny egyttesen bekvetkezik. Jellse: AB. [gy is megfogalmazhatnnk, hogy az AB

esemny minden esetben bekvetkezik, amikor A s B egyttesen bekvetkezik.]

Az AB esemny bekvetkezsnek valsznsgt gy tudjuk meghatrozni, hogy az egyttes

bekvetkezshez tartoz elemi esemnyek szmt elosztjuk az sszes esetek szmval.

Az AB esemny valsznsgnek lehetsges kiszmtsrl ksbb mg, az Esemnyek fgget-

lensge cm fejezetben ejtnk szt.

b) esemnyek sszege: Az A esemny s B esemny sszegn azon esemnyt rtjk, melyben A

vagy B esemny bekvetkezik (nem kizr vagy; A s B kln-kln, de egytt is bekvetkezhet).

p://www.doksi.hu


9/17

Jellse: A + B. [gy is megfogalmazhatnnk, hogy az A + B esemny minden esetben bekvetke-

zik, amikor A vagy B bekvetkezik.]

Ha ismerjk az A s B esemnyek bekvetkezst jelent elemi esemnyeket, akkor az (A + B)

esemny bekvetkezst jelent elemi esemnyek szma gy alakul, hogy A-hoz s B-hez tartozelemi esemnyek darabszmnak sszegbl ki kell vonnunk az A s B mindegyiknl szerepl

elemi esemnyek darabszmt, hiszen ezeket az sszegben ktszer szmoltuk, de csak egyszer kel-

lett volna. Ha ezt valsznsgekre fordtjuk le, akkor )()()()( ABpBpApBAp +=+ .

Ha A s B diszjunkt esemnyek, azaz egyttes bekvetkezsk nem lehetsges (teht AB lehe-

tetlen esemny), akkor a fenti sszefggs a )()()( BpApBAp +=+ alakot lti.

Feltteles valsznsg

Nevezzk az A esemny B esemnyre vonatkoz feltteles valsznsgnek annak a valszn-

sgt, hogy A esemny bekvetkezik, feltve, hogy a B esemny mindenkppen bekvetkezik. Je-

llje ezt a valsznsget ( )BAp . Ebben az esetben a klasszikus valsznsgszmtsi modellt

alkalmazva felmerl a krds: mit is jelent az sszes esetek illetve a j esetek szma a probl-

mra vettve? Az sszes esetek szma nyilvnvalan azokra az esetekre korltozdik, amikor a B

esemny bekvetkezik; ezek kzl azok szmtanak majd j eseteknek, amikor az A esemny isbekvetkezik. Teht valamifle sszefggs gyrthat ennek segtsgvel:

( )ikbekvetkezBamikorszmaesetekazon

ikbekvetkezBsAamikorszmaesetekazonBAp

,

,=

Ha a kapott trtnek a szmlljt s a nevezjt is elosztjuk a ksrlet sszes lehetsges vgki-

meneteleinek szmval (sszes eset), akkor a szmllban A s B egyttes bekvetkezsnek val-

sznsge, a nevezben B bekvetkezsnek valsznsge jelenik meg. Teht ( ))(

)(

Bp

ABpBAp = .

Termszetesen ehhez a kiszmtsi mdhoz nem kell ragaszkodni konkrt szmtsi feladatokban,

lehet a korbban vzolt esetszmok hnyadosval is dolgozni.

A kapott kplet lehetsget ad arra, hogy ( )BAp s ( )Bp ismeretben ( )ABp rtkt meghat-

rozzuk.

p://www.doksi.hu


10/17

Plda:Kt urnban fehr s fekete golyk vannak. Az els urnban 3 fehr s 2 fekete, a mso-

dik urnban 2 fehr s 3 fekete. Dobkockval dntjk el, hogy melyik urnbl vesznk ki egyet:

ha a kockval 5-st vagy 6-ost dobunk, akkor az els urnbl, egyb esetben a msodik urnbl

hzunk ki egy golyt. Mi annak a valsznsge, hogy a msodik urnbl hzunk fekete golyt?

Megolds: Legyen a B esemny az, hogy a msodik urnbl hzunk, az A esemny pedig az,

hogy fekett hzunk. Ekkor annak valsznsge, hogy a msodik urnbl hzunk:6

4(sszes ese-

tek szma 6, ebbl 4-ben hzunk a msodik urnbl), annak valsznsge, hogy fekett hzunk,

feltve, hogy a msodik urnbl hzunk:5

3. teht annak a valsznsge, hogy a msodik urnbl

hzunk, s ez a goly fekete lesz: ( )5

2

5

3

3

2)()( === ABpBpBAp .




hzunk ki egy golyt. Mi annak a valsznsge, hogy fekete golyt hzunk?

Megolds: A fekete goly hzsa esemny kt diszjunkt esemnyre bonthat: az els urnbl

hzunk fekete golyt vagy a msodik urnbl hzunk fekete golyt. Az elz pldban kiszmol-

tuk, hogy a msodik urnbl val fekete goly hzsnak valsznsge5

2, hasonlan kiszmthat

az els urnbl trtn fekete goly hzsnak valsznsge15

2

5

2

3

1= . sszesen teht

157

151

52 =+ .

Megjegyzs: A feladat megoldsa sorn a kvetkez smt hasznltuk: Legyen B1 s B2

( ) ( )2211

)()()( BApBpBApBpAp +=

kt

diszjunkt esemny gy, hogy sszegk kiadja a biztos esemnyt, s A egy tetszleges esemny.

Ekkor az A esemny valsznsge a kvetkezkppen rhat fel:

A mondott azonossg formlisan is egyszeren belthat: ( ) )()(111

ABpBApBp = ,

( ) )()( 222 ABpBApBp = , ennek megfelelen, mivel B1 s B2 esemnyek sszege a biztos ese-

p://www.doksi.hu


11/17

mny: )())(()()(2121

ApBBApABpABp =+=+ . Ennek az lltsnak az ltalnosan megfogalma-

zott alakjt a teljes valsznsg ttelneknevezik:

Legyenek B1, B2, , Bn

( ) ( ) ( )nn

BApBpBApBpBApBpAp +++= )(...)()()(2211

pronknt diszjunkt esemnyek, melyek sszege a biztos esemnyt adja

ki (gynevezett teljes esemnyrendszer). Ekkor egy tetszleges A esemny valsznsge gy hat-rozhat meg, hogy

A teljes valsznsg ttelt nem felttlenl kell kimondanunk, hiszen a mintafeladatok megol-

dsnl vzolt gondolatmenet alapjn mindig vgiggondolhat az egyes esemnyek valsznsg-

nek feltteles valsznsgekkel trtn kiszmtsa, azonban a teljessg kedvrt megemltjk itt.

Mg egy megjegyzs: A feltteles valsznsgekkel kapcsolatos az gynevezett Bayes-ttel is.

Ha B1, B2, , Bn

( )1Bp

pronknt diszjunkt esemnyek, melyek sszege a biztos esemnyt adja ki, s

ismerjk a , ( )2Bp , valsznsgeket, valamint a ( )1BAp , ( )2BAp feltteles val-

sznsgeket, akkor ki tudjuk szmtani a ( )ABp1

, ( )ABp2

, feltteles valsznsgeket. A

Bayes-ttel azt az eljrst foglalja ssze s mondja ki ttel formjban, melyben a

( ))(

)(1

1Ap

ABpABp = tpus hnyadosok szmlljt s nevezjt hatrozzuk meg a korbban mon-

dott mdszerek szerint. A Bayes-ttel kimondst azrt nem tartjuk itt szksgesnek, mert felesle-

ges kplet, s alkalmat ad arra, hogy sszezavarja a kzpiskolsok gondolatait. Akik szksgesnek

tartjk, a rendelkezsre ll informcik alapjn sszellthatjk a ttelt maguk is. A szmols me-

nett azonban nzzk meg egy gyakorlati pldn:




hzunk ki egy golyt. Valaki elvgzi a ksrletet, s fekete golyt hz. Mi annak a valsznsge,

hogy a msodik urnbl hzott?

Megolds: Legyen a B esemny az, hogy a msodik urnbl hzunk, az A esemny pedig az,

hogy fekett hzunk. Ekkor a ( )ABp feltteles valsznsget keressk. Ennek kiszmtsa a

( ))(

)(

Ap

BApABp = kplet alapjn trtnik. Hatrozzuk meg a )(BAp [a msodik urnbl hztunk s

fekete golyt] s )(Ap [fekete golyt hztunk] valsznsgeket a korbban bemutatott mdon!

p://www.doksi.hu


12/17

)(BAp kiszmtsa: Annak valsznsge, hogy a msodik urnbl hzunk:6

4, annak valsz-

nsge, hogy fekett hzunk, feltve, hogy a msodik urnbl hzunk:5

3. Teht annak a valszn-

sge, hogy a msodik urnbl hzunk, s ez a goly fekete lesz: ( )5

2

5

3

3

2)()( === ABpBpBAp .

)(Ap kiszmtsa: annak a valsznsge, hogy a msodik urnbl hzunk, s ez a goly fekete

lesz:5

2

5

3

3

2= annak a valsznsge, hogy a msodik urnbl hzunk, s ez a goly fekete lesz:

15

2

5

2

3

1= . sszesen teht

15

7

15

1

5

2)( =+=Ap .

A keresett feltteles valsznsg: ( )7

2

15

7

52

)(

)(===

Ap

BApABp .

Esemnyek fggetlensge

Az A esemnyt a B esemnytl fggetlennek tekinthetjk akkor, ha a B esemny bekvetkezse

vagy be nem kvetkezse nem befolysolja az A esemny bekvetkezsnek valsznsgt. Ezt

gy is megfogalmazhatjuk, hogy minden olyan esetben, amikor B esemny bekvetkezik, az A

esemny ugyanolyan valsznsggel kvetkezik be, mint azokban az esetekben, amikor a B ese-

mny nem kvetkezik be (s ez a valsznsg nyilvn megegyezik az A esemny mindenfle felt-

tel nlkli bekvetkezsnek valsznsgvel). Ha numerikus sszefggst keresnk, akkor a ko-

rbban kapott feltteles valsznsgre vonatkoz sszefggst alkalmazhatjuk: ( ) )(ApBAp = ,

azaz ( ) )()( )( ApBpABpBAp == . A msodik egyenletbl azt kapjuk, hogy )()()( BpApABp = . Ez

az sszefggs tbb dologra is alkalmas:

1. Ha ismerjk )(Ap , )(Bp , )(ABp rtkt, akkor el tudjuk dnteni, hogy az A s B esemnyek

fggetlenek-e.

2. Ha tudjuk, hogy A s B esemnyek fggetlenek, akkor )(Ap s )(Bp rtknek ismeretben

ki tudjuk szmtani )(ABp rtkt.

A problma persze az, hogy mi van akkor, ha kt esemny fggetlensgt vagy sszefggstszeretnnk eldnteni, de nem tudjuk meghatrozni )(ABp rtkt. Nyilvn nem jrhat t, hogy

p://www.doksi.hu


13/17

szmtsuk ki a fenti kpletbl, hiszen ez csak akkor alkalmazhat, ha tudjuk, hogy A s B fggetle-

nek; viszont amg nem tudjuk, hogy A s B fggetlenek, addig nem alkalmazhatjuk ezt a kpletet.

Ez egyfajta rdgi kr, amibl mindenkppen ki kell lpni. gy tudjuk feloldani ezt a ltszlagos

ellentmondst, hogy a fggetlensg fogalmt kiterjesztjk: ha a kt esemny olyan, hogy nyilvnva-lan nem befolysoljk egyms bekvetkezsnek valsznsgt, akkor elfogadjuk, hogy a kt

esemny fggetlen, s az egyttes bekvetkezsk valsznsgt a fenti sszefggssel meghat-

rozhatjuk.

Valsznsgi vltoz eloszlsa

Valsznsgi vltoznak nevezzk azt a mennyisget, melynek rtkt valamely vletlen ese-

mny hatrozza meg. A valsznsgi vltoz eloszlsa azt adja meg, hogy a vltoz egy-egy rt-

ket milyen valsznsggel vesz fel. A mi mostani trgyalsunkban az gynevezett binomilis el-

oszls valsznsgi vltozkjtszanak nagy szerepet, ezek eloszlsa

knk ppk

nkXp

== )1()(

aholp valamely esemny bekvetkeztnek valsznsge.

Ilyen vltoz pl. a egy adottpvalsznsg esemny nfggetlen ksrletbl trtn bekvetke-zseinek szma.

Legyen az adott esemny bekvetkezsnek valsznsgeN

Kp= . Tegynk egy urnba Kdb

fehr, sN Kdb fekete golyt, s hzzunk ki egy golyt az urnbl. Ekkor az esemny bekvet-

kezte megfelel a fehr goly hzsnak, az esemny be nem kvetkezte a fekete goly hzsnak.

Az elzekben ismertetett urnbl hzzunkn-szer, visszatevssel (teht a kihzott golyt mindig

visszatesszk, azaz mindig

K

N esllyel hzunk fehret). Mi a valsznsge, hogy k-szor hztunk

fehr golyt? (Azaz mi a valsznsge, hogy a vizsglt esemny pontosan k-szor kvetkezett be?)

Hasznljuk a klasszikus modellt. Az sszes hzsok szma nN , a j esetek szma, amikor kdb

fehret s n-kdb fekett szerepeltetnk: knk KNKk

n

)( (*), gy a keresett valsznsg

p://www.doksi.hu


14/17

knkkn

kn

k

k

kn

kn

k

k

n

knk

ppk

n

NK

NK

k

n

N

KN

N

K

k

n

N

KNKk

n

bekvetkezikszorknyesemAp

=

=

=

=

=

)1(1

)()(

)(

(*) Megjegyzs:Elszr ki kell jellnnk a kdb fehr goly helyt, ezt

k

n-flekppen tehetjk

meg, majd kivlasztjuk a kfehret visszatevssel a Kgoly kzl, amelyeket a korbbiakban mon-

dottak miatt megklnbzethetnek vesznk, kK -flekppen, s az n k fekett az N K fekete

kzl knKN )( -flekppen.

A gyakorlati letben elfordul problmkban nem mindig visszatevses mintavtelt alkalma-

zunk, hanem sokszor visszatevs nlklit, s ekkor az gynevezett hipergeometrikus eloszlstkap-

juk. (Pl. ha a kzvlemnykutatsnl megkrdeznk embereket, akkor gyelnk arra, hogy ktszer

ne ugyanazt az embert krdezzk meg.) A hipergeometrikus eloszls azonban nagy elemszm

halmazokban kis elemszm mintavtel esetn kzelthet a binomilis eloszlssal, nevezetesen:

knk

NKN

NK

kn

n

Nkn

KN

k

K

kXp

== )(

Itt Na halmaz elemszma, Ka kitntetett elemek szma, n a minta elemszma, s Xazt jelli,

hogy a kihzott n elem kzl hny esik a kitntetett elemek kz.

A fenti egyenlsg szemlletesen is megmagyarzhat: ha sok elem van az urnban, s keveset

hzok, akkor egy kihzott elemet kicsi valsznsggel hznk ki mg egyszer az urnbl, teht

nem jelents eltrst okoz, ha nem is teszem vissza; msrszt pedig egy kihzott elemmel nem

cskken lnyegesen az elemek szma, teht egy elem kihzsnak valsznsge csak nagyon ki-

csivel vltozik a visszatevses esethez kpest. A fenti kzelts csak a mondott felttelek teljeslse

esetn ll fenn (Nnagy, nkicsi), a tnyleges valsznsgtl val eltrs a fenti binomilis el-

oszlssal val kzelts esetn tetszleges k-t vlasztva kisebbn

N

n

-nl.

p://www.doksi.hu


15/17

A valsznsgi vltozkat jellemz adatok

Az adathalmazoknl mr lthattuk, hogy az tlag nagy szerepet jtszott az adatok jellemzsben.Mi felelne meg a mi modellnkben az tlagnak? Az tlagban a szmok sszege szerepelt, darab-

szmukkal osztva. Ha csoportostjuk az adatokat, akkor a szmok sszegben minden adatnak

annyiszorosa szerepel, ahnyszor elfordul az adathalmazban. Teht

mmmmn xn

kx

n

kx

n

k

n

xkxkxk

n

xxx+++=

+++=

+++...

......2

21

1221121 ,

ahol nkkk m =+++ ...21 , ezrt 1...21 =+++

n

k

n

k

n

k m .

A fenti kpletben az egyes adatok relatv gyakorisgai szerepelnek, amiket a valsznsgnek

feleltettnk meg, az adatok pedig a valsznsgi vltoz lehetsges rtkeit jellik. Ez a kapcsolat

lehetsget ad arra, hogy az tlaggal analg vrhat rtk defincijt megadjuk:

AzXvalsznsgi vltoz vrhat rtke

nnxpxpxpXE +++= ...)( 2211 ,

ahol a valsznsgi vltoz eloszlsann

pxXp == )(

A vrhat rtk jelentse nem az, hogy ha pl. kockval dobunk, akkor 3,5-et fogunk dobni, hi-

szen ez meglehetsen furcsa lenne, hanem az, hogy elegenden sok ksrletet vgezve a kapott ad a-

tok tlaga a vrhat rtk krnykn lesz. Megellegeztk mr az tlag s a szrs kapcsolat ban az

adatok elhelyezkedst, s itt is lehetsget kapunk majd arra, hogy tippeljnk elre arra, hogy mi

lesz a kimenetele egy adott vletlen ksrletnek.

A vrhat rtk tulajdonsgai: HaE(X) ltezik, akkor ltezikE(cX) is, s )()( XcEcXE = , ahol ctetszleges lland

HaE(X) sE(Y) ltezik, akkorE(X+Y) is, s )()()( YEXEYXE +=+

Ha Xs Yfggetlen valsznsgi vltozk, s ltezik a vrhat rtkk, akkor ltezikE(XY)

is, s )()()( YEXEYXE =

A binomilis eloszls valsznsgi vltozk vrhat rtknek meghatrozsra hasznljuk fel

a vrhat rtk fent jelzett msodik tulajdonsgt!

p://www.doksi.hu


16/17

Vezessnk be egy gynevezett indiktor-vltozt, melynek rtke 1, ha az A esemny bekvet-

kezik, s 0, ha az A esemny nem kvetkezik be. Nyilvnval a defincibl, hogy az indiktor-

vltoz vrhat rtkep(A). Vizsgljuk most n szm fggetlen ksrletben azA esemny bekvet-

kezseinek szmt. Ez nyilvn binomilis eloszls valsznsgi vltozt jelent. Vezessnk be ndarab indiktor vltozt: ix rtke 0, ha az i-edik ksrletben azA esemny nem kvetkezett be, s

1, ha bekvetkezett. Nyilvnvalan az A esemny bekvetkezseinek szmt az indiktor vltozk

sszege jelenti, teht vrhat rtke az indiktor vltozk vrhat rtknek sszege, azaz )(Apn .

Ha teht egyp, nparamter binomilis eloszlst vizsglunk, akkor annak vrhat rtke np.

Annak mrsre, hogy a vrhat rtk mennyire j mrszm (akrcsak arra, hogy az tlag

mennyire j), tbbfle mdszer is vlaszthat. A ler statisztikhoz hasonlan nzzk vgig az ottmr definilt mrszmok megfelelit.

Az tlagos abszolt eltrsre adott kplet szerintn

XxXxXxn

~...

~~21

+++, ha az ix adat

ik -szer szerepel a felsoroltak kztt, akkor a fenti kplet az

n

kXxkXxkXxnl +++

~...

~~2211

alakot lti, aminek a valsznsgi vltozk esetn a

nlpXExpXExpXEx +++ )(...)()(

2211

rtk felel meg, ami nem ms, mint az )(XEX valsznsgi vltoz vrhat rtke. Ezt a

kifejezst a valsznsgi vltoz vrhat abszolt eltrsneknevezzk.

A ler statisztikban mr lthattuk, hogy a szrsnak nagyobb szerepe van az adathalmazok le-

rsban, ezrt az empirikus szrsngyzetre kapott

( ) ( ) ( ) ( )n

XxXxXxX n

22

2

2

12

~...

~~~ +++

=

kplet alapjn valsznsgi vltozk esetn a szrsngyzetet (a fenti gondolatmenethez hason-

lan) az ( )2)(XEX vrhat rtkeknt definilhatjuk, azaz

( ) ( ) ( ) ( ) nn pXExpXExpXExXD +++=2

22

212

12 )(...)()(

A valsznsgi vltoz szrsa a szrsngyzet ngyzetgyke, s formlisan isD(X)-szel jell-

jk.

A vrhat rtk alaptulajdonsgait felhasznlva a szrsngyzet a

p://www.doksi.hu


17/17

[ ] [ ]2222

2222

)()()()()(2)(

)()(2))(()(

XEXEXEXEXEXE

XEXEXXEXEXEXD

=+=

=+==

alakban rhat.

A szrsngyzet tulajdonsgai kzl bizonyts nlkl kzljk az albbit:

Ha X s Y fggetlen valsznsgi vltozk, akkor )()()( 222 YDXDYXD +=+ .

Ezt a tulajdonsgot felhasznlhatjuk a binomilis eloszls valsznsgi vltoz szrsnak

meghatrozsra. Hasznljuk a korbban bevezetett, fggetlen indiktor vltozkat. Ezek eloszlsa

pXp i == )1( , pXp i == 1)0( , gy ngyzetk eloszlsa pXp i == )1(2 , pXp

i == 1)0(2

ugyanez, teht vrhat rtkkp, ngyzetk vrhat rtkep. Ekkor viszont szrsngyzetk:

)1()()()(2222 ppppXEXEXD iii ===

Mivel a binomilis eloszls valsznsgi vltoz n db ilyen fggetlen indiktorvltoz ssze-

ge, ezrt a szrsngyzet emltett tulajdonsgt felhasznlva a binomilis eloszls valsznsgi

vltoz szrsngyzete: )1()(2 pnpXD = , ezrt a binomilis eloszls szrsa )1()( pnpXD =

A ler statisztikban hasznlt tbbi kzprtknek is keressk meg a valsznsgszmtsbeli

megfeleljt!

A mdusz azt mutatta meg, hogy melyik adat szerepel a legtbbszr az adathalmazban. Ennek itt

a legnagyobb valsznsg rtkfelel meg (az az rtk, amelyhez a legtbb elemi esemny tarto-

zik).

A medin az adatok felezje volt, teht az adatok fele nla kisebb, az adatok fele nla nagyobb.

Ennek az a krtk felel meg, melyre teljesl, hogy2

1)( =< kXp . Ha nincs ilyen rtk, akkor az

ezt legjobban teljest szmot tekintsk. Hasonlan az als s fels kvartilisnek azok az m illetve n

rtkek felelnek meg, melyekre4

1)( =< mXp illetve

4

3)( =< nXp .

p://www.doksi.hu

magyar zsolt - valószínűségszámítási alapismeretek (2010, 17 oldal)

Documents