-
8/8/2019 Magyar Zsolt - Valsznsgszmtsi alapismeretek (2010, 17 oldal)
1/17
Valsznsgszmtsi alapismeretek
A vletlen esemny
A vletlen felfogsa alapveten ktfle lehet. Az n. determinisztikus vilgkpben a vletlen
egyszeren a tudsunk hinyt jelenti. Mivel nem tudunk minden adatot, ezrt nem tudjuk meghat-rozni, mi fog trtnni, de ha ismernnk minden informcit, akkor a vletlen megsznne. A msik
felfogs szerint a vletlen alapvet rsze a vilgnak, ezrt akkor sem tudnnk megmondani, hogy mi
trtnik, ha ismernnk minden adatot egy adott problmval kapcsolatban.
Hasonl a helyzet a valsznsggel. Nem tudjuk pontosan eldnteni, hogy egy adott helyzetben,
pl. kockval dobva a dobott rtkek bekvetkezsnek valsznsge csak a kocktl fgg-e, teht
n. objektv valsznsge van-e, vagy pedig valami ms tnyez is befolysolja ezt. Sokszor ebben
a problmban az elegend ok hinya dnt: nincs okunk azt felttelezni, hogy egy adott ksrletkimenetelei nem szimmetrikusak, teht objektv valsznsget tteleznk fel. Persze ms krds
az, hogy az objektv valsznsgrl hogy lehet eldnteni, hogy mekkora az rtke?
Prblkozhatunk modellalkotssal is. Laplace (1812) az n. klasszikus modellt alkalmazta: egy
esemny bekvetkezsnek valsznsge a kedvez esetek szma osztva az sszes esetek szm-
val. Eszerint az gynevezett elemi esemnyek (ami az sszes esetekbl egy darabot jelent) val-
sznsge meg kell egyezzen. De milyen jogon mondhatjuk, hogy az egyes elemi esemnyek val-
sznsge megegyezik? Ugyanoda jutottunk vissza, ahonnan elindultunk.
Kolgomorov (1933) tovbb lpett. Azt mondta: aximkat, teht nem bizonytand (s nem is
bizonythat) lltsokat kell fellltani a valsznsgrl, s ezek segtsgvel fel kell pteni a va-
lsznsg-fogalmat. [Tmren: Metriknak nevezzk azt a hozzrendelst, amelyben egy alaphal-
maz rszhalmazaihoz szmrtkeket rendelnk. A hozzrendelt rtkeket az adott rszhalmaz mr-
tkszmnak nevezzk. Egy metrika akkor valsznsg, ha az alaphalmazhoz rendelt rtke 1, nem
negatv s additv (diszjunkt rszhalmazok mrtknek sszege az unijukhoz rendelt mrtk).]
Ezzel azonban szintn nem jutottunk kzelebb ahhoz a problmhoz, hogy a kockval mekkora
valsznsggel dobunk hatost.
p://www.doksi.hu
-
8/8/2019 Magyar Zsolt - Valsznsgszmtsi alapismeretek (2010, 17 oldal)
2/17
Szeretnnk teht egy olyan llapotot elrni, amiben az a helyzet ll fenn, hogy br nem tudunk
mindent (ez tny), de a nemtudsunknak ne legyen nagy kockzata.
Kezdjk teht ellrl, ptsnk fel egy modellt, aztn prbljuk meg megvizsglni, hogy ez amodell mennyire j.
p://www.doksi.hu
-
8/8/2019 Magyar Zsolt - Valsznsgszmtsi alapismeretek (2010, 17 oldal)
3/17
Klasszikus valsznsgszmtsi modell
A valsznsgszmtsban hasznlni fogunk nhny fogalmat, ismerkedjnk meg ezekkel! K-
srletnek neveznk valamely folyamatot, melyben a vletlen dnti el, hogy mi fog trtnni. A ksr-letek ltalban megismtelhetek (mi itt ilyen ksrletekkel foglalkozunk), de kimenetelk nem fel-
ttlenl lesz ugyanaz, mint egy korbbi ksrletben. Egy ksrlet lehetsges kimeneteleibl kpezhe-
tnk halmazokat; ezeket nevezzk esemnyeknek. Pldul dobkockval egyszer dobva a kockado-
bs lehetsges kimenetelei 1, 2, 3, 4, 5, 6; esemny pldul, hogy pros szmot dobtunk, vagy, hogy
3-mal oszthat szmot dobtunk, de az is esemny, hogy pozitv szmot dobtunk. Lehetetlen ese-
mnyneknevezzk azokat az esemnyeket, melyekhez nem tartozik egyetlen kimenet sem (pl. do-
bkockval nem egsz szmot dobunk), biztos esemnyneknevezzk azokat az esemnyeket, me-
lyekhez az sszes lehetsges kimenetel hozztartozik (pl. dobkockval dobva egsz szmot do-
bunk).
A ler statisztikban szerepeltek az albbi fogalmak: relatv gyakorisg, mdusz, tlag, medin,
szrs. Prbljunk meg ezeknek valamifle megfelelt tallni.
A relatv gyakorisg azt jelenti, hogy egy adott adathalmazban egy adat hnyszor fordul el. Ha
a valsznsgrl az a kpnk van, hogy adott szm ksrletbl az esemny bekvetkezseinek
szma arnyos a bekvetkezsnek valsznsgvel, akkor a valsznsgre a relatv gyakorisg-
nak megfelel rtket kell adnunk. Tekintsnk egy adott ksrletsorozatot, amely annyi ksrletbl
ll, ahny lehetsges kimenetele van a ksrleteknek. Ttelezzk fel, hogy minden lehetsges kime-
netel pontosan egyszer kvetkezik be a ksrletsorozatban (ez persze meglehetsen hihetetlennek
tnik). Egy adott esemny pontosan annyiszor kvetkezett be, ahnyfle lehetsges kimenetel tarto-
zik hozz. Ha sok ilyen ksrletsorozatot vgznk el, akkor tapasztalataink (s modellnk) szerint
egy adott esemny tlagosan annyiszor kvetkezik be, ahnyfle lehetsges kimenetel tartozik hoz-
z. Ez vezet a Laplace-fle klasszikus modellhez:
maszeseteksszes
maszesetekjikbekvetkezAp =)(
Itt p a valsznsget,A pedig egy adott esemnyt jelent. Termszetesen gyelnnk kell arra,
hogy az sszes esetek szma olyan eseteket tartalmazzon, melyek bekvetkezse egyformn val-
szn, ezek az gynevezett elemi esemnyek. Annak eldntsre, hogy mely esemnyek vehetk
elemi esemnyeknek, megint csak a modellhez kell nylnunk: ha sok ksrletet vgezve lnyegben
egyforma szmban kvetkeznek be ezek az elemi esemnyek, akkor mondhatjuk, hogy ezek val-
sznsge megegyezik.
p://www.doksi.hu
-
8/8/2019 Magyar Zsolt - Valsznsgszmtsi alapismeretek (2010, 17 oldal)
4/17
A biztos esemny valsznsge 1, mivel itt minden eset j eset, a lehetetlen esemny valszn-
sge 0, mivel itt egyetlen j eset sincs. (De vigyzat! Az, hogy egy esemny valsznsge 1, nem
felttlenl jelenti azt, hogy a biztos esemnyrl van sz; ugyangy az, hogy egy esemny valszn-
sge 0, nem felttlenl jelenti azt, hogy a lehetetlen esemnyrl van sz. A klasszikusvalsznsgszmtsi modellben igen, amikor vges sok ksrletet hajtunk vgre, s az esetek sz-
ma vges sok. Azonban lehet vgtelen ksrletsorozatokat is vgrehajtani, illetve a geometriai mo-
dellben is lehet vgtelen sok eset problmval tallkozni; s itt mr a fenti megllaptsokat konk-
rt pldkkal is illusztrlni lehet.)
Felmerlt az a krds az elzekben, hogy a klasszikus modell alkalmazsakor milyen esem-
nyeket tekinthetnk elemi esemnyeknek. Ez a krds mr rgen felmerlt, s az gynevezett h-
rom kocka problmjaknt volt ismeretes. Ez a kvetkezkppen hangzott:
Ha hrom kockval dobunk, akkor ugyanannyiflekppen dobhatunk sszesen 9-et, mint 10-et:
A dobott szmok sszege 9 A dobott szmok sszege 10
1 + 2 + 6 1 + 3 + 5 1 + 3 + 6 1 + 4 + 5
1 + 4 + 4 2 + 2 + 5 2 + 2 + 6 2 + 4 + 4
2 + 3 + 4 3 + 3 + 3 2 + 3 + 5 3 + 3 + 4
Ha azonban elkezdnk doblni hrom kockval, akkor azt tapasztaljuk, hogy az sszeg gyakrab-
ban lesz 10, mint 9. Mi lehet ennek az oka? Amikor azt mondtuk, hogy ugyanannyiflekppen dob-
hatunk a hrom kockval 10-et s 9-et, akkor az elemi esemnyeknek tulajdonkppen azt tekintet-
tk, hogy a dobott szmokat nagysgrendi sorrendbe rakva hogyan kaphatjuk meg a 10-et illetve a
9-et, azaz elemi esemnyeknek az 1, 2, 6 szmokbl sszellthat rendezetlen hrmasokat vet-
tk. De van-e jogunk ehhez? Ha a sorba rendezst nem engedjk meg (teht az elemi esemnyeket a
rendezett szmhrmasok jelentik), akkor a 10-et mr nem ugyanannyiflekppen kaphatjuk meg,
mint a 9-et. A tblzatban szerepl szmhrmasokat tbbszr kell szmolni a sorba rendezseknek
megfelelen, gy a 10 esetn 27 lehetsgnk van, mg a 9 esetn csak 25. Hogyan lehet igazsgot
tenni? Mivel azt szeretnnk, hogy a gyakorlatban lejtszd vletlen esemnyeket tudjuk modellez-
ni, ezrt vgre kell hajtanunk a hrom kocka dobsnak ksrlett sokszor, s meg kell nzni, hogy
melyik modell rja le jobban a megfigyelt jelensget. A tapasztalat azt mutatja, hogy az a modell ll
kzelebb a valsghoz, amelyben nem tekintnk el a kockk dobsi sorrendjtl.
p://www.doksi.hu
-
8/8/2019 Magyar Zsolt - Valsznsgszmtsi alapismeretek (2010, 17 oldal)
5/17
Erre persze mondhatja valaki, hogy a hrom teljesen egyforma kinzet, azonos anyagbl k-
szlt, minden szempontbl egyforma kockt mi klnbzteti meg egymstl? Honnan tudhatjuk,
hogy melyik, melyik?
Vgezzk el a kvetkez gondolatksrletet: Vegynk hrom teljesen egyforma dobkockt, sfessk be ket pirosra, zldre, kkre. Adjuk ket oda egy normlis embernek, s dobltassuk fel a
kockkat. meg tudja klnbztetni a kockkat egymstl, hisz azok klnbz sznek. Sok k-
srlet vgrehajtsa utn kap valamifle relatv gyakorisgot a lehetsges rtkekre. Ezutn adjuk
oda a kockt egy sznvaknak, aki szmra a hrom kocka teljesen egyforma, hiszen nem ltja a sz-
nket. Ha dobl a kockkkal, akkor nyilvnvalan ugyanazt az eredmnyt kell, kapja az egyes
rtkek relatv gyakorisgra, hiszen a kockk nem tudjk, hogy most ppen egy sznvak dobl ve-
lk, teht nyilvnvalan ugyangy viselkednek, mint eddig. Vegyk le ezutn a sznezst a kockk-
rl, s adjuk vissza a normlis embernek. Az kezben a kockk ugyangy kell, viselkedjenek,
mint a sznvak ember kezben, hiszen a kockk arrl sem tudnak, hogy be vannak-e sznezve. Ebbl
a gondolatmenetbl viszont az kvetkezik, hogy a megklnbztet jellel elltott kockk ugyangy
viselkednek, mint a nem megklnbztethet kockk. Teht a sorrendet figyelembe kell vennnk a
dobott rtkeknl.
Hasonlan kivl terep az elemi esemnyek elfordulsnak vizsglatra az gynevezett kocka-
pker jtk. Ebben 5 kockval dobunk, s a klasszikus pkerszablyoknak megfelelen rtkeljk a
kapott szmtst (azaz a kirtkelsnl nem szmt a dobsi sorrend). A lehetsgek:
egy pr: 2 egyforma + 1 + 1 + 1 szm (pl. 3, 4, 5, 1, 3)
kt pr: 2 egyforma + 2 egyforma + 1 szm (pl. 3, 5, 4, 3, 5)
terc vagy drill: 3 egyforma + 1 + 1 szm (pl. 2, 3, 4, 2, 2)
sor: 5 egymst kvet szm, tetszleges sorrendben (pl. 2, 3, 1, 4, 5)
full: 3 egyforma + 2 egyforma szm (pl. 3, 2, 3, 3, 2)
pker: 4 egyforma + 1 szm (pl. 3, 4, 3, 3, 3)
royal pker: 5 egyforma szm
Krds, hogy mekkora valsznsge van az egyes lehetsgek bekvetkeztnek? A krds
megvlaszolsa szempontjbl nem rdektelen, hogy a dobott szmok sorrendjt is figyelembe
vesszk az egyes lehetsgekhez tartoz j esetek megszmolsnl, vagy pedig a dobsi sor-
rendtl eltekintve hatrozzuk meg az esetek szmt. A fggelkben rszletezett szmtsok szerint
p://www.doksi.hu
-
8/8/2019 Magyar Zsolt - Valsznsgszmtsi alapismeretek (2010, 17 oldal)
6/17
az egyes lehetsgekhez az albbi j eset-szmok tartoznak, attl fggen, hogy a sorrendet fi-
gyelembe vettk-e avagy sem:
Lehetsges eredmny Sorrend szmt Sorrend nem szmt
Egy pr 3600 60
Kt pr 1800 60
Terc 1200 60
Sor 240 2
Full 300 30
Pker 150 30
Royal pker 6 6
Lthat, hogy a tblzat kt oszlopa elg jelentsen eltr adatokat tartalmaz. Hogy lehet eldn-
teni teht, hogy a tblzat melyik oszlopt tekintsk rvnyesnek a gyakorlati problmkban?
Egy osztlynyi tanul (kb. 30 f) mindegyike dobjon 50-szer az 5 db kockval, s jegyezze fel a
kapott eredmnyeket a tblzatba. Utna sszestsk a tanulk a kapott eredmnyeket kimenetelen-
knt, s ha ezen szmok arnya az 1. oszlop arnyainak megfelel, akkor a sorrendet figyelembe kell
vennnk, ha a 2. oszlop arnyainak felel meg, akkor a sorrendet nem kell figyelembe vennnk.A tapasztalat azt mutatja mr ilyen viszonylag kevs dobs esetn is, hogy a szmok az 1. oszlop
arnyait mutatjk, teht a sorrendet figyelembe kell vennnk.
J-j, mondhatja mg mindig a ktelked, de mi van azokkal a problmkkal, ahol nyilvnval-
an nem kell megklnbztetnnk a sorrendet? Vegyk pldul a lotthzst! Ott mr tnyleg nem
kell foglalkozni a sorrendi problmkkal! Valban gy van ez? Jrjuk krbe ezt a krdst alaposab-
ban!
A kvetkez kijelentssel elg gyakran lehet tallkozni: A lott ts kihzsnak valsznsge
5
90
1, (az sszes esetek szma
5
90(eltekintve a hzsi sorrendtl, hiszen az nem szmt), s a j
esetek szma 1, feltve, hogy csak 1 szelvny tltttnk ki).
Ha a klasszikus modellt a hzsi sorrend figyelembevtelvel alkalmazzuk, akkor az sszes ese-
tek szma 8687888990 , a j esetek szma pedig 1, hiszen tovbbra is csak 1 lottt tltttnk
p://www.doksi.hu
-
8/8/2019 Magyar Zsolt - Valsznsgszmtsi alapismeretek (2010, 17 oldal)
7/17
-
8/8/2019 Magyar Zsolt - Valsznsgszmtsi alapismeretek (2010, 17 oldal)
8/17
Ennek segtsgvel ki tudjuk szmtani, hogy pl. n db ksrletbl hnyszor kvetkezik be egy
adott esemny. Az elzekben ismertetett urnbl hzzunkn-szer, visszatevssel (teht a kihzott
golyt mindig visszatesszk, azaz mindigK
Nesllyel hzunk fehret). Mi a valsznsge, hogyk-
szor hztunk fehr golyt? (Azaz mi a valsznsge, hogy az A esemny k-szor kvetkezett be?)
Hasznljuk a klasszikus modellt. Az sszes hzsok szma nN , a j esetek szma, amikor kdb
fehret s n-kdb fekett szerepeltetnk: knk KNKk
n
)( (*), gy a keresett valsznsg
knk
kn
kn
k
k
kn
kn
k
k
n
knk
ppk
n
N
K
N
K
k
n
N
KN
N
K
k
n
N
KNKk
n
bekvetkezikszorknyesemAp
=
=
=
=
=
)1(1
)()(
)(
(*) Megjegyzs:Elszr ki kell jellnnk a kdb fehr goly helyt, ezt
k
n-flekppen tehetjk
meg, majd kivlasztjuk a kfehret visszatevssel a Kgoly kzl, amelyeket a korbbiakban mon-
dottak miatt megklnbzethetnek vesznk, kK -flekppen, s az n k fekett az N K fekete
kzl knKN )( -flekppen.
II.3. Mveletek esemnyekkel; kapcsolat a valsznsgek kztt
Az esemnyekkel val mveletek kztt kt legfontosabbat klnbztetnk meg:
a) esemnyek szorzata: Az A esemny s B esemny szorzatn azon esemnyt rtjk, melyben A
s B esemny egyttesen bekvetkezik. Jellse: AB. [gy is megfogalmazhatnnk, hogy az AB
esemny minden esetben bekvetkezik, amikor A s B egyttesen bekvetkezik.]
Az AB esemny bekvetkezsnek valsznsgt gy tudjuk meghatrozni, hogy az egyttes
bekvetkezshez tartoz elemi esemnyek szmt elosztjuk az sszes esetek szmval.
Az AB esemny valsznsgnek lehetsges kiszmtsrl ksbb mg, az Esemnyek fgget-
lensge cm fejezetben ejtnk szt.
b) esemnyek sszege: Az A esemny s B esemny sszegn azon esemnyt rtjk, melyben A
vagy B esemny bekvetkezik (nem kizr vagy; A s B kln-kln, de egytt is bekvetkezhet).
p://www.doksi.hu
-
8/8/2019 Magyar Zsolt - Valsznsgszmtsi alapismeretek (2010, 17 oldal)
9/17
Jellse: A + B. [gy is megfogalmazhatnnk, hogy az A + B esemny minden esetben bekvetke-
zik, amikor A vagy B bekvetkezik.]
Ha ismerjk az A s B esemnyek bekvetkezst jelent elemi esemnyeket, akkor az (A + B)
esemny bekvetkezst jelent elemi esemnyek szma gy alakul, hogy A-hoz s B-hez tartozelemi esemnyek darabszmnak sszegbl ki kell vonnunk az A s B mindegyiknl szerepl
elemi esemnyek darabszmt, hiszen ezeket az sszegben ktszer szmoltuk, de csak egyszer kel-
lett volna. Ha ezt valsznsgekre fordtjuk le, akkor )()()()( ABpBpApBAp +=+ .
Ha A s B diszjunkt esemnyek, azaz egyttes bekvetkezsk nem lehetsges (teht AB lehe-
tetlen esemny), akkor a fenti sszefggs a )()()( BpApBAp +=+ alakot lti.
Feltteles valsznsg
Nevezzk az A esemny B esemnyre vonatkoz feltteles valsznsgnek annak a valszn-
sgt, hogy A esemny bekvetkezik, feltve, hogy a B esemny mindenkppen bekvetkezik. Je-
llje ezt a valsznsget ( )BAp . Ebben az esetben a klasszikus valsznsgszmtsi modellt
alkalmazva felmerl a krds: mit is jelent az sszes esetek illetve a j esetek szma a probl-
mra vettve? Az sszes esetek szma nyilvnvalan azokra az esetekre korltozdik, amikor a B
esemny bekvetkezik; ezek kzl azok szmtanak majd j eseteknek, amikor az A esemny isbekvetkezik. Teht valamifle sszefggs gyrthat ennek segtsgvel:
( )ikbekvetkezBamikorszmaesetekazon
ikbekvetkezBsAamikorszmaesetekazonBAp
,
,=
Ha a kapott trtnek a szmlljt s a nevezjt is elosztjuk a ksrlet sszes lehetsges vgki-
meneteleinek szmval (sszes eset), akkor a szmllban A s B egyttes bekvetkezsnek val-
sznsge, a nevezben B bekvetkezsnek valsznsge jelenik meg. Teht ( ))(
)(
Bp
ABpBAp = .
Termszetesen ehhez a kiszmtsi mdhoz nem kell ragaszkodni konkrt szmtsi feladatokban,
lehet a korbban vzolt esetszmok hnyadosval is dolgozni.
A kapott kplet lehetsget ad arra, hogy ( )BAp s ( )Bp ismeretben ( )ABp rtkt meghat-
rozzuk.
p://www.doksi.hu
-
8/8/2019 Magyar Zsolt - Valsznsgszmtsi alapismeretek (2010, 17 oldal)
10/17
Plda:Kt urnban fehr s fekete golyk vannak. Az els urnban 3 fehr s 2 fekete, a mso-
dik urnban 2 fehr s 3 fekete. Dobkockval dntjk el, hogy melyik urnbl vesznk ki egyet:
ha a kockval 5-st vagy 6-ost dobunk, akkor az els urnbl, egyb esetben a msodik urnbl
hzunk ki egy golyt. Mi annak a valsznsge, hogy a msodik urnbl hzunk fekete golyt?
Megolds: Legyen a B esemny az, hogy a msodik urnbl hzunk, az A esemny pedig az,
hogy fekett hzunk. Ekkor annak valsznsge, hogy a msodik urnbl hzunk:6
4(sszes ese-
tek szma 6, ebbl 4-ben hzunk a msodik urnbl), annak valsznsge, hogy fekett hzunk,
feltve, hogy a msodik urnbl hzunk:5
3. teht annak a valsznsge, hogy a msodik urnbl
hzunk, s ez a goly fekete lesz: ( )5
2
5
3
3
2)()( === ABpBpBAp .
Plda:Kt urnban fehr s fekete golyk vannak. Az els urnban 3 fehr s 2 fekete, a mso-
dik urnban 2 fehr s 3 fekete. Dobkockval dntjk el, hogy melyik urnbl vesznk ki egyet:
ha a kockval 5-st vagy 6-ost dobunk, akkor az els urnbl, egyb esetben a msodik urnbl
hzunk ki egy golyt. Mi annak a valsznsge, hogy fekete golyt hzunk?
Megolds: A fekete goly hzsa esemny kt diszjunkt esemnyre bonthat: az els urnbl
hzunk fekete golyt vagy a msodik urnbl hzunk fekete golyt. Az elz pldban kiszmol-
tuk, hogy a msodik urnbl val fekete goly hzsnak valsznsge5
2, hasonlan kiszmthat
az els urnbl trtn fekete goly hzsnak valsznsge15
2
5
2
3
1= . sszesen teht
157
151
52 =+ .
Megjegyzs: A feladat megoldsa sorn a kvetkez smt hasznltuk: Legyen B1 s B2
( ) ( )2211
)()()( BApBpBApBpAp +=
kt
diszjunkt esemny gy, hogy sszegk kiadja a biztos esemnyt, s A egy tetszleges esemny.
Ekkor az A esemny valsznsge a kvetkezkppen rhat fel:
A mondott azonossg formlisan is egyszeren belthat: ( ) )()(111
ABpBApBp = ,
( ) )()( 222 ABpBApBp = , ennek megfelelen, mivel B1 s B2 esemnyek sszege a biztos ese-
p://www.doksi.hu
-
8/8/2019 Magyar Zsolt - Valsznsgszmtsi alapismeretek (2010, 17 oldal)
11/17
mny: )())(()()(2121
ApBBApABpABp =+=+ . Ennek az lltsnak az ltalnosan megfogalma-
zott alakjt a teljes valsznsg ttelneknevezik:
Legyenek B1, B2, , Bn
( ) ( ) ( )nn
BApBpBApBpBApBpAp +++= )(...)()()(2211
pronknt diszjunkt esemnyek, melyek sszege a biztos esemnyt adja
ki (gynevezett teljes esemnyrendszer). Ekkor egy tetszleges A esemny valsznsge gy hat-rozhat meg, hogy
A teljes valsznsg ttelt nem felttlenl kell kimondanunk, hiszen a mintafeladatok megol-
dsnl vzolt gondolatmenet alapjn mindig vgiggondolhat az egyes esemnyek valsznsg-
nek feltteles valsznsgekkel trtn kiszmtsa, azonban a teljessg kedvrt megemltjk itt.
Mg egy megjegyzs: A feltteles valsznsgekkel kapcsolatos az gynevezett Bayes-ttel is.
Ha B1, B2, , Bn
( )1Bp
pronknt diszjunkt esemnyek, melyek sszege a biztos esemnyt adja ki, s
ismerjk a , ( )2Bp , valsznsgeket, valamint a ( )1BAp , ( )2BAp feltteles val-
sznsgeket, akkor ki tudjuk szmtani a ( )ABp1
, ( )ABp2
, feltteles valsznsgeket. A
Bayes-ttel azt az eljrst foglalja ssze s mondja ki ttel formjban, melyben a
( ))(
)(1
1Ap
ABpABp = tpus hnyadosok szmlljt s nevezjt hatrozzuk meg a korbban mon-
dott mdszerek szerint. A Bayes-ttel kimondst azrt nem tartjuk itt szksgesnek, mert felesle-
ges kplet, s alkalmat ad arra, hogy sszezavarja a kzpiskolsok gondolatait. Akik szksgesnek
tartjk, a rendelkezsre ll informcik alapjn sszellthatjk a ttelt maguk is. A szmols me-
nett azonban nzzk meg egy gyakorlati pldn:
Plda:Kt urnban fehr s fekete golyk vannak. Az els urnban 3 fehr s 2 fekete, a mso-
dik urnban 2 fehr s 3 fekete. Dobkockval dntjk el, hogy melyik urnbl vesznk ki egyet:
ha a kockval 5-st vagy 6-ost dobunk, akkor az els urnbl, egyb esetben a msodik urnbl
hzunk ki egy golyt. Valaki elvgzi a ksrletet, s fekete golyt hz. Mi annak a valsznsge,
hogy a msodik urnbl hzott?
Megolds: Legyen a B esemny az, hogy a msodik urnbl hzunk, az A esemny pedig az,
hogy fekett hzunk. Ekkor a ( )ABp feltteles valsznsget keressk. Ennek kiszmtsa a
( ))(
)(
Ap
BApABp = kplet alapjn trtnik. Hatrozzuk meg a )(BAp [a msodik urnbl hztunk s
fekete golyt] s )(Ap [fekete golyt hztunk] valsznsgeket a korbban bemutatott mdon!
p://www.doksi.hu
-
8/8/2019 Magyar Zsolt - Valsznsgszmtsi alapismeretek (2010, 17 oldal)
12/17
)(BAp kiszmtsa: Annak valsznsge, hogy a msodik urnbl hzunk:6
4, annak valsz-
nsge, hogy fekett hzunk, feltve, hogy a msodik urnbl hzunk:5
3. Teht annak a valszn-
sge, hogy a msodik urnbl hzunk, s ez a goly fekete lesz: ( )5
2
5
3
3
2)()( === ABpBpBAp .
)(Ap kiszmtsa: annak a valsznsge, hogy a msodik urnbl hzunk, s ez a goly fekete
lesz:5
2
5
3
3
2= annak a valsznsge, hogy a msodik urnbl hzunk, s ez a goly fekete lesz:
15
2
5
2
3
1= . sszesen teht
15
7
15
1
5
2)( =+=Ap .
A keresett feltteles valsznsg: ( )7
2
15
7
52
)(
)(===
Ap
BApABp .
Esemnyek fggetlensge
Az A esemnyt a B esemnytl fggetlennek tekinthetjk akkor, ha a B esemny bekvetkezse
vagy be nem kvetkezse nem befolysolja az A esemny bekvetkezsnek valsznsgt. Ezt
gy is megfogalmazhatjuk, hogy minden olyan esetben, amikor B esemny bekvetkezik, az A
esemny ugyanolyan valsznsggel kvetkezik be, mint azokban az esetekben, amikor a B ese-
mny nem kvetkezik be (s ez a valsznsg nyilvn megegyezik az A esemny mindenfle felt-
tel nlkli bekvetkezsnek valsznsgvel). Ha numerikus sszefggst keresnk, akkor a ko-
rbban kapott feltteles valsznsgre vonatkoz sszefggst alkalmazhatjuk: ( ) )(ApBAp = ,
azaz ( ) )()( )( ApBpABpBAp == . A msodik egyenletbl azt kapjuk, hogy )()()( BpApABp = . Ez
az sszefggs tbb dologra is alkalmas:
1. Ha ismerjk )(Ap , )(Bp , )(ABp rtkt, akkor el tudjuk dnteni, hogy az A s B esemnyek
fggetlenek-e.
2. Ha tudjuk, hogy A s B esemnyek fggetlenek, akkor )(Ap s )(Bp rtknek ismeretben
ki tudjuk szmtani )(ABp rtkt.
A problma persze az, hogy mi van akkor, ha kt esemny fggetlensgt vagy sszefggstszeretnnk eldnteni, de nem tudjuk meghatrozni )(ABp rtkt. Nyilvn nem jrhat t, hogy
p://www.doksi.hu
-
8/8/2019 Magyar Zsolt - Valsznsgszmtsi alapismeretek (2010, 17 oldal)
13/17
szmtsuk ki a fenti kpletbl, hiszen ez csak akkor alkalmazhat, ha tudjuk, hogy A s B fggetle-
nek; viszont amg nem tudjuk, hogy A s B fggetlenek, addig nem alkalmazhatjuk ezt a kpletet.
Ez egyfajta rdgi kr, amibl mindenkppen ki kell lpni. gy tudjuk feloldani ezt a ltszlagos
ellentmondst, hogy a fggetlensg fogalmt kiterjesztjk: ha a kt esemny olyan, hogy nyilvnva-lan nem befolysoljk egyms bekvetkezsnek valsznsgt, akkor elfogadjuk, hogy a kt
esemny fggetlen, s az egyttes bekvetkezsk valsznsgt a fenti sszefggssel meghat-
rozhatjuk.
Valsznsgi vltoz eloszlsa
Valsznsgi vltoznak nevezzk azt a mennyisget, melynek rtkt valamely vletlen ese-
mny hatrozza meg. A valsznsgi vltoz eloszlsa azt adja meg, hogy a vltoz egy-egy rt-
ket milyen valsznsggel vesz fel. A mi mostani trgyalsunkban az gynevezett binomilis el-
oszls valsznsgi vltozkjtszanak nagy szerepet, ezek eloszlsa
knk ppk
nkXp
== )1()(
aholp valamely esemny bekvetkeztnek valsznsge.
Ilyen vltoz pl. a egy adottpvalsznsg esemny nfggetlen ksrletbl trtn bekvetke-zseinek szma.
Legyen az adott esemny bekvetkezsnek valsznsgeN
Kp= . Tegynk egy urnba Kdb
fehr, sN Kdb fekete golyt, s hzzunk ki egy golyt az urnbl. Ekkor az esemny bekvet-
kezte megfelel a fehr goly hzsnak, az esemny be nem kvetkezte a fekete goly hzsnak.
Az elzekben ismertetett urnbl hzzunkn-szer, visszatevssel (teht a kihzott golyt mindig
visszatesszk, azaz mindig
K
N esllyel hzunk fehret). Mi a valsznsge, hogy k-szor hztunk
fehr golyt? (Azaz mi a valsznsge, hogy a vizsglt esemny pontosan k-szor kvetkezett be?)
Hasznljuk a klasszikus modellt. Az sszes hzsok szma nN , a j esetek szma, amikor kdb
fehret s n-kdb fekett szerepeltetnk: knk KNKk
n
)( (*), gy a keresett valsznsg
p://www.doksi.hu
-
8/8/2019 Magyar Zsolt - Valsznsgszmtsi alapismeretek (2010, 17 oldal)
14/17
knkkn
kn
k
k
kn
kn
k
k
n
knk
ppk
n
NK
NK
k
n
N
KN
N
K
k
n
N
KNKk
n
bekvetkezikszorknyesemAp
=
=
=
=
=
)1(1
)()(
)(
(*) Megjegyzs:Elszr ki kell jellnnk a kdb fehr goly helyt, ezt
k
n-flekppen tehetjk
meg, majd kivlasztjuk a kfehret visszatevssel a Kgoly kzl, amelyeket a korbbiakban mon-
dottak miatt megklnbzethetnek vesznk, kK -flekppen, s az n k fekett az N K fekete
kzl knKN )( -flekppen.
A gyakorlati letben elfordul problmkban nem mindig visszatevses mintavtelt alkalma-
zunk, hanem sokszor visszatevs nlklit, s ekkor az gynevezett hipergeometrikus eloszlstkap-
juk. (Pl. ha a kzvlemnykutatsnl megkrdeznk embereket, akkor gyelnk arra, hogy ktszer
ne ugyanazt az embert krdezzk meg.) A hipergeometrikus eloszls azonban nagy elemszm
halmazokban kis elemszm mintavtel esetn kzelthet a binomilis eloszlssal, nevezetesen:
knk
NKN
NK
kn
n
Nkn
KN
k
K
kXp
== )(
Itt Na halmaz elemszma, Ka kitntetett elemek szma, n a minta elemszma, s Xazt jelli,
hogy a kihzott n elem kzl hny esik a kitntetett elemek kz.
A fenti egyenlsg szemlletesen is megmagyarzhat: ha sok elem van az urnban, s keveset
hzok, akkor egy kihzott elemet kicsi valsznsggel hznk ki mg egyszer az urnbl, teht
nem jelents eltrst okoz, ha nem is teszem vissza; msrszt pedig egy kihzott elemmel nem
cskken lnyegesen az elemek szma, teht egy elem kihzsnak valsznsge csak nagyon ki-
csivel vltozik a visszatevses esethez kpest. A fenti kzelts csak a mondott felttelek teljeslse
esetn ll fenn (Nnagy, nkicsi), a tnyleges valsznsgtl val eltrs a fenti binomilis el-
oszlssal val kzelts esetn tetszleges k-t vlasztva kisebbn
N
n
-nl.
p://www.doksi.hu
-
8/8/2019 Magyar Zsolt - Valsznsgszmtsi alapismeretek (2010, 17 oldal)
15/17
A valsznsgi vltozkat jellemz adatok
Az adathalmazoknl mr lthattuk, hogy az tlag nagy szerepet jtszott az adatok jellemzsben.Mi felelne meg a mi modellnkben az tlagnak? Az tlagban a szmok sszege szerepelt, darab-
szmukkal osztva. Ha csoportostjuk az adatokat, akkor a szmok sszegben minden adatnak
annyiszorosa szerepel, ahnyszor elfordul az adathalmazban. Teht
mmmmn xn
kx
n
kx
n
k
n
xkxkxk
n
xxx+++=
+++=
+++...
......2
21
1221121 ,
ahol nkkk m =+++ ...21 , ezrt 1...21 =+++
n
k
n
k
n
k m .
A fenti kpletben az egyes adatok relatv gyakorisgai szerepelnek, amiket a valsznsgnek
feleltettnk meg, az adatok pedig a valsznsgi vltoz lehetsges rtkeit jellik. Ez a kapcsolat
lehetsget ad arra, hogy az tlaggal analg vrhat rtk defincijt megadjuk:
AzXvalsznsgi vltoz vrhat rtke
nnxpxpxpXE +++= ...)( 2211 ,
ahol a valsznsgi vltoz eloszlsann
pxXp == )(
A vrhat rtk jelentse nem az, hogy ha pl. kockval dobunk, akkor 3,5-et fogunk dobni, hi-
szen ez meglehetsen furcsa lenne, hanem az, hogy elegenden sok ksrletet vgezve a kapott ad a-
tok tlaga a vrhat rtk krnykn lesz. Megellegeztk mr az tlag s a szrs kapcsolat ban az
adatok elhelyezkedst, s itt is lehetsget kapunk majd arra, hogy tippeljnk elre arra, hogy mi
lesz a kimenetele egy adott vletlen ksrletnek.
A vrhat rtk tulajdonsgai: HaE(X) ltezik, akkor ltezikE(cX) is, s )()( XcEcXE = , ahol ctetszleges lland
HaE(X) sE(Y) ltezik, akkorE(X+Y) is, s )()()( YEXEYXE +=+
Ha Xs Yfggetlen valsznsgi vltozk, s ltezik a vrhat rtkk, akkor ltezikE(XY)
is, s )()()( YEXEYXE =
A binomilis eloszls valsznsgi vltozk vrhat rtknek meghatrozsra hasznljuk fel
a vrhat rtk fent jelzett msodik tulajdonsgt!
p://www.doksi.hu
-
8/8/2019 Magyar Zsolt - Valsznsgszmtsi alapismeretek (2010, 17 oldal)
16/17
Vezessnk be egy gynevezett indiktor-vltozt, melynek rtke 1, ha az A esemny bekvet-
kezik, s 0, ha az A esemny nem kvetkezik be. Nyilvnval a defincibl, hogy az indiktor-
vltoz vrhat rtkep(A). Vizsgljuk most n szm fggetlen ksrletben azA esemny bekvet-
kezseinek szmt. Ez nyilvn binomilis eloszls valsznsgi vltozt jelent. Vezessnk be ndarab indiktor vltozt: ix rtke 0, ha az i-edik ksrletben azA esemny nem kvetkezett be, s
1, ha bekvetkezett. Nyilvnvalan az A esemny bekvetkezseinek szmt az indiktor vltozk
sszege jelenti, teht vrhat rtke az indiktor vltozk vrhat rtknek sszege, azaz )(Apn .
Ha teht egyp, nparamter binomilis eloszlst vizsglunk, akkor annak vrhat rtke np.
Annak mrsre, hogy a vrhat rtk mennyire j mrszm (akrcsak arra, hogy az tlag
mennyire j), tbbfle mdszer is vlaszthat. A ler statisztikhoz hasonlan nzzk vgig az ottmr definilt mrszmok megfelelit.
Az tlagos abszolt eltrsre adott kplet szerintn
XxXxXxn
~...
~~21
+++, ha az ix adat
ik -szer szerepel a felsoroltak kztt, akkor a fenti kplet az
n
kXxkXxkXxnl +++
~...
~~2211
alakot lti, aminek a valsznsgi vltozk esetn a
nlpXExpXExpXEx +++ )(...)()(
2211
rtk felel meg, ami nem ms, mint az )(XEX valsznsgi vltoz vrhat rtke. Ezt a
kifejezst a valsznsgi vltoz vrhat abszolt eltrsneknevezzk.
A ler statisztikban mr lthattuk, hogy a szrsnak nagyobb szerepe van az adathalmazok le-
rsban, ezrt az empirikus szrsngyzetre kapott
( ) ( ) ( ) ( )n
XxXxXxX n
22
2
2
12
~...
~~~ +++
=
kplet alapjn valsznsgi vltozk esetn a szrsngyzetet (a fenti gondolatmenethez hason-
lan) az ( )2)(XEX vrhat rtkeknt definilhatjuk, azaz
( ) ( ) ( ) ( ) nn pXExpXExpXExXD +++=2
22
212
12 )(...)()(
A valsznsgi vltoz szrsa a szrsngyzet ngyzetgyke, s formlisan isD(X)-szel jell-
jk.
A vrhat rtk alaptulajdonsgait felhasznlva a szrsngyzet a
p://www.doksi.hu
-
8/8/2019 Magyar Zsolt - Valsznsgszmtsi alapismeretek (2010, 17 oldal)
17/17
[ ] [ ]2222
2222
)()()()()(2)(
)()(2))(()(
XEXEXEXEXEXE
XEXEXXEXEXEXD
=+=
=+==
alakban rhat.
A szrsngyzet tulajdonsgai kzl bizonyts nlkl kzljk az albbit:
Ha X s Y fggetlen valsznsgi vltozk, akkor )()()( 222 YDXDYXD +=+ .
Ezt a tulajdonsgot felhasznlhatjuk a binomilis eloszls valsznsgi vltoz szrsnak
meghatrozsra. Hasznljuk a korbban bevezetett, fggetlen indiktor vltozkat. Ezek eloszlsa
pXp i == )1( , pXp i == 1)0( , gy ngyzetk eloszlsa pXp i == )1(2 , pXp
i == 1)0(2
ugyanez, teht vrhat rtkkp, ngyzetk vrhat rtkep. Ekkor viszont szrsngyzetk:
)1()()()(2222 ppppXEXEXD iii ===
Mivel a binomilis eloszls valsznsgi vltoz n db ilyen fggetlen indiktorvltoz ssze-
ge, ezrt a szrsngyzet emltett tulajdonsgt felhasznlva a binomilis eloszls valsznsgi
vltoz szrsngyzete: )1()(2 pnpXD = , ezrt a binomilis eloszls szrsa )1()( pnpXD =
A ler statisztikban hasznlt tbbi kzprtknek is keressk meg a valsznsgszmtsbeli
megfeleljt!
A mdusz azt mutatta meg, hogy melyik adat szerepel a legtbbszr az adathalmazban. Ennek itt
a legnagyobb valsznsg rtkfelel meg (az az rtk, amelyhez a legtbb elemi esemny tarto-
zik).
A medin az adatok felezje volt, teht az adatok fele nla kisebb, az adatok fele nla nagyobb.
Ennek az a krtk felel meg, melyre teljesl, hogy2
1)( =< kXp . Ha nincs ilyen rtk, akkor az
ezt legjobban teljest szmot tekintsk. Hasonlan az als s fels kvartilisnek azok az m illetve n
rtkek felelnek meg, melyekre4
1)( =< mXp illetve
4
3)( =< nXp .
p://www.doksi.hu