magnetska svojstva materijala -...
TRANSCRIPT
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Magnetska svojstva materijala« Fizika čvrstog stanja »
Ivo Batistić
Fizički odsjek, PMFSveučilište u Zagrebu
predavanja 2013/2014 (zadnja inačica 17. siječnja 2017.)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Pregled predavanja
Uvod
Hundova pravila
Magnetizacija i susceptibilnost
Atomski/molekularni magnetizam
Magnetizam vodljivih elektrona
Dugodosežno magnetsko uređenje
Međudjelovanje magnetskih momenata
Stonerov model feromagnetizma
Susceptibilnost u paramagnetskoj fazi
Uređeno magnetsko stanje
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Izvori magnetizma
Postoje dva moguća izvora magnetizma▶ Spin - čestice sa spinom ponašaju se kao magneti:
B⃗ =µ0
4π
3⃗r(⃗r · µ⃗)− r2µ⃗r5
Magnetski moment (µ⃗) povezan je sa spinom čestice (S⃗):
µ⃗ =qm S⃗ gdje su
{m masaq naboj
}▶ Gibanje naboja - ako se točkasti naboj giba po kružnoj petlji stvara
magnetsko polje, koje odgovara magnetskom dipolnom momentu:
µ = struja × površina =q
period× π r2 =
q2m zakretni moment =
q2m L
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Izvori magnetizma
▶ I zakretni moment i spin su kvantizirani. Kvadrati tih operatora:
S⃗2 = ℏ2s(s + 1) i L⃗2 = ℏ2l(l + 1)
gdje su l = 0, 1, 2, …, s = 0, 12 , 1, …
Obično se bira da treća komponenta spina i/ili zakretnog momentabude u smjeru magnetskog polja.
▶ Ako se nabijena čestica sa spinom kreće se po kružnoj petlji, tada jemagnetski moment:
µ⃗ =q2m (L⃗ + 2S⃗) = q
2m g J⃗
gdje je J⃗ = L⃗ + S⃗ ukupni zakretni moment, a
gL = 1 +j(j + 1) + s(s + 1)− l(l + 1)
2 j(j + 1)
Landéov žiromagnetski faktor.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Spin-orbitalno vezanje
▶ U nerelativističkoj QM ne postoji vezanje između spina i orbitalnoggibanja. Ako ne postoji magnetsko polje tada ne postoji vezanjeizmeđu spinskog operatora i realnog prostora. Spin može imati bilokoji smjer.
▶ U relativističkim jednadžbama (Diracova j. npr.) spin i orbitalnokretanje se ne mogu razdvojiti.
▶ U nerelativističkoj granici relativističke jednadžbe daju dodatni člankoji veže spinski i orbitalni moment čestice.
▶ U slučaju centralnog potencijala U(⃗r):
HSO =ℏ2
2m2c21
rdUdr l⃗ · s⃗
▶ Spin-orbitalno vezanje je važno kod atoma velikog atomskog broja Z.▶ Spin-orbitalno vezanje djeluje kao magnetsko polje koje razbija
spinsku degeneraciju.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Izvori magnetizmaMagnetski moment elektrona:
µ⃗e =q2m 2S⃗ ⇒ |µ⃗e| ≡ µB =
eℏ2m = 9.27400968 10−24J T−1
Bohrov magneton
Magnetski moment nukleona (proton, neutron) puno je manji od elek-tronskog zbog velike mase! Magnetska svojstva tvari dolaze od elektron-skog sustava. Doprinos jezgre može se zanemariti.
▶ Atomski/molekularni magnetizam lokaliziranih el. orbitala:• sasvim popunjene ljuske• djelomično popunjene ljuske
▶ Magnetizam delokaliziranih elektrona (metali):• Spin - Paulijev paramagnetizam• Orbitalno gibanje - Landauov dijamagnetizam
▶ Dugodosežna magnetska uređenja: feromagnetizam,antiferomagnetizam, …
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Hundova pravila
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Magnetizam atoma
Hundova empirijska pravila▶ Za danu elektronsku konfiguraciju energijski najpovoljnije stanje atoma je
ono s maksimalnim mogućim spinom. (pravilo popunjavanja sjedala uautobusu)
▶ Za danu elektronsku konfiguraciju energijski najpovoljnije stanje atoma jeono s maksimalnim mogućim zakretnim momentom.
▶ Za podljusku do pola napunjenu najpovoljnije je stanje minimalnogukupnog momenta (|⃗J| = |L − S|), a za podljusku više od pola popunjenunajpovoljnije je stanje maksimalnog ukupnog momenta |⃗J| = L + S.
⇒▶ Sasvim napunjene ljuske imaju ukupni zakreni moment jednak nuli.
Magnetski moment je jednak nuli.▶ Djelomično napunjene ljuske imaju ukupni zakreni moment različit od
nule pa je magnetski moment različit od nule.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Hundova empirijska pravila
▶ Fizikalni razlog za 1. pravilo je da elektroni u jednostrukopopunjenim stanjima su slabije zasjenjeni od potencijala jezgre.Efekt jezgrinog potencijala je veći, pa je i energija takvog stanjapovoljnija (niža).
▶ Fizikalni razlog za 2. pravilo je kulonsko međudjelovanje. Česticerazličitog zakretnog momenta imaju drugačije valne funkcije pa segibaju u različitim dijelovima prostora minimizirajući efekt kulonskogodbijanja.
▶ Fizikalni razlog za 3. pravilo je spin-orbitalno vezanje koje mijenjapredznak kod pola popunjene ljuske.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Susceptibilnost
Hundova pravila primijenjena na prijelazne metale i rijetke zemlje.n je broj elektrona u d- ili f-ljusci.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Magnetizacija i susceptibilnost
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Magnetska susceptibilnost
Maxwellova jednadžba u sredstvu:
B⃗ = µ0 (H⃗ + M⃗)
M⃗ je magnetizacija - gustoća magnetskih momenata. µ0 je magnetskakonstanta 4π 10−7 N A−2.
Ako ne postoji dugodosežno magnetsko uređenje, magnetizacija jeproporcionalna magnetskom polju:
µ0M⃗ = χ B⃗ (izotropna sredina)
Veličina χ naziva se magnetska susceptibilnost. U anizotropnimsredstvu, χij je tenzor.
U sredini u kojoj postoji spontano dugodosežno uređenje,magnetizacija je različita od nule i za H⃗ = 0.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Magnetska susceptibilnost
Magnetska susceptibilnost može biti pozitivna i negativna:
χ > 0 paramagnetizamχ < 0 dijamagnetizamχ = −1 idealni dijamagnetizam
paramagnetizam dijamagnetizam idealni dijamagnetizam
U slučaju paramagnetizma, magnetsko polje B⃗ u materijalu je pojačano, uslučaju dijamagnetizma, magnetsko polje B⃗ u materijalu je reducirano, odnosnou idealnom dijamagnetu ga opće nema.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Susceptibilnost
Susceptibilnost prvih 60 elemenata.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Atomski/molekularni magnetizam
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Magnetizam zatvorenih ljuski
Operator kinetičke energije u konstantnom polju u z-smjeru:
T =1
2m∑
i
(p⃗i + e A⃗(⃗ri)
)2
=1
2m∑
i
(p⃗i −
e2
r⃗i × B⃗)2
= T0 + µB⃗l · B⃗ +e28m B2
∑i(x2i + y2i )
S⃗ = ℏ⃗sL⃗ = ℏ⃗lJ⃗ = ℏ⃗j
Hamiltonijan smetnje zbog magnetskog polja sa spinskim dijelom:
Hint = µB(⃗l + 2⃗s) · B⃗ +e28m B2
∑i(x2i + y2i )
= µBgL j⃗ · B⃗ +e28m B2
∑i(x2i + y2i )
U sasvim popunjenim ljuskama ⟨0|⃗J|0⟩ = 0. ⇒U prvom redu računa smetnje doprinosi samo drugi član.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Magnetizam zatvorenih ljuskiEnergija osnovnog stanja zbog magnetskog polja:
∆E =e28m B2⟨0|
∑i(x2i + y2i )|0⟩
=e212m B2⟨0|
∑i(x2i + y2i + z2i )|0⟩ =
e212m B2⟨0|
∑i
r2i |0⟩
=Ze212m ⟨r2⟩ · B2
Susceptibilnost:
χ = −Nµ0∂2∆E∂B2
= −ZN e2µ0
6m ⟨r2⟩
▶ Susceptibilnost je negativna▶ Naziva se Langevinov (ili Larmorov) dijamagnetizam.▶ Pojavljuje je kod plemenitih plinova, pozitivnih ili negativnih iona s
popunjenom ljuskom, ili kao doprinos dubokih stanja u atomima.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Magnetizam zatvorenih ljuski
Z Element -χd
9 F−1 9.417 Cl−1 24.235 Br−1 34.553 I−1 50.6
Z Element -χd2 He 1.9
10 Ne 7.218 Ar 19.436 Kr 28.054 Xe 43.0
Z Element -χd3 Li+1 0.7
11 Na+1 6.119 K+1 14.637 Rb+1 22.055 Cs+1 35.1
Magnetska susceptibilnost χ (u jedinicama 10−11 m3mol−1), od atoma iiona sa sasvim popunjenom ljuskom.
▶ Atomi i ioni većeg atomskog broja imaju veću po iznosususceptibilnost.
▶ Atomi i ioni veće dimenzije imaju veću po iznosu susceptibilnost.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Magnetizam atoma s djelomično popunjenom ljuskom
Atomi s djelomičnom popunjenom ljuskom imaju konačni zakretnimoment J⃗, pa se ponašaju kao mali magnetski dipoli.
▶ U odsustvu magnetskog polja magnetski momenti su nasumičnoorijentirani. Ukupna magnetizacija jednaka nuli.
▶ U prisustvu magnetskog polja, energijski povoljniji je smjer uzdužmagnetskog polja pa u to smjeru ima veći broj magnetskih dipola.Raspodjela po smjerovima dana je Boltzmannovom raspodjelom:
Ni =e−
EikBT∑
ie−
EikBT
Ei je energija međudjelovanja magnetskog dipola s magnetskimpoljem:
Ei = µ⃗ · B⃗ = −µBgLJi B = −µi BJi je z-komponenta zakretnog momenta J⃗ paralelna s B⃗.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Magnetizam atoma s djelomično popunjenom ljuskom
Srednja vrijednost magnetskog momenta u smjeru magnetskog polja:
⟨µ⟩ =
∑iµBgLJi e−
EikBT
∑i
e−Ei
kBT=
∑iµi eβµiB
∑i
eβµiB= kBT ∂
∂B ln[∑
ieβµiB
]
Magnetizacija je (N je koncentracija čestica):
M = N⟨µ⟩ = NkBT ∂
∂B ln[∑
ieβµiB
]
= − ∂
∂B
−kBT ln[∑
ieβµiB
]N = − ∂F
∂B (F je slobodna energija)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Magnetizam atoma s djelomično popunjenom ljuskom
Ako je J = 12 , tada je:
µ0 M =µ0
2NµBgL tanh
[1
2βµBgLB
]≈ Nµ0µ
2Bg2L
4kBT B =CT B
Temperaturno ponašanje magnetske susceptibilnosti:
χ =CT
poznato kao Curieov zakon. Veličina:
C =Nµ0µ
2Bg2L
4kB
poznata je kao je Curieova konstanta.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Magnetizam atoma s djelomično popunjenom ljuskom
Curieov se zakon dobiva i za ostale vrijednosti ukupnog zakretnogmomenta J. Magnetizacija je:
µ0 M = Nµ0µBgL jBj (βµBgL jB ) ≈ Nµ0µ2Bg2L j(j + 1)
3kBT B =CT B
gdje je:
Bj(x) =2j + 1
2j coth(2j + 1
2j x)− 1
2j coth(1
2j x)
Brillouinova funkcija.
Mjerenjem Curieove konstante moguće je ocijeniti ukupni zakretni mo-ment (ili spin) atoma.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Magnetizam atoma s djelomično popunjenom ljuskom
Element El.struk. pcalc pexpLa 4f 0 0.00 dijamag.Ce 4f 1 2.54 2.4Pr 4f 2 3.58 3.5Nd 4f 3 3.62 3.5Sm 4f 5 0.84 1.5Eu 4f 6 0.00 3.4Gd 4f 7 7.94 8.0
…Tm 4f 12 7.57 7.3Yb 4f 13 4.54 4.5Lu 4f 14 0.00 dijamag.
Efektivni broj Bohrovih mag-netona za skupinu elemenatarijetke zemlje.
Efektivni broj Bohrovih magnetona, p, se izračunava:
χ =1
3
Nµ0µ2Bp2
kBT ⇒ p = gL√
j(j + 1)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Magnetizam atoma s djelomično popunjenom ljuskom
Curieov zakon se pojavljuje:▶ Izolatorskim materijalima s nepopunjenom ljuskom (neparni broj
elektrona po atomu)▶ Prijelazni metali▶ Rijetke zemlje (Lantanidi)▶ Aktinidi▶ Materijali s magnetskim nečistoćama
Na nekoj tipičnoj temperaturi (300 K) Curieova susceptibilnost je punoveća od dijamagnetske:
|χd|χC
=kBT
3m e48ϵ20 h2
· Z⟨r2⟩a2B
≈ 0.02,
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Magnetizam vodljivih elektrona
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Paulijeva susceptibilnost▶ Magnetizam vodljivih elektrona dolazi od njihovog spina (Paulijeva
susceptibilnost) te od njihovog orbitalnog gibanja (Landauovasusceptibilnost).
▶ U prisustvu magnetskog polja potrebno je posebno razmatratielektrona različitih spinskih orijentacija. Njihove energije su spinskiovisne:
E±(⃗k) =ℏ2k⃗22m ∓ µB B
Gustoće stanja elektrona različitih spinova
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Paulijeva susceptibilnost
▶ Budući da kemijski potencijal (Fermijeva razina) treba biti ista zasve elektrone, doći će do prelijevanja elektrona sa spinomantiparalelnim magnetskom polju u elektrone paralelnog spina.
▶ Razlika u koncentraciji paralelnih i antiparalelnih spinova dat ćeiznos magnetizacije.
N↑ =
eF∫−µBB
de 0.5 g(e + µBB) =eF+µBB∫
0
de 0.5 g(e)
N↓ =
eF∫+µBB
de 0.5 g(e − µBB) =eF−µBB∫
0
de 0.5 g(e)
Magnetizacija:
M = µB(N↑ − N↓) = µB
eF+µBB∫eF−µBB
de 0.5 g(e) ≈ µ2Bg(eF) B
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Paulijeva susceptibilnost
Magnetska susceptibilnost
χP = µ0µ2Bg(eF)
je poznata kao Paulijeva. To je samo spinski doprinos elektronskojsusceptibilnosti.
Paulijeva susceptibilnost je puno manja od tipične Curieovesusceptibilnosti.
χPauliχatomska
≈ kBTeF
≈ 0.03
za T = 300 K i eF ∼ 1 eV.
Izolirane magnetske nečistoće u metalu koje imaju Curieovususceptibilnost mogu na zasjeniti doprinos od vodljivih elektrona.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Paulijeva susceptibilnost
Metal rs (aB) 106 χteor 106 χexpLi 3.25 0.80 2.0Na 3.93 0.66 1.1K 4.86 0.53 0.8Rb 5.20 0.50 0.8Cs 5.62 0.46 0.8
Paulijeva susceptibilnost - usporedba izmjerenih vrijednosti s teorijskimpredviđanjima. Velika razlika je zbog zanemarivanja kulonskogmeđudjelovanja.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Landauova susceptibilnost (zbog gibanja el. u mag. polju)Schrödingerova jednadžba za česticu u magnetskom polju:
1
2m(
p⃗ + eA⃗)2
ψ = E ψ
Pretpostavljamo da je magnetsko polje konstantno i uzduž z-osi.Pripadni vektorski potencijal:
A⃗ = (0,B x, 0) (moguć je i drugi izbor!)
Tada je gibanje čestice opisano jednadžbom:[− ℏ2
2md2
dx2 − ℏ2
2m
(ddy + ı
e Bℏ
x)2
− ℏ2
2md2
dz2
]ψ = E ψ
čije rješenje tražimo u obliku:ψ(x, y, z) = eı(kyy+kzz) ψ(x)
Dio valne funkcije za x-smjer zadovoljava jednadžbu 1d harmoničkogoscilatora:[
− ℏ2
2md2
dx2 +mω2
c2
(x + ℏkye B )2
]ψ =
(E − ℏ2k2z
2m
)ψ
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Landauova susceptibilnostStoga su energijska stanja elektronskog plina u magnetskom polju:
En,kz = ℏωc(n +1
2) +
ℏ2k2z2m
pri čemu postoji degeneracija Landauovih razina:
L2
2π
mℏ2
ℏωc
=Lx∆x0
=Lx
ℏ∆kye B
=LxLy
he B
Zbrajanje po kvantnim stanjima:∑kv.stanja
=L2
(2π)
mℏ2
ℏωc∑
n
L(2π)
∫dkz
=L3
(2π)2e Bℏ
∑n
∫dE 2
√2m2ℏ
(E − ℏωc(n +
1
2)
)−1/2
⇒g(E) =
e B√2m
(2πℏ)2∑
n
(E − ℏωc(n +
1
2)
)−1/2
· θ(
E − ℏωc(n +1
2)
)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Landauova susceptibilnost
Gustoća stanja elektronskog plina u magnetskom polju.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Landauova susceptibilnost
Popunjena kvantna stanja u mag-netskom polju.Fermijeva kugla se rascijepila na nizcilindara koji predstavljaju Landa-uova energijska stanja.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Landauova susceptibilnost
Ukupna energija elektronskog plina u magnetskom polju:
Euk = V (2m)3/2
2π2ℏ3ℏωc2
∑n
∫dE E√
E − ℏωc(n + 12 )
≈ N3
5eF − V
24π2(eB)2 kF
m (za mala mag. polja)
odavde slijedi da je:
χL = −1
3µ0µ
2B g(eF)
Ukupna susceptibilnost slobodnih elektrona:
χ = µ0µ2Bg(eF)
[1− 1
3
( mm⋆
)2]
pri čemu je uzeto u obzir da elektroni prilikom gibanja imaju efektivnumasu m⋆.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Landauova susceptibilnost
▶ U Landauovu susceptibilnost ulazi efektivna masa jer je ona rezultatgibanja elektrona u periodičnom potencijalu.
▶ Ukupna susceptibilnost je reducirana.
▶ U materijalima u kojima je efektivna masa mala, Landauov članmože nadvladati Paulijev, pa materijal može biti dijamagnetičan (Bi,binarni poluvodiči AIIIBV,…). U većini metala susceptibilnost jeparamagnetska.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Hofstadterov leptir
Energijski spektar (Landauoverazine) u 2d modelu čvrste vezekao funkcija toka magnetskogpolja, Φ, kroz jediničnu ćeliju.Iz rada D.R. Hofstadter,Phys.Rev. B 14, 2239 (1976).
Dobiveno rješavanjem TB Schrödingerove jednadžbe:
−2t[ψn+1,m + ψn−1,m + e+ı2πn Φ
Φ0 ψn,m+1 + e−ı2πn ΦΦ0 ψn,m−1
]= Eψn,m
gdje su tok magnetskog polja i kvant toka magnetskog polja:
Φ = a2B Φ0 =he a je konstanta rešetke
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Dugodosežno magnetsko uređenje
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Dugodosežno magnetsko uređenje
▶ Međudjelovanje između magnetskih momenata atoma/iona dovodido uspostavljanja dogodosežnog magnetskog uređenja. Dugodosežnomagnetsko uređenje možemo zvati magnetska rešetka.
▶ Postoji više vrsta magnetskih rešetki:• Feromagnetsko uređenje• Antiferomagnetsko uređenje• Ferimagnetsko uređenje• Spiralno uređenje
▶ Spin-orbitalno vezanje fiksira usmjerenje spinskih momenata.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Feromagnetizam
Element TC Curiejeva T µ (µB)Fe 1043 1101 2.226Co 1388 1415 1.715Ni 627 650 0.619
Različite moguće vrste feromatnetskih rešetki u kubnoj rešetci.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Antiferomagnetizam
Različiti antiferomagnetski materijaliTvar TN (K)Cr 311Dy 178Sm 106Mn 100Nd 19.2
Tvar TN (K)NiO 515CoO 291CuO 230FeO 185MnO 118
Tvar TN (K)MnPt 975α-Fe2O3 948FeS 593Mn3Pt 485Cr2O3 318
Različite moguće antiferomagnetske strukture u kubnoj rešetci.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Spiralne magnetske strukture
Postoje magnetski materijali kojima magnetizacija nije uzduž samojednog pravca. Unutar magnetske jedinične ćelije spinovi mogu spiralnomijenjati smjer.
Posuđeno sa web-adrese:http://www.nature.com/srep/2011/111013/srep00117/full/srep00117.html
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Ferimagnetsko uređenje
Tvar TC (K)Fe3O4 860CoFe2O4 790NiFe2O4 850
Tvar TC (K)Y3Fe5O12 550Gd3Fe5O12 560(Y,Gd)3Fe5O12 520
U ferimagnetskom uređenju postoje dvije ili više magnetskih podrešetkikoje imaju različite magnetizacije istog smjera. Postoji netto (prosječna)magnetizacija.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Dugodosežno uređenje
▶ Dugodosežno uređenje se pojavljuje na temperaturama manjim odneke kritične temperature (TC).
▶ Na temperaturama iznad kritične materijal je paramagnet.Magnetska susceptibilnost slijedi modificirani Curieov(Curie-Weissov) zakon.
▶ Dugodosežno uređenje opisuje se parametrom uređenja. Zaferomagnete parametar uređenja je magnetizacija.
Tipično temperaturno ponašanje magnetizacije u feromagnetima:
M =
{0 za T > TCc(TC − T)β za T < TC
gdje je β = 0.5 u aproksimaciji srednjeg polja. Slično ponašanje imaparametar uređenja i u ostalim magnetskim uređenjima.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Feromagnetizam u niklu
Magnetizacija u niklu kaofunkcija temperature. Puna li-nija predstavlja teorijsko pre-dviđanje (aproksimacija sred-njeg polja i Landauova te-orija), a kružići su izmjereneveličine. Iz rada P. Weiss iR. Forrer, Ann.Phys. (Paris)5 (1926) 153.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Međudjelovanje magnetskih momenata
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Međudjelovanje između magnetskih momenata
Dugodosežno magnetsko uređenje je posljedica međudjelovanjamagnetskih momenata. Najčešće se radi o međudjelovanju samosusjednih atoma/iona. Općenito jačina međudjelovanja opada sudaljenošću.Magnetsko međudjelovanje opisuje se Heisenbergovim hamiltonijanom:
H = −J s⃗1 · s⃗2
koje u poopćenoj formi može biti i anizotropno:
H = −(Jxs1xs2x + Jys1ys2y + Jzs1zs2z)
▶ Izotropni Heisenbergov hamiltonijan nema preferirani prostorni smjer.▶ Ako je J > 0 spinovi se uređuju paralelno (feromagnetizam),
odnosno ako je J < 0 spinovi se uređuju antiparalelno.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Međudjelovanje između magnetskih momenata
Postoji više mogućih mehanizama koji dovode do magnetskogmeđudjelovanja:
▶ Međudjelovanje putem magnetskog polja▶ Direktna izmjena (slučaj H2 molekule)▶ Indirektna izmjena u metalima (kroz zasjenjenje magnetske
nečistoće)▶ Kinetička izmjena▶ Superizmjena▶ Dvostruka izmjena▶ …ostalo …
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Međudjelovanje putem magnetskog polja
Magnetsko međudjelovanje dvaju dipola:
Hmag = −µ0
4π
3(⃗r · µ⃗1)(⃗r · µ⃗2)− r2µ⃗1 · µ⃗2
r5
Gruba procjena energije međudjelovanja:
Emag ≈ µ0
4π
µ2B
a3 ∼ 1 meV ∼ 10 K
Temperatura uređivanja feromagneta i antiferomagneta često je punoveća od 10K. Magnetsko međudjelovanje ne može objasniti(anti)feromagnetizam.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Kulonsko međudjelovanje i direktna izmjeneKod rješavanja problema molekule H2 vidjeli smo da je singletno stanjeniže energije od tripletnog, te da se energija općenito može prikazati uformi Heisenbergovog hamiltonijana:
EH2= 2E0 +
QHL − JHL S2
1− S4︸ ︷︷ ︸∼konst.
− 2JHL − QHL S2
1− S4︸ ︷︷ ︸=Jspin
(⃗s1 · s⃗2 +
1
4
)
Ovisnost spinskog međudjelo-vanja o udaljenosti vodikovihatoma u molekuli H2.
U molekuli H2 J je negati-van i preferira antiferomagnet-sko uređenje tj. singletno sta-nje.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Posredna izmjena u metalima - RKKY vezanje
Zasjenjenje magnetske nečistoće u metalu, slično zasjenjenju nabijenenečistoće, na većim udaljenostima nije potpuno, nego postoje2kF-oscilacije u magnetskoj gustoći koje opadaju s udaljenošću kao r−3.To je posljedica Fermi-Diracove funkcije raspodjele koja ima skok naFermijevoj energiji.
Magnetske nečistoća međudjeluje kontaktno sa magnetskom gustoći kojuje stvorila neka druga magnetska nečistoća. Energija međudjelovanja:
Heff = −J(|R⃗1 − R⃗2|) s⃗1 · s⃗2gdje je:
J(r) ∼ (2kFr) cos(2kFr)− sin(2kFr)(2kFr)4
Ovo je poznato kao Ruderman-Kittel-Kasuya-Yosida (RKKY)međudjelovanje.
M.A. Ruderman i C. Kittel, Phys.Rev. 96 (1954) 99T. Kasuya, Prog. Theor. Phys. 16 (1956) 45
K. Yosida, Phys. Rev. 106 (1957) 893
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Kinetička izmjenaU Mottovom izolatoru (polapopunjena vrpca s velikim odbojnim
↑ ↓↑↓
↑↓↓ ↑
E0
E0 + UE0
međudjelovanjem na čvorištu), dvasusjedna spina mogu zamijenitimjesta kroz međustanje visokeenergije - dvostruko popunjenočvorište.
Amplitudu vjerojatnosti za prelazak iz početnog u konačno stanje mogućeje izračunati računom smetnje:
⟨fin|Heff|init⟩ =∑
n
⟨fin|H|n⟩⟨n|H|init⟩Einit − En
= −2t2U
Energija cijepanja između singletnog i tripletnog stanja je:
∆E =4t2U = J
što je ujedno i energija magnetskog međudjelovanja spinova susjednihčvorišta.Niskoenergijski spektar pobuđenja Hubbardovog hamiltonijana zapolapopunjenu vrpcu s velikim U čine spinska pobuđenja.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Superizmjena
H.A. Kramers (1934) predložio je mehanizam međudjelovanja prostornoudaljenih magnetskih momenata (nema prekrivanja valnih funkcija).
Mehanizam je detaljno opisan u radovima P.W. Andersona:P.W. Anderson, Phys. Rev. 79 (1950) 350P.W. Anderson, Phys. Rev. 115 (1959) 2
Ne postoji jedinstveni mehanizam međudjelovanja magnetskihatoma/iona!
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Stonerov model feromagnetizma(itinerantni magnetizam)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Stonerov model feromagnetizmaE.C. Stoner predložio model pojave feromagnetizma prikladan za metale ukojima su elektroni delokalizirani:
E.C. Stoner, Proc.R.Soc. A 154 (1936) 656E.C. Stoner, Proc.R.Soc. A 165 (1938) 372E.C. Stoner, Proc.R.Soc. A 169 (1939) 339
U Stonerovom modelu elektroni metala osjećaju dodatno lokalno magnetskopolje proporcionalnom magnetizaciji. Dodatno polje je rezultat elektronskogmeđudjelovanja (član izmjene):
BStoner =ISµ2
BM
Stoga je magnetizacija:
µ0M = χ0 (B + BStoner) = χ0
(B +
ISµ2
BM)
odnosno:µ0M =
χ0
1− ISµ0µ2
Bχ0
· B =χP
1− IS · g(EF)· B
gdje je χ0 susceptibilnost slobodnih elektrona, npr. Paulijeva: χp = µ0µ2B g(EF).
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Stonerov model feromagnetizmaSusceptibilnost metala:
χ =χP
1− IS · g(EF)
je pojačana za faktor u nazivniku (Stonerovo pojačanje) koji je manji od 1.Do spontane pojave feromagnetizma dolazi ako je:
IS · g(EF) > 1
Element g(EF) [Ry−1] IS [mRy]Na 3.1 134K 4.9 98Cu 2 54Ag 1.8 60Fe 21 68Co 15 72Ni 27 74
Eksperimentalne vrijednostigustoće stanje i Stonerovogparametra IS. Stonerov pa-rametar se slabo mijenja odmetala do metala. Međutimvrijednosti gustoće stanjana Fermijevom nivou jakoosciliraju.
Gustoća stanja je izuzetno velika u metalima u kojima postoji feromagnetskouređenje (Fe,Co,Ni).
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Susceptibilnost u paramagnetskoj fazi
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Susceptibilnost feromagnetaU aproksimaciji srednjeg polja na lokalni spin susjedni spinovi djeluju kaoefektivno magnetsko polje:
H = −J∑<i,j>
s⃗i · s⃗j −→ −∑
is⃗i · J ⟨
∑j=susjedni
s⃗j⟩+ konst.
= −∑
iµ⃗i · B⃗i + konst.
Efektivno magnetsko polje je:
B⃗i =JµB
⟨∑
j=susjednis⃗j⟩ =
zJµB
⟨⃗s⟩ (z je broj susjednih spinova)
Ako u paramagnetskoj fazi (T > TC) djeluje vanjsko polje magnetizacijaje:
µ0M = χ(T)(
B +zJµB
⟨s⟩)
⇒
µ0NµB⟨s⟩ =Nµ0µ
2Bp2
3kBT
(B +
zJµB
⟨s⟩)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Susceptibilnost feromagneta
⇒ µ0M =C
T − TC︸ ︷︷ ︸=χ
B
i gdje jeTC =
zJp2
3kB
temperatura feromagnetskog uređenja u aproksimaciji srednjeg polja.
Susceptibilnost divergira na temperaturi prijelaza:
χ(T) = C (T − TC)−γ gdje je γ = 1
Ovo ponašanje susceptibilnosti poznato je kao Curie-Weissov zakon.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Magnetska susceptibilnost nikla
Recipročna vrijednost magnet-ske susceptibilnosti nikla upodručju oko feromagnetskoguređenja na T = 358oC. Crt-kana linija je ekstrapolacijasusceptibilnosti iz područja vi-sokih temperatura. Iz rada P.Weiss i R. Forrer, Ann.Phys.(Paris) 5 (1926) 153.
Temperatura pravog faznog prijelaza je nešto manja od one koje predviđateorija srednjeg polja odnosno Landauova teorija. To se može pripisatifluktuacijama magnetizacije u području oko faznog prijelaza.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Susceptibilnost antiferomagneta
↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓
↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑
▶ U antiferomagnetu postoje dvije isprepletene magnetske podrešetkesuprotno orijentiranih magnetizacija.
▶ Svaki čvor se nalazi u efektivnom magnetskom polju koje stvarajučvorišta druge podrešetke. Polje ima suprotan smijeh od onog uferomagnetima jer je magnetsko vezanje J negativno.
U aproksimaciji srednjeg polja:
µ0µB< s↑ > =µ0µ
2Bp2
3kBT
(B +
zJµB
< s↓ >
)=
µ0µ2Bp2
3kBT
(B − z|J|
µB< s↓ >
)µ0µB< s↓ > =
µ0µ2Bp2
3kBT
(B − z|J|
µB< s↑ >
)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Susceptibilnost antiferomagneta
⇒ µ0
{µBN< s↑ >+< s↓ >
2
}= µ0M =
CT + TN︸ ︷︷ ︸
=χ
B
i gdje jeTN =
zJp2
3kB
tz. Néelova temperatura ili temperatura antiferomagnetskog uređenja.
Susceptibilnost ne divergira nego mijenja temperaturno ponašanje natemperaturi TN.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Susceptibilnost antiferomagneta
Skica ponašanja antiferomagnet-ske susceptibilnosti.
Eksperimentalni rezultat posuđeniz rada: C. Gros et al., 2002Europhys. Lett. 60 (2002) 276.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Nobelova nagrada 1970.
Hannes Olof Gösta Alfvén Louis Eugène Félix Néel
Alfvén je nagrađen za otkrića koja je napravio u magnetohidrodinamici i plazmafizici dok je Néel nagrađen za otkrića koja se tiču antiferomagnetizma iferimagnetizma.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Uređeno magnetsko stanje
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Je li svaki komad željeza magnet?
▶ Feromagneti (i ostale uređenestrukture) imaju domenskustrukturu.
▶ Domenska struktura uferomagnetima reducira ili sasvimponišti magnetsko polje izvanmaterijala.
▶ Struktura domena nije jedinstvena iovisi od tretmanu uzorka.Magnetizacija kao funkcijamagnetskog polja ima histerezu.
▶ Tipične linearne dimenzije domenasu 10−5-10−4m.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Histereza
Ilustracija histereze.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Magnonska pobuđenja
▶ Kao što postoje fononska pobuđenja kristalne strukture tako postojepobuđenja magnetske strukture (T < TC ili TN).
▶ Pobuđenja magnetske strukture zovemo magnonima.▶ Radi se o malim delokaliziranim oscilacijama magnetizacije,
bozonskog tipa, oko idealne magnetske strukture.▶ Magnoni doprinose niskotemperaturnom toplinskom kapacitetu.
Frekvencija magnona u feromagnetu:
ωk⃗ ∼ Ja2 |⃗k|2 ⇒ CV ∼ T 32
U antiferomagnetu je ωk⃗ ∼ Ja|⃗k|!
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Magnonska pobuđenja u feromagnetima
Energija magnonska pobuđenja u željezu (lijevo)i kobaltu (desno). Iz rada G. Shirane, V.J.Minkiewicz i R. Nathans, J.Appl.Phys. 39 (1968)383.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Magnonska pobuđenja u antiferomagnetima
Energija magnonska pobuđenjau 1d antiferomagnetu CuCl22N(C5D5). Iz radaY Endoh et al., Phys.Rev.Lett.4 (1974) 170.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Topološka pobuđenja - skirmioni
Topološka pobuđenja u spiralnom magnetskom materijalu Fe0.5Co0.5Si. Gornji red su rezultatiMonte Carlo simulacija, a donji su eksperimentalna opazanja.Posuđeno iz rada X.Z. Yu et al. Nature 465 (2010) 901