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IndependênciaCálculo de probabilidades

Mac5796. Aula 5

Walter Mascarenhas

01/04/2011

Walter Mascarenhas Mac5796. Aula 5


Resumo

1 Independência

2 Cálculo de probabilidades



A aula passada:

Passeios aleatórios (preços, volumes e tempo de chegadas deofertas, por exemplo).

Simulação. Geração de números aleatórios.

Independência.



A aula de hoje:

Usando a independência para definir um modelos para os passeiosaleatórios.

Extraindo informações destes modelos.



Palestra no dia 08/01:

A aula do dia 08/01 será dada pelo professor Yurii Suhov daUniversidade de Cambridge, Inglaterra.

O prof. Suhov é russo (“neto” do Kolmogorov) e, além do mundoacadêmico, já trabalhou em hedge funds em Londres e Moscou. Elenos falará sobre suas experiências e idéias em negociação eletrônica.

Não percam!!!



A Independência dos incrementos é a hipótese que leva aosmodelos mais simples para os passeios aleatórios .

Dado um espaço de probabilidade (Ω,A,P), dizemos que doiseventos A,B ∈ A são independentes se

P(A∩B) = P(A)P(B) .

Exemplo?



A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K♥ A♥ 2♥ 3♥ Q♥ 5♥ 6♥ 7♥ 8♥ 8♥ 10♥ J♥ Q♥ K♥♦ A♦ 2♦ 3♦ 4♦ 5♦ 6♦ 7♦ 8♦ 9♦ 10♦ J♦ Q♦ K♦♣ A♣ 2♣ 3♣ 4♣ 5♣ 6♣ 7♣ 8♣ 9♣ 10♣ J♣ Q♣ K♣♠ A♠ 2♠ 3♠ 4♠ 5♠ 6♠ 7♠ 8♠ 9♠ 10♠ J♠ Q♠ K♠

Ao tirar um carta, o evento A é independente do evento ♣:

P(A∩♣) =152

=113× 1

4= P(A)P(♣) .

Ao tirarmos duas cartas (sem reposição), o eventoP = {K na primeira carta } reduz a probabilidade do eventoS = {K na segunda carta }:

P(S ∩P)

P(P)=

4/52×3/514/52

=351

<452

= P(S) .

Portanto os eventos P e S são dependentes.



O exemplo das cartas é meio universal: O baralho é o produtocartesiano dos conjuntos X = {A,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K } eY = {♦,♥,♣,♠} ou seja cada carta é um par (x ,y) com x ∈ X ey ∈ Y . Ao assumirmos que as escolhas de x e y são independentespodemos definir uma probabilidade em X ×Y a partir deprobabilidades em X e Y .

É exatamente isto que fazemos para definir áreas no plano (A áreade um retângulo é o produto dos lados) ou volumes no espaço (Ovolume de uma paralelepípedo é o produto dos lados.)

Resumindo: a independência das coordenadas (x ,y) faz faz comque, para A ∈ X e B ⊂ Y , a P(A×B) = P(A)×P(B).



Independência leva à regra do produto para interseções:

Se os eventos A1,A2, . . . ,An são tais que cada Ak é independenteda intersecção dos anteriores então

P

(n∩

k=1

Ak

)=

n

∏k=1

P(Ak). (1)

Demonstração por indução: A equação é claramente para n = 1 e

n > 1⇒ P

(n∩

k=1

Ak

)= P

((n−1∩k=1

Ak

)∩An

)=

(n−1

∏k=1

P(Ak))

P(An) =n

∏k=1

P(Ak).



Corolário:

Se os eventos A1,A2, . . . ,An são tais que cada Ak é independenteda σ -álgebra gerada pelos demais então

P

(n∩

k=1

Ak

)=

n

∏k=1

P(Ak). (2)



Hipótese para continuar a trabalhar com os preços:

Informal: O incremento do preço em um passo dado não éinfluenciado pelos incrementos nos demais passos.

Formal: o evento {ωk = 1} é independente da σ -álgebra geradapelos eventos {ωj = 1} para k ∕= j .

Note porém que a informação que o preço era alto no passo k nosindica que ele será alto por pelo menos mais alguns passos. Ouseja, os preços são dependentes.



A regra do produto mostra que se os incrementos nos preços sãoindependentes e ω = {ω1, . . . ,ωN } então

{ω }=N∩

k=1

{ωk = ωk }

e

P(ω) =N

∏k=1

P(ωk = ωk) =n

∏k=1

{p se ω = 1

q se ω =−1

}= puN(ω)qN−uN(ω)

(3)onde

un(ω) = numero de k ′s ≤ n com ωk = 1.



A fórmulaP(ω) = puN(ω)qN−uN(ω) (4)

também pode ser interpretada em termos de produtos cartesianos:Ω = ∏

Nk=1 {−1,1} e

{ω }=N

∏k=1{ωk = ωk }

Como

P(ωk = ωk) =

{p se ωk = 1q se ωk = 0

a fórmula (4) segue da fórmula para a probabilidade em produtoscartesianos com coordenadas independentes.



-

6

q

(n,v)v

n@@@@�

�@@��@

@��@@��

��@

@��@

@��@

@��@@@@



Calculando a probabilidade de

Sn,v = {ω ∈ Ω tal que pn(ω) = p0 + εv }.

Note que ω ∈ Sn,v se e somente se ∑nk=1 ωk = v e isto é

equivalente aun(ω)− (n−un(ω)) = v

(subidas - descidas = v).

Ou seja

ω ∈ Sn,v ⇐⇒ un(ω) =n + v2

.



Logoω ∈ ω ∈ Sn,v ⇒ P(ω) = p

n+v2 q

n−v2 .

Portanto todos elementos de Sn,v tem a mesma probabilidade.

O número de elementos de Sn,v é igual a(n

n+v2

)se n + v for par ou 0 caso contrario,

pois para cada modo de escolher (n + v)/2 uns dentre npossibilidades obtemos um elemento de Sn,v .



Portanto

P(Sn,v ) =

(n

n+v2

)p

n+v2 q

n−v2

com a convenção(nk

)= 0 se k nao for um inteiro nao negativo.



Mostrando que o número de maneiras de distribuir k objetosidênticos em n caixas é(

nk

)=

n!

k! (n−k)!=

n (n−1) . . .(n−k +1)

k!.



Primeiro passo: suponha que os objetos são distintos. Neste casotemos n opções para posicionar o primeiro, n−1 para posicionar osegundo etc.

Pela regra de contagem do produto temos

n (n−1) . . .(n−k +1)

modos de posicionar k objetos distintos em n caixas.

1 – A B2 – B A Os 6 = 3×2 modos3 A B – de posicionar A e B4 A – B em três caixas5 B A –6 B – A



1 – * * 2 objetos idênticos em duas três caixas2 – * * Os pares de padrões de ocupação3 * * – (1 e 2), (3 e 5) e (4 e 6)4 * – * são equivalentes.5 * * – Há 3 = 6/2! ocupações distintas.6 * – *

Note que após posicionarmos os k objetos em suas caixas podemospermutá-los de k! modos distintos. Portanto, cada configuração decaixas ocupadas é contada k! vezes no processo acima.

Portanto o número total de configurações de caixas ocupadas é(nk

)=

n (n−1) . . .(n−k +1)

k!.



Voltando à fórmula:

P(Sn,v ) =

(n

n+v2

)p

n+v2 q

n−v2 .

O que isso significa? É muito? É pouco?



Fazendo r = (n + v)/2 temos que (n− v)/2 = n− r e

P(Sn,v ) = πn,r =

(nr

)pkqn−r .

Ou seja, os πn,r tem uma distribuição binomial.



Como r = (n + v)/2 temos que v = 2r −n e a média de v é

E(v) = 2E(r)−n = 2np−n = (2p−1)n = (p−q)n

e seu desvio padrão é

σ(v) = 2σ(r) = 2√

npq,

pois um Binomial(n,p) tem média np e desvio padrão√

npq.

Note que se p > 1/2 então a média cresce linearmente com n. Já,se 0< 1< p, o desvio padrão cresce como

√n. Ou seja, a média

cresce muito mais rapidamente que o desvio padrão (o que explicaos gráficos exibidos na aula.)



E(r) =n

∑k=0

P(r = k)k =n

∑k=0

(nk

)pkqn−kk

=n

∑k=1

n!

(n−k)!k!pkqn−kk = np

n

∑k=1

(n−1)!

(n−k)!(k−1)!pk−1qn−k =

= npn

∑k=1

(n−1k−1

)pk−1qn−k =

npn−1

∑j=0

(n−1

j

)pjqn−1−j = np (p +q)n−1 = np.



E(r2)=

n

∑k=0

P(r = k)k2 =n

∑k=0

(nk

)pkqn−kk2 =

n

∑k=0

P(r = k)k (k−1) +n

∑k=0

P(r = k)k =

n

∑k=1

n!

(n−k)!k!pkqn−kk (k−1) +np

= n (n−1)p2n

∑k=2

(n−2k−2

)pk−2qn−k +np =

n (n−1)p2n−2

∑j=0

(n−2

j

)pjqn−2−j +np = n (n−1)p2 +np.

σ(r) =

√E(r2)−E(r)2 =

√n (n−1)p2 +np−n2p2 =

√npq.



O teorema de DeMoivre e Laplace:

Dados a < b fixos,

limn→∞

P

(a ≤ sn−n(p−q)

2√

npq≤ b)

=1√2π

∫ b

ae−

s22 ds

onde

sn =n

∑k=1

ωk .

é a variação do preço do início do processo até o tempo n.



√n

n



Para provar o Teorema de DeMoivre e Laplace, podemos calcular n!a partir da função Gamma, pois

n! = Γ(z +1) =∫

∞

0sze−sds.

A função Γ satisfaz a fórmula de Stirling:

Γ(z) = zze−z

√2π

z

(1+

112z

+1

288z2 +O(

1z3

)).



Numericamente, a função Gamma pode ser avaliada com a fórmulade Lanczos:

Γ(z +1)≈√2π

(z +g +

12

)z+1/2

e−(z+g+1/2)Ag (z)

onde

Ag (z)≈ c0 +N

∑k=1

ck

z +k.

Para g = 7, N = 8 e os ck ’s são aproximadamente

0.99999999999980993 676.5203681218851 -1259.1392167224028771.32342877765313 -176.61502916214059, 12.507343278686905

-0.13857109526572012 9.9843695780195716e-6 1.5056327351493116e-7


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