Graevinski fakultet Univerziteta uBeogradu

Raqunska hidraulika

Strujanje vode u poroznimsredinama

- Belexke -

Marko V. Iveti

Beograd, 2001.godine

Sadraj

1 Uvod 11.1 Podzemna voda kao deo hidroloxkog ciklusa . . . . 11.2 Osnovne jednaqine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Jednaqina odranja koliqine kretanja - Dar-sijev zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Heterogenost i anizotropija koeficijenta filtracije(parametara porozne sredine) . . . . . . . . . . . . . 111.3.1 Veza slojevite heterogenosti i anizotropije 14

1.4 Efektivni napon i stixljivost . . . . . . . . . . . . 151.4.1 Stixljivost vode . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.2 Efektivni napon . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.3 Stixljivost skeleta porozne sredine . . . . 17

2 Matematiqki modeli 212.1 Osnovne jednaqine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.1 Uopxtavanje Darsijevog zakona . . . . . . . . 222.1.2 Jednaqina odranja mase . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Ravanski modeli ustaljenog strujanja vode u poroznimsredinama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Izdanski tokovi u ograniqenoj i poluograniqenojsredini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Izdanski tokovi sa slobodnom povrxinom . . . . . . 292.5 Strujanje u vertikalnoj ravni . . . . . . . . . . . . . 312.6 Primeri jednostavnih problema za koje postoje analitiqka

rexenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.6.1 Strujanje kroz slabo propusni povlatni sloj 33

1

2.6.2 Strujanje kroz porozni nasip sa vertikalnimgranicama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6.3 Strujanje prema bunaru . . . . . . . . . . . . . 35

3 Numeriqki modeli 393.1 Ravanski model ustaljenog teqenja vode u izdanima

pod pritiskom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Metoda konaqnih razlika . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3 Metoda konaqnih zapremina . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.1 Posebne elementarne zapremine u blizini naglihpromena pijezometarske kote . . . . . . . . . . 44

3.3.2 Graniqni uslovi . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3.3 Rexavanje sistema jednaqina . . . . . . . . . . 48

4 Potencijalno strujanje 504.1 Potencijal brzine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2 Strujna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.1 Graniqni uslovi . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3 Numeriqki modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5 Metoda konaqnih elemenata 595.1 Suxtina metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2 Metode aproksimacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2.1 Metoda Galjerkina . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2.2 Graniqni uslovi . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3 Primena metode konaqnih elemenata u podzemnimvodama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3.1 Strujanje sa slobodnom povrxinom . . . . . . 65

6 Neustaljeno strujanje u izdanskim tokovima 696.1 Osnovne jednaqine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.2 Analitiqka rexenja za jednostavne sluqajeve . . . . 73

6.2.1 Primer 1: Linijsko neustaljeno strujanje us-led nagle promene nivoa u reci . . . . . . . . 73

6.2.2 Primer 2: Strujanje prema bunaru - probnocrpljenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.3 Linijski numeriqki modeli neustaljenog teqenja . . 836.3.1 Eksplicitna metoda . . . . . . . . . . . . . . . 83

2

6.3.2 Implicitna metoda. Tomasov algoritam . . 846.4 Numeriqki model neustaljenog teqenja u horizon-

talnoj ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7 Transport obeleene materije u poroznoj sredini 897.1 Kvalitet podzemnih voda . . . . . . . . . . . . . . . . 897.2 Osnovne jednaqine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.2.1 Jednaqina odranja mase trasera . . . . . . . 927.2.2 Linijski model transporta obeleene ma-

terije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.3 Transport sa razmenom materije izmeu teqne i qvrste

faze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.4 Numeriqki model transporta trasera . . . . . . . . 101

7.4.1 Integralni oblik numeriqkog modela . . . . 102

3

Predgovor

Ova monografija je jox jednom ponovljeno izdanje Beleaka, ovogputa dostupno preko Interneta u PDF formatu. Neke slike ne-dostaju, jer ih u urbi nisam naxao, kao ni literatura, pa semoe stei pogrexan utisak da sam ja to sve izmislio. U odnosuna prethodno izdanje, koje je izaxlo jox 1995. godine, a obnovljeno2000. godine, nema bitnijih izmena. Neke grexke su ispravljenea korixen je i iriliqni slog. Po tehniqkoj obradi odgovarapravoj knjizi. Osnovna namera, koja je dovela do xtampanja prvogizdanja, a to je da se studentima obezbedi materijal koji u pot-punosti pokriva gradivo koje se predaje, nije ni ovoga puta iznev-erena. Obraeno je sve xto se predaje, pa i malo vixe od toga, ito upravo na naqin na koji se to predaje studentima hidrotehnike.

Da bi materijal obraen u ovoj monografiji bio jox intere-santniji inenjerima, koji nisu imali prilike da sluxaju ovajpredmet, nedostaje jox toga. U prvom redu to je deo o bunarimai naqinima da se kombinacijom jednostavnih rexenja doe do,takoe, pojednostavljenih, ali korisnih ocena o stvarnom stru-janju podzemne vode (xto predajem studentima Arhitektonsko-gra-evinskog fakulteta u Banjoj Luci) i o problemima kvaiteta izaxtite podzemnih voda (xto sam predavao u okviru kursa Inte-gralno upravljanje gradskim vodama na AAOM). O tome razmixljami namera mi je da se ve za sledeu generaciju studenata pojavikompletnije izdanje ove monografije, koje e doprineti da se celalinija od Mehanike fluida do Hidraulike 2, moe prouqavatina jedinstven naqin, i zasluiti naziv knjige. I ovo xto defini-tivno nije knjiga izgleda korektno najvixe zahvaljujui DonalduKnutu i njegovom TEX-u.

Marko V. IvetiBeograd, jun 1997. (avgust 2001.)

4

Poglavlje 1

Uvod

1.1 Podzemna voda kao deo hidroloxkogciklusa

Kao deo procesa beskrajnog kruenja vode u prirodi, ili hidro-loxkog ciklusa, voda dospeva ispod povrxine zemljixta. Premanekim procenama (UNESKO, 1992), 95 % raspoloivih rezervipitke vode, nalazi se u podzemnim vodama. Sa druge strane, uprirodnim i vextaqkim jezerima, moqvarama i rekama, nalazi seoko 3.5 %, dok 1.5 % rezervi vode predstavlja vlanost zemljixta.Ovaj podatak, sam za sebe, ne daje pravu sliku o raspoloivimkoliqinama za eksploataciju, jer vreme zadravanja vode u rekamaje reda veliqine par nedelja, dok se u podzemnim vodama merigodinama, a mnogo qexe, desetinama i stotinama godina.

Rezerve podzemne vode se periodiqno obnavljaju zahvaljujuipadavinama i infiltraciji povrxinskih voda. Stepen obnavljanjarezervi podzemnih voda zavisi od klimatskih i hidrogeoloxkihuslova, vegetacije i sliqno i varira od 25 % u vlanim kli-matima, do, praktiqno 0 % u pustinjskim oblastima, gde je vodadospela u podzemlje pod sasvim drugim klimatskim i geoloxkimuslovima.

Kruenje vode u prirodi, i veza podzemne vode sa atmosferskimi povrxinskim vodama, prikazani su na slici 1.1. Voda isparavasa povrxine okeana, jezera i drugih otvorenih tokova i dospevau atmosferu u gasovitom stanju. Ovaj proces se zove evaporacija.

1

Kroz biljke voda dospeva u atmosferu procesom transpiracije. Navelikoj visini, zbog smanjene temperature, dolazi do kondenzacijevode i stvaranja oblaka.

Iz oblaka se u odreenim meteoroloxkim uslovima izluqujupadavine, koje dovode vodu na povrxinu zemlje u obliku kixe,snega ili leda. Kixa dovodi do neposrednog povrxinskog oti-caja, dok je kod snega oticaj vezan za proces topljenja snenogprekrivaqa. Jedan deo vode ponire u podzemlje i infiltracijomdopire do podzemne vode.

Problemi bilansa vode, odnosno uqexe podzemne vode u tome,prouqavaju se uglavnom u Hidrologiji. U anglo-saksonskoj liter-aturi knjige iz ove oblasti qesto se zovu, Hidrologija podzemnihvoda (Ground Water Hydrology), ili neutralno, Strujanje podzemnihvoda (Ground Water Flow). Kod nas je odomaen naziv Hidraulikapodzemnih voda, a problemi koji se prouqavaju vezani su za korix-enje podzemne vode u vodosnabdevanju i poljoprivredi i zaxtitipodzemnih voda. Takoe, prouqava se i uticaj podzemne vode nagraevinske objekte (strujanje ispod brane, ispod priboja, kroznasipe, obezbeenje graevinskih jama itd.). U oblasti Mehaniketla, koristi se naziv Filtracija.

Na slici 1.2 dat je vertikalni presek jednog poroznog geoloxkogsloja da bi se pokazalo xta se podrazumeva pod podzemnom vodom.

Porozna sredina, izmeu povrxine tla i nepropusne granice,moe se podeliti na zonu zasienu vodom (sve xupljine prostorameu zrnima ispunjene su vodom) i nezasienu, odnosno, aerisanuzonu. Voda u aerisanoj zoni moe biti slobodna da se kree poduticajem sile teine, ili, vezana molekularnim i drugim silamaza skelet porozne sredine, dakle, nepokretna. I jedna i drugapredstavljaju vlanost zemljixta. Onaj deo vlanosti zemljixta,koji se nalazi u povrxinskoj zoni tla, od izuzetnog je znaqaja zarast vegetacije.

Pod podzemnom vodom se podrazumeva slobodna voda ispod povr-xine tla, koja ispunjava xupljine u tlu ili u poroznim geoloxkimformacijama, i koja moe da se kree pod uticajem sile teine isile pritiska.

Inenjerski, najlakxe je zamisliti prelaz izmeu nezasienezone u zasienu kao oxtar i to zvati slobodnom povrxinom. Med-jutim, taj prelaz je postepen i tu se voda ne kree slobodno pod

2

Slika 1.1: Hidroloxki ciklus - veza povrxinskih i podzemnihvoda

Slika 1.2: Voda ispod povrxine tla

3

uticajem teine. Zbog dominantnog dejstva kapilarnih sila ipritiska manjeg od atmosferskog, ta zona se zove kapilarna. Kaoslobodna povrxina uzima se mesto gde je hidrostatiqki pritisakjednak nuli.

Voda u poroznim sredinama se kree pod uticajem gravitacije,vrlo lagano, od vixih delova sliva, nizvodno, sve dok se ne po-javi na povrxini kao izvor, ili doticaj u reke, jezera, mora, ilidok ne bude zahvaena, bilo korenovim sistemima biljaka, bilobunarima za potrebe vodosnabdevanja. Kretanje podzemne vode jevrlo sporo. Red veliqine brzine je od nekoliko milimetara donekoliko metara na dan.

Akviferi i akvitardi Akvifer, ili, vodonosni sloj je zasienaporozna geoloxka formacija koja moe propustiti znaqajne koli-qine vode pri relativno malim gradijentima slobodne povrxine,odnosno, pijezometarske kote. Sa gledixta eksploatacije podzem-nih voda, moe se rei da akvifer treba da bude dovoljno pro-pusan da obezbedi ekonomiqne koliqine vode u bunarima koji supobijeni u njemu. Dakle, ne moe se svaka zasiena porozna sre-dina zvati akviferom.

U geoloxkim profilima mogu se uoqiti slojevi slabije pro-pusnosti, koji razdvajaju vodonosne slojeve. To su akvitardi. Nji-hova propusnost moe biti dovoljna da propusti znaqajne koli-qine vode u akvifer, xto se mora uzeti u obzir u regionalnimanalizama bilansa vode, ali nedovoljna da da dovoljne koliqinevode u eksploataciji bunarima.

Postoje tri tipa vodonosnih formacija:

• Nevezani peskovi i xljunkovi,

• Porozne sedimentne stene (pexqari i kreqnjaci), i

• Ispucale stenske mase (vulkanske i metamorfne stene).

Podela na akvifere i na akvitarde je relativna kategorija.Jedna formacija moe biti i jedno i drugo, sve u zavisnosti odkombinacije geoloxkih slojeva u kojoj se pojavljuje.

Za strujanje podzemne vode kae se da je pod pritiskom ako sezasien akvifer nalazi izmeu dva akvitarda. Strujanje je saslobodnom povrxinom ako je gornja granica slobodna povrxina.

4

Slika 1.3: Referentna zapremina (VR)

1.2 Osnovne jednaqinePostoje dva pristupa sluqajni i deterministiqki, a izmeu njihnije jednostavno povui jasno razgraniqenje.

Voda se kree izmeu zrna koja su rasporeena na potpunosluqajan naqin. Egzaktno predstavljanje toga i rexavanje je nemo-gue.

1.2.1 Jednaqina odranja koliqine kretanja - Dar-sijev zakon

Posmatra se slobodna voda unutar referentne zapremine (VR) isile koje na nju deluju. Masa vode unutar referentne zapremineiznosi (ρneVR), gde je (ne) efektivna poroznost porozne sredine(Slika 1.3).

Osnovu za prouqavanje strujanja vode u poroznoj sredini pred-stavlja eksperimentalni rad Darsija (H. Darcy, 1856), glavnog in-enjera vodovoda grada Diona.

Eksperimentalna instalacija je prikazana na slici (1.4). Ci-lindar, povrxine popreqnog preseka (A), ispunjen je peskom naduini (∆L). Na krajevima cilindra postavljena je mrea koja nedozvoljava ispiranje peska. Pesak je potpuno zasien vodom. Kra-jevi cilindra su povezani sa dva rezervoara u kojima se odravajukonstantni nivoi, (Π1) i (Π2).

Na izlazu iz instalacije meri se proticaj (Q), xto omoguavadefinisanje specifiqnog proticaja, (v), ili Darsijeve brzine fil-

5

Slika 1.4: Darsijev aparat

tracije:

v =Q

A. (1.1)

Darsijevi eksperimenti su pokazali da je (v) direktno pro-porcionalno razlici (Π1 − Π2), ako se (∆L) dri konstantnim,odnosno, obrnuto proporcionalno (∆L), ako se (Π1 − Π2) drikonstantnim. Zbog naknadnih izvoenja, ovde e se definisati∆Π = Π2 − Π1, pa se moe napisati:

v ∝ −∆Π, v ∝ 1/∆L,

odnosno, Darsijeva brzina je proporcionalna smanjenju pijezometarskekote u pravcu strujanja (−∆Π), a obrnuto proporcionalna rasto-janju na kome se to smanjenje ostvari.

Darsijev zakon glasi:

v = −K∆Π

∆L(1.2)

ili u diferencijalnom obliku,

v = −KdΠ

dL(1.3)

6

Qlan (dΠ/dL) se zove hidrauliqki gradijent, a (K) je koeficijentfiltracije, koji ima dimenziju brzine, [L/T ]. Darsijev zakon sedaje qesto i preko proticaja:

Q = −KdΠ

dLA (1.4)

Darsijev zakon vai bez obzira na pravac i orijentaciju cilin-dra na slici (1.4), xto omoguava dalju generalizaciju ovog za-kona.

Iako Darsijeva brzina filtracije (v) ima dimenziju brzine,fiziqki, ona nema skoro nikakve veze sa stvarnim brzinama vodeu poroznoj sredini (slika 1.5). Darsijeva brzina je sredstvo dase pree sa pornog prostora skeleta zrna peska, koji qini finustrukturu porozne sredine, na reprezentativno veliku, ali kon-tinualnu sredinu, koja se moe opisati makroskopskim paramet-rima, kao xto je koeficijent filtracije (K).

Kod prouqavanja transporta obeleene materije koristi se po-jam srednje, ili linijske, brzine fluida:

vs =Q

nA(1.5)

gde je (n) poroznost, odnos zapremine pora (Vp) unutar reprezen-tativnog uzorka porozne sredine, i same zapremine reprezenta-tivnog uzorka (VR). I kod ovoga korektnije je voditi raquna oefektivnoj poroznosti sredine, (ne), koju qine meusobno povezanepore, i koja je uvek manja od stvarne poroznosti. Kod glinovi-tih materijala ta razlika je veoma znaqajna, dok je kod nevezanogmaterijala, peska i xljunka, relativno mala. U Mehanici tlakoristi se i koeficijent poroznosti, e

e =Vp

VS

(1.6)

koji predstavlja odnos zapremine pora i zapremine qvrste faze.Lako se dolazi do izraza

e =n

1− n, odnosno , n =

e

1 + e(1.7)

7

Slika 1.5: Darsijeva i stvarna brzina vode

Ni brzina (vs) nije stvarna brzina fluida. Uvoenjem poroznostibolje je procenjen proticajni profil, ali ne i putanje fluidnihdelia, koje su u stvarnosti due nego (∆L) iz jednaqine (1.2).

Koeficijent filtracije (K) je parametar porozne sredine, alizavisi i od karakteristika fluida koji struji kroz poroznu sred-inu. Zbog toga se javlja potreba za uvoenjem nekog parametra,koji opisuje karakteristike sredine, nezavisno od fluida kojistruji.

Na bazi eksperimentalnih ispitivanja strujanja razliqitihfluida, kroz poroznu sredinu koju qine staklene kuglice uni-formne veliqine (preqnika d), uoqene su i ove zavisnosti:

v ∝ d2, v ∝ 1

ν

Na osnovu ovoga, Darsijev zakon se moe napisati u sledeemobliku:

v = −Cd2g

ν

dΠ

dL(1.8)

Poreenjem sa jednaqinom (1.3) dolazi se do sledee veze:

K =Cd2g

ν(1.9)

Kod realne izdani, (d) je karakteristiqan preqnik zrna, a param-etar (C) je koeficijent proporcionalnosti, koji uzima u obzir iostale karakteristike porozne sredine kao xto su: sferiqnost izaobljenost zrna, zbijenost i granulometrijski sastav. Ova dvaparametra se i ne razdvajaju, pa se uzima da je, κ = Cd2, gde je (κ)

8

Tabela 1.1: Red veliqine koeficijenata (K) i (κ)K[m/s] κ[m2]

Gline < 10−9 < 10−17

Peskovite gline 10−9 − 10−8 10−16 − 10−15

Mulj 10−9 − 10−7 10−16 − 10−14

Praxina 10−8 − 10−7 10−15 − 10−14

Vrlo fini pesak 10−6 − 10−5 10−13 − 10−12

Fini pesak 10−5 − 10−4 10−12 − 10−11

Krupan pesak 10−4 − 10−3 10−11 − 10−10

Peskoviti xljunak 10−3 − 10−2 10−10 − 10−9

Xljunak > 10−2 > 10−9

unutraxnja, ili, specifiqna propusnost porozne sredine. Ovajparametar je posebno vaan kada postoje dva fluida u poroznojsredini (recimo, slatka i slana voda, vazduh i voda, voda i nafta,itd.).

U tabeli 1.1 date su okvirne vrednosti za koeficijent fil-tracije i specifiqnu propusnost za neke tipove tla.

Darsijev zakon je potpuno empirijski i zasniva se na eksperi-mentalnim istraivanjima. Postoje pokuxaji da se primenom os-novnih zakona Mehanike fluida na laminarno strujanje u pornomprostoru doe do formulacije Darsijevog zakona, ali se postavljapitanje koliko je to opravdano.

Osnovne jednaqine Mehanike fluida se osrednjavaju po nekojreferentnoj zapremini porozne sredine uz odreene pretpostavke:

• Skelet koji formiraju zrna je nedeformabilan,

• Porozna sredina je zasiena vodom

• Strujanje je laminarno,

• Priraxtaj koliqine kretanja i inercijalne sile su zane-marljivi u odnosu na ostale sile.

Uvoenjem pretpostavki za prouqavanje strujanja podzemnih voda,

9

Navier-Stokes-ove jednaqine se znaqajno pojednostavljuju:

0 = −g∂Π

∂xj

+∂

∂xi

(ν∂uj

∂xi

)(1.10)

ali su daleko od oblika koji se moe rexiti za bilo koji odpraktiqnih problema.

Bez pretenzija da se daje matematiqki model strujanja vode uporoznoj sredini, ukazae se na analogiju sa laminarnim teqen-jem u cevima. Ako se porozna sredina predstavi snopom cevqicapreqnika (D), duine, (L), i ako se pretpostavi da je teqenje lam-inarno, dolazi se do izraza za gubitak energije na trenje:

∆E = λ∆L

D

v2

2g=

64ν

Dv

∆L

D

v2

2g(1.11)

odnosno, sa ranije usvojenom konvencijom o znaku (∆Π):

v = −D2g

32ν

∆Π

∆L(1.12)

Analogija je oqita, a takoe se vidi da specifiqnoj propusnosti(κ), odgovara (D2/32). Jednaqina (1.12) se zove Hagen–Poiseuilleformula prema dvojici istraivaqa koja su na bazi eksperime-nata, nezavisno jedan od drugoga, doxli do nje 1840 godine.

Strujna slika kroz sistem pora u poroznoj sredni je neupore-divo komplikovanija od laminarnog strujanja kroz tanke cevi dabi se mogla prouqavati egzaktnim metodama. Postoji vixe for-mula koje vezuju specifiqnu propusnost sa karakteristikama tla.Najpoznatija je Kozeni–Karmanova,

κ = cd2 n3

(1− n)2(1.13)

gde je (n) poroznost tla, a (d) efektivni preqnik pora. Koefici-jent (c) zavisi od oblika pornog prostora i nalazi se u granicama0.1 – 0.8. Praktiqna vrednost ovog i sliqnih izraza nije naro-qito velika kada se primenjuju nezavisno od drugih merenja, na-jvixe zbog neodraenosti parametara (C) i (d). Sa druge strane,jednaqina (1.13) omoguava procenu uticaja poroznosti na koefi-cijent filtracije (na primer, kod sabijanja tla i sliqno).

10

Jednaqina (1.12) vai sve dok je teqenje u cevima laminarno, pasliqno ograniqenje treba oqekivati i za Darsijev zakon. Pokaza-telj je i ovde Reynolds-ov broj:

Rec =vd

ν(1.14)

gde je (ν) kinematiqki koeficijent viskoznosti, (v) Darsijevabrzina filtracije, a (d), neka duina karakteristiqna za poroznusredinu. Ako je ta duina srednja veliqina zrna, onda se kritiqnavrednost Rejnoldsovog broja nalazi izmeu 1 i 10 (Bear, 1972),ili izmeu 1 i 12 (vidi dijagram ispod na slici 1.6). Premadrugim istraivaqima (Leonards, 1967) granice su mnogo xire,od 0.1 do 75, xto ne treba da qudi jer je Re broj karakteristikacevi, qiaj geometrija je potpuno odreena preqnikom, dok se zaporoznu sredinu ne moe tvrditi da neki karakteristiqni preq-nik zrna potpuno odreuje kartakteristike sredine.

Na bazi eksperimentalnih podataka moe se nacrtati zavis-nost Darsijeve brzine od gradijenta pijezometarske kote (slika1.6).

Postoje, takoe, pokuxaji da se, eksperimentalno i teorijski,precizno odredi donja granica vanosti Darsijevog zakona, alibez velikog uspeha. Utvrivanje praga pokretanja vode u slabopropusnoj sredini nije od velikog praktiqnog znaqaja, jer se evi-dentno radi o jako malim proticajima. Sa druge strane u Mehanicitla to moe biti jako interesantno kod, recimo, zbijanja slabopropusnih materijala.

1.3 Heterogenost i anizotropija koefici-jenta filtracije (parametara poroznesredine)

Vrednosti koeficijenta filtracije obiqno pokazuju znaqajne var-ijacije po prostoru qak i unutar jedne jedinstvene geoloxke for-macije. Ovo svojstvo se zove heterogenost. Takoe su mogue var-ijacije i u zavisnosti od pravca merenja, u svakoj taqki oblasti,xto se zove anizotropija.

11

Slika 1.6: Granica vanosti Darsijevog zakona: a) dijagram Re-jnoldsovog broja i b) Reim strujanja u zavisnosti od veliqinezrna (u mm) i Darsijeve brzine (u cm/s)

12

Zbog promenljivih uslova stvaranja geoloxkih formacija i pro-mena koje su pretrpele u dugoj geoloxkoj istoriji, heterogenosti anizotropija su realnost koju stalno treba imati u vidu.

Ako koeficijent filtracije ne zavisi od poloaja (x1, x2, x3)unutar geoloxke formacije, kae se da je formacija homogena,K(x1, x2, x3) = C, gde je C konstanta.

Postoji vixe tipova heterogenosti, od kojih su najinteresant-niji sledei:

• Slojevita heterogenost. Javlja se kod sedimentnih stena ikod nevezanih materijala. Razliqiti slojevi mogu biti ho-mogeni za sebe, ali zajedno, zbog razliqitih koeficijenatafiltracije, qine heterogenu sredinu. Kod peskovito xljun-kovitih materijala sa proslojcima gline, mogue su vari-jacije koeficijenta filtracije i do 10 redova veliqine.

• Diskontinualna heterogenost. Javlja se u blizini raseda.

• Heterogenost sa trendom. Javlja se kod istaloavanja podusporom, u deltama i sliqno. Mogue su varijacije od 1 dodva reda veliqine.

Ispitivanja na terenu su pokazala da praktiqno ne postoji ho-mogena sredina, bar ne u smislu definicije, date na poqetku. Dabi se dala kvantitativna ocena heterogenosti sredine koriste sei statistiqke metode. Pokazalo se da koeficijent filtracijeu jednom vodonosnom sloju, ima raspodelu koja je bliska log-normalnoj. To znaqi da promenljiva Y = log K, ima normalnuraspodelu. Standardna devijacija, koja inaqe ne zavisi od dimen-zija kojim se izraava koeficijent filtracije, kree se u grani-cama od 0.5 do 1.5, xto znaqi da koeficijent filtracije, unutarveine geoloxkih formacija, varira u granicama od jednog do dvareda veliqine.

Kao homogena formacija moe se smatrati i ona kod koje se,bez obzira na lokalne varijacije, srednja vrednost koeficijentafiltracije ne menja. Kod heterogenosti sa trendom, postoji daklepostepena promena srednje vrednosti u jednom pravcu, dok je koddiskontinualne heterogenosti, ta promena skokovita.

13

Slika 1.7: Ekvivalentni parametri slojevite sredine

1.3.1 Veza slojevite heterogenosti i anizotropijePorozna sredina koja se sastoji od n homogenih slojeva razli-qitih karakteristika ponaxa se kao anizotropna sredina (slika1.7), kod koje je Kx 6= Kz. Za strujanje u pravcu z:

v = −k1∆Π1

d1

= −k2∆Π2

d2

= · · · = −kN∆ΠN

dN

= −kz∆Π

d

d =N∑

n=1

dn ∆Π =N∑

n=1

∆Πn = vN∑

n=1

dn

kn

kz =vd

∆Π=

d∑Nn=1

dn

kn

(1.15)

Za strujanje u pravcu x:

v1 = k1∆Π1

L1

d1

d

v =N∑

n=1

vn = −N∑

n=1

kn∆Π

L

dn

d

v = −kx∆Π

L(1.16)

kx

N∑n=1

kndn

d(1.17)

14

Slika 1.8: Podsetnik za klasifikaciju porozne sredine

1.4 Efektivni napon i stixljivostOvo su pojmovi koji se dosta koriste u Mehanici tla. U prouqa-vanju neustaljenog strujanja podzemne vode neophodno je uzeti uobzir stixljivost vode i skeleta porozne sredine. Stixljivost jefiziqka karakteristika materijala i po dimenziji i definicijije inverzna modulu elastiqnosti u Otpornosti materijala. Ko-risti se i za elastiqne i za neelastiqne materijale. Za stru-janje vode u poroznoj sredini treba definisati dve vrednostistixljivosti: za vodu i za poroznu sredinu.

1.4.1 Stixljivost vodePoveanje pritiska u vodi za dp dovodi do smanjenja zapremineodreene mase vode. Postoji linearna veza izmeu zapreminskedilatacije dVvode/Vvode i promene pritiska u fluidu dp, a koefi-

15

cijent proporcionalnosti je koeficijent stixljivosti β

β =−dVvode/Vvode

dp(1.18)

β je praktiqno konstanta za temperature i pritiske koji se sreuu podzemnim vodama. Za vodu koeficijent stixljivosti β iznosi4.4× 10−10m2/N (odnosno, Pa−1). Moe se napisati

β =dρ/ρ

dp(1.19)

gde je ρ gustina. Integracijom jednaqine (1.19) dolazi se do jed-naqine stanja za vodu

ρ = ρ0 exp[β(p− p0)] (1.20)

gde je ρ0 gustina pri referentnom pritisku p0. Za nestixljivfluid vai β = 0 i ρ = ρ0 = konst.

1.4.2 Efektivni naponAko se posmatra elementarna zapremina zasienog nevezanog zr-nastog materijala, njena zapreminska dilatacija je posledica:promene zapremine vode, promene zapremine pojedinaqnih zrna ipromene poroznosti, koja je posledica promene meusobnog polo-aja zrna. Promena zapremine zrna porozne sredine obiqno sezanemaruje.

Posmatra se totalni napon σT , na proizvoljnoj ravni u zasienojporoznoj sredini, koji je posledica teine vode i gornjih slojeva.Taj napon delimiqno prihvata skelet poroznog materijala, a de-lom fluid u porama porozne sredine. Deo koji prihvataju zrnaporozne sredine zove se efektivni napon σe, a deo koji prihvatafluid, porni pritisak, p. Vai jednakost

σT = σe + p (1.21)

odnosno,dσT = dσe + dp (1.22)

16

U problemima koji se prouqavaju u okviru ovog kursa obiqno nemaznaqajnije promene totalnog napona, pa je

dσe = −dp (= −ρg dΠ) (1.23)

xto znaqi da smanjenje pornog pritiska, odnosno, pijezometarskekote, prati poveanje efektivnog napona u poroznoj sredini i obr-nuto. Efektivni napon odgovoran je za promenu zapremine skeletaporozne sredine.

1.4.3 Stixljivost skeleta porozne sredineStixljivost porozne sredine je jednaka

α =−dVT /VT

dσe

(1.24)

gde je VT ukupna zapremina uzorka, a dσe promena efektivnog napo-na. Promena efektivnog napona najveim delom dovodi do promenezapremine pora, dVT = dVp, iako je VT = VS +Vp, gde je VS zapreminazrna skeleta porozne sredine.

Stixljivost se odreuje u laboratoriji na uzorcima koji sedreniraju i kod kojih se dozvoljava konsolidacija, tako da jepromena pornog pritiska uvek jednaka nuli, dp = 0. Uzorak senalazi u cilindru pa su spreqene popreqne dilatacije uzorka.Optereenje se poveava skokovito i qeka se da se uzorak kon-soliduje da bi bilo, dF/A = dσT = dσe. Ako je uzorak imaoporoznost jednaku n0 (gde je n = Vp/(VS + Vp)) i duinu L, moese napisati

α = −dL/ L

dσe

= − dn

dσe

(1.25)

Koeficijent stixljivosti, α, odreuje se preko dijagrama zavis-nosti poroznosti n od efektivnog napona σe. Zavisnost nije lin-earna a nije ni konstantna. Kao xto se vidi, zavisi i od toga dali se efektivni napon poveava ili smanjuje. U narednoj tabelidaju se neke karakteristiqne vrednosti stixljivosti.

17

Slika 1.9: Laboratorijsko odreivanje stixljivosti a) opit, b)rezultati opita

Materijal Stixljivost, α (Pa−1)Glina 10−6 − 10−8

Pesak 10−7 − 10−9

Xljunak 10−8 − 10−10

Kompaktna stena 10−9 − 10−11

Voda (β) 4.4× 10−10

Treba napomenuti da je stixljivost glinovitih slojeva veanego peskovitih i dok je to kod peska praktiqno elastiqna defor-macija (po prestanku promene efektivnog napona uzorak zauzimaprethodnu zapreminu), kod gline je to najveim delom nepovratna.

Promena efektivnog napona u akviferima moe doi usled cr-pljenja vode bunarima, kao i usled sniavanja nivoa podzemnihvoda oko graevinskih jama, povrxinskih kopova i sliqno. Ustixljivom vodonosnom sloju doi e do sledee promene debljine

dH = −αHdσe = αHρgdH (1.26)

Ako se zapreminska deformacija sistema akvifera i akvitardauoqljiva i na povrxini terena radi se o sleganju tla.

18

Slika 1.10: Deformacija akvifera (dH) izazvana obaranjem pije-zometarske linije za (dΠ)

19

Literatura

[1] Bear, J., 1972, Dynamics of Fluids in Porous Media, AMerican Elsevier,New York.

[2] Freeze, R. A., & Cherry, J. A., 1979, Groundwater, Prentice-Hall, Inc.,Englewood Cliffs, N. J.

[3] Verruijt, A., 1970, Theory of Groundwater Flow, Macmillan.

20

Poglavlje 2

Matematiqki modeli

Matematiqko modeliranje se sastoji od qetiri koraka, od kojihsvaki ima svoj znaqaj:

• Prouqavanje fiziqkih osnova samog problema,

• Primena osnovnih zakona Mehanike fluida na karakteris-tiqne delove oblasti strujanja, definisanje jednaqina matem-atiqkog modela i odgovarajuih graniqnih uslova,

• Rexavanje matematiqkog modela odreenim matematiqkim me-todama,

• Interpretacija dobijenih rezultata u svetlu fizike prob-lema.

Da bi se potpuno definisao problem teqenja u poroznoj sredinipotrebno je da se zna:

1. veliqina i oblik oblasti strujanja,

2. jednaqine koje vae unutar oblasti strujanja,

3. graniqni uslovi,

4. poqetni uslovi (ovo je vano samo za neustaljeno teqenje),

5. prostorni raspored hidrogeoloxkih parametara koji odred-juju strujanje,

6. matematiqka (najqexe je to numeriqka) metoda rexavanjamatematiqkog modela.

21

2.1 Osnovne jednaqine

2.1.1 Uopxtavanje Darsijevog zakonaDarsijev zakon ima ulogu dinamiqke jednaqine, jer relacija (1.3),koja je dobijena eksperimentalnim putem, predstavlja nekakvu rav-noteu sila pritiska i teine sa jedne strane, i viskoznih sila,sa druge strane. Kao xto je to ve ranije objaxnjeno, sila pri-tiska i sila teine koje deluju na elementarnu zapreminu poroznesredine mogu se sraqunati iz razlike pijezometarskih kota u dvapreseka fluidne struje.

v = −KdΠ

ds(2.1)

gde s predstavlja pravac toka, odnosno, pravac strujanja u Darsi-jevom aparatu. Pretpostavlja se da to isto vai i u prirodi, gdeje s pravac du strujnice i gde vektor brzine moe da se menja odtaqke do taqke.

vi = −K∂Π

∂xi

(2.2)

Kod homogenih i izotropnih sredina K je skalar i kostantnaveliqina.

U opxtem sluqaju moe se napisati

vi = −Kij∂Π

∂xj

gde je Kij =

K11 K12 K13

K21 K22 K23

K31 K32 K33

(2.3)

U specijalnom sluqaju kada se pravci anizotropije poklapaju sakoordinatnim osama moe se napisati

Kij = kδij δij =

0 i 6= j1 i = j

(2.4)

v1 = −K11∂Π

∂x1

(2.5)

v2 = −K22∂Π

∂x2

(2.6)

v3 = −K33∂Π

∂x3

(2.7)

22

Slika 2.1: Rotacija koordinatnog sistema

Preraqunavanje koeficijenata filtracije za pravce koji se raz-likuju od glavnih pravaca anizotropije je dosta jednostavno (Ver-ruijt, 1970). Za sluqaj ravanskog strujanja brzine u rotiranomkoordinatnom sistemu (slika 2.1) iznose

vξ = v1 cos α + v2 sin α (2.8)

vη = v2 cos α− v1 sin α (2.9)

Relacije koje definixu vezu izmeu koordinata u dva koordi-natna sistema su

ξ = x1 cos α + x2 sin α (2.10)

η = x2 cos α− x1 sin α (2.11)

Izraene preko koeficijenata filtracije u pravcima osa novogkoordinatnog sistema

vξ = −Kξξ∂Π

∂ξ−Kξη

∂Π

∂η(2.12)

vη = −Kηξ∂Π

∂ξ−Kηη

∂Π

∂η(2.13)

Koeficijenti filtracije u pravcima novog koordinatnog sistema(ξ, η) dobijaju se preko Morovog kruga (slika 2.2).

23

Slika 2.2: Morov krug za koeficijente filtracije

Slika 2.3: Kontrolna zapremina za jednaqinu odranja mase

2.1.2 Jednaqina odranja masePosmatra se konaqna zapremina Vk porozne sredine ispunjena vodom(slika 2.3). Promena mase vode unutar kontrolne zapremine (ne ρ Vk)u vremenskom intervalu [tn, tn+1] jednaka je filtracionom proti-caju koji proe kroz konturu koja okruuje kontrolnu zapreminu,odnosno

(ne ρ Vk)n+1 − (ne ρ Vk)

n = −ρQf ∆t (2.14)

gde je ne efektivna poroznost, odnosno, procenat pornog prostoraispunjen vodom u pokretu.

24

Pretpostavimo da se gustina vode ne menja1 i da je poroznasredina homogena i izotropna. Filtracioni proticaj kroz kon-trolnu povrxinu iznosi (Hajdin, 1993)

Qf =∫

Ak

vi cos θi dAk =∫

Vk

∂vi

∂xi

dV (2.15)

gde je θi ugao koji zaklapa ort spoljne normale elementarnog delakontrolne povrxine dAk sa koordinatnim osama.2 Jednaqina (2.14)moe se napisati na sledei naqin

[ne Vk]n+1n = −∆t

∫Ak

vi cos θidAk (2.16)

odnosno,∂(ne Vk)

∂t= −

∫Ak

vi cos θidAk (2.17)

Vrednost integrala na desnoj strani jednaqine je reprezentativnaza vremenski interval ∆t. Od taqnosti aproksimacije numeriqkogmodela zavisi na koji naqin e se on sraqunati. Moe se daljepisati

[ne Vk]n+1n = −

∫ tn+1

tn

∫Ak

vi cos θidAkdt (2.18)

a moe se prei i na numeriqki model, kao na primer

[ne Vk]n+1n = −∆t

2

(Qn

f + Qn+1f

)(2.19)

Za ustaljeno teqenje izraz (2.14) se svodi na∫Ak

vi cos θidAk = 0 (2.20)

a u diferencijalnom obliku za elementarnu zapreminu

∂vi

∂xi

= 0 (2.21)

Zamenom izraza (2.2) u prethodnoj jednaqini dolazi se do os-novne jednaqine

∂

∂xi

(−K

∂Π

∂xi

)= 0 (2.22)

1 Ova pretpostavka e se revidovati kod prouqavanja neustaljenog teqenja uPoglavlju 6, xodno izrazima (1.18) i (1.19)

2Umesto cos θi u Mehanici fluida obiqno stoji ni (Hajdin, 1993).

25

2.2 Ravanski modeli ustaljenog strujanjavode u poroznim sredinama

U mnogo veoj meri nego teqenje u otvorenim tokovima i cevima,strujanje vode u poroznoj sredini je izrazito prostorno. U ciljupojednostavljenja geometrije problema najvixe se koriste ravan-ski modeli, a vrlo retko linijski.

Ravanski modeli se dele u dve grupe:

• Priblino horizontalni tokovi, koji se zovu i izdanski tokovi,i

• Strujanje u vertikalnoj ravni (strujanje ispod priboja, is-pod brane, kroz nasipe itd.)

Izdanski tokovi mogu biti ograniqeni slabije propusnim sloje-vima i sa gornje i sa donje strane (ograniqeni i poluograniqenislojevi) ili samo sa donje strane (tokovi sa slobodnom povrxi-nom).

2.3 Izdanski tokovi u ograniqenoj i polu-ograniqenoj sredini

Posmatra se deo zasienog vodonosnog sloja ograniqen sa donjestrane nepropusnim ili polupropusnim slojem, koji se zove pod-ina, i sa gornje strane nepropusnim ili polupropusnim slojem,koji se zove krovina ili povlatni sloj (slika 2.4). Odatle seizdvaja kontrolna zapremina (slika 2.5).

Kontrolna povrxina je postavljena tako da jedan njen deo (Av)seqe izdan po visini, upravno na strujnice, a da se drugi, (Ah),poklapa sa gornjom i donjom granicom izdani, koje su priblinohorizontalne. Jednaqina (2.20) moe se napisati na sledei naqin∫

Av

(v1 cos θ1 + v2 cos θ2) dAv = −Qv (2.23)

gde je Qv vertikalna komponenta bilansa, odnosno, proticaj krozpovlatni i podinski sloj. Bez obzira na slabija filtraciona

26

Slika 2.4: Primer ograniqenog akvifera

Slika 2.5: Kontrolna zapremina za izdanske tokove

svojstva tih slojeva, zbog velike povrxine Ah, koliqina vodekoja dolazi kroz te slojeve moe biti znaqajna. Ako se ta kompo-nenta mora uzeti u obzir radi se o poluograniqenim izdanskimtokovima. Zanemaruje se komponenta brzine u vertikalnom pravcui pretpostavlja da ∂Π

∂x1i ∂Π

∂x2ne zavise od x3.

∮L

(∂Π

∂x1

cos θ1 +∂Π

∂x2

cos θ2

)∫ zk

zp

Kdx3dl = Qv (2.24)

gde su zp i zk, kota podine i kota krovine izdani. Uvodi se novaveliqina ∫ zk

zp

Kdx3 = KM = T (2.25)

27

Slika 2.6: Proticaji kroz povlatni i podinski sloj

koja se zove transmisivnost, ili vodoprovodnost. Ona zamenjujedve veliqine koje su karakteristika sredine, srednju vrednostkoeficijenta filtracije K i debljinu izdani, M .

Jednaqina (2.24) moe se napisati

∮L

T

(∂Π

∂x1

cos θ1 +∂Π

∂x2

cos θ2

)dl = Qv (2.26)

gde je L linija koja u horizontalnoj ravni ograniqava kontrolnuzapreminu. Proticaj Qv moe se prikazati kao na slici (2.6).

Qv =∫

Ah

(qp + qk)dAh (2.27)

gde su qp i qk specifiqni proticaji kroz podinu i krovinu.

qk = −KkΠk − Π

ak

(2.28)

qp = −KpΠp − Π

ap

(2.29)

gde su ak i ap debljine krovinskog i podinskog sloja, a Πk i Πp

odgovarajue pijezometarske kote. Proticaj Qv moe biti i kon-centrisan u jednoj taqki (bunar) i tada je to singularna taqka.

28

Matematiqki model u diferencijalnom obliku

Krivolinijski integral po L transformixe se u povrxinski poAh (horizontalna povrxina).

∮L

T

(∂Π

∂x1

cos θ1 +∂Π

∂x2

cos θ2

)dl =

∫Ah

(∂

∂x1

T∂Π

∂x1

+∂

∂x2

T∂Π

∂x2

)dAh

(2.30)Iz prethodne jednaqine sledi da u svakoj taqki oblasti strujanjaAh treba da vai

∂

∂x1

T∂Π

∂x1

+∂

∂x2

T∂Π

∂x2

= (qp + qk) (2.31)

Za homogenu sredinu (T = konstanta)

∂2Π

∂x21

+∂2Π

∂x22

=qp + qk

T(2.32)

Ovo je Poasonova jednaqina za pijezometarsku kotu. Ako je desnastrana jednaka nuli dobija se Laplasova jednaqina.

2.4 Izdanski tokovi sa slobodnom povr-xinom

Jedna granica oblasti strujanja nije poznata. Ona odgovara ipotencijalu, odnosno, pijezometarskoj koti (slika 2.7). Pret-postavlja se da su ekvipotencijalne linije priblino vertikalneravni i da zakrivljenost strujnica u vertikalnoj ravni nije znaqa-jna. Ovo je poznata hipoteza Dipija (Dupuit).

∮L

(cos θ1

∫ zs

zp

K∂Π

∂x1

dx3 + cos θ2

∫ zs

zp

K∂Π

∂x2

dx3

)dl = Qv (2.33)

Gornja granica integracije praktiqno je jednaka pijezometarskojkoti pa se moe napisati∫ zs

zp

Πdx3 = Π(zs − zp) (2.34)

29

Slika 2.7: Kontrolna zapremina za izdan sa slobodnom povrxi-nom

odnosno, ∫ zs

zp

K∂Π

∂x1

dx3 = K∂Π

∂x1

(zs − zp) (2.35)

Matematiqki model u integralnom obliku glasi∮L

K(Π− zp)

(cos θ1

∂Π

∂x1

+ cos θ2∂Π

∂x2

)dl = Qv (2.36)

Ovo je nelinearna jednaqina i o tome treba voditi raquna kodnjenog rexavanja.

Diferencijalni oblik

Linijski integral u prethodnoj jednaqini moe se transformisatiu povrxinski∮

LK(Π− zp)

(cos θ1

∂Π

∂x1

+ cos θ2K∂Π

∂x2

)dl =

∫Ah

[∂

∂x1

K(Π− zp)∂Π

∂x1

+∂

∂x2

K(Π− zp)∂Π

∂x2

]dAh (2.37)

Za elementarnu povrxinu dAh

∂

∂x1

K(Π− zp)∂Π

∂x1

+∂

∂x2

K(Π− zp)∂Π

∂x2

= qv (2.38)

30

Slika 2.8: Oblast strujanja ispod betonske brane na propusnojpodlozi

Ako je sredina homogena i podina horizontalna onda je

∂2(

h2

2

)∂x2

1

+∂2(

h2

2

)∂x2

2

=qv

K(2.39)

Ovo je Poasonova jednaqina za funkciju (h2/2), gde je h = Π− zp.

2.5 Strujanje u vertikalnoj ravniSredina je po pravilu anizotropna, K11 6= K33. Posmatra seoblast strujanja jediniqne xirine (1 m) u vertikalnoj ravni ukojoj nema strujanja u pravcu upravno na ravan prouqavanja. Nemapotrebe za uvoenjem veliqine kao xto je transmisivnost kod iz-danskih tokova, nego se radi sa koeficijentima filtracije. Jed-naqina kontinuiteta u integralnom obliku za oblast strujanjaograniqenu linijom L (slika 2.8), glasi

∮L

(cos θ1 K11

∂Π

∂x1

+ cos θ3 K33∂Π

∂x3

)dl = Q2 (2.40)

31

Slika 2.9: Strujanje kroz homogeni izotropni zemljani nasip na(a) nepropusnoj i (b) propusnoj podlozi

gde je Q2 komponenta bilansa u pravcu x2 (na primer, drenaniproticaj). U diferencijalnom obliku jednaqina glasi

∂

∂x1

K11∂Π

∂x1

+∂

∂x3

K33∂Π

∂x3

= q2 (2.41)

gde je q2 proticaj u pravcu x2 po jedinici povrxine dx1 dx3.Poseban sluqaj predstavlja strujanje u vertikalnoj ravni sa

slobodnom povrxinom. Za raqunanje mnogo je komplikovanije odstrujanja pod pritiskom, jer se ne zna poloaj slobodne povr-xine, koja je ujedno i graniqna strujnica. Veliki je praktiqniznaqaj kod projektovanja nasutih brana i nasipa. Brana se moeposmatrati kao da se nalazi na nepropusnoj podlozi (vrlo, vrloredak sluqaj, ali, za nasipe, obiqno, na strani sigurnosti, jerse konstatuje da je neophodna drenaa), ili kao da se nalazi napropusnoj podlozi (slika 2.9). Ruxenje nasipa ili brana moenastupiti usled preteranog procurivanja, stvaranja privilegov-anih puteva (piping) i usled nestabilnosti kosina. U svemu tomeneophodno je poznavati strujnu sliku kroz nasip i uticaj inen-jerskih mera (drenae, slabo propusna jezgra, injekciona zavesaitd.) kojima se strujanje dri pod kontrolom.

Ovde se ovaj problem nee detaljnije razmatrati, nego e sedati neke praktiqne napomene za proraqun u poglavlju o metodikonaqnih elemenata.

(Ovde dolazi nekoliko slika)

32

Slika 2.10: Strujanje kroz povlatni sloj iza odbrambenih nasipa

2.6 Primeri jednostavnih problema za kojepostoje analitiqka rexenja

U knjigama iz ove oblasti ima vixe primera za koje se daju anali-tiqka rexenja. Studenti Graevinskog fakulteta, kojima je na-menjen ovaj materijal, upuuju se na knjigu iz Hidraulike 1 (Ba-tini, 1994). U nastavku e se dati dva jednostavna rexenja dokojih se moe jednostavno doi i strujanje prema bunaru.

2.6.1 Strujanje kroz slabo propusni povlatni slojNajjednostavniji sluqaj gde se moe primeniti jednaqina sa stru-janje u poluograniqenoj sredini prikazan je na slici (2.10). Poxtoje situacija u svim presecima paralelnim prikazanom ista, prob-lem se posmatra kao linijski

Td2Π

dx21

− kkΠ− Π2

ak

= 0 (2.42)

gde indeks k oznaqava veliqine koje se odnose na povlatni sloj.Jednaqina (2.42) moe se napisati kao

d2(Π− Π2)

dx21

− Π− Π2

λ2= 0 (2.43)

gde je λ =√

T ak/kk. Jednaqina (2.43) ima opxte rexenje u obliku

Π− Π2 = A ex1/λ + B e−x1/λ (2.44)

33

A i B su integracione konstante koje se odreuju iz graniqnihuslova

x1 →∞ : Π → Π2 (2.45)x1 = 0 : Π = Π1 (2.46)

Kao rexenje za pijezometarske kote dobija se

Π = Π2 − (Π2 − Π1)e−x1/λ (2.47)

Na osnovu ovoga moe se sraqunati i ukupan proticaj iz reke u za-lee. Najpre e se dati izraz za specifiqni proticaj (Darsijevabrzina) v1, diferenciranjem prethodnog izraza

v1 = −KdΠ

dx1

= −KΠ2 − Π1

λe−x1/λ (2.48)

Proticaj po jedinici xirine Q′dobie se kada Darsijava brzina

na mestu x1 = 0, pomnoi sa H

Q′= T (Π1 − Π2)/λ (2.49)

2.6.2 Strujanje kroz porozni nasip sa vertikalnimgranicama

Najjednostavniji sluqaj priblino horizontalnog strujanja saslobodnom povrxinom prikazan je na slici (2.11). Pod pret-postavkom da nema infiltracije usled kixe moe se napisati

d2(h2)

dx2= 0 (2.50)

Rexenje u opxtem obliku glasi

h2 = C1x1 + C2 (2.51)

Integracione konstante eliminixu se iz graniqnih uslova:

x1 = 0 : h = H1 (2.52)x1 = L : h = H2 (2.53)

34

Slika 2.11: Strujanje kroz nasip sa vertikalnim granicama

Rexenje glasih2 = H2

1 − (H21 −H2

2 )x1

L(2.54)

Proticaj kroz nasip po jedinici xirine jednak

Q′= hv1 = −Kh

∂h

∂x1

= −K

2

d(h2)

dx1

(2.55)

Uzimanjem u obzir izraza (2.54) dobija se

Q =K(H2

1 −H22 )

2L(2.56)

Ovaj izraz se zove Dipijeva formula, a jednaqina (2.54) Dipijevaparabola. Interesantno je da ovaj izraz daje vrlo dobre rezul-tate qak i za jako male vrednosti L.

2.6.3 Strujanje prema bunaruZa bunar koji se nalazi u ograniqenoj sredini (i povlatni ipodinski sloj nepropusni) rexenje u ustaljenom strujanju mogueje samo ako se na konaqnom rastojanju nalazi oblast sa defin-isanom (nepromenljivom) pijezometarskom kotom. U Hidraulici 1izvedeni su izrazi za strujanje prema bunaru u sredini krunogostrva i za bunare pored reke (slika 2.12).

Proticaj koji se crpi iz potpunog bunara3, koji se nalazi u3 Potpuni bunar je onaj bunar koji uzima vodu po celoj debljini vodonosnog

sloja

35

Slika 2.12: Strujanje prema bunaru

centru krunog ostrva, u kojem se nalazi homogena izotropna iz-dan konstantne debljine, jednak je

Qb = 2πKHΠ0 − Πb

ln(R/rb)(2.57)

Izraz za depresiju, s = Π0 − Π, glasi

s = − Qb

2πKHln(

r

R

)(2.58)

Ako se bunar nalazi u izdani sa slobodnom povrxinom (slika2.13) izraz za pijezometarsku liniju (takoe i linija slobodnepovrxine) glasi

h2 = H20 +

Qb

πKln(

r

R

)(2.59)

Ako se uvede pojam depresije kao s = H0 − h dobija se izraz

s(1− s

2H0

)= − Qb

2πKHln(

r

R

)(2.60)

Sliqnost sa izrazom (2.58) je oqigledna, posebno kada je s/(2H0)jako malo.

36

Slika 2.13: Strujanje prema bunaru u izdani sa slobodnom povr-xinom

37

Literatura

[1] Batini B., 1994, Hidraulika, Graevinski fakultet Beograd.

[2] Puxi, M., 1999, Dinamika podzemnih voda, Rudarsko-geoloxkifakultet Beograd.

[3] Hajdin G., 1993, Mehanika fluida, Graevinski fakultetBeograd.

[4] Verruijt, A., 1970, Theory of Groundwater Flow, Macmillan.

38

Poglavlje 3

Numeriqki modeli

3.1 Ravanski model ustaljenog teqenja vodeu izdanima pod pritiskom

Velika veina praktiqnih zadataka ne moe se na zadovoljavajuinaqin pokriti raspoloivim analitiqkim rexenjima. Izlaz setrai (i nalazi) u priblinim rexenjima matematiqkog modelanumeriqkim metodama.

Za priblino rexavanje mogu se koristiti jednaqine u difer-encijalnom ili u integralnom obliku. Strujna oblast se dis-kretizuje mreom koju qine dve familije pravih ili krivih lin-ija (krivolinijske koordinate), koje meusobno mogu biti ortogo-nalne, ali i ne moraju. Promenljive veliqine (to su ovde uglavnompijezometarske kote) mogu biti definisane u taqkama preseka dvejulinija razliqitih familija, u centrima elementarnih zapreminakoje takve linije formiraju, ili jox ponegde, xto je karakteris-tika metode konaqnih elemenata, koja e biti objaxnjena kasnije.

U ovom poglavlju posmatra se mrea linija koje se seku podpravim uglom, i dele oblast na pravilne kontrolne zapreminepravougaonog oblika (slika 3.1). Linije su paralelne sa koordi-natnim osama (x1) i (x2).

Ako se diskretizuje diferencijalna jednaqina radi se o stan-dardnoj metodi konaqnih razlika, a ako se diskretizuje integralnajednaqina radi se o metodi konaqnih zapremina.

39

Slika 3.1: Diskretizacija oblasti strujanja i obeleavanjesusednih elementarnih zapremina.

3.2 Metoda konaqnih razlikaDiferencijana jednaqina (2.30) vai za svaku taqku oblasti stru-janja

∂

∂x1

(T

∂Π

∂x1

)+

∂

∂x2

(T

∂Π

∂x2

)= qv (3.1)

Iako je prethodna jednaqina napisana u opxtem obliku, za het-erogenu sredinu, sa promenljivom transmisivnoxu, ovaj modelse koristi uglavnom kada se oblast strujanja moe smatrati pri-blino homogenom.

Pretpostavlja se da su pijezometarske kote definisane u cen-trima elementarnih zapremina. Susedne elementarne zapreminemogu biti oznaqene u globalnom koordinatnom sistemu dvostrukimindeksima (i) i (j), odnosno, ako je centralna elementarna zaprem-ina oznaqena sa (i, j), onda su susedne (i− 1, j), (i + 1, j), (i, j − 1) i(i, j +1), ili u lokalnom koordinatnom sistemu (slika 3.1), indek-som j ı 1, 2, 3 i 4. Kada se radi o izdanskim tokovima qije su hor-izontalne dimenzije po definiciji daleko vee od vertikalnih,nije retko da se u lokalnom obeleavanju koriste strane sveta,

40

IW (i), IN(i), IE(i) i IS(i), za elementarne zapremine koje se nalaze,zapadno (West), severno (North), istoqno (East) i juno (South) odposmatrane elementarne zapremine (i).

Do aproksimacije drugog izvoda u okolini taqke (i), centraelementarne zapremine, dolazi se preko Tejlorovog reda, levo idesno od taqke (i):

Π1 = Πi − ∆x1∂Π

∂x1

∣∣∣∣∣i

+∆x2

1

2!

∂2Π

∂x21

∣∣∣∣∣i

− ∆x31

3!

∂3Π

∂x31

∣∣∣∣∣i

+ · · · (3.2)

Π3 = Πi + ∆x1∂Π

∂x1

∣∣∣∣∣i

+∆x2

1

2!

∂2Π

∂x21

∣∣∣∣∣i

+∆x3

1

3!

∂3Π

∂x31

∣∣∣∣∣i

+ · · · (3.3)

Na osnovu bilo kog od ova dva izraza, (3.2) i (3.3), dolazi se doaproksimacije prvog izvoda:

∂Π

∂x1

∣∣∣∣∣levo

i

=Πi − Π1

∆x1

+∆x1

2!

∂2Π

∂x21

∣∣∣∣∣i

− ∆x21

3!

∂3Π

∂x31

∣∣∣∣∣i

+ · · · (3.4)

∂Π

∂x1

∣∣∣∣∣desno

i

=Π3 − Πi

∆x1

− ∆x1

2!

∂2Π

∂x21

∣∣∣∣∣i

− ∆x21

3!

∂3Π

∂x31

∣∣∣∣∣i

+ · · · (3.5)

Kako se samo prvi qlan sa desne strane jednaqina (3.4) i (3.5), ko-risti kao aproksimacija prvog izvoda, ostatak koji se zanemarujemoe posluiti za ocenu grexke aproksimacije. Za dovoljno malo(∆x1), taqnost aproksimacije odreuje prvi zanemareni qlan kojise mnoi priraxtajem (∆x1) na prvi stepen. Radi se, dakle, oaproksimaciji prvog reda taqnosti, xto se moe napisati i ovako:

∂Π

∂x1

∣∣∣∣∣levo

i

=Πi − Π1

∆x1

+ O(∆x1) (3.6)

∂Π

∂x1

∣∣∣∣∣desno

i

=Πi − Π1

∆x1

+ O(∆x1) (3.7)

gde O(∆x1) oznaqava red veliqine zanemarenog dela Tejlorovogreda, koji odreuje prvi qlan, koji je pomnoen sa (∆x1).

Prvi izvod se moe aproksimirati i taqnije, oduzimanjem iz-raza (3.2) od izraza (3.3)

∂Π

∂x1

∣∣∣∣∣levo

i

=Π3 − Π1

2∆x1

− ∆x21

3!

∂3Π

∂x31

∣∣∣∣∣i

+ · · ·

41

=Π3 − Π1

2∆x1

+ O(∆x21) (3.8)

xto predstavlja aproksimaciju drugog reda taqnosti.Aproksimacija drugog izvoda se dobija sabiranjem izraza (3.2)

i (3.3):

Π1 + Π3 = 2Πi + 2∆2

2

∂2Π

∂x21

∣∣∣∣∣i

+ 2∆x4

1

4!

∂4Π

∂x41

∣∣∣∣∣i

+ · · ·

∂2Π

∂x21

∣∣∣∣∣i

=Π3 − 2Πi + Π1

∆x21

+ O(∆x21). (3.9)

Kao i (3.8), i ovo je aproksimacija drugog reda taqnosti, cen-tralnim razlikama, pod uslovom da je priraxtaj (∆x1) konstan-tan. Na isti naqin se dolazi do aproksimacije drugog izvoda u(x2) pravcu:

∂2Π

∂x22

∣∣∣∣∣i

=Π2 − 2Πi + Π4

∆x22

+ O(∆x22). (3.10)

Ako se pretpostavi da je izdan homogena (T = const) i da supriraxtaji po prostoru isti, (∆x1 = ∆x2 = ∆x), dolazi se dosledee jednaqine

Π1 + Π2 + Π3 + Π4 − 4Πi

∆x2=

qv,i

T, (3.11)

koja aproksimira diferencijalnu jednaqinu (3.1). U jednaqinise, pored nepoznate (Πi), pojavljuju jox qetiri nepoznate pije-zometarske kote u susednim taqkama. Ukljuqivanjem novih jed-naqina, tipa (3.11), za susedne taqke, poveava se broj nepoznatihu igri, tako da se na kraju doe do toga da su jednaqine (4.4) zasve taqke unutar oblasti strujanja, zajedno sa zadatim uslovimana granicama, meusobno povezane, i da se moraju rexavati si-multano.

3.3 Metoda konaqnih zapreminaPolazi se od matematiqkog modela u integralnom obliku, kojise primenjuje na pravilnu elementarnu zapreminu (i), dimenzija

42

Slika 3.2: Elementarna zapremina

∆x×∆x×H :4∑

j=1

Qij = −Qvi (3.12)

gde su

Qij = −∫

Lj

T

(∂Π

∂x1

cos θ1 +∂Π

∂x2

cos θ2

)dl (3.13)

proticaji kroz povrxine koje odvajaju elementarnu zapreminu (i)od susednih (slika 3.2), a (Qvi), proticaj koji dotiqe (negativno),ili otiqe (pozitivno), iz elementarne zapremine u vertikalnompravcu.

Pretpostavlja se da je svaka elementarna zapremine, konaqneveliqine, lokalno homogena (T = const), i da je promena pije-zometarske kote linearna unutar zapremine. Pijezometarska kotaje definisana u centru elementarne zapremine. Posmatra se povr-xina izmeu konaqnih zapremina, (i) i (j), i proticaj kroz nju(slika 3.2).

Posmatrane konaqne zapremine imaju razliqite transmisiv-nosti, xto ne dozvoljava direktnu primenu Darsijevog zakona savrednostima (Πi) i (Πj). Uvodi se pomona promenljiva (Πp), utaqki na povrxini kroz koju se trai proticaj, i koristi se uslovda je

Qij = Qip = Qpj.

43

Do proticaja (Qip) i (Qpj) dolazi se jednostavno

Qip = ∆xTiΠi − Πp

∆x/2= 2Ti(Πi − Πp) (3.14)

Qpj = ∆xTjΠp − Πj

∆x/2= 2Tj(Πp − Πj) (3.15)

Eliminacijom pomone promenljive (Πp), dolazi se do izraza zaproticaj

Qij =2TiTj

Ti + Tj

(Πi − Πj) (3.16)

Kada se izraz (3.16) uvrsti u jednaqinu kontinuiteta (3.12), dolazise do sledee jednaqine:

4∑j=1

2TiTj

Ti + Tj

(Πi − Πj) = −Qvi (3.17)

odnosno,4∑

j=1

aijΠi −4∑

j=1

aijΠj = −Qvi (3.18)

gde su koeficijenti (aij) jednaki

aij =2TiTj

Ti + Tj

U svakoj jednaqini (3.18), unutar oblasti strujanja, ima petnepoznatih veliqina, a ukupan broj jednaqina, koje treba simul-tano rexiti, jednak je broju konaqnih zapremina na koje je izdel-jena oblast strujanja.

3.3.1 Posebne elementarne zapremine u blizininaglih promena pijezometarske kote

Taqnost aproksimacije numeriqkim modelom zavisi od finoediskretizacije oblasti strujanja. To je posebno vano oko loka-liteta, kao xto su bunari, tanki polupropusni slojevi, drenaeitd., gde se pijezometarske kote naglo menjaju na malim rastojan-jima. Gusta mrea oko tog mesta je neophodna, ali nepotrebna

44

u preostalom delu oblasti strujanja. Ovo je osnovni nedostatakstandardnih metoda konaqnih razlika i konaqnih zapremina, kojise vrlo lako prevazilazi metodom konaqnih elemenata (Poglavlje5).

Meutim, i kod metode konaqnih zapremina postoji elegantannaqin prevazilaenja ovog problema, koji daje zadovoljavajuerezultate u veini sluqajeva. Pored standardnih elementarnihzapremina, uvode se i posebne, koje u sebi sadre analitiqka rex-enja u blizini lokaliteta.

Elementarna zapremina sa bunarom

Slika 3.3: Elementarna zapremina sa bunarom

U elementarnoj zapremini, (i), nalazi se vertikalni bunarpreqnika (2rb). Upisan je krug, preqnika (∆x), koji dodiruje ele-mentarnu zapreminu (j) u taqki (P ), i u kome se pretpostavlja osnosimetriqno strujanje. Koristi se pomona pijezometarska kota utaqki (P ) i uslov jednakosti proticaja (QiP ) i (QPj). Proticaj(QPj) se raquna kao i ranije (3.15), dok se za (QiP ) pretpostavljada vai analitiqko rexenje

QiP =πTi(Πi − ΠP )

2 ln ∆x2rb

(3.19)

Izraz (3.19) predstavlja jednu qetvrtinu proticaja prema bunaru,koji se nalazi u centru homogene izdani u obliku krunog ostrva,preqnika (∆x), kada su poznate dve pijezometarske kote, (Πi), kota

45

nivoa u bunaru, i (ΠP ), pijezometarska kota u taqki (P ), kao i poobodu ostrva, (ΠP ).

Eliminacijom pomone promenljive (Πp) dolazi se do proticaja(Qij):

Qij =2TiTj

Ti + 4π

ln ∆x2rb

Tj

(Πi − Πj) (3.20)

Elementarna zapremina sa tankim polupropusnim slojem

Slika 3.4: Elementarna zapremina (i) sa polupropusnim slojem

Polupropusni sloj, debljine (δM), deo je elementarne zaprem-ine (i) (slika 3.4). Za raqunanje proticaja (Qij) uvode se pomonepromenljive (Πp) i (Πs), i koristi se uslov Qij = QiP = QPS = QSj.Pojedinaqni proticaji se dobijaju na sledei naqin:

QiP = TiΠi − ΠP

∆x2− δM

∆x (3.21)

QPS = TMΠP − ΠS

δM

∆x (3.22)

QSj = TjΠS − Πj

∆x/2∆x (3.23)

46

Eliminacijom (ΠP ) i (ΠS) dobija se

Qij =2TiTj

Ti +(

2δM

∆x

(Ti

TM− 1

)+ 1

)Tj

(Πi − Πj) (3.24)

Oznaqavanje uvedeno kod jednaqine (3.18) proxirie se da obuh-vati i posebne elemente:

aij =2TiTj

α1Ti + α2Tj

(3.25)

gde koeficijenti (α1) i (α2) zavise od vrste konaqne zapremine(i), za koju se pixe jednaqina (3.18):

α1 = 1 α2 =

1 obiqna zapremina(4/π ln(∆x/2rb) bunar u polju i(2δM/∆x)(Ti/TM − 1) + 1 membrana u polju i

(3.26)odnosno, ako je posmatrana konaqna zapremina obiqna:

α1 =

1 obiqna zapremina(4/π) ln(∆x/2rb) bunar u polju j(2δM/∆x)(Ti/TM − 1) + 1 membrana u polju j

α2 = 1

(3.27)

3.3.2 Graniqni usloviMetoda konaqnih zapremina omoguava veoma jednostavno, reklobi se, prirodno, zadavanje graniqnih uslova, kada se granicaoblasti strujanja poklapa sa stranicama elementarnih zaprem-ina. Na svakoj konaqnoj zapremini koja se nalazi na granicioblasti strujanja, potrebno je poznavati bilo proticaj, bilo pi-jezometarsku kotu.

Ako je zadata pijezometarska kota u jednoj elementarnoj za-premini, na granici, ili unutar oblasti strujanja, jednaqina zatu zapreminu se izostavlja. Ako je, uz to, ta elementarna zaprem-ina van porozne sredine (reka, jezero), uzima se da je transmi-sivnost jako velika (TR Ti). U susednoj konaqnoj zapremini,unutar oblasti strujanja, odgovarajui koeficijent (aiR) iznosi:

aiR =2TiTR

Ti + TR

= 2Ti (3.28)

47

Slika 3.5: Elementarne zapremine na granici, (a) prema reci,(b) nepropusna granica

Ako je zadat proticaj na jednoj stranici konaqne zapremine,xto odgovara von Neumann-ovom graniqnom uslovu po pijezometar-skoj koti, taj proticaj se dodaje na (Qvi), a koeficijent (aij) seizjednaqava sa nulom. U istu grupu spada i tretman nepropusnegranice gde se primenjuje uslov (Qij = 0). To se rexava zadavan-jem vrlo male vrednosti za transmisivnost konaqne zapremine nanepropusnoj granici (TN Ti).

aiN =2TiTN

Ti + TN

≈ 0 (3.29)

3.3.3 Rexavanje sistema jednaqinaU svakoj jednaqini javlja se najvixe pet nepoznatih veliqina,bez obzira na ukupan broj jednaqina, koji je jednak broju ele-mentarnih zapremina u kojima je nepoznata pijezometarska kota.Matrica koeficijenata je retka i zato nije ekonomiqno korix-enje direktnih metoda za rexavanje sistema jednaqina.

Jedna od iterativnih metoda, koja je dosta dugo u upotrebi, jei metoda sukcesivnih nadrelaksacija (SOR – Successive Over Relax-ation method). Xablon za postupno popravljanje priblinog rex-

48

enja dobija se iz jednaqine (3.18):

Π(k+1)i = Π

(k)i + ω

∑4j=1 aijΠ

(m)j −Qvi∑4

j=1 aij

− Π(k)i

(3.30)

gde (k + 1) i (k) oznaqavaju iterativni nivo, a (m) moe bitiili jedno ili drugo, sve u zavisnosti da li za tu elementarnuzapreminu ve sraqunata nova vrednost ili ne. (ω) je koefici-jent nadrelaksacije, koji je vei od jedan, a manji od dva, a os-novni zadatak mu je da ubrza konvergenciju priblinog rexenjataqnom. Postoje vrlo komplikovani naqini da se odredi opti-malna vrednost koeficijenta nadrelaksacije, ali je ono xto sepreporuquje probanje. Izraz u zagradi je odstupanje sraqunatevrednosti za pijezometarsku kotu od taqne i moe se obeleitikao (εΠ,i). Da bi se ubrzala konvergencija ka taqnom rexenju, toodstupanje se mnoi sa koeficijentom nadrelaksacije. Neprak-tiqno je (ili, praktiqno je nemogue) sva odstupanja od taqnihvrednosti svesti na nulu pa se mora zadati neki kriterijum zazavrxetak iteracija, koji moe biti zahtev da maksimalno odstu-panje po apsolutnoj vrednosti bude manje neke zadate vrednosti(TOL1):

max |(εΠ,i)| ≤ TOL1 (3.31)

ili, da suma odstupanja bude manja od neke zadate vrednosti (TOL2):∑i

|(εΠ,i)| ≤ TOL2 (3.32)

Za homogenu sredinu, i uniformnu podelu na kontrolne zaprem-ine, svi koeficijenti su isti, (aij = T ), a jednaqina (3.30) sesvodi na:

Π(k+1)i = Π

(k)i +

ω

4

4∑j=1

Π(m)j − 4Π

(k)i − Qvi

T

(3.33)

49

Poglavlje 4

Potencijalno strujanje

4.1 Potencijal brzineOpxti sluqaj teqenja nestixljivog fluida definixu Navije-Stok-sove jednaqine i jednaqina kontinuiteta:

∂uj

∂t+ ui

∂uj

∂xi

= −g∂Π

∂xj

+ ν∂

∂xi

(∂uj

∂xi

)(4.1)

∂uj

∂xj

= 0 (4.2)

Opxti sluqajevi teqenja realnog fluida su vrlo komplikovanii tek od skora se neki jednostavniji problemi rexavaju korix-enjem kompletnih jednaqina tzv. direktnom simulacijom.

U ovom poglavlju razmatra se jedan naqin uproxene analizestrujanja, tzv. idealnog fluida, kod koga se osnovne jednaqinedovode do oblika koji je identiqan jednaqinama koje opisuju ra-vansko strujanje podzemne vode. Fiziqke osnove za prouqavanjeove dve vrste strujanja su potpuno razliqite i radi se o strogomatematiqkom formalizmu.

Osnovne pretpostavke za pojednostavljenje osnovnih jednaqinaza ravansko strujanje su: (1), da je fluid idealan i da nematrenja i (2), da je brzina rotacije fluidnog delia jednaka nuli,odnosno, da je strujanje bezvrtlono. Brzina rotacije je vektoru prostornoj oblasti strujanja i po definiciji je jednaka:

Ωk =1

2εijk

∂uj

∂xi

(4.3)

50

gde tenzor εijk ima vrednosti koje zavisi od vrednosti indeksa i, ji k. Ako indeksi (ijk) imaju vrednosti, 123, 231 ili 312, onda jeεijk = 1, ako imaju vrednosti, 321, 132 ili 213, εijk = −1, i ako subilo koja dva indeksa ista, εijk = 0.

Za strujanje u ravni (x1, x2), posmatra se samo komponenta brzinerotacije (Ω3):

Ω3 =1

2

(∂u2

∂x1

− ∂u1

∂x2

)(4.4)

odakle se dobija:∂u2

∂x1

=∂u1

∂x2

(4.5)

Na osnovu ovoga mogue je uvesti jedinstvenu funkciju za obe kom-ponente brzine, koja se zove potencijal brzine, (Φ). Po definiciji,komponente brzine su jednake:

u1 = − ∂Φ

∂x1

u2 = − ∂Φ

∂x2

(4.6)

Lako se moe pokazati da je jednaqina (4.5) zadovoljena:

∂2Φ

∂x1∂x2

=∂2Φ

∂x2∂x1

(4.7)

Potencijal brzine (Φ) dobija se iz jednaqine kontinuiteta(4.2), u kojoj se brzine zamene izrazima (4.6):

∂2Φ

∂x21

+∂2Φ

∂x22

= 0 (4.8)

Ovo je parcijalna diferencijalna jednaqina eliptiqnog tipa, poz-nata i kao Laplasova jednaqina. Po svom obliku jednaqina pot-puno odgovara ravanskom strujanju vode u homogenoj poroznoj sre-dini, bez dotoka iz pravca upravno na ravan prouqavanja.

Kod strujanja idealnog fluida potencijal brzine nema fiziqkismisao, dok je kod podzemnih voda direktno vezan za pijezometarskukotu, Φ = KΠ. Da bi se doxlo do veze potencijala brzine i pi-jezometarske kote kod strujanja idealnog fluida, iskoristie se

51

jednaqina (4.1), koja za pravce (x1) i (x2) glasi:

− ∂

∂t

(∂Φ

∂x1

)+ u1

∂u1

∂x1

+ u2∂u1

∂x2

+ g∂Π

∂x1

= 0 (4.9)

− ∂

∂t

(∂Φ

∂x2

)+ u1

∂u2

∂x1

+ u2∂u2

∂x2

+ g∂Π

∂x2

= 0 (4.10)

U jednaqini (4.9), umesto (∂u1/∂x2) stavlja se (∂u2/∂x1) i jed-naqina se integrali po (x1). Sliqno tome, u jednaqini (4.10),moe se zameniti drugi qlan, a sama jednaqina se integrixe po(x2). Rezultat je u oba sluqaja isti:

− ∂Φ

∂t+

1

2

(u2

1 + u22

)+ gΠ = F (t) (4.11)

gde je (F (t)), integraciona konstanta, funkcija vremena zbog neus-taljenog teqenja.

Ako je teqenje ustaljeno, (∂Φ/∂t = 0), pa je (F (t)) konstanta.Moe se napisati:

1

2g(u2

1 + u22) + Π = E0 (4.12)

odnosno

Π = E0 −1

2g

V2︷ ︸︸ ︷( ∂Φ

∂x1

)2

+

(∂Φ

∂x2

)2 (4.13)

gde je (4.12), Bernulijeva jednaqina. V je vektor brzine. a (E0)ukupna mehaniqka energija.

4.2 Strujna funkcijaKako potencijal brzine nema fiziqki smisao, graniqne uslove zajednaqinu (4.8) nije uvek jednostavno definisati. Zato se kodpotencijalnog strujanja uvodi i takozvana strujna funkcija (Ψ), kojaje u direktnoj vezi sa proticajem.

Do strujne funkcije se dolazi preko jednaqine kontinuiteta idefinicije strujnice. Na slici (4.1) nacrtano je nekoliko stru-jnica.

52

Slika 4.1: Strujnice u ravni (x1, x2)

Jednaqina strujnice glasi:

dx1

u1

=dx2

u2

(4.14)

odnosno,u1dx2 − u2dx1 = 0 (4.15)

Svakoj strujnici se dodeljuje jedna vrednost strujne funkcije, Ψ =const, odnosno, du strujnice je (dΨ = 0).

(dΨ) predstavlja totalni izvod strujne funkcije:

dΨ =∂Ψ

∂x1

dx1 +∂Ψ

∂x2

dx2 (4.16)

Ako se (dΨ) izjednaqi sa (4.15), i ako je zadovoljena jednaqina kon-tinuiteta, (4.2), vidi se da (dΨ) predstavlja jediniqni proticajkroz povrxinu (dx):

dΨ = u1dx2 − u2dx1 (4.17)

Iz ove dve jednaqine se moe dobiti da je:

u1 =∂Ψ

∂x2

u2 = − ∂Ψ

∂x1

(4.18)

Ako se ovde iskoristi pretpostavka o bezvrtlonom strujanju irelacije (4.18) uvrste u jednaqinu (4.5) dobija se jednaqina zastrujnu funkciju:

∂2Ψ

∂x21

+∂2Ψ

∂x22

= 0 (4.19)

53

Slika 4.2: Proticaj izmeu dve strujne linije

Jednaqina je istog oblika kao i jednaqina za potencijal brzine(4.8).

Fiziqki smisao strujne funkcije ilustrovae se na primeruodreivanja proticaja izmeu dve strujne linije.

Na slici (4.2) nacrtano je nekoliko strujnih linija. Taqke A,B i C, oznaqavaju dve povrxine upravno na crte kroz koje trebaodrediti proticaj. Kroz povrxinu AB, samo komponenta brzine(u1) je razliqita od nule, dok je kroz povrxinu CA, komponenta(u2) razliqita od nule. Proticaji kroz povrxine AB i CA sujednaki:∫

AAB

u1dx2 =∫ B

A

∂Ψ

∂x2

dx2 =∫ B

AdΨ = ΨB −ΨA = Ψ2 −Ψ1(4.20)∫

AAC

u2dx1 =∫ A

C− ∂Ψ

∂x1

dx1 = −∫ A

CdΨ = ΨC −ΨA = Ψ2 −Ψ1(4.21)

Rezultati (4.20) i (4.21) su isti, xto znaqi da je proticaj izmeudve strujne linije isti bez obzira na poloaj povrxine qiji sukrajevi na strujnim linijama (1) i (2).

Lako se dolazi do relacija koje povezuju strujnu funkciju ipotencijal brzine:

∂Φ

∂x1

= − ∂Ψ

∂x2

∂Φ

∂x2

=∂Ψ

∂x1

(4.22)

54

a koje su poznate kao Koxi-Rimanovi (Cauchy – Riemann) uslovi.Linije konstantnih vrednosti strujne funkcije i potencijala

brzine qine mreu meusobno ortogonalnih linija. Pre pojaveraqunara najznaqajnije metode koje su se koristile za prouqavanjestrujanja podzemnih voda bile su grafoanalitiqke metode, kojesu se zasnivale na konstruisanju strujne mree (Φ) i (Ψ).

4.2.1 Graniqni usloviPotencijal brzine i strujna funkcija treba da zadovolje istujednaqinu, Laplasovu, ali kako se radi o razliqitim graniqnimuslovima, i rexenja su razliqita.

Graniqni uslovi mogu biti zadati na jedan od sledea trinaqina:

(a) Φ = g1, odnosno, Ψ = g2, xto je poznato kao Dirihleov (Dirich-let) graniqni uslov,

(b) ∂Φ/∂n = g1, odnosno, ∂Ψ/∂n = g2, fon Nojmanov (von Neumann)graniqni uslov, i

(c) mexoviti graniqni uslov, koji je kombinacija (a) i (b).

Nepropusne granice strujnog polja predstavljaju strujne linijei na njima se kao graniqni uslov zadaju konstantne vrednostistrujne funkcije, odnosno, da je izvod potencijala brzine upravnona granicu jednak nuli, xto sledi iz ortogonalnosti strujnih iekvipotencijalnih linija.

Na slici (4.3.a) prikazani su potrebni graniqni uslovi zastrujanje u pravougaonom provodniku sa naglim suenjem za jed-naqinu (4.8) a na slici (4.3.b), za jednaqinu (4.19). Ulazni iizlazni presek predstavljaju ekvipotencijalne linije, pa se moeuzeti da vai fon Nojmanov graniqni uslov za strujnu funkciju.Uz dodatnu pretpostavku da je raspored brzine (u1) uniformanpo ulaznom preseku, daje se linearna promena strujne funkcije uulaznom preseku, dok se to u izlaznom preseku ne zahteva.

55

Slika 4.3: Graniqni uslovi za potencijal brzine (a), i strujnufunkciju (b)

4.3 Numeriqki modeliJednaqine (4.8) i (4.19), koje predstavljaju matematiqke modelepotencijalnog strujanja u diferencijalnom obliku, mogu se jednos-tavno diskretizovati aproksimacijom parcijalnih izvoda konaq-nim razlikama u okolini taqke (i, j) (slika 4.4.a). Isti rezultatse dobija i ako se koristi metod konaqnih zapremina, i vrednostipotencijala brzine zadate u centrima elementarnih zapremina(slika 4.4.b).

Za sluqaj kada je ∆x1 = ∆x2 = ∆x, moe se napisati:

Φi−1,j + Φi+1,j + Φi,j−1 + Φi,j+1 − 4Φi,j = 0 (4.23)

Jednaqina (4.23), koja sadri pet nepoznatih, pixe se za svakutaqku unutar oblasti strujanja, dok je za taqke na granici ne-ophodno ukljuqiti graniqne uslove. Ovde nije svejedno koja for-mulacija se koristi, jer od toga obiqno zavisi i poloaj graniceu odnosu na taqke, a i taqnost aproksimacije graniqnog uslova.

Kod metode konaqnih zapremina granica se nalazi izmeu taqakau kojima su definisane promenljive, pa je razumljivo i primenafon Nojmanovog graniqnog uslova jednostavnija i taqnija (slika4.5).

56

Slika 4.4: Raspored taqaka za aproksimaciju Laplasove jedna-qine

Uslov na granici, tipa (∂Φ/∂n = g), aproksimira se razlikom

Φi − Φj = gi∆x

koji predstavlja aproksimaciju prvog reda taqnosti kod metodekonaqnih razlika (slika 4.5.a), a aproksimaciju drugog reda taq-nosti kod metode konaqnih zapremina (slika 4.5.b). Sa drugestrane, primena Diriqlet-ovog uslova je jednostavnija i taqnijakod metode konaqnih razlika.

Sistem jednaqina (4.23), zajedno sa odgovarajuim graniqnimuslovima, rexava se simultano, nekom od direktnih ili itera-tivnih metoda. Jedan od klasiqnih naqina, koji s pojavom novihraqunara sa paralelnim procesorima postaje ponovo veoma aktue-lan, je metoda sukcesivnih nadrelaksacija (SOR - Successive Over-Relaxation method):

Φ(k+1)i,j = Φ

(k)i,j +

ω

4(Φ

(m)i−1,j + Φ

(m)i+1,j + Φ

(m)i,j−1 + Φ

(m)i,j+1 − 4Φ

(k)i,j ) (4.24)

Jedna od numeriqkih metoda koja se moe koristiti za oveprobleme je i metoda konaqnih elemenata koja je objaxnjena unarednom poglavlju.

57

Slika 4.5: Diskretizacija graniqnih uslova kod metode konaqnihzapremina i metode konaqnih razlika

58

Poglavlje 5

Metoda konaqnih elemenata

Metoda konaqnih elemenata predstavlja mono sredstvo analizeu teoriji konstrukcija, dok se u graevinskoj hidrotehnici iMehanici fluida manje koristi. Izuzetak su podzemne vode jer suLaplasova i Poasonova jednaqina dosta sliqne jednaqinama kojese koriste u teoriji elstiqnosti.

Metoda konaqnih elemenata je komplikovanija od metode konaq-nih priraxtaja, ali je u znaqajnoj prednosti kada se radi o nepra-vilnim oblastima strujanja i nagloj promeni osnovnih veliqina ublizini pojedinih lokaliteta. Na slici (5.1) prikazano je stru-janje ispod priboja i diskretizacija oblasti strujanja na dvanaqina: kod metode konaqnih priraxtaja i metode konaqnih el-emenata. U oba sluqaja vodi se raquna o tome da se znaqajnepromene pijezometarske kote dexavaju u blizini priboja.

Kod metode konaqnih elemenata vea taqnost se postie korix-enjem manjih elemenata u zoni gde su znaqajnije promene pije-zoemtarske kote, dok kod metode konaqnih priraxtaja to nije uvekekonomiqno jer se guxa mrea prostire i na oblast gde to nijepotrebno.

5.1 Suxtina metode• Definixe se oblast strujanja u kojoj se trai raspored neke

veliqine. U zavisnosti od formulacije matematiqkog mod-ela, oblast strujanja moe biti linija, povrx ili telo.

59

Slika 5.1: Diskretizacija oblasti strujanja kod (a) metodekonaqnih priraxtaja i (b) kod metode konaqnih elemenata

• Oblast strujanja se dekomponuje na delove konaqne veliqinei proizvoljnog oblika, koji se zovu konaqni elementi, kojimogu biti linijski, povrxinski ili prostorni (slika 5.2).

• Nepoznata veliqina, recimo, potencijal brzine Φ, predstavljase konaqnim brojem parametara u celoj oblasti strujanja.Ako je oblast strujanja linija, nepoznata veliqina Φ je fun-kcija samo jedne promenljive:

Φ(x) =n∑

k=1

Φkfk(x) (5.1)

gde je Φk vrednost nepoznate veliqine u taqki k, a fk(x) baznafunkcija koja aproksimira veliqinu Φ(x) izmeu taqaka u ko-jima je definisana. Na ovaj naqin unapred je odreen oblikrexenja. Taqke u kojima je definisana nepoznata veliqinazovu se qvorne taqke ili qvorovi. Bazne funkcije mogu bitipolinomi ili trigonometrijske funkcije, ali se pokazaloda je u nekim sluqajevima dobra aproksimacija ako se pret-postavi linearna promena:

– fk(xj) = 0, u svim taqkama xj, gde je k 6= j,

– fk(xj) = 1, u svim taqkama, gde je k = j,

60

Slika 5.2: Linijski, povrxinski i prostorni konaqni elementi

– bazne funkcije, fk(x) se izmeu qvorova menjaju linearno.

Ovakvi elementi se zovu linearni.

• Nepoznata veliqina Φ(x) je kontinualna po svim elementima,ali prvi izvodi nisu. Drugi izvodi ne postoje. Na slici(5.3) prikazano je kako se interpolacijom linearnim baznimfunkcijama aproksimira nepoznata veliqina u oblasti stru-janja. Na dijagramu a) prikazane su bazne funkcije fk, na di-jagramu b) bazne funkcije pomnoene vrednostima nepoznateveliqine u qvorovima, a na dijagramu c) aproksimacija rex-enja. Kvalitet aproksimacije odreuje broj qvornih taqaka,ali i oblik i red bazne funkcije.

• Diferencijalna jednaqina se integrixe, ili, primenjuje sezakon odranja mase, koliqine kretanja ili energije, kojim sedoxlo do matematiqkog modela, za svaki element koristeiizraze (5.1) za nepoznatu veliqinu.

• Zakon odranja se aproksimira za celu oblast strujanja takoxto se saberu doprinosi pojedinih elemenata i uzimaju uobzir odgovarajui graniqni uslovi.

61

Slika 5.3: Interpolacija funkcije Φ(x)

5.2 Metode aproksimacijeU metodi konaqnih elemenata koriste se sledee metode aproksi-macije matematiqkih modela:

• Metoda reziduala, ili metoda uravnoteenih grexaka (weightedresiduals),

• Varijacione metode

• Metoda direktne primene integralnih zakona odranja

U nastavku e se objasniti samo jedna iz grupe metoda uravno-teenih grexaka - metoda Galjerkina. Pored nje postoje i metodanajmanjih kvadrata, metoda kolokacije po taqkama i po elementimaitd. o qemu se moe nai vixe u struqnoj literaturi (Baker, 1983;Pinder & Gray, 1977).

62

5.2.1 Metoda GaljerkinaKao posledica diskretizacije dobijena je kontinualna funkcijarexenja koja koristi N qvornih vrednosti Φk. Njih treba odred-iti tako da je zadovoljena diferencijalna jednaqina matematiqkogmodela i odgovarajui graniqni uslovi.

Ako se priblino rexenje zameni u Laplasovu diferencijalnujednaqinu (4.8), rezultat nije jednak nuli nego rezidualu r(x1, x2):

∂2Φ

∂x21

+∂2Φ

∂x22

= r(x1, x2) (5.2)

Qvorne vrednosti treba odrediti tako da su rezuduali mini-malni. Jedan od naqina je da se rezidual, odnosno, grexka, pom-noi sa nekom teinskom funkcijom w(x1, x2) i integrixe po ob-lasti strujanja pod uslovom da tako uravnoteeni rezidual budejednak nuli: ∫

Ar(x1, x2)w(x1, x2)dx1dx2 = 0 (5.3)

Ovo je jedna jednaqina sa N nepoznatih. Treba nai jox N−1 neza-visnih teinskih funkcija i dobijenih N jednaqina rexiti. Kodmetode Galjerkina kao teinska funkcija uzima se bazna funkcija,odnosno, w(x1, x2) = fk(x1, x2). Povoljna okolnost je to xto baznihfunkcija ima taqno koliko i qvorova i xto su razliqite od nule umalom delu oblasti strujanja xto garantuje mali broj nepoznatihu jednaqinama.

Formalni problem xto aproksimativno rexenje nije dva putadiferencijabilno, lako se prevazilazi korixenjem teoreme Gausai Ostrogradskog:∫

Aw

(∂2Φ

∂x21

+∂2Φ

∂x22

)dx1dx2 = −

∫A

(∂Φ

∂x1

∂w

∂x1

+∂Φ

∂x2

∂w

∂x2

)dx1dx2+

∮w

∂Φ

∂nds

(5.4)Na desnoj strani jednaqine figurixu samo prvi izvodi, dok drugiqlan predstavlja krivolinijski integral normalnog izvoda po kon-turi oblasti strujanja.

Zamenom (5.1) u (5.4) dobija se:

N∑k=1

Φk

∫ ∫ (∂fj

∂x1

∂fk

∂x1

+∂fj

∂x2

∂fk

∂x2

)dx1dx2 −

∮fj

∂Φ

∂nds = 0 (5.5)

63

za sve qvorove j, gde je nepoznat potencijal. Za qvorove u ko-jima su zadate vrednosti potencijala na granici (Dirihleovigraniqni uslovi), ove jednaqine se ne pixu.

Vano je uoqiti da vrednost integrala (5.5) ne zavisi od rex-enja nego od geometrije i mree konaqnih elemenata.

5.2.2 Graniqni usloviDirihleov graniqni uslov. Kao xto je ve napomenuto, jed-naqina (5.5) se ne uzima za taqku u kojoj je zadat Dirihleovgraniqni uslov, ali se poznato Φk uzima u povrxinskom inte-gralu u taqkama bliskim granici, dok u krivolinijskom ne, jer jeza qvor j, fk = 0.

Fon Nojmanov graniqni uslov.

∂Φ

∂n= gΦ + h (5.6)

Jednaqina (5.5) za taqku (j) na granici glasi:

N∑k=1

Φkg∮

fjfkds +∮

fjhds = 0 (5.7)

Kao xto se vidi ovaj graniqni uslov se ne primenjuje striktnonego priblino, pa je jasno da je aproksimacija bolja xto je mreafinija.

Sistem jednaqina (5.5) moe se napisati skraeno:

N∑k=1

akjΦk = bj j = 1, 2, . . . , N (5.8)

gde su:

akj =∫ ∫ (

∂fj

∂x1

∂fk

∂x1

+∂fj

∂x2

∂fk

∂x2

)dx1dx2 −

∮gfjfkds (5.9)

bj =∮

fjhds (5.10)

Koeficijenti akj razliqiti su od nule samo za qvorove bliskeqvoru j, pa je matrica retka. Matrica se moe tretirati kao

64

trakasta i tada je bitno da xirina trake bude xto manja. Xirinatrake matrice koeficijenata zavisi od redosleda obeleavanjaelemenata.

Postavlja se pitanje do koje mere hidrotehniqki inenjer trebada bude upoznat sa svim ovim. Za to ima bar dva razloga:

• Metoda konaqnih priraxtaja je jednostavnija za primenu iu dobrom broju sluqajeva sasvim prihvatljiva, i

• Dostupni su programski paketi za generisanje mree konaq-nih elemenata, za raqunanje koeficijenata akj i bj po elemen-tima, formiranje globalnih matrica (5.8), rexavanje sis-tema jednaqina itd.

Za one koji ele da prave sopstvene programe, xto je inaqe vrloozbiljan posao, na raspolaganju su druge knjige (Baker, 1983, itd.).

5.3 Primena metode konaqnih elemenatau podzemnim vodama

U graevinskoj hidrotehnici metoda konaqnih elemenata uglavnomse i koristi za simulaciju strujanja podzemnih voda. Pokuxajida se MKE koristi i za proraqun hidrauliqkog udara postoje,ali ne deluju uopxte spontano.

Na slici (5.4) prikazane su tri varijante mree konaqnih el-emenata za strujanje ispod brane (Vreugdenhil, 1989). U zoni gde seoqekuje vea promena pijezometarske linije mrea je guxa. Kodvarijante (a) najmanji je broj elemenata i najmanja je zahvaenaoblast strujanja. Kod varijante (b) gustina mree kod objekta jeista ali je poveana oblast strujanja. U ovom primeru, rezul-tati se praktiqno ne razlikuju za varijante (b) i (c), xto znaqida je gustina mree u (a) i (b) dovoljna, a da je, u varijanti (a),raqunska granica oblasti strujanja preblizu.

5.3.1 Strujanje sa slobodnom povrxinomNa prethodnim slikama prikazana je dosta jasna situacija kada jekontura oblasti strujanja unapred poznata. Komplikacije nastaju

65

Slika 5.4: Varijante mree konaqnih elemenata

Slika 5.5: Ekvipotencijalne linije za varijantu (a) - ispreki-dana linija, i za varijantu (b) - puna linija

Slika 5.6: Sraqunato strujno polje za varijantu (b)

66

Slika 5.7: Strujanje sa slobodnom povxinom

kada je jedan deo konture slobodna povrxina. Njen poloaj se nezna unapred jer zavisi od strujnog polja. Na njoj pritisak trebada bude jednak nuli, a kada nema infiltracije ili evaporacije toje ujedno i strujna linija.

Na slici (5.7) prikazan je naqin kako se tretira strujanje saslobodnom povrxinom na primeru strujanja kroz nasip sa ver-tikalnim boqnim povrxinama. U prvom koraku se ne zna poloajslobodne povrxine pa se uzima proizvoljno. Iz uslova da je Π = x3

na slobodnoj povrxini odredi se nova aproksimacija slobodnepovrxine i generixe nova mrea i tako redom. Postupak pro-raquna se zavrxava kada |Π − x3| na svakoj taqki slobodne povr-xine postane manje od dozvoljenog odstupanja ε.

67

Slika 5.8: Strujanje sa slobodnom povxinom – mrea konaqnihelemenata

Slika 5.9: Strujanje sa slobodnom povxinom - linije istog pri-tiska (linija slobodne povrxine prikazana kao linija gde je pri-tisak jednak nuli)

Slika 5.10: Strujanje sa slobodnom povxinom - ekvipotencijalnelinije

68

Poglavlje 6

Neustaljeno strujanje uizdanskim tokovima

6.1 Osnovne jednaqineUslov odranja mase (jednaqina kontinuiteta) u integralnom ob-liku (2.14), primenjuje se na elementarnu zapreminu izdanskogtoka (slika 6.1), qije dimenzije su (∆x1 · ∆x2), u horizontalnojravni, i, (H), debljina izdanskog toka.

U pravcu (x1) u elementarnu zapreminu ulazi (v1H)i∆x2, a izlazi(v1H)i+1∆x2. U preseku (i), kosinus ugla izmeu vektora brzine iorta spoljne normale je -1, a u preseku (i + 1), 1. Ako se isto raz-matranje primeni na drugi pravac u horizontalnoj ravni, dobijase da u intervalu ∆t promena zapremine usled proticaja iznosi

∆t [(v1 H)i+1 − (v1 H)i] ∆x2 + ∆t [(v2 H)j+1 − (v2 H)j] ∆x1 (6.1)

Proticaj po jedinici povrxine u vertikalnom pravcu (kompo-nenta vertikalnog bilansa), usled infiltracije ili evapotran-spiracije, je (qv). Ukupna promena zapremine vode usled togaiznosi

−∆t qv ∆x1 ∆x2 (6.2)

Da bi se lokalna promena koliqine vode u kontrolnoj zaprem-ini dovela u vezu sa pomeranjem pijezometarske povrxi u inter-valu (∆t), uvodi se pojam specifiqne izdaxnost (specific yield),(Sy), xto predstavlja koliqinu vode (Vw), po jedinici zapremine,

69

koja se dobije iz elementarne zapremine (V ) porozne sredine, kada(Π) kota padne za jedinicu.

Sy = Vw/V (6.3)

Promena zapremine vode u intervalu ∆t iznosi

[SyVk]n+1n = [SyH]n+1

n ∆x1 ∆x2 (6.4)

Kod strujanja sa slobodnom povrxinom dobijena voda dolazi izpromenjenog profila vlanosti (slika 6.2 (b)), pa specifiqna iz-daxnost donekle odgovara efektivnoj poroznosti. Kod izdani podpritiskom to je posledica stixljivosti vode i tla i deformabil-nosti skeleta porozne sredine. Usled smanjenja pritiska dolazido xirenja vode, a drugi deo je usled preraspodele totalnog naponau tlu. Za koliko se smanjio pritisak vode (porni pritisak), zatoliko se poveao efektivni napon u skeletu tla. Skelet tla sedeformixe i dolazi do dodatnog isterivanja vode iz pora. Cr-pljenje vode iz deformabilne izdani moe dovesti do ozbiljnihgeotehniqkih problema – sleganje tla Land subsidence (primer: Mex-ico Ciudad, gde je, u periodu od 1938 do 1970, doxlo do spuxtanjatla i do 8.5 m).

Vrednost specifiqne izdaxnosti je logiqno znatno vea kodizdani sa slobodnom povrxinom, gde iznosi Sy = 0.01− 0.30, dok jekod izdani pod pritiskom Sy = 0.005− 0.00005.

Jednaqina kontinuiteta (izlaz−ulaz=lokalna promena) u dis-kretnom obliku, za konaqnu kontrolnu zapreminu, glasi:

∆t [(v1 H)i+1 − (v1 H)i] ∆x2 + ∆t [(v2 H)j+1 − (v2 H)j] ∆x1 =

− [SyH]n+1n ∆x1 ∆x2 −∆t qv ∆x1 ∆x2 (6.5)

Ovo je uobiqajeni oblik jednaqine kontinuiteta, koji predstavljazakon odranja zapremine u kome se kao ”izvor” kod strujanja podpritiskom pojavljuje uticaj xirenja/skupljanja vode usled promenepijezometarske kote. To je elegantan inenjerski naqin kojim seto ukljuquje u specifiqnu izdaxnost a zadravaju se jednostavnejednaqine.

Matematiqki model u diferencijalnom obliku dobija se del-jenjem jednaqine (6.5) sa ∆t ∆x1∆x2

(v1 H)i+1 − (v1 H)i

∆x1

+(v2 H)j+1 − (v2 H)j

∆x2

= −[SyH]n+1

n

∆t− qv (6.6)

70

i pod pretpostavkom da ∆t, ∆x1, ∆x2 tee nuli.

∂(v1 H)

∂x1

+∂(v2 H)

∂x2

= −Sy∂H

∂t− qv (6.7)

odnosno, kada se uzme u obzir Darsijev zakon

vi = −K∂Π

∂xi

(6.8)

dobija se

∂

∂x1

(KH

∂Π

∂x1

)+

∂

∂x2

(KH

∂Π

∂x2

)= qv + Sy

∂H

∂t(6.9)

Jednaqina je nelinearna zbog proizvoda debljine izdani H, odnos-no, (Π − Zd), kod strujanja sa slobodnom povrxinom i izvoda pi-jezometarske kote. Jednaqina se linearizuje uvoenjem transmi-sivnosti

K · H = T∂T

∂t≈ const.

Transmisivnost se koristi kod teqenja pod pritiskom, a kod teqenjasa slobodnom povrxinom ima smisla ako je H ∂H

∂xdx1.

Jednaqina (6.9) je parcijalna diferencijalna jednaqina para-boliqkog tipa i predstavlja matematiqki model neustaljenog stru-janja u izdanskom toku u diferencijalnom obliku. Razlikuje se odmatematiqkog modela ustaljenog teqenja samo po drugom qlanu nadesnoj strani jednaqine.

Matematiqki model u integralnom obliku dobija se analogno,preko modela za ustaljeno strujanje sa odgovarajuim prikazomlokalne promene pijezometarske kote. Za strujanje sa slobodnompovrxinom dobija se

∫L

k(Π− ZP )

(∂Π

∂x1

cos θ1 +∂Π

∂x2

cos θ2

)dl = Qv +

∫ ∫AH

Sy∂H

∂tdAH (6.10)

Karakteristike jednaqine (6.9) ilustrovae se na dva primeraza koja su poznata analitiqka rexenja.

1Vidi izraz za strujanje prema bunaru u izdani sa slobodnom povrxinom(2.59)

71

Slika 6.1: (a) Vertikalni presek izdani sa slobodnom povrxinomi (b) jednaqina kontinuiteta za elementarnu zapreminu

Slika 6.2: Specifiqna izdaxnost za izdan pod pritiskom i saslobodnom povrxinom

72

6.2 Analitiqka rexenja za jednostavne slu-qajeve

6.2.1 Primer 1: Linijsko neustaljeno strujanje us-led nagle promene nivoa u reci

Posmatra se deo izdani sa slobodnom povrxinom koji je u kon-taktu sa rekom. Pretpostavlja se da nema vertikalnog proticaja(qv) i da je pijezometarska ravan horizontalna. Nivo u reci senaglo spusti sa (H1) na (H2) i tako ostane. Pod naglom promenompodrazumeva se promena koja je dovoljno brza u odnosu na vremeodgovora izdani.

Rexenje se trai iz jednaqine:

∂2H

∂x21

=Sy

T

∂H

∂t(6.11)

gde je pretpostavljeno da je T = K H1 ≈ konst.

Slika 6.3: Nagla promena nivoa u reci

Poqetni uslov: Jednaqina je prvog reda po vremenu, xto znaqida je potrebno zadati jednu veliqinu kao poqetni uslov:

H(x, 0) = H1

Graniqni uslovi: Jednaqina je drugog reda po prostoru - dvagraniqna uslova

H(0, t) = H1 −∆H

73

erfc(λ) =2√π

∫ ∞λ

e−z2

dz

λ 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.50erfc(λ) 1.00 0.72 0.48 0.29 0.16 0.03

Slika 6.4: Objaxnjenje funkcije (erfc) (xrafirana povrxina nadijagramu).

H(∞, t) = H1

Analitiqko rexenje:

H(x, t) = H1 + (H2 −H1) erfc(λ) (6.12)

gde je λ = x1/(2√

at). Parametar (a) se zove pijezoprovodljivost ijednak je a = k · H/Sy.

erfc(λ) je tzv. complementary error function (slika 6.4)U raznim vremenskim trenucima polozaj pijezometarske linije

prikazan je na slici 6.5.Neke osobine rexenja jednaqine neustaljenog strujanja vode u

poroznoj sredini, odnosno parcijalnih diferencijalnih jednaqinaparaboliqkog tipa, mogu se uoqiti i na ovom jednostavnom primeru:

1. Posle bilo kog vremena (t), ma koliko kratko ono bilo, uti-caj poremeaja u preseku (x1 = 0), osea se u celoj oblastistrujanja (u velikom delu oblasti strujanja, vrlo slabo).Poremeaj se prostire beskonaqnom brzinom.

2. Snienje nivoa je isto za x/√

t = const. Prostiranje poreme-aja je proporcionalno sa (

√t) i sa (

√a). Uticaj poremeaja

se znaqajno osea do priblino x =√

4at, odnosno, do (λ ≈ 1).

74

Slika 6.5: Rexenje jednaqine linijskog neustaljenog strujanja;t0 < t1 < t2

3. Na rastojanju (L) od reke, promena nivoa e se osetiti tre-nutno, ali znaqajna, tek posle vremena reda veliqine (L2/(4a)).Mada se ne moe govoriti o vremenu prostiranja talasa kaokod hiperboliqkih jednaqina (hidrauliqki udar u cevima,pokretni hidrauliqki skok i sliqno), postoje neke sliqnostiu inenjerskom smislu.

Potrebno je zadati jednu veliqinu u celoj oblasti kao poqetniuslov, i dva graniqna uslova. Nije potrebno specificirati brz-inu, jer se ona dobija direktno iz Darsijeve jednaqine. Moe sepokazati da se ne mogu zadati dva uslova na istoj strani.

75

Slika 6.6: Strujanje prema bunaru

6.2.2 Primer 2: Strujanje prema bunaru - probnocrpljenje

Za ovaj problem pogodnije je imati jednaqine u polarnim koordi-natama, do kojih se dolazi ako se u jednaqinu 6.9 uvede

R =√

x21 + x2

2

. i uz pretpostavku o homogenoj izotropnoj izdani koja zauzimajako veliko prostranstvo.

∂2Π

∂R2+

1

R

∂Π

∂R=

Sy

T

∂Π

∂t(6.13)

76

Poqetna pijezometarska kota je horizontalna (Π = Π0), a veli-qina koju je najjednostavnije meriti je odstupanje od te poqetnevrednosti. Uvodi se nova promenljiva, (s = Π0 − Π), depresija.

∂2s

∂R2+

1

R

∂s

∂R=

Sy

T

∂s

∂t(6.14)

Rexenje se trai za sledee poqetne uslove,

S(R, 0) = 0

i za sledee graniqne uslove:

(1) s(∞, t) = 0, i

(2) za R → 0, Qb = −2RπT ∂S∂R

, odnosno, −R dSdR

= Qb/(2πT ) = Sk,pretpostavlja se kvaziustaljeno teqenje u blizini bunara.

Uvoenjem smene

u =SyR

2

4Tt=

R2

4at(6.15)

prethodna jednaqina se svodi na oblik:

f ′′(u) · u + f ′(u) + f ′(u) · u = 0 (6.16)

za koji postoji analitiqko rexenje:

s =Qb

4πT

[−∫ ∞

u

e−u

udu

]=

Qb

4πTW (u) (6.17)

W (u) se u matematici zove eksponencijalni integral. Zbognaqina kako je definisana promenljiva (u) u jednaqini (6.15), uhidraulici se (W (u)) zove funkcija bunara (well function), a po au-toru koji ga je formulisao, izraz (6.17) se zove Tajsovo (Theis)rexenje. Za (W (u)) postoje tabelarno sreena rexenja, a moese i razviti u Tejlorov red, odakle se moe doi do graniqnihvrednosti funkcije (W (u)) (takoe, vidi sliku 6.7):

u → 0 W (u) = ln(1/u)− 0.5772u →∞ W (u) = e−u/u

77

Slika 6.7: Vrednost funkcije W (u)

Osobina rexenja za male vrednosti pomone promenljive (u),prava linija u semi-logaritamskoj razmeri, koristi se za pro-cenu parametara izdani, transmisivnosti i pijezoprovodnosti.Treba napomenuti da se ovi parametri mogu znaqajno razlikovatiod parametara dobijenih laboratorijskim ispitivanjima uzoraka.Sa gledixta upotrebljivosti ovako dobijeni parametri mnogo vixevrede, jer su reprezentativni za mnogo vei prostor i dobijeni suu uslovima koji u principu liqe na one u kojima e izdan raditiu eksploataciji.

Postupak se zove probno crpljenje. Naime, tokom crpljenja sakonstantnim proticajem (Qb), prati se promena nivoa u bunaru ikoristi jednaqina:

s =Qb

4πT(− ln u− 0.5772) (6.18)

Nagib linije, odnosno, tan α, odgovara Qb/(4πT ), a odseqak na or-dinati daje vrednost pijezoprovodnosti (slika 6.8).

Umesto Rb, preqnika bunara, u izrazima na slici (6.8) moestajati rastojanje pijezometra u kom se prati promena nivoa kodprobnog crpljenja. Veoma vano je pratiti promene pijezometarskekote bar u jox jednom pijezometru pored bunara (satelitski pi-jezometri). Na slici (6.9) prikazano je nekoliko moguih oblikadepresionih levaka u istom trenutku kod probnog crpljenja.

Za sistem od n bunara koji rade sa proticajima Q1, Q2 . . . , Qn,

78

s1 =Qb

4πT

[− ln

R2b

4at1− 0.5772

]

s2 =Qb

4πT

[− ln

R2b

4at2− 0.5772

]

s2 − s1 =Qb

4πTln

t2t1

T =Qb

4π

ln t2 − ln t1s2 − s1

Za(s = 0) → t0 Sy =2.25Tt0

R2b

Slika 6.8: Odreivanje parametara izdani probnim crpljenjem

ukupna deresija moe se dobiti superpozicijom Tajsovih rexenjaza pojedinaqne bunare

s =Q1

4 πTW (u1) +

Q2

4 πTW (u2) + · · · Qn

4 πTW (un) (6.19)

gde je

ui =r2i Sy

4Ttii = 1, 2 . . . , n

a ri rastojanje taqke u kojoj s eraquna depresija od svakog bunara,ti vreme od kada je pumpanje zapoqeto u bunaru u kojem je proti-caj Qi. Superpozicija rexenja je mogua jer je jednaqina matem-atiqkog modela (6.13) linearna. Na slici (6.10) prikazan je sluqajsuperpozicije kod dva bunara iz kojih se crpi isti proticaj.

79

Slika 6.9: Oblici depresionih levaka za akvifere sa (a) malomtrnsmisivnosti, (b) velikom transmisivnosti, (c) malom speci-fiqnom izdaxnoxu i (d) velikom specifiqnom izdaxnoxu

Slika 6.10: Superpozicija rexenja probnog crpljenja za dvabunara u izdani pod pritiskom

80

Slika 6.11: Promena nivoa u bunaru nakon prestanka crpljenja

Jox jedno mesto gde se princip superpozicije rexenja moeprimeniti je kada se kod jednog bunara skokovito menja proticaj iima vrednosti Q0, Q1, . . . , Qm. Depresija na rastojanju r od bunaraiznosi

s =Q0

4 πTW (u0) +

∆Q1

4 πTW (u1) + · · · ∆Qm

4 πTW (um) (6.20)

gde je

uj =r2Sy

4Ttjj = 0, 1, 2 . . . , m

a tj je vreme od kada je zapoqelo pumpanje sa proticajem Qj.Trea mogunost primene principa superpozicije je praenje

vraanja nivoa u bunaru/pijezometru nakon prestanka pumpanja(slika 6.11).

Pretpostavke pod kojima je dobijeno Tajsovo rexenje (homogena,izotropna, jako velika izdan, koja nema prihranjivanja iz susednihslojeva itd.) retko kada su ispunjene. Na osnovu oblika linijepromene depresije (odnosno, na osnovu odstupanja od analitiqkogrexenja) moe se dati ocena uzroka odstupanja. Na slici (6.12)prikazano je nekoliko primera promene depresije u bunaru, za-jedno sa moguim objaxnjenjem za to.

81

Slika 6.12: Uticaj odstupanja od pretpostavki za Tajsovo rexenjena oblik linije depresije kod probnog crpljenja

82

6.3 Linijski numeriqki modeli neusta-ljenog teqenja

6.3.1 Eksplicitna metodaRazmatra se jednostavni sluqaj linijskog strujanja izazvanog pro-menom nivoa na granici (Primer 1), a rexenje se trai prib-linim metodama. Parcijalni izvodi u jednaqini matematiqkogmodela (6.11) aproksimiraju se konaqnim razlikama diskretnihvrednosti pijezometarskih kota u taqkama na konaqnom rastojanju(∆x1).

Izvod po vremenu se aproksimira razlikom unapred, a drugiizvod po prostoru, centralnom razlikom. Numeriqki model zaokolinu taqke (j), glasi:

Πn+1j − Πn

j

∆t− T

Sy

Πnj+1 − 2Πn

j + Πnj−1

∆x2=

qV

Sy

(6.21)

Graniqni uslovi:

• Ako je na granici zadata pijezometarska kota (Dirihleovgraniqni uslov) nisu potrebne nikakve posebne aproksimacije;

• Ako je zadat fon Nojmanov graniqni uslov, ∂Π/∂x, potrebnoje to diskretizovati

Πn+12 − Πn+1

1

∆x= gn+1

Stabilnost numeriqke metode moe se proveriti nekom od stan-dardnih metoda (Vreugdenhil, 1983). Amplifikacioni faktor, od-nosno, veliqina koja vezuje dve vrednosti nepoznate na susednimvremenskim nivoima je jednaka

ρ = 1 + λ′(cos ζ − 1) ζ =2π∆x

L(6.22)

U izrazu se javlja novi bezdimenzionalni parametar

λ′ = 2a∆t

∆x2a =

kH

Sy

=T

Sy

83

koji se zove difuzioni parametar.Uslov stabilnosti, koji se dobija iz zahteva da je modul am-

plifikacionog faktora manji od 1, glasi

0 ≤ λ′ ≤ 1 (6.23)

Ovo ograniqenje je posebno kritiqno kod malog priraxtaja (∆x)Postoji izvesna sliqnost difuzionog parametra sa Kurantovim

brojem.Poremeaj difuzijom pree rastojanje (L) za vreme (L2/4a),

odnosno, rastojanje (∆x) za (∆x2/4a). Brzina propagacije poreme-aja (L/∆t), odnosno, (∆x/∆t), moe se dovesti u vezu sa stabilnox-u.

Uslov stabilnosti se brojqano malo razlikuje od Kurantovoguslova, tako da je ovde

∆t <∆x2

2axto odgovara (

∆t ≤ 2∆x

c

)

6.3.2 Implicitna metoda. Tomasov algoritamNaqin da se prevazie ograniqenje zbog stabilnosti metode, jekorixenje implicitnih metoda. Izvod po vremenu se ne aproksimirana vremenskom nivou (tn), nego na (tn + θ ∆t), gde je 0 ≤ θ ≤ 1, ko-ristei i nepoznate veliqine na narednom vremenskom nivou.

∂Π

∂t

∣∣∣∣∣tn+θ∆t

≈Πn+1

j − Πnj

∆t

Da bi se ovo postiglo potrebno je drugi izvod po prostoru aprok-simirati na sledei naqin

∂2Π

∂x2≈ θ

Πn+1j+1 − 2Πn+1

j + Πn+1j−1

∆x2+ (1− θ)

Πnj+1 − 2Πn

j + Πnj−1

∆x2(6.24)

Odgovarajui numeriqki model glasi

Πn+1j − Πn

j = λ′[θ(Πn+1

j+1 − 2Πn+1j + Πn+1

j−1 ) + (1− θ)(Πnj+1 − 2Πn

j + Πnj−1)

](6.25)

84

Fon Nojmanovom analizom stabilnosti prethodne xeme, dobija seda je amplifikacioni faktor jednak:

ρ =1 + (1− θ)λ′(cos ζ − 1)

1− θλ′(cos ζ − 1)(6.26)

Metoda je stabilna za bilo koje (λ′), ako je (1/2 ≤ θ ≤ 1). Ako je(θ = 1/2), metoda je drugog reda taqnosti i po vremenu, i poznataje kao metoda Crank - Nicolson-a. Posebno je pogodna kod homogenihoblasti strujanja i konstantnih parametara oblasti strujanja. Uostalim sluqajeva metoda je prvog reda taqnosti.

Jednaqina (6.25) se moe napisati u skraenom obliku:

ajΠj−1 + bjΠj + cjΠj+1 = dj (6.27)

Ako je (θ = 1/2), onda su koeficijenti u jednaqini (6.27) jednaki:aj = −λ′/2, bj = 1 + λ′ i cj = −λ′/2. Pijezometarske kote na levojstrani jednaqine (6.27) odnose se na vremenski nivo (n+1), dok sepoznate vrednosti sa vremenskog nivoa (n) nalaze na desnoj stranijednaqine:

dj = Πnj +

1

2λ′(Πn

j+1 − 2Πnj + Πn

j−1)

Za svaku taqku unutar oblasti strujanja moe se napisati po jednajednaqina oblika (6.27), koje zajedno sa jednaqinama graniqnihuslova qine sistem jednaqina koje treba rexavati na svakom vre-menskom koraku. Sistem jednaqina (6.27) moe se napisati u ma-triqnom obliku:

b1 c1 0 0 . . . . . . 0−λ′/2 1 + λ′ −λ′/2 0 . . . . . . 0

0 −λ′/2 1 + λ′ −λ′/2 . . . . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 . . . aN bN

Πn+11

Πn+12

Πn+13

. . .

. . .Πn+1

N

=

g1

d2

d3

. . .dN−1

gN

(6.28)

Prva i poslednja jednaqina predstavljaju graniqne uslove, i kadase radi o Dirihleovim uslovima, (Π1 = Πg), jednaqina se iskljuqujeiz sistema, a poznata vrednost na granici se zamenjuje u narednojjednaqini i prebacuje u slobodni qlan na desnoj strani. Ma-trica koeficijenata je trodijagonalna xto omoguava efikasno

85

rexavanje sistema jednaqina postupkom koji je poznat pod imenomTomasov algoritam, ali i progonka, kod ruskih autora.

Ako je (a1 = cN = 0), mogue je napisati rekurzivnu formulukoja povezuje pijezometarske kote u dva preseka

Πj = ej + fjΠj+1 (6.29)

Koeficijenti (ej) i (fj) sraqunati su u ”prolazu unapred” (forwardsweep) na sledei naqin

ej =dj − ajej−1

bj + ajfj−1

e1 =d1

b1

(6.30)

fj =−cj

bj + ajfj−1

f1 = −c1

b1

(6.31)

Nakon toga se u ”prolazu unazad” (backward sweep), koristei jed-naqinu (6.29), dolazi do rexenja sistema jednaqina.

6.4 Numeriqki model neustaljenog teqenjau horizontalnoj ravni

Kod implicitnih numeriqkih modela strujanja u ravni, svaka jed-naqina sadri bar 5 nepoznatih veliqina, koje su smextene na petdijagonala. Meutim, dijagonale nisu blizu glavnoj tako da nepostoji postupak, sliqan Tomasovom algoritmu, kojim se sistemjednaqina moe efikasno rexiti. Takoe, korixenje postupka zatrakaste matrice nije dovoljno efikasno, iako predstavlja znaqa-jno ubrzanje u odnosu na rexavanje kompletnog sistema jednaqina.

U nastavku e se objasniti postupak ADI (Alternating DirectionImplicit) razvijen od strane Daglasa, Pismana i Raqforda (Dou-glas, Peaceman & Rachford, 1955), qijom generalizacijom se doxlodo izuzetno znaqajne grupe metoda razdvajanja operatora. U tojoblasti je veliki doprinos ruskih autora Janenka, Samarskog,Marquka i drugih.

Polazi se od implicitne aproksimacije matematiqkog modelau ravni, gde indeksi (j) i (i), oznaqavaju poloaj kontrolne za-

86

premine u (x1), odnosno, (x2) pravcu.

Πn+1i,j − Πn

i,j

∆t= θT

∆2Πi,j

∆x21

∣∣∣∣∣n+1

+∆2Πi,j

∆x22

∣∣∣∣∣n+1

+(1−θ)T

[∆2Πi,j

∆x21

∣∣∣∣∣n

+∆2Πi,j

∆x22

∣∣∣∣∣n]

(6.32)gde su na desnoj strani aproksimacije drugih izvoda po prostoru.Uz pretpostavku homogene izdani i konstantnih priraxtaja u ko-ordinatnim pravcima, moe se napisati:

∆2Πi,j

∆x21

∣∣∣∣∣k

=Πk

i,j−1 − 2Πki,j + Πk

i,j+1

∆x21

(6.33)

∆2Πi,j

∆x22

∣∣∣∣∣k

=Πk

i+1,j − 2Πki,j + Πk

i−1,j

∆x22

(6.34)

gde (k) moe biti (n), ili (n + 1).Uvodi se pomoni vremenski nivo na polovini intervala (n +

1/2), i u prvom koraku se raqunaju vrednosti pijezometarskih natom nivou kao doprinos qlana u jednom od koordinatnih pravaca, au drugom koraku se dobija konaqna vrednost. Koristi se skraenopisanje, gde indeksi (i, j) oznaqavaju kontrolnu zapreminu na kojuse odnosi jednaqina.

Πn+1/2i,j − Πn

i,j

∆t/2− Ti,j

∆2Πn+1/2i,j

∆2x1

= Ti,j

∆2Πni,j

∆2x2

(6.35)

Πn+1i,j − Π

n+1/2i,j

∆t/2− Ti,j

∆2Πn+1i,j

∆2x2

= Ti,j

∆2Πn+1/2i,j

∆2x1

(6.36)

Ovo je jedan oblik Krank-Nikolsonove metode drugog reda taq-nosti i po prostoru i po vremenu, iako je svaki korak za sebeprvog reda taqnosti. Ako se dva koraka spoje u jedan i elimin-ixe pomoni vremenski nivo, dobija se izraz iz koga se to moei zakljuqiti.

Πn+1i,j − Πn

i,j

∆t= Ti,j

∆2Πn+1/2i,j

∆2x1

+1

2

(∆2Πn

i,j

∆2x2

+∆2Πn+1

i,j

∆2x2

) (6.37)

Dalja pogodnost ove metode je xto sistemi jednaqina (6.35) i(6.36) imaju tridijagonalne matrice koeficijenata i da se i onerexavaju jednostavnim Tomasovim algoritmom.

87

Slika 6.13: Metoda ADI

Praktiqni problem koji ograniqava duinu vremenskog korakaje taqnost ove metode. Zbog toga postoji dosta varijanti ovemetode, u kojima se ti problemi rexavaju.

88

Poglavlje 7

Transport obeleenematerije u poroznoj sredini

7.1 Kvalitet podzemnih vodaNajvei deo ove knjige prouqava brzine, pritiske, pijezometarskekote i ostale kvantitativne pokazatelje kretanja vode u prostorui vremenu, dok se srazmerno mali deo bavi kvalitetom vode. Sagledixta vodosnabdevanja, kvalitet vode je je izuzetno vaan as-pekt, a zbog same qinjenice da su podzemne vode ubedljivo najvearezerva vode za pie (oko 95 %), taj problem se prouqava u okvirudela o podzemnim vodama.

Kraj proxlog veka i ceo ovaj, doneli su velike promene napovrxini Zemlje. Kao posledica nagle industrijalizacije, ur-banizacije i intenzivne poljoprivrede doxlo je do nekontrolisanogispuxtanja otpadnih (i opasnih) materija u prirodu, u prvomredu, u vodotoke. Stanje u velikom broju vodotoka, jezera i pri-obalnih delova mora je kritiqno i ozbiljno se postavlja pitanjeopstanka ivog sveta na zemlji, ako se postojei trend ne zaus-tavi. Neophodno je preduzeti efikasne mere zaxtite kako povr-xinskih, tako i podzemnih voda. Problem zaxtite podzemnih vodaje vrlo osetljiv. Zagaenje se texko otkriva. Obiqno to bude tekkada se nedozvoljene materije pojave u vodi koja se koristi za vo-dosnabdevanje (slika 7.1. Tada je zagaenje ve zahvatilo velikiprostor i moe biti kasno za preduzimanje bilo kakvih mera. Uk-

89

Slika 7.1: Mogui izvori zagaenja podzemnih voda

lanjanje zagaenja iz podzemlja je mukotrpan i neizvestan posao.Kvalitet vode se obiqno iskazuje preko koliqina materija koje

voda sadri, bilo rastvorenih, bilo u suspenziji. Pored ovoga,kao pokazatelj kvaliteta vode, moe se koristiti temperatura,tvrdoa vode, nekakva mera radijacije itd.

Najvei deo materija, koje odreuju kvalitet vode, dospevau vodu kao rezultat qovekove aktivnosti. Njihova koliqina seizraava koncentracijom, najqexe kao masa te materije po je-dinici zapremine. Kada koncentracija odreene materije preedozvoljene granice, govori se o zagaenju. Zadatak hidrotehniqkihinenjera u zaxtiti podzemnih voda je otkrivanje moguih izvorai mehanizama ulaska zagaenja u podzemlje, kao i prognoza xirenjazagaenja unutar oblasti strujanja.

Najqexe materije, koje zagauju podzemne vode, mogu se raz-vrstati u sledee grupe:

1. Nitrati. Ovo je najqexi zagaivaq, a u podzemlje dolazipreko fekalne i kixne kanalizacije, deponija smea, vex-taqkih ubriva, aerozagaenja itd.

2. Patogeni organizmi, virusi i bakterije.

90

3. Texki metali.

4. Organska jedinjenja.

U zavisnosti od namene za koju e se zahvaena voda koristiti,propisuje se koje materije odreuju kvalitet vode. Na primer,salinitet je izuzetno vaan parametar za vodu za pie i za voduza navodnjavanje, dok za vodu za rekreaciju i industrijsku vodu jenevaan.

Za vodu za pie granice u kojima se mogu javiti neki zagai-vaqi propisuje zdravstvena organizacija, mada se ne radi obaveznoo ograniqavanju koliqina zbog xtetnosti po zdravlje. Tako, naprimer, koliqina cinka (Zn) je ograniqena na 5 mg/L zbog ukusa,mada se i koncentracije do 40 mg/L mogu tolerisati, bez opas-nosti po zdravlje. Sa druge strane, koncentracije oko 0.02 mg/Lsu toksiqne za ribu.

Izvori zagaenja:

• Prirodni (slana voda, rastvaranje nekih materija na putukojim voda prolazi, gvoe, kalcijum karbonat itd.

• Domainstva

• Industrija

• Poljoprivreda

Kada zagaenje dospe u podzemni tok, ne ostaje na jednom mestu,nego se dalje xiri. Glavni mehanizmi transporta su:

• Konvekcija,

• molekularna difuzija,

• mehaniqka disperzija,

• razmena izmeu qvrste i teqne faze (istaloavanje i prelazu rastvor ili suspenziju)

• hemijske reakcije i raspadanje.

91

U okviru ovog poglavlja razmatrae se samo prva tri mehanizma,konvekcija, difuzija i disperzija, dok se preostala dva, koja za-htevaju uvoenje posebnih izvor–ponor qlanova, ovde nee razma-trati, jer se tu fiziqki (hidrauliqki) procesi ne mogu odvojitiod bio-hemijskih.

7.2 Osnovne jednaqineUvode se dve osnovne pretpostavke: (1), porozna sredina je zasi-ena vodom i, (2), koliqina rastvorene materije (ili, obeleenihdelia vode) je nepromenljiva. Rastvorene materije svojim pris-ustvom ne utiqu na strujno polje i ne zadravaju se na skeletuporozne sredine. Takve materije se zovu idealni traseri.

Osnovni razlog kretanja trasera je kretanje vode, a onaj deotransporta trasera koji se time dexava, zove se konvekcija. Trebaistai da se ovde ne misli na Darsijevu brzinu (v = Q/A), odnosno,specifiqni proticaj, nego na srednju brzinu kretanja vode, (v =v/ne), gde je (ne) efektivna poroznost sredine.

Koncentracija neke materije u vodi, (C), definisana je kaomasa po jedinici zapremine rastvora. Masa po jedinici zaprem-ine porozne sredine jednaka je (neC). Za homogenu sredinu efek-tivna poroznost (ne) je konstantna, pa je, na primer, ∂(neC)/∂xi =ne ∂C/∂xi.

Pokazalo se, meutim, da se nagle promene koncentracije tra-sera postepeno ublaavaju, i da jedan deo trasera putuje mnogobre u odnosu na poloaj do koga bi se doxlo transportom sred-njom brzinom (slika 7.2) i da se prelazna zona poveava. Fiziqkiproces koji dovodi do toga zove se hidrodinamiqka disperzija.

7.2.1 Jednaqina odranja mase traseraPretpostavlja se da je strujno polje poznato, ili odreeno pos-tupkom na koji raspored koncentracija trasera nema uticaja. Izporozne sredine izdvaja se konaqna zapremina (∆V). Promena masetrasera unutar zapremine u vremenskom intervalu [tn, tn+1], jednakje

ne ∆V [C]n+1n

92

Slika 7.2: (a) Linijski transport fronta zagaenja (b) Ravanskitransport oblaka zagaenja

Do promene mase trasera dolazi usled proticaja kroz kontrolnupovrxinu, srednjom brzinom fluida vi - konvekcija, i usled ner-avnomernosti brzina na mikro planu (porni prostor) i makroplanu (usled heterogenosti) - disperzija.

Konvekcija

Efektivni proticaj usled konvekcije u (x1) pravcu (izlaz - ulaz)(slika 7.3) jednak je[

(nev1C)j+1 − (nev1C)j

]∆x2∆x3 = ne [v1C]j+1

j ∆x2∆x3 (7.1)

gde je (∆x2∆x3) povrxina elementarne zapremine upravno na pravac(x1).

93

Slika 7.3: Konvekcija trasera

Slika 7.4: Transport trasera usled disperzije, (a) i (b), imolekularne difuzije (c)

Difuzija i disperzija

Strujanje u pornom prostoru uglavnom je laminarno. Kod lami-narnog strujanja u Mehanici fluida govori se o molekularnoj di-fuziji, dok je intenzivnije mexanje vezano za turbulenciju. Mole-kularna difuzija kod malih brzina ima vrlo mali uticaj na trans-port. Intenzivno mexanje i razblaenje materija koje podzemnavoda nosi moe se objasniti fenomenima na slici (7.4). Ako sepretpostavi da je u jednom trenutku u ceo presek izmeu dva zrna(7.4.a) ubaqena ravnomerna koncentracija, u narednom trenutku,zbog rasporeda brzina dolazi do izduenja talasa zagaenja. Istotako, (7.4.b) zbog razliqitih puteva kojima se kreu fluidnidelii imaju i razliqite brzine. Na makro planu, heterogenostsredine izraena preko razliqitih vrednosti koeficijenta fil-tracije, qini da obeleena materija razliqitim brzinama napre-duje kroz poroznu sredinu.

Uporedo sa mehaniqkom disperzijom odvija se i molekularnadifuzija, do koje dolazi zbog razlike u koncentracijama unutarteqne faze.

Specifiqni proticaj usled disperzije dat je prvim Fikovim

94

zakonom:qd1 = −ne D1

∂C

∂x1

(7.2)

gde znak (-) oznaqava da je proticaj u smeru opadanja koncentracijetrasera. Pored molekularne difuzije1 (koeficijent difuzije D∗),koeficijent hidrodinamiqke disperzije (D1) u sebi sadri uticajsluqajnog rasporeda pora u skeletu tla, kao i rasporeda brzineunutar prostora izmeu susednih zrna, zajedniqki izraeno prekodisperzivnosti (α1), karakteristike porozne sredine, koja ima di-menziju duine [L].

D1 = α1v + D∗ (7.3)

Molekularna difuzija je obiqno mnogo manjeg znaqaja od disperz-ije, xto se moe videti na slikama (7.5) i (7.6).

Za konaqnu zapreminu efektivni proticaj usled disperzije izno-si (izlaz-ulaz):

−

(ne D1∂C

∂x1

)j+1

−(ne D1

∂C

∂x1

)j

∆x2 ∆x3 = −ne

[D1

∂C

∂x1

]j+1

j

∆x2 ∆x3

(7.4)Uz pretpostavku da unutar elementarne zapremine ne dolazi dopromena materije usled biohemijskih ili hemijskih reakcija, iliradioaktivnog raspadanja, rezultat konvekcije i disperzije trebada bude jednak promeni mase unutar zapremine:

ne ∆V [C]n+1n

1

∆t+ ne [v1C]j+1

j ∆x2∆x3 − ne

[D1

∂C

∂x1

]j+1

j

∆x2 ∆x3 = 0

(7.5)Deljenjem celog izraza sa ∆V i pod pretpostavkom da priraxtajipo vremenu i prostoru tee nuli, od prethodne jednaqine lako sedolazi do diferencijalnog oblika. Kada se uzmu u obzir i ostaladva koordinatna pravca, matematiqki model transporta trasera,

1 Upotreba termina difuzija i disperzija u hidraulici nije potpuno usa-glaxena. Kod strujanja podzemnih voda pod difuzijom se obiqno podrazumevarazmena materije kretanjem fluida na molekularnom nivou, a pod disperzi-jom, rasprostiranje materije usled neravnomernosti brzina na nivou pornogprostora, kao i usled mikro i makro heterogenosti porozne sredine.

95

Slika 7.5: Transport zagaivaqa pod uticajem molekularne di-fuzije za karakteristiqne vrednosti koeficijenta difuzije D∗ =10−10 − 10−11 m2/s

Slika 7.6: Koeficijenti podune i popreqne disperzije izmereniu homogenom pexqaru poroznosti 22 %

96

baziran na jednaqini odranja trasera, glasi:

∂C

∂t+

∂(viC)

∂xi

−Di∂2C

∂x2i

= 0 (7.6)

7.2.2 Linijski model transporta obeleene mater-ije

U oblastima strujanja gde postoji dominantan pravac teqenja moese koristiti model transporta u sledeem obliku:2

∂C

∂t+

∂(v1C)

∂x1

−D1∂2C

∂x21

= 0 (7.7)

Ako se uvede promenljiva:

z = x− v1 · t (7.8)

dobija se jednaqina∂C

∂t−D1

∂2C

∂z2= 0 (7.9)

koja odgovara qistoj disperziji oko teixta oblaka obelene ma-terije , u koordinatnom sistemu koji se kree brzinom (v1).

Jednaqina (7.9) je istog oblika kao i jednaqina (6.11) iz pret-hodnog poglavlja za koju je dato analitiqko rexenje. Na slici7.7 data je filtarska kolona sa homogenom ispunom na qijem sekraju uvodi voda sa traserom koncentracije (C0). U poqetnomtrenutku koncentracija je u celoj oblasti strujanja jednaka nuli,tj, C(x, 0) = 0. Graniqni uslovi su:

C(0, t) = C0 t ≥ 0

C(∞, t) = 0 t ≥ 0

Proticaj vode (Q) kroz filtarsku kolonu je konstantan, a takoei srednja brzina kretanja vode (v), koja se dobija deljenjem proti-caja sa (neA), gde je (A) popreqni presek kolone, a (ne) efektivnaporoznost.

2Kod linijskih modela teqenja u otvorenim tokovima i kod teqenja pod pri-tiskom, gde su sve veliqine osrednjene po popreqnom preseku, koristi se istajednaqina. Koordinata (x1) se meri du strujnice, koja je kriva linija.

97

Slika 7.7: Linijska disperzija trasera u poroznoj sredini

Za date poqetne i graniqne uslove, moe se dobiti sledeerexenje:

C

C0

=1

2

[erfc

(x1 − v1t

2√

D1t

)+ exp

(v1x1

D1

)erfc

(x1 + v1t

2√

D1t

)](7.10)

gde je komplementarna funkcija grexke, (erfc), objaxnjena u pret-hodnom poglavlju. Drugi qlan rexenja (7.10) postaje zanemarljivako je disperzivnost jako velika, kao i za jako velike vrednosti(x1) i (t).

Osobine rexenja se mogu videti i na slici (7.7), gde su prika-zana dva mogua naqina prikaza rezultata, na (7.7 (c)), promenarelativne koncentracije trasera (C/C0) u jednom preseku, krozvreme, i na 7.7 (d), nekoliko podunih profila relativnih kon-centracija u razliqitim vremenskim trenucima. Na slici (7.7(c)) isprekidanom linijom prikazan je poloaj fronta traserakada ne bi bilo disperzije.

Kod ravanskih problema (vidi poglavlje 5. o potencijalnom

98

strujanju) gde se moe definisati mrea ekvipotencijalnih i stru-jnih linija, jednaqina (7.7) se moe napisati za strujnu cev.

∂C

∂t+

∂(vsC)

∂xs

−Ds∂2C

∂x2s

−Dn∂2C

∂x2n

= 0 (7.11)

gde su (xs) i (xn), krivolinijske koordinate du strujnica i nor-malno na njih, odnosno, du ekvipotencijalnih linija. Ds je ko-eficijent disperzije du strujnice, a Dn u popreqnom. Ovakvorazdvajanje ima znaqajnih prednosti kod diskretizacije konvek-tivnog qlana jer se numeriqka difuzija moe znaqajno smanjiti.Vrednosti disperzivnosti se znaqajno razlikuju za poduni ipopreqni pravac (slika 7.6). Takoe, znaqajno se razlikuju ivrednosti dobijene u laboratoriji na uzorcima homogenog neveza-nog materijala, koje se kreu od 0.1 do 10 mm, od onih utvrenihna terenu za sliqan materijal, koje iznose i nekoliko desetinametara (Freeze & Cherry, 1979).

7.3 Transport sa razmenom materije iz-meu teqne i qvrste faze

Koncentracije materija koje se transportuju podzemnom vodom moguse menjati usled hemijskih reakcija, raspadanja, adsorpcije, des-orpcije itd. To je daleko qexe nego ponaxanje kao idealnitraser. Za prognozu transporta neke materije neophodno je znatikako se ona ponaxa. U nastavku e se razmotriti mehanizam ad-sorpcije i njegov uticaj na transport u poroznoj sredini.

Matematiqki model transporta u homogenoj zasienoj poroznojsredini moe se napisati kao

∂C

∂t+

∂(v1C)

∂x1

−D1∂2C

∂x21

− ρb

n

∂S

∂t= 0 (7.12)

gde je S masa trasera adsorbovana na qvrstom delu porozne sre-dine po jedinici mase, ρbg zapreminska teina qvrstog dela poroz-ne sredine. Qlan ∂S/∂t oznaqava intenzitet promene adsorbovanematerije, a (ρb/n)(∂S/∂t), odgovarajuu promenu koncentracije tra-

99

sera u vodi. Koliqina trasera koji se adsorbuje zavisi od kon-centracije. Moe se napisati

− ρb

n

∂S

∂t=

ρb

n

∂S

∂C

∂C

∂t(7.13)

gde ∂S/∂C predstavlja podelu trasera izmeu zrna skeleta i rast-vora u vodi. Ova veliqina se odreuje eksperimentalno u lab-oratoriji. Meri se koliqina adsorbovanog trasera po jedincimase suve qvrste faze u funkciji koncentracije trasera u vodii prikazuje grafiqki na log-log dijagramu. Za veinu materijakoje se mogu nai u podzemnoj vodi, pri malim i umerenim kon-centracijama, ta zavisnost se moe prikazati kao prava linija

log S = b log C + log Kd, ili S = KdCb (7.14)

Jednaqina (7.14) se zove Frojndlihova izoterma. Kd je distribu-cioni koeficijent, koji, kao i b, zavisi od vrste trasera, karak-teristika porozne sredine itd. Ako je b = 1, onda se (7.14) moei na obiqnom dijagramu prikazati pravom linijom.

dS

dC= Kd (7.15)

Uticaj adsorpcije na putovanje trasera je smanjenje brzine na-predovanja. Ako za posmatrani traser vai (7.15) onda smanjenjebrzine napredovanja trasera, odnosno, faktor retardacije glasi

v

vc

= 1 +ρb

nKd (7.16)

gde je v linijska brzina vode, a vc brzina kojom se kree taqkaC/C0 = 0.5.

Faktor retardacije procenjuje se za nevezane matarijale na(1 + 4 Kd) do (1 + 10 Kd) (Freeze & Cherry, 1979). Jedina neizves-nost ostaje koeficijent distribucije Kd koji se moe definisatikao odnos mase trasera na skeletu po jedinici mase qvrste fazei koncentracije trasera u vodi. Dimenzionalno to je [L3/M ], ajedinica je [ ml/g].

Kod veih koncentracija i za due vremenske periode morase voditi raquna o kapacitetu skeleta porozne sredine da zadristaloene materije. Neophodno je simultano rexavati i jednaq-inu odranja materije na skeletu porozne sredine.

100

7.4 Numeriqki model transporta traseraSliqno kao kod qisto difuzione jednaqine, gde su izvodi po pros-toru aproksimirani centralnim razlikama, iz jednaqine (7.7) sedolazi do sledeeg numeriqkog modela:

Cn+1j − Cn

j

∆t+ θ

(vCn+1

j+1 − Cn+1j−1

2∆x−D

Cn+1j+1 − 2Cn+1

j + Cn+1j−1

∆x2

)

+(1− θ)

(vCn

j+1 − Cnj−1

2∆x−D

Cnj+1 − 2Cn

j + Cnj−1

∆x2

)= 0 (7.17)

Ako je (θ = 0), radi se o eksplicitnoj xemi, dok je u ostalimsluqajevima xema implicitna. Kod implicitne formulacije, sis-tem jednaqina, zajedno sa odgovarajuim graniqnim uslovima, moese rexiti Tomasovim algoritmom.

Analizom stabilnosti numeriqkog modela (7.17) dobija se daje amplifikacioni faktor jednak:

ρ =1 + (1− θ)λ′(cos ζ − 1)− (1− θ)iσ sin ζ

1− θλ′(cos ζ − 1) + θiσ sin ζ(7.18)

gde su σ = u∆t/∆x1, Kurantov broj, λ′ = 2D∆t /∆x2, difuzioniparametar, ζ = 2π∆x1/L, talasni broj i, L, talasna duina pore-meaja.

Implicitna formulacija je bezuslovno stabilna, ako je,

1/2 ≤ θ ≤ 1. (7.19)

Eksplicitna metoda je stabilna pod dva uslova:

σ2 ≤ λ ≤ 1 (7.20)

odnosno,

λ ≤ 1 ⇒ ∆t ≤ ∆t1 =∆x2

2D(7.21)

σ2 ≤ λ ⇒ ∆t ≤ ∆t2 =2D

v2(7.22)

Iz jednaqine (7.20) se vidi da je, ∆t1 ≤ ∆t2, odnosno,

|Re| =∣∣∣∣ v∆x

D

∣∣∣∣ ≤ 2, (7.23)

101

Slika 7.8: Numeriqki model transporta na smaknutoj mrei

gde Re predstavlja lokalni Rejnoldsov broj. 3

Ukoliko uslov (7.23) nije zadovoljen, ne moe se koristiticentralna aproksimacija konvektivnog qlana. Na raspolaganjuje vixe varijanti, tzv. upwind metoda, raznih redova taqnosti.Nakon izbora nove aproksimacije konvektivnog qlana treba prover-iti da li je metoda stabilna ili ne.

7.4.1 Integralni oblik numeriqkog modelaKada koeficijenti disperzije i brzine nisu konstantni po stru-jnom polju mnogo je pogodnija metoda konaqnih zapremina koja sedirektno moe izvesti iz matematiqkog modela u integralnom ob-liku (7.5). Koncentracija je zadata u centrima pravilnih za-premina (slika 7.8), a proticaji se definixu kroz povrxine kojeokruuju konaqne zapremine na poziciji (j + 1/2). Ako su brzinei zadate u tim taqkama, radi se o smaknutoj mrei (staggered grid).

Numeriqki model linijskog transporta u eksplicitnom oblikuglasi

Cn+1j − Cn

j

∆t∆V = −

(vj+1/2

1

2(Cj + Cj+1)− vj−1/2

1

2(Cj−1 + Cj)

)∆A

+(Dj+1/2

Cj+1 − Cj

∆x− Dj−1/2

Cj − Cj−1

∆x

)∆A (7.24)

Sve veliqine na desnoj strani jednaqine odnose se na vremenski3 Za istu veliqinu koristi se naziv, Pekleov broj.

102

nivo (n). Linijska brzina i koeficijent disperzije definisanisu u istoj taqki, na polovini rastojanja izmeu taqaka gde jedefinisana koncentracija. Oznake su nadvuqene xto ukazuje dase uzimaju kao srednja vrednost ako su zadate u istim taqkama gdei koncentracija. Jednaqina u ovom obliku moe se direktno pri-meniti i za teqenje u otvorenim tokovima. Tada umesto ∆A trebauzeti odgovarajue povrxine popreqnog preseka u presecima gdese raqunaju proticaji.

I kod ove jednaqine vai ograniqenje vremenskog koraka zbogstabilnosti zbog primene centralne razlike za aproksimacijukonvektivnog qlana izraeno izrazima (7.21) i (7.22), odnosno,(7.23) za lokalni Rejnoldsov broj. Lek za to je dosta jednos-tavan. Potrebno je u prethodnoj jednaqini umesto 1

2(Cj + Cj+1)

uzeti Cj, a umesto 12(Cj−1 + Cj) uzeti Cj−1, ako su brzine pozi-

tivne, odnosno, Cj+1 i Cj, ako su brzine negativne. Ovo je jednavarijanta upwinding-a, koja se zove donor-cell.

U prirodnim vodotocima ili akumulacijama, gde se povrxinapopreqnog preseka znaqajno menja a proticaj kroz karakteristiqnepreseke znatno manje, pogodno je numeriqki model pisati u sledeemobliku (tzv: compartment method):

Cn+1j − Cn

j

∆t∆V =

Mn+1−Mn

j

j

∆t=

−(QM,j+1/2 −QM,j−1/2

)+(Qdif,j+1/2 −Qdif,j−1/2

)(7.25)

gde su QM,j+1/2, QM,j−1/2, proticaji mase polutanta usled konvek-cije, a Qdif,j+1/2 i Qdif,j−1/2, proticaje mase usled disperzije.

Proticaji mase definisani su metodom centralnih razlika nasledei naqin:

QM,j+1/2 = Qj+1/2Cj + Cj+1

2(7.26)

Qdif,j+1/2 = Dj+1/2Cj+1 − Cj

∆Aj+1/2

(7.27)

Ako je neophodno da se koristi upwinding, onda jendaqina (7.26)treba da glasi:

QM,j+1/2 = Qj+1/2 · Cj (7.28)

ako je Qj+1/2 > 0 itd.

103

I ovo je eksplicitna metoda za koje vai CFL ograniqenje vre-menskog koraka. Vremenski korak ne treba da bude dui od:

max ∆t ≤ min(∆V)

max(Q)(7.29)

xto ima direktnog uticaja na diskretizaciju oblasti strujanja.Izbor raqunskih preseka treba da je takav da bi se dobile ujed-naqene zapremine deonica (compartment-a), ∆V, a ne ujednaqeneduine priraxtaja ∆x.

104