6 Teoria portofoliului

6.1 Portofolii eficiente formate din mai mult de două active cu risc – Frontiera Markowitz şi Capital Market Line (CML)

Aplicaţii rezolvate

1) Presupunem o piaţă de capital pe care sunt tranzacţionate trei active cu risc ( ). Matricea de varianţă-covarianţă a activelor,respectiv inversa acestei matrice se prezintă astfel :

,

Vectorul rentabilitaţilor aşteptate în cazul celor trei active este următorul : .

Presupunem un investitor raţional care urmăreşte obţinerea unei rentabilităţi ρ cu risc minim. Pornind de la această ipoteză să se determine :

a. structura şi riscul portofoliului eficient (optim Pareto) P, care asigură o rentabilitate ρ cu risc minim.

b. Să se calculeze riscul portofoliilor pentru care investitorul raţional fixează

rentabilităţile astfel : , , , . Să se reprezinte

grafic punctele în planul financiar şi să se comenteze rezultatele obţinute.c. Să se calculeze structura portofoliului cu risc minim global V.d. să se determine riscul şi rentabilitatea portofoliului pentru care tangenta dusă la

frontiera Markowitz trece prin originea axelor.e. Presupunem că pe piaţă de capital există un portofoliu Z, numit conjugat al unui

portofoliului P situat pe frontiera Markowitz cu rentabilitatea 20%. Să se determine rentabilitatea, riscul şi structura acestui portofoliu (Z).

Rezolvare

1

a) Reamintim faptul că relaţia risc-rentabilitate pentru portofoliile eficiente de pe frontiera Markowitz, rezultă din rezolvarea unei probleme de minim al investitorului raţional, respectiv :

unde : , , ,

În cazul problemei noastre calculul indicatorilor se realizează astfel :

Utilizând rezultatele de mai sus putem scrie structura portofoliului eficient P , cel care asigură investitorului o rentabilitate ρ la riscul minim.

2

, iar riscul va fi :

b. Pe baza relaţiei dintre riscul şi rentabilitatea portofoliului P prezentată mai sus putem calcula riscul portofoliilor P1 , P2, P3, P4, înlocuind rentabilităţile fixate de investitor în această relaţie:

Portofoliu ρPi σPi

P1 0.10 0.2754P2 0.15 0.1542P3 0.20 0.1520P4 0.25 0.2715

Prezentăm punctele (σPi ,ρPi ) de mai sus în planul financiar :

Comentarii : 1) Portofoliile formează o hiperbolă în planul financiar, frontiera Markowitz a portofoliilor eficiente 2) P3, P4 situate pe parte superioară a hiperbolei sunt portofolii eficiente, iar P1 şi P2 sunt portofolii ineficiente ( există portofolii care la acelaşi risc aduc o rentabilitate mai mare investitorului ).

3

c. Folosim formulele pentru V, portofoliul cu cel mai mic risc posibil:

Structura V : Varianţa: Rentabilitate:

, respectiv riscul

Atenţie !!! : portofoliul care asigură riscul minim global (V), va aduce o rentabilitate de 17.57% , investitorul asumându-şi un risc de 13.05% .

d. Notăm cu W portofoliul pentru care tangenta dusă la frontiera Markowitz trece prin originea axelor.

Riscul portofoliului W rezultă din formula :

Rentabilitatea portofoliului W :

4

Structura portofoliului W:

e. Reamintim faptul că portofoliul Z, numit conjugat al lui P, este acel portofoliu pentru

care :

Utilizând această relaţie putem calcula rentabilitate portofoliului Z :

2) Un investitor raţional poate să formeze un portofoliu eficient P, utilizând fondurile mutuale V şi W caracterizate prin :

V : W :

a. Să se determine ponderea investiţiei în V şi W astfel încât investitorul să obţină o rentabilitate egală cu 20%.b. Să se calculeze covarianţa între V şi W, respectiv între V şi P, portofoliul de la punctul a).

Rezolvare :

a. Ştim că structura oricărui portofoliu eficient se poate scrie ca o combinaţie convexă a portofoliilor V şi W :

, unde : ,

Înlocuim valoarea indicatorilor şi obţinem ca rezultat ponderea pe care investitorul trebuie să o investească în fondurile mutuale V şi W :

, iar

Observaţie : 1. Investitorul face short-selling pe fondul mutual V (vinde 1,5851 unităţi V) şi cumpără 2,5851 unităţi din fondul mutual W.

5

2. Portofoliul W este acel portofoliu eficient care asigură cea mai mare rentabilitate dacă pe piaţă nu există posibilitatea de a efectua operaţiuni de short-selling.(acest lucru se realizează atunci când λ este subunitar ).

Structura portofoliului P este egală cu:

b. Covarianţa între cele două fonduri mutuale V şi W se determină astfel :

Covarianţa între fondul mutual V şi portofoliul eficient P se determină astfel:

!Atenţie! Fondul mutual V, care are riscul minim global, va avea aceaşi covarianţă cu orice portofoliu eficient.

3) Pe o piaţă cotează un număr de patru active financiare. Se cunosc următoarele informaţii:

a. ,

b. , , ,

c. V : W :

Se cere:

a. Riscurile: , şi rentabilităţile , .

6

b. Riscul şi rentabilitatea portofoliului P situat pe frontiera Markowitz ştiind că

rentabilitatea aşteptată este .

c. Riscul şi rentabilitatea portofoliului Q situat pe frontiera Markowitz ştiind că riscul

asumat de investitor este .

d. Ştiind că să se calculeze rentabilitatea, riscul şi structura portofoliului pieţei

M.

e. Să se calculeze rentabilitatea, riscul şi structura portofoliului S, situat pe CML ştiind că

f. Să se calculeze coeficienţii de volatilitate , , precum şi , .

g. Să se calculeze indicatorul de senzitivitate :

.

a. V: Structura V : Varianţa: Rentabilitate:

, respectiv riscul

W: Riscul portofoliului W :

Rentabilitatea portofoliului W :

b. Riscul un portofoliu eficient de pe Frontiera Markowitz are coordonatele:

(*)

7

Ştim că pentru portofoliul P rentabilitatea este şi înlocuind în formula (*)

obţinem .

Structura portofoliului eficient P se scrie ca o combinaţie de V şi W:

,

unde :

, iar

Observaţie 1. investitorul face short-selling pe fondul mutual V (vinde 16.1303 unităţi V) şi cumpără 17.1303 unităţi din fondul mutual W.

Structura portofoliului P este :

c. Se ştie că portofoliul Q de pe frontiera Markowitz are riscul egal cu .

Folosind relaţia (*) obţinem: . Rezolvând ecuaţia de

gradul 2 obţinem:

,

, iar

d. M: Rentabilitatea portofoliului pieţei (M) este egală cu:

8

Riscul portofoliului pieţei este:

Deoarece portofoliul M se află pe frontiera Markowitz, acesta poate fi format utilizând portofoliile V şi W:

, iar

, iar .

e. S:

Structura portofoliului S situat pe CML: - active cu risc: active fără risc:

Rentabilitatea portofoliului S:

Ştiind că ecuaţia dreptei CML este:

f. Modelul CAPM presupune că:

9

Cunoaştem rentabilitatea aşteptată pentru fiecare activ în parte şi de aici putem să determinăm cât este coeficientul de volatilitate:

,

,

g. Ştiim că rentabilitatea aşteptată a lui M este:

Astfel

4) Pe o piaţă cotează trei active. Se cunosc:

,

Să se determine:a) ecuaţia frontierei Markowitz;b) rentabilitatea, riscul şi structura portofoliilor V şi W;c) riscul şi structura unui portofoliu P de pe frontiera Markowitz care are rentabilitatea

;d) rentabilitatea şi structura unui portofoliu Q care are riscul ;e) covarianţa dintre V şi W şi dintre V şi P;f) covarianţa dintre W şi P;g) să se calculeze indicatorii de volatilitate , precum şi ponderea din riscul al fiecărui activ care este recunoscut de piaţă (risc nediversificabil).h) un investitor îşi asumă un risc de investind în trei fonduri mutuale: V, W,

. Portofoliul P este situat pe CML. Să se precizeze ponderile investite în cele trei fonduri mutuale.

10

Rezolvare :a) ecuaţia frontierei Markowitz se scrie:

Calculăm A, B, C, D:

Frontiera Markowitz

b)

c) se foloseşte ecuaţia frontierei Markowitz în care se înlocuieşte

Structura lui P se scrie ca o combinaţie de V şi W; , iar ponderea în V este dată de:

d) se foloseşte tot frontiera Markowitz şi se rezolvă ecuaţia de gradul II:

Se alege evident rentabilitatea mai mare adică . Structura se determină tot ca

o combinaţie de V şi W:

e)

În cele de mai sus am folosit faptul că este simetrică deci şi relaţia de

transpunere a produsului două matrici oarecare X şi Y .

f)

g) coeficienţii de volatilitate se determină folosind formula:

11

(*)

În acest scop vom calcula structura şi varianţa portofoliului pieţei. Pentru a afla structura lui M trebuie să calculăm rentabilitatea sa folosind formula:

Determinăm varianţa folosind formula frontierei Markowitz, iar structura folosind descompunerea lui M în V şi W.

, iar

Revenim la formula (*), în care cunoaştem acum toate elementele. Efectuând calculele obţinem:

Ponderea din riscul individual recunoscut de piaţă este egal cu , adică înmulţim

vectorul BETA cu .

h) portofoliul P care se află pe CML poate fi descompus în M şi activ fără risc astfel:

Pe de altă parte, şi portofoliul M se scrie ca o combinaţie de V şi W cu ponderile pe care le-am determinat mai sus:

5) Pe o piaţă cotează 2007 de active financiare cu risc şi un activ fără risc. Se estimează

că ecuaţia frontierei Markowitz este . Rentabilitatea

activului fără risc este .a) să se deteremine rentabilitatea aşteptată şi riscul portofoliului V;

12

b) să se determine riscul şi structura pe cele două fonduri mutuale V şi W pentru un portofoliu de pe frontiera Markowitz care are rentabilitatea aşteptată .c) cum se modifică structura (pe cele 2007 active cu risc) portofoliului de la punctul b) dacă riscurile tuturor activelor cresc cu 10%.d) să se determine riscul şi structura pe cele două fonduri mutuale Rf şi M pentru un portofoliu de pe CML care are renbtabilitatea aşteptată .

e) un investitor are funcţia de utilitate , unde parametrul

cuantifică aversiunea la risc a investitorului. Să se determine rentabilitatea aşteptată a portofoliului de pe frontiera Markowitz care va fi ales de către investitor. Ce se întamplă dacă ? Explicaţie.

RezolvareFormula frontierei Markowitz se scrie astfel:

În problemă frontiera Markowitz arată astfel:

Comparând relaţiile obţinem:

a.

b.

c. nu se modifică! d.

Se scrie ecuaţia CML:

13

Astfel investitorul va investi 80,86% din capitalul iniţial în active cu risc şi 19,13% în active fără risc. În aceste condiţii, va obţine portofoliul P care îi asigură o rentabilitate de 12,6%.

e.Se scrie utilitatea înlocuind inlocuind varianţa cu ecuaţia frontierei Markowitz.

Dacă , deci portofoliul ales este chiar V.

Aplicaţii propuse

1. Pe o piaţă cotează 3 active. Se ştie:

a) să se calculeze A, B, C, Db) să se calculeze şi a unui portofoliu situat pe frontiera Markowitz ştiind că

. Ştiind că , să se calculeze şi să se facă un scurt comentariu financiar.c) ştiind că , să se calculeze

d) să se calculeze şi a unui portofoliu situat pe CML ştiind că . Să se

compare . Scurt comentariu.

R:a) A=144,9275; B=18,51; C=2,442; D=11,01;b)

c)

d)

14

2. Pe o piaţă cotează trei active. Se cunoaşte:

a) Să se calculeze:

b) Să se calculeze indicatorii de la punctul a) pentru cazul în care cresc cu 20%c) Să se calculeze indicatorii de la punctul a) pentru cazul în care cresc cu 20%

d) pe baza datelor iniţiale, să se calculeze ştiind că , iar P

este situat pe d.1. frontiera Markowitz, d.2. CML

R:a) A=49,2319 B=8,80129 C=1,6104 D=1,8183

b) Creşterea tuturor rentabilităţilor cu 10% presupune modificarea vectorului de rentabilităţi astfel:

În continuare vom determina felul în care se modifică A, B, C odată cu modificarea vectorului de rentablităţi.

- evident matricea de varianţă covarianţă nu se modifică în momentul în care se modifică rentabilităţile activelor.

Utilizând aceste informaţii, plus faptul că putem determina toate modificările astfel:

În mod similar se obţin toate celelalte modificări.

15

c) se tratează în mod similar cu punctul b). de data aceasta, modificarea riscurilor activelor are un impact asupra matricei de varianţă covarianţă şi nici un impact asupra vectorului de rentabilităţi, deci .Ce impact are însă asupra matricei de varianţă-covarianţă? Se ştie faptul că matricea de varianţă covarianţă poate fi descompusă astfel:

Fiecare se modifică cu 1,1 , deci S se modifică cu 1,1, ceea ce înseamnă că se

modifică cu , avînd în vedere că M rămâne constant. În concluzie:

De aici problema decurge exact ca mai sus:

ş.a.m.d.

d)d.1.

d.2.

3. Pe o piaţă cotează 2007 de active financiare cu risc şi un activ fără risc. Se estimează

că ecuaţia frontierei Markowitz este . Rentabilitatea

activului fără risc este .a) să se determine rentabilitatea aşteptată şi riscul portofoliului V;b) să se determine riscul şi structura pe cele două fonduri mutuale V şi W pentru un portofoliu de pe frontiera Markowitz care are rentabilitatea aşteptată .c) cum se modifică structura (pe cele 2007 active cu risc) portofoliului de la punctul b) dacă riscurile tuturor activelor cresc cu 10%.

16

d) să se determine riscul şi structura pe cele două fonduri mutuale Rf şi M pentru un portofoliu de pe CML care are rentabilitatea aşteptată .

e) un investitor are funcţia de utilitate , unde parametrul

cuantifică aversiunea la risc a investitorului. Investitorul are acces pe piaţa internaţională unde portofoliul pieţei are rentabilitatea aşteptată şi riscul . Piaţa internaţională şi cea naţională nu sunt corelate. Să se determine rentabilitatea aşteptată a portofoliului ales de investitor. Explicaţie.

R:a) A=55,9125 B=7,2093 C=0,9478

b) c) nu se modifică

d)

e) se determină

se investeşte pe piaţa naţională în portofoliul pieţei şi pe piaţa

internaţională în portofoliul pieţei

4. Pe o piaţă cotează un număr de trei active. Se cunoaşte:

Se cere:a) structura şi rentabilitatea a portofoliului pieţei

b) ştiind că să se calculeze structura portofoliului P situat pe CML cu

.

5. Se consideră o piaţă pe care cotează 3 active. Matricea de varianţă covarianţă este:

,

a) să se calculeze portofoliul de frontiera Markowitz care asigură o rentabilitate de 18,5%b) să se determine structura, rentabilitatea şi volatilitatea unui portofoliu de CML cu riscul

17

c) ca urmare a creşterii pieţei, toate rentabilităţile activelor cresc cu 10%. Să se determine modul în care se modifică rentabilitatea, riscul şi structura portofoliilor V şi M.

R:

b)

6. Pe o piaţă cotează 4 active cu risc. Pentru frontiera Markowitz se cunosc următoarele elemente:

a) să se determine structura şi riscul portofoliului P cu rentabilitatea 15%

b) să se determine senzitivitatea riscului portofoliului P în raport cu rentabilitatea sa

c) să se determine în ce interval trebuie să se situeze rentabilitatea lui P astfel încât portofoliul să aibă o componentă, respectiv 2 negative. Există valori pentru care P are 3 componente negative?d) să se determine riscul, rentabilitatea şi structura lui M dacă Rf=7%e) să se precizeze în ce interval trebuie să se situeze Rf astfel încât M să aibă o componentă sau 2 negative.

7. Se consideră pieţele de capital din ţările Home şi Foreign. Pe piaţa Home ecuaţia

frontierei Markowitz este , iar pe piaţa din ţara

Foreign ecuaţia frontierei Markowitz este . Rentabilitatea

activului fără risc este aceeaşi în cele două ţări . Se notează cu V şi V* portofoliul din din vârful frontierei Markowitz din ţara Home, respectiv Foreign. Coeficientul de corelaţie dintre cele 2 pieţe de capital este 0. a) Să se determine rentabilitatea aşteptată şi riscul celor două portofolii V şi V*;b) Să se determine rentabilitatea aşteptată şi structura pe cele două fonduri mutuale V şi W pentru un portofoliu de pe frontiera Markowitz din ţara Home care are riscul

;

18

c) Să se determine rentabilitatea aşteptată şi structura pe cele două fonduri mutuale şi

M pentru un portofoliu de pe CML din ţara Home care are riscul ;d) Fie U portofoliul de risc minim care se poate construi folosind V şi V*. Să se determine structura, rentabilitatea şi riscul lui U. e) Rentabilităţile aşteptate ale tuturor activelor de pe ambele pieţe de capital cresc cu 10%. Cum se modifică structura, riscul şi rentabilitatea lui U?f) Să se construiească un portofoliu eficient format din , V şi V* şi care are riscul

.R:a) pe piaţa Home:

pe piaţa Foreign:

b)

c)

d)

e) structura si riscul nu se modifica, iar rentabilitatea creşte cu 10%.f)

3.Modelul de evaluare a activelor CAPM (Capital Asset Pricing Model)

1. Pentru modelul CAPM să se răspundă la următoarele întrebări:

a) ştiind că >0 şi să se precizeze în ce situaţie ponderea unui activ în portofoliul pieţei poate fi negativă ( ).b) să se arate că dacă două active au acelaşi risc , activul care are coeficientul de corelaţie cu portofoliul pieţei mai mare va avea şi rentabilitatea aşteptată mai mare.

Rezolvare

a) Pornim de la vectorul de structura al portofoliilor de pe CML pe care o particularizăm pentru portofoliul pieţei care este şi el tot un portofoliu aflat pe CML.

(1)

19

Din ipoteză se cunoaşte faptul că >0 şi . Vom demonstra că şi

> 0.In acest scop trebuie să calculăm delta acestui trinom de gradul II, astfel:

Deoarece delta este mai mic decât 0, rezultă că trinomul va avea mereu semnul lui A. Dar A reprezinta suma tuturor elementelor din care sunt toate pozitive, deci şi A va fi pozitiv.Din cele de mai sus rezultă că semnul ponderii activului i în portofoliul pieţei este dată doar de relaţia dintre rentabilitatea sa şi rentabilitatea fără risc . Mai precis, pentru ca xi<0 este necesar ca .

b) Pornim de la faptul că . Folosim relaţia dintre coeficientul de corelaţie cu portofoliul pieţei şi coeficientul de volatilitate dedusă la aplicaţia 1:

.

Deducem faptul că . Stim insă că şi deviaţiile standard sunt pozitive

ceea ce inseamnă că relaţia se reduce la:

Vom folosi in continuare o alta relaţie dedusă in aplicaţia 1 şi care determină coeficienţii de volatilitate al activelor conform modelului CAPM:

Rezultă că putem scrie inegalitatea dintre coeficienţii de volatilitate astfel:

cunoaştem insă faptul că ceea ce ne duce la concluzia că , adică exact ceea ce trebuia demonstrate.

! Atenţie: am pornit de la faptul că activul i are un coeficient de corelaţie mai mare cu portofoliul pieţei decât j ceea ce am vazut că inseamnă că activul i are un risc sistematic mai mare decât j. Concluzia este că un activ financiar care are un risc sistematic mai mare trebuie să aducă investitorilor şi o rentabilitate mai mare, adică investitorii vor cere o primă pentru riscul suplimentar asumat. De asemenea, doar riscul sistematic este rasplătit

20

prin prima de risc; riscul nesistematic nu este plătit de piaţă pentru ca el poate fi diversificat.

2. In perioada următoare se anticipează pentru acţiunea AB că preţul va fi , iar dividendul ce se va plăti este Se ştie că rentabilitatea activului fără risc

este , rentabilitatea portofoliului pieţei este , iar indicatorul BETA al acţiunii este . Cat este cursul de echilibru al acţiunii in prezent (P0)?

Rezolvare

Vom determina rentabilitatea aşteptată a activului pe baza modelului CAPM.

Pe de altă parte rentabilitatea aşteptată se calculează luând în considerare câştigurile realizate din creşterea aşteptată a cursului acţiunilor şi din dividend, raportate la investiţia iniţială:

3. Se cunoaşte că portofoliul pieţei are următoarele caracteristici: E(RM)=20%; . Un portofoliu A format numai din active cu risc are rentabilitatea E(RA)=15%, iar coeficientul de corelaţie cu portofoliul pieţei este . Rentabilitatea activului fără risc este .Să se calculeze rentabilitatea şi structura (active cu risc şi fără risc) a portofoliului B situat pe dreapta CML şi având acelaşi risc cu portofoliul A.

Rezolvare

Pornim in rezolvarea aplicaţiei de la relaţia existentă pe SML:

Cunoaştem faptul că şi că portofoliul B se afla pe CML deci vom obţine rentabilitatea portofoliului B din ecuaţia CML scrisă astfel:

Structura pentru partea de active cu risc se obţine din faptul că:

21

, deci ponderea de active cu risc este egală cu .

Ponderea activului fără risc se determină astfel ca diferenţă până la 1 :

4. Pentru un activ cu riscul egal cu 15% se cunoaşte coeficientul de volatilitate egal cu 0,4 şi coeficientul de corelaţie cu portofoliul pieţei egal cu 0,8. Determinaţi riscul nesistematic. Care risc va fi răsplătit de piaţă printr-un plus de rentabilitate şi de ce?

Rezolvare

Pornim de la relaţia pe care am dedus-o la problema 1 intre coeficientul de corelaţie al unui activ cu portofoliul pieţei şi volatilitatea activului. Mai precis:

Descompunerea riscului unui activ financiar in risc sistematic şi nesistematic se scrie astfel:

Piaţa va răsplati numai riscul sistematic printr-un spor de rentabilitate, adică riscul reprezentat de . Partea nesistematică a riscului nu va fi răsplătită de piaţa tocmai pentru că această parte a riscului poate fi diversificată prin deţinerea de catre investitor a mai multe active.

5. Se cunosc următoarele elemente pentru activele 1 şi 2.

Activ P0 E(P1) E(D)1 100 117 6 1,52 6000 6510 120 0,7

De asemenea se ştie că Rf=10% şi E(RM)=16%. Presupunând ca modelul CAPM evaluează corect activele de pe piaţă să se determine modul în care piaţa evaluează titlurile.

Rezolvare

22

Modul in care piaţa evaluează rentabilităţile aşteptate se determină după formula:

(1)

obţinem din calcul că piaţa apreciază că rentabilităţile aşteptate sunt egale cu:

Vom compara aceste valori obţinute cu rentabilităţile aşteptate determinate pe baza modelului CAPM.

Se observă că, luând drept referinţă modelul CAPM, piaţa nu evaluează corect activele financiare. Vom aşeza cele două rentabilităţi aşteptate de piaţă pe SML şi vom discuta despre modul în care investitorii de pe piaţă trebuie să acţioneze în acest caz pentru a ajunge la evaluarea activelor conform modelului CAPM.

Activ 1

10,0fR

1

16,0)( MRE

5,17,0

Activ 2

23

Se poate observa că activul 1 se afla potrivit pieţei deasupra SML. Trebuie să determinăm ce acţiune a investitorilor (cumpărarea sau vânzarea activului în prezent ) va readuce activul 1 pe SML adică la adevărata valoare a rentabilităţii aşteptate.In acest scop pornim de la formula (1) pe care o rescriem astfel:

(2)

Ce acţiune a investitorilor de pe piaţă va duce la reducerea rentabilităţii activului 1 de la valoarea aşteptată de piaţă de 23% la valoarea sa determinată prin CAPM de 19%? Observăm relaţia inversă dintre P0 şi rentabilitatea aşteptată. Acest lucru inseamnă ca pentru a reduce rentabilitatea aşteptată trebuie ca pe piaţa cursul prezent P0 trebuie să crească. Acest lucru se întâmplă doar dacă investitorii cumpără activul, iar cererea mai mare decât oferta pe piaţă va duce la creşterea preţului activului financiar.

In mod similar, ce acţiune a investitorilor de pe piaţă va duce la creşterea rentabilităţii activului 2 de la valoarea aşteptată de piaţă de 10,5% la valoarea sa determinată prin CAPM de 14,2%? Pentru a creşte rentabilitatea aşteptată trebuie ca pe piaţa cursul prezent P0 trebuie să scadă. Acest lucru se întâmplă doar dacă investitorii vând activul, iar oferta mai mare decât cererea pe piaţă va duce la scăderea preţului activului financiar.

24