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Lógica proposicional 7. Árboles lógicos

Juan Carlos León Universidad de Murcia

Esquema del tema

  7.1. Tablas semánticas y árboles lógicos   7.2. Reglas de inferencia   7.3. El método de árboles   7.4. Aplicación y usos del método   7.5. Procedimiento mecánico para el

desarrollo de pruebas

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Lógica proposicional 7. Árboles lógicos

7.1. Tablas semánticas y árboles lógicos

Tablas semánticas   Las tablas semánticas de Beth (1955) son un

procedimiento mecánico de comprobación de la validez de argumentos

  La estrategia es la de una prueba indirecta:   Suponer verdaderas las premisas y falsa la

conclusión (lo contrario de lo que se quiere demostrar)

  Obtener exhaustivamente todas las consecuencias que se deriven de ello, de acuerdo con las reglas de valoración semántica

  Si es posible hacer eso sin incurrir en contradicción, el argumento es inválido; de lo contrario, es válido

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Tablas: procedimiento   Introducimos en una misma columna de una tabla la

verdad de las premisas y la falsedad de la conclusión   A esa misma columna se añaden todas las

consecuencias posibles, aplicando las reglas de valoración semántica

  Cuando llegamos a una alternativa (como, por ejemplo, a partir de una disyunción), la tabla se subdivide en dos

  Si toda subtabla conduce a contradicción, el argumento es válido

  Si en alguna subtabla no pueden sacarse más consecuencias, y no hay contradicción, el argumento es inválido (y esa subtabla nos ofrece un contraejemplo)

Ejemplo 1: un argumento válido   p ∧ q, ¬q ∨ r ╞ r

I(p ∧ q)=V Premisa

I(¬q ∨ r)=V Premisa

I(r)=F Conclusión

I(p)=V De I(p ∧ q)

I(q)=V De I(p ∧ q)

I(¬q)=V I(r)=V De I(¬q ∨ r)

I(q)=F De I(¬q)

Contradicción en I(q)

Contradicción en I(r)

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Ejemplo 2: un argumento inválido

  ¬(p → q), q → r ╞ r

I(¬(p → q))=V Premisa

I(q → r)=V Premisa

I(r)=F Conclusión

I(p → q)=F De I(¬(p → q))

I(p)=V De I(p → q)

I(q)=F De I(p → q)

I(q)=F I(r)=V De I(q → r)

Contraejemplo Contradicción en I(r)

Evert W. Beth

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Árboles lógicos   El método de árboles de Smullyan (1961) y, sobre

todo, de Jeffrey (1967) se inspira en las tablas semánticas, y es tal vez el más reciente, más simple, sencillo y elegante

  Pero no es un método semántico, sino un cálculo sintáctico, que se desarrolla mediante reglas de inferencia

  La estrategia es la misma que la de las tablas semánticas (una prueba indirecta), pero usando un árbol con posibles bifurcaciones de sus ramas, análogas a las subtablas

Árboles: procedimiento   Comenzamos introduciendo las fbfs iniciales como

líneas de una misma rama   Aplicando las reglas de inferencia, se derivan

conclusiones de ellas, bifurcando la rama cuando así lo establezcan las reglas

  Si una rama incluye una contradicción entre dos de sus líneas, decimos que está cerrada

  Una rama en que ya no es posible aplicar más reglas, y que no incluye ninguna contradicción, está terminada y abierta

  El método no está diseñado para la validez, sino que   Cuando un árbol terminado tiene todas sus ramas cerradas, las

fbfs iniciales son simultáneamente insatisfacibles   De lo contrario, son simultáneamente satisfacibles

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Ejemplo 1: tres fbfs simultáneamente insatisfacibles

1. ¬p ∧ ¬¬q (fbf inicial) 2. p ∨ ¬r (fbf inicial) 3. q → r (fbf inicial) 4. ¬p (de 5. ¬¬q 1) 6. q (de 5)

7. p 8. ¬r (de 2)

9. ¬q 10. r (de 3)

(Hay contradicción en las tres ramas)

Ejemplo 2: dos fbf simultáneamente satisfacibles

1. p ∧ (q ∨ ¬r) (fbf inicial) 2. q → r (fbf inicial) 3. p (de 4. q ∨ ¬r 1)

5. q 6. ¬r (de 4)

7. ¬q 8. r 9. ¬q 10. r (de 2)

(Hay dos ramas terminadas -en 8 y en 9- sin contradicción)

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Raymond Smullyan y Richard C. Jeffrey

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7.2. Reglas de inferencia

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Reglas para la negación A ¬¬A ¬A A

  La primera nos dice que si una rama contiene una contradicción entre dos de sus líneas, no debemos concluir nada, sino simplemente marcar con el signo “” que la rama está cerrada

  En la segunda regla, el signo “” no forma parte de la premisa, sino que es una marca para indicar que ya se ha aplicado una regla a esa premisa y, por tanto no debe volver a usarse

  La raya vertical indica que la conclusión ha de introducirse al final de todas las ramas que contengan la premisa

Reglas para conjunción y disyunción

A ∧ B A ∨ B

A A B B

¬(A ∧ B) ¬(A ∨ B)

¬A ¬B ¬A ¬B

  Las rayas oblicuas indican que hay que bifurcar la rama en dos, e introducir cada conclusión en una de esas ramas

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Reglas para condicional y bicondicional

A → B A ↔ B

¬A B A ¬A B ¬B

¬(A → B) ¬(A ↔ B)

A A ¬A ¬B ¬B B

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7.3. El método de árboles

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Instrucciones y terminología (1)   Introducimos en una misma rama todas las fbfs cuya

satisfacibilidad simultánea se quiere comprobar   Decimos que una rama está cerrada sii contiene como

líneas una fbf y su negación. En caso contrario, la rama está abierta

  al aplicar una regla a una línea, se marca esa línea (con el signo “”), y se escriben sus conclusiones al final de toda rama abierta que contenga a esa línea (y sólo en esas ramas). No puede aplicarse una regla a una línea ya marcada

  Tras la aplicación de una regla se comprueba si alguna rama contiene una fbf y su negación. En tal caso, la rama está cerrada, lo cual se indica marcándola al final con el signo “”

Instrucciones y terminología (2)   Es preferible, aunque no necesario, aplicar

primero las reglas que no bifurcan la rama   Una rama está terminada sii está cerrada o han

sido marcadas todas sus líneas excepto aquellas que contengan únicamente una letra proposicional o la negación de una letra proposicional

  Un árbol está terminado sii todas sus ramas están terminadas

  Un árbol está cerrado sii todas sus ramas están cerradas. Caso contrario, el árbol está abierto

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Ejemplo: tres fbfs satisfacibles 1. p ∨ (q ∧ ¬¬r) (fbf inic.) 2. r → ¬q (fbf inic.) 3. ¬(p ∧ ¬q) (fbf inic.)

4. p 5. q ∧ ¬¬r (de 1) 6. q (de

7. ¬¬r 5) 8. r (de 7)

9. ¬r 10. ¬q 11. ¬r 12. ¬q (de 2)

13. ¬p 14. ¬¬q 15. ¬p 16. ¬¬q (de 3) 17. q (de 14)

(Queda abierta la rama terminada en la línea 17)

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7.4. Aplicación y usos del método

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Satisfacibilidad

 Una fbf A es satisfacible sii tiene un árbol terminado y abierto (e insatisfacible sii tiene un árbol cerrado)

 Un conjunto de fbfs es simultáneamente satisfacible sii tiene un árbol terminado y abierto (y simultáneamente insatisfacible sii tiene un árbol cerrado)

 Esta es la aplicación directa del método

Contingencia

  Una fbf A es contingente sii tanto A como ¬A tienen un árbol terminado y abierto, pues   Si A tiene un árbol terminado y abierto será

satisfacible; o sea, puede ser verdadera   Y si ¬A tiene un árbol terminado y abierto, será

también satisfacible (puede ser verdadera), lo que implica que A puede ser falsa

  Si A o ¬A tuvieran un árbol cerrado, la fbf A no sería contingente

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Validez

 Un argumento es válido sii el conjunto formado por todas las premisas junto con la negación de la conclusión tiene un árbol cerrado  Ya que Γ ╞ A sii {Γ, ¬A} es insatisfacible

(lo que el árbol comprueba es esta insatisfacibilidad)

 Una fbf A es válida (tautológica) sii ¬A tiene un árbol cerrado  Pues ╞ A sii {¬A} es insatisfacible

Equivalencia   Dos fbfs A y B son equivalentes sii ¬(A↔ B)

tiene un árbol cerrado   Pues A ╡╞ B sii ╞ A ↔ B   Y ╞ A ↔ B sii ¬(A ↔ B) es insatisfacible

  Será preciso demostrar en metalógica que todas las anteriores afirmaciones son ciertas

  En particular, que un conjunto de fbf es satisfacible (semántica) sii tiene un árbol terminado y abierto (sintaxis)   De ello se sigue el resto de afirmaciones respecto

de la validez y la equivalencia

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Ejemplo 1: un argumento válido   p → q, ¬q ∨ r ╞ ¬r → ¬p

1. p → q (premisa) 2. ¬q ∨ r (premisa) 3. ¬(¬r → ¬p) (¬conclusión) 4. ¬r (de 5. ¬¬p 3) 6. p (de 5)

7. ¬p 8. q (de 1)

9. ¬q 10. r (de 2)

  El árbol cierra. Luego, las fbfs iniciales son insatisfacibles. Luego, el argumento es válido

Ejemplo 2: un argumento inválido   p ∨ q → r, ¬r ╞ p ∧ q

1. p ∨ q → r (premisa) 2. ¬r (premisa) 3. ¬(p ∧ q) (¬conclusión)

4. ¬(p ∨ q) 5. r (de 1) 6. ¬p (de 7. ¬q 4)

8. ¬p 9. ¬q (de 3)

  El árbol queda abierto. Luego, las fbfs iniciales son satisfacibles. Luego, el argumento es inválido

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Ejemplo 3: una tautología

Ejemplo 4: una fbf inválida   ╞ (p → q) → (q → p)

1. ¬((p → q) → (q → p)) (¬conclusión) 2. p → q (de 3. ¬(q → p) 1) 4. q (de 5. ¬p 3)

6. ¬p 7. q (de 2)

  El árbol queda abierto. Luego la fbf inicial es satisfacible. Luego, sin negación será inválida

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Ejemplo 5: dos fbfs equivalentes

Interpretaciones y árboles abiertos

  Cuando un conjunto de fbfs es satisfacible, las ramas abiertas del árbol terminado determinan una interpretación que hace verdaderas a la vez a todas las fbfs de la rama, y por tanto a esas fbfs iniciales

  Si el árbol trataba de comprobar la validez de una inferencia o de una fbf, o la equivalencia de dos fbfs, esa interpretación constituirá un contraejemplo

  La interpretación consiste en asignar el valor V a las letras proposicionales que aparezcan como líneas independientes en la rama, y el valor F a todas las demás (tanto si aparecen negadas como si no aparecen)

  Demostraremos esta afirmación en el tema de metalógica

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Ejemplo 6   Consideremos el siguiente árbol terminado y abierto:

1. p ∧ (q ∨ ¬r) (fbf inicial) 2. q → r (fbf inicial) 3. p (de 4. q ∨ ¬r 1)

5. q 6. ¬r (de 4)

7. ¬q 8. r 9. ¬q 10. r (de 2)

(Las letras proposicionales sólo aparecen como líneas independientes en 3, 5 y 8)

Interpretaciones a partir del árbol

  Sigamos entonces la rama terminada en 8, y hagamos estas asignaciones:   I(p)=V, I(q)=V y I(r)=V

  Con esa interpretación, todas las fbfs de la rama resultan verdaderas a la vez

  La rama terminada en 9, por su parte, nos ofrece otra interpretación con el mismo efecto:   I(p)=V, I(q)=F y I(r)=F

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7.5. Procedimiento mecánico para el desarrollo de pruebas

El método como programa

Aplique una regla (preferiblemente una que no bifurque la rama)

¿Las línea sin marcar en las ramas abiertas son letras proposicionales o letras proposicionales negadas?

¿Quedan ramas abiertas?

Aplique la regla para “” en todas las ramas posibles

INICIO: comience un árbol con un conjunto de fbfs (premisas y negación

de conclusión, si es una inferencia)

FIN: el conjunto es insatisfacible (la inferencia es válida)

FIN: el conjunto es satisfacible (la inferencia es inválida)

No

Sí

Sí

No

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Adecuación del método   El método de árboles nos proporciona (como los

métodos semánticos anteriores) un procedimiento de demostración (sintáctico) enteramente mecánico o computacional

  Pero no es obvio que sea un método totalmente adecuado:   Que su aplicación rutinaria (mecánica) siempre termine tras un

número finito de casos   Que siempre que un árbol se cierre, el conjunto inicial sea

insatisfacible (o la inferencia válida)   Que siempre que un árbol quede terminado y abierto, el

conjunto inicial sea satisfacible (o la inferencia inválida)   La metalógica se ocupará principalmente de la

demostración de estos hechos metateóricos: metateoremas de decidibilidad, corrección y completitud

Ejercicios 7.01 a 7.12 (Árboles)

7.01 Comprobar la satisfacibilidad de “¬(¬p → ¬q)” 7.02 Comprobar la satisfacibilidad de “¬(p → q) ∨ (¬p ∧ ¬q)” 7.03 Comprobar: ╞ (p → q ∧ ¬q) → ¬p 7.04 Comprobar: ╞ (p → ¬q) ∨ (q → ¬r) 7.05 Comprobar la contingencia de “(p ∨ q) ∧ (¬q → p)” 7.06 Comprobar la contingencia de “p ∨ (p → q ∧ r)” 7.07 Comprobar la satisfacibilidad simultánea de “¬(p → q)” y “p ∨ q” 7.08 Comprobar la satisfacibilidad simultánea de “¬(p → q)” y “¬q → ¬p” 7.09 Comprobar: p → q ╞ p ∨ q → q 7.10 Comprobar: p → q, r → s, p ∨ r ╞ q ∨ ¬s 7.11 Comprobar: (p → q) → q ╡╞ p ∨ q 7.12 Comprobar: p ∧ ¬q ╡╞ ¬(p ↔ q)