log p x - juan sanmartinjuansanmartin.net/temas_pdf/logaritmos.pdf · se llama logaritmo en base a...
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XPLog = XPLoga
Se llama logaritmo en base a de P, y se escribe loga P,g , y ga ,al exponente al que hay que elevar la base a paraobtener P.
PaxPLog xa =⇔=
Ejemplo:
8238log 3 =⇔= 8238log2 =⇔=
L l it b 2 d 8 3 2Leemos, logaritmo en base 2 de 8 es 3 porque 2elevado a 3 es 8.
Análogamente podemos decir:
12553125log 35 =⇔=
813481log
g
43
5
=⇔=
10000001061000000log 610 =⇔=
0001,0100001
1011040001,0log 4
410 ===⇔−= −
84,5310731105051,184,53log
1000010731105051,1
10 =⇔=g10
Los logaritmos en base 10 segllaman logaritmos decimales yson los más utilizados. Por eso, latecla de la calculadora es parael cálculo de los logaritmosdecimales (también en el usodecimales. (también en el usohabitual podemos poner log enlugar de log10 ).g g10 )Para Calcular, por ejemplo, log1053,84 se hace:
53,84 1,731105051
El ál l d l it tEl cálculo de logaritmos en otrabase se hace a partir de loslogaritmos decimales como selogaritmos decimales, como severá en las propiedades
Ejercicio 1.- Decir el valor de los logaritmos poniendo losú f d t inúmeros en forma de potencias:a. Log6 1296b. Log2 0,125g2
1112541296log61296) 6
4 =⇒=a
3125,0log221
81
1000125125,0) 2
33 −=⇒==== −b
Ejercicio 2.- Con la tecla ,calcular log 5, log 50, log500, log 5000
6989705l
...69897,150log
...69897,05log
=
=
...69897,2500log
...69897,150log
=
...69897,35000log =
Ejercicio 3.-Utilizando la tecla para hallar potencias, ^ ó xy ,calcular de forma aproximada log7532.calcular de forma aproximada log7532.
,...3532log240173437
74
3
=→=
240174 =
Hallemos la cifra de las décimas
...2,3532log6147
,...506773,3
2,3
=→
=
=
,...6147 =
5167 213
Hallemos la cifra de las centésimas
...22,3532log...5267,...5167
722,3
21,3
=→
=
=
...5367 23,3 =
Así sucesivamente, podemos aproximarnos tanto comoqueramos al valor de log7532.
I.- El logaritmo de 1 es 0 cualquiera que sea la base.g q q
01log =a Ejemplo: 1501log 05 =⇔=
II.- Cualquiera que sea la base, su logaritmo es 1.
1log =aa 7717log 17 =⇔=Ejemplo:
III.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de loslogaritmos de los factores.
( ) QPQP aaa logloglog +=⋅Ejemplo:Ejemplo:
9368log64log)864(log512log 2222 =+=+=⋅=
51229512log 92 =⇔=
IV.- El logaritmo del cociente de dos números es igual allogaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisorlogaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.
QPPaaa logloglog −= QP
Q aaa logloglog
23527l243l243lEjemplo:
23527log243log27
log 333 =−=−=
243 9329log27243log 2
33 =⇔==
V.- El logaritmo de una potencia es igual al exponentepor el logaritmo de la base.
Ejemplo:PnP an
a loglog ⋅=236
49log349log 73
7
⋅=⋅=236 ⋅=
VI.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo delradicando dividido por el índice de la raízradicando dividido por el índice de la raíz.
PP ana
loglog = Ejemplo:24log4log 23
2 ==n
Palog Ejemplo:33
4log2
Esta propiedad es consecuencia de la anterior debido a:Esta propiedad es consecuencia de la anterior debido a:
PPPP aa
na
na
loglog1loglog1
=⋅==nn aaa ggg
VII Cambio de base El logaritmo en base a de unVII.- Cambio de base. El logaritmo en base a de unnúmero se puede obtener, a partir de los logaritmosdecimales, según la siguiente igualdad.decimales, según la siguiente igualdad.
PPPalogloglog 10 == De esta forma se puede
h l l daaPa loglog
log10
hacer por calculadora
Ejercicio 4.-Sabiendo que el log 2=0,301 y aplicando laspropiedades anteriores, calcula log 507.propiedades anteriores, calcula log 50 .
( )2log100log72100log750log750log 7 =−⋅=⋅=⋅=
( ) 893,11301,0272
=−⋅=
Ejercicio 5.-Con ayuda de la calculadora, obtener:a. log2 1500b log7 593
Teclab. log7 593
1500255074679,103010299950176091259,3
2l1500log1500log) 55074697,10
2 =→===a301029995,02log2
5937281340817,384509804,0773054693,2
7log593log593log) 281340817,3
7 =→===b
Ejercicio 4.-Sabiendo el valor de log 2= 0,301030 y el delog 3= 0,477121, calcula los siguientes logaritmos.log 3 0,477121, calcula los siguientes logaritmos.
4loga).-
602060,0301030,022log22log4log 2 =⋅=⋅==
b).- 12log
( ) ( ) + 2log3log23log43log12log 22( ) ( )=⋅+=⋅+==+=⋅=⋅=
301030,02477121,02log23log2log3log23log43log12log
c) - 15logc). 15log
( ) =−+=⋅
== 2log10log3log2103log
230log15log ( )
=−+= 301030,01477121,0
ggg2
g2
gg
Ejercicio 4.- Calcula el valor de las siguientes expresiones
a).-35
6 2
2 5122464log
⋅⋅5122 ⋅
( ) ( )464 356 26 2⋅ ( ) ( )( ) 4l264l512l464l
5122log464log5122464log
2
352
6 22352
=⋅−⋅=⋅
( )6
4log264log3512log2log
6464log 2225
2
22 −
+=
+−
⋅=
8610
3915
6226
3512log2log5 2
2 =−=
+⋅−
⋅+=
+⋅−
319
638
64810
−=−=−
=366
En este tema vamos a ver:
Ecuaciones Exponenciales
813 52
=−x 1502 1 =+x
Ecuaciones Logarítmicas
1log2log 1log2log =+ x
Si t d E iSistemas de Ecuaciones
( )
=⋅=−⋅
4log5loglog2
yxyx
( ) og y
Ejercicio 6.-Resuelve2
Puesto que 81 es una potencia enterade 3, ha resultado muy sencillo
813 52
=−x
544533813 22455 22 xx
a).-de 3, ha resultado muy sencillodespejar x.
544533813 22455 +=→=−→=→= −− xxxx
2 3,399 212 −==→±=→= xxxx
b) 1502 1+x A li l t d l itb).- 1502 1 =+x Aplicamos el concepto de logaritmo
1760912592150log 2288,7301029995,0176091259,2
2log150log150log1 2 ====+x
Como150 no es potencia entera de 2, para despejar x tenemosque tener en cuenta la definición de logaritmo (propiedad VII)
2288,612288,72288,71 =−=→=+ xx
Ejercicio 7.-Resuelve
a).- 1log2log =+ x
Aplicamos la propiedad III logaritmo de un producto eAplicamos la propiedad III, logaritmo de un producto eigualamos logaritmos y la propiedad II.
10log)2log(1log2log =⋅→=+ xx
Es lógico que si dos logaritmos son iguales lo que hay dentrotiene que ser igual ¡¡¡IMPORTANTE!!!
10 521010210log)2log( ==→=→=⋅ xxx
b).- 23loglog 55 =−x
Aplicamos la propiedad IV, logaritmo de un cociente yaplicamos la definición de logaritmo para transformar 2 enaplicamos la definición de logaritmo para transformar 2 enlogaritmo.
x 2555 5log25log
3log ==
x
Al igualar logaritmos, igualamos lo que contienen y por lotanto:tanto:
752532552x 752532553
2 =⋅=→== x
c).- ( ) 27log3log6 22 =+⋅ x
Aplicamos la propiedad V, logaritmo de una potencia eigualamosigualamos.
( ) 27log3log 26
2 =+x( ) gg 22
( ) ( ) 3693333 2236 =++→=+→=+ xxxx( ) ( ) 3693333 =++→=+→=+ xxxx
0662 =++ xx6143664
0662 ⋅⋅−±−
=⋅⋅−±−
=
=++cabbx
xx
126122
±−⋅⋅
x
ax
2=x
Ejercicio 8.-Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.
22a).-
=−=+
1loglog22yx
yx Aplicamos las propiedadescomo en los casos anteriores.
1010loglog1loglog =→=→=−xxyx 1010loglog1loglog →→yy
yx
Resolvemos el sistema
2221122101022 =→=→=+→
=+ yyyyyx
yx
2020210210
=→=⋅=→==
xxyyx
Solución del sistema
20;2 == xy
Ejercicio 9.-Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.
ll2a).-( )
=⋅=−
4log5loglog2
yxyx Aplicamos las propiedades
como en los casos anteriores.
52 10log100000logloglog5loglog2 ==−→=− yxyx
52
52
52 1010loglog10logloglog =→=→=−xxyx
De la otra ecuación obtenemos
gggggyy
y
( ) 410log10000log)log(4log ==⋅→=⋅ yxyx
44 1010log)log( =⋅→=⋅ yxyx
C l bt i tCon lo que obtenemos un nuevo sistema que pasamos aresolver
32452
1010
= xxx5
45
44
1010
1010
10
10
10=→=→=→
=⋅
= xxx
yyx
y10 x
yx
333 9935
4
3
1010101010
==→=→= xxx
Resolvemos la y101010
43 10
1010 3
3 ==→= yx
Solución
10;10 3 == yx ; y
Ejercicio 9.-Resuelve
1222 1 =+ +xx
Hacemos que 2x = z y aplicando las propiedades de laspotencias:
222 1 ⋅=+ xx
Llegamos a que:Llegamos a que:
12312222222 1 =→=+=⋅+=+ + zzzxxxx
Resolvemos
2424123 =→=→=→= xzz x
Ejercicio 10.- Resuelve la ecuación.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )23log6log1log +=++− xxx
Aplicamos la propiedad V logaritmo de una potencia eAplicamos la propiedad V, logaritmo de una potencia eigualamos.
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )236123log61log ++→++ xxxxxx( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )236123log61log +=+⋅−→+=+⋅− xxxxxx
0822365 22 +++ xxxxx( )814424
08223652
22
−⋅⋅−±−=
⋅⋅−±−=
=−+→+=−+cabbx
xxxxx
4;2122
21 −==⋅
=⋅
=
xxa
x
21
Comprobamos que x=-4 no verifica la ecuación porquelog(-5) no existe La solución es:log(-5) no existe. La solución es:
21 =x