problemas de propiedades de logaritmos 1) simplifica · 4) si log 2 .30b = y log 3 .48b = halla log...
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Problemas de propiedades de logaritmos
1) Simplifica 24ln( ) lnx
exx
+
Solución:
24ln( ) lnx
exx
+
112
2 4
1
22
2
2
ln( ) ln( )
1ln( ) ln( )
4
1 1ln (ln ln )
2 4
1 1 1ln ln ln
2 4 4
1 1 2ln ln
2 4 4
1 1 1ln ln
2 4 2
1
4
xex
x
x ex
x e x
x e x
x x
x x
−
= +
= +
= − + +
= − + +
= − + +
= − + +
=
2) Expresa como un solo logaritmo, 2log( 1) log
3 2
x x+− =
Solución:
2
2
1 1
2 3 2
3 2
3 2
log( 1) log
3 2
1 1log( 1) log
3 2
log( 1) log
log 1 log
1log
x x
x x
x x
x x
x
x
+−
= + −
= + −
= + −
+=
3) Expresa como un solo logaritmo, 2 2 2 2log (3 ) log 3 4log log ( )x x xy− + − =
Solución:
2 2 2 2
2 2 2 2
4
2 2 2 2
4
2 2
5
2
4
2
log (3 ) log 3 4log log ( )
log (3 ) 4 log log 3 log ( )
log (3 ) log (log 3 log ( ))
log (3 ) log (3 )
3log
3
log
x x xy
x x xy
x x xy
xx xy
x
xy
x
y
− + −
= + − −
= + − +
= −
=
=
4) Si log 2 .30b = y log 3 .48b = halla log 216b
Solución:
3 3
log 216
log 27(8)
log 27 log 8
log 3 log 2
3log 3 3log 2
3(.48) 3(.30)
1.44 .90
2.34
b
b
b b
b b
b b
=
= +
= +
= +
= +
= +
=
5) Expresa como una suma de logaritmos a 23ln x y =
Solución:
( )( )
23
1
2 3
2
2
1
2 2
ln
ln
1ln
3
1(ln ln )
3
1 1ln ln
3 3
2 1 1ln ln
3 3 2
2 1ln ln
3 6
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
=
=
= +
= +
= +
= +
6) La venta anual de autos está dada aproximadamente por ( ) 1.66 1.91lnf t t= + en millones de
autos vendidos donde 1t = corresponde a el año 2001.
a) ¿Cuántos autos se venderán en 2007?
b) ¿En que año se llegará a 6 millones de autos vendidos?
Solución:
a) En el 2007 se venderán aproximadamente
(7) 1.66 1.91ln 7 1.66 1.91(1.95)
1.66 3.72 5.38
f = + = +
= + =
b) Hallar el valor de t para el que ( ) 6f t =
2.27
1.66 1.91ln 6
1.91ln 4.34
4.34ln 2.27
1.91
9.67
t
t
t
t e
+ =
=
= =
= ≈
Aproximadamente en el año 2010.
7) Expresa como un solo logaritmo a 3 3 3 3 3
1 1log 5 2 log log 3log log
2 4x y z w− − + +
Solución:
( ) ( )
3 3 3 3 3
1 1
3 24 23 3 3 3 3
3 243 3
3 4
3 2
1 1log 5 2log log 3log log
2 4
log 5 log log log log
log 5 log
5log
x y z w
z w x y
z w x y
z w
x y
− − + +
= + + − +
= −
=
8) Expande como una suma de logaritmos a 2
3log
x y
y
Solución:
( )
( ) ( )
12 12 2 33 2
3
2 2
2
log log log log log
1 1 1 1log log log log log
2 3 2 3
1 1 1 1log log log log log
2 2 3 6
x yx y y x y y
y
x y y x y y
x y y x y
= − = −
= − = + −
= + − = +
9) ¿Cuál de las siguientes fórmulas no es cierta?
a) ( )ln ln lnxy x y= +
b) ( )ln ln lnx y x y− = −
c) ln lnnx n x=
Solución: b) no es cierta
10) Simplifica a ( ) ( )2 2
2 2 2log 2 2 2log log 2 2x x x+ + − + + −
Solución:
( ) ( )( )( )
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 22 2
log 2 2 2log log 2 2
2 2 2 2log
2 2log log log 1 0
x x x
x x
x
x x
x x
+ + − + + −
+ + + − =
+ −= = = =
11) Si ( )2log 5 3 3x + = ¿Cuánto es x?
Solución:
( )2log 5 3 32 2
5 3 8
5 5
1
x
x
x
x
+ =
+ =
=
=
12) Expande a 2
3 3
9log
x x y
y
+=
Solución:
( )
2
2 3
3 3 3 3 33
3 3 3
9log log 9 log log log
12 2log log 3log
2
x x yx x y y
y
x x y y
+= + + + −
= + + + −
13) 2 2
8log 8
x y+ =
Solución:
2 22 2
8log 8
x yx y
+ = +
14) Simplifica 1
3ln ln2
x x− =
Solución:
( )213ln ln 3ln ln 2 ln ln
2
ln
x x x x x x
x
− = − = =
=
15) ( )100log .01− =
a) 2−
b) 1−
c) 1
d) no está definido
Solución:
d) no está definido