localisation classique en un ideal premier d'un anneau noetherien a gauche

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Localisation classique en un ideal premier d'un anneaunoetherien a gaucheGérard Cauchon a & Léonce Lesieur aa Laboratoire de Mathématiques , Université de Paris-Sud , Centre d'Orsay, Orsay, Cedex,91405, FrancePublished online: 27 Jun 2007.

To cite this article: Gérard Cauchon & Léonce Lesieur (1978) Localisation classique en un ideal premier d'un anneaunoetherien a gauche, Communications in Algebra, 6:11, 1091-1108, DOI: 10.1080/00927877808822282

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COMMUNICATIONS IN ALGEBRA, 6(11), 1091-1108 (1978)

LOCALIS ATION CLASSIQUE EN UN IDEAL PREMIER

D'UN ANNEAU NOETHERIEN A GAUCHE

Gdrard Cauchon e t Ldonce Les i eu r

Universitd de Par is -Sud, Cen t re d l O r s a y Labora to i re de Mathematiques 91405 Orsay, Cedex - F r a n c e .

SUMMARY.

R is a left non commutative noetherian r ing with unit element,

P a prime ideal in R, @(P) the multiplicative s e t of r egu la r elements

modulo P . We know that the existence of a c l a s s i ca l r ing of left f rac-

tions of R with respect to c(@ is implied by the left O r e condition :

V a ER, v s E @(P), 3 a ' E R , s1 E @(P) such that a ' s = s ' a ,

Many proper t ies a r e known in o r d e r t o obtain i t , especial ly those ,

owed t o J . Lambek and o the r s , which involve the generalized r ing of

left f rac t ions Q(R). Our purpose is to provide new proper t ies equiva-

lent to the left O r e condition, formulated in var ious ways.

I the so-called b-isotypical left idea ls which, in the non commu-

tat ive case , play a ro l e s imi lar t o the 6-primary ideals when R is

commutative. In theorem I. 1, we prove that the left O r e condition in

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1092 CAUCHON ET LESIEUR

R with respect to @(P) is satisfied if, and only i f , we have, fo r every

P-isotypical left ideal Q in R :

I1 the hear t c(E) of the injective envelope E ( R / ~ ) of the left ' R-module R/ , a notion given by L. Lesieur and R . Croisot in [5 1.

In theorem 11.1, we prove that the left Ore condition is equivalent to

the property :

P.C(E) = O.

111 the left principal ideals of the topologizing s e t 7 of left

ideals ass6ciated with the multiplicative se t c(P). This se t 7 is

used t o determine a localization in R . In theorem ID. 1, we prove that

the !eft o r e condition is equivalent to the following property :

The s e t a contains a " ~ o - f i n a l ' ~ subset of left principal ideals,

i.e : fo r every left ideal I E 7, there is a left principal ideal J E

such that J c I .

N As a consequence, we prove in theorem IV. I that the left

O r e condition is always t rue in a left principal r ing R , with respect

to ~ ( p ) , where P is any prime ideal in R. So , the left principal

r ings belong to the c lass of @-rings : those left noetherian r ings

with the left O r e condition with respect to @(p), P any prime ideal

in R . F o r instance, the O r e polynomial r ings K [X, o , 6 1 , K a divi-

sion ring, o r A [X , o , G 1, A a simple artinian r ing, are &rings.

Furthermore, fo r the case when R is a left T-ring (i. e. a

fully left bounded left noetherian ring), we aare able t o s t a te a nice

condition in theorem IV.2, which is equivalent t o the left O r e condition. Dow

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P a r t s of the above r e su l t s w e r e given in some lec tures by

M . Djabali [ 2 ] in P a r i s and L. Les i eu r in the Algebra Day at the

Car le ton Universi ty in Ottawa (October 2 , 1976). I . Condition de O r e p a r r appor t 8 C(P) e t iddaux 2 gauche

p-isotypiques . Dans tout ce travail, R designe un anneau noethdrien 8 gauche

non commutatif avec dldment unit6 1. p e s t un iddal premier de R,

diffdrent de R .

Rappelons dl abord quelques ddfinitions e t rdsul ta ts dl4mentaires.

a ) L e sys teme 'topologisant 7 d'iddaux 2I gauche.

Soi t ~ ( p ) le systhme multiplicatif des dldments de R r6gu l i e r s

modulo P . Consid6rons l lensemble T des iddaux 2I gauche I de R

ayant l a propridt4 suiva&e :

(1) V a E R , ( I * . a ) n @ ( ~ ) f @. On ddsigne p a r I 2. a 1' ensemble {x € R / x a E I ) qu i e s t un iddal h

gauche de R.

est un systbme topologisant, c'est-21-dire q u l i l vdrif ie les

axiomes de Gabr ie l s u r les iddaux 8 gauche :

( T I ) I € 7, 1' 1 1 - 1' € 7.

(TZ) 1 1 E 7 , 12E7=r11 n12 € 7 '

(T3) V a E R , I E z , o n a I . . a E r .

C e systbme topologisant e s t meme idempotent, en ce sens q u l o n a

a u s s i 1' axiome (T ) suivant, qui ne s e r a pas uti l isd ici : 4

(T4) Si J e s t un ideal 2i gauche de A e t s'il ex i s t e

I E j t e l q u e : (V ~ E I ) ( ~ - . a € r ) , a l o r s J E l .

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On remarque que tout ideal 21 gauche I E Z rencontre C(P) dd' a-

p r&s ( I ) , mais cette condition n ' e s t pas suffisante en gdndral pour que

I E 7 . Elle le devient si la condition de Ore (h gauche) e s t vdrifide.

( ~ a n s toute l a sui te nous dirons condition de Ore , dtant entendu qu ' i l

s agit de l a condition de Ore h gauche).

Lemme I . 1. Pour que R vdrifie l a condition de O r e pa r rapport

B @(p), il faut e t il suffit que les idgaux h gauche appartenant Z

soient exactement ceux qui rencontrent @(P) :

I E ~ -- ~n c ( ~ ) f f l .

Preuve. Supposons l a condition de Ore vdrifide e t I fl @(PI f @. Il e ~ i s t e donc S E I n @ ( ~ ) . Si a € @ ( ~ ) , o n a : s l a = a ' s € I e t p a r

sui te : s1 E (I . . a) n @(P), de s o r t e que I € + .

Rdciproquement, supposons que tout iddal 2I gauche I t e l que

I fl c (P) f fl appartienne 21 l ; si I' on prend s € @ ( P ) , a E R, on re-

marque que I = R s € Z , d'oir, d1apr8s ( I ) , l lexis tence de

s ' E (I .. a) n @ (p), c ' est-h-dire s a = a ' s , e t l a condition de O r e e s t

vdrifide . Dans l e c a s gdndral, on peut caractdr iser les id6aux h gauche

de 7 par la propridtd suivante utilisant l a thdorie des modules injectifs:

Lemme 1.2. I &ant un id6al 21 gauche, on a :

I € Z - H O ~ ~ ( ~ / ~ , E ( ~ / & ) = 0 .

( E ( ~ / ~ ) ddsigne l 'enveloppe injective du R module B gauche R/p).

Pour l a ddmonstration, voir pa r exemple J. Lambek e t G. Michler [A] . Dow

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b) Iddaux B gauche b-isotypiques.

Considdrons l a decomposition

(2) E ( ~ / & = E , e... e E,

oh les Ei sont des R-modules 2 gauche injectifs e t ind6composables.

IL e s t bien connu q u l i l s sont isomorphes. On dit a lo r s que le R-module

R/P e s t isotypique, ou que P es t isotypique dans R.

Plus gdneralement , soit Q un ideal B gauche dans R . Comme

R e s t noethdrien 2 gauche, R/Q es t un R-module 2 gauche noethd-

r ien e t :

e s t l a somme directe dlun nombre f i n i de R-modules 2 gauche injec-

tifs inddcomposables F j

D&inition I. 1. On dit que Q es t p-isotypique dans R si

tous les F. dans (3) sont isomorphes aux Ei de (2). J

Cette definition e s t inddpendante de l a forme particulikre choi-

sie pour (3). (Voir par exemple rh], p. 102).

- Dans c e premier paragraphe, notre but e s t de caractdr iser la

condition de Ore dans R par rapport 'a @ (P), au moyen de propridtds

s u r les iddaux 2 gauche p-isotypiques de l1 anneau R. Il est donc in-

tdressant d1 avoir une propridte caractdrist ique de ceux-ci interne &

1' anneau. En voici une :

Proposition I. 1. L1id6al B 'gauche Q es t p-isotypique dans R

si e t seulement si on a l a condition suivante : n

(c) V b{ Q, 3 xi E R tels que p=.fl (Q *. xib). 1= 1

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Pour la ddmonstration, voir [1] . Rernarquons seulement que, dans le

cas cornrnutatif, un iddal 63-isotypique cohcide avec un iddal p-pri-

rnaire et qu' on a en fait :

~ b i ~ , 3 X E R tels que p = Q ' . Xb.

I1 suffit de prendre X Q : b, X E Q : (pb).

La condition (c) est donc une ddfinition dlun iddal ?i gauche

p-isotypique dans R rernplacant dans le cas non cornrnutatif la ddfi-

nition d'un id6al p-primaire du cas cornrnutatif au moyen des dldrnents

de I' anneau R.

c) Nous sommes maintenant en mesure de ddrnontrer le rksultat

essentiel de ce paragraphe.

Thdorhme I. 1. Les conditions suivantes sont dquivalcntes :

(i) R satisfait l a condition de Ore par rapport @ (p) .

(ii) Pour tout iddal ?i gauche Q qui est p-isotypique dans R ,

Preuve (i) + (ii). Supposons que Q es t un iddal gauche

p-isotypique dans R et ddmontrons que Q ne rencontre pas @(p).

En considdrant une ddcornposition rdduite Q = Q, n . . .n Qm , oh les

iddaux 21 gauche Q. sont n-irrdductibles, ces cornposantes Qi sont 1

kgalernent b-isotypiques et on p u t donc s e contenter de d6rnontrer

que Q n @ (P) = fl , clest-&-dire se ramener au cas oh Q es t p-

isotypique et fl-irrdductible . Posons :

E ( ~ / , ) = E~ e . . ..E~ , E(R/*) = F Dow

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oh les Ei e t F sont des R-modules injectifs ind6composables iso-

morphes. So i t u : F -4 E l ' isomorphisme e n t r e F e t E l . On a

R/Q = RT, oh i ddsigne l a c l a s s e de 1 mod. Q. I1 en r e su l t e

u ( 3 = x E E l , avec x # 0. Mais, comme E ( R / ~ ) e s t une extension

essent ie l le de R / P , il ex i s t e a E R t e l que 0 f ax E R/p . Si l ' o n

avait s E Q n @ ( p ) , l 'dgalit6' s 7 = 0 dans F donnerait s x = 0 dans

E donc dans E ( ~ / ~ ) . L a condition d e O r e appliquee 2 a e t s :

a ' s = s ' a , impliquerait 0 = a ' s x = s ' a x , avec ax # 0 dans R / p e t

s t rdgul ier modulo p , ce qui e s t impossible. On a donc

Q n C(P) = 0. (ii) --. (i). Supposons que, pour tout iddal 2 gauche b-isotypique

Q , on a i t Q.n c (P) = 0 . Pour e tabl i r la condition de O r e , on doit vdri-

fier d ' a p r k s le lemme I. 1 que les iddaux 2 gauche n 'appartenant pas

2 7 ne rencontrent pas C (b). Donnons une definition e t un lemme.

Ddfinition I . 2. Un iddal 2 gauche maximal n 'appartenant pas 2 7

s t appelie un iddal 2 gauche a-cr i t ique .

Lemme I .3 . Tout id4al 2 gauche a-cr i t ique e s t p-isotypique . Soi t Q un iddal 21 gauche 7-cr i t ique , D' a p r k le lemme I . 2

il exis te un homomorphisrne non nu1 f : R/Q - E (R/ p). Posons

Ker f = K/Q, oh K e s t un ideal 2 gauche de R contenant Q. On a :

R/Q R/K Li+ E ( ~ / ~ ) , avec f = go$,

oh $ fa i t correspondre h l a c l a s s e de a E R mod. Q s a c l a s se

mod. K, e t oh g e s t ddfini p a r g ( ~ ( 5 )) = f ( 5 ). L a condition f f 0

implique g f 0 , d ' o h K ,d 3 (lemme 1.2). Dl a p r e s l a condition maxi-

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male s u r Q, on a K = Q, d l o h Ker f = 0 et f e s t injectif. Ainsi :

R/a E ( ~ / ~ ) (R/Q est inject6 dans E ( ~ / ~ ) ) .

e t par suite E(R/*) 4 E ( ~ / ~ ) . Cela prouve que 1' enveloppe injec-

tive de R/Q e s t somme directe de modules injectifs indkcomposables

isomorphes h E donc que Q es t b-isotypique (ddfinition I. 1).

Revenons h l a dkmonstration du th&r&me. Soi t I un id6al B gau-

che n1 appartenant pas h T . Dl apr8s l a condition maximale s u r R, I

e s t contenu dans un idkal h gauche 7-critique (Dkfinition 1.2), soi t Q.

Cet id6al h gauche Q e s t p-isotypique dl apr8s le lemme 1.3. Dl apr8s

11hypoth8se (ii), on a donc Q n @ (P) = @, et par sui te I n @(P) = @

puisque I c Q. L e thkorkme e s t dkmontrk si on tient compte du lemme I . 1

11. Condition de O r e par rapport h c ( p ) e t coeur de E ( ~ / ~ ) .

a . Remarques. Les notations restent les m h e s .

Ajoutons quelques remarques supplkmentaires s u r le systkme topo-

loyisant 7, valables dans le c a s gknkral.

Remarque 11.1 . Pour que 1' ideal h gauche I appartienne h .3,

il faut e t il suffit que l 'annulateur h droite de I dans E soi t nul.

En effet, ce t te condition kquivaut, comme nous allons voir , h :

om,(^/^, E ( ~ / ~ ) ) = 0 .

Supposons que l1 annulateur 0 : I = {x E E /Ix = 0 ) soi t nu1 ; soi t

f : R/I -' E. On a R/I'= ~ i , d l o h f(R/I) = ~f (i). Ll6galitd 1 i= 0

dans R/I entrafne If (7) = 0 dans E e t par sui te f ( 3 = 0, dl oh f = 0

e t I E 7 dl a p r h le lemme 1.2. Reciproquement, si I E a e t Ix = 0 , Dow

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il exis te un morphisme f : R/I E , ddfini pa r a E R/I c a x E E , dans lequel i w x. On a donc f = 0 e t x = 0.

Remarque II.2. Soi t I un iddal a gauche. Si I 3 p e t

I n c ( ~ ) f @ , o n a I E ~ .

C 1 e s t une consdquence de l a condition de O r e dans l l anneau

noethdrien a gauche premier R / p : soi t s € I n @ ( p ) e t a E R ; il

exis te s l € c ( p ) e t a 1 E R t e l s q u e s ' a = a l s + p , a v e c p E P . 1 1

en rdsul te s a E I puisque p F I . L' iddal B gauche I a . a rencontre

~ ( 6 3 ) e t I appartienf 2 7 d ' a p r g s (1).

b. Rappels. Donnons maintenant quelques rappels s u r l a notion

de coeur dl un: module injectif E . Mfinit ion 11.1 . On appelle coeur de E , e t on note C(E) , le sous-

module C(E) = n Ker h , in tersec t ion des noyaux des endomorphismes

h E End E te ls que Ker h so i t e s sen t i e l dans E . R

Notation. On appelle c"(E) l1 ensemble des dldments non nuls

x E E te ls que Ann x = {a E R / a x = 0 } soi t maximal (parmi les annu-

l a t eu r s d'dldments non nuls de E ) . En posant E = E l @. . . @ E n , oh ies E . sont des modules injec-

1

t i fs inddcomposables, on a les proposit ions suivantes (voir [5_] ,

P. 379 e t 380).

Proposition 11.1. C" (E) c C(E) . Proposition I1.2. C(E) # 0 . (On rappel le que R e s t noethkrien

h gauche). Dans le c a s prdsent , o h E d6signe 1' enveloppe injective

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du R-module 2 gauche R/P , e t oh l e s E. sont isomorphes, on a 1

meme : C(E) e s t essentiel dans E .

Proposition 11.3. c(E) e s t constitud par tous les dldments x EE

pouvant s l d c r i r e sous l a forme : x = x +. . . 1 + x n , x . E E . , I L I x. = 0 ou

xi E c*(E).

Proposition 11.4. Les iddaux a-crit iques sont tous l e s iddaux

2 gauche de, la forme Ann x, x E c"(E) . +C Eneffet , si I = O 0 . x , x E C (E) , o n a I x = O avec x f 0 , e t

pardsuite I { 7 dl aprks la remarque 11.1. De plus, s i I c I ' , avec

I ' $ 7, il existe, toujours d f a p r & s lI.1, x ' f 0 avec I ' x ' = 0. On

en ddduit I c 0 . . x ' e t donc I = I' puisque x E C+:'(E). Donc I es t

a-crit ique . Rkciproquement, si I e s t a-crit ique, il n'appartient pas 2 a

et on a Ix = 0 pour un dldment x # 0 . Cornxe I ' = 00 , x n'appartient

pas 2 J rion plus e t contient I , on a I = I ' = 0 . . x . Enfin I e s t maxi-

mal pour cette propridtd, d 'oh x E c'"E).

c) Thdorgme 11.1. Pour que R vdrifie l a condition de O r e pa r

rapport h ~ ( p ) , il faut e t il suffit que I 'on ait :

PC(E) = o oh E ddsigne I ' enveloppe injective de R / p e t c(E) son coeur.

Preuve. Supposons que la condition de O r e soi t v&rifi&e. So i t

x E C(E) . On veut dkmontrer que px = 0. D1 aprgs l a proposition 11.3, Dow

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il suffit de le ddmontrer pour x E c"(E). Or I = Ann x est a lors

g-critique (proposition 11.4). Si 1 'on avait p 6 I, l ' iddal 2 gauche

p+ I serai t dans + et contiendrait donc un dldment s E @ (P), e t I

aussi, Or , d1 aprbs le lemme I . 1, un iddal I { 7 ne peut contenir un

dldment rdgulier mod. p si la condition de Ore est vdrifike. Cette

contradiction ddmontre que l ' on a : p c I = 0 . *x.

Rdciproquement, supposons pC(E) = 0. On a donc pc3'(E) = 0

(Proposition 11.1) et P e s t contenu dans tout iddal a gauche 7-cri-

tique (Proposition 11.4). Pour ddmontrer la condition de Ore, il suffit,

d lapr$s le lemme 1.'1, de v6rifier :

(4) 1ir--4 I ~ C ( P ) = @ .

Raisonnons par l1 absurde et supposons I fi 7, I n @ (p ) f @ . I es t Con-

tenu dans un ideal y-critique J, qui contient donc p . D1 aprks la re-

marque 11.2, on aurait J E 7 , ce qui es t impossible. Ainsi, on a bien

(4) et la condition de Ore.

Consdquences. En pr6sence de la condition de Ore, on a

6 = AM c(E), C(E) = Ann P

= 0 .. c(E), C(E)= 0: P.

Ceci es t , en effet, une consdquence du fait que ~ c ( E ) = 0 et des

deux inclusions suivantes qui sont valables rnhe si R ne vdrifie Pas

la con& ion de Ore pour @ ( p) . (1)' Ann C(E) c P ; (2)' Ann P c C(E).

D6monstration de lrinclusion (T)' :

@ = Ann C(E) es t un iddal bilatkre de R. S 1 i l nldtait pas contenu

dans 6, appartiendrait 2 et on aurait c(E) = 0 ce qui es t faux.

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D4rnonstration de lTinclus ion (2s :

Rappelons d 1 abord le rdsul ta t suivant :

Si I e s t un iddal a gauche r l -irrdductible d T u n anneau A, tout

iddal a gauche J te l que J I e s t essent ie l dans A. ? En effet, supposons J n T = 0, a l o r s , J ~ ( I + T ) = I+(.JnT)= I ,

donc I + T = I , donc T C I C J , donc ~n T = T = O .

Cec i dit , si nous dcrivons E = E @ . . .@E oh les Ei sont d e s 1 n

injectifs inddcornposables tous isomorphes, il nous suffit, pour 6 tabl i r

(2)') de ddrnontrer que tout dl6rnent x # 0 de E l t e l que px = 0 , ap-

part ient B C(E O r , pour un t e l dldment, I = 0 ..x contient P et e s t

n - irrgductible dans R. Donc, si y E E l e s t t e l que J = (0- .y) $1,

J / P . e s t essent ie l dans R / P , donc J € 7 , donc y = 0 , ce qui achhve

l a ddmonstration .

111. Condition de O r e e t iddaux ?I gauche principaux du systhrne toPo-

logisant jr .

Nous al lons demontrer le thdorhrne suivant :

Th6orkme 111.1. (G . ~ a u c h o n ) . L e s conditions suivantes sont

4quivalentes

(i) R v6r i f ie l a condition de O r e pour @ (6).

(ii) L e systhme topologisant 7 contient un systkme cofinal dT idd-

aux h gauche principaux (c 'es t -&dire , pour tout iddal h gauche I E +, il exis te un id6al h gauche principal J E a te l que J c I). D

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Notation. L' ensemble des gdndra teurs des iddaux a gauche prin-

cipaux du syst&me a s e r a ddsignd par S .

Proposition 111.1. Pour que s E S , il faut e t il suffit que l 'annu-

l a t eu r 2 droite de s dans E soi t nul.

C 1 e s t une consdquence immddiate de l a remarque 11.1.

Proposition 111.2. S c C (P) . En effet, si Rs E 7, on a R s f? C(P) # @. I1 exis te donc

u s = o. E C (P) , c e qui implique, dans 1' anneau noethdrien 21 gauche

premier R/P , q u e i f s e s t rdgul ier mod P .

Proposition 111.3. S e s t un systgme rnultiplicatif e t R vdrif ie

l a condition de O r e p a r rappor t a S , si l1on a l a condition (ii) du

theorerne 111.1 . S es t dvidemrnent un systhrne multiplicatif d 1 a p r & s la proposi-

tion 111.1. La condition de O r e e s t vdrifi6e c a r R s € 3 irnplique

R s .. a E 7 puisque B e s t topologisant . D' apr&s l a condition ( i d du

thdorgme 111.1, il exis te donc R s E a, avec Rs ' c R s . . a , ce qui

est l a condition de O r e pour S o

Preuve du thdor&me (i) ( i i ) . Si R verif ie l a condition de

O r e pour @(P) e t si I e s t un idkal gauche appartenant 8. 7 , on a

I I R s , avec R s = JET d ' a p r & s l e l e m m e I . l .

(ii) (i). Nous al lons u t i l i s e r l a carac tdr isa t ion suivante de l a

condition de O r e pour C (P).

Lernme 111.1. Pour que R vdrif ie l a condition de O r e pour ~ ( d ,

il faut e t il suffit que tout idea l 8. gauche 7-cr i t ique contienne P .

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L a condition e s t ndcessa i re : si I dtait ?-critique s a n s conte-

n i r p , p+ I contiendrait s tr ictement I e t appart iendrait h 3 . I1

exis tera i t un dldment rdgul ier modulo p dans p + 1, donc dans I , e t

I s e r a i t dans 7 dl a p r k s le lemrne I. 1 . L a condition e s t suffisante. Supposons que I rencontre C ( P )

s a n s appartenir 2 a. Alors I s e r a i t contenu dans un iddal J -cr i t ique

J 2 P . On aura i t J E a dl a p r h s l a remarque 11.2, c e qui e s t impossible.

L a propridtd du lemme I . 1 e s t donc vdrif ide ; elle entrafne l a condition

de O r e .

Notons, avant de r even i r h l a ddmonstration du thdorkme 111.1,

que , e n prdsence de l a condition de O r e , les iddaux h gauche 7-cri-

t iques coihcident avec les iddaux h gauche b-cri t iques d4finis p a r

J. Larnbek e t G . Michler comme d e s iddaux h gauche maximaus n e ren-

contrant pas c (F) 141.

Pour terrniner l a ddmonstration du thdorhme 111.1, il suffit donc

de vdrif ier h par t i r de l a condition (ii) que tout iddal h gauche 7-cri-

tique I contient P .

Soi t donc I un iddal 8 gauche a-cr i t ique . I e s t l ' annula teur

2 gauche d l u n 6ldrnent x de E non nu1 (et m&me de c'+(E)), d l a p r k s

l a proposition 11.4. I1 exis te a E R t e l que 0 # a x E R/ P puisque E

e s t extension essent ie l le de R/P . L iddal h gauche J = {AER Ib E R/P 1

contient str ictement I e t appart ient donc h + . On en ddduit dl a p r h s

l a condition ( i i) 1' ex i s t ince d1 un dldrnent s E S n J, qui vdrifie donc

s x E R/p e t p a r su i t e b s x = 0. Prenons a lo r s un Qldment quelconque

p E 6. Appliquons l a condition de O r e pour s e t p, valable dl a p r 8 s la

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proposition III.3. On obtient s l p = p l s , avec s 1 E S . Je d i s que

p ' E 6)) c a r p 1 s E 6 e t s E S c @ ( 6 ) (proposition 111.2). I1 en r k u l t e

s ' px = p 1 s x = 0 , c e qui entrafne, compte tenu de la proposition III. 1,

px = 0, donc pEI .

On a bien 6, c I , ce qui acheve l a d6rnonstration.

IV . Exernples .

1 . Anneaux principaux B gauche.

Un co ro l l a i r e immgdiat du th&or&me 111.1 e s t l e suivant :

Thdor&me IV. 1 . Si R est un annesu principal 2 gauche e t 6

un ideal premier de R , R v4r i f ie l a condition de O r e pour ~(6)).

L e s anneaux principaux gauche appartiennent donc & l a c l a s s e

des anneaux noethkriens B gauche R pour lesquels la condition de

O r e e s t ver i f iee pour @ ( 6 3 ) ) quel que soit 11id6al premier p de R.

On les appelle 8 -anneaux . En voici d e s c a s par t icul iers :

a ) l1 anneau K [X, u , 6 ] d e s polynbmes de O r e & coefficients

dans un co rps K , oh l a multiplication i droi te de X par a e s t d6fi-

nie p a r

X a = a ( a ) X + &(a)

u &ant un endomorphisme injectif de K, e t 8 une a-d6rivation dans

K, qui v6rif ie :

b(a+b) = b(a) + b(b) ; 8(ab) = u(a) b(b) + b(a)b . I1 est bien connu que cet anneau est principal 2 gauche. C 1 e s t donc un

8-anneau (B gauche).

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b) l ' anneau A[X,u, S ] des polyn6mes de O r e 8 coefficients dans

un anneau A ar t in ien s imple , u &ant un endomorphisme injectif de A,

e t 6 une o-ddrivation.

Lorsque u e s t un automorphisme de A, il e s t bien connu que ce t

anneau e s t noethdrien 8 gauche. L a propridtd e s t v ra i e a u s s i l o r sque

u e s t un endomorphisme injectif (L . Les ieu r k]) . C . Cauchon e t

J. Robson [2_] viennent de ddmontrer plus prdcisdment que ce t anneau

e s t principal h gauche. C r e s t donc un 8-anneau (8 gauche).

2 . C a s d r un T-anneau 8 gauche (ou fully left bounded r ing) ,

anneau noethdrien h gauche v h i f i a n t l a condition de Krause :

si p c I . e t si I n c (p) # $, I contient un iddal bi latkre E! t e l que

p (B c I. NOUS avons a l o r s une carac tdr isa t ion des id4aux 8 gauche

du systkme a qu i va donner, g r k e au thdorkme 111.1, un c r i t k r e

particulikrement maniable pour l a condition de O r e .

Lemme IV. 1 . Supposons que R soi t un T-anneau 21 gauche.

Pour q u l u n id&al 8 gauche I appart ienne 8 +, il faut e t il suffit que

I contienne un ideal bi lathre @ k 63 . Ddmonstration. Soi t I E 7 . Si (3 e s t le plus grand iddal bila-

t k r e contenu dans I , on a d l a p r B s l a condition de Gabr ie l s u r les

T-anneaux [I] :

= 1a.R = (I0.a ) n ... n (I-.a,), aiE R . 1

Chaque iddal 21 gauche 1'. . ai appar t ient 21 7 d r a p r h s 1' axiome (T ), 3 donc auss i l e u r in tersec t ion d r aprBs I ' axiome (T ). On a a l o r s 8 $ P 2

c a r an @(P) f @ e t P n @ ( P ) = @. Dow

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Rkiproquement , si I 3 @ e t s i 03 e s t un iddal bi latkre non

contenu dans P , l T i d 6 a l 03 + P / ~ e s t b i l a t b e non nu1 dans R / p ; il

exis te s = s l + p E ( @ + p ) n c (P ) , s l E @ , pE 6. O n e n d d d u i t

s E E3n @(P). Pour tout a E R , on a : 1

63e.a 3 ~ 3 s 1

d l o b BE g e t I € + d ' a p r k s I 'axiome (T,).

L e th4orkme 111.1 devient a l o r s dans l e c a s d ' u n T-anneau h

gauche :

Thdorhne IV.2. So i t R un T-anneau 2 gauche et P un id6al

premier de ,R. Pour que R vs r i f i e l a condition de O r e pour C" (P),

il faut e t il suffit que l a propriBtd suivante a i t l ieu :

Pour tout id6al bi latkre ~ # p , il exis te un iddal bi latkre 3' # p

e t un iddal principal h gauche I t e l s que :

W C I C 0 3 .

Corol la i re IV. 1. Un T-anneau 2 gauche dans lequel les iddaux

bilatkres sont principaux h gauche e s t un @-anneau.

Comme de rn ik re application, consid6rons pa r exemple 1' anneau

R ddfini en [ 5 ] , p. 402. I1 s ' agit de I ' anneau des matrices :

C est un T-anneau (a identitd polynomiale) . L e diagramme d e s iddaux

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bi la thres , ou principaux h gauche, ou premiers , qui es t donnd p . 403,

permet de montrer avec le c r i t k r e du th6orhme IV.2 que le seu l iddal

premier p t e l que l a condition de O r e ne soit p a s vdrifi6e pour db),

e s t l l i d d a l :

BIBLIOGRAPHIE

[I ] G. Cauchon : L e s T-anneaux, la condition' (H) de Gabr ie l e t ses cons6quences ; Comm. Algebra, 4 ( I ) , p. 11-50 (1976).

[2] :G. Cauchon e t J . Robson : Endomorphismes e t d4rivations d ' un anneau art inien simple ; a r t i c l e & para i t r e .

[3] M. Djabali : S u r l a condition d e O r e pa r rappor t ?i ~ ( p ) ; Sdminaire dl Alghbre non commutative, Publications Math& matiques d r O r s a y , (1975), no 154-7543.

[4 ] J . Lambek and G . Michler : The Tors ion Theory a t a P r ime Ideal of a Right Noetherian Ring ; J. Algebra, 25 , no 2, (1973).

[ 5 ] L. Les i eu r e t R. Croisot : Coeur dl un module ; J. Math. P u r e s Appl. , ge sd r i e , 42, (1963), p. 367-407.

[6] L . Les i eu r e t R. Cro i so t : ~ l g k b r e noethdrienne non commuta- t ive ; Memorial d e s Sc. Math., f a sc . 404, P a r i s , Gauthiers- Vi l la rs , (1 963).

[7] L. Les i eu r : Une propridtd carac tdr is t ique d 'un iddal h gauche P-isotypique dans un anneau noethdrien 2 gauche ; Estudos de Maternatica, Lisboa , (1974), p. 33-36.

[8] L. Les i eu r : Conditions noethdriennes s u r les anneaux de poly- n6mes de O r e A [X ,a, 61. S4minaire d ' alghbre, M . P . Malliavin e t P. Dubreil , Institut Henr i Poincar6 , P a r i s . Confdrence du 14 mars 1977.

Received: March 1977 Dow

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localisation classique en un ideal premier d'un anneau noetherien a gauche

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