lm fisica a.a.2013/14fisica dei dispositivi a stato solido - f. de matteis1 trasmissione di segnali...

LM Fisica A.A.2013/14 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 1

• Trasmissione di segnali a lunga distanza

• Dispositivi integrati miniaturizzati.

• Ottica integrata = tecnologia di integrare dispositivi ottici e componenti per la generazione, la ricombinazione, la modulazione, la rivelazione di luce su un

singolo substrato (chip).

• Dispositivi optoelettronici

• Si fonda sulla riflessione totale

Ottica guidata


EE

kk

BB

c

ck 22

2

E =E0 cos (kx-t)

E’ caratterizzata da lunghezza d’onda e frequenza o periodo di oscillazione T (=cT=c/)E’ caratterizzata dalla direzione di oscillazione del campo elettrico E detta direzione di polarizzazione

B =B0 cos (kx-t)

Onda trasversa


E

B

Onda trasversa elettromagnetica

Fronte d’onda

k

Il piano che contiene i vettori campo elettrico e magnetico è il fronte d’onda

Onda piana


Onda trasversa elettromagneticak è la direzione di propagazioneE è la direzione di polarizzazionec è la velocità di propagazione

In un mezzo materiale, la velocità diminuisce di un fattore n tipico del materiale stesso.

v=c/n n indice di rifrazione

E

B

k

Materialen (589 nm)

elio 1,000 03

Aria (azoto) 1,000 3

anidride carbonica

1,000 4

ghiaccio 1,31

acqua 1,333

etanolo 1,36

glicerina 1,473

sale 1,516

vetro (tipico) 1,5-1,9

diamante 2,419

silicio 3,4

fosfuro di gallio 3,5

Se l’onda si propaga in una direzione generica?

L’ortogonalità tra i vari elementi rimane.

Mettiamoci nel piano individuato da k e E

tykzkE )cos()sin(cos0

k

y

zE


Sistema idealizzato Specchi senza perdite. Il fascio non subisce attenuazione lungo la direzione di propagazione.

Si associa ad ogni raggio una onda piana elettromagnetica trasversale (TEM) eIl campo elettrico finale è la somma di queste onde piane.

Consideriamo una onda monocromatica di lunghezza d’onda = 0/n e vettore k = nk0 e velocità di fase c = c0/n con n indice di rifrazione del mezzo tra gli specchi.

Ad ogni riflessione la fase dell’onda salta di 180°. Dopo due riflessioni lo sfasamento è di 360°, come a dire 0°.

Assumiamo polarizzazione nel piano della guida.Campo E parallelo agli specchi

Guide d’onda planari ideali


• Si può imporre una condizione di autoconsistenza che dopo 2 riflessioni l’onda riproduce esattamente se stessa. I campi che soddisfano ciò sono i MODI della guida d’onda.

• I modi sono campi che mantengono la stessa distribuzione trasversale e la stessa polarizzazione a tutte le distanze lungo la guida d’onda.

Nel nostro caso si ha che la differenza di cammino percorsa nei due tratti è:

se essa è pari ad un numero intero di abbiamo interferenza costruttiva dei due fronti d’onda. Ovvero:

con m un qualunque numero interoQuindi la condizione è soddisfatta solo per certi angoli:

sin2sin2sincos12cos1 222 dCACACABACA

md sin2

,3,2,1,2

sin md

mm


Quindi l’onda guidata è costituita da due onde piane che viaggiano a ± rispetto all’asse z e nel piano y-z. Si può definire una costante di propagazione = kz =k cos. Poichè è quantizzato lo sarà anche .

m = k cosm e quindi:

Modi di più alto ordine (più obliqui) viaggiano con più basse costanti di propagazione.

Il modo m=1 viaggia con l’angolo minore, mentre modi con alto m viaggiano con angoli più alti e sono più obliqui. Anche la componente y di k (ky = nk0 sin) sarà quantizzata:

,3,2,1,sin2

md

mk mym


L’ampiezza complessa del campo totale nella guida è la sovrapposizione di due onde piane TEM una che viaggia nel verso positivo ed una nel verso negativo dell’asse y.

Onda viaggiante nel verso positivo

Onda viaggiante nel verso negativo

Esistono modi simmetrici (m dispari = componenti delle onde si sommano) e asimmetrici per cui le componenti si sottraggono (m pari).

Il campo totale sarà: per modi dispari

e per modi pari

In generale il campo elettrico può essere scritto:

con e

per modi dispari e pari


Distribuzioni trasversali di um(y)

Ogni modo può essere considerato come una onda stazionaria nella direzione y che viaggia nella direzione z.I campi tendono a zero per y = ± d/2 per tutti i modi così che le condizioni al contorno sono sempre soddisfatte.Poichè le onde sono polarizzate parallelamente a x il campo elettrico sarà parallelo alla direzione x e quindi l’onda guidata si dice trasversale elettrica (TE).


• Numero dei modi

Si definisce un numero massimo di modi che la guida d’onda può trasmettere. sin m = m/2d e poiché sin m < 1 si ha che il massimo valore di m è il più grande intero più piccolo di 2d/.

M è il numero di modi della guida d’onda.

La luce può essere trasmessa nella guida in non più di M modi ottici. Il numero di modi aumenta con la separazione tra i due specchi (d). Se 2d/ 1 M=0 che vuol dire che la guida non supporta nessun modo.La lunghezza d’onda max = 2d è detta di cut off e rappresenta la più lunga lunghezza d’onda che può essere guidata dalla struttura.

Se 1 < 2d/ 2 ossia d < 2d si ha che solo un modo può essere guidato e la struttura si dice single-mode waveguide.


• Si può definire anche una velocità di gruppo dei modi che rappresenta la velocità con cui viaggia l’impulso luminoso nella direzione di propagazione z.

Modi diversi hanno velocità di gruppo differenti. Modi più obliqui viaggiano con una velocità di gruppo più bassa poiché sono “ritardati dal più lungo percorso a zig-zag”

Modi trasversali magnetici (TM)

Nei modi TM il campo magnetico associato all’onda è parallelo alla direzione x.In questo caso il campo elettrico ha componente sia nella direzione y che z.


La componente z è parallela agli specchi e quindi si esprime come la componente x dei modi TE. Quindi:

Le componenti y del campo elettrico avranno la forma:

Le condizioni al contorno di avere campo nullo sugli specchi sono assicurate dal fatto che Ez(y,z) si annulla in corrispondenza degli specchi.

k

y

z

E

mz EE sinmzmy EEE cotcos

mm

mm

Adja

Ada

2

2


Se si hanno più modiguidati in una struttura, poiché ciascun modo ha costanti di propagazione diverse e velocità di gruppo diverse, il campo cambia la sua distribuzione trasversale man mano chel’onda procede.

Per cui la distribuzione di intensità per un modo singolo è invariante con la propagazione, mentre la distribuzione multimodo cambia lungo l’asse di propagazione.


Riflessione e rifrazione

tzrkE )''sin(''cos'' 0

000

'''' y

yytrktrktrk

tzrkE )'sin('cos'0n’

n

k’

k’’k

r’

r’’i

y

z tzikE )sin(cos0

Condizione al contorno sul

piano y=0

Campi devono variare nello

stesso modo

Stessa fase.

(Cinematica)

''sin'''sin'sin rkrkik

k=n /c

n sin in sin i

n’ sin r’n’ sin r’

n sin r’’n sin r’’==

== ==


Riflessione e rifrazione

txrkE )''sin(''cos'' 0

txrkE )'sin('cos'0

txikE )sin(cos0

n’

n

k’

k’’k

r’

r’’i

y

z

'sin'sin rnin

''sinsin ri

Legge di Snell o della rifrazione

Legge della riflessione

All’interfaccia tra due diversi mezzi si verifica la riflessione e la rifrazione del raggio incidente


Riflessione interna totale

n

nc

'sin

ctznc

eE

ctyrnznc

E

y )sin(cos'

)'cos(')sin(cos'

0

0

2'

rc

n

n’

k’

k

y

z

La legge di Snell implica che se il raggio proviene dal mezzo di

indice di rifrazione maggiore esiste un angolo limite c oltre il quale

non vi è raggio rifratto.

n>n’

r’

>r’

inni

nnrnrn

222

2222

'sin

sin''sin1''cos'

sin'sin' nrn


Relazioni tra le intensità dei raggi incidenti, trasmessi e riflessi

2

2

coscos

coscos

coscos

coscos

itti

ittip

ttii

ttiis

nn

nnR

nn

nnR

Coefficienti di Fresnel

Esiste un angolo di incidenza per cui non c’è raggio riflesso per polarizzazione parallela

(i+t=/2)

ANGOLO DI BREWSTERANGOLO DI BREWSTERn

ntg B

'

Derivano dalla condizioni di continuità dei campi all’interfaccia.(Dinamiche)Continuità della componente tangenziale (E e H)Continuità della componente normale (D e B)

ti

tip

ti

tis

R

R

2

2

2

2

tan

tansin

sin


Coefficienti di riflessione


Coefficienti di FresnelCoefficienti di Fresnel

Fino all’angolo critico rj sono reali positivi

o negativi.(j =0 o )

p

s

ip

itti

ittip

is

ttii

ttiis

ernn

nnr

ernn

nnr

coscos

coscos

coscos

coscos


Coefficienti di FresnelCoefficienti di Fresnel

2tan

cos

sinsin

2tan

cos

sinsin

2tan

22

22

s

t

i

t

ciip

cs

n

n

n

n

jijj er

jba

jbar

Sopra l’angolo critico c (se esiste) assumono

valori complessi complessi perché cos t

diventa immaginario

p

s

ip

it

iiit

it

iiit

p

is

it

itii

it

itii

s

er

nnjnn

nnjnn

r

er

nnjnn

nnjnn

r

1sincos

1sincos

1sincos

1sincos

22

2

22

2

22

2

22

2

0

90

180

0 45 90

Angolo di incidenza

Sfa

sam

ento

dp

ds

a

b

r

j

j

arctan2

1


Materiale dielettrico ad indice di rifrazione maggiore del materiale dielettrico che lo circonda.

Il principio è quello dellariflessione totale alle interfacce. Lo strato guidante è detto core quello sottostante buffer e quello sopra cladding.

Esistono guide d’onda planari sia simmetriche (indici di rifrazione buffer e cladding uguali) che asimmetriche. Si avrà riflessione totale se l’angolo è minore di = 90°-sin-1(n2/n1) = cos-1(n2/n1). Per angoli maggiori una parte della radiazione sarà persa ad ogni riflessione.

La trattazione sarà simile a quanto già trovato per guide con specchi. Bisogna fare attenzione all’uso degli angoli complementari

Guide d’onda planari dielectriche


• Modi guidati

Consideriamo una onda TEM monocromatica di lunghezza d’onda = 0/n1 che si propaga con angolo rispetto all’asse z minore dell’angolo complementare criticoc. La velocità di fase dell’onda è c1 =c0/n1 e il numero d’onda n1k0. Le componenti kx = 0, ky = n1k0sin e kz = n1k0cos. Imponiamo la condizione di auto consistenza (un’onda si riproduce dopo due riflessioni). In questo caso si avrà:

Ci sarà in aggiunta al caso degli specchi anche un fattore di fase r dovuto alle riflessioni con l’interfaccia del dielettrico per cui:

o anche

Quindi anziché avere uno sfasamento di 180° alla riflessione si ha uno sfasamento di r alla riflessione. Il fattore di fase dipende dall’angolo e si ha:

Quindi r varia da a 0 al variare di da 0 a c.


Riscrivendo la condizione di autoconsistenza:

Si ottiene: per i modi TE

Questa è una equazione trascendentale in , che ha soluzione grafica. I punti di intersezione della parte destra e sinistra sono gli angoli m dei modi. Per r = (guide con specchi) le soluzioni sono i punti vuoti.


• Gli angoli dei modi saranno tra 0 e c, i vettori d’onda avranno componenti:

• Le componenti z rappresentano le costanti di propagazione dei vari modi:

Poiché cos m può assumere valori tra 1 e cosc = n2/n1 si ha che m andrà tra n2k0 e n1k0.

Gli angoli e le costanti di propagazione per i modi TM possono essere trovati in maniera analoga usando lo sfasamento y dato da:


• Numero di modi

La separazione tra modi è pari a /2d. Si avranno modi per angoli tali che: sin sinc. Quindi il numero di modi TE è dato dal più piccolo intero più grande di sinc/(/2d).

Per cui se sinc/(/2d) = 0.9, 1 o 1.1 si ha M =1, 2 o 2.

• Distribuzioni di campo

Si avrà una distribuzione di campo interna alla guida ed una esterna. Quella interna è costituita da due onde TEM piane che viaggiano con angoli ±m con l’asse z. Queste hanno la stessa ampiezza ma uno sfasamento m nel centro della guida. L’ampiezza del campo elettrico complesso all’interno della guida sarà:

con costante propagazione

costante

Il campo non si annulla alle interfacce. Per m alti sin m aumenta e quindi modi più alti variano più rapidamente con y.


• Campo esternoIl campo esterno dovrà raccordarsi alle interfacce con quello interno. Quindi varierà come exp(-jmz). Usando l’equazione di Helmholtz:

Si ottiene: con

Poiché m >n2k0 per i modi guidati si ha che m2 >0 e quindi l’equazione

è soddisfatta da funzioni esponenziali:

m è noto come coefficiente di estinzione e l’onda che si propaga esternamente si dice onda evanescente. Sostituendo si ha:

All’aumentare di m m aumenta e m diminuisce.Quindi modi di ordine alto penetrano più in profondità negli strati esterni.


Per determinare le costanti di proporzionalità nelle equazioni che descrivono il campo interno e quello esterno si impone che ai bordi i campi siano uguali (y = ± d/2) e si usa la condizione di normalizzazione:

Si ottengono quindi delle espressioni per um(y) valide per ogni y.

Le funzioni um(y) sono tutte ortogonali tra loro:

Un campo elettrico TE arbitrario nella guida potrà essere scritto come combinazione lineare di questi modi:

con am ampiezza del modo m-esimo.


La distribuzione di campo dei modi TM può essere determinata in modo simile. Considerando che la componente z del campo elettrico si comporta in modo simile alla componente x del campo elettrico per i modi TE.

La distribuzione di campo per il modo TE più basso (m=0) ha forma simile a quella di un fascio gaussiano.Però nel caso di fascio guidato non si ha allargamento del fascio come avviene in aria. In una guida d’onda la tendenza della luce a diffrangere è compensata dall’azione guidante del mezzo.


• Velocità di gruppo

la velocità di gruppo è definita come v = d/d, per cui si deve trovare la dipendenza di (costante di propagazione) da . Partendo dalla condizione di autoconsistenza alla fine si ottiene:

Per cui si ottiene una relazione di dispersione tra e .


• Le velocità di gruppo saranno quindi tutte tra c1 e c2 (che sono le velocità di fase nella parte guidante e negli strati di buffer e cladding) con c1 < c2.

Per una frequenza fissata il modo 0 viaggia con velocità vicina a c1, invece il modo più alto M (più obliquo) avrà velocità circa pari a c2. Infatti una buona parte dell’energia che porta il modo M viaggia negli strati di cladding e buffer dove la velocità è c2. Opposto a guide con specchi.


La velocità può essere scritta come:

che a differenza delle guide con specchi:

Questo indica che il raggio nella guida dielettrica viaggia un’ulteriore distanza zin un tempo . Questo può essere pensato come una penetrazione effettiva delraggio dentro il cladding o il buffer o come uno shift laterale effettivo del raggio.L’effetto di penetrazione di un raggio che è sottoposto a riflessione totale è dettoeffetto Goos-Hanchen. Si può scrivere la velocità laterale come z / = / = c1/cos quindi modi più obliqui ( alto) percorrono la distanza laterale ad una velocità più alta rispetto ai modi meno obliqui (m bassi). Da questo deriva il fatto che la velocità di gruppo totale dei modi più obliqui è più alta rispetto a quelli meno obliqui (m piccolo).


Goos-Hänchen shift


Guide d’onda bidimensionali• Nel caso di guide d’onda bidimensionali si ha un confinamento della luce non

soltanto nella direzione y ma anche nella direzione x, mentre la direzione z è sempre quella di propagazione.

• La più semplice schematizzazione è di considerare una guida bidimensionale con pareti a specchio. Si assume per semplicità che gli spessori siano ugali nelle due direzioni ed uguali a d.

• In questo caso le condizioni di autoconsistenza ci danno:

La costante di propagazione = kz si può trovare dalla relazione kx

2 + ky2 + 2 = n2k0

2 Le tre componenti del vettore d’onda hanno valori discreti e si hanno un numero di modi finito. Ciascun modo è identificato da mx e my (invece di m come nel caso di guide planari).


• Il numero massimo di modi nella guida bidimensionale può essere trovato contando i punti nel settore circolare del diagramma kx – ky. Se questo numero è grande si può approssimare al rapporto tra l’area del settore (nk0)2/4 con l’area della cella unitaria (/d)2 :

Poiché ci sono due polarizzazioni (TE e TM) il numero di modi totali sarà 2M. Comparando con il numero di modi in una guida planare si nota che il numero di modi è notevolmente aumentato. Si ha circa il quadrato del numero di modi.

Le distribuzioni di campo associate con questi modi saranno simili a quelle della guida planare solo che si avranno distribuzioni simili lungo la direzione y e lungo quella x.


Guida d’onda bidimensionale dielettrica

Un materiale a sezione quadrata di lato d ed indice di rifrazione n1 è ricoperto da un materiale ad indice di rifrazione n2 (n2 < n1).

Le componenti del vettore d’onda devono soddisfare la condizione

con

Quindi kx e ky staranno nell’area mostrata in figura.

I valori di kx e ky si ottengono dalla condizione di autoconsistenza. I valori kx e ky dei modi non sono uniformemente spaziati come nel caso di guide con specchi, comunque due valori consecutivi di k lungo le due direzioni sono spaziati in media di /d. Il numero di modi si può ottenere contando i punti nel diagramma e si ha:

o

con

NA numerical aperture

per i modi TE

Approssimazione è buona per M grande.

Ci saranno anche M modi TM


Tipi di guide d’onda canale

Configurazioni


• Eccitazione dei modi di guida

La luce si propaga in forma di modi e l’ampiezza complessa del campo ottico è la sovrapposizione di tali modi

con am ampiezza, um(y) distribuzione trasversale e m costante di propagazione del modo m

Se la luce che si tenta di inserire in guida ha una distribuzione che si accorda perfettamente con un modo della guida sarà eccitato solo quel modo. In generale la luce avrà una distribuzione arbitraria s(y) che quindi ecciterà vari modi e in modo diverso. La frazione di potenza trasferita dalla sorgente al modo m dipende Dalla similitudine tra s(y) e um(y).

Possiamo scrivere s(y) come sovrapposizione di funzioni ortogonali um(y):

con al ampiezza del modo eccitato l che rappresenta il grado di similiratà (correlazione) tra la sorgente e la distribuzione del modo:


• La luce può essere accoppiata con la guida direttamente focalizzando la luce su di essa (lente, obiettivo da microscopio, altre fibre,ecc.). L’accoppiamento è difficile e anche poco efficiente.

• In una guida multimodo possiamo considerare un approccio basato sui raggi ottici. Per avere un buon accoppiamento la luce incidente deve essere focalizzata in un angolo minore di a. I raggi dentro la guida sono confinati ad un angolo c= cos-1(n2/n1) che corrisponde ad un angolo esterno a.

•Si può inserire in guida anche direttamente la luce uscente da un dispositivo a semiconduttore o da un laser semplicemente allineando le estremità (sorgente/guida) lasciando uno spazio minimo.


•Si può accoppiare luce dentro le guide anche usando un prisma, un reticolo di diffrazione o un’altra guida d’onda.

Accoppiamento con prisma

Si usa un prisma ad alto indice di rifrazione np > n2 posto ad una distanza dp dalla guida d’onda planare.

Una onda ottica incide sul prisma in modo tale che sia in condizione di riflessione totale.L’onda incidente e riflessa formano una onda che si propaga lungo z con costante di propagazione p =npk0cosp. Il campo elettrico trasverso si estende al di fuori del prisma e decade esponenzialmente. Se la distanza dp è sufficientemente piccola l’onda si accoppia alla guida planare con costante di propagazione m p. Quindi il prisma agisce per inserire luce nella guida, ma può funzionare anche per estrarre luce dalla guida.

Con un reticolo di diffrazione la situazione è simile.

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