lista de exercícios – frações parciais e cresciment o...

UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop

Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil

Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I

Página 1 de 24

Lista de Exercícios – Frações Parciais e Cresciment o Logístico

1) Nos exercícios abaixo, calcule a integral indefi nida.

a) 2

11

dxx −∫

2

11 1 1

A Bx x x

= +− − +

( ) ( )1 1 1A x B x+ + − =

Fazendo 1x = −

( ) ( )1 1 1A x B x+ + − =

( ) ( )1 1 1 1 1A B− + + − − =

2 1B− = 12

B = −

Fazendo 1x =

( ) ( )1 1 1 1 1A B+ + − =

2 1A = 12

A =

Portanto:

2

11 1 1

A Bx x x

= +− − +

2

1 11 2 21 1 1x x x

= −− − +

2

1 11 2 21 1 1

dx dx dxx x x

= −− − +∫ ∫ ∫

2

1 1 1 1 11 2 1 2 1

dx dx dxx x x

= −− − +∫ ∫ ∫

2

1 1 1ln 1 ln 1

1 2 2dx x x C

x= − − + +

−∫




Página 2 de 24

b) 2

216

dxx

−−∫

2

216 4 4

A Bx x x

− = +− − +

( ) ( )4 4 2A x B x+ + − = −

Fazendo 4x = −

( ) ( )4 4 2A x B x+ + − = −

( ) ( )4 4 4 4 2A B− + + − − = −

8 2B− = − 14

B =

Fazendo 4x =

( ) ( )4 4 2A x B x+ + − = −

( ) ( )4 4 4 4 2A B+ + − = −

8 2A = − 14

A = −

Portanto:

2

216 4 4

A Bx x x

− = +− − +

2

1 12 4 416 4 4x x x

−− = +− − +

2

1 12 4 416 4 4

dx dx dxx x x

−− = +− − +∫ ∫ ∫

2

2 1 1 1 116 4 4 4 4

dx dx dxx x x

− = − +− − +∫ ∫ ∫

2

2 1 1ln 4 ln 4

16 4 4dx x x C

x− = − − + + +−∫




Página 3 de 24

c) 2

13

dxx x−∫

2

13 3 1

A Bx x x x

= +− −

( )1 3 1A x Bx= − +

3 1Ax A Bx− + = ( )3 1A B x A+ − =

Resolvendo o sistema abaixo:

3 01 e 3

1

A BA B

A

+ =⇒ = − =− =

Portanto:

2

13 3 1

A Bx x x x

= +− −

2

1 1 33 3 1x x x x

−= +− −

2

1 1 33 3 1

dx dx dxx x x x

−= +− −∫ ∫ ∫

2

1 1 33 3 1

dx dx dxx x x x

= − +− −∫ ∫ ∫

3 1

ln ln 3 13 1

dx du u xx u

= = = −−∫ ∫

3 1

3

u x

du dx

= −=

2

1ln ln 3 1

3dx x x C

x x= − + − +

−∫

2

1ln ln 3 1

3dx x x C

x x= − + − +

−∫

d) 2

12

dxx x+∫

2

12 2 1

A Bx x x x

= ++ +




Página 4 de 24

( ) ( )2 1 1A x B x+ + =

2 1Ax A Bx+ + = ( )2 1A B x A+ + =


2 01 e 2

1

A BA B

A

+ =⇒ = = − =

Portanto:

2

12 2 1

A Bx x x x

= ++ +

2

1 1 22 2 1x x x x

= −+ +

2

1 1 22 2 1

dx dx dxx x x x

= −+ +∫ ∫ ∫

2 1

ln ln 2 12 1

dx du u xx u

= = = ++∫ ∫

2 1

2

u x

du dx

= +=

2

1 1 22 2 1

dx dx dxx x x x

= −+ +∫ ∫ ∫

2

1ln ln 2 1

2dx x x C

x x= − + +

+∫

e) 2

32

dxx x+ −∫

2

32 1 2

A Bx x x x

= ++ − − +

( ) ( )2 1 3A x B x+ + − =

2 3Ax A Bx B+ + − = ( ) 2 3A B x A B+ + − =





Página 5 de 24

01 e 1

2 3

A BA B

A B

+ =⇒ = = − − =

Portanto:

2

32 1 2

A Bx x x x

= ++ − − +

( ) ( )2

3 1 12 1 2x x x x

= −+ − − +

2

3 1 12 1 2

dx dx dxx x x x

= −+ − − +∫ ∫ ∫

2

3ln 1 ln 2

2dx x x C

x x= − − + +

+ −∫

f) 2

52 1

xdx

x x−+ −∫

2

52 1 2 1 1

x A Bx x x x

− = ++ − − +

( ) ( )1 2 1 5A x B x x+ + − = −

2 5Ax A Bx B x+ + − = − ( )2 5A B x A B x+ + − = − +


2 13 e 2

5

A BA B

A B

+ = −⇒ = = − − =

Portanto:

2

52 1 2 1 1

x A Bx x x x

− = ++ − − +

2

5 3 22 1 2 1 1

xx x x x

− = −+ − − +

2

5 3 22 1 2 1 1

xdx dx dx

x x x x− = −+ − − +∫ ∫ ∫

2

5 1 13 2

2 1 2 1 1x

dx dx dxx x x x

− = −+ − − +∫ ∫ ∫

2

5 3 1 12

2 1 2x

dx du dux x u u

− = −+ −∫ ∫ ∫




Página 6 de 24

2

5 3ln 2 1 2ln 1

2 1 2x

dx x x Cx x

− = − − + ++ −∫

g) 2

3

12 124

x xdx

x x+ +

−∫

2

3

12 124 2 2

x x A B Cx x x x x+ + = + +

− − +

( )( ) ( ) ( )2 12 12 2 2 2 2x x A x x Bx x Cx x+ + = − + + + + −

Fazendo 0x = :

4 12 3A A− = ⇒ = − Fazendo 2x = : 40 8 5B B= ⇒ = Fazendo 2x = − : 8 8 1C C= − ⇒ = − Portanto:

2

3

12 124 2 2

x x A B Cx x x x x+ + = + +

− − +

2

3

12 12 3 5 14 2 2

x xx x x x x+ + −= − + +

− − +

2

3

12 12 3 5 14 2 2

x xdx dx dx dx

x x x x x+ + = − + −

− − +∫ ∫ ∫ ∫

2

3

12 12 1 1 13 5

4 2 2x x

dx dx dx dxx x x x x+ + = − + −

− − +∫ ∫ ∫ ∫

2

3

12 123ln 5ln 2 ln 2

4x x

dx x x dx x Cx x+ + = − + − − + +

−∫

h) 2

24

xdx

x x+−∫

2

24 4

x A Bx x x x

+ = +− −

( )2 4x A x Bx+ = − +




Página 7 de 24

Fazendo 4x = :

34 6

2B B= ⇒ =

Fazendo 0x = :

14 2

2A A− = ⇒ = −

Portanto:

2

312 2 24 4

xdx dx dx

x x x x

−+ = +− −∫ ∫ ∫

2

2 1 1 3 14 2 2 4

xdx dx dx

x x x x+ = − +− −∫ ∫ ∫

2

2 1 3ln ln 4

4 2 2x

dx x x Cx x

+ = − + − +−∫

2

2 13ln 4 ln

4 2x

dx x x Cx x

+ = − − + −∫

i) ( )2

4 3

1

xdx

x

−−∫

( ) ( )2 2

4 311 1

x A Bxx x

− = +−− −

( )4 3 1x A x B− = − +

Fazendo 1x = :

1B = Fazendo 0x = : 4 1 3A A= − + ⇒ = −

( ) ( )2 2

4 3 3 111 1

xdx dx dx

xx x

− = − +−− −∫ ∫ ∫

( )1

22 2

1 1 1 11 11

udx du u du C C C

u u xx

−−= = = + = − + = − +

− −−∫ ∫ ∫




Página 8 de 24

1u x du dx= − ⇒ = Portanto:

( ) ( )2 2

4 3 3 111 1

xdx dx dx

xx x

− = − +−− −∫ ∫ ∫

( )2

4 3 13ln 1

11

xdx x C

xx

− = − − − +−−∫

j) ( )2

2

4 1

2 2 1

xdx

x x x

−+ +∫

( ) ( )2

22

4 12 12 2 1 1

x A B Cx xx x x x

− = + +++ + +

( ) ( )( ) ( )224 1 1 2 1 2x A x B x x C x− = + + + +

Fazendo 0x = :

1A = − Fazendo 1x = − :

32 3

2C C− = ⇒ = −

Fazendo 1x = : 4 4 2 3A B C+ + = 4 4 3 3B− + − =

52

B =

Portanto:

( ) ( )2

22

5 34 1 1 2 22 12 2 1 1

xdx dx dx dx

x xx x x x

− = − + −++ + +∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2

22

4 1 1 1 5 1 3 12 2 1 22 2 1 1

xdx dx dx dx

x xx x x x

− = − + −++ + +∫ ∫ ∫ ∫

1u x du dx= + ⇒ =




Página 9 de 24

( )1

22 2

1 1 1 11 11

udx du u du C C C

u u xx

−−= = = + = − + = − +

− ++∫ ∫ ∫

( )2

2

4 1 1 5 3 1ln ln 1

2 2 2 12 2 1

xdx x x C

xx x x

− = − + + + ⋅ +++ +∫

( ) ( )2

2

4 1 1 5 3ln ln 1

2 2 2 12 2 1

xdx x x C

xx x x

− = − + + + +++ +∫

( )2

2

4 1 1 35ln 1 ln

2 12 2 1

xdx x x C

xx x x

− = + − + + ++ + ∫

2) Nos exercícios abaixo, calcule a integral defini da.

a) 5

24

19

dxx−∫

2

19 3 3

A Bx x x

= +− − +

( ) ( )3 3 1A x B x+ + − =

Fazendo 3x = :

16 1

6A A= ⇒ =

Fazendo 3x = − :

16 1

6B B= ⇒ =

Portanto:

2

1 11 6 69 3 3

dx dx dxx x x

= +− − +∫ ∫ ∫

2

1 1 1 1 19 6 3 6 3

dx dx dxx x x

= − +− − +∫ ∫ ∫

2

1 1 1ln 3 ln 3

9 6 6dx x x C

x= − − + + +

−∫

2

1 1ln 3 ln 3

9 6dx x x C

x = + − − + −∫




Página 10 de 24

55

2 44

1 1ln 3 ln 3

9 6dx x x

x = + − − −∫

( ) ( )5

24

1 1ln 3 5 ln 3 5 ln 3 4 ln 3 4

9 6dx

x = + − − − + − − −∫

( ) ( )5

24

1 1ln8 ln2 ln7 ln1

9 6dx

x = − − − −∫

( )5

24

1 1ln8 ln2 ln7

9 6dx

x= − −

−∫

5

24

1 1 8ln

9 6 14dx

x=

−∫

5

24

1 1 4ln

9 6 7dx

x=

−∫

b) ( )5

21

11

xdx

x x−

+∫

( )2 2

11 1

x A B Cx x x x x

− = + ++ +

( ) ( ) 21 1 1Ax x B x Cx x+ + + + = −

Fazendo 1x = − :

2C = − Fazendo 0x = :

1B = − Fazendo 1x = : 2 2 0A B C+ + =

( )2 2 1 2 0A + ⋅ − − =

2 4A = 2A =

Portanto:

( )2 2

1 2 1 21 1

xdx dx dx dx

x x x x x− = − −

+ +∫ ∫ ∫ ∫




Página 11 de 24

( )2

2

1 1 12 2

1 1x

dx dx x dx dxx x x x

−− = − −+ +∫ ∫ ∫ ∫

( )1

2

12ln 2ln 1

1 1x x

dx x x Cx x

−− = − − + ++ −∫

( )2

1 12ln 2ln 1

1x

dx x x Cx x x

− = + − + ++∫

( )55

211

1 12ln 2ln 1

1x

dx x xx x x

− = + − + + ∫

( )5

21

1 1 12ln 5 2ln 5 1 2ln 1 2ln 1 1

1 5 1x

dxx x

− = + − + − + − + + ∫

( ) ( )5

21

1 12ln5 2ln6 1 2ln2

1 5x

dxx x

− = + − − − + ∫

( )5

21

1 12ln5 2ln6 1 2ln2

1 5x

dxx x

− = + − − ++∫

( ) ( )5

21

1 11 2 ln5 ln2 ln6

1 5x

dxx x

− = − + + −+∫

( )5

21

1 4 102ln

1 5 6x

dxx x

− = − ++∫

( )5

21

1 4 52ln

1 5 3x

dxx x

− = − ++∫

c) 1 3

20 2

xdx

x −∫

( )23

2 2 2

2 22 2 2

x xx xx x x

−= +

− − −

3

2 2

22 2

x xx

x x= +

− −

Integrando: 2

22

xdx

x −∫

2

22 2 2

x A Bx x x

= +− − +

( ) ( )2 2 2A x B x x+ + − =




Página 12 de 24

Fazendo 2x = :

( )2 2 2 2 2 2 2 2 1A A A+ = ⇒ = ⇒ =

Fazendo 2x = − :

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 1B B B− − = − ⇒ − = − ⇒ =

Portanto:

2

2 1 12 2 2

xdx dx dx

x x x= +

− − +∫ ∫ ∫

2

2ln 2 ln 2

2x

dx x x Cx

= − + + +−∫

3

2 2

22 2

x xdx x dx dx

x x= +

− −∫ ∫ ∫

32

2

1ln 2 ln 2

2 2x

dx x x x Cx

= + − + + +−∫

11 3

22

00

1ln 2 ln 2

2 2x

dx x x xx

= + − + + − ∫

( )1 3

20

1ln 1 2 ln 1 2 ln 2 ln 2

2 2x

dxx

= + − + + − − + − ∫

( ) ( ) ( )1 3

20

1ln 2 1 ln 2 1 ln 2 ln 2

2 2x

dxx

= + − + + − + − ∫

( ) ( ) ( )1 3 2 22

20

1ln 2 1 ln 2

2 2x

dxx

= + − − − ∫

1 3

20

1ln1 ln2

2 2x

dxx

= + −−∫

1 3

20

1ln2

2 2x

dxx

= −−∫




Página 13 de 24

d) 2 3 2

21

2 13

x xdx

x x− +

−∫

( )( )23 2

2 2 2

3 12 1 3 13 3 3

x x xx x xx x x x x x

− +− + += +− − −

3 2

2 2

2 1 3 11

3 3x x x

xx x x x− + += + +

− −

Integrando: 2

3 13

xdx

x x+

−∫

2

3 13 3

x A Bx x x x

+ = +− −

( )3 3 1A x Bx x− + = +

Fazendo 0x = :

13 1

3A A− = ⇒ = −

Fazendo 3x = :

103 10

3B B= ⇒ =

Portanto:

2

1013 1 3 33 3

xdx dx dx

x x x x

−+ = +− −∫ ∫ ∫

2

3 1 1 1 10 13 3 3 3

xdx dx dx

x x x x+ = − +

− −∫ ∫ ∫

2

3 1 1 10ln ln 3

3 3 3x

dx x x Cx x

+ = − + − +−∫

( )3 2

2 2

2 1 3 11

3 3x x x

dx x dx dxx x x x− + += + +

− −∫ ∫ ∫

3 22

2

2 1 1 1 10ln ln 3

3 2 3 3x x

dx x x x x Cx x− + = + − + − +

−∫




Página 14 de 24

22 3 22

211

2 1 1 1 10ln ln 3

3 2 3 3x x

dx x x x xx x− + = + − + − −

∫

2 3 22

21

2 1 1 1 10 1 1 104 2 ln 2 ln 2 3 1 1 ln 1 ln 1 3

3 2 3 3 2 3 3x x

dxx x

− + = ⋅ + − + − − ⋅ + − + − − ∫

2 3 2

21

2 1 1 10 3 1 104 ln 2 ln1 ln 1 ln 2

3 3 3 2 3 3x x

dxx x

− + = − + − − + − ∫

2 3 2

21

2 1 3 114 ln 2

3 2 3x x

dxx x− + = − −

−∫

2 3 2

21

2 1 5 11ln 2

3 2 3x x

dxx x− + = −

−∫

3) Calcule a integral indefinida, aplicando a subst ituição indicada.

a) ( )( ) 1 4

xx

x x

edx u e

e e=

− +∫

( )( ) ( )( )1

1 41 4

x

x x

edx du

u ue e=

− +− +∫ ∫

( )( )1

1 4 1 4A B

u u u u= +

− + − +

( ) ( )4 1 1A u B u+ + − =

Fazendo 1u = :

15 1

5A A= ⇒ =

Fazendo 4u = − :

15 1

5B B− = ⇒ = −

( )( )1 11 5 5

1 4 1 4du du du

u u u u= −

− + − +∫ ∫ ∫

( )( )1 1 1 1 1

1 4 5 1 5 4du du du

u u u u= −

− + − +∫ ∫ ∫

( )( )1 1 1

ln 1 ln 41 4 5 5

du u u Cu u

= − − + +− +∫




Página 15 de 24

( )( ) ( )1 1ln 1 ln 4

5 51 4

xx x

x x

edx e e C

e e= − − + +

− +∫

( )( ) ( )1ln 1 ln 4

51 4

xx x

x x

edx e e C

e e = − − + + − +∫

b) 2

2

1 4

4dx u x

x x= +

+∫

( ) 12 2 24 4u x u x= + ⇒ = +

( )( )

212 2

12 2

1 44 2

2 4

x x udu x x dx du dx dx du du

x xx

− += + ⋅ ⇒ = ⇒ = =+

2 2 2 2 24 4 4u x u x x u= + ⇒ = + ⇒ = −

Portanto:

2 22

1 1 1 144

udx du du du

x u x x ux x= ⋅ = =

⋅ −+∫ ∫ ∫ ∫

2

14 2 2

A Bu u u

= +− − +

( ) ( )2 2 1A u B u+ + − =

Fazendo 2u = − :

14 1

4B B− = ⇒ = −

Fazendo 2u = :

14 1

4A A= ⇒ =

Portanto:

2

1 11 4 44 2 2

du du duu u u

= −− − +∫ ∫ ∫

2

1 1 1 1 14 4 2 4 2

du du duu u u

= −− − +∫ ∫ ∫




Página 16 de 24

2

1 1 1ln 2 ln 2

4 4 4du u u C

u= − − + +

−∫

( ) ( )2 2

2

1 1 1ln 4 2 ln 4 2

4 44dx x x C

x x= + − − + + +

+∫

c) ( )2

1 3

3 3 2dx u x

x x=

+∫

123 3 3u x u x u x= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

121 3 3 3

32 2 3 2 3

du x dx du dx du dxx x

−= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒

3 22 3

du dx dx u duu

⇒ = ⇒ =

( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 2 2 13 32 23 3 2

dx udu duu u ux x

= ⋅ =+ ++

∫ ∫ ∫

2w u dw du= + ⇒ =

( ) ( )1

22 2

2 1 2 1 2 2 2 1 23 3 3 3 1 3 3 22

wdu dw w dw C C C

w w uu

−−= = = ⋅ + = − ⋅ + = − +

− ++∫ ∫ ∫

Portanto:

( ) ( ) ( )2

1 2 23 2 3 3 23 3 2

dx C Cu xx x

= − + = − ++ ++

∫

4) Nos exercícios abaixo, determine o volume do sól ido gerado pela

revolução, em torno do eixo x , da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.

a) ( )10

, 0, 1, 510

y y x xx x

= = = =+

[ ]2( )

b

a

V f x dx= ∫π




Página 17 de 24

( )

25

1

1010

V dxx x

= + ∫π

( )5

221

1100

10V dx

x x

=

+ ∫π

( ) ( )2 222

11010 10

A B C Dx x xx x x

= + + +++ +

( ) ( ) ( )2 2 2 210 10 10 1Ax x B x Cx x Dx+ + + + + + =

Fazendo 0x = :

1100 1

100B B= ⇒ =

Fazendo 10x = − :

1100 1

100D D= ⇒ =

Fazendo 2x = : 2 144 144 4 12 4 1A B C D⋅ + + ⋅ + = 288 144 48 4 1A B C D+ + + =

1 1288 144 48 4 1

100 100A C+ ⋅ + + ⋅ =

28.800 144 4.800 4 100A C+ + + = 28.800 4.800 48A C+ = − ...................................................Equação (1) Fazendo 1x = − :

81 81 9 1A B C D− + + + = 1 1

81 81 9 1100 100

A C− + ⋅ + + =

8.100 81 900 1 100A C− + + + = 8.100 900 18A C− + = .........................................................Equação (2)

Resolvendo as expressões (1) e (2):

28.800 4.800 48 1 1 e

500 5008.100 900 18

A CA C

A C

+ = −⇒ = − =− + =




Página 18 de 24

Portanto:

( ) ( )2 222

1 1 1 11 500 100 500 1001010 10

dx dx dx dx dxx x xx x x

= − + + +++ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2 222

1 1 1 1 1 1 1 1 1500 100 500 10 10010 10

dx dx dx dx dxx x xx x x

= − + + +++ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2 2

22

1 1 1 1 1 1 1500 100 500 10010

dx dx x dx du u dux ux x

− −= − + + ++∫ ∫ ∫ ∫ ∫

10u x du dx= + ⇒ =

( )1 1

22

1 1 1 1 1ln ln

500 100 1 500 100 110

x udx x u C

x x

− −

= − + ⋅ + ⋅ + ⋅ +− −+∫

( )22

1 1 1 1 1 1 1ln ln 10

500 100 500 100 1010dx x x C

x xx x= − − ⋅ + ⋅ + − ⋅ +

++∫

( ) ( )22

1 1 1 1 1ln ln 10

500 100 500 100 1010dx x x C

x xx x= − − + + − +

++∫

( )5

221

1100

10V dx

x x

=

+ ∫π

( )

5

1

1 1 1 1100 ln ln 10

500 100 500 100 10V x x

x x

= − − + + − +

π

1 1 1 1 1 1 1 1100 ln5 ln15 ln1 ln11

500 500 500 1.500 500 100 500 1.100V

= − − + − − − − + −

π

1 1 1 1 1 1 1100 ln5 ln15 ln11

500 500 500 1.500 100 500 1.100V = − − + − + − +

π

1 1 1 1 1 1 1100 ln5 ln15 ln11

500 500 500 500 1.500 100 1.100V = − + − − − + +

π

( )1 33 165 15 11100 ln5 ln15 ln11

500 16.500V

− + + − = − − + +

π

1 11 5 136100 ln

500 15 16.500V

⋅ = − +

π

1 11 136100 ln

500 3 16.500V = − +

π

11136 33ln

165 3V = −

π




Página 19 de 24

b) 3

2, 1, 1, 0

4x

y x x yx x

= = = − =−

[ ]2( )

b

a

V f x dx= ∫π

21

31

24

xV dx

x x−

= − ∫π

( )

21

21

2

4

xV dx

x x−

=

− ∫π

21

21

14

4V dx

x−

= − ∫π

( )1

221

14

4V dx

x−

= − ∫π

( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )2 2 22 22

1 1 1 12 2 2 24 4 2 24 x x x xx x x xx

= = =+ − + −− − + −−

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

12 22 2 2 2

A B C Dx xx x x x

= + + ++ −+ − + −

( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 2 2 1A x x B x C x x D x+ − + − + − + + + =

Fazendo 2x = :

116 1

16D D= ⇒ =

Fazendo 2x = − :

116 1

16B B= ⇒ =

Fazendo 0x = : 8 4 8 4 1A B C D+ − + =

1 18 4 8 4 1

16 16A C+ ⋅ − + ⋅ =

1 18 8 1

4 4A C+ − + =




Página 20 de 24

18 8

2A C− =

16 16 1A C− = ........................................................................... Equação (1) Fazendo 1x = − : 9 9 3 1A B C D+ − + =

9 19 3 1

16 16A C+ − + =

109 3 1

16A C− = −

69 3

16A C− =

39 3

8A C− =

72 24 3A C− = ......................................................................... Equação (2) Resolvendo as expressões (1) e (2):

16 16 1 1 1 e

32 3272 24 3

A CA C

A C

− =⇒ = = − − =

Portanto:

( ) ( ) ( )2 2 22

1 1 1 11 32 16 32 162 22 24

dx dx dx dx dxx xx xx

= + − ++ −+ −−

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )2 2 22

1 1 1 1 1 1 1 1 132 2 16 32 2 162 24

dx dx dx dx dxx xx xx

= + − ++ −+ −−

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2u x du dx= + ⇒ =

( )2 2 22

1 1 1 1 1 1 1 1 132 2 16 32 2 164

dx dx du dx dux u x ux

= + − ++ −−

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2 2

22

1 1 1 1 1 1 132 2 16 32 2 164

dx dx u du dx u dux xx

− −= + − ++ −−

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )1 1

22

1 1 1 1 1ln 2 ln 2

32 16 1 32 16 14

u udx x x C

x

− −

= + + ⋅ − − + ⋅ +− −−

∫

( )22

1 1 1 1 1ln 2 ln 2

32 16 32 164dx x x C

u ux= + − − − − +

−∫




Página 21 de 24

( ) ( ) ( )22

1 1 1 1 1ln 2 ln 2

32 16 2 32 16 24dx x x C

x xx= + − − − − +

+ +−∫

( ) ( ) ( )

11

221 1

1 1 1 1 1ln 2 ln 2

32 16 2 32 16 24dx x x

x xx− −

= + − − − − + + − ∫

( )1

221

1 1 1 1 1 1 1ln3 ln3

32 48 48 16 32 164dx

x−

= − − − − − − −

∫

( )1

221

1 1 1 1 1 1 1ln3 ln3

32 48 48 16 32 164dx

x−

= − − + + + − ∫

( )1

221

1 2 2 2ln3

32 48 164dx

x−

= − + − ∫

( )1

221

1 1 2 6ln3

16 48 484dx

x−

= − + − ∫

( )1

221

1 1 4ln3

16 484dx

x−

= + − ∫

( )1

221

1 1 1ln3

16 124dx

x−

= + − ∫

( )1

221

14

4V dx

x−

= − ∫π

1 14 ln3

16 12V = +

π

1 1ln3

4 3V = +

π




Página 22 de 24

5) Uma organização conservacionista libera em uma r eserva 100 animais de uma espécie ameaçada. A organização acre dita que a reserva tenha capacidade para 1.000 animais e que o crescimento do rebanho será logístico; ou seja, o tamanho y do rebanho seguirá a equação

( )1

1.000dy k dt

y y=

−∫ ∫

onde t é dado em anos. Determine esta curva logística, sa bendo que ao final de 2 anos a população é de 134 animais).

( )1

1.000dy k dt

y y=

−∫ ∫

( )1

1.000 1.000A B

y y y y= +

− −

( )1.000 1A y By− + =

Fazendo 0y = :

11.000 1

1.000A A= ⇒ =

Fazendo 1.000y = :

11.000 1

1.000B B= ⇒ =

( )1 11 1.000 1.000

1.000 1.000dy dy dy

y y y y= +

− −∫ ∫ ∫

( )1 1 1 1 1

1.000 1.000 1.000 1.000dy dy dy

y y y y= +

− −∫ ∫ ∫

( )1 1 1

ln ln 1.0001.000 1.000 1.000

dy y y Cy y

= − − +−∫

( )1

1.000dy k dt

y y=

−∫ ∫

1 1ln ln 1.000

1.000 1.000y y kt C− − = +




Página 23 de 24

Quando 0 100t y= ⇒ =

1 1ln 100 ln 1.000 100

1.000 1.000C− − =

1 1ln100 ln900

1.000 1.000C− =

( )1ln100 ln900

1.000C− =

1 100ln

1.000 900C =

1 1ln

1.000 9C =

0,002197C ≅ − Quando 2 134t y= ⇒ =

1 1 1 1ln 134 ln 1.000 134 2 ln100 ln900

1.000 1.000 1.000 1.000k− − = ⋅ + −

1 1 1 12 ln134 ln866 ln100 ln900

1.000 1.000 1.000 1.000k = − − +

( )12 ln134 ln866 ln100 ln900

1.000k = − − +

1 134 9002 ln

1.000 866 100k

×=×

0,0001656k ≅ Portanto:

1 1ln ln 1.000

1.000 1.000y y kt C− − = +

( )1 1ln ln 1.000

1.000 1.000y y kt C− − = +

( )1ln ln 1.000

1.000y y kt C − − = +

1ln

1.000 1.000y

kt Cy

= +−

( )ln 1.0001.000

ykt C

y= +

−

( )1.000

1.000kt Cy

ey

+=−

( ) ( )1.0001.000 kt Cy y e += −




Página 24 de 24

( ) ( )1.000 1.0001.000 kt C kt Cy e e y+ += − ⋅ ( ) ( )1.000 1.0001.000kt C kt Cy e y e+ ++ ⋅ =

( )( ) ( )1.000 1.0001 1.000kt C kt Cy e e+ ++ =

( )

( )

1.000

1.000

1.000

1

kt C

kt C

ey

e

+

+=+

( )1.000

1.0001

1kt C

y

e +

=+

( )1.000

1.000

1 kt Cy

e− +=+

( )1.000 0,0001656

1.000

1 t Cy

e− +=+

0,1656 1.000

1.0001 t Cy

e e− −=+ ×

1 11.000 ln0,1656 1.000 9

1.000

1 t

ye e

− ×−

=+ ×

1ln0,1656 9

1.000

1 t

ye e

−−

=+ ×

0,1656 ln9

1.0001 ty

e e−=+ ×

0,1656

1.0001 9 ty

e−=+

lista de exercícios – frações parciais e cresciment o...

Documents