frações parciais e crescimento...

Frações Parciais e Crescimento Logístico

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Frações Parciais e Crescimento Logístico

1.Frações parciais

2.Função de crescimento logístico

1. Frações parciais

Nas aulas anteriores, estudamos aintegração por substituição e a integração porpartes.

Nesta aula abordaremos o estudo de umaterceira técnica – a técnica de frações parciais.

Esta técnica envolve a decomposição de umafunção racional na soma de duas ou mais funçõesracionais simples.


Sabendo-se que

2

7 2 1,

6 3 2x

x x x x+ = −

− − − +


O conhecimento das “frações parciais” àdireita permite-nos integrar o membro esquerdocomo segue:

2

7 2 16 3 2

xdx dx

x x x x+ = − − − − +

∫ ∫

1 12

3 2dx dx

x x= −

− +∫ ∫

2ln 3 ln 2x x C= − − + +


Para aplicar este método, devemos saberfatorar o denominador da função racional originale achar a decomposição da função em fraçõesparciais.


Frações Parciais

Para determinar a decomposição em frações parciaisda função racional própria p (x)/q (x), devemos fatorar q (x)e escrever uma equação que tenha a forma

Para cada fator linear distinto (ax + b), omembro direito deve apresentar um termo da forma

(soma de frações parciais)( )( )

p xq x

=

Aax b+


Frações Parciais

Para cada fator linear repetido (ax + b)n, o membrodireito deve apresentar n termos da forma

( ) ( )1 2

2n

n

A A Aax b ax b ax b

+ + ++ + +

…


OBS: Uma função racional p (x)/q (x) é própria se ograu do numerador é inferior ao grau do denominador.


Exemplo 1: Decomponha

2

76

xx x

+− −

em frações parciais.


Fatoremos inicialmente o denominador como

2 6 ( 3) ( 2)x x x x− − = − ⋅ +

e, em seguida, escrevamos a decomposição emfrações parciais como

2

76 3 2

x A Bx x x x

+ = +− − − +


Para resolver esta equação em relação a A e B,multipliquemos ambos os membros da equação pelomínimo denominador comum

( 3) ( 2)x x− ⋅ +

o que dá a seguinte equação básica.

( ) ( )7 2 3x A x B x+ = ⋅ + + ⋅ −Equação básica


Como esta equação é válida para todo x, podemosintroduzir nela valores convenientes de x. Os valores dex especialmente convenientes são os que anulam umfator do mínimo denominador comum: x = -2 e x = 3.


Fazendo x = -2:

( ) ( )7 2 3x A x B x+ = ⋅ + + ⋅ −

( ) ( )2 7 2 2 2 3A B− + = ⋅ − + + ⋅ − −

( ) ( )5 0 5A B= ⋅ + ⋅ −

1B = −

Equação básica

Substituindo x por -2

Simplificando

Resolvendo em relação a B


Fazendo x = 3:

( ) ( )7 2 3x A x B x+ = ⋅ + + ⋅ −

( ) ( )3 7 3 2 3 3A B+ = ⋅ + + ⋅ −

( ) ( )10 5 0A B= ⋅ + ⋅

2A =

Equação básica

Substituindo x por 3

Simplificando

Resolvendo em relação a A


Resolvida assim a equação básica em relação a Ae B, podemos escrever a decomposição em fraçõesparciais como

2

7 2 16 3 2

xx x x x

+ = −− − − +

conforme indicado no início desta aula.


OBS: As substituições de x no Exemplo 1 devem serfeitas conforme a conveniência para a resolução emrelação a A e B: o valor x = -2 foi escolhido porqueelimina o termo A (x + 2), e o valor x = 3 porque eliminao termo B (x – 3).


Exemplo 2: Calcule a integral indefinida

2

3 2

5 20 62

x xdx

x x x+ ++ +∫


Inicialmente, fatoremos o denominador como

( )21x x⋅ +

Em seguida, façamos a decomposição emfrações parciais

( ) ( )2

2 2

5 20 611 1

x x A B Cx xx x x

+ + = + +++ +


Para resolver esta equação em relação aA, B e C,multipliquemos ambos os seus membros da equação pelomínimo denominador comum

2( 1)x x⋅ +

o que dá a seguinte equação básica.

( ) ( )225 20 6 1 1x x A x B x x Cx+ + = ⋅ + + ⋅ ⋅ + +Equação básica


Resolvamos em relação a A e C fazendo x = -1 ex = 0 na equação básica.


Fazendo x = -1:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 25 1 20 1 6 1 1 1 1 1 1A B C− + − + = ⋅ − + + ⋅ − ⋅ − + + ⋅ −

( ) ( ) ( )9 0 0 1A B C− = ⋅ + ⋅ + ⋅ −

9C = Valor de C


Fazendo x = 0:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 25 0 20 0 6 0 1 0 0 1 0A B C+ + = ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅

( ) ( ) ( )6 1 0 0A B C= ⋅ + ⋅ + ⋅

6A = Valor de A


A esta altura, já esgotamos as escolhas conve-nientes de x, mas ainda temos de achar o valor de B.Quando isto ocorre, podemos tomar qualquer outrovalor de x em conjunto com os valores já conhecidos deA e B.


Fazendo x = 1,A = 6 e C = 9:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 25 1 20 1 6 6 1 1 1 1 1 9 1B+ + = ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅

( ) ( ) ( ) ( )31 6 4 2 9 1B= ⋅ + ⋅ + ⋅

1B = − Valor de B


Conhecidos os valores de A, B e C, podemosefetuar a decomposição em frações parciais paraintegrar:

( )2

23 2

5 20 6 6 1 92 1 1

x xdx dx

x x x x x x

+ + = − + + + + +

∫ ∫

( ) 11

6ln ln 1 91

xx x C

−+= − + + +

−

( )6 9

ln1 1

xC

x x= − +

+ +


OBS 1: A técnica da decomposição em fraçõesparciais exposta nos Exemplos 1 e 2 só pode seraplicada a uma função racional própria – isto é, umafunção racional cujo numerador é de grau inferiorao do denominador. Se o numerador é de grau igualou superior ao do denominador, devemos primeiroefetuar a divisão.


Assim é que a função racional

3

2 1x

x +é imprópria porque o grau do numerador é maior doque o grau do denominador. Antes de aplicar ométodo das frações parciais a esta função,devemos dividir o numerador pelo denominador, oque dá:

3

2 21 1x x

xx x

= −+ +



5

4 3

1x xdx

x x+ −−∫


Esta função racional é imprópria – seunumerador é de grau superior ao do denominador.Devemos, pois, iniciar dividindo o numerador pelodenominador.

5 3

4 3 4 3

1 11

x x x xx

x x x x+ − + −= + +− −


Decompondo então em frações parciais, obtemos

( )3

3 2 3

11 1

x x A B C Dx x x x x x

+ − = + + +⋅ − −

Multiplicando ambos os membros pelo mínimodenominador comum x3.(x – 1), obtemos a equaçãobásica.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 31 1 1 1x x A x x B x x C x D x+ − = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅Equação básica


Fazendo x = 0:

( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1 0A B C D− = ⋅ + ⋅ + ⋅ − + ⋅

1C = Valor de C

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 30 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0A B C D+ − = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅


Fazendo x = 1:

( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 0 1A B C D= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

1D = Valor de D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 31 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1A B C D+ − = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅


Fazendo x = 2:

9 4 2 1 8A B= + + +

4 2 0A B+ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 32 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2A B+ − = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅

Equação 1


Fazendo x = 3:

29 18 6 2 27A B= + + +

18 6 0A B+ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 33 3 1 3 3 1 3 3 1 1 3 1 1 3A B+ − = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅

Equação 2


Resolvendo o sistema formado pelasEquações 1 e 2, obtemos:

4 2 0 12 6 00 e 0

18 6 0 18 6 0

A B A BA B

A B A B

+ = − − = ⇒ = = + = + =

∼

Portanto:

0, 0, 1 e 1A B C D= = = =


Podemos integrar como segue:

5 3

4 3 4 3

1 11

x x x xdx x dx

x x x x

+ − + −= + + − − ∫ ∫

3

1 11

1x dx

x x = + + + − ∫2

2

1ln 1

2 2x

x x Cx

= + − + − +


OBS: Ocorre frequentemente que devemos aplicarmais de uma técnica de integração para resolveruma integral. Assim é que, no próximo exemplo,utilizaremos a substituição e a decomposição emfrações parciais.



11x dx

e +∫


Façamos inicialmente a substituição u = ex.Então, du = ex dx. Multiplicando e dividindo o inte-grando por ex, obtemos:

( )1 1

1 1x

x x xdx e dx

e e e=

+ ⋅ +∫ ∫Multiplicando e dividindo por ex

( )1

1du

u u=

⋅ +∫Substituindo por u e du


Para resolver esta integral, façamos adecomposição em frações parciais.

( )1 1 1

1 1u u u u= −

⋅ + +


Podemos agora completar a integração:

( )1 1

1 1x dx due u u

=+ ⋅ +∫ ∫

1 11

duu u = − + ∫

ln ln 1u u C= − + +

ln ln 1x xe e C= − + +

ln 1xx e C= − + +

Substituição

Frações parciais

Determinando a antiderivada

Substituindo u

Simplificando


OBS: Ao integrar funções racionais, lembre-se deque algumas podem ser integradas sem adecomposição em frações parciais. Seguem trêsexemplos.

22 2

1 2 11. ln 1

1 2 1 2x x

dx dx x Cx x

= = − +− −∫ ∫

( ) ( )2 2

1 12.

11 1

xdx dx C

xx x x= = − +

−− −∫ ∫

2 23 2

3 2 3 2

2 1 3 6 13. ln 3 4

3 4 3 3 4 3x x x x

dx dx x x Cx x x x

+ += = + − ++ − + −∫ ∫


OBS: No segundo exemplo, vemos que, em geral, éuma boa ideia simplificar uma função racional comoprimeiro passo para a integração.

2. Função de crescimento lo-gístico

Nas aulas de Cálculo Diferencial, vimos que ocrescimento exponencial ocorre em situações emque a taxa de crescimento é proporcional àquantidade presente em um instante arbitrário. Ouseja, se y é a quantidade no instante t, então

dyky

dt=

kty Ce=

dy/dt é proporcional a t

Função crescimento exponencial


O crescimento exponencial é ilimitado.Desde que C e k sejam positivos, o valor de Cekt

pode tornar-se arbitrariamente grande, desde queescolhamos valores suficientemente grandes para t.

Em muitas situações da vida real,entretanto, o crescimento de uma grandeza élimitado, não podendo ultrapassar um certo valor L,conforme mostrado na figura seguinte.


O modelo de crescimento logístico supõe quea taxa de crescimento seja proporcional não só àquantidade y, mas também à diferença entre aquantidade e o limite L; isto é

( )dyky L y

dt= − dy/dt é proporcional a y e a (L – y)

Exemplo 5: Supondo que o limite da quantidadeseja 1, isto é, L = 1, resolva a equação

( )1dy

ky ydt

= −


Condição: y > 0 e (1 – y) > 0.

( )1dy

ky ydt

= −


Equação diferencial

( )1

1dy k dt

y y=

−Escrevendo como diferencial

( )1

1dy k dt

y y=

−∫ ∫ Integrando ambos os membros

1 11

dy k dty y

+ = − ∫ ∫ Escrevendo em funções parciais

( ) 1ln ln 1y y kt C− − = +


Determinando a antiderivada

Simplificando

Tomando a exponencial

Fazendo e C1 = C

1ln1

ykt C

y= +

−1

1kt Cy

ey

+=−

1

1Ckty

e ey

= ⋅−

1kty

Cey

=−

Resolvendo esta equação em relação a y,obtemos


1kty

Cey

=−

( )1 kty y Ce= − ⋅

kt kty Ce y Ce= − ⋅ kt kty y Ce Ce+ ⋅ =

( )1 kt kty Ce Ce+ =1

kt

kt

Cey

Ce=

+

⇒

⇒

⇒

Dividindo numerador e denominador porCekt, obteremos:


11

1kt

y

Ce

=+

11

1kty

eC

−=

⋅ +

11 kty

be−=+

⇒

onde b = 1/C.

Função de Crescimento Logístico

OBS: O modelo de crescimento logístico noExemplo 5 foi simplificado supondo-se que o limiteda quantidade seja 1. Se o limite fosse L, a soluçãoseria


1 kt

Ly

be−=+

Exemplo 6: A Comissão de Caça dos EstadosUnidos libera 100 cervos em um parque de caça.Durante os 5 primeiros anos, a população aumentapara 432 cervos. A comissão julga que a populaçãoadmite o modelo de crescimento logístico com umlimite de 2.000 cervos. Escreva o modelo decrescimento logístico para esta população. Utilizeentão o modelo para elaborar uma tabelamostrando a evolução da população de cervosdurante os próximos 30 anos.


Seja y o número de cervos no ano t.Admitindo um modelo de crescimento logístico,temos que a taxa de variação da população éproporcional tanto a y como a (2.000 – y):


2.0001 kty

be−=+

( )2.000dy

ky ydt

= −

Levando em conta que y = 100 quando t = 0,podemos obter b:


( )0

2.000100 19

1 kb

be−= ⇒ =+

Em seguida, considerando que y = 432 quan-do t = 5, resolvemos em relação a k.

( )5

2.000432 0,33106

1 19 kk

e−= ⇒ ≈+

Assim, o modelo de crescimento logísticopara a população é


0,33106

2.0001 19 ty

e−=+

A tabela abaixo mostra a população aintervalos de 5 anos.


t (anos) População de cervos

0 100

5 432

10 1.181

15 1.766

20 1.951

25 1.990

30 1.998


0

400

800

1.200

1.600

2.000

0 5 10 15 20 25 30

Po

pu

laçã

o d

e c

erv

os

Tempo (em anos)

Curva de Crescimento Logístico

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