LINEARNA ALGEBRA

2. Sistemi linearnih jednačina

2.1. Definicija sistema linearnih jednačinaNeka je dato polje F = (F,+, ·). Sistem linearnih jednačina, nad poljem F, za n-torku nepoznatih(x1, . . . , xn) nad poljem i konstante aij, bi ∈ F

(i ∈ {1, 2, . . . ,m} i j ∈ {1, 2, . . . , n}

), jeste konjukcija

jednačina

(S)

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

...

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

.

Ako je b1 = b2 = . . . = bm = 0, tada sistem linearnih jednačina (S) se naziva homogeni sistem. Usuprotom ako postoji bi ̸= 0, sistem linearnih jednačina (S) se naziva nehomogeni sistem. Skalareb1, b2, . . . , bm ∈ F nazivamo slobodnim članovima sistema.Sistem linearnih jednačina (S) se može napisati u matričnom obliku:

(S) Ax = b ⇐⇒

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

...... · · · ...

am1 am2 . . . amn

x1

x2

...

xn

=

b1

b2

...

bm

pri čemu je A = [aij] ∈ F n×n – matrica koeficijenata, x = [xi] – matrica kolona nepoznatih nadF n×1 i b = [bi] ∈ Fm×1 – matrica kolona slobodnih članova. Sistem lineanih jednačina (S) naziva sesaglasan sistem (neprotivurečan, moguć) ako postoji matrica kolona α = [αi] ∈ F n×1 takva da zax1 = α1, . . . , xn = αn konjukcija jednačina iz (S) jeste tačna. Matrica kolona α se naziva rešenjesistema linearnih jednačina (S). U suprotnom ako za sistem (S) ne postoji rešenje, tada sistemlinearnih jednačina (S) se naziva nesaglasan sistem (protivurečan, nemoguć).

3. Rang matrice

3.1. Definicija ranga matriceU cilju diskusije saglasnosti – nesaglasnosti sistema linearnih jednačina (S) razmatra se pojam ranga.Definicija 3.1.1 Neka je data matrica A formata m×n nad poljem F, tj. A ∈ Fm×n. Rang matriceA jeste broj r, u oznaci rang(A) = r, takav da u matrici A postoji kvadratna regularna submatricaM reda r tako da su sve kvadratne submatrice većeg reda od r singularne. Matricu M nazivamoglavnom submatricom.

Napomena 3.1.1 Ako matrica A= 0= [ 0 ]∈Fm×n jeste nula matrica, tada smatramo da je r=0.U suprotnom, ako matrica A=[aij]∈Fm×n nije nula matrica, tada 1≤r≤min{m,n}. Sveukupno zaproizvoljnu matricu A∈Fm×n važi

0 ≤ rang(A) ≤min{m,n}.

1

Primer 3.1.1 Dokazati:

(i)

Za matricu A =

[1 0 10 1 0

]važi rang(A) = 2.

(ii)

Za matricu B =

1 2 34 5 67 8 9

važi rang(B) = 2.Rešenje. (i) Matrica A =

[1 0 10 1 0

]nije nula matrica odatle je 1 ≤ rang(A) ≤ 2. Uočimo da postoji

glavna submatrica

M =

[1 00 1

]reda 2, samim tim rang(A) = 2.

(ii) Matrica B =

1 2 34 5 67 8 9

nije nula matrica odatle je 1 ≤ rang(B) ≤ 3. Dalje, jednostavno seproverava

Det

1 2 34 5 67 8 9

= 0,tj. kvadratna matrica B nije glavna submatrica. Samim tim 1 ≤ rang(B) ≤ 2. Posle prethodnekratke analize o rangu matrice B jednostavno se nalazi primer glavne submatrice

M =

[1 24 5

]reda 2, samim tim rang(B) = 2. 2

Teorema 3.1.1 Za matricu A ∈ Fm×n važi rang(AT) = rang(A).

Definicija 3.3.2 Za matricu A ∈ Fm×n elementarne transformacije matrice A su sledeće transfo-rmacije:

(i) Zamena mesta dve vrste (ili kolone).

(ii) Množenje jedne vrste (ili kolone) skalarom α ̸= 0.

(iii) Dodavanje elemenata jedne vrste (kolone), prethodno pomnoženih nekim skalarom α odgo-varajućim elementima druge vrste (ili kolone).

Definicija 3.3.3 Matrice A,B ∈ Fm×n su ekvivaletne matrice, što označavamo A ∼= B, ako se mogudobiti jedna iz druge pomoću konačnog broja elementarnih transformacija.

Teorema 3.3.2 Neka je data matrica A ∈ Fm×n i neka je matrica A′ ∈ Fm×n nastala zamenom i-tei j-te vrste (kolone). Tada važi:

rang(A′) = rang(A).

Teorema 3.3.3 Neka je data matrica A ∈ Fm×n i neka je α ∈ F\{0} proizvoljan ne-nula skalar.Tada:

rang(αA) = rang(A).

2

Teorema 3.3.4 Neka je data matrica A ∈ Fm×n i neka su izdvojeni vektori vrste vi=[ai1 ... ain

]∈ F 1×n

(i= 1, ... ,m

). Ako je rang(A) = r, tada med-u vektor vrstama vi postoji tačno r linearno

nezavisnih vektora tako da preostlih m− r vektora su linearne kombinacije ovih r vektora.Posledica 3.3.1 Važi rang(A) = dim(Vv), gde Vv = L

({v1, . . . , vm}

)odred-uje vektorski prostor vrsta

Vv.

Teorema 3.3.4’ Neka je data matrica A∈Fm×n i neka su izdvojeni vektori kolone wj=[a1j ... amj

]T∈Fm×1

(j=1, ... , n

). Ako je rang(A) = r, tada med-u vektor kolonama wj postoji tačno r linearno

nezavisnih vektora tako da preostlih n− r vektora su linearne kombinacije ovih r vektora.Posledica 3.3.1’ Važi rang(A) = dim(Vk), gde Vk = L

({w1, . . . , wn}

)odred-uje vektorski prostor

kolona Vk.

Teorema 3.3.5 Neka je data matrica A ∈ Fm×n i neka je matrica B ∈ Fm×n dobijena od matriceA tako što su elementima jedne vrste (kolone) matrice A dodati elementi neke druge vrste (kolone)pomnoženi skalarom α ∈ F . Tada važi:

rang(B) = rang(A).

Teorema 3.3.6 Elementarne transformacije ne menjaju rang matrice.

4. Sistemi linearnih jednačina i rang matrice

4.1. Kroneker-Kapelijeva teorema

Definicija 4.1.1 Neka je dat sistem linearnih jednačina (S). Elementarne transformacije sistema(S) su odred-ene kao sledeće transformacije:(i) Zamena mesta dve jednačine.

(ii) Množenje jedne jednačine skalarom α ̸= 0.(iii) Dodavanje jedne jednačine, prethodno pomnožene nekim skalarom α odgovarajućoj drugojjednačini.

Napomena 4.1.1 Za elementarnu transformaciju sistema linearnih jednačina (S) možemo uzeti izamenu dva sabiraka u jednoj jednačini samo ako se odgovarajuće zamene izvrše u svim jednačinamasistema tako da se iste nepoznate pǐsu jedne ispod drugih. Ovom transformacijom se vrši zamenaredosleda u nizu nepoznatih!

Teorema 4.1.1 Elementarnim transformacijama skup rešenja sistema (S) se ne menja.Za sistem linearnih jednačina

(S) Ax = b ⇐⇒

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

... · · · ...am1 am2 . . . amn

x1

x2...

xn

=

b1

b2...

bm

matrice

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

... · · · ...am1 am2 . . . amn

∈ Fm×n i Ab =

a11 a12 . . . a1n b1

a21 a22 . . . a2n b2...

... · · · ... ...am1 am2 . . . amn bm

∈ Fm×(n+1)

nazivaju se matrica sistema i proširena matrica sistema respektivno. Tada važi sledeće tvrd-enje

3

Teorema 4.1.2 (Kroneker – Kapeli) Sistem linearnih jednačina (S) Ax = b jeste saglasan ako isamo ako važi

rang(A) = rang(Ab).

Primer 4.1.1 Kroneker–Kapelijevom teoremom ispitati saglasnost realnog sistema u zavisnosti odparametara α, β, γ ∈ R :

(∗)

x1 + 2x2 + 3x3=α,4x1 + 5x2 + 6x3= β,7x1 + 8x2 + 9x3= γ.

U slučaju saglasnog sistema naći rešenje.

Rešenje. Polazeći od proširene matrice Ab zaključujemo da primenom elementarnih transformacijavaži† :

Ab =

1 2 3 α4 5 6 β7 8 9 γ

(I2 := (−4)·I1 + I2, I3 := (−7)·I1 + I3)

∼=

1 2 3 α0 −3 −6 β−4α0 −6 −12 γ−7α

(I3 := (−2)·I2 + I3)∼=

1 2 3 α0 −3 −6 β−4α0 0 0 γ−2β+α

.Dakle, saglasno Kroneker–Kapelijevoj teoremi, posmatrani sistem je saglasan ako i samo ako je

γ=2β − α.

Za tako odred-enu vrednost parametra γ rešenje ekvivalentnog sistema

(∗∗){

x1 + 2x2 + 3x3 = α,

−3x2 − 6x3= β − 4α

}je dato u obliku

(x1, x2, x3) =(−5

3α +

2

3β + x3,

4

3α− 1

3β − 2x3, x3

),

za x3∈R. 2

4.2. Gausov algoritam

Teorema 4.2.1 Svaki sistem linearnih jednačina:

(S)

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

...

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

,

†pri čemu ovde sa Ip i Jq označavamo redom p-tu vrstu i q-tu kolonu razmatrane matrice

4

za aij, bi ∈ F (i = 1, ... ,m ∧ j = 1, ... , n), može se elementarnim transformacijama dovesti doekvivaletnog trougaonog sistema

(ST )

p11y1 + p12y2 + . . .+ p1ryr = q1 − p1(r+1)yr+1 − . . .− p1nynp22y2 + . . .+ p2ryr = q2 − p2(r+1)yr+1 − . . .− p2nyn

...

prryr = qr − pr(r+1)yr+1 − . . .− prnyn0 = µ

za pij, qi ∈ F (i = 1, ... , r ∧ j = i, ... , n), µ ∈ F i r = rang(A) ≤ n, gde je A matrica sistema. Pritome je p11 · p22 · . . . · prr ̸= 0 i (y1, . . . , yn) predstavlja jednu permutaciju od (x1, . . . , xn).

Postoji vǐse načina da se polazni sistem (S) transformǐse u trougaoni sistem (ST ), najčešće se toostvaruje Gausovim algoritmom predstavljenim sledećim dijagramom toka

Gausov algoritam

5

Procedura pivotacije koja se javlja u Gausovom algoritmu je data dijagramom

Procedura pivotacije

Napomena 4.2.1 Sistem (S) je saglasan ako i samo ako je µ=0. Ako je sistem (S) homogen tadaje q1= . . .=qr=µ=0. Na osnovu ovoga zaključujemo da je svaki homogen sistem saglasan, što jetakod-e i jedna od posledica Kroneker–Kapelijeve teoreme.

Primer 4.2.1 Odrediti za koje je vrednosti parametra c∈R sledeći realan sistem saglasan:

(∗)

2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 = 13,

4x1 + 6x2 + 9x3 + 9x4 = 26,

4x1 + 6x2 + 8x3 + 10x4 = c.

U slučaju kad je prethodni sistem saglasan rešiti sistem.

Rešenje. Sistem rešavamo pomoću proširene matrice sistema, vršeći redom elementarne transformacije(koje su naznačene pored proširene matrice sistema) :

6

2 3 4 5 134 6 9 9 264 6 8 10 c

(I2 := (−2)·I1 + I2, I3 := (−2)·I1 + I3)

∼=

2 3 4 5 130 0 1 −1 00 0 0 0 c− 26

,(J2 ←→ J3)

∼=

2 4 3 5 130 1 0−1 00 0 0 0 c− 26

.Iz prethodne proširene matrice sistema dobijamo trougaoni sistem koji je ekvivalentan polaznom:

(∗)T

2x1 + 4x3 = 13− 3x2 − 5x4,

x3 = 0 + x4,

0 = c− 26.

Prethodni sistem je saglasan samo ako je c=26 i u tom slučaju rešenje polaznog sistema je

(x1, x2, x3, x4) =(13

2− 3

2x2 −

9

2x4, x2, x4, x4

),

za x2, x4∈R. 2

4.3. Slučaj homogenih linearnih sistemaZa matricu koeficjenata A = [aij] ∈ F n×n i matricu kolonu nepoznatih x = [xi] nad F n×1 neka je dathomogeni linearni sistem

(S0) Ax = 0 ⇐⇒

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

... · · · ...am1 am2 . . . amn

x1

x2...

xn

=

0

0

...

0

.Saglasno Kroneker–Kapelijevoj teoremi ili po Gausovom algoritmu linearan sistem (S0) je uvek sa-glasn i ima rešenje. Jedno takvo rešenje je matrica kolona 0 = [ 0, . . . , 0 ]T ∈ F n×1 koju nazivamotrivijalno rešenje. Sa sledećom teoremom odred-ujemo kada homogeni sistem ima i druga, takozvananetrivijalna rešenja.

Teorema 4.3.1 Neka je (S0) saglasan homogen linearan sistem sa m jednačina i n nepoznatih. Nekaje r rang matrice sistema

(0 ≤ r ≤ max{m,n}

). Tada

(i) Sistem ima jedinstveno trivijalno rešenje ako i samo ako važi r = n, tj. ako je rang matricesistema jednak broju nepoznatih.

(ii) Ako je r

Rešenje. Sistem razmatran u Primeru 4.1.1, pri izboru α = β = γ = 0, svodi se na ovaj sistem.Primetimo da za rang r =Rang(A) važi r = 2 < 3 = n. Samim tim, ovaj sistem ima netrivijalnarešenja. Takod-e na osnovu u Primera 4.1.1 posmatrani sistem je ekvivalntan sa sistemom

(∗∗)0{

x1 + 2x2 + 3x3 =0,

−3x2 − 6x3= 0

}i odatle nalazimo netrivijalna rešenja u obliku

(x1, x2, x3) = (x3, −2x3, x3) ,

za x3∈R\{0}. Pored netrivijalnih rešenja za prethodni homogeni sistem postoji i trivijalno rešenje:

(x1, x2, x3) = (0, 0, 0).

Skup rešenja prethodnog homogenog linearnog sistema je

V ={(t, −2t, t) | t∈R

}=

{t·(1, −2, 1) | t∈R

}.

SkupV odred-uje realni jednodimenzionalni vektorski potprostor vektorskog prostora R3 = (R3,R) iima bazni vektor e⃗ = (1,−2, 1). 2

5. Karakteristični koreni i vektori

5.1. Definicija karakterističnih korena i vektoraNeka je F = (F, ·,+) polje i neka je data kvadratna matrica A = [aij] ∈ F n×n. Glavni predmetproučavanja ovog dela su skalari λ ∈ F i ne-nula matrice kolone x = [ x1 . . . xn ]T ∈ F n×1 kojiispunjavaju karakterističnu jednačinu

Ax = λx,

tj. za koje važi:

(K) (A− λI)x = 0 ⇐⇒

(a11 − λ)x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0

a21x1 + (a22 − λ)x2 + . . . + a2nxn = 0...

......

...

an1x1 + an2x2 + . . . + (ann − λ)xn = 0

.

Definicija 5.1.1 Za kvadratnu matricu A = [aij] ∈ F n×n homogeni sistem (K) se naziva kara-kterističan (sopstveni) sistem matrice A. Skalar λ∈F se naziva karakteristična (sopstvena) vrednostmatrice A ako za taj skalar karakterističan sistem ima netrivijalno rešenje x= [ x1 . . . xn ]

T ∈F n×1.Tada kažemo da je x karakteristični (sopstveni) vektor matrice A koji odgovara karakterističnojvrednosti λ.

Primetimo da potreban i dovoljan uslov da karakterističan sistem (K) ima netrivijalno rešenje je datsa jednakošću

|A− λI| = 0.

Prethodnom jednakošću je odred-en jedan polinom po λ koji odred-ujemo sledećom definicijom.

8

Definicija 5.1.2 Za kvadratnu matricu A = [aij] ∈ F n×n polinom

Pn(λ) = |A− λI| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(a11 − λ) a12 . . . a1na21 (a22 − λ) . . . a2n...

......

an1 an2 . . . (ann − λ)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣se naziva karakteristični (sopstveni) polinom matrice A. Koreni karakterističnog polinoma se nazivajukarakteristični (sopstveni) koreni matrice A i skup svih tih korena odred-uju spektar matrice A.

Napomenimo da za matricu A = [aij] ∈ F n×n pojmovi karakteristične vrednosti i karakterističnogkorena se podudaraju. Skup skalara λ∈F koji predstavljaju karakteristčne vrednosti, odnosno kara-kteristične korene matrice A je konačan i odred-en je spektrom matrice A. Za svaki skalar λ∈F izvanspektra matrice, homogeni sistem (K) ima samo trivijalno rešenje x=0 u F n×1.Definicija 5.1.3 Za kvadratnu matricu A = [aij] ∈ F n×n karakteristični (sopstveni) potprostormatrice A, koji odgovara karakterističnoj vrednosti λ, jeste skup svih vektora x u F n×1 koji surešenje karakterističnog sistema uključujući i nula vektor x=0 u F n×1.

Primer 5.1.1 Odrediti karakteristične vrednosti, vektore i potprostore sledećih matrica:

(i) (ii) (iii)

A =

3 2 0

2 4 −2

0 −2 5

, B =

3 1 1

1 3 1

0 0 2

, C =

2 −10 6

8 −15 −1

16 −15 3

.Rešenje. (i) Za matricu A karakteristični polinom

P3(λ)=

∣∣∣∣∣∣∣∣(3− λ) 2 0

2 (4− λ) −2

0 −2 (5− λ)

∣∣∣∣∣∣∣∣= (3− λ)·(4− λ)·(5− λ) + 2·(−2)·0 + 0·2·(−2)

− 0·(4− λ)·0− (−2)·(−2)·(3− λ)− (5− λ)·2·2

=−λ3 + 12λ2 − 47λ+ 60− 12 + 4λ− 20 + 4λ

=−λ3 + 12λ2 − 39λ+ 28

ima tri realna i različita korenaλ1 = 1, λ2 = 4, λ3 = 7.

Prvom karakterističnom korenu λ1=1 odgovara homogeni karakteristični sistem

(∗)0

(3− λ1)α + (2) β = 0,

(2)α + (4− λ1) β + (−2) γ = 0,

(−2) β + (5− λ1) γ = 0;

koji rešavamo po v1 = (α, β, γ). Primenimo Gausov algritam za rešavanje prethodnog homogenoglinearnog sistema

9

(3− λ1)α+ 2 β =0

2α +(4− λ1) β− 2 γ =0−2 β + (5− λ1) γ=0

⇐⇒

2α+2β =0

2α+3β− 2γ=0− 2β +4γ=0

(I2 := (−1)I1 + I2)

⇐⇒

2α+2β =0

β − 2γ=0− 2β +4γ=0

(I3 :=2I2 + I3)

⇐⇒

2α+2β =0

β − 2γ=00 =0

Odatle, rešenje homogenog karakterističnog sistema je ured-ena trojka v1 = (α, β, γ) koja ispunjava

(∗∗)0

{2α + 2β = 0,

β − 2γ = 0.

}Dovoljno je birati γ = 1 jer tada

γ = 1 =⇒ β = 2, α = −2.

Samim tim prvom karakterističnom korenu λ1 = 1 odgovara prvi karakteristični vektor

v⃗1 =

−221

i prvi karakteristični potprostor

V1 =

−2t2t

t

: t ∈ R .

Drugom karakterističnom korenu λ2 = 4 odogovara drugi karakteristični vektor

v⃗2 =

212

i drugi karakteristični potprostor

V2 =

2tt2t

: t ∈ R .

Trećem karakterističnom korenu λ3 = 7 odogovara treći karakteristični vektor

v⃗3 =

12−2

i treći karakteristični potprostor

V3 =

t2t−2t

: t ∈ R .

10

(ii) Za matricu B karakteristični polinom

P3(λ)=

∣∣∣∣∣∣∣∣(3− λ) 1 1

1 (3− λ) 1

0 0 (2− λ)

∣∣∣∣∣∣∣∣= (3− λ)·(3− λ)·(2− λ) + 1·1·0 + 1·1·0

− 0·(3− λ)·1− 0·1·(3− λ)− (2− λ)·1·1

=−λ3 + 8λ2 − 21λ+ 18− 2 + λ

=−λ3 + 8λ2 − 20λ+ 16

ima realne korene od kojih je jedan dvostruk

λ1,2 = 2 i λ3 = 4.

Prvom i drugom karakterističnom korenu λ1,2=2 odgovara homogeni karakteristični sistem

(∗)0

(3− λ1,2)α + β + γ = 0,

α + (3− λ1,2) β + γ = 0,

(2− λ1,2) γ = 0;

koji rešavamo po v1,2 = (α, β, γ). Primenimo Gausov algritam za rešavanje prethodnog homogenoglinearnog sistema

(3−λ1,2)α + β + γ = 0α + (3−λ1,2) β + γ = 0

(2−λ1,2) γ = 0

⇐⇒

α+ β+ γ=0

α+ β+ γ=0

0=0

(I2 := (−1)I1 + I2)

⇐⇒

α+ β+ γ=0

0=0

0=0

Odatle, rešenje homogenog karakterističnog sistema je ured-ena trojka v1,2 = (α, β, γ) koja ispunjava

(∗∗)0 {α + β + γ = 0. }

Samim tim rešenje možemo predstaviti u obliku

v1,2 = (α, β,−α− β) = α (1, 0,−1)︸ ︷︷ ︸v1

+ β (0, 1,−1)︸ ︷︷ ︸v2

,

za α, β ∈ R. Birajući α = 1 i β = 0, odnosno α = 0 i β = 1 dobijamo bazna rešenja

v1 = (1, 0,−1) i v2 = (0, 1,−1)

koja odred-uju bazne karakteristične vektore

v⃗1 =

10−1

i v⃗2 = 01−1

11

koji su linearno nezavisni i generǐsu karakteristični potprostor

V1,2 =

pq−p− q

: p, q ∈ R .

Trećem karakterističnom korenu λ3 = 4 odogovara treći karakteristični vektor

v⃗3 =

110

i treći karakteristični potprostor

V3 =

tt0

: t ∈ R .

(iii) Za matricu C karakteristični polinom

P3(λ)=

∣∣∣∣∣∣∣∣(2− λ) −10 6

8 (−15− λ) −1

16 −15 (3− λ)

∣∣∣∣∣∣∣∣= (2− λ)·(−15− λ)·(3− λ) + (−10)·(−1)·16 + 6·8·(−15)

− 16·(−15− λ)·6− (−15)·(−1)·(2− λ)− (3− λ)·8·(−10)

= (−λ3 − 10λ2 + 69λ− 90) + (160) + (−720)

− (−96λ− 1440)− (−15λ+ 30)− (80λ− 240)

=−λ3 − 10λ2 + 100λ+ 1000

ima realne korene od kojih je jedan dvostruk

λ1,2 = −10 i λ3 = 10.

Dvostrukom karakterističnom korenu λ1,2=−10 odgovara homogeni karakteristični sistem

(∗)0

(2− λ1,2)α − 10 β + 6 γ = 0,

8α + (−15− λ1,2) β − γ = 0,

16α − 15 β (3− λ1,2) γ = 0;

koji rešavamo po v1,2 = (α, β, γ). Primenimo Gausov algritam za rešavanje prethodnog homogenoglinearnog sistema

(2− λ1,2)α − 10β + 6γ = 08α + (−15− λ1,2)β − γ = 016α − 15β (3− λ1,2)γ = 0

⇐⇒

12α− 10β + 6γ =08α − 5β − γ =016α− 15β +13γ=0

(I2 := (− 812)I1 + I2, I3 := (−

1612)I1 + I3

)

12

⇐⇒

12α− 10β +6γ=0

5

3β − 5γ=0

− 53β +5γ=0

(I3 := (−1)I2 + I3

)

⇐⇒

12α− 10β +6γ=0

5

3β − 5γ=0

0 =0

Odatle, rešenje homogenog karakterističnog sistema je ured-ena trojka v1 = (α, β, γ) koja ispunjava

(∗∗)0

12α− 10β + 6γ = 0,53β − 5γ = 0.

Dovoljno je birati β = 3 jer tada

β = 3 =⇒ γ = 1, α = 2.Samim tim dvostrukom karakterističnom korenu λ1,2 = −10 odgovara karakteristični vektor

v⃗1,2 =

231

i karakteristični potprostor

V1,2 =

2t3t

t

: t ∈ R .

Jednostrukom karakterističnom korenu λ3 = 10 odogovara karakteristični vektor

v⃗3 =

41−7

i karakteristični potprostor

V3 =

4tt−7t

: t ∈ R .

Primetimo da je u ovom primeru dimenzija karakterističnog potprostora dim(V1,2)=1 manja od redavǐsestrukosti r=2 karakterističnog korena λ1,2. 2

5.2. Kejli-Hamiltonova teorema i minimalni polinomNeka je data kvadratna matrica A = [aij] ∈ F n×n i skalari α0, α1, . . . , αn ∈ F (αn ̸= 0). Tada izraz

Pn(A) = αnAn + αn−1A

n−1 + . . .+ α1A+ α0I

se naziva matrični polinom stepena n.

Teorema 5.2.1 (Kejli–Hamilton) Neka je za kvadratnu matricu A = [aij] ∈ F n×n odred-en karakte-ristični polinom:

Pn(λ) = |A− λI| =n∑

k=0

αkλk,

13

za koeficijente α0, α1, . . . , αn−1, αn ∈ F (αn ̸= 0), tada važi

Pn(A) =n∑

k=0

αkAk = 0.

Napomena 5.2.1 Neka je za kvadratnu matricu A = [aij] ∈ F n×n odred-en karakteristični polinom:

Pn(λ) = |A− λI| =n∑

k=0

αkλk,

tada važi:αn = (−1)n, αn−1 = (−1)n−1Tr(A) i α0 = |A|

gde je Tr(A)def=

n∑i=1

aii − trag matrice A.

Definicija 5.2.1 Kvadratne matrice A,B ∈ F n×n su slične matrice, što označavamo A ∼ B, akopostoji regularna matrica C ∈ F n×n takva da važi B = C−1A C.Teorema 5.2.2 Sličnost matrica jeste relacija ekvivalencije skupa matrica F n×n.

Teorema 5.2.3 Slične matrice imaju isti spektar.

Definicija 5.2.2 Neka je data kvadratna matrica A = [aij] ∈ F n×n, tada polinom m(λ) takav daispunjava uslove:

(i) m(A) = 0,

(ii) koeficijent uz najveći stepen polinoma m(λ) jednak je 1,

(iii) m(λ) je polinom najmanjeg stepena za koje važe prethodni uslovi (i) i (ii);

naziva se minimalni polinom matrice A.

Teorema 5.2.4 Svaka kvadratna matrica A = [aij] ∈ F n×n ima jedinstven minimalan polinom m(λ)i on je delilac karakterističnog polinoma Pn(λ) = |A− λI|.Teorema 5.2.5 Neka je data kvadratna matrica A = [aij] ∈ F n×n. Svaka nula karakterističnogpolinoma Pn(λ) je i nula minimalnog polinoma m(λ).

Napomena 5.2.2 Nule minimalnog i karakterističnog polinoma se podudaraju i mogu se razlikovatisamo svojim redom.

Algoritam za odred-ivanje minimalnog polinoma matrice A = [aij] ∈ F n×n:1o. Prvo odredimo karakteristični polinom Pn(λ) = |A− λI|.2o. Izvršimo faktorizaciju polinoma Pn(λ) na nerastavljive faktore.

3o. Formirajmo sve moguće delitelje karakteristčnog polinoma tako da sadrže sve korene kara-kterističnog polinoma i da su jediničnog vodećeg koeficijenta.

4o. Med-u prethodno odred-enim deliteljima izdvajamo one polinome koji se anuliraju u matrici A.

5o.Minimalni polinom je polinom najnižeg stepena med-u polinomima odred-enim u prethodnomkoraku.

Primer 5.2.1 Odrediti minimalni polinom matrice:

A =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

∈ R3×3.14

Rešenje. Primenom prethodnog algoritma nalazimo:

1o. P3(λ) = |A− λI| = −λ3 + 3λ2.2o. P3(λ) = −λ·λ·(λ− 3).3o.Delitelji g(λ) = λ(λ− 3) = λ2 − 3λ i f(λ) = λ2(λ− 3) = λ3 − 3λ2 karakterističnog polinoma

P3(λ) sadrže sve korene karakterističnog polinoma i jediničnog su vodećeg koeficijenta.

4o. Za oba polinoma g(λ) = λ2 − 3λ i f(λ) = λ3 − 3λ2 važi g(A) = A2 − 3A = 0 (proveriti) if(A)=A3 − 3A2=0.

5o. Minimalni polinom je m(λ) = g(λ) = λ2 − 3λ.

LITERATURA

M. Rašajski, B. Malešević, T. Lutovac, B. Mihailović, N. Cakić: ”Linearna algebra”,Akademska misao, Beograd 2017.

15