UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA

ADRIANO AUGUSTO ADDARIO DOS SANTOS

JONATHAN DA SILVA CARDOZO

LIMITE, CONTINUIDADE E CÁLCULO DIFERENCIAL

Belém - PA

2012

LIMITE E CONTINUIDADE

1- Limite

Dada uma função real f estamos interessados em saber o que

acontece com o valor de f ( x ) quando x se aproxima de um ponto x0 sem,

entretanto, assumir este valor.

Se estamos interessados no valor def ( x ) é preciso que x esteja no

domínio de f mas, como x não assume o valor x0 , não é necessário que

f ( x0) esteja definido. Ou seja, não é necessário que x0 pertença ao domínio

de f . Porém, é preciso que seja possível “se aproximar de x0 ” por pontos do

domínio de f . Rigorosamente falando, se A é o domínio de f , então a noção

de limite de funções terá sentido se, e somente, x0 é ponto de acumulação de

A. Lembramos que esta condição significa que x∈ A {x0¿¿ , i.e., existe uma

sequência ( xn )n∈N⊂A {x0¿¿ convergente para x0 .

Se l for um número real, lim

x→ p

f ( x )=lsignifica que o valor de f ( x )pode ser

colocado tão próximo de l sempre que x esteja próximo de p com x≠p .

Mais precisamente, temos a seguinte definição:

Definição 1: Sejam A um subconjunto deR , f : A→R uma função e p um

ponto de acumulação de A. Diz-se que l∈R é limite de f em p se, dado

qualquer número positivo ε, existir um número positivo δ, que em geral

depende de ε e p , tal que

x∈ A ,0<|x−p|<δ⇒|f ( x )−1|<εDesigna-se tal fato por

limx→ p

f ( x )=l

Ou

f ( x )→ l quandox→ p

e também diz-se que f converge (ou tende) para l quando x converge (ou

tende) para p .

Vejamos um exemplo para analisarmos a definição acima.

Exemplo 1: Consideremos a funçãof ( x )=x ² , para x∈ R . Mostremos que

limx→ p

f ( x )=p ²=f ( p )

Devemos fazer uma estimativa de

|f ( x )−f ( p )|=|x ²−p ²|

De modo que ela se torne menor que um certo ε>0 , dado arbitrariamente,

sempre que x esteja próximo dep . Como o conceito de limite é local devemos

ter a preocupação apenas com os valores dex que estejam próximos de p .

Para iniciar, observemos que

|x ²−p ²|=|( x+ p )( x−p )|=|x+ p||x−p|

De modo que suporemos x satisfazendo|x−p|<1 . Usando a segunda

desigualdade triangular, obtém-se |x| − |p| < 1 e daí |x| <|p| + 1, donde

|x+ p|≤|x|+|p|≤2|p|+1

Em virtude da desigualdade, teremos

|x−p|<1⇒|x ²−p ²|=|x+ p||x−p|≤(2|p|+1 )|x−p|

Escolhamos

δ=δ (ε , p)=min {1 ,ε

2|p|+1 }de modo que

0<|x−p|<δ⇒|f ( x )−f ( p)|<ε ,

ou seja lim

x→p

x ²=p ². Novamente, conforme observado anteriormente temos

uma função contínua. Aqui, o valor de δ depende de ε e do ponto p.

LIMITE LATERAL

Muitas vezes, estudamos o limite de uma função f quando x tende para p,

considerando x apenas à direita de p ou apenas à esquerda de p. Quando isso

acontece, estamos considerando os limites laterais de f em p que serão

tratados nesta seção.

Definição 2: Sejamf : A→R , A⊂R ep∈R um ponto de acumulação do

conjunto A ∩ (p, p + r), para algum r > 0. O número real l+

é limite lateral à

direita de f em p se, dado qualquer ε > 0, existir δ = δ(ε, p) > 0 tal que

x∈ A ,0<x−p<δ⇒|f ( x )−l+|<ε

Designa-se isso por

limx→ p+

f ( x )=l+

Um pontop∈R que seja ponto de acumulação de A ∩ (p, p + r), para algum

r > 0, é chamado ponto de acumulação à direita de A.

Definição 3: Seja f : A → R, A⊂R , e p∈R um ponto de acumulação do

conjunto A ∩ (p − r, p) para algum r > 0. O número real l=

é limite lateral à

esquerda de f em p se, dado qualquer ε > 0, existir δ = δ(ε, p) > 0 tal que

x∈ A ,0< p−x<δ⇒|f ( x )−l−|<ε

Designa-se isso por

limx→p−

f ( x )=l−

Um pontop∈R que seja ponto de acumulação de A ∩ (p − r, p), para algum r >

0, é chamado ponto de acumulação à esquerda de A.

Podemos exprimir esses fatos em termos de sequências como no teorema

abaixo.

Teorema: Sejamf : A→R , A⊂R e p um ponto de acumulação de A. Então

limx→p

f ( x )=lexiste se, e somente se, para toda sequência xn em A, convergindo

para p e tal quexn≠p para todo n∈N , tivermos que a sequência f ( xn)

converge para l .

Demonstrando: Suponhamos quelimx→ p

f ( x )=le consideremos uma sequência

xn em A, convergindo para p com xn≠p para todon∈N . Devemos mostrar

quef ( xn) converge para l . Para isso tomemos ε > 0 e usando a definição de

limite encontremos um δ > 0 tal que

x∈ A ,0<|x−p|<δ⇒|f ( x )−l|<ε

Ora, como xn→ p para o δ > 0 encontrado acima, existe n0∈N tal que

0<|xn−p|<δ se n≥n0

Destarte,

|f ( xn )−l|<ε se n≥n0

donde resulta que f ( x )→ l e a primeira parte do teorema está demonstrada.

Vejamos a recíproca, ou seja, se para toda sequência xnem A, xn≠p , para

todo n∈N , com xn→ p implica f ( x )→ l então limx→p

f ( x )=l. Suponhamos que

limx→p

f ( x )=lnão se cumpra, isto é, existe ε > 0 tal que para todo δ > 0 exista

xδ∈ A ,x δ≠p com |xδ−p|<δ mas|f ( xδ )−l|≥ε . Para cada natural n , tomando

δ=1n encontraremos uma sequência xnem A, xn≠p de modo que

|xn−p|< 1n

e |f ( xn )−l≥ε|.

Concluímos, então, que existe uma sequência xn no conjunto A, xn≠p

convergindo para p mas f ( xn)não converge para l , o que finaliza a

demonstração.

LIMITE POR SEQUÊNCIA

Sejammf : A⊂R→R e A {x0¿¿ }. Então, limx→x 0

f ( x )=k se, e somente se,

limc→+∞

f ( xn )=k para toda sequência ( xn )n∈N⊂A {x0¿¿ convergente para x0 .

Demonstrando : Suponhamos que limc→+∞

f ( xn )=ke mostremos que se

( xn )n∈N⊂A {x0¿¿e xn→ x0 , entãof ( xn)→ k . Seja ε>0 . Por hipótese, existe

δ>0 tal

que

x∈ A ,0<|x−x0|<δ⇒|f ( x )−k|<ε

Ora, xn→ x0 , logo, existeN∈N tal que se n≥N , então |xn−x|<δ

. Assim,

para n≥N , ao tomar x=xn em (7.1) obtemos f ( xn)→ k . Concluímos que

f ( xn)→ k .

Reciprocamente, suponhamos que seja falso que limx→x 0

f ( x )=k. Isto significa

que existe ε>0 tal que

∀ δ>0 , ∃ x∈ A tal que 0<¿¿ e |f ( x )−k|≥ε

Para cada n∈N , ao tomar δ=1

n em (7.2) obtemosxn∈ A tal que

0<|xn−x0|<1n e

|f ( xn )−k|≥ε

Constrói-se desta maneira uma sequência ( xn )n∈N⊂A {x0¿¿ convergente para

x0 sem que f ( xn)→ k . Absurdo!

PROPRIEDADES LIMITE

Sejam f , g : A⊂R→R e c∈R . Se limx→x 0

f ( x )=ke

limx→x 0

g ( x )=m∈R, então:

I-limx→x 0

( f ( x )+g( x ))=k+m

II-limx→x 0

( f ( x )−g( x ))=k−m

III-limx→x 0

(cf (x ))=ck

IV-limx→x 0

( f ( x )g ( x ))=km

V- Se m≠0 , então limx→x 0

( f ( x )/ g( x ))=k /m

TIPOS DE LIMITE

O limite que aparece na primeira linha e primeira coluna já foi definido. Os

outros são definidos com pequenas adaptações. O importante é entender o que

significam limites iguais a k ,+∞ ou (cada um destes corresponde a um coluna

da tabela), bem como o que representam os símbolos

x→ x0 , x→ x0+ , x→ x0

− , x→+∞ , x→−∞ (que correspondem às linhas). Façamos

alguns comentários a este respeito.

lim f ( x )=k

Como já vimos, isto significa que, por menor que seja ε>0 , podemos concluir

que |f ( x )−l|<ε desde que x verifique certa condição.

lim f ( x )=+∞

Significa que, por maior que sejaM>0 , podemos concluir que f ( x )>M desde

que x que verifique certa condição.

lim f ( x )=−∞

Significa que, por maior que seja M>0 , podemos concluir que desde que x

verifique certa condição.

x→ x0

Como já vimos, isto significa que a condição sobre x é 0<|x−x0|<δ para δ

suficientemente pequeno. É necessário que x0∈ A {x0¿¿ .

x→ x0+

Lê-sex tende a x0 pela direita. Significa que a condição sobre x é

0<x−x0<δ para δ _ suficientemente pequeno. É necessário que

x0∈ A∩(x0 ,+∞) .

x→ x0−

Lê-se x tende a x0 pela esquerda. Significa que a condição sobre x é

0<x0−x<δ para δ suficientemente pequeno. É necessário que

x0∈ A∩(−∞ , x0 ).

x→+∞

Lê-se x tende o mais infinito. Significa que a condição sobre x é x>N para

N suficientemente grande. É necessário que A seja ilimitado superiormente.

x→−∞

Lê-se x tende a menos infinito. Significa que a condição sobre x é x<−N

para N suficientemente grande. É necessário que A seja ilimitado

inferiormente.

CONTINUIDADE

Função continua

Definição: Diz-se que a funçãof : A→R é contínua no pontox0∈ A se, para

qualquer sequência xn em A, comxn→ x0 , tivermos f ( xn)→ f ( x0 ). Caso

contrário, diz-se que f é descontínua emx0 ou quex0 é uma descontinuidade

de f . Se f for contínua em todos os pontos de seu domínio A diz-se que f é

contínua.

Segue-se que a função f : A→R é descontínua em x0∈ A se, e somente

se, existir uma sequência xn em A tal que xn→ x0 mas f ( xn)→ f ( x0 ) .

Exemplo: Seja

f ( x )=¿ {x ²−1x ³

¿¿¿¿se

x≠1x=1

E calculamos

limx→1

f ( x ) ,

Caso lele exista.

Inicialmente, observemos que para x≠1 temos

f ( x )= x ²−1x3−1

=( x−1 )( x+1 )

( x−1)( x ²+x+1)= x+1

x ²+x+1

Sejaxn uma sequência com xn→1 . Usando o fato de que o limite do quociente

é o quociente dos limites, obtemos

f ( x )=xn

2−1

x3n3 −1

=xn+1

xn2+xn+1

→ 23≠ f (0)

Na figura a seguir encontra-se esboçado o gráfico da função estudada.

Analisando outra situação temos que, seja

g( x )=¿ {x ²−1x ³−1

¿ ¿¿¿ se

x≠1x=1

e estudemos a questão de existência de

limx→1

f ( x ) ,

Nesse caso, e usando argumentos análogos aos do exemplo anterior, verifica-

se que limx→1

g( x )=23=g (1 )

). O gráfico dessa função é mostrado na figura a

seguir.

Observa-se no exemplo 55 que quando traçamos o gráfico da função f, ao

chegarmos ao ponto x = 1, a função dá um salto. Desse modo, ao traçarmos

seu gráfico teremos que, momentaneamente, retirar o lápis do papel sobre o

qual o estamos desenhando. Já no exemplo 56, o gráfico pode ser efetuado

sem quebras ou saltos, ou seja, ele é feito de modo contínuo. Isto motiva a

definição de função contínua que será estudada neste capítulo e

subsequentes.

Diz-se que a função f : A → R é contínua no ponto x0∈ A se, para qualquer

sequênciaxn em A, com xn→ x0 , tivermos f ( xn)→ f ( x0 ). Caso contrário, diz-

se que f é descontínua emx0 ou que x0 é uma descontinuidade de f. Se f for

contínua em todos os pontos de seu domínio A diz-se que f é contínua.

DERIVADA

NOÇÕES

Uma função f: I → R é derivável em um ponto x0 do intervalo I se o limite

limx→x 0

f ( x )−f ( x0)x−x0 existir. Esse Limite é designado por f´(x0) e é chamado

derivada de f em x0. Quando uma função é derivável em cada ponto do seu

domínio. Ela é dita uma função derivável.

A existência desse limite pressupõe que ele independa de como x tende

para x0. No entanto, em alguns casos essa aproximação somente poderá ser

feita ou pela direita ou pela esquerda. Isso é o que acontece, por exemplo, se

x0 for uma das extremidades de um intervalo. Caso x0 esteja no interior do

intervalo I, o limite acima existirá se, e somente se, os limites laterais

limx→x

+0

f ( x )−f ( x0)x−x0 e

limx→x

−0

f ( x )−f ( x0)x−x0 existirem e forem iguais. O primeiro

desses limites é chamado derivada lateral à direita de f no ponto x0, sendo

designado por f´+(x0), e o outro é chamada de derivada lateral à esquerda,

sendo designado por f´-(x0) . A expressão

f ( x )−f (x0 )x−x0 é chamada de quociente

de Newton de f no ponto x0 e pode ser rescrita como

f ( x0+h)−f ( x0 )h , em que

estamos fazendo x-x0=h. assim, a derivada de f em x0 é também dada por

limh→0

f ( x0+h)−f ( x0 )h no caso das derivadas laterais temos

f ´+ (x0 )= limh→0+

f (x0 +h )−f ( x0)h e

f ´−( x0 )= limh→0−

f ( x0+h )−f ( x0)h . A função y=f(x),

a sua derivada em um ponto x de seu domínio, caso exista, será também

designado por

dydx

( x )ou simplesmente por

dydx caso não haja duvida sobre o

ponto no qual estamos calculando a derivada.

Essas definições se aplicam mesmo que x0 seja extremo esquerdo ou

direito, respectivamente, de um intervalo onde f seja definida. Como exemplo,

considere a função f ( x )=(√ x)3, que está definida somente para x≥0; portanto,

não é derivável no sentido ordinário em x=0. No entanto, existe e é zero sua

derivada à direita nesse ponto, pois f (h )−f ( 0 )=h√h.

Teorema:

A fim de que f: X→R seja derivável no ponto α ∈X¿ X´ é necessário e

suficiente que exista c ∈R tal que α + h∈X⇒ f( a + h )= f( a ) + c . h + r(h),

onde limh→0 r(h)/h=0. No caso afirmativo, tem-se c = f´(a).

Demonstração:

Seja Y={ h ∈R; α + h∈X }. Então 0∈Y¿ Y´. Supondo que f´( α) exista,

definimos r:Y→R supondo r ( h ) = f ( α + h ) - f ( α ) - f ( α ).h.Então

Logo limh→0 r ( h ) / h = 0. A condição é, portanto, necessária.

Reciprocamente. Se vale a condição, então f ( h ) / h= [ f ( α + h ) - f ( α ) ] / h -

c, logo limh→0 (f ( α + h ) - f( α ) ) / h - c = limh→0 r ( h ) / h = 0, portanto f´( α)

existe e é igual a c.

Para toda função f, definida nos pontos α e α + h, e todo número real c,

pode-se sempre escrever a igualdade f(α + h)= f( α )+c.h+r( h ), a qual

meramente define o número r(h). O que este teorema afirma é que existe no

máximo um c ∈R tal que limh→0 r ( h ) / h = 0. Este número c, quando existe é

igual a f´(a). O teorema diz ainda que quando f´(a) existe, o acréscimo f ( α +

h ) - f( α ) é a soma de uma parte linear c.h, proporcional ao acréscimo h da

variável independente, mais um resto r(h), o qual é infinitamente pequeno em

relação a h, no sentido de que o quociente r(h)/h tende a zero com h.

Corolário: Uma função é continua nos pontos em que é derivável.

Com efeito, se f é derivável no ponto a então f( a + h) = f(a)+f´(a).h+[ r ( h ) / h]h

com limh→0 r ( h ) / h = 0, logo limh→0 (f ( α + h )= f (a ), ou seja, f é contínua no

ponto a.

Exemplo:

Uma função constante é derivável e sua derivada é identicamente nula

se f: R→R é dada por f(x)=a.x + b então, para c ∈R e h≠0 quaisquer, [f( c + h)-

f(c)/h=a, logo f´(c)=a. Para n ∈N qualquer, a função f R→R, com f(x) =xn, tem

derivada f´(x)=n.xn-1. Com efeito pelo binômio de Newton,f( x + h)=(x

+h)n=xn+h.n.xn-1+h².p.( x, h), onde p(x,h) é um polinômio em x e h. Portanto [ f

( x + h ) – f ( x ) / h = n . xn-1+ h . p ( x , h ).Segue-se que f´(x) = lim h→0[ f(x+ h)-

f(x)/h=n.xn-1.

A Diferencial

A diferencial da função f no ponto x0 é definida como sendo o produto

dy=f ' (x0 ) x, onde x=x−x0. De acordo com esta definição, a diferencial da

função identidade, x x. é x, isto é, dx=x, de sorte que, em geral dy=f ' (x0 )dx.

Daqui segue também que a derivada é o quociente das diferenciais:

f ' (x0 )=dy /dx. Mais precisamente, f ' (x0 )=(df /dx ) (x0 ), onde df =dy=f ' (x0 )dx.

Regras Operacionais

Teorema:

Se f e g são deriváveis num ponto x, então o mesmo é verdade de fg e

( f (x ) g ( x )) '=f ( x )g ' (x )+ f ' ( x )g ( x ). Se, ainda, g ( x )≠0, então

¿g ( x ) f ' ( x )−f (x ) g ' ( x )

g ( x )2

Demonstração:

No caso do produto, observamos que a razão incremental se escreve:

f ( x+h )g (x+h )−f ( x )g ( x )h

¿[ f ( x+h )g ( x+h )−f ( x+h ) g ( x+h ) ]+[ f ( x+h ) g (x )−f ( x )g ( x ) ]

h

¿ f ( x+h ) ∙ g ( x+h )−g ( x )h

+f (x+h )−f ( x )

h∙ g ( x ) .

Agora é só fazer h→0 para obtermos o resultado desejado.

Quanto ao quociente, consideremos primeiro o caso em que f=1, ou

seja, 1/ g. Temos de considerar a razão incremental

1h ( 1

g ( x+h )−

1g ( x ) )=−g ( x+h )−g ( x )

h1

g ( x+h )g (x ),

cujo limite, com h→0, produz o resultado desejado. O caso de um quociente

geral f /g pode ser tratado como produto: f /g=f ∙1/ g.

Teorema:

Sejam f: X → R, g: Y→ R, a∈ X¿ X´, a e g é derivável no ponto b então

g∘ f: X → R é derivável no ponto a, com (g∘ f)´(a)=g´( f ( a ) ) . f´( a )

Demonstração: Consideremos uma sequência de pontos xn∈X - { a }

com N1={n∈N; f ( xn ) ≠ f ( a )} e N2={n∈N;f ( xn ) = f( a )}. Se n ∈N1 então yn∈Y –

{b} e

g ( f ( xn ))−g( f (a ))xn−a

=g( yn)−g(b )

yn−b.f ( xn )−f (a)

xn−a , portanto se N1 é infinito,

tem-se limn∈N1[ g(f ( xn )) – g ( f ( a ) ) ] / ( xn – a ) = g´( f ( a ) ).f´( a ). Se N2 é

infinito tem-se limn∈N2[ f ( xn ) – f ( a )] / ( xn – a ) = 0, logo f´( a ) = 0. Ainda neste

caso, tem-se limn∈N2[ g ( f ( xn )) – g ( f ( a )) ] / ( xn - a ) = 0 = g´(f ( a )).f´( a ).

Como N = N1¿ N2, resulta daí que, em qualquer hipótese, vale

limn∈N

[ g ( f ( xn ))−g ( f (a) )( xn−a )

=g ´ ( f ( a)). f ´ (a). O que prova o teorema.

Corolário: Seja f: X→Y uma bijeção entre os conjunto X,Y ⊂R, a com inversa

g =f-1:Y→Y. Se f é derivável no ponto a∈ X¿ X´ e g é continua no ponto b=f(a)

então g é derivável no ponto b se, e somente se, f´( a ) ≠ 0. No caso afirmativo,

tem-se g´( b ) = 1 / f´(a).

Com efeito, se xn ∈ X – {a} para todo n∈N e lim xn = a então, como f é injetiva e

contínua no ponto a, tem-se yn=f( xn ) ∈Y – {b} e lim yn = b, portanto, b ∈ Y¿ Y´.

Se g for derivável no ponto b, a igualdade g(f(x))=x, válida para todo x∈X,

juntamente com a Regra da Cadeia, fornece e g´(b) . f´(a)=1. Em particular, f

´(a) ≠ a. Reciprocamente, se f´(a) ≠0 então, para qualquer sequência de pontos

yn=f(xn) ∈Y – {b} com lim yn=b, a continuidade de g no ponto b nos dá limxn=a,

portanto

limg ( yn )−g(b )

yn−b=lim [ yn−b

g( yn )−g( b) ]−1

=lim [ f ( xn )−f (a )xn−a ]

−1

=1

f ´ (a ).

Derivadas e crescimento

Teorema:

Se f: XR é derivável à direita no ponto a XX’+, com f’+ (a) > 0, então

existe > 0 tal que x X, a < x < a+ implicam f(a) < f(x).

Demonstração:

Temos lim x→a+

[ f ( x )−f ( a) ]/ (x−a )=f '+(a )>0. Pela definição de limite à

direita, tomando =f '+ (a) ,obtemos > 0, tal que:

x∈ X ,a<x<a+δ⇒[ f ( x )−f ( a) ]/( x−a )>0⇒ f (a)< f ( x ) .

Corolário 1. Se f:XR é monótona não-decrescente então suas derivadas

laterais, onde existem, são ≥0.

Corolário 2. Seja a∈ X um ponto de acumulação bilateral. Se f:X R é

derivável no ponto a, com f ' (a )>0 então existe

δ>0 tal que x , y∈ X ,a−δ<x<a< y<a+δ implicam f(x)<f(a)<f(y).

Corolário 3. Se f: XR é derivável à direita no ponto a∈ X∩X '+ e tem um aí

um máximo local no ponto a.

Corolário 4: Seja a∈ X um ponto de acumulação bilateral. Se f: XR é

derivável no ponto a e possui aí um ponto máximo ou mínimo local então

f’(a)=0.

Exemplo:

Do teorema 4 e corolário 2 não se pode concluir que uma função com

derivada positiva num ponto a seja crescente numa vizinhança de a. Tudo o

que se pode garantir é que f(x)<f(a) para x < a, x próximo de a, e que f(x)>f(a)

se x está próximo de a, com x >a. Por exemplo, seja f:RR dada por

f(x)=x²sen(1/x)+x/2 se x¿0 e f(0)=0. A função f é derivável, com f’(0)=1/2 e

f’(x)=2xsen(1/x)-cos(1/x)+1/2 para x¿0 . Se tomarmos x¿0 muito pequeno com

sen(1/x)=0 e cós(1/x)=1

Fórmula de Taylor

Seja n ∈N. A n-ésima derivada ( ou derivada de ordem n) de uma função

f no ponto a é indicada com notação f(n)(a) e definida indutivamente:

f´´(a) = [f´]´(a), f´´´(a) = f(3)(a)=[f´´]´(a),..., f(n)(a)= [f(n-1)]´ (a).

é necessário que f(n-1)(x) esteja definida para todo x num conjunto ao qual a

pertença, e do qual seja ponto de acumulação. Em todos os casos abaixo, tal

conjunto será um intervalo contendo a.

Diremos que f: I →R é n vezes derivável no intervalo I quando existir f(n)

(x) para todo x∈ I. Bem entendido, quando x for uma das extremidades de I, f(n)

(x) é uma derivada lateral. Diremos que f: I→R e n vezes derivável no ponto a∈

I quando houver um intervalo aberto J contendo a, tal que f é n – 1vezes

derivável em I¿ J e, além disso, existir f(n)(a) é uma função continua em I. em

particular, f∈C0 significa que f é continua em I

Teorema: ( fórmula de Taylor infinitesimal).

Seja f; I→IR n vezes derivável no ponto a ∈ I. Então para todo h tal que

a+h ∈ I, tem-se

f ( a + h ) = f ( a ) + f´ ( a ) . h+ f´´ ( a )2 ! . h²

+ .. .f (n )

n !.hn+r (h )

onde, limh→0

r (h )hn

=0

Além disso,

p(h )=∑ f i(a )i !

.h

i=0

n

é o único polinômio de grau ≤ n tal que f( a + h)=

p(h) + r(h) com lim

r (h )hn

=0

Teorema (regra da cadeia).

Consideremos uma função composta fog, definida num intervalo I , de

sorte que g ( I )Df . Suponhamos que g seja derivável num ponto x∈ I e f

derivável em y=g ( x ). Então a função composta f (g ( x ) ) é derivável no ponto x e

[ f (g ( x ) ) ] '=f ' (g ( x ) )g ' (x ).

Demonstração:

Como f é derivável no ponto y,

f ( y+k )−f ( y )k

=f ' ( y )+(k ) ,

onde (k )→0 com k→0. Pondo (0 )=0 , podemos escrever essa equação na

forma

f ( y+k )−f ( y )=k [ f ' ( y )+ (k ) ] ,

que é agora verdadeira mesmo para k=0 . Seja k=g ( x+h )−g ( x ). Então,

f (g ( x+h ) )−f (g ( x ) )h

=f ( y+k )−f ( y )

h=

[ f ' ( y )+ (k ) ] kh

¿ [ f ' (g ( x ) )+( k ) ] g ( x+h )−g ( x )h

.

Da continuidade de g no ponto x segue-se que k→0 com h→0. Assim,

basta fazer h tender a zero para obtermos o resultado desejado.

REFERÊNCIAS

ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. Introdução à análise matemática. 2ª ed.

rev. São Paulo: Edgard Blücher, 1999.

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