limite e continuidade de funções reais de várias variáveis...

Limite e continuidadede funcoes reais de varias variaveis reais

Calculo II

Departamento de Matematica Universidade de Aveiro

2018-2019

Calculo II | 2018-2019 Limite e continuidade de f.r.v.v.r. 1 / 15

Limite de sucessoes em Rn

Limite de uma sucessao

Seja (X k)k∈N uma sucessao em Rn e A ∈ Rn. Diz-se que (X k)k∈Nconverge para A ∈ Rn se para cada se para cada r > 0 existe k0 ∈ N talque (X k)k∈N ∈ Br (A) para todo k > k0. Escreve-se

limk→+∞

X k = A

ouX k → A quando k → +∞.

Em Rn temos(xk

1 , xk2 , . . . , xk

n )→ (a1, a2, . . . , an)

ou seja xki → ai , ∀i = 1, . . . , n.

O limite (quando existe) e unico.


Limite de funcao, segundo Heine

Limite de funcao, segundo Heine

Seja f : D ⊂ Rn → R uma funcao real de varias variaveis reais. Diz-se queo limite de f (X ) quando X tende para o ponto de acumulacao A ∈ Rn eb ∈ R, e escreve-se

limX→A

f (X ) = b,

se e so se para qualquer sucessao (X k)k∈N ∈ D ⊂ Rn\{A} convergentepara A a correspondente sucessao (f (X k))k∈N ∈ R das imagens convergirpara b.

Supoe-se que A e um ponto de acumulacao do domınio D, i.e., podendo Anao pertencer a D, existe pelo menos uma sucessao de elementos de Ddiferentes de A que converge para A.


A convergencia de (X k)k∈N ∈ Rn para A, X k −−−→k→∞

A, significa que

limk→∞ ||X k − A|| = 0.(Para X := (x1, . . . , xn) ∈ Rn a norma de X e ||X || :=

√x2

1 + · · · x2n .)

Limite

limX→A

f (X ) = b se e so se sempre que se verificar que limk→∞

||X k − A|| = 0

para uma sucessao (X k)k∈N ∈ Rn\{A} tambem se verifica quelimk→∞

|f (X k)− b| = 0.

ou seja,

limX→A

f (X ) = b se e so se sempre que tende para zero a distancia a A dos

elementos de uma sucessao (X k)k∈N ∈ Rn\{A} tambem tende para zero adistancia a b dos elementos da sucessao (f (X k))k∈N ∈ R.


Limites de funcoes

Nota: Muitas das propriedades dos limites de funcoes de uma variavel saotambem validos para f.r.v.v.r..Ha, no entanto, uma diferenca que importa salientar.Em funcoes de uma variavel a existencia de limite num ponto equivale aexistencias de ambos os limites laterais nesse ponto.Para f.r.v.v.r. o estudo de ”limites direcionais”(segundo semiretas com origemnum ponto) nao e suficiente para garantir a existencia de limite.

Veja o seguinte exemplo.

Exemplo

Para f (x , y) = x2y2

x6+2y3 , temos

lim(x ,y)→(0,0);x=0 f (x , y) = 0 elim(x ,y)→(0,0);y=mx f (x , y) = 0, mas

lim(x ,y)→(0,0);y=x2 f (x , y) = 13 pelo que f nao tem limite no ponto (0, 0).


Continuidade

Funcao contınua num ponto

A funcao f : D ⊂ Rn → R diz-se contınua num ponto de acumulacaoA ∈ D se e so se

limX→A

f (X ) = f (A).

f diz-se contınua num subconjunto S ⊆ D se e contınua em todos ospontos de S .

Continuidade num ponto isolado

No caso de um ponto do domınio que nao seja de acumulacao (i.e., umponto isolado) considera-se, tambem por definicao e tal como no contextode funcoes de uma variavel, que a funcao e contınua.


Propriedades da continuidade de funcoes

As funcoes constantes (isto e, aquelas que assumem sempre um mesmo valor) saocontınuas.

As funcoes f (x1, . . . , xn) = xi , i = 1, . . . , n sao contınuas.

A soma, o produto e o quociente de funcoes contınuas e ainda uma funcaocontınua.

A composicao de funcoes contınuas e ainda uma funcao contınua, isto e, sef (x1, . . . , xn) e g(t) forem contınuas entao a funcao que a (x1, . . . , xn) fazcorresponder g(f (x1, . . . , xn)) (supondo que tal e possıvel) e contınua.

A restricao de uma funcao contınua a um subconjunto do seu domınio e tambemuma funcao contınua.


Exemplos

1 As funcoesf1(x , y) = x2 + y 2, f2(x , y) = x2 − y 2,f3(x , y) = x sin y , f4(x , y) = x

1+y2

sao funcoes contınuas em R2 (o seu domınio), pois sao,respetivamente, a soma, a diferenca, o produto e o quociente defuncoes contınuas.

2 A funcaof (x , y) = sin(x + y)

e contınua no seu domınio, R2, pois f (x , y) = g(h(x , y)) e acomposicao de duas funcoes contınuas, a funcao g(t) = sin(t)contınua em R, e a funcao h(x , y) = x + y contınua em R2.


Exemplo 1

f (x , y) =2x2y

x2 + y 2,

Df = R2\{(0, 0)}, a funcao e contınua.

O ponto (0, 0) e ponto de acumulacao de Df , porque qualquer bolacentrada no ponto (0, 0) contem pontos de Df diferentes de (0, 0).

E pode ser verificado que

lim(x ,y)→(0,0)

f (x , y) = 0

e que esse limite e unico.

Nota-se que, na definicao de limite, apenas interessa saber que X seaproxima de A, nao interessa o modo (trajetoria) como tal aproximacao eefetuada. Se o limite existe, ele e independente da trajetoria efetuada porX quando se aproxima de A.


Exemplo 1: grafico

f (x , y) =2x2y

x2 + y 2, Df = R2\{(0, 0)}, a funcao e contınua.


Exemplo 2

f (x , y) =x2 − y 2

x2 + y 2: Df = R2\{(0, 0)}, a funcao e contınua em

todos os pontos do seu domınio.

O ponto (0, 0) e ponto de acumulacao de Df .

lim(x ,y)→(0,0),(x ,y)∈C1

f (x , y) = limx→0

x2

x2= 1, C1 = {(x , y) ∈ Df : y = 0}

lim(x ,y)→(0,0),(x ,y)∈C2

f (x , y) = limy→0

−y 2

y 2= −1, C2 = {(x , y) ∈ Df : x = 0}

Portanto nao existelim

(x ,y)→(0,0)f (x , y).


Exemplo 2: grafico

f (x , y) =x2 − y 2

x2 + y 2, Df = R2\{(0, 0)}, a funcao e contınua em

todos os pontos do seu domınio, nao e contınua em (0, 0).


Exemplo 3

f (x , y) =xy 2


todos os pontos do seu domınio.

O ponto (0, 0) e ponto de acumulacao de Df .

lim(x ,y)→(0,0),(x ,y)∈C1

f (x , y) = 0, C1 = {(x , y) ∈ Df : y = 0}

lim(x ,y)→(0,0),(x ,y)∈C2

f (x , y) = 0, C2 = {(x , y) ∈ Df : x = 0}

lim(x ,y)→(0,0),(x ,y)∈C3

f (x , y) =y 4

y 4 + y 4=

1

2, C3 = {(x , y) ∈ Df : x = y 2}

Portanto nao existelim

(x ,y)→(0,0)f (x , y).


Exemplo 3: grafico

f (x , y) =xy 2


todos os pontos do seu domınio, nao e contınua em (0, 0).


Exercıcios

1 Qual o domınio de continuidade das tres funcoes anteriores?

O domınio de continuidade das tres funcoes anteriores e R2\{(0, 0)}.

2 Para cada uma das tres funcoes anteriores, que sao contınuas no seudomınio R2\{(0, 0)}, verifica se a funcao parece ser prolongavel porcontinuidade a (0, 0).

Apenas a primeira e prolongavel por continuidade a (0, 0).

3 Determina o domınio de continuidade da funcao f (x , y , z) =y + z

x2 − y.

O domınio de continuidade e Df = {(x , y , z) ∈ R3 : y 6= x2}.


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