limite e continuidade
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limites e derivadasTRANSCRIPT
Aula _ Limite e Continuidade
Idéia intuitiva e definição de limites.
A Definição de Limite
Para chegarmos a definição precisa delimite consideremos inicialmente a função
Intuitivamente, se está próximo de 3,mas , então está próximo de 5,ou seja,
2 1, se 3( )
6 , se 3
x xf x
x
x3x ( )f x
3lim ( ) 5.x
f x
A Definição de Limite
Quão próximo de 3 deverá estarpara que esteja próximo de 5?
Ou, a que distância deverá estar de3, para que a distância entre e 5 sejacada vez menor?
x ( )f x
x( )f x
A Definição de Limite
Ou ainda, dada uma distância (qualquer)
de a 5, podemos encontrar a que
distância deve estar de 3?
A distância de a 3 é representada
matematicamente por , da mesma
forma que a distância de a 5 é
representada por
x
( )f x3x
( ) 5 .f x
( )f x
x
A Definição de Limite
Seja uma função definida sobre algum
intervalo aberto que contém o número
exceto possivelmente no próprio .
Então dizemos que o limite de quando
tende para é , e escrevemos
se, para todo , existir , tal quese então
L
limx a
f x L
0 0 .f x L 0 x a
f
( )f x,a a
x a
A Definição de Limite
A Definição de Limite
2 1, se 3( )
6 , se 3
x xf x
x
3lim ( ) 5x
f x
??Questionamento??
Será que, à medida que se aproxima de
um número real , então fica
cada vez mais próxima de algum número
real ?
x
p x p f x
Lfy
x
L
px
f x
Se a resposta for afirmativa, dizemos que
limite de ,quando tende para , é
igual a .
f x x p
L
??Questionamento??
Se é uma função e é um ponto de
acumulação do domínio da aplicação,
entende-se a notação
Limite de Função
f p
limx p
f x L
f x Lx p
f x x p
L f x L
px
como o limite de quando tende é
, isto é, se aproxima do número
quando tende a , isto é,
Limite de Funções
fy
x
L
px
f x
limx p
f x L
Limite de Funções
fy
x
L
px
f x
f p
limx p
f x L
fy
x
L
px
f x
f p
Olimitenãoexiste
f x
f pLimite de Funções
Limites Laterais
Seja uma função definida sobre algum
intervalo aberto à esquerda de . Então
dizemos que o limite de quando
tende a pela esquerda é , e
escrevemos
se, para todo , existir , tal quese então
L
limx a
f x L
0 0 .f x L a x a
f
( )f xa
x a
Limites Laterais
Seja uma função definida sobre algum
intervalo aberto à direita de . Então
dizemos que o limite de quando
tende a pela direita é , e
escrevemos
se, para todo , existir , tal quese então
L
limx a
f x L
0 0 .f x L a x a
f
( )f xa
x a
Teorema
existe e será igual a se e somente se e existirem e forem iguais a .
limx a
f x
L
L
limx a
f x
limx a
f x
Investigação
Qual o possível resultado para o seguinte
limite , sendo a função
constante e um ponto qualquer do
domínio.
limx p
f x
f x K
p
Solução
Em primeiro lugar, vamos visualizar a
a representação geométrica do gráfico da
função constante , supondo que o
valor de seja positivo.K
Representação Geométrica
f
y
xpx
K
Conclusão
Observe que para todo valor de próximo
de , teremos .
px
x
p f x K
Sendo assim podemos concluir que
lim limx p x p
f x K K
Formalizando
Se é uma função constante
definida por , então
para todo .
limx p
f x K
f x K
:f
p
Investigação
Qual o possível resultado para o seguinte
limite , sendo a função
identidade e um ponto qualquer do seu
domínio.
limx p
f x
f x x
p
Solução
Em primeiro lugar, vamos a visualizar a
representação geométrica do gráfico
da função identidade.
Idéia da Representação Geométrica
fy
x
f p p
p
x
f x
x p f x f p
x
f x
x p f x f p
Formalizando
Se é a função identidade
, então
para todo .
limx p
f x f p p
f x x
:f
p
Atividade
Considere tal que .
Determine .
:f 2 6f x x
1
limx
f x
No processo investigativo vamos construir
uma tabela com valores menores e maiores
que . 1p
Tabela
x 2 6f x x
1
0,9
0,990,999
0,9999
1,00011,0011,011,1
7,87,987,998
7,9998
8,00028,0028,028,2
1
18
1 1
lim lim 2 6 8x x
f x x
f
y
x
x
f x
6
2
10
1
8
Representação Geométrica
1 1
lim lim 2 6 8x x
f x x
Formalizando
Se definida por é a
função polinomial do 1º grau, então
para todo sendo e .
limx p
f x f p ap b
f x ax b :f
p a b
f
y
x
x
f x
b
0x
0f x
p
ap b
Representação Geométrica
limx p
ax b ap b
Limite da Função Polinomial
Se definida por
é a função polinomial de grau n, então
para todo sendo para todo
0
1
limn
k
kx p
k
f x f p a a x
2
0 1 2
n
nf x a a x a x a x
:f
pia
0,1,...,i n e 0.na
Exemplos
0
1) lim 4 3 4.0 3 3x
x
2 2
12) lim 3 1 1 3 5
xx x
3 23 2
13) lim 3 1 1 3 1 1 3 3
xx x
4 2 4 2
04) lim 3 0 0 3 3
xx x
y
0
Limite no Infinito
1
,f x xx
x
0x
0x
x
f x
x 1
0x
f x
y
0
Limite no Infinito
1
,f x xx
x
0x
0x
x x
10
x
y
0
Limite Infinito
1
,f x xx
x
0x
0x
x
f x
0x 1
x
y
0
Limite Infinito
1
,f x xx
x
0x
0x
x
f x
0x 1
x
Limite Infinito
,f x x x y
0 x
a
a
x
f x
x
f x
Limite Infinito
,f x x x y
0 x
a
a
x
f x
x
f x
Formalizando
Se definida por , então:
) lim 0x
i f x
1
f xx
:f
) lim 0x
ii f x
0
) limx
iii f x
0
) limx
iv f x
Formalizando
) lim ,n
xi x n
) lim , 2 ,comn
xii x n p p
) lim , 2 1,comn
xiii x n p p
1) lim 0,
nxiv n
x
1) lim 0,
nxv n
x
Atividade
Determine caso exista os limites abaixo:
21) lim 1x
x
22) lim 3x
x x
33) lim 2x
x x
4
4) lim2x x
2
3
35) lim
2 2x
x x
x x
4
2
36) lim
2x
x x
x x
4
4 2
37) lim
2x
x x
x x
4 2
4 2
38) lim
2x
x x
x x
Atividade
Determine caso exista os limites abaixo:
3
21) lim
3x x
3
22) lim
3x x
3
23)lim
3x x
2
4
44) lim
16x
x
x
24
46)lim
16x
x
x
2
4
45) lim
16x
x
x
Limites Infinitos
Seja uma função definida sobre algum
intervalo aberto que contém o número
exceto possivelmente no próprio .
Então dizemos que o limite de quando
tende para é , e escrevemos
se, para todo , existir , tal quese então
limx a
f x
0M 0 ( ) .f x M 0 x a
f
( )f x,a a
x a
Exemplos
Determine:
0
1) lim
xa
x
0
1) lim
xb
x
Função Contínua no Ponto
Diremos que a aplicação é
contínua no ponto , se
:f
p
i f p
limx p
iii f x f p
limx p
ii f x
fy
x
L
px
f x
lim écontínua emx p
f x L f p f p
Função Contínua no Ponto
fy
x
L
px
f x
f p
lim nãoécontínua emx p
f x L f p f p
Função Descontínua no Ponto
fy
x
L
px
f x
limnãoécontínua em
Nãoexiste
x pf x L
f pf p
Função Descontínua no Ponto
f
y
x
L
px
f x
f p
Nãoexiste lim nãoécontínua emx p
f x f p
f x
pFunção Descontínua no Ponto
Função Contínua
A aplicação é contínua, se a
mesma for contínua em todos os pontos
do seu domínio.
:f
Exemplos de Funções Contínuas
4
1) lim 3 4 3 1 4x
x f
2 2
12) lim 3 1 3 4 1
xx f
3 2 3 2
13) lim 3 1 1 3 1 1 3 3 1
xx x f
4 2 4 2
04) lim 3 0 0 3 3 0
xx x f
Exemplos de Funções Contínuas
5) limsen senx p
x p
6) limcos cosx p
x p
7) lim ,com e 0 1x p
x pa a a a
8) limln ln ,com e 0 1x p
x p p p
Outros Exemplos de Limites
1) lim tg tg , e2x p
x p p k k
2) limcotg cot g , ex p
x p p k k
4) limsec sec , e2x p
x p p k k
3) limcossec cossec , ex p
x p p k k
Exemplo
Determine os pontos de descontinuidade da função cujo gráfico é mostrado a seguir, justificando.
Seja uma aplicação definida por
, cujo o esboço do gráfico é
dado a seguir:
Limite Fundamental da Trigonometria
:f
senx
f xx
2 323
1
y
x
Limite Fundamental da Trigonometria
2 323
1
y
x
0x 0 x
f x
0
senlim 1x
x
x
Exemplo
Calcule 0
sen3limx
x
x
0
sen3limx
x
x 0
sen3lim3
3x
x
x
u
0
senlim3
u
u
u
1
3
0 0x u
Exemplo
Calcule sen
limx
x
x
senlimx
x
x u
x u x u
0x u
0
sen( )limu
u
u
sen( ) sen cos sen cosu u u
1 0
0
senlimu
u
u
1
senu
Limite fundamental
(1 1/ )xxx
1
10
100
1.000
10.000
2
2,5937
2,7048
2,7181
2,7182
e
1lim 1
x
xe
x
Exemplo
Mostre que
De modo análogo obtemos
1
0lim(1 )h
hh e
1 1x h
h x
1lim 1
x
x x
0h x 1
0
lim (1 )h
h
h
1lim 1
x
x x
e
1
0
lim (1 )h
h
h e
1
0lim(1 )h
hh e
Exemplo
Mostre que 0
1lim 1
h
h
e
h
1 ln( 1)hu e h u
1
ln( 1)
he u
h u
1
1ln( 1)u
u
1
1
ln( 1)uu
0 0h u
10 0
1 1lim lim
ln( 1)
h
h hu
e
hu
1
ln e 1
Propriedades Operatórias de Limite
Suponhamos que existem os limites
e . Se , então: limx p
f x
limx p
g x
,
1) lim lim limx p x p x p
f x g x f x g x
2) lim limx p x p
f x f x
Propriedades Operatórias de Limite
Suponhamos que existem os limites
e . Se , então: limx p
f x
limx p
g x
,
3) lim lim limx p x p x p
f x g x f x g x
lim4) lim , desde que lim 0
lim
x p
x p x p
x p
f xf xg x
g x g x
Teorema: Limite de Função Composta
Sejam e duas
funções tais que . Se e
é contínua em , então
:f A :g B
Im f B limx p
f x L
g L
lim limx p x p
g f x g f x g L
Se existe, então:
Corolário: Limite de Função Composta
) lim lim , sendon nx p x p
ii f x f x n
) lim lim , sendon
n
x p x pi f x f x n
limx p
f x
Se é par,supomos lim 0.x p
n f x
Se existe, então:
Corolário: Limite de Função Composta
) limln ln lim ,sendolim 0x p x p x p
iv f x f x f x
lim
) lim x pf x
f x
x piii a a
limx p
f x
Atividade
Determine caso exista os limites abaixo:
6
2) lim 3 4
xi x
Solução:
6
6
2 2lim 3 4 lim 3 4x x
x x
6
3.2 4
62
64
Atividade
Determine caso exista os limites abaixo:
6
2
1) lim 3 4 2
xii x x
Solução:
66
2 2
1 1lim 3 4 2 lim 3 4 2x x
x x x x
6
23.1 4.1 2
61 1
Atividade
Determine caso exista os limites abaixo:
) lim sen 2x
iii x x
Solução:
lim sen 2 lim sen 2x x
x x x x
2sen
0
Atividade
Determine caso exista os limites abaixo:2 4
2
2) lim3
x
x
xiv
Solução:
22
2
44 lim2 ?2
2lim3 3 3
x
xxxx
x
Calculando . 2
2
4lim
2x
x
x
Atividade
Calculando temos: 2
2
4lim
2x
x
x
2
2 2 2
2 24lim lim lim 2 4
2 2x x x
x xxx
x x
Logo
22
2
44 lim2 42
2lim3 3 3 81
x
xxxx
x