INTRODUCCION

Partiendo de un enfoque sistémico de lo que se entiende la matemática y la exigencia competitiva de nuestros días, orientada a conseguir profesionales de calidad, se requiere un conocimiento directo y practico de la matemática por lo cual presentamos los temas a desarrollar, permitirán al estudiante aplicar a temas de su carrera tomando casos de su entorno, logrando de esta manera la adquisición de conocimientos de la matemática a través de la aplicación directa de la teoría sin dejar de lado la motivación y la aplicación de nuevas metodologías para desarrollar un buen aprendizaje

INDICE

UNIDA N° O1: LOGICA

Introducción

Lógica proposicional

Enunciado

Enunciados abiertos

Variables

Proposiciones lógicas

Conectivos lógicos

Clases de proposiciones lógicas

Formalización de proposiciones

Proposiciones compuestas básicas

Evaluación de esquemas moleculares

Esquemas lógicos

Leyes del álgebra de proposiciones

La inferencia lógica o argumento lógico

Circuitos lógicos

UNIDAD N° 02: TEORIA DE CONJUNTOS

Introducción

Noción de conjuntos

Determinación de conjuntos

Conjuntos numéricos

Clases de conjuntos

Relación entre conjuntos

Conjuntos especiales

Operaciones entre conjuntos

Propiedades del número de elementos de un conjunto

UNIDAD N° 03: NUMEROS REALES

Introducción

Definición axiomática de los números reales

Ecuación

Ecuaciones lineales

Ecuaciones no lineales

Ecuaciones polinómicas

Desigualdades

Inecuación

Inecuación de primer grado

Inecuación de segundo grado

Inecuaciones polinómicas

Inecuaciones fraccionarias

Valor absoluto en números reales

Ecuaciones con valor absoluto

UNIDAD N° O4: RELACIONES Y FUNCIONES

Definiciones básicas

Relaciones binarias

Gráfica de una relación de IR en IR

Gráficas de relaciones conocidas

Recta

Circunferencia

Parábola

Unidad 4: FUNCIONES

Funciones

Función exponencial

Función logarítmica

UNIDAD N° 05: MATRICES

Introducción

Concepto de matrices

Tipos de matrices

Suma y resta de matrices

Producto de un número real por una matriz

Producto de matrices

Determinantes

Cálculo de una determinante por el adjunto de una línea

Propiedades de determinantes

Adjunta de una matriz

Cálculo de determinantes método Gauss Jordan

Aplicaciones de determinantes

Cálculo del rango de una matriz por el Gauss Jordan

Matriz invertible

Matriz inversa método Gauss Jordan

Matrices en sistemas de ecuaciones lineales

UNIDAD N° 06: MATEMÁTICA COMERCIAL

INTERES SIMPLEInterés

Definiciones

Clases

Interés simple

Factores que intervienen

Formulas

Casos de aumentos y deducciones

Aplicaciones

Calculo del tiempo

Tiempo exacto y aproximado

Aplicaciones

Interés con capital y tasa nominal constante.- Aplicaciones

Interés con capital constante y tasa nominal variable.- Aplicaciones

Interés con capital variable y tasa nominal variable.- Aplicaciones

Interés con capital y tasa nominal variable.- Aplicaciones

Amortización a interés simple.- Aplicaciones

Consolidación de cuentas. .- Aplicaciones

Descuento.- Clases.- Aplicaciones

Formulas para aproximar tasa de interés.-Clases.- Aplicaciones

INTERES COMPUESTO

Interes compuesto

Definiciones

Factores que intervienen

Monto compuesto

Nomenclatura.- Formulas

Problemas de aplicación

Monto compuesto con periodos de conversión en fracciones

Formulas teóricas.-Aplicaciones

Formulas practicas.- .- Aplicaciones

Ecuaciones de valor

Valor presente.- Aplicaciones

Tasa nominal y efectiva de interés

Formulas.- Aplicaciones

Anualidades

Definiciones y clasificación

Capitalización

Casos que se presentan.- Formulas

Amortización

Casos que se presentan.- Formulas

Tablas de amortización.- Aplicaciones

Depreciación

Definiciones.- Tablas de depreciación

Aplicaciones de análisis VAN y el TIR

UNIDAD Nº 01

LÓGICA

COMPETENCIA DE LA UNIDAD

¿Qué? Al término de la unidad se espera que el alumno elabore tablas de verdad de proposiciones compuestas básicas y aplique las leyes de la lógica y los esquemas de razonamiento.

¿Para qué? Para permitir la eliminación de ambigüedades del lenguaje común dando lugar a un lenguaje de carácter matemático, el cual es claro y preciso. Y aplica las leyes de la lógica y los esquemas de razonamiento a la solución de problemas en un contexto real.

¿Porqué? ya que esto le permitirá utilizar tales instrumentos en el campo de la computación, que desarrolla los algoritmos necesarios para un sistema de programas, estructuradas en forma lógica.

¿Cómo? Como una base para decidir si una proposición se sigue o es consecuencia lógica de una o más proposiciones, la cual es el espíritu de las demostraciones.

MAPA CONCEPTUAL

LOGICA

PROPOSICIONES LÓGICAS

Definición

Conectivos lógicos

Clases

Proposición simple Proposición compuesta

PROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSICAS

NegaciónDisyunción inclusiva o débil La conjunción

La condicional La bicondicional La disyunción exclusiva fuerte

ESQUEMAS LÓGICOS

Tautología

Contradicción

Contingecia

LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL

INFERENCIA LÓGICA

Inferencias válidas notables

CIRCUITOS LÓGICOS

Diseños en serie Diseños en paralelo

estudia

conoce

identifica

como

define

define

define

determina

realiza realiza

LOGICA

INTRODUCCIÓN

La lógica es una ciencia formal que estudia los métodos o procedimientos que aplican definiciones, leyes o reglas con el propósito de determinar la validez de las inferencias, razonamientos o argumentos.La lógica como conocimiento orgánico y sistemático, aparece por primera vez con Aristóteles (S. IV a. C.) quien la define como un “instrumento” que ayuda al hombre a razonar correctamente mejorando la investigación de la naturaleza. Su objetivo quedó definido como el análisis formal de los razonamientos.La lógica es el estudio de los procesos válidos del razonamiento humano. En la actualidad, el estudio serio de cualquier tema tanto en el campo de la humanidades como el de las ciencias y la técnica requieren conocer los fundamentos y métodos del razonamiento lógico preciso que permite al estudiante o profesional extraer y depurar sus conclusiones evitando el riesgo de modificar en forma equivocada la información que posee. Esto es aun más en la era de la computación, herramienta que es empleada en todos los campos del desarrollo de una sociedad y con la velocidad a la cual se procesan los datos cualquier error de lógica puede originar problemas técnicos, sociales y económicos.Siendo muy importante, en la matemática moderna el análisis del lenguaje con un criterio lógico; la lógica tiene como fin de conducirnos a una hábil manejo del lenguaje matemático y el empleo de métodos eficaces de razonamiento.Existen dos tipos importantes de razonamiento: El inductivo y el Deductivo.El razonamiento inductivo es el razonamiento por el cual una persona en base a sus experiencias específicas, decide aceptar como válida un principio general.El razonamiento deductivo es, en cambio, el medio según el cual dicha persona utiliza el principio general aceptado previamente para decidir sobre la validez de una idea, que a su vez habrá de determinar el curso de su acción.Dado que las proposiciones son preceptos válidos de razonamiento deductivo, en el desarrollo de nuestro estudio veremos lo esencial de la lógica proposicional, a través del uso y manejo de una simbología adecuada.

LOGICA PROPOSICIONAL

1. LOGICA PROPOSICIONALEs una parte de la lógica matemática, llamada también “Lógica de las proposiciones sin analizar”, tiene por objeto de estudio a las proposiciones y su formalización con la finalidad de determinar sus valores lógicos.En lógica existen dos procesos fundamentales:a) Conceptualización: consiste en definir los objetos matemáticos que se van a

definir, yb) Demostración: consiste en demostrar rigurosamente aquellas propiedades,

proposiciones o teoremas que se están estudiando.

2. ENUNCIADODenominamos así, a toda frase u oración.Ejemplos: Concepción es una provincia del Departamento de Junín. ¡Viva la Universidad! ¿Qué hora es? 5 < 8 París está en Italia

Los enunciados que matemáticamente tienen significado son aquellos que pueden ser considerados como verdaderos o falsos (proposiciones): algunos enunciados no es posible afirmar si es verdadero o falso, como por ejemplo, las interrogaciones, las exclamaciones o las preguntas.

3. ENUNCIADOS ABIERTOSSon expresiones que se comportan de manera ambigua, que para ciertos casos adoptan el valor de verdadero y para otros el valor de falso (contienen variables).Ejemplo: El es un escritor peruano

donde “El” es la variable.Dando valores a la variable “El” del conjunto de personas se tiene:

Albert Einstein es un escritor peruanoCiro Alegría es un escritor peruano

4. VARIABLEEs una cantidad susceptible de variar en un determinado campo o recorrido, a las variables representaremos por las letras minúsculas x, y, z, t. u, v, a estas variables se les dá el nombre de variables indeterminados.

Ejemplo:

y = es un numero real, si x es un número real que sea mayor o igual a 5. El campo o recorrido de x es x 5.

PROPOSICIONES LOGICAS

1. DEFINICIÓNEs aquella expresión u oración que puede calificarse o bien como verdadero (V) o bien como falso (F) y sin ambigüedad, las proposiciones lógicas se denotan con letras minúsculas, tales como: p, q, r, s, ….., etc.Ejemplos:p: La tierra es redondaq: -15 + 28 = 42r: 2x > y – 5t: Hola ¿cómo te va?s: La Universidad Continental será campeón en la presente temporada de fútbol.w: Limpia el auto por favor.

Explicación:p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero: por lo tanto son proposiciones válidas.r también es una proposición válida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento.La proposición s también está perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que espera a que terminara la temporada de fútbol.Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no puede tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.

2. VALOR DE VERDADSe llama valores de verdad de una proposición a sus dos valores posibles; verdadero o falso, estos posibles valores se puede esquematizar en una tabla de verdad en la forma.

pVF

3. EXPRESIONES NO PROPOSICIONALESSon aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de verdad. Entre ellos tenemos a los exclamativos; interrogativos o imperativos.Ejemplo: ¡Arriba Perú! (Exclamativa) ¿Cómo esta? (Interrogativa)

CONECTIVOS LOGICOSSon expresiones que sirven para unir dos o más proposiciones. Igualmente permiten definir “operaciones” en los conjuntos para obtener nuevos conjuntos, entre los más importantes conectivos lógicos tenemos:

SímboloConector

LógicoOperación Lógica Esquema Significado

Conjunción pq p y q Disyunción inclusiva o

débilpq p o q

Disyunción exclusiva o fuerte

pq o p o q

Condicional (Implicación) pq si p entonces q Bicondicional pq p si y solo si q Negación p no p

Donde:

CLASES DE PROPOSICIONES LOGICAS

1. PROPOSICION SIMPLE O ATÓMICAEs aquella proposición con un solo significado, es decir no tiene ningún conectivo lógico y tampoco el adverbio de negación “No”.

p: “Alberto es psicólogo”q: 6 es parr: 2 + 5 = 8

2. PROPOSICION COMPUESTA O MOLECULAREs una proposición que contiene al menos un conectivo lógico.Ejemplo:

p: Lenin estudia y practica fútbol.

DIÁDICOS

MONÁDICO

q: Si 5 es par entonces 2 es imparr: si n es par entonces n es divisible por 2

ESQUEMA MOLECULAR (fórmula proposicional)

Es una formula lógica que resulta de la combinación de variables proposicionales, constantes lógicas y signos de agrupación; siempre y cuando sea una fórmula bien formada (es decir que no presente ambigüedad).Ejemplo

(p q) (r s), es un esquema molecular

FORMALIZACION DE PROPOSICIONES

Toda proposición compuesta o todo argumento ya sea natural o científico se puede formalizar, para ello hay que distinguir las proposiciones simples que la forman y los términos de enlace que las une, a las proposiciones simples se las remplaza con una letra que puede ser mayúscula o minúscula y al término de enlace llamado conector lógico con un símbolo convencional.

SIGNOS DE AGRUPACIÓNSe utilizan para agrupar a las variables y operadores así como, darles jerarquía. Son los siguientes:

Paréntesis ( ) Corchetes Llaves Barras

JERARQUIZACIÓNJerarquizar significa agrupar las variables y los operadores dentro de los signos de colección, llamados también de agrupación.Para jerarquizar hay que tener en cuenta los siguientes requisitos:

Sólo presentan jerarquía los conectivos lógicos (y, o, entonces, si y solo si, etc.) Para realizar una correcta jerarquización hay que tener en cuenta los signos de

puntuación del texto a jerarquizar, en cuanto ellos indican la ubicación de los signos de colección.

En el texto, el punto seguido tiene mayor jerarquía, le sigue en 2do, lugar el punto y coma, y en 3er lugar la coma.

REGLAS PARA JERARQUIZAR

I) Donde esté ubicado el signo de puntuación más importante del texto, ahí se encuentra ubicado el conectivo principal.

II) Donde se encuentre un signo de puntuación ahí se abre o cierra un signo de colección (paréntesis, corchete o llave).

III) El conectivo que se encuentre fuera o en la parte más externa de los signos de colección es el que tiene mayor jerarquía.

IV)Si encontramos un texto donde se presente una sucesión de idénticos signos de puntuación, será mayor el que presente como conectivo entonces, luego o cualquiera de sus sinónimos.

Ejemplos:

1. Formalizar la siguiente proposición: El sol es una estrella y la Tierra es un planeta.Solución:El sol es una estrella y la Tierra es un planeta

p q Formalización: p q

2. Formalizar la siguiente proposición:Esther estudia física y química, o estudia lógica. Sin embargo estudia matemática.Solución:Esther estudia física y química, o estudia lógica. Sin embargo estudia matemática.

p q r s

Formalizando ( p q ) r s

Ahora prueba tu capacidad3. Formalizar la siguiente proposición:

“Si no pago la luz, entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado. Y si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si y solo si soy desorganizado”…………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………..

PROPOSICIONES COMPUESTAS BASICOS

1. LA NEGACIÓN

Si la proposición es “p” , su negación se denota por “p” y se lee: “no p”, “es falso que p”.

p p

VF

FV

Esto significa que si “p” es V, su negación F o viceversa.Otras formas gramaticales equivalentes a la negación, serán: “es absurdo que”, “es inconcebible que”, “no ocurre que”, “no acaece que”, “no es el caso que”, “no es verdadero que”, “no es cierto que”, “es una farsa que”,… etc.

Ejemplo: 2 es primo (V)

Su negación es: 2 no es primo (F) 5 es par (F)

Su negación es: no es cierto que 5 es par (V)

2. LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA O DEBILEs aquella en la cual se considera las posibles ocurrencias simultáneas o individuales. Forma típica: “........ o ……”

p q pqVVFF

VFVF

VVVF

p q es falsa (F) únicamente cuando “p” y “q” son ambas falsas, en los demás casos es verdadera.

Ejemplo:Hallar el valor de p q donde p: 7 es mayor que 9; q: 4 es menor que 5Solución

p q p qF V V

Se lee

“p” a menos que q“p” salvo que “q”“p” excepto “q”“p” o de lo contrario “q”“p” o en tal sentido “q”“p” y/o “q”

3. LA CONJUNCIÓNSon aquellas proposiciones que se relacionan mediante el conectivo lógico “y” o expresiones equivalentes. Forma típica: “….. y ……”

p q pq

VVFF

VFVF

VFFF

p q es verdadera (V) únicamente cuando “p y q” son ambas verdaderas.

Ejemplo: Si p: 4<7 y q: 6 es un número par. Calcular el valor de verdad de p q Solución:

p q p qV V V

4. LA CONDICIONALSon aquellas proporciones que se relacionan mediante la conjunción condicional “si….entonces……” o sus expresiones equivalentes.

p q pqVVFF

VFVF

VFVV

p q es falsa (F) únicamente cuando “p” es verdadera y “q” es falsa

La proposición p es llamado antecedente y la proposición q es llamado consecuente

p q

Se lee

“p” y “q”“p” no obstante “q”“p” además “q”“p” sin embargo “q”“p” cada vez que “q”“p” pero “q”“p” del mismo modo “q”“p” asi como “q”

Se lee

si “p” entonces “q”“p” implica “q”“p” dado que “q”“p” de ahí que “q”“p” por tanto “q”“p” en tal sentido “q”“p” en consecuencia “q”

Antecedente Consecuente Premisa Conclusión Hipótesis Tesis

Las proposiciones condicionales pueden serA) CONDICIONAL DIRECTO (ORDENADO)

Aquí se presenta primero el antecedente y luego el consecuente (causa – efecto).Ejemplo: Si hace frio entonces me abrigo

Antecedente Consecuente (A) (C)

Si estudio entonces aprendo Antecedente Consecuente (A) (C)

B) CONDICIONAL INDIRECTO (DESORDENADO)Aquí se presenta primero el consecuente luego el antecedente. Se usa los conectivos: dado que, puesto que, ya que, porque, si, siempre que, cada vez que, etc.

Ejemplo: Ingresaste porque estudiaste

Consecuente Antecedente (C) (A)

Alex trabaja porque necesita dinero Consecuente Antecedente (C) (A)

Ejemplo:Sea p : Cristóbal Colón descubrió América; q : 6 + 3 = 8Hallar el valor de verdad de p qSolución:Para calcular el valor de verdad de la proposición p q, primero calcularemos el valor de verdad de las proposiciones dadas.p : Cristóbal Colón descubrió América es verdadera Vq : 6 + 3 = 8, es falsa F

p q p qV F F

5. LA BICONDICIONAL (ó doble implicación)Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante la conjunción compuesta “si y sólo si” o sus expresiones equivalentes.

p q pq “p” si y solo si “q”“p” cuando y solo cuando“q”“p” entonces y solo entonces “q”

Se lee

VVFF

VFVF

VFFV

pq es verdadera (V) únicamente cuando “p” y “q” tiene el mismo valor de verdad.

Ejemplo: “Juan Martínez es buen estudiante de Administración, si y solo si; tiene promedio

de diecisiete”Considerando las proposiciones:p : Juan es buen estudiante.q : Tiene promedio de diecisieteEl enunciado corresponde a una proposición: p q

Ahora prueba tu capacidad Edwin corre si y sólo si quiere llegar a la meta.

………………………………………………………. Héctor se baña cuándo y sólo cuando lo invitan a un matrimonio.

……………………………………………………….

6. LA DISYUNCION EXCLUSIVA O FUERTEEsta disyunción excluye la posibilidad de ocurrencia simultánea de ambas. Forma típica: “o………o………..”

p q pqVVFF

VFVF

FVVF

Una proposición disyuntiva exclusiva es falsa sólo si sus componentes tiene igual valor veritativo, en caso contrario es verdadero.

Ejemplo: César Vallejo murió en Lima o en París. O corremos o caminamos

Se lee

“p” no equivale a “q”“p” no se define como “q”“p” es diferente a “q”ya bien “p” ya bien “q”ya sea “p” ya sea “q”

EVALUACIÓN DE ESQUEMAS MOLECULARES

Consiste en obtener el valor o los valores del conjunto lógico de mayor jerarquía a partir de los valores veritativos de cada una de las variables proposicionales.

Ejemplo:a) Evalúe el siguiente esquema:

( p q ) ( p q )

Solución:

p q ( p q ) ( p q )VVFF

VFVF

V F F V F F F V F F F V F F V V

b) Hallar la tabla de valor de verdad de la proposición (p q) (q r ) ( r q)

Solución:

p q r (p q) (q r ) (p q) (q r ) ( r q)

VVVVFFFF

VVFFVVFF

VFVFVFVF

V V F V V F F V V F F F V V F V V F V V V V V F

V V V V V V V F F F F V V V V V V V V F F V V V

Ahora prueba tu capacidadc) Evalúe el siguiente esquema:

( p q ) ( qp )

p q ( p q ) ( q p )

ESQUEMAS LÓGICOS

Son fórmulas lógicas (proposiciones formalizadas) las cuales pueden asumir funciones veritativas determinadas. Pueden ser:

1. TAUTOLOGIAEs toda proposición cuyo valor de verdad es siempre verdadero (V), para cualquier combinación de los valores de verdad de sus componentes, se le denota por “V”.Ejemplo de tautología:a) (p q) p q

p q (p q) p qVVFF

VFVF

V V V V V F F V V F V F F V V V F F V F

Es una tautología

OBSERVACIÓNLas tautologías son muy importantes en lógica matemática ya que se consideran leyes en las cuales nos podemos apoyar para realizar demostraciones.

Ahora prueba tu capacidadb) Determinar si ( p ) ( p q ) q , es una tautología.

p q ( p ) ( p q ) q

2. CONTRADICCIÓNEs toda proposición cuya valor de verdad es siempre falso (F), para cualquier combinación de los valores de verdad de sus componentes. Se le denota por F.Ejemplo de contradicción:( p q ) ( p q)

p q ( p q ) ( p q)

VVFF

VFVF

V F F F F V V F F V F F

Es una contradicción

3. CONTINGENCIASon proposiciones compuestas que no son ni tautología ni contradicciones, es decir, son proposiciones que en algunos casos es F, y en otros V.Ejemplo de contingencia:a) ( p q ) p

p q ( p q ) p

VVFF

VFVF

V V V F V V V F F V F F

Es una contingencia

Ahora prueba tu capacidadb) Por medio de una tabla de valores, establecer, si cada una de los siguientes

esquemas moleculares es tautología, contingencia o contradicción p ( q p ) ( p q ) ( p q ) p ( q p ) ( p q ) ( q p )

IMPLICACIÓN LOGICA

Es aquella condicional que resulta ser una tautología y se denota p q y se lee “p implica a q”Ejemplo de implicación lógica:Se tiene ((p) q) q pPuesto que:

p q ((p) q) q p

VVFF

VFVF

V F F V F F F V V F V F F V V V V V V V

Es una tautología. Por lo tanto es una implicación lógica.

EQUIVALENCIA LOGICA

A toda bicondicional p q que sea tautología se le llama equivalencia lógica (o simplemente equivalencia) y en éste caso a la bicondicional denotaremos por p q.Ejemplo de equivalencia lógica:

p (p q) p

p q p (p q) pVVFF

VFVF

V V V V V V V V V V F F V V F F F F V F

Es una tautología. Por lo tanto es una equivalencia lógica

PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTES

Son aquellas que poseen tablas de verdad equivalente (iguales) siendo posible el uso de una de ellas por la otra, y se denota p qEjemplo:Las proposiciones (pq) y (q p) so lógicamente equivalentes puesto que sus tablas de verdad son idénticas. En efecto:

p q pq q pVVFF

VFVF

V F V V

F V F V F F F V V V V V

De donde pq q p

LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL LEY DE IDEMPOTENCIA

p p p p p p

LEY CONMUTATIVAp q q p p q q pp q q p p q q p

LEY ASOCIATIVA( p q ) r p ( q r ) ( p q ) r p ( q r )

LEY DISTRIBUTIVAp ( q r ) ( p q ) ( p r )

LEYES DE “DE MORGAN”( p q ) p q( p q ) p q

LEY DEL COMPLEMENTOp p Vp p F ( p ) p

LEY DE LA IDENTIDADp V V p V pp F p p F F

LEY DE LA CONDICIONALp q p q(p q) p q

LEY DE LA BICONDICIONALp q ( p q ) ( q p )p q ( p q ) ( p q )

LEY DE LA TRANSPOSICIÓNp q q p

p q q p

LEYES DE LA ABSORCIÓNp ( p q ) pp ( p q ) pp ( p q ) p qp ( p q ) p q

Ejemplo:a) Simplificar la proposición aplicando las leyes lógicas.

(p q) q pSolución:(p q) q p por la condicional((p q) q) p por la negación (p q) q) p por conmutativa en la conjunción q ( p q) p por absorción q p p por morgan( p q) p por absorciónp q

(p q) q p p q

Ahora prueba tu capacidadb) Simplificar la proposición compuesta

( p q ) ( r r ) q

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LA INFERENCIA LÓGICA O ARGUMENTO LÓGICO

Al proceso de pasar de un conjunto de premisas a una conclusión se denomina inferencia lógica o argumento lógico.

La inferencia lógica es una condicional de la forma:

( p1 p2 …… pn) q ()Donde las proposiciones p1 , p2 , …… pn son llamadas premisas y que originan como consecuencia otra proposición q llamada conclusión.

OBSERVACIÓN: Una inferencia lógica puede ser una tautología, una contingencia o una contradicción y por lo tanto se tiene:1) Si la condicional () es una tautología se denomina argumento válido o inferencia

válida.2) Si la condicional () no es una tautología se denomina FALACIA.

DEFINICIÓNEl argumento () es verdadero si q es verdadero cuando todas las premisas p1 , p2 , …… pn son verdaderos, en cualquier otro caso el argumento () es falso.

NOTACIÓN: También el argumento () se denota por:

p1 , p2 , …… pn q ()

Ejemplo: Determinar si p q es una consecuencia válida de p q, q r, r

SoluciónEn este problema las premisas p q, q r, r y la conclusión es p q, por lo tanto se debe demostrar que (p q) ( q r) r p q es una tautología.

p q r (p q) ( q r) r p qVVVVFFFF

VVFFVVFF

VFVFVFVF

V V V F F V V V V V V V V V V V V F F V V V F F F V V V F F V F F V V F F V F V V V V V V F F V F V F F F V V F

Como es una tautología es una inferencia válida.

TEOREMASi el argumento () es válida y las premisas p1 , p2 , …… pn son verdaderas, entonces la conclusión q es verdadera.

INFERENCIAS VÁLIDAS NOTABLES:

1. Ley de Módus Pones: (p q) q qTambién se simboliza p q

p q

Ejemplo: p1: Si llueve en la noche, las pistas están mojadas

p2:Llueve en la noche Luego, las pistas están mojadas

2. Ley de Módus Tollens: (p q) (q) (p)También se simboliza p q

q p

Ejemplo:p1: Si eres estudiante de marte, te están preparando adecuadamente,p2:no te están preparando adecuadamente Consecuentemente, no eres estudiante de marte

3. Ley de silogismo hipotético: (p q) ( q r) (p r)También se simboliza p q

q rp r

Ejemplo:Si Carnap fue neopositivista, conformó el Círculo de Viena; y si conformó el Círculo de Viena, confiaba en la Lógica Simbólica. Por lo tanto, si Carnap fue neopositivista, confiaba en la Lógica Simbólica.Formalizando:

p1: p qp2: q rp r

4. Ley del silogismo disyuntivo (p q) (p) qTambién se simboliza p q

p q

Ejemplo:

p1: Estudio contabilidad o Economía

p2: No estudio Economía Estudio contabilidad

5. Ley de Simplificación:a) p q p b) p q q

También se simboliza

p pq q p q

Ejemplo p1 : Copérnico fue astrónomo y físicoC Copérnico fue astrónomo

EL MÉTODO ABREVIADOConsiste en analizar la única posibilidad de ser falsa la implicación p q, es decir:

p q V F

FO sea que la implicación es falsa F sólo cuando el antecedente es verdadero V y el consecuente falsa F.

Ejemplo:a) Analizar la inferencia (p q) ( r s) (q s) (p r)

Solución(p q) ( r s) (q s) (p r) V V V V F FAnalizando la conclusión (p r)

p r F F FDe donde p es F p es V r es F r es V

Ahora analizamos cada premisap q De donde p es VV V q es V V

r s De donde r es VV V s es V entonces s es F V

q s De donde q es VV F s es F entonces q es F Vcomo se puede apreciar que q es V por una parte y q es F por otra parte, lo cual es contradicción por lo tanto la inferencia es válida.

Ahora prueba tu capacidadb) Analizar la inferencia (p q) (p r) (p p) (p r)

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CIRCUITOS LÓGICOS

A un ensamblaje de interruptores automáticos que permiten el paso de la corriente eléctrica o la interrumpen se denomina circuitos eléctricos.A un interruptor se puede representar por medio de una proposición p y viceversa, de tal manera que el valor de verdad de la proposición p se identifique con el “paso de la corriente” en este caso se dice que el “circuito está cerrado” y cuando el valor es “falso” con la interrupción de la corriente es este caso se dice que el circuito está abierto.

p p Circuito cerrado Circuito abierto (pasa corriente V) (no pasa corriente F)

OBSERVACIÓN: Para diseñar los circuitos eléctricos, se usa la siguiente notación.El 1 indica “paso de corriente”El 0 indica “no pasa corriente”Luego en circuitos eléctricos se usan como notación.“El 1 en lugar de V”.“El 0 en lugar de F”.En el diseño de esquemas de circuitos eléctricos para representar a proposiciones compuestas y viceversa consideramos dos clases de instalaciones, en serie y en paralelo.

1. DISEÑO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN SERIE:

Consideremos dos interruptores p y q conectaos en serie. p q Pasa corriente

Se observa que este circuito admite paso de corriente cuando estos dos interruptores p y q están cerrados, en cualquier otro caso no hay paso de corriente, es decir esta situación corresponde a la tabla de verdad de la conjunción p y q.

p q

p q p q1100

1010

1000

En la tabla de verdad se observa que basta que uno de los interruptores esté abierto “O” para que no circule la corriente en todo el circuito.

p qp : 1q : 0

A la expresión p q se le llama la “Función boleana del circuito en serie”.

2. DISEÑOS DE CIRCUITOS EN PARALELOConsideremos dos interruptores p y q instalados en paralelo.

p

q pasa corriente

Se observa en el circuito para que circule corriente es suficiente que alguno de los interruptores o ambos p o q esté cerrado “1” y no hay paso de corriente si ambos interruptores están abiertos (ambos con el valor “0”)Este circuito corresponde a la tabla de verdad de la disyunción p q, es decir:

p q p q1100

1010

1110

A la expresión p q se denomina la función Booleana del circuito en pararlelo.

p

q no pasa corriente

NOTACIÓN: A un interruptor p representaremos simplemente como

Ejemplo:

p q p q

p

p q

q

OBSERVACIÓN: A una tautología se representa mediante un circuito siempre cerrado (donde la corriente siempre está circulando). En las computadoras no son de unidad.

Ejemplos:

Construir el circuito lógico de las funciones Booleanas.a) p q

p

q

p q p q (paralelo)

b) Describir simbólicamente el circuito r p q

q r

Solución:

r

en paralelo r q q

r

p en serie p (r q) q

r p q

q r

p ( r q) ( q r)

Ahora prueba tu capacidadc) Determinar el circuito lógico que representa el esquema molecular.

p (q r)

¡Hazlo Tú!

1. Analizar los siguientes enunciados:a) 4 + 8 = 12 b) ¿Eres estudiante de Matemática?c) 8 < 5 d) ¡Arriba Perú!e) x+ 3 = 11f) x es abogadog) 8 – 3 5 h) Manuel es Administrador o Manuel es Contador i) x+ y 6

Determinar:I) Cuáles son proposiciones.II) Cuáles son enunciados abiertosIII) Cuáles no son proposiciones ni enunciados abiertosIV)El valor de verdad de las proposiciones.

2. Si:p: “José es médico”, q: “José es dentista” y r: “Fidel es ingeniero”. I) Escribir cada una de las siguientes proporciones en forma simbólica

a) José es médico y Fidel es ingenierob) Si José es médico o Fidel es ingeniero, entonces José es dentista.c) José no es médico; pero Fidel no es ingeniero.d) Si Fidel es ingeniero y José no es dentista, entonces José es médico.

II) Escribir en forma de oración el significado de las siguientes proposicionesa) p qb) (p q ) rc) p qd) r ( p q )

3. Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proporciones:a) Sí 5 + 4 = 11, entonces 6 + 6 = 12b) No es verdad que 3 + 3 = 7 sí y sólo si 5 + 5 = 12c) Lima está en Chile o La Paz está en Ecuadord) No es verdad que 2 + 2 = 5 o que 3+ 1 = 4

4. Hallas las tablas de verdad de las siguientes proposiciones:a) p ( p q )b) ( p q ) ( q p ) c) p ( q r ) ( p r ) q d) ( p q ) pe) ( p q ) ( q r ) ( r p )

5. Cuáles de las siguientes estructuras son tautológicas:a) ( p q ) p qb) ( p q ) p q

c) ( p q ) ( q r ) ( p r )6. Determinar si las proporciones p ( r q ) y ( q p ) ( r p ) son

equivalentes7. Simplificar la proposición compuesta:

( q p ) ( p q ) ( p q ) ( p q ) 8. Simplificar la expresión

p ( q p ) q9. Encuentre los valores de verdad de p, q, r y s.

a) si ( p⇒ r )∧( p∧q ) es verdad.

b) si ( p⇒ q )∨(¬ r⇒ s ) es falsa.

10. Represente y simplifique el siguiente circuito:

p q p

q p

BIBLIOGRAFÍA.

1. Hoffman, L.D.; Bradley, G.L.: Cálculo aplicado a la Administración, Economía y Ciencias Sociales. Editorial: McGraw-Hill, 2006.

2. Sydsaeter, K.; Hammond, P.J.: Matemáticas para el análisis económico. Editorial: Prentice Hall, Madrid, 1996.

3. Arya, J.; Lardner, R.: Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. Editorial: Pearson Educación, Prentice-Hall, Mexico, 2002.

4. Haeussler, E.; Paul, R.: Matemáticas para la administración y economía. Editorial: Prentice Hall, 2003.

5. Calvo, M.; Escribano,..: Problemas resueltos de matemáticas aplicadas a la economía y la empresa. Editorial: Thomson-AC, 2003.

6. Cámara, A.; Garrido, R; Tolmos, P.: Problemas de matemáticas para economía y empresa. Editorial: AC, 2003.

7. Muñoz, A.; Santos, J.; Fabian, G.: Problemas de matemáticas para economía, administración y dirección de empresas. Editorial: Ediciones Académicas S.A., 2003.

UNIDAD N° 02

TEORÍA DE CONJUNTOS

COMPETENCIA DE LA UNIDAD

¿Qué? Al término de la unidad se espera que el alumno represente conjuntos en sus formas: gráfica y algebraica utilizando adecuadamente las propiedades y leyes del algebra de conjuntos.

¿Para qué? Para formular, simplificar e interpretar los resultados de problemas reales, en forma grafica y analítica.

¿Porqué? ya que esto le permitirá utilizar tales instrumentos en todas las ramas de las matemáticas.

¿Cómo? Como una base para el análisis de situaciones reales de interés práctico para el estudiante.

CONJUNTOS

NOCION DE CONJUNTO

Relación de pertenencia

Cardinal de un conjunto

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

Comprensión Extensión

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Números naturales

Números enteros

Números racionales Números iracionales Números complejos

CLASES DE CUNJUNTOS

Finito Infinito

CONJUNTOS ESPECIALES

Vacío

Unitario

Universal

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Unión

Intersección Diferencia de conjuntos Diferencia simétrica Complemento de conjunto Conjunto potencia

se define

y

y

por

conocen

sonr

realizan

realizan realizan realizan realizanrealizan

del tipo

MAPA CONCEPTUAL

TEORÍA DE CONJUNTOS

INTRODUCCIÓN

Rama de la matemática a las que el matemático Georg Ferdinand Ludwing Philipp Cantor es el padre de la Teoría de Conjuntos, dio su primer tratamiento formal en 1870. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito.

En el año 1874, apareció el primer trabajo revolucionario de Cantor sobre la Teoría de conjuntos.

Lectura:

Rama de las matemáticas a la que el matemático alemán Georg Cantor dio su primer tratamiento formal en el Siglo XIX. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el de infinito.

Cantor empezó a trabajar en series trigonométricas y aquí aparecen las primeras ideas sobre teoría de conjuntos. En 1874 publicó un artículo en la revista de Crelle que marca el nacimiento de la teoría de conjuntos. En este artículo Cantor consideraba dos clases diferentes de infinitos (hasta entonces se consideraba que todos los infinitos tenían el mismo tamaño) los que se podían poner en correspondencia uno a uno con los números naturales (los que se podían numerar) y los que no se podía.

Cantor demostró que los números reales algebraicos se podían poner en correspondencia uno a uno con los números naturales pero que esto no se podía hacer con los números reales (que incluyen, además de los reales algebraicos los transcendentes).

En 1878 Cantor envió otro artículo a la revista pero la Teoría de conjuntos era una materia muy discutida, especialmente por Kronecker, que pertenecía al equipo editor de la revista. Intentaron que Cantor retirase el artículo pero Dedekind convenció a Cantor para que no lo hiciese y Weierstrass respaldó la publicación. El artículo fue publicado pero Cantor no volvió a enviar más artículos a la revista de Crelle. En este artículo Cantor introduce la idea de equivalencia de conjuntos.

En 1897 se publica la primera PARADOJA DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS (el ordinal del conjunto de todos los ordinales debe ser un ordinal y esto es una contradicción). En 1899 Cantor descubre otra paradoja (¿Cual es el cardinal del conjunto de todos los conjuntos?). La última paradoja fue encontrada por Russell y Zermelo en 1902 (Si A = {X/X no es miembro de X}, ¿A es elemento de A?) La paradoja de Russell minaba el

edificio de las matemáticas. Russell junto con Whitehead intentó fundamentar las matemáticas en la lógica en Principia Mathematica. Este trabajo tuvo una gran influencia en las matemáticas.

A pesar de las paradojas, la Teoría de Conjuntos empezó a influir en otras áreas de las matemáticas. Lebesgue la utilizó en su integral.

NOCION DE CONJUNTO1. DEFINICIÓN:

Se entiende por conjunto a toda agrupación, colección o reunión de objetos de cualquier especie siempre que exista un criterio preciso que nos permita que un objeto pertenece o no a dicha agrupación. Los elementos que “pertenecen a un conjunto” se les llama elementos del conjunto. Ejemplo: El conjunto de los días de la semana.

2. NOTACIÓN DE UN CONJUNTOPor convención un conjunto es denotado con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas, números u otros símbolos, separados por punto y coma, además de agruparse a todas ellos mediante llaves.Ejemplo.A = Lunes; Martes; Miércoles; Jueves; Viernes; Sábado; Domingo B = Jorge; Alberto; Manuel; Henry; Néstor

3. RELACION DE PERTENENCIA ()Se establece esta relación sólo de “integrante” a conjunto y expresa si el integrante indica forma parte o no del conjunto considerado.

“……… pertenece a ………”: “……… no pertenece a ………”:

Ejemplos: Dado el conjunto A = 2; 5; 7; 8

Entonces 2 A 4 A 7 A

IMPORTANTE: “La pertenencia sólo se da entre elementos y conjunto”

4. CARDINAL DE UN CONJUNTOEs el número de elementos diferentes que posee el conjunto considerado cuando se trata de elementos abstractos, para objetos concretos se toman en cuenta a todos.

NOTACIÓN:n(A) : número de elementos diferentes de A.

A = a; e; i; o; u n(A) = 5

5. DIAGRAMAS DE VENN – EULERPara facilitar nuestra comprensión intuitiva de los conjuntos, los representaremos gráficamente mediante los llamados “Diagramas de VENN”, estos diagramas son curvas cerradas de la forma:

A A AEn el interior de éstas curvas cerradas, representaremos mediante puntos a los elementos del conjunto.

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

Un conjunto está determinado cuando se sabe con precisión que elementos pertenecen al conjunto y que elementos no pertenecen al conjunto, existen dos formas principales para determinar conjuntos.

Por extensiónDefinición de un conjunto

Por comprensión

1. POR EXTENSIÓN ( O EN FORMA TABULAR)Cuando sus elementos están indicados explícitamente, es decir, se mencionan en forma completa los elementos del conjunto.Ejemplo: A = 7; 8 ; 9; 10; 11 , se lee: “A” es el conjunto cuyos elementos son: 7; 8; 9; 10;

11.

2. POR COMPRENSIÓN ( O EN FORMA CONSTRUCTIVA)Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, de tal manera que cada objeto que goza de la propiedad pertenece al conjunto y todo elemento del conjunto goza de la propiedad mencionada.ESQUEMA:

Slatch (se lee “tal que”)

A= / ………………….. regla de restricción correspondencia y/o característica o forma general (propiedad común) del elemento.

Ejemplos:A = x/x es una letra de la palabra aroma B = x/x es un número impar menor que 10

Vamos a mostrar un cuadro comparativo de determinación de conjuntos

Por extensión Por comprensiónA = { a, e, i, o, u } A = { x/x es una vocal }B = { 0, 2, 4, 6, 8 } B = { x/x es un número par menor que 10 }C = { c, o, n, j, u, t, s } C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }D = { 1, 3, 5, 7, 9 } D = { x/x es un número impar menor que 10 }E = { b, c, d, f, g, h, j, . . . } E = { x/x es una consonante }

Ahora prueba tu capacidadEscriba los conjuntos por extensióna. A = x/x es un dígito en el número 352,646

……………………………………………………..……………………………………………………...

b. P = x/x es una letra de la palabra HIPPOPOTAMUS ………………………………………………………………………………………………………………

c. D = x /2 – x = x; x entero ………………………………………………………………………………………………………………

Determinar por comprensión cada uno de los siguientes conjuntos:d. A = 1; 2; 3; 4

………………………………………………………e. B = a; e; i; o; u

………………………………………………………f. C = 2; 4; 6; 8; 10

………………………………………………………

g. D = 1; 4; 9; 16 ………………………………………………………

h. E = 1; 8; 27 ………………………………………………………

CONJUNTOS NUMERICOS

Tenemos los siguientes:

1. CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES: NN = 1; 2; 3; 4; …………..

2. CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS: ZZ = ………….. -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …………..

3. CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES: Q

Q =

ab / a Z ; b Z y b 0

4. CONJUNTO DE LOS NUMEROS IRRACIONALES: II = x / x tiene representación decimal infinita no periódica

Ejemplos:√2 = 1,4142136……..

5. CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES: REs la unión de los conjuntos racionales e irracionales, es un conjunto universal referencial para los conjuntos.

R = x / x es racional o x es irracional

6. CONJUNTO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

C = a + bi / a R b R, i =

OBSERVACIÓN:El conjunto de los números reales, es la reunión de los números naturales, enteros, racionales e irracionales, es decir:

R = N Z Q I

A los números reales se representa mediante una recta que se denomina recta real.

CLASES DE CONJUNTOS

Los conjuntos se clasifican teniendo en cuenta la cantidad de elementos diferentes que poseen, según esto tenemos:1. FINITO

Si posee una cantidad limitada de elementos, es decir el proceso de contar sus diferentes elementos termina en algún momento.EjemploA = x/x es una vocal

2. INFINITO

Si posee una cantidad ilimitada de elementos, es decir el proceso de contar sus diferentes elementos no termina nunca.EjemploA = x Z / x es impar

RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

1. INCLUSIÓN DE CONJUNTOS (SUB CONJUNTOS ) ( )Se dice que un conjunto está incluido en un segundo conjunto, cuando todos los elementos del primero forman parte del segundo conjunto. : “incluido o contenido”

REPRESENTACIÓN

A B x A : x A x B GRAFICAMENTE

A B A B A B

¡IMPORTANTE! La inclusión sólo se da entre conjunto y conjunto.

Ahora prueba tu capacidadDado el conjunto:A = a; b; a; b; ; c Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:a A ( ) A ( )c A ( ) A ( ) A ( ) b A ( ) A ( ) a; b; c A ( )a; b A ( ) a; b A ( )

2. IGUALDAD DE CONJUNTOSSe dice que dos conjuntos son iguales cuando ambos poseen los mismos elementos.

REPRESENTACIÓN:

A = B A B B A

A

B A BA B

3. CONJUNTOS DISJUNTOS Dos conjuntos son disjuntos; o se excluyen mutuamente, cuando no tienen elementos comunes.

Ejemplos

Conjuntos disjuntos       Conjuntos no disjuntos         A = { 2, 4, 6 }     M = { o, p, q, r, s }

B = { 1, 3, 5 }     N = { s, t, v, u }

A y B son disjuntos.     M y N no son disjuntos.

C = {x/x es una letra del alfabeto} P = {x/x es una letra de la palabra aritmética}

D = { x/x es un número }     Q = { x/x es una letra de la palabra algebra }

C y D son disjuntos       P y Q no son disjuntos

Ahora prueba tu capacidadSi los conjuntos “A” y “B” son iguales:

A = 3a +5; 7 y B ={b3−2;5}

Calcular b-a:

……………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………..

CONJUNTOS ESPECIALES

1. CONJUNTO VACIO ( )Llamado también conjunto nulo, es aquel conjunto que carece de elementos. Convencionalmente se le considera incluido en cualquier otro conjunto. Si A es vacío.

NOTACIÓN: A = A =

Ejemplo:A = { Los perros que vuelan } A = { } A = ØB = { x / x es un mes que tiene 53 días} B = { } B = ØC = { x / x3 = 8 y x es impar } C = { } C = ØD = { x / x es un día de 90 horas } D = { } D = Ø

2. CONJUNTO UNITARIOLlamado también SINGLETON, es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplos

A = { 5 }

B = {números pares entre 6 y 10} = { 8 }

C = {la capital del Perú } = { Lima }

D = {x / 2x = 6} = {3}

3. CONJUNTO UNIVERSALEs un conjunto referencial que sirve para el estudio de una situación particular. Por ejemplo, si nos interese estudiar a los estudiantes de las diferentes universidades, entonces el conjunto de universitarios será el conjunto universal. Se representa por “U”.Los conjuntos más importantes en matemática son los conjuntos numéricos: R, N, Z, Q, I, C en ese orden.

Ejemplo

Sean los conjuntos:

A = { aves } B = { peces } C = { conejos } D = { monos }Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. EsU = {animales}Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.

Sean los conjuntos:

E = { mujeres }     F = { hombres }Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos E y F. EsU = {seres humanos}Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. UNION ( )A la unión de los conjuntos A y B denotaremos por: A B y se lee “A unión B”.

NOTACIÓN:A B = x / x A x B

= se lee “o”Si A B A B = B

GRAFICAMENTE: “A B”

A B

Ejemplo

Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a) A U C   b) B U C     c) A U B

PROPIEDADES1. A B = B A2. A A = A3. A (B C) = (A B ) C4. A = A5. A U = U6. A ( A C ) = A7. (A B ) C A C y B C8. Si: A B y C D (AC)(BD)

a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 }

  A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 8 }

  Representación gráfica de la unión de conjuntos A y C

b) B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }

    B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }

 

    Representación gráfica de la unión de conjuntos B y C

c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 0, 2, 4 }

    A U B = { , 1, , 3, , 5 }

 

    Representación gráfica de la unión de conjuntos A y B

2. INTERSECCIÓN ( )La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto formados por elementos que pertenecen a “A” y “B” a la vez.NOTACIÓN:

A B = x / x A x B

= se lee “y”

GRAFICAMENTE A B

Ejemplo

Dados los conjuntos: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 5, 7} y C = {2, 4}, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a) A ¿ C   b) B ¿ C           c) A ¿ B

a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }

    A C = { , }

 

    Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y C

b) B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }

    B C = { }

 

PROPIEDADES1. A B = B A2. A A = A3. A (B C) = (A B ) C4. A = 5. A U = A6. A ( B C ) = (AB) (AC)7. A ( B C ) = (AB) (AC)8. A ( A B ) = A9. A ( A B ) = A10. (A B ) C A C y B C

    Representación gráfica de la intersección de conjuntos B y C

c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 3, 5, 7 }

    A B = { , }

 

    Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y B

3. DIFERENCIA DE CONJUNTOS ( - )El conjunto diferencia (A – B) en ese orden es aquel que está formado únicamente por los elementos exclusivos de A, es decir no deben pertenecer a B.

NOTACIÓN:

A – B = x U / x A x B

GRAFICAMENTE: “ A – B”

Ejemplo

Dados los conjuntos: A = {a, b, c, d, e}, B = {a, e} y C = {d, f, g}, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a) A - C       b) B - C       c) A - B

a) A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g }

PROPIEDADES1. (A – B) A2. A – B = (A B) – B = A – (A B)3. B ( A – B ) = 4. A - = A5. A – A’ = A6. (AB) – C = (A-C) (B-C)7. (AB) – C = (A-C) (B-C)

    A - C = { a, b, c, e }

 

    Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y C

b) B = { a, e } y C = { d, f, g }

    B - C = { a, e }

 

    Representación gráfica de la diferencia de conjuntos B y C

c) A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e }

    A - B = { b, c, d }

 

    Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y B

4. DIFERENCIA SIMETRICA ( )La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A ó B peor no a ambos.

NOTACIÓN:A B = x U / x ( A B) x ( A B ) =

(A – B ) ( B – A ) = (A B ) – ( A B )

GRAFICAMENTE: “A B”PROPIEDADES

1. A A = 2. A = A3. (A B ) C = A ( B C)4. (A B ) C = (A C) (B C) = 5. (AB)(BC) = (ABC) – (ABC)

Ac

5. COMPLEMENTO DE A ( AC; A ; A’)El complemento de A es el conjunto formado por elementos que pertenecen al conjunto universal (U), pero no al conjunto A.NOTACIÓN:

AC = x / x U x A = U – A

GRAFICAMENTE: “AC” U

A

Ejemplo

a) Sean U = {m, a, r, t, e}   y   A = {t, e}  Su complemento de A es:       A' = {m, a, r} En forma gráfica: 

           b) Sean U = {letras de la palabra aritmética}   y  B = {vocales de la palabra vida}  Determinado por extensión tenemos          U = {a, r, i, t, m, e, c}   B = {i, a}  Su complemento de B es:   B' = {r, t, m, e, c} En forma gráfica:                

PROPIEDADES1. A A = 2. A = A3. (A B ) C = A ( B C)4. (A B ) C = (A C) (B C) = 5. (AB)(BC) = (ABC) – (ABC)

PROPIEDADES1. A – B = A B’2. (A B)’ = A’ B’; (A B)’ = A’B’3. U’ = 4. ’ = U5. A A’ = U6. (A’)’ = A7. (A B)’ = B’ A’

     

6. CONJUNTO POTENCIA (O CONJUNTO DE PARTES DE UN CONJUNTO)Dado en conjunto A, llamaremos conjunto potencia de A al conjunto formado por todos los subconjuntos de A incluyendo al conjunto vacío .

NOTACIÓN: P(A) = x / x A

OBSERVACIÓN: Para todo conjunto A valen A y A A, luego y A son subconjuntos de A, osea que son elementos de P(A) por lo tanto, para cualquier conjunto A se verifica P(A), A P(A).

EN GENERAL:Número de subconjuntos de A = 2n(A)

Número se subconjuntos propios de A = 2n(A) -1

SUBCOJUNTO PROPIOSi el conjunto A es subconjunto del conjunto B, y por lo menos un elemento de B no pertenece a A, entonces se dice que A es subconjunto propio de B.

B

Subconjunto propio de B

Ejemplos

a) M = { 1, 2 } El conjunto M tiene 2 elementos  P(M) = {{1}, {2}, {1, 2}, ø} entonces n(P(M)) = 4 elementos       

b) M = { 1, 2, 3 } El conjunto M tiene 3 elementos  P(M) = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ø}  

A

entonces n(P(M)) = 8 elementos       

Si un conjunto M es finito con "n" elementos, entonces su conjunto potencia P(M)) tendrá 2n elementos.

Ahora prueba tu capacidadDados los conjuntos A = a; e; d B = e; f; g y C = l; e j; k . Hallar A (B C)…………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………..

En los ejercicios, oscurezca la parte de la figura anexa que represente a cada conjunto.

a) A B’b) A’ Bc) A’ B’d) (A B)’

Sea U = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 el universo, A = 1,2,3,4,5 y B = 2,4,6,8,10Determinar los siguientes conjuntos:a) A B ………………………………………………………………….

………………………………………………………………….b) A B ………………………………………………………………….

………………………………………………………………….………………………………………………………………….

c) A – B ………………………………………………………………….………………………………………………………………….

d) B – A ………………………………………………………………….………………………………………………………………….

e) A’ ………………………………………………………………….………………………………………………………………….

f) B’ ………………………………………………………………….………………………………………………………………….

U

A B

g) (A B)’ ………………………………………………………………….………………………………………………………………….

h) A’ B’ ………………………………………………………………….………………………………………………………………….

PROPIEDADES DEL NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO

Si “A” y “B” son dos conjuntos finitos se cumple:1. n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A B)2. n(A – B) = n(A) – n(A B)3. Si A B = , entonces n(A U B) = n(A) + n(B)4. Para tres conjuntos “A”, “B” y “C” cualesquiera: n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) –

n(A B) – n(B C) – n(A C) + n(A B C)

Ahora prueba tu capacidadSea A un conjunto tal que n(A) = 3p + q, B es un conjunto tal que n(B) = 2q + 3, y los dos tienen elementos comunes n (AB) = p + q – 4 ¿Cuántos elementos tiene AB?……………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………….

¡Hazlo Tú!

1. Sea ℵ el conjunto de los números naturales. Y consideremos a U={x|x∈ℵ∧x<50 } como el conjunto universal. DadosA={x|x=2 n−1∧n∈ N∧x>17 }B= {x|x=2n∧n∈ N∧x<38 }C={x|x=5 n∧n∈ N }D= {x|x=10 n∧n∈ N }a) Define por extensión cada uno de los conjuntos siguientes:

( A∪C )∩BB∩A∩D

(BC∩A )−CA−(B∩CC)

b) Determina si cada una de las proposiciones siguientes es falsa o verdadera:

2∈ AD⊂CD⊂ ( A∩C )8∉Bn [ ( A∪C )∩B ]=3( A∪C )C=AC∩CC

c) Encuentra n (C×D )2. Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}

Hallar a). A U Bb).A U Cc). B U Cd).B U B

3. Describe por comprensión cada uno de los conjuntos siguientes:{−3 ,−1,1,3,5,7,9 }{24 , 32 , 40 ,…, 88 }

4. Identifica las regiones que comprende cada uno de los conjuntos siguientes en un diagrama de Venn adecuado:AC∪BAC∩BC

( A∪C )−B[ ( A∪B )∪(B∩C )∪(C∩A ) ]−( A∩B∩C )CC−( AC∩B )B∩( A∪CC )

5. Dado el conjunto A = {6,2,8,4,3} encontrar todos los subconjuntos de A que se puedan construir con sus elementos, es decir el conjunto potencia.

6. Obtener la diferencia A - B si A = {c, o, r, a, z, n} y B = {h, i, p, e, r, t, n, s, o}7. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos?     a) A = {x I x es día de la semana}  b) B = {vocales de la palabra conjunto}  c) C = {1, 3, 5, 7, 9, . . . . .}   d) D = {x / x es un número par}

e) E = {x / x < 15}8. Si “n” significa el número de elementos, siendo A y B dos conjuntos tales que: n (A¿

B) = 30, n(A – B) = 12 y n(B – A) = 8. Hallar 5n(A) – 4n(B)9. En el hotel Sheraton hay 35 personas, 16 compran en el mercado, 15 en la bodega y 18

en el supermercado, 5 en los dos últimos sitios, 6 en los dos primeros y 7 en el primero y ultimo. ¿Cuántos compraron solo en la bodega?

10. Dado los conjuntos unitarios: A ={(x + y), 8}; B ={(x + z), 12}; C = {{y + z), 10}. Hallar x + y – z

11. De 64 estudiantes se observó: Estudian solo inglés el triple de los que estudian ambos cursos. Estudian solo francés la mitad de los que estudian inglés, 4 no estudian idioma alguno. ¿Cuántos estudian inglés solo?

12. En una encuesta aplicada a 1000 empleados de un centro comercial sobre el tipo de transporte que utilizan para ir de sus casas al trabajo se obtuvo la siguiente información:431 empleados utilizan metro.396 empleados utilizan autobús.101 empleados utilizan metro y trolebús, pero no autobús.176 empleados no utilizan ninguno de los tres medios considerados.341 utilizan trolebús.634 utilizan metro o trolebús.201 utilizan sólo metro.¿Cuántos empleados utilizan metro o trolebús, pero no autobús?¿Cuántos empleados utilizan sólo uno de los tres medios de transporte mencionados?¿Cuántos empleados utilizan sólo trolebús?¿Cuántos empleados utilizan metro, trolebús y autobús?

BIBLIOGRAFÍA.

1. Haeussler, E.; Paul, R.: Matemáticas para la administración y economía. Editorial: Prentice Hall, 2003.

2. Sydsaeter, K.; Hammond, P.J.: Matemáticas para el análisis económico. Editorial: Prentice Hall, Madrid, 1996.

3. Arya, J.; Lardner, R.: Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. Editorial: Pearson Educación, Prentice-Hall, Mexico, 2002.

4. Hoffman, L.D.; Bradley, G.L.: Cálculo aplicado a la Administración, Economía y Ciencias Sociales. Editorial: McGraw-Hill, 2006.

5. Calvo, M.; Escribano,..: Problemas resueltos de matemáticas aplicadas a la economía y la empresa. Editorial: Thomson-AC, 2003.

6. Cámara, A.; Garrido, R; Tolmos, P.: Problemas de matemáticas para economía y empresa. Editorial: AC, 2003.

7. Muñoz, A.; Santos, J.; Fabian, G.: Problemas de matemáticas para economía, administración y dirección de empresas. Editorial: Ediciones Académicas S.A., 2003.

UNIDAD N° 03

NÚMEROS REALES

COMPETENCIA DE LA UNIDAD

¿Qué? Al término de la unidad se espera que el alumno domine los métodos operacionales y procedimientos básicos que se estudian en los números reales, ecuaciones e inecuaciones.

¿Para qué? Para formular, simplificar, resolver e interpretar los resultados de problemas típicos, en forma gráfica y analítica,

¿Porqué? ya que esto le permitirá utilizar tales instrumentos reflejando como consecuencia inmediata la importancia de su estudio

¿Cómo? Como una base para el análisis cuantitativo de situaciones simples y complejas de interés práctico para el estudiante.

MAPA CONCEPTUAL

NUMEROS REALES

INTRODUCIÓN

Historia de las ecuaciones lineales. La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación   ax + b = c   han pasado más de 3.000 años. Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C- y el de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma: x + ax = b x + ax + bx = 0 donde a, b y c eran números conocidos y   x   la incógnita que ellos denominaban aha o montón.Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhid responde al problema siguiente:

"Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24".En notación moderna, la ecuación sería:    x + 1 / 7 x = 24 La solución la obtenían por un método que hoy conocemos con el nombre de "método de la falsa posición" o "regula falsi". Consiste en tomar un valor concreto para la incógnita, probamos con él y si se verifica la igualdad ya tenemos la solución, si no, mediante cálculos obtendremos la solución exacta.Supongamos que fuera   7   la solución, al sustituir en la x nos daría:   7 + 1/7 · 7 = 8 , y como nuestra solución es 24 , es decir, 8·3 , la solución es 21 = 3 · 7 , ya que 3 · (7 + 1/7 - 7) = 24.Generalmente, el cálculo de la solución correcta no era tan fácil como en este caso e implicaba numerosas operaciones con fracciones unitarias (fracciones con numerador la unidad), cuyo uso dominaban los egipcios. En cuanto el simbolismo, solamente en algunas ocasiones utilizaban el dibujo de un par de piernas andando en dirección de la escritura o invertidas, para representar la suma y resta, respectivamente.Los babilonios (el mayor número de documentos corresponde al periodo 600 aC. a 300 dC.) casi no le prestaron atención a las ecuaciones lineales, quizás por considerarlas demasiado

elementales, y trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado.Entre las pocas que aparecen, tenemos la ecuación 5x = 8 . En las tablas en base sexagesimal hallaban el recíproco de cinco que era 12/60 y en la tabla de multiplicar por 8 , encontramos 8 · 12/60 = 1 36/60 .Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a Diophante (250 d. de C.), no se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupación era como hemos visto, mayor por la geometría. Sobre la vida de Diophante aparece en los siglos V o VI un epigrama algebraico que constituye una ecuación lineal y dice:

   " Transeúnte, ésta es la tumba de Diophante: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su juventud ocupó su sexta parte, después durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer vello. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole durante cuatro años. De todo esto, deduce su edad. "

Los primeros documentos matemáticos que existen (datan del siglo III d. de C.) son los Sulvasütras, donde se recogen todos los conocimientos necesarios para construir los templos. En éstos aparece el siguiente problema:

   " Hallar el lado de un rectángulo, conociendo el otro lado y sabiendo que su área es igual al área de un cuadrado dado. "

Esto es:

es decir, a x = S .Lo resolvían utilizando el método de la falsa posición, como los egipcios.Posteriormente, Brahmagupta (siglo VII) expresa, ya de forma sincopada, cómo resolver ecuaciones lineales. La incógnita la representaba por la abreviatura ya , y las operaciones con la primera sílaba de las palabras.Dada la ecuación   ax + b = cx + d   , la solución vendrá dada dividiendo la diferencia de los términos conocidos entre la diferencia de los coeficientes de los desconocidos, esto es,

Estos métodos pasaron a los árabes que los extendieron por Europa. Al algebrista Abu-Kamil (siglo IX y X) se le atribuye una obra donde trata la solución de ecuaciones lineales por simple y doble falsa posición.El método de la doble falsa posición es el siguiente:Sea la ecuación   ax + b = 0   y supongamos dos valores para la x :      x = m       am + b = p       x = n        an + b = q restando,      a (m - n) = p - q

Por otra parte, eliminando a en (1)       amn + bn = pn      amn + bm = qm que restando,    b (n - m) = pn - qm y dividiendo ambos resultados,   - a / b = (p - q) / (pn - qm) o también      - b / a = (pn - qm) / (p - q) siendo esto último el valor de   x  . Veamos un ejemplo. Sea la ecuación   5x - 10 = 0   , si tomamos como valor de x : x = 3 y x = 4 , y sustituyendo,       5 · 4 - 10 = p

5 · 3 - 10 = q se tiene que       x = (10 · 3 - 5 · 4) / (10 - 5) = (30 - 20) / 5 = 10 / 5 = 2 Este principio fue posteriormente presentado en una forma ligeramente modificada por el método de las escalas. El nombre proviene de un diagrama que permitía escribir la solución rápidamente:

Las dos líneas de la izquierda representan p y q y las de la derecha m y n y la cruz del centro indica que hay que multiplicar. El método puede ser sintetizado como sigue:1. Consideran dos valores cualesquiera de la incógnita m, n . 2. Calculan los errores correspondientes a ellos p, q .3. Hallan el valor de la incógnita en función de los valores dados y sus errores. En nuestro ejemplo,

A partir de aquí se dedican al estudio de ecuaciones de grado superior.

Historia de los sistemas de ecuaciones lineales.Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen , sin que tuvieran relación con problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos:

4 anchura + longitud = 7 manos       longitud + anchura = 10 manos Para resolverlo comienzan asignando el valor   5   a una mano y observaban que la solución podía ser: anchura = 20, longitud = 30 . Para comprobarlo utilizaban un método parecido

al de eliminación. En nuestra notación, sería: restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 18 , es decir, x = 6 e y = 4 . También resolvían sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática. Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de   n   ecuaciones con   n   incógnitas.

Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal. Diophante sólo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Utilizó ya un álgebra sincopada como hemos señalado anteriormente. Sin embargo, unas de las dificultades que encontramos en la resolución de ecuaciones por Diophante es que carece de un método general y utiliza en cada problema métodos a veces excesivamente ingeniosos.Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones.El libro El arte matemático , de autor chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del método de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial.

LOS NUMEROS REALES

I. DEFINICION AXIOMATICA DE LOS NUMEROS REALES 

Se llama número reales a un conjunto no vacío R dotado de dos operaciones internas:

adición y multiplicación y una relación de orden que satisfacen los axiomas siguientes:

1) AXIOMA PARA LA ADICIÓN

A1 (a,b) a + b Clausura

A2 a + b = b + a Conmutativa

A3 a + ( b + c ) = ( a + b ) + a Asociativa

A4 a + 0 = 0 + a = a Elemento neutro aditivo

A5 a + (-a) = (-a) + a = 0 Elemento Inverso aditivo

2) AXIOMA PARA LA MULTIPLICACIÓN

M1 (a,b) a . b Clausura

M2 a . b = b . a Conmutativa

M3 a . ( b . c ) = ( a . b ) . c Asociativa

M4 a . 1 = 1 . a = a Elemento neutro multiplicativo

M5 (a 0): a . a-1 = a-1. a = 1 Elemento Inverso multiplicativo

3) AXIOMAS DISTRIBUTIVAS RESPECTO DE LA ADICIÓN

D1 a . ( b + c ) = a . b + a . c Distributiva por la izquierda

D2 (b + c).a = b.a + c.a Distributiva por la derecha

4) AXIOMAS DE ORDEN

O1 Ley de la Tricotomia

Si: a y b uno y sólo uno de los siguientes enunciados verifica:

a < b

a = b

a > b

O 2 Transitividad

Si: a < b y b < c a < c

O3 Monotonía

a < b c . a + c < b + c Consistencia aditiva

a < b y c > 0 a.c < b.c Consistencia multiplicativa

a < b y c < 0 a.c > b.c

5. AXIOMAS DE LA IGUALDAD

I1 a, b , Dicotomía

I2 a a = a Reflexividad

I3 a, b , si a = b b = a Simetría

I4 a, b, c , si a = b b = c a = c Transitividad

I5 a, b, c , si Unicidad de la adición

I6 a, b, c , si Unicidad de la multiplicación

II. DEFINICION DE LA SUSTRACCION DE NUMEROS REALES

Dado dos números a y b. Se define la diferencia de a y b, como la suma de a con el

inverso aditivo de b.

Esto es: , a, b

III. DEFINICION DE LA DIVISION DE NUMEROS REALES

Dado dos números a y b. Se define el cociente de a entre b, como el producto de a con el

inverso multiplicativo de b.

Esto es: , a, b

TEOREMAS PARA LA SUMA Y MULTIPLICACION a, b, c, además: a 0 , b 0 y c 0 se tiene que:

T1. (-0) = 0

T2. 1-1 = 1

T3. - (-a) = a

T4. (-a) . b = - (ab)

T5. a . (-b) = - (ab)

T6. (a-1)-1 = a

T7 a-1 b = (a . b-1)-1

T8 a . b-1 = (a-1 . b)-1

T9 a-1 . b-1 = (a . b)-1

T10 a + b = a + c b = c

T11 a . b = a . c b = c a 0

T12 a – (-b) = a + b

T13 a – b = 0 a = b

T14 a – (b + a) = a – b - a

T15 Si a + b = 0 a = -b y b = -a

T16 Si a.b = 1 a = b-1 y b = a-1

T17 Si a . b = 0 a = 0 b = 0

T18

a1

a2=

b1

b2 a1 . b2 = b1 . a2

T19 La ecuación a + x = b tiene única solución: x = b + (-a)

T20 La ecuación a . x = b tiene única solución: x = a-1 b

TEOREMAS DE LA RELACION DE ORDEN

T1: La relación “<” tiene las siguientes propiedades: i) No reflexiva: a , no se cumple que a < a ii) No simétrica (asimétrica): Si a < b no se cumple que a > b. iii) Transitiva: Si a > b b > c a > c

T2: i) a b (a < b) (a = b)ii) a b (a > b) (a = b)

T3: La relación “” tiene las siguientes propiedades:i) Reflexiva: a a , a ii) Antisimétrica: Si a b b a a = biii) Transitiva: Si a b b c a c

T4: a b a + c b + c

T5: i) Si a b y c es positivo, entonces: a . c b . cii) Si a b y c es negativo, entonces: a . c b . c

T6: i) Si a > 0 - a < 0 ii) Si a < 0 - a > 0iii) Si a > 0 a-1 > 0 iv) Si a < 0 a-1 < 0

T7: a . b > 0 (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0)

T8: a . b < 0 (a > 0 b < 0) (a < 0 b > 0)

T9: Sean a, b , si a<b a<

a + b2 < b. Este teorema permite afirmar que

siempre entre dos números reales distintos es posible intercalar un tercer número c,

ECUACIÓN

Ecuación es una igualdad literal que sólo es cierta para algunos valores de las letras. La

letra o letras desconocidas de una ecuación se llaman incógnitas. La incógnita de una

ecuación se puede designar con cualquier letra, pero en general se utiliza la letra x, y, z

Resolución de Ecuaciones

Resolver una ecuación es hallar sus soluciones. Las soluciones de una ecuación son los

números que al sustituir a la incógnita o incógnitas hacen cierta la igualdad.

ECUACIONES LINEALES

1. Ecuaciones de 1er Grado con una Variable

Forma: a x + b = 0, con a 0

Ejemplo: 3x - 1 =  8

3x = 9

x = 3

Ahora prueba tu capacidad

Resolver: 2x + 4 = 24

……………………………………………………………………………………………

………

……………………………………………………………………………………………

………

……………………………………………………………………………………………

………

Ejemplo: 2(7 - x) + 7x = 8 - 5(x - 1) + 8x + 4

14 - 2x + 7x = 8 - 5x + 5 + 8x + 4

-2x + 7x + 5x - 8x = 8 + 5 + 4 - 14

2x = 3

5,123x

Ahora prueba tu capacidadResolver: 3(x + 4) + 5 – 2x = 4(3 - x) + 7(x - 3)

……………………………………………………………………………………………

………

……………………………………………………………………………………………

………

……………………………………………………………………………………………

………

Ejemplo: 6)2(.71

43

xx

12

2141212

129

xx

214129 xx 9x + 12 = 14x - 28

9x - 14x = -28 – 12 -5x = -40

8540

x

Ahora prueba tu capacidad

Resolver:

……………………………………………………………………………………………

………

……………………………………………………………………………………………

………

……………………………………………………………………………………………

………

2. Ecuaciones de 1er Grado con dos o más Variables

Forma : a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1

A21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2

… … … … ..

am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bn

Para determinar la solución de estas ecuaciones usaremos los métodos de eliminación,

sustitución, comparación (2 ó 3 variables), determinantes y de Gauss Jordan (matrices)

Ejemplo: x – y = 8

x + y = 2

sumando miembro a miembro 2x = 10

x = 5

y = -3

Ahora prueba tu capacidadResolver:

x + y = 3

x – y = 9

……………………………………………………………………………………………

………

……………………………………………………………………………………………

………

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………

ECUACIONES NO LINEALES

1. Ecuaciones Cuadráticas o de 2do Grado

Forma: ax2 + bx + c = 0; a 0

Solución por el Método del Aspa simple

Para utilizar este método

Ejemplo: Factorizar Usando el Aspa Simple

x2 - 7x + 10 = 0 (x - 2)(x -5) = 0

x -5 = -5x (x - 2) = 0 ó (x - 5) = 0

x -2 = -2x x = 2 ó x = 5

-7x

Ahora prueba tu capacidadFactorizar usando el aspa simple: x2 – x – 6 = 0

………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

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Solución por el Método de Completando Cuadrados

En este método se trata de convertir la expresión en una de la forma (x ± a)2 - b = 0.

Recordar: x2 + 2(a)x + a2 = (x + a)2

x2 - 2(a)x + a2 = (x - a)2

Ejemplo: x2 - 6x - 11 = 0

(x2 - 6x ) - 11 = 0

(x2 - 2(3)x ) - 11 = 0

(x2 - 2(3)x +32) - 32 - 11 = 0

(x – 3)2 – 9 – 11 = 0

(x - 3)2 = 20

x - 3 =

x = 3

x = 3 + ó x = 3 -

Ahora prueba tu capacidadResolver completando cuadrados: x2 + 4x – 7 = 0

……………………………………………………………………………………………

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Solución por el Método de la Fórmula Cuadrática.

La ecuación de segundo grado puede tener una, dos o ninguna solución. Depende del

valor de la discriminante ( = b2 - 4ac), tal es el caso si:

> 0   Dos soluciones reales distintas.

= 0   Solución única

< 0   No hay solución  real.

Dado: ax2 + bx + c = 0

Ejemplo: Hallar las raíces de la ecuación 2x2 + 3x -4 = 0

Aplicando la fórmula cuadrática tenemos:

ó

Ahora prueba tu capacidadResolver completando cuadrados: 3x2 + 11x + 5 = 0

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

2. Ecuaciones Polinómicas

La resolución de ecuaciones polinomiales es un tema que ha sido muy estudiado a lo

largo de los años a causa de las distintas aplicaciones, provenientes de diversas áreas de

la ciencia y de la tecnología, en las que este tipo de ecuaciones aparecen.

El objetivo de este Tema  es que el alumno aprenda a trabajar los Polinomios y obtener

sus Ceros Racionales, Irracionales y Complejos, así como aprender a Factorizar

cualquier Polinomio expresándolo como el Producto de Factores Lineales y Cuadráticos.

Se considerará una Función Polinomial Entera de grado m que tiene la forma: 

f(x) = amxm + am-1xm-1+am-2xm-2 + …+a2x2+a1x+a0

en la cual los Coeficientes Reales  am, am-1, am-2, … a2, a1, a0  son Constantes, en donde am es

el Coeficiente Principal y a0 es el Coeficiente del término Independiente de  x.

Los términos de la función están formados en orden descendiente de las Potencias de

“x” y sé estará analizando para f(x) = 0, ya que el Cero del Polinomio f(x)  es la solución

de la ecuación entera.

Existen formulas para encontrar las soluciones de ecuaciones polinomiales de grado

igual a 3 e igual a 4 pero su solución es muy laboriosa de obtener y no es muy practica,

además en tratados superiores de álgebra también sé ha demostrado que las ecuaciones

de grado igual o mayor que 5 no tienen solución Algebraica  por este motivo se

propondrá otro Método para determinarlas.

Una forma muy útil para determinar los Ceros de un Polinomio f(x) es el Teorema del

Residuo, el cual vamos a introducir a continuación.

Si efectuamos la División Algebraica de un Polinomio: f(x) =3x3 - 4x2 -3x - 4

entre x -2 donde  es un número Independiente de  nos quedaría:

3x3 – 4x2 – 3x – 4 | x - 2                                               -3x3 + 6x2 3x2 + 2x + 1                                                         2x2 – 3x                                                        -2x2 + 4x                                                                    x – 4                                                                   -x + 2                                                                        -2

en donde el Cociente es  3x2 + 2x + 1 y el Residuo es -2

el Polinomio, entonces, se puede expresar como:

A continuación, si calculamos f(2)  en el ejemplo anterior, (si recordamos f(2) se obtiene

sustituyendo 2 por x en la Función)

Podemos observar que el valor de f(2) es igual al valor del Residuo que se obtuvo en la

División Algebraica esto podría indicar que se trata de una coincidencia sin embargo si

se efectúa el mismo procedimiento con varias divisiones de f(x)  entre distintos x - r se

podría comprobar que en todos los casos que f(r) es igual al residuo r lo cual constituye

el fundamento del Teorema del Residuo.

Teorema del Residuo: Si se Divide el Polinomio f(x) entre el Binomio x - r donde r es

un número real, el residuo es igual  a f(r) 

Teorema del Factor: “Si r es una raíz de f(x) = 0,  entonces x - r es un factor de f(x)”

Tomando como base el Teorema del Residuo, se puede establecer el enunciado de este

Teorema que nos será muy útil para determinar los Factores de un  Polinomio. Es

importante recordar que al efectuar una División Algebraica, si la División es Exacta el

Residuo es igual a Cero. Con lo anterior, se puede hacer notar la importancia de conocer

el valor del Residuo, ya que si este es igual a Cero, nos va a indicar que se tienen

Factores, y que con ellos se pueden determinar los Ceros del Polinomio.

Teorema Fundamental del Álgebra

* Toda Ecuación entera f(x) = 0, tiene por lo menos una raíz ( cero ) ya sea real ó

Compleja

* Una Ecuación entera f(x) = 0 de Grado n tiene exactamente n raíces (ceros)

En consecuencia se recomienda al estudiante que si desea encontrar las raíces de una

ecuación polinómica utilice las divisiones sucesivas o el método de Ruffini.

Ejemplo: x5 + 3x4 – 5x3 – 15x2 + 4x + 12 = 0

1 3 -5 -15 4 12

1 1 4 -1 -16 -12

1 4 -1 -16 -12 0

2 2 12 22 12

1 6 11 6 0

-1 -1 -5 -6

1 5 6 0

-2 -2 -6

1 3 0

-3 -3

1 0

por lo tanto (x – 1)(x – 2)(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 0

de donde x = 1 ó x = 2 ó x = -1 ó x = -2 ó x = -3

Ahora prueba tu capacidad

Resolver:

…………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

¡Hazlo Tú!

I. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones lineales:

1) 41 + x = 2(18 + x) 2) 2(25x - 18) = 41x

3) 18 - 2(x + 25) = x - 41 4) 2(x + 41) - 18 = x

5) 6)

7) 8)

II. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas por los métodos estudiados:

1) x2 + 8x + 6 = 0 2) 9x2 + 6x + 1 = 0

3) 5x2 - 4x + 1 = 0 4) x2 + 6x + 7 = 0

5) x2 – 10x + 5 = 0 6) 2x2 - 3x - 4 = 0

7) x2 - 9 = 0 8) 2x2 - 1 = 0

9) (x - 3)2 = -8 10) x2 - 4x = 0

11) x2 - 4x = 12 12) 12x2 - 17x + 6 = 0

13) x2 - x - 20 = 0 14) x2 - 8 = 0

15) x2 - 4x + 5 = 0 16) 9x2 + 6x = 1

III. Resuelva los siguientes problemas

1) Si dos zumos de naranja y tres cartones de leche cuestan S/. 34.00; y tres zumos

de naranja y dos cartones de leche, S/. 36.00. ¿Cuánto cuesta cada zumo y cada

cartón?

2) Javier tiene 4 años más que su hermana Elena. Hace seis años Javier tenía el doble

de edad que entonces tenía Elena. Calcula la edad actual de cada uno.

3) Un tren sale de parís hacia roma con una velocidad uniforme de 130 km/h. Dos

horas después sale otro tren detrás de él pero con una velocidad uniforme de 195

km/h. ¿A qué hora y a qué distancia de París dará alcance el segundo tren al

primero?

IV. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones1) Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución:

4x + y = -3 x + 2y = 12

y – 3x = 11 x + 5y = 38

2) Resuelve por el método de igualación los siguientes sistemas:

3x + 5y = 11 3x + 4y = 9

4x – 5y = 38 5x + 2y = 15

3) Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción:

. x + y = 3 . x – 3y = 21

x – y = 9 2x + 5y = -35

4) Un hotel tiene habitaciones sencillas y dobles. Dispone en total de 50 habitaciones

y 87 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?

5) Varios amigos están jugando a los chinos con monedas de 5 y 25 pesetas. Al abrir

las manos cuentan 8 monedas con un valor de 140 pesetas. ¿Cuántas monedas hay

de cada clase?

6) La diferencia de dos números es 1/6. El triple del mayor menos el doble del menor

es 1. Halla dichos números.

7) El cociente de una división es 3 y el resto 5. Si el divisor disminuye en dos

unidades, el cociente aumenta en una unidad y el resto nuevo es 1. Halla el

dividendo y el divisor.

8) Hay doce monedas aparentemente iguales, pero una de ellas tiene un peso

ligeramente mayor. Usando una balanza de platillos, y con sólo tres pesadas,

encontrar la moneda anómala.

9) Se dice que este problema le fue planteado a Einstein por un grupo de sus alumnos,

y que el padre de la teoría de la relatividad lo encontró realmente ingenioso.

Dos profesores pasean, charlando de sus respectivas familias.

- Por cierto- pregunta uno -, ¿de qué edad son tus tres hijas?

- El producto de sus edades es 36- contesta su colega -, y su suma, casualmente, es

igual al número de tu casa.

Tras pensar un poco, el que ha formulado la pregunta acota:

- Me falta un dato.

- Es verdad - concede el otro -.Me había olvidado de aclararte que la mayor toca el

piano.

¿Qué edades tienen las tres hijas del profesor?

10) La suma de las dos cifras de un número es 8. Si al número se le añade 18, el

número resultante está formado por las mismas cifras en orden inverso. Halla el

número primitivo.

11) En un corral hay conejos y gallinas, que hacen un total de 61 cabezas y 196 patas.

Halla el número de conejos y de gallinas.

12) Un padre dice a su hijo: “Hoy tu edad es 1/5 de la mía, y hace 7 años no era más

que 1/9”. Halla las dos edades.

DESIGUALDAD

Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de los números reales que la hacen verdadera en contraste con una ecuación, cuyo conjunto solución consta de un solo número el conjunto solución de una desigualdad consta de un intervalo completo de números o en algunos casos la unión de algunos casos la unión de varios intervalos.

3 x−17=63 x=6+173 x=23

x=233

INECUACIONES

Definición: Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnita) y que sólo se verifica para determinados valores de la incógnita o incógnitas.

INTERVALOS: Si representamos la desigualdad a < b

xa b

a < x < b (a < x x < b)

a estos subconjuntos numéricos en R que están definidos mediante la propiedad de que sus elementos satisfacen ciertas desigualdades, se les denomina intervalos. Los intervalos son sub conjuntos de los números reales que sirven para expresar la solución de las inecuaciones, estos intervalos se representan gráficamente en la recta numérica.

a) Intervalo Abierto:

b}xR/a{x b ;a a b

b) Intervalo Cerrado:

b}xR/a{x b] ;a[ a b

c) Intervalo Semi Abierto por la Izquierda:

b}xR/a{x b] ;a a b

d) Intervalo Semi Abierto por la Derecha:

b}xR/a{x b ;a[ a b

e) Intervalos Infinitos:

a}R/x{x ;a a

a}R/x{x ;a[ a

a}R/x{x a] ;-

a

R}R/x{x ;-

Resolución de una InecuaciónEl resolver una inecuación consiste en hallar un conjunto solución; es decir, encontrar el intervalo donde están los valores que puede tomar la incógnita para que verifique la inecuación.

1. Inecuaciones de Primer Grado con una IncógnitaResolver una inecuación significa hallar los valores que deben tomar las incógnitas para que se cumpla la desigualdad.

Ejemplos: Resolvera) 3 x – 2 < 1

Despejando3x – 2 < 13 x < 1 + 23 x < 3

x < 3 / 3 x < 1 C.S: x = <- , 1>

Representación gráfica:

b)

x+12

>4

Despejandox+12 > 4

x + 1 > 4 . 2x + 1 > 8 x > 8 - 1 x > 7

Solución: S = <7 , + >

Representación gráfica:

c) -2 x + 1 x – 3

Despejando - 2 x + 1 x - 3 - 2 x - x - 3 - 1 - 3 x - 4 x - 4 : (- 3)

x

43

Solución: S = [

43 , + >

Representación gráfica:

Las inecuaciones permiten resolver problemas. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Una furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro

cajones iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa furgoneta?.

En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón y planteamos la siguiente inecuación:

Peso de la furgoneta - peso de 4 cajones no es menor que 415 kg

875 - 4 . x 415

- 4 x 415 - 875- 4 x - 460

x (−1

4 )⋅(−460 )

x 115

Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata de un peso, x > 0.Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo <0, 115]. Graficamos la solución en la recta real:

Ahora prueba tu capacidadResolver: 2x-3 < = 4(x - 3)

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2. Inecuaciones de Segundo Grado con una IncógnitaForma: ax2 + bx + c > 0 ó ax2+bx+c < 0; a,b,c R; a > 0

Consideremos el trinomio de 2do grado: ax2 + bx + c = 0; a > 0

I CASO: Si: = b2 - 4ac > 0

Entonces hay dos raíces diferentes r1 < r2 que anulan el trinomio ax2 + bx + c = 0

II CASO: Si: = b2 - 4ac = 0

Entonces hay un sólo valor real r1 = r2 = r que anulan el trinomio ax2 + bx + c = 0

III CASO: Si = b2 - 4ac < 0

Entonces se tiene dos valores no reales r1 = +i r2 = -i que anulan el trinomio

ax2+bx+c=0

Ejemplo: 2x2 + 5x -3 < 0

Ahora prueba tu capacidadResolver: x2 - 8x +5 < 0

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Ejemplo: 4x2 + 20x + 24 < 0

Ahora prueba tu capacidadResolver: 2x2 + 5x -7 > 0

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3. INECUACIONES POLINOMICASForma: P(x) = anxn + ... + a1x + a0 > 0 ó P(x) = anxn + ... + a1x + a0 < 0; donde a0, a1, ... an son constantes y a 0

Una inecuación polinómica de la forma P(x) > 0 ó P(x) < 0 se resuelve de acuerdo a la naturaleza de sus raices de la ecuación polinómica P(x) = 0 consideando an > 0.

Para eso hallaremos primero las raices del polinomio P(x)=anxn+ ...+a1x+a0=0 y cómo éste polinomio es de grado n entonces tiene n raices, lo cual pueden ser reales diferentes, reales de multiplicidad y no reales.1er Caso: Cuando las raices de la ecuación polinómica P(x)=0, son reales diferentes: Es decir r1<r2<r3<...rn-1<rn

a) En los intervalos consecutivos determinados por las raices del polinomio P(x) = 0, se alternan los signos «+» y «-» reemplazando por asignar el signo (+) al intervalo <rn, +>

rnrn-1

+ +- -

+

rn-2rn-3

b) Si la ecuación polinómica es de la forma P(x) = anxn+...+a1x + a0>0; an > 0; el conjunto solución será la unión de los intervalos a los cuales se le ha asignado el signo (+).

c) Si la ecuación polinómica es de la forma P(x) = anxn+...+a1x+a0< 0; an > 0; el conjunto solución, será la unión de los intervalos a los cuales se le ha asignado el signo (-).

2do Caso: Si alguna de las raices del polinomio P(x) = 0 son reales de multiplicidad de orden mayor que 1 se tiene:

a) Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raices del polinomio P(x) = 0 es par, en este caso a la raíz no se considera para la determinación de los intervalos y para dar solución se sigue el mismo proceso del 1er caso.

b) Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raices del polinomio P(x) = 0, es impar en este caso a la raíz se considera para la determinación delos intervalos y para dar solución se sigue el mismo proceso del 1er caso.

3er Caso: Cuando alguna de las raices del polinomio P(x) = 0 no son reales, en este caso a estas raices no se consideran en la determinación de los intervalos y para dar la solución se sigue el mismo procedimiento de los casos anteriores.

4. INECUACIONES FRACCIONARIAS

Forma: ó ; Q(x) 0Para resolver una inecuación fraccionaria debe tenerse en cuanta que las inecuaciones

ó , son equivalentes a las inecuaciones: P(x).Q(x) > 0 ó P(x).Q(x) < 0

Es decir: Si Q(x) 0 Q2(x) > 0, de donde se tiene:

*

*

¡Hazlo Tú!

I. Resolver las siguientes inecuaciones lineales:

2 x - 3 < 4 - 2 x 5 + 3 x 4 - x

4 - 2 t > t - 5 x + 8 3 x + 1

5 + 3x < 11 3 - 2x 7

2(x - 1

2 ) > 3 x

a+24

≤ a−13

3 x - 12

5x - 64 3( 4 - x ) > 18 x + 5

x3

+ x2

>5 - x6

− x4

- 4 ≥ 5 x3

- 16

5x−23

- x−84

> x+142

- 2 x2

+ x+17

- x + 2 < 0

(2 - 13

x) (- 3 ) + 4 .(- 12

x + 74 ) > 0

x - √2 > 0

2x - 11 5x + 6 5x + 7 > 31 - 3x

3(2x - 1) > 4 + 5(x - 1) 5x - 7 3x + 1 6x – 11

-1 < -3 - 3x < 2 2x - 3 < 1 + x < 3x – 1

3x - 5 < 1 + x < 2x – 3 3x + 7 > 5 - 2x 13 - 6x

1,2(2x - 3) 2,3(x-1) 2(1,5x-2,1)+1,72(2,4x-2,5)

II. Resolver las siguientes inecuaciones cuadráticas:

2x2 - 6x + 3 < 0 -4x2 + 4x + 3 > 0

x2 + 2x + 1 > 0 3x2 - 8x + 11 > 4 (x-1)

x2 - x - 6 > 0 x2 + 13 < 6x

9x2 < 16 1 - 2x - 3x2 > 0

(x+2)(x-3) < 2 – x 9x > x2 + 14

2x2 + 6x - 9 < 0 4x2 + 9x + 9 < 0

-4x2 - 8 < -12x 3x2 - 10 x + 3 < 0

3x2 - 11x + 6 < 0 x2 - x > 0

x2 > 2 – x 5x2 - 14x + 9 < 0

x2 < 4 x2 - 6x + 9 > 0

9x2 + 54x > -76 4x2 - 4x + 7 > 0

x2 - 2x - 2 > 0 x(3x + 2) < (x + 2)2

III. Resolver las siguientes inecuaciones polinómicas:

x5 + 3x4 - 5x3 - 15x2 + 4x + 12 > 0 2x3 - 3x2 - 11x + 6 < 0

x4 + 2x3 - 9x2 - 2x + 8>0 x5 - 2x4 - x3 - 2x2 - 20x + 24 < 0

x4 + 2x3 - x2 + 4x - 6 < 0 x5 - 6x4 - x3+ 29x2 + 8x - 15 < 0

x5 + 8x4 + 12 x3 - x2 - 8x - 12 > 0 (x3 - 5x2 + 7x - 3)(2 - x) > 0

(x2+6x-1)(x3-2x2-2x+4)(x+5)5 > 0 (6x+3)2(x2-1)3(3x-5)7< 0

IV. Resolver las siguientes inecuaciones fraccionarias:

VALOR ABSOLUTO EN LOS REALES

Definición 1: Llamaremos valor absoluto del número real a, denotado por | a |, al número:

a si a 0 | a | = - a si a < 0

Podemos apreciar que el número “a” y su inverso aditivo “-a” están a igual distancia del cero.

Teoremas: 1. | a | 0

2. | a | = 0 a = 0

3. | a | = | -a |

4. | a .b| = | a | . | b |

5.6.7. - | a | a | a |

8. Si b > 0, | a | b -b a b

9. Si b > 0, | a | b a b a -b

10. | a + b| | a | + | b |

ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

1. Ecuaciones con valor absoluto de la forma : │ax + b│= c

Al inicio de la sesión de clase se señaló que el valor absoluto de un número real es la distancia entre ese número y el cero en la recta numérica, esto es, │a│=│-a│. Usamos este argumento para resolver ecuaciones con valor absoluto. Por ejemplo, si │x│= 3, entonces x = 3 ó x = -3. Por lo tanto, la solución de la ecuación │x│= 3 es -3 y 3. Las soluciones de una ecuación de la forma │ax + b│= c, donde a ≠ 0 y c es un número positivo, son aquellos valores que satisfacen: ax + b = c ó ax + b = -c.

Ejemplos:

1. . Solución : x = √2 o x = - √2

2. . Solución x = 2 o x= - 2.

3. . Solución: x = 0

4. . No hay solución posible. No existen valores absolutos negativos.

5. |3 x−4|=2 . Solución: 3 x−4=−2 ó 3 x−4=23 x=2 ó 3 x=6

x=23 ó x=2 .

Ahora prueba tu capacidadResolver: | 3x - 4│ = 5

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¡Hazlo Tú! Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:

1) 2) 3) 4) │x + 2│ = │x - 7│ 5) │2x + 1│ + 3 = 8 6) │3x - 1│+ 2 = 5

7) │x - 6│ = │5x + 8│ 8) │3x - 4│= 23

2. Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│< c

Son expresiones que se desarrollando aplicando las propiedades del valor absoluto. La recta numérica nos ayuda a visualizar la situación.

Ejemplos:

1. . Esta expresión es equivalente a: -5 < x < 5. O sea que el conjunto solución

es el intervalo abierto .

2. |x−3|≤6 . Esta expresión o condición es equivalente a −6≤x−3≤6 .

.

C.S. x[−3,9 ] .

3. |x|>5 . Esta expresión es equivalente a x <- 5 o x > 5. El conjunto solución es la

unión de dos intervalos disjuntos: .

4. |x−3|>6 . Esta expresión es equivalente a: x−3<−6 ó x−3>6x<−3 ó x>9 .

C.S. x

5. |3 x+1|≥2 . Esta expresión es equivalente a: 3 x+1≤−2 ó 3 x+1≥2 ¿ 3 x≤−3 ó 3 x≥1

¿ x≤−1 ó x≥1

3 .

El conjunto solución es el conjunto U .

6. |x|<−3 o |3 x+2|≤−4 ,etc. , no tienen solución o su solución es el conjunto vacío (Ø) ya que el valor absoluto de toda expresión es siempre no – negativo (no puede ser negativo).

Tenga en cuenta que los ejercicios en los que aparecen los símbolos < o > implican conjuntos solución con intervalos abiertos.Los ejercicios con ¿ o ¿ implican conjuntos solución con intervalos cerrados.Nota: Infinito, denotado por ∞ , o menos infinito denotado por -∞ , no es un número si no un concepto, por ello los intervalos siempre estarán abiertos en ∞ y -∞ .

Ahora prueba tu capacidadResolver: | 2x - 9│ > 11

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¡Hazlo Tú! Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:

1) │x│< 3 2) │x + 5│ ≤ 10 3) │3x - 2│≤ 8

4) │2(x – 1) + 4│ < 8 5) │x│≤ 5 6) │x - 6│ < 15

7) │2 + 3(x – 1)│< 20 8) │x│≥ 3 9) │x - 4│> 5

10) │2x - 3│> 5 11) │x│> 5 12) │x + 6│> 2

13) │-5x - 2│>13 14)

|7 x+16|>-6 15)

|−10 x−13|<2

16)

|5 x−11|≤ 9 17)

|12

x+8|

≤ -12 18)

¡Extensión del Aprendizaje! Resuelve cada una de los siguientes problemas:01. (Inversiones) Un hombre invierte el doble de la cantidad que destina a un 8 % al 5 %.

Su ingreso total anual por las dos inversiones es de S/ 840. ¿Cuánto invirtió a cada tasa?

02. (Inversiones) Un colegio destina $ 60 000 a un fondo a fin de obtener ingresos anuales de $ 5 000 para becas. Parte de esto se destinará a inversiones en fondos del gobierno a un 8 % y el resto a depósitos a largo plazo a un 10.5 %. ¿Cuánto deberán invertir en cada opción con objeto de obtener el ingreso requerido?

03. (Inversiones) Los miembros de una fundación desean invertir $ 18 000 en dos tipos de seguros que pagan dividendos anuales del 9 % y 6 %, respectivamente. Cuánto deberán invertir a cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que producirá al 8 % la inversión total?

04. (Utilidades de Productor) Le cuesta a un fabricante $ 2000 comprar las herramientas a fin de producir cierto artículo domestico. SI tiene un costo de 60 c por el material y la mano de obra de cada artículo producido y si el fabricante puede vender todo lo que produce a 90 c cada uno. Determine cuántos artículos debería producir con objeto de obtener utilidades por $ 1000.

05. (Utilidades de una revista) El costo de producir cada ejemplar de una revista semanal es de 28 c. El ingreso del distribuidor es de 24 c por copia y por lo que respecta a la publicidad es del 20 % de los ingresos que sobrepasan las 3000 copias. Cuántas copias deben publicarse y venderse cada semana a fin de recoger utilidades semanales por $ 1000?.

06. (Venta de automóviles) Un comerciante de autos usados compra dos automóviles en $ 2 900. Vende uno con una ganancia del 10 % y el otro perdiendo el 5 % y aún obtuvo una ganancia de $ 185 por la transacción completa. Encuentre el costo de cada automóvil.

07. (Problema de descuento porcentual) Un comerciante ofrece un 30% de descuento al precio marcado de un artículo y aún obtiene una utilidad de un 10 %. Si le cuesta $ 35 al comerciante, ¿cuál debe ser el precio marcado?

08. (Problema de costo) Un comerciante vende un reloj en $ 75. Su utilidad porcentual fue igual al precio de costo en dólares. Encuentre el precio de costo del reloj.

09. (Interés compuesto) Por cada $ 100 que invierte en préstamos comerciales de seguros, un banco recibe $ 116.64 después de 2 años. Esta cantidad representa el capital y los intereses compuestos anualmente. ¿Cuál es la tasa de interés?

10. (Interés compuesto) En dos años, compañía XYZ requerirá retirar $ 1102500 de alguno de sus bonos. ¿A qué tasa de interés compuesto anual debería invertir $ 1000000 en un periodo de dos años para recibir la cantidad requerida para retirar de los bonos?

11. (Determinación del precio de alquiler de apartamentos) Bienes raíces reales construyó una nueva unidad habitacional con 60 apartamentos. Sabe por experiencia que si fija un alquiler mensual de $ 150 por apartamento, todos ellos serán ocupados, pero por cada $ 3 de incremento en el alquiler, un apartamento quedará vacante. ¿Qué alquiler deberá fijar con el objeto de obtener los mismos $ 9 000 de ingresos total que recaudaría con un alquiler de $ 150 y al mismo tiempo dejar algunos apartamentos vacíos?

12. (Determinación del precio de alquiler de apartamentos) En el ejercicio anterior, el mantenimiento, servicio y otros costos del edificio ascienden a $ 5000 al mes, más $ 50 por apartamento ocupado y $ 20 por los vacantes. Qué alquiler debería fijarse si la utilidad debe ser de $ 1225 al mes?.

13. (Decisiones sobre fijación de precios) Si un editor fija el precio de un libro en $ 20, deberán venderse 20 000 copias. Por cada dólar de incremento en el precio, las ventas caerán en 500 ejemplares. ¿Cuál debería ser el costo del libro con el fin de generar ingresos totales por ventas de $ 425 000?

14. (Mezcla) La sustancia A contiene 5 miligramos de niacina por onza, y la sustancia B 2 miligramos también de niacina, por onza. ¿En qué proporción deben mezclarse A y B para obtener una mezcla que tenga 4 miligramos de niacina por onza?

15. (Decisión de producción) Un fabricante puede vender todas las unidades que produce al precio de $ 30 cada una. Tiene costos fijos de $ 12 000 al mes; y además, le cuesta $ 22 producir cada artículo. ¿Cuántas unidades debe producir y vender al mes la compañía para obtener utilidades?

16. (Utilidades del fabricante) Un fabricante de aparatos de alta fidelidad puede vender todas las unidades producidas al precio de $ 150 cada una. Tiene costos fijos a la semana de $ 15 000 y costos por unidad de $ 100 en materiales y mano de obra. Determine el número de aparatos de alta fidelidad que deberá fabricar y vender cada semana con el propósito de obtener utilidades semanales de $ 1000.

17. (Decisiones de fabricación) Una empresa automotriz desea saber si le conviene fabricar sus propias correas para ventilador, que ha estado adquiriendo de proveedores externos a $ 2.50 cada unidad. La fabricación de las correas por la empresa incrementará sus costos fijos en $ 1 500 al mes, pero sólo le costará $ 1.70 fabricar cada correa. ¿Cuántas correas debe utilizar la empresa cada mes para justificar la fabricación de sus propias correas?

18. (Decisiones sobre contratación de maquiladores) Una empresa puede encomendar a un contratista que empaque cada unidad de su producto a un costo de $ 2.75. Por otra parte, la empresa puede empacar sus productos instalando una máquina empacadora. Su instalación incrementará los costos fijos de la empresa a $ 2000 al mes y los costos mismos de empaquetamiento en $ 1.50 por unidad. ¿Cuántas unidades tendría que producir al mes para que la instalación de la máquina empacadora fuera rentable?

19. (Publicación de revistas). El costo de publicación de cada ejemplar de la revista semanal Compre y venda es de 35 c. Los ingresos por ventas de distribución son de 30 c por ejemplar, y los ingresos por publicidad del 20% sobre los ingresos obtenidos por ventas más allá de los 2000 ejemplares. ¿Cuántos ejemplares deberá publicar y vender cada semana para obtener ingresos semanales de al menos $ 1000?

20. (Publicación de revistas) El editor de una revista mensual tiene costos de edición de 60.5 c por ejemplar. El ingreso por ventas de distribución es de 70 c por ejemplar, y los ingresos por publicidad del 15% sobre obtenidos por ventas más allá de los 20 000 ejemplares. ¿Cuántos ejemplares deberá publicar y vender al mes para asegurarse utilidades que sobrepasen los $4000?

21. (Ingresos del fabricante) Al precio de p por unidad, x unidades de cierto artículo pueden venderse al mes en el mercado, con p = 600 – 5x. ¿Cuántas unidades deberán venderse cada mes con objeto de obtener ingresos por lo menos de $ 18 000?

22. (Ingresos del fabricante) Un fabricante puede vender x unidades de un producto cada semana al precio de p dólares por unidad, en donde p = 200 – x. ¿Qué número de unidades deberá venderse a la semana para obtener ingresos mínimos por $ 9900?

23. (Decisiones de Producción) En el ejercicio 21, si cuesta (8000 + 75x) dólares producir x unidades, ¿cuántas unidades deberán producirse y venderse cada mes con objeto de obtener una utilidad de al menos $ 5500?

24. (Utilidades) Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $ 25 cada una. El costo C (en dólares) de producir x unidades cada semana está dado por C = 3000 + 20x – 0.1x2. ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse a la semana para obtener alguna utilidad?

25. (Ingresos del editor) Un editor puede vender 12000 ejemplares de un libro al precio de $ 25 cada uno. Por cada dólar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400

ejemplares. ¿Qué precio máximo deberá fijarse a cada ejemplar con objeto de lograr ingresos por lo menos de $ 300 000?

26. (Agricultura) Un granjero desea delimitar un terreno rectangular y tiene 200 m de cerca

disponible. Encuentre las dimensiones posibles del terreno si su área debe ser de al menos 2100 metros cuadrados.

27. (Conservación) En cierto estanque se crían peces. Si se introducen n de ellos allí, se sabe que la ganancia de peso promedio de cada pez es de (600 – 3n) gramos. Determine las restricciones de n si la ganancia total en peso de todos los peces debe ser mayor que 28 800 gramos.

28. (Inversiones) Un accionista invierte $ 100 a un interés anual de R por ciento y otros $ 100 al 2R por ciento anual. Si el valor de las dos inversiones debe ser de al menos $ 224.80 después de 2 años. ¿Qué restricciones deben establecerse sobre R?

29. (Política de fijación de precios) Un supermercado se encuentra con grandes existencias de manzanas que debe vender rápidamente. El gerente sabe que si las manzanas se ofrecen a p centavos por libra, venderá x libras, con x = 1000 – 20p. ¿Qué precio deberá fijar con el fin de obtener ingresos por lo menos de $ 120?

30. (Decisiones sobre fijación de precios) Un peluquero atiende en promedio a 120 clientes a la semana cobrándoles $ 4 por corte. Por cada incremento de 50 c en el precio, el peluquero pierde 8 clientes. ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos $ 520?

BIBLIOGRAFÍA.

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UNIDAD N° 04RELACIONES Y FUNCIONES EN IR2

COMPETENCIA DE LA UNIDAD

¿Qué? Al término de la unidad se espera que el alumno grafique una relación en el plano cartesiano estableciendo sus principales elementos e identifique si se trata de una función.¿Para qué? Para reconocer una función diferenciándola de una relación y poder así resolver problemas elementales. ¿Por qué? Pues deberá reconocer el valor de la matemática como herramienta en la comprensión de la realidad.¿Cómo? Representando mediante gráficas de fórmulas algebraicas y funciones elementales diversas situaciones de la vida cotidiana, así como fenómenos económicos y tecnológicos.

RELACIONES Y FUNCIONES EN R2

RELACIONESBINARIAS

PRODUCTO CARTESIANO

DOMINIO RANGO

RELACIONES

RELACIONESDE R x R

GRAFICAR EN R x R

FUNCIONES

FUNCIONES ESPECIALES FUNCIONESTRASCENDEN-TALES

estudia

genera

tiene

se entiende en

permite

pueden ser

se subdividen en

CIRCUNFERENCIA

RECTA

PARÁBOLA ELIPSE HIPERBOLA etc.

MAPA CONCEPTUAL

RELACIONES

I. INTRODUCCIÓN:

El propósito en esta unidad, es presentar las relaciones entre números.  Antes de hacerlo, se presentan algunos conceptos preliminares como son el de par ordenado, producto cartesiano, coordenadas cartesianas. Se asume conocido por parte del lector, el concepto de recta real. 

II. CONTENIDO

TEMA 1: DEFINICIONES BÁSICAS

1.1 PAR ORDENADO:Llamaremos “par ordenado” al conjunto de dos números arreglados en un orden particular, normalmente escritos como (1er número, 2do número), en donde tanto el orden como los valores tienen significados acordados. Por ejemplo, las coordenadas de un punto en un plano de coordenadas cartesianas se escriben como (x, y), en donde x es la coordenada horizontal y y es la coordenada vertical. Ejemplo: Son pares ordenados (3,5) , (-2,7), etc.

1.2 IGUALDAD DE PARES ORDENADOS:Los pares ordenados (x,y) y (z,w) diremos que son iguales si sus correspondientes componentes son iguales. Es decir:

(x , y) = (z , w) si y sólo si x = y y z = w

1.3 PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS (A x B):Llamaremos producto cartesiano de a y B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b) de tal manera que la primera componente a pertenece al conjunto A y la segunda componente b pertenece al conjunto B.

A x B = {(a , b) /a A b B}

Ejemplo: Sean A = {1,3,5} y B = {2,4} entoncesA x B = {(1 , 2), (1 , 4), (3 , 2), (3 , 4), (5 , 2), (5 , 4)}

También puede determinarse A x B mediante el método del “DIAGRAMA DEL ARBOL”; del siguiente modo:

A B A x B2 (1 , 2)

14 (1 , 4)2 (3 , 2)

34 (3 , 4)

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6

y

5 2 (5 , 2)

4 (5 , 4)NOTA: Cuando los conjuntos A y B son finitos entonces:

n (A x B) = n (A) . n (B)

donde: n (A) = Es el número de elementos del conjunto An (B) = Es el número de elementos del conjunto Bn (A x B) = Es el número de elementos del conjunto A x B

Ejemplo: Si A = {2 , 4} y B = {1 , 3 , 5} A x B = {(2 , 1), (2 , 3), (2 , 5), (4 , 1), (4 , 3), (4 , 5)}

de donde n (A x B) = n (A).n (B) = (2)(3) = 6Además, se tiene que: A x B B x AEl producto cartesiano en general no es conmutativo, a menos que A = B.NOTAS:

Si al menos uno de los conjuntos A o B es vacío A x B = Al producto cartesiano A x A también se le representa por A2 = A x A.

1.4 PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO

1. A x B B x A no siempre se cumple.

2. A x (BUC) = A x B A x C3. A x (B-C) = A x B – A x C4. A x = x A =

5. Si A B A x C B x C, C6. Si AC y BD AxB CxD7. A x (BC) = A x B A x C8. (A x B) x C = A x (B x C)

1.5 DIAGONAL DE UN CONJUNTODado un conjunto A ; a la diagonal del producto cartesiano A x A denotaremos por IA y se define por:

IA = {(x,y) A x A/y = x}Ejemplo: Si A = {1,3,5} A x A = {(1 , 1), (1 , 3), (1 , 5), (3 , 1), (3 , 3), (3 , 5), (5 , 1) (5 , 3), (5 , 5)}

IA = {(1 , 1), (3 , 3), (5 , 5)}

1.6 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO CARTESIANOSean A = {1 , 3 , 5} y B = {2 , 4}

A x B = {(1 , 2), (1 , 4), (3 , 2) (3 , 4), (5 , 2), (5 , 4)}A los elementos del conjunto A lo representamos en el eje horizontal x, a los elementos del conjunto B lo representamos en el eje vertical y.

OBSERVACIONES:* Si A = B, el producto cartesiano denotaremos por A x B = A x A = A2

* Si A = B = IR entonces A x B = IR x IR = IR2, este producto nos representa al plano cartesiano.

Ejemplo 1: Dados A = {x IR / x – 3 7} y B = {y IR/ -2 y 3}. Graficar: A x B, B x A

Solución:Como: x – 3 7 x 10

A x B = {(x , y) / x 10 -2 y 3}B x A = {(x , y) /-2 x 3 y 10}

A x B B x A

Ejemplo 2:Qué parte del plano cartesiano se obtiene si se representan gráficamente los siguientes productos cartesianos.

- , 0 x - , 0 0, + x - , 0 Solución:

Ahora prueba tu capacidad

Grafica el producto cartesiano <-5,8]x<1,6]

……………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………

TEMA 2: RELACIONES BINARIAS

La palabra relación significa una conexión o correspondencia de un determinado ente con otro.

2.1 RELACIÓN BINARIAConsideremos dos conjuntos A y B no vacíos, llamaremos relaciones binarias de A en B ó relación entre elementos de A y elementos de B a todo subconjunto R del producto cartesiano A x B.

R es una relación de A en B R A x B

En general, si A x B tiene n elementos, entonces A x B tiene 2n subconjuntos; por lo tanto existen 2n relaciones de A en B.

Ejemplo: Sean A = {a,b} y B = {1,3,5} A x B = {(a,1), (a,3), (a,5), (b,1), (b,3), (b,5)}

Los siguientes conjuntos de pares ordenados son relaciones de A en B.R1 = {(a,1), (a,5)}, R2 = {(a,3), (b,1), (b,5)} R3 = {(a,1), (b,3), (b,5)}R4 = A x B

Los siguientes conjuntos de pares ordenados no son relaciones de A en B.R5 = {(a,2), (b,1), (b,5)}, R6 = {(a,1), (b,1), (3,b)} puesto que

(a,2) A x B, (3,b) A x B por lo tanto R5 A x B y R6 A x B

2.2 PROPIEDADES DE LA RELACIÓN BINARIA

2.2.1 PROPIEDAD REFLEXIVA.- (Relación Reflexiva)Un conjunto R de pares ordenados es una RELACION REFLEXIVA en A si: a A, (a,a) RR es reflexiva en A a A, (a , a) R

2.2.2 PROPIEDAD SIMÉTRICA (Relación Simétrica)Si (a , b) R implica que (b , a) R esto es:R es simétrica (a , b) R (b , a) R

2.2.3 PROPIEDAD TRANSITIVA (Relación Transitiva)Si (a,b) R (b,c) R implica que (a,c) R esto es:

R es transitiva a,b,c A, [(a,b) R (b,c) R (a,c) R

2.2.4 PROPIEDAD ANTISIMÉTRICA (Relaciones Antisimétricas) a,b A, (a,b) R y (b,a) R a = b

R es transitiva a,b, A, [(a,b) R (b,a) R a = b

2.2.5 PROPIEDAD DE EQUIVALENCIA (Relaciones de Equivalencia)Una relación R en A, diremos que es equivalente si es REFLEXIVA, SIMÉTRICA Y TRANSITIVA.

Ejemplos: Sean A = {1,2,3,4} y La relación R = {(1,1), (2,1), (1,2), (2,2) (3,3),

(4,4)}. R es una relación de equivalencia en A pues es reflexiva, simétrica y transitiva en A.

Si A = {1,2,3,4,5,6}. R1 = {(1,1), (2,2), (3,3) (4,4), (5,5), (6,6)} es una relación reflexiva en AR2 = {(1,1), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} no es una relación reflexiva en A pues falta (2,2)

2.3 DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN BINARIA Consideremos una relación R de A en B, es decir, R A x B.

El dominio de la relación R denotado por DR es el conjunto definido por:DR = {a A/ b B (a,b) R}

El rango de la relación R denotado por RR es el conjunto definido porRR = {b B/ a A (a,b) R}

Ejemplo: Determinar el Dominio y Rango de la relación

R = {(1,4), (1,5), (2,3) (2,4) (1,5)}

DR = {1,2}RR = {3,4,5}

OBSERVACIONES: Para determinar el dominio de una relación, primero se despeja “y”, luego se analiza

los valores que puede tomar “x” para que “y” sea real. Para determinar el rango de una relación se despeja “x” en seguida se analiza los

valores que pueda tomar “y” para que “x” sea real.

RESTRICCIONES PARA EL DOMINIO Y EL RANGOUna vez despejada x ó y, se hacen las siguientes restricciones:- Si la expresión es fraccionaria simple (sin radicales) el denominador es diferente de

cero.- Se sacan a aquellos valores de la variable que hacen al denominador igual a cero.- Si hay raíces de índice par en el numerador se hace: Cantidad subradical 0- Si hay raíces de índice par en el denominador se hace: Cantidad subradical 0- Si hay raíces impares en el numerador no se hacen restricciones.- Si hay raíces impares en el denominador se hace: Cantidad subradical 0

2.4 DETERMINACIÓN DE UNA RELACIÓN BINARIA

Una relación queda determinada por extensión o por comprensión.

1º POR EXTENSIÓNCuando se menciona cada uno de los pares ordenados de la relación:Ejemplo:Si A = {2,3,6,9} y B = {1,4,5,6,12}, Expresar por extensión: R = {(x,y) A x B/ y = 2x}

Solución: R = {(2,4), (3,6), (6,12)}

2º POR COMPRENSIÓNCuando se da una propiedad que caracteriza a todo los pares ordenados que conforman la relación:

Ejemplo:Si U = {x N/x y} Determinar por comprensión la relación R = {(3,1), (4,2), (5,3), (6,4), (7,5)}

Solución: Se observa que la diferencia entre el primer y segundo componente es 2 R = {(x,y) U/x-y = 2}

Ahora prueba tu capacidad

Halla el dominio y rango de la relación R = {(x,y) IRxIR/x.y-2x = 5} …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.5 RELACIÓN INVERSASi R A x B es una relación de A en B; entonces a la relación inversa de R lo denotaremos por R-1 y está definida por:

R-1 = {(y,x) B x A/(x,y) R}

Ejemplo: Hallar la inversa de la siguiente relación: R = {(x,y) R x R/ x + 3y = 12}

Solución:x + 3y = 12x = 12 – 3y

Luego permutamos x por y y = 12 – 3x R-1 = {(x,y)/y = 12 – 3x}

2.6 PROPIEDADES DE LAS RELACIONES

Dadas las relaciones: R1: A B y R2: A Ba) Dom R1 Ab) Ran R1 Bc) Dom (R1 R2) = Dom (R1) Dom (R2)d) Dom (R1 R2) = Dom (R1) Dom (R2)e) Ran (R1 R2) = Ran (R1) Ran (R2)f) Ran (R1 R2) = Ran (R1) Ran (R2)g) Ran (R1 – R2) Ran (R1) – Ran (R2)

2.7 PROPIEDADES DE LA RELACIÓN INVERSA

Si R1 : A B y R2 : A B1. Dom (R1) = Ran-1 R1 A2. Ran (R1) = Dom-1 R1 3. [R-1

1-1 = R1

4. (R1 R2)-1 = R-11 R-1

2

5. (R1 R2)-1 = R-11 R-1

2 6. (R1 – R2)-1 = R-11 – R-1

2

TEMA 3: GRAFICA DE UNA RELACIÓN DE IR EN IRLlamaremos gráfica de una relación de IR en IR al conjunto de puntos P(x,y) cuyas coordenadas satisfagan a dicha relación.Para graficar una ecuación se recomienda seguir los siguientes pasos:

Q (x , -y)

P (x , y)

x

y

P (x , y)Q (- x , y)

x

y

3.1 INTERSECCIÓN DE LA CURVA CON LOS EJES:

3.1.1 Intersección con el eje x:Se reemplaza y por 0 en la ecuación dada, resolviendo la ecuación se obtiene el valor de x, entonces el punto de intersección es (x, 0).

3.1.2 Intersección con el eje y :Se reemplaza x por 0 en la ecuación dada, resolviendo la ecuación se obtiene el calor de y, entonces el punto de intersección es (0, y).

Notas:a) Si al resolver la ecuación se obtienen raíces reales y complejas

(imaginarias), solo se consideran las raíces reales.b) Si todas las raíces son imaginarias entonces no hay intersección.

3.2 SIMETRIA:Una curva es simétrica con respecto a una recta, si a cada punto de la curva le corresponde un punto simétrico con respecto a dicha recta.

3.2.1 Simetría con respecto al eje x:Una curva es simétrica al eje x, si al sustituir “y” por “- y”, la relación no

cambia. P(x , y) = Q(x , -y)

3.2.2 Simetría con respecto al eje y:Una curva es simétrica al eje y, si al sustituir “x” por “- x”, la relación no

cambia. P(x , y) = Q(- x , y)

P (x , y)

Q (- x , - y)

x

y

3.2.3 Simetría con respecto al ORIGEN:Una curva es simétrica al origen, si ella no cambia al reemplazar: “x” por “– x” y “y” por “– y ” . P(x , y) = Q( - x , - y)

3.3 EXTENSIÓN:Consiste en determinar el Dominio y Rango de la relación.Dominio: Son los valores de x, para los cuales existen valores reales de y; para calcular el dominio se despeja y.Rango: Son los valores de y, para los cuales existen valores reales de x; para calcular el dominio se despeja x.

Nota: Cuando una variable es despejada tiene una de las siguientes formas:

DOMINIO RANGOSi El dominio se obtiene

resolviendo:Si El rango se obtiene

resolviendo:

y =√P (x ) P(x) 0 x =√P ( y ) P(y) 0

y = P( x )√Q( x )

Q(x) > 0 x = P ( y )√Q( y )

Q(y) > 0

y = P( x )Q( x )

El dominio se obtiene restando de los IR la solución Q(x) = 0; si las soluciones son números imaginarios, entonces el dominio son todos los IR.

x= P ( y )Q( y )

El rango se obtiene restando de los IR la solución Q(y) = 0; si las soluciones son números imaginarios, entonces el rango son todos los IR.

y = √ P( x )Q( x )

P( x )Q( x )

≥ 0 x = √ P( y )Q( y )

P( y )Q( y )

≥ 0

y = ¿ ± √P( x )Q( x )

P(x) 0 - Q(x) 0 x = ¿ ± √P( y )Q( y )

P(y) 0 - Q(y) 0

0 1 2 x

x = 2

y

0 x

y = 2

y

2

1

3.4 ASINTOTAS:Se llama asíntota de una curva a la recta que tiene la propiedad de que la longitud de la perpendicular trazada desde un punto de la curva a la recta tiende a cero; cuando el punto se aleja infinitamente por la rama infinita de la curva, se dice entonces que la curva es asintótica o que posee una rama asintótica.Las asíntotas pueden ser paralelas a los ejes de coordenadas o ser oblicuas.

3.4.1 ASINTOTA VERTICAL Para calcular la asíntota vertical se despeja y de la ecuación E(x,y) = 0;

y= f (x )g( x ) , la asíntota vertical se obtiene

de la ecuación g(x) = 0.La grafica de una asíntota es un recta punteada ( ----------).

Ejemplo: Si y = x

x − 2A.V.: x – 2 = 0

x = 2

3.4.2 ASINTOTA HORIZONTALLa asíntota horizontal es paralela al eje x. Para calcular la asíntota horizontal se despeja x de la ecuación E(x,y)=0;

x= f ( y )g( y ) entonces g(y) = 0.

Ejemplo: Si x = y - 4

y − 2A.H.: y – 2 = 0

y = 2

Nota:Si no hay denominador literal no hay asíntota vertical u horizontal.

3.5 TABULACIÓN Y TRAZADO DE LA CURVA:Con los valores establecidos en el dominio y rango, se tabula y se realiza la grafica respectiva, considerando la simetría y asíntota de la curva.

Ejemplo: Discutir y graficar la Relación R = {x,y) IR x IR/ xy – 2y – x = 0}

Solución: La relación es R(x,y) = xy – 2y – x = 01. Intersección con los ejes coordenados:

Con el eje x; hacemos y = 0R(x,0) = 0 – 0 – x = 0 x = 0

Con el eje y; hacemos x = 0R(0,y) = 0 – 27 – 0 = 0 y = 0

2. SimetríaCon respecto al eje x (R(x,y) = R (x, -y)

x (-y) – 2 (-y) – x xy – 27y – x Por lo tanto no existe simetría con el eje x.

Con respecto al eje y (R(x,y) = R (-x, y)-xy – 2y + x xy – 2y – x

Por lo tanto no existe simetría con respecto al eje y.

Con respecto al origen R(x, y) = R(-x, -y)xy – 2y – x (-x) (-y) – 2(-y) – (-x)

Por lo tanto no existe simetría con el origen

3. Extensión

Calculamos el Dominio: y = x

x − 2 ; DR = IR – {2}

Calculamos Rango: x = 2 y

y − 1 ; RR = IR – {1}4. Asíntotas

Asíntota Vertical, en base al dominio la ecuación de la asíntota vertical es x = 2.

Asíntota Horizontal, en base al rango la ecuación de la asíntota horizontal esy = 1.

5. Tabulación:

x 0 1 3 4 -1 -2y 0 -1 3 2 0,3 0,5

6. GRAFICANDO:

y

x

Ahora prueba tu capacidad

Grafica, previa discusión R = {x,y) IR x IR/ (x–1)(y–1)= x}

………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………….

TEMA 4: GRAFICAS DE RELACIONES CONOCIDAS:

4.1 LA RECTA

Ecuación General: ax + by + c=0Si c 0: La recta no pasa por el origen de coordenadas.Si c = 0: La recta pasa por el origen de coordenadas.El dominio y el rango de este tipo de rectas son los IR

- Si una recta es vertical, su ecuación es de la forma: x = c.- Si una recta es horizontal, su ecuación es de la forma y = c.- Si una recta L no es vertical y pasa por el punto Po (xo,yo), entonces la recta

forma un ángulo (α ≠ 90) con el eje x y se le llama ángulo de inclinación.

x

y

x = 4y

a. GRÁFICA DE UNA RECTA

1. x + y = 2x 0 2

y 2 0

Para tabular, se hace:I. x = 0 0 + y = 2

y = 2(0 ; 2)

II.y = 0 x + 0 = 2x = 2(2 ; 0)

Uniendo estos puntos trazamos la recta.

2. x = 4y

x 0 4y 0 1

Como este tipo de rectas pasan por el origen (0 ; 0), ya se tiene un punto, falta hallar sólo un punto para trazar la recta, para lo cual se da cualquier valor a una de las variables, en este caso: si x = 4 y = 1.

Dom = IRRan = IR

b. RECTA VERTICALx = h, donde h Dom = h, Ran = Ejemplo: x = 3Dom = 3

(0 ; -3)

x

y

y = -30

y

x

y = x

0

y

x

y = -x

0

y

x0

a) y = x b) y = -x c) x2 = y2

x - y = 0

x + y = 0(x + y)(x – y) = 0

y

x0

(0; 2)

(2; 0)

y

(0; 2)

y

x

(0; 2)

Ran =

c. RECTA HORIZONTALy = k, donde k IRDom = IR , Ran = k

Ejemplo:y = -3Dom = IR

Ran = -3

d. RECTAS CUYAS GRÁFICAS SE DEBEN RECORDAR

e. INECUACIONES CON LÍNEA RECTA

1. Graficar x + y 2I. Se tabula:

x 0 2y 2 0

II. Se ubican los puntos

III. a) Si la desigualdad es ó los puntos se unen con una recta punteada.

b) Si la desigualdad es ó los puntos se unen con una recta cerrada (nítida).

(a) (b)

IV. Si la recta no pasa por el origen:Se toma el punto (0;0) y se reemplaza en la inecuación de la recta: Si la proposición resulta V se sombrea el semiplano donde está el

punto (0;0) Si la proposición resulta F se sombrea el semiplano donde no está el

punto (0; 0)En el caso que la recta pasa por el punto (0,0), se realiza el análisis anterior considerando el punto (1,0)

En el ejemplo: (0; 0) en:x + y > 20 + 0 > 20 > 2 (F)

Luego se sombrea la región que está por encima de la recta. Dom = IR ; Ran = IR

Ahora prueba tu capacidad

Grafica 2x – y ≥ 4………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………..

f. PENDIENTE DE UNA RECTA.Es el valor de la tangente de su ángulo de inclinación, se le denota con la letra

m.

m= tg =y − y0

x − x0

Ejemplo:

Sean L1 y L2 las rectas de ecuación: L1 = -2x+ y = -2 L2 = x + y = 7 Indicar si son paralelas

y

x

(0; r)

(r; 0)(-r; 0)

(0; -r)

y

x

(0; 5)

(5; 0)(-5; 0)(0; -5)

Solución. Utilizando la ecuación de la pendiente-ordenada en el origen: y = mx + b Se obtiene m1 = 2 m2 = -1

como las pendientes son diferentes, entonces las rectas no son paralelas y por lo tanto tienen un punto de intersección.

4.2 CIRCUNFERENCIA

Toda ecuación de segundo grado en x e y representará a una circunferencia si los coeficientes x2 e y2 son iguales en valor y en signo.

1. x2 + y2 = r2

Su centro está en (0; 0)C (0; 0)r = radioDom = -r; rRan = -r; r

2. Graficar: x2 + y2 –25 = 0Solución:x2 + y2 = 25 C (0; 0) = 0r2 = 25 r = 5Dom = -5; 5Ran = -5; 5

a. ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Para determinar el centro se aplica: C= (−D

2; −E

2 )

Para determinar el radio se aplica: r = √D2 + E2 − 4 F

2

El dominio y rango se determinan aplicando:

Dom=[−D2−r ; −D

2+r ]; Ran=[−E

2−r ; −E

2+r ]

y

x

Si a0

y

x

Si a0

NOTA. Haciendo: t = ¼(D2 + E2 + 4F) ocurre que:1. si t > 0 la gráfica es una circunferencia de centro (-D/2 ,-

E/2) y radio igual a √ t 2. si t < 0 no tiene representación gráfica es un conjunto

vacío.3. si t = 0 la gráfica es un punto. ( - D/2 , - E/2)

b. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Donde (h,k) es el centro e la circunferencia. Si: h = 0 y k = 0 el centro está en el origen.

r = radio (constante)Ahora prueba tu capacidad

Grafica la circunferencia: x2+y2-2x+4y=0 ………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….

4.3 PARÁBOLAa. PARÁBOLA HORIZONTAL

1. xx = ay2 + by + cj

El vértice está dado por: V (x0 ; y0), Se aplica: y0=

−b2a . Teniendo el

valor de y0 se reemplaza dicho valor en la ecuación y se obtiene el valor correspondiente para x0.

Si a 0, la parábola tiende:

Si a 0 la parábola tiende:

2. xx = ay2 jSu vértice es: (0; 0)

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

y

x

Si a0

y

x

Si a0

b. PARÁBOLA VERTICAL

1. yy = ax2 + by + cc

El vértice esta dado por: V (x0; y0), Se aplica: x0=

−b2 a . Teniendo el valor

de x0 se reemplaza dicho valor en la ecuación y se obtiene el valor correspondiente para y0.

Si a 0, la parábola tiende:

Si a 0 la parábola tiende:

2. xx = ay2 jSu vértice es: (0; 0)

Para hallar los puntos de intersección de la parábola con: El eje x; se hace: y = 0 El eje y; se hace: x = 0 Ejemplo: Graficar la parábola: x = -2y2 – 4y + 5 Solución: Calculamos el vértice de la parábola: V (x0; y0)

Se sabe que: y0=

−b2a

Como: a = -2, b = -4

y0=42(−2)

y0=−1

y0 = -1 en: x0 = 2y2 – 4y + 5 = -2(-1)2 – 4(-1) + 5 = -2 + 4 + 5 = 7

V (7; -1)

V(7; -1)

x = -2y2-4y+5

a 0

2

142;0

2

142;0

x

y

Calculamos los puntos de intersección de la parábola con el eje y:x = 0 en x = -2y2 – 4y + 5

2y2 + 4y – 5 = 0

de donde, y=−4±√16+40

4=−2±√14

2

La parábola intercepta al eje y en los puntos:

(0 ; −2+√142 ) y (0 ; −2√14

2 ) Como a = -2 0

la parábola horizontal se abre a la izquierda.Ya podemos graficar la parábola teniendo el vértice y sabiendo que se abre a la izquierda.

Los pasos a seguir son:1. Ubicamos el vértice.2. Ubicamos los puntos de intersección con el eje y.3. Uniendo los puntos se tiene la gráfica aproximada de la parábola.

Ahora prueba tu capacidad

Grafica la parábola y2 – 6y + 8x + 49 = 0………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………….

¡Hazlo Tú!

1. Determina el par ordenado (x, y) si: (5x + 3y, -8 ) = (-2/3 , 3y – 2x).2. Sean A = { x Z / x3 + 3x2 – 6x – 8 = 0} y B = { x N / -3 x 3 }.

Halla: A2 B2. y ( A B) x ( B – A)

3. Dados los conjuntos A = { x N / x < 3 } , B = { x N / x es par , x < 5 } y C = { x N / x es impar, x 6 }. Halla: ( A B) x ( C – A). y ( A B ) x (C – A )

4. Determina el RR y DR de la siguiente relación:R = {(x , y) IR x IR/x2 + y2 + 10y – 75 = 0}

5. Determina el dominio, rango y grafica de las siguientes relaciones:a) R = { (x , y) IR2 / xy2 + xy – 6x -3 = 0 }b) R = { (x , y) IR2 / y2x2 – 4y2 – 4x2= 0 }c) R = { (x , y) IR2 / yx2 – 25y - x = 0 }

6. Determina el dominio, rango y grafica de las siguientes relaciones:a) R = { (x , y) IR2 / 3x – 2y + 6 = 0 }b) R = { (x , y) IR2 / x + y - 3 = 0 }c) R = { (x , y) IR2 / 2x + 3y – 6 < 0 }

7. Halla el complemento de la intersección del dominio y rango de la relación:R = (x;y)R2/|y−x|x

8. Determina el dominio, rango y grafica de las siguientes relaciones:a) R = { (x , y) IR2 / x2 + y2 = 6 }b) R = { (x , y) IR2 / 4x2 + 4y2 – 8x – 16y = 80 }

9. Si el dominio de la relación:R=(x;y)R2/x2 + y – 2 0 y – x – 1 0es a;b, halla 2a + 4b

10. Determina el dominio, rango y grafica de las siguientes relaciones:a) R = { (x , y) IR2 / x2 – 4x – y + 3 = 0 }b) R = { (x , y) IR2 / 3y2 + 4x + 12y + 6 = 0 }

FUNCIONES

I. INTRODUCCIÓN

Actualmente, mediante una función, los matemáticos buscan describir de la forma más precisa, la relación que existe entre dos variable, en especial si éstas corresponden a aspectos de la vida real, como por ejemplo: ciertos cambios de los fenómenos físicos en el tiempo; la relación entre el precio de un producto y su aceptación en el mercado, o la dependencia entre el costo financiado de un bien y el número de cuotas a pagar, etc. En síntesis, empleamos funciones para analizar numéricamente las relaciones de causa efecto, es decir la correspondencia entre un valor de entrada y otro de salida.

II. CONTENIDO

TEMA 1. FUNCIONES

4.1 CONCEPTO DE FUNCIÓNUna función es una ley que relaciona dos magnitudes numéricas (llamadas variables) de forma unívoca, es decir, que a cada valor de la primera magnitud (llamada variable independiente) le hace corresponder un valor y sólo uno de la segunda magnitud (llamada variable dependiente). Algunos ejemplos de funciones: La distancia recorrida por una persona está en función del tiempo que ha empleado en

recorrerlo. El porcentaje de distribución de la riqueza de un país es función del porcentaje de

población que posea. La demanda de un producto puede depender de su precio. La contaminación de una ciudad puede depender del número de automóviles que

transitan por ella.

Otra forma de definir una función es:

Si tenemos dos conjuntos A, B y una relación binaria f que relaciona elementos de A con los de B, “f es función si dos pares ordenados que lo forman nunca tienen la misma primera componente.”

En símbolos tenemos: f :A→B que se lee “f es función de A en B”

Si: (x,y) ∈ f ¿ (x,z) ∈ f ⇒ y = z

Ejemplo: determina si la relación f es una función que va de A en B.

Si A = {–3, –2, 4, 5, 6, 8}, B = {2, 6, 7, 8, 9, 11} y f = {(−2;2) , (4;8) , (5;9)}

Solución:

Observamos que todas las primeras componentes son diferentes. Por lo tanto f es función.

f mediantey deimagen -pre denomina sex

f mediante x deimagen denomina sey

(x) y f

(11;9) (7;5), (5;3),

A B

7

42

7

911

33

55

f

Conjunto de partida Conjunto de llegada

4.2 REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN

“f” es una función que tiene como elemento al par ordenado (x;y) donde el valor de “y” depende del valor que tome “x”, es decir, “y” esta en función de “x” lo que se representa de la siguiente manera:

se lee: “y es igual a f de x”

Se tiene que:“x” es la variable independiente“y” es la variable dependiente. (depende del valor que tome x)

Por ejemplo si tenemos la función f = {(5,3), (7;5), (11;9)} que va de A en B, donde:

A = {2, 3, 5, 7, 11} y B = {3, 4, 5, 7, 9}

Podemos decir

pre-imágenes

f =

imágenes

Del par ordenado (5;3) podemos decir:

5 es la pre-imagen de 3 mediante f 3 es la imagen de 5 mediante f 3 = f(5) ó f(5) = 3

Ahora representamos la función “ f ” mediante diagramas de Venn:

Debes de tener presente que:

Las pre-imágenes son los elementos del conjunto de partida. Las imágenes son los elementos del conjunto de llegada.

fdeDominio

5

23

79

6

8

62

4 8

11

f

Conjunto de partida Conjunto de llegada

fdeRango

A B

Así mismo:

La pre-imagen de un elemento mediante una función es única. La imagen de un elemento mediante una función no es única.

4.3 DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

Observa la figura:

En una función f de A en B:

Dominio de la función es el conjunto de todos sus pre-imágenes y lo representaremos como D(f).

Rango de la función es el conjunto de todos sus imágenes y lo representaremos como R(f).

Del gráfico: D(f) = {-2, 4, 5}; R(f) = {2, 8, 9}

Por lo tanto se dice que: f : A B x A, y B/y = f(x)

Observaciones:

El dominio de una función polinómica es: IR.

El dominio de una función cociente de polinomios es: IR - {valores que anulan el

denominador}; ; Dom = R - {0, 2} El dominio de una función raíz de índice par es: {puntos en que el radicando es mayor

o igual que cero}. ; ; El dominio de una función exponencial es: IR

El dominio de una función logarítmica y = log(A) es: {valores en los que A es mayor que cero}

Geométricamente la grafica de una función y una recta vertical se interceptan a lo sumo en un punto.

Un puntodos puntos

4.4 FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Si en una función el dominio y el rango son el conjunto de los números reales o un subconjunto de ellos, dicha función se denomina función real de variable real.

Lo que podemos representarlo de la siguiente manera f: IR → IR

Toda función real de variable real queda determinada por su:

“regla de correspondencia”

Es decir, en lugar de definir la función real de variable real ( f ), por ejemplo como:

f = {(x,y)∈ IRxIR / y = 2x + 1}

Podemos referirnos solo a su regla de correspondencia: y = 2x + 1

Para hallar los elementos de la función debemos tomar algunos valores. Como por ejemplo: x = –1 → f(–1) = 2(–1)+1 = –1

x = 0 → f(0) = 2(0)+1 = 1

x = 1 → f(1) = 2(1)+1 = 3

x = 2 → f(2) = 2(2)+1 = 5

x = 3 → f(3) = 2(3)+1 = 7

⋮Entonces algunos elementos de la función serán:

f= {…,(−1;1 ), . .. , (0;1 ) ,. .. , (1;3 ) ,. . . ,(2;5), . .. , (3;7) ,…} GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Para poder graficar una función haremos uso de los ejes de coordenadas ya que sus elementos son pares ordenados.

Además se requiere de la elaboración de una tabla de valores, dicha tabla se obtiene dando a “x” valores de su dominio y obteniendo los valores correspondientes de “y”

Ejemplo: Grafica f(x) = x + 1; para x ∈[−4 ; ∞+ ⟩

Solución:

Hallamos las imágenes para cada uno de los valores que pude tomar “x”:

Para: x = –4 → f(–4) = (–4) + 1 = –3

x = –3 → f(–3) = (–3) + 1 = –2

x = –2 → f(–2) = (–2) + 1 = –1

x = –1 → f(–1) = (–1) + 1 = 0

x = 0 → f(0) = (0) + 1 = 1

x = 1 → f(1) = (1) + 1 = 2

x = 2 → f(2) = (2) + 1 = 3

x –4 –3 –2 –1 0 1 2

f(x) –3 –2 –1 0 1 2 3

f(x) = x + 1

x

y

x'

y'

Ahora ubicamos los puntos en el de coordenadas:

Ahora prueba tu capacidad

Grafica la función f(x) = 2x - 5

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

4.5 CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

Función Inyectiva:

Una función f: A → B es inyectiva si a cada elemento del dominio le corresponde un

único elemento del rango.

Simbólicamente. f: A → B es inyectiva, si x1, x2 Df : f(x1) = f(x2) ↔ x1 = x2

En forma gráfica puede determinarse si una función f es inyectiva o no, se traza una

recta horizontal, si dicha recta corta a la gráfica en un solo punto, entonces la función f

es inyectiva, y si la corta en dos puntos o más, entonces la función f no es inyectiva.

Función Sobreyectiva:

La función: f: A→B es sobreyectiva, suryectiva o sobre, si y solo si, yB, existe

xA tal que y = f(x). Todo elemento de B es imagen por lo menos de un elemento de

A, es decir, que f: A → B es suryectiva si Rf = B

Función Biyectiva:

La función: f: A→B , es una función biyectiva , si y sólo si, f es sobreyectiva e

inyectiva a la vez .

Ejemplo:

Sobreyectiva, no inyectiva Inyectiva, no sobreyectiva

Biyectiva No sobreyectiva, no inyectiva

Función Creciente:

Una función f es creciente : Si x1, x2 Dom(f) con x1 < x2 entonces f(x1) < f(x2 )

Creciente

x1 x2

f(x2)

f(x1)

Función Decreciente:

Una función f es decreciente: Si x1, x2Dom(f) con x1 < x2 entonces f(x1) > f(x2)

Decreciente

x1 x2

f(x1)

f(x2)

Función Monótona:

Una función f es monótona si es creciente o decreciente

Función Inversa:

Definición: Consideremos la función f = {(x, f(x))/xDf} con dominio Df y rango Rf

entonces diremos que existe la función inversa de f, si y sólo si, f es inyectiva.

La función inversa de f se denota por f* o f-1, la cual se define:

f* ={(f(x), x)/xDf} donde: Df* = Rf y Rf* = Df

Llamamos función identidad y la representamos por “I” a la función I(x) = x.Entonces se verifica:

f o f -1 = I f -1o f = I

Es decir: (f o f -1)(x) = x (f -1o f)(x) = x

Dada una función cualquiera y = f(x), para hallar su inversa despejamos “x”, y al final

hacemos el siguiente cambio; donde está “x” ponemos “y”, y donde está “y” ponemos

“x”.

La gráfica de la función inversa es simétrica con respecto a la función identidad I(x).

Si dos funciones f y g son inyectivas y la función composición f o g existen, entonces la

función f o g es inyectiva por lo tanto tiene inversa (fog)* en este caso cumple con la

siguiente propiedad: (f og )* = g* o f*

Función Par:

Una función f : IRIR es par si se verifica que x IR se cumple f(-x) = f(x)

Si f: IRIR es una función par, entonces su gráfico es lateralmente simétrico respecto del eje vertical.

Ejemplo: La función y = x2 es par pues f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x)

Ejemplo: f(x) = x2 - 5

Reemplazando x por -x en f(x) = x2-5. Entonces: f(-x) = (-x)2 - 5 = x2 - 5 = f(x), por lo tanto la función es par.

Se puede apreciar en el gráfico que la función es simétrica con respecto al eje y.

Además son funciones pares todos aquellos polinomios de la forma xp en donde p es un número par.

Otros ejemplos son: f(x) = 1 + cos x

Otro ejemplo. f(x) = | x |

Función Impar:

Una función f: IRIR es impar si se verifica que x R se cumple f(-x) = - f(x)

Si f: IRIR es una función impar, entonces su gráfico es simétrico respecto del origen de coordenadas. “Simetría central respecto de un punto”. (el dominio tiene que ser un conjunto simétrico respecto al origen)

Ejemplo: La función y = x es impar ya que: f(-x) = - x = - f(x).

Ejemplo: f(x) = x3 - x es impar ya que f(-x)= (-x)3 - (-x) = -x3 + x = -(x3 - x) = -f(x)

Se aprecia en la gráfica que la función es simétrica respecto al origen.Son funciones impares también aquellos polinomios de la forma xk en donde k es número impar.

Otros ejemplos:

Debes advertir que, muchas funciones reales no son pares ni impares.

Ahora prueba tu capacidad

Verifica si la función f ( x )=|x|+4 x2

es par o impar.

………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………..

Función Periódica:

Una función es periódica cuando la función “repite” los mismos valores. Dicho matemáticamente: f(x+T) = f(x)

La función sen(x) es periódica (periodo ) pues sen(x) = sen (x + )

En la gráfica de f(x) = cos x , se puede apreciar que el período es 2

En la gráfica de f(x) = cosec x , también se aprecia que el período 2.

y ax+b=

x

y xy

La aproximación de una función periódica mediante una suma de armónicos es un problema importante en las Matemáticas, la Física y las Ingenierías, baste citar todos los fenómenos vibratorios, ondulatorios que son fundamento de la acústica, de las telecomunicaciones, etc.

4.6 FUNCIONES ESPECIALES

Función Lineal

Regla de correspondencia: y = ax + b; (a 0)

Df = IR R f = IR

Función Identidad

Regla de correspondencia: y = x

Df = IR R f = IR

(0;c)

y = c

y x=

xy

Función ConstanteRegla de correspondencia: y = c

Df = IR R f = {c}

Función Raíz Cuadrada

Regla de correspondencia: y =

Df = [0,+∞> R f = [0,+∞> Función Valor AbsolutoRegla de correspondencia: y = | x |

V(h;k)

sim

etría

deej

e

Df = IR R f = [0,+∞>

Función Cuadrática

Regla de correspondencia: f(x) = ax2 + bx + c; donde a, b y c IR, (a¿ 0).

La gráfica es una parábola con eje de simetría perpendicular al eje “x”. Para graficar una función cuadrática se halla el vértice, para tal fin factorizaras completando cuadrados.

F(x) = ax2 + bx + c

f(x) =

f(x) =

Del cual hallamos el vértice:

.

Df =IR R f = ; ∞+ ⟩

4.7 Funciones Definidas con Varias Reglas de Correspondencia

En las funciones que tienen más de una regla de correspondencia, su dominio y rango se determinan de la siguiente forma:

Sea: f={f 1 ( x ) ; x∈Df 1

f 2( x ); x∈Df 2

donde Df 1∩Df 2=φ

El dominio de f(x) se determina: Df = Df1 Df2

El rango de la función f(x) se calcula: Rf = Rf1 Rf2

4.8 Operaciones con Funciones

Consideremos dos funciones reales de variables reales f, g: IR→ IR si Df Dg , entonces: a) Igualdad de Funciones

Diremos que dos funciones f y g son iguales si y solo si:

i) Df = Dg

ii) f(x) = g(x) x Df = Dg

b) Adición de Funciones

Si f y g son dos funciones con dominio Df y Dg respectivamente, entonces la adición de f

y g denotada por f + g se define:

i) Df+g = Df Dg

ii) (f+g)(x) = f(x) + g(x) ; x Df Dg

c) Diferencia de Funciones

Si f y g son dos funciones con dominio Df y Dg respectivamente entonces la diferencia

de f y g denotado por f - g se define:

i) Df-g = Df Dg

ii) (f - g)(x) = f(x) - g(x) ; x Df Dg

d) Multiplicación de Funciones

Si f y g son dos funciones con dominio Df y Dg respectivamente entonces la

multiplicación de f y g denotado por f . g se define:

i) Df.g = Df Dg

ii) (f . g)(x) = f(x) . g(x) ; x Df Dg

e) Cociente de Funciones

Si f y g son dos funciones con dominio Df y Dg respectivamente entonces el cociente de f

y g denotado por f / g se define:

i) Df/g = Df Dg - { xDg / g(x) = 0 }

ii) (f/g)(x) = f(x) / g(x), xDf/g

f) Composición de Funciones

Definición: Dadas dos funciones f y g, tales que: f: A → B ; g: B → C y que R f

Dg , entonces la función compuesta g o f es aquella función definida por:

i)

ii) (g o f)(x) = g(f(x)) es la regla de correspondencia

De la gráfica se tiene:

i) Dgof Df A

ii) Rgof Rg C

Propiedades:

Considerando las funciones f, g, h, I (identidad)

1) f ∘ g¿ g ∘ f no es conmutativa:

2) (f o g) o h = f o (g o h) Asociativa

3) (f + g) o h = (f o h) + (g o h) Distributiva

4) (f.g)o h = (f o h). (g o h)

5) f o I = f; I o f = f; f

6) Ino Im = Inm, n,mZ+

7) I1/n o I n = I n o I1/n = I, nZ+, n impar

Ejemplo: Sabiendo que: f(x) = x2

- 2x + 1, g(x) = = x - 1 . Halla:a) f + g

f + g = f(x) + g(x) = (x2 – 2x + 1) + (x - 1) = x2 - x b) f/g

f/g = f(x)/g(x) = x2−2 x+1

x−1=x−1, x≠1

Ahora prueba tu capacidad

Si f(x) = 2 – x – x2 , g(x) = 2x + 3 ; halla: f ( x )+2 g(−x )

3…………………………………………………………………….…………………………………………………………………….

FUNCIONES TRASCENDENTES

TEMA 1. FUNCIÓN EXPONENCIAL

Definición: Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace

corresponder la potencia  ax se llama función exponencial de base a y exponente x. 

Como  ax > 0 para todo x ∈ R la función exponencial es una función de  R en R+

En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función

exponencial.

Leyes de los Exponentes

Sean a y b reales positivos, entonces: 

1. ax + a y = ax + y2.

ax

a y = ax − y

3. (a . b )x = ax . bx4. (a

x )y = ax . y

5. ( ab )

x

= ax

bx6. (

ab )

− x

= ( ba )

x

 

Cuando a > 1 ,si x < y, entonces ax < a y. Es decir, cuando la base a es mayor que 1, la

función exponencial  de base a es estrictamente creciente en su dominio.

Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces,  ay < ax.

Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en  su dominio. 

ax = ay ⇔ x = y7. Si 0 < a < b , se tiene:  x> 0 ⇒ ax < bx

x< 0 ⇒ ax > bx

Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases. 

Gráfica de la Función Exponencial 

En las figuras, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 (fig.

1) y de base a < 1 (fig. 2).

Observación.  Cuando a = e, donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284….,la función exponencial  ,se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota por Exp( x ) =  .   Si a = 1, se reduce a la función constante f(x) =1 y no la consideramos como función exponencial.Ejemplo: La función y = 2x es una función exponencial de base 2. Algunos

de los valores que toma esta función f: R → R son:

f (− 4 ) = 2− 4 = 124= 1

16

f ( 32 )= 2

32 = √23 = √8

f (− 13 )= 2

−13 = 1

213

= 13√2

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales

Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales.No existe fórmula general alguna que nos muestre cómo resolver todas las ecuaciones exponenciales. Sólo a través de la práctica podremos determinar, en cada caso, qué camino tomar.Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y propiedades que ya se han descrito anteriormente.

¡Hazlo Tú!

1. Construir la grafica de la función

a) y =−2xb) y = 2x + 3

c) y = 1

3(3x )

d) y = 1−3x −3

2. Resolver

a) 5x2− 5 x + 6 = 1 b) 3x. (32)x= 93

c) 2x+ 2x - 1+2x - 2= 7 d) 2x + 2+ 2x + 3+2x + 4+2x + 5 + 2x + 6= 31

3. Resolver el sistema de ecuaciones exponenciales

a) 2x+2y=32 23x - 5y= 16

b) 3x=3y 4x.4y= 256

TEMA 2. FUNCIÓN  LOGARÍTMICA

La igualdad N = ax, donde N es un número real y ax, es una expresión potencial; da lugar a

dos problemas fundamentales:

1. Dada la base a y el exponente x, encontrar N. 

2. Dados N y a, encontrar x.

El primero de ellos puede solucionarse, en algunos casos, aplicando las leyes de los

exponentes. Para el segundo, los logaritmos garantizan que siempre existe un número real x

tal que N= a x, cuando N y a son reales positivos y a ≠ 1. 

Definición: Una función se llama logarítmica cuando es de la forma y = log a x donde la

base a es un número real y positivo pero distinto de 1.

Sea a un real positivo, a≠1 y sea x cualquier real positivo, entonces:

y = log a x a y = x

La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base  a ≠

1,  denotada por y = log a x ,se llama: función logarítmica de base a, y, el número log a x

se llama logaritmo de x en la base a. 

La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que: el logaritmo de un número,

en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. 

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Si a > 0; x, u y v reales positivos, entonces: 

1 . loga 1=02. loga a=1

3 . loga ax=x 4 . aloga x=x

5 . loga(u . v )=loga u+ loga v6 . loga(uv)= logau−loga v

7 . log a(un)=n. loga u 8 . loga

n√u=1n log au

 

Cuando a > 1, si 0 < x < y, entonces,  Log a x < Log a y, es decir, la función logarítmica de base a > 1 es estrictamente creciente en su dominio.  Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y, entonces, Log a x > Log a y , esto es, la función logarítmica de base entre 0 y 1; es estrictamente decreciente en su dominio.  Para todo número real y0, existe un único número real x0 tal que Log a y0 = x0. Esta propiedad indica que la función logarítmica es sobreyectiva

log b x=log a xlog a b

, b≠1 log a x=loga y ↔ x= y

Observaciones.

a ) La igualdad logaab=b , es también válida para b < 0 .  b) Las propiedades de los logaritmos, conjuntamente con las propiedades de los

exponentes, ponen de manifiesto el comportamiento similar que presentan las funciones exponenciales y logarítmicas en una misma base .Es decir, si una de ellas es continua y creciente (continua y decreciente), la otra también lo es. 

c) La base más frecuentemente utilizada para las funciones exponenciales y logarítmicas es el llamado número e (número de Euler ).Los logaritmos de base e son llamados logaritmos naturales o neperianos y se denotan por ln .Sin embargo, los que más a menudo se encuentran tabulados y que se utilizan en la practica son los  correspondientes a la base 10, los cuales son llamados logaritmos decimales o vulgares

y se denotan por log10 x , o  simplemente, log x.

GRAFICA DE LA FUNCION LOGARITMICA

En las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de las funciones y= log2 x e y= log1

2

x, en

concordancia con las propiedades establecidas en el teorema. 

En la figura 3, se han trazado conjuntamente las curvas y=2x e  y=log2 x . Allí pueden

visualizarse los comentarios hechos en la observación (b). Puede notarse, además, que las

curvas son simétricas con respecto a la recta y = x. 

Figura 1 Figura 2

Figura N° 3

¡Hazlo Tú!

1. Determina si las siguientes relaciones son funciones:

f = {(3;5 ), (8;n ), (7;m )} i ={(5;3 ), ( p;3), ( k;3 ), ( l; 3) }

g = {(3;6 ), (8;z )} j = {(0;0), (2;2 ) , (4;4 )}

h = {(3;√2 ), (3;2) , (4;6 )} k = {. .. , (−2;−1) ; (−1;0 ); (0,1) ; .. . }

2. ¿Cuáles de las siguientes relaciones una función que va de A en A (f: A→A)?.

Si A = {1, 2, 3, 4,5}

a ) R1= {( x,y )∈AxA / x=4 } b ) R2= {( x,y )∈AxA / y = 4 }

c ) R3= {(x,y )∈AxA / x+ y=6}

3. Grafica las siguientes funciones en el plano cartesiano utilizando la tabla de valores:

a) f(x) = 3x – 2; para x ∈⟨−∞ ; 5 ] b) g(x) = x

2; para x ∈⟨−6 ; 3 ⟩

c) h(x) = 1 – 2x; para x ∈R .

4. Halla el dominio y rango de las siguientes funciones reales de variable real. (Recomendación: haz una grafica en cada caso).

a) f(x) = 3x – 2; para x ∈[2 , ∞+ ⟩ m) g(x) = 4x –1; para x ∈[ 0 , 5 ]

b) h(x) = x2

; para x ∈⟨−4 , 6 ⟩ n) h(x) = x ; para x ∈⟨−∞ , 2 ⟩

c) f(x) = 6 – 2x ; para x ∈[−5 , 4 ⟩ ñ) g(x) = –2; para x ∈[−6 , −1 ]

d) h(x) = x2

+1; para x ∈R o) h(x) =

x2 ; para x ∈R

e) f(x) = 4x +1; para x ∈[2 , 10 ⟩ p) i(x) = 2x2 + 2; para x ∈R

f) g(x) = 5 – 2x; para x ∈⟨−3 , 5 ] q) j(x) = 4x –1; para x ∈R

g) h(x) = 3x2; para x ∈⟨−5 , 5 ] r)

h) s)

i) t)

j) u)

k) v)

l) w)

5. Determina si las siguientes funciones son o no biyectivas

a) f(x) = 4x – 2 l)

b) f(x) = x3 – x m)

d) n) e) f(x) = 2 ñ)

f) f(x) = 1 – x2 – x o) g) p)

h) q)

i) r)

j) s)

k) t)

6. Determina el dominio y rango de las siguientes funciones lineales (en cada caso gráfica la función):

a) y = 6x b) y = – 4x; para x ∈[ 0 , 5 ] c) y

= 6,5x; para x ∈[ 0 ; 9 ⟩

7. Grafica y determina el dominio y rango de las siguientes funciones afines:

a) y = 2 – 3x b) y = 0,5x + 5

c) y =

x2 – 2; para x ∈⟨−6 ; 4 ] d) y = 6x –

56 ; para x ∈⟨

−∞ ;1 ⟩

e) y =

12 x + 3; para x ∈⟨−5 ;5 ⟩ f) y = x + 0,5; para x ∈⟨−6 ;−2 ]

8. Analiza cada una de las siguientes funciones, hallando el dominio, rango, interceptos con los ejes, vértice, de igual manera el máximo y mínimo según sea el caso. Haz un gráfico para cada función:

1) y = –4x223) y = 3x2

; para x ∈⟨−2 , 8 ⟩

2) y = x2

3 24) y = 2x2; para x∈⟨−6 , 3 ]

3) y = 3x2 + 3 25) y = 5,2x2

; para x ∈[−4 , 8 ]

4) y = –

34 x2

+

14 26) y = 5 x2

+1; para x ∈⟨−4 , ∞+ ⟩

5) y=x2−3 x+5 27) y=6 x2−12 x+12 ; para x ∈⟨−1 , 3 ⟩

6) y=−2 x2−4 x+3 28) y=−2 x2−8 x−10 ; para x ∈⟨−∞ , 1 ⟩

7) y=5 x2−10 x 29) y=−6 x2+12 x ; para x ∈⟨−1, 3 ⟩

8) y=−2x2+8 x−12 30) y=−6 x2+24 x−22 ; para x ∈⟨ 1 , 3 ⟩

9) y =

12 x2

31) y = –5x2; para x ∈[2 ;8 ]

10) y = x2

+ 5 32) y = 5x2 + 1; para x ∈[0 ; 9 ]

11) y=5 x2−2x+9 33) y=8x2−2 x+16 ; para x ∈[−3 ; 3 ⟩

12) y = 0,5x2 34) y=9 x2+36 x ; para x ∈⟨−1; 1 ⟩

13) y = –2x2 + 2 35) y = 5x2

– 5; para x ∈⟨−5 , 2 ⟩

14) y = x2

2 – 8 36) y = 2x2; para x∈⟨−6 , 3 ]

15)y=4 x2−5x+6 37) ; para x ∈⟨ 0 , 4 ⟩

16) y=5 x2+9 x+3 38) y=x2−4 x+3 ; para x∈⟨−2 , 5 ]

17)y=x2−4 x 39) y=8x2+16 x ; para x ∈[−2 , 2 ⟩

18) y=4 x2−8 x+12 40) y=5 x2−20 x+18 ; para x∈⟨−∞ , 3 ]

19) y = –x241) y = 6x2

; para x ∈[−2 ;6 ]

20) y = x2

+ 1 42) y = 2x2 – 6; para x ∈⟨−1 , 6 ⟩

21) y=2x2−x+1 43) ; para x ∈⟨ 0 ; 4 ⟩

22) y=x2−16 x 44) y=8x2−2 x+16 ; para x ∈[−3 ; 3 ⟩

9. Gráfica de las siguientes funciones y determina su dominio y rango.

a) y=√-9x ; para x ∈ R h) y=√16x ; para x ∈[ 0 ; 9 ]

b) y=√-x ; para x ∈ R i) y=√ 2

3x

; para x ∈[−1 ;10 ]

c) y=√4x+8 ; para x∈ R j) y=√2x+12 ; para x ∈[−8 ; 0 ]

d) y=√5x-20 ; para x ∈ R k) y=√3x-18 ; para x ∈⟨−1; ∞+ ⟩

e) y=√-16x ; para x ∈ R l) y=√36x ; para x∈⟨−6 ; 5 ]

f) y=√3x+21 ; para x∈ R m) y=√7x+28 ; para x ∈[−2 ; 4 ]

g) y=√5x-45 ; para x ∈ R n) y=√2x-18 ; para x ∈[ 0 ; ∞+ ⟩

10. Grafica cada una de las funciones siguientes y determina su dominio y rango.

a) y=| 0,5 x | b) y=|−1,5 x | ; para x ∈[−4 ; 10 ]

c) y=|−3

4x |

d) y=| 8

3x |

; para x ∈⟨−1; 9 ⟩

e) y=| 2x−18 | f) y=| 4 x−20 |; para x∈⟨−7 ; 5 ]

g) y=| 12−3 x | h) y=| 5 x+25 |; para -4¿ x ¿ 6

i) y=|− 3

4x |

j) y=| 1

3x |

; para x ∈⟨−1, 10 ]

k) y=| 5 x−1 | l) y=| 2x−2 |; para x∈⟨−5 , 0 ]

m) y=| 1−8 x | n) y=| 1

2x+5 |

; para -1¿ x ¿ 5

11. Sabiendo que: f(x) = 2x2– 4x + 2 ; g(x) = 2x2

+ 6; h(x) = 4x – 2Halla el valor de:a. f(g – h) (5)b. h

2(g + 2f) (0)

c. (

fg )(3) + h(2)

d. (3f – 2hg)( –2)e. f.g. h(–5)

12. Halla las reglas de correspondencia de: i) (f + g)(x) = ii) (h + g)(x) = iii) (f + h)(x) =

Sabiendo que: f(x) = x – 1 g(x) = 2x + 2 h(x) = x2

– 2

13. Halla las reglas de correspondencia de: i) (f.g)(x) = ii) (g.h)(x) = iii) (f.h)(x) = Sabiendo que: f(x) = 2x2

– 8 g(x) = 5x2 – 4x h(x) = x + 8

14. Halla las reglas de correspondencia de: i) (f – g)(x) = ii) (g – h)(x) = iii) (f – h)(x) =

Sabiendo que: f(x) = 3x – 1 g(x) = 5x – 1 h(x) = 2x2– x + 1

15. Halla las reglas de correspondencia de: i) (f/g)(x) = ii) (g/h)(x) = iii) (f/h)(x) =

Sabiendo que: f(x) = 3x – 9 g(x) = 2x2 – 16 h(x) = 2

16. Halla las reglas de correspondencia:

a) ( f ∘ g )( x ) b) ( g ∘ h )( x ) c) (h ∘ f )( x ) d) ( f ∘ h )( x ) Cuando:f ( x )= 2 x2+1 g( x )= 3 x−1 h( x )= 4 x2−10

UNIDAD N° 05

MATRICES

COMPETENCIA DE LA UNIDAD

¿Qué? Al término de la unidad se espera que el alumno domine los métodos y procedimientos básicos que se estudian en las matrices, determinantes y sistema de ecuaciones lineales.

¿Para qué? Para Planificar, formular, resolver e interpretar los resultados de problemas típicos, en forma analítica,

¿Porqué? ya que esto le permitirá utilizar tales instrumentos reflejando como consecuencia inmediata la importancia de su estudio

¿Cómo? Como una base para el análisis cuantitativo y cualitativo de situaciones simples y complejas de interés práctico para el estudiante.

MAPA CONCEPTUAL

INTRODUCCION

El origen de las matrices es muy antiguo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 adC.

Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 adC a 200 adC, Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas.[] En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kowa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693.

Los "cuadrados mágicos" eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China. Los primeros "cuadrados mágicos" de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasa'il Ihkwan al-Safa).

Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz, a finales del siglo XVII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX.

El término "matriz" fue acuñado en 1848, por J. J. Sylvester. En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Grassmann, Frobenius y von Neumann están entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de matrices.

Olga Taussky-Todd (1906-1995), durante la II Guerra Mundial, usó la teoría de matrices para investigar el fenómeno de aeroelasticidad llamado fluttering.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc.

La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial en los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos, etc.

MATRICES

CONCEPTO DE MATRIZ

Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.

Se llama matriz de orden  "m × n"   a un conjunto rectangular de elementos  aij  dispuestos en   m  filas y en  n  columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo  m  y  n  números naturales.

Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la fila  i  y la columna  j   se escribe  aij . Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz : A = (aij)

Ej.

                   

El número total de elementos de una matriz  Am×n es m·n

La matriz anterior se denota también por A = (aij), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (aij). Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m n.  

1. TIPOS DE MATRICES Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:  

 a. Matrices cuadradas   Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.  

Ejemplo: Sean las matrices

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.     b. Matriz identidad   Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.   La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,   A· I = I ·A = A.     c. Matrices triangulares   Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices

son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.     d. Matrices Diagonales   Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ..., dnn ). Por ejemplo,  

  son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).  e. Traspuesta de una MatrizLa traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.   Así, la traspuesta de

En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m n, entonces AT = es la matriz nm.

La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:1. (A + B)T = AT + BT.

2. (AT)T = A.

3. (kA)T = kAT (si k es un escalar).

4. (AB)T = BTAT.

 

f. Matrices Simétricas   Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT = -A.   Ejemplo:   Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica. Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.   g. Matrices Ortogonales   Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.   Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria:

Si A es ortogonal, entonces:

  h. Matrices Normales   Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal. Ejemplo:

 

Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal

2. SUMA Y RESTA DE MATRICESPara poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 x 2 y otra de 3 x 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.  

Ejemplo:  

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.   Ejemplo:

 

 

 

PROPIEDADES :

· Asociativa : A+(B+C) = (A+B)+C

· Conmutativa : A+B = B+A

· Elem. neutro : ( matriz cero 0m×n ) , 0+A = A+0 = A

· Elem. simétrico : ( matriz opuesta -A ) , A + (-A) = (-A) + A = 0

¡La suma y diferencia de dos matrices NO está definida si sus dimensiones son distintas!

Ahora prueba tu capacidadEncontrar A + B:

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

3. PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ

Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los elementos de la matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden.

Ejemplo:

Entonces:

 

PROPIEDADES:

1) Asociativa: ( A) = ( )A

2) Distributiva I (A+B) = A + B

3) Distributiva II ( + )A = A + B

4) Elemento Neutro de escalares 1. A = A

Ahora prueba tu capacidad

Dado . Encontrar 6A

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

4. PRODUCTO DE MATRICES  Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda.   Es decir, si tenemos una matriz 2 x 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 x 5, la matriz resultante será de orden 2 x 5. así tenemos (2 x 3) x (3 x 5) = (2 x 5)   Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación.   3 x 5 por 2 x 3, puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda.   Supongamos que A = (ai j ) y B = (bi j ) son matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B; es decir, A es una matriz m x p y B una matriz p x n. Entonces el producto AB es la matriz m x n cuya entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B.   Esto es,  

 

Ejemplo:   1.

    2.

  Ahora prueba tu capacidad

Dado y Encontrar AxB

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

¡Hazlo Tú! Resuelve cada una de los siguientes problemas

Problema Nº 1

En la primera fase del campeonato nacional de fútbol, los equipos obtuvieron los siguientes resultados

Partidos Jugados Partidos Ganados Partidos Empatados

Partidos Perdidos

Alianza 18 10 4 4Universitario 18 6 5 7Cristal 18 8 6 4

Cienciano 18 5 7 6Aurich 18 5 6 7Melgar 18 4 6 8Minas 18 11 1 6San Martin 18 4 3 11D. Wanka 18 7 4 7S. Aguila 18 7 4 7

En la segunda fase participaron los mismos equipos y obtuvieron los siguientes resultados

Partidos Jugados Partidos Ganados Partidos Empatados

Partidos Perdidos

Alianza 18 7 5 6Universitario 18 10 6 2Cristal 18 6 6 6Cienciano 18 5 7 6Aurich 18 5 6 7Melgar 18 3 7 8Minas 18 6 3 9San Martin 18 5 3 10D. Wanka 18 7 8 3S. Aguila 18 8 5 5

Parte Nº 1Mediante una suma de matrices encontrar los partidos jugados, ganados, empatados y perdidos por los equipos en las dos fases

Parte Nº 2Si los partidos ganados otorgan 3 puntos, los empatados 1 punto y los perdidos no proporcionan ningún punto, mediante las matrices encontrar los puntajes obtenidos en cada fase del campeonato pro cada equipo

Problema Nº 2La empresa “Ropa para todos” fabrica los siguientes productos:* Camisas* Blusas* Faldas* Boxers* Traje de baños para hombres* Traje de baños para mujeresLos materiales que utiliza en la fabricación de las prendas son:* Tela 1* Tela 2* Tela 3* Botones* Hilo* Elástico

* Zipper

Parte 1Prepara una matriz que relaciona los materiales requeridos para fabricar una unidad de cada producto.Parte 2Preparar una matriz de precios de cada componente usado en la fabricación de las prendas, en los años 2008, 2009.Parte 3Mediante matrices calcular los precios de los materiales requeridos para fabricar cada prenda en los años 2008 y 2009.

Problema Nº 3La panificadora “Pande cada día” fabrica los siguientes productos para venta:* Pan de agua* Pan de dulce de trenza* Quesadillas* Pastelitos de chocolate* Queque de Chocolate* Bizcochos de sal* Galletas de dulceLos materiales que utiliza en la fabricación de los productos son:* Harina* Huevos* Azúcar* Chocolate* Mantequilla* Leche* Requesón* Levadura

Parte 1Preparar una matriz que relacione los materiales requeridos para fabricar una unidad de cada producto, una matriz de precios de cada material utilizado en la preparación de los productos, y una matriz de costos de insumos para cada producto.

Parte 2Si el valor de la harina se incrementa en un 30%, calcular cuál es el impacto en el costo de fabricación de cada producto.

Problema Nº 5

Una cafetería estudiantil tiene 24 mesas, X mesas con 4 asientos cada una, Y mesas con 6 asientos cada una y Z mesas con 10 asientos cada una. La capacidad total de asientos es de

148. Con motivo de una reunión estudiantil especial, se emplearán la mitad de las X mesas, un cuarto de las Y mesas y una tercera parte de las Z mesas, para un total de 9 mesas. Determínese X, Y y Z.

DETERMINANTES

A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), | A | o  

  Una tabla ordenada n x n de escalares situada entre dos líneas verticales, llamada determinante de orden n, no es una matriz. La función determinante apareció por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtención de éstas.

DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue: = a11  

  Así, el determinante de una matriz 1 x 1, A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det (A) = |a11| = a11.

Ejemplos:   a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos det (24) = 24, det(-3) = -3, det (3x+5) = 3x+5.   b)

   

 

DETERMINANTES DE ORDEN TRES Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (ai j ). El determinante de A se define como sigue:  

Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).   Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos:  

 

  Ejemplo:   Calcular el valor del determinante:  

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63   El determinante de la matriz 3 x3, A = (ai j ) puede reescribirse como:   det (A) = a11(a22a33 – a23a32) – a12(a21a33 – a23a31) + a13(a21a32 – a22a31) =  

  que es una combinación lineal de tres determinantes de orden dos, cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada. Esta combinación lineal puede indicarse de la forma siguiente:    

  Nótese que cada matriz 2 x 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente.   Ejemplo:   Para demostrar que la propiedad anterior se cumple, trabajaremos con:  

 

  = 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63

CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR LOS ADJUNTOS DE UNA LÍNEA

Sea A una matriz cuadrada y aij uno cualquiera de sus elementos. Si se suprime la fila i y la columna j de la matriz A se obtiene una submatriz Mij que recibe el nombre de matriz complementaria del elemento aij.

Dada la matriz

la matriz complementaria del elemento a11 es la matriz que resulta de suprimir en la matriz A la fila 1 y la columna 1; es decir:

Llamamos menor complementario del elemento aij al determinante de la matriz complementaria del elemento aij , y se representa por ij

Se llama adjunto de aij , y se representa por por Aij, al número (–1)i+jij.

El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera, multiplicados por sus adjuntos.

Por ejemplo, si desarrollamos un determinante de orden n por los adjuntos de la 1ª fila se tiene:

La demostración es muy fácil, basta con aplicar la definición de determinante a ambos lados de la igualdad.

Nota Esta regla rebaja el orden del determinante que se pretende calcular en una unidad. Para evitar el cálculo de muchos determinantes conviene elegir líneas con muchos ceros

Ejemplo

Desarrollando por la primera columna:

 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Las propiedades básicas del determinante son las siguientes:   * Si todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en esa línea los primeros y segundos sumandos, respectivamente, y en las demás los mismos elementos que el determinante inicial.

Ejemplo

* Si se multiplican todos los elementos de una línea de una matriz cuadrada por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.

Ejemplo

* Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces se verifica: det (A·B) = det (A) · det (B)

Ejemplo

* Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo con respecto al inicial:

Ejemplo

* Si una matriz cuadrada tiene una línea con todos los elementos nulos, su determinante vale cero.

Ejemplo

* Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante vale cero.

Ejemplo

* Si dos líneas paralelas de una matriz cuadrada son proporcionales, su determinante se anula.

Ejemplo

* Si una fila (columna) de una matriz cuadrada es combinación lineal de las restantes filas (columnas), su determinante vale cero.

Ejemplo

* Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela, su determinante no varía.

Ejemplo

* Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela multiplicada por un número, su determinante no varía.

Ejemplo

 ADJUNTA DE UNA MATRIZ Consideremos una matriz n-cuadrada A = (ai j ) sobre un cuerpo K. El adjunto de A, denotado por adj A, es la traspuesta de la matriz de cofactores de A:  

Ejemplo:    

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

 

 

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:  

Aplicación del adjunto para hallar la matriz inversa   Para toda matriz cuadrada A,   A·(adj A) = (adj A) · A = |A|I  De este modo, si |A| 0,  

Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro método la inversa de una matriz.   Ejemplo: Consideremos la matriz  

y el det A:  

Así pues, aplicando la propiedad anterior:  

  

Ejercicio: Calcular, por la propiedad anterior, la inversa de las siguientes matrices:   a)

  b)

a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A:  

El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B, así pues, los cofactores de los cuatro elementos de B son:  B11 = 5 B12 = -2   B21 = 1 B22= 3   y el adjunto de B, denotado por adj B, será  

b) Empezaremos por hallar el det A,  

Los cofactores de los nueve elementos de A son:  

 

 

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:  

Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1:  

 

CÁLCULO DE DETERMINANTES POR EL MÉTODO DE GAUSS

Se conoce cómo método de Gauss a un método para facilitar el cálculo de determinantes usando las propiedades de éstos. Dicho método consiste en hallar un determinante equivalente (con el mismo valor) al que se pretende calcular, pero triangular. De esta forma el problema se reduce a calcular un determinante de una matriz triangular, cosa que es bastante fácil usando las propiedades de los determinantes.

Para conseguir triangularizar el determinante se pueden aplicar las siguientes operaciones:

Permutar 2 filas ó 2 columnas. Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo. Sumarle o restarle a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.

 

APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES

CÁLCULO DEL RANGO USANDO DETERMINANTES

Si a un menor M de orden h de la matriz A se le añade la fila p y la columna q de A (que antes no estaban en el menor), obtenemos un menor N de orden h+1 que se dice obtenido de M orlando este menor con la fila p y la columna q.

Ejemplo

es un menor de orden 2 de la matriz

y son menores de orden 3 que se han obtenido orlando M

El método para el cálculo del rango es un proceso iterado que sigue los siguientes pasos:

Antes de comenzar el método se busca un elemento no nulo, ya que si todos los elementos son 0, el rango será 0. El elemento encontrado será el menor de orden k=1 de partida.

1. Se orla el menor de orden k hasta encontrar un menor de orden k+1 no nulo. Cuando se encuentra un menor de orden k+1 no nulo se aplica a éste el método.

2. Si todos los menores orlados obtenidos añadiéndole al menor de partida los elementos de una línea i0 son nulos, podemos eliminar dicha línea porque es combinación de las que componen el menor de orden k.

3. Si todos los menores de orden k+1 son nulos el rango es k. (Si aplicamos bien el método en realidad, al llegar a este punto, la matriz tiene orden k).

Ejemplo

.

Por tanto rg(A)=3

CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ POR EL MÉTODO DE GAUSS

Transformaciones elementales

Son las transformaciones que podemos realizarle a una matriz sin que su rango varíe. Es fácil comprobar que estas transformaciones no varían el rango usando las propiedades de los determinantes

1. Si se permutan 2 filas ó 2 columnas el rango no varía. 2. Si se multiplica o divide una línea por un número no nulo el rango no cambia. 3. Si a una línea de una matriz se le suma o resta otra paralela multiplicada por un

número no nulo el rango no varía. 4. Se pueden suprimir las filas o columnas que sean nulas, las filas o columnas que

sean que sean proporcionales a otras, sin que el rango de la matriz varíe.

Método de Gauss

El método de Gauss consiste en aplicar transformaciones elementales a una matriz con objeto de conseguir que los elementos que están por debajo de la diagonal principal se anulen (aij = 0, i>j). Para conseguir "triangularizar" la matriz debemos dejar en la diagonal principal elementos no nulos, salvo que la fila sea nula.

Una vez aplicado este proceso de triangularización, el rango de la matriz es el número de filas no nulas de la matriz obtenida. Esto es fácil probarlo usando las propiedades de los determinantes.

Ejemplo:

Ejemplo:

¡Hazlo Tú!Calcular los siguientes determinantes:    

a) b)

c) d) e)

f) g)  

MATRICES INVERTIBLES

Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que  

AB = BA = I   siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1.   Ejemplo:  

 

 Puesto que AB = BA = I, A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra

La inversa de la matriz A es única. La matriz inversa de A se denota por A − 1 y satisface la igualdad: A.A-1 = A-1.A = I

Esta viene dada por:

Donde |A | = determinante de A

adj(A) = matriz de adjuntos de A se multiplica en inversas

Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo. Se puede hacer de la siguiente manera:

Esto es posible porque 1/(ad-bc) es el determinante reciproco de la matriz en cuestion.

Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular.

Decimos que una matriz cuadrada es  "regular"  si su determinante es distinto de cero, y es  "singular"  si su determinante es igual a cero.

PROPIEDADES :

Sólo existe matriz inversa de una matriz cuadrada si ésta es regular. La matriz inversa de una matriz cuadrada, si existe, es única. Entre matrices NO existe la operación de división, la matriz inversa realiza

funciones análogas.

Ahora prueba tu capacidad

Encontrar la matriz invertible de: ………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

MÉTODOS PARA HALLAR LA MATRIZ INVERSA :

A. Matriz inversa por Definición (Directamente)

Dada la matriz buscamos una matriz que cumpla A·A-1 = I, es decir

Para ello planteamos el sistema de ecuaciones:

La matriz que se ha calculado realmente sería la inversa por la "derecha", pero es fácil comprobar que también cumple A-1 ·A = I, con lo cual es realmente la inversa de A.

B. Matriz inversa por Determinantes

La matriz inversa de A se designa por A-1

Para calcular la inversa de una matriz, primero se calcula su determinante. Si el determinante es cero la matriz no tiene inversa.

A continuacion se calculan los adjuntos de cada elemento de la matriz.

Después se divide cada adjunto por el determinante de la matriz.

Despué se forma la matriz poniendo los valores obtenidos correspondientes a la posicion ij en la posicion ji

Vamos a calcular la inversa de la matriz

<> El determinante es 5 y la inversa

Cálculo de la matriz inversa usando determinantes

Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).

Ejemplo

Si tenemos una matriz tal que det (A) ¹ 0, se verifica:

Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).

Ejemplo

C. MATRIZ INVERSA POR GAUSS JORDAN

Una de las aplicaciones del método de Gauss-Jordan, es el cálculo de matrices inversas. Recordamos primero la definición de matriz inversa. 

Definición. Sea A una matriz de nxn . La matriz inversa de A es una matriz B de nxn tal que:

Se escribe 1AB para denotar la matriz inversa. Cuando la matriz inversa existe, es única, pro no siempre existe la matriz inversa.

Un resultado de algebra lineal prueba que la matriz inversa 1A existe si y solo si el determinante de A es distinto de cero.

El método de Gauss-Jordan procede como sigue:

Es decir, en una matriz comenzamos por escribir la matriz A, y a su derecha agregamos la

matriz identidad nI del mismo orden que la matriz A; enseguida aplicamos el método de Gauss-Jordan para hacer los ceros y unos y obtener del lado izquierdo la matriz identidad

nI . Del lado derecho lo que obtendremos será la matriz inversa de A.  

Ejemplo 1.   Usar el método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de la siguiente matriz:

Solución.   En una matriz, colocamos la matriz A y a su derecha agregamos la matriz

identidad 2I :

El primer elemento pivote 411 a está bien colocado y procedemos a hacer ceros debajo

de este elemento. Para ello, multiplicamos el renglón 1 por 41 y lo sumamos al renglón 2.

Esto nos da:

Nuestro segundo elemento pivote es 25.022 a . Para hacer ceros arriba de este elemento,

multiplicamos el renglón 2 por 25.011 y lo sumamos al renglón 1. Esto nos da:

Finalmente, hacemos los 1’s en la diagonal principal. Para ello, multiplicamos el renglón 1

por 41

y el renglón 2 por 25.01

. Esto nos da la matriz final:

Por lo tanto, concluímos que la matriz inversa de A es:

Ejemplo 2.      Usar el método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de:

Solución.    En una matriz, colocamos la matriz A y a su derecha agregamos la matriz identidad:

Vemos que el primer elemento pivote 211 a está bien colocado y procedemos a hacer

ceros debajo de este elemento. Para ello multiplicamos el renglón 1 por 25.0

y lo sumamos

al renglón 2; también, multiplicamos el mismo renglón 1 por 23125.0

y lo sumamos al renglón 3. Esto nos da:

Para elegir el segundo elemento pivote, debemos escoger el elemento mayor (con valor

absoluto) entre 2.022 a y 25.132 a , el cual obviamente es éste último. Por lo tanto, debemos intercambiar el renglón 2 y el renglón 3. Tenemos entonces:

Procedemos a hacer ceros arriba y abajo de nuestro segundo elemento pivote; para ello,

multiplicamos el renglón 2 por 25.14 y lo sumamos al renglón 1, y también multiplicamos

el mismo renglón 2 por 25.12.0

y lo sumamos al renglón 3. Esto nos da:

Nuestro tercer elemento pivote es 4.033 a . Para hacer ceros arriba de este elemento,

multiplicamos el renglón 3 por 4.0125.3 y lo sumamos al renglón 2, y también

multiplicamos el mismo renglón 3 por 4.010

y lo sumamos al renglón 1. Esto nos da:

Finalmente, hacemos los 1’s en la diagonal principal. Para ello multiplicamos el renglón 1,

2 y 3 por 21

, 25.11 y 4.0

1, respectivamente. Esto nos da la matriz final:

Por lo tanto, concluímos que la matriz inversa de A es:

MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

La matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es la siguiente:  

  Cada fila de M corresponde a una ecuación del sistema y cada columna a los coeficientes de una incógnita, excepto la última, que corresponde a las constantes del sistema.   Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada, específicamente, reduciéndola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss.  

Método de Gauss   Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se aplica el método de Gauss. Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo: Sea el sistema,

  su matriz ampliada asociada es  

  Ahora resolvemos por el método de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de la x, la segunda a los de la y, la tercera a los de la z y la cuarta a los términos independientes:  

  De este modo, el sistema tiene la solución única   x = 2, y = -1, z = 3.   La resolución de sistemas de ecuaciones lineales por matrices, aplicando el método de Gauss u otros, es una de las múltiples aplicaciones que tienen éstas.   Ejercicio: Hallar el valor de x, y, z, t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices:  

 

a) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:  

  La tercera fila se suprime, puesto que es múltiplo de la segunda y resultaría una fila nula. Así, el sistema queda formado por dos ecuaciones con cuatro incógnitas:  

  La solución del sistema es compatible e indeterminado, esto es, tiene infinitas soluciones.   x = -9 - y + 10t z = 7t - 7 ó (- 9 - y + 10t, y, 7t - 7, t). Dependiendo de qué valores se escojan para y y t, salen distintos resultados. Así, para y = t = 0 tendremos la solución del sistema x = -9, y = 0, z = -7, t = 0.     b) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:  

 

No hay necesidad de continuar calculando nada más, puesto que la matriz escalonada ya nos indica que el sistema es incompatible (SI), es decir, que no tiene solución. Específicamente, la tercera fila de la matriz escalonada corresponde a la ecuación   0x + 0y + 0z + 0t = -5 obteniendo como resultado 0 = -5, que es absurdo. Por lo tanto, decimos que no tiene solución.

a) Regla de Cramer

Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes:   1. Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.   2. Calcular el determinante de A.   3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:   a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes;   b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita;   c) continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas.   Ejemplo:   Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas:  

Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer.   Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales:  

El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues:  

Y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas:  

Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado (a un s.e.l. qu cumple estas condiciones se le llama un sistema de Cramer).

El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinate de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los términos independientes.

b) Por inversión de la matriz de coeficientes

Si A·X = B, entonces X = A-1B.

Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado.

Ejemplo

UNIDA N° 06MATEMÁTICA COMERCIAL

COMPETENCIA DE LA UNIDAD

¿Qué? Al término de la unidad el alumno podrá plantear, resolver y explicar el comportamiento del dinero en función al tiempo aplicando factores intervinientes.

¿Para que? Para analizar resultados y tomar decisiones frente a los resultados ya sean ganancias o pérdidas de dinero

¿Por qué? Porque permite mediante resultados le ayuden a explicar como el dinero en función al tiempo y otros factores mediante técnicas y formulas financieras permite un resultado optimo y confiable

¿Cómo? Como formación de base necesaria y solida mediante la inducción y deducción y análisis para aplicar a casos prácticos de índole financiero.

MATEMATICA FINANCIERA

INTERES COMPUESTOINTERES SIMPLE

RACIONAL

ECUACIONES DE VALOR

VALOR PRESENTE

ANUALIDADESDESCUENTOS

APLICACIÓNES

COMERCIAL

BANCARIO

CONSOLIDACION CUENTAS AMORTIZACION

CAPITALIZACION

DEPRECIACION

MAPA CONCEPTUAL

INTERES

DEFINICIONES

El interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base.

Interés simple, es también la ganancia sólo del Capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial.

La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (períodos menores de 1 año). Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que éstos son cobrados o pagados. El interés simple, NO capitaliza.

El interés viene a ser la cantidad de dinero que produce cierto tiempo y tasa , también se dice que es la cantidad de dinero que se paga por el uso de un dinero prestado o es la cantidad de dinero producido por una inversión .

CLASES

- Interés Simple

- Interés compuesto

INTERES SIMPLE

Se llama Interés simple cuando los intereses se reparten en forma constante en cada periodo del préstamo permaneciendo el inalterable todo el tiempo del préstamoFACTORES QUE INTERVIENEN

CAPITAL (c).- Llamado base o principal, es el dinero en préstamoTIEMPO (t) .- El periodo durante el cual se presta el capital puede ser:

- 1 año ………………..12 meses- 1 año 365 días………interés exacto- 1 año 360 días……….interés ordinario- 1 mes ………………..30 días- 1 semana ……………..7 días-TASA ( n%).- Es el interés o ganancia que produce el capital en préstamo llamada

También razón, tasaTANTO POR UNO (i).- Es la centésima parte de de la tasa quiere decir

n %100

FORMULASB………………………..100%P…………………………..n%

B=CP=I entonces C……………………………100%

I……………………………..n%

FORMULA GENERAL:

I=C∗n %∗t100∗(…)

Si M = C + I

M= montoI = InterésHallar las formulas de monto

M = C (1+n %∗t100∗()

¿

CASO DE DISMINUCION O DEDUCCIONSabemos que:

P = n % (B−P )100 %−n % …………………I =

n%(C−I )100 %−n %

CASO DE AUMENTOS PORCENTUALESSabemos que

P = n % (B+P)100 %+n % ………………… I =

n %(C+ I )100 %+n %

PROBLEMAS DE APLICACIÓN1.- Un interés disminuida en su 7% es la cantidad de S/. 930.00 ¿Cuál es dicha cantidad?

SoluciónDatosC-I = S/930.n% = 7%

I = n%(C−I )

100 %−n % ………………….I =7∗930100−7 = 70

C-I = 930C= 930 +70 …………………….C= s/. 1000.00

2.-Una casa se vendió ganado el 12% de interés, sabiendo que el precio de venta fue de S/ 53450 nuevos soles ¿Cuál ha sido el costo inicial de la casa?

SoluciónDatosC+I = S/53450.n% = 12%

I = n %(C+ I )

100 %+n % ………………….I =12∗53450100+12 = 5726.79

C+I = 53450C= 53450-5726.79 = 47723.21 …………………….C= S/. 47723.21

Ahora prueba tu capacidad1.-Un televisor de 12” se vende ganado un 16% de su precio inicial por la suma de S/ 308000 ¿Cuál es el precio inicial del televisor?

2.- Una cantidad disminuida en su 7% es S/.930.00 ¿Cuál es esa cantidad?

CALCULO EXACTO Y APROXIMADO DEL TIEMPO

CALCULO EXACTO.- Como su nombre lo indica es el numero exacto de días tal como se encuentran en el calendarioCALCULO APROXIMADO.-Se hace suponiendo que cada mes tiene 30 días

PROBLEMAS DE APLICACIÓN1.- Si S/. 15000 al 10% anual impuesto durante 4 años calcular el monto total al final de dicho tiempo

DATOS

C= s/.15000 M = C (1+n %∗t100∗()

¿

.n% = 10%

.t= 4 años M = 15000 ( 1 + 10∗4

100(1) )

M = ? M = S/. 21000I= M-CI= 21000-15000= 6000I= S/.6000

2.-Durante cuantos meses debe imponerse un capital de S/ 3500.00 al tanto por uno de 0.07 para que genere un interés de S/ 250.00

DATOSC= 3500

.i= 0.07 I=C∗n%∗t100∗(12) =

C∗i∗t12

I= 250 .t= I∗12C∗i =

250∗123500∗0.07 =12.24 meses

.t=?(meses) .t= 12 meses y 7 dias

Ahora prueba tu capacidad3.- Hallar el monto total de un capital de S/. 39589.00 impuesto al 5% anual durante 8 años

4.-Determinar en forma exacta y aproximada el tiempo transcurrido del 20 de junio de 1970 al 28 de agosto del mismo año.

TIEMPO APROXIMADO TIEMPO EXACTO28 -08 -1970 -

-/-------------------------------------------------------/--20-06- 1970 20-06-70

28-08-70 ------------------------------- 171 (tablas)

(tablas)240 08 – 02 ----- .t= 240 -171 = 69 días exactos

.t= 2 meses y 8 días

.t= 2*30 + 8 = 68 días

5.-Determinar el interés exacto y ordinario de S/. 26890.00 al 6% , del 20 de abril de 1980 al 2 de junio de 1983

INTERES ORDINARIODATOSC= S/.26890 02 – 06 – 1983 - t = 3 años, 1 mes y 12 días.n% = 6% 20—04 – 1980 t = 3*360 + 1*30 + 12 = 1122 días.to= ? ----------------------------- t o = 1122 díasIo= ? 12 - 1 - 3

Aplicación de formula de Io

Io=C∗n %∗t o

100∗(360)

Io = 26890∗6∗1122100∗360 = 5028.43

Io = S/. 5028.43INTERES EXACTODATOSC=S/.26890n%=6 te=?Ie=?/…………………/……………………../………………………./……………./

20-04-80 31-12-80 31-12-81 31-12-82 02-06-83 /…………………/……………………../………………………./……………./ 110 365 (365) (365) 0 153 /…………………/……………………………………..…………./………………./

255 730 153

/………………………………………………………………………………………/ .te = 1138 dias

Aplicación de formula de Ie

Ie=C∗n%∗te

100∗(365)

Ie = 26890∗6∗1138

100∗365 = 5030.27

Ie = S/ 5030.27

NOTA.- De los cuatro métodos para calcular el interés simple, el mas usado es el de de interés ordinario (360 días) con el numero exacto de días, siendo este sistema utilizado por las instituciones bancarias, el cual produce mayor interés, siendo la formula :

I = C∗n %* t ex

100∗360INTERES CON CAPITAL Y TASA NOMINAL CONSTANTE

- EL CAPITAL PERMANECE INVARIABLE- LA TASA DE INTERES NIMINAL NO SUFRE VARIACION- EL INTERES ES INVARIABLE EN CADA PERIODO

I =

Cn %t100∗( . .. )

INTERES CON CAPITAL CONSTANTE Y TASA NOMINAL VARIABLE- CAPITAL PERMANECE INVARIABLE- LA TASA DE INTERES CAMBIA EN CADA PERIODO- EL INTERES VARIA EN CADA PERIODO

.n1% n2% n3% nn%0………………t1………………t2……………t3……………tn

I =

Cn1 %t1

100∗( . .. ) +

Cn2%t2

100∗( . .. ) +………………………………..

Cnn %tn

100∗( . .. )

I= C100∗(…)∑i=1

n

ni % t i

EjemploEl 2 de julio se deposita en una entidad financiera la suma de S/5000 a interés

simple, la tasa de interés al momento de depositar fue de 24%, la misma que bajo al 22% el 18 de agosto del mismo año y al 18% el 10 de setiembre, Calcular el interés en la fecha de retiro que el 5 de noviembre del mismo año SoluciónC= constanteC=S/ 5000

.24% 22% 18% 0………………t1………………t2……………t3

2-7 18-8 10-9 5-11 Tablas (183) (230) (253) (309) /…………………/………………./…………………./ 47 23 56

I= C100∗(…)∑i=1

n

ni % t i

I = 5000

100∗360(24∗47+22∗23+18∗56 )=366.94

I = S/ 366.94

INTERES CON CAPITAL VARIABLE Y TASA NOMINAL CONSTANTE- CAPITAL VARIABLE EN CADA PERIODO- TASA DE INTERES INVARIABLE EN TODO PERIODO- EL INTERES VARIA EN CADA PERIODO-

- I =

C1n %t1

100∗( . .. ) +

C2 n%t2

100∗( . .. ) +………………………………..

Cn n%tn

100∗( . .. )

I= n %100∗(…)∑i=1

n

C i t i

EjemploEl 12 de junio una persona abre en una cuenta de ahorros en el Banco Sur con un capital inicial de S/ 8500 a una tasa de interés del 26%, a partir de esa fecha efectúa varios depósitos del siguiente modo

Fecha Operación Importe12 de junio Deposito S/ 100015 de agosto Deposito S/ 30010 de septiembre Retiro S/ 50030 setiembre Cancelación

Se quiere calcular en interés simple que genera hasta la fecha de cancelaciónSolución .n% = Constante.n% = 26% C1 = 8500+1000 C2 =9500 +300 C3 =9800 - 500 C1 = 9500 C2 =9800 C3 =9300

0………………t1………………t2……………t3

12-06 15-08 10-09 30-09Tablas 163 227 253 273

/………………../…………………/………………../ 64 26 20

I= n %100∗(…)∑i=1

n

C i t i

I = 26

100∗360 (9500*64+9800*26+9300*20) = 757.47

I = S/ 757.47

INTERES CON CAPITAL Y TASA NOMINAL VARIABLES- INTERES VARIABLE- CAPITAL VARIABLE- TASA DE INTERES VARIABLE- TIEMPO VARIABLE

- I =

C1 n1%t1

100∗( . .. ) +

C2 n2 %t2

100∗( . .. ) +………………………………..

Cnnn %tn

100∗( . .. )

I= 1100∗(…)∑i=1

n

C ini % t i

EjemploUna persona abre un deposito de ahorro el 18 de julio y se cancelo el 18 de diciembre del mismo año en el Banco Nacional, en ese periodo se efectuaron los cambios de capitales y de tasa de interés según el siguiente resumen ¿Cuánto recibe al final?

Fecha Operación Capital Operación tasaTasa

18-07 Deposito S/1000 Tasa inicial 24%27-08 cambia tasa 22%30-09 Deposito S/ 600 cambia tasa 18%30-11 Retira S/ 500 cambia tasa 16%18-12 Cancelación

Solución

C0 =1000 C1 =1000 C2 =1600 C3 =1100 .24%% 22% 18% 16%

0………………t1………………t2……………t3……………tf

18-07 27-08 30-09 30-11 18-12 Tablas 199 239 273 334 352 /…………………/………………./………………./……………../ 40 34 61 18

I= 1100∗(…)∑i=1

n

C ini % t i

I = 1

100∗360(1000∗24∗40+1000∗22∗34+1600∗18∗61+1100∗16∗18)

I = s/ 105.04

AMORTIZACION A INTERES SIMPLE

DEFINICIONEs una operación que consiste en hallar los intereses sobre los descuentos de

los saldos amortizados, por el tiempo que falta para el vencimiento.La siguiente tabla se confecciona de acuerdo a los tiempos que intervienen , la amortización es una cantidad exacta que se tiene que hacer en cada periodo.Ejemplo

El Sr. Luís Campos Ríos, obtiene un préstamo de una entidad financiera por la suma de $3000.00 a una tasa de interés del 18% en plazo de 6 mesesConfeccionar la tabla de amortización, así mismo el interés total y montoSolución

Amortización =3000

6=500

I6 = 3000∗18∗6

100∗12=270 I= S/. 270

I5 = 2500∗18∗5

100∗12=187.50 I= S/. 187.50

I4 = 2000∗18∗4

100∗12=120 I= S/. 120

I3 = 1500∗18∗3

100∗12=67.50 I= S/. 67.50

I2 = 1000∗18∗2

100∗12=30 I= S/. 30

I1 = 500∗18∗1

100∗12=7.5 I= S/. 7.5

TABLAS DE AMORTIZACION A INT SIMPLE

C.P O V.A INT t AMORT SALDO

A PAGAR

3000 270.00 6 500 2500 770.002500 187.50 5 500 2000 687.502000 120.00 4 500 1500 620.001500 67.50 3 500 1000 567.501000 30.00 2 500 500 530.00500 7.50 1 500 0 507.50

682.50 3000 3682.50

CONSOLIDACION DE CUENTAS

Llamada también unificación de cuentas o deudas que se tiene por diferentes cantidades con diferentes tasas de interesa si como diferentes fechas de vencimiento, todo esto con el fin de unificarlas en una sola cuenta, el requisito importante para esta consolidación es ponerse de acuerdo en la fecha y tasa según tratativa del deudor y acreedor.Para realizar dicho cálculo es necesario de convertir todas las deudas a un solo valor en el día actual a la tasa acordadaPROBLEMA DE APLICACIÓNUna persona tiene las obligaciones de pago con una distribuidora de medicinas que son :

a) La cuenta de S/ 3890 de una compra que tiene que pagar dentro de 16 meses con un interés del 10%

b) Un pago de S/4390 dentro de 14 meses con un interés de 16%c) Un pagare de S/5590 con vencimiento dentro de 8 meses al 8%

Se desea consolidar las tres cuentas en una sola, pagando en la fecha S/ 5000 a cuenta de la consolidación y la cantidad restante por acuerdo de ambas partes dentro de 10 meses, así mismo por mutuo acuerdo una tasa de 9% tasa de rendimiento).Calcular el valor de la cuenta a pagarse entro de los 10 mesesSolución

*Suponiendo las cuentas normales* Se obtienen los montos respectivos Se lleva los montos a valor presente a la fecha focal (hoy) Al total de la consolidación se le resta el pago a cuenta Al saldo de la consolidación se le lleva a la fecha acordada ( 10 mes) nR %= 9%

0 6 10 14 16

M = C (1+n %∗t100∗()

¿

C = Vp

Vp = M

1+ n %∗t100∗12

Ma = 3890( 1+10∗16100∗12

¿ Ma = S/. 4408.67

Mb = 4390( 1+16∗14100∗12

¿ Ma = S/. 5209.47

Ma = 5590( 1+8∗9

100∗12¿ Ma = S/. 5888.13

Vpa = 4408.67

1+ 9∗16100∗12

Vpa = 3936.31

Vpb = 5209.47

1+ 9∗14100∗12

Vpb = 4714.45

Vpc = 5888.13

1+ 9∗8100∗12

Vpc = 5554.84

C.C (HOY)= Vpa+Vpb+VpcC.C. (HOY)= S/ 14205.60 C.C. (HOY) –Pago a cuenta = 14205.60 -

5000= 9205.60

* Se lleva el resultado al t= 10 meses a la tasa de rendimiento del 9%

M = 9205.60( 1+9∗10

100∗12¿=¿ 9896.02

M = S/ 9896.02

Ahora prueba tu capacidad 1.-Determinar de acuerdo con el sistema bancario el interés simple sobre S/ 36897.00 al 18% durante 63 días

2.- Un pagare a 10 meses por S/ 36450 al 12% es suscrito el día de hoy, determinar su valor dentro de 7 meses suponiendo un rendimiento del 5%

3.-Determinar el valor de las siguientes obligaciones el día de hoy, suponiendo una tasa del 4% d interés simple:a) S/ 2359.00 con vencimiento el día de hoyb) S7. 3782.00 con vencimiento dentro de un año con 10% de interés c) S/. 4562.00 con vencimiento dentro de 8 meses con 8% de interésUtilizar el día de hoy como fecha focal

4.-Resolver el problema anterior considerando que, la fecha focal esta un año después

5.- Un pagare de S/ 8765.00 firmado el 1 de abril con vencimiento en 8 meses y con interés de 5% es vendido a una persona X el 14 de junio con la base de un rendimiento en el la inversión del 6% ¿Cuánto paga X por el documento?

¡Hazlo Tú! 1.- Determinar el valor de un préstamo de S/.2500.00 con vencimiento de 9 meses, el día de hoy con una tasa de rendimiento del 8 % .2.-Carmen Díaz obtiene un préstamo de Juan Gálvez por un valor de S/. 2200 a 2 años con interés de 8 % Qué cantidad tendrá que aceptar Juan Gálvez como liquidación del préstamo 15 meses después suponiendo que desea un rendimiento del 6 %.3.-Que oferta es mas conveniente para el comprador de una casa S/.4000 de iníciales y S/ 6000 después de 6 meses o S/ 6000 de iníciales y S/ 4000 después de in año.Supóngase un interés del 6% compárese en la fecha de compra el valor de cada oferta.4.- Un padre deja al morir una cantidad de S/. 3200 como deposito en una entidad financiera que le paga el 24% de interés capitalizable semestralmente , el hijo tiene 6 años y sacará el dinero cuando cumpla 20 años se desea saber cuanto será el monto?

DESCUENTO

Se llama así a la disminución de dinero que se hace antes del vencimiento de un documento de crédito es decir, es una cierta cantidad que se disminuye de lo que se encuentra escrito en el documento de crédito a esta cantidad se le llama valor nominalVALOR NOMINAL.- Se denota por VN es el valor que esta escrito en el documento de crédito

VALOR ACTUAL.- Se denota por VA es la diferencia entre el valor nominal y el descuento que para algunos economistas se llama valor efectivo

VA = VN – D

CLASES DE DESCUENTOS

1.-DESCUENTO COMERCIAL, SIMPLE O REAL.-Viene a ser el valor nominal de un documente de crédito que produce un interés simple desde el día del descuento hasta el día de su vencimiento a este interés se le denota con la letra (D)

DESCUENTO RACIONAL.-Es el valor actual de un documento de crédito que produce un interés simple desde el día del descuento hasta el día de su vencimiento se denota por (d)DESCUENTO POR PAGO AL CONTADO.-Es el descuento que se hace sobre el valor de una factura u otro documento de pago dentro de un periodo de tiempoEl descuento es el interés simple que se calcula sobre el valor nominal o sobre el valor actualEn el primer caso el descuento recibe el nombre de descuento comercial y en el segundo se llama descuento racional matemático o bancario

FORMULASDESCUENTO COMERCIAL (D)

I =

Cn %t100∗( . .. )

I=DC= V.N.

D =

V . N .n%t100∗( . .. ) D= V.N. –V.A , V.A= V.N – D

DESCUENTO RACIONAL ( d )

I =

Cn %t100∗( . .. )

I= dC= V.A.

d =

VA . n %t100∗( . .. ) d= V.N. –V.A , V.A= V.N – d

DESCUENTO BANCARIO

..dB =

VA . n%t100∗360 ..dB =

VA∗. i∗t360

EJEMPLOS

1.-Hallar los descuentos comercial y racional así mismo el valor actual para ambos casos, si se tiene un documento cuyo valor es de S/ 16000 que vence dentro de 8 meses se descuenta al 4%SoluciónDATOSDescuento Comercial

D=? D =VN∗n%∗t

100∗12 D = VN-VA

V.N.=S/.16000

.n%=5% D = 16000∗5∗8

100∗12 = 213.33 VA 0 VN - D

.t = 8 meses D = S/. 213.33 VA = 16000-213.33= 15786,67V.A =? VA = S/. 15786.67

Descuento Racional

.d=? d =VA∗n%∗t

100∗12 d = VN-VA

V.N.=S/.16000 d = VN –VA d = 16000-15794.66

.n%=5% VN-VA = VA∗n %∗t

100∗12 = d = S/.205.44

.t = 8 meses 16000 -VA= VA∗5∗8100∗12

V.A =? VA = S/.15794.67

Ahora prueba tu capacidad2.-Calcular el valor nominal de un documente al 6% durante 25 meses antes de vencer tenia un valor actual con descuento racional de S/ 60000.00

3.-Hallar el descuento bancario si un documento de crédito con un valor nominal de S/ 350000.00 se descuenta al 5%.Dicho documento se tranza el día 10 de mayo y vence el 15 de noviembre de 2005.Hallar el descuento bancario y su valor actual

4.- Se tiene un documento de S/ 16873.00 que vence dentro de 8 meses y se descuenta al 4% (mensual) ¿Cuál es el valor actual?

FORMULAS SIMPLES PARA APROXIMAR TASAS DE INTERES

n= Números de pagos excluyendo el pago inicialm= numero de pagos en un añoi= Tanto por unoa= pago periódicoSI = Saldo insoluto = Valor de contado – cuota inicialC= Cargo por interésSn = Suma de los n abonos C = a * n –SI

FORMULA RESIDUAL O COMERCIALSuponiendo que los pagos periódicos se usan en primer lugar para el pago del SI además para el pago del cargo

i =

2 mcSI (n+1 )−C (n−1 )

FORMULA DE RAZON CONSTANTESuponemos que cada pago periódico se utilizara para el pago de parte del saldo insoluto y para el pago de intereses en la misma razón del SI al cargo por interés

i =

2mcSI (n+1 )

FORMULA DE SERIE DE PAGOSCon la suposición de que la suma de los valores presentes en la fecha de la compra de la secuencia de pagos , a la tasa de descuento simple es el saldo insoluto

I=

6mc3 SI (n+1)+C (n−1)

PROBLEMA DE APLICACIÓNSe tiene el precio de un automóvil por $5950 precio de contado, se quiere pagar con una inicial de $950 y 10 mensualidades de $560.00 mas intereses cada uno .Hallar la tasa de interés aplicando cada una de las formulas de aproximación y realizar comentarios de los resultados.SoluciónDatos.n = 10 S.I = 5950 – 950 = 5000.m = 12 C = a*n –S.I.a = $560 C = 560*10 – 5000= $600 S:I = PC – PI C = $600

Remplazando en las formulas:

FORMULA RESIDUAL O COMERCIAL

i =

2 mcSI (n+1 )−C (n−1 )

i =

2∗12∗6005000(10+1 )−600(10−1)

i =

❑❑0.29 n% = 29%

FORMULA DE RAZON CONSTANTE

i =

2mcSI (n+1 ) i =

2∗12∗6005000(10+1 )

i = 0.262 i = 26.2%

FORMULA DE SERIE DE PAGOS

I=

6 mc3 SI (n+1)+C (n−1) I=

6∗12∗6003∗5000(10+1 )+600(10−1)

I = 0.261 i= 26.1%INTERES COMPUESTO

Es cuando el interés producido por un capital es agregado a dicho capital para formar un capital nuevo. En este caso se dice que es capitalizable o convertible el capital por lo tanto gana nuevos interesesEl capital aumenta periódicamente y el interés convertible en cada periódico, el capital aumenta en cada periodo por incrementarse el interés durante el tiempo o periodo en que se hace la transacciónLa suma final de la transacción se le conoce con el nombre de monto compuesto , ala diferencia entre el monto compuesto y el capital original se le conoce como interés compuestoNOMENCLATURA

Ic = Interés compuestoC = Capital originalMc = Monto compueston% = tasa de interési = Tanto por unot = Tiempo o periodo

FORMULAS

Mc = C(1+i)t o Mc = C( 1 +

n%100 )t

Mc = C + Ic Ic =C [(1+i)t−1 ]En interés compuesto se tiene la característica de que los intereses ganados de un capital ya sea anualmente, semestral, trimestral, bimestral, mensual etc. se convierte en capital.El numero de veces que el interés es convertible en un año se conoce con el nombre de frecuencia de inversión.Ejemplo

Se convierte cierta cantidad durante 6 años y medio a una tasa del 8% anual, convertible trimestralmente, se pide hallar

a) Periodo de conversiónb) Frecuencia de conversiónc) Tiempo o periodo totald) Tasa del periodo de conversiónSolucióna) Periodo de conversión igual a 3 mesesb) Frecuencia de conversión igual a 4 ( en 1 año)c) Tiempo: t= 6.5*4 = 26 trimestres

d) Tasa por periodo de conversión =

8%4 = 2% por trimestre

Ahora prueba tu capacidadSe tiene un capital X se invierte durante 4 años y medio convertible semestralmente a una tasa del 20% anual. Hallare) Periodo de conversiónf) Frecuencia de conversióng) Tiempo o periodo totalh) Tasa del periodo de conversiónSolución

Ahora prueba tu capacidad Una cantidad X es invertida al 12% convertible trimestralmente del 10 de octubre 1966 al 10 de enero de 1974. Hallar el tanto por uno y el tiempo.Solución

Ahora prueba tu capacidad

Una cantidad es invertida por 6 años y 2 meses al 6% , convertible mensualmente, Hallar: La tasa de interés por periodo de conversión y el numero de periodosSolución

Ahora prueba tu capacidad Hallar el monto compuesto si se invierte un capital de S/. 1500 durante 4 años y 6 meses a una tasa del 16% capitalizable semestralmenteSoluciónDatos C = S/.1500 M = C(1+i)t .t = 9 semestres.n% = 16/ 2 = 8% M = 1500(1+0.08)9 .i = 0.08 M = S/.2998.51

Ahora prueba tu capacidad Hallar el interés compuesto si se tiene un capital de S/. 5200 a una tasa del 21% .El capital se impuso el 19 de abril del 2003 y se retiro el 19 de agosto del año 2005.Teniendo en cuenta que es capitalizable cada 4 mesesSoluciónDatosC = S/. 5200 t : Ic =C [(1+i)t−1 ].n% = 21% 19 – 8 -05 - Ic=5200 [(1.07)7−1 ].t = del 19-4 03 al 19-8-05 19 – 4 – 03 I = S/.3150.06Capitalizable cada 4 meses ……………….n% = 21/ 3 = 7% -----4 - 02.i = 0.07 2 años y 4 meses

.t = 2*3 + 1= 7 periodos

MONTO COMPUESTO CON PERIODOS DE CONVERSION EN FRACCIONES

FORMULAS TEORICAS:MC =C ( 1+i)t (1+i)f MC =C ( 1+i)t (1+fi)MC =C ( 1+i)t+f

Si I = M-CI = [ C ( 1+i)t (1+fi) ] +C

FORMULA PRÁCTICA

M = C + I

M = C ( 1+i)t +

c (1+ i )t n %f100∗( . .. .)

EjemploHallar el interés compuesto de un capital de S/. 4600 invertido el 15 de

febrero de 1999 y se retira el 15 de octubre de 2002 capitalizable semestralmente a una tasa del 40% anual, así mismo hallar el monto compuesto. Aplicar formula teórica y practicaSoluciónDatosC = S/ 4600 15 -10 – 02 t = 7 semestres y 2 meses.n% = 40% , ns %=40/2 = 20% 15 – 02 – 99 t = 7 sem y 2/6 sem.t = del 15-02-99 al 15-10-02 ……………………. .t = 7 semM =? -- 8 - 3 .f = 0.33 semI = ? 3 años y 8 mesesFormulas MC =C ( 1+i)t (1+i)f MC =4600 ( 1.2)7 (1.2)0.33 M = S/. 17504.77I = M-C I = 17504.77-4600 =12904.77 I = S/.12904.77

M = C ( 1+i)t +

c (1+ i)t n %f100∗( . .. .) M = 4600 ( 1.2)7 +

4600 (1.2)7 40∗0. 33100∗2

M = 17570.49 M = S/ 17570.49

Ahora prueba tu capacidadHallar el monto compuesto de un capital que se invierte durante 3

años y 7 meses convertible cada 4 meses a una tasa del 15 % anual, dicho capital es de S/ 180000.Aplicar la formula teórica y practicaSolución

Ahora prueba tu capacidad Hallar el valor presente de S/ 12000 pagando en 5 años y 8 meses

suponiendo un rendimiento del 4% anual convertible trimestralmenteSolución

ECUACION DE VALOR

Una ecuación de valor se define igualando en una fecha de comparación o fecha focal, la suma de un conjunto de obligaciones. Cuando se trata de interés compuesto dos conjuntos de obligaciones que son equivalentes en la fecha focal, también lo son en cualquier otraEl valor presente viene hacer la forma de actualizar una cantidad teniendo el monto a una tasa dada en un tiempo talSe toma de la formula de monto compuesto despejando el capital para luego remplazarlo por Vp

M = C(1+i)t ……………………..C =

M(1+i )t

C = Vp ……………………………Vp =

M(1+i )t

EjemploHallar el valor presente de S/ 6400 a una tasa de rendimiento del 8% anual,

capitalizable semestralmente en un tiempo de 3 añosSoluciónDatos

M = S/.6400 Vp =

M(1+i )t

.n% = 8%

.t = 3 años Vp = 6400(1.04)6

Cap Semest.n% = 8/2 = 4% Vp = S/. 5058.00.i = 0.04.t = 6 semestres

Ahora prueba tu capacidad Una persona debe a una entidad financiera la suma de S/ 3000 pagaderos en

2 años y S/ 8000 pagaderos en 5 años incluido sus intereses compuestos a una cierta tasa.La entidad financiera necesita capital para el tercer año plantea lo siguiente

Que liquide sus deudas mediante un pago único al final del tercer año con una tasa de rendimiento del 6% que es más bajo que el tratado convertible los intereses semestralmenteSolución

Ahora prueba tu capacidad Suponiendo una tasa de rendimiento del 4% anual. Hallar el valor presente

de una deuda de S/ 2500 con el interés del 6% convertible trimestralmente en un plazo de 4 año Solución

TASA NOMINAL Y EFECTIVA DE INTERESDos tasas anuales de interés con diferentes periodos de conversión son equivalentes si producen el mismo interés compuesto al final de un añoSi el interés es convertible más de una vez, la tasa anual dada se conoce como tasas nominalLa tasa de interés ganada en un año se conoce como tasa efectiva anual o tasa efectiva.Ejemplo

Hallar el monto compuesto de S/ 1500 al 16% anual convertible trimestralmente, calcular para un tiempo de un año la tasa efectiva.SoluciónDatos C(1+ie ) = C(1+in )n C = S/.1500 1500(1+ie ) = 1500(1 + 0.04)4 .n% = 16% ie = (1.04)4 -1.n% = 16/4 = 4% ie =1.16985856-1Conv. Trimestral ie = 0.16985856.t = 1 año ie =0.1699

.ne% = 16.99% Ahora prueba tu capacidad

Hallar la tasas nominal y efectiva si se impone durante un año la suma de S/ 3200 capitalizable bimestralmente a una tasa del 30% anual

ANUALIDAD

Definición.- Se denomina así a una serie de pagos que puede ser anual o en periodos regulares diferentes a un año.El tiempo que transcurre entre cada pago de una anualidad se le conoce como intervalo de pagoEl tiempo que transcurre desde el inicio hasta el final del último pago se le conoce con el nombre de plazo de la anualidadLa suma de todos los pagos hechos en un año se conoce como renta anual.ANUALIDAD CIERTA.- Es una anualidad en la cual los pagos comienzan y terminan en fechas fijasANUALIDAD CONTINGENTE.- Es aquella en la cual el plazo depende de algún suceso cuyo depósito no es a fecha fijaANUALIDAD CIERTA ORDINARIA.- Es aquella en la cual los pagos se realizan al final de cada intervalo de tiempo.En las anualidades para mejor estudio se divide en dos casos bien definidosa) Constituir un capital , lo que se le denomina CAPITALIZACIONb) Amortizar una deuda, lo que se le denomina AMORTIZACION.

CAPITALIZACION

Se llama así al capital que se forma por la suma de una serie de depósitos periódicos mas sus intereses compuestos.En capitalización tendremos dos casos de abonar capital, el primero cuando se impone al final de cada periodo y el segundo cuando se impone al inicio de cada periodo

CAPITALIZACION AL FINAL DE CADAD PERIODOEjemplo

Durante 4 años se impone S/ 20000 al 10% anual al final de cada año, cual será el monto al finalizar dicho tiempo Solución

Deducción de formula para hallar el monto

……………… …2000

…2000……… … 2001. S/ 20000…………..M1 =20000(1.1)3 = S/ 26620

2001…………… 2002 S/ 20000…………… M1 =20000(1.1)2 = S/ 24200

2002………………2003. S/ 20000…………… M1 =20000(1.1) = S/ 22000

2003………………2004. S/ 20000…………… M1 =20000(1.1)0 = S/ 20000 Mtotal = M1 +M2 +M3 +M4 = S/. 92820

Anualidad = aC = a.a= S/ 20000

M t = 20000(1.1)3 +20000(1.1)2 +20000(1.1) +20000(1.1)0 En orden ascendente:

Mt = 20000(1.1)0 +20000(1.1) + 20000(1.1)2 +20000(1.1)3 Mt= a + a(1.1)+ …………………………………+a(1.1)3

S = U q−a

q−1 Mt = a+………………a(1.1)3

1º termino……….Ultimo término .a(1+i)t-4 ……….…..a(1+i)t-1

U = Ultimo termino.a = primer termino

.q = razón geométrica q = a(1+i)2

a (1+ i) = (1+i)

Suma de términos en una progresión geométrica: S

S = U q−a

q−1 Mt = U q−a

q−1 Mt = a (1+ i )t−1 (1+i )−a

(1+ i )−1

Mt =a(1+i)t−ai

Mt= a [(1+i)t−1 ]i

a =

Mt∗i(1+i)t−1

Mt= 20000 [(1+0.10)4−1 ]0.10

= 92820 Mt = S/. 92820.00

Formula de una anualidad

a =Mt∗i

(1+i)t−1Formula de tiempo

Formula de tanto por uno

Formula de valor presente

Mt= a [(1+i)t−1 ]i

C(1+i)t = a [(1+i)t−1 ]i

Vp(1+i)t = a [(1+i)t−1 ]i

C = Vp Vp = [a(1+i )t−1 ]❑

Vp∗i

CAPITALIZACION AL INICIO DE CADA PERIODO

PROBLEMADurante 4 años se impone la suma de S/. 18000 al inicio de cada periodo a una tasa

de interés del 8 % anual, ¿Cuál sea el monto al finalizar dicho tiempo? Así mismo hallar el interés y montoSoluciónDeducción de formula para hallar el monto

……………… …2000 S/ 18000…………... M1 =18000(1.08)4 = S/ 24488.80

…2000……… … 2001. S/ 18000…………….M2 =18000(1.08)3 = S/ 22674.82

2001…………… 2002 S/ 18000…………… M3 =18000(1.08)2 = S/ 20995.20

2002………………2003. S/ 18000…………… M4 =18000(1.08) = S/ 19440.00

2003………………2004. Mtotal = M1 +M2 +M3 +M4 = S/. 87598.82

Anualidad = aC = a.a= S/ 18000

M t = 18000(1.08)4 +18000(1.08)3 +18000(1.08)2 +18000(1.08) En orden ascendente:

Mt = 18000(1.08)+ 18000(1.08)2 +18000(1.08)3 +18000(1.08)4

Mt= a(1+i)+ a(1+i)2 +a(1+i)3 +a(1+i)4

S = U q−aq−1 = Mt

Mt = a(1.08)+………………a(1.08)4 1º termino……….Ultimo termino

.a(1+i)t-3 ……….…..a(1+i)t U = Ultimo termino.a = primer termino

.q = razón geométrica q = a(1+i)2

a (1+ i) = (1+i)

Suma de términos en una progresión geométrica: S

S = U q−a

q−1 Mt = U q−a

q−1 Mt =

a (1+ i )t−1 (1+i )−a(1+i)(1+i )−1

Mt =a (1+ i )((1+i )¿ ¿t−1)

i ¿

Mt = 18000(1.08)[(1.08)4−1 ]0.08

Mt = S/ 87598.82

Formula de una anualidad

Formula de tiempo

Formula de tanto por uno

Formula de valor presente

AMORTIZACION A INTERES COMPUESTO

Se llama amortización a una serie de depósitos que es necesario de realizar con la finalidad de pagar una deuda que genera interés compuesto teniendo los depósitos fijosPROBLEMA

Se deposita al final de cada semestre la suma de S/. 2000 llamada amortización, durante dos años, si genera interés del 10% anual.Hallar el pago total y cuanto fue el interés

Solución

Deducción de formulas

Amortizacion = s……………… …2000

…2000……… … 2001. S1= 2000……………..M1 =2000(1.05)3 =S/ 2315.25

2001…………… 2002 S2 = 2000…………… M2 =2000(1.05)2 = S/ 2220.52

2002………………2003. S3 = 2000…………… M3 =2000(1.05) = S/ 2100

2003………………2004. S4 = 2000…………… M4 =2000(1.05)0 = S/ 2000 Mtotal = M1 +M2 +M3 +M4 = S/. 86202.50

Amortizacion = S.S= S/ 20000

M t = 2000(1.05)3 +2000(1.05)2 +2000(1.05) +2000(1.05)0 En orden ascendente:

Mt = 2000(1.05)0 +2000(1.05) + 2000(1.05)2 +2000(1.05)3 Mt= S + S(1.1)+ …………………………………… +S(1.1)3

.S = U q−aq−1

Mt = S+………………S(1.1)3 1º termino……….Ultimo término

.S(1+i)t-4 ……….…..S(1+i)t-1 U = Ultimo termino.a = primer termino

.q = razón geométrica q = S (1+i)2

S(1+i) = (1+i)

Suma de términos en una progresión geométrica:

Sn = U q−aq−1 = Mt Mt =

U q−aq−1 Mt =

S (1+i )t−1 (1+i )−S(1+i )−1

Mt =S (1+i)t−Si

Mt= S [(1+i)t−1 ]i

S =

Mt∗i(1+i)t−1

Mt= 2000 [(1+0.50)4−1 ]0.50

= 86202.50 Mt = S/. 86202.50

TABLAS DE AMORTIZACION

PROBLEMAConfeccionar la tabla de amortización de interés compuesto de un préstamo que se

pagara en 5 años al 10% de interés, el préstamo es de S/ 10000 dichos pagos son al final de cada periodo.Solución

C= S/. 10000 S = C∗i∗(1+i)t

(1+i)t−1M = S/. 13189.85

.t= 5 años S = 10000∗0.10∗(1.10)5

(1+i)t−1I = M - C

.n% = 10% S = S/ 2637.97 I 13189.85 – 10000 = I = 0.10 M = S *t I = S/ 3189.85S = ? M = 2637.97 * 5

PERIODOS CAPITAL INSOLUTO

INTERES AMORTIZAC

PAGO DE CAPITAL

I 10000 1000 2637.97 1637.97II 8362.03 836.20 2637.97 1801.77III 6560.26 656.02 2637.97 1981.95IV 4578.31 457.83 2637.97 2180.14V 2398.17 239.81 2637.97 2398.17TOTAL 3188.85 31898.85 13189.85 10000

FONDOS DE AMORTIZACION

El fondo de amortización viene hacer un método de pago, donde el acreedor recibe el interés pactado en su vencimiento y el valor nominal de la deuda al término del plazo.Con el objeto de hacer el último pago el deudor crea un fondo por separado en el cual hace depósitos periódicos iguales durante el plazo de reglamento, de tal forma que justamente después del último depósito el fondo importa el valor de la deuda originalSe supone que el fondo gana intereses pero no necesariamente a la misma tasa que carga el acreedor

Ahora prueba tu capacidad Se tiene una deuda de S/ 16000 que gana intereses al 20% anual convertible

semestralmente se quiere liquidar mediante el método de fondo de amortizaciónSi se va hacer 10 depósitos semestrales iguales el primero con vencimiento en 6 meses, en un fondo que paga 8% anual convertible semestralmente

a) Hallar el importe de cada depositob) Construir la tabla de fondo de amortización

PERIODO AUMENTO DE INTERES

DEPOSITO INCREMENTO AL FONDO

IMPORTE DEL FONDO AL FINAL DEL PERIODO

DEPRECIACION

Es la perdida de un valor de u activo físico ( edificios, maquinarias etc.) como consecuencia del uso, para prevenir la necesidad de reemplazo de un determinado activo al fin de su vida útil, cada año se traspasa una parte de las utilidades de una empresa a un fondo especial llamado fono de depreciación A los depósitos anuales en el fondo para depreciación se les conoce como cargos por depreciación .En un momento determinado a la diferencia entre el costo original del activo y el importe del fondo para depreciación se le conoce como valor en libros, el valor en libros de un activo al fin de su vida útil debe ser su valor de salvamento. El método más simple para depreciar activos conocidos como método de promedios o método lineal, se efectúan depósitos anuales iguales en el fondo para depreciación, durante toda la vida útil del activoEjemploSe estima que una maquina cuyo costo es de $4000 tendrá una vida útil de 6 años y al fina de dicho periodo un valor de salvamento de $400 encontrar

a) La depreciación promedio anualb) b) elaborar una tabla de depreciación en donde se muestre el valor en libros cada

añoSolucióna) Depreciación total = costo – valor de salvamento D.T = 4000 – 400 = $3600Depreciación promedio anual = 3600/6 = $3600

TIEMPO CARGO POR IMPORTE AL FONDO VALOR EN LIBROS

DEPRECIACION PARA LA DEPRECIACION

AL FINAL DEL AÑO

0 0 0 40001 600 600 34002 600 1200 28003 600 1800 22004 600 2400 16005 600 3000 10006 600 3600 400

Los métodos para determinar el cargo anual por depreciación dan lugar a serias objeciones, por ejemplo la depreciación de un activo en su primer año de uso es frecuentemente mayor que la del segundo y la del segundo mayor que el tercero y así sucesivamente El método de porcentaje fijo responde a dicha objeción al suponer que el cargo por depreciación que debe hacerse al final de cada año es un porcentaje fijo del valor contable al principio del año.Sea C el costo original de un activo, S su valor de salvamento y n el numero de años de vida útil. Sea d el porcentaje fijo anual, al final del primer año el cargo por depreciación es Cd y el valor contable es C-Cd =C(1-d) al final del segundo año el cargo por depreciación es C(1-d)d y el valor contable C(1-d)-C(1-d)d = C(1-d)(1-d) = C(1-d)2 los valores contables sucesivos durante la vida del activo correspondes a los términos de la progresión geométrica

C(1-d) , C(1-d)2 , C(1-d)3 ………..IPor tanto al final de n años el valor contable es

C(1-d)n = S……………………..IIEl valor de la tasa de depreciación d puede ser un valor estimado o pude ser determinado de la relación dada en la ecuación II Ahora prueba tu capacidad

Se estima que una maquina con costo de $4800 tendrá una vida útil de 6 años y un valor de salvamento de $360.Determinar la tasa anual de depreciación y construir la tabla de depreciación DatosC = 4800 S = 360 n = 6 hallar d

PERIODO VALOR CONTABLE AL FINAL DEL AÑO

CARGO POR DEPRECIAICON

IMPORTE DEL FONDO PARA DEPRECIACION

En cada método se constituye un fondo de depreciación para tener al final de la vida útil del activo la diferencia entre el costo original y el valor de salvamento en su caso, si

la vida útil del activo es n años , la meta se alcanza por el método lineal, haciendo n depósitos iguales anuales en un fondo de depreciación hay dos objeciones a este simple procedimientoLa primera esta relacionada con el hecho de que la mas fuerte depreciación de la mayoría de los activos ocurre durante el primer año de uso y posteriormente la depreciación decrece año tras año mientras que por el método lineal se supone que es la misma para cada año, esta objeción fue refutada mediante el método de porcentaje constanteLa segunda objeción proviene del hecho de que aun cuando el fondo de depreciación es normalmente utilizado como capital de trabajo por la compañía, no se acredita interés al fondo en ningún método, esta objeción se refuta con el método de fondo de amortización, designemos con C el costo original, S el valor de salvamento y n (años) la vida útil del activo, si i es la tasa efectiva ganada por el fondo de depreciación el deposito anual R en el fondo estará dada por la formula de amortización

Ahora prueba tu capacidad Se estima que una maquina cuyo costo de nueva es $4000 tendrá después de 6 años

de uso un valor de salvamento de $400 , si el fondo de depreciación gana el 3% efectivo , aplique el método de fondo de amortización para hallar:a)El deposito anual en el fondob)el monto del fondo al termino del 4to añoc) elaborar una tabla de depreciación

Solución ANTIGUEDAD

CARGO POR DEPRECIACION

INTERES SOBRE EL FONDO

INCREMENTO AL FONDO

IMPORTE DEL FONDO

VALOR EN LIBROS

VALOR ACTUAL NETO (VAN)

El VAN se define como el método para evaluar la rentabilidad de un proyecto de inversión que consiste en comparar el valor actual de todos los flujos de entrada de efectivo con el valor actual de todos los flujos de salida de efectivoEn términos prácticos se puede definir como el valor presente de la inversión y de los flujos de caja es decir flujos en los cuales en cada periodo ya se efectuó el calculo de ingresos menos ingresos, tenemos la formula siguiente

VAN = VAI – VACEl VAN es la diferencia del VAI valor actual de ingresos y del VAC, valor actual de costos entre los que se considera los costos de inversión, los costos de operación y otros costos del proyecto.Si VAN ≥ 0 ENTONCES ACEPTAR LA INVERSION

PROBLEMA DE APLICACIÓN ¿ Como evaluar un proyecto de inversión con el criterio del valor actual neto ¿ Si se esta pensando en invertir $ 10000 en un proyecto que tiene una vida útil de 4 años y cuyos flujos de caja anuales se estima en $ 4000 cada uno además se conoce que la TEA de costos de oportunidad del capital COK es 15%Solución

OBSERVACIONES:

TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)

Desde un punto de vista matemático, la tasa interno de retorno (TIR) es aquella tasa de interés que hace igual a cero el Valor Actual Neto de un flujo de efectivoSe aplica la siguiente formulaSI EL TIR ≥COK ENTONCES SE ACEPTA LA INVERSION

PROBLEMA DE APLICACIÓN

El problema anterior, desarrollar aplicando la tasa interno de retorno.Solución

OBSERVACIONES

BIBLIOGRAFÍA

Ayres Frank, Matemáticas Financieras, Biblioteca UCCI Aching Guzmán , Cesar, Las Matemáticas Financieras en el campo de los Negocios;

Biblioteca UCCI Moore J.N.; Manual de Matemáticas Financieras; Bibioteca UCCI Ayona León Moisés; Calculo Merca; Biblioteca UCCI. Gregorio Garayar; Matemáticas Financieras. Lincoyan Portus; Matemáticas Financieras. Diaz Mosto; Matemáticas Financieras