Matemática

Índice general

1 Matemáticas 11.1 Etimología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Algunas definiciones de matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Epistemología y controversia sobre la matemática como ciencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 La inspiración, las matemáticas puras, aplicadas y la estética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 Notación, lenguaje y rigor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6 La matemática como ciencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.7 Ramas de estudio de las matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.7.1 Matemáticas puras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7.2 Matemáticas aplicadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.8 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.9 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.9.1 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.10 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Áreas de las matemáticas 82.1 Fundamentos/general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Geometría y topología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.6 Matemática discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.7 Matemáticas aplicadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.7.1 Probabilidad y estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.7.2 Ciencias de cómputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.7.3 Ciencias físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.7.4 Otras ciencias matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.8 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.8.1 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.8.2 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Número entero 133.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

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ii ÍNDICE GENERAL

3.2 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.1 Números con signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.2 La recta numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Operaciones con números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3.1 Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3.2 Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3.3 Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.4 Propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.6 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.6.1 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.6.2 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Geometría 164.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Axiomas, definiciones y teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2.1 Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3 Topología y geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.4 Tipos de geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.4.1 Geometrías según el tipo de espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.4.2 Geometría asociadas a transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.4.3 Geometría según el tipo de representación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.4.4 Aplicaciones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.5 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.6 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.6.1 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.6.2 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Trigonometría 205.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.2 Unidades angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.3 Las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.3.1 Razones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.3.2 Razones trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.3.3 Otras funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.3.4 Funciones trigonométricas recíprocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.3.5 Funciones trigonométricas inversas recíprocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.4 Equivalencia entre las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.5 Valor de las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.6 Sentido de las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.6.1 Primer cuadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.6.2 Segundo cuadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

ÍNDICE GENERAL iii

5.6.3 Tercer cuadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.6.4 Cuarto cuadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.7 Cálculo de algunos casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.7.1 Para 90-α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.7.2 Para 90+α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.7.3 Para 180-α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.7.4 Para 180+α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.7.5 Para 270-α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.7.6 Para 270+α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.7.7 Para -α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.8 Identidades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.8.1 Recíprocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.8.2 De división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.8.3 Por el teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.9 Seno y coseno, funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.10 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.11 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.11.1 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.11.2 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 Trigonometría esférica 366.1 La esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.1.1 Círculo máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.1.2 Volumen y superficie de la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.1.3 Dominio sobre la superficie esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.2 Triángulo esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.2.1 Fórmulas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.3 Pentágono de Napier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.4 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.5 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.6 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.7 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.7.1 Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.7.2 Imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.7.3 Licencia del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Capítulo 1

Matemáticas

abc

El teorema de Pitágoras es uno de los resultados más conocidosde las matemáticas.

Las matemáticas o la matemática[1] (del latín mat-hematĭca, y este del griego μαθηματικά, derivado deμάθημα, ‘conocimiento’) es una ciencia formal que, par-tiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico,estudia las propiedades y relaciones entre entidades abs-tractas como números, figuras geométricas o símbolos.Para explicar el mundo natural se usan las matemáticas,tal como lo expresó Eugene Paul Wigner (Premio Nobelde física en 1963):[2]

La enorme utilidad de las matemáticas enlas ciencias naturales es algo que roza lo miste-rioso, y no hay explicación para ello. No es enabsoluto natural que existan “leyes de la natu-raleza”, y mucho menos que el hombre sea ca-paz de descubrirlas. El milagro de lo apropiadoque resulta el lenguaje de las matemáticas parala formulación de las leyes de la física es un re-galo maravilloso que no comprendemos ni nosmerecemos.

Mediante la abstracción y el uso de la lógica en elrazonamiento, las matemáticas han evolucionado basán-dose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto conel estudio sistemático de la forma y el movimiento de losobjetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos,han tenido un fin práctico.Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecie-ron por primera vez con la matemática helénica, especial-mente con los Elementos de Euclides. Las matemáticassiguieron desarrollándose, con continuas interrupciones,hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemá-

ticas interactuaron con los nuevos descubrimientos cien-tíficos. Como consecuencia, hubo una aceleración en lainvestigación que continúa hasta la actualidad.Hoy en día, las matemáticas se usan en todo el mundocomo una herramienta esencial en muchos campos, entrelos que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería,la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinasque, aparentemente, no están vinculadas con ella, comola música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia ar-mónica). Las matemáticas aplicadas, rama de las mate-máticas destinada a la aplicación del conocimiento mate-mático a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nue-vos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, condu-cen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticostambién participan en las matemáticas puras, sin tener encuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicacio-nes prácticas de las matemáticas puras suelen ser descu-biertas con el paso del tiempo.

1.1 Etimología

La palabra «matemática» (del griego μαθηματικά mat-hēmatiká , «cosas que se aprenden») viene del griegoantiguo μάθημα (máthēma), que quiere decir «campode estudio o instrucción». El significado se contrapo-ne a μουσική (musiké) «lo que se puede entender sinhaber sido instruido», que refiere a poesía, retórica ycampos similares, mientras que μαθηματική se refierea las áreas del conocimiento que sólo pueden entender-se tras haber sido instruido en las mismas (astronomía,aritmética).[3] Aunque el término ya era usado por lospitagóricos (matematikoi) en el siglo VI a. C., alcanzó susignificado más técnico y reducido de «estudio matemá-tico» en los tiempos de Aristóteles (siglo IV a. C.). Suadjetivo es μαθηματικός (mathēmatikós), «relacionadocon el aprendizaje», lo cual, de manera similar, vino a sig-nificar «matemático». En particular, μαθηματική τέχνη(mathēmatikḗ tékhnē; en latín ars mathematica), significa«el arte matemática».La forma más usada es el plural matemáticas, que tie-ne el mismo significado que el singular[1] y viene de laforma latina mathematica (Cicerón), basada en el pluralen griego τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), usada por

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2 CAPÍTULO 1. MATEMÁTICAS

Aristóteles y que significa, a grandes rasgos, «todas lascosas matemáticas». Algunos autores, sin embargo, ha-cen uso de la forma singular del término; tal es el casode Bourbaki, en el tratado Elementos de matemática (Éle-ments de mathématique), (1940), destaca la uniformidadde este campo aportada por la visión axiomática moder-na, aunque también hace uso de la forma plural comoen Éléments d'histoire des mathématiques (Elementos dehistoria de las matemáticas) (1969), posiblemente sugi-riendo que es Bourbaki quien finalmente realiza la uni-ficación de las matemáticas.[4] Así mismo, en el escritoL'Architecture des mathématiques (1948) plantea el temaen la sección «Matemáticas, singular o plural» donde de-fiende la unicidad conceptual de las matemáticas aunquehace uso de la forma plural en dicho escrito.[5]

1.2 Algunas definiciones de mate-mática

Establecer definiciones claras y precisas es el fundamentode la matemática, pero definirla ha sido difícil, se mues-tran algunas definiciones de pensadores famosos:

• René Descartes: (Cirilo Flórez Miguel, ed. Obracompleta. Biblioteca de Grandes Pensadores 2004)“La matemática es la ciencia del orden y la medida,de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillosy fáciles.”

• David Hilbert: (Putnam, Hilary: On the infinite. Phi-losophy of Mathematics, p.187, 1998). “En un cier-to sentido, el análisis matemático es una sinfonía delinfinito. La matemática es el sistema de las fórmulasdemostrables.”

• Benjamin Peirce: (Nahin, Paul , The Story of i , p.68,1998). “La matemática es la ciencia que extrae con-clusiones necesarias.”

• Bertrand Russell: (Principia mathematica, 1913).“Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sinocierta belleza suprema. Una belleza fría y austera,como la de una escultura.”

• Ibo Bonilla: (Qué es matemática?, Academia.edu,2014). “Hacer matemática es desentrañar los ritmosdel Universo”. “La matemática es la ciencia de es-tructurar una realidad estudiada, es el conjunto desus elementos, proporciones, relaciones y patronesde evolución en condiciones ideales para un ámbitodelimitado”.

• John David Barrow: (Imposibilidad. P 96. Gedisa,1999). “En el fondo, matemática es el nombre quele damos a la colección de todas las pautas e inter-relaciones posibles. Algunas de estas pautas son en-tre formas, otras en secuencias de números, en tanto

que otras son relaciones más abstractas entre estruc-turas. La esencia de la matemática está en la relaciónentre cantidades y cualidades.”

1.3 Epistemología y controversiasobre la matemática como cien-cia

El carácter epistemológico y científico de las matemáticasha sido ampliamente discutido. En la práctica, las mate-máticas se emplean para estudiar relaciones cuantitativas,estructuras, relaciones geométricas y las magnitudes va-riables. Los matemáticos buscan patrones,[6][7] formulannuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemá-tica mediante deducciones rigurosas. Éstas les permitenestablecer los axiomas y las definiciones apropiados paradicho fin.[8] Algunas definiciones clásicas restringen lasmatemáticas al razonamiento sobre cantidades,[1] aunquesolo una parte de las matemáticas actuales usan números,predominando el análisis lógico de construcciones abs-tractas no cuantitativas.Existe cierta discusión acerca de si los objetos matemáti-cos, como los números y puntos, realmente existen o sim-plemente provienen de la imaginación humana. El ma-temático Benjamin Peirce definió las matemáticas como“la ciencia que señala las conclusiones necesarias”.[9] Porotro lado, Albert Einstein declaró que: “cuando las leyesde la matemática se refieren a la realidad, no son exactas;cuando son exactas, no se refieren a la realidad”.[10]

Se ha discutido el carácter científico de las matemáticasdebido a que sus procedimientos y resultados poseen unafirmeza e inevitabilidad inexistentes en otras disciplinascomo pueden ser la física, la química o la biología. Así, lamatemática sería tautológica, infalible y a priori, mientrasque otras, como la geología o la fisiología, serían faliblesy a posteriori. Son estas características lo que hace dudarde colocarse en el mismo rango que las disciplinas antescitadas. John Stuart Mill afirmaba:

La lógica no observa ni inventa ni descubre,pero juzga.

Así, los matemáticos pueden descubrir nuevos proce-dimientos para resolver integrales o teoremas, pero semuestran incapaces de descubrir un suceso que pon-ga en duda el Teorema de Pitágoras o cualquier otro,como sí sucede constantemente con las ciencias de lanaturaleza.[11]

La matemática fue ser entendida como ciencia; si es asídebiera señalarse su objeto y su método. Sin embargo, al-gunos plantean que la matemática es un lenguaje formal,seguro, eficiente, aplicable al entendimiento de la natura-leza, tal como indicó Galileo; además muchos fenómenosde carácter social, otros de carácter biológico o geológico,

1.5. NOTACIÓN, LENGUAJE Y RIGOR 3

pueden ser estudiados mediante la aplicación de ecuacio-nes diferenciales, cálculo de probabilidades o teoría deconjunto. [12]. Precisamente, el avance de la física, de laquímica ha exigido la invención de nuevos conceptos, ins-trumentos y métodos en la matemática, sobre todo en elanálisis real, análisis complejo y el análisis matricial. [13]

1.4 La inspiración, las matemáti-cas puras, aplicadas y la estéti-ca

Sir Isaac Newton (1643-1727), comparte con Leibniz la autoríadel desarrollo del cálculo integral y diferencial.

Es muy posible que el arte del cálculo haya sido desarro-llado antes incluso que la escritura,[14] relacionado funda-mentalmente con la contabilidad y la administración debienes, el comercio, en la agrimensura y, posteriormente,en la astronomía.Actualmente, todas las ciencias aportan problemas queson estudiados por matemáticos, al mismo tiempo queaparecen nuevos problemas dentro de las propias mate-máticas. Por ejemplo, el físico Richard Feynman propusola integral de caminos como fundamento de la mecánicacuántica, combinando el razonamiento matemático y elenfoque de la física, pero todavía no se ha logrado unadefinición plenamente satisfactoria en términos matemá-ticos. Similarmente, la teoría de cuerdas, una teoría cien-tífica en desarrollo que trata de unificar las cuatro fuerzasfundamentales de la física, sigue inspirando a las más mo-

dernas matemáticas.[15]

Algunas matemáticas solo son relevantes en el área enla que estaban inspiradas y son aplicadas para otros pro-blemas en ese campo. Sin embargo, a menudo las ma-temáticas inspiradas en un área concreta resultan útilesen muchos ámbitos, y se incluyen dentro de los concep-tos matemáticos generales aceptados. El notable hecho deque incluso la matemática más pura habitualmente tieneaplicaciones prácticas es lo que Eugene Wigner ha defi-nido como «la irrazonable eficacia de las matemáticas enlas Ciencias Naturales».[16]

Como en la mayoría de las áreas de estudio, la explosiónde los conocimientos en la era científica ha llevado a laespecialización de las matemáticas. Hay una importantedistinción entre las matemáticas puras y las matemáticasaplicadas. La mayoría de los matemáticos que se dedicana la investigación se centran únicamente en una de estasáreas y, a veces, la elección se realiza cuando comien-zan su licenciatura. Varias áreas de las matemáticas apli-cadas se han fusionado con otras áreas tradicionalmentefuera de las matemáticas y se han convertido en disci-plinas independientes, como pueden ser la estadística, lainvestigación de operaciones o la informática.Aquellos que sienten predilección por las matemáticas,consideran que prevalece un aspecto estético que defi-ne a la mayoría de las matemáticas. Muchos matemáti-cos hablan de la elegancia de la matemática, su intrínsecaestética y su belleza interna. En general, uno de sus as-pectos más valorados es la simplicidad. Hay belleza enuna simple y contundente demostración, como la demos-tración de Euclides de la existencia de infinitos númerosprimos, y en un elegante análisis numérico que acelera elcálculo, así como en la transformada rápida de Fourier.G. H. Hardy en A Mathematician’s Apology (Apología deun matemático) expresó la convicción de que estas con-sideraciones estéticas son, en sí mismas, suficientes parajustificar el estudio de las matemáticas puras.[17] Los ma-temáticos con frecuencia se esfuerzan por encontrar de-mostraciones de los teoremas que son especialmente ele-gantes, el excéntrico matemático Paul Erdős se refiere aeste hecho como la búsqueda de pruebas de “El Libro” enel que Dios ha escrito sus demostraciones favoritas.[18][19]La popularidad de la matemática recreativa es otra señalque nos indica el placer que produce resolver las pregun-tas matemáticas.

1.5 Notación, lenguaje y rigor

La mayor parte de la notación matemática que se utilizahoy en día no se inventó hasta el siglo XVIII.[20] Antes deeso, las matemáticas eran escritas con palabras, un minu-cioso proceso que limitaba el avance matemático. En elsiglo XVIII, Euler, fue responsable de muchas de las no-taciones empleadas en la actualidad. La notación moder-na hace que las matemáticas sean mucho más fácil para

4 CAPÍTULO 1. MATEMÁTICAS

Leonhard Euler. Probablemente el más prolífico matemático detodos los tiempos.

los profesionales, pero para los principiantes resulta com-plicada. La notación reduce las matemáticas al máximo,hace que algunos símbolos contengan una gran cantidadde información. Al igual que la notación musical, la no-tación matemática moderna tiene una sintaxis estricta ycodifica la información que sería difícil de escribir de otramanera.

El símbolo de infinito en diferentes tipografías.

El lenguaje matemático también puede ser difícil para

los principiantes. Palabras tales como o y sólo tiene sig-nificados más precisos que en lenguaje cotidiano. Ade-más, palabras como abierto y cuerpo tienen significa-dos matemáticos muy concretos. La jerga matemática,o lenguaje matemático, incluye términos técnicos comohomeomorfismo o integrabilidad. La razón que explica lanecesidad de utilizar la notación y la jerga es que el len-guaje matemático requiere más precisión que el lenguajecotidiano. Los matemáticos se refieren a esta precisión enel lenguaje y en la lógica como el «rigor».El rigor es una condición indispensable que debe teneruna demostración matemática. Los matemáticos quierenque sus teoremas a partir de los axiomas sigan un ra-zonamiento sistemático. Esto sirve para evitar teoremaserróneos, basados en intuiciones falibles, que se han da-do varias veces en la historia de esta ciencia.[21] El nivelde rigor previsto en las matemáticas ha variado con eltiempo: los griegos buscaban argumentos detallados, pe-ro en tiempos de Isaac Newton los métodos empleadoseran menos rigurosos. Los problemas inherentes de lasdefiniciones que Newton utilizaba dieron lugar a un re-surgimiento de un análisis cuidadoso y a las demostracio-nes oficiales del siglo XIX. Ahora, los matemáticos con-tinúan apoyándose entre ellos mediante demostracionesasistidas por ordenador.[22]

Un axioma se interpreta tradicionalmente como una «ver-dad evidente», pero esta concepción es problemática. Enel ámbito formal, un axioma no es más que una cadenade símbolos, que tiene un significado intrínseco sólo enel contexto de todas las fórmulas derivadas de un sistemaaxiomático.

1.6 La matemática como ciencia

Carl Friedrich Gauss se refería a la matemática como «lareina de las ciencias».[23] Tanto en el latín original Scien-tiārum Regīna, así como en alemán Königin der Wissens-chaften, la palabra ciencia debe ser interpretada como(campo de) conocimiento. Si se considera que la cienciaes el estudio del mundo físico, entonces las matemáticas,o por lo menos las matemáticas puras, no son una ciencia.Muchos filósofos creen que las matemáticas no son expe-rimentalmente falseables, y, por tanto, no es una cienciasegún la definición de Karl Popper.[24] No obstante, en ladécada de 1930 una importante labor en la lógica mate-mática demuestra que las matemáticas no puede reducir-se a la lógica, y Karl Popper llegó a la conclusión de que«la mayoría de las teorías matemáticas son, como las defísica y biología, hipotético-deductivas. Por lo tanto, lasmatemáticas puras se han vuelto más cercanas a las cien-cias naturales cuyas hipótesis son conjeturas, así ha sidohasta ahora».[25] Otros pensadores, en particular Imre La-katos, han solicitado una versión de Falsacionismo paralas propias matemáticas.Una visión alternativa es que determinados campos cien-

1.7. RAMAS DE ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS 5

Carl Friedrich Gauss, apodado el “príncipe de los matemáticos”,se refería a la matemática como “la reina de las ciencias”.

tíficos (como la física teórica) son matemáticas conaxiomas que pretenden corresponder a la realidad. De he-cho, el físico teórico, J. M. Ziman, propone que la cien-cia es «conocimiento público» y, por tanto, incluye a lasmatemáticas.[26] En cualquier caso, las matemáticas tie-nen mucho en común con muchos campos de las cienciasfísicas, especialmente la exploración de las consecuenciaslógicas de las hipótesis. La intuición y la experimentacióntambién desempeñan un papel importante en la formula-ción de conjeturas en las matemáticas y las otras ciencias.Las matemáticas experimentales siguen ganando repre-sentación dentro de las matemáticas. El cálculo y simula-ción están jugando un papel cada vez mayor tanto en lasciencias como en las matemáticas, atenuando la objeciónde que las matemáticas no se sirven del método científico.En 2002 Stephen Wolfram sostiene, en su libro Un nuevotipo de ciencia, que la matemática computacional mereceser explorada empíricamente como un campo científico.Las opiniones de los matemáticos sobre este asunto sonmuy variadas. Muchos matemáticos consideran que lla-mar a su campo ciencia es minimizar la importancia desu perfil estético, además supone negar su historia den-tro de las siete artes liberales. Otros consideran que ha-cer caso omiso de su conexión con las ciencias suponeignorar la evidente conexión entre las matemáticas y susaplicaciones en la ciencia y la ingeniería, que ha impul-sado considerablemente el desarrollo de las matemáticas.Otro asunto de debate, que guarda cierta relación con elanterior, es si la matemática fue creada (como el arte) odescubierta (como la ciencia). Este es uno de los muchostemas de incumbencia de la filosofía de las matemáticas.

Los premios matemáticos se mantienen generalmente se-parados de sus equivalentes en la ciencia. El más pres-tigioso premio dentro de las matemáticas es la MedallaFields,[27][28] fue instaurado en 1936 y se concede ca-da cuatro años. A menudo se le considera el equivalentedel Premio Nobel para la ciencia. Otros premios son elPremio Wolf en matemática, creado en 1978, que reco-noce los logros en vida de los matemáticos, y el PremioAbel, otro gran premio internacional, que se introdujo en2003. Estos dos últimos se conceden por un excelente tra-bajo, que puede ser una investigación innovadora o la so-lución de un problema pendiente en un campo determi-nado. Una famosa lista de esos 23 problemas sin resolver,denominada los «Problemas de Hilbert», fue recopiladaen 1900 por el matemático alemán David Hilbert. Estalista ha alcanzado gran popularidad entre los matemáticosy, al menos, nueve de los problemas ya han sido resuel-tos. Una nueva lista de siete problemas fundamentales,titulada «Problemas del milenio», se publicó en 2000. Lasolución de cada uno de los problemas será recompensa-da con 1 millón de dólares. Curiosamente, tan solo uno(la hipótesis de Riemann) aparece en ambas listas.

1.7 Ramas de estudio de las mate-máticas

La Sociedad Estadounidense de Matemática distingueunas 5000 ramas distintas de matemáticas.[29] En unasubdivisión amplia de las matemáticas se distinguen cua-tro objetos de estudio básicos: la cantidad, la estructu-ra, el espacio y el cambio[cita requerida] que se correspondena la aritmética, álgebra, geometría y cálculo.[cita requerida]

Además, hay ramas de las matemáticas conectadas aotros campos como la lógica y teoría de conjuntos, y lasmatemáticas aplicadas[cita requerida].

1.7.1 Matemáticas puras

Cantidad

Estructura

Espacio

6 CAPÍTULO 1. MATEMÁTICAS

Cambio

1.7.2 Matemáticas aplicadas

El término matemáticas aplicadas se refiere a aquellosmétodos y herramientas matemáticas que pueden ser uti-lizados en el análisis o resolución de problemas pertene-cientes al área de las ciencias básicas o aplicadas.Muchos métodos matemáticos han resultado efectivos enel estudio de problemas en física, química, biología, me-dicina, ciencias sociales, ingeniería, economía, finanzas,ecología entre otras.Sin embargo, una posible diferencia es que en matemáti-cas aplicadas se procura el desarrollo de las matemáticas“hacia afuera”, es decir su aplicación o transferencia ha-cia el resto de las áreas. Y en menor grado “hacia dentro”o sea, hacia el desarrollo de las matemáticas mismas. Esteúltimo sería el caso de las matemáticas puras o matemá-ticas elementales.Las matemáticas aplicadas se usan con frecuencia en dis-tintas áreas tecnológicas para modelado, simulación y op-timización de procesos o fenómenos, como el túnel deviento o el diseño de experimentos.

Estadística y ciencias de la decisión

La estadística trata de las técnicas para recolectar, orga-nizar, presentar, analizar un conjunto de datos numéricosy a partir de ellos y de un marco teórico, hacer las infe-rencias de lugar. Es una herramienta fundamental para lainvestigación científica y empírica en los campos de laeconomía, genética, informática, ingeniería, sociología,psicología, medicina, contabilidad, etc.Se consagra en forma directa al gran problema univer-sal de como tomar las decisiones inteligentes y acertadasen condiciones de incertidumbre. Sirve como fuente deinstrucción para los niveles introductorios de estadísticadescriptiva y, por tanto, los conceptos manejados y lastécnicas empleadas han sido presentadas de la forma mássimple, claramente posibles.

Matemática computacional

1.8 Véase también

• Historia de la matemática

• Filosofía de la matemática

• Fundamentos de la matemática

• Belleza matemática

• Matemático

• Matemáticos importantes.

• Áreas de las matemáticas

• Modelo matemático

• Ciencia

• Olimpiada Internacional de Matemática

• Clasificación UNESCO de las matemáticas

• Portal:Matemática. Contenido relacionado conMatemática.

1.9 Referencias[1] «matemática», Diccionario de la lengua española (avance

de la vigésima tercera edición). Consultado el 20 de enerode 2013.

Utilízase más en plural con el mismo sig-nificado que en singular.

[2] Libro “Del átomo a la mente”, 2002, de Ignacio Martínezy Juan Luis Arsuaga. Capítulo 1 “La carta de Dios”, sub-título “El Libro de la Naturaleza”, aproximadamente en elsitio 5.5% del libro.

[3] Heath, Thomas (1921). A History of Greek Mathematics.Oxford, Clarendon Press. OCLC 2014918.

[4] Maurice Marshaal (2006). Bourbaki: a secret society ofmathematicians (en inglés). American Mathematical So-ciety. p. 56. ISBN 978-0-8218-3967-6.

[5] Francois Le Lionnais (1948). Les grands courants de lapenseé mathématique (en francés). pp. 35–47.

[6] Steen, LA, (29 de abril de 1988).Mathematics:The Scienceof Patterns (Scientific American Library, 1994) Science,240: 611-616.

[7] Keith Devlin (1996). Matemáticas: La ciencia de los pa-trones: La búsqueda de la Orden en la vida, la mente y elUniverso. Scientific American. ISBN 978-0-7167-5047-5.

[8] Jourdain

[9] Peirce, p.97

[10] Einstein, p. 15. La cita es la respuesta de Einstein a lapregunta: "¿Cómo puede ser que las matemáticas, siendodespués de todo un producto del pensamiento humano in-dependiente de la experiencia, estén tan admirablementeadaptadas a los objetos de la realidad? "

[11] Sánchez Ron, José Manuel (8 de febrero de 2000). «Lamatemática, instrumento universal de conocimiento: deEuclides a Gödel» (conferencia). Aula Abierta: La cienciaa través de su historia. Madrid: Fundación Juan March.

[12] Takeuchi-Ramírz- Ruíz. Ecuaciones diferenciales. Limu-sa, Departamento de Matemáticas, Universidad Nacionalde Colombia, 3ra. edición (1978)

1.10. ENLACES EXTERNOS 7

[13] Boyer. Historia de la matemática

[14] Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Arithmetic» (en in-glés),Encyclopaedia ofMathematics, Springer, ISBN978-1556080104

[15] Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L. (2002). OxfordUniversity Press, ed.The Feynman Integral and Feynman’sOperational Calculus.

[16] Eugene Wigner, 1960, "La irracional eficacia de lasmatemáticas en la de Ciencias Exactas y Naturales"Communications on Pure and AppliedMathematics13 '(1):1-14.

[17] Hardy, GH (1940).AMathematician’s Apology. Cambrid-ge University Press.

[18] Oro, Bonnie; Simons, A. Rogers (2008). MAA, ed. Proofand Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy.

[19] Aigner, Martin; Ziegler, M. Gunter (2001). Proofs fromthe Book. Springer.

[20] Utilización de diversos símbolos matemáticos (VéaseAnexo:Símbolos matemáticos)

[21] Véase falsa demostración para comprobarmediante ejem-plos sencillos los errores que se pueden cometer en una de-mostración oficial. El teorema de los cuatro colores con-tiene ejemplos de demostraciones falsas aceptadas acci-dentalmente por otros matemáticos del momento.

[22] Ivars Peterson,La matemática turística, Freeman, 1988,ISBN 0-7167-1953-3. p. 4 “Algunos se quejan de que elprograma de ordenador no puede ser verificado correcta-mente,” (en referencia a la Haken de Apple la prueba decolor Teorema de los Cuatro).

[23] Waltershausen

[24] Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998). Fuera desu mente: La vida y de 15 de los Grandes Descubrimientoscientíficos. p. 228.

[25] Popper 1995, p. 56

[26] Ziman

[27] «Actualmente la Medalla Fields es sin duda el mejor y elmás influyente premio en las matemáticas». Monastyrsky

[28] Riehm

[29] Clasificación bibliográfica de la Sociedad Americana deMatemáticas de 2010

1.9.1 Bibliografía

• Pierce, Benjamin (1882). Linear Associative Alge-bra. Van Nostrand. Digitalizado por University ofCalifornia Libraries. Págs. 97-229.

• Einstein, Albert (1923). «Geometry and experien-ce», en Sidelights on relativity. P. Dutton., Co.

• Peterson, Ivars. (2001). Mathematical Tourist, Newand Updated Snapshots of Modern Mathematics.Owl Books. ISBN 0-8050-7159-8.

• Jourdain, Philip E. B., «The Nature of Mathema-tics», en The World of Mathematics. Courier DoverPublications. ISBN 0-486-41153-8.

• Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1856, repr.1965). Gauss zum Gedächtniss. Sändig Reprint Ver-lag H. R. Wohlwend. ISBN 3-253-01702-8.

• Popper, Karl R. (1995). «On knowledge», en InSearch of a Better World: Lectures and Essays fromThirty Years. Routledge. ISBN 0-415-13548-6.

• Ziman, J.M., F.R.S. (1968). Public Knowledge:Anessay concerning the social dimension of science.Cambridge University Press.

• Riehm, Carl (August 2002). «The Early History ofthe Fields Medal», en Notices of the AMS. AMS 49(7). Págs. 778–782.

1.10 Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobreMatemáticas. Commons

Wikilibros

• Wikilibros alberga libros y manuales sobreMatemáticas.

• Wikcionario tiene definiciones y otra informa-ción sobrematemática.Wikcionario

• Wikinoticias tiene noticias relacionadas conMatemáticas.Wikinoticias

• Wikisource contiene obras originales de o sobreMatemáticas.Wikisource

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Capítulo 2

Áreas de las matemáticas

Esta es una lista de todas las áreas de las matemáti-cas modernas, con una breve explicación de su alcance yenlaces a otras partes de esta enciclopedia, de un modosistemático.La forma en que se organizan las matemáticas de alto ni-vel está determinada sobre todo por los usos, y cambiacada cierto tiempo; esto contrasta con los planes, al pa-recer atemporales usados en la educación de las matemá-ticas, donde el cálculo parece ser el mismo hace siglos.El cálculo en sí mismo no aparece como un título ya quela mayor parte del contenido allí estudiado se encuentrabajo el título de Análisis. Este ejemplo ilustra, en parte,la dificultad de comunicar los principios de cualquier sis-tema grande de conocimientos. La investigación sobre lamayoría de los asuntos del cálculo fue realizada en sigloXVIII, y ha sido asimilado largamente.

2.1 Fundamentos/generalMatemática recreativa

Desde los cuadrados mágicos al Conjunto deMandelbrot,los números han sido una fuente de diversión y placer pa-ra millones de personas a lo largo de los años. Muchasramas importantes de las matemáticas “serias” tienen susraíces en lo que inicialmente no era más que un juego oun puzzle.

Historia y biografías

La historia de las matemáticas está fuertemente interco-nectada consígo misma. Esto es perfectamente natural:las matemáticas tienen una estructura orgánica interna,derivando nuevos teoremas de los que se han demostra-do antes. Cada nueva generación de matemáticos basa suslogros en los de sus antepasados, y así, el los conocimien-tos crecen formando nuevas capas, como la estructura deuna cebolla.

Lógica matemática y fundamentos, incluyendo teoríade conjuntos

Los matemáticos han trabajado siempre con lógica y sím-bolos, pero por siglos las leyes subyacentes de la lógica

fueron supuestas, y nunca expresadas simbólicamente. Lalógica matemática, también conocido como lógica sim-bólica, fue desarrollada cuando la gente finalmente notóque las herramientas de las matemáticas se pueden uti-lizar para estudiar la estructura de la lógica misma. Lasáreas de investigación en este campo se han ampliado rá-pidamente, y se subdividen generalmente en varias áreasdistintas.

Teoría de modelos

La teoría modelo estudia las estructuras matemáticas enun marco general. Su herramienta principal es la lógicade primer orde.

• Teoría de la Computabilidad y teoría de la recursión

Teoría de conjuntos

Un conjunto puede ser pensado como si fuera una colec-ción de objetos distintos unidas por una cierta caracterís-tica común. La teoría de conjuntos se subdivide en tresáreas principales:

• Teoría informal de conjuntos es la teoría básicadesarrollada por los matemáticos a fines del sigloXIX.

• Teoría axiomática de conjuntos es un teoría axiomá-tica rigurosa desarrollada en respuesta al descubri-miento de defectos serios (por ejemplo la Paradojade Russell) en la teoría informal. Para esta teoríalos conjuntos son “lo que satisface los axiomas”, yla noción de colecciones de objetos sirve solamentecomo motivación para los axiomas.

• Teoría interna de conjuntos es una extensión axio-mática de la teoría de conjuntos que apoya una iden-tificación lógicamente consistente de cantidades ili-mitados (infinitamente grandes) e infinitesimales (in-finitamente pequeños) dentro de los números reales.Ver también la Lista de tópicos de la teoría de con-juntos.

Teoría de la demostración y constructivismo

8

2.4. ANÁLISIS 9

La teoría de la demostración nació de la ambición deDavid Hilbert por formalizar todas las demostraciones enmatemáticas. El resultado más famoso del campo se en-capsula en los Teoremas de incompletitud de Gödel. Otraidea relacionada y muy conocida en la actualidad son lasMáquinas de Turing. El Constructivismo es la conse-cuencia de las opiniones poco ortodoxas de Brouwer so-bre la naturaleza de la lógica misma; hablando desde elpunto de vista del constructivismo, los matemáticos nopueden afirmar “si un círculo es redondo o no” hasta quehan mostrado un círculo y han medido realmente su re-dondez.

• Lógica algebraica

• Educación matemática

2.2 Aritmética

La aritmética o teoría de números fue históricamente unade las primeras áreas de las matemáticas. Actualmentesigue siendo una fuente importante de problemas mate-máticos no resueltos.

Teoría de números

La teoría del número se refiere tradicionalmente a las ca-racterísticas de números enteros. Más recientemente, havenido ser referido a clases más anchas de los problemasque se han presentado naturalmente del estudio de núme-ros enteros. Puede ser dividido en teoría elemental del nú-mero (donde los números enteros se estudian sin la ayudade técnicas de otros campos matemáticos); teoría ana-lítica del número (donde cálculo y análisis complejo seutilizan como herramientas); teoría del número algébrico(de que estudia los números algébricos - las raíces polino-mios con número entero coeficientes); teoría geométricadel número; teoría combinatoria del número y teoría decómputo del número. Vea también lista de los asuntos dela teoría del número.

2.3 Álgebra

El estudio de la matemática comienza con los números;primero los números naturales y los enteros y sus opera-ciones aritméticas, que se clasificarían dentro del álgebraelemental. Las características más avanzadas sobre nú-meros enteros se estudian dentro de la teoría de números.La búsqueda de métodos para resolver ecuaciones noslleva al campo del álgebra abstracta, que, entre otras co-sas, estudia polinomios, anillos y campos, estructuras quegeneralizan las características de los números corrientes.Preguntas muy antiguas sobre construcciones con regla ycompás finalmente fueron resueltos usando la Teoría de

Galois. El concepto físicamente importante de los vecto-res, generalizado a espacios vectoriales, se estudia dentrodel álgebra lineal.

Teoría del orden

Cualquier conjunto de numeros reales se puede ordenaren forma ascendente. La teoría del orden amplía esta ideaa los sistemas en general. Incluye nociones como retículosy estructuras algebraicas ordenadas.

Estructuras algebraicas

Dado un conjunto, diversas maneras de combinar o derelacionar a miembros de eso fijaron pueden ser defini-das. Si éstos obedecen ciertas reglas, entonces un detalleestructura algebraica se forma. Álgebra universal es el es-tudio más formal de estas estructuras y sistemas.

Teoría de campos y polinomios

La teoría del campo estudia las características de campos.A campo es una entidad matemática para la cual la adi-ción, la substracción, la multiplicación y la división estánbien definido. A polinómico es una expresión en la cual secombinan las constantes y las variables usando solamentela adición, la substracción, y la multiplicación.

Anillos conmutativos y álgebras conmutativas

En teoría de anillos (un rama del álgebra abstracta), unanillo conmutativo es un anillo en el cual la operaciónde multiplicación obedece la ley de conmutatividad. Es-to significa que si a y b son elementos del anillo, enton-ces a×b=b×a. El álgebra conmutativa estudia los anillosconmutativos y sus ideales, módulos y álgebras. Es fun-damental para la geometría algebraica y para la teoría denúmeros algebraicos. Los ejemplos más prominentes deanillos conmutativos son los anillos de polinomios.15: Álgebra lineal y multilineal; teoría de matrices.16: Anillos sociables y álgebra sociables17: anillos No-sociables y álgebra no-sociables18: Teoría de la categoría; álgebra homological19: K-teoría20: Teoría del grupo y generalizaciones22: Grupos topológicos, Grupos de mentira, y análisis so-bre ellos(También grupos de la transformación, análisis armónicoabstracto)

2.4 Análisis

Dentro del mundo de las matemáticas, análisis está el ra-ma ese los focos en cambio: índices del cambio, cambio

10 CAPÍTULO 2. ÁREAS DE LAS MATEMÁTICAS

acumulado, y cosas múltiples que cambian concerniente(o independientemente de) a una otra.El análisis moderno es un rama extenso y rápidamenteque se amplía de las matemáticas que tocan casi cada otrasubdivisión de la disciplina, encontrando usos directos eindirectos en los asuntos tan diversos como teoría del nú-mero, criptografía, y álgebra abstracta. Es también la len-gua de la ciencia sí mismo y se utiliza a través química,biología, y física, de astrofísica a Cristalografía de la ra-diografía. 26: Funciones verdaderas, incluyendo deriva-dos y integrales 28: Medida y integración 30: Funcionescomplejas, incluyendo teoría de la aproximación en do-minio complejo 31: Teoría potencial 32: Varias variablescomplejas y espacios analíticos 33: Funciones especia-les 34: Ecuaciones diferenciales ordinarias 35: Ecuacio-nes diferenciales parciales

Sistemas dinámicos

El estudio de las soluciones a ecuaciones del movimientode los sistemas que están sobre todo mecánico en natura-leza; aunque esto se extiende de órbitas planetarias con elcomportamiento de circuitos electrónicos a las solucio-nes de ecuaciones diferenciales parciales eso se presen-ta adentro biología. Mucha de investigación moderna secentra en el estudio de sistemas caóticos. Vea también lis-ta de los asuntos dinámicos del sistema 37: Teoría ergódi-ca 39: Ecuaciones de diferencia y ecuaciones funcionales40: Secuencias, serie, summability 41: Aproximacionesy extensiones 42: Análisis de Fourier, incluyendo Fou-rier transforma, aproximación trigonometric, interpola-ción trigonometric, y funciones orthogonal 43: Extrac-to análisis armónico 44: El integral transforma, cálculooperacional 45: Ecuaciones integrales 46: Análisis fun-cional, incluyendo olomorfia infinito-dimensional, el in-tegral transforma en espacios de la distribución 47: Teo-ría del operador 49: Cálculo de variaciones y control óp-timo; optimización (incluyendo teoría geométrica de laintegración) 58: Análisis global, análisis en los múltiples(que incluyen olomorfia infinito-dimensional)(También: teoría potencial probabilistic, aproximaciónnumérica, teoría de la representación, análisis en múlti-ples)

2.5 Geometría y topología

Geometría se ocupa de relaciones espaciales, usando cali-dades fundamentales o axiomas. Tales axiomas se puedenutilizar conjuntamente con las definiciones matemáticaspara los puntos, las líneas rectas, las curvas, las superfi-cies, y los sólidos para dibujar conclusiones lógicas. Veatambién Lista de los asuntos de la geometría

Geometría convexa y geometría discreta

Incluye el estudio de objetos por ejemplo polytopes y po-liedros. Vea también Lista de los asuntos de la convexidad

Geometría combinatoria o discreta

El estudio de objetos geométricos y características queson discreto o combinatorio, por su naturaleza o por surepresentación. Incluye el estudio de formas tales comoSólidos Platonic y la noción de tessellation.

Geometría diferencial

El estudio de la geometría usando cálculo, y se relacionamuy de cerca con topología diferenciada. Cubre las áreastales como Geometría de Riemannian, curvatura y geo-metría diferenciada de curvas. Vea también glosario de lageometría y de la topología diferenciadas.

Geometría algebraica

A dada polinómico de dos verdaderos variables, enton-ces los puntos en un plano donde está forma esa funcióncero de la voluntad a la curva. curva algebraica amplía es-ta noción a los polinomios sobre a campo en un númerodado de variables. La geometría algebraica se puede vercomo el estudio de estas curvas. Vea también lista de losasuntos algebraicos de la geometría y lista de superficiesalgebraicas.

Topología

Se ocupa de las características de una figura que no cam-bian cuando la figura es deformada continuamente. Lasáreas principales son topología determinada del punto (otopología general), topología algebraica, y la topología demúltiples, definido abajo.

Topología general

También llamado topología determinada del punto. Ca-racterísticas de espacios topológicos. Incluye las nocionestales como abierto y cerrado sistemas, espacios compac-tos, funciones continuas, convergencia, axiomas de la se-paración, espacios métricos, teoría de la dimensión. Veatambién glosario de la topología general y lista de losasuntos generales de la topología.

Topología algebraica

Las características de objetos algebraicos se asociaron aun espacio topológico y cómo estos objetos algebraicoscapturan las características de tales espacios. Contieneáreas como teoría de la homología, teoría del cohomo-logy, teoría homotopy, y álgebra homological, algunos deellos ejemplos de functors. Homotopy trata de grupos ho-motopy (incluyendo grupo fundamental) así como com-plejos simplicial y A LA DERECHA complejos (tam-bién llamado complejos de la célula). Vea también listade los asuntos algebraicos de la topología.

2.7. MATEMÁTICAS APLICADAS 11

Variedades

Una variedad se puede imaginar como una generaliza-ción n-dimensional de una superficie tridimensional enun espacio euclídeo. El estudio de variedades incluye ala topología diferencial, que estudia las características delas funciones diferenciables definidas sobre una variedad.Véase también variedades complejas.

2.6 Matemática discreta

Combinatoria

Estudia colecciones finitas de objetos que satisfacen cri-terios determinados. Particularmente, se refiere a “con-tar” los objetos en esas colecciones (combinatoria enume-rativa) y con decidir si existen ciertos objetos "óptimos”(combinatorias extremas). Incluye también a la teoría degrafos, usada para describir objetos interconectados (ungrafo en este sentido es una colección de puntos conec-tados). Mientras que éstas son las definiciones clásicas,cierto grado de combinatoria está presente en muchaspartes de la resolución de problemas.

2.7 Matemáticas aplicadas

2.7.1 Probabilidad y estadística

Vea también glosario de la probabilidad y de la estadística

Teoría de probabilidades

El estudio de cómo un acontecimiento dado es proba-blemente ocurrir. Vea también Categoría: teoría de lasprobabilidades, y lista de los asuntos de la probabilidad.Procesos estocásticos (MSC 60G/H) Considera con efec-to agregado de una función al azar, o en un cierto plazo (aserie de tiempo) o espacio físico (a campo al azar). Veatambién Lista de los asuntos estocásticos de los procesos,y Categoría: Procesos estocásticos.

Estadística

Análisis de datos, y cómo es el representante él. Vea tam-bién lista de asuntos estadísticos.

2.7.2 Ciencias de cómputo

Análisis numérico

Muchos problemas en matemáticas no pueden resolverseen forma general de modo exacto. El análisis numérico

es el estudio de métodos iterativos y algoritmos para pro-porcionar una solución aproximada a los problemas conun determinado grado de error. Incluye derivación numé-rica, integración numérica y métodos numéricos.68: Ciencias de la computación

2.7.3 Ciencias físicas

Mecánica

Trata qué sucede cuando un objeto físico verdadero sesujeta a las fuerzas. Esto se divide naturalmente en el es-tudio de los sólidos rígidos, sólidos deformable, y los lí-quidos, detallados abajo.

Mecánica de partículas

En matemáticas, una partícula es a punto-como, objetoperfectamente rígido, sólido. Los mecánicos de la partí-cula se ocupan de los resultados de sujetar partículas alas fuerzas. Incluye mecánicos celestiales - el estudio delmovimiento de objetos celestiales.

Mecánica de los sólidos deformables

La mayoría de los objetos del mundo real no están punto-como ni perfectamente rígido. Más importantemente, losobjetos se desforman cuando están sujetados a las fuer-zas. Este tema tiene un traslapo muy fuerte con mecáni-cos de la serie continua, que se refiere a la materia conti-nua. Se ocupa de las nociones tales como tensión, tensióny elasticidad. Vea también mecánicos de la serie conti-nua.

Mecánica de fluidos

Líquidos en este sentido incluye no apenas líquidos, perofluyendo gases, e iguale sólidos bajo ciertas situaciones.(Por ejemplo, seco arena puede comportarse como un lí-quido). Incluye las nociones tales como viscosidad, flujoturbulento y flujo laminar (su contrario). Vea también di-námica fluida. 78: La óptica, teoría electromagnética 80:Clásico termodinámica, traspaso térmico 81: Teoría deQuantum, incluyendo la óptica del quántum 82: Mecáni-cos estadísticos, estructura de la materia 83: Relatividady teoría gravitacional, incluyendo mecánicos relativistas85: Astronomía y astrofísica 86: Geofísica

2.7.4 Otras ciencias matemáticas

90: Investigación de operaciones, la programación mate-mática Investigación de operaciones (OR), también cono-cido como investigación operacional, proporciona ópti-ma o cerca de óptimas soluciones a problemas complejos.OR usos modelización matemática, análisis estadístico y

12 CAPÍTULO 2. ÁREAS DE LAS MATEMÁTICAS

optimización matemática. Programación matemática (ooptimización) minimiza (o maximiza) una función realsobre un dominio que es a menudo especificado por lasrestricciones sobre las variables. Programación matemá-tica estudia estos problemas y desarrolla métodos iterati-vos y algoritmos para su solución. 91: La teoría de juegosy matemáticas ciencias sociales (economía, sociología ypsicología). 92: Biología (véase también la biología mate-mática) y otras ciencias naturales 93: Teoría de sistemas;control, incluyendo un control óptimo 94: Información yla comunicación, circuitos 97: Educación matemática 97:Educación de las matemáticas

2.8 Referencias

2.8.1 Bibliografía

• Courant, Richard y H. Robbins, What Is Mathe-matics? : An Elementary Approach to Ideas andMethods, Oxford University Press, USA; 2ª edición(1996). ISBN 0-19-510519-2.

2.8.2 Enlaces externos

•

• Esta obra deriva de la traducción parcial deAreas_of_mathematics deWikipedia en inglés, con-cretamente de esta versión, publicada por sus edi-tores bajo la Licencia de documentación libre deGNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.

Capítulo 3

Número entero

La resta de dos números naturales no es un número natural cuan-do el sustraendo es mayor que el minuendo, sino que su valor esnegativo: en la imagen, solo pueden sustraerse 3 plátanos, por loque se apunta un plátano «debido» o «negativo» (en rojo).

Los números enteros son elementos de un conjunto denúmeros que reúne a los positivos (1, 2, 3, ...), a losnegativos opuestos de los anteriores: (..., −3, −2, −1) yal 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «me-nos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos losenteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar ladiferencia entre positivos y negativos, a veces también seescribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5,etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume quees positivo. Si se considera ℕ = { 1,2,3,...} [1], entoncesun entero natural es un entero positivo y el conjunto ℕ esparte propia de conjunto ℤ. El conjunto de todos los nú-meros enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2,−1, 0, +1, +2, +3, ...}, letra inicial del vocablo alemánZahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).Al igual que los números naturales, los números ente-ros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse,de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el casode los enteros es necesario calcular también el signo delresultado.Los números enteros extienden la utilidad de los númerosnaturales para contar cosas. Pueden utilizarse para conta-bilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nue-vos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnosde último curso que pasaron a educación secundaria, entotal habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero tambiénpuede decirse que dicho número ha aumentado en 80 −100 = −20 alumnos.También hay ciertas magnitudes, como la temperatura ola altura toman valores por debajo del cero. La altura del

Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, ypor el contrario, la orilla del mar Muerto está 423 metrospor debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puedeexpresar como −423 m.

3.1 Historia

Los números enteros negativos son el resultado naturalde las operaciones suma y resta. Su empleo, aunque condiversas notaciones, se remonta a la antigüedad.El nombre de enteros se justifica porque estos númerospositivos y negativos, siempre representaban una cantidadde unidades no divisibles (por ejemplo, personas).No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptaciónen trabajos científicos europeos, aunque matemáticos ita-lianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hu-biesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución deecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de lossignos ya era conocida previamente por los matemáticosde la India. [2]

Aplicación en contabilidad

Encuentran aplicación en los balances contables. A veces,cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la can-tidad poseída o activo, se decía que el banquero estabaen «números rojos». Esta expresión venía del hecho quelo que hoy llamamos números negativos se representabanescritos en tinta roja así: 30 podía representar un balan-ce positivo de 30 sueldos, mientras que 3 escrito con tintaroja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda netade 3 sueldos.

3.2 Introducción

Los números negativos son necesarios para realizar ope-raciones como:

3 − 5 = ?

Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo,la resta no puede realizarse con números naturales. Sin

13

14 CAPÍTULO 3. NÚMERO ENTERO

embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto denúmeros negativos, como por ejemplo al hablar gananciasy pérdidas:Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos.Si el primero gana 2000 pesos y al día siguiente pierde1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sinembargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde2000, se dice que perdió en total 2000 − 500 = $ 1500.La expresión usada cambia en cada caso: ganó en totalo perdió en total, dependiendo de si las ganancias fueronmayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibi-lidades se pueden expresar utilizando el signo de los nú-meros negativos (o positivos): en el primer caso ganó entotal 2000 − 1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó entotal 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende que unapérdida es una ganancia negativa.

3.2.1 Números con signo

Los números naturales 1, 2, 3,... son los números ordi-narios que se utilizan para contar. Al añadirles un signomenos («−») delante se obtienen los números negativos:Además, para distinguirlosmejor, a los números naturalesse les añade un signo más («+») delante y se les llamanúmeros positivos.El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse consigno más o menos o sin signo indistintamente, ya quesumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda estacolección de números son los llamados «enteros».

3.2.2 La recta numérica

Los números enteros negativos son más pequeños que to-dos los positivos y que el cero. Para entender como estánordenados se utiliza la recta numérica:

Se ve con esta representación que los números negativosson más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir,cuanto mayor es el número tras el signo. A este númerose le llama el valor absoluto:Ejemplo. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.El orden de los números enteros puede resumirse en:Ejemplo. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36

3.3 Operaciones con números ente-ros

Los números enteros pueden sumarse, restarse,multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse

con los números naturales.

3.3.1 Suma

En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se re-presentan por el tamaño del círculo y su color.

En la suma de dos números enteros, se determina por se-parado el signo y el valor absoluto del resultado.Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 ,(−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61La suma de números enteros se comporta de manera si-milar a la suma de números naturales:Ejemplo.

1. Propiedad asociativa:

[ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32)= (+44)(−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57)= (+44)

2. Propiedad conmutativa:

(+9) + (−17) = −8(−17) + (+9) = −8

Además, la suma de números enteros posee una propie-dad adicional que no tienen los números naturales:

3.3.2 Resta

La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahoraes un caso particular de la suma.Ejemplos(+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15(−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13(−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7

3.3.3 Multiplicación

La multiplicación de números enteros, al igual que la su-ma, requiere determinar por separado el signo y valor ab-soluto del resultado.

3.6. REFERENCIAS 15

Para recordar el signo del resultado, también se utiliza laregla de los signos:Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) ×(+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.La multiplicación de números enteros tiene también pro-piedades similares a la de números naturales:Ejemplo.

1. Propiedad asociativa:

1. [ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) =−140(−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) =−140

2. Propiedad conmutativa:

(−6) × (+9) = −54(+9) × (−6) = −54

La suma y multiplicación de números enteros están rela-cionadas, al igual que los números naturales, por la pro-piedad distributiva:Ejemplo.

• (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21

• [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) =−21

3.4 Propiedades algebraicas

• El conjunto de los números enteros, conside-rado junto con sus operaciones de adición ymultiplicación, tiene una estructura que en matemá-ticas se denomina anillo; y posee una relación de or-den. Los números enteros pueden además construir-se a partir de los números naturales mediante clasesde equivalencia.

• El conjunto ℤ de los números enteros es coordina-ble con el conjunto ℕ de los números naturales. Osea que se puede establecer un correspondencia bi-unívoca entre los dos conjuntos. [3]

3.5 Véase también

• Parte entera

• Entero (tipo de dato)

3.6 Referencias[1] Una de las versiones constructivas de los números natura-

les de Peano

[2] Raúl Rodríguez y otros.« Cálculo diferencial e integral. »Primera parte. Editorial Pueblo y Educación. La Habana(1988) pág. 2

[3] Lía Oubiña. «Introducción a la teoría de conjuntos». Pu-blicación de Eudeba. Buenos Aires

3.6.1 Bibliografía

• Bayley, R.; Day, R.; Frey, P.; Howard, A.; Hutchens,D.; McClain, K. (2006). Mathematics. Applicationsand Concepts. Course 2 (en inglés). McGraw-Hill.ISBN 0-07-865263-4.

• Héfez. Introducción al álgebra

• A. G. Tsipkin. Manual de matemáticas.

• Birkhoff y Mac Lane. Álgebra Moderna

• A. Adrian Albert. Álgebra superior

• Frank Ayres. Álgebra Moderna

• César A. Trejo. Concepto de número

3.6.2 Enlaces externos

• Wikcionario tiene definiciones y otra informa-ción sobre número entero.Wikcionario

Capítulo 4

Geometría

Alegoría de la geometría.

La geometría (del latín geometrĭa, y este del griegoγεωμετρία de γεω gueo, ‘tierra’, y μετρία metría,‘medida’) es una rama de la matemática que se ocupadel estudio de las propiedades de las figuras en elplano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos,politopos (que incluyen paralelas, perpendiculares,curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujotécnico. También da fundamento a instrumentos como elcompás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posi-cionamiento global (en especial cuando se la considera encombinación con el análisis matemático y sobre todo conlas ecuaciones diferenciales).

Sus orígenes se remontan a la solución de problemas con-cretos relativos a medidas. Tiene su aplicación prácti-ca en física aplicada, mecánica, arquitectura, geografía,cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística,etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso enla elaboración de artesanía.

4.1 Historia

Fragmentos de los Elementos de Euclides en los Papiros de Oxi-rrinco.

La geometría es una de las ciencias más antiguas. Ini-cialmente está constituida en un cuerpo de conocimien-tos prácticos en relación con las longitudes, áreas y vo-lúmenes.La civilización babilónica fue una de las pri-meras culturas en incorporar el estudio de la geometríacon la invención de la rueda se abrió el camino al estu-dio de la circunferencia, que conllevaría posteriormenteal descubrimiento del número π (pi); También desarro-llaron el sistema sexagesimal, al conocer que cada añocuenta con 360 días, además implementaron una fórmu-la para calcular el área del trapecio rectángulo.[1] En elAntiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textosde Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en elsiglo III a. C. configuró la geometría[2] en forma axiomá-tica y constructiva, tratamiento que estableció una normaa seguir durante muchos siglos: la geometría euclidianadescrita en Los Elementos.El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando dedeterminar las posiciones de estrellas y planetas en la es-fera celeste, sirvió como importante fuente de resolución

16

4.3. TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA 17

de problemas geométricos durante más de un milenio.René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra deecuaciones y la geometría analítica, marcando una nuevaetapa, donde las figuras geométricas, tales como las cur-vas planas, podrían ser representadas analíticamente, esdecir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enri-quece con el estudio de la estructura intrínseca de los en-tes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujoa la creación de la topología y la geometría diferencial.

4.2 Axiomas, definiciones y teore-mas

Un teorema descubierto y probado por Arquímedes: una esferatiene 2/3 del volumen de su cilindro circunscrito.

La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado porla intuición. Por ello, es necesario un método riguroso, sinerrores; para conseguirlo se han utilizado históricamentelos sistemas axiomáticos. El primer sistema axiomático loestablece Euclides, aunque era incompleto. David Hilbertpropuso a principios del siglo XX otro sistema axiomáti-co, éste ya completo. Como en todo sistema formal, lasdefiniciones, no sólo pretenden describir las propiedadesde los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza al-go, los objetos se convierten en entes abstractos ideales ysus relaciones se denominan modelos.Esto significa que las palabras “punto”, “recta” y “plano”deben perder todo significado material. Cualquier con-junto de objetos que verifique las definiciones y los axio-mas cumplirá también todos los teoremas de la geometríaen cuestión, y sus relaciones serán virtualmente idénticasal del modelo tradicional.

4.2.1 Axiomas

La geometría esférica es un ejemplo de geometría no euclidiana.

En geometría euclidiana, los axiomas y postulados sonproposiciones que relacionan conceptos, definidos enfunción del punto, la recta y el plano. Euclides planteócinco postulados y fue el quinto (el postulado de paralelis-mo) el que siglos después –cuando muchos geómetras locuestionaron al analizarlo– originará nuevas geometrías:la elíptica (geometría de Riemann) o la hiperbólica deNikolái Lobachevski.En geometría analítica, los axiomas se definen en funciónde ecuaciones de puntos, basándose en el análisis mate-mático y el álgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablarde puntos, rectas o planos. f(x) puede definir cualquierfunción, llámese recta, circunferencia, plano, etc.

4.3 Topología y geometría

El nudo de trébol.

El campo de la topología, que tuvo un gran desarro-

18 CAPÍTULO 4. GEOMETRÍA

llo en el siglo XX, es en sentido técnico un tipo degeometría transformacional, en que las transformacio-nes que preservan las propiedades de las figuras son loshomeomorfismos (por ejemplo, esto difiere de la geome-tría métrica, en que las transformaciones que no alteranlas propiedades de las figuras son las isometrías). Esto hasido frecuentemente expreso en la forma del dicho “la to-pología es la geometría de la página de goma”.

4.4 Tipos de geometría

Desde los antiguos griegos, ha existido numerosas contri-buciones a la geometría, particularmente a partir del sigloXVIII. Eso ha hecho que proliferen numerosas subramasde la geometría con enfoques muy diferentes. Para clasi-ficar los diferentes desarrollos de la Geometría modernase pueden recurrir a diferentes enfoques:

4.4.1 Geometrías según el tipo de espacio

Los antiguos griegos un único tipo de geometría a sabergeometría euclídea, hábilmente codificada en los Elemen-tos de Euclides y debido a una escuela alejandrina enca-bezada por Euclides. Este tipo de geometría se basó enun estilo formal de deducciones a partir de cinco pos-tulados básicos. Los cuatro primeros fueron ampliamen-te aceptados y Euclides los usó extensivamente, sin em-bargo, el quinto postulado fue menos usado y con poste-rioridad diversos autores trataron de demostrarlo a partirde los demás, la imposibilidad de dicha deducción llevóa constatar que junto con la geometría euclídea existíanotros tipos de geometrías en que el quinto postulado deEuclídes no participaba. De acuerdo a las moficiacionesintroducidas en ese quinto postulado se llega a familiasdiferentes de geometrías o espacios geométricos diferen-tes entre ellos:

• La geometría absoluta, que es el conjunto de hechosgeométricos derivables a partir únicamente de losprimeros cuatro postulados de Euclides.

• La geometría euclídea, que es la geometría particu-lar que se obtiene de aceptar como axioma tambiénel quinto postulado. Los griegos consideraron dosvariantes de geometría euclídea:

• Geometría euclídea del plano• Geometría euclídea del espacio

• La geometría clásica es una recopilación de resulta-dos para las geometrías euclídeas.

A partir del siglo XIX se llegó a la conclusión de que po-dían definirse geometrías no euclídeas entre ellas:

• La geometría elíptica

• La geometría esférica

• La geometría finita

• La geometría hiperbólica

• La geometría riemanniana

4.4.2 Geometría asociadas a transforma-ciones

En el siglo XIX se constató que otra forma de enfocarlos conceptos geométricos era estudiar la invarianza deciertas propiedades bajo diferentes tipos de transforma-ciones matemáticas, así se clasificaron diversas propieda-des geométricas en grupos y se plantearon subdisciplinasconsistentes en ver cuales eran las propiedades invariantesbajo tipos particulares de transformaciones, así aparecie-ron los siguientes tipos de enfoques geométricos:

• Geometría afín

• Geometría conforme

• Geometría convexa

• Geometría discreta

• Geometría de incidencia

• Geometría ordenada

• Geometría proyectiva

4.4.3 Geometría según el tipo de represen-tación

Si bien Euclides básicamente se restingió a conceptosgeométricos representables mediante figuras (puntos, lí-neas, círculos, etc.) el desarrollo de otras ramas de lasmatemáticas no conectadas inicialmente con la geometríapropiamente dicha, llevó a poder aplicar las herramientasde otras ramas a problemas propiamente geométricos asínacieron:

• La geometría algebraica

• La geometría analítica

• La geometría descriptiva

• La Topología geométrica

• La geometría diferencial que engloba como ramas a:

• Geometría diferencial discreta• La geometría de curvas y superficies

• La Geometría diferencial de curvas• La Geometría diferencial de superficies

• La Geometría diferencial de hipersuperficies

4.6. REFERENCIAS 19

• Geometría diferencial de variedades• La geometría de Riemann

• La Geometría fractal

• Geometría sintética

4.4.4 Aplicaciones geométricas

Además de las subramas propiamente dichas moderna-mente han surgido numerosas aplicaciones prácticas dela geometría entre ellas:

• • Geometría computacional• Geometría constructiva de sólidos• Geometría molecular

4.5 Véase también

• Portal:Matemática. Contenido relacionado conMatemática.

• Portal:Álgebra. Contenido relacionado conÁlgebra.

4.6 Referencias

[1] Baldor, Gaaplex (2014). Geometría plana y del espacio ytrigonometría. México: publicaciones cultural. ISBN 978-8435700788.

[2] Descubierta una geometría subyacente a la física cuántica(en inglés).

4.6.1 Bibliografía

• Boyer, C. B. (1991) [1989]. A History of Mathema-tics (Second edition, revised by Uta C. Merzbachedición). New York: Wiley. ISBN 0-471-54397-7.

• Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, translator andeditor: A. Papadopoulos, Heritage of EuropeanMathematics Series, Vol. 4, European Mathemati-cal Society, 2010.

• Jay Kappraff, A Participatory Approach to ModernGeometry, 2014, World Scientific Publishing, ISBN978-981-4556-70-5.

• Leonard Mlodinow, Euclid’s Window – The Storyof Geometry from Parallel Lines to Hyperspace, UKedn. Allen Lane, 1992.

4.6.2 Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre Geometría. Commons

• Wikiversidad alberga proyectos de aprendizajesobre Geometría.Wikiversidad

• Wikiquote alberga frases célebres de o sobreGeometría. Wikiquote

• Wikcionario tiene definiciones y otra informa-ción sobre geometría.Wikcionario

Capítulo 5

Trigonometría

x

y

A

ca

b

B

C

D

EO

Representación gráfica de un triángulo rectángulo en un sistemade coordenadas cartesianas.

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyosignificado etimológico es 'la medición de los triángulos'.Deriva de los términos griegos τριγωνοϛ trigōnos 'trián-gulo' y μετρον metron 'medida'.[1]

En términos generales, la trigonometría es el estudiode las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente,cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o in-directamente en las demás ramas de la matemática y seaplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren me-didas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ra-mas de la geometría, como es el caso del estudio de lasesferas en la geometría del espacio.Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuen-tran: las técnicas de triangulación, por ejemplo, sonusadas en astronomía para medir distancias a estrellaspróximas, en la medición de distancias entre puntosgeográficos, y en sistemas global de navegación por sa-télites.

5.1 Historia

Los antiguos egipcios y los babilonios conocían ya losteoremas sobre las proporciones de los lados de los trián-gulos semejantes. Pero las sociedades prehelénicas care-cían de la noción de una medida del ángulo y por lo tanto,

El Canadarm 2, un brazo manipulador robótico gigantesco de laEstación Espacial Internacional. Este manipulador es operadocontrolando los ángulos de sus articulaciones. Calcular la posi-ción final del astronauta en el extremo del brazo requiere un usorepetido de las funciones trigonométricas de esos ángulos que seforman por los varios movimientos que se realizan.

Tablilla babilonia Plimpton 322.

los lados de los triángulos se estudiaron en su medida, uncampo que se podría llamar trilaterometría.Los astrónomos babilonios llevaron registros detalladossobre la salida y puesta de las estrellas, el movimiento delos planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo cualrequiere la familiaridad con la distancia angular medidasobre la esfera celeste. Sobre la base de la interpretaciónde una tablilla cuneiforme Plimpton 322 (c. 1900 aC),algunos incluso han afirmado que los antiguos babiloniostenían una tabla de secantes. Hoy, sin embargo, hay un

20

5.3. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 21

gran debate acerca de si se trata de una tabla de ternaspitagóricas, una tabla de soluciones de ecuaciones de se-gundo grado, o una tabla trigonométrica.

Papiro de Ahmes

Los egipcios, en el segundo milenio antes de Cristo, uti-lizaban una forma primitiva de la trigonometría, para laconstrucción de las pirámides. El Papiro de Ahmes, es-crito por el escriba egipcio Ahmes (c. 1680-1620 aC),contiene el siguiente problema relacionado con la trigo-nometría:

“Si una pirámide es de 250 codos de alto y ellado de su base es de 360 codos de largo, ¿cuáles su Seked?"

La solución, al problema, es la relación entre la mitaddel lado de la base de la pirámide y su altura. En otraspalabras, la medida que se encuentra para la seked es lacotangente del ángulo que forman la base de la pirámidey su respectiva cara.

5.2 Unidades angulares

En la medición de ángulos y, por tanto, en trigonometría,se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en lavida cotidiana es el grado sexagesimal, en matemáticases el radián la más utilizada, y se define como la unidadnatural para medir ángulos, el grado centesimal se desa-rrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, seusa en topografía, arquitectura o en construcción.

• Radián: unidad angular natural en trigonometría. Enuna circunferencia completa hay 2π radianes (algomás de 6,28).

• Grado sexagesimal: unidad angular que divide unacircunferencia en 360 grados.

• Grado centesimal: unidad angular que divide la cir-cunferencia en 400 grados centesimales.

• Mil angular: unidad angular que divide la circunfe-rencia en 6400 unidades.

5.3 Las funciones trigonométricas

La trigonometría es una rama importante de las matemá-ticas dedicada al estudio de la relación entre los lados yángulos de un triángulo rectángulo y una circunferencia.Con este propósito se definieron una serie de funciones,las que han sobrepasado su fin original para convertirseen elementos matemáticos estudiados en sí mismos y conaplicaciones en los campos más diversos.

5.3.1 Razones trigonométricas

OA

B

C

y

x

c

b

a

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usa-remos para definir las razones seno, coseno y tangente,del ángulo α , correspondiente al vértice A, situado enel centro de la circunferencia.

• El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse “sĭ-nus” en latín) es la razón entre el cateto opuesto so-bre la hipotenusa.

sin α =CB

AB=

a

c

• El coseno (abreviado como cos) es la razón entre elcateto adyacente sobre la hipotenusa,

cosα =AC

AB=

b

c

• La tangente (abreviado como tan o tg) es la razónentre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

tanα =CB

AC=

a

b

22 CAPÍTULO 5. TRIGONOMETRÍA

0-0,5 0,5 1,5 2 2,50

1

2

3

-1

-2

-3

y

x

4

-4

y = sen (x)

y = cos (x)

y = tan (x)

Representación de las funciones trigonométricas en el plano car-tesiano (x,y), los valores en el eje x expresados en radianes.

OA

BD

C E

r

F G

Triángulo ABC proporcional con un ángulo inscrito en una cir-cunferencia de centro A y radio 1

Representación gráfica

5.3.2 Razones trigonométricas inversas

• La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es larazón inversa de seno, o también su inverso multi-plicativo:

cscα =1

sin α=

c

a

En el esquema su representación geométrica es:

cscα = AG

• La Secante: (abreviado como sec) es la razón inversade coseno, o también su inverso multiplicativo:

secα =1

cos α=

c

b

En el esquema su representación geométrica es:

secα = AD

• La Cotangente: (abreviado como cot o cta o ctg) esla razón inversa de la tangente, o también su inversomultiplicativo:

cotα =1

tanα =b

a

En el esquema su representación geométrica es:

cotα = GF

Normalmente se emplean las relaciones trigonométricasseno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés es-pecífico en hablar de ellos o las expresiones matemáticasse simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante ycotangente no suelen utilizarse

Representación gráfica

0-0,5 0,5 1,5 2 2,50

1

2

3

-1

-2

-3

y

x

4

-4

y = csc (x)

y = sec (x)

y = cot (x)

Representación de las funciones trigonométricas inversas en elplano cartesiano (x,y), los valores en el eje x expresados enradianes.

5.3.3 Otras funciones trigonométricas

Además de las funciones anteriores, existen otras funcio-nes trigonométricas. Matemáticamente se pueden definirempleando las ya vistas. Su uso no es muy corriente, perosí se emplean, dado su sentido geométrico. Veamos:El seno cardinal o función sinc (x) definida:

sinc (x) = sin(x)x

El verseno, es la distancia que hay entre la cuerda y elarco en una circunferencia, también se denomina sagita oflecha, se define:

versin α = 1− cosα

El semiverseno, se utiliza en navegación al intervenir enel cálculo esférico:

5.3. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 23

semiversin α =versin α

2

El coverseno,

coversin α = 1− sin α

El semicoverseno

semicoversin α =coversin α

2

La exsecante:

exsec α = secα− 1

5.3.4 Funciones trigonométricas recípro-cas

En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes(dado que un radián es el arco de circunferencia de lon-gitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquiercantidad expresada en radianes; por eso las funciones re-cíproca se denominan con el prefijo arco, cada razón tri-gonométrica posee su propia función recíproca:

y = sin x

y es igual al seno de x, la función recíproca:

x = arcsin y

x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcosenode y.si:

y = cosx

y es igual al coseno de x, la función recíproca:

x = arccos y

x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es elarcocoseno de y.si:

y = tanx

y es igual al tangente de x, la función recíproca:

x = arctan y

x es el arco cuya tangente vale y, o x es igual alarcotangente de y.NOTA: Es común, que las funciones recíprocas sean es-critas de esta manera:

y = arcsin x −→ y = sin−1 x

pero se debe tener cuidado de no confundirlas con:

y =1

sinx −→ y = cscx

Representación gráfica

0

-0,5

-

0,5

1,5

2

-4x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = arcsen (x)y = arccos (x)y = arctan (x)

Representación de las funciones trigonométricas reciprocas en elplano cartesiano (x,y), como la recíproca del seno, el coseno y latangente, los valores en el eje y expresados en radianes.

Si aplicamos el criterio para obtener las funciones recí-procas en el sentido estricto, definiendo el arcoseno comola recíproca del seno, el arcocoseno como la recíproca delcoseno y el arco tangente como la recíproca de la tangen-te, lo obtenido es la gráfica de la derecha. Es fácil perca-tarse que estas representaciones no cumplen la unicidadde la imagen, que forma parte de la definición de función,eso es para un valor de x dado existen un número infinito

24 CAPÍTULO 5. TRIGONOMETRÍA

de valore que son su función, por ejemplo: el arcoseno de0 es 0, pero también lo son cualquier múltiplo entero deπ .

arcsin(0) = π n

Para cualquier n número entero.Dado que la recíproca de una función no tiene que cum-plir necesariamente la unicidad de imagen, solo la funcio-nes inyectivas y biyectivas dan funciones recíprocas conesta propiedad, esta situación se repite para el resto de lasfunciones recíprocas trigonométricas.

0

-0,5

-

0,5

1,5

2

-4x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = arcsen (x)y = arccos (x)y = arctan (x)

Representación de las funciones trigonométricas reciprocas, co-rregidas.

A fin de garantizar el cumplimiento de la definición defunción, en cuanto a la unicidad de imagen, y que portanto las funciones trigonométricas recíprocas cumplanlos criterios de la definición de función, se suele restrin-gir tanto el dominio como el codominio, esta correcciónpermite un análisis correcto de la función, a pesar de queno coincida exactamente con la reciproca de la funcióntrigonométrica original. Así tenemos que:La función arcoseno se define:

arcsin : [−1, 1] → [−0, 5π , 0, 5π]x → y = arcsin(x)

La función arcocoseno se define:

arccos : [−1, 1] → [0 , π]x → y = arccos(x)

La función arcotangente se define:

arctan : R → [−0, 5π , 0, 5π]x → y = arctan(x)

Esta restricción garantiza el cumplimiento de la defini-ción de función, en cuanto a la existencia y unicidad dela imagen, si bien tiene inconvenientes como el no podercomparar el arcoseno y el arcocoseno al estar definidos encodominios diferentes, o el de presentar discontinuidadesinexistentes, tanto si se emplean las funciones trigonomé-tricas reciprocas en su forma directa como corregida seha de ser consciente de ello, y comprender las ventajas einconvenientes que esto supone.

5.3.5 Funciones trigonométricas inversasrecíprocas

Del mismo modo que las funciones trigonométricas di-rectas recíprocas, cuando el ángulo se expresa en radia-nes, se denomina arco a ese ángulo, y se emplea el prefijoarco para la función trigonométrica recíproca, así tene-mos que:

y = csc x

y es igual a la cosecante de x, la función recíproca:

x = arccsc y

x es el arco cuya cosecante vale y, o también x es laarcocosecante de y.si:

y = secx

y es igual al secante de x, la función recíproca:

x = arcsec y

x es el arco cuya secante vale y, que se dice: x es elarcosecante de y.si:

y = cotx

y es igual al cotangente de x, la función recíproca:

5.4. EQUIVALENCIA ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 25

x = arccot y

x es el arco cuya cotangente vale y, o x es igual alarcocotangente de y.

Representación gráfica

0

-0,5

-

0,5

1,5

2

-4x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = arccsc (x)y = arcsec (x)y = arccot (x)

Representación de las funciones trigonométricas inversas reci-procas en el plano cartesiano (x,y), como la recíproca de la co-secante, secante y cotangente, los valores en el eje y expresadosen radianes.

Al igual que en las funciones directas, si aplicamos el cri-terio para obtener las funciones recíprocas, dado que lasfunciones trigonométricas inversas no son inyectivas, loobtenido es la gráfica de la derecha, que no cumplen launicidad de la imagen, que forma parte de la definiciónde función.Para que se cumpla la definición de función, definimos undominio y un codominio restrijido. Así tenemos que:La función arcocosecante se define:

arccsc : (−∞,−1] ∪ [1,∞) → [−0, 5π , 0, 5π]x → y = arccsc(x)

La función arcosecante se define:

arcsec : (−∞,−1] ∪ [1,∞) → [0 , π]x → y = arcsec(x)

0

-0,5

-

0,5

1,5

2

-4x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = arccsc (x)y = arcsec (x)y = arccot (x)

Representación de las funciones trigonométricas inversas reci-procas, corregidas.

La función arcocotangente se define:

arccot : R → [0 , π]x → y = arccot(x)

Esta restricción garantiza el cumplimiento de la definiciónde función.

5.4 Equivalencia entre las funcio-nes trigonométricas

5.5 Valor de las funciones trigono-métricas

A continuación algunos valores de las funciones que esconveniente recordar:

Para el cálculo del valor de las funciones trigonométri-cas se confeccionaron tablas trigonométricas. La primera

26 CAPÍTULO 5. TRIGONOMETRÍA

de estas tablas fue desarrollada por Johann Müller Regio-montano en 1467, que nos permiten, conocido un ángu-lo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas.En la actualidad dado el desarrollo de la informática, enprácticamente todos los lenguajes de programación exis-ten bibliotecas de funciones que realizan estos cálculos,incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bol-sillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta ob-soleto.

5.6 Sentido de las funciones trigo-nométricas

OA

B D

C E

y

x

Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centroO, y una circunferencia goniométrica (circunferencia deradio la unidad) con centro en O; el punto de corte de lacircunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamoscomo punto E.Nótese que el punto A es el vértice del triángulo, y O esel centro de coordenada del sistema de referencia:

A ≡ O

a todos los efectos.La recta r, que pasa por O y forma un ángulo α sobreel eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, lavertical que pasa por B, corta al eje x enC, la vertical quepasa por E corta a la recta r en el punto D.Por semejanza de triángulos:

CB

OC=

ED

OE

Los puntos E y B están en la circunferencia de centro O,por eso la distanciaOE yOB son el radio de la circunfe-rencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1,y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:

sinα = CB

cosα = OC

tanα = ED

tenemos:

sinαcosα =

tanα1

La tangente es la relación del seno entre el coseno, segúnla definición ya expuesta.

5.6.1 Primer cuadrante

OA B D

C E x

y

OA

B D

C E

y

x

Para ver la evolución de las funciones trigonométricas se-gún aumenta el ángulo, daremos una vuelta completa ala circunferencia, viéndolo por cuadrantes, los segmentoscorrespondientes a cada función trigonométrica variarande longitud, siendo esta variación función del ángulo, par-tiendo en el primer cuadrante de un ángulo cero.Partiendo de esta representación geométrica de las fun-ciones trigonométricas, podemos ver las variaciones delas funciones a medida que aumenta el ángulo α .

5.6. SENTIDO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 27

y

OA

B

D

C E x

y

OA

B

C E x

Para α = 0 , tenemos que B, D, y C coinciden en E, portanto:

sin 0 = 0

cos 0 = 1

tan 0 = 0

Si aumentamos progresivamente el valor de α , las dis-tanciasCB yED aumentarán progresivamente, mientrasque OC disminuirá.Percatarse que el puntoB es de la circunferencia y cuandoel ángulo aumenta se desplaza sobre ella.

El punto E es la intersección de la circunferencia con eleje x y no varia de posición.Los segmentos: OC y CB están limitados por la circun-ferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, peroED no está limitado, dado que D es el punto de corte dela recta r que pasa porO, y la vertical que pasa por E, enel momento en el que el ángulo α = 0, 5π rad, la rectar será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticalesno se cortan, o lo que es lo mismo la distancia ED seráinfinita.El puntoC coincide conA y el coseno vale cero. El puntoB esta en el eje y en el punto más alto de la circunferenciay el seno toma su mayor valor: uno.Para un ángulo recto las funciones toman los valores:

sin π

2= 1

cos π2= 0

tan π

2= ±∞ → No definida

5.6.2 Segundo cuadrante

OA

B

D

C E x

y

Cuando el ángulo α supera el ángulo recto, el valor delseno empieza a disminuir según el segmento CB , el co-seno aumenta según el segmento OC , pero en el sentidonegativo de las x, el valor del coseno toma sentido nega-tivo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulosigue creciendo.La tangente para un ángulo α inferior a π/2 rad se haceinfinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo rectola recta vertical r que pasa porO y la vertical que pasa por

28 CAPÍTULO 5. TRIGONOMETRÍA

OA

B

D

C E x

y

OA

BD

C E x

y

E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningúnvalor real, cuando el ángulo supera los π/2 rad y pasa alsegundo cuadrante la prolongación de r corta a la verticalque pasa por E en el punto D real, en el lado negativode las y, la tangente ED por tanto toma valor negativoen el sentido de las y, y su valor absoluto disminuye amedida que el ángulo α aumenta progresivamente hastalos π rad.Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de α , CB, disminuye progresivamente su valor desde 1, que tomapara α = π/2 rad, hasta que valga 0, para α = π rad, elcoseno, OC , toma valor negativo y su valor varia desde0 para α = π/2 rad, hasta –1, para α = π rad.La tangente conserva la relación:

tanα =sinαcosα

incluyendo el signo de estos valores.Para un ángulo llano tenemos que el punto D esta en E,y B y C coinciden en el eje de las x en el lado opuesto deE, con lo que tenemos:

sin π = 0

cosπ = −1

tanπ = 0

5.6.3 Tercer cuadrante

O A

B

D

C E x

y

OA

B

D

C E x

y

En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores delángulo α = π rad a α = 3π/2 rad, se produce un cam-bio de los valores del seno, el coseno y la tangente, desdelos que toman para π rad:

sin 3π

2= −1

cos 3π2

= 0

tan 3π

2= ∞ → definida No

5.6. SENTIDO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 29

OA

B

C E x

y

Cuando el ángulo α aumenta progresivamente, el senoaumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y,el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativode las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lohacia en el primer cuadrante.A medida que el ángulo crece el punto C se acerca a O,y el segmentoOC , el coseno, se hace más pequeño en ellado negativo de las x.El punto B, intersección de la circunferencia y la verticalque pasa por C, se aleja del eje de las x, en el sentidonegativo de las y, el seno, CB .Y el punto D, intersección de la prolongación de la rectar y la vertical que pasa por E, se aleja del eje las x enel sentido positivo de las y, con lo que la tangente, ED ,aumenta igual que en el primer cuadranteCuando el ángulo α alcance 3π/2 rad, el punto C coin-cide conO y el coseno valdrá cero, el segmento CB seráigual al radio de la circunferencia, en el lado negativo delas y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la verticalque pasa por E serán paralelas y la tangente tomara valorinfinito por el lado positivo de las y.El seno el coseno y la tangente siguen conservando la mis-ma relación:

tanα = sinαcosα

que se cumple tanto en valor como en signo, nótese quea medida que el coseno se acerca a valores cercanos acero, la tangente tiende a infinito.

OA

B

D

C E x

y

OA

B D

C E x

y

OA B D

C E x

y

5.6.4 Cuarto cuadrante

En el cuarto cuadrante, que comprende los valores delángulo α entre 3π/2 rad y 2π rad, las variables trigono-métricas varían desde los valores que toman para 3π/2

30 CAPÍTULO 5. TRIGONOMETRÍA

rad:

sin(3π/2) = −1

cos(3π/2) = 0

tan(3π/2) = ∞ → definida Nohasta los que toman para 2π rad pasando al primer cua-drante, completando una rotación:

sin(2π) = sin 0 = 0

cos(2π) = cos 0 = 1

tan(2π) = tan 0 = 0

como puede verse a medida que el ángulo α aumenta,aumenta el cosenoOC en el lado positivo de las x, el senoCB disminuye en el lado negativo de las y, y la tangenteED también disminuye en el lado negativo de las y.Cuando α , vale 2π ó 0π al completar una rotación com-pleta los puntosB,C yD, coinciden enE, haciendo que elseno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismomodo que al comenzarse el primer cuadrante.Dado el carácter rotativo de las funciones trigonométri-cas, se puede afirmar en todos los casos:

sin α = sin(α+ 2π n)

cosα = cos(α+ 2π n)

tanα = tan(α+ 2π n)

Que cualquier función trigonométrica toma el mismo va-lor si se incrementa el ángulo un número entero de rota-ciones completas.

5.7 Cálculo de algunos casos

Partiendo de una circunferencia de radio uno, dividida encuatro cuadrantes, por dos rectas perpendiculares, que secortan en el centro de la circunferencia O, estas rectascortan a la circunferencia en los puntos A, B, C y D, larecta horizonte AC también la podemos llamar eje x y larecta vertical BD eje y. Dada una recta r, que pasa porel centro de la circunferencia y forma un ángulo α conOA, eje x, y corta a la circunferencia en F, tenemos quela vertical que pasa por F corta al eje x en E, la verticalque pasa por A corta a la recta r en G. Con todo estodefinimos, como ya se vio anteriormente, las funcionestrigonométricas:para el seno:

sen α =EF

OF= EF

AO

B

D

C E

FG

r

dado que:

OF = 1

Para el coseno:

cos α =OE

OF= OE

dado que:

OF = 1

Para la tangente:

tan α =EF

OE=

AG

OA= AG

dado que:

OA = 1

partiendo de estas definiciones, podemos ver algunos casoimportantes:

5.7.1 Para 90-α

Si a partir del eje vertical OB trazamos la recta r a unánguloα en el sentido horario, la recta r forma con el eje xun ángulo 90-α, el valor de las funciones trigonométricasde este ángulo conocidas las de α serán:El triángulo OEF rectángulo en E, siendo el ángulo en Fα, por lo tanto:

5.7. CÁLCULO DE ALGUNOS CASOS 31

AO

B

D

C E

F

G

r

cos α =EF

OFOF = 1EF = sen (90− α)

−→ sen (90−α) = cos α

en el mismo triángulo OEF, tenemos que:

sen α =OE

OFOF = 1OE = cos (90− α)

−→ cos (90−α) = sen α

viendo el triángulo OAG, rectángulo en A, siendo el án-gulo en G igual a α, podemos ver:

tan α =OA

AGOA = 1AG = tan (90− α)

−→ tan (90−α) =1

tan α

5.7.2 Para 90+α

Si a partir de eje vertical OB trazamos la recta r a unángulo α, medido en sentido trigonométrico, el ánguloformado por el eje horizontal OA y la recta r será 90+α.La prolongación de la recta r corta a la circunferencia enF y a la vertical que pasa por A en G.El triángulo OEF es rectángulo en E y su ángulo en F esα, por lo tanto tenemos que:

cos α =EF

OFOF = 1EF = sen (90 + α)

−→ sen (90+α) = cos α

AO

B

D

C E

F

G

r

En el mismo triángulo OEF podemos ver:

sen α =OE

OFOF = 1OE = −cos (90 + α)

−→ cos (90+α) = −sen α

En el triángulos OAG rectángulo A y siendo α el ánguloen G, tenemos:

tan α =OA

AGOA = 1AG = −tan (90 + α)

−→ tan (90+α) =− 1

tan α

5.7.3 Para 180-α

Si sobre el eje horizontal OC, trazamos la recta r a unángulo α, el ángulo entre el eje OA y la recta r es de 180-α, dado el triángulo OEF rectángulo en E y cuyo ánguloen O es α, tenemos:

sen α =EF

OFOF = 1EF = sen (180− α)

−→ sen (180−α) = sen α

en el mismo triángulo OEF:

cos α =OE

OFOF = 1OE = −cos (180− α)

−→ cos (180−α) = −cos α

32 CAPÍTULO 5. TRIGONOMETRÍA

AO

B

D

C E

F

G

r

En el triánguloOAG, rectángulo en A y con ángulo enOigual a α, tenemos:

tan α =AG

OAOA = 1AG = −tan (180− α)

−→ tan (180−α) = −tan α

5.7.4 Para 180+α

AO

B

D

C E

F

G

r

Sobre la circunferencia de radio uno, a partir del eje OCcon un ángulo α trazados la recta r, el ángulo del eje OAy la recta r es de 180+α, como se ve en la figura. En eltriángulo OEF rectángulo en E se puede deducir:

sen α =EF

OFOF = 1EF = −sen (180 + α)

−→ sen (180+α) = −sen α

en el mismo triángulo OEF tenemos:

cos α =OE

OFOF = 1OE = −cos (180 + α)

−→ cos (180+α) = −cos α

en el triángulo OAG, rectángulo en A, vemos que:

tan α =AG

OAOA = 1AG = tan (180 + α)

−→ tan (180+α) = tan α

5.7.5 Para 270-α

AO

B

D

C E

F

G

r

Sobre el eje OD y con un ángulo α medido en sentidohorario trazamos la recta r. El ángulo entre el eje OA yla recta r es de 270-α. En el triángulo OEF, rectánguloen E, tenemos:

cos α =EF

OFOF = 1EF = −sen (270− α)

−→ sen (270−α) = −cos α

por otra parte en el mismo triángulo OEF, tenemos:

5.7. CÁLCULO DE ALGUNOS CASOS 33

sen α =OE

OFOF = 1OE = −cos (270− α)

−→ cos (270−α) = −sen α

en el triánguloOAG rectángulo enA, y siendoα el ánguloen G, tenemos;

tan α =OA

AGOA = 1AG = tan (270− α)

−→ tan (270−α) =1

tan α

5.7.6 Para 270+α

AO

B

D

C E

F

G r

Sobre el eje OD y con un ángulo αmedido en sentido tri-gonométrico, trazamos la recta r. El ángulo entre el ejeOA y la recta r es de 270+α. En el triángulo OEF, rec-tángulo en E, tenemos:

cos α =EF

OFOF = 1EF = −sen (270 + α)

−→ sen (270+α) = −cos α

por otra parte en el mismo triángulo OEF, tenemos:

sen α =OE

OFOF = 1OE = cos (270 + α)

−→ cos (270+α) = sen α

en el triánguloOAG rectángulo enA, y siendoα el ánguloen G, tenemos;

tan α =OA

AGOA = 1AG = −tan (270 + α)

−→ tan (270+α) =− 1

tan α

5.7.7 Para -α

AO

B

D

CE

FG

Sobre la circunferencia de radio uno, a partir del eje OAcon un ángulo α medido en sentido horario trazados larecta r, el ángulo del eje OA y la recta r es de -α, o loque es lo mismo 360-α como se ve en la figura. En eltriángulo OEF rectángulo en E se puede deducir:

sen α =EF

OFOF = 1EF = −sen (−α)

−→ sen (−α) = −sen α

en el mismo triángulo OEF tenemos:

cos α =OE

OFOF = 1OE = cos (−α)

−→ cos (−α) = cos α

en el triángulo OAG, rectángulo en A, vemos que:

tan α =AG

OAOA = 1AG = −tan (−α)

−→ tan (−α) = −tan α

34 CAPÍTULO 5. TRIGONOMETRÍA

5.8 Identidades trigonométricas

Una identidad es una igualdad en que se cumple para to-dos los valores permisibles de la variable. En trigonome-tría existen seis identidades fundamentales:

5.8.1 Recíprocas

sin(α) · csc(α) = 1

cos(α) · sec(α) = 1

tan(α) · cot(α) = 1

5.8.2 De división

A

B

C

c

b

a

tan(α) = sin(α)cos(α)

cot(α) = cos(α)sin(α)

csc(α) = 1(α)

sin(α)

sec(α) = 1(α)

cos(α)

5.8.3 Por el teorema de Pitágoras

Como en el triángulo rectángulo cumple la función que:

a2 + b2 = c2

de la figura anterior se tiene que:

sin(α) = ac , cos(α) = b

c

por tanto:

sin2 α+cos2 α =

(a

c

)2

+

(b

c

)2

=a2 + b2

c2=

c2

c2= 1

entonces para todo ángulo α, se cumple la identidad Pi-tagórica:

sin2 α+ cos2 α = 1

que también puede expresarse:

tan2 α+ 1 = sec2 α

1 + cot2 α = csc2 α

5.9 Seno y coseno, funciones com-plejas

El seno y coseno se definen en matemática compleja, gra-cias a la fórmula de Euler como:

sinα = eiα−e−iα

2i , cosα = eiα+e−iα

2

Por lo tanto, la tangente quedará definida como:

tanα = 1ieiα−e−iα

eiα+e−iα = −i eiα−e−iα

eiα+e−iα

Siendo i =√−1 .

5.10 Véase también

• Historia de la trigonometría

• Función trigonométrica

• Identidad trigonométrica

• Funciones hiperbólicas

• Hexágono trigonométrico. Recurso mnemónico pa-ra ayudar a recordar relaciones e identidades trigo-nométricas.

• Lista de integrales de funciones trigonométricas

• Fórmula de Euler y Número complejo, para funcio-nes trigonométricas complejas

• Trigonometría esférica

5.11. REFERENCIAS 35

5.11 Referencias[1] «Etimología de la palabra “trigonometría"». Diccionario

web de etimología (inglés).

5.11.1 Bibliografía

• Cortés Espinosa de los Monteros, Nuria. EdicionesDidácticas y Pedagógicas S. L., ed. Actividades paraunidad didáctica sobre trigonometría [Recurso elec-trónico] (2008). ISBN 978-84-936336-3-9.

• Domínguez Muro, Mariano. Universidad de Sala-manca. Ediciones Universidad Salamanca, ed. Tri-gonometría activa: 2 BUP (1985). ISBN 978-84-7800-056-2.

5.11.2 Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre Trigonometría. Commons

• Wikcionario tiene definiciones y otra informa-ción sobre trigonometría.Wikcionario

Wikilibros

• Wikilibros alberga un libro o manual sobreTrigonometría.

• Ejercicios de Trigonometría (Proyecto Descartespara Educación Secundaria del Ministerio de Edu-cación de España).

• Álgebra y Trigonometría. Universidad de Chile

• Orígenes de la trigonometría (Webquest).

• Matemática - Trigonometría (Apuntes y ejerciciosde Trigonometría en Fisicanet).

• La trigonometría, ¿para qué sirve?

• Funciones trigonométricas (Proyecto Descartes paraEducación Secundaria del Ministerio de Educaciónde España).

Capítulo 6

Trigonometría esférica

Triángulo esférico trirectángulo (sus ángulos suman : 270°).

La trigonometría esférica es la parte de la geometríaesférica que estudia los polígonos que se forman sobre lasuperficie de la esfera, en especial, los triángulos. La re-solución de triángulos esféricos tiene especial relevanciaen astronomía náutica y navegación para determinar laposición de un buque en altamar mediante la observaciónde los astros.

6.1 La esfera

Una esfera E, de centro en el punto (a,b,c) y radio k, esel dominio de ℝ³ definido por todos aquellos puntos enel espacio tridimensional que cumplen con la siguientedefinición:

E = { (x, y, z) ∈ R3 | (x − a)2 + (y −b)2 + (z − c)2 = k2}

6.1.1 Círculo máximo

La intersección de una esfera con un plano que contengasu centro genera un círculo máximo y una circunferen-

Distancia ortodrómica entre dos puntos a lo largo de un círculomáximo sobre la superficie de una esfera.

cia máxima sobre la superficie de la esfera. Un círculomáximo divide a la esfera en dos hemisferios iguales. Ladistancia entre dos puntos de la superficie de la esfera,unidos por un arco de círculo máximo, es la menor entreellos y se denomina distancia ortodrómica.Como ejemplos de círculos máximos en la superficie dela Tierra tenemos los meridianos o la línea del ecuador.

6.1.2 Volumen y superficie de la esfera

El volumen de una esfera es el volumen de revolución en-gendrado por un semicírculo que gira alrededor del diá-metro. Según esta definición, si su radio es r, su volumenserá:

V =4

3πr3

La superficie es la superficie lateral de un cuerpo de re-volución y vendrá dada por:

36

6.2. TRIÁNGULO ESFÉRICO 37

A = 4πr2

6.1.3 Dominio sobre la superficie esférica

Un dominio de superficie esférica es un recinto o áreasobre la superficie de la esfera limitado por curvas conte-nidas en dicha superficie.

6.2 Triángulo esférico

Triángulo esférico.

Si tres puntos de la superficie esférica son unidos por ar-cos de círculo máximo menores a 180º, la figura obtenidase denomina triángulo esférico. Los lados del polígono asíformado se expresan por conveniencia como ángulos cu-yo vértice es el centro de la esfera y no por su longitud.Este arco medido en radianes y multiplicado por el radiode la esfera es la longitud del arco. En un triángulo esfé-rico los ángulos cumplen que: 180° < α+ β+ γ< 540°

6.2.1 Fórmulas fundamentales

α : ángulo formado entre los arcos AC y AB

β : ángulo formado entre los arcos AB y BC

γ : ángulo formado entre los arcos AC y BC

Fórmula del coseno

cosCB = cosAC cosAB + senAC senAB cosα

Fórmula del seno

senCB

senα =senACsenβ =

senAB

senγ

Los senos de los lados son proporcionales a los senos delos ángulos opuestos.

Fórmula de la cotangente

La fórmula de la cotangente también se denomina fór-mula de los elementos consecutivos. Ver en la figura lossiguientes elementos consecutivos:ángulo α ; lado AB ; ángulo β ; lado BC .

cosβ cosAB = −senβ cotα +senAB cotCB

Cosenos de los elementos medios, es igual a: menos senodel ángulo medio por la cotangente del otro ángulo, másseno del lado medio por la cotangente del otro lado.

Fórmula de Bessel

Desde las fórmulas de los cosenos, obtenidas en la secciónanterior, se pueden obtener de inmediato un conjunto devarias fórmulas conocidas como “relaciones del seno porel coseno” o también denominadas Fórmulas de Bessel,o tercera fómula de Bessel. Fueron deducidas por prime-ra vez por el gran matemático Friedrich Wilhelm Bessel(Westfalia, Alemania, 1784-Kaliningrado, Rusia, 1846).

cos( a / k ) = cos( b / k )· cos( c / k ) + sen(b / k )· sen( c / k) · cos( A )

cos( b / k ) = cos( c / k )· cos( a / k ) + sen(c / k )· sen( a / k )· cos( B )

cos( c / k ) = cos( a / k )· cos( b / k ) + sen(a / k )· sen( b / k )· cos( C )

El conjunto de las fórmulas de Bessel puede escribirse,para la esfera de radio unidad, esto es, la esfera trigono-métrica, de la forma:

sen c · cos B = cos b · sen a - cos a · sen b ·cos C

sen c · cos A = cos a · sen b - cos b · sen a· cos C

sen b · cos A = cos a · sen c - cos c · sen a ·cos B

sen b · cos C = cos c · sen a - cos a · sen c ·cos B

sen a · cos B = cos b · sen c - cos c · sen b ·cos A

sen a · cos C = cos c · sen b - cos b · sen c ·cos A

38 CAPÍTULO 6. TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

Presentación matricial de las fórmulas del triánguloesférico

El conjunto de las fórmulas del seno, del coseno (llama-das por algunos segunda y primera fórmula de Bessel), yla (tercera) fórmula de Bessel, pueden expresarse de for-ma matricial:∣∣∣∣∣∣

cos(a)sen(a) sen(B)sen(a) cos(B)

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣cos(c) 0 sen(c)

0 1 0sen(c) 0 − cos(c)

∣∣∣∣∣∣.∣∣∣∣∣∣

cos(b)sen(b) sen(A)sen(b) cos(A)

∣∣∣∣∣∣siendo a, b y c los lados; y A, B y C los ángulos del trián-gulo esférico.

Triángulo esférico rectángulo

Al triángulo esférico con al menos un ángulo recto, se lodenomina triángulo rectángulo. En un triángulo esféricosus tres ángulos pueden ser rectos, en cuyo caso su sumaes 270°. En todos los otros casos esa suma excede los 180°y a ese exceso se lo denomina exceso esférico; se expresapor la fórmula: E: E = α+ β+ γ− 180°.Cualquier triángulo esférico puede descomponerse en dostriángulos esféricos rectángulos.

6.3 Pentágono de Napier

Pentágono de Napier.

El pentágono de Napier es una regla nemotécnica pararesolver triángulos esféricos rectángulos; toma este nom-bre en memoria del científico inglés John Napier, y seconstruye de la siguiente forma:Se colocan en cada sector circular: cateto - ángulo - cateto- ángulo - cateto, consecutivamente, tal como aparecenordenados en el triángulo, exceptuando el ángulo recto C.Se remplazan los ángulos B, A, y la hipotenusa c por suscomplementarios:

B por (90° - B)A por (90° - A)c por (90° - c)

Se establecen dos reglas:

• el seno de un elemento es igual al producto de lastangentes de los elementos adyacentes:

sen(a) = tg(b) tg(90° - B), o su equivalente:seno(a) = tg(b) ctg(B)

• el seno de un elemento es igual al producto de loscosenos de los elementos opuestos:

sen(a) = cos(90° - A) cos(90° - c), o su equiva-lente: sen(a) = sen(A) sen(c)

6.4 Véase también• Geodésica

• Geometría no euclídea

• Geometría hiperbólica

• Geometría riemanniana

• Topología

• Nikolái Lobachevski

• Ortodrómica

6.5 Bibliografía• Apuntes de trigonometría esférica. Escuela Nacionalde Náutica Manuel Belgrano (Argentina).

• Apuntes de Trigonometría esférica. Universidad deCádiz.

• Astronomía Náutica (tomo primero). Luis Virgile.Imprenta Escuela Naval Militar (Argentina).

6.6 Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre Trigonometría esférica. Commons

• Great Circle Mapper

• Great Circle Calculator

• Weisstein, Eric W. «Matemática del Círculo Máxi-mo». En Weisstein, Eric W.MathWorld (en inglés).Wolfram Research.

6.6. ENLACES EXTERNOS 39

• “El Libro de instrucción sobre planos desviados yplanos simples” es un manuscrito en árabe que da-ta de 1740 y habla de la trigonometría esférica, condiagramas.

• Resolución del triángulo de posición por métodosmecánicos

40 CAPÍTULO 6. TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

6.7 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias

6.7.1 Texto• Matemáticas Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas?oldid=86134681 Colaboradores: AstroNomo, Maveric149,

Macar~eswiki, Romero Schmidtke, Centeno, PACO, EL Willy, Kristobal, Joseaperez, Sabbut, Moriel, Maxxcan, JorgeGG, Julie, Robbot,Angus, Mdiagom, Juan Manuel, Sanbec, Aparejador, Vivero, Zwobot, Dionisio, Trujaman, Comae, Apartidista, Surscrd, 1297, Tartaglia,Ivn, Rosarino, Gmagno, Faustito, Jynus, Ascánder, Sms, Cookie, Opinador, Tostadora, Elwikipedista, Danakil~eswiki, Tano4595, Kriss,Corderodedios, Aracne, Felipealvarez, Robotito, Napier84, Vargenau, Cinabrium, Ecemaml, Elsenyor, Niqueco, Renabot, FAR, Javierme,Unnio~eswiki, Deleatur, Soulreaper, Petronas, AlfonsoERomero, Airunp, JMPerez, Taichi, Emijrp, Rembiapo pohyiete (bot), MagisterMathematicae, NeoFoX, RobotQuistnix, Platonides, JMB(es), Alhen, Chobot, Hflores, Yrbot, BOT-Superzerocool, Oscar ., Davidsevilla,Vitamine, .Sergio, Wiki-Bot, Gaeddal, GermanX, Wewe, Equi, Beto29, The Photographer, Davidmh, No sé qué nick poner, Cucaracha,Txo, Seretbit, Javi pk, Banfield, Dove, Kepler Oort, Götz, Maldoror, BludgerPan, Er Komandante, Carlos Alberto Carcagno, Chlewbot,Tomatejc, Jarke, J.R.Menzinger, Filipo, Siabef, Alfredobi, Paintman, Alexquendi, Juan Marquez, Kn, BOTpolicia, Eufrosine, CEM-bot,Jorgelrm, 333, Laura Fiorucci, JMCC1, Xexito, Marianov, Retama, IvanStepaniuk, Carlatf, Eamezaga, Davius, Rastrojo, Andreoliva, An-tur, Jorge, Julian Mendez, Blasete, Dorieo, Montgomery, FrancoGG, Ingenioso Hidalgo, Thijs!bot, Leonudio, Alvaro qc, Srengel, JMpe-rez, Escarapela, Roberto Fiadone, Escarbot, Yeza, RoyFocker, Doctor C, Cratón, Isha, Gusgus, Góngora, Helena 44, Mpeinadopa, Rrmsjp,JAnDbot, Truefreehappy~eswiki, TArea, Mordecki, Wikinovelmaniaco, VanKleinen, Kved, Mansoncc, Aferrero, Zufs, Gsrdzl, TXiKiBoT,Aalvarez12, Bot-Schafter, Millars, Humberto, Netito777, Iusdfn78, Pabloallo, Sincro, Rei-bot, Fixertool, Nioger, Amanuense, Bedwyr,KanTagoff, Idioma-bot, Pólux, Jmvkrecords, Rovnet, Dhidalgo, Manuel Trujillo Berges, Bucephala, AlnoktaBOT, VolkovBot, Snakeyes,Technopat, C'est moi, Queninosta, Raystorm, Mahey94, Belgrano, Matdrodes, Synthebot, House, DJ Nietzsche, BlackBeast, Shooke, Va-telys, AlleborgoBot, 3coma14, Muro Bot, WikiMathema, Roman.astaroth, Srbanana, BotMultichill, Paco79, Sealight, Jmvgpartner, SieBot,Mushii, Ctrl Z, PaintBot, ÁWá, Macarrones, Pediawisdom, Lissbeth~eswiki, Cobalttempest, Incal, Rigenea, Drinibot, Anual, CASF, Dark,BOTarate, Mel 23, Manwë, Pascow, Correogsk, Greek, Elmascapodetodos, Andrésolivetti, BuenaGente, Belb, Mafores, PipepBot, Chi-co512, Yonseca, Ivanics, Yilku1, H. Fuxac, Tirithel, Mutari, Jarisleif, Javierito92, Piradaperdida, HUB, Juliabis, Tutoriasur, Antón Francho,SPQRes, Nicop, EnriqueCima, Pedotufo, DragonBot, Brayan Jaimes, Farisori, Eduardosalg, Juliho.castillo, Veon, Leonpolanco, Viacom,Charly genio, Sp92, Petruss, BetoCG, Ener6, Alexbot, Juan Mayordomo, Rαge, Yufradt, Raulshc, Açipni-Lovrij, Hahc21, Kadellar, Je$u$,Camilo, UA31, Krysthyan, AVBOT, Elliniká, LucienBOT, Derrick77, MastiBot, Angel GN, MarcoAurelio, Diegusjaimes, Davidgutierre-zalvarez, Fernando H, Teles, Arjuno3, Andreasmperu, MystBot, Centroamericano, Ptbotgourou, Jotterbot, Dangelin5, LyingB, Jorge 2701,Draxtreme, Lautaro kamegaki, Yaakob7, Nixón, Nachotraidor, Asiderisas, Usuwiki, Diogeneselcinico42, Eññe, SuperBraulio13, Ortisa,Manuelt15, Xqbot, Jkbw, GNM, GhalyBot, Ruthven, FrescoBot, -Erick-, Ricardogpn, JViejo, Kismalac, Igna, MaxElizalde, Torrente, No-ventamilcientoveinticinco, Botarel, AstaBOTh15, RubiksMaster110, TiriBOT, MAfotBOT, Gusbelluwiki, Hprmedina, TobeBot, Halfdrag,Vubo, FAL56, DixonDBot, Abece, Captel - educación a distancia, Jerowiki, Lungo, Wikielwikingo, Alexander yo, Boatbadly, Princesitaloquita, Jateck, Born2bgratis, Barsev, Lucain uv, PatruBOT, King prinplup, Jcomes, Rafa0410, KamikazeBot, SuperTusam, Dinamik-bot,Canyq, Ivhago4, Andresdario233, Aamarycarmen, Socrato, Yeniferfranco, Wikis1, Ripchip Bot, Marioalbert09, Tarawa1943, Esteban-manaya, Jorge c2010, LPGG, Tomás Malala, Foundling, GrouchoBot, Wikiléptico, Miss Manzana, Edslov, P. S. F. Freitas, EmausBot,Matys98, Savh, AVIADOR, ZéroBot, Joel777, Allforrous, Sergio Andres Segovia, Grillitus, JackieBot, Rubpe19, Mecamático, Javisoar,Emiduronte, Jcaraballo, MadriCR, Waka Waka, WikitanvirBot, Mjbmrbot, Banck, Dactilos, Guillelink, Penguin19733Cp, Palissy, GreenDay 01, Pegaso2005, Movses-bot, René Peña, Junaka-waka, Polloooo, Antonorsi, Abián, Jfuxman1, Nachounicaja, Tarekhajali, TeleMa-nia, Amahoney, Julio grillo, Mathsfun, Elfutbolmipasion, Smart media, AvocatoBot, Sebrev, RamJackson, Pellu Szabó, Travelour, Ginés90,MetroBot, Trollsofwar, Ian kemel, Xosé Antonio, Chupame el ollo, JOHNDEWEY, Alberto5000, Allan Aguilar, Nundy, Gusama Romero,Brucehinojosa, Cacarlososo, Maquedasahag, Makaka33, Wiliams96524, Acratta, Diego Aquino, Mataandrew, Vetranio, Margarita mares,Veropamela, LlamaAl, Xtutux, Creosota, Asqueladd, DanielithoMoya, Santga, DLeandroc, Helmy oved, Draupnir~eswiki, Cyrax, Juab78,Syum90, Specialistmartin, Baute2010, Matematicas brandon, Lisa j simpson, Neopedo, TwistGraff, Erickmolina12, Seelmejor, Corkiele-tor, Miguel barsa70, Leitoxx, SantoBOT, Weed4life, Javier duvan, Guñaca, IXavier, PEDROCENT, James98, Lautaro 97, Francisco2289,Jeroni riera23, Tonki18, Jeshuabin laden, Jean70000, Addbot, Luisa Moreno, Abenpineda1, Balles2601, Cristhian Peña, Nacido para servandálico, Gerardojuradofenixzone, Olimak97, GomiiLo1, Masq710, Roger de Lauria, Ileanamflores, Lopvampy, Gumerxindo1, Aydeearcoverde, David.rosasv, Gofion666, Alanis1499, Illustr, Drude, JacobRodrigues, Manuel Balarezo, MamaEnTanga, Giliofelix, Poncho iandany, Jesus.salazarr, Karen lugo16, Gabrielferre, Rafael de Jesús Vázquez, Julieta 012, Qnocq, Miryam.malca, MrCharro, Danii ji bo, Fa-bro666, LeonardoD55, Abraham.galavizy2, Juan register, Jarould, Inakizoreda, Matiia, Egis57, Oalbertglez, Jkhkhk, Ilse nose que, Araceliarivilca castañeda, Aspinoglio, Ernesto el canas Díaz, Juanestebanviveros, Jocely Santos, Ivieselmejor, B4p8V3645, BenjaBot, Montseam, RV Kate, IMA lovers, Sebustino, Peshia12345, LIONELIKER2014, Maycol16, Laura lopera, X2y3, Palmer181, Futuman34, Ya-mile García Díaz, GypsyDanger3, Domoangar, Domingaiz, Eduar Vargas, Lectorina, Achu12345Pik, Fvernonm, ALVivaldi, Isaac Loco,Fernando2812l, Lindapancraciaflorisienta, Luis Rojas Vao7, Juankmlval, Garuztrujan, Xiomara rojas villegas, Dosebas1, ~Expresses life,OrlandozxD, Euclides Al Malaquí, JoseHdezquilla(col) y Anónimos: 1186

• Áreas de las matemáticas Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81reas_de_las_matem%C3%A1ticas?oldid=85291004 Colabo-radores: Felipealvarez, Benjavalero, Banfield, CEM-bot, JMCC1, Davius, Technopat, Bigsus-bot, Mel 23, Linkcisco, Alelapenya, Jkbw,Jerowiki, KamikazeBot, Kriztoval, Dagudoj, Grillitus, KLBot2, Acratta, Lectorina y Anónimos: 13

• Número entero Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero?oldid=86159634 Colaboradores: AstroNomo, Mave-ric149, Youssefsan, Macar~eswiki, Juancri, Joseaperez, Sabbut, Moriel, Abgenis, Rob Hooft, Pieter, Faco~eswiki, HooftBot~eswiki, Rob-bot, Sanbec, Vivero, Zwobot, Comae, Dodo, Yearofthedragon, Ascánder, Sms, Renabot, FAR, Soulreaper, RobotJcb, Airunp, Taichi,Rembiapo pohyiete (bot), Magister Mathematicae, Orgullobot~eswiki, RobotQuistnix, Alhen, Superzerocool, Caiserbot, Yrbot, BOT-Superzerocool, FlaBot, Maleiva, Vitamine, .Sergio, YurikBot, GermanX, Wewe, Beto29, Eloy, Txo, Banfield, Er Komandante, Zanaqo,Juan Marquez, Kn, BOTpolicia, Hawking, CEM-bot, Jorgelrm, Laura Fiorucci, Rubenerm, JMCC1, Especiales, Marianov, Eli22, Baiji,Karshan, Davius, Rastrojo, Rosarinagazo, Jjafjjaf, FrancoGG, Ggenellina, Ingenioso Hidalgo, Thijs!bot, Airwolf, Alvaro qc, Tortillovsky,Escarbot, RoyFocker, Doctor C, Botones, Isha, JAnDbot, Karlozshida, Kved, Charly Toluca, Muro de Aguas, Gsrdzl, TXiKiBoT, Alephce-ro~eswiki, Gustronico, Humberto, Netito777, Xsm34, Fixertool, KanTagoff, Pólux, Jmvkrecords, Manuel Trujillo Berges, AlnoktaBOT,VolkovBot, Technopat, C'est moi, Raystorm, Matdrodes, Synthebot, AlleborgoBot, Muro Bot, MiguelAngel fotografo, Gerakibot, SieBot,Mushii, Loveless, MiguelAngelCaballero, Marcelo, Mel 23, Manwë, Greek, BuenaGente, Belb, PipepBot, Xqno, Tirithel, M S, Jarisleif,Javierito92, Dnu72, Valentin vendetta, Nicop, DragonBot, Farisori, Eduardosalg, Leonpolanco, Pan con queso, Frankilin, Alejandrocaro35,Furti, Petruss, Poco a poco, BodhisattvaBot, Raulshc, Açipni-Lovrij, Camilo, UA31, AVBOT, Msdus, David0811, Angel GN, Diegusjai-mes, Davidgutierrezalvarez, Tharasia, MelancholieBot, Arjuno3, Andreasmperu, Luckas-bot, Borboteo, Jarev, Nixón, Gilaaa, Roninpara-

6.7. ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS 41

ble, SuperBraulio13, Juamax, Almabot, Manuelt15, Xqbot, Jkbw, Sofiaa B, Dreitmen, Ricardogpn, Kismalac, Igna, Botarel, Panderine!,BOTirithel, Gusbelluwiki, Hprmedina, Pimer, TobeBot, Halfdrag, Kelvin539, PatruBOT, CVBOT, Fran89, Angelito7, Pabcar, RipchipBot, Humbefa, Foundling, Mathonius, Jonathan11117, Adriansm, Edslov, EmausBot, Bachi 2805, Savh, AVIADOR, ZéroBot, Allforrous,Sergio Andres Segovia, Camiz10, Africanus, Esteban474, Grillitus, Rubpe19, Jcaraballo, ChuispastonBot, MadriCR, Waka Waka, Wi-kitanvirBot, Edp3, Jacoki, AvocatoBot, Sebrev, Travelour, Ginés90, Jacastrou, Maaavilapa, JhsBot, Allan Aguilar, -seb-, Harpagornis,LlamaAl, DarafshBot, Helmy oved, 2rombos, ProfesorFavalli, Miniush, Zimplemente silvestrista, Legobot, Holaquetalcomoteva, Loli-tololita, Seroto, Ivanretro, Addbot, VALERIAFORERODIAZ, Balles2601, DavosMat, Aydv 2013, Solanni1, Manuel Balarezo, Nicolaspellizzari, MrCharro, Jarould, Matiia, Crystallizedcarbon, Luisangelventuravelez, BenjaBot, DixieGarzaAlvarez, Información Falsa ParaTodos, Renérafael, Devin Rivera, X2y3, Sfr570, Estibens sanchez, Jesus david rosado, Tarm92, Clawdeen22 y Anónimos: 803

• Geometría Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa?oldid=86053951 Colaboradores: Maveric149, Youssefsan, PA-CO, Joseaperez, Moriel, JorgeGG, Pilaf, Larocka, Julie, Sanbec, Vivero, Zwobot, Dodo, Sms, Rsg, Cookie, Tano4595, Jsanchezes, ElHoy, Lew XXI, Robotito, Rondador, Cinabrium, Pgimeno, Balderai, Ecemaml, Chewie, Elsenyor, Renabot, Digigalos, Kiekvogel, Un-nio~eswiki, Soulreaper, Petronas, RobotJcb, Airunp, JMPerez, Edub, Taichi, Rembiapo pohyiete (bot), Magister Mathematicae, Kokoo,Orgullobot~eswiki, RobotQuistnix, Platonides, Alhen, Superzerocool, Chobot, Palica, Jomra, Caiserbot, Yrbot, Lagalag~eswiki, BOT-Superzerocool, Adrruiz, Maleiva, Vitamine, BOTijo, Mortadelo2005, Wewe, Equi, Beto29, KnightRider, Vyk2rr, The Photographer, Ban-field, Ernesto Graf, Mindeye, Kepler Oort, Ulises Sarry, Götz, Maldoror, Grizzly Sigma, Er Komandante, Belascoaran mx, Tomatejc, Jarke,Filipo, Siabef, Folkvanger, Alfredobi, Axxgreazz, Juan Marquez, BOTpolicia, Gizmo II, CEM-bot, Laura Fiorucci, JMCC1, Ignacio Icke,Baiji, Mister, Eamezaga, Davius, Rastrojo, Andreoliva, Antur, Gafotas, Montgomery, FrancoGG, Ingenioso Hidalgo, Thijs!bot, Escar-bot, Arkimedes, Fedego, RoyFocker, IrwinSantos, AntBiel, LMLM, Botones, Isha, Gragry, Arcibel, Gusgus, JAnDbot, VanKleinen, Hosg,BetBot~eswiki, Muro de Aguas, Gaius iulius caesar, TXiKiBoT, Hidoy kukyo, HiTe, Elisardojm, Humberto, Netito777, Rei-bot, Fixer-tool, Nioger, Bedwyr, Idioma-bot, Pólux, Jmvkrecords, Rovnet, Jtico, Uruk, Bucephala, AlnoktaBOT, VolkovBot, Technopat, Galandil,Queninosta, Erfil, Josell2, Matdrodes, Synthebot, DJ Nietzsche, AlleborgoBot, 3coma14, Muro Bot, Bucho, BotMultichill, Mjollnir1984,SieBot, PaintBot, Carmin, Cobalttempest, OLM, MiguelAngelCaballero, Katze Canciola, Rigenea, CASF, BOTarate, Mel 23, Manwë,Pascow, Greek, Brindys, McOil, Lobo, BuenaGente, Belb, PipepBot, Yix, Tirithel, Prietoquilmes, Jarisleif, Javierito92, HUB, Nicop, Fon-si80, Farisori, Estirabot, Eduardosalg, Simon perez~eswiki, Leonpolanco, Chriswarrior, Petruss, Poco a poco, Alexbot, Valentin esteva-nez navarro, Yufradt, BodhisattvaBot, Raulshc, Açipni-Lovrij, SilvonenBot, Camilo, UA31, Armando-Martin, Cesarabad, MARC912374,AVBOT, Srruly, Elliniká, David0811, MastiBot, Angel GN, Ialad, Lcarp92, Diegusjaimes, Bethan 182, MelancholieBot, Ernesto Bueno,Arjuno3, Madalberta, Luckas-bot, Wikisilki, Jotterbot, Ixfd64, Latiniensis, Byron olea duran, Chespeluche, Draxtreme, Nixón, ArthurBot,Ruy Pugliesi, SuperBraulio13, Almabot, Xqbot, Jkbw, Rubinbot, Areftipu, Igna, UDCONGO, MauritsBot, Panderine!, Zulucho, Tiri-BOT, TobeBot, Halfdrag, Marsal20, Rameshngbot, BF14, Abece, Geoher95, Capo Di Corleone, PatruBOT, TheRandyAlex, Kamikaze-Bot, Dinamik-bot, Skadia, TjBot, Corrector1, AstroF7, Dark Bane, Jorge c2010, Foundling, GrouchoBot, Maxsienn, Frandzi.rangel, PedroLozano Barroso, GMSraykagesnake, Felipe-nico, Edslov, EmausBot, Bachi 2805, Savh, AVIADOR, HRoestBot, ChessBOT, Allforrous,1horozco, Edsonlaura, Juan saltillo pedrero, Grillitus, Rubpe19, MercurioMT, Mecamático, Emiduronte, Jcaraballo, ChuispastonBot, Ma-driCR, Albertojuanse, Waka Waka, WikitanvirBot, Guillelink, Daimond, CocuBot, Forgeby, Antonorsi, Satanás va de retro, Beramendi,ChuckNorrisTrollFace, AvocatoBot, Ginés90, MetroBot, Arular, Zetaru, Acratta, Mega-buses, Sebaspapi, Lawrence McWallen, Asque-ladd, DanielithoMoya, Josejames44, DLeandroc, Helmy oved, Alex Filth, Sorin Cojocaru, JuanpiXD2.01587, Legobot, Soljaguar, Ba-lles2601, Facu89, Emi1098, Catalina Bieber Mallette, Kaka34~eswiki, NRubinetti, Illustr, Andres estevan, Gaaplex, Jarould, Inakizoreda,Matiia, Egis57, Jefechito, Sayumi y., ELTACOMASTERIZADOR, Lectorina, LauraChitiva Saenz, Innosalva, Sfr570, JeffTheKiller 04,Xiomara rojas villegas, Deyanir felix y Anónimos: 726

• Trigonometría Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa?oldid=86253251 Colaboradores:Maveric149, Youssefsan,PACO, Urko1982, Kristobal, Sabbut, Moriel, Sauron, JorgeGG, Wesisnay, Larocka, Angus, Aparejador, Comae, Pinzo~eswiki, Tarta-glia, Interwiki, Dodo, Ascánder, Sms, Cookie, Tano4595, Jsanchezes, Galio, Milu~eswiki, Joselarrucea, Dianai, Gengiskanhg, Cinabrium,Porao, Fmariluis, Huhsunqu, Balderai, Benjavalero, Txuspe, FAR, Reignerok, Boticario, Jhoropopo, Soulreaper, Peejayem, AlfonsoE-Romero, Taichi, Rembiapo pohyiete (bot), Lukillas, Magister Mathematicae, RedTony, Dominican, RobotQuistnix, Kiroh, Palica, Yr-bot, Amadís, FlaBot, Vitamine, YurikBot, Cameri, GermanX, Beto29, Armin76, KnightRider, The Photographer, YoaR, No sé qué nickponer, Eskimbot, Banfield, Maldoror, Er Komandante, Chlewbot, Rodriguillo, Tuncket, Paintman, Sigmanexus6, BOTpolicia, Qwertyy-trewqqwerty, CEM-bot, JMCC1, Alexav8, Xexito, Marianov, Baiji, Pacovila, Karshan, Davius, Rastrojo, Antur, Julian Mendez, Jjafjjaf,FrancoGG, Fsd141, Thijs!bot, Mahadeva, Diosa, RoyFocker, LMLM, Botones, Isha, Hanjin, Góngora, JAnDbot, Johns, Y0rx, Mysthi-que, Kved, DerHexer, Mansoncc, Muro de Aguas, Klystrode, Limbo@MX, Gsrdzl, TXiKiBoT, Otravolta, HiTe, Linkedark, Elisardojm,Humberto, Netito777, Ale flashero, Xsm34, Nioger, Idioma-bot, Pólux, Magnanimo, Almendro, Bucephala, VolkovBot, Technopat, Que-ninosta, Belgrano, Josell2, Matdrodes, Fiquei, Fernando Estel, House, BlackBeast, Lucien leGrey, AlleborgoBot, Muro Bot, Komputisto,Bucho, 3damplified, BotMultichill, Mjollnir1984, SieBot, Mushii, Camr, PaintBot, Loveless, Rimac, Cobalttempest, Rigenea, Drinibot,Dark, Deivi1753, BOTarate, Manwë, Ugly, Pascow, Seth66, Greek, Joelperez, Belb, Mafores, Blithfeorthelife, Ivanics, Tirithel, Prieto-quilmes, Jarisleif, Dnu72, Miguel Roldan, Antón Francho, Nicop, Daniel Carracelas, Farisori, Eduardosalg, Mparri, Veon, Qwertymith,Leonpolanco, Charly genio, Mar del Sur, Alecs.bot, Petruss, Elalumnocabron, Netito, Jorge Ianis, Alexbot, Dominguillo, BodhisattvaBot,Raulshc, Açipni-Lovrij, Hahc21, Camilo, UA31, Thingg, AVBOT, Elliniká, David0811, Dermot, Diegusjaimes, JohnManuel, HerculeBot,Andreasmperu, Luckas-bot, Nallimbot, Jotterbot, Vic Fede, Manuel Gonzálvez, Draxtreme, Hampcky, Kakashi the best, Nixón, Arthur-Bot, SuperBraulio13, Manuelt15, Xqbot, Jkbw, GhalyBot, Dreitmen, Chtristian, Eocampos, Math Master, Ricardogpn, Zeoroth, Kismalac,Torrente, Botarel, UDCONGO, Tegustamiculo, RitX, BOTirithel, TobeBot, Halfdrag, Jerowiki, PatruBOT, TheRandyAlex, Angelito7,TjBot, Alph Bot, Humbefa, Rick.bass, Tarawa1943, Dadidu 74, Foundling, EmausBot, Savh, Allforrous, Sergio Andres Segovia, Rubpe19,Emiduronte, Jcaraballo, ChuispastonBot, Khiari, Waka Waka, Mjbmrbot, Movses-bot, Azuladoconella, MerlIwBot, KLBot2, TeleMania,Daikixniimura, Marcela Corbalán, Sebrev, Travelour, RollbackerBOT, Ninrouter, Devilman1, Josher8a, Buenisimo, Acratta, LlamaAl,Elvin Lazo, Asqueladd, Helmy oved, Alex Filth, Kenny Olivares, Saul2310, Legobot, Leitoxx, Lautaro 97, Igns, Addbot, Jarmizz, Nahi-runsa, Pancho6265, Adrian martinez torres, Crist510, Jarould, Jessi.R.27, BenjaBot, Diánmondin, Lectorina, Dorituchi, Deyanir felix yAnónimos: 886

• Trigonometría esférica Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa_esf%C3%A9rica?oldid=85976187 Colaborado-res: Oblongo, Tano4595, Ramjar, Fergon, José., CEM-bot, JMCC1, Alexav8, Thijs!bot, Botones, Egaida, JAnDbot, Muro de Aguas, ElCaro, Claudio Elias, Pólux, Technopat, Muro Bot, SieBot, Drinibot, Espilas, Leonpolanco, Raulshc, Açipni-Lovrij, UA31, AVBOT, Da-vid0811, Luckas-bot, MystBot, Ptbotgourou, SuperBraulio13, Jkbw, Ricardogpn, Quatus, Sentanumarola, Gusbelluwiki, Lydia 85, Allfo-rrous, KLBot2, SarahStierch, Trabajoswiki.uv, Acratta, Romanmorata, Ineditable, Jarould y Anónimos: 34

42 CAPÍTULO 6. TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

6.7.2 Imágenes• Archivo:AdditionRules-2.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d3/AdditionRules-2.svg Licencia: CC BY-

SA 3.0 Colaboradores:

• AdditionRules.svg Artista original: AdditionRules.svg: Ezra Katz• Archivo:Airflow-Obstructed-Duct.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/17/Airflow-Obstructed-Duct.png

Licencia: Public domain Colaboradores: Transferido desde en.wikipedia a Commons. Artista original: User A1 de Wikipedia en inglés• Archivo:Angulo000.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7d/Angulo000.svg Licencia: GFDL Colaboradores:

Trabajo propio Artista original: Dnu72• Archivo:Angulo030.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b0/Angulo030.svg Licencia: GFDL Colaboradores:

Trabajo propio Artista original: Dnu72• Archivo:Angulo045.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/18/Angulo045.svg Licencia: GFDL Colaboradores:

Trabajo propio Artista original: Dnu72• Archivo:Angulo060.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6e/Angulo060.svg Licencia: GFDL Colaboradores:

Trabajo propio Artista original: Dnu72• Archivo:Angulo090.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/25/Angulo090.svg Licencia: GFDL Colaboradores:

Trabajo propio Artista original: Dnu72• Archivo:Arbitrary-gametree-solved.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d7/Arbitrary-gametree-solved.

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• Arbitrary-gametree-solved.png Artista original:

• derivative work: Qef (talk)• Archivo:Archimedes_sphere_and_cylinder.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/Archimedes_sphere_

and_cylinder.svg Licencia: CC BY-SA 2.5 Colaboradores:

• Archimedes_sphere_and_cylinder.png Artista original:

• derivative work: Pbroks13 (talk)• Archivo:Arithmetic_symbols.svgFuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a3/Arithmetic_symbols.svgLicencia: Pu-

blic domain Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Esta imagen vectorial fue creada con Inkscape por Elembis, y luego editadamanualmente.

• Archivo:BernoullisLawDerivationDiagram.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/20/BernoullisLawDerivationDiagram.svg Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Image:BernoullisLawDerivationDiagram.png Ar-tista original: MannyMax (original)

• Archivo:Braid-modular-group-cover.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/da/Braid-modular-group-cover.svg Licencia: Public domain Colaboradores: Own work, created as per: en:meta:Help:Displaying aformula#Commutative diagrams; source code below. Artista original: Nils R. Barth

• Archivo:Caesar3.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2b/Caesar3.svg Licencia: Public domain Colaborado-res: Trabajo propio Artista original: Cepheus

• Archivo:Carl_Friedrich_Gauss.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/Carl_Friedrich_Gauss.jpg Licen-cia: Public domain Colaboradores: Gauß-Gesellschaft Göttingen e.V. (Foto: A. Wittmann). Artista original: Gottlieb BiermannA. Wittmann (photo)

• Archivo:Ch4-structure.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/55/Ch4-structure.png Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: ? Artista original: ?

• Archivo:Commons-logo.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Commons-logo.svg Licencia: Public do-main Colaboradores: This version created by Pumbaa, using a proper partial circle and SVG geometry features. (Former versions usedto be slightly warped.) Artista original: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version,created by Reidab.

• Archivo:Composite_trapezoidal_rule_illustration_small.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/dd/Composite_trapezoidal_rule_illustration_small.svg Licencia: Attribution Colaboradores:

• Composite_trapezoidal_rule_illustration_small.png Artista original:

• derivative work: Pbroks13 (talk)• Archivo:Conformal_grid_after_Möbius_transformation.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3f/

Conformal_grid_after_M%C3%B6bius_transformation.svg Licencia: CC BY-SA 2.5 Colaboradores: By Lokal_Profil Artista original:Lokal_Profil

• Archivo:Elliptic_curve_simple.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/da/Elliptic_curve_simple.svg Licencia:CC-BY-SA-3.0 Colaboradores:

• Elliptic_curve_simple.png Artista original:

• derivative work: Pbroks13 (talk)• Archivo:Función_Trigonométrica_R111.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e5/Funci%C3%B3n_

Trigonom%C3%A9trica_R111.svg Licencia: CC BY-SA 4.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Dnu72• Archivo:Función_Trigonométrica_R222.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cf/Funci%C3%B3n_

Trigonom%C3%A9trica_R222.svg Licencia: CC BY-SA 4.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Dnu72• Archivo:Función_recíproca_B_Trigonométrica_R111.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/Funci%

C3%B3n_rec%C3%ADproca_B_Trigonom%C3%A9trica_R111.svg Licencia: CC BY-SA 4.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista ori-ginal: Dnu72

6.7. ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS 43

• Archivo:Función_recíproca_B_Trigonométrica_R222.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/33/Funci%C3%B3n_rec%C3%ADproca_B_Trigonom%C3%A9trica_R222.svg Licencia: CC BY-SA 4.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista ori-ginal: Dnu72

• Archivo:Función_recíproca_Trigonométrica_R111.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b1/Funci%C3%B3n_rec%C3%ADproca_Trigonom%C3%A9trica_R111.svg Licencia: CC BY-SA 4.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original:Dnu72

• Archivo:Función_recíproca_Trigonométrica_R222.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3f/Funci%C3%B3n_rec%C3%ADproca_Trigonom%C3%A9trica_R222.svg Licencia: CC BY-SA 4.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original:Dnu72

• Archivo:GDP_PPP_Per_Capita_IMF_2008.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fa/GDP_PPP_Per_Capita_IMF_2008.png Licencia: CC BY 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Sbw01f

• Archivo:Geometria_(Geometry).jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1b/Geometria_%28Geometry%29.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: Private collection Artista original: Scan by Nick Michael

• Archivo:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/39/GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: http://www.newton.cam.ac.uk/art/portrait.htmlArtista original: Sir Godfrey Kneller

• Archivo:Gravitation_space_source.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/26/Gravitation_space_source.pngLicencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: ? Artista original: ?

• Archivo:Group_diagdram_D6.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0e/Group_diagdram_D6.svg Licencia:Public domain Colaboradores: Trabajo propio Artista original: User:Cepheus

• Archivo:Hyperbolic_triangle.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/89/Hyperbolic_triangle.svg Licencia: Pu-blic domain Colaboradores: ? Artista original: ?

• Archivo:Illustration_to_Euclid’{}s_proof_of_the_Pythagorean_theorem.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/26/Illustration_to_Euclid%27s_proof_of_the_Pythagorean_theorem.svg Licencia:WTFPL Colaboradores: ? Artista original:?

• Archivo:Integers-line.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/83/Integers-line.svg Licencia:CCBY-SA 3.0Co-laboradores: Trabajo propio Artista original: kismalac

• Archivo:Integral_as_region_under_curve.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f2/Integral_as_region_under_curve.svg Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Trabajo propio, based on JPG version Artista original: 4C

• Archivo:Lattice_of_the_divisibility_of_60.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/51/Lattice_of_the_divisibility_of_60.svg Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: No machine-readable source provided. Own work assumed (based oncopyright claims). Artista original: No machine-readable author provided. Ed g2s assumed (based on copyright claims).

• Archivo:Leonhard_Euler_2.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/60/Leonhard_Euler_2.jpg Licencia: Pu-blic domain Colaboradores:

• 2011-12-22 (upload, according to EXIF data)

Artista original: Jakob Emanuel Handmann• Archivo:Limitcycle.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/91/Limitcycle.svg Licencia: CC BY-SA 3.0 Cola-

boradores: Trabajo propio Artista original: Gargan• Archivo:Lorenz_attractor.svgFuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f4/Lorenz_attractor.svg Licencia:CCBY2.5

Colaboradores: No machine-readable source provided. Own work assumed (based on copyright claims). Artista original: No machine-readable author provided. Dschwen assumed (based on copyright claims).

• Archivo:Mandel_zoom_07_satellite.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b3/Mandel_zoom_07_satellite.jpg Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: ? Artista original: ?

• Archivo:Market_Data_Index_NYA_on_20050726_202628_UTC.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/46/Market_Data_Index_NYA_on_20050726_202628_UTC.png Licencia: Public domain Colaboradores: ? Artista original: ?

• Archivo:Maximum_boxed.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1a/Maximum_boxed.png Licencia: Publicdomain Colaboradores: Created with the help of GraphCalc Artista original: Freiddy

• Archivo:Measure_illustration.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a6/Measure_illustration.png Licencia:Public domain Colaboradores: self-made with en:Inkscape Artista original: Oleg Alexandrov

• Archivo:Neper’{}s_Circle.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/18/Neper%27s_Circle.png Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: ? Artista original: ?

• Archivo:Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c2/Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg Licencia: GPL Colaboradores: Derivative of Image:Nuvola apps edu mathematics.png created by self Artista original:David Vignoni (original icon); Flamurai (SVG convertion)

• Archivo:Oldfaithful3.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0f/Oldfaithful3.png Licencia: Public domain Co-laboradores: ? Artista original: ?

• Archivo:Ortodroma.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c2/Ortodroma.svg Licencia: CC-BY-SA-3.0 Cola-boradores: based on picture from pl-wiki. Artista original: Orem

• Archivo:Oxyrhynchus_papyrus_with_Euclid’{}s_Elements.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8d/P._Oxy._I_29.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: http://www.math.ubc.ca/~{}cass/Euclid/papyrus/tha.jpg Artista original: Euclid

• Archivo:Plimpton_322.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c2/Plimpton_322.jpg Licencia: Public domainColaboradores: image copied from http://www.math.ubc.ca/~{}cass/courses/m446-03/pl322/pl322.htmlArtista original: photo author unk-nown

44 CAPÍTULO 6. TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

• Archivo:RadiánCircunferencia.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9d/Radi%C3%A1nCircunferencia.svg Licencia: Public domain Colaboradores: Trabajo propio Artista original: User:Dnu72

• Archivo:RelTri-1.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/91/RelTri-1.svg Licencia:GFDL Colaboradores: Tra-bajo propio Artista original: Dnu72

• Archivo:RelTri-2.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/93/RelTri-2.svg Licencia:GFDL Colaboradores: Tra-bajo propio Artista original: Dnu72

• Archivo:RelTri-3.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/47/RelTri-3.svg Licencia:GFDL Colaboradores: Tra-bajo propio Artista original: Dnu72

• Archivo:RelTri-4.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a6/RelTri-4.svg Licencia: GFDL Colaboradores: Tra-bajo propio Artista original: Dnu72

• Archivo:RelTri-5.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2d/RelTri-5.svg Licencia:GFDL Colaboradores: Tra-bajo propio Artista original: Dnu72

• Archivo:RelTri-6.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/27/RelTri-6.svg Licencia:GFDL Colaboradores: Tra-bajo propio Artista original: Dnu72

• Archivo:RelTri-7.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fe/RelTri-7.svg Licencia: GFDL Colaboradores: Tra-bajo propio Artista original: Dnu72

• Archivo:RelTri-8.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6f/RelTri-8.svg Licencia: GFDL Colaboradores: Tra-bajo propio Artista original: Dnu72

• Archivo:Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d9/Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: http://www.archaeowiki.org/Image:Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg Artistaoriginal: Paul James Cowie (Pjamescowie)

• Archivo:Rubik’{}s_cube.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a6/Rubik%27s_cube.svg Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Based on Image:Rubiks cube.jpg Artista original: This image was created by me, Booyabazooka

• Archivo:STS-114_Steve_Robinson_on_Canadarm2.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e5/STS-114_Steve_Robinson_on_Canadarm2.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: http://spaceflight.nasa.gov/gallery/images/shuttle/sts-114/html/s114e6647.html Artista original: NASA

• Archivo:SexaCircunferencia.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/18/SexaCircunferencia.svg Licencia: Pu-blic domain Colaboradores: Trabajo propio Artista original: User:Dnu72

• Archivo:Signal_transduction_pathways.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b0/Signal_transduction_pathways.svg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Signal_transduction_v1.png Artista original:cybertory

• Archivo:Simple_feedback_control_loop2.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/90/Simple_feedback_control_loop2.svg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Este archivo se derivó de Simple feedback control loop2.png: <ahref='//commons.wikimedia.org/wiki/File:Simple_feedback_control_loop2.png' class='image'><img alt='Simple feedback controlloop2.png' src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/45/Simple_feedback_control_loop2.png/50px-Simple_feedback_control_loop2.png' width='50' height='17' srcset='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/45/Simple_feedback_control_loop2.png/75px-Simple_feedback_control_loop2.png 1.5x, https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/45/Simple_feedback_control_loop2.png/100px-Simple_feedback_control_loop2.png 2x' data-file-width='439' data-file-height='150'/></a>Artista original: Simple_feedback_control_loop2.png: Corona

• Archivo:Sinusvåg_400px.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/Sinusv%C3%A5g_400px.png Licencia:Public domain Colaboradores: ? Artista original: User Solkoll on sv.wikipedia

• Archivo:Spanish_Wikiquote.SVG Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/13/Spanish_Wikiquote.SVG Licencia:CC BY-SA 3.0 Colaboradores: derived from Wikiquote-logo.svg Artista original: James.mcd.nz

• Archivo:Spherical_triangle_3d.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Spherical_triangle_3d.png Licen-cia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: DemonDeLuxe (Dominique Toussaint)

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6.7. ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS 45

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