Álgebra lineal y cálculo en varias...

Aacutelgebra lineal y Caacutelculo en varias

variablesUN CURSO INTRODUCTORIO

VERSIOacuteN WEB

(LINK A VERSIOacuteN PARA IMPRIMIR)

Gabriel LarotondaFCEyN-UBA

2021

FCEN-UBA Aacutelgebra lineal y Caacutelculo

Paacutegina 2 de 191 2 2021


1 Vectores y sistemas lineales 711 Operaciones con vectores 712 Rectas y planos 1213 Sistemas de ecuaciones lineales 1614 Matrices 2115 Determinante 28

2 Subespacios autovalores y diagonalizacioacuten 3321 Bases de subespacios 3322 Transformaciones ortogonales 3923 Diagonalizacioacuten 50

3 Conjuntos y funciones en la recta y el espacio 5731 Conjuntos en la recta y el espacio 5732 Funciones graacuteficos 7133 Curvas y superficies de nivel 83

4 Liacutemite y derivadas de funciones 9941 Liacutemites y continuidad 9942 Derivadas parciales 11543 Diferencial y regla de la cadena 131

5 Taylor integracioacuten y ecuaciones diferenciales 13751 Polinomio de Taylor 13752 Integracioacuten 14853 Ecuaciones diferenciales 153

6 Extremos de funciones optimizacioacuten 16161 Extremos locales 16162 Optimizacioacuten 17663 Extremos absolutos 181

Iacutendice alfabeacutetico 185

2021 3 Paacutegina 3 de 191



IntroduccioacutenEste texto pretende dar una introduccioacuten a los temas de caacutelculo en va-rias variables reales y para ello no presupone conocimientos de aacutelgebralineal las nociones y propiedades de vectores subespacios y matricesnecesarias para el desarrollo del caacutelculo estaacuten presentadas en los pri-meros capiacutetulos Esta presentacioacuten incluye las ideas de clasificacioacuten desuperficies cuaacutedricas que creemos cumplen una doble funcioacuten mos-trar la utilidad de las herramientas de matrices y desarrollar una buenavisioacuten geomeacutetrica de los temas de extremos locales de funciones quevisitaremos al final del texto

Si bien el tratamiento es riguroso hemos omitido la mayor parte de lasdemostraciones de los teoremas que enunciamos y utilizamos concen-traacutendonos maacutes en sus interpretaciones aplicaciones y usos El lectorinteresado en las pruebas puede recurrir a textos claacutesicos de Caacutelculocomo el de Stewart ldquoCaacutelculo de varias variablesrdquo [6] o el texto del quesuscribe ldquoCaacutelculo y Anaacutelisisrdquo [3]

Hemos incluido lecciones grabadas en video que recorren todos lostemas de este texto de manera coherente que pueden verse online odescargarse para ver luego Los hiperviacutenculos a esos videos puedenhallarse al comienzo de cada seccioacuten No es necesario haber leiacutedo laseccioacuten correspondiente antes de ver la leccioacuten grabada en video maacutesbien el texto funciona como un acompantildeanate de aquellas clases paraleer y reforzar conceptos y ejemplos luego de la clase

En el mismo espiacuteritu hemos usado el software GeoGebra para ilustrarmuchos de los ejemplos que se presentan en el texto el lector hallaraacuteque clickeando en el hiperviacutenculo correspondiente se abre una paacuteginaweb de GeoGebra En ocasiones el applet de Geogebra tiene sliderspara modificar los graacuteficos presentados de manera dinaacutemica en todos

5


los casos las figuras espaciales pueden rotarse usando el mouse y laescala del dibujo (zoom) se puede cambiar usando la rueda del mouseEn muchas ocasiones estas visualizaciones son de gran ayuda en otroscasos son simples curiosidades o juegos visuales Dejamos en manosdel lector experimentar y decidir cuaacutel es el caso en cada una de ellas yaque esto es en general una apreciacioacuten puramente subjetiva y personal

Buenos Aires Abril de 2021


Capiacutetulo 1

Vectores y sistemaslinealesEl siacutembolo de camino sinuoso indica ldquoprecaucioacutenrdquo o ldquoatencioacutenrdquo

Para profundizar en los temas desarrollados en los primeros capiacutetulosrecomendamos el libro de texto de Serge Lang ldquoIntroduccioacuten al Aacutelge-bra Linealrdquo [2]

11 Operaciones con vectoresbull Corresponde a clases en video 11 y 12

DEFINICIOacuteN 111 (Vectores) Un vector es una flecha que tiene

1 direccioacuten (dada por la rectaque la contiene)

2 sentido (dado por el lado ha-cia el que apunta la flecha)

3 longitud (dado por el largodesde el comienzo hasta elfinal

origen

extremo

longitud

direccioacuten

El punto del comienzo es el origen del vector y el punto del finalel extremo

Para poder comparar vectores es necesario que tengan un origencomuacuten

7


DEFINICIOacuteN 112 (Pares ordenados) Denotamos con R2 =RtimesR alconjunto de pares ordenados de nuacutemeros reales

R2 = (ab) ab isin R

x

y

v2

v1

V = (v1v2)

(00)

Figura 11 Plano cartesiano

Los pares ordenados de nuacuteme-ros reales se pueden represen-tar en el plano con dos ejes per-pendiculares el eje horizontaldonde van las x es el eje deabcisas y el eje vertical don-de van las y es el eje de orde-nadas Este plano se denominaplano euclideo o plano carte-siano

El orden es importante el par (13) es distinto del par (31)

DEFINICIOacuteN 113 (Producto cartesiano) Dados dos conjuntos ABel producto cartesiano de A con B es el nuevo conjunto que se consiguetomando pares ordenados de elementos de a y b respectivamente

AtimesB = (ab) a isin A b isin B

DEFINICIOacuteN 114 (Origen de coordendadas) El par (00) es el ori-gen de coordenadas y lo anotamos con un cero grande O= (00)

DEFINICIOacuteN 115 (Vectores en coordenadas) Dado un par ordenado(ab) isin R2 lo podemos pensar como un punto del plano pero tambieacutencomo un vector dibujamos la flecha con origen en (00) y extremo en(ab) -ver la Figura 11-

DEFINICIOacuteN 116 (Operaciones con vectores) Sean V =(v1v2)W =

(w1w2) y λ isin R Definimos



1 Producto de un vector por un nuacutemero λV = (λv1λv2) se mul-tiplican ambas coordenadas por el mismo nuacutemero Correspondegeomeacutetricamente a estirar contraer o dar vuelta el vector (estouacuteltimo con nuacutemeros negativos)

V 12V

2V

minusVminus12V

Figura 12 Producto de un nuacutemero por el vector V

2 Suma de vectores V +W = (v1+w1v2+w2) se suman coor-denada a coordenada Corresponde geomeacutetricamente a tomar elveacutertico opuesto del paralelogramo formado por V y W

V

WOV +W

Figura 13 Suma de los vectores VW

PROPIEDADES 117 (suma de vectores) Sean VWZ vectores ysean αβ isin R

1 La suma es conmutativa y asociativa V +W = W +V y (V +

W )+Z =V +(W +Z)

2 El vector nulo (el origen) es el neutro de la suma V +O=V

3 Multiplicar por el nuacutemero 0 devuelve el origen 0V = O

4 El producto por nuacutemeros distribuye con la suma α(V +W ) =

αV +αW y tambieacuten (α+β)V = αV +βV



5 El vector opuesto se consigue multiplicando por minus1 si minusV =

(minus1)V entonces V +(minusV ) =V minusV = O

DEFINICIOacuteN 118 (Longitud de un vector) Si V = (v1v2) isin R2 sulongitud se calcula usando el Teorema de Pitaacutegoras que relaciona loslados de un triaacutengulo rectaacutengulo Definimos

V=radic

v21 + v22

la norma de V que no es otra cosa que su longitud (ver Figura 11)

PROPIEDADES 119 (Norma y operaciones con vectores) Sean VWvectores y λ isin R

1 V ge 0 para todo V

2 V= 0 si y soacutelo si V = O

3 λV= |λ|V donde |λ| denota el moacutedulo del nuacutemero λ

4 V +W le V+W (desigualdad triangular)

DEFINICIOacuteN 1110 (Producto interno) Si V =(v1v2) y W =(w1w2)

entonces el producto interno de V con W es un nuacutemero real que puedeser cero positivo o negativo

V middotW = v1w1+ v2w2

Otra notacioacuten V middotW = 〈VW 〉

PROPIEDADES 1111 (Producto interno y operaciones con vecto-res) Sean VWZ vectores y λ isin R

1 V middotV = V2

2 (λV ) middotW = λ(V middotW ) =V middot (λW ) ldquosaca escalaresrdquo

3 (V +W ) middotZ =V middotZ +W middotZ ldquopropiedad distributivardquo



4 V middotW = VW cosα

De la uacuteltima propiedad si VW O podemos escribir

cosα =V middotWVW

(111)

V

WO

αV

WO

α = π2 (90o)

V perpW

Figura 14 Aacutengulo entre VW En el segundo caso el aacutengulo es recto

Como |cosα| le 1 para cualquier aacutengulo α se tiene la desigualdad deCauchy-Schwarz

minusVW leV middotW le VW

DEFINICIOacuteN 1112 (Vectores ortogonales) Decimos que VW sonortogonales si son perpendiculares y lo denotamos V perpW

OBSERVACIOacuteN 1113 (Ortogonalidad y producto interno) Dos vec-tores VW son ortogonales hArr el aacutengulo que forman es α = plusmnπ

2 (90grados)hArr se tiene cosα = 0 y esto uacuteltimo por la ecuacioacuten (111) esequivalente a que V middotW = 0 Luego

V perpW lArrrArrV middotW = 0 (112)

OBSERVACIOacuteN 1114 (Vectores en R3) El espacio euclideo se re-presenta con ternas ordenadas V = (v1v2v3)isinR3 las operaciones sonsimilares a las de R2 En general si V = (v1v2 middot middot middot vn)isinRn (y lo mismopara WZ) definimos

1 λV = (λv1λv2 middot middot middot λvn)

2 V +W = (v1+w1v2+w2 middot middot middot vn+wn)



3 V=radic

v21 + v22+ middot middot middot+ v2n

4 V middotW = v1w1+ v2w2+ middot middot middot+ vnwn

Estas operaciones tienen las mismas propiedades ya enunciadas en117 119 y 1111

Dados VW isin Rn podemos pensar que estaacuten en un plano bidimen-sional luego aplican las reglas geomeacutetricas para producto por nuacutemerosy suma (usando la ley del paralelogramo) Es maacutes estaacute bien definidoel aacutengulo entre ellos y se calcula usando la ecuacioacuten (111) Tambieacutenvale por este motivo V middotW = 0hArrV perpW = 0

12 Rectas y planosbull Corresponde a clases en video 13 14 15a 15b 15c 16 17 18

DEFINICIOacuteN 121 (Forma parameacutetrica de la recta) Dados VP isin Rn

con V O consideramos la ecuacioacuten parameacutetrica de la recta L dadapor

L tV +P t isin R

El vector V es el vector director de la recta el punto P es el punto depaso de la recta y el nuacutemero t es el paraacutemetro de la recta

DEFINICIOacuteN 122 (Recta y segmento entre dos puntos) Dados P Q isin Rn determinan una uacutenica recta con vector director QminusP ya queV =PminusQ es una copia del segmento entre P y Q pero ahora con origenen O La ecuacioacuten de esta recta es entonces

L t(QminusP)+P t isin R

PQP QO

QminusP Lprime = s(QminusP) s isin RFigura 15 Recta que pasa por los puntos PQ



Cuando t = 0 obtenemos P y cuando t = 1 obtenemos Q Si queremosuacutenicamente los puntos entre P y Q (el segmento entre P y Q) restrin-gimos el paraacutemetro al intervalo pidiendo t isin [01]

DEFINICIOacuteN 123 (Rectas paralelas) Decimos que las rectas L1L2subRn son paralelas si los vectores directores estaacuten alineados (tienen lamisma direccioacuten) Esto es si

L1 tV +P L2 sW +Q

con los paraacutemetros s t isin R entonces L1 es paralela a L2 (denotadoL1L2) si y soacutelo si V = λW para alguacuten λisinR Equivalentemente comoVW son no nulos son paralelas si y soacutelo si W = αV para alguacuten α isin R

Las rectas LLprime de la Figura 15 son paralelas

DEFINICIOacuteN 124 (Forma parameacutetrica del plano) Dados VWP isinRn el plano π generado por VW que pasa por P tiene ecuacioacuten

Π sV + tW +P s t isin R

Los vectores VW son los generadores de Π y s t son los paraacutemetros

OBSERVACIOacuteN 125 (Plano que pasa por tres puntos) Si PQR isinRn no estaacuten alineados existe un uacutenico plano Π que pasa por los trespuntos Su ecuacioacuten parameacutetrica es

Π s(QminusP)+ t(RminusP)+P s t isin R



PQ

O

Πprime = α(QminusP)+β(RminusP) αβ isin R

R

QminusP

RminusP

Π

Figura 16 Plano Π que contiene a los puntos PQR (en rojo)

DEFINICIOacuteN 126 (Producto vectorial) Si VW isin R3 el productovectorial de V con W es un nuevo vector que es ortogonal a ambosdenotado V timesW Se calcula armando una matriz 3times3 con VW comosegunda y tercera fila

V timesW =

∣∣∣∣∣∣∣i j kv1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣∣= (v2w3minus v3w2v3w1minus v1w3v1w2minus v2w1)

El producto vectorial da el vector nulo si y solo si los vectores estaacutenalineados V timesW = O lArrrArr V = λW oacute W = λV

PROPIEDADES 127 (del producto vectorial) Sean VWZ isinR3 λisinR Entonces

1 V timesW =minusW timesV (no es conmutativo)

2 (V +W )timesZ =V timesZ +W timesZ

3 (λV )timesW = λ(V timesW ) =V times (λW )

OBSERVACIOacuteN 128 Si Π sV +tW es un plano por el origen (s t isinR) entonces

(V timesW ) middot (sV + tW ) =V timesW middot (sV )+V timesW middot (tW )

= t(V timesW ) middotV + s(V timesW ) middotW = t0+ s0= 0



por las propiedades recieacuten enunciadas Entonces V timesW tiene productointerno nulo contra cualquier punto del plano Π Luego V timesW es per-pendicular a cualquier punto del plano Π por lo remarcado en (112)

DEFINICIOacuteN 129 (Vector normal a un plano) Si π sV + tW +P esun plano en R3 un vector normal Nπ del plano Π es cualquier vectorno nulo que sea ortogonal a todos los puntos del plano

Por la observacioacuten previa siempre podemos tomar Nπ = V timesW siVW son generadores del plano

P

O V

WΠ

Nπ =V timesWX

XminusP

Figura 17 X isinΠ si y solo si XminusPperp Nπ

DEFINICIOacuteN 1210 (Ecuacioacuten impliacutecita del plano) Sea Π sV +

tW + P sub R3 un plano Nπ = V timesW = (abc) un vector normal alplano entonce la ecuacioacuten impliacutecita del plano es Π (X minusP) middotNπ = 0(ver Figura 17) Equivalentemente

Π X middotNπ = P middotNπ

En coordendas si X = (xyz) entonces la ecuacioacuten impliacutecita es

Π ax+by+ cz = d

donde d = P middotNπ isin R Los nuacutemeros abcd son los coeficientes de laecuacioacuten Una tal ecucacioacuten es una ecuacioacuten lineal

DEFINICIOacuteN 1211 (Posiciones relativas) Dos rectas L1L2subRn son



1 Paralelas si tienen vectores directores alineados

2 Ortogonales si se cortan y tiene vectores directores ortogonales

3 Alabeadas si no se cortan pero tampoco son paralelas

Dos planos Π1Π2 sub R3 son paralelos si tienen vectores normales pa-ralelos equivalentemente si N1 = λN2 para alguacuten λ isin R Los planos dela Figura 16 son paralelos

Π1

Π2

L = Π1capΠ2

Figura 18 La interseccioacuten de dos planos (no paralelos) en R3 es una recta

PROPOSICIOacuteN 1212 (Dos planos en R3) Si Π1 Π2 no son para-lelos entonces se cortan a lo largo de una recta en R3 Π1capΠ2 = L

13 Sistemas de ecuaciones linealesbull Corresponde a clases en video 19 110

DEFINICIOacuteN 131 (Sistema) Un sistema en n variables y con k ecua-ciones se escribe como

S

a11x1+a12x2+ middot middot middot+a1nxn = b1

a21x1+a22x2+ middot middot middot+a2nxn = b2 =

ak1x1+ak2x2+ middot middot middot+aknxn = bk

(131)



Los nuacutemeros ai j con i = 12 k j = 12 n son los coefi-cientes de las ecuaciones del sistema

El sistema es homogeacuteneo si todos los bi (los teacuterminos indepen-dientes) son nulos

Una solucioacuten del sistema es una n-upla X = (x1x2 xn) queverifica simultaacuteneamente todas las ecuaciones

Cuando se pide hallar las soluciones del sistema siempre se en-tiende que queremos hallar todas las soluciones todos los X isinRn

que verifican las ecuaciones

Si el sistema es homogeacuteneo X = O es solucioacuten decimos que es lasolucioacuten trivial (puede haber otras)

DEFINICIOacuteN 132 (Sistemas equivalentes) Dos sistemas de ecua-ciones S1 S2 son equivalentes si tienen el mismo conjunto de solucio-nes

Dos sistemas equivalentes no tienen por queacute tener la misma cantidadde ecuaciones Por ejemplo

S1

3x+ yminus z = 4minus6xminus2y+2z = minus8 S2 3x+ yminus z = 4

son equivalentes porque la segunda ecuacioacuten de S1 es en realidad unacopia de la primera ecuacioacuten (multiplicada por (minus2))

PROPOSICIOacuteN 133 (Operaciones con filas) Las operaciones per-mitidas para transformar un sistema en otro equivalente son dos

1 Multiplicar una fila por un nuacutemero λ 0 (ambos lados del igual)

2 Sumar dos filas y guardar el resultado en el lugar de cualquierade las dos que sumamos



Combinando estas dos operaciones podemos escribir

Fi+λFj minusrarr Fi λ isin R

que se interpreta como multiplicar la fila j por λ sumarle la fila i yguardar el resultado en el lugar de la fila i

DEFINICIOacuteN 134 (Clasificacioacuten del conjunto de soluciones) Lossistemas lineales se clasifican en compatibles e incompatibles Loscompatibles tienen al menos una solucioacuten los incompatibles no tienensolucioacuten (equivalentemente el conjunto de soluciones de un sistemaincompatible es vaciacuteo)Los sistemas compatibles se clasifican en compatible determinado (cuan-do tienen una uacutenica solucioacuten) y compatible indeterminado (cuando tie-ne maacutes de una solucioacuten en ese caso siempre tiene infinitas soluciones)

INCOMPATIBLE(sin solucioacuten)

Sol= 0

COMPATIBLE

DETERMINADO(uacutenica solucioacuten)

Sol= P

INDETERMINADO(infinitas soluciones)

Sol= recta plano etc

SISTEMA LINEAL

Figura 19 Clasificacioacuten de los sistemas de ecuaciones lineales

DEFINICIOacuteN 135 (Matriz ampliada de un sistema lineal) Dado unsistema lineal como (131) podemos escribir su matriz ampliada co-



mo a11 a12 middot middot middot a1n b1

a21 a22 middot middot middot a2n b2

ak1 ak2 middot middot middot akn bk

El bloque que estaacute a la izquierda de la barra vertical se denomina matrizdel sistema esta matriz tiene n columnas y k filas

DEFINICIOacuteN 136 (Meacutetodo de Gauss y matriz escalonada) El meacute-todo de Gauss para resolver un sistema lineal consiste en hacer ope-raciones con las filas de la matriz ampliada hasta obtener una matrizescalonada cada fila de una matriz escalonada tiene su primer coefi-ciente no nulo (comenzando desde la izquierda) a la derecha del primercoeficiente no nulo de la fila superior


0 a22 middot middot middot a2n b2

0 0 middot middot middot akn bk

Puede ocurrir que el primer coeficiente no nulo de la fila inferior esteacutevarios lugares a la derecha como en este ejemplo de matriz escalona-da 3 0 ndash2 7 ndash4 0 ndash2 2

0 0 0 3 1 ndash2 1 00 0 0 0 0 7 ndash1 2

(132)

DEFINICIOacuteN 137 (Ecuaciones independientes) En una matriz (o unsistema) escalonado las ecuaciones son independientes (descartamoslas filas de ceros) La cantidad de filas (ecucaciones) independientes esla cantidad de restricciones del sistema

DEFINICIOacuteN 138 (Solucioacuten de un sistema lineal) Se busca dar unaexpresioacuten parameacutetrica del conjunto de soluciones del sistema la di-mensioacuten del conjunto solucioacuten es la cantidad de paraacutemetros indepen-



dientes Se puede calcular la dimensioacuten del conjunto como la dimen-sioacuten del espacio total menos la cantidad de restricciones (cantidad deecuaciones independientes)

EJEMPLO 139 (Soluciones del sistema (132)) Como la matriz delsistema (sin ampliar) tiene 7 columnas es un sistema con siete varia-bles y las soluciones son de la forma X = (x1x2x3x4x5x6x7) Elsistema estaacute escalonado las tres ecuaciones son indpendientes El con-junto solucioacuten tiene que tener dimensioacuten 7minus3= 4 la solucioacuten se tieneque poder expresar usando 4 paraacutemetros independientes Lo resolve-mos la uacuteltima fila se reescribe como ecuacioacuten

7x6minus x7 = 2

De aquiacute despejamos la variable x6 en funcioacuten de x7

7x6 = 2+ x7 =rArr x6 = 17 x7+ 27

La segunda fila se corresponde con la ecuacioacuten 3x4+x5minus2x6+x7 = 0De aquiacute despejamos 3x4 = minusx5+ 2x6minus x7 Reemplazando la variablex6 en funcioacuten de la x7 seguacuten lo deducido de la tercer fila y dividiendoluego por 3 se obtiene

x4 =minus13 x5minus 521 x7+ 421

De la primer fila despejamos la variable x1 en funcioacuten de las demaacutesvariables reemplazando ademaacutes las variables x6 y x5 por los valores yadespejados (que estaban en funcioacuten de las variables x5 y x7)

x1 = 23 x3+ 199 x5+ 119 x7+ 29

Las variables x2x3x5x7 quedaron como variables libres son los 4paraacutemetros independientes La solucioacuten general del sistema es

(23

x3+199

x5+119

x7+29x2x3

minus13

x5minus521

x7+421x5

17

x7+27x7)

que se puede reescribir usando las propiedades de las operaciones con



vectores como

Sol= x2(0100000)+ x3(23010000)+ x5(19900minus13100)+x7(11900minus5210 171)+(29004210 270)

Podemos cambiar el nombre de los cuatro paraacutemetros independientesy reescribir la solucioacuten

Sol= α(0100000)+β(23010000)+ γ(19900minus13100)+δ(11900minus5210 171)+(29004210 270) αβγδ isin R

de donde es claro que el conjunto solucioacuten tiene dimensioacuten 4

14 Matricesbull Corresponde a clases en video 111 112 113

DEFINICIOacuteN 141 (Rktimesn) Es el conjunto de los arreglos de nuacuteme-ros (o coeficientes) de k filas y n columnas ubicados en un rectaacutenguloencerrado por pareacutentesis ( middot) o corchetes [ middot ]

A =

a11 a12 middot middot middot a1n


ak1 ak2 middot middot middot akn

isin Rktimesn

Las entradas se indican con un subiacutendice el primero indica la fila y elsegundo la columna Asiacute por ejemplo a21 es el coeficiente de la segundafila y la primer columna mientras que a12 es el coeficiente de la primerfila y la segunda columna

Dado un vector V isin Rd podemos pensarlo como un vector fila (ma-triz en R1timesd) o como un vector columna (matriz de Rdtimes1) seguacuten seindique (o sea conveniente)

DEFINICIOacuteN 142 (Operaciones con matrices suma y producto por



nuacutemeros) Sean AB isin Rktimesn Entonces la suma A+B isin Rktimesn se calculalugar a lugar El producto de la matriz A por el nuacutemero λ da tambieacutenuna matriz del mismo tamantildeo cuyas entradas se obtienen multiplican-do todas las entradas de A por λ Valen las propiedades distributivas desuma con producto

DEFINICIOacuteN 143 (Operaciones con matrices producto) Si AisinRktimesn

y B isin Rntimesd se calcula el producto AB haciendo el producto interno delas filas de A por las columnas de B obtenieacutendose una matriz de ktimesdde la siguiente manera

AB =

minus F1 minusminus F2 minus

minus Fk minus

| | |

C1 C2 Cd

| | |

=

F1 middotC1 F1 middotC2 middot middot middot F1 middotCd


Fk middotC1 Fk middotC2 middot middot middot Fk middotCd

El producto se puede hacer si y solo si la cantidad de columnas deA (la matriz de la izquierda) es igual a la cantidad de filas de B (lamatriz de la derecha en el ejemplo de arriba este nuacutemero es n Asiacutecada Fi tiene de largo n lugares y cada C j tambieacuten De esta manera elproducto interno de Fi con C j estaacute bien definido

Aunque se puedan calcular ambos productos en general AB BA

PROPIEDADES 144 (Distributiva de la suma y el producto de ma-trices) Si AB tienen el mismo tamantildeo se pueden sumar Si C tiene eltamantildeo adecuado para poder multiplicar por A (y por B) a la izquierdaentonces tambieacuten se puede multiplicar por A+B (a la izquierda) y vale

C middot (A+B) =C middotA+C middotB

Lo mismo aplica si puede hacerse el producto por la derecha

DEFINICIOacuteN 145 (Matriz traspuesta) Si A isin Rktimesn la matriz tras-puesta de A (denotada At) es la matriz que se obtiene intercambiando



las filas de A por las columnas de A Entonces At isin Rntimesk Por ejemplo

A =

2 3ndash1 04 ndash2

isin R3times2 =rArr At =

(2 ndash1 43 0 2

)isin R2times3

Si A isin Rntimesn (es una matriz cuadrada es decir tiene la misma can-tidad de filas que de columnas) entonces la matriz traspuesta de A seobtiene haciendo una reflexioacuten de los coeficientes de A respecto de ladiagonal Decimos entonces que A es simeacutetrica si At = A

OBSERVACIOacuteN 146 (Escritura de un sistema lineal usando el pro-ducto) Si A isin Rktimesn es la matriz de coeficientes de un sistema lineal yX isin Rn es el vector de las variables el sistema (131) se puede escribircomo

AX = b

donde bisinRk es el vector columna de los teacuterminos independientes (haytantos como filas) Esto es porque

AX =




x1x2

xn

=

a11x1+a12x2+ middot middot middot+a1nxn


ak1x1+ak2x2+ middot middot middot+aknxn

Igualando este vector columna al vector columna b recuperamos elsistema de ecuaciones lineales (131)

DEFINICIOacuteN 147 (Sistema homogeacuteneo asociado) Dado el sistemalineal AX = b el sistema homogeacuteneo asociado es el sistema linealAX = O donde O denota el vector columna de ceros (del mismo largoque el vector columna b)

OBSERVACIOacuteN 148 Sea AX = b sistema lineal Entonces



1 Si V es solucioacuten del sistema homogeacuteneo asociado y P es solu-cioacuten del sistema original entonces V +P tambieacuten es solucioacuten delsistema original

A(V +P) = AV +AP = O+b = b

2 Si PQ son soluciones del sistema original entonces V = PminusQes solucioacuten del sistema homogeacuteneo asociado

AV = A(PminusQ) = APminusAQ = bminusb = O

3 Si S0 es el conjunto de todas las soluciones del sistema homogeacute-neo y P es solucioacuten del sistema original entonces

Sb = S0+P = V +P V isin S0

es el conjunto de todas las soluciones del sistema original

DEFINICIOacuteN 149 (Combinacioacuten lineal) Una combinacioacuten lineal dedos vectores (o dos matrices) VW que estaacuten en el mismo espacio escualquier suma de dos muacuteltiplos de VW Es decir cualquier elementode la forma

αV +βW αβ isin R

Si VW son dos soluciones de un sistema homogeacuteneo cualquier com-binacioacuten lineal de ellos tambieacuten es solucioacuten del mismo sistema homo-geacuteneo

PROPIEDADES 1410 (de un sistema homogeacuteneo) Sea AX = O unsistema homogeacuteneo Entonces

1 Si V es solucioacuten λV es solucioacuten para cualquier λ isin R

A(λV ) = λ(AV ) = λO= O



2 Si VW son soluciones entonces la suma es solucioacuten

A(V +W ) = AV +AW = O+O= O

DEFINICIOacuteN 1411 (Subespacio) Un subespacio S de Rn es el con-junto de soluciones de un sistema homogeacuteneo Equivalentemente esun conjunto Ssub Rn tal que

1 O isin S

2 V isin S rArr λV isin S para todo λ isin R

3 VW isin S rArr V +W isin S

Cualquier combinacioacuten lineal de elementos de un subespacio es tam-bieacuten un elemento del subespacio

OBSERVACIOacuteN 1412 (Rectas y planos como subespacios) Una rec-ta es un subespacio si y solo si contiene al origen Lo mismo ocurre conun plano cualquiera es un subespacio si y solo si contiene al origen

DEFINICIOacuteN 1413 (Generadores de un subespacio) Los vectoresV1V2 middot middot middot Vr isin Rn son generadores del subespacio S sub Rn si todo ele-mento de S se puede escribir como combinacioacuten lineal de estos vecto-res si X isin S existen α1α2 αr isin R tales que

X = α1V1+α2V2+ middot middot middot+αrVr

EJEMPLO 1414 (Planos y rectas) Dada una recta por el origen esun subespacio y si tenemos su forma parameacutetrica L tV t isinR entoncesel generador es V (alcanza con uno solo)Dado un plano por el origen si tenemos su forma parameacutetrica Π tV + sW s t isin R entonces los generadores son VW (necesitamos dosgeneradores)



EJEMPLO 1415 (Comprobar si un vector estaacute en un subespacio) SiV = (131)W = (02minus1) son generadores del subesapacio S parasaber si P = (217) es un elemento de S hay que plantear

(217) = α(131)+β(02minus1)

Igualando las coordenadas obtenemos un sistema lineal con tres ecua-ciones (hay tres coordenadas) y dos incoacutegnitas (α y β) Su matriz am-pliada es 1 0 2

3 2 11 -1 7

Si hacemos F3minusF1rarr F3 luego F2minus3F1rarr F2 y finalmente 2F3+F2rarrF3 llegamos a 1 0 2

0 2 -50 0 5

La uacuteltima ecuacioacuten dice 0 = 5 entonces el sistema es incompatibleEsto nos dice que P no pertenece a S lo escribimos como P lt S

DEFINICIOacuteN 1416 (Matriz nula y matriz identidad) La matriz nulaes aquella cuyas entradas son todas 0 la denotamos Oktimesn o O si seentiende su tamantildeo del contexto Es el neutro de la suma para todamatriz A isin Rktimesn se tiene

A+O= A

La matriz identidad es la matriz cuadrada de ntimesn cuyas entradas sontodas nulas salvo las de la diagonal que son 1 la denotamos In Porejemplo

I2 =

(1 00 1

) I3 =

1 0 00 1 00 0 1

I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1



Es el neutro del producto de las matrices de ntimesn si AisinRntimesn entonces

A In = A = In A

DEFINICIOacuteN 1417 (Matriz inversa) Si A isin Rntimesn decimos que Atiene inversa (o que A es inversible) si existe una matriz B isin Rntimesn talque

AB = In = BA

Si existe la matriz B es uacutenica y en general se denota Aminus1 (se lee A a lamenos uno) es la matriz inversa de A Entonces si A es inversible vale

AAminus1 = In = Aminus1A

Si AB isin Rntimesn verifican AB = In entonces A es la (uacutenica) inversa deB y reciacuteprocamente B es la (uacutenica) inversa de A Se puede probar queen ese caso la condicioacuten BA = In se cumple automaacuteticamente (no hacefalta chequearla)

OBSERVACIOacuteN 1418 (Caacutelculo de la matriz inversa) Para ver si AisinRntimesn tiene inversa (y calcularla en ese caso) planteamos un sistema conmatriz ampliada que a la derecha lleva la matriz identidad (A|In) o maacutesexpliacutecitamente

a11 a12 middot middot middot a1n 1 0 middot middot middot 0a21 a22 middot middot middot a2n 0 1 middot middot middot 0

ak1 ak2 middot middot middot akn 0 middot middot middot 0 1

Aplicamos el meacutetodo de Gauss a la matriz de la izquierda hay queescalonar debajo de la diagonal y luego tambieacuten arriba de la diagonal

Supongamos que llegamos a (In|B) Entonces A es inversible yLa matriz de la derecha es la inversa de A Es decir luego deescalonar obtenemos (In|Aminus1)



Si al triangular a la izquierda nos queda alguna fila de ceros lamatriz A no tiene inversa

PROPIEDADES 1419 (Matrices inversibles y sistemas) Sea A isinRntimesn la matriz asociada al sistema lineal AX = b (aquiacute X b isin Rn) yaque A es cuadrada el sistema tiene la misma cantidad de incoacutegnitasque de ecuaciones) Entonces

1 El sistema es compatible determinado si y solo si A es inversibleSi tenemos la inversa Aminus1 entonces

AX = B rarr Aminus1(AX) = Aminus1b rarr InX = Aminus1b rarr X = Aminus1b

Luego la uacutenica solucioacuten del sistema es X = Aminus1b

2 Si b O y A no es inversible puede tratarse de un sistema in-compatible o de un sistema compatible indeterminado

3 Si b = O (sistema homogeacuteneo) entonces

a) La uacutenica solucioacuten es X = O si y soacutelo si A es inversible

b) Si A no es inversible el sistema es compatible indetermina-do

15 Determinantebull Corresponde a clase en video 114

DEFINICIOacuteN 151 (Determinante) Es un nuacutemero real que puede serpositivo negativo o nulo denotado det(A) Cuando tenemos la matrizpodemos cambiar los pareacutentesis por barras verticales para indicar quese trata del determinante Se calcula en A isin R2times2 de la siguiente mane-ra ∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣= det

(a11 a12

a21 a22

)= a11a22minusa12a21



Para matrices de 3times3 se elige una fila o una columna y se desarrollasiguiendo la regla de signos + minus +

minus + minus+ minus +

y tomando los determinantes de las matrices que quedan al tachar esafila y esa columna

EJEMPLO 152 (Determinante de una matriz 3times3) Calculamos porla primer fila

det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣3 2 -71 2 04 -2 9

∣∣∣∣∣∣∣= 3

∣∣∣∣∣ 2 0-2 9

∣∣∣∣∣minus2

∣∣∣∣∣ 1 04 9

∣∣∣∣∣+(minus7)

∣∣∣∣∣ 1 24 -2

∣∣∣∣∣= 3(2 middot9minus0(minus2))minus2(1 middot9minus0 middot4)minus 7(1(minus2)minus2 middot4)= 3 middot 18minus2 middot9minus 7(minus10) = 54minus 18+ 70= 106

Entonces det(A) = 106 Si intentamos por otra fila (o columna) llega-mos al mismo resultado Por ejemplo si lo calculamos por la segundafila ∣∣∣∣∣∣∣

3 2 -71 2 04 -2 9

∣∣∣∣∣∣∣= (minus1)

∣∣∣∣∣ 2 -7-2 9

∣∣∣∣∣+2

∣∣∣∣∣ 3 -74 9


∣∣∣∣∣ 3 24 -2

∣∣∣∣∣= (minus1)(2 middot9minus (minus7)(minus2))+2(3 middot9minus (minus7) middot4)minus0= (minus1)(18minus 14)+2(27+28)= (minus1)4+2 middot55=minus4+ 110= 106

Es conveniente calcular el determinante usando la fila (o la columna)que tenga maacutes ceros

EJEMPLO 153 (Determinante de una matriz de 4times4) La regla delos signos es similar a la de 3times3 se comienza con un + en el lugar 11



(la esquina superior izquierda) y se van alternando los signos+ minus + minusminus + minus +

+ minus + minusminus + minus +

Damos un ejemplo calculemos el determinante de la matriz

B =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 -1 0 53 0 -2 01 -1 4 32 3 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ Desarrollamos por la segunda fila

= (minus1) middot3

∣∣∣∣∣∣∣-1 0 5-1 4 33 0 1

∣∣∣∣∣∣∣+0

∣∣∣∣∣∣∣2 0 51 4 32 0 1

∣∣∣∣∣∣∣minus (minus2)

∣∣∣∣∣∣∣2 -1 51 -1 32 3 1

∣∣∣∣∣∣∣+0

∣∣∣∣∣∣∣2 -1 01 -1 42 3 0

∣∣∣∣∣∣∣ Hay dos teacuterminos nulos (en la fila habia dos ceros) Calculamos los dosdeterminantes de 3times 3 que quedaron (desarrollando por alguna fila ocolumna por ejemplo el primero es conveniente desarrollarlo por lasegunda columna ya que tiene dos ceros) Obtenemos

det(B) =minus3 middot (minus16)+2 middot0= 48

PROPIEDADES 154 (del determinante) Sean AB isin Rntimesn λ isin REntonces

1 det(At) = det(A)

2 det(Ak) = (det(A))k para todo k isin N

3 det(AB) = det(BA) = det(A)det(B)

4 det(λA) = λn det(A)



En general es FALSO que det(A+B) = det(A)+det(B) es decir eldeterminante no es una funcioacuten lineal

TEOREMA 155 (Determinante versus inversa) Sea A isin Rntimesn En-tonces A tiene inversa si y soacutelo si det(A) 0

COROLARIO 156 Si AB son matrices inversibles del mismo tama-ntildeo entonces AB tambieacuten es inversible (y lo mismo vale para BA perocuidado que BA AB)

COROLARIO 157 Un sistema homogeacuteneo cuadrado (misma canti-dad de ecuaciones que de incoacutegnitas) es compatible determinado (tieneuacutenica solucioacuten la solucioacuten trivial X = O) si y solo si el determinantede la matriz del sistema es no nulo




Capiacutetulo 2

Subespacios autovalores ydiagonalizacioacuten21 Bases de subespaciosbull Corresponde a clases grabadas 21 22 23a 23b 24 25

DEFINICIOacuteN 211 (Independencia lineal) Dados V1V2 Vk isin Rn

son linealmente independientes si la uacutenica manera de obtener una com-binacioacuten lineal de ellos que da cero es tomando todos los coeficientes0 Es decir si α1α2 αk isin R son tales que

α1V1+α2V2+ middot middot middot+αkVk = O

es porque α1 = α2 = middot middot middot = αk = 0 Abreviamos independencia linealcon li Si los vectores no son li decimos que son linealmente depen-dientes abreviado ldSi los vectores son ld siempre es posible despejar alguno de ellos enfuncioacuten de todos los demaacutes En la Figura 21 el conjunto V1V2V3es ld porque V3 se puede escribir como combinacioacuten lineal de V1V2

(estaacute en el mismo plano que generan ellos dos) Tambieacuten es cierto enesa figura que V2 se puede escribir como combinacioacuten lineal de V1V3 yque V1 es combinacioacuten lineal de V2V3El conjunto V1V2V4 es li porque V1V2 lo son y ademaacutes V4 no estaacute

33


V4

V1 V3

V2O

Figura 21 El conjunto V1V2V3 es ld el conjunto V1V2V4 es li

en el plano generado por los dos primeros luego no es combinacioacutenlineal de ellos

OBSERVACIOacuteN 212 Los vectores V1V2 Vr son ld si y soacutelo siexiste una combinacioacuten lineal no trivial de ellos que da el vector nuloPor no trivial queremos decir que alguno (o varios) de los coeficientesson distintos de cero

Un vector V O siempre es li El vector nulo V =O es siempre ldCualquier conjunto de vectores que incluya al vector nulo es ld

W

V

O

W

V

O

W

V

O

W

V

O

Figura 22 En los primeros dos casos VW es li en los dos casos restantes es ld

Dados dos vectores VW ambos no nulos el conjunto es ld si y solosi los vectores estaacuten alineados esto es si V = αW (equivalentementesi W = βV )

EJEMPLO 213 Si un conjunto de vectores es ld entonces se puededespejar alguacuten vector en funcioacuten de los demaacutes pero no es cierto que se



puedan despejar todos en funcioacuten de los demaacutes Por ejemplo conside-remos los vectores V1 = (minus120)V2 = (2minus40)V3 = (001) Esteconjunto es ld porque tomando α1 =minus2α2 = 1α3 = 0 tenemos

minus2V1+V2+0V3 =minus2(minus120)+(2minus40)+0(001)= (2minus40)+(2minus40)+(000) = (000) = O

Entonces podemos despejar V1 en funcioacuten de los demaacutes

V1 =minus12V2+0V3

tambieacuten se puede en este caso despejar V2 en funcioacuten de los demaacutes demanera evidente Pero no es posible despejar V3 en funcioacuten de V1V2ellos dos generan la misma recta por el origen L s(minus120) s isin R elvector V3 = (001) no estaacute en esa recta asiacute que hallar abs tales que

V3 = aV1+bV2 = s(minus120)

es imposible

DEFINICIOacuteN 214 (Base y dimensioacuten) Los V1 Vr son genera-dores del subespacio S si forallW isin S existen α1 αr isin R tales que

W = α1V1+α2V2+ middot middot middot+αrVr

Una base de S es un conjunto de generadores linealmente independien-te En una base el orden es importante la base VW es distinta de labase WVLa dimensioacuten del subespacio S es el nuacutemero de vectores de una basecualquiera (este nuacutemero no depende de la base elegida)

EJEMPLO 215 (Rectas y planos) Una recta por el origen es unsubespacio de dimensioacuten 1 con un soacutelo vector no nulo de la recta logeneramos (un vector no nulo siempre es li)



Un plano por el origen es un subespacio de dimensioacuten 2 con dos vec-tores no alineados del plano podemos generarlo (si no estaacuten alineadosson li)Ejemplo en la Figura 21 podemos extraer varias bases del plano marcado B =

V1V2 Bprime = V1V3 Bprimeprime = V2V3 (y tambieacuten por ejemplo Bprimeprimeprime = V2V1 ya que

el orden es relevante

PROPIEDADES 216 (Ecuaciones impliacutecitas y dimensioacuten) Sea S subRn subespacio dado por ecucaciones impliacutecitas S es el conjunto desoluciones del sistema lineal homogeacuteneo AX = O Con el meacutetodo deGauss obtenemos un sistema equivalente escalonado MX = O Des-cartando las filas de ceros supongamos que la cantidad de filas de Mes j Entoncesbull la dimensioacuten del subespacio es dim(S) = nminus j la dimensioacuten delespacio total menos la cantidad de filas independientes (y no triviales)del sistema

Atencioacuten que en este resultado se puede usar uacutenicamente cuandotenemos las ecuaciones impiacutecitas de S que son entonces tantas comofilas del sistema homogeacuteneo que lo define Es decir si tenemos ecua-ciones parameacutetricas no tiene sentido usar este resultado

EJEMPLO 217 (Planos y rectas) Si n = 2 estamos en el plano R2

1 ecuacioacuten lineal homogeacutenea no trivial

ax+by = 0

(que no sea la ecuacioacuten 0= 0) define una recta L

dim(L) = 1= nminus j = 2minus 1

donde 2 es la dimensioacuten del espacio total y 1 es la cantidad deecuaciones

2 ecuaciones lineales homogeacuteneas independientes (que no sea



una muacuteltiplo de la otra) tiene uacutenica solucioacuten S = O

dim(S) = 0= nminus j = 2minus2

Si n = 3 estamos en el espacio R3

1 ecuacioacuten impliacutecita (homogeacutenea)

ax+by+ cz = 0

no trivial define un plano Π por el origen

dim(Π) = 2= 3minus 1

2 ecuaciones independientes interseccioacuten de dos planos por elorigen que no son paralelos la solucioacuten es una recta L

dim(L) = 1= nminus j = 3minus2

3 ecuaciones independientes es un sistema compatible determi-nado tiene uacutenica solucioacuten el origen (un punto) Su dimensioacuten es0= nminus j = 3minus3

Si el sistema no estaacute escalonado el nuacutemero de filas no dice nada porejemplo

S

x+ yminus z = 02x+2yminus2z = 0

son dos ecuaciones impliacutecitas en tres variables pero puede el lector ve-rificar que la solucioacuten es un plano (dimensioacuten 2) Ocurre que la segundafila es una muacuteltiplo de la primera Luego de escalonar obtenemos unasola ecuacioacuten en R3 por ello la dimensioacuten correcta es 2= 3minus 1

PROPIEDADES 218 (Extraer una base) Dado un conjunto de ge-neradores V1V2 Vr del subespacio S para descartar los vectoresredundantes y quedarnos con una base se puede escribir una matriz cu-yas filas son los Vi y escalonarla sin intercambiar filas Las filas de



ceros que queden son los vectores que hay que descartar Los que que-daron no nulos forman una base de S Tambieacuten puede uno quedarse conlos vectores originales de las filas que no se anularon y eso da (otra)base de S

OBSERVACIOacuteN 219 (ld oacute li) El meacutetodo anterior tambieacuten nos di-ce si ninguna fila se anula los vectores eran li mientras que si seanulan una o maacutes filas eran ld

DEFINICIOacuteN 2110 (Bases ortogonales y ortonormales) Sea Ssub Rn

subespacio (puede ser todo Rn) Sea B = V1 Vr base de Sbull Decimos que la base es ortogonal si tomados dos a dos todos losvectores son perpendiculares entre si Vi perpVj para i jbull Si ademaacutes todos los vectores tienen longitud 1 decimos que la basees ortonormal

OBSERVACIOacuteN 2111 Como el producto interno nulo describe laortogonalidad una base es ortogonal si y solo si

Vi middotVj = 0 foralli j

Por otro lado la base seraacute ortonormal si ademaacutes

1= Vi2 =Vi middotVi foralli

E2 = (01)

E1 = (10)O

E2

E3

O

E1

Figura 23 Bases canoacutenicas de R2 y de R3

DEFINICIOacuteN 2112 (Base canoacutenica de Rn) Es la base ortonormaldada por los n vectores que tienen un 1 en alguacuten lugar y todas las demaacutes



entradas 0 Por ejemplo

E = E1E1= (10)(01)

es la base canoacutenica de de R2 En el espacio R3 la base canoacutenica es

E = E1E2E3= (100)(010)(001)

22 Tranformaciones lineales y ortogonalesbull Corresponde a clases en video 26 27 28

PROPIEDADES 221 (De la matriz traspuesta) Si AisinRntimesn entoncespara todo par de vectores VW isin Rn se verifica

(AV ) middotW =V middot (AtW ) oacute equivalentemente 〈AVW 〉= 〈VAtW 〉

Esto puede deducirse de la propiedad de la traspuesta con el productode matrices

(AB)t = BtAt

para todo par de matrices AB para las que sea posible hacer el producto(esto es A isin Rktimesn B isin Rntimesd)

En general entonces 〈AVW 〉〈VAW 〉 salvo que A sea una matrizsimeacutetrica (At = A)

DEFINICIOacuteN 222 (Funciones dominio codominio imagen inyec-tividad) Si X Y son dos conjuntos cualesquiera una funcioacuten f XrarrYes una asignacioacuten que toma elementos de su dominio (que es un conjun-to dentro de X denotado Dom( f ) en general) y les asigna un elementof (x) dentro del conjunto Y El conjunto Y se denominia codominio def en general escribimos y = f (x) o bien x 7rarr f (x) para indicar estaasignacioacutenEl conjunto de todos los y = f (x) con xisinDom( f ) se denomina imagende f lo denotamos im( f ) Cuando im( f ) es igual a todo Y decimos que



f es sobreyectiva (sinoacutenimo=suryectiva) Entonces f no es sobreyecti-va cuando la imagen es estrictamente maacutes chica que el codominioDecimos que f es inyectiva si cada vez que f (x1) = f (x2) es porquex1 = x2 Dicho de otra manera en una funcioacuten inyectiva puntos distin-tos del dominio van a parar a puntos distintos del codominio

EJEMPLO 223 (Funcioacuten cuadraacutetica) Si f Rrarr R es la funcioacuten ele-var al cuadrado la denotamos f (x) = x2 su dominio y su codominioson todo RSu imagen sin embargo no es todo R ya que x2 ge 0 para todo x isinR Entonces im( f ) = [0+infin) sub R y la inclusioacuten es estricta (o sea laimagen es maacutes chica que el codominio) Luego f no es sobreyectivaAfirmamos que f tampoco es inyectiva si tomamos x1 = 3x2 = minus3es claro que son puntos distintos del dominio pero f (x1) = 32 = 9 =

(minus3)2 = f (x2) luego estos dos puntos van a parar al mismo y = 9

DEFINICIOacuteN 224 (Matrices como funciones) Dada una matriz A isinRktimesn la funcioacuten de f RnrarrRk dada por f (V ) =AV (multiplicar contraA) se denomina transformacioacuten lineal asociada a la matriz A Comofuncioacuten tiene la propiedad

f (αV +βW ) = α f (V )+β f (W ) forallVW isin Rn αβ isin R

de linealidad consecuencia de las propiedades del producto y la sumade matrices En este caso Dom( f ) = Rn mientras que el codominio def es Rk

Aunque es un poco ambiguo pensamos a veces a la matriz A comofuncioacuten y denotamos A RnrarrRk a la misma En ese caso decimos queel dominio de A es Rn y su codominio es Rk

DEFINICIOacuteN 225 (Nuacutecleo y rango de una matriz) Dada A isin Rktimesnel subconjunto del dominio dado por los ceros de A

Nu(A) = V isin Rk AV = O



se denomina nuacutecleo de A El vector nulo siempre estaacute en Nu(A) porqueAO= O Decimos que el nuacutecleo de A es trivial si Nu(A) = OEl conjunto del codominio de A dado por

Ran(A) = Z isin Rn Z = AX para alguacuten X isin Rk

se denomina rango de A (a veces rango columna de A) y es simple-mente la imagen de A vista como funcioacuten A Rnrarr Rk es decir

Ran(A) = im(A) = A(Rk)

Las columnas de A son un conjunto de generadores de Ran(A) porquecada columna es AEi para alguacuten Ei de la base canoacutenica

OBSERVACIOacuteN 226 (Rango y nuacutecleo son subespacios) Si VW isinNu(A) entonces

A(sV + tW ) = sAV + tAW = sO+ tO= O

luego Nu(A) es un subespacio de RnTambieacuten Ran(A) es un subespacio de Rk si Z1Z2 isin Ran(A) es porqueexisten X1X2 tales que Z1 = AX1 y Z2 = AX2 Entonces

sZ1+ tZ2 = sAX1+ tAX2 = A(sX1+ tX2) = AX0

asiacute que llamando X = sX1+ tX2 se tiene AX0 = sZ1+ tZ2 y asiacute cualquiercombinacioacuten lineal de Z1Z2 estaacute en Ran(A)

De hecho habiacuteamos definido subespacio como el conjunto de solu-ciones de un sistema homogeacuteneo y eso es lo mismo que el nuacutecleo dela matriz asociada al sistema

TEOREMA 227 (El rango y su dimensioacuten) Para toda matriz A lacantidad de filas li de A es siempre igual a la cantidad de columnas lide A En particular la dimensioacuten del rango por columnas (la imagende A) es igual a la cantidad de filas li o de columnas li de A



Atencioacuten que este teorema soacutelo habla del tamantildeo (o sea la dimen-sioacuten) del rango y no del conjunto Veamos en un ejemplo coacutemo inter-pretarlo bien y coacutemo uno puedo equivocarse para evitar esa confusioacutensea

A =

(0 01 2

)

En este caso vemos que A tiene una sola fila li (tambieacuten tiene unasola columna li porque la segunda columna es el doble de la primera)entonces la dimensioacuten de la imagen de A (o lo que es lo mismo ladimensioacuten del rango de A) es exactamente 1 por el teorema anterior esdecir dim(Ran(A)) = 1iquestEs cierto que esa fila genera la imagen de A o sea es cierto queRan(A) = (12) La respuesta categoacuterica es no es incorrecto eseno es el subespacio imagen de AiquestCuaacutel es el subespacio Ran(A) entonces Para hallarlo hay que mirarlas columnas de A como AE1 = (01) y AE2 = (02) estos dos songeneradores del rango de A Como se ve son ld podemos tomar unode ellos como base entonces la respuesta correcta es

Ran(A) = (01)

Veamos coacutemo se relacionan los tamantildeos de los subespacios rango ynuacutecleo de una matriz

TEOREMA 228 (de la dimensioacuten para matrices) Si A isin Rntimesn enton-ces

dim(Ran(A))+dim(Nu(A)) = n

OBSERVACIOacuteN 229 (Nuacutecleo y determinante) Si A es una matrizcuadrada entonces por el teorema anterior A es sobreyectiva si y solosi el nuacutecleo de A es trivial Esto ocurre si y solo si A es inversible yentonces podemos afirmar que para una matriz cuadrada

Nu(A) = O lArrrArr det(A) 0



o equivalentemente

Nu(A) O lArrrArr det(A) = 0

DEFINICIOacuteN 2210 (Matrices ortogonales) Sea U isin Rntimesn decimosque U es una matriz ortogonal si 〈UVUW 〉= 〈VW 〉 para todo VW isinRn Son equivalentes

1 U es ortogonal

2 UV= V para todo V isin Rn

3 U es inversible y Uminus1 =U t

U es ortogonal si y solo si U t es ortogonal

OBSERVACIOacuteN 2211 (Matrices y bases ortogonales) Si

B = V1V2 Vn

es una base ortogonal de Rn y U es una matriz ortogonal entonces

Bprime = UV1UV2 UVn

tambieacuten es ortogonal Ademaacutes si U es ortogonal los nuevos vectorestienen la misma longitud que los originales luego si B era base orto-normal entonces Bprime tambieacuten lo es

EJEMPLO 2212 (rotaciones) Si n = 2 tenemos la matriz con el pa-raacutemetro θ isin [02π]

Uθ =

(cosθ - senθ

senθ cosθ

)

Aplicada a cualquier vector lo transforma en uno rotado en un aacutenguloθ positivo (es decir en contra del reloj)



E2

E1

O

V2 =UE2

O

V1 =UE1

θ = π4

Uθ

Figura 24 Rotacioacuten positiva (contra el reloj) de aacutengulo θ = π4

En particular tomando θ = π4 la base canoacutenica se transforma en labase

B = V1V2= (radic22

radic22) (-

radic22

radic22)

rotada en un aacutengulo recto en contra del reloj

DEFINICIOacuteN 2213 (Orientacioacuten en el plano) Una base VW tieneorientacioacuten positiva si para ir de V hasta W (rotando hacia el lado maacutescercano) tenemos que movernos en contra del reloj (ver Figura 25)La base tiene orientacioacuten negativa si para llegar del primer vector alsegundo hay que ir a favor del reloj (como la base UVUW de lamisma figura)

PROPIEDADES 2214 (Orientacioacuten) Las matrices de rotacioacuten pre-servan la orientacioacuten (tienen determinante det(U) = 1) Si queremosinvertir la orientacioacuten podemos hacer una reflexioacuten alrededor de unarecta por el origen

V

W

U

y = x

y = x

UW

UV

+

minus

Figura 25 La reflexioacuten U INVIERTE la orientacioacuten de la base VW



Por ejemplo alrededor de la recta y = x con la matriz

U =

(0 11 0

)que es ortogonal (preserva longitudes y aacutengulos) pero no preserva laorientacioacuten (tiene det(U) =minus1) la base VW tiene orientacioacuten posi-tiva (en contra del reloj) y la base UVUW tiene orientacioacuten negativa(a favor del reloj)

Puede probarse que toda matriz ortogonal es una rotacioacuten o es unarotacioacuten seguida de una simetriacutea como la del ejemplo anterior

OBSERVACIOacuteN 2215 (Rotaciones en R3) Si fijamos un plano ΠsubR3 podemos hacer una rotacioacuten de aacutengulo θ alrededor de la normal Nπ

del plano Por ejemplo si Π z = 0 (cuya normal es N = (001)) lamatriz

U zθ=

cosθ - senθ 0senθ cosθ 00 0 1

es una rotacioacuten alrededor del eje z Tambieacuten

U xθ =

1 0 00 cosθ - senθ

0 senθ cosθ

U yθ=

cosθ 0 - senθ

0 1 0senθ 0 cosθ



son matrices de rotacioacuten alrededor de los ejes x y respectivamente

z

z=0

V

W

UzθV

UzθW

U zθ

Usim

UsimW=W

UsimV

θ θ

Figura 26 Una rotacioacuten y una reflexioacuten

Si queremos invertir la orientacioacuten podemos hacer una reflexioacuten (osimetriacutea) alrededor de un plano Por ejemplo alrededor del plano Π z = 0 la matriz de simetriacutea es

Usim =

1 0 00 1 00 0 -1

Usim middot

001

=

00-1



DEFINICIOacuteN 2216 (Orientacioacuten en R3) Sea B = V1V2V3 base

V1

V2

V3

Figura 27 Regla de la mano dere-cha

Decimos que B estaacute orientada deforma positiva si verifica la regla dela mano derecha ubicando los vec-tores V1V2 -en el orden dado- en losdedos iacutendice y mayor de la mano de-recha respectivamente el vector V3

debe apuntar en la direccioacuten del de-do pulgar de la mano La base canoacute-nica tiene orientacioacuten positiva

Dados VW li en R3 la base B = VWV timesW tiene orientacioacutenpositiva y la base Bprime = VWminusV timesW negativa

En R3 puede probarse que toda matriz ortogonal es un productode rotaciones y reflexiones como las de la Observacioacuten 2215 Lasrotaciones preservan la orientacioacuten (tienen det(U) = 1) las reflexionesla invierten (tienen det(U) =minus1)

OBSERVACIOacuteN 2217 (Bases y matrices ortogonales) Si

B = V1V2 Vn

es una base ortonormal de Rn entonces la matriz

U =

| | |V1 V2 Vn

| | |

que tiene a los vectores como columnas es una matriz ortogonal En



efecto

U t U =

minus V1 minusminus V2 minus

minus Vn minus

| | |

V1 V2 Vn

| | |

=

V1 middotV1 V1 middotV2 middot middot middot V1 middotVn


Vn middotV1 Vn middotV2 middot middot middot Vn middotVn

y como Vi middotVj = 0 si i j mientras que Vi middotVi = 1 para todo i (porque Bes una base ortonormal) entonces

U tU =

1 0 middot middot middot 00 1 middot middot middot 0

0 0 middot middot middot 1

= In

Esto dice que U t es la matriz inversa de U Tambieacuten U t (que es la matrizcon los Vi como filas) es una matriz ortogonal por el mismo motivo

OBSERVACIOacuteN 2218 (Matriz de cambio de base) Si B = VW esuna base de R2 escribimos V = (v1v2)W = (w1w2) y tomamos C lamatriz que tiene a sus vectores como columna entonces C es inversibley

CE1 =

(v1 w1

v2 w2

)(10

)=

(v1v2

)=V

similarmente CE2 =W Las mismas consideraciones aplican para base B = V1V2 Vn deRn donde ahora la matriz C isin Rntimesn se tiene

CEi =

| | |V1 V2 Vn

| | |

|Ei

|

=Vi

para cada vector de la base canoacutenica y cada Vi de la base B (en el ordendado de la base)



PROPIEDADES 2219 (de la matriz como transformacioacuten lineal)Dado un conjunto Ω sub Rn y una matriz inversible C isin Rntimesn el con-junto

Ωprime =CΩ = CV V isinΩ

es el transformado por C Por ejemplobull Si Ω λV +P con λ isin R es una recta entonces Ωprime es otra recta

CΩ = λCV +CP = λV prime+Pprime

bull Si Ω sV + tW +P con s t isin R es un plano entonces

Ωprime =CΩ = sCV + tCW +CP = sV prime+ tW prime+Pprime

es tambieacuten un planobull Si C =Uθ es una matriz de rotacioacuten el objeto Ωprime =CΩ difiere de Ω

en exactamente esa rotacioacuten (en otras palabras obtenemos Ωprime rotandoΩ)

O

U

Ω

Ωprime =UΩ

O

Ω

L

Lprime =UL

Figura 28 Movimiento riacutegido del objetos por una transformacioacuten ortogonal U

bull Si U es una matriz ortogonal el nuevo objeto Ωprime =UΩ soacutelo difieredel anterior en un movimiento riacutegido (el movimiento que hace la matrizortogonal puede pensarse como una serie rotaciones y reflexiones)



23 Diagonalizacioacutenbull Corresponde a clase en video 29

DEFINICIOacuteN 231 (Autovalores y autovectores) Sea A isin Rntimesn deci-mos que λ isin R es un autovalor de A si existe V O tal que AV = λV El vector V es un autovector de A

Por ejemplo si A(1minus1) = (2minus2) entonces V = (1minus1) es autovector de autovalorλ = 2 de la matriz A porque AV = 2V

OBSERVACIOacuteN 232 (Caacutelculo de autovalores y autovectores) Setiene AV = λV para alguacuten V O si y solo si (Aminus λI)V = O luegoV isin Nu(AminusλI) es no nulo y el nuacutecleo es no trivial Como AminusλI esuna matriz cuadrada por la Observacioacuten 229 podemos concluir que

λ isin R es autovalor de A lArrrArr det(AminusλI) = 0

En ese caso los autovectores son los elementos de Nu(AminusλI) se ob-tienen resolviendo el sistema homogeacuteneo (AminusλI)X = O

COROLARIO 233 (Autoespacios) Para cada autovalor λ isin R de lamatriz A el conjunto de autovectores es un subespacio no trivial deRn denominado autoespacio del autovalor λ lo denotamos

Eλ = V isin Rn AV = λV= Nu(AminusλI)

DEFINICIOacuteN 234 (Polinomio caracteriacutestico) Pensamos λ como in-coacutegnita real y notamos que p(λ) = det(AminusλI) es un polinomio en lavariable λ denominado polinomio caracteriacutestico de la matriz A

A veces denotamos pA para indicar que se trata del polinomio de lamatriz A

EJEMPLO 235 (de autovalores y autovectores) Si A =

(-10 -618 11

)



entonces su polinomio caracteriacutestico es

p(λ) =

∣∣∣∣∣ minus10minusλ -618 11minusλ

∣∣∣∣∣= (minus10minusλ)(11minusλ)+ 18 middot6= λ2minusλminus2

Las raiacuteces del polinomio son λ1 =minus1 λ2 = 2 Para hallar los autovec-tores resolvemos primero el sistema homogeacuteneo

(Aminusλ1I)X = O es decir (A+ I)X = O

cuya matriz ampliada es(-10 ndash λ1 -6 0

18 11minusλ1 0

)=

(-10 ndash (-1) -6 0

18 11 ndash (-1) 0

)=

(-9 -6 018 12 0

)

Como la segunda fila es (minus2) por la primera el sistema se reduce aminus9xminus6y= 0 De aquiacute 6y=minus9x o bien y=minus32x Entonces la solucioacutenes (xminus32x) con x libre o sea

Eminus1 (1minus32)= (2minus3)

El autoespacio Eminus1 correspondiente al autovalor λ1 = minus1 tiene dimen-sioacuten 1 Cualquier vector no nulo de esta recta es autovector de este au-tovalor por ejemplo V1 = (1minus32) o si uno prefiere no usar fraccionesV1 = (2minus3)Se resuelve de manera similar el sistema homogeacuteneo (Aminus λ2I)X =

O (para λ2 = 2) y se obtiene el autoespacio E2 = gen(1minus2) otrosubespacio de dimensioacuten 1 Podemos tomar V2= (1minus2) como segundoautovector

PROPIEDADES 236 (del polinomio caracteriacutestico) Sea A isin RntimesnEntonces

1 pA es un polinomio de grado n

2 Las raiacuteces de pA son los autovalores de A



En general un polinomio de grado n no tiene por queacute tener n raiacutecesreales distintas Por ejemplo p(λ) = λ2+ 1 no tiene ninguna raiacutez realmientras que p(λ) = (λminus 1)2 tiene una sola raiacutez real (doble)

DEFINICIOacuteN 237 (Matriz diagonal) Una matriz cuadrada D es dia-gonal si todas las entradas fuera de la diagonal de D son nulas

Cualquier muacuteltiplo de la identidad es diagonal pero como no esnecesario que todas las entradas diagonales sean iguales hay muchasmaacutes matrices diagonales

DEFINICIOacuteN 238 (Matrices diagonalizables) Una matriz cuadradaA es diagonalizable si existen una matriz diagonal del mismo tamantildeoD y una matriz inversible C tales que A =CDCminus1

TEOREMA 239 (Bases de autovectores) AisinRntimesn es diagonalizablesi y soacutelo si existe una base B = V1 Vn de Rn tal que todos los Vi

son autovectores de A (y en ese caso la matriz D tiene a los autovaloresde A en la diagonal) La matriz C que hay que tomar es la que tiene alos Vi como columnas

Una matriz diagonal D siempre es diagonalizable basta tomar C = I(no es necesario que las entradas diagonales sean distintas)

EJEMPLO 2310 (de matriz diagonalizable) La matriz del Ejemplo235 es diagonalizable Como los autovalores son λ = minus1 y λ = 2 to-mamos

D =

(-1 00 2

)Como C hay que tomar la matriz que tiene a los autovectores comocolumnas en el orden que pusimos los autovalores en D Entoncescomo pusimos primero el minus1 hay que tomar como primer columnaV1 = (2minus3) y como segunda columan V1 = (1minus2)

C =

(2 1

-3 -2

)



Si calculamos la matriz inversa de C obtenemos Cminus1 =

(2 1-3 -2

) En-

tonces podemos verificar el teorema recieacuten enunciado

CDCminus1 =

(2 1

-3 -2

)(-1 00 2

)(2 1-3 -2

)

=

(-2 23 -4

)(2 1-3 -2

)=

(-10 -618 11

)= A

La matriz A=

(3 01 3

)no es diagonalizable Puede el lector verificar

que A tiene solamente λ = 3 como autovalor y que el autoespacio tienedimensioacuten 1 de hecho E3 = (01) Entonces no podemos armar unabase de R2 con los autovectores de A asiacute que por el Teorema 239 Ano es diagonalizable

De acuerdo a los uacuteltimos dos ejemplos algunas matrices que no sonsimeacutetricas (At A) pueden ser diagonalizables pero otras no En cam-bio todas las matrices simeacutetricas siempre son diagonalizables y eso eslo que dice el proacuteximo teorema

TEOREMA 2311 (Diagonalizacioacuten de matrices simeacutetricas) Si At =

A isin Rntimesn es una matriz simeacutetrica entonces

1 pA tiene n raiacuteces reales (contadas con multiplicidad)

2 Autovectores correspondientes a autovalores distintos son orto-gonales

3 Existe una base ortonormal B = V1 Vn de Rn donde todoslos Vi son autovectores de A

4 Se puede factorizar la matriz A como

A =UDU t



donde D es una matriz diagonal que tiene a los autovalores de Ay U es la matriz ortogonal que tiene a la base B de autovectorescomo vectores columna

Como la base es ortonormal la matriz que tiene a los vectores de labase como columnas (o como filas) es ortogonal y asiacute en lugar de calcu-lar la inversa de U podemos trasponerla -y es lo mismo que invertirlaporque para matrices ortogonales Uminus1 =U t-

DEFINICIOacuteN 2312 (Matrices definidas positivas) Decimos que lamatriz simeacutetrica At = A isin Rntimesn es

1 semi-definida positiva si 〈AVV 〉 gt 0 para todo V isin Rn

2 definida positiva si 〈AVV 〉gt 0 para todo V isin Rn O

3 semi-definida negativa si 〈AVV 〉 6 0 para todo V isin Rn

4 definida negativa si 〈AVV 〉lt 0 para todo V isin Rn O

5 indefinida si existen VW isin Rn tales que

〈AVV 〉gt 0 〈AWW 〉lt 0

PROPIEDADES 2313 (Autovalores vs definida positiva) Escribien-do cualquier V isin Rn como combinacioacuten lineal de la base B que diago-naliza A = At

V = α1V1+α2V2+ middot middot middot+αnVn

obtenemos la forma diagonal

〈AVV 〉= λ1α21 +λ2α

22+ middot middot middot+λnα

2n

donde los λi son los autovalores de A Como los coeficientes de V estaacutenal cuadrado se tiene que A es

1 semi-definida positiva si y solo si λi ge 0 para todo i

2 definida positiva si y solo si λi gt 0 para todo i



3 semi-definida negativa si y solo si λi le 0 para todo i

4 definida negativa si y solo si λi lt 0 para todo i

5 indefinida si existen λi gt 0 λ j lt 0

EJEMPLO 2314 (definidas e indefinidas en 2 variables) Aquiacute V =

(xy) damos un ejemplo de cada casobull definida positiva si λ1 = λ2 = 1 entonces 〈AVV 〉= x2+ y2bull definida negativa λ1 = λ2 =minus1 entonces 〈AVV 〉=minusx2minus y2bull indefinida λ1 = 1 λ2 =minus1 entonces 〈AVV 〉= x2minus y2bull semi-definida positiva si λ1 = 1 λ2 = 0 entonces 〈AVV 〉= x2bull semi-definida negativa si λ1 =minus1 λ2 = 0 entonces 〈AVV 〉=minusx2




Capiacutetulo 3

Conjuntos y funciones enla recta y el espacio31 Conjuntos en la recta y el espaciobull Corresponde a clases en video 31 32 33

DEFINICIOacuteN 311 (Cotas de conjuntos de nuacutemeros reales) Dado unconjunto Asub R decimos que A estaacutebull acotado superiormente si existc isin R tal que x le c para todo x isin A Elnuacutemero c es una cota superior de Abull acotado inferiormente si existd isin R tal que x ge d para todo x isin A Elnuacutemero d es una cota inferior de A

EJEMPLO 312 (conjuntos acotados y no acotados) A1 = (minusinfin7) estaacute acotado superiormente por c = 7 pero tambieacuten porc= 71 c= 8 c= 125 etc Este conjunto no estaacute acotado inferiormente

7R

0

A1

A2 = [minus10+infin) no estaacute acotado superiormente pero si estaacute acotadoinferiormente Cotas inferiores son d =minus10 oacute d =minus11 etc A3 = [minus13]cup [79) estaacute acotado superiormente por c = 9 e inferior-mente por d =minus1 Los nuacutemeros entre intervalos (por ejemplo x = 3 oacutex = 4) no son cotas del conjunto

57


R

0

A2

minus10

R0

A3

minus1 3 7 9

A4 = 2n n isin N0 no estaacute acotado superiormente Pero tiene cotainferior por ejemplo d = 0 oacute d = 1

R0

A4

1= 20

2= 21 4= 22 8= 23 16= 24

A5 = 1n n isin N estaacute acotado tanto superior como inferiormented = 0 es cota inferior y c = 1 superior

R0

A5

14 13 12 1= 111n

Como puede verse en los ejemplos una vez hallada una cota supe-rior en realidad hay muchas (infinitas) porque cualquier nuacutemero maacutesgrande sirve tambieacuten de cota superior Lo mismo vale para las cotasinferiores una vez hallada una cualquier nuacutemero maacutes chico tambieacutenes cota inferior Veamos como elegir una cota oacuteptima

DEFINICIOacuteN 313 (Supremo e infimo) Dado un conjunto A sub Rdecimos quebull s isin R es el supremo de A si s es la mejor cota superior (la maacutespequentildea) Esto es s es el supremo de A (denotado s = sup(A)) si s escota superior de A y ademaacutes sle c para toda otra cota superior c de Abull i isin R es el infimo de A (denotado i = inf(A)) si es la mejor cotainferior (la maacutes grande) Es decir i es el iacutenfimo de A si es cota inferiory ademaacutes ige d para toda cota inferior d de A



EJEMPLO 314 (supremos e infimos) Conjuntos del Ejemplo 312 sup(A1) = 7 no tiene iacutenfimo porque no tiene cota inferior inf(A2) =minus10 no tiene supremo porque no tiene cota superior inf(A3) =minus1 sup(A3) = 9 inf(A4) = 1 no tiene supremo inf(A5) = 0 sup(A5) = 1

PROPIEDADES 315 (del supremo y el iacutenfimo) Sea Asub R

Si A es acotado superiormente tiene supremo

El supremo es uacutenico

El supremo no tiene por queacute estar en el conjunto cuando estaacutedecimos que es el maacuteximo del conjunto A denotado M =max(A)

Si A es acotado inferiormente tiene iacutenfimo

El iacutenfimo es uacutenico

Si el iacutenfimo estaacute en el conjunto A decimos que es el miacutenimo deA denotado m = min(A)

EJEMPLO 316 (maacuteximos y miacutenimos de conjuntos del Ejemplo 312)

7R

0

A1

R

0

A2

minus10

R0

A3

minus1 3 7 9



R0

A4

1= 20

2= 21 4= 22 8= 23 16= 24

R0

A5

14 13 12 1= 111n

A1 no tiene maacuteximo porque sup(A1) = 7 no es un elemento deA1 = (minusinfin7) Tampoco tiene miacutenimo porque no tiene iacutenfimo

min(A2) =minus10 porque minus10 es iacutenfimo y es un elemento del con-junto A2 = [minus10+infin) El conjunto no tiene maacuteximo porque notiene supremo

min(A3) =minus1 El conjunto no tiene maacuteximo porque 9= sup(A3)

no es un elemento de

min(A4) = 1 (tomando n = 0 vemos que 1 = 20 isin A4) No tienemaacuteximo porque no estaacute acotado superiormente

max(A5) = 1 (tomando n = 1 vemos que 1 = 11 isin A5) No tienemiacutenimo porque 0 = inf(A) lt A5 (no hay ninguacuten n isin N tal que1n = 0)

DEFINICIOacuteN 317 (Moacutedulo) La funcioacuten moacutedulo toma un nuacutemero ydevuelve el mismo nuacutemero (si era positivo oacute 0) o devuelve el opuestosi el nuacutemero era negativo En cualquier caso devuelve siempre un nuacute-mero mayor o igual a 0 La definicioacuten formal es como funcioacuten partida

|x|=

x si xge 0minusx si x lt 0

La funcioacuten moacutedulo es el anaacutelogo de la norma en dimensioacuten 1 de hechopodemos decir sin equivocarnos que el moacutedulo es la norma del espacioR Eso se ve bien si recordamos algunas de sus propiedades



PROPIEDADES 318 (de la funcioacuten moacutedulo) Sean xyisinR Entonces

|x| ge 0 y se tiene |x|= 0 uacutenicamente en el caso que x = 0

|yx|= |y||x|

|x+ y| le |x|+ |y|

|x|= dist(x0)

|xminus y|= dist(xy)

OBSERVACIOacuteN 319 (Moacutedulo como distancia) Si tomamos r ge 0al escribir |x| = r estamos indicando que x debe estar a distancia r delorigen Por ejemplo |x| = 3 indica que x = 3 o que x = minus3 Entoncesel conjunto

A = x isin R |x| le 3= x isin R dist(x0)le 3

consta de todos los puntos tales que su distancia al 0 es menor o igualque 3 Vemos que entonces se trata de un intervalo A = [minus33] Esto a veces se menciona como la propiedad de ldquodesdoblarrdquo el moacute-dulo pedir |x| le 3 es equivalente a pedir minus3 le x le 3 y tambieacuten esequivalente a pedir

simultaacuteneamente

xgeminus3xle 3

donde la llave indica que pedimos que se cumplan simultaacuteneamente lasdos condiciones En general entonces para r ge 0 se tiene |x| le r es equivalente aminusr le x le r y entonces es equivalente a pedir que se cumplan las dosdesigualdades xgeminusr xle r Por las mismas consideraciones |x|lt r es equivalente a minusr lt x lt r(siempre que r gt 0)



0minusr r

minusr le xle r

R 0minusr r

minusr lt x lt r

R

Figura 31 En azul el conjunto |x| le r y el conjunto |x|lt r

DEFINICIOacuteN 3110 (Intervalos abiertos) Un intervalo abierto es unconjunto de la forma

(ab) = x isin R a lt x lt b

que consta de un segmento sin los extremos Dado x isin R un intervalo abierto alrededor de x es de la forma

I = (xminus rx+ r)

para alguacuten r gt 0 El nuacutemero r se conoce como radio del intervaloporque si tomamos un compaacutes y lo pinchamos en x con apertura r lainterseccioacuten de la recta real con el interior del disco es el intervalo quenos interesa

xxminus r x+ r

xminus r lt y lt x+ r

R

Observemos que este intervalo consta de los puntos de la recta real queestaacuten a distancia menor a r (del punto x)

(xminus rx+ r) = y isin R dist(yx)lt r= y isin R |yminus x|lt r

Para tener en cuenta en muchos textos se utilizan otras letras para elradio por ejemplo la letra griega d que es δ y se lee ldquodeltardquo o tambieacutenla letra griega e que es ε y se lee ldquoeacutepsilonrdquo Entonces por ejemplo conesta notacioacuten

I = x isin R |x+5|lt δ= (minus5minusδminus5+δ)

es el intervalo abierto de centro x =minus5 y radio δ gt 0



Vamos a generalizar esta idea al espacio Rn

Pr Q

rprime

DEFINICIOacuteN 3111 (Bolas y discos abiertos en Rn) Decimos queBsub Rn es una bola abierta de centro P y radio r gt 0 si

B = Br(P) = X isin Rn XminusPlt r= X isin Rn dist(X P)lt r

Notemos que es una generalizacioacuten de la nocioacuten de intervalo abiertoalrededor de un punto en la figura de arriba vemos bolas en el plano(son discos sin el borde)En el caso de R3 la bola abierta es la esfera maciza pero sin la caacutescara

DEFINICIOacuteN 3112 (Puntos interiores - Conjuntos abiertos) Sea PisinAsubRn Decimos que P es un punto interior del conjunto A si todos lospuntos que lo rodean son tambieacuten de AMaacutes formalmente existe r gt 0 tal que la bola Br(P) centrada en Pconsta uacutenicamente de elementos de A Auacuten maacutes formalmente P espunto interior de A si existe r gt 0 tal que Br(P)sub AEl conjunto de los puntos interiores de A se denota ASiempre se tiene la inclusioacuten A sub A porque por definicioacuten un puntointerior es un punto (especial) de ACuando A = A decimos que A es un conjunto abiertoEquivalentemente un conjunto es abierto si todos sus puntos son inte-riores

El radio depende del punto para puntos muy cerca del borde delconjunto hay que tomar un radio maacutes pequentildeo



P3r3 B3

P2r2 B2

P4r4 B4

P1r1

B1

P5

r5B5

P6r6 B6

P7r7 B7

A

DEFINICIOacuteN 3113 (Complemento de un conjunto) Dado A sub X(con AX conjuntos) se denomina complemento de A al conjunto detodos los puntos de X que no estaacuten en A El conjunto X a veces sedenomina conjunto universal quiere decir que es el contexto que hayque mirar fueraa de A pero soacutelo en X Se denota

Ac = x isin X x lt A

Observemos que esto es lo mismo que decir para conseguir Ac toma-mos el conjunto X y retiramos todos los puntos de A Por este motivose puede usar la notacioacuten

Ac = X A

donde el siacutembolo se interpreta como un ldquomenosrdquo pero no en el sen-tido de restar nuacutemeros sino en el sentido de restar=sacarNuevamente Ac = X A se lee ldquoX menos Ardquo y se interpreta como ldquoto-dos lo elementos de X menos los elementos de Ardquo

Algunos ejemplos simples



A6 = R 2 se interpreta como ldquotodos lo nuacutemeros reales menosel nuacutemero 2rdquo se puede escribir alternativamente este conjunto comoA6 = (minusinfin2)cup (2+infin) A7 = R minus14 es ldquocualquier nuacutemero real que no sea ni el minus1 niel 4rdquo Se puede escribir como unioacuten de intervalos A7 = (minusinfinminus1)cup(minus14)cup (4+infin) A8 = R [3+infin) consta de los nuacutemeros reales sin una semirrecta(del 3 en adelante) Podemos reescribirlo como A8 = (minusinfin3) Como lasemirrecta original conteniacutea al 3 el conjunto A8 no contiene al 3 A9 = R (minus62) vemos que A9 = (minusinfinminus6]cup [2+infin) con ambosnuacutemeros minus62 incluidos puesto que lo que sacamos no los conteniacutea

Si el conjunto universal X (donde estaacute A) no se explicita hay que de-ducirlo del contexo Asiacute por ejemplo si nos dan un intervalo A= [minus26)de nuacutemeros reales hay que sobreentender que X = R y entonces

Ac = R [minus26) = (minusinfinminus2)cup [6+infin)

En cambio si A = λV λ isin R con V isin Rn entendemos que A es unarecta en Rn y entonces X = Rn Luego Ac seraacute todo Rn menos esa recta

DEFINICIOacuteN 3114 (Frontera de un conjunto) Dado un conjuntoA sub Rn decimos que X isin R es un punto de la frontera de A (o delborde de A) si para toda bola abierta B = Br(X) alrededor de X pode-mos hallar

1 (al menos) un punto P isin A (es decir P isin AcapB)

2 (al menos) un punto Q lt A (es decir Q isin AccapB)

El conjunto de puntos del borde de A se denota con bd(A) aunque enalgunos textos se denota como partA

En la definicioacuten recieacuten dada es crucial que haya puntos de A y de Ac

en cualquier bola alrededor del punto del borde X (no importa que tanpequentildea sea la bola siempre hay puntos de A y de Ac en la bola) Porejemplo en la figura de arriba Q1 lt bd(A) porque la bola maacutes pequentildeano toca Ac



P2

Q2

Q1

P1

A

Ac

Figura 32 P1P2 isin bd(A) mientras que Q1Q2 lt bd(A)

Notemos que los puntos de la frontera de A pueden ser puntos de Ao puntos fuera de A Por ejemplo en la figura de arriba P1 isin A peroP2 lt A

DEFINICIOacuteN 3115 (Clausura de un conjunto) Dado AsubRn el con-junto clausura de A (denotado A) se obtiene tomando A y agregandotodos los puntos del borde de A es decir

A = Acupbd(A)

En general tenemos Asub A por su misma definicioacuten la clausura contie-ne al conjunto originalCuando vale A = A decimos que A es un conjunto cerrado

Por ejemplo

Si A= [minus23) entonces bd(A) = minus23 y entonces A= [minus23]

Si A = (minusinfin1)cup [310) entonces A = (infin1]cup [310]

Si B = B1(0) (la bola unitaria abierta) entonces B = X X le1 (la bola unitaria cerrada)

Si C = 13n n isin N entonces C =Ccup0

La clausura del conjunto de la Figura 32 se consigue agregandolos puntos del borde faltante (como P2)



A

Figura 33 Clausura del conjunto A de la Figura 32

Si D = (xy) x gt 0 entonces D = (xy) xge 0

Algunas equivalencias uacutetiles que relacionan estos conceptos (pensarlosobre los dibujos que tenemos)

1 Un conjunto A es cerrado si y solo si bd(A) sub A es decir todoslos puntos de la frontera son puntos de A

2 Un conjunto es abierto si y solo si bd(A)sub Ac es decir todos lospuntos de la frontera estaacuten fuera de A

3 Un conjunto A es abierto si y solo si Ac es cerrado

4 Un conjunto A es cerrado si y solo si Ac es abierto

5 Hay conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados por ejemplo elintervalo A = [37)sub R o el conjunto A de la Figura 32 de maacutesarriba

EJEMPLO 3116 (Conjuntos dados por desigualdades) Veamos al-gunos ejemplos importantes

1 D = (xy)x2 + y2 lt 9 sub R2 es un disco (de radio 3) es unconjunto abierto

2 C = (xy) x2+ y2 le 9 sub R2 es un disco (de radio 3) en estecaso es un conjunto cerrado El interior de C es el disco abiertoo sea C = D



3 Reciacuteprocamente la clausura del disco abierto D es el disco cerra-do C o sea D =C

D =C

C = DcupS

S = bd(C) = bd(D)

x

y

4 Esto uacuteltimo es porque el borde del disco abierto es la circunfe-rencia (de radio 3)

bd(C) = (xy) x2+ y2 = 9= S

Esta circunferencia S tambieacuten es un conjunto cerrado de R2

5 La circunferencia S (la del item anterior o cualquier otra) no tieneinterior porque pegado a cualquier punto de S tenemos puntosque no estaacuten en S Entonces S = 0 tiene interior vaciacuteo

6 A = x ln(x) le 1 sub R es un conjunto que no es abierto ni ce-rrado esto es porque A = (0e] (por el dominio del logaritmonatural)

7 En muchos casos los conjuntos definidos con lt son abiertos ylos definidos con le o con = son cerrados pero hay que tenercuidado porque el dominio de las foacutermulas involucradas puedehacer que eso sea falso (como en el ejemplo anterior)

8 Si tomamos B = (xyz) x2+ y2+ z2 lt 16 entonces B es unabola abierta (de radio 4) en R3 Si cambiamos el lt por le tendre-mos la bola cerrada (se agrega la caacutescara)



y = ln(x)

A = x ln(x)le 1

x

y

0 1 e

Figura 34

9 El conjunto S2 = x2+ y2+ z2 = R2 sub R3 se denomina esferade radio R gt 0 es un conjunto cerrado Esta caacutescara S2 no tie-ne interior pues es muy delgada como no hay puntos interioresentonces tiene interior vaciacuteo

10 Toda recta LsubRn es un subconjunto cerrado Si nge 2 toda rectatiene interior vaciacuteo

11 Todo plano Π sub Rn es un subconjunto cerrado Si n ge 3 todoplano tiene interior vaciacuteo

12 El conjunto A = (xy) x ge 0 se denomina semiplano Es unconjunto cerrado y su interior es el semiplano abierto es decirA = (xy) x gt 0

DEFINICIOacuteN 3117 (Conjuntos acotados) Un conjunto A sub Rn esacotado si estaacute acotado en norma es decir si existe una constante M gt

0 tal que X leM para todo X isin A En otras palabras la distancia alorigen de los puntos de A estaacute acotada por alguna constante

DEFINICIOacuteN 3118 (Conjuntos compactos) Un conjunto Asub Rn escompacto si es cerrado y acotado



EJEMPLO 3119 (Conjuntos compactos y no compactos) Veamosalgunos casos tiacutepicos

1 Un intervalo I sub R es compacto si y solo si tiene la forma I =[ab] con a lt b nuacutemeros reales

2 El intervalo (minusinfin3] no es compacto pues no es acotado

3 El intervalo [47) no es compacto pues no es cerrado

4 Una bola cerrada centrada en alguacuten punto

B = X isin Rn XminusP le R

es un conjunto compacto

5 Si la bola es abierta no es compacta

6 Un semiplano no es compacto (no es acotado)

7 Una recta Lsub Rn no es compacta porque no es acotada

8 Un segmento de una recta

~PQ = tQ+(1minus t)P t isin [01] sub Rn


9 Un plano nunca es compacto porque no es acotado

10 El conjunto

K = (xyz) xge 0yge 0zge 0x+ y+ zle 1

es compacto como puede verse al ilustralo (es un prisma trian-gular soacutelido)



(010)

y

x

z(001)

(100)

K

plano y = 0 plano x = 0

plano z = 0

plano x+ y+ z = 1

32 Funciones graacuteficosbull Corresponde a clases en video 34 35a 35b

DEFINICIOacuteN 321 Dada f X rarr Y una funcioacuten su graacutefico es elconjunto abstracto

Gr( f ) = (x f (x)) x isin Dom( f ) sub XtimesY

Es un subconjunto del producto cartesiano XtimesY

OBSERVACIOacuteN 322 (Dibujos de graacuteficos) Cuando f Rrarr R es-tamos acostumbrados a dibujar el conjunto Gr( f ) y llamar a ese dibujoldquoel graacutefico de f rdquo

Por ejemplo si f (x) = ex dibujamos los pares ordenados (xex) enR2 = RtimesR nos queda la curva exponencial Notemos que los puntosque dibujamos son pares (xy) pero con la condicioacuten y = ex = f (x)

Cuando hay restricciones de dominio el dibujo soacutelo estaacute ldquosobrerdquo eldominio (o debajo si la imagen es negativa) por ejemplo en f (x) =ln(x) dibujamos los pares (x ln(x)) con x gt 0 el dibujo es como enla Figura 34 Para x le 0 no hay dibujo (ni arriba ni debajo del eje x)porque esos x no estaacuten en el dominio del logaritmo



OBSERVACIOacuteN 323 (Funciones escalares) Decimos que f es unafuncioacuten escalar si f Rnrarr R es decir cuando el codominio es R Paraestas funciones su graacutefico es un subconjunto deRntimesR=Rn+1 Cuandoen el dominio tenememos los nuacutemero reales los dibujos son los quedicutimos en el caso anterior

Cuando n = 2 tenemos una funcioacuten escalar de dos variables Su graacuteficoes un subconjunto de R2timesR = R3 podemos intentar dibujarlo paradarnos una idea de su forma En general seraacute una superficie con vallesy montantildeas Son puntos del espacio (xyz) que obedecen a la ecuacioacutenimpliacutecita z = f (xy)

1 El caso maacutes sencillo es cuando nos queda una superficie planahorizontal Este es el caso del graacutefico de una funcioacuten f R2rarr Rconstante Por ejemplo si tomamos f (xy) = 5 el graacutefico sonlos puntos de la forma (xy f (xy)) = (xy5) O dicho de otramanera aquellos (xyz) que verifican la condicioacuten z = 5 Estosson todos los puntos del plano horizontal z = 5

2 En general si f (xy) = k con k = cte su graacutefico es el plano ho-rizontal de altura k El plano es exactamente el plano del pisocuando k = 0 Si k gt 0 el plano estaacute sobre el piso si k lt 0 elplano estaacute debajo del piso

3 El siguiente caso a considerar es el de un plano que no sea hori-zontal (pero que no sea vertical tampoco porque sino no puedeser el graacutefico de una funcioacuten como desarrollamos en el siguienteitem) Por ejemplo si f (xy) = x+ y los puntos del graacutefico de fdeben verificar z = f (xy) es decir z = x+ y Se trata del planopor el origen x+ yminus z = 0

4 Si una de las variables estaacute ausente en la foacutermula de f es queesa variable estaacute libre Por ejemplo si f (xy) = y tenemos quemirar la ecuacioacuten z = f (xy) para hacer su graacutefica o sea z = y Setrata de un plano a 45ordm respecto del piso de ecuacioacuten yminus z = 0(dibujarlo)



5 Como mencionamos antes un plano vertical -como por ejemplola pared xz (de ecuacioacuten Π y = 0)- no puede ser el graacutefico deninguna funcioacuten f = f (xy)

Esto es porque por ejemplo sobre (xy) = (10) hay infinitos va-lores de z Entonces f (10) no estariacutea bien definido (recordemosque para ser funcioacuten tenemos que decir cuaacutento vale f en cadapunto del dominio esa imagen tiene que ser un solo punto)

6 Toda funcioacuten lineal afiacuten como f (xy) = ax+ by+ c tiene comograacutefica un plano porque hay que mirar el conjunto de ecuacioacutenz = ax+ by+ c que equivalentemente es la ecuacioacuten del planoΠ ax+byminus z =minusc

DEFINICIOacuteN 324 (Funciones cuadraacuteticas) Una funcioacuten de la forma

f (xy) = ax2+by2+ cxy+dx+ ey+ k

se conoce como funcioacuten cuadraacutetica en dos variables Cuando d = e =k = 0 nos queda

f (xy) = ax2+by2+ cxy

y en este caso decimos que es una forma cuadraacutetica homogeacutenea Parala definicioacuten vamos a pedir que f no sea nula o sea que ab oacute c seanno nulosTambieacuten se dice que f es homogeacutenea de grado 2 Esto es porque

f (tx ty) = a(tx)2+b(ty)2+ c(txty) = at2x2+bt2y2+ ct2xy = t2 f (xy)

es decir f saca escalares al cuadrado Vectorialmente f (tV ) = t2 f (V )

para todo V isin R2 y todo t isin R

Vamos a graficar (hacer el dibujo del graacutefico de) funciones cuadraacuteticashomogeacuteneas Los ejemplos maacutes importantes son los que siguen para-boloide y silla de montar Luego tenemos el cilindro paraboacutelico quees un caso ldquodegeneradordquo porque una de las variables estaacute libre



Podemos verificar que estas que mostramos a continuacioacuten son las graacute-ficas usando un programa graficador como GeoGebra como puede ver-se en este linkUna explicacioacuten maacutes detallada de por queacute los graacuteficos tienen esta formaparticular estaacute maacutes abajo en la Seccioacuten 33

EJEMPLO 325 (Paraboloide de revolucioacuten) f (xy) = x2 + y2 Sugraacutefico es el conjunto en R3 dado por la ecuacioacuten impliacutecita z = x2+y2Se conoce como paraboloide de revolucioacuten

y

x

z

z = x2+ y2

Paraboloide de revolucioacuten

Los cortes horizontales de esta figura son circunferencias de ecua-cioacuten x2+ y2 = z0 y los cortes verticales devuelven una paraacutebola comopor ejemplo z = y2 (tomando x = 0) Podemos obtener la graacutefica de fgirando la paraacutebola alrededor del eje z (eso explica el nombre)

Si invertimos el signo y consideramos f (xy) = minusx2minus y2 la graacuteficaes un paraboloide pero invertido Esto es porque este cambio obedecea fijar xy y cambiar z por minusz que es una reflexioacuten respecto del planodel piso (el plano z = 0)

Repetimos la observacioacuten del iacutetem previo en otros teacuterminos apli-camos la transformacioacuten U(xyz) = (xyminusz) para pasar de la figuraz= x2+y2 a la figura z=minusx2minusy2 La transformacioacuten U es una transfor-macioacuten ortogonal porque es una reflexioacuten podemos escribir su matrizsi observamos que UE1 = E1 UE2 = E2 UE3 =minusE3 luego



U =

1 0 00 1 00 0 minus1

yx

z

z = 4x2+9y2r = 3r = 2

Paraboloide eliacuteptico

Si x2y2 estaacuten acompantildeados por constantes positivas el graacutefico essimilar al del paraboloide pero estaacute ldquoachatadordquo en los ejes xy Porejemplo f (xy) = 4x2+9y2 tiene un graacutefico similar al del paraboloidepero los cortes horizontales no son circunferencias sino elipses (porese motivo se conoce como paraboloide eliacuteptico En este caso el cortecon el plano horizontal z = 1 nos da una elipse de radio r = 2 en ladireccioacuten del eje x y de radio r = 3 en la direccioacuten del eje y

La misma observacioacuten pero para el paraboloide invertido por ejem-plo la graacutefica de f (xy) =minus4x2minus9y2 es similar al paraboloide inverti-do pero achatado en las direcciones de los ejes xy

Ahora vamos a presentar un ejemplo sustancialmente distinto del para-boloide o sus variantes comprimida yo invertida una figura conocidacomo la silla de montar

EJEMPLO 326 (Silla de montar) f (xy) = x2minus y2 Su graacutefico es elconjunto en R3 dado por la ecuacioacuten impliacutecita z = x2minus y2 Se conocecomo silla de montar Si hacemos cortes horizontales vemos hipeacuterbolas de ecuacioacuten im-pliacutecita x2minus y2 = z0 (siempre que z0 0 ver la Seccioacuten 33 debajo paramaacutes detalles)



z

z = x2minus y2

yx

Si hacemos el corte con el plano vertical y = 0 (la pared xz) vemosz = x2minus02 que es la paraacutebola hacia arriba z = x2 Si hacemos el corte con el plano vertical x = 0 (la pared yz) vemosz = 02minus y2 que es la paraacutebola invertida z =minusy2

z = x2minus y2

Silla de montar

Figura 35 En selectos aacutembitos acadeacutemicos se la conoce como la papa frita

Si invertimos el signo en la silla de montar f (xy) = minusx2+ y2 eldibujo es simeacutetrico respecto del plano del piso Esto es porque comoya explicamos este cambio obedece a fijar xy y cambiar z porminusz quees una reflexioacuten respecto del plano del piso (el plano z = 0)

EJEMPLO 327 (Cilindro paraboacutelico) Consideremos f (xy) = x2Notamos que la funcioacuten no depende de y eso quiere decir que la fi-gura tiene la misma forma para todo y (soacutelo depende de x) El graacuteficode f es la superficie z = x2 Cortando esta superfice con planos verti-cales y = cte (planos paralelos a la pared xz) vemos siempre la mismacurva la paraacutebola z = x2 La superficie se denomina cilindro paraboacuteli-co y se obtiene deslizando esta paraacutebola hacia la izquierda y la derecha



indefinidamente

y

z

z = x2

x Cilindro paraboacutelico

Si invertimos el signo de la funcioacuten f y tomamos f (xy) = minusx2 sugraacutefico tambieacuten seraacute un cilindro paraboacutelico pero en este caso estaraacuteinvertido respecto del plano z = 0 con el veacutertice de la paraacutebola apun-tando hacia arriba

EJEMPLO 328 Si consideramos f (xy) = xy su graacutefico tambieacuten esun silla de montar Esto es porque si hacemos el cambio de variablesx = u+ v y = uminus v z = z la ecuacioacuten impliacutecita del graacutefico z = xy setransforma en

z = (u+ v)(uminus v) = u2minus v2

que es la misma ecuacioacuten del ejemplo anterior (con otras letras) Unaexplicacioacuten maacutes detallada de este cambio de variables se da a continua-cioacuten

TEOREMA 329 (Forma canoacutenica del graacutefico de una funcioacuten cuadraacute-tica) Sea f R2rarr R una funcioacuten cuadraacutetica homogeacutenea no nulaLuego de un cambio de coordenadas ortogonal U isinR2times2 en el dominiode f y una dilatacioacutencompresioacuten en las direcciones de los ejes elgraacutefico de f es alguno de estos cuatro

z = u2+ v2 (paraboloide)

z =minusu2minus v2 (paraboloide invertido)

z = u2minus v2 (silla de montar)



z =plusmnu2 (cilindro paraboacutelico)

En lugar de probar el teorema vamos a mostrar coacutemo elegir el cambiode variables en dos ejemplos La idea es escribir una matriz simeacutetricaA que nos ayuda a encontra el cambio de variables por medio de susautovectores

EJEMPLO 3210 Sea f (xy) = 6x2+9y2minus4xy Lo primero que va-mos a hacer es encontrar una matriz simeacutetrica At = A es decir

A =

(α β

β γ

)

de manera tal que si hacemos 〈AX X〉 recuperamos f (xy) Afirmamosque la matriz que necesitamos es exactamente

A =

(6 minus2minus2 9

)

vamos a verificarlo Calculamos primero

AX =

(6 minus2minus2 9

)

(xy

)=

(6xminus2yminus2x+9y

)

Entonces recordando que pensamos A como funcioacuten de R2 en R2 te-nemos A(xy) = (6xminus 2yminus2x + 9y) Ahora calculamos el productointerno 〈AX X〉

AX middotX = (6xminus2yminus2x+9y) middot (xy) = (6xminus2y)x+(minus2x+9y)y= 6x2minus2yxminus2xy+9y2 = 6x2+9y2minus4xy = f (xy)

como habiacuteamos afirmado (notar que los lugares de la diagonal son loscoeficientes de x2 y2 respectivamente pero que el lugar fuera de ladiagonal es la mitad del coeficiente de xy porque aparece dos veces)Ahora buscamos los autovalores y autovectores de A por el teoremapara matrices simeacutetricas sabemos que hay una base ortonormal B =



V1V2 de todo R2 tal que V1V2 son autovectores de A Esa base nosda el cambio de variables o en otras palabras poniendo esa base comocolumnas armamos una matriz ortogonal U que es la transformacioacuten(el cambio de variables) ortogonal que lleva nuestra graacutefica de f a unade las 3 formas indicadas por el teorema

Afirmamos que los autovalores de A son λ = 10 λ = 5 y que los co-rrespondientes autoespacios son E10 = (minus12) E5 = (21) estascuentas las puede verificar el lector Los autoespacios son perpendicu-lares pero falta normalizar los autovectores tomamos

V1 = (minus1radic5 2

radic5) V2 = (2

radic5 1

radic5)

para obtener la base ortonormal B = V1V2 y una transformacioacuten or-togonal que los tiene como columnas

U =

(| |

V1 V2

)=

(minus1radic5 2

radic5

2radic5 1

radic5

)

Tomamos las nuevas variables X = (uv) de la siguiente manera defi-nimos (uv) = X =U tX es decir

u =V1 middotX =minus1radic5

x+2radic5

y v =V2 middotX =2radic5

x+1radic5

y

Escribimos la ecuacioacuten impliacutecita del graacutefico de f que es z = f (xy)y recordamos que A = UDU t donde D es la matriz diagonal de losautovalores Ahora observamos que por la propiedad de la trasposicioacutenrespecto del producto interno se tiene

z = f (xy) = AX middotX = (UDU t)X middotX = (DU t)X middotU tX= D(U tX) middotU tX = DX middot X

Entonces en las nuevas variables (uv) la ecuacioacuten impliacutecita de lasuperficie se escribe con una matriz diagonal D Por eso cuando desa-rrollemos esta uacuteltima expresioacuten DX middot X veremos que no hay teacutermino



mixto es decir no hay teacutermino con el producto uv

z =

(10 00 5

)(uv

)middot (uv)

z = (10u5v) middot (uv)z = 10u2+5v2

Esto quiere decir que luego de la transformacioacuten ortogonal U (que esuna rotacioacuten yo una simetriacutea o una composicioacuten de ellas) la graacuteficade f (xy) = 6x2+ 9y2minus4xy coincide con el conjunto z = 10u2+ 5v2Ahora vamos a usar que los coeficientes los podemos escribir como

10=radic102 5=

radic52

y entonces si volvemos a cambiar las variables por x1 =radic10u x2 =radic

5v vemos que

z = 10u2+5v2 = (radic10u)2+(

radic5v)2 = x21 + x22

Es decir luego de esta uacuteltima transformacioacuten (que se puede pensarcomo una dilatatacioacuten o compresioacuten en la direccioacuten de cada uno de losdos ejes) vemos que la graacutefica de f coincide con el conjunto

z = x21 + x22

que es un paraboloide de revolucioacuten

EJEMPLO 3211 Sea f (xy) = xy veamos que luego de una trans-formacioacuten ortogonal su graacutefico coincide con el de la silla de montarz = u2minus v2 (como ya comentamos maacutes arriba en el Ejemplo 328)Afirmamos que la matriz que necesitamos para obtener f (x) = AX middotXes

A =

(0 1212 0

)ya que no hay teacuterminos con x2 oacute y2 Lo comprobamos A(xy)= 12(yx)



luego

〈A(xy)(xy)〉= 12〈(yx)(xy)〉= 12(yx+ xy) = xy = f (xy)

Los autovalores de A son λ = 12 λ = λ = -12 y los correspondien-tes autoespacios son E12 = (11) E-12 = (1minus1) estas cuentas laspuede verificar el lector Los autoespacios son perpendiculares perofalta normalizar los autovectores tomamos

V1 = (1radic2 1

radic2) V2 = (1

radic2 -1radic2)


U =

(1radic2 1

radic2

1radic2 -1radic2

)


u =V1 middotX =1radic2

x+1radic2


x+minus1radic2

y

Comentario notemos que salvo por el factor constante 1radic2 (que es-

taacute puesto para normalizar) este cambio de variables es esencialmen-te u = x+ y v = xminus y Si uno despeja xy en funcioacuten de uv obtienex =radic22(u+v) y tambieacuten u =

radic22(uminusv) que salvo el factor cons-

tante es el cambio de variable que propusimos en el Ejemplo 328 Ladiferencia es que aquel maacutes simple no es ortogonal porque ldquoaplastardquoun poco y en cambio este si lo es

Siguiendo con el razonamiento para f (xy) = AX middotX tenemos nueva-mente que A =UDU t donde D es la matriz diagonal de los autovaloresde A y U la matriz ortogonal que tiene a los autovectores como colum-



na Nuevamente tenemos


Es decir en las nuevas variables la ecuacioacuten impliacutecita se escribe usan-do una matriz diagonal Por eso no hay teacuterminos cruzados (los teacuterminoscon el producto uv no aparecen) como se ve a continuacioacuten si escribi-mos expliacutecitamente DX middot X

z =

(12 00 minus12

)(uv

)middot (uv)

z = (12uminus12v) middot (uv)z = 12u2minus 12v2

Esta superficie ya es una silla de montar pero algo comprimida en lasdirecciones de los ejes Para convencernos podemos hacer un segundocambio de variables llamando x1 = u

radic2 x2 = v

radic2 y obtenemos

z =12

u2minus 12

v2 = (1radic2

u)2minus (1radic2

v)2 = x21 minus x22

Vemos que luego de comprimir un poco en la direccioacuten de los ejesuv la figura que obtuvimos al rotar el graacutefico de f (xy) = xy es lasuperficie dada de forma impliacutecita por la ecuacioacuten z = x21 minus x22 que esla silla de montar

A la vista de los ejemplos podemos resumir auacuten maacutes el resultado delTeorema 329 pues se ve que los coeficientes de u2 v2 en la expresioacutennueva para el graacutefico de f son los autovalores de la matriz A con la queconstruimos f

TEOREMA 3212 Sea f R2rarr R cuadraacutetica homogeacutenea sea At =

A isin R2times2 tal que f (X) = AX middotX donde X = (xy) son las variablesSi λ1λ2 isinR son los autovalores de A entonces (luego de una transfor-macioacuten ortogonal en el dominio) el graacutefico de f es



Un paraboloide (cuando λ1λ2 gt 0)

Un paraboloide invertido (cuando λ1λ2 lt 0)

Una silla de montar (cuando λ1 gt 0 y λ2 lt 0 o al reveacutes)

Un cilindro paraboacutelico (cuando λ1 oacute λ2 = 0)

Si recordamos los nombres que dimos para estos casos en el final delresumen de la Guiacutea 2 vemos que el graacutefico de f es

Un paraboloide si A es definida positiva

Un paraboloide invertido si A es definida negativa

Una silla de montar si A es indefinida

Un cilindro paraboacutelico cuando A es semi-definida

OBSERVACIOacuteN 3213 (Cuaacutedricas) Estas superficies (paraboloidesilla de montar cilindro paraboacutelico) son ejemplos de lo que se conocecomo cuaacutedricas superficies de R3 dadas (de manera impliacutecita) por unpolinomio de grado 2 En la seccioacuten 33 veremos otros ejemplos decuaacutedricas y haremos una lista de todos los posibles casos

33 Curvas y superficies de nivelbull Corresponde a clases en video 36 37

Como ya mencionamos cuando tenemos una funcioacuten f R2rarrR a ve-ces es uacutetil mirar las denominadas curvas de nivel de la funcioacuten f queconsisten en igualar f a una constante y ver queacute curva obtenemos enel plano (xy) Como estamos cortando con z = cte podemos pensarque estamos haciendo cortes de la superficie del graacutefico de f (que esta-ba dada por la ecuacioacuten impliacutecita z = f (xy)) con planos horizontales(porque esos planos tienen ecuacioacuten z = cte)



EJEMPLO 331 (Curvas de nivel del paraboloide) Consideremos lafuncioacuten escalar f (xy) = x2+ y2 Veamos sus curvas de nivel y coacutemoestas ayudan a describir la superficie dada por el graacutefico de f Si fijamos z = R2 gt 0 y miramos la curva de nivel f (xy) = R2 nosqueda la ecuacioacuten x2+ y2 = R2 que es una circunferencia centrada enel origen de radio R gt 0

yx

z

z = 1

z = 2

Si miramos la curva de nivel de z = 0 obtenemos x2+ y2 = 0 estosoacutelo es posible si (xy) = (00) entonces en este caso no obtenemosuna curva sino un punto del plano (el origen) Si miramos curvas de nivel con z0 lt 0 no hay solucioacuten y nos da elconjunto vaciacuteo por ejemplo con z = minus1 tenemos que ver el conjuntox2+ y2 =minus1 que es vaciacuteo Resumiendo los cortes con planos horizontales nos devuelven nadapara z negativo el origen para z = 0 y circunferencias cada vez maacutesgrandes (de mayor radio) a medida que cortamos con zgt 0 maacutes grande Lo que queda por decidir es coacutemo unir estas circunferencias paraeso hacemos un corte con el plano vertical x = 0 (que es el plano yzla pared del fondo) Lo que vemos es la ecuacioacuten z = f (0y) que eneste caso es z = 02+y2 es decir z = y2 La graficamos es una paraacutebolahacia arriba Eso quiere decir que hay que unir las circunferencias apiladas conuna paraacutebola y por eso la graacutefica de f (xy) = x2+y2 tiene la forma que



yx

z

mencionamos en la seccioacuten anterior se obtiene haciendo revolucionarla paraacutebola z = y2 alrededor del eje z

y

x

z

z = x2+ y2


EJEMPLO 332 (Curvas de nivel de una silla de montar) Tomamosf (xy) = x2minus y2 veamos sus curvas de nivel Si fijamos z0 = R2 gt 0 y miramos la curva de nivel f (xy) = R2 nosqueda la ecuacioacuten x2minus y2 = R2 Dividimos por R2 y vemos que queda

x2

R2minusy2

R2 = 1 =rArr (xR)2minus (

yR)2 = 1

Haciendo el cambio de variables u = xR v = yR (que consiste encomprimir un poco en la direccioacuten de los ejes) vemos la ecuacioacutenu2minus v2 = 1 Entonces estos cortes devuelven hipeacuterbolas (con dos ra-mas) Si miramos la curva de nivel de z = 0 obtenemos x2minusy2 = 0que equivale a |x| = |y| y entonces tenemos dos posibilidades y = x oacute



u

v

u2minus v2 = 1

Figura 36 Hipeacuterbola

corte con z = 1 hipeacuterbola x2minus y2 = 1

corte con z =minus1minusx2+ y2 = 1

z =minus1

z = 1

Figura 37 Curvas de nivel de la silla de montar z = x2minus y2

y =minusx que son dos rectas por el origen iexclSi en efecto la silla de mon-tar tiene dos rectas horizontales dentro aunque no sea tan evidente asimple vista Si miramos curvas de nivel con z0 = minusR2 lt 0 el razonamiento esel mismo que para z0 gt 0 la uacutenica diferencia es que en lugar de verla ecuacioacuten u2minus v2 = 1 luego del cambio de variables ahora vemosla ecuacioacuten minusu2+ v2 = 1 que equivale a intercambiar u con v en laanterior Esta es una simetriacutea y entonces estas curvas de nivel tambieacutendan hipeacuterbolas (con sus dos ramas) pero ahora tienen otra orientacionque las de arriba

DEFINICIOacuteN 333 (Superficies de nivel) Cuando tenemos una fun-



cioacuten escalar de 3 variables f R3 rarr R su graacutefico es el subconjuntode R4 dado por (xyz f (xyz)) o si se quiere son los (xyzw) talesque w = f (xyz) Como es un subconjunto de R4 no podemos espe-rar hacer un dibujo Pero podemos estudiar los cortes con algunas delas variables fijas por ejemplo tomando w = w0 = cte Estos cortes seconocen como superficies de nivel de f son superficies dadas por laecuacioacuten impliacutecita

f (xyz) = cte

Si f es lineal sus superficies de nivel seraacuten planos Por ejemplof (xyz) = 2x+ yminus z Si hacemos f (xyz) = 0 vemos el plano por elorigen Π 2x+yminusz = 0 Mientras que 2x+yminusz = 5 es un plano peroque no pasa por el origen Notemos que todas las superficies de nivelde f son planos paralelos todos con normal N = (21minus 1)

Ahora vamos a estudiar las superficies conocidas como cuaacutedricas Es-ta es una familia de ejempos relativamente simples (y relevantes) da-dos por polinomios de grado 2 en las tres variables xyz Ya vimoslos casos particulares del paraboloide la silla de montar y el cilindroparaboacutelico cuando teniacuteamos superficies de la forma z = f (xy) es de-cir cuando la superficie era el graacutefico de una funcioacuten de dos variables(Teorema 329)

EJEMPLO 334 (Cuaacutedricas) Miramos superficies de nivel f (xyz)=w0 con f polinomio de grado 2

f (xyz) = x2+ y2+ z2 Sea R2 gt 0 consideramos la superficie denivel f (xyz) = R2 (estamos tomando w = R2) Notamos que si X =

(xyz) la ecuacioacuten se reescribe como

Esfera de radio R R2 = x2+ y2+ z2 = X2 luego X= R

Son los puntos de R3 que distan del origen exactamente R se trata deuna superficie esfeacuterica de radio R o maacutes brevemente una esfera deradio R Si tomamos w = 0 y miramos f (xyz) = 0 vemos x2+ y2+ z2 = 0asiacute que en este caso el conjunto de soluciones no es una superficie sino



Esfera

x2+ y2+ z2 = 1

z

y

x

uacutenicamente un punto el punto O= (000) Si miramos el conjunto f (xyz) = z0 con z0 lt 0 resulta vaciacuteo porejemplo x2+ y2+ z2 =minus1 no tiene soluciones

Cambiemos de funcioacuten sea g(xyz) = x2+y2minusz2 Miramos primerox2+y2minusz2 = R2 es decir tomamos w gt 0 Por ejemplo si R = 1 vemosx2+ y2minus z2 = 1 Esta figura se conoce como hiperboloide de una hojasu ecuacioacuten se reescribe como

Hiperboloide de una hoja x2+ y2 = 1+ z2

Para describirla podemos hacer cortes con planos horizontales (mirarlas curvas de nivel tomando z = z0 = cte) notamos que r2 = 1+ z20 ge1 gt 0 es positivo no importa el signo de z0 Entonces todos los corteshorizontales son de la forma x2+ y2 = r2 con r ge 1 y se trata de cir-cunferencias todas de radio r ge 1 El radio miacutenimo r = 1 se consiguecuando z0 = 0 y hay simetriacutea respecto de z entonces vemos circun-ferencias apiladas que crecen en radio a medida que nos alejamos delpiso (en ambas direcciones)El nombre de la figura se explica por su perfil para ver coacutemo se unenestas circunferencias hacemos ahora un corte de x2+y2 = 1+ z2 con elplano vertical x = 0 Vemos la ecuacioacuten y2 = 1+ z2 que se reeescribecomo y2minus z2 = 1 y como ya sabemos es una hipeacuterbola (con sus dosramas como en la Figura 36 de maacutes arriba) Entonces el hiperboloide



y

x

z

11

de una hoja se puede pensar como la superficie que se obtiene girandoesta hipeacuterbola alrededor del eje z

yx

z

x2+ y2minus z2 = 1

Hiperboloide de de una hoja

Volviendo al caso general de la superficie de nivel x2+ y2minus z2 = R2



si dividimos por R2 vemos

x2

R2 +y2

R2minusz2

R2 = 1 =rArr (xR)2+(

yR)2minus (

zR)2 = 1

Con el cambio de variables (xyz) 7rarr (uvw) = ( 1Rx 1

Ry 1Rz) tenemos

la superficie u2 + v2minusw2 = 1 que como acabamos de discutir es unhiperboloide de una hoja Entonces todas las superficies de nivel deg(xyz) = x2+ y2minus z2 = R2 (para R 0) son similares son todos hi-perboloides de una hoja y lo que cambia es el radio miacutenimo (el de lacircunferencia que se obtiene al cortar con el plano z = 0)

Si tomamos w = 0 vemos la superficie de nivel x2+ y2minus z2 = 0 queya no es un hiperboloide Se trata de la superficie conocida como

Cono recto x2+ y2 = z2

o simplemente cono En realidad se trata de dos conos opuestos por elveacutertice como indica el dibujo Tomando curvas de nivel vemos que se

yx

z

x2+ y2 = z2

z =plusmny(corte con el plano x = 0)

Cono recto

trata de circunferencias apiladas (salvo en z = 0 donde es un punto)Luego para ver como unirlas notamos que el perfil (el corte con elplano vertical x = 0) nos da la ecuacioacuten y2 = z2 que se trata de las



rectas y = z y =minusz Ahora veamos queacute pasa si miramos g(xyz) = w0 con w0 lt 0 esdecir x2+ y2minus z2 = minusR2 con R 0 Dividiendo por R2 y haciendo elmismo cambio de variables de antes notamos que son todas (compre-siones de) la superficie de nivel con R= 1 que es x2+y2minusz2=minus1 Estaes distina que el hiperboloide de una hoja por el signo es la superficieconocida como

Hiperboloide de dos hojas x2+ y2 = z2minus 1

Para describirla podemos tomar curvas de nivel con z = z0 = cte Note-mos que z20minus 1 puede ser positivo negativo o nulo dependiendo de z0Separamos en casos primero veamos donde se anula esto es cuandoz20 = 1 y esto ocurre cuando z0 = 1 oacute bien z0 =minus1 Entonces los cortescon estos dos planos horizontales nos dan (en ambos casos) la ecuacioacutenx2+ y2 = 0 que soacutelo tiene solucioacuten al (xy) = (00)Si tomamos minus1 lt z0 lt 1 vemos que z20 lt 1 y entonces z20minus 1 lt 0 Eneste caso la ecuacioacuten x2+ y2 = z20minus 1 no tiene solucioacuten Esto quieredecir que los cortes con planos z = z0 con z0 entre minus1 y 1 no cortan lasuperficie x2+ y2 = z2minus 1Por uacuteltimo consideramos |z0| gt 1 (o sea debajo del minus1 y por encimadel 1) con esta condicioacuten z20minus 1gt 0 y entonces la curva x2+y2 = z20minus 1es una circunferencia (de radio cada vez mayor a medida que z se alejadel piso (ver Figura 39 debajo)Para unir estas circunferencias apiladas miramos el perfil de la super-ficie dado por el corte con el plano x = 0 vemos la ecuacioacuten 02+ y2 =z2minus 1 o equivalentemente z2minus y2 = 1 Se trata de una hipeacuterbola ahorasimeacutetrica respecto del pisoEntonces el hiperboloide de dos hojas es la superficie que puede ob-tenerse haciendo girar esta hipeacuterbola (las dos ramas) alrededor del ejez

Ahora cambiamos de funcioacuten Sea f (xyz) = x2+ y2 notemos queen la superficie de nivel x2+y2=w0 la variable z no aparece Eso quiere



y

z

z2minus y2 = 1

Figura 38 Las dos ramas de una hipeacuterbola en el plano yz

yx

z

minusx2minus y2+ z2 = 1

z2minus y2 = 1(corte con el plano x = 0)

Hiperboloide de dos hojas

Figura 39 Hiperboloide de 2 hojas

decir que z estaacute libre e implica que una vez hecho el dibujo para alguacutenz (por ejemplo para z = 0) la superficie se obtiene dejando z libre porencima y por debajo de ese dibujo Si w0 = 0 obtenemos x2+ y2 = 0 que en principio es el punto x =

0y = 0 Pero si recordamos que estamos en R3 y que z estaacute libre loque obtenemos es el conjunto (00z) que es una recta vertical (es eleje z) Si w0 lt 0 la superficie de nivel x2+ y2 = w0 es vaciacutea porque el ladoizquierdo es siempre no negativo Notemos que no importa el valor dez (por maacutes libre que esteacute) la ecuacioacuten nunca se va a verificar



Si w0 = R2 gt 0 tenemos x2+y2 = R2 Dividiendo por R2 y cambian-do las variables por xR e yR respectivamente obtenemos la superficellamada

Cilindro recto x2+ y2 = 1

o simplemente cilindro Vemos que todos los cortes de esta superficiecon z = cte son ideacutenticos porque la ecuacioacuten impliacutecita no tiene z Es-tos cortes son todos x2+ y2 = 1 que es una circunferencia de radio 1Entonces la superficie se obtiene apilando circunferencias de radio 1 yes exactamente un cilindro vertical

yx

z

x2+ y2 = 1

Cilindro

Nuevamente cambiamos de funcioacuten Consideramos en este ejemplola funcioacuten f (xyz) = z2minus y2 Ahora la variable faltante es x y si mi-ramos la superficie de nivel para w0 = 1 vemos la ecuacioacuten z2minus y2 = 1Esta superficie al cortarla con planos verticales x = cte (planos parale-los a la pared yz) presenta siempre la hipeacuterbola plana z2minusy2 = 1 (comola de la Figura 38) La superficie se denomina cilindro hiperboacutelico yse obtiene deslizando esta hipeacuterbola hacia adelante y hacia atraacutes en ladireccioacuten del eje x

OBSERVACIOacuteN 335 (Variantes de cuaacutedricas) Intercambiando lasvariables obtenemos versiones de estas superficies que apuntan en lasdirecciones de los distintos ejes

Por ejemplo consideremos las siguientes ecuaciones

a) x2+ z2 = y2 b) minus x2+ y2minus z2 = 1 c) x2+ z2 = 1



y

z

z2minus y2 = 1

x

Figura 310 Cilindro hiperboacutelico

Para hacer un dibujo de estas superficies no es necesario volver a cal-cular sus curvas de nivel perfil etc Porque podemos notar (en cadacaso) que la superficie dada tiene una ecuacioacuten similar a alguna de lasque ya estudiamos con la salvedad de que en estas de aquiacute los rolesde las variables estaacuten intercambiados Eso quiere decir que estas su-perficies de aquiacute se pueden obtener a partir de alguna de las que yaestudiamos haciendo una simetriacutea en R3 iquestQueacute simetriacutea La que seobtiene al intercambiar esas variablesPor ejemplo la ecuacioacuten a) se obtiene a partir de la ecuacioacuten del conorecto x2+y2 = z2 intercambiando la variable y con la variable z Luegola superficie a) de aquiacute se obtiene del cono recto haciendo una simetriacuteaalrededor del plano Π yminusz = 0 (ya que los puntos del plano que veri-fican y = z no se modifican al intercambiar las variables) Si queremosdibujar a) notamos que en el cono recto original el eje de rotacioacuten esel eje z Luego a) es un cono con eje de rotacioacuten alrededor del eje y

Con los mismos argumentos b) es un hiperboloide de dos hojas con ejede rotacioacute alrededor del eje y mientras que c) es un cilindro alrededordel eje y

Tambieacuten podemos multiplicar las variables por constantes positivas enese caso obtenemos superficies cuaacutedricas que resultan variantes ldquoaplas-tadasrdquo o ldquoestiradasrdquo en las direcciones de los ejes tal como vimos enlos casos del paraboloide y la silla de montar en la Seccioacuten 32



Por ejemplo la superficie dada por la ecuacioacuten z = 3x2 es un cilindroparaboacutelico mientras que 4x2+ 9y2 = z2 es un cono que no es rectopuesto que los cortes horizonales son elipses

Elipsoide

x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 1

z

yx

ab

c

Un uacuteltimo ejemplo interesante (y con nombre propio) es el de la super-ficie dada por la ecuacioacuten impliacutecita

x2

a2 +y2

b2 +z2

c2= 1

que puede obtenerse a partir de la esfera modificando (xyz) por xayb zc respectivamente Esta superficie cuaacutedrica se conoce comoelipsoide de radios abc (cuando a = b = c obtenemos una esfera)

TEOREMA 336 (Cuaacutedricas en R3) Toda superficie cuaacutedrica de R3

puede transformarse (mediante un cambio escalas en los ejes y un cam-bio de coordenadas ortogonal) en una de las superficies siguientes

Paraboloide z = x2+ y2

Silla de montar z = x2minus y2

Cilindro paraboacutelico z = x2

Esfera x2+ y2+ z2 = 1

Hiperboloide de una hoja x2+ y2minus z2 = 1



Hiperboloide de dos hojas x2+ y2minus z2 =minus1

Cono z2 = x2+ y2

Cilindro x2+ y2 = 1

Cilindro hiperboacutelico z2minus y2 = 1

Eso quiere decir que los ejemplos que vimos en este resumen agotantodas las posibles superficies cuaacutedricas en el espacio R3 Las funcionesde la lista se conocen como las formas canoacutenicas de los polinomioscuadraacuteticos en dos variables Puede verse una representacioacuten dinaacutemicade estas figuras asiacute como sus intersecciones con distintos planos (suscurvas de nivel) en este link de Geogebra

El meacutetodo de prueba es similar al de aquel teorema pero con algunasadiciones No lo demostraremos pero podemos ver muy claramentecoacutemo funciona esta clasificacioacuten en un ejemplo

EJEMPLO 337 Sea g(xyz) = 2x2+ 2xy+ 2y2minus z2 Llevar g a suforma canoacutenica con un cambio de variables adecuado y describir sussuperficies de nivelLa matriz para escribir g(X) = AX middotX se consigue poniendo en la dia-gonal los coeficientes cuadraacuteticos y fuera de ella la mitad de los co-eficientes cruzados por ejemplo en el lugar 1minus2 va la mitad del coefi-ciente de xz que es un 1 como no hay xz ni yz hay ceros en los lugares1minus3 y 2minus3 respectivamente La matriz tiene que ser simeacutetrica asiacute quees

A =

2 1 01 2 00 0 minus1

invitamos al lector a verificar que g(X) = AX middotX Los autovalores de Ason 31minus1 y los autovectores (ya normalizados) son

V1 = (1radic2 1

radic20) V2 = (-1radic2 1

radic20) V3 = (001)



Las nuevas variables X = (x1x2x3) se obtienen aplicando la tranfor-macioacuten ortogonal U t a las variables originales X = (xyz) entoncestenemos

x1 =V1 middotX = xradic2+ y

radic2y

x2 =V2 middotX = minusxradic2+ y

radic2y

x3 =V3 middotX = z

La forma canoacutenica de f en las nuevas variables es

DX middot X = 3x21 + x22minus x23

Entonces luego de una compresioacuten de factor 1radic3 en la primer varia-

ble la funcioacuten original es equivalente a

f (xyz) = x2+ y2minus z2

Inspeccionando la lista del teorema vemos que las superficies de nivelde esta uacuteltima funcioacuten son hiperboloides o un cono entonces las de lasuperficie original tambieacuten (salvo una transformacioacuten ortogonal y undilatacioacuten de factor

radic3 en la direccioacuten del eje x)

Si miramos ecuaciones impliacutecitas generales f (xyz) = cte donde fno es un pollinomio de grado 2 obtenemos muchos maacutes ejemplos desuperficies que no hemos presentado aquiacute Es decir que en este resumenhemos hecho eacutenfasis en las cuaacutedricas pero hay muchas otras superficiesen R3 que no lo son Su dibujo puede ser mucho maacutes complicado y notenemos una buena clasificacioacuten pero de ser necesario se puede usarun programa graficador para obtenerlo Lo que queremos destacar parafinalizar es que entender cuaacuteles son las posibles cuaacutedricas nos serviraacutesobre el final de este texto para comprender coacutemo se hallan los extre-mos de funciones de varias variables y asiacute poder resolver problemasde maacuteximos y miacutenimos que involucren maacutes de una variable




Capiacutetulo 4

Liacutemite y derivadas defunciones41 Liacutemites y continuidadbull Corresponde a clases en video 41 42a 42b 43 44

DEFINICIOacuteN 411 (Limite en una variable) Dada f Ararr R dondeAsub R es un intervalo o una unioacuten de intervalos decimos que el liacutemitede f cuando x tiende a x0 es ` si podemos conseguir que todos los f (x)esteacuten cercanos a ` siempre que x esteacute cercano a x0No nos interesa el valor de f en el punto y0 = f (x0) ni siquiera nosinteresa si x0 isinA (el dominio de f ) necesitamos si poder aproximarnosa x0 con puntos x isin AFormalmente limxrarrx0 f (x) = ` si

| f (x)minus `| es chico siempre que |xminus x0| es chico (x x0)

La idea de ldquoes chicordquo requiere alguna formalizacioacuten mayor Porque noes aceptable que esteacute sujeta a interpretacioacuten del que hace la afirmacioacuten(o del que la lee)

Para ello vamos a decir que | f (x)minus `| tiene que ser tan chico comouno quiera siempre que acercemos lo suficiente x a x0 Esto se puedeexpresar mejor asiacute para cada eror posible E gt 0 queremos encontrar

99


una D = D(E) gt 0 (distancia) de manera tal que si dist(xx0) lt Dentonces | f (x)minus `|lt E Entonces limxrarrx0 f (x) = ` si para todo E gt 0existe D gt 0 de manera tal que

|xminus x0|lt D =rArr | f (x)minus `|lt E

No hay que olvidar que hay que excluir la evaluacioacuten en x0 para ellopodemos escribir x x0 o para ser maacutes breves escribimos 0lt |xminusx0|ltD -puesto que |xminus x0| ge 0 siempre y |xminus x0| = 0 uacutenicamente cuandox = x0

`

x0

Gr( f )

x

y

0lt |xminus x0|lt δ

0lt |yminus `|lt ε

Figura 41 La banda horizontal celeste indica los f (x) con 0lt |xminus x0|lt δ

En la bibliografiacutea es usual usar letras griegas para el error y la distanciaasiacute que la definicioacuten de liacutemite suele escribirse entonces como siguelimxrarrx0 f (x) = ` si para todo ε gt 0 existe δ gt 0 tal que

0lt |xminus x0|lt δ =rArr | f (x)minus `|lt ε (411)

Como estamos aproximando x a x0 es necesario que x0 esteacute en A opegado a eacutel Luego debe ser x0 isin Acupbd(A) = A (la clausura de A)

OBSERVACIOacuteN 412 (Liacutemites en infinito) Escribimos limxrarr+infin f (x)=` si f (x) se aproxima a ` cuando x es cada vez mayor Formalmente elliacutemite en +infin es ` si para todo ε gt 0 existe K gt 0 tal que

x gt K =rArr | f (x)minus `|lt ε



La misma idea se usa para limxrarrminusinfin f (x) = ` pero ahora queremosque f (x) esteacute cerca de ` cuando x sea negativo y muy grande en valorabsoluto (graacuteficamente x estaacute muy a la izquierda de 0 y f (x) muy cercade la altura `)

A veces nos interesa ver queacute ocurre si nos aproximamos a x0 por unsoacutelo lado (ya sea porque f no estaacute definida a un lado o porque el com-portamiento es distinto a ambos lados de x0)

DEFINICIOacuteN 413 (Liacutemites laterales) Si Dom( f )sub R decimos quelimxrarrx+0

f (x) = ` si forall ε gt 0 existδ gt 0 tal que

x0 lt x lt x0+δ =rArr | f (x)minus `|lt ε

Este se llama liacutemite lateral por la derecha y requerimos entonces xcerca de x0 con la condicioacuten adicional x gt z0Similarmente se define el liacutemite lateral por la izquierda en ese caso esx lt x0

Si hay puntos de A = Dom( f ) a ambos lados de x0 entonces existenlos dos liacutemites laterales y son iguales si y solo si existe el liacutemite en x0

Ahora extendemos la definicioacuten de liacutemite en un punto a funciones devarias variables

DEFINICIOacuteN 414 [Limite en Rn] Sea A sub Rn sea f Ararr R seaP isin A Decimos que limXrarrP f (X) = ` si para todo ε gt 0 existe δ gt 0tal que

0lt XminusPlt δ =rArr | f (X)minus `|lt ε

La idea es exactamente la misma queremos que f (x) esteacute cerca de `

si X estaacute cerca del punto P (y ademaacutes pedimos X P como antes)Decimos ldquoel liacutemite de f cuando X tiende a P es `rdquo

OBSERVACIOacuteN 415 (Notacioacuten) Escribimos limXrarrX0 f (X)= ` a ve-ces de la siguiente manera

f (X)minusminusminusrarrXrarrX0

`



La idea es clara los valores de f (X) se aproximan a ` cuando los valo-res de X se aproximan a X0

Algunas propiedades uacutetiles se listan a continuacioacuten

PROPIEDADES 416 (del liacutemite de funciones) Sea A sub Rn seanf g Ararr R sea X0 isin A Entonces si existen los liacutemites de f y de gen X0 se tiene

1 limXrarrX0 ( f (X)+g(X)) = limXrarrX0 f (X)+ limXrarrX0 g(X)

2 limXrarrX0 f (X)g(X) = limXrarrX0 f (X) middot limXrarrX0 g(X)

3 Si g 0 en A ylimXrarrX0 g(X) 0 entonces

limXrarrX0

f (X)

g(X)=

limXrarrX0 f (X)

limXrarrX0 g(X)

Recordemos que -si puede hacerse- la composicioacuten de dos funciones(g f )(X) = g( f (X)) se calcula viendo primero el valor de f en x yluego viendo el valor de g en f (X)

PROPIEDADES 417 (de la composicioacuten y el liacutemite) Si f (X)minusminusminusrarrXrarrX0

` y ademaacutes g(X)minusminusrarrXrarr`

L entonces existe el liacutemite de la composicioacuten yes igual a L

(g f )(X)minusminusminusrarrXrarrX0

L

Esto es porque si comenzamos cerca de X0 los valores de Y = f (X)

estaacuten cerca de ` luego los valores de Z = g(Y ) estaacuten cerca de L

OBSERVACIOacuteN 418 (Liacutemites que dan infinito) Escribimos

limXrarrX0 f (X) = +infin

si f (X) es cada vez mayor (sin cota superior) a medida que X se apro-xima a X0 Formalmente f (X) minusminusminusrarr

XrarrX0+infin si para todo M gt 0 existe



δ gt 0 tal que

0lt XminusX0lt δ =rArr f (X)gt M

Vemos que el graacutefico se hace cada vez maacutes alto a medida que X seaproxima a X0 Aquiacute f puede ser una funcioacuten de una o de varias varia-blesLa misma idea se usa para limXrarrX0 f (x) =minusinfin decimos que


minusinfin

si para todo m lt 0 existe δ gt 0 tal que

0lt XminusX0lt δ =rArr f (X)lt m

En este caso vemos que el graacutefico se hace maacutes bajo (hacia minusinfin) a me-dida que X rarr X0 (no hay cota inferior para las imaacutegenes de f )

PROPIEDADES 419 (del sandwich y ldquocero por acotadardquo) Cuandoqueremos probar que un liacutemite es 0 podemos hacer uso una desigual-dad del tipo

| f (t)| le |g(t)|

Si sabemos que g(t)rarr 0 cuando t rarr t0 entonces podemos concluirque tambieacuten f (t)rarr 0 cuando trarr t0 Esto es porque

minus|g(t)| le f (t)le |g(t)|

y entonces f no puede escapar de tener liacutemite nulo en t = t0 como seve en la figuraPor ejemplo

Calcular limxrarr0 xsen(1x) Como |sen(1x)| le 1 entonces

| f (x)|= |xsen(1x)| le |x| rarr 0



|g(t)|

minus|g(t)|

t0 t

f (t)

cuando xrarr 0 Luego limxrarr0 xsen(1x) = 0 Aquiacute la funcioacuten que po-demos controlar faacutecilmente que es maacutes grande que f es la funcioacuteng(x) = xEste es el tipo de liacutemite donde justificamos que da 0 porque es del tipoldquo0 por acotadardquo En este caso la funcioacuten que tiende a cero es g(x) = xmientras que el otro factor estaacute acotado

Calcular limxrarr1+ ln(x)cos(1 ln(x)) Afirmamos que ` = 0 porqueln(1) = 0 Sin embargo el segundo factor no tiene liacutemite por eso nece-sitamos justificarlo asiacute

| ln(x)cos(1 ln(x))| le | ln(x)| rarr 0

cuando xrarr 1 Entonces por la propiedad del sandwich el liacutemite ori-ginal es 0 Nuevamente es de la forma ldquo0 por acotadardquo en este casoel factor acotado es cos(1 ln(x)) que no tiene liacutemite pero sus valoresestaacuten acotados entre minus1 y 1

PROPOSICIOacuteN 4110 (Caacutelculo de liacutemites usando la composicioacuten)Como la composicioacuten de liacutemites es el liacutemite de la composicioacuten pode-mos aprovechar eso para calcular liacutemites donde reconozcamos expre-siones conocidas

Veamos algunos ejemplos importantes de esta aplicacioacuten El lector cu-rioso puede ver la forma que tiene las superficies dadas por los graacuteficosde las siguientes funciones en este link Alliacute notaraacuten que el resultadoque obtenemos en las cuentas debajo no siempre es evidente a partirdel dibujo



Como limtrarr0 (1+ t)1t = e entonces si f (xy)rarr 0 cuando (xy)rarr(x0y0) al hacer la composicioacuten con f podemos calcluar el liacutemite

1 `= lim(xy)rarr(00)(1+ x2+ y4

) minus7x2+y4 Como (rb)a = rab tenemos que

`= lim(xy)rarr(00)

((1+ x2+ y4

) 1x2+y4

)minus7

y entonces

`=

(lim(xy)rarr(00)

(1+ x2+ y4

) 1x2+y4

)minus7= eminus7

Aplicamos la idea de la composicioacuten a f (xy) = x2+ y4

2 lim(xy)rarr(12)(1+ y ln(x)2

) y3 ln(x)2 Como f (xy)= y ln(x)2rarr 0 cuan-

do (xy)rarr (12) tenemos

(1+ y ln(x)2

) y3 ln(x)2 =

(1+ y ln(x)2

) y2

3middoty ln(x)2

=

((1+ y ln(x)2

) 1y ln(x)2

)y23

minusrarr e223 = e43

Como limtrarr0sen(t)

t = 1 tenemos

1 lim(xy)rarr(00)sen(5xy)

xy= 5 lim(xy)rarr(00)

sen(5xy)5xy

= 5 middot 1= 5

Esta vez compusimos con f (xy) = 5xy

2 lim(xy)rarr(31)sen(xyminus x)

yminus 1= lim(xy)rarr(31)

sen(xyminus x)xyminus x

xyminus xyminus 1

= lim(xy)rarr(31)sen(xyminus x)

xyminus xx(yminus 1)

yminus 1


xyminus xmiddot x = 1 middot3= 3



En este caso compusimos con f (xy) = xyminus x = x(yminus 1) Note-mos que para esta funcioacuten f (xy)rarr 0 cuando (xy)rarr (31) (sino fuera asiacute el liacutemite estariacutea mal calculado)

Un caso muy importante de f (xy)rarr 0 que vamos a usar (cuando(xy)rarr (00)) es mirando la funcioacuten f (xy)= (xy) o sus potenciascomo

(xy)2 = x2+ y2

PROPIEDADES 4111 (de la norma) Como x2 + y2 ge x2 se tienetomando raiacutez que |x| le

radicx2+ y2 = (xy) Entonces

minus(xy) le xle (xy)

y tambieacutenminus(xy) le yle (xy)

Entonces si (xy)rarr (00) es claro que xrarr 0 y tambieacuten yrarr 0 peroesta cuenta nos dice que la norma lo hace maacutes raacutepido que las coorde-nadasPor otro lado es claro que si (xy)rarr (00) entonces tambieacuten se tieneque (xy)rarr 0

P x

y = f (x)

`1

`2

y

Figura 42 Liacutemites laterales distintos el liacutemite en P no existe

OBSERVACIOacuteN 4112 (Limite a lo largo de curvas) Cuando el liacutemi-te en P existe no importa por queacute camino nos acercemos a P siempre



debe ser | f (X)minus `| rarr 0 Entonces si encontramos dos maneras distin-tas de acercarnos que den liacutemites distintos es porque el liacutemite en P noexisteEl primer ejemplo de esto es para funciones de una variable (Figura42 cuando tenemos dos liacutemites laterales que no coinciden Sabemosque el liacutemite no existe en ese casoSi miramos funciones de dos variables un punto de su dominio estaraacuteen R2 Hay muchas maneras de acercarse a un punto P isin R2

P

Por ejemplo por cualquier recta que pase por P Esto no agota todoslos caminos pero es la primer cosa con la que uno puede probar Siencontramos que el limite da distinto a lo largo de dos rectas es porqueno existe el liacutemite doble en P

EJEMPLO 4113 Vamos resolver liacutemites en algunos ejemplos Nue-vamente podemos ver las superficies dadas por Gr( f ) en Geogebra siclickeamos en este linkComo ya mencionamos no siempre es de mucha utilidad ver el graacuteficoy que es necesario saber algunas teacutecnicas como las que explicamos acontinuacioacuten para ver si un liacutemite existe (y cuaacutento da) En el applet deGeogebra tambieacuten estaacuten algunas de las funciones de la Guia de TP 4

Sea f (xy) =x2minus y2

x2+ y2 Queremos ver si existe lim(xy)rarr(00) f (xy)

Comenzamos probando por los ejes que pasan por el punto P = (00)Probamos primer por el eje x Eso quiere decir que tomamos y = 0 y



vemos que queda

f (x0) =x2minus02

x2+02 =x2

x2= 1

Entonces f es constante en el eje x y el liacutemite a lo largo del eje x da 1Ahora probamos por el eje y Eso quiere decir que tomamos x = 0 yvemos que queda

f (0y) =02minus y2

02+ y2=minusy2

y2=minus1

Entonces f es constante en el eje y y el liacutemite a lo largo da minus1Como los liacutemites por los dos ejes son distintos no existe el liacutemite de fen P = (00)

Sea f (xy) =xy

x2+ y2 en P = (00) Probamos primer por el eje x

Eso quiere decir que tomamos y = 0 y vemos que queda

f (x0) =0x2

= 0


f (0y) =0y2

= 0

Entonces f es constante en el eje y y el liacutemite a lo largo da 0Como los liacutemites por los dos ejes son iguales todaviacutea no podemosllegar a ninguna conclusioacuten Probamos con una recta por el origen ge-neacuterica y = mx Tenemos

f (xmx) =x middotmx

x2+(mx)2=

m middot x2

x2+m2x2=

m middot x2

x2(1+m2)

Entonces el liacutemite a lo largo de la recta y = mx es

limxrarr0 f (xmx) =m

1+m2



Si m = 0 tenemos el eje x que ya sabiacuteamos que daba 0 Pero si toma-mos cualquier otra pendiente por ejemplo m = 1 vemos que el liacutemiteda 12 Eso quiere decir que el liacutemite de f en (00) acercaacutendonos porla recta diagonal y = x da 12 Como por los ejes daba 0 vemos que noexiste el liacutemite de f en P = (00)

Sea f (xy) =x2y

x4+ y2en P = (00) Por los ejes el liacutemite da 0 (ver

la cuenta del ejemplo anterior) Por las rectas y = mx tenemos

limxrarr0 f (xmx) = limxrarr0mx3

x4+m2x2= limxrarr0

mx3

x4+m2x2

= limxrarr0mx3

x2(x2+m2)= limxrarr0

mx(x2+m2)

=0

m2 = 0

puesto que podemos suponer que m 0 (el caso m= 0 ya lo estudiamoscuando nos acercamos por el eje x) Entonces por cualquier recta porel origen da 0

iquestQuiere decir que el liacutemite doble es 0 No necesariamente ya que hayotros caminos para acercarse al origen que no son rectas

Por ejemplo la paraacutebola y = x2 Calculamos f a lo largo de esa curva

f (xx2) =x2x2

x4+(x2)2=

x4

2x4=

12

Entonces f es constante a lo largo de esa paraacutebola (que pasa por el ori-gen) y asiacute podemos afirmar que el liacutemite de f a lo largo de esa paraacutebolaes 12 Como este liacutemite es distinto de 0 (que era lo que daba a lo largode por ejemplo el eje x) podemos afirmar que no existe el liacutemite de fen P = (00)

Sea f (xy) =4x2y




la cuenta dos ejemplos atraacutes) Por las rectas y = mx tenemos


x2+m2x2= limxrarr0

4mx3

x2+m2x2

= limxrarr04mx3

x2(1+m2)= limxrarr0

4mx(1+m2)

=0

1+m2 = 0

Entonces por cualquier recta por el origen da 0 iquestQuiere decir que elliacutemite doble es 0 Podemos probar por paraacutebolas y otras curvas Invi-tamos al lector a hacerlo Vamos a ver que a lo largo de todas ellas elliacutemite es 0

iquestCoacutemo podemos probar que el liacutemite doble es cero No tiene senti-do probar por infinitos caminos Lo que vamos a hacer es probar quef (xy)minus ` (en este caso f (xy) pues el candidato es ` = 0) es tan pe-quentildeo como querramos a medida que (xy)rarr 0 O sea vamos a probarque el liacutemite doble es 0 usando su definicioacuten Para eso usamos la Pro-piedad 4111 de la norma y escribimos

| f (xy)minus0|= | f (xy)|= |4x2y||x2+ y2|

=4x2|y|x2+ y2

le 4(xy)2 middot (xy)(xy)2

Aquiacute usamos que x2 le (xy)2 y tambieacuten que |y| le (xy) El deno-minador por otro lado era exactamente igual a (xy)2Entonces cancelando las normas (recordemos que no nos interesa quepasa exactamente en (xy) = (00)) tenemos

| f (xy)minus0|= | f (xy)| le 4(xy)

Pero sabemos que (xy)rarr (00) luego 4(xy) rarr 0 Por la propie-dad del sandwich debe ser f (xy)rarr 0 cuando (xy)rarr (00) luego elliacutemite si existe y es nulo esto es

lim(xy)rarr(00)4x2y

x2+ y2= 0

Idea cuando tenemos un cociente de polinomios y el liacutemite es de la



forma 00 es uacutetil pensar queacute grado tiene el numerador y queacute grado tie-ne el denominador Si tienen el mismo grado es bastante probable queel liacutemite no exista En cambio si el grado del numerador (en el ejem-plo previo grado 3) es mayor que el del denominador (en el ejemploprevio grado 2) entonces el numerador tiende a cero maacutes raacutepido queel denominador y eso nos dice que es bastante probable que el liacuteimiteexista y sea nulo Por supuesto que esta idea es soacutelo un indicador queluego hay revisar en los hechos con las teacutecnicas que indicamos aquiacute

Continuidad

DEFINICIOacuteN 4114 (Continuidad) Cuando X0 isin A podemos com-parar el liacutemite con el valor al evaluar si coinciden decimos que f escontinua en X0 Resumiendo f es continua en X0 si

limXrarrX0 f (X) = f (X0)

Entonces necesitamos que exista el liacutemite y que coincida con f (X0)

Tambieacuten interesa ver si se puede extender la continuidad de f a otrospuntos que no esteacuten en el dominio Luego el estudio de continuidad sehace en A = Acupbd(A)

DEFINICIOacuteN 4115 (Discontinuidades evitables) Si X0isinA=Dom( f )y existe el liacutemite

limXrarrX0 f (X) = `

pero f (X0) ` decimos que X0 es una discontinuidad evitable de f Esto es porque si cambiamos el valor de f en X0 por el nuacutemero ` lafuncioacuten queda continua en X0Tambieacuten decimos que X0 isin bd(A)A es una discontinuidad evitable siexiste el liacutemite


en este caso definimos f en X0 como ` y de esta manera la extensioacutenqueda continua en X0



DEFINICIOacuteN 4116 (Discontinuidades esenciales) Si X0 isin A perono existe el liacutemite cuando X rarr X0 de f decimos que la discontinuidades esencial

Para funciones de una variable un caso particular de discontinuidadesencial es el salto cuando existen ambos liacutemites laterales pero sondistintos

Una discontuinidad esencial que no es de salto la tiene f (x)= sen(1x)en x0 = 0 Aquiacute no existe ninguno de los dos liacutemites laterales

DEFINICIOacuteN 4117 (Continuidad en conjuntos) Dada f ArarrR de-cimos que f es continua en el conjunto Asub Rn si es continua en todosy cada uno de los puntos P isin A

PROPIEDADES 4118 (de las funciones continuas) Sean f g ArarrR funciones continuas Entonces

1 La suma f +g es continua en A

2 El producto f middotg es continuo en A

3 Si g no se anula en A entonces el cociente fg es continuo en A

4 Si componemos dos funciones continuas (siempre que se puedahacer la composicioacuten) el resultado es una nueva funcioacuten conti-nua

Esto nos dice que hay que identificar dos tipos de problemas cuandohay un cociente ver donde se anula el denominador y cuando hay unacomposicioacuten ver doacutende hay problemas del dominio Alliacute estaraacuten lasposibles discontinuidades

CurvasUna curva es una funcioacuten de una variable α Irarr Rn donde nge 2 Engeneral nos referimos a su imagen que es un conjunto de Rn que separametriza con una sola variable Por ejemplo

α(t) = (cos(t)sen(t))



C = im(α)

α(a)α(b)

Figura 43 Curva C sub IR2

es una curva en R2 su imagen es una circunferencia Mientras que

α(t) = (2t3tminust)

es una curva en R3 su imagen es una rectaEn general escribimos las curvas en R2 como

α(t) = (x(t)y(t))

donde x I rarr R y tambieacuten y I rarr R son dos funciones de una va-riable Por ejemplo en el caso anterior x(t) = cos(t) mientras quey(t) = sen(t)Para las curvas en R3 podemos usar α(t) = (x(t)y(t)z(t)) donde cadacoordenada es una funcioacuten de R en R por ejemplo en el segundo casode arriba x(t) = 2t y(t) = 3t z(t) =minust

DEFINICIOacuteN 4119 (Continuidad de curvas) Una curva α Irarr Rn

dada porα(t) = (x1(t)x2(t) xn(t))

es continua si todas las funciones xi Irarr R son continuas

Podemos notar que una curva es continua en t0 isin I cuando el liacutemitede cada coordenada (en el punto t0) coincide con evaluar cada coorde-nada en t0

DEFINICIOacuteN 4120 (Conjuntos conexos) Diremos que A sub Rn es



conexo (maacutes precisamente conexo por arcos o arco-conexo) si dadosPQ isin A los podemos unir con una curva continua α I rarr Rn tal queim(α)sub A Si I = [ab] entonces debe ser α(a) = P α(b) = Q (o alre-veacutes)

TEOREMA 4121 (Bolzano) Sea A sub Rn conjunto conexo sea f Ararr Rn una funcioacuten continua Sean PQ isin A Entonces

1 Si f (P)gt 0 f (Q)lt 0 (o alreveacutes) entonces existe R isin A tal quef (R) = 0

2 Si f (P) lt f (Q) entonces la imagen de f toma todos los valoresintermedios entre f (P) y f (Q) Expliacutecitamente [ f (P) f (Q)] subIm( f )

No necesariamente el intervalo y la imagen de f son exactamenteiguales la imagen puede ser maacutes grande

TEOREMA 4122 (Teorema de Weierstrass) Sea KsubRn sea f KrarrR Entonces f es acotada y alcanza maacuteximo y miacutenimo en K

Este teorema requiere algunas explicaciones Recordemos para empe-zar que un conjunto es compacto cuando es cerrado y acotado

Como f Rnrarr R la imagen es un subconjunto de nuacutemeros realesDecimos que f es acotada en K si el conjunto imagen de f con dominioK es un conjunto acotado

Usamos f |K para indicar la restriccioacuten de f al conjunto K Entoncesf es acotada si A = im( f |K)sub R es acotado

Decimos que f alcanza maacuteximo y miacutenimo en K sub R cuando la ima-gen de f es un conjunto compacto Porque en ese caso si tomamos

M = max f (x) x isin K isin R

-que existe porque la imagen es compacta- existe un punto PM isin K talque f (PM) = M



El valor maacuteximo de f en K es M = f (PM) mientras que el maacuteximose puede alcanzar en uno o maacutes puntos de K -el punto PM no tienepor queacute ser uacutenico ver la Figura 44- Entonces el valor maacuteximo es

Gr( f )

x

im( f )|K = [mM]

K

M

m

QP1 P2

Figura 44 Q es el uacutenico miacutenimo de f |K mientras que P1P2 son maacuteximos de f |K

uacutenico pero los ldquomaacuteximosrdquo de f (los puntos donde hay que evaluarpara conseguirlo) pueden ser varios

Similarmente el valor miacutenimo de f en K que menciona el teore-ma es m = f (Qm) isin R para alguacuten Xm isin K ya que el conjunto imagende f |K tiene miacutenimo m Entonces el valor miacutenimo es uacutenico pero losldquomiacutenimosrdquo de f (los puntos donde hay que evaluar para conseguirlo)pueden ser varios

Notemos que si bien [mM]sub im( f ) si restringimos f a K la imagenes exactamente ese intervalo [mM] = im( f |K)

42 Derivadas parcialesbull Corresponde a clases en video 45a 45b 46a 46b 47a 47b

Comenzamos repasando la nocioacuten de derivada en una variable

DEFINICIOacuteN 421 (Cociente incremental y derivada) Sea I subR seaf Irarr R y sea x isin Io La derivada de f respecto de x se obtiene calcu-



lando el liacutemite de los cocientes incrementales cuando hrarr 0

f prime(x) = limhrarr0f (x+h)minus f (x)

h

(siempre que el liacutemite exista) Equivalentemente haciendo el cambiode variable y = x+h

f prime(x) = limyrarrxf (y)minus f (x)

yminus x

x

y

Gr( f )

L tan

f (x0)dx

dy

L sec

x0

Figura 45 La recta tangente se obtiene como liacutemite de rectas secantes

Cuando el liacutemite existe y da un nuacutemero decimos que f es derivable enx Para que el liacutemite exista el numerador debe tender a cero luego escondicioacuten necesaria para que f sea derivable que

limyrarrx f (y) = f (x)

y entonces el liacutemite coincide con evaluar Enunciamos esto como teo-rema

TEOREMA 422 (Derivable implica continua) Si f es derivable en xentonces f es continua en x

La afirmacioacuten reciacuteproca no es cierta por ejemplo la funcioacuten moacutedulof (x) = |x| es continua en x = 0 pero no es derivable alliacute ya que

limhrarr0+f (0+h)minus f (0)

h= limhrarr0+

hminus0h

= 1



mientras que

limhrarr0minusf (0+h)minus f (0)

h= limhrarr0minus

minushminus0h

=minus1

Esto dice que los liacutemites laterales del cociente incremental de f en x =0 son distintos y entonces no existe el liacutemite del cociente incrementalPor eso f (x) = |x| no es derivable en x = 0

Como se aprecia en la Figura 45 el cociente incremental

dydx

=f (x)minus f (x0)

xminus x0

representa la pendiente de la recta secante que pasa por P = (x0 f (x0))y por Q=(x f (x)) Lo que queremos es ver queacute pendiente tiene la rectaen el liacutemite cuando xrarr x0 y ese nuacutemero (el liacutemite de los cocientesincrementales) es la derivada

OBSERVACIOacuteN 423 (Recta tangente) Cuando f es derivable en x0la derivada representa la pendiente de la recta tangente al graacutefico de fen ese punto La ecuacioacuten de la recta tangente es

y = f prime(x0)(xminus x0)+ f (x0)

La recta tangente es la recta que pasa por el punto (x0 f (x0)) que mejoraproxima al graacutefico de f cerca de ese punto

PROPOSICIOacuteN 424 (Derivadas de funciones conocidas) De la de-finicioacuten de derivada y propiedades algebraicas de cada funcioacuten es po-sible deducir las siguientes foacutermulas



Tabla de derivadas (d1)

Dom( f ) f (x) f prime(x)

n isin N0 R xn nxnminus1

k isin Zlt0 R0 xk kxkminus1

α isin R x gt 0 xα αxαminus1

x gt 0 ln(x) 1x

R ex ex

a 0 R ax ax ln(a)

R sen(x) cos(x)

R cos(x) minussen(x)

De la tabla (y algo de sentido comuacuten) notamos que el dominio dela derivada coincide con el de la funcioacuten ya que para poder derivartenemos que tener funcioacuten Por ejemplo la foacutermula 1x para la derivadadel logaritmo a priori tiene dominio todos los nuacutemeros no nulos pero aposteriori (sabiendo que la estamos pensando como la derivada de ln)tiene dominio soacutelo x gt 0

En algunos casos el dominio de la derivada es estrictamente maacuteschico que el de la funcioacuten original por ejemplo

1 f (x) = |x| Entonces Dom( f ) = R pero Dom( f prime) = R0

2 f (x) = x23 Entonces Dom( f ) = R pero Dom( f prime) = R 0puesto que

f prime(x) = 23xminus13 = 231

x13

x

y

x

y

x

y

y = |x| y = x23 y = x43



3 En general el dominio de f (x) = xpq es todo R si la fraccioacuten esno negativa y q es impar pero el dominio de la derivada no tieneal x = 0 cuando pq lt 1

OBSERVACIOacuteN 425 (Funciones derivables) De los ejemplos y ladefinicioacuten vemos que para calcular la derivada tiene sentido hacerlocuando el punto x0 es interior Entonces de aquiacute en maacutes nos concen-traremos en derivar funciones f en dominios abiertos Dado A sub Rabierto diremos que f es derivable en A si existe su derivada en todosy cada uno de los puntos x isin A

PROPIEDADES 426 (Reglas de derivacioacuten-una variable) Reglas pa-ra derivar productos sumas y composiciones Sea A sub R abierto seanf g derivables en Asub R Entonces

1 f +g es derivable en A y vale ( f +g)prime = f prime+gprime

2 f middotg es derivable en A y vale ( f g)prime = f primeg+ f gprime

3 Si λ isin R entonces (λ f )prime = λ f prime

4 Si g no se anula en A entonces fg es derivable en A y vale(fg

)prime=

f prime middotgminus f middotgprime

g2

5 Regla de la cadena si se puede hacer la composicioacuten g f en-tonces es derivable y

(g f )prime(x) = gprime( f (x)) middot f prime(x)

6 Derivada de la funcioacuten inversa si f Ararr B es biyectiva y conderivada no nula en A entonces fminus1 Brarr A es derivable y vale(

fminus1)prime(y) =

1f prime( fminus1(y))



para todo y isin B

Simplemente cambiando las letras si puede hacerse la otra com-posicioacuten (en el otro orden) f g y ambas son derivables entonces lacomposicioacuten es derivable y

( f g)prime(x) = f prime(g(x)) middotgprime(x)

Tambieacuten puede reescribirse la foacutermula de la derivada de la inversa no-tando que y = f (x) entonces(

fminus1)prime( f (x)) =

1f prime(x)

PROPIEDADES 427 (Derivadas) Combinando las propiedades men-cionadas con las derivadas de la Tabla (d1) obtenemos las derivadas deotras funciones que aparecen repetidamente en los ejemplos y aplica-ciones La tabla no indica los dominios ni de f ni de f prime eso queda acargo del lector


f (x) f prime(x)

tan(x) 1cos2(x)

eg(x) eg(x)gprime(x)

ln(g(x)) gprime(x)g(x)

arcsen(x) 1radic1minusx2

arccos(x) minus1radic1minusx2

arctan(x) 11+x2

cosh(x) senh(x)

senh(x) cosh(x)



Sobre el final estaacuten las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas

cosh(x) =ex+ eminusx

2 senh(x) =

exminus eminusx

2

Notar que a diferencia de las usuales no estaacuten acotadas y tampococambia el signo al derivar Tambieacuten cumplen una relacioacuten similar a lapitagoacuterica (pero con otro signo)

cosh2(x)minus senh2(x) = 1

Notemos que senh(0) = 0 como cosh2(x) = 1+senh2(x)ge 1 el cosenohiperboacutelico no se anula nunca

TEOREMA 428 (Teoremas del caacutelculo diferencial en una variable)Sea f [ab]rarr R continua Supongamos que f es derivable en (ab)Entonces

Teorema de Rolle Si f (a) = f (b) existe c isin (ab) tal que f prime(c) = 0

Teorema de Lagrange En general existe c isin (ab) tal que

f prime(c) =f (b)minus f (a)

bminusa

COROLARIO 429 (Crecimiento y decrecimiento) Sea f I rarr Rderivable con I un intervalo abierto entonces

1 Si f prime ge 0 en I f es creciente en I Esto es

xle y =rArr f (x)le f (y)

Una funcioacuten constante es creciente (admitimos derivada nula)

2 Si f prime gt 0 en I f es estrictamente creciente en I Esto es

x lt y =rArr f (x)lt f (y)

en este caso no se admiten funciones constantes



3 Si f prime le 0 en I f es decreciente en I Esto es

xle y =rArr f (x)ge f (y)

Una funcioacuten constante es decreciente (admitimos derivada nula)

4 Si f prime lt 0 en I f es estrictamente decreciente en I Esto es

x lt y =rArr f (x)gt f (y)


Las funciones con derivada no nula en un intervalo son inyectivasya que son estrictamente monoacutetonas (creciente o decreciente)

Las funciones crecientes preservan desigualdades las decrecienteslas invierten Las que no son ni crecientes ni decrecientes (como porejemplo f (x) = x2) se llevan mal con las desigualdes

DEFINICIOacuteN 4210 (Derivadas sucesivas) Si f Ararr R es derivableen A podemos hallar una foacutermula f prime(x) para todo xisin A Obtuvimos asiacuteuna nueva funcioacuten f prime Ararr R Nos podemos preguntar si es derivableen A Si lo es denotamos

f primeprime = ( f prime)prime es decir f primeprime(x) = ( f prime(x))prime

Asiacute sucesivamente la derivada n-eacutesima la denotamos f (n)(x) (usamosel pareacutentesis en el exponente para que no se confunda con la potenciausual que estaacute relacionada con el producto)

DEFINICIOacuteN 4211 (Funciones de clase Ck) Si f es derivable k ve-ces y ademaacutes su derivada k-eacutesima es continua decimos que f es declase CkSi queremos hacer expliacutecito el dominio denotamos Ck(A) al conjuntode todas las funciones que son de clase Ck en el conjunto Asub RnDecimos que f es de clase Cinfin si existen todas las derivadas sucesivasde todos los oacuterdenes



Todos los polinomios las funciones seno y coseno la funcioacuten expo-nencial son de clase Cinfin La funcioacuten f (x) = x73 es de clase C2 pero noes de clase C3 calculamos

f prime(x) =73

x43 f primeprime(x) =73middot 43

x13 f primeprimeprime(x) =73middot 43middot 13

xminus13

vemos que f primeprimeprime ni siquiera estaacute definida en x = 0

Una f es de clase C1 si existe f prime y ademaacutes f prime es una funcioacuten continuaSi f no es derivable no puede ser C1 pero hay funciones derivables queno son C1 Por ejemplo

EJEMPLO 4212 (Una funcioacuten derivable que no es C1) Sea f RrarrR

f (x) =

x2 sen(1x) x 0

0 x = 0

Calculamos su derivada fuera de x = 0 y obtenemos

x2 sen(1x)prime = 2xsen(1x)+ x2 cos(1x)minus1x2

= 2xsen(1x)minus cos(1x)

Calculamos su derivada en x = 0 usando la definicioacuten

f prime(0) = limxrarr0x2 sen(1x)minus0

xminus0= limxrarr0 xsen(1x) = 0

donde usamos la propiedad ldquo0 por acotada=0rdquo Entonces f es derivableen todo R con derivada

f prime(x) =

2xsen(1x)minus cos(1x) x 0

0 x = 0

Para ver que f ltC1(R) basta ver que la funcioacuten derivada no es continuaen alguacuten punto Afirmamos que no es continua en x = 0 Sabemos quef prime(0) = 0 por lo recieacuten calculado Por otro lado vemos que

limxrarr0 f prime(x)= limxrarr02xsen(1x)minuscos(1x)= 0minuslimxrarr0 cos(1x)= 0minus=



entonces como no existe el liacutemite de f prime cuando x tiende a 0 f prime no escontinua y asiacute f no es una funcioacuten de clase C1

Como el uacutenico problema estaacute en x = 0 podemos decir que f es C1

en todo R sin el 0 Esto es f isinC1(R0) pero f ltC1(R)

Funciones de varias variables

DEFINICIOacuteN 4213 (Derivadas parciales) La derivada parcial de part

partxrespecto de x de una funcioacuten f (xy) se obtiene pensando que x es va-riable mientras que y estaacute fijo (es constantes)Por ejemplo si f (xy) = x2ycos(y2+3x) tenemos

part fpartx

(xy) = 2xycos(y2+3x)minus x2ysen(y2+3x) middot3

La derivada parcial respecto de y se obtiene en cambio fijando la va-riable x y pensando a la funcioacuten como uacutenicamente de la variable yEntonces en el mismo ejemplo

part fpartx

(xy) = x2 cos(y2+3x)minus x2ysen(y2+3x) middot2y

DEFINICIOacuteN 4214 (Vector gradiente) Si existen ambas derivadasparciales en el punto P = (x0y0) el vector

nabla f (P) = (part fpartx

(P)part fparty

(P))

se denomina vector gradiente a f en el punto P El siacutembolo nabla es laletra griega nabla

Cuando la funcioacuten tiene 3 (o maacutes variables) la definicioacuten es la mismase fijan todas las demaacutes variables -se las piensa como constantes- y sederiva respecto de ella Asiacute por ejemplo

part

partz

(x3z2+ ln(z2+ y3)

)= 2x3z+

1(z2+ y3)

middot2z



En este caso como la funcioacuten tiene tres variables el vector gradientetendraacute 3 coordenadas

nabla f (x0y0z0) = (part fpartx

(x0y0z0)part fparty

(x0y0z0)part fpartz

(x0y0z0))

Si pensamos la derivada por definicioacuten vemos que

part fpartx

(x0y0) = limxrarrx0f (xy0)minus f (x0y0)

xminus x0

(fijamos y = y0 movemos x) mientras que

part fparty

(x0y0) = limyrarry0f (x0y)minus f (x0y0)

yminus y0

(fijamos x = x0 movemos y) Mismas consideraciones para funcionesde maacutes variables Entonces las derivadas parciales en el punto puedenexistir o no puede existir una si y la otra no etc

Una vez calculada una derivada parcial de f obtenemos una nuevafuncioacuten con la misma cantidad de variables En realidad si existenlas derivadas parciales tenemos una funcioacuten para cada variable lasdenotamos

part fpartx

part fparty

part fpartz

etc

Para abreviar podemos escribir

part fpartx

(P) = fx(P)part fparty

(P) = fy(P) etc

DEFINICIOacuteN 4215 (Funciones de clase C1) Sea A sub Rn abierto yf ArarrR Una funcioacuten es de clase C1 en A -denotado f isinC1(A) cuando

1 Existen todas las derivadas parciales en todos los puntos de A

2 Todas las funciones derivadas parciales part fpartxi son funciones conti-

nuas en A



Se extiende esta definicioacuten a las derivadas sucesivas decimos que f isinCk(A) si existen todas las derivadas parciales sucesivas de f hasta ordenk y son todas funciones continuas

TEOREMA 4216 (C1rArr continua) Sea f Ararr R con Asub Rn abier-to Si f isinC1(A) entonces f es continua en A

No probaremos este teorema pero hacemos una observacioacuten importan-te

Que existan las derivadas parciales no es suficiente para garantizarla continuida de una funcioacuten de 2 (o maacutes) variables Para poder asegu-rarlo es necesario que ademaacutes de existir sean funciones continuas

OBSERVACIOacuteN 4217 (Derivadas parciales y crecimiento) Las de-rivadas parciales de f indican cuaacutento crece la funcioacuten f en la direccioacutendel respectivo eje

DEFINICIOacuteN 4218 (Plano tangente) Si f Ararr R es de clase C1

(con A isin R2) el plano tangente a f en el punto P = (x0y0) isin A es elplano de ecuacioacuten

z =part fpartx

(x0y0)(xminus x0)+part fparty

(x0y0)(yminus y0)+ f (x0y0)

Este es el plano (Figura 46) que pasa por el punto (x0y0 f (x0y0)) delgraacutefico de f y tiene la propiedad de ser el que mejor aproxima a dichograacutefico (cerca del punto mencionado)

OBSERVACIOacuteN 4219 (Plano tangente como aproximacioacuten lineal)Sea

f (xy) = 1+ ex+yminus7x2minus9y2

Las derivadas parciales de f son

fx(xy) = ex+yminus7x2minus9y2(1minus 14x) fy(xy) = ex+yminus7x2minus9y2(1minus 18y)



P = (x0y0)

(P f (P))

A = Dom( f )

Gr( f )Π

Figura 46 Plano Π tangente al graacutefico de f en (P f (P))

Como f (00) = 1+ 1= 2 fx(00) = 1 fy(00) = 1 entonces el planotangente a f en P = (00) es

z = x+ y+2= π(xy)

Si pensamos π como funcioacuten su graacutefica es el plano y esta funcioacutenlineal aproxima a f cerca de P = (00) denotamos esto como

π(xy) f (xy) si (xy) (00)

La diferencia es lo que se conoce como error de la aproximacioacutenPodemos ver una representacioacuten graacutefica de f y su plano tangente enP = (00) en el applet de Geogebra (click)

Maacutes variables cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables no espe-ramos representarla graacuteficamente Pero las ideas de derivadas parcialesson ideacutenticas y lo mismo ocurre con la idea de aproximacioacuten linealEntonces por ejemlo si f R3 rarr R su graacutefico es el conjunto de R4

dado por

Gr( f ) = (xyz f (xyz)) (xyz) isin Dom( f ) sub R4



que se puede describir por la ecuacioacuten impliacutecita w = f (xyz) Vamosa definir su plano tangente en el punto (x0y0z0) isin Dom( f ) como elsubespacio de R4 dado por la ecuacioacuten impliacutecita

w = fx(x0y0z0)(xminus x0)+ fy(x0y0z0)(yminus y0)+ fz(x0y0z0)(zminus z0)+ f (x0y0z0)

o abreviadamente w = Π(xyz) El nombre plano en realidad es for-malmente incorrecto ya que la dimensioacuten de este subespacio es 3 yno 2 Pero la idea de aproximacioacuten numeacuterica sigue siendo vaacutelida para(xyz) cercano a (x0y0z0) se tiene

f (xyz)Π(xyz)

Volvamos ahora a las derivadas y su interpretacioacuten Nuevamente tra-bajamos con funciones de dos variables pero estas ideas se puedenextender a 3 o maacutes de ellas

Si queremos encontrar cuaacutento crece f en alguna otra direccioacuten que nosea de un eje tomamos V = (v1v2) de norma unitaria (porque quere-mos normalizar ya que los vectores canoacutenicos miden 1) y definimos

DEFINICIOacuteN 4220 (Derivadas direccionales) Sea A sub R2 abiertosea f Ararr R Decimos (si existe) que el liacutemite

part fpartV

(x0y0) = limtrarr0f (x0+ tv1y0+ tv2)minus f (x0y0)

t

es la derivada direccional de f en X0 = (x0y0) en la direccioacuten de V =

(v1v2) -con V= 1- Podemos escribirlo sin coordenadas como

part fpartV

(X0) = limtrarr0f (X0+ tV )minus f (X0)

t= limXtrarrX0

f (Xt)minus f (X0)

XtminusX0

donde Xt = X0+ tV

OBSERVACIOacuteN 4221 (Interpretacioacuten geomeacutetrica como pendiente)La variacioacuten de f en el cociente de la derivada direccional es el nume-rador La variacioacuten en el dominio es

dist(X0X0+ tV ) = X0+ tV minusX0= |t|V= |t|



Π

recta por PQ

(X0 f (X0)) = P

Gr( f ) Gr( f )capΠ

(X f (X)) = Q

X0

X = X0+ tV

dist = t

Figura 47 Corte de Gr( f ) con un plano vertical Π sobre la recta L X0+ tV

porque V= 1 Entonces el cociente incremental de la derivada direc-cional representa la variacioacuten de las alturas (imaacutegenes de f ) divididopor la variacioacuten en el dominio (el paraacutemetro t)

Si cortamos Gr( f ) con un plano vertical Π sobre la recta L X0+ tV(Figura 47) y miramos la figura de perfil vemos el dibujo para unafuncioacuten de una variable (Figura 45) la recta que une P con Q en eldibujo de arriba es la recta secante a la interseccioacuten de Gr( f ) con Π

Su pendiente indica una aproximacioacuten a la inclinacioacuten de Gr( f ) en esadireccioacuten y al tomar liacutemite obtenemos el nuacutemero exacto de la inclina-cioacuten que es la derivada direccional part f

partV (X0) Para cada direccioacuten estenuacutemero puede ser distinto (es como pararse en una montantildea y miraren todas las direcciones dependiendo de hacia donde miramos se subemaacutes o menos se baja se permanece horizontal etc)

En particular si tomamos V = E1 = (10) tiene norma 1 y se tiene

part fpartV

(x0y0) = limtrarr01h

f (x0+hy0)minus f (x0y0) =part fpartx

(x0y0)



la derivada parcial respecto de x es un caso particular de derivada di-reccional Similarmente la derivada parcial respecto de y es otro casoparticular de derivada direccional (ahora tomando V = E2 = (01))

Como ya mencionamos no alcanza que existan las derivadas par-ciales para que una funcioacuten de dos variables sea continua y de hechotampoco alcanza con que existan todas las derivadas direccionalesUn ejemplo de una funcioacuten que no es continua pero para la cual existentodas las derivadas direccionales en el origen estaacute dado por

f (xy) =

x3y

x6+ y2si (xy) (00)

0 si (xy) = (00)

Esta funcioacuten tambieacuten tiene su graacutefico de Geogebra en este link

Veamos que ahora que para una funcioacuten ldquobuenardquo (de clase C1) po-demos calcular todas sus derivadas direccionales de manera bastantesimple (sin calcular liacutemites)

TEOREMA 4222 (Gradiente y derivadas direccionales) Sea Asub Rn

abierto y sea f isinC1(A) Entonces para todo V isinRn con V= 1 y todoP isin A se tiene

part fpartV

(P) = 〈nabla f (P)V 〉= nabla f (P) middotV

El teorema anterior dice que podemos evitar calcular los liacutemites paralas demas direcciones siempre que f sea de clase C1 En particularnotemos que si f tiene dos variables y escribimos V =(V1V2) entonces

part fpartV

(x0y0) = v1 fx(P)+ v2 fy(P)

Todas las derivadas direccionales (en el punto P) son combinacioacutenlineal de las dos derivadas parciales (en el punto P) Si esto no es ciertopara alguacuten punto o para alguacuten V entonces podremos afirmar que f noes de clase C1



TEOREMA 4223 (Direccioacuten de maacuteximo crecimiento) Si f Ararr Res de clase C1 la direccioacuten de maacuteximo crecimiento en el punto P isin Aes la direccioacuten del gradiente en ese punto Ademaacutes para todo V isin Rnse tiene

minusnabla f (P) le part fpartV

(P)le nabla f (P)

Luego cuaacutento crece f (en todas las direcciones posibles mirando des-de P) es a lo sumo la magnitud dada por la longitud del gradiente def en P

El valor maacuteximo de las derivadas parciales en un punto P dado esexactamente nabla f (P) Todas las demaacutes derivadas direccionales sonmenores o iguales a este nuacutemero

Cuando decimos que la direccioacuten de maacuteximo crecimiento es la delgradiente queremos decir que (suponiendo que nabla f (P) 0) hay quetomar como direccioacuten

V =1

nabla f (P)nabla f (P)

Si nabla f (P) = 0 todas las derivadas direccionales son nulas entonces encualquier direccioacuten se crece a la misma velocidad

43 Diferencial y regla de la cadenabull Corresponde a clases en video 48 49

Comenzamos listando algunas propiedaes del gradiente que son faacutecilesde deducir del caso de una variable

PROPIEDADES 431 (Reglas de derivacioacuten-varias variables) Reglaspara derivar productos sumas y composiciones Sea A sub Rn abiertosean f g Ararr R de clase C1 Sea P isin A entonces

1 f +g isinC1(A) y vale nabla( f +g)(P) = nabla f (P)+nablag(P)

2 f middotg isinC1(A) y vale nabla( f g)(P) = g(p)nabla f (P)+ f (p)nablag(P)



3 Si λ isin R entonces nabla(λ f )(P) = λnabla f (P)

4 Si g no se anula en A entonces fg isinC1(A) y vale

nabla( fg)(P) =g(P)nabla f (P)minus f (P)nablag(P)

g(P)2

Para la composicioacuten de funciones (y la regla de la cadena) es ne-cesario considerar funciones a valores en Rk para poder luego aplicarotra funcioacuten con dominio en Rk Para eso discutimos a continuacioacuten lasnociones de campo vectorial y su diferencial

Dada F R2rarrR2 podemos escribir F(xy) = ( f1(xy) f2(xy)) dondefi R2rarr R son funciones escalares Decimos que F es un campo vec-torial o maacutes brevemente que F es un campo Otras notaciones comunesson

F(uv) = (x(uv)y(uv))

donde ahora x R2rarr R es una funcioacuten escalar y lo mismo ocurre cony R2rarr RSi ahora F R3rarr R3 podemos escribir

F(xyz) = ( f1(xyz) f2(xyz) f3(xyz))

con las fi funciones escalares es decir fi R3rarr R

La definicioacuten de campo se generaliza a F Rnrarr Rk aunque el nom-bre campo se suele reservar para nk ge 2Cuando k = 1 tenemos una funcioacuten escalar f Rnrarr RCuando n = 1 k ge 2 tenemos una curva α Rrarr Rk

DEFINICIOacuteN 432 (Continuidad Ck) Decimos que el campo F escontinuo si todas las funciones fi son continuas Decimos que el campoes de clase Ck si todas las funciones fi son de clase Ck

DEFINICIOacuteN 433 (Matriz Diferencial) Si F = ( f1 f2) es un campocon dominio Asub R2 y tanto f1 como f2 tiene derivadas parciales en A



definimos

DF(P) =

(minus nabla f1(P) minusminus nabla f2(P) minus

)=

(part f1partx (P)

part f1party (P)

part f2partx (P)

part f2party (P)

)

que es una matriz 2times2 para cada P isin ACon la notacioacuten F(uv) = (x(uv)y(uv)) se escribe (omitiendo elpunto de evaluacioacuten (uv)) como

DF =

(partxpartu

partxpartv

partypartu

partypartv

)

Cuando F R3rarr R3 obtenemos una matriz 3times3Cuando F RrarrR obtenemos un nuacutemero (matriz de 1times 1) la derivadausual

iquestQueacute pasa si la cantidad de variables de salida es distinta de la dellegada Obtenemos una matriz que no es cuadrada Por ejemplo

1 Si f R3rarr R hay una sola funcioacuten luego hay una sola fila yentonces

D f (P) = nabla f (P) = (part fpartx

(P)part fparty

(P)partxpartz(P))

Lo mismo ocurre para funciones de dos variables el gradiente yla diferencial coinciden

2 Si α Rrarr Rk (es una curva) diferenciando obtenemos su vectortangente Por ejemplo si α(t) = (x(t)y(t)) se tiene

Dα(t) = αprime(t) = (xprime(t)yprime(t))

En rigor habriacutea que presentar este vector como matriz columnaya que hay dos funciones y una sola variable

3 Si F R2rarr R3 entonces F(uv) = (x(uv)y(uv)z(uv)) luegoal poner cada funcioacuten como fila tenemos tres filas Y como hay



dos variables tenemos dos columnas

DF =

partxpartu partxpartvpartypartu partypartvpartzpartu partzpartv

isin R3times2

4 En general entonces si F RnrarrRk tiene todas sus derivadas par-ciales su diferencial en cada punto del dominio P isin Rn seraacute unamatriz de k filas (variables de llegada) y n columnas (variables desalida)

5 La matriz de la diferencial de F en P se suele denominar matrizJacobiana de F o simplemente Jacobiano de F

TEOREMA 434 (Regla de la cadena) Sean FG campos de clase Ck

tales que se pueda hacer la composicioacuten F G Entonces F G es declase Ck y ademaacutes para cada P en su dominio vale

D(F G)(P) = DF(G(P)) middotDG(P)

donde el producto es el de matrices

OBSERVACIOacuteN 435 (Composicioacuten y producto de matrices) Vea-mos algunos ejemplos para terminar este resumen Como antes en rojolas variables de salida y en azul las de llegada

1 Si G R3 rarr R2 mientras que F R2 rarr R4 entonces podemoshacer la composicioacuten F G R3rarr R4 Mediante la regla de lacadena vemos que

D(F G)(P)︸︷︷︸4times3

= DF(G(P))︸︷︷︸4times2

middotDG(P)︸︷︷︸2times3

puesto que DF(Q) isin R4times2 mientras que DG(P) isin R2times3



2 Ahora consideramos f R2rarr R con G R2rarr R2 Entonces po-demos hacer la composicioacuten f G R2rarr R y asiacute

nabla( f G)(xy) = D( f G)(xy)︸︷︷︸1times2

= nabla f (G(xy))︸︷︷︸1times2

middotDG(xy)︸︷︷︸2times2

3 En cambio si α Rrarr R2 es una curva y f R2rarr R es una fun-cioacuten escalar entonces g = f α Rrarr R y asiacute

gprime(t) = D( f α)(t)︸︷︷︸1times1

= nabla f (α(t))︸︷︷︸1times2

middotαprime(t)︸︷︷︸2times1

= 〈nabla f (α(t))αprime(t)〉

4 Si escribimos α(t) = (x(t)y(t)) podemos escribir f (uv) - cam-biamos el nombre de las variables de f para que no se confundancon las de α - Entonces la uacuteltima ecuacioacuten se reescribe asiacute

( f α)prime = 〈(part fpartu

part fpartv

)(xprimeyprime)〉

luego

( f α)prime =part fpartumiddot xprime+ part f

partvmiddot yprime

En esta expresioacuten hay que sobreentender que xprimeyprime estaacuten evalua-dos en t mientras que las derivadas parciales de f estaacuten evaluadasen (x(t)y(t))

5 Es comuacuten en la literatura ver abusos de notacioacuten donde esta uacutelti-ma ecuacioacuten se escribe asiacute

( f α)prime =part fpartxmiddot xprime+ part f

partymiddot yprime

Esto no es un problema si uno entiende del contexto que primerohay que derivar f respecto de sus variables y luego componer conlas que dependen del paraacutemetro t

EJEMPLO 436 (del uso de la regla de la cadena) Sin multiplicarmatrices y teniendo en cuenta los ejemplos recieacuten vistos si tenemos



una expresioacuten del tipo

g(xy) = f (x2+3y2x3minus y2)

se trata de la composicioacuten de un campo G R2rarr R2 (dentro de f ) conla funcioacuten f R2rarr RPodemos calcular las derivadas parciales de g respecto de x e y sinnecesidad de calcular la matriz diferencial de G de la siguiente manera

partgpartx

=part fpartu

(x2+3y2x3minus y2) middot part

partx(x2+3y)+

part fpartv


partx(2x3minus y2)

=part fpartu

(x2+3y2x3minus y2) middot2x+part fpartv

(x2+3y2x3minus y2) middot6x2

De manera similar calculamos la otra derivada parcial

partgparty

=part fpartu


party(x2+3y)+

part fpartv


party(2x3minus y2)

=part fpartu

(x2+3y2x3minus y2) middot3+ part fpartv

(x2+3y2x3minus y2) middot (minus2y)

Es usual tambieacuten ver esta cuenta descripta de la siguiente manera sinlas variables auxiliares uv (y requiere interpretarla como lo hicimosrecieacuten) las derivadas parciales de f (x2+3y2x3minus y2) son

part fpartx

(x2+3y2x3minus y2) middot2x+part fparty


part fpartx

(x2+3y2x3minus y2) middot3+ part fparty



Capiacutetulo 5

Taylor integracioacuten yecuaciones diferenciales51 Polinomio de Taylorbull Corresponde a clases en videos 51a 51b 52a 52b

Para una funcioacuten derivable f Rrarr R la derivada primera en un puntonos permitiacutea saber queacute pendiente tiene la graacutefica de f (en ese punto)

Podiacuteamos tambieacuten aproximar el valor de f (x) -para x cercano a x0- conel valor de la recta tangente Para ello recordemos que la ecuacioacuten dela recta tangente en x0 es

Ltg y = f (x0)+ f prime(x0)(xminus x0)

que tambieacuten podemos escribir como `tg(x) = f (x0)+ f prime(x0)(xminus x0)

Esto nos permite escribir

f (x) f prime(x0)(xminus x0)+ f (x0) (511)

donde el siacutembolo se lee ldquoaproximadamente igualrdquo Esta aproxima-cioacuten es una igualdad exacta cuando x = x0

Pero tambieacuten es exacta si f inicialmente era una funcioacuten lineal Ya quesi f es una recta su derivada es constante y entonces su recta tangente(en cualquier punto) es exactamente igual a la graacutefica de f

137


Cuando f no es lineal iquestcuaacutel es la diferencia entre la recta tangente yla graacutefica de f En otros teacuterminos iquestcuaacutel es el error cometido cuandousamos la aproximacioacuten (511) Este error depende de cuaacutento nos ale-jemos de x0 Mientras maacutes cercanos estemos a x0 maacutes pequentildeo seraacute elerror vamos a llamarlo R(x) Es claro que

R(x) = f (x)minus `tg(x) = f (x)minus f (x0)minus f prime(x0)(xminus x0)

Cabe aclarar que esta la foacutermula del error (tambieacuten llamada resto deorden 1) depende de f

Tambieacuten por supuesto depende del punto x0 Ya que si cambiamos elpunto cambia el valor de f y el de f prime en x0 Uno podriacutea escribir algocomo R( f x0)(x) para indicar esto pero en general no seraacute necesarioya que una vez elegida la funcioacuten fijaremos el punto y estaremos tra-bajando con el resto para esa f y ese punto concreto

Dados xx0 en un intervalo decimos que c estaacute entre xx0 cuando ces alguno de los puntos intermedios entre x y x0Notemos que si x lt x0 entonces c isin (xx0) mientras que si x gt x0tendremos c isin (x0x) Podemos abreviar esto escribiendo c isin xx0 quepodemos leerlo como que c estaacute en el segmento entre x y x0

TEOREMA 511 (Foacutermula del resto de orden 1) Sea f de clase C2 enun intervalo I Entonces existe cisin xx0 tal que R(x) = 12 f primeprime(c)(xminusx0)2Luego fijados xx0 isin I podemos escribir

f (x) = f (x0)+ f prime(x0)(xminus x0)+ 12 f primeprime(c)(xminus x0)2

En otros teacuterminos

f (x) = `tg(x)+R(x) = `tg(x)+ 12 f primeprime(c)(xminus x0)2

EJEMPLO 512 (Ejemplos del error de orden 1) Veamos coacutemo es elresto (o error) de orden 1 para algunos casos sencillos

Sea f (x) = sen(x) sea x0 = 0 Como f prime(x) = cos(x) tenemos f (0) =0 mientras que f prime(0) = 1 Luego la recta tangente al seno por el origen



esy = x

Como f primeprime(x) =minussen(x) el teorema nos dice que para cada xisinR existec entre 0 y x tal que

sen(x) = xminus 12 middot sen(c)x2

El resto o error estaacute acotado por una paraacutebola como muestra esta cuen-ta

|R(x)|= | f (x)minus `tg(x)|=12| middot sen(c)| middot x2 le 1

2x2

Entonces por ejemplo si |x| le 13 entonces x2 le 19 y entonces elerror seraacute menor o igual a 118 Con esto podemos afirmar que para|x| le 13

sen(x) x

con un error de a lo sumo 118 = 0055 lt 01 Por supuesto para xmaacutes pequentildeo el error seraacute menor

La utilidad de esta aproximacioacuten es que mientras mantengamos x enel rango mencionado (entre minus033 y 033) entonces podemos afirmarque sen(x) = x con una precisioacuten de un decimal

Sea f (x) = ex sea x0 = 0 Calculamos f prime(x) = f primeprime(x) = ex entoncesf (0) = f prime(0) = 1 y asiacute la recta tangente a la funcioacuten exponencial por elorigen es

y = 1+ x

El teorema nos dice que para cada x isin R existe c entre 0 y x tal que

ex = 1+ x+ 12 middot ec middot x2

Supongamos que |x| le 14 recordemos que c estaacute entre 0 y x Si x lt 0podemos afirmar que ec lt e0 = 1 pero queacute pasa si x gt 0 Observamosque como la exponencial es una funcioacuten creciente el valor de ec es alos sumo e025 lt e1 = e lt 3 -esta cota es muy burda pero seraacute suficiente



para este ejemplo- Entonces el resto o error se acota de la siguientemanera

|R(x)|= 12 middot ec middot x2 le 12 middot3 middot x2 le 12 middot3 middot 116 0094lt 01

ya que |x| le 14 implica que x2 le 142 = 116 Con esto podemos afir-mar que si |x|lt 14 entonces

ex 1+ x

con una precisioacuten de un decimal

Lo que queremos hacer ahora es conseguir una aproximacioacuten mejor def aproximacioacuten cuadraacutetica (tambieacuten llamada de segundo orden) Si fes una funcioacuten cuadraacutetica queremos que sea exacta esta aproximacioacutenY cuando f no sea una funcioacuten cuadraacutetica queremos poder estimar eincluso dar una foacutermula para el resto (o error)

Fijada f de clase C2 y un punto x0 en su dominio buscamos entoncesuna funcioacuten cuadraacutetica P que coincida a orden 2 con f en el punto x0iquestQueacute quiere decir esto Que pedimos

f (x0) = P(x0) f prime(x0) = Pprime(x0) f primeprime(x0) = Pprimeprime(x0)

No es difiacutecil ver que el uacutenico polinomio cuadraacutetico que cumple esto es

P(x) = f (x0)+ f prime(x0)(xminus x0)+ 12 f primeprime(x0)(xminus x0)2

el polinomio de Taylor de orden 2 de f en x0

El factor 12 que antecede a la derivada segunda estaacute puesto para queal derivar ese teacutermino el 2 que baja del cuadrado se cancele y recupe-remos f primeprime(x0)Ahora queremos controlar el error llamado resto de orden 2 que essimplemente la diferencia entre la funcioacuten y el polinomio

R(x)= f (x)minusP(x)= f (x)minus f (x0)minus f prime(x0)(xminusx0)minus 12 f primeprime(x0)(xminusx0)2

Para hacerlo vamos a pedir que f tenga una derivada maacutes



TEOREMA 513 (Polinomio de orden 2 con resto de Taylor) Sea fde clase C3 sea x0 en el dominio de f Entonces para cada x existe centre x p tal que

f (x) = f (x0)+ f prime(x0)(xminus x0)+ 12 f primeprime(x0)(xminus x0)2+ 16 f primeprimeprime(c)(xminus x0)3

El resto de Taylor de orden 2 es la diferencia entre f y su polinomio deorden 2 luego

R(x) = 16 f primeprimeprime(c)(xminus x0)3

Una vez maacutes R depende de f y de x0 y ademaacutes hay que aclarar que setrata del resto de orden 2 ya que no es lo mismo este resto que el restode orden 1 Vemos que en este caso el resto es pequentildeo porque si x estaacute cerca dex0 entonces |xminus x0|lt 1 y entonces |xminus x0|3 es auacuten maacutes pequentildeo Esteresto es menor que el de orden 1 y por eso el polinomio de orden 2 esuna mejor aproximacioacuten que la recta tangente Tambieacuten vemos que si f es una funcioacuten cuadraacutetica f primeprimeprime equiv 0 y en-tonces f = P el polinomio de Taylor de f (en cualquier punto) esexactamente igual a f

Veamos ahora los ejemplos de las funciones seno y exponencial enx0 = 0 pero busquemos su polinomio de Taylor de orden 2 y su resto

Sea f (x) = sen(x) sea x0 = 0 Calculamos las derivadas tenemosf prime(x) = cos(x) f primeprime(x) = minussen(x) f primeprimeprime(x) = minuscos(x) Entonces comocos(0) = 1 mientras que sen(0) = 0 el teorema nos dice que para cadax existe c entre 0 y x tal que

sen(x) = xminus 16 middot cos(c)x3

Vemos que el polinomio de orden 2 es P(x) = x ya que la derivadasegunda es nula asiacute que coincide con la recta tangente en x0 = 0Sin embargo ahora la foacutermula del resto es la de orden 2 y esto es mu-cho mejor porque aparece x3 Supongamos nuevamente (como cuandoestudiamos la aproximacioacuten de orden 1) que |x| le 13 Entonces

|R(x)|= 16middot |cos(c)| middot |x|3 le 1

6middot |x|3 le 1

6middot 133 00061lt 001



1

y = sen(x)

x

y

1 π2

minusπ2

minus1

y = P(x) = x

puesto que |cos(c)| le 1 y |x| le 13 Pero entonces en realidad la apro-ximacioacuten

sen(x) x

tiene una precisioacuten de dos decimales siempre que |x| le 13

Invitamos al lector a calcular el polinomio de Taylor de orden 2 dela funcioacuten seno pero ahora en x0 = minusπ2 y ver que alliacute es una paraacutebolaLuego calcular el polinomio en x0 = π2 y ver que alliacute es una paraacutebolainvertida

Sea f (x) = cos(x) sea x0 = 0 Calculamos las derivadas tenemosf prime(x) = minussen(x) f primeprime(x) = minuscos(x) f primeprimeprime(x) = sen(x) Entonces comocos(0) = 1 mientras que sen(0) = 0 el teorema nos dice que para cadax existe c entre 0 y x tal que

cos(x) = 1minus 12 middot x2+ 16 middot sen(c)x3

Vemos que el polinomio de orden 2 en el origen del coseno es

P(x) = 1minus 12 middot x2

una paraacutebola invertida con veacutertice en el punto de paso (01)Supongamos (como hicimos para el seno) que |x| le 13 Entonces

|R(x)|= 16middot |sen(c)| middot |x|3 le 1

6middot |x|3 le 1

6middot 133 00061lt 001



1

y = cos(x)

x

y

minusπ2

y = 1minus 12 middot x2

puesto que |sen(c)| le 1 y |x| le 13 Luego la aproximacioacuten

cos(x) 1minus 12 middot x2


Sea f (x) = ex tomemos x0 = 0 Como todas las derivadas son extenemos por el teorema de Taylor de orden 2 que

ex = 1+ x+ 12 middot x2+ 16 middot ec middot x3

para alguacuten c entre 0x En este caso el polinomio de orden 2 de laexponencial en el origen es

P(x) = 1+ x+ 12 middot x2

Se trata de una paraacutebola hacia arriba con veacutertice en (minus112)Supogamos nuevamente que |x| le 14 nuevamente como c estaacute entre0 y x tenemos ec lt 3 y asiacute

|R(x)|= 16 middot ec middot |x|3 le 36 middot 143 00078lt 001

ya que |x| le 14 implica |x| le 143 Esta acotacioacuten del error nos per-mite afirmar que si |x| le 14 entonces

ex 1+ x+ 12 middot x2



1

y = ex

x

y

y = 1+ x+ 12 middot x2

con una precisioacuten de dos decimales

Polinomio de Taylor de orden 2 (en dos variables)

La idea es exactamente la misma en dos variables que en unaSi f R3rarr R es de clase C3 buscamos un polinomio cuadraacutetico quesea el que mejor aproxima a f cerca de un punto dado X0 = (x0y0)

Para hallar este polinomio de grado 2 en 2 variables pedimos que coin-cida con f en P y que coincidan todas las derivadas parciales hastaorden 2 tambieacuten es decir que P(xy) cumpla las seis condiciones

P(x0y0) = f (x0y0) partPpartx (x0y0) =

part fpartx(x0y0)

partPparty(x0y0) =

part fparty(x0y0)

part2Ppartx2 (x0y0) =

part2 fpartx2 (x0y0)

part2Pparty2 (x0y0) =

part2 fparty2 (x0y0)

part2Ppartxparty(x0y0) =

part2 fpartxparty(x0y0)

Cuando f es un polinomio cuadraacutetico seraacute exactamente igual a supolinomio de Taylor de orden 2 y cuando no lo sea tendremos un errorllamado resto de Taylor

R(xy) = f (xy)minusP(xy)

que ahora es una funcioacuten de dos variables (y nuevamente depende de fy del punto P)



Para lidiar con las derivadas parciales de f de manera ordenada seraacuteuacutetil introducir la matriz Hessiana de f (tambieacuten llamada matriz de ladiferencial segunda de f )

DEFINICIOacuteN 514 (Matriz Hessiana) Sea A sub R2 abierto sea X0 =

(x0y0) y sea f isinC2(A) El Hessiano de f en el punto X0 es la matrizde las derivadas segundas ordenadas de la siguiente manera

H f (x0y0) =


part2 fpartypartx(x0y0)



La matriz es faacutecil de recordar especialmente por el siguiente teorema

TEOREMA 515 (Derivadas cruzadas) Si f es de clase C2 entonces

part2 fpartx party

(x0y0) =part2 f

party partx(x0y0)

Notemos que las seis condiciones que cumple el polinomio P de orden2 de la funcioacuten f se pueden resumir ahora como

f (X0) = P(X0) nabla f (X0) = nablaP(X0) H f (X0) = HP(X0)

TEOREMA 516 (Foacutermula de Taylor con resto de orden 2) Sea AsubR2 abierto sea f isinC3(A) sea (x0y0) isin A

Dado (xy) isin BR(P)sub A entonces

f (xy) = f (x0y0)+part fpartx

(x0y0) middot (xminus x0)+part fparty

(x0y0) middot (yminus y0)

+ 12 middot part2 f

partx2(x0y0) middot (xminus x0)2+ 12 middot part

2 fparty2

(x0y0) middot (yminus y0)2

+part2 fpartypartx

(x0y0) middot (xminus x0) middot (yminus y0)+R(xy)

donde R es el resto y existe un punto C =(c1c2)isinA maacutes precisamente



C isin PX tal que

R(xy) = 16 middot part3 f


3 fparty3


+ 12 middot part3 fpartx2party

(x0y0) middot (xminus x0)2 middot (yminus y0)

+ 12 middot part3 fparty2partx

(x0y0) middot (xminus x0) middot (yminus y0)2

La diferencia en los coeficientes de las derivadas segundas y tercerasobedece a que como f es de clase C3 entonces hay varias derivadassucesivas que son ideacutenticas

fxy = fyx fxxy = fxyx = fyxx fyyx = fyxy = fxyy (512)

Todas las derivas de orden 2 van divididas por 2 y todas las derivadasdel resto de orden tres van divididas por 3 = 6 pero como agrupamoslas ideacutenticas quedan esos coeficientes

OBSERVACIOacuteN 517 (Notacioacuten vectorialmatricial) Si denotamosal punto donde hacemos el desarrollo como X0 = (x0y0) y similar-mente denotamos X = (xy) podemos escribir la foacutemula de Taylor demanera compacta como

f (X) = f (X0)+ 〈nabla f (X0)XminusX0〉+ 12〈H f (X0)(XminusX0)XminusX0〉+R(X)

que es muy similar a la foacutermula de orden 2 para funciones de unavariable

EJEMPLO 518 (Polinomio de orden 2 en dos variables) En el resu-men de la Unidad 4 habiacuteamos considerado


cuyas derivadas parciales son




Con esto obtuvimos que el plano tangente a f en P = (00) era

z = x+ y+2= π(xy)

luego π(xy) f (xy) para (xy) cerca del origen Tenemos una repre-sentacioacuten graacutefica de esto en el applet de Geogebra (click) Calculemosahora el polinomio de orden 2 en el origen con su resto de Taylor Paraeso necesitamos las derivadas sucesivas de f que son

fxx(xy) = ex+yminus7x2minus9y2(196x2minus28xminus 13)

fyy(xy) = ex+yminus7x2minus9y2(324y2minus36yminus 17)

fxy(xy) = fyx(xy) = ex+yminus7x2minus9y2(1minus 14x)(1minus 18y)

fxxx(xy) = ex+yminus7x2minus9y2(minus2744x3+588x2+546xminus41)

fxxy(xy) = ex+yminus7x2minus9y2(1minus 18y)(196x2minus28xminus 13)

fyyy(xy) = ex+yminus7x2minus9y2(minus5832y3+872y2+918yminus53)

fyyx(xy) = ex+yminus7x2minus9y2(1minus 14x)(324y2minus36yminus 17)

Las derivadas que faltan son iguales a algunas de estas por las rela-ciones (512) dadas porque f es de clase C3 en todo R2 Escribamosprimero la expresioacuten del resto para eso fijado X = (xy) sabemos queexiste C = (c1c2) en el segmento que une X0 = O con X tal que

R(xy) = 16 middot fxxx(c1c2) middot x3+ 16 middot fyyy(c1c2) middot y3

+ 12 middot fxxy(c1c2) middot x2 y+ 12 middot fyyx(c1c2) middot xy2

= 16 middot ec1+c2minus7c21minus9c22(minus2744c31 +588c21 +546c1minus41) middot x3

+ 16 middot ec1+c2minus7c21minus9c22(minus5832c32+872c22+918c2minus53) middot y3

+ 12 middot ec1+c2minus7c21minus9c22(1minus 18c2)(196c21 minus28c1minus 13) middot x2 y

+ 12 middot ec1+c2minus7c21minus9c22(1minus 14c1)(324c22minus36c2minus 17) middot xy2

No vamos a acotar este resto en dos variables pero es posible hacerlo



sabiendo queacute tan lejos vamos del origen con X =(xy) (ya que entonces|c1| le |x| y tambieacuten |c2| le |y| Sabemos que si X estaacute cerca del origenO entonces f (xy) P(xy) con el error controlado por este resto

Pero iquestquieacuten es este polinomio cuadraacutetico P en este caso

Podemos escribirlo con las derivadas que ya calculamos evaluadas en(x0y0)= (00) como indica el teorema de arriba Tenemos f (00)= 2fx(00) = 1 fy(00) = 1 fxx(00) =minus13 fyy(00) =minus17 y por uacuteltimofxy(00) = fyx(00) = 1 Entonces

P(xy) = f (00)+ fx(00) middot x+ fy(00) middot y+ fxy(00) middot xy+ 12 middot fxx(00) middot x2+ 12 middot fyy(00) middot y2

luegoP(xy) = 2+ x+ y+ xyminus 132 middot x2minus 172 middot y2

Podemos ver que el teacutermino lineal afiacuten del polinomio es 2+ x+ y queera exactamente el plano tangente a f en el origen Tambieacuten puede ellector verificar que el graacutefico de P se trata de un paraboloide invertidoPor supuesto la aproximacioacuten del polinomio de grado 2 es mucho me-jor que la del plano y podemos ver esto representado graacuteficamente enel applet de Geogebra (click)

52 Integracioacutenbull Corresponde a clases en videos 53a 53b 54

Recordemos algunas definiciones y propiedades

DEFINICIOacuteN 521 (Integrales) Sea f I rarr R continua con I sub Run intervalo

Una primitiva (o antiderivada) F de la funcioacuten f es una funcioacutenderivable en I tal que F prime(x) = f (x) para todo x isin I

La funcioacuten nula f equiv 0 tiene como primitiva a cualquier funcioacuten cons-tante y esas son las uacutenicas primitivas de la funcioacuten nula



Si FG son dos primitivas de f entonces existe una constante c isin Rtal que G(x) = F(x)+ c para todo x isin I

La integral indefinidaint

f es la coleccioacuten de todas las primitivas def en I Entonces si F es alguna primitiva tenemos queint

f = F + c c isin R

Para toda F derivable se tieneint

F prime = F + c

La integral definida de f se calcula usando una primitiva cualquieramediante la Regla de Barrowint b

af = F(x)

∣∣ba = F(b)minusF(a)

y esta cuenta no depende de cuaacutel primitiva usemos

En particular si F es derivable entoncesint b

aF prime = F(b)minusF(a)

La funcioacuten integral de f [ab]rarr R es la dada por I(x) =int x

af de-

finida para x isin [ab] Notemos que Eso nos permite escribir la foacutermula

Iprime(x) =(int x

af)prime

= f (x)

Si F es una primitiva de f entonces la funcioacuten integral no es otracosa que I(x) = F(x)minusF(a) Luego la funcioacuten integral de f es unaprimitiva especiacutefica de f es la uacutenica primitiva de f que se anula enx = a

Cuando es necesario podemos aclarar la variable de integracioacuten es-cribiendoint

f =int

f (x)dxint b

af =

int b

af (x)dx = F(x)

∣∣x=bx=a



La regla de integracioacuten por partes nos permite calcular tanto inte-grales indefinidas int

f primeg = f gminusint

f gprime

como definidasint b

af prime(x)g(x)dx = f (x)g(x)

∣∣baminus

int b

af (x)gprime(x)dx

Esta regla es una consecuencia inmediata de la regla de derivacioacuten delproducto

Si F es una primitiva de f el meacutetodo de sustitucioacuten nos permiteescribir la igualdadint

f (g(x))gprime(x)dx =int

f (u)du = F(u)+ c = F(g(x))+ c

mediante la sustitucioacuten u = g(x)

Para integrales definidas obtenemos entoncesint b

a( f g) middotgprime = F(g(b))minusF(g(a))

siempre que F prime(x) = f (x) en el intervalo dado

PROPIEDADES 522 (de las integrales) Sean f g continuas en elintervalo I entonces

int

f +g =int

f +int

g

Si λ isin R entoncesint

λ f = λ

intf

Si abc isin I entoncesint c

af =

int b

af +

int c

bf

Si ab isin I entoncesint b

af =minus

int a

bf

Si f ge 0 en [ab] entoncesint b

af ge 0 Es importante aquiacute que a lt b



Si f ge g en [ab] entoncesint b

af ge

int b

ag

En generalint b

a f ge 0 no implica que f ge 0 en todo el intervalo porquepuede haber cancelaciones

Por el mismo motivoint b

a f = 0 no implica que f (x) = 0 para todox isin [ab]

TEOREMA 523 (Teorema fundamental del caacutelculo integral) Si f [ab]rarr R es continua y f ge 0 entonces

A =int b

af (x)dx

donde A ge 0 es el aacuterea bajo el graacutefico de f y sobre el eje de las x(encerrada por las rectas verticales x = ax = b)

x

y

a b

y = f (x)

A

TEOREMA 524 (Aacuterea entre curvas) Si gge f en el intervalo [ab] yambas son integrables el aacuterea encerrada entre los graacuteficos de g y de fse calcula con la integral definidaint b

a(gminus f ) =

int b

agminus

int b

af

No es relevante si f oacute g cambian de signo lo uacutenico importante es queg (el techo) permanezca siempre por encima de f (el piso) mientras xrecorre el intervalo [ab]



x

y

ab

y = g(x)

y = f (x)

A

Si f le 0 en el intervalo [ab] entonces el aacuterea A atrapada debajo deleje x y encima del graacutefico de f se calcula como

A =int b

a(minus f ) =minus

int b

af

x

y

a b

y = f (x)

A

Podemos pensar aquiacute que g = 0 entonces es un caso especial del teo-rema anterior ya que f le g = 0 y asiacute gminus f = 0minus f = minus f Tambieacutenpodemos pensar que si f le 0 entonces la funcioacuten minus f es positiva (sugraacutefico es el simeacutetrico respecto del eje x) luego el aacuterea atrapada bajominus f y sobre el eje es la misma que esta

OBSERVACIOacuteN 525 (Curvas que se cortan) Si los graacuteficos de f gse entrecruzan primero tenemos que encontrar donde y luego separarel intervalo en intervalos maacutes pequentildeos donde una estaacute encima de laotra Para ello se requiere hallar donde se cruzan y estos son los x isin[ab] tales que f (x) = g(x)



x

y

a b

y = g(x)

y = f (x)

A2

c dA1

A3

En ejemplo graacutefico que tenemos debajo los puntos de corte en el inter-valo [ab] son x = cx = d Entonces el aacuterea total es

A = A1+A2+A3 =int c

a(gminus f )+

int d

c( f minusg)+

int b

d(gminus f )

53 Ecuaciones diferencialesbull Corresponde a clases en video 55a 55b

Si f I rarr R representa una cantidad (por ejemplo una distancia quevariacutea con el tiempo que es la variable) entonces el cociente incremen-tal

f (t)minus f (t0)tminus t0

=f (t0+∆t)minus f (t0)

∆t=

∆ f∆t

Representa la variacioacuten de esta cantidad respecto de la variable (en elejemplo la velocidad media que es el cociente de la distancia recorridapor el tiempo transcurrido)

Cuando el intervalo de tiempo tiende a cero (∆t rarr 0) obtenemos lavelocidad instantaacutenea Entonces si f representa la distancia de un moacutevilen funcioacuten del tiempo f prime representa la velocidad instantaacutenea de esemoacutevil

Hay mucha otras aplicaciones de este modelo Por ejemplo si f repre-senta una poblacioacuten de bacterias y t es el tiempo la derivada representa



la velocidad con la que crece (o decrece) el nuacutemero de bacterias) O sif representa la cantidad de litros de una sustancia que pasa por unacompuerta a traveacutes del tiempo entonces f prime es la velocidad de ese liacute-quido por la compuerta Tambieacuten hay modelos econoacutemicos donde frepresenta la cantidad de capital y la variable puede ser el tiempo o lacantidad de insumo de un cierto producto que produce una ganancia decapital en todos los casos la derivada f prime es la velocidad de cambio

Hay modelos donde uno puede inferir la relacioacuten entre la cantidad queuno tiene (por ejemplo la posicioacuten del movil) y su velocidad de cambio(por ejemplo basaacutendose en el conocimiento de la superficie por la quese mueve el moacutevil o por el tamantildeo de las compuertas etc Entoncesuno obtiene una relacioacuten entre f y su derivada f prime La pregunta es si apartir de esta relacioacuten podemos hallar alguna (o algunas) funciones quecumplan esta relacioacuten esta f hallada es el modelo matemaacutetico para elproblema planteado

EJEMPLO 531 (Bacterias) Un primer ejemplo simple es el siguien-te supongamos que sabemos que la velocidad es siempre proporcionala la cantidad Por ejemplo en el crecimiento de bacterias mientras maacuteshay maacutes raacutepido crecen Digamos que sabemos que f prime(x) = 3 f (x) paratodo x en el intervalo de tiempo que nos interesa iquestPodemos hallar lafuncioacuten f que nos dice la cantidad de bacterias en cada instante

En este caso la poblacion es un nuacutemero positivo o sea f (x)gt 0 De larelacioacuten que tenemos podemos escribir

f prime(x)f (x)

= 3 forallx

Pero entonces podemos probar integrar Como tenemos una igualdadde funciones (a la derecha estaacute la funcioacuten constante 3 vemos queint f prime(x)

f (x)dx =

int3dx = 3x+ c

Ahora hacemos una sustitucioacuten u = f (x) Luego du = f prime(x)dx y asiacute



nos queda

3x+ c =int f prime(x)

f (x)dx =

int 1u

du = ln |u|= ln | f (x)|= ln f (x)

pues f (x)gt 0 Exponenciando ambos lados vemos que debe ser

f (x) = e3x+c = e3xec = k middot e3x

donde k gt 0 es una constante a determinar iquestCoacutemo la hallamos Paraeso necesitamos saber la cantidad de bacterias en alguacuten instante deltiempo digamos 105 en el instante x = 1 este dato es simplementef (1)= 105 Pero entonces reemplazando en la expresioacuten que obtuvimospara f vemos que

105 = f (1) = k middot e3

luego k = 105e3 y asiacute

f (x) =105

e3middot e3x

es la funcioacuten que modela la poblacioacuten de bacterias

OBSERVACIOacuteN 532 (Notacioacuten) En general se suele usar la letrax para denotar la variable y la cantidad se denota con la variable yEn realidad se trata de una funcioacuten y = y(x) Entonces la relacioacuten delejemplo f prime(x) = 3 f (x) se reescribe como

yprime(x) = 3y(x) o simplemente yprime = 3y

Esto es lo que se conoce como una ecuacioacuten diferencial de orden 1(porque soacutelo involucra la derivada primera) Como vimos puede tenermuchas soluciones pero una vez fijada una condicioacuten inicial (en elejemplo y(1) = 105) hay una uacutenica solucioacuten de la ecuacioacuten diferencialque es una funcioacuten que verifica la relacioacuten

OBSERVACIOacuteN 533 (Meacutetodo de separacioacuten de variables) Respec-to del meacutetodo que usamos para resolver la ecuacioacuten del ejemplo este



cambio de notacioacuten sugiere una estrategia que funciona en muchos ca-sos Escribimos yprime(x) = dy

dx luego la ecuacioacuten diferencial se reescribecomo

dydx

= 3y

Podemos operar algebraicamente sobre esta ecuacioacuten para dejar losdiferenciales en el numerador y todo lo que tenga x de un solo lado (ytodo lo que tenga y del otro lado)

dyy= 3 dx

Este meacutetodo se conoce como separacioacuten de variables La justificacioacutenconcreta estaacute en coacutemo lo resolvimos maacutes arriba cuando hicimos unasustitucioacuten Siguiendo desde aquiacute podemos integrar a ambos ladosint 1

ydy =

int dyy

= 3int

dx

Notamos que a cada lado se integra respecto del diferencial de la va-riable que soacutelo figura a ese lado Luego integrando vemos que

ln |y|= 3x+ c esto es ln |y(x)|= 3x+ c

Exponenciando vemos que |y(x)| = e3x+c = k middot e3c como antes Si su-ponemos que y(x) gt 0 arribamos a la misma solucioacuten y la condicioacuteninicial nos permite hallar k

Si no suponemos que y gt 0 (por ejemplo si la ecuacioacuten diferencialyprime = 3y representa una cantidad que puede cambiar de signo como lacantidad de capital que es negativo cuando hay deudas) entonces enprincipio la solucioacuten es de forma y(x) =plusmnke3x y esto es lo mismo quedecir que y(x) = Ae3x donde ahora A puede ser una constante positivao negativaEsta constante A se determina tambieacuten con las condiciones inicialespor ejemplo si en tiempo x = 0 el capital era minus10 (deuda) entoncesy(x) = minus10e3x y vemos que siempre estaremos en deuda y la deuda



seraacute cada vez mayor

EJEMPLO 534 (Segunda Ley de Newton) La misma postula que laaceleracioacuten de un moacutevil (que es la derivada de la velocidad o sea laderivada segunda de la posicioacuten) es propocional a la fuerza F que seejerce sobre el moacutevil para moverloPor ejemplo si P(t) denota la posicioacuten en funcioacuten del tiempo y m es lamasa del objeto la segunda ley de Newton se escribo como la ecuacioacutendiferencial

mvprime(t) = F(v(t))

donde v(t) = Pprime(t) es la velocidadSupongamos que la fuerza es constante F = 1 y para simplificar quela masa m tambieacuten es 1 Tenemos la ecuacioacuten diferencial vprime = 1 quecon nuestra notacioacuten se escribe como dv

dt = 1 Luego dv = dt asiacute queintegrando a ambos lados vemos que

v =int

dv =int

dt = t + c o sea v(t) = t + c

La constante c estaacute determinada por la velocidad inicial del moacutevilporque v(t0) = t0 + c asiacute que c = v0minus t0 donde usamos la notacioacutenv0 = v(t0) Entonces la velocidad es v(t) = t + v0minus t0 Para fijar ideassupongamos que t0 = 1 y que v0 = 3 luego para este moacutevil la ecuacioacutende su velocidad es

v(t) = t +2

Ahora queremos hallar la posicioacuten para ello recordamos que pprime(t) =v(t) asiacute que ahora tenemos la ecuacioacuten diferencial

d pdt

= pprime = v = t +2

que se reescribe como d p= (t+2)dt Integrando ambos lados tenemos

p =int

1 middotd p =int(t +2)dt =

t2

2+2t + k



es decir p(t) = 12 middott2+2t+k Nuevamente hay que determinar la cons-tante k para eso necesitamos el dato de alguna posicioacuten por ejemplop(t0) = p0 recordemos que teniacuteamos t0 = 1 y ahora supongamos quep0 = 10 Entonces

10= p0 = p(t0) = 12 middot t20+2t0+ k = 12+2+ k

asiacute que de aquiacute podemos despejar k = 10minus 32 = 172 Asiacute que la ecua-cioacuten de movimiento de nuestro objeto es

p(t) = 12 middot t2+2t + 172

Dejamos como ejercicio resolver este problema del movimiento parauna masa geneacuterica m y una fuerza constante geneacuterica F Hay que resol-ver es la ecuacioacuten diferencial mvprime(t) = F para mF constantes geneacuteri-cas Se obtiene una funcioacuten cudraacutetica con paraacutemetros y es interesantepensar queacute ocurre cuando los paraacutemetros mF variacutean

EJEMPLO 535 (Un problema de mezcla) Un tanque mezclador tie-ne 100 litros de una solucioacuten compuesta por 80 de agua y 20 deacetona Se le comienza a agregar agua a una velocidad de 5 litros porminuto Mientras se mezcla dentro del tanque este deja salir por deba-jo liacutequido a una velocidad tambieacuten de 5 litros por minuto para usar lamezcla en otro proceso Despueacutes de 40 minutos iquestcuaacutenta acetona habraacuteen el tanque

Denotamos y = y(x) la cantidad de acetona en el tanque respecto deltiempo sabemos que y0 = y(0) = 20 litros La cantidad de liacutequido totales constante pero no asiacute la de acetona que va disminuyendo La velo-cidad a la que se pierde es yprime =minusLO QUE SALE (en litros por minuto)

Lo que sale por debajo es una proporcioacuten del total el factor de propor-cionalidad es

SALE

TOTALy =

5100

y =120

y



Entonces la ecuacioacuten diferencial que modela el problema es

yprime =minus 120

y

La reescribimos como dydx =minus

120y lo que nos lleva a

1y

dy =minus 120

dx

Integrando ambos lados obtenemos ln |y| = minus 120x + c Sabemos que

y(x)gt 0 para todo x y tambieacuten que y0 = 20 luego

c = cminus 120middot0= lny0 = ln(20)

Entonces exponenciando obtenemos y(x) = eceminusx20 = 20eminusx20 Luegodespueacutes de 40 minutos la cantidad de acetona en el tanque es

y(40) = 20eminus4020 = 20eminus2 2074 27 litros

o equivalentemente un 27 de acetona y un 973 de agua




Capiacutetulo 6

Extremos de funcionesoptimizacioacuten61 Extremos localesbull Corresponde a clases en video 61a 61b 62a 62b 63a 63b

Un extremo de una funcioacuten f es un maacuteximo o miacutenimo de f

Recordemos que dado δ gt 0 la bola Bδ(X0) es el conjunto de puntosque distan menos que δ de X0 Podemos usarlo en este caso para indicarcercaniacutea con X0 Los extremos locales de una funcioacuten son extremos conrespecto a los puntos cercanos Tambieacuten se usa el la palabra relativocomo sinoacutenimo de local Maacutes precisamente

DEFINICIOacuteN 611 (Maacuteximos y miacutenimos locales) Sea f A rarr R(aquiacute Asub Rn) Dado X0 isin A decimos que X0 es

1 miacutenimo local de f si existe δ gt 0 tal que

f (X)ge f (X0) forallX isin AcapBδ(X0)

2 maacuteximo local de f si existe δ gt 0 tal que

f (X)le f (X0) forallX isin AcapBδ(X0)

161


3 miacutenimo local estricto de f si existe δ gt 0 tal que

f (X)gt f (X0) forallX isin AcapBδ(X0) X X0

4 maacuteximo local estricto de f si existe δ gt 0 tal que

f (X)lt f (X0) forallX isin AcapBδ(X0) X X0

5 Un maacuteximo o miacutenimo local es un extremo local de f

Si removemos la condicioacuten local es decir si la desigualdad vale paratodo X isin A (y no soacutelo para X cercano a X0) decimos que el extremo esglobal o absoluto

Para algunas funciones sencillas podemos identificar extremos sin ma-yor preaacutembulo que comparar f (X0) con f (X) para X cercano a X0Veamos algunos ejemplos importantes

Sea f (x)= x2 como f (0)= 0 entonces f (x)= x2gt 0= f (0) si x 0luego x0 = 0 es miacutenimo local estricto De hecho es un miacutenimo globalporque la desigualdad vale en todo el dominio A = R de la funcioacuten

Sea f (x) = x2minusx3 = x2(1minusx) sea x0 = 0 Si x isin B1(0) en particularx lt 1 y asiacute 1minus x gt 0 Multiplicando esta uacuteltima desigualdad por x2

vemos quef (x) = x2(1minus x)ge 0= f (0)

Entonces x0 = 0 es miacutenimo local de f de hecho es miacutenimo local es-tricto porque si x 0 entonces x2 gt 0 y asiacute

f (x) = x2(1minus x)gt 0= f (0)

Es importante notar que si nos alejamos de x0 = 0 deja de ser miacutenimi-mo por ejemplo f (5) = 25 middot (minus4) lt 0 y es claro que 0 no es miacutenimoabsoluto de f

Sea f (x) = x4 con x0 = 0 Entonces f (x) = x4 gt 0 = f (0) si x 0luego x0 = 0 es miacutenimo estricto absoluto de f

Si invertimos los signos obtendremos maacuteximos por ejemplo f (x) =minusx2 o bien f (x) =minusx4 tienen maacuteximo estricto en x0 = 0



La funcioacuten f (x) = x3 no tiene un extremo (ni local ni global) enx0 = 0 Esto es porque x3 cambia de signo alrededor de f (0) = 0

Pasemos ahora a funciones de dos variables

paraboloide

Sea f (xy) = x2+ y2 entonces f (00) = 0 y como

f (xy) = x2+ y2 ge 0= f (00)

entonces X0 = (00) es miacutenimo de f Al igual que en el caso de unavariable la desigualdad es estricta si X (00) asiacute que es un miacutenimoestricto global de f En general si el graacutefico de f es un paraboloide su veacutertice seraacute miacuteni-mo estricto

Lo mismo ocurre con f (xy) = x4+ y4 o con f (xy) = x2+ y4 o conf (xy) = 3x4+5y2 etc

Si invertimos los signos obtendremos un maacuteximo por ejemplo X0 =(00) es maacuteximo extricto de f (xy) = minus2x2minus 3y2 En particular losparaboloides invertidos tienen maacuteximo extricto en su veacutertice

Veamos los casos llamados ldquodegeneradosrdquo donde alguacuten coeficientees nulo Por ejemplo sea f (xy) = x2 pensemos queacute ocurre en el puntoX0 = (00) Es claro que

f (xy) = x2 ge 0= f (00)



paraboloide invertido

entonces podemos afirmar que (00) es miacutenimo global de f Pero no esestricto porque por ejemplo f (01)= 02= 0 De hecho f (0y)= 0 paratodo y isin R la funcioacuten se anula sobre el eje de las y Podemos afirmarque todos los puntos del eje y son miacutenimos (no estrictos) de f Eso esmaacutes faacutecil de visualizar si recordamos que el graacutefico de f (xy) = x2 esel cilindro paraboacutelico

y

zz = x2

x

cilindro paraboacutelico

El otro caso degenerado es cuando el coeficiente no nulo es negativopor ejemplo f (xy) =minusy2 Aquiacute vemos que X0 = (00) es maacuteximo (noestricto) y de hecho cualquier punto del eje x lo es porque

f (xy) =minusy2 le 0= f (x0)

En este caso el graacutefico es f es un cilindro paraboacutelico invertido (Figura

Un extremo local estricto (que no es global) lo tiene

f (xy) = (xminus 1)2(11+ xminus y2)+(yminus2)2

en X0 = (12) Para verlo supongamos que (xy)isin B1(X0) entonces en



cilindro paraboacutelico invertido

z =minusy2

x

z

y

particular |xminus 1| lt 1 y tambieacuten |yminus 2| lt 1 Respecto de x vemos que0lt x lt 2 y entonces 11+x gt 11 Respecto de y tenemos que 1lt y lt 3luego 1lt y2 lt 9 entoncesminus1gtminusy2 gtminus9 En particularminusy2 gtminus9 enesta bola Combinando las dos desigualdas para x e y que obtuvimosvemos que

11+ xminus y2 = (11+ x)minus y2 gt 11minus9= 2

Es nos dice que el segundo factor de f (para X isin B1(X0)) es estric-tamente positivo Como el primer factor tambieacuten lo es vemos que si(xy) isin B1(X0) sin tocar X0 = (12) entonces

f (xy) = (xminus 1)2(11+ xminus y2)+(yminus2)2 gt (xminus 1)2 middot2gt 0= f (12)

Por eso X0 = (12) es miacutenimo local estricto de f

Hasta aquiacute hemos observado o sentildealado los extremos ldquoa manordquo Loque queremos es indicar un criterio que nos indique coacutemo hallarlosPara eso comenzamo con una definicioacuten uacutetil

DEFINICIOacuteN 612 (Punto criacutetico) Sea AsubRn abierto sea f ArarrRDecimos que X0isinA es punto criacutetico de f si alguna de las dos siguientescondiciones se cumple

1 No existe alguna de las derivadas parciales de f en X0

2 Existen todas las derivadas parciales y son nulas Equivalente-mente nabla f (X0) = O

Los puntos criacuteticos de primera clase son aquellos donde la funcioacuten noes suave Por ejemplo



La funcioacuten moacutedulo f (x) = |x| tiene un punto criacutetico en x0 = 0 porqueno es derivable alliacute Es un miacutenimo estricto

x

y

x

y

x

y

y = |x| y = x23

y = x35

f (x) = x23 tiene un punto criacutetico en x0 = 0 porque no es derivablealliacute la derivada para x 0 es f prime(x) = 23xminus13 Tambieacuten es un miacutenimoestricto

f (x) = x35 tiene un punto criacutetico en x0 = 0 porque no es derivablealliacute la derivada para x 0 es f prime(x) = 35xminus25 Sin embargo x0 = 0 noes extremo de la funcioacuten

f (xy) =radic

x2+ y2 no tiene derivadas parciales en (00)

fx(xy) =xradic

x2+ y2 fy(xy) =

yradicx2+ y2

son sus derivadas parciales pero no estaacuten definidas en el origen Elorigen es un miacutenimo estricto ya que el graacutefico de f es (la parte superior)del cono

Vemos que no necesariamente en un punto criacutetico hay un extremoAhora miremos los puntos criacuteticos de segunda clase donde se anulanlas derivadas

f (x) = x2 es derivable en R y su derivada es f (x) = 2x luego su uacutenicopunto criacutetico es x0 y es un miacutenimo estricto

f (x) = x3 tiene derivada f prime(x) = 3x2 que se anula en x0 = 0 pero noes un extremo de f

f (xy) = x2+ y2 tiene gradiente nabla f (xy) = (2x2y) y este se anulauacutenicamente en X0= (00) Como ya discutimos es un miacutenimo estricto



f (xy) = x2minusy2 tiene gradiente nabla f (xy) = (2xminus2y) y este se anulaen X0 = (00) Sin embargo no este punto no es un extremo de f (elgraacutefico de f es la silla de montar y el origen es el punto de ensilladura)

Nuevamente vemos que no necesariamente en un punto criacutetico hay unextremo

DEFINICIOacuteN 613 (Punto silla) Tambieacuten llamado punto de ensilla-dura es aquel punto criacutetico X0 de f donde f no tiene un extremo Esdecir un punto silla es un punto criacutetico de f que no es maacuteximo ni miacute-nimo

iquestPor queacute el eacutenfasis en buscar los puntos criacuteticos entonces Por el si-guiente teorema

TEOREMA 614 (Fermat) Sea Asub Rn sea f Ararr R tal que f tieneun extremo en X0 isin A Entonces X0 es un punto criacutetico de f

Entonces si buscamos extremos sabemos que necesariamente esta-raacuten en los puntos criacuteticos de la funcioacuten Si primero buscamos el conjun-to de todos los puntos criacuteticos de f los extremos (si tiene) estaraacuten entrealgunos de estos puntos Es una manera de reducir el problema en lu-gar de buscar extremos en todos los puntos de A = Dom( f ) buscamosextremos entre los puntos criacuteticos Los puntos criacuteticos que veamos queno son extremos son puntos silla

OBSERVACIOacuteN 615 (Taylor en un punto criacutetico) Si f es C3 cercadel punto X0 teniacuteamos la foacutermula de Taylor para f dada por


Si X0 es un punto criacutetico al ser f suave debe ser por el Teorema deFermat nabla f (X0) = O Luego el teacutermino lineal se anula y tenemos

f (X) = f (X0)+ 12〈H f (X0)(XminusX0)XminusX0〉+R(X)

Suponiendo que el resto es pequentildeo (porque estamos con X cerca deX0) vemos que cerca de un punto criacutetico

f (X) f (X0)+ 12〈H f (X0)(XminusX0)XminusX0〉



Supongamos que la matriz Hessiana de f es definida positiva Estoera que todos sus autovalores sean estrictamente positivos luego de uncambio de variable adecuado vemos que el teacutermino de orden 2 es unparaboloide (hacia arriba)

12〈H f (X0)(XminusX0)XminusX0〉= u2+ v2 gt 0

Entonces

f (X0)+ 12〈H f (X0)(XminusX0)XminusX0〉= f (X0)+u2+ v2 gt f (X0)

asiacute que

f (X) f (X0)+ 12〈H f (X0)(XminusX0)XminusX0〉gt f (X0)

Esto nos permite concluir que si el Hessiano en el punto criacutetico X0 esdefinido positivo entonces

f (X)gt f (X0)

para X cercano a X0 y entonces X0 es un miacutenimo local estricto de f

Recordemos que si M = Mt isin R2times2 es una matriz simeacutetrica y λi sonlos autovalores entonces

M es definida positiva si λi gt 0 para todo i

M es definida negativa si λi lt 0 para todo i

M es indefinida existen i j con λi middotλ j lt 0 (tienen signos opuestos)

M es semi-definida si (al menos) algun λi es nulo y todos los demaacutestienen el mismo signo

Con la idea de la observacioacuten anterior (y algunas cosas teacutecnicas maacutesque no mencionaremos) se puede probar el siguiente teorema que nosda un criterio para decidir queacute tipo de punto criacutetico tenemos

TEOREMA 616 (Criterio del Hessiano) Sea X0 isin Asub Rn punto criacute-tico de f Ararr R (de clase C2) Entonces



1 Si H f (X0) es definido positivo entonces X0 es un miacutenimo localestricto de f

2 Si H f (X0) es definido negativo entonces X0 es un maacuteximo localestricto de f

3 Si H f (X0) es indefinido entonces X0 es un punto silla (no esextremo)

4 Si H f (X0) es semi-definida el criterio no decide

Este criterio tambieacuten se conoce (en una variable) como criterio de laderivada segunda y se puede enunciar en 1 variable de manera ideacutenti-ca soacutelo que ahora el rol del Hessiano lo cumple la derivada segunda enel punto -se puede pensar que es un caso particular del anterior aunqueaquiacute hay un soacutelo nuacutemero y no dos por eso el caso indefinido no figura-

TEOREMA 617 (Criterio en una variable) Sea x0 isin I sub R puntocriacutetico de f Irarr R (de clase C2) Entonces

1 Si f primeprime(x0)gt 0 entonces x0 es un miacutenimo local estricto de f

2 Si f primeprime(x0)lt 0 entonces X0 es un maacuteximo local estricto de f

3 Si f primeprime(x0) = 0 el criterio no decide

Veamos en nuestros ejemplos de una variable como funciona esto

f (x) = x2 f prime(x) = 2x f primeprime(x) = 2 El punto criacutetico es x0 = 0 y como laderivada segunda es constante y positiva es un miacutenimo local estricto

f (x) = minusx2 f prime(x) = minus2x f primeprime(x) = minus2 El punto criacutetico es x0 = 0 ycomo la derivada segunda es constante y negativa es un maacuteximo localestricto

f (x) = x3 f prime(x) = 3x2 f primeprime(x) = 6x El punto criacutetico es x0 = 0 perono es un extremo de f como observamos anteriormente (notemos queaquiacute f primeprime(0) = 0)



f (x) = x4 f prime(x) = 4x3 f primeprime(x) = 12x El punto criacutetico es x0 = 0 perof primeprime(0) = 0 asiacute que el criterio no nos ayuda Ya discutimos al comienzode esta seccioacuten que se trata de un miacutenimo

f (x) = minusx4 f prime(x) = minus4x3 f primeprime(x) = minus12x El punto criacutetico es x0 =0 pero f primeprime(0) = 0 asiacute que el criterio no nos ayuda Ya discutimos alcomienzo de esta seccioacuten que se trata de un maacuteximo

Regla mnemoteacutecnica Si es positiva la derivada segunda es como enx2 luego vemos cup que es un miacutenimo Si es negativa es como en minusx2

luego vemos cap que es un maacuteximo

Veamos ahora coacutemo funciona el criterio en dos variables Los casos deestudio son las superficies cuaacutedricas

f (xy) = x2+ y2 luego nabla f (xy) = (2x2y) con punto criacutetico X0 =(00) Calculamos las derivadas segundas y tenemos

fxx(xy) = 2 fyy(xy) = 2 fxy(xy) = fyx(xx) = 0

luego la matriz Hessiana es constante e igual a

H f (xy) =(

2 00 2

)

En particular asiacute es el Hessiano en el punto criacutetico (00) Esta matrizya estaacute diagonalizada sus autovalores son λ1 = λ2 = 2 ambos estricta-mente positivos Entonces H f (00) es definido positivo asiacute que por elcriterio del Hessiano (00) es un miacutenimo local estricto de f (cosa queya sabiacuteamos por otros medios) f (xy) = minusx2minus y2 luego nabla f (xy) = (minus2xminus2y) con punto criacuteticoX0 = (00) calculamos las derivadas segundas y tenemos

fxx(xy) =minus2 fyy(xy) =minus2 fxy(xy) = fyx(xy) = 0


H f (xy) =(minus2 00 minus2

)



X0

X0

X0

Figura 61 Puntos criacuteticos X0 con Hessiano definido positivo negativo e indefinidorespectivamente Cerca del punto X0 la superficie tiene la forma de una de estas

En particular asiacute es el Hessiano en el punto criacutetico (00) Esta matrizya estaacute diagonalizada sus autovalores son λ1 = λ2 =minus2 ambos estric-tamente negativos Entonces H f (00) es definido negativo asiacute que porel criterio del Hessiano (00) es un maacuteximo local estricto de f

f (xy) = x2minus y2 luego nabla f (xy) = (2xminus2y) con punto criacutetico X0 =(00) Calculamos las derivadas segundas y tenemos

fxx(xy) = 2 fyy(xy) =minus2 fxy(xy) = fyx(xy) = 0


H f (xy) =(

2 00 minus2

)

En particular asiacute es el Hessiano en el punto criacutetico (00) Esta matrizya estaacute diagonalizada sus autovalores tienen signos opuestos EntoncesH f (00) es indefinido asiacute que por el criterio del Hessiano (00) es unpunto silla de f

Veamos ahora por queacute el criterio no decide cuando hay un autovalornulo (y todos los demaacutes tienen el mismo signo) El problema es quecon un autovalor nulo el resto de Taylor R (que despreciamos en laObservacioacuten 615) si juega un papel en cada caso particular

f (xy) = x2minusy4 luego nabla f (xy) = (2xminus4y3) con punto criacutetico X0 =(00) Calculamos las derivadas segundas y tenemos

fxx(xy) = 2 fyy(xy) =minus12y2 fxy(xy) = fyx(xy) = 0



luego la matriz Hessiana es

H f (xy) =(

2 00 0

)

Los autovalores son λ1 = 2 λ2 = 0 es semi-definida Pero esto no nosayuda porque la funcioacuten no tiene un miacutenimo en (00) Para verlo nosacercamos al origen por el eje y notamos que f (0y) = minusy4 lt 0 =f (00) asiacute que 0 no es miacutenimo El dibujo de la superficie z = x2minusy4 (que es el graacutefico de f ) es muy parecido al de la silla de montarEntonces (00) es punto silla de f

En general como soacutelo queremos saber queacute signo tienen los autovalores(y no exactamente cuaacutento valen) podemos usar el siguiente criterio

TEOREMA 618 (Criterio del determinante 2times2) Sea

M =

(a11 a12

a21 a22

)matriz simeacutetrica 2times2 Entonces

1 M es semi-definida lArrrArr det(M) = 0

2 M es definida positiva lArrrArr (det(M)gt 0 and a11 gt 0)

3 M es definida negativa lArrrArr (det(M)gt 0 and a11 lt 0)

4 M es indefinida lArrrArr det(M)lt 0

Aunque no lo probaremos la idea de la prueba se basa en diagonali-zar la matriz M y luego observar que la regal funciona bien cuandotenemos una matriz diagonal Esto es porque

acminusb2 = det(M) = λ1λ2

(el producto de los autovalores) Y ademaacutes a11 = 〈ME1E1〉 Entonceses claro que el signo del determinante depende de los signos de losautovalores y luego la entrada 1minus 1 de la matriz es un caso particular



de la cuenta 〈MVV 〉 que nos permite decidir si M es definida negativao positiva (ver el final del Resumen 2)

Podemos recordar el criterio del determinante en 2times 2 con estostres diagramas que corresponden respectivamente a una matriz defini-da positiva una definida negativa y una indefinida(

+ 00 +

) (minus 00 minus

) (+ 00 minus

)El criterio dice que podemos encontrar los signos de los autovaloressin necesidad de diagonalizar la matriz ni de hallar los autovaloresy la manera de recordar el criterio es ldquoimaginarrdquo que la matriz estaacutediagonalizada entonces estamos en alguno de estos tres casos (siempreque el determinante sea no nulo)

Veamos coacutemo usar los teoremas y criterios en un ejemplo concreto

EJEMPLO 619 Sea f (xy) = ex+y middot (x2minus 2y2) hallar los extremosrelativos de f Calculamos su gradiente y lo igualamos a cero parahallar los puntos criacuteticos

fx(xy) = ex+y middot 1 middot (x2minus2y2)+ ex+y middot (2x) = ex+y middot (x2minus2y2+2x) = 0

fy(xy) = ex+y middot 1 middot (x2minus2y2)+ex+y middot (minus4x) = ex+y middot (x2minus2y2minus4y) = 0

Obtenemos dos ecuaciones que se tienen que cumplir simultaacuteneamen-te El factor con la exponencial es nunca nulo asiacute que lo podemos can-celar en ambas Nos quedan las ecuaciones

x2minus y2+2x = 0 x2minus2y2minus4y = 0

Las ecuaciones son no lineales pero son parecidas Entonces restandola primera de la segunda nos queda 2x+4y = 0 de donde deducimosque x =minus2y Luego x2 = 4y2 y reemplazando esto en la segunda ecua-cioacuten nos queda

4y2minus2y2minus4y = 0

es decir 2y2minus4y = 0 Se factoriza como 2y(yminus 2) = 0 asiacute que tiene



que ser y = 0 o bien y = 2 Cuando y = 0 debe ser tambieacuten x = 0(puesto que era x = minus2y) Obtenemos P1 = (00) Cuando y = 2 debeser x =minus4 obtenemos el punto P2 = (minus42) Luego f tiene dos puntoscriacuteticos

Veamos de queacute tipo son para eso necesitamos calcular las derivadassegundas de f Son

fxx(xy) = ex+y middot(x2minus2y2+4x+2) fyy(xy) = ex+y middot(x2minus2y2minus8yminus5)

fxy(xy) = fyx(xy) = ex+y middot (x2minus2y2+2xminus4y)

Tenemos

H f (P1) =

(2 00 minus4

)y es claro que este Hessiano es indefinido Entonces P1 = (00) es pun-to silla de f

Por otro lado tenemos el otro punto criacutetico P2 = (minus42) donde

H f (P2) =

(eminus2 middot (minus6) eminus2 middot (minus8)eminus2 middot (minus8) eminus2 middot (minus12)

)

Es claro que a11 = minus6eminus2 lt 0 y por otro lado el caacutelculo del determi-nante arroja

det(H f (P1)) = (eminus2)2(6 middot 12minus8 middot8) = eminus4 middot8gt 0

El criterio del determinante nos dice que este Hessiano es definido ne-gativo y entonces f tiene un maacuteximo local estricto en P2 = (minus42)

Esta funcioacuten no tiene ninguacuten miacutenimo local y tiene un soacutelo maacuteximolocal Puede verse su graacutefico en el applet de Geogebra

Para estudiar extremos de funciones de 3 variables tambieacuten hay un cri-terio para decidir los signos de los autovalores usando el determinanteque es uacutetil aunque algo maacutes teacutecnico




M =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

matriz simeacutetrica 3times3 a la sub-matriz de 2times2

MP =

(a11 a12

a21 a22

)se la denomina menor principal de M Entonces M es

semi-definida lArrrArr det(M) = 0

definida positiva lArrrArr (det(M)gt 0 and det(MP)gt 0 and a11 gt 0)

definida negativa lArrrArr (det(M)lt 0 and det(MP)gt 0 and a11 lt 0)

M es indefinida en todos los demaacutes casos (siempre que det(M) 0)

Nuevamente el criterio nos dice queacute signos tienen los autovalores deM sin necesidad de hallarlos ni de diagonalizar M para recordar elcriterio es uacutetil recordar en primer lugar que

det(M) = λ1λ2λ3

el determinante siempre es el producto de los autovaloresDescartado el caso de alguacuten autovalor nulo (que equivale a determinan-te nulo) para saber si es positiva negativa o indefinida son de ayuda lossiguientes dos diagramas que corresponden al caso definido positivo ydefinido negativo respectivamente + 0 0

0 + 00 0 +

minus 0 00 minus 00 0 minus



62 Optimizacioacutenbull Corresponde a clases en video 64a 64b

Recordemos aquiacute el

TEOREMA 621 (Weierstrass) Sea K subRn sea f KrarrR Entoncesf es acotada y alcanza maacuteximo y miacutenimo en K

El mismo nos seraacute de utilidad para justificar por queacute los extremos quehallaremos seraacuten absolutos en los ejemplos que siguen En esta seccioacutendiscutiremos coacutemo modelar un problema con una funcioacuten y hallar eloacuteptimo (la solucioacuten del problema) buscando los extremos de la funcioacuten

EJEMPLO 622 (Optimizacioacuten) Queremos construir una caja con unvolumen de 1000cm3 de manera tal que la superficie total de la cajasea miacutenima iquestQueacute dimensiones tienen que tener la caja

Solucioacuten Si la caja tiene dimensiones xyz (es un prisma rectangularo sea un ladrillo) entonces la restriccioacuten es que V = xyz = 1000 Porotro lado la superficie de las tapas sumadas es

S = 2xy+2xz+2yz

Podemos usar la restriccioacuten z = 1000(xy) para escribir la funcioacuten aminimizar

S(xy) = 2xy+2x1000

xy+2y

1000xy

= 2xy+20001y+2000

1x

sabiendo que debe ser xyz gt 0 puesto que son las longitudes de losladosAntes de seguir observamos que si x oacute y tienden a 0 la superficietiende a infinito Y tambieacuten que ocurre lo mismo cuando x oacute y tiendena infinito Entonces la funcioacuten S no tiene maacuteximo en la regioacuten

A = (xy) x gt 0 y gt 0



Veamos que tiene un miacutenimo local que es ademaacutes miacutenimo global Paraello calculamos las derivadas parciales de S y las igualamos a cero parahallar los puntos criacuteticos

Sx(xy) = 2yminus 2000x2

= 0 Sy(xy) = 2xminus 2000y2

= 0

La primer ecuacioacuten nos dice que x2y = 1000 mientras la segunda nosdice que xy2 = 1000 Entonces debe ser x2y = xy2 y como x gt 0y gt 0podemos cancelar y debe ser x = y pero de x2y = 1000 deducimos quex3 = 1000 luego x = 10 Como y = x tambieacuten debe ser y = 10 El uacutenicopunto criacutetico es P = (1010) alliacute la funcioacuten vale

S(1010) = 2 middot 102+200+200= 600

El punto P es miacutenimo global de S en la regioacuten A indicada maacutes arribanuestra intuicioacuten nos dice que tiene que haber un miacutenimo y como hayun uacutenico punto criacutetico tiene que ser en este puntoEntonces el miacutenimo absoluto se alcanza cuando x = 10y = 10z = 10(notar que es cuando la caja es cuacutebica)

OBSERVACIOacuteN 623 El nuacutemero del volumen V = 1000 es anecdoacute-tico Revisando el razonamiento y las cuentas vemos que la caja rec-tangular con menor superficie (para un volumen dado) siempre tienetodos sus lados iguales es un cubo

El argumento que dimos para concluir que el miacutenimo es absolutoes un poco impreciso ya que por ejemplo la funcioacuten podriacutea tomarvalores menores que 600 sin tener un miacutenimo local ya que el dominioA no es acotado (o sea que nuestra justificacioacuten no es tan buena comodeciacuteamos)

Un argumento maacutes preciso seriacutea como S tiende a infinito tanto en losbordes de la regioacuten como en infinito podemos hallar un rectaacutengulo Rdentro de A (que contenga al punto P) de manera tal que fuera del rec-taacutengulo (y en el borde) la funcioacuten sea estrictamente mayor que 600



Restringimos la funcioacuten S al rectaacutengulo R y buscamos el miacutenimo ab-soluto de S|R (que existe por el Teorema de Weirstrass) El miacutenimono puede estar en el borde porque alliacute es estrictamente mayor que enP donde S vale 600 Entonces el miacutenimo se alcanza en un punto delinterior de R y en ese punto el gradiente tiene que ser nulo pues enparticular es miacutenimo local Pero como el uacutenico punto donde se anula elgradiente de S es P el miacutenimo absoluto tiene que ser P

Ahora bien esto de que la funcioacuten a minimizar tiende a infinito en losejes y en infinito tambieacuten es un tanto impreciso y deberiacuteamos podermostar el recinto R donde estamos seguros que debe estar el oacuteptimoNo vamos a hacer esto en general pero para este ejemplo particularvamos a mostrar coacutemo se puede hacer

Seraacute uacutetil el siguiente caacutelculo auxiliar para t gt 0 la funcioacuten g(t) =t + 40

t tiene un miacutenimo absoluto en t = 2radic10 y el valor miacutenimo es

4radic10 Esto es faacutecil de ver haciendo un estudio del crecimiento y de-

crecimiento de la funcioacuten como gprime(t) = 1minus 40t2 la derivada es negativa

para t isin (02radic10) y positiva para t gt

radic10

Supongamos que yge 25 entonces

S(xy) = 2xy+2000

y+

2000xge 50x+

2000x

= 50(x+40x)ge 50 middot4

radic10 632gt 600= S(P)

Similarmente cuando x ge 25 entonces S(xy)gt 600 Ahora suponga-mos que 0lt yle 1 entonces 1yge 1 y asiacute

S(xy) = 2xy+2000

y+

2000x

gt2000

yge 2000gt 600= S(P)

Con el mismo argumento S(xy)gt 600= S(P) si 0lt xle 1Ya tenemos nuestra regioacuten ahora podemos precisar el argumento paraterminar de probar que el miacutenimo absoluto de S estaacute en el punto P =(1010) Sea

R = (xy) 1le xle 25 1le yle 25



las cotas que encontramos recieacuten nos dicen que en el borde y por fuerade R tenemos Sgt 600 Buscamos el miacutenimo absoluto de S|R (que existeya que S es continua y R es compacto) Tiene que estar en el interiorporque P isin R y alli la funcioacuten vale 600 (mientras que en el bordees estrictamente mayor) Como el miacutenimo tiene que estar en el interiorque es abierto el gradiente tiene que ser nulo alliacute Como el uacutenico puntocriacutetico que hallamos fue P ese tiene que ser el miacutenimo absoluto de S|Ry por ende es el miacutenimo absoluto de S|A

EJEMPLO 624 Queremos construir de nuevo una caja pero ahoratenemos 12m2 de cartoacuten para las 6 tapas entonces iquestCuaacuteles son las di-mensiones de la caja para que el volumen contenido sea maacuteximoEl volumen de la caja es nuevamente V = xyz donde xyz son las va-riables positivas que representan las longitudes de los lados de la cajaLa restriccioacuten para la superficie es que

S = 2xy+2xz+2yz = 12

De esta restriccioacuten podemos despejar una de las variables nuevamenteelegimos despejar z como 2xy+2(x+ y)z = 12 obtenemos

z =12minus2xy2(x+ y)

=6minus xyx+ y

Antes de seguir vamos a hacer una observacioacuten como debe ser z gt 0tenemos una restriccioacuten adicional que es

6minus xyx+ y

gt 0

como x+ y gt 0 (pues tanto x como y lo son) debe ser 6minus xy gt 0 oequivalentemente xy lt 6Entonces la funcioacuten volumen a optimizar es

V (xy) = xy middot 6minus xyx+ y

=6xyminus x2y2

x+ y



en el dominio

A = (xy) x gt 0 y gt 0 xy lt 6

Vamos a hallar los puntos criacuteticos de V en la regioacuten A para eso vemosdoacutende se anula el gradiente

Vx(xy) =minusy2(x2+2xyminus6)

(x+ y)2= 0

Vy(xy) =minusx2(y2+2xyminus6)

(x+ y)2= 0

Descartada la solucioacuten nula tenemos dos ecuaciones

x2+2xyminus6= 0 y2+2xyminus6= 0

Si las restamos obtenemos x2= y2 y como ambos son positivos debe serx = y Reemplazamos en la primer ecuacioacuten y nos queda x2+2x2minus6=0 lo que nos dice que 3x2 = 6 luego x2 = 2 y asiacute debe ser x = y =

radic2

El uacutenico punto criacutetico de V es P = (radic2radic2) y alliacute el volumen vale

V (radic2radic2) = 2 middot 6minus2

2radic2=

4radic2= 2radic2

(en el uacuteltimo paso racionalizamos la fraccioacuten) Afirmamos que este esel maacuteximo absoluto de la funcioacuten V en la regioacuten A El argumento essimilar al del ejemplo anterior

Podemos calcular z pues lo teniamos en funcioacuten de xy Entonces elvolumen maacuteximo se alcanza cuando x = y = z =

radic2 y este volumen

es V = 2radic2

OBSERVACIOacuteN 625 Nuevamente podemos observar que el oacuteptimose alcanza cuando los tres lados son iguales y la caja es un cubo Es-to es vaacutelido para cualquier restriccioacuten de superficie la caja que tienemayor volumen (para una superficie dada) es cuacutebica



63 Extremos absolutosbull Corresponde a clase en video 65

Nuevamente enunciamos el Teorema de Weierstarass ya que en estaseccioacuten estudiaremos extremos de funciones en regiones compactas


Entonces podemos garantizar que restrigiendo adecuadamente el do-minio una funcioacuten continua siempre tendraacute maacuteximo y miacutenimo (quese puede alcanzar en uno o maacutes puntos del dominio como discutimosanteriormente) Lo que hay que tener presente es que los extremos sepueden alcanzar tanto dentro del dominio como en los bordes Comen-cemos con una variable

EJEMPLO 632 (Extremos absolutos en un intervalo) Hallar los ex-tremos absolutos de

f (x) = 10x middot eminus2x2+3x

en el intervalo [minus10] Calculamos la derivada

f prime(x) = 10 middot eminus2x2+3x+ 10x middot eminus2x2+3x middot (minus4x+3)

= 10 middot eminus2x2+3x middot (minus4x2+3x+ 1)

y buscamos los puntos criacuteticos igualandola a cero Tenemos que buscarlas raiacuteces de

minus4x2+3x+ 1= 0

que son x1 = minus14 x2 = 1 (pero el segundo no estaacute en el intervaloque nos interesa) Agregando los bordes los puntos criacuteticos en nuestrointervalo son

pc= minus1minus140

No es necesario hacer un estudio del tipo de punto criacutetico porque bus-camos extremos absolutos Hacemos una lista del valor de f en cada



punto criacutetico y los comparamos El valor maacuteximo y el valor miacutenimo eslo que buscamos

x f (x)

minus1 10eminus2minus3 middot (minus1) minus10eminus5 minus0066minus14 10eminus18minus34 middot (minus14) minus52 middot eminus78 minus104 miacuten

0 10e0 middot0 0 0 maacutex

Notamos que el miacutenimo se alcanza en el interior del intervalo [minus10]pero el maacuteximo se alcanza en un borde

Vamos a terminar este texto con un ejemplo de extremos absolutos parauna funcioacuten de dos variables

EJEMPLO 633 Hallar los extremos absolutos de

f (xy) = x2+ y2minus2xminus2y

en el conjunto K = (xy) x2+y2le 4 Claramente f es continua y elconjunto es compacto asiacute que existen maacuteximo y miacutenimo absoluto def |KPara hallarlos busquemos primero los puntos criacuteticos en el interior delconjunto para eso buscamos donde se anula el gradiente de f

fx(xy) = 2xminus2= 0 fy(xy) = 2yminus2= 0

Encontramos el punto P= (11) como uacutenico punto criacutetico y vemos queestaacute en el interior de K (que es un disco de radio 2) Ahora queremosestudiar f |bd(K) pero a diferencia del caso de una variable el borde estoda una curva (son infinitos puntos)Lo que vamos a hacer es estudiar f con esa restriccioacuten para eso nota-mos que la curva

α(t) = (2cos(t)2sen(t))

recorre el borde de K cuando t isin [02π] Entonces le damos a (xy)



esos valores y estaremos evaluando f uacutenicamente en el borde

t 7rarr f (2cos(t)2sen(t))

Llamemos g(t) a esta composicioacuten (g es una funcioacuten auxiliar) Tene-mos que estudiar entonces los extremos en el intervalo I = [02π] de lafuncioacuten

g(t) = f (2cos(t)2sen(t))g(t) = (2cos(t))2+(2sen(t))2minus2 middot2cos(t)minus2 middot2sen(t)g(t) = 4minus4cos(t)minus4sen(t)

En este caso entonces redujimos el problema de estudiar f en el bordede K a estudiar una funcioacuten de un variable en un intervalo compactoEs un problema auxiliar lo resolvemos como hicimos con el primerejemplo tenemos t = 0 t = 2π como puntos criacuteticos por estar en elborde del intervalo y ahora buscamos tambieacuten los ceros de la derivadade g en el interior del intervalo

gprime(t) = 4sen(t)minus4cos(t) = 0

de donde vemos que debe ser cos(t) = sen(t) Notemos que si el co-seno se anula (en π2 y tambieacuten en 3π2) la ecuacioacuten no se verificaporque el seno no se anula alliacute Entonces podemos suponer que t no esninguno de estos dos nuacutemeros y dividir por cos(t) para ver que debeser tg(t) = 1 Las soluciones de esta ecuacioacuten son 2 tenemos t1 = π4

y tambieacuten t2 = 5π4 (tambieacuten puede verse que en esos dos puntos de lacircunferencia trigonomeacutetrica es donde el seno es igual al coseno)

Resumiendo los puntos criacuteticos de g en el intervalo [02π] son

pc= 0π4 5π42π

Pero iquesta queacute puntos del borde de la circunferencia corresponden estosvalores de t Es faacutecil de calcular ya que estamos recorriendo la cir-



cunferencia de radio 2 con el paraacutemetro del arco Reemplazamos en laparametrizacioacuten α(t) y vemos que corresponden a los puntos

pc= (20) (radic2radic2) (minus

radic2minusradic2) (20)

Estos son los puntos criacuteticos de f |bd(K) el punto (20) aparece repetidoporque la curva que usamos para parametrizar el borde comienza ytermina en el mismo lugar Entonces tenemos que sumar estos puntoscriacuteticos al del interior P = (11) y esos son todos los puntos criacuteticosde f |K los extremos absolutos tienen que estar entre ellos Hacemos latabla de valores y buscamos maacuteximo y miacutenimo

(xy) f (xy)

(11) 1+ 1minus2minus2 minus2 minus2 miacuten(20) 4+0minus4minus0 0 0

(radic2radic2) 2+2minus2

radic2minus2

radic2 4minus4

radic2 minus165

(minusradic2minusradic2) 2+2+2

radic2+2

radic2 4+4

radic2 965 maacutex

Esta funcioacuten alcanza maacuteximo absoluto en el borde del disco de radio2 y el miacutenimo absoluto en el interior Puede verse su graacutefico en elapplet de Geogebra

Estos ejemplos concluyen nuestra presentacioacuten de los temas de extre-mos absolutos de funciones con los que cerramos el texto y nos des-pedimos ojalaacute les haya sido uacutetil y a la vez entretenido


Iacutendice alfabeacuteticoA

area entre curvas 151autoespacio 50autovalor 50autovector 50

B

basede autovectores 52ortogonal 43ortonormal 43

bola abierta 62borde de un conjunto 65

C

cambio de base 48cilindro hiperboacutelico 93cilindro paraboacutelico 76cilindro recto 92clausura de un conjunto 66cociente incremental 115combinacioacuten lineal 24

trivial 34complemento de un conjunto 63conjunto

abierto 63acotado 69acotado inferiormente 57

acotado superiormente 57cerrado 66compacto 69conexo 113

cono 90continuidad

de una funcioacuten 111esencial 111evitable 111

cota inferior 57cota superior 57criterio del determinante 172

174criterio del Hessiano 168cuaacutedrica superficie 83 87curvas de nivel 83

D

derivada 115derivadas

cruzadas 145direccionales 128parciales 124sucesivas 122

determinante 28diagonalizacioacuten 52

de una matriz simeacutetrica 53dimensioacuten

185


del conjunto de soluciones 18Teorema de la (matrices) 42

direccioacuten (de un vector) 8direccioacuten de mayor crecimiento

130disco abierto 62distancia 62dominio de una funcioacuten 39

E

ecuacioacuten diferencial 153ecuacioacuten lineal 16eje 8

de abcisas 8de ordenadas 8

elipsoide 95esfera 88extremo (de un vector) 8

F

forma canoacutenicade una cuaacutedrica 83de una funcioacuten cuadraacutetica 77

frontera de un conjunto 65funcioacuten

antiderivada 148continua 111creciente 121cuadraacutetica 39 73de clase Ck 122 125decreciente 121derivable 119escalar 71integral 149inyectiva 39moacutedulo 60

primitiva 148sobreyectiva 39

G

Gauss meacutetodo de 18graacutefico 71

H

hiperboloidede dos hojas 91de una hoja 88

I

imagen de una funcioacuten 39independencia lineal 33infimo 58integracioacuten por partes 150integral

definida 149indefinida 148

L

liacutemitea lo largo de curvas 106de la composicioacuten 102de la suma 102del cociente 102del producto 102en Rn 101en infinito 100en una variable 99lateral 101que da infinito 102

longitud (de un vector) 8

M

maacuteximo 59



absoluto 181local 161

meacutetodo de separacioacuten devariables 155

moacutedulo 60miacutenimo 59


matriz 21ampliada de un sistema lineal

18autovalor 50autovector 50coeficientes 21de cambio de base 48de rotacioacuten en el espacio 45de rotacioacuten en el plano 43de simetriacutea 44definida negativa 54definida positiva 54diagonal 52diagonalizable 52diferencial (de un campo)132Hessiana 145identidad 26indefinida 54inversa 27inversible 28nuacutecleo 40nula 26operaciones con 21ortogonal 43polinomio caracteriacutestico 50rango 40semi-definida negativa 54

semi-definida positiva 54simeacutetrica 23tamantildeo 21traspuesta 22

N

nuacutecleo de una matriz 40

O

operaciones con filas 17orientacioacuten de una base

en el espacio 47en el plano 44

origen (de un vector) 8origen de coordenadas 8

P

par ordenado 8paraboloide de revolucioacuten 74paraboloide eliacuteptico 75partes (meacutetodo de integracioacuten)

150plano

cartesiano 8ecuacioacuten impliacutecita 15euclideo 8forma parameacutetrica 14por tres puntos 14

plano tangente 126polinomio caracteriacutestico de una

matriz 50polinomio de Taylor 137primitiva (de una funcioacuten 148producto

cartesiano 8de matrices 22



de un nuacutemero por un vector 9interno (o escalar) de vectores

10vectorial 14

propiedadldquocero por acotadardquo (del liacutemite)

103del sandwich (del liacutemite) 103

punto criacutetico 165punto interior 63punto silla 167

R

rango de una matriz 40recta tangente 117rectas

alabeadas 16ortogonales 16paralelas 13 16

regla de la cadena 119 134regla de la mano derecha 47regla del paralelogramo 9

S

segmento 12segunda Ley de Newton 157sentido (de un vector) 8silla de montar 75sistema de ecuaciones lineales16sistema lineal

clasificacioacuten 18compatible determinado 18compatible indeterminado 18equivalente 16homogeacuteneo asociado 23homogeacuteno 16

incompatible 18solucioacuten 16 18

subespacio 25 33base de 35dimensioacuten 35generadores 25 35

sumade matrices 22de vectores 9

superficieciliacutendrica 92esfeacuterica 88

superficies de nivel 87supremo 58sustitucioacuten (meacutetodo de

integracioacuten) 150

T

Taylorde primer orden 138de segundo orden 140de segundo orden (2 variables)

144Teorema

de Bolzano 114de la dimensioacuten para matrices

42de Lagrange 121de Rolle 121de Weierstrass 114fundamental del caacutelculo

integral 151terna ordenada 11transformacioacuten lineal 40



V

valor maacuteximo (de una funcioacuten)115

valor miacutenimo (de una funcioacuten)115

vector 8

gradiente 124longitud 10norma 10ortogonal 11

vectoreslinealmente dependientes 33linealmente independientes 33




Bibliografiacutea[1] R Courant J Fritz Introduccioacuten al caacutelculo y el anaacutelisis

matemaacutetico Vol 1 y 2 Ed Limusa-Wiley Meacutejico 1998

[2] S Lang Introduccioacuten al aacutelgebra lineal Ed Addison-Wesley Iberoamericana Argentina 1990

[3] G Larotonda Caacutelculo y Anaacutelisis Publicaciones del De-partamento de Matemaacutetica de la FCEyN-UBA (2010)

[4] JE Marsden AJ Tromba Caacutelculo vectorial EdAddison-Wesley Iberoamericana Argentina 1991

[5] R J Noriega Caacutelculo diferencial e integral Ed Docen-cia Buenos Aires 1987

[6] J Stewart Caacutelculo en varias variables 7ma edicioacuten Cen-gage Learning Editores (2012)

191

Vectores y sistemas lineales

Operaciones con vectores

Rectas y planos

Sistemas de ecuaciones lineales

Matrices

Determinante

Subespacios autovalores y diagonalizacioacuten

Bases de subespacios

Transformaciones ortogonales

Diagonalizacioacuten

Conjuntos y funciones en la recta y el espacio

Conjuntos en la recta y el espacio

Funciones graacuteficos

Curvas y superficies de nivel

Liacutemite y derivadas de funciones

Liacutemites y continuidad

Derivadas parciales

Diferencial y regla de la cadena

Taylor integracioacuten y ecuaciones diferenciales

Polinomio de Taylor

Integracioacuten

Ecuaciones diferenciales

Extremos de funciones optimizacioacuten

Extremos locales

Optimizacioacuten

Extremos absolutos

Iacutendice alfabeacutetico


















5





Capiacutetulo 1








origen

extremo

longitud

direccioacuten



7



R2 = (ab) ab isin R

x

y

v2

v1

V = (v1v2)

(00)













V 12V

2V

minusVminus12V



V

WOV +W




W )+Z =V +(W +Z)










V=radic

v21 + v22












1 V middotV = V2







cosα =V middotWVW

(111)

V

WO

αV

WO

α = π2 (90o)

V perpW













3 V=radic








L tV +P t isin R




PQP QO






L1 tV +P L2 sW +Q










PQ

O


R

QminusP

RminusP

Π



V timesW =

∣∣∣∣∣∣∣i j kv1 v2 v3w1 w2 w3















P

O V

WΠ

Nπ =V timesWX

XminusP






Π ax+by+ cz = d









Π1

Π2

L = Π1capΠ2





S




(131)











S1













Sol= 0

COMPATIBLE


Sol= P



SISTEMA LINEAL














0 0 0 3 1 ndash2 1 00 0 0 0 0 7 ndash1 2

(132)







7x6minus x7 = 2


7x6 = 2+ x7 =rArr x6 = 17 x7+ 27




x1 = 23 x3+ 199 x5+ 119 x7+ 29


(23

x3+199

x5+119

x7+29x2x3

minus13

x5minus521

x7+421x5

17

x7+27x7)




vectores como







A =




isin Rktimesn









AB =


minus Fk minus

| | |

C1 C2 Cd

| | |

=













A =

2 3ndash1 04 ndash2


(2 ndash1 43 0 2

)isin R2times3



AX = b


AX =




x1x2

xn

=










A(V +P) = AV +AP = O+b = b











A(λV ) = λ(AV ) = λO= O




A(V +W ) = AV +AW = O+O= O


1 O isin S











(217) = α(131)+β(02minus1)


3 2 11 -1 7


0 2 -50 0 5



A+O= A


I2 =

(1 00 1

) I3 =

1 0 00 1 00 0 1

I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1




A In = A = In A


AB = In = BA






















a21 a22

∣∣∣∣∣= det

(a11 a12

a21 a22








det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣3 2 -71 2 04 -2 9

∣∣∣∣∣∣∣= 3

∣∣∣∣∣ 2 0-2 9


∣∣∣∣∣ 1 04 9

∣∣∣∣∣+(minus7)

∣∣∣∣∣ 1 24 -2



3 2 -71 2 04 -2 9

∣∣∣∣∣∣∣= (minus1)

∣∣∣∣∣ 2 -7-2 9

∣∣∣∣∣+2

∣∣∣∣∣ 3 -74 9


∣∣∣∣∣ 3 24 -2









B =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 -1 0 53 0 -2 01 -1 4 32 3 0 1


= (minus1) middot3

∣∣∣∣∣∣∣-1 0 5-1 4 33 0 1

∣∣∣∣∣∣∣+0

∣∣∣∣∣∣∣2 0 51 4 32 0 1


∣∣∣∣∣∣∣2 -1 51 -1 32 3 1

∣∣∣∣∣∣∣+0

∣∣∣∣∣∣∣2 -1 01 -1 42 3 0




1 det(At) = det(A)













Capiacutetulo 2







33


V4

V1 V3

V2O





W

V

O

W

V

O

W

V

O

W

V

O









V1 =minus12V2+0V3



es imposible














ax+by = 0











ax+by+ cz = 0







S














E2 = (01)

E1 = (10)O

E2

E3

O

E1






E = E1E1= (10)(01)


E = E1E2E3= (100)(010)(001)





(AB)t = BtAt
































A =

(0 01 2

)


Ran(A) = (01)








o equivalentemente



1 U es ortogonal





B = V1V2 Vn


Bprime = UV1UV2 UVn



Uθ =

(cosθ - senθ

senθ cosθ

)




E2

E1

O

V2 =UE2

O

V1 =UE1

θ = π4

Uθ



B = V1V2= (radic22

radic22) (-

radic22

radic22)




V

W

U

y = x

y = x

UW

UV

+

minus





U =

(0 11 0





U zθ=



U xθ =


0 senθ cosθ

U yθ=

cosθ 0 - senθ

0 1 0senθ 0 cosθ




z

z=0

V

W

UzθV

UzθW

U zθ

Usim

UsimW=W

UsimV

θ θ



Usim =

1 0 00 1 00 0 -1

Usim middot

001

=

00-1




V1

V2

V3







B = V1V2 Vn


U =

| | |V1 V2 Vn

| | |




efecto

U t U =


minus Vn minus

| | |

V1 V2 Vn

| | |

=





U tU =



= In



CE1 =

(v1 w1

v2 w2

)(10

)=

(v1v2

)=V


CEi =

| | |V1 V2 Vn

| | |

|Ei

|

=Vi












O

U

Ω

Ωprime =UΩ

O

Ω

L

Lprime =UL
















(-10 -618 11

)




p(λ) =






18 11minusλ1 0

)=

(-10 ndash (-1) -6 0

18 11 ndash (-1) 0

)=

(-9 -6 018 12 0

)


















D =

(-1 00 2


C =

(2 1

-3 -2

)




(2 1-3 -2

) En-


CDCminus1 =

(2 1

-3 -2

)(-1 00 2

)(2 1-3 -2

)

=

(-2 23 -4

)(2 1-3 -2

)=

(-10 -618 11

)= A

La matriz A=

(3 01 3










A =UDU t















〈AVV 〉= λ1α21 +λ2α


2n














Capiacutetulo 3




7R

0

A1


57


R

0

A2

minus10

R0

A3

minus1 3 7 9


R0

A4

1= 20

2= 21 4= 22 8= 23 16= 24


R0

A5

14 13 12 1= 111n














7R

0

A1

R

0

A2

minus10

R0

A3

minus1 3 7 9



R0

A4

1= 20

2= 21 4= 22 8= 23 16= 24

R0

A5

14 13 12 1= 111n








|x|=







|yx|= |y||x|

|x+ y| le |x|+ |y|

|x|= dist(x0)






xgeminus3xle 3




0minusr r

minusr le xle r

R 0minusr r

minusr lt x lt r

R





I = (xminus rx+ r)


xxminus r x+ r


R









Pr Q

rprime








P3r3 B3

P2r2 B2

P4r4 B4

P1r1

B1

P5

r5B5

P6r6 B6

P7r7 B7

A




Ac = X A

















P2

Q2

Q1

P1

A

Ac




A = Acupbd(A)


Por ejemplo








A















D =C

C = DcupS

S = bd(C) = bd(D)

x

y


bd(C) = (xy) x2+ y2 = 9= S








y = ln(x)

A = x ln(x)le 1

x

y

0 1 e

Figura 34
























10 El conjunto





(010)

y

x

z(001)

(100)

K


plano z = 0

plano x+ y+ z = 1


































y

x

z

z = x2+ y2







U =

1 0 00 1 00 0 minus1

yx

z

z = 4x2+9y2r = 3r = 2








z

z = x2minus y2

yx


z = x2minus y2

Silla de montar






indefinidamente

y

z

z = x2















A =

(α β

β γ

)


A =

(6 minus2minus2 9

)


AX =

(6 minus2minus2 9

)

(xy

)=


)









radic5) V2 = (2

radic5 1

radic5)


U =

(| |

V1 V2

)=

(minus1radic5 2

radic5

2radic5 1

radic5

)



x+2radic5


x+1radic5

y







z =

(10 00 5

)(uv

)middot (uv)



10=radic102 5=

radic52


5v vemos que

z = 10u2+5v2 = (radic10u)2+(

radic5v)2 = x21 + x22


z = x21 + x22



A =

(0 1212 0




luego



V1 = (1radic2 1

radic2) V2 = (1

radic2 -1radic2)


U =

(1radic2 1

radic2

1radic2 -1radic2

)



x+1radic2


x+minus1radic2

y











z =

(12 00 minus12

)(uv

)middot (uv)



radic2 x2 = v

radic2 y obtenemos

z =12

u2minus 12

v2 = (1radic2

u)2minus (1radic2

v)2 = x21 minus x22






















yx

z

z = 1

z = 2




yx

z


y

x

z

z = x2+ y2



x2

R2minusy2


yR)2 = 1




u

v

u2minus v2 = 1




z =minus1

z = 1







f (xyz) = cte










Esfera

x2+ y2+ z2 = 1

z

y

x







y

x

z

11


yx

z

x2+ y2minus z2 = 1






x2

R2 +y2

R2minusz2

R2 = 1 =rArr (xR)2+(

yR)2minus (

zR)2 = 1


Ry 1Rz) tenemos





yx

z

x2+ y2 = z2


Cono recto










y

z

z2minus y2 = 1


yx

z












yx

z

x2+ y2 = 1

Cilindro







y

z

z2minus y2 = 1

x








Elipsoide

x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 1

z

yx

ab

c


x2

a2 +y2

b2 +z2

c2= 1












Cono z2 = x2+ y2

Cilindro x2+ y2 = 1





A =

2 1 01 2 00 0 minus1


V1 = (1radic2 1


radic20) V3 = (001)





radic2y


radic2y

x3 =V3 middotX = z












Capiacutetulo 4






99





`

x0

Gr( f )

x

y


0lt |yminus `|lt ε























`









limXrarrX0

f (X)

g(X)=

limXrarrX0 f (X)

limXrarrX0 g(X)






L









δ gt 0 tal que




minusinfin





| f (t)| le |g(t)|








|g(t)|

minus|g(t)|

t0 t

f (t)










1 `= lim(xy)rarr(00)(1+ x2+ y4


`= lim(xy)rarr(00)

((1+ x2+ y4

) 1x2+y4

)minus7

y entonces

`=

(lim(xy)rarr(00)

(1+ x2+ y4

) 1x2+y4

)minus7= eminus7





(1+ y ln(x)2

) y3 ln(x)2 =

(1+ y ln(x)2

) y2

3middoty ln(x)2

=

((1+ y ln(x)2

) 1y ln(x)2

)y23



t = 1 tenemos



sen(5xy)5xy

= 5 middot 1= 5





xyminus xyminus 1



yminus 1







(xy)2 = x2+ y2






P x

y = f (x)

`1

`2

y






P








vemos que queda

f (x0) =x2minus02

x2+02 =x2

x2= 1


f (0y) =02minus y2

02+ y2=minusy2

y2=minus1


Sea f (xy) =xy



f (x0) =0x2

= 0


f (0y) =0y2

= 0


f (xmx) =x middotmx

x2+(mx)2=

m middot x2

x2+m2x2=

m middot x2

x2(1+m2)



1+m2




Sea f (xy) =x2y




x4+m2x2= limxrarr0

mx3

x4+m2x2

= limxrarr0mx3


mx(x2+m2)

=0

m2 = 0




f (xx2) =x2x2

x4+(x2)2=

x4

2x4=

12


Sea f (xy) =4x2y






x2+m2x2= limxrarr0

4mx3

x2+m2x2

= limxrarr04mx3

x2(1+m2)= limxrarr0

4mx(1+m2)

=0

1+m2 = 0




=4x2|y|x2+ y2





lim(xy)rarr(00)4x2y

x2+ y2= 0





Continuidad


























C = im(α)

α(a)α(b)





α(t) = (x(t)y(t))
























Gr( f )

x

im( f )|K = [mM]

K

M

m

QP1 P2












h



yminus x

x

y

Gr( f )

L tan

f (x0)dx

dy

L sec

x0








h= limhrarr0+

hminus0h

= 1



mientras que


h= limhrarr0minus

minushminus0h

=minus1



dydx

=f (x)minus f (x0)

xminus x0













x gt 0 ln(x) 1x

R ex ex

a 0 R ax ax ln(a)

R sen(x) cos(x)







x13

x

y

x

y

x

y

y = |x| y = x23 y = x43










)prime=


g2




fminus1)prime(y) =




para todo y isin B





1f prime(x)



f (x) f prime(x)

tan(x) 1cos2(x)





arctan(x) 11+x2

cosh(x) senh(x)

senh(x) cosh(x)





2 senh(x) =

exminus eminusx

2








bminusa

























f prime(x) =73



xminus13




f (x) =

x2 sen(1x) x 0

0 x = 0








f prime(x) =


0 x = 0











part fpartx



part fpartx




(P)part fparty

(P))



part

partz

(x3z2+ ln(z2+ y3)

)= 2x3z+

1(z2+ y3)

middot2z





(x0y0z0)part fparty

(x0y0z0)part fpartz

(x0y0z0))


part fpartx


xminus x0


part fparty


yminus y0



part fpartx

part fparty

part fpartz

etc


part fpartx


(P) = fy(P) etc




nuas en A










z =part fpartx










P = (x0y0)

(P f (P))

A = Dom( f )

Gr( f )Π



z = x+ y+2= π(xy)





dado por







f (xyz)Π(xyz)




part fpartV


t



part fpartV


t= limXtrarrX0

f (Xt)minus f (X0)

XtminusX0

donde Xt = X0+ tV





Π

recta por PQ

(X0 f (X0)) = P


(X f (X)) = Q

X0

X = X0+ tV

dist = t







part fpartV



(x0y0)





f (xy) =

x3y

x6+ y2si (xy) (00)

0 si (xy) = (00)





part fpartV



part fpartV

(x0y0) = v1 fx(P)+ v2 fy(P)






(P)le nabla f (P)




V =1













g(P)2












definimos

DF(P) =


)=

(part f1partx (P)

part f1party (P)

part f2partx (P)

part f2party (P)

)


DF =

(partxpartu

partxpartv

partypartu

partypartv

)





(P)part fparty

(P)partxpartz(P))









DF =


isin R3times2


























part fpartv

)(xprimeyprime)〉

luego


partvmiddot yprime




partymiddot yprime








partgpartx

=part fpartu


partx(x2+3y)+

part fpartv


partx(2x3minus y2)

=part fpartu




partgparty

=part fpartu


party(x2+3y)+

part fpartv


party(2x3minus y2)

=part fpartu




part fpartx



part fpartx




Capiacutetulo 5










137















esy = x





2x2


sen(x) x




y = 1+ x









ex 1+ x























6middot |x|3 le 1

6middot 133 00061lt 001



1

y = sen(x)

x

y

1 π2

minusπ2

minus1

y = P(x) = x


sen(x) x









6middot |x|3 le 1

6middot 133 00061lt 001



1

y = cos(x)

x

y

minusπ2















1

y = ex

x

y







part fpartx(x0y0)

partPparty(x0y0) =

part fparty(x0y0)















H f (x0y0) =







part2 fpartx party

(x0y0) =part2 f

party partx(x0y0)








+ 12 middot part2 f


2 fparty2


+part2 fpartypartx





C isin PX tal que



3 fparty3



















z = x+ y+2= π(xy)



































f = F + c c isin R


F prime = F + c


af = F(x)






af de-


Iprime(x) =(int x

af)prime

= f (x)



f =int

f (x)dxint b

af =

int b

af (x)dx = F(x)

∣∣x=bx=a





f gprime

como definidasint b


∣∣baminus

int b

af (x)gprime(x)dx




f (u)du = F(u)+ c = F(g(x))+ c






int

f +g =int

f +int

g


λ f = λ

intf


af =

int b

af +

int c

bf


af =minus

int a

bf






af ge

int b

ag

En generalint b





A =int b

af (x)dx


x

y

a b

y = f (x)

A


a(gminus f ) =

int b

agminus

int b

af




x

y

ab

y = g(x)

y = f (x)

A


A =int b

a(minus f ) =minus

int b

af

x

y

a b

y = f (x)

A





x

y

a b

y = g(x)

y = f (x)

A2

c dA1

A3


A = A1+A2+A3 =int c

a(gminus f )+

int d

c( f minusg)+

int b

d(gminus f )





∆t=

∆ f∆t










f prime(x)f (x)

= 3 forallx


f (x)dx =

int3dx = 3x+ c




nos queda


f (x)dx =

int 1u

du = ln |u|= ln | f (x)|= ln f (x)




105 = f (1) = k middot e3


f (x) =105

e3middot e3x










dydx

= 3y


dyy= 3 dx


ydy =

int dyy

= 3int

dx












v =int

dv =int



v(t) = t +2


d pdt

= pprime = v = t +2


p =int


t2

2+2t + k




10= p0 = p(t0) = 12 middot t20+2t0+ k = 12+2+ k


p(t) = 12 middot t2+2t + 172





SALE

TOTALy =

5100

y =120

y




yprime =minus 120

y



1y

dy =minus 120

dx










Capiacutetulo 6









161













f (x) = x2(1minus x)gt 0= f (0)








paraboloide


f (xy) = x2+ y2 ge 0= f (00)





f (xy) = x2 ge 0= f (00)





y

zz = x2

x











z =minusy2

x

z

y














x

y

x

y

x

y

y = |x| y = x23

y = x35



f (xy) =radic


fx(xy) =xradic

x2+ y2 fy(xy) =

yradicx2+ y2
























Entonces


asiacute que



f (X)gt f (X0)


































H f (xy) =(

2 00 2

)





)



X0

X0

X0






H f (xy) =(

2 00 minus2

)








H f (xy) =(

2 00 0

)




M =

(a11 a12

a21 a22













+ 00 +

) (minus 00 minus

) (+ 00 minus

















Tenemos

H f (P1) =

(2 00 minus4



H f (P2) =


)









M =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33


MP =

(a11 a12

a21 a22







det(M) = λ1λ2λ3


0 + 00 0 +










S = 2xy+2xz+2yz


S(xy) = 2xy+2x1000

xy+2y

1000xy

= 2xy+20001y+2000

1x








= 0


S(1010) = 2 middot 102+200+200= 600














radic10


S(xy) = 2xy+2000

y+

2000xge 50x+

2000x


radic10 632gt 600= S(P)


S(xy) = 2xy+2000

y+

2000x

gt2000

yge 2000gt 600= S(P)







S = 2xy+2xz+2yz = 12



=6minus xyx+ y


6minus xyx+ y

gt 0



=6xyminus x2y2

x+ y



en el dominio




(x+ y)2= 0


(x+ y)2= 0




radic2



2radic2=

4radic2= 2radic2




es V = 2radic2














minus4x2+3x+ 1= 0


pc= minus1minus140





x f (x)























pc= 0π4 5π42π








(xy) f (xy)



radic2minus2

radic2 4minus4

radic2 minus165


radic2+2

radic2 4+4

radic2 965 maacutex






B



C





cono 90continuidad




D





185





E




F





G


H


I



L



M

maacuteximo 59










N


O




P


150plano








10vectorial 14




R




S









T


144Teorema






V



vector 8













191



Rectas y planos


Matrices

Determinante











Derivadas parciales



Polinomio de Taylor

Integracioacuten



Extremos locales

Optimizacioacuten

Extremos absolutos






Capiacutetulo 1








origen

extremo

longitud

direccioacuten



7



R2 = (ab) ab isin R

x

y

v2

v1

V = (v1v2)

(00)













V 12V

2V

minusVminus12V



V

WOV +W




W )+Z =V +(W +Z)










V=radic

v21 + v22












1 V middotV = V2







cosα =V middotWVW

(111)

V

WO

αV

WO

α = π2 (90o)

V perpW













3 V=radic








L tV +P t isin R




PQP QO






L1 tV +P L2 sW +Q










PQ

O


R

QminusP

RminusP

Π



V timesW =

∣∣∣∣∣∣∣i j kv1 v2 v3w1 w2 w3















P

O V

WΠ

Nπ =V timesWX

XminusP






Π ax+by+ cz = d









Π1

Π2

L = Π1capΠ2





S




(131)











S1













Sol= 0

COMPATIBLE


Sol= P



SISTEMA LINEAL














0 0 0 3 1 ndash2 1 00 0 0 0 0 7 ndash1 2

(132)







7x6minus x7 = 2


7x6 = 2+ x7 =rArr x6 = 17 x7+ 27




x1 = 23 x3+ 199 x5+ 119 x7+ 29


(23

x3+199

x5+119

x7+29x2x3

minus13

x5minus521

x7+421x5

17

x7+27x7)




vectores como







A =




isin Rktimesn









AB =


minus Fk minus

| | |

C1 C2 Cd

| | |

=













A =

2 3ndash1 04 ndash2


(2 ndash1 43 0 2

)isin R2times3



AX = b


AX =




x1x2

xn

=










A(V +P) = AV +AP = O+b = b











A(λV ) = λ(AV ) = λO= O




A(V +W ) = AV +AW = O+O= O


1 O isin S











(217) = α(131)+β(02minus1)


3 2 11 -1 7


0 2 -50 0 5



A+O= A


I2 =

(1 00 1

) I3 =

1 0 00 1 00 0 1

I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1




A In = A = In A


AB = In = BA






















a21 a22

∣∣∣∣∣= det

(a11 a12

a21 a22








det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣3 2 -71 2 04 -2 9

∣∣∣∣∣∣∣= 3

∣∣∣∣∣ 2 0-2 9


∣∣∣∣∣ 1 04 9

∣∣∣∣∣+(minus7)

∣∣∣∣∣ 1 24 -2



3 2 -71 2 04 -2 9

∣∣∣∣∣∣∣= (minus1)

∣∣∣∣∣ 2 -7-2 9

∣∣∣∣∣+2

∣∣∣∣∣ 3 -74 9


∣∣∣∣∣ 3 24 -2









B =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 -1 0 53 0 -2 01 -1 4 32 3 0 1


= (minus1) middot3

∣∣∣∣∣∣∣-1 0 5-1 4 33 0 1

∣∣∣∣∣∣∣+0

∣∣∣∣∣∣∣2 0 51 4 32 0 1


∣∣∣∣∣∣∣2 -1 51 -1 32 3 1

∣∣∣∣∣∣∣+0

∣∣∣∣∣∣∣2 -1 01 -1 42 3 0




1 det(At) = det(A)













Capiacutetulo 2







33


V4

V1 V3

V2O





W

V

O

W

V

O

W

V

O

W

V

O









V1 =minus12V2+0V3



es imposible














ax+by = 0











ax+by+ cz = 0







S














E2 = (01)

E1 = (10)O

E2

E3

O

E1






E = E1E1= (10)(01)


E = E1E2E3= (100)(010)(001)





(AB)t = BtAt
































A =

(0 01 2

)


Ran(A) = (01)








o equivalentemente



1 U es ortogonal





B = V1V2 Vn


Bprime = UV1UV2 UVn



Uθ =

(cosθ - senθ

senθ cosθ

)




E2

E1

O

V2 =UE2

O

V1 =UE1

θ = π4

Uθ



B = V1V2= (radic22

radic22) (-

radic22

radic22)




V

W

U

y = x

y = x

UW

UV

+

minus





U =

(0 11 0





U zθ=



U xθ =


0 senθ cosθ

U yθ=

cosθ 0 - senθ

0 1 0senθ 0 cosθ




z

z=0

V

W

UzθV

UzθW

U zθ

Usim

UsimW=W

UsimV

θ θ



Usim =

1 0 00 1 00 0 -1

Usim middot

001

=

00-1




V1

V2

V3







B = V1V2 Vn


U =

| | |V1 V2 Vn

| | |




efecto

U t U =


minus Vn minus

| | |

V1 V2 Vn

| | |

=





U tU =



= In



CE1 =

(v1 w1

v2 w2

)(10

)=

(v1v2

)=V


CEi =

| | |V1 V2 Vn

| | |

|Ei

|

=Vi












O

U

Ω

Ωprime =UΩ

O

Ω

L

Lprime =UL
















(-10 -618 11

)




p(λ) =






18 11minusλ1 0

)=

(-10 ndash (-1) -6 0

18 11 ndash (-1) 0

)=

(-9 -6 018 12 0

)


















D =

(-1 00 2


C =

(2 1

-3 -2

)




(2 1-3 -2

) En-


CDCminus1 =

(2 1

-3 -2

)(-1 00 2

)(2 1-3 -2

)

=

(-2 23 -4

)(2 1-3 -2

)=

(-10 -618 11

)= A

La matriz A=

(3 01 3










A =UDU t















〈AVV 〉= λ1α21 +λ2α


2n














Capiacutetulo 3




7R

0

A1


57


R

0

A2

minus10

R0

A3

minus1 3 7 9


R0

A4

1= 20

2= 21 4= 22 8= 23 16= 24


R0

A5

14 13 12 1= 111n














7R

0

A1

R

0

A2

minus10

R0

A3

minus1 3 7 9



R0

A4

1= 20

2= 21 4= 22 8= 23 16= 24

R0

A5

14 13 12 1= 111n








|x|=







|yx|= |y||x|

|x+ y| le |x|+ |y|

|x|= dist(x0)






xgeminus3xle 3




0minusr r

minusr le xle r

R 0minusr r

minusr lt x lt r

R





I = (xminus rx+ r)


xxminus r x+ r


R









Pr Q

rprime








P3r3 B3

P2r2 B2

P4r4 B4

P1r1

B1

P5

r5B5

P6r6 B6

P7r7 B7

A




Ac = X A

















P2

Q2

Q1

P1

A

Ac




A = Acupbd(A)


Por ejemplo








A















D =C

C = DcupS

S = bd(C) = bd(D)

x

y


bd(C) = (xy) x2+ y2 = 9= S








y = ln(x)

A = x ln(x)le 1

x

y

0 1 e

Figura 34
























10 El conjunto





(010)

y

x

z(001)

(100)

K


plano z = 0

plano x+ y+ z = 1


































y

x

z

z = x2+ y2







U =

1 0 00 1 00 0 minus1

yx

z

z = 4x2+9y2r = 3r = 2








z

z = x2minus y2

yx


z = x2minus y2

Silla de montar






indefinidamente

y

z

z = x2















A =

(α β

β γ

)


A =

(6 minus2minus2 9

)


AX =

(6 minus2minus2 9

)

(xy

)=


)









radic5) V2 = (2

radic5 1

radic5)


U =

(| |

V1 V2

)=

(minus1radic5 2

radic5

2radic5 1

radic5

)



x+2radic5


x+1radic5

y







z =

(10 00 5

)(uv

)middot (uv)



10=radic102 5=

radic52


5v vemos que

z = 10u2+5v2 = (radic10u)2+(

radic5v)2 = x21 + x22


z = x21 + x22



A =

(0 1212 0




luego



V1 = (1radic2 1

radic2) V2 = (1

radic2 -1radic2)


U =

(1radic2 1

radic2

1radic2 -1radic2

)



x+1radic2


x+minus1radic2

y











z =

(12 00 minus12

)(uv

)middot (uv)



radic2 x2 = v

radic2 y obtenemos

z =12

u2minus 12

v2 = (1radic2

u)2minus (1radic2

v)2 = x21 minus x22






















yx

z

z = 1

z = 2




yx

z


y

x

z

z = x2+ y2



x2

R2minusy2


yR)2 = 1




u

v

u2minus v2 = 1




z =minus1

z = 1







f (xyz) = cte










Esfera

x2+ y2+ z2 = 1

z

y

x







y

x

z

11


yx

z

x2+ y2minus z2 = 1






x2

R2 +y2

R2minusz2

R2 = 1 =rArr (xR)2+(

yR)2minus (

zR)2 = 1


Ry 1Rz) tenemos





yx

z

x2+ y2 = z2


Cono recto










y

z

z2minus y2 = 1


yx

z












yx

z

x2+ y2 = 1

Cilindro







y

z

z2minus y2 = 1

x








Elipsoide

x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 1

z

yx

ab

c


x2

a2 +y2

b2 +z2

c2= 1












Cono z2 = x2+ y2

Cilindro x2+ y2 = 1





A =

2 1 01 2 00 0 minus1


V1 = (1radic2 1


radic20) V3 = (001)





radic2y


radic2y

x3 =V3 middotX = z












Capiacutetulo 4






99





`

x0

Gr( f )

x

y


0lt |yminus `|lt ε























`









limXrarrX0

f (X)

g(X)=

limXrarrX0 f (X)

limXrarrX0 g(X)






L









δ gt 0 tal que




minusinfin





| f (t)| le |g(t)|








|g(t)|

minus|g(t)|

t0 t

f (t)










1 `= lim(xy)rarr(00)(1+ x2+ y4


`= lim(xy)rarr(00)

((1+ x2+ y4

) 1x2+y4

)minus7

y entonces

`=

(lim(xy)rarr(00)

(1+ x2+ y4

) 1x2+y4

)minus7= eminus7





(1+ y ln(x)2

) y3 ln(x)2 =

(1+ y ln(x)2

) y2

3middoty ln(x)2

=

((1+ y ln(x)2

) 1y ln(x)2

)y23



t = 1 tenemos



sen(5xy)5xy

= 5 middot 1= 5





xyminus xyminus 1



yminus 1







(xy)2 = x2+ y2






P x

y = f (x)

`1

`2

y






P








vemos que queda

f (x0) =x2minus02

x2+02 =x2

x2= 1


f (0y) =02minus y2

02+ y2=minusy2

y2=minus1


Sea f (xy) =xy



f (x0) =0x2

= 0


f (0y) =0y2

= 0


f (xmx) =x middotmx

x2+(mx)2=

m middot x2

x2+m2x2=

m middot x2

x2(1+m2)



1+m2




Sea f (xy) =x2y




x4+m2x2= limxrarr0

mx3

x4+m2x2

= limxrarr0mx3


mx(x2+m2)

=0

m2 = 0




f (xx2) =x2x2

x4+(x2)2=

x4

2x4=

12


Sea f (xy) =4x2y






x2+m2x2= limxrarr0

4mx3

x2+m2x2

= limxrarr04mx3

x2(1+m2)= limxrarr0

4mx(1+m2)

=0

1+m2 = 0




=4x2|y|x2+ y2





lim(xy)rarr(00)4x2y

x2+ y2= 0





Continuidad


























C = im(α)

α(a)α(b)





α(t) = (x(t)y(t))
























Gr( f )

x

im( f )|K = [mM]

K

M

m

QP1 P2












h



yminus x

x

y

Gr( f )

L tan

f (x0)dx

dy

L sec

x0








h= limhrarr0+

hminus0h

= 1



mientras que


h= limhrarr0minus

minushminus0h

=minus1



dydx

=f (x)minus f (x0)

xminus x0













x gt 0 ln(x) 1x

R ex ex

a 0 R ax ax ln(a)

R sen(x) cos(x)







x13

x

y

x

y

x

y

y = |x| y = x23 y = x43










)prime=


g2




fminus1)prime(y) =




para todo y isin B





1f prime(x)



f (x) f prime(x)

tan(x) 1cos2(x)





arctan(x) 11+x2

cosh(x) senh(x)

senh(x) cosh(x)





2 senh(x) =

exminus eminusx

2








bminusa

























f prime(x) =73



xminus13




f (x) =

x2 sen(1x) x 0

0 x = 0








f prime(x) =


0 x = 0











part fpartx



part fpartx




(P)part fparty

(P))



part

partz

(x3z2+ ln(z2+ y3)

)= 2x3z+

1(z2+ y3)

middot2z





(x0y0z0)part fparty

(x0y0z0)part fpartz

(x0y0z0))


part fpartx


xminus x0


part fparty


yminus y0



part fpartx

part fparty

part fpartz

etc


part fpartx


(P) = fy(P) etc




nuas en A










z =part fpartx










P = (x0y0)

(P f (P))

A = Dom( f )

Gr( f )Π



z = x+ y+2= π(xy)





dado por







f (xyz)Π(xyz)




part fpartV


t



part fpartV


t= limXtrarrX0

f (Xt)minus f (X0)

XtminusX0

donde Xt = X0+ tV





Π

recta por PQ

(X0 f (X0)) = P


(X f (X)) = Q

X0

X = X0+ tV

dist = t







part fpartV



(x0y0)





f (xy) =

x3y

x6+ y2si (xy) (00)

0 si (xy) = (00)





part fpartV



part fpartV

(x0y0) = v1 fx(P)+ v2 fy(P)






(P)le nabla f (P)




V =1













g(P)2












definimos

DF(P) =


)=

(part f1partx (P)

part f1party (P)

part f2partx (P)

part f2party (P)

)


DF =

(partxpartu

partxpartv

partypartu

partypartv

)





(P)part fparty

(P)partxpartz(P))









DF =


isin R3times2


























part fpartv

)(xprimeyprime)〉

luego


partvmiddot yprime




partymiddot yprime








partgpartx

=part fpartu


partx(x2+3y)+

part fpartv


partx(2x3minus y2)

=part fpartu




partgparty

=part fpartu


party(x2+3y)+

part fpartv


party(2x3minus y2)

=part fpartu




part fpartx



part fpartx




Capiacutetulo 5










137















esy = x





2x2


sen(x) x




y = 1+ x









ex 1+ x























6middot |x|3 le 1

6middot 133 00061lt 001



1

y = sen(x)

x

y

1 π2

minusπ2

minus1

y = P(x) = x


sen(x) x









6middot |x|3 le 1

6middot 133 00061lt 001



1

y = cos(x)

x

y

minusπ2















1

y = ex

x

y







part fpartx(x0y0)

partPparty(x0y0) =

part fparty(x0y0)















H f (x0y0) =







part2 fpartx party

(x0y0) =part2 f

party partx(x0y0)








+ 12 middot part2 f


2 fparty2


+part2 fpartypartx





C isin PX tal que



3 fparty3



















z = x+ y+2= π(xy)



































f = F + c c isin R


F prime = F + c


af = F(x)






af de-


Iprime(x) =(int x

af)prime

= f (x)



f =int

f (x)dxint b

af =

int b

af (x)dx = F(x)

∣∣x=bx=a





f gprime

como definidasint b


∣∣baminus

int b

af (x)gprime(x)dx




f (u)du = F(u)+ c = F(g(x))+ c






int

f +g =int

f +int

g


λ f = λ

intf


af =

int b

af +

int c

bf


af =minus

int a

bf






af ge

int b

ag

En generalint b





A =int b

af (x)dx


x

y

a b

y = f (x)

A


a(gminus f ) =

int b

agminus

int b

af




x

y

ab

y = g(x)

y = f (x)

A


A =int b

a(minus f ) =minus

int b

af

x

y

a b

y = f (x)

A





x

y

a b

y = g(x)

y = f (x)

A2

c dA1

A3


A = A1+A2+A3 =int c

a(gminus f )+

int d

c( f minusg)+

int b

d(gminus f )





∆t=

∆ f∆t










f prime(x)f (x)

= 3 forallx


f (x)dx =

int3dx = 3x+ c




nos queda


f (x)dx =

int 1u

du = ln |u|= ln | f (x)|= ln f (x)




105 = f (1) = k middot e3


f (x) =105

e3middot e3x










dydx

= 3y


dyy= 3 dx


ydy =

int dyy

= 3int

dx












v =int

dv =int



v(t) = t +2


d pdt

= pprime = v = t +2


p =int


t2

2+2t + k




10= p0 = p(t0) = 12 middot t20+2t0+ k = 12+2+ k


p(t) = 12 middot t2+2t + 172





SALE

TOTALy =

5100

y =120

y




yprime =minus 120

y



1y

dy =minus 120

dx










Capiacutetulo 6









161













f (x) = x2(1minus x)gt 0= f (0)








paraboloide


f (xy) = x2+ y2 ge 0= f (00)





f (xy) = x2 ge 0= f (00)





y

zz = x2

x











z =minusy2

x

z

y














x

y

x

y

x

y

y = |x| y = x23

y = x35



f (xy) =radic


fx(xy) =xradic

x2+ y2 fy(xy) =

yradicx2+ y2
























Entonces


asiacute que



f (X)gt f (X0)


































H f (xy) =(

2 00 2

)





)



X0

X0

X0






H f (xy) =(

2 00 minus2

)








H f (xy) =(

2 00 0

)




M =

(a11 a12

a21 a22













+ 00 +

) (minus 00 minus

) (+ 00 minus

















Tenemos

H f (P1) =

(2 00 minus4



H f (P2) =


)









M =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33


MP =

(a11 a12

a21 a22







det(M) = λ1λ2λ3


0 + 00 0 +










S = 2xy+2xz+2yz


S(xy) = 2xy+2x1000

xy+2y

1000xy

= 2xy+20001y+2000

1x








= 0


S(1010) = 2 middot 102+200+200= 600














radic10


S(xy) = 2xy+2000

y+

2000xge 50x+

2000x


radic10 632gt 600= S(P)


S(xy) = 2xy+2000

y+

2000x

gt2000

yge 2000gt 600= S(P)







S = 2xy+2xz+2yz = 12



=6minus xyx+ y


6minus xyx+ y

gt 0



=6xyminus x2y2

x+ y



en el dominio




(x+ y)2= 0


(x+ y)2= 0




radic2



2radic2=

4radic2= 2radic2




es V = 2radic2














minus4x2+3x+ 1= 0


pc= minus1minus140





x f (x)























pc= 0π4 5π42π








(xy) f (xy)



radic2minus2

radic2 4minus4

radic2 minus165


radic2+2

radic2 4+4

radic2 965 maacutex






B



C





cono 90continuidad




D





185





E




F





G


H


I



L



M

maacuteximo 59










N


O




P


150plano








10vectorial 14




R




S









T


144Teorema






V



vector 8













191



Rectas y planos


Matrices

Determinante











Derivadas parciales



Polinomio de Taylor

Integracioacuten



Extremos locales

Optimizacioacuten

Extremos absolutos




R2 = (ab) ab isin R

x

y

v2

v1

V = (v1v2)

(00)













V 12V

2V

minusVminus12V



V

WOV +W




W )+Z =V +(W +Z)










V=radic

v21 + v22












1 V middotV = V2







cosα =V middotWVW

(111)

V

WO

αV

WO

α = π2 (90o)

V perpW













3 V=radic








L tV +P t isin R




PQP QO






L1 tV +P L2 sW +Q










PQ

O


R

QminusP

RminusP

Π



V timesW =

∣∣∣∣∣∣∣i j kv1 v2 v3w1 w2 w3















P

O V

WΠ

Nπ =V timesWX

XminusP






Π ax+by+ cz = d









Π1

Π2

L = Π1capΠ2





S




(131)











S1













Sol= 0

COMPATIBLE


Sol= P



SISTEMA LINEAL














0 0 0 3 1 ndash2 1 00 0 0 0 0 7 ndash1 2

(132)







7x6minus x7 = 2


7x6 = 2+ x7 =rArr x6 = 17 x7+ 27




x1 = 23 x3+ 199 x5+ 119 x7+ 29


(23

x3+199

x5+119

x7+29x2x3

minus13

x5minus521

x7+421x5

17

x7+27x7)




vectores como







A =




isin Rktimesn









AB =


minus Fk minus

| | |

C1 C2 Cd

| | |

=













A =

2 3ndash1 04 ndash2


(2 ndash1 43 0 2

)isin R2times3



AX = b


AX =




x1x2

xn

=










A(V +P) = AV +AP = O+b = b











A(λV ) = λ(AV ) = λO= O




A(V +W ) = AV +AW = O+O= O


1 O isin S











(217) = α(131)+β(02minus1)


3 2 11 -1 7


0 2 -50 0 5



A+O= A


I2 =

(1 00 1

) I3 =

1 0 00 1 00 0 1

I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1




A In = A = In A


AB = In = BA






















a21 a22

∣∣∣∣∣= det

(a11 a12

a21 a22








det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣3 2 -71 2 04 -2 9

∣∣∣∣∣∣∣= 3

∣∣∣∣∣ 2 0-2 9


∣∣∣∣∣ 1 04 9

∣∣∣∣∣+(minus7)

∣∣∣∣∣ 1 24 -2



3 2 -71 2 04 -2 9

∣∣∣∣∣∣∣= (minus1)

∣∣∣∣∣ 2 -7-2 9

∣∣∣∣∣+2

∣∣∣∣∣ 3 -74 9


∣∣∣∣∣ 3 24 -2









B =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 -1 0 53 0 -2 01 -1 4 32 3 0 1


= (minus1) middot3

∣∣∣∣∣∣∣-1 0 5-1 4 33 0 1

∣∣∣∣∣∣∣+0

∣∣∣∣∣∣∣2 0 51 4 32 0 1


∣∣∣∣∣∣∣2 -1 51 -1 32 3 1

∣∣∣∣∣∣∣+0

∣∣∣∣∣∣∣2 -1 01 -1 42 3 0




1 det(At) = det(A)













Capiacutetulo 2







33


V4

V1 V3

V2O





W

V

O

W

V

O

W

V

O

W

V

O









V1 =minus12V2+0V3



es imposible














ax+by = 0











ax+by+ cz = 0







S














E2 = (01)

E1 = (10)O

E2

E3

O

E1






E = E1E1= (10)(01)


E = E1E2E3= (100)(010)(001)





(AB)t = BtAt
































A =

(0 01 2

)


Ran(A) = (01)








o equivalentemente



1 U es ortogonal





B = V1V2 Vn


Bprime = UV1UV2 UVn



Uθ =

(cosθ - senθ

senθ cosθ

)




E2

E1

O

V2 =UE2

O

V1 =UE1

θ = π4

Uθ



B = V1V2= (radic22

radic22) (-

radic22

radic22)




V

W

U

y = x

y = x

UW

UV

+

minus





U =

(0 11 0





U zθ=



U xθ =


0 senθ cosθ

U yθ=

cosθ 0 - senθ

0 1 0senθ 0 cosθ




z

z=0

V

W

UzθV

UzθW

U zθ

Usim

UsimW=W

UsimV

θ θ



Usim =

1 0 00 1 00 0 -1

Usim middot

001

=

00-1




V1

V2

V3







B = V1V2 Vn


U =

| | |V1 V2 Vn

| | |




efecto

U t U =


minus Vn minus

| | |

V1 V2 Vn

| | |

=





U tU =



= In



CE1 =

(v1 w1

v2 w2

)(10

)=

(v1v2

)=V


CEi =

| | |V1 V2 Vn

| | |

|Ei

|

=Vi












O

U

Ω

Ωprime =UΩ

O

Ω

L

Lprime =UL
















(-10 -618 11

)




p(λ) =






18 11minusλ1 0

)=

(-10 ndash (-1) -6 0

18 11 ndash (-1) 0

)=

(-9 -6 018 12 0

)


















D =

(-1 00 2


C =

(2 1

-3 -2

)




(2 1-3 -2

) En-


CDCminus1 =

(2 1

-3 -2

)(-1 00 2

)(2 1-3 -2

)

=

(-2 23 -4

)(2 1-3 -2

)=

(-10 -618 11

)= A

La matriz A=

(3 01 3










A =UDU t















〈AVV 〉= λ1α21 +λ2α


2n














Capiacutetulo 3




7R

0

A1


57


R

0

A2

minus10

R0

A3

minus1 3 7 9


R0

A4

1= 20

2= 21 4= 22 8= 23 16= 24


R0

A5

14 13 12 1= 111n














7R

0

A1

R

0

A2

minus10

R0

A3

minus1 3 7 9



R0

A4

1= 20

2= 21 4= 22 8= 23 16= 24

R0

A5

14 13 12 1= 111n








|x|=







|yx|= |y||x|

|x+ y| le |x|+ |y|

|x|= dist(x0)






xgeminus3xle 3




0minusr r

minusr le xle r

R 0minusr r

minusr lt x lt r

R





I = (xminus rx+ r)


xxminus r x+ r


R









Pr Q

rprime








P3r3 B3

P2r2 B2

P4r4 B4

P1r1

B1

P5

r5B5

P6r6 B6

P7r7 B7

A




Ac = X A

















P2

Q2

Q1

P1

A

Ac




A = Acupbd(A)


Por ejemplo








A















D =C

C = DcupS

S = bd(C) = bd(D)

x

y


bd(C) = (xy) x2+ y2 = 9= S








y = ln(x)

A = x ln(x)le 1

x

y

0 1 e

Figura 34
























10 El conjunto





(010)

y

x

z(001)

(100)

K


plano z = 0

plano x+ y+ z = 1


































y

x

z

z = x2+ y2







U =

1 0 00 1 00 0 minus1

yx

z

z = 4x2+9y2r = 3r = 2








z

z = x2minus y2

yx


z = x2minus y2

Silla de montar






indefinidamente

y

z

z = x2















A =

(α β

β γ

)


A =

(6 minus2minus2 9

)


AX =

(6 minus2minus2 9

)

(xy

)=


)









radic5) V2 = (2

radic5 1

radic5)


U =

(| |

V1 V2

)=

(minus1radic5 2

radic5

2radic5 1

radic5

)



x+2radic5


x+1radic5

y







z =

(10 00 5

)(uv

)middot (uv)



10=radic102 5=

radic52


5v vemos que

z = 10u2+5v2 = (radic10u)2+(

radic5v)2 = x21 + x22


z = x21 + x22



A =

(0 1212 0




luego



V1 = (1radic2 1

radic2) V2 = (1

radic2 -1radic2)


U =

(1radic2 1

radic2

1radic2 -1radic2

)



x+1radic2


x+minus1radic2

y











z =

(12 00 minus12

)(uv

)middot (uv)



radic2 x2 = v

radic2 y obtenemos

z =12

u2minus 12

v2 = (1radic2

u)2minus (1radic2

v)2 = x21 minus x22






















yx

z

z = 1

z = 2




yx

z


y

x

z

z = x2+ y2



x2

R2minusy2


yR)2 = 1




u

v

u2minus v2 = 1




z =minus1

z = 1







f (xyz) = cte










Esfera

x2+ y2+ z2 = 1

z

y

x







y

x

z

11


yx

z

x2+ y2minus z2 = 1






x2

R2 +y2

R2minusz2

R2 = 1 =rArr (xR)2+(

yR)2minus (

zR)2 = 1


Ry 1Rz) tenemos





yx

z

x2+ y2 = z2


Cono recto










y

z

z2minus y2 = 1


yx

z












yx

z

x2+ y2 = 1

Cilindro







y

z

z2minus y2 = 1

x








Elipsoide

x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 1

z

yx

ab

c


x2

a2 +y2

b2 +z2

c2= 1












Cono z2 = x2+ y2

Cilindro x2+ y2 = 1





A =

2 1 01 2 00 0 minus1


V1 = (1radic2 1


radic20) V3 = (001)





radic2y


radic2y

x3 =V3 middotX = z












Capiacutetulo 4






99





`

x0

Gr( f )

x

y


0lt |yminus `|lt ε























`









limXrarrX0

f (X)

g(X)=

limXrarrX0 f (X)

limXrarrX0 g(X)






L









δ gt 0 tal que




minusinfin





| f (t)| le |g(t)|








|g(t)|

minus|g(t)|

t0 t

f (t)










1 `= lim(xy)rarr(00)(1+ x2+ y4


`= lim(xy)rarr(00)

((1+ x2+ y4

) 1x2+y4

)minus7

y entonces

`=

(lim(xy)rarr(00)

(1+ x2+ y4

) 1x2+y4

)minus7= eminus7





(1+ y ln(x)2

) y3 ln(x)2 =

(1+ y ln(x)2

) y2

3middoty ln(x)2

=

((1+ y ln(x)2

) 1y ln(x)2

)y23



t = 1 tenemos



sen(5xy)5xy

= 5 middot 1= 5





xyminus xyminus 1



yminus 1







(xy)2 = x2+ y2






P x

y = f (x)

`1

`2

y






P








vemos que queda

f (x0) =x2minus02

x2+02 =x2

x2= 1


f (0y) =02minus y2

02+ y2=minusy2

y2=minus1


Sea f (xy) =xy



f (x0) =0x2

= 0


f (0y) =0y2

= 0


f (xmx) =x middotmx

x2+(mx)2=

m middot x2

x2+m2x2=

m middot x2

x2(1+m2)



1+m2




Sea f (xy) =x2y




x4+m2x2= limxrarr0

mx3

x4+m2x2

= limxrarr0mx3


mx(x2+m2)

=0

m2 = 0




f (xx2) =x2x2

x4+(x2)2=

x4

2x4=

12


Sea f (xy) =4x2y






x2+m2x2= limxrarr0

4mx3

x2+m2x2

= limxrarr04mx3

x2(1+m2)= limxrarr0

4mx(1+m2)

=0

1+m2 = 0




=4x2|y|x2+ y2





lim(xy)rarr(00)4x2y

x2+ y2= 0





Continuidad


























C = im(α)

α(a)α(b)





α(t) = (x(t)y(t))
























Gr( f )

x

im( f )|K = [mM]

K

M

m

QP1 P2












h



yminus x

x

y

Gr( f )

L tan

f (x0)dx

dy

L sec

x0








h= limhrarr0+

hminus0h

= 1



mientras que


h= limhrarr0minus

minushminus0h

=minus1



dydx

=f (x)minus f (x0)

xminus x0













x gt 0 ln(x) 1x

R ex ex

a 0 R ax ax ln(a)

R sen(x) cos(x)







x13

x

y

x

y

x

y

y = |x| y = x23 y = x43










)prime=


g2




fminus1)prime(y) =




para todo y isin B





1f prime(x)



f (x) f prime(x)

tan(x) 1cos2(x)





arctan(x) 11+x2

cosh(x) senh(x)

senh(x) cosh(x)





2 senh(x) =

exminus eminusx

2








bminusa

























f prime(x) =73



xminus13




f (x) =

x2 sen(1x) x 0

0 x = 0








f prime(x) =


0 x = 0











part fpartx



part fpartx




(P)part fparty

(P))



part

partz

(x3z2+ ln(z2+ y3)

)= 2x3z+

1(z2+ y3)

middot2z





(x0y0z0)part fparty

(x0y0z0)part fpartz

(x0y0z0))


part fpartx


xminus x0


part fparty


yminus y0



part fpartx

part fparty

part fpartz

etc


part fpartx


(P) = fy(P) etc




nuas en A










z =part fpartx










P = (x0y0)

(P f (P))

A = Dom( f )

Gr( f )Π



z = x+ y+2= π(xy)





dado por







f (xyz)Π(xyz)




part fpartV


t



part fpartV


t= limXtrarrX0

f (Xt)minus f (X0)

XtminusX0

donde Xt = X0+ tV





Π

recta por PQ

(X0 f (X0)) = P


(X f (X)) = Q

X0

X = X0+ tV

dist = t







part fpartV



(x0y0)





f (xy) =

x3y

x6+ y2si (xy) (00)

0 si (xy) = (00)





part fpartV



part fpartV

(x0y0) = v1 fx(P)+ v2 fy(P)






(P)le nabla f (P)




V =1













g(P)2












definimos

DF(P) =


)=

(part f1partx (P)

part f1party (P)

part f2partx (P)

part f2party (P)

)


DF =

(partxpartu

partxpartv

partypartu

partypartv

)





(P)part fparty

(P)partxpartz(P))









DF =


isin R3times2


























part fpartv

)(xprimeyprime)〉

luego


partvmiddot yprime




partymiddot yprime








partgpartx

=part fpartu


partx(x2+3y)+

part fpartv


partx(2x3minus y2)

=part fpartu




partgparty

=part fpartu


party(x2+3y)+

part fpartv


party(2x3minus y2)

=part fpartu




part fpartx



part fpartx




Capiacutetulo 5










137















esy = x





2x2


sen(x) x




y = 1+ x









ex 1+ x























6middot |x|3 le 1

6middot 133 00061lt 001



1

y = sen(x)

x

y

1 π2

minusπ2

minus1

y = P(x) = x


sen(x) x









6middot |x|3 le 1

6middot 133 00061lt 001



1

y = cos(x)

x

y

minusπ2















1

y = ex

x

y







part fpartx(x0y0)

partPparty(x0y0) =

part fparty(x0y0)















H f (x0y0) =







part2 fpartx party

(x0y0) =part2 f

party partx(x0y0)








+ 12 middot part2 f


2 fparty2


+part2 fpartypartx





C isin PX tal que



3 fparty3



















z = x+ y+2= π(xy)



































f = F + c c isin R


F prime = F + c


af = F(x)






af de-


Iprime(x) =(int x

af)prime

= f (x)



f =int

f (x)dxint b

af =

int b

af (x)dx = F(x)

∣∣x=bx=a





f gprime

como definidasint b


∣∣baminus

int b

af (x)gprime(x)dx




f (u)du = F(u)+ c = F(g(x))+ c






int

f +g =int

f +int

g


λ f = λ

intf


af =

int b

af +

int c

bf


af =minus

int a

bf






af ge

int b

ag

En generalint b





A =int b

af (x)dx


x

y

a b

y = f (x)

A


a(gminus f ) =

int b

agminus

int b

af




x

y

ab

y = g(x)

y = f (x)

A


A =int b

a(minus f ) =minus

int b

af

x

y

a b

y = f (x)

A





x

y

a b

y = g(x)

y = f (x)

A2

c dA1

A3


A = A1+A2+A3 =int c

a(gminus f )+

int d

c( f minusg)+

int b

d(gminus f )





∆t=

∆ f∆t










f prime(x)f (x)

= 3 forallx


f (x)dx =

int3dx = 3x+ c




nos queda


f (x)dx =

int 1u

du = ln |u|= ln | f (x)|= ln f (x)




105 = f (1) = k middot e3


f (x) =105

e3middot e3x










dydx

= 3y


dyy= 3 dx


ydy =

int dyy

= 3int

dx












v =int

dv =int



v(t) = t +2


d pdt

= pprime = v = t +2


p =int


t2

2+2t + k




10= p0 = p(t0) = 12 middot t20+2t0+ k = 12+2+ k


p(t) = 12 middot t2+2t + 172





SALE

TOTALy =

5100

y =120

y




yprime =minus 120

y



1y

dy =minus 120

dx










Capiacutetulo 6









161













f (x) = x2(1minus x)gt 0= f (0)








paraboloide


f (xy) = x2+ y2 ge 0= f (00)





f (xy) = x2 ge 0= f (00)





y

zz = x2

x











z =minusy2

x

z

y














x

y

x

y

x

y

y = |x| y = x23

y = x35



f (xy) =radic


fx(xy) =xradic

x2+ y2 fy(xy) =

yradicx2+ y2
























Entonces


asiacute que



f (X)gt f (X0)


































H f (xy) =(

2 00 2

)





)



X0

X0

X0






H f (xy) =(

2 00 minus2

)








H f (xy) =(

2 00 0

)




M =

(a11 a12

a21 a22













+ 00 +

) (minus 00 minus

) (+ 00 minus

















Tenemos

H f (P1) =

(2 00 minus4



H f (P2) =


)









M =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33


MP =

(a11 a12

a21 a22







det(M) = λ1λ2λ3


0 + 00 0 +










S = 2xy+2xz+2yz


S(xy) = 2xy+2x1000

xy+2y

1000xy

= 2xy+20001y+2000

1x








= 0


S(1010) = 2 middot 102+200+200= 600














radic10


S(xy) = 2xy+2000

y+

2000xge 50x+

2000x


radic10 632gt 600= S(P)


S(xy) = 2xy+2000

y+

2000x

gt2000

yge 2000gt 600= S(P)







S = 2xy+2xz+2yz = 12



=6minus xyx+ y


6minus xyx+ y

gt 0



=6xyminus x2y2

x+ y



en el dominio




(x+ y)2= 0


(x+ y)2= 0




radic2



2radic2=

4radic2= 2radic2




es V = 2radic2














minus4x2+3x+ 1= 0


pc= minus1minus140





x f (x)























pc= 0π4 5π42π








(xy) f (xy)



radic2minus2

radic2 4minus4

radic2 minus165


radic2+2

radic2 4+4

radic2 965 maacutex






B



C





cono 90continuidad




D





185





E




F





G


H


I



L



M

maacuteximo 59










N


O




P


150plano








10vectorial 14




R




S









T


144Teorema






V



vector 8













191



Rectas y planos


Matrices

Determinante











Derivadas parciales



Polinomio de Taylor

Integracioacuten



Extremos locales

Optimizacioacuten

Extremos absolutos


Álgebra lineal y cálculo en varias...

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