lezioni di matematica per una classe 1 liceo scientifico - costruzione degli insiemi numerici...

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Numeri Naturali

Numeri Interi senza segno

0 1 2 3 4 5 6 7

10 111 21 37 14 58 602 7047

182997 9999997

102357 98732149997

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Operazioni binarie

L’ OPERAZIONE in un insiemeè una legge che ad ogni coppia di elementi dell’insieme

ne associa un altro

+3

58operandi risultato

Se il risultato appartiene allo stesso insieme degli operandi,si dice

che l’ insieme è CHIUSO rispetto all’ operazione

a,b A c= a*b : c A

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Operazioni binarie

Se il risultato appartiene allo stesso insieme degli operandi,si dice

che l’ insieme è CHIUSO rispetto all’ operazione

a,b A c = a*b : c A

I numeri Naturali è un insieme chiuso rispetto all’ addizione ?

SI ! perché sommando qualsiasi coppia di numeri naturali, si ottiene un numero naturale

I numeri Naturali è un insieme chiuso rispetto alla moltiplicazione ?

SI ! perché moltiplicando qualsiasi coppia di numeri naturali, si ottiene un numero naturale

I numeri Naturali è un insieme chiuso rispetto alla sottrazione ?

NO !perché esistono coppie di numeri la cui differenza NON è un numero naturale: 3 – 5 = -2 N

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ProprietàCommutativa

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Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA

Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme Aè COMMUTATIVA se

a,b A si ha a * b = b * a

+3

58

+5

38

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5

3

La moltiplicazione è Commutativa ?

SI ! Perché a,bN : a b = b a• 15

3

5• 15

5

3

La sottrazione è Commutativa ?

NO ! Perché a,bN : a b b a

- 2

3

5- - 2

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L’ Unione tra Insiemi è Commutativa ?

SI ! Perché A B B A

01

ba cA

23

B

A B { a, b, c, 0, 1, 2, 3 }

01

ba cA

23

B

B A { a, b, c, 0, 1, 2, 3 }

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L’ Intersezione tra Insiemi è Commutativa ?

SI ! Perché A B B A

41 3A

02

B

85

6A B { 0, 2, 4 }

B A { 0, 2, 4 }A

B

41 3 02

85

6

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La Differenza Insiemistica è Commutativa ?

NO ! Perché A \ B B \ A

41 3A

02

B

85

6A \ B { 1, 3, 5 }

B \ A { 6, 8 }A

B

41 3 02

85

6

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Il Prodotto Cartesiano è Commutativo ?

NO ! Perché A B B A

A { , , }

B { ,}A BB

A

BAA

B

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ProprietàAssociativa

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Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA

Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme Aè ASSOCIATIVA se

a,b,c A si ha (a*b)*c = a*(b*c)

+3

58 +

2

10

+5

27

+310

13 / 52

5

3

La moltiplicazione è associativa ?

SI ! Perché a,b,cN (a · b) · c = a · (b · c)

•15

2• 30




3

2•

6

5• 30

14 / 52

5

3

La sottrazione è associativa ?

NO !Perché a,b,cN : (a - b) - c a - (b - c)

-2

2- 0




3

2-

1

5- 4

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L’ Unione tra Insiemi è Associativa ?

1

3

BA2

06

4

9C

(A B) { 0, 1, 2, 3, 4, 6 }(A B) C { 0, 1, 2, 3, 4, 6, 9 }

1

3

BA2

06

4

9C

(B C) { 0, 1, 2, 3, 9 }(A B) C { 0, 1, 2, 3, 4, 6, 9 }

SI ! Perché (A B) C A (B C)

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L’ Intersezione tra Insiemi è Associativa ?

1

3

B

9C

(A B) { 0, 2 }(A B) C { 0 }

1

3

BA2

06

4

9C

(B C) { 0, 3 }A ( B C ) { 0 }

SI ! Perché (A B) C A (B C)

A2

06

4

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La Differenza Insiemistica è Associativa ?

9C

(A \ B) { 4, 6 }(A \ B) \ C { 4 }

(B \ C) { 1, 2 }A \ ( B \ C ) { 0, 4, 6 }

NO ! Perché (A \ B) \ C A \ (B \ C)

A2

06

4 1

3

B

1

3

B

9C

A2

06

4

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ProprietàDistributiva

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Operazioni – Proprietà DISTRIBUTIVA

In un insieme A in cui siano definite due OPERAZIONI ( * e # ),vale la proprietà DISTRIBUTIVA di * rispetto # se

a,b,c A si ha a * (b # c) = (a * b) # (a * c)

3

5

2

+ •

2

5

2

3 +•

•

8

10

6

16

16

Proprietà distributivadella moltiplicazionerispetto all’addizione

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3

5

2

• +

2

5

2

3 •+

+

15

7

5

17

35

L’ addizione è distributiva rispetto alla moltiplicazione ?

NO !Perché a,b,cN : a • (b + c) (a • b) + (a • c)

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L’ intersezione è distributiva rispetto all’ unione?

SI ! Perché A (B C) (A B) (A C)

(B C) { 0, 1, 2, 3, 6, 9 }

A2

06

4 1

3

B

A (B C) { 0, 2, 6 }

9C

9C

1

3

B

(A B) { 0, 2 }(A C) { 0, 6 }(A B) (A C) { 0, 2, 6 }

A2

06

4

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ElementiParticolari:

Neutro - Opposto

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Elemento NEUTRO

Esiste un numero che sommato con un QUALSIASI numeroNON ne modifica il valore ?

+?

55

+0

55

SI ! lo 0

Esiste un numero che moltiplicato con un QUALSIASI numeroNON ne modifica il valore?

•?

55

•1

55

SI ! l’ 1

Si dice che u è l’ Elemento NEUTRO dell’insieme Arispetto all’operazione *, in esso definita, se

a A si ha u * a = a * u = a

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Elemento NEUTRO

Esiste l’ elemento neutro per la sottrazione ?

Si dice che u è l’ Elemento NEUTRO dell’insieme Arispetto all’operazione *, in esso definita, se

a A si ha u * a = a * u = a

NO !Perché la sottrazione non è commutativa

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OPPOSTO

L’ OPPOSTO di un numero èil numero stesso cambiato di segno

Opposto di a = -a

In N esiste l’ opposto ?

NO !Perché N è l’insieme degli interi senza segno

ECCEZIONEIl numero 0 (che è opposto di se stesso)

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Esiste un insieme in cui tutti i suoi elementi ammettono l’ opposto ?

SI ! Dobbiamo considerare un insieme numerico in cui a ogni numero è associato il segno

INSIEMI NUMERICI

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Numeri Relativi

Numeri Interi con il segno

± 0 +1 -1 ± 3 ± 4 ± 5 ± 6 ± 7

±10 ± 111 ± 21 ± 37 ± 14 ± 58 ± 602 ± 7047

-182997 ± 9999997

± 102357 ± 98732149997

ZN

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RECIPROCO

Il RECIPROCO di un numero è1 diviso il numero stesso

Reciproco di a = 1/a

In N o in Z esiste il reciproco ?

NO !Perché sia N che Z sono insiemi di numeri interi

ECCEZIONEIl numero 1 e -1

(che sono reciproci di loro stessi)

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Esiste un insieme in cui tutti i suoi elementi ammettono il reciproco ?

SI ! Dobbiamo considerare un insieme numerico in cui i numeri possano ammettere cifre decimali.Quindi un insieme che contenga numeri decimali, periodici e periodici misti ossia

un insieme che contenga frazioni

INSIEMI NUMERICI

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Numeri Razionali

Numeri esprimibili in forma di frazioni

Z NQ

± 0 +1 -1/3 ± 3/2 ± 4 ± 5/2 6/19 - 7

±10 ± 111/21 ± 37/14 ± 58/5347 7047

-182/997 999999/7

± 10/2357 ± 98/732149997

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Elemento INVERSO

Esistono numeri che sommatia un numero

danno come risultato l’elemento neutro dell’addizione ?

+?

numero0

+-5

50

SI ! L’ opposto

Esistono numeri che moltiplicaticon un numero

danno come risultato l’elemento neutro della

moltiplicazione?•?

numero1

•1/5

51

SI ! Il reciproco

Si dice che i A è INVERSO di a A rispetto all’operazione *,

se il risultato dell’operazione a * b è l’elemento neutroi * a = a * i = u

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Elemento INVERSOSi dice che i A è INVERSO di a A

rispetto all’operazione *, se il risultato dell’operazione a * b è l’elemento neutro

i * a = a * i = u

i = inv*(a)

•

Q tutti

+

OPPOSTO RECIPROCO

Z tutti

N 0

Q tutti

Z -1

N 1

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Radice Quadrata

-25 = perché non esiste un numero che moltiplicato per se stesso dia un numero negativo

La Radice quadrata ( ) di un numero èquel valore che moltiplicato per se stesso

dà il numero :

a = b b b = a

25 = 5 perché (5) (5) = 25

3 = 1.73205080757…

3 N perché non è un numero intero

Z perché non è un numero intero

Q perché non è un numero esprimibile con una frazione

R numeri reali34 / 52

Numeri Reali

tutti i Numeri che fino ad ora hai utilizzato

± 0 +1 -1/3 ± 3/2 ±4 ± 5/2 6/19 - 7

±10 ± 111/21 ± 37/14 ± 58/5347 7047

-182/997 999999/7

± 10/2357 ± 98/732149997

Z NQR

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Tabelle riassuntive - CHIUSURA

Chiusura N Z Q R

+

-

/

36 / 52

Commutativa N Z Q R

+

-

/

Associativa

N Z Q R

+

-

/

Tabelle riassuntive – PROPRIETA’

Distributiva N Z Q R

+

a (b+c) =ab + ac

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El. NEUTRO N Z Q R

+

0 0 0 0

1 1 1 1

El. INVERSO N Z Q R

+

0

1 ±1

Tabelle riassuntive – ELEMENTO Neutro e Inverso

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Potenzee

Proprietà39 / 52

Potenza - Definizione

L’operazioneb e

si legge: b elevato a eindica: l’operazione di elevazione a potenza

il numero b è detto baseil numero e è detto esponenteil risultato dell’operazione è detto potenza

L’operazioneb e

si calcola: moltiplicando b e volte per se stesso

b e = b b . . . b

e volte

4 5 = 4 4 4 4 4 = 1024

5 volte40 / 52

Prodotto di Potenze con la STESSA BASE

Prodotto di due potenze con BASE UGUALE

b n b m = ( b b . . . b ) ( b b . . . b ) =

n volte m volte

= b b b . . . b

n + m volte

= b n + m

4 3 4 5 = 4 3+5 = 4 8 = 65536

b n b m = b n + m

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Potenze con ESPONENTE 1

La regola può anche essere utilizzata al contrario :

48 = 42+6 = 42 46

b n b m = b n + m

Possiamo scrivere :

64 = 43 = 42+1 = 42 41 = 42 41 = 16 41

41 = 64 / 16 = 4

b 1 = b

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Potenze con ESPONENTE 0

La regola può anche essere utilizzata al contrario :

48 = 42+6 = 42 46

b n b m = b n + m

Possiamo scrivere :

64 = 43 = 43+0 = 43 40 = 43 40 = 64 40

40 = 64 / 64 = 1

b 0 = 1

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Potenze un Caso TERRRRIFICANNNNTE

Sappiamo che

0 0

00 : INDETERMINATA

0 n = 0

b 0 = 100 =

0

1 ?

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Potenze

Risolvere le seguenti operazioni applicando le proprietà viste

34 = 3 3 3 3 = 81

3-2 =1 / 32 = 1 / 9

26 = 2 2 2 2 2 2 = 64

5-3 = 1 / 53 = 1 / 125

012 = 0 00 = Indeterminata NON HA RISULTATO

211 = 21 23 24 = 27 = 2 2 2 2 2 2 2 = 128

210 = 1 37 1/34 =37 3-4 = 33 = 3 3 3 = 27

32 3-2 = 32-2 = 30 = 1 27 24 1/26 52 =27+4-6 52 = 25 52 = 32 25 = 800

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Elevazione a Potenza di una a Potenza

Potenza di Potenza

( bn )m = bn bn . . . bn =

m volte

= b . . . b . . . b . . . b . . . b . . .

n volte n volte n volte n volte n volte

m volte

= b b . . . b

n m volte

= b n m

( 23 )4 = 2 34 = 212 = 4096

( bn )m = b n m

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Potenze


( 32)3 = 323 = 36 = 729 ( 22)4 = 224 = 28 = 256

( 1/32)3 = 1/(3)23 = 1/(3)6 = 1/729 ( (3/2)2)4 = (3/2)24 = (3/2)8 = 38/28 = 6561 / 256

( 4 )5 = ( 22 )5 = 210 = 1024 ( (3/2)2)-4 = (3/2)2(-4) = (3/2)-8 = (2/3)8 = 256 / 6561

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Prodotto di Potenze con lo STESSO ESPONENTE

Prodotto di due potenze con ESPONENTE UGUALE

a n b n = a a . . . a b b . . . b =

n volte n volte

= a b a b a b . . . a b

n volte

= (a b)n

3 4 2 4 = (3 2)4 = 6 4 = 1296

a n b n = (a b)n

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Potenze


32 42 = (34)2 = 122 = 144

( 43 (1/2)3) =(4/2)3 = 23 = 8

3-2 5-2 = (3 5)-2 = 15-2 = 1/225

42 (1/2)-2 =4222 = 82 = 64

42 : 82 = 42 (1/8)2 = (4/8)2 = (1/2)2 = 1/4

32 52 = (3 5)2 = 152 = 225

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Potenze

Risolvere le seguenti operazioni dopo averle inserite nella giusta categoria

bn bm = b n + m an bn = (a b)n

32 5232 52 = ( 3 5 )2 = 152 = 225

23 2523 25= 23+5 = 28 = 256

27 3727 37 = ( 2 3 )7 = 67 = 279936

26 2626 26 = ( 2 2 )6 = 46 = 409626 26= 26+6 = 212 = 4096

= 33+2 = 35 = 243 33 3233 32

26 3426 34 = 64 81 = 5184 50 / 52

Potenze di 0

00

INDETERMINATA

0numero negativo

IMPOSSIBILE

0numero positivo

= 0

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Divertiti ?

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